Wstęp

Historia matematyki pokazuje, że obserwacja i badanie przyrody

przez matematyka były inspiracją do odkrywania nowych pojęćmatematyki, jako specyficznych narzędzi analizy i opisuotaczającego nas świata.

Leonardo Fibonacci (1170 - 1250)

Liczby Fibonacciego

Matematyk epoki Średniowiecza wyprzedził epokę Odrodzeniaz jej humanistycznymi ideami, ujmując w ramy złotej liczbyelementy botaniki i biologii. Dla wyjaśnienia sposobu rozrostuniektórych roślin i zwierząt wprowadził ciąg liczbowy, zwany

ciągiem Fibonacciego.

Nie przypuszczał wówczas, że zastąpienie dwóch początkowychjedynek w jego ciągu innymi liczbami, nawet bardzo dużymii ujemnymi, nie zmienia wartości granicy, do której dąży ilorazdwóch sąsiednich liczb Fibonacciego w trakcie ich oddalania siędo nieskończoności. Nadal tą granicą jest złota liczba.

Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Formalnie:

Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego, jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od F1 = 1, F2 - 1

Wyrazy F0, ….. F19 ciągu Fibonacciego to:

Rozrastanie gałęzi drzew

Przyjęte przez Fibonacciego reguły rozmnażania się niektórych zwierząt można takprzeformułować, by odnosiły się do rozrastania innych istot lub obiektów natury,na przykład drzew. Na rysunku powyżej jest pokazane drzewo, które rośnie i każdagałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszczajedną młodą gałąź.

Układ płatków kwiatów

Liczba płatków wielu kwiatów, w tym np. irys (3 płatki), jaskier(5 płatków) czy krwiowiec kanadyjski (8 płatków), jest na ogół liczbą Fibonacciegoi wynosi 3 lub 5 lub 8 itd. Zastanawiające jest, skąd komórki "wiedzą", że liczbapłatków w kwiatach ma być liczbą Fibonacciego i w jaki sposób ta "informacja„rozchodzi się po milionach komórek, nawet tej samej rośliny. Zjawisko to, nazywasię w botanice filotaksją, dosłownie - "układem liści".

Liście na gałązkach i gałązki na łodygach

Zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu liści na gałązkach i gałązek na łodydzedrzewa. Nie wszystkie liście leżą jeden nad drugim, podobnie gałązki. Układają się onewzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta nazywa się helisą. Cyklem tej krzywejnazywa się odległość liści osadzonych dokładnie jeden nad drugim, wzdłuż gałęzi lubłodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema liczbami: liczbą obrotówcyklu helisy wokół gałązki lub łodygi oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmileżącymi nad sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są liczbamiFibonacciego. Na przykład, drzewo bukowe ma cykl złożony z trzech liści i wykonuje onjeden obrót, a wierzba amerykańska pussy willow ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on5 obrotów.

Układ łusek na szyszkach

Najbardziej znanymi przykładamiwystępowania liczb Fibonacciegow naturze są układy łusek naszyszkach. Na rysunku jestpokazana szyszka, na którejzaznaczono spirale tworzoneprzez jej łuski. Spirale te sąprawoskrętne i lewoskrętne.

Nie zawsze szyszki nawet tegosamego gatunku mają taką samąliczbę spiral, nie zawsze równieżprzeważają lewoskrętne czyprawoskrętne. Ale, z wyjątkiemkilku procent "odszczepieńców",łuski na większości szyszekukładają się wzdłuż spiral,których liczby są ściśle związane zkolejnymi liczbami Fibonacciego.

Pestki tarczy w słonecznikach

Podobnie, jak łuski na szyszkach, układają się pestki w tarczy słonecznika -również wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego.Fenomen układu łusek na szyszce lub pestek na tarczy słonecznika możnauzasadnić tym, że natura dba o jak najlepsze "upakowanie" jednych i drugich,by się ich zmieściło jak najwięcej lub by zajmowały jak najmniej miejsca. Takazwartość budowy rośliny może być pewnego rodzaju ochroną przed łatwymich rozpadem na części.

Układ ziaren ananasa

Ziarna ananasa przypominająsześciokątne klatki, którerozmieszczone są w rzędachw różnych kierunkach:

- 5 równoległych rzędówpodnoszących się łagodnie wprawo;

- 8 rzędów podnoszących sięnieco bardziej stromo w lewo;

- 13 rzędów podnoszących siębardziej stromo w lewo.

Różyczki kalafiora

Ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w różnych kierunkach, na przykład 34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic innego, jak liczby Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie –można go odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznychstruktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych.

Zmiany dynamiczne pod tym względem najlepiej charakteryzuje rozmnażaniesię królików. Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę – samca isamicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnymmiesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal sięrozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposóbcharakterystyczny dla naszego ciągu. Spójrzmy na tabelkę:

Rozmnażanie królików

Widać z tego, że każda para co miesiąc wydaje na świat parkę młodych, którepo miesiącu, będąc już zdolne do rozrodu, rozmnażają się w analogicznysposób, przy czym wciąż rodzą się młode z poprzednich par.

Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom.

Samiec pszczoły w przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak i matkę – inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce. Tak wygląda jego drzewo genealogiczne.

Rozmnażanie trutni

Jak widać, przodkowie trutnia – jego matka, jej rodzice i dalej, ażpo pradziadków, narastają zgodnie z zasadą ciągu Fibonacciego – kolejnepokolenia to suma dwóch poprzednich.

Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju widać, że ułożona jest

spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większaod poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynikato z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Być może trudno uwierzyć, żeukład muszli zgodny jest z jakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzećna graficzny obraz spirali Fibonacciego:

Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze,najmniejsze) kolejne kwadraty są większe odpoprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek,co zgodne jest z regułą naszego ciągu.

Spirale muszli

Złoty podział jest w nas samych. Większość znaczących stawów w szkielecie jest rozmieszczonych właśnie dzieląc ciało w stosunku złotym. Łokieć dzieli rękę na przedramię i ramię w stosunku złotym. Bark plus ramię do długości drugiego ramienia. Paliczki palców dłoni.

Paliczki palców

Tych przykładów jest na prawdę dużo w samym ludzkim ciele, a proporcje nie odbiegają znacząco od wartości złotej proporcji. Bo w gruncie rzeczy, ludzki szkielet zdrowego człowieka niewiele się różni. Dopiero anomalie rozwojowe powodują, że te proporcje są zaburzone w znaczący sposób.

Matematyka jest jak kurz,

jest wszędzie i już!

Dziękujemy za uwagę!

http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA#t=67