líneas de espera sin soluciones
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FORMA DE EVALUAR
1.- Proyecto Final ………………………. 30 %
2.- Examen ……………………………… 30 %
3.- Participación ………………………… 20 %
4.- Tareas ……………………………….. 10 %
5.- Asistencia …………………………… 10 %
T O T A L --------------------- 100 %
Antecedentes• La teoría de las Líneas de Espera se inicia en
1909, con los trabajos de E. K. Erlang. Al experimentar un problema relacionado con la congestión del trafico telefónico.
• En muchas operaciones se forman Líneas de Espera para la prestación de un servicio, como cuando los clientes esperan en fila para liquidar sus compras en una tienda de Abarrote; las maquinas de una fábrica esperan ser reparadas o los aviones esperan para aterrizar en un aeropuerto
La característica común de los anteriores ejemplos es que un número de unidades físicas (las llegadas) intentan recibir un servicio de un número limitado de instalaciones (los servidores).
Un problema de Líneas de Espera puede resolverse mediante formulas analíticas o mediante métodos de Simulación
En todos los casos, los clientes esperan cierto nivel aceptable de servicio, mientras que la empresa espera poder mantener sus costos al mínimo.
Las características que todo problema de líneas de espera presenta:
LAS LLEGADASSe describen por su Distribución
Estadística, la cual puede especificarse de dos formas: Número de Llegadas por unidad de tiempo o Tiempo entre llegadas
Si se supone que las llegadas ocurren con una tasa promedio constante y que son independientes una de otra.
Entonces se dice que ocurren de acuerdo con la Distribución de probabilidad de Poisson. (Tasa de Llegadas; No. Clientes/Periodo).
Si la tasa de llegadas se da por el tiempo que transcurre entre Llegada y Llegada, se dice entonces que sigue una Distribución Exponencial.
La Distribución Exponencial y la de Poisson son equivalentes en cuanto a las suposiciones fundamentales sobre llegadas. Por lo tanto, cualquiera de las dos puede usarse para especificar las llegadas
• La tasa de llegadas siempre estará representada por una variable Discreta, mientras que el tiempo entre Llegadas se representara por una variable Continua
• Una prueba de Bondad de Ajuste se aplica para verificar si un conjunto de datos se ajusta o no a la Distribución teórica previamente supuesta (Distribución Poisson), en especial la prueba de Ji-Cuadrada, la cual consiste en contrastar frecuencias reales u observadas contra las frecuencias teóricas o esperadas o ver si la diferencia existe en significativa o no, demostrando al mismo tiempo si los datos se apegan a una Distribución Poisson o no.
LA FILALa naturaleza de la fila también afecta al tipo de modelo
que se formule. Debe especificarse una disciplina en la fila para describir como se atienden las llegadas. Un ejemplo es, “Primeros en llegar, primeros en ser atendidos”.
Cuando se describe una Fila, también debe especificarse la longitud de la Línea de Espera. Un supuesto es que la Línea de Espera puede alcanzar una longitud infinita.
Finalmente, se define el comportamiento que tendrá el Cliente en la Fila. ¿Cuánto tiempo estarán dispuestos a esperar los clientes para ser atendidos antes de que se retiren de la Fila?
EL SERVIDORExisten varias características del Servicio que afectan
al problema de Líneas de Espera. Una de ellas es la Distribución del tiempo de Servicio. Un supuesto común esta dado por la distribución Exponencial.
La segunda característica que debe especificarse esta dada por el número de Servidores. Puede haber uno solo o varios.
La tasa de Servicio al igual que la de llegadas, debe ser evaluada para ver si se ajusta a la Distribución Exponencial o no, a través de la Prueba de Kolmogorov-Smirnov, la cual contrasta una Distribución de probabilidad acumulada real contra una teórica.
MODELO No 1 (UN SOLO SERVIDOR)
Tasa media de llegadas
Tasa media de servicios
1. < 1 ……………...Intensidad de trafico.
2. n n (1- ) …………...Probabilidad de que haya “n” clientes en el sistema.
3. LS
………….…….Numero promedio de clientes en el sistema.
4. Lq)(
2
= Ls - ……Numero Promedio de clientes en la fila (LE).
5. Ts 11
tqLs ….Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema.
6. tq Lq
………Tiempo promedio que pasa un cliente en la fila (LE).
7. Po
1 ……………….Probabilidad de que no haya clientes en el sistema.
MODELO No. 2 (DOS O MAS SERVIDORES)
tasa media de llegadas
tasa media de servicio
k = No. de servidores
1. k. < 1
2. Po
1
0 .
.
!
1
!
1
1
k
n
kn
k
k
kn
siPonn
n
*!
1 kn
3. Pn =
siPokk
k
kn
*
!
1
kn
4.
LqtqLs
1
5.
Pokk
PoK
Lq
kk
*.!1
.
*1!
.
22
6. Ls
tqts 1
7.
LqPo
kktq
k
*.!1 2
Supongamos que un cajero bancario puede atender en promedio 10 clientes/hr. Además suponga que los clientes llegan a la ventanilla a razón de 7 clientes/hr. Se cree que las llegadas siguen una Distribución POISSON y los tiempos de servicio siguen una Distribución Exponencial.
a) Bajo condiciones de estado estable ¿Cuáles son las características del sistema?
b) Si los clientes se retiran de la caja siempre que encuentra 3 clientes de ellos en el sistema ¿Cuál es el porcentaje de clientes que se pierde?Sistema: Clientes que arriban al banco con un solo cajero (servidor) y
realizan operaciones.
Cliente: Personas que requieren un servicio.
Servidor: Persona que atiende la ventanilla
Servicio: Operaciones Bancarias
No. de Servidores: 1 (uno solo)
7 clientes/hr
10 clientes/hr
*Condición: si el cliente encuentra 3 clientes delante de el se retira.
a) característica del sistema
%7017.0/10
/71
hrclientes
hrclientes (Factor utilización)
clienteshrc
hrc
hrchrc
hrcLsLs 33.2
/3
/7
/7/10
/7
2
Lq ó clientesLs 63.1
30
49
71010
7 2
utoshrsTs min2033.03
1
710
11
utoshrsTq min1423.071010
7
%303.010
711
Po prob. de que no haya clientes en el sistema.
b) No. de clientes que se pierde
3 o mas clientes se retira
A= Pn=0 se quedan B= Pn=3 se van
Pn=1 se quedan Pn=4 se van
Pn=2 se quedan Pn= ……
A + B = 100% o 1
B = 1 - A (% de los clientes que se van por la condición)
210 PnPnPnA
10 nPn
%303.07.017.00 0 Pn
%2121.07.017.01 1 Pn
%7.14147.07.017.02 2 Pn
%7.65657.0147.021.03.0 A (% clientes que se quedan)
%3.34343.0657.01 B Porcentaje clientes que se van
Un remolcador atiende los barcos que llegan a un puerto el tiempo promedio que transcurre entre la llegada de los barcos es de 2 horas. El tiempo promedio que se requiere para remolcar un barco a su embarcadero es de 1 hora. Algunos estudios han demostrado que las llegadas de los barcos tienen una distribución POISSON y que los tiempos de servicio se distribuyen en forma exponencial.a) Calcúlese las características del comportamiento de este sistema.
b) Si los barcos solicitan el servicio de otro remolcador cuando hay mas de 2 barcos en el puerto que porcentaje de llegadas se pierde.
a) Calcúlese las características del comportamiento de este sistema.
b) Si los barcos solicitan el servicio de otro remolcador cuando hay mas de 2 barcos en el puerto que porcentaje de llegadas se pierde.
Sistema: Barcos que llegan al puerto a ser remolcados a su
embarcadero Cliente: Barcos que requieren ser remolcado
Servidor: Remolcador
Servicio: Ser remolcados
No. De Servidores: 1 (uno solo)
= 0.5 cliente/hora
= 1 cliente/hora
*Condición: si hay + de 2 barcos se solicita otro remolcador características del
sistema.
a) %5015.0/1
/5.01
hrc
hrc
clientehrc
hrc
hrchrc
hrcLsLs 1
/5.0
/5.0
/5.0/1
/5.0
clientesLq 5.0
25.0
25.0
5.011
5.0
)(
22
hrsTs 25.0
1
5.01
11
hrtq 15.0
5.0
5.011
5.0
%505.01
5.011
Po prob. de que no haya clientes en el sistema
b) No. de clientes que se pierde por la condición de que si el cliente que llega
encuentra 2 o mas clientes en el sistema se retira.
A = Pn=0 se queda B = Pn=3, se va
Pn=1 se queda Pn=4, se va
Pn=2 se queda Pn=5, se va, etc..
A + B = 100% o 1
B = 1 - A
10 PnPna
10 nPn
%505.005.15.00 0 Pn
%2525.005.15.01 1 Pn
%5.12125.005.15.02 2 Pn
%5.87875.0125.025.05.0 A (% clientes que se quedan)
%5.12125.0875.01 B Porcentaje clientes que se van
Una computadora procesa los trabajos que se le asignan sobre la base primeros en llegar primeros en ser atendidos. Los trabajos llegan de acuerdo con una distribución POISSON con un promedio de tiempo entre llegadas de 5 minutos. En el procesamiento de estos trabajos el objetivo consiste en que ninguno de estos pase más de 6 minutos en promedio en el sistema. Que tan rápido debe trabajar la computadora para cumplir con este objetivo.
Servidor: computadora
Cliente: trabajos
K=1
= 5 min/trabajo = 12 trab/hr I
=?
ts 6 min
Condición: el servicio no debe pasar más de 6 min
trabmin/16.5516.0min56
1
1 trab = 5.16 x=60/5.16=11.62trab/hr
x = 60 min = 11.62 trab/hr
Actualmente una gasolinera tiene 2 bombas y esta considerando agregar una tercera. Los vehículos llegan al sistema con un promedio de uno c/4 minutos, cada vehículo requiere un promedio de 5 min., para ser atendido. Suponga que los vehículos llegan de acuerdo con una distribución POISSON y que el tiempo necesario para prestar el servicio se distribuye en forma exponencial. ¿cuál seria su recomendación?
Sistema: gasolinera Clientes: vehículosServicio: bombas gasolina No. Servicio: 2
= 4 mino / vehículo = 15 v / h
= 5 min./ vehículo = 12 v / h
k=2
..%5.62625.024
15
212
15UF
x
15212
212
12
15
!2
1
12
15
!1
1
12
15
!0
1
1210
x
xPo
%07.232307.0332.4
1
0832.225.2
1
9
2425.12
125.11
1
2
Po
8011.02307.0*
2812.
9765.2307.0*
625.01!2
625.012
15
2
2
Lq
vehiculosLqLs 05.225.18011.012
158011.0
min81366.015
05.2 hrs
Lsts
utoshrsLq
tq min2.30534.015
8011.0
K=2 K=3
62.5% 41.66% f.v.
Po 23.07 27.86%
Lq 0.8011 Veh 0.1110 veh.
Ls 2.05 Veh 1.3610 veh.
Ts 8 minutos 5.44 min.
Tq 3.2 minutos 0.44 min.
La recomendación es de no agregar la tercer bomba,
ya que la infraestructura estaría subutilizada y este se traduce en pérdidas para la empresa.
Otro EjemploUna Cía. debe tomar una decisión con respecto a su política de contratar un mecánico para reparar las maquinas que se descomponen con una tasa promedio de 4/hr. De acuerdo con una distribución Poisson. El tiempo improductivo de cualquiera de las maquinas le cuesta $10/hr., a la Cía. La empresa puede contratar 2 tipos de mecánicos distintos: uno lento pero poco costoso ($2.50/hr.,) y el otro rápido pero mas costoso ($4.50/hr.,). El mecánico lento puede reparar exponencialmente las maquinas con una tasa promedio de 6/hr., mientras que el mecánico rápido puede repararlas exponencialmente a razón de 8 /hr., basándose en los datos anteriores ¿cuál mecánico debe contratarse?
Ejemplo:
Una Cía. aseguradora tiene 3 ajustadores de reclamaciones en una de sus oficinas. Se sabe que los clientes llegan en una forma poisson con una tasa promedio de 32 clientes/día de 8 hrs., para presentar reclamaciones en contra de la Cía., el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial y en promedio es de 30 minutos por cliente. Los clientes se atienden en base del primero que llega, primero que se atiende.
Cuantas horas a la semana se espera que pasa cada
ajustador con los clientes.La administración desea saber cual es el tiempo promedio
que pasa un cliente en las oficinas de la empresa.
Ejemplo:Una Cia. De ahorros tiene 4 cajeros para atender las cuenta-habientes. La Cia. Ha averiguado que las distribuciones del tiempo de servicio son exponenciales con un promedio de 6 min., por cliente. Se sabes que los clientes llegan durante el dia de forma poisson con un promedio de 30 x hra..
a) ¿Cuál es el promedio de clientes en la Cia.?b) ¿Cuanto tiempo en promedio pasa un cliente en el sistema?c) ¿Cuál es el numero de clientes promedio en linea de espera?d) ¿Cuánto tiempo espera un cliente antes de que le den el servicio?e) ¿Cuántas hrs./ semana dedica un empleado al desempeño de su trabajo?f) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado tenga que esperar a un cliente?g) ¿Cuál es el numero esperado de empleados desocupados en cualquier momento dado?
a) ¿Cuál es el promedio de clientes en la Cia.?b) ¿Cuanto tiempo en promedio pasa un cliente en el sistema?c) ¿Cuál es el numero de clientes promedio en linea de espera?d) ¿Cuánto tiempo espera un cliente antes de que le den el servicio?e) ¿Cuántas hrs./ semana dedica un empleado al desempeño de su trabajo?f) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado tenga que esperar a un cliente?g) ¿Cuál es el numero esperado de empleados desocupados en cualquier momento dado?
Ejemplo:En un taller mecánico 4 grúas elevadas dan servicio a cierto numero de maquinas de producción si todas las grúas están ocupadas y un mecánico debe esperar servicio el costo de tiempo de espera es de $4.5/hra. Por otra parte los gastos de administración de las grúas son de $5.8/hra. El promedio de tiempo de servicio se distribuye en forma exponencial con un tiempo de 20 min./ llamada. El vicepresidente encargado de manufactura quiere saber cuantas grúas se necesitan para mantener el mínimo tanto los costos de tiempo de espera de los mecánicos como los gastos generales de administración de las grúas. Utilice un día de 8 hrs., para los cálculos.
Ejemplo:Una Cia. Constructora desea adquirir palas mecánicas para el llenado de sus camiones motivo por el cual ha recopilado la sig. Información El tipo de pala que se desea adquirir tiene la capacidad de llenar 4.5 camiones /hra., y el tiempo de servicio se puede considerar exponencial. Se estima que los camiones llegaran a ser cargados a razón de 12.6 camiones /hra., de acuerdo con una distribución Poisson.
Se incurrirá en un costo fijo de $200 x día por cuestiones de depreciación y otros conceptos por c/ pala que se adquiera trabajando diariamente turnos de 8 horas. Se tendrá un costo extra cada vez que la pala esté en uso, siendo este de $50/hra., el salario para cada operador de pala mecánica es de $ 200/día (8hrs.), el departamento de contabilidad estima que la Cia. pierde $ 50 por cada hora que un camión este esperando sin recibir servicio. La Cia. Tiene capital para trabajar a lo máximo con 5 palas mecánicas. El gerente desea saber cual es el número óptimo de palas con que debe operar la Cia. Constructora.
Ejercicio: En un cierto Puerto se está considerando construir una Terminal para la Carga y Descarga de Barcos. Por razones financieras, así como de espacio físico para la construcción de dicha terminal, se ha determinado que solo se podrán construir dos tramos de atraque ( Un tramo para cada barco).
Por las características del lugar en que se va a construir la Terminal, puede elegirse entre tres diferentes tipos de instalaciones (Terminal I, II y III), las cuales varían tanto en su proceso constructivo como en el equipo e instalaciones que requieren. Para decidir cual de ellas construir se ha recabado la siguiente información:
Tabla:
Tipo de Terminal: Costo Fijo Costo Operación Tasa de Servicio:
Día / Tramo: día / Tramo:
I $ 27,000 $ 16,000 2.9 días/barco
II $ 30,000 $ 13,500 2.4 días/barco
III $ 35,000 $ 14,500 2.0 días/barco
Se considera que el servicio se ajusta a una distribución Exponencial. De datos históricos en terminales similares, se ha encontrado que la tasa promedio de buques que llegan a esas terminales es de 2.8 barcos por semana de acuerdo con una distribución Poisson. También se sabe que el tiempo que una embarcación permanece sin recibir servicio le cuesta a la empresa $ 50,000 por día por embarcación.
En base a la información anterior que tipo de Terminal se debe construir?
NATURALEZA ALEATORlA DE LAS LLEGADAS
Las llegadas a un sistema de líneas de espera se comportan generalmente de manera aleatoria entre las cuales predominan precisamente la aleatoriedad de estas llegadas. Dos formas se han utilizado para describir el comportamiento aleatorio de las llegadas, la 1º de ellas a través de la tasa de llegadas (# de clientes I unidad de tiempo) y en la 2º forma se ha recurrido al tiempo de llegadas.
El procedimiento sugerido para determinar el tipo de distribución teórica a la cual se puede ajustar una variable es el siguiente.
PROCEDIMIENTO PARA APLICAR UNA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTEUna prueba de bondad de ajuste se aplica
para verificar si un conjunto de datos se ajusta o no a una distribución teórica previamente supuesta. Específicamente la prueba de Ji cuadrada también llamada de las frecuencias, la cual consiste en contrastar las frecuencias observadas contra las frecuencias esperadas y ver si la diferencia es significativa o no. El procedimiento se puede resumir de la siguiente manera:
Primer Paso.- Plantear la hipótesis nula (Ho) que enuncia el tipo de distribución supuesto así como sus parámetros. La hipótesis alternativa será simplemente la negación de la hipótesis nula. La hipótesis se enunciara a partir de la distribución de frecuencias y su histograma correspondiente.Segundo Paso.- Para calcular las frecuencias esperadas (fe) se utilizara la siguiente expresión:
FE = n * P ( Xi)Donde;
FE = frecuencias esperadasn = tamaño de muestraP (Xi) = probabilidad teórica de la clase "X"
Esto implica que deben calcularse dos columnas: Una correspondiente a la probabilidad teórica lo cual se hace a partir de la formula de la distribución supuesta en Ho, y la otra columna para las frecuencias esperadas (FE).
Tercer Paso.- Para decidir si la variación que existe entre las frecuencias
observadas (Fo) y las frecuencias esperadas' (Fe) es significativa, será necesario
calcular un estadístico que sirva como juez para tal decisión. El estadístico a
utilizar será Ji cuadrada de tablas (X2 ,g, 1), donde:
= es el nivel de significación y varia del 1 % al 10%
gl = grados de libertad, el cual se calcula de la siguiente manera:
gl = k -p - 1
Y a su vez:
k= No. de Clases, intervalos o filas.
p= No. Constantes conocidas usadas para calcular (Fe)
La sumatoria de Ji cuadrada obtenida en la distrib. De frecuencias (X2 )
deberá compararse contra el valor de Ji cuadrada de tablas (x2 ,g, 1):
Si (X2 ) es menor que (X2 ,g, 1), se acepta la Hipótesis nula y por lo tanto
el promedio obtenido se puede usar como Tasa media de llegadas ( ) .
NATURALEZA ALEATORIA DEL TIEMPO DE SERVICIO
El tiempo de servicio de manera similar a las llegadas por lo general tiene un comportamiento aleatorio. El procedimiento para su estudio será el mismo diagrama del flujo que se presentó para las llegadas.
El caso mas frecuente que se presenta en la practica es la distribución exponencial. El objetivo nuevamente será validar a través de una distribución teórica de probabilidades a esta nueva variable de tiempo de servicio.
La prueba de Kolmogorov-Smirnov se utilizará para determinar si el conjunto de datos correspondientes, a los servicios se ajustan o no a una distribución teórica de probabilidades y su esencia radica en contrastar la distribución de probabilidades acumulada real contra la distribución de probabilidad acumulada teórica. Los pasos para su aplicación son:
Paso 1 :Establecer la Ho., a partir de la distribución de
frecuencias y su promedio. Paso 2 :Calcular la distribución de probabilidad acumulada
real a través de la frecuencia relativa acumulada. Paso 3 :Calcular la distribución. de probabilidad acumulada
teórica o esperada a partir de la distribución supuesta en la Ho.
Paso 4 :Obtener la diferencia en valor absoluto para
cada clase, de las distribuciónes de probabilidad e identificar la diferencia más grande en valor absoluto (Dmax)
Paso 5':'Comparar si Dmax < Dcrit, si es así se acepta
la Ho. Donde dmax es la máxima diferencia encontrada en el paso 4, mientras que dcrit se calcula de las tablas correspondientes fijando previamente el nivel de significación de la prueba (oc) y determinando el número de datos (n) sobre los cuales se esta realizando la prueba.
S I M U L A C I O NLa técnica de simulación ha sido durante mucho tiempo un instrumento importante del diseñador.
La Simulación se origino en los trabajos de John Von Neumann y Stanislaw Ulman a fines de la década de 1940, quienes trabajaron en el proyecto Montecarlo en la segunda guerra mundial resolviendo problemas de reacciones nucleares cuya solución experimental sería muy costosa.
Con el advenimiento de las computadoras a principio de la década de 1950, la Simulación ha hecho grandes progresos, y con las computadoras dio origen a innumerables aplicaciones a los negocios.
La Simulación consiste en la construcción de cierto tipo de modelo matemático que describe el funcionamiento del sistema en términos de eventos y componentes individuales.
La Simulación se ha definido como:
Etapas de un Estudio de SimulaciónDefinición del Sistema.- Consiste en determinar
la interacción del sistema con otros sistemas, las variables que interactúan dentro de este y sus interrelaciones, las medidas de efectividad a usar y los resultados que se esperan.
Formulación del Modelo.- En la formulación del modelo es necesario definir todas las variables que forman parte de él, sus relaciones lógicas y los diagramas de flujo que describan en forma completa al modelo.
Colección de Datos.- Consiste en definir con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para producir los resultados deseados.
Implementación del modelo (en computadora).- Decidir si se utiliza algún lenguaje de programación o algún paquete existente (GPSS, Simula, Simscript).
Validación.- En esta etapa es posible detectar deficiencias en la formulación del modelo o en los datos que lo alimentan.
Experimentación.- Consiste en generar resultados deseados y en realizar análisis de sensibilidad.
Interpretación.- Es la interpretación de los resultados que arroja la Simulación y en base a esto tomar una Decisión.
Documentación.- Consiste en realizar dos tipos de documentación, una de Técnica y otra para el Usuario.
Factores a Considerar en el Desarrollo del Modelo de SimulaciónGeneración de Variables Aleatorias no
Uniformes.- Se debe contar con un generador de números uniformes y una función que transforme estos números en valores de la distribución de probabilidad deseada. (Normal, Exponencial, Poisson, etc.).
Lenguajes de Programación.- Aquí se tienen dos variables alternativas a seguir: Desarrollar el Software requerido para el Estudio de Simulación o Seleccionar un Software de entre los varios paquetes de Simulación.
Condiciones Iniciales.- Usar un tiempo de Corrida suficientemente grande, Utilizar Simulación Regenerativa.
Tamaño de la Muestra.- La selección de un tamaño adecuada del número de corridas, asegura un nivel de precisión y a la vez minimiza el costo de operación del modelo.
Diseño de Experimentos.- El diseño de Experimentos puede ser de varios tipos, dependiendo de los propósitos específicos que se hayan planteado.
V E N T A J A S1. Permiten experimentar con un modelo abstraído del sistema real
que esta funcionando.
2. Una observación detallada permite entender el sistema y sugerir estrategias que mejoren la operación y eficiencia del Sistema.
3. Permite entender mejor la operación del sistema, detectar las variables que interactúan y las interrelaciones entre estas.
4. Se puede experimentar con nuevas situaciones sobre las cuales se tiene poca o ninguna información anticipando resultados no previstos.
5. Se puede utilizar para entrenar y dar experiencia a cierto tipo de personal.
D E S V E N T A J A S:1. La Simulación no es Precisa, no es un proceso de
optimización.
2. Un buen Modelo de Simulación puede ser muy caro y a menudo tarda años en desarrollar un modelo utilizable.
3. No todas las situaciones se pueden evaluar usando Simulación.
4. La Simulación genera una forma de evaluar las soluciones, pero no genera soluciones por si misma.
El método de Montecarlo se usa para resolver problemas que dependen de la probabilidad, en los que la experimentación física es impracticable y donde es imposible la creación de una formula exacta.
El Método de Montecarlo es una simulación con técnicas de muestreo, o sea que en vez de obtener muestras de una población real, se obtiene de un duplicado teórico de la población real. Comprende la determinación de la distribución de probabilidad de la variable de que se trate, para obtener luego una muestra de esa distribución mediante números aleatorios.
GENERADORES DE NÚMEROS SEUDO ALEATORIOS
Método Congruencial Mixto.-
)(1 CAXX nn (Módulo M)
Donde; nX Número aleatorio cualquiera, llamado semilla.
A < M
C < M
M Número deseado de valores a generar.
Método Congruencial Multiplicativo.- Idéntico al congruencial mixto,
pero C es igual a cero.
PRUEBAS PARA NÚMEROS SEUDOALEATORIOS
Prueba de Bondad de un Ajuste.- Comparar frecuencias reales contra
observadas en una distribución de frecuencias de números seudoaleatorios.
022 XX
Prueba de los Promedios.- Para realizar esta prueba se siguen estos pasos:
1. Se obtiene la media aritmética de los números seudoaleatorios.
2. Determinar al valor del estadístico en unidades de:
21
21
_
0
NX
Z
3. Si 0Z < Z, entonces se acepta la hipótesis de que los números generados,
provienen de un universo uniforme y se consideran aleatorios. Z se obtiene
de las tablas de una distribución normal y el nivel de significación.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov.- La cual consiste en calcular las desviaciones para cada intervalo, de la probabilidad acumulada real contra la teórica, para posteriormente comparar la desviación máxima con la desviación critica obtenida de las tablas respectivas.
Si: .,max critDD se concluye que los números generados provienen de una distribución uniforme y los números se pueden considerar aleatorios
NÚMEROS SEUDO ALEATORIOS
0.78961 0.05230 0.10699 0.55877 0.14151
0.76086 0.12079 0.27738 0.65726 0.79269
0.80548 0.82654 0.29453 0.20852 0.42989
0.58518 0.98611 0.34488 0.34358 0.11537
0.89898 0.57880 0.67621 0.05010 0.00121
0.28269 0.73059 0.70119 0.18284 0.49962
0.38618 0.76910 0.68334 0.55170 0.10850
0.79982 0.45679 0.21631 0.87616 0.55743
0.58962 0.33216 0.03185 0.61168 0.09264
0.69623 0.17028 0.05475 0.91512 0.76262
0.29931 0.30861 0.83358 0.51781 0.03272
0.57410 0.26593 0.85903 0.43308 0.35286
0.24000 0.65559 0.38507 0.90829 0.94187
0.93655 0.88809 0.81772 0.36982 0.19904
0.54325 0.62400 0.09133 0.41678 0.33954
0.58244 0.85853 0.88752 0.33729 0.15506
0.23949 0.53559 0.33381 0.49383 0.75103
0.19962 0.65002 0.74579 0.79113 0.63453
0.19147 0.40644 0.08128 0.73435 0.22724
0.22287 0.07281 0.64183 0.44267 0.72102
CARACTERÍSTICAS QUE DEBEN CUMPLIR:
1. Ser Uniformemente Distribuidos.2. Ser Estadísticamente Independientes.3. Ser Reproducibles en un periodo largo, sin
repetición.4. Ser Generados a través de un método
rápido.
EJEMPLO 1.Una empresa que se dedica al servicio de pesado de vehículos actualmente posee una sola báscula (servidor). El servicio consiste básicamente en pesar las unidades automotrices, cobrarles y extender la factura correspondiente. Un estudio de campo arrojó que el tiempo de servicio se comporta de acuerdo a una distribución uniforme con tiempos que van de los 2.0 a los 8.5 minutos. Asimismo, encontró que los vehículos llegan a razón de 9 vehículos por hora en promedio, y que dicha tasa de llegadas se ajusta a una distribución Poisson. Los vehículos son pesados en el orden en que llegan.
Se pide:a)Obtener los generadores para cada
variable.b)Construir un modelo que permita simular
dicho sistema como un problema de líneas de espera y determinar: El tiempo promedio de espera: E(tq) El tiempo promedio que pasa un cliente en el
sistema: E(Ts) La intensidad de trafico: La probabilidad de que un cliente tenga que esperar
PE
EJEMPLO 2.A una central de abastos llegan a descargar en
promedio 6 camiones por hora, siguiendo una distribución Poisson. El 40% de los camiones que llegan a dicha central traen carga tipo A, el 35% trae carga tipo B y el 25% restante trae carga tipo C.
El tiempo empleado para la descarga de los
camiones se considera que sigue una distribución normal cuyos parámetros dependen del tipo de carga y se proporcionan en la siguiente tabla:
Tipo de carga Tiempo medio ( ) de descarga
(minutos)
Desviación estándar (σ) (minutos)
A 25 4
B 32 5
C 18 3
Partiendo de las 8:00 am., simule el tiempo entre llegadas para 10 camiones:
Indicar para cada caso:La hora de llegada Tipo de carga que traeTiempo que se empleara para descargarlo
Calcular para dicho sistemaEl tiempo promedio de esperaLa intensidad de traficoLa probabilidad de que espere un camión.
EJEMPLO 3. NEGOCIO DE LAVADO DE AUTOS
Se proyecta instalar un negocio de Lavado de Autos. Se estima que los clientes
llegaran a una razón de 25 veh/hora (~ Poisson). El lavado se hará utilizando
máquinas con sus respectivos operadores y se puede ajustar el tiempo de Lavado a
una Distribución Normal con:
min3.8 y 22 (min)1.3
Se estima que si un cliente llega y encuentra 4 vehículos o mas esperando (antes que el), rehúsa entrar al sistema. También se ha observado (en negocios similares) que si permanece en la cola (sin que lo atiendan) 10 min. o mas entonces abandonara la Línea de Espera (que es única).
La posibilidad de que una máquina falle en un día cualquiera es de 0.05 (y la misma probabilidad para cada maquina).
Proponga un # de maquinas (y sus respectivos operarios) haciendo un análisis y demostrándolo.
Obtenga todos los generadores.Construya un modelo de simulación (como modelo
de Líneas de Espera) que incluya todas las variables y posibles eventos mencionados en el problema y simule 20 servicios, y obtenga los parámetros de salida, tales como: E(tq), E(Ts), ρ, PESPERE, etc.
Obtenga un intervalo de confianza para E(Tq).