Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Közlekedésmérnöki Kar Repülőgépek és Hajók Tanszék

Diplomamunka

A Mi-24-es helikopter porkiválasztó berendezésének vizsgálata

Készítette : Mórocz László Gyula Konzulens: Veress Árpád egyetemi tanársegéd Lohász Máté doktorandusz (Áramlástan Tanszék)

Várpalota 2004. 01. 10.

2

Tartalomjegyzék: A használt jelölések....................................................................................................................3 1. Bevezetés……………………………………………………………...……..................5 2. A PZU-ról………………………………………………………………………..….....5

2.1. A helikopter és a hajtómű.............................................................................................5 2.2. A porkiválasztás szükségessége….…………….……...….………………………….6 2.3. A PZU működési elve……………………………………….………...…………….10

3. Numerikus áramlástani módszerek………….…………..………………..14

3.1. Az áramlások leírása...................................................................................................14 3.2. A numerikus áramlástan tanulmányozása……...……………………………………15 3.3. Az abakusztól a 4 GHz-ig………………………...…………………...…………….16 3.4. Alkalmazási területek……………………………...………………...………………19 3.5. A megfelelő módszer kiválasztása..............................................................................20

3.5.1. Véges differenciák módszere (VDM)..........................................................20 3.5.2. Véges elemek módszere (VEM)..................................................................22 3.5.3. Véges térfogat módszere (VTM).................................................................26

4. Elért eredmények …………………………………………….……………..……30

4.1. Saját fejlesztésű program és eredményei……….………….……………..…...…….30 4.1.1. A program érvényesítése…………………………………………………..31 4.1.2. A program alkalmazása a PZU-ra……………………………………...….33 4.1.3. A porkiválasztás numerikus vizsgálata……………….……………...……37

4.2. Fluent alkalmazásával elért eredmények……………………………………………41

4.2.1. A Fluent adta lehetőségek…………………………………………………41 4.2.2. Az alkalmazott geometria vizsgálata………………………………...........43 4.2.3. Jobb kialakítás keresése…………………………………………………...51

5. Összegzés……………………………………………………………………………...59 6. Mellékletek………………………………………………………………………...…60

6.1. Néhány szó a CD mellékletről……………………………………………………....60 6.2. A program blokkdiagramja………………………………………………………….61

7. Köszönetnyilvánítás……………………………………………...………………64 Irodalomjegyzék........................................................................................................................65

3

A használt jelölések a hangsebesség [m/s] M Mach-szám U konzervatív változók vektora F konvektív fluxus vektor (x komponens) G konvektív fluxus vektor (y komponens) Hr

teljes fluxus vektor D disszipációs fluxus vektor E teljes energia [J/kg] e belső energia [J/kg] h0 teljes entalpia [J/kg] R specifikus gázállandó [J/kgK] p nyomás [Pa] T hőmérséklet [K] ρ a levegő sűrűség [kg/m3] dS felület elem oldalhossza [m] Vr

sebesség vektor [m/s] x,y,z térbeli koordináták u sebesség vektor x irányú komponense [m/s] v sebesség vektor y irányú komponense [m/s] w sebesség vektor z irányú komponense [m/s] τ csúsztatófeszültség az adott keresztmetszetben [Pa s], υ kinematikai viszkozitási tényező [m2/s]. µ dinamikai viszkozitási tényező [Pa s] α áramlási sebesség x iránnyal bezárt szöge t idő [s] Cv állandó térfogaton vett fajhő [J/kgK] Cp állandó nyomáson vett fajhő [J/kgK] κ a levegő adiabatikus kitevője Ω egy cella területe [m2] Nf egy cella oldalainak száma k segédváltozó L egy adott szakasz hossza N az adott szakaszon lévő rácspontok száma ∆ξ két rácspont közti távolság A adott keresztmetszet területe [m2] Np a tartomány összes cellájának száma H repülési magasság [m] c sebesség abszolút értéke [m/s]

Svr a porszemcse sebessége [m/s]

relvr a porszemcse levegőhöz képesti relatív sebessége [m/s] ar a szemcse légellenállás hatására létrejövő gyorsulása [m/s2]

DFr

légellenállás [N] m a porszem tömege [kg] d a porszem átmérője [m] cx légellenállástényező

4

Re Reynolds-szám pρ a porszemcse anyagának sűrűsége [kg/m3]

cfar centrifugális gyorsulás [m/s2] r a porszemcse pillanatnyi pályasugara [m] ∇r

nabla operátor er egységvektor nr felület elemből kifelé mutató normálvektor m& tömegáram [kg/s] QRAS cellák torzultságát jellemző szám Θmax cellák oldalai által bezárt legnagyobb szög Θmin cellák oldalai által bezárt legkisebb szög ω nyomásveszteségi tényező Indexek x,y a derékszögű koordinátarendszer irányai i,j cellaindexek in belépő perem out kilépő perem 0 torlóponti jellemző n adott felületre ill. szakaszra merőleges veszt veszteség v viszkózus közegre vonatkozó n időléptetés szintje rel relatív S szemcse D légellenállás kip a kilépő keresztmetszet azon része, melyen a porban dús koncentrátum halad át kil a kilépő keresztmetszet azon része, melyen a portól megtisztított levegő halad át

5

1. Bevezetés

Diplomamunkám témájának az ötlete a 2002-es nyári gyakorlatom során született, melyet a Magyar Honvédség 87. Bakony Harcihelikopter Ezredénél teljesítettem Szentkirályszabadján. Itt sok más egyéb mellett megismertem a helikopterekhez használt porkiválasztót, melyre a PZU (Puskozaryazhayuschaya Ustanovka) rövidítés terjedt el. A PZU az Isotov TV3-117-es hajtóműhöz alkalmazott porkiválasztó berendezés. Ezt a hajtóművet alkalmazzák például a Mi-24-es harcihelikopteren.

Amint megértettem a berendezés működési elvét, rögtön az jutott eszembe, hogy a porleválasztás folyamata remekül vizsgálható lenne a mai modern tervezésben alakalmazott numerikus eljárásokkal és vajon mennyire jó hatásfokkal üzemel a jelenleg alakalmazott kialakítás, melyet négy évtizeddel korábban, számítógépek nélkül, a hagyományos analitikus módszerekkel terveztek.

Célul tűztem ki, hogy megpróbálok olyan szerkezeti kialakítást találni, amely esetleg jobb hatásfokkal üzemel, mint a most használt.

A jelenkor politikai eseményei (afganisztáni és iraki háború) kiemelt aktualitást adtak a helikopterek poros környezetben való üzemeltetésének, ezáltal diplomamunkám témájának is.

A továbbiakban röviden a Mi-24-es helikopter történetét és tulajdonságait tekintem át.

2. A PZU-ról 2.1. A helikopter és a hajtómű

A hatvanas évek közepén, amíg nyugaton a helikoptert elsődlegesen szállító és mentőeszköznek tekintették, addig a Szovjetunióban annak speciális harci változatán gondolkodtak. A Mi-8-as közepes szállítóhelikopter sárkányát és hajtóművét továbbfejlesztve, az első tesztekre 1970-ben került sor, amelyekkel 368 km/óra sebességrekordot értek el. Ezzel ma is a világ egyik leggyorsabb helikoptere. A Mi-24-es elsődlegesen tankelhárító, de a desszanttérben szállítható nyolc felfegyverzett katonával más feladatkörben is kiválóan bevált. Az oroszok Afganisztán elleni háborújában vetették be először élesben, és kiérdemelte a „repülő lőszeresvagon” elnevezést. Néhány fontosabb adat a gépről [3]: Méretek Főrortor átmérő: 17m Törzshossz: 18,5m Teljes magasság: 6,5m Súlyadatok Max. felszálló súly: 11t Üres súly: 7,5t Teljesítmény Harci hatósugár: 160km Max. lebegési magasság: 2200m Max. repülési magasság: 4500m Max. emelkedési képesség: 900m/p

6

Védelem Páncélozott pilótafülke, hajtómű, reduktor és infrazavaró Személyzet: 2 fő pilóta (elöl: fegyverzetkezelő, hátul: helikoptervezető parancsnok)

Fénykorában több, mint 1000 gép állt a Vörös Hadsereg alkalmazásában, és sokat exportáltak Kelet-Európába, a Közel-Keletre és a harmadik világ országaiba. 2.2. A porkiválasztás szükségessége Az előzőekben tárgyalt földrajzi helyszínek számomra azért fontosak, mert itt kapcsolódunk dolgozatom fő témájához, a PZU-hoz. Az arab és afrikai országokban ugyanis kénytelenek a gépeket poros környezetben üzemeltetni. A beszívott homokszemek a hajtóműre rendkívül károsak, mert először a kompresszorlapátokkal találkoznak kiszakítva belőlük egy aprócska kis részt (ez az un. pitting). A kiszakított darab nagysága függ – habár nem számszerűsíthetően – az időegység alatt becsapódó részecskék számától, tömegétől, sebességétől, a becsapódás szögétől, valamint a porszemek és a lapátok anyagától. Az 1. Ábrán egy erősen kopott kompresszor futólapát, és első fokozati állólapátsor egy részlete látható.

1.Ábra. Kopott kompresszor futó- és állólapátok

A kipattogzódások a lapátok felületét durvává teszik, emiatt az áramlási viszonyok romlanak, extrém esetben a kompresszor hatásfoka 20 %-al is csökkenhet. A pitting a helyi feszültségeket növeli, így a lapátok kifáradási határát is csökkenti.

Különösen veszélyes, ha a közepén kopik el egy lapát, mert ekkor a megnövekedett helyi feszültség miatt üzem közben eltörhet, ezután vagy a hajtómű házát egy helyen átszakítva távozik, vagy a beszívott levegővel együtt végigvándorol a hajtómű többi részén, és olyan súlyos deformációkat okozhat a többi lapáton, hogy az egész hajtóművet selejtezni kell. Vannak olyan szennyeződések is, amelyek nem pitting-szerű kopást okoznak, hanem rárakódnak a lapátok felületére. Ilyenek az olajok gőzei, a füst és a tengeri só. A lapátok felülete ezáltal is durvává válik, és jelentősen megváltozhatnak a lapátok aerodinamikai jellemzői. Ezeken kívül nagy gond az is, hogy a lerakódások vagy kipattogzások által csökkentett vagy megnövekedett keresztmetszet a kompresszorban és a turbinában a hajtómű teljesítményének csökkenését okozza. Ha a beszívott por tartalmaz nátriumot, káliumot, vanádiumot vagy ólmot, ezek az égéstérben kémiai reakcióba lépnek az oxigénnel és a kénnel (melyek az üzemanyagban vannak különféle vegyületek formájában), és olyan fém-oxidok, és szulfidok keletkeznek,

7

melyek megbontják az égéstér és a turbina védő oxidrétegét. Ezáltal a forró gázzal érintkező részek sokkal gyorsabban korrodálódnak.

A General Electric tanulmánya szerint kopás szempontjából a 10 µm-nél kisebb porszemek nem veszélyesek, az ennél nagyobbak igen [9]. Röviden összefoglalva az eddigiek lényegét : a beszívott por káros, mert csökkenti a hajtómű élettartamát.

2. Ábra. A helikopter által megmozgatott levegő A helikopter-hajtóművek külső szennyeződéstől való védelme azért nagyon fontos, mert ezek a repülőeszközök feladataik egy részét földközelben, kis sebességgel repülve, vagy függési üzzemmódon hajtják végre, mikor a forgószárny által megmozgatott levegő magával ragadja a föld felszínén található szennyeződést, port, és ez – a 2. Ábrán bemutatottaknak megfelelően – visszakerülhet a hajtómű szívási zónájába. Ezenkívül földi hajtóműpróba, kigurulás és nekifutás alkalmával az idegen tárgy hajtóműbe kerülésének ugyancsak fennáll a veszélye, ami sérüléshez, leálláshoz vezethet [10]. Nyári gyakorlatom során a helikopterek üzemeltetését tanulmányozva láttam olyan gépet, amelyiken alig lehetett látni a kompresszor belépő keresztmetszetét, mert olyan sok fűszál akadt el a szeparátorban. Pedig mondhatni, hogy por szempontjából nálunk az üzemeltetés körülményei ideálisak… Ha egy helikopter nem előkészített terepen száll le, akkor bármit beszívhat még nálunk is, hát még egy sivatagos országban. Ismert, hogy a közelmúltban és most milyen sok helikoptert használnak száraz éghajlatú országokban (gondoljunk csak az Öböl-háborúkra, az afganisztáni eseményekre, ill. az évente megrendezésre kerülő Párizs Dakar-ralira). A speciális gyártási technológia és az alkalmazott szerkezeti anyagok miatt viszont a hajtóművek nagyon drágák. Egy idő előtti hajtóműcsere elkerülése érdekében tehát fontos a szennyeződések minél nagyobb részének kiszűrése. E célból alkalmazzák a Mi-24-esen a PZU-t. Megjegyzem, hogy nem csak a „Mihu-n” alkalmazzák a PZU-t hanem mindazon gépeken, amelyek erőforrása a TV3-117 (így pl:. Mi-17, Mi-8, Mi-28, Ka-27, Ka-29, Ka-32, Ka-50, Ka-52). És természetesen ez nem csak egy hajtóműtípushoz kötődik, hanem ehhez hasonlót használnak például az amerikai Apache-on is. Mielőtt a porkiválasztó működésének ismertetésébe kezdenék, nézzük, hova van ez beépítve a gépen.

8

3. Ábra. A Mi-24-es harcihelikopter

A 3. Ábrán látható a pilótafülke és a rotoragy közti két hajtómű. Ezek elején van két gomba alakú képződmény: a PZU. Látható a gombából kijövő cső, az ejektor. A 4. Ábra a kiszerelt hajtóművet mutatja.

4. Ábra. A TV3-117-es hajtómű

9

A 4. Ábra jobb oldalán látható a gázelvezető cső, a bal oldalon a kompresszor, felette a bonyolult szabályzórendszer. A PZU-t a szívócsatorna elejére szerelik, tehát a kép bal oldalán lenne. A hajtómű fontosabb adatai [3]: Hajtómű típusa:………………….....................................................szabadtengelyes gázturbina Hajtómű méretei, mm: -hossza a segédberendezésekkel és a gázelvezető csővel………………………..…….2085 -szélessége…………………………………………………………………………….…640 -magassága………………………………………………………………………………725 Forgórészek forgási iránya /ha repülési irányba nézzük/:……………………….......……..balra Kompresszor -típusa:……………………………………………………………………………..…axiális -fokozatok száma:………………………………………………………………………...12 -nyomásviszonya:……………………………………………………………………...9-9,5 Égőtér:………………………………..gyűrűs, 12 fejjel ellátva a tüzelőanyag fúvókák számára A kompresszor turbinája:…………………………………………………...axiális, kétfokozatú Szabad turbina:……………………………………………………………..axiális, kétfokozatú Gázelvezető rendszer:……………….nem szabályozható, a gázelvezetés egy csövön keresztül a hajtómű tengelyéhez viszonyítva 25 fok alatt Súly, kp:………………………………………………………………………………...285±2% Szabadtengelyen levehető teljesítmény felszálló üzemmódon…………………………2100LE Hajtómű üzemanyag fogyasztása utazó üzemmódon……….…………………......kb. 400 l/óra

10

2.3. A PZU működési elve

5. Ábra. A PZU metszete A PZU beömlő csatornából (6), középső részből /gomba (1) /, leválasztóból /szeparátor (42) /, a beömlő csatorna és az ejektor borítólemeze közötti összekötőből, csővezetékekből (8,9,stb) és jégtelenítő rendszerből áll (5. Ábra). Ez utóbbinak a porkiválasztáshoz semmi köze sincs, ezért ezzel a továbbiakban nem foglalkozok. A porvédő szerkezet peremével (40) a hajtómű mellső pereméhez van rögzítve.

40

21

22

11

A gomba a mellső áramvonalazóból (21) és a hátsó áramvonalazóból (22), valamint a tartókból (3,4,5,69) áll. A mellső áramvonalazót alátéttel biztosított anya rögzíti a forgatható csőhöz (2) erősített perem menetes részéhez (5). A poros levegő keresztülhalad a gomba (1) és a szívócsatorna (6) közti körgyűrű alakú részen (a). A centrifugális erő hatására a porrészecskék nekiszorulnak a hátsó áramvonalazó

felületéhez, és a levegő egy részével együtt mozogva a szeparátor bemenetére – a ’c’ csatornába jutnak. Ezzel a tisztítás első lépcsője megtörténik, mert a levegő portól elvileg megtisztult nagyobbik része a ’b’ csatornán át a kompresszorba jut. A mellső áramvonalazót három tartó, végén csavarral (10,11) rögzíti a szívócsatornához (6. Ábra). A 6. Ábrán kitöréssel van ábrázolva az ejektor, amely a kompresszortól megcsapolt sűrített levegővel fújja ki a port az 5. Ábrán V-tel bekarikázott helyről a gép borításán kívülre.

6. Ábra. A PZU elölnézete

A 7. Ábrán látható a szeparátor, amely a tisztítás második lépcsőjének szerepét látja el. Négy gyűrűből áll, amelyeket két vízszintes és két függőleges borda fog össze.

Itt a ’d’ gyűrűközi csatornákban kavargó mozgással átáramolva a levegő poros része megtisztul, a ’b’ csatornába jut, majd onnan a kompresszor bemenő keresztmetszetéhez érkezik.

A levegő kisebb poros része az ’e’ csatornába jut, majd onnan a porelvezető csőbe, ahonnan az ejektor kifújja a környezetbe. Az ejektor a 8. Ábrán látható. 7. Ábra. A szeparátor

12

8. Ábra. Az ejektor

A 8. Ábrán a 39-es csőből érkezik a kompresszortól elvezetett levegő és az 57-es fúvóka körül a Bernoulli-elv érvényesülésének köszönhetően kiszívja a porkoncentrátumot a szeparátortól érkező csőből. A működési elv kapcsán meg kell említeni, hogy szembetűnő a hasonlóság az emberi test „porkiválasztó berendezése” (az orr és a légcsövek) és a PZU között. Az orrüregünk – melyet az orrkagylók több melléküregre tagolnak – alakja olyan, hogy a belélegzett levegő majdnem 180˚-os fordulatot vesz, tehát a benne levő porra is hatni fog a centrifugális erő, mely az orr nyálkahártyája felé tereli a porszemeket, ahol azok megtapadnak és a hám váladékával együtt a szervezetből távoznak (az orron vagy az emésztőrendszeren keresztül). A porszemek leválasztásában segítenek a hámot borító csillószőrök is. Azok a porszemek, melyek az orrüregben nem akadnak el, a légcsövekbe jutnak, melyek hörgőkre ágaznak el. A hörgőkben az áramlás már annyira lassú, hogy a porszemcsék súlyuknál fogva leüllepednek, és a csillószőrrel borított nyálkahártya váladékával együtt jutnak ki a testből [15][19]. Műszaki nyelven szólva tehát az ember porkiválasztó berendezése egy inerciális, egy szitaszűrő és egy üllepítő porkamra együttes alakalmazásából áll.

13

Tudjuk, hogy számos technikai újításnál az ember a természettől lesett el remek megoldásokat. Ez igaz a repülés történetére is, hiszen már a repülés úttörői (Leonardo de Vinci, Otto Lilienthal, Wright fivérek) is a madarakat tanulmányozva jutottak el kezdetleges szerkezeteikhez. Azt nem lehet tudni, hogy ki volt az első, aki a PZU-hoz hasonló porkiválasztót tervezett, és azt sem, hogy annak idején ő gondolt-e az ember légzőszerveire, mindenesetre az analógia nyilvánvaló.

Dugattyús motorok esetében sűrű szövésű acélhálót vagy papírt használnak, olajba itatva a jobb pormegkötés érdekében. Az iparban, a környezet és az ember egészségének megóvása érdekében sokféle más levegőtisztító berendezést alkalmaznak (pl. ütközéses és zsalus leválasztók, porkamrák, ciklonok, különféle töltőanyagú rétegszűrők, nedves porleválasztók, mágneses térrel működő porleválasztók). A felsoroltak közül a ciklonok működési elve hasonlít a PZU-hoz, amelyekben a porszemcsék szintén a centrifugális erő hatására különülnek el, de ezekben a csöves kialakítású gépekben a cső szimmetriatengelye körül a levegő örvénylő mozgással áramlik, melyre még tengelyirányú sebességkomponens is szuperponálódik. A levegő számos „fordulatot tesz meg”, mire az örvénycső bemenetéről a kimenetre jut, így a ciklonokban nagyok az áramlási veszteségek [16]. Ugyanez a probléma a felsorolt többi porleválasztó típussal is: nagy a létrejövő nyomásveszteség.

Gázturbinák esetében ez nem engedhető meg, mert ha a kompresszor előtt erősen csökken a nyomás, kisebb lesz az égéstér előtt és után is, így a turbinán az expanzióból nyerhető munka is kevesebb lesz. Röviden: csökken a munkaturbina szabadtengelyéről levehető teljesítmény. Ezért csak a PZU, és a hozzá hasonló kialakítású inerciális elven működő porleválasztók alkalmazhatók, melyeken kicsi a nyomásveszteség.

14

3. Numerikus áramlástani módszerek

3.1. Az áramlások leírása

A 19. sz. eleje óta ismertek azok a fizikai törvényszerűségek, amelyek a folytonos áramlás dinamikáját írják le. Ezek a törvényszerűségek azon a megfigyelésen alapulnak, amely szerint három alapvető elv valósul meg az áramlás során. Ezek rendre a tömeg-, az impulzus- és az energiamegmaradás, amelyek parciális differenciálegyenlet (PDE) formájában öltenek matematikai alakot. A Navier-Stokes (NS) megmaradási egyenleteket M. Navier és G. Stokes tudósokról nevezték el, akik egymástól függetlenül, elsőként írták fel őket. Az egyenletek teljes mértékben leírják a folytonos áramlástani jelenségeket, függetlenül attól, hogy milyen egyéb külső hatás éri a vizsgált rendszert. A NS-egyenletrendszer nemlineáris, másodrendű, hibrid (parabolikus és hiperbolikus) típusú, napjainkig zárt alakban nem létezik megoldása. Sajnos, még a közönséges differenciálegyenleteknek is csak egy részére van egzakt megoldási módszerünk, az esetek nagy részében csak közelíteni tudjuk a pontos eredményt.

A számítógépek gyors fejlődésének köszönhetően (3.2. alfejezet) azonban, egyre inkább előtérbe kerülnek az áramlástan azon numerikus módszerei, amelyek segítségével számokkal helyettesíthetők a kiinduló egyenletek állapotváltozói és egy megfelelően választott eljárás véges differencia módszer -- Finite Different Method (FDM), véges elemek módszere -- Finite Element Method (FEM), véges térfogatok módszere -- Finite Volume Method (FVM) segítségével meghatározhatók a keresett áramlástani paraméterek. A numerikus megoldás részét képezik a peremfeltételek és kezdetiértékek, ezeket kiegészítve a konzisztenciára, (numerikus) stabilitásra és a konvergenciára vonatkozó feltételrendszerrel, a valóságos áramlásra mérnöki-fizikai szempontból, esetenként, igen jó közelítést is kaphatunk.

A pontos közelítésre az élet számos területén szükség van: gondoljunk csak az űrhajózásra, a repülőgépekre, vagy az atomenergia felhasználásra, ahol 100%-os biztonságra van szükség [1].

Az említett közelítés egyes lépései a következőképpen valósulnak meg: 1. Lépés: Geometriai diszkretizáció

A számítás terét, melyet az áramlás geometriai határai egyértelműen kijelölnek, véges

sok cellára (elemre) osztjuk fel. A felosztás eredményeként egy numerikus hálót kapunk. A hálógenerálási eljárás igen bonyolult lehet a geometria komplexitásától függően, ezért nem csoda, hogy ez ma már a numerikus módszereken belül is egy külön „tudományterületté” nőtte ki magát.

A cellák lehetnek három-, vagy négyszög elemek, illetve ezek térbeli megfelelői, de más tetszőleges elemek is alkalmazhatók.

Az aktuális eredmény diszkrét sorozatként egyaránt számolható a cellák középpontjában és sarokpontjaiban is.

A háló lehet strukturált, jól definiálható irányokkal, illetve nem strukturált, azaz orientáció nélküli [1]. 2. Lépés: Alapegyenletek diszkretizálása

A differenciálegyenleteket folytonosról diszkrét alakra kell hozni. A három legelterjedtebb diszkretizációs technika:

15

-véges differenciák módszere -véges elemes módszer -véges térfogat módszere

Az utóbbi módszer lényege, hogy a megoldás során mérlegegyenletek írhatók fel a cellákba belépő, illetve kilépő tömeg, impulzus és energia fluxusokra.

Az egyenletek megoldása során, az egész számítási térre vonatkozóan fluxusegyensúly alakul ki.

A megoldás módszerének központi eleme a diszkretizáció jósága [1]. 3. Lépés: A diszkretizált egyenletek megoldása

Az alapegyenleteket egy lineáris vagy nem lineáris algebrai egyenletrendszerré lehet átalakítani, minden változóra, minden csomópontban.

A tranziens folyamatoknál, általában, a megoldást explicit időléptetéses módszerrel célszerű előállítani (könnyű programozhatóság, kevesebb gépidő, de stabilitási problémák).

Stacioner problémák esetén az egyenleteket az explicit vagy inkább az implicit (nehezebb programozhatóság, hosszabb gépidő, de feltétel nélküli stabilitás) időléptetéses módszerek segítségével oldhatjuk meg.

Az implicit módszer esetén szükséges lehet egy a nagy, sávos mátrix-egyenleteket effektíven megoldó eljárás.

A kutatások egy része az olyan konvergenciagyorsító technikák irányába is folyik, mint például több-hálós (multigrid) technikák, amelyekben hierarchiát definiálnak különféle finomságú felosztások között.

3.2. A numerikus áramlástan tanulmányozása

Kihívást jelentenek a CFD (Computational Fluid Dynamics, magyarul: numerikus áramlástan) területén a turbulencia modellek, hangsebesség feletti áramlások, komplex geometriák.

A leírtak után felvetődhet a kérdés, hogy miért kell a numerikus módszereket tanulmányozni, amikor megfelelő kereskedelmi programok (Pl.: CFX, FLUENT, COSMIC NASA) állnak rendelkezésre? A válasz erre az, hogy kész szoftvereket csak akkor lehet tudatosan és átfogóan alkalmazni, ha a programok szellemét elsajátította az alkalmazó. Ez pedig csak akkor lehetséges ha az alkalmazó minden programlépésnél tudatában van annak, hogy mit tesz, és hogy ez a tevékenység milyen hatással van cselekedetére a számítás során [2]. Saját program írásának tehát a következő előnyei vannak: - probléma specifikus, az adott feladatra van kidolgozva - könnyen használható, windows kompatibilissé tehető - parametrikus - automatikus rajzolási rendszer építhető bele - automatikus hálógenerálás, tehát ha a kontúrok pontjai megvannak, akkor az adott tartományt ugyanazon algoritmussal könnyen behálózhatjuk

- a peremfeltételek tetszőlegesen megadhatók, alakíthatók az adott geometriához - könnyű kiterjeszteni 3D-s áramlásokra, súrlódásos közegre, más alkalmazásokra (pl. magnetohidrodinamika, csillagászat)

16

- optimalizálás algoritmusa beprogramozható, ezáltal a tervezés során könnyebben megtalálhatjuk a legjobb megoldást

Saját program megírásakor az ember nemcsak az előbb említett előnyöket tapasztalja,

hanem azon hártrányokat is, hogy a program megírása sok időbe telik, nehéz a peremfeltételek helyes megadása, a kezdeti feltételek erősen befolyásolják a konvergenciát. Megtapasztalva az előnyöket és a hátrányokat is, a PZU vizsgálatára nemcsak saját fejlesztésű, hanem kereskedelmi szoftvert (Fluent) is használtam.

Az előzőekben arról is szó esett, hogy a vizsgált tartományt sok kis részre bontjuk fel,

tehát rendkívül nagy adathalmazt kezelünk, ami számítógépek nélkül reménytelen vállalkozás volna. Hogy erre miért váltak alkalmassá az utóbbi időben a számítógépek, ezt megérthetjük a következő alfejezetből. 3.3. Az abakusztól a 4 GHz-ig

Az emberiség fejlődése folyamán már az ókorban felismerték, hogy a számolási műveletek megkönnyíthetők, gépesíthetők. Hasznos segédeszköznek bizonyult a fából, agyagból, kőből készült számolótábla - az abakusz. Az első ilyet valószínűleg a babilóniaiak használták ie. 3000-ben, de a rómaiak is átvették, a kínaiak szuan-pan-nak, a japánok szorobánnak, az oroszok szcsotinak nevezték. Ez az eszköz folyamatosan fejlődött, az első porba rajzolt vonalaktól, kavicsokkal végzett számításoktól kezdve a ma is elterjedt golyós számolóeszközökig.

A XVI. században fellépő problémák – például a csillagászat, kereskedelem területén – bonyolultabb számításokat igényeltek, s ez magával vonta a számolási segédeszközök fejlesztését is. Megindult a táblázatok készítése.

A XVII. században (1632-ben) megjelent a logarléc, mellyel a szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás, logaritmus és trigonometrikus függvények értékeinek meghatározása volt elvégezhető. A logarléc csaknem 350 éves sikertörténetének csak az elektromos zsebszámológépek vetettek véget.

A számológépek fejlődése a XVII. században vette kezdetét. Ezek a gépek a műveletvégzés közben a helyiértékek közötti átvitelt emberi beavatkozás nélkül valósították meg. Az első mechanikus számológépet Schikard építette 1623-ban, amely a négy alapművelet elvégzésére volt képes. A gép számtárcsákkal tárolta a részeredményeket, és a túlcsordulást egy kis csengő megszólaltatásával jelezte.

Blaise Pascal 1642-ben alkotta meg a mintapéldányát a XIX. században gyártott számológépeknek. Pascal gépe a számjegyek összeadását fogaskerekekkel oldotta meg. Ez az eszköz sorozatgyártásban is készült.

Leibniz 1673-ban bemutatott gépe már a szorzást, osztást és gyökvonást is automatikusan végezte. A gép alapelve a változó foghosszúságú bordástengelyen alapult. Leibniz javasolta először a kettes számrendszer használatát.

A mai számítógépek ősatyjának Chales Babbage tekinthető, habár gépe anyagi és technikai nehézségek miatt soha nem épült meg. Általános célú mechanikus számítógépe a modern számítógépekre jellemző tulajdonságokkal rendelkezett. A számítások gépesítésére lyukkártyát alkalmazott volna, mint a vezérlőprogram hordozóját. A gép fő részei a tároló, illetve a malom lettek volna. A tároló megfelel a mai memóriának, mely a számok és eredmények tárolására szolgál. A malom a mai aritmetikai egységnek feleltethető meg, melybe a műveletekben szereplő számok kerülnek.

17

A következő előrelépés Herman Hollerith nevéhez fűződik. Az 1890-es népszámlálás adatait az ő gépével dolgozták fel. Így már nemcsak numerikus számításokra, hanem adatfeldolgozásra is felhasználhatók voltak ezek a berendezések.

A fejlődés következő állomása az elektromechanikus számítógépek. Konrad Zuse reléket alkalmazott automatájában, mely a kettes számrendszer alapján működött (1941).

Aiken vezetésével a Harvard egyetem és az IBM együttműködésével létrehozták Amerikában a negyvenes évek elején a MARK I-IV. számítógépeket. Ezeknek a kifejlesztését elsősorban a II. világháború motiválta, a haditengerészet és a légierő alkalmazta őket. Ez az időszak átmenetnek tekinhető a mechanikus és az elektronikus berendezések kifejlesztése között [8].

A számítógépek első generációi közé az elektroncsöves digitális gépeket soroljuk. Ez

az időszak 1945 és 1954 közé tehető. Egyik jelentős berendezés az ENIAC volt. Nagy szabású elektroncsövet tartalmazott, és mindössze húsz számot lehetett benne tárolni. Digitális gép lévén a számokat diszkrét jelekkel ábrázolta. Tízes számrendszerben működött, főleg ballisztikai és szélcsatorna-számításokra használták.

A következő az EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer), melynek építésében Neumann János is részt vett. Ő fogalmazta meg a számítógépek működésének alapelveit, melyek a következők: - teljesen elektronikus felépítés, - kettes számrendszer használata, - univerzális számítógép, - belső memória használata, - tárolt program.

Az első generációs számítógépek fontos tárolóeszközei a mágnesdobok, mágnesszalagok voltak. A berendezéseket gépi kódban, illetve assembly szintű nyelven programozhatták.

A második generációs gépek fő építőeleme a tranzisztor és a ferritgyűrűs tár. Ezeknél a gépeknél jelenik meg a megszakításrendszer, amellyel az előre nem látható eseményeket a számítógépek önmaguk is kezelni tudják. Megjelennek az operációs rendszerek és a magasszintű programnyelvek (pl. Fortran, Algol, Cobol), melyek a nehézkes gépi kódú programozást emberhez közelivé tették.

A harmadik generációs számítógépek már integrált áramköröket használtak. Kialakult a multiprogramozás és a párhuzamos működés, melynek segítségével lehetőségünk van egy számítógépet egy időben több feladatra is használni. Ezek a gépek már monitorokat is használtak, és felhasználóbarát programozási nyelvet. A 3. generáció korszakát az 1961-1971-es évekre lehet tenni [7].

A számítógépek 4. generációját 1971-től napjainkig számíthatjuk. A gépek igen nagy integráltságú áramkörökből épülnek fel. Nincsenek alapvető változások a számítógépek szervezésében. A korábban bevett megoldásokat tökéletesítik. A 4. generáció jellemzője, hogy a szoftvergyártás óriási méretűvé válik. A szoftverek árai elérik, egyes esetkben meg is haladhatják a hardverét. E korszak kezdetét az első mikroprocesszor megjelenése jelenti. Egy akkor még kicsi, ismeretlen cég, az Intel a világon elsőként több tranzisztort épített egybe, hogy központi vezérlő egységet (CPU) alkosson. Nyolc évvel ezután készült el az első személyi számítógép. Az első generációs CPU-kban 29000 tranzisztor volt, a Pentium II-esekben már több mint ötmillió. A processzorok fejlődése azóta is őrületes tempóban halad, teljesítményük minden másfél évben megduplázódik.

2003. április 22-től kapható a boltokban a 3GHz-es Pentium 4-es processzor. Az Intel tájékoztatása szerint az idei évben 3.4 GHz-en fog futni a leggyorsabb modell. De nem szabad

18

elfeledkeznünk arról, hogy a számítástechnika világában a holnap rögtön tegnapot jelent [6]. Az 1.ábra a számítógépek által egy másodperc alatt elvégzett lebegőpontos műveletek számát mutatja a gép megjelenési időpontjának függvényében.

Ezekhez a processzorokhoz persze a RAM memóriáknak, a belső és a külső buszrendszer gyorsaságának és szélességének, a háttértárolók kapacitásának, és a perifériás egységek adatátviteli sebességének is megfelelő ütemben kellett fejlődniük, hogy a processzorok nagy órajele érvényesülhessen. Az utóbbi részek fejlődését nem részletezem, mert ahhoz egy egész diplomamunka is kevés lenne, márpedig a jelen munka nem erről szól.

9. Ábra. Másodpercenkénti lebegőpontos műveletek száma az idő függvényében [1]

Megjelenés éve

Másodpercenkénti lebegőpontos műveletek száma

Világ leggyorsabb számítógépe

19

Szó esett a számítások hardver-igényéről. Nos, én a programok futtatására három számítógépet használtam. Az egyik a BME Informatikai Szolgáltató Központja által üzemeltetett COMPAQ szuperszámítógép. Ez a gép egy 4 node-os szerverfarm, paraméterei a következők: összesen 16 db EV 5.6 (21164A, 600 MHz, 8 Mbyte cache memória) Alpha CPU-val 32 Gbyte RAM memóriával és 0,62 Tbyte merevlemezzel. A node-ok Memory Channelen (Full/100 Mb) keresztül tartják egymással a kapcsolatot. Ezen kívül otthon használtam még egy saját Pentium-I-es, és egy AMD 2000-es konfigurációt.

3.4. Alkalmazási területek A CFD-t napjainkban egyre elterjedtebben alkalmazzák olyan területeken, mint például: -Repülőipar: csökkenthető a szélcsatornák iránti szükség, új repülőgépek és űrjárművek tesztelése -Hő- és áramlástechnikai gépek: kompresszor hatásfokának növelése, égőterekben és turbinákban lezajlódó folyamatok modellezése -Gépjárműgyártás: kocsiszekrény aerodinamika, utastér ventilláció, áramlástani rendszerek a motorban, illetve segédberendezésekben -Biztonságtechnika: tűz- és füstterjedés előrejelzés, robbanás és egyéb véletlenszerű folyamatok modellezése -Meteorológia: hosszú- és rövid távú időjárás előrejelzés, globális klíma modellek -Gyártási folyamatok: hatásfoknövelés a könnyű-, a nehéz-, vagy a vegyiparban: acélgyártás, fröccsöntés, keveredési folyamatok, bevonómassza felvitele -Épületgépészet: épület fűtés és szellőzés analízis, tűzvédelmi és külső aerodinamikai hatások vizsgálata -Csillagászat: hozzájárulás a világegyetem eredet-kutatáshoz, galaxisok kialakulásának modellezése, mágneses viharok, napszél és hatása a Földre

20

3.5. A megfelelő módszer kiválasztása Az első fejezetben már volt szó arról, hogy a numerikus megoldás kulcskérdése, hogy milyen diszkretizációs technikát választunk a megoldás közelítésére. Most tekintsük át a három fő módszer lényegét, először is a véges differenciák módszerét! 3.5.1. Véges differenciák módszere (VDM)

A véges differenciák módszere valószínűleg a legrégibb numerikus módszer. A numerikus reprezentációt tekintve diszkrét, az áramlási paraméterek a háló csomópontjaiban kerülnek kiszámításra, illetve elraktározásra. Az eljárás során célszerű a memóriaigény korlátozása okán uniform (egységes) hálót – állandó ∆x és ∆y felosztást – alkalmazni. A diszkretizáció során a differenciálegyenleteket differencia egyenletekké írjuk át, a differenciálás definíciójának megfelelően. Kiindulásnak írjuk fel a Navier-Stokes-egyenletet:

Ahol :

v v vU F G K F G Kt x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

uU v

wE

ρρρρρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

uu p

F uvuwuh

ρ

ρρρρ

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

vuv

G v pvwvh

ρρ

ρρρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

wuw

K vww pwh

ρρρ

ρρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

v

0

Fxx

xy

xz

xx xy xzTu v wx

ττ

τ

τ τ τ κ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

v

0

Gyx

yy

yz

yx yy yzTu v wy

τ

τ

τ

τ τ τ κ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

v

0

Kzx

zy

zz

zx zy zzTu v wz

ττ

τ

τ τ τ κ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )1

21

A Navier-Stokes-egyenlet fenti alakja viszkózus közeg instacionárius, összenyomható, 3 dimenziós áramlására vonatkozik, feltéve, hogy nem hatnak külső erők, nincs hőbevitel és nincsenek kémiai reakciók a rendszerben.

Nagyobb Reynolds-számok esetén csak a határrétegben jelentős a viszkozitás hatása, ezért a közeg súrlódásától első közelítésben eltekintek. Így a határréteget sem modellezem, azt elhagyva nagyobb lesz az áramlási keresztmetszet, ezért a sebességet alábecsülöm. Az (1) egyenlet jobb oldalán álló tagok tehát elhagyhatók. Mivel a PZU forgásszimmetrikus, ezért elég csak egy síkmetszetet vizsgálni, így az (1) egyenlet a következő alakra egyszerűsödik (Euler-egyenlet):

Ahol :

A deriválás definíciója szerint:

A haladó véges differencia közelítés a differenciálhányadosra:

Az F(x) függvény i,j pont körüli Taylor-sorba fejtésével megbecsülhetjük a véges differencia hibáját. A (4) egyenletben szereplő H.O.T. (High Order Terms) magasabb rendű tagokat, és a T.E. (Truncation Error) az elhanyagolásból származó hibát jelenti:

Ezt átrendezve kapjuk:

0U F Gt x y

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂(2)

uU

vE

ρρρρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

uu p

Fuvuh

ρ

ρρρ

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

vuv

Gv pvh

ρρ

ρρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0ph Eρ

= +

0

( ) ( )limx

F F x x F xx x∆ →

∂ + ∆ −=

∂ ∆(3)

1, ,

,

i j i j

i j

F FFx x

+ −∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠

(4)

(5)

2 2 3 3

1, , 2 3, , ,

. .

. . .2 6i j i j

i j i j i j

T E

F x F x FF F x H OTx x x+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∆ ∂ ∆ ∂⎛ ⎞= + ∆ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1444444444444444442 444444444444444443

2 2 31, ,

2 3, , ,

. .

. . .2 6

i j i j

i j i j i j

T E

F F F x F x F H OTx x x x

+ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∆ ∂ ∆ ∂⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1444444444444444424 444444444444444434

22

A hiba (az eltérés a differenciál-tag és a véges differenciás között) a T.E. A közelítés rendjét a T.E.-ben található ∆x minimális kitevője határozza meg. Nemcsak az előrefelé, hanem a visszafelé mutató (u.n. retrográd) differencia formula is felírható:

A centrális differencia séma a retrográd és az előrehaladó számtani középértéke:

Alkalmazva a centrális differencia módszert x és y irányba, a (2) egyenlet a

következőképpen alakul:

A véges differencia módszer hátránya, hogy bonyolult alakú geometriák esetén nehéz

olyan transzformációs függvényt találni, amely egy egységes léptékű számítási térbe viszi át a valós geometriát. A másik nehézség, hogy ilyenkor koordinátarendszer-transzformációra is szükség van, amely jelentősen átalakíthatja a kiindulási egyenletet [1]. Y ∆x j+1 j ∆y j-1 x i-1 i i+1 i+2

10. Ábra. A VDM-nél használt egyenközű háló

3.5.2. Véges elemek módszere (VEM) Ez az, amiről lehetne úgy kezdeni az ismertetőt, ahogy a természettudományos tárgyú könyvek 90 %-a kezdődik: már az ókori görögök is… Valóban, a végeselemeket az ember már az ókorban alkalmazta különböző, leginkább geometriai feladatok megoldására, pl. a kör területének, a gömb, illetve a kúp téfogatának kiszámításakor [11]. A véges elemek módszere szintén egy közelítő, numerikus matematikai eszköz a közönséges és parciális differenciálegyenletek megoldására: az egyenlet megoldásfüggvényét próbáljuk közelíteni, ami matematikailag elegáns megoldást jelent. A nagy mennyiségű információ kezelésére a mátrixalgebrát használja fel, s ezzel igen kompakt összefüggésekre vezet. A VEM módszer előnyei:

, 1,

,

i j i j

i j

F FFx x

−−∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠

1, 1,

, 2i j i j

i j

F FFx x

+ −−∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠

(6)

(7)

, 1, 1, 1, 1, 02 2

i j i j i j i j i jU F F G Gt x y

+ − + −∂ − −+ + =

∂ ∆ ∆(8)

23

-A megoldásfüggvény szakaszonként folytonos, nem pontszerű -A geometriai feltételek tetszőlegesek lehetnek -A megoldási terület határai jól approximálhatók -A határfeltételek könnyen megfogalmazhatók, és a megoldó függvénybe egyszerűen integrálhatók -A megoldás csaknem teljesen automatizálható, így a számítógépes kiértékelés magát kínálja -A számítás pontossága a felosztás finomságától és a közelítő függvény milyenségétől (lineáris, kvadratikus) függ, tehát egyszerű eszközökkel befolyásolható -Nemlineáris anyagtulajdonságok is kezelhetők -Nagy feladatok szétdarabolása és részenkénti megoldása lehetséges A lineáris algebrai egyenletek – melyeket aztán pl. Gauss-eliminációval vagy LU dekompozícióval könnyen meg lehet oldani – felírásához két fő út vezet: a kiindulási egyenletek közvetlen, vagy közvetett, valamilyen módon átalakított felhasználása [1]. Közvetlen módszer A módszer alkalmazhatósága korlátozott, mivel az eredeti egyenleteket használjuk fel az algebrai kifejezések felírásához, amelyekben a meghatározandó csomóponti paraméter is szerepel. Közvetett módszer Ennek egyik fajtája a variációs módszer, melyben egy I integrált (funkcionált) írunk fel az egész számítási térre vonatkozóan, amely tartalmazza az ismeretlen függvényeket, illetve ezek deriváltjait. A megoldás során keressük azt a függvényt, amely kielégíti az I funkcionál minimumát.

A másik módszer a súlyozott hibák módszere: differenciálegyenleteket írunk fel egy elemi térrészre, megfelelő premfeltételekkel, amelyek egyértelműen leírják a tartomány állapotát. Bár a második módszer népszerűbb, de a variációs módszer sokkal általánosabb, egyszerűbben használható a különféle mérnöki alkalmazásokban. Sokszor azonban nehéz megtalálni az I funkcionál minimumát adó függvényt. A következő sorokban tekintsük át röviden a két módszer lényegét. Variációs módszer

A variációszámítás során egy funkcionál állandó értéken tartásának feltételrendszerét és szélsőértékét (jelen esetben minimumát) határozzuk meg. A funkcionál egy olyan függvény integrálját jelenti, amelynek változói szintén függvények, és minden F(x,Ф,Фx) függvényhez egy valós számot rendel:

Ahol x független változó (de lehet több független változó is: x1, x2, x3), Ф=Ф(x), Фx=dФ/dx függő változók. A matematikai eljárás során kiválasztunk különféle Ф(x) próbafüggvényeket, melyekkel F, illetve I funkcionál aktuális értéke kifejezhető. Az optimális megoldás során keressük azt a Ф(x) függvényt, amellyel F(x) függvényt kifejezve, egy

2

1

x

xxI= F(x,Φ,Φ )dx∫ (3.1)

24

(3.2)

tetszőlegesen kis Ф(x), illetve F(Ф,Фx) beli változás, δF(x) hatására I funkcionál értéke nem változik.

A közelítő eredmény kifejezhető a pontos eredmény, és a pontos eredmény egy hibája, u.n. variációja segítségével:

A Ф variációja nem más, mint egy tetszőleges, véges kis változása Ф-nek valamely

tetszőlegesen rögzített x helyen (δx=0). A δ szimbólum neve: variációs operátor. Definiáljuk F(Ф,Фx) variációját, δF(x)-et, ami egy I-beni, δI változást fog előidézni. Írjuk fel δF(x) teljes differenciálját:

δx=0, mivel F(x) variációját írtuk fel rögzített x helyen. I értéke akkor nem változik, ha δI=0:

A parciális integrálás szabályainak megfelelően integrálva a zárójelben lévő második

tagot, adódik:

Az egyenlet kielégítése érdekében Φ(x1)=állandó, és Φ(x2)=állandó

peremfeltételeknek kell teljesülnie, ekkor δΦ(x1)= δΦ(x2)=0, vagyis x1 és x2 peremen nincs hiba, eltérés a közelítő és a valós megoldás között. Másrészt mivel δΦ tetszőleges:

kell, hogy teljesüljön. A (3.6) egyenletet Euler vagy Euler-Lagrange-egyenletnek nevezzük (nem tévesztendő össze a nem viszkózus impulzusmegmaradás Euler-egyenleteivel). A fenti levezetés természetesen több változóra és magasabb rendű deriváltakkal is elvégezhető. Sajnos azonban nem mindig tudjuk a kiindulási egyenletet variációs fomában felírni [4]. Súlyozott hibák módszere Ezen módszer esetében az algebrai egyenleteket közvetlenül a kiinduló differenciálegyenletekből vezetjük le és a legáltalánosabb esetekben (még akkor is, amikor a variáció számítás nem alkalmazható) is kínál megoldást majdnem minden mérnöki problémára. Legyen adott a következő peremfeltétel probléma: Lu- f =0 Ω-n Cju = gj j=1,2,.....,p Γ-n Ahol f=f(x), gj= gj(x), L és Cj lineáris operátor. A módszer során legtöbbször az Lu-f=0 megoldásában a közelítés hibája

Φ(x)=Φ(x)+δΦ(x)

xx

F F FδF δ + δ + δxx

∂ ∂ ∂= Φ Φ∂Φ ∂Φ ∂

(3.3)

2 2

1 1

x x

xx xx

F FδI= δFdx= ( δ + δ )dx=0∂ ∂Φ Φ

∂Φ ∂Φ∫ ∫ (3.4)

[ ]2 2

11

x x

xxx x

F d F FδI= - ( ) δ dx+ δΦ =0dx |∂ ∂ ∂

Φ∂Φ ∂Φ ∂Φ∫ (3.5)

x

F d FδI= - ( )=0dx

∂ ∂∂Φ ∂Φ

(3.6)

25

helyett az

közvetett hibát kifejező egyenletbe írjuk elő, hogy R→0. Ez a megközelítés matematikailag jól leírható, a megoldás pontossága elfogadható. Alkalmazzuk az

approximációt u-ra (vi(x) lineárisan független interpolációs függvény Ω-n és Γ-n, valamint ai az ismeretlen paraméter, csomóponti függvényérték). Az u(x)% próbafüggvényt úgy kell megválasztani, hogy kielégítse a peremfeltételeket, de a differenciálegyenletet nem. Ekkor az előálló hiba:

Legyen a hiba súlyfüggvénye wf(R), ahol w a súlyfüggvény, f(R) a hiba függvénye, amely 0, ha R=0. A cél a hiba súlyfüggvényének minimalizálása a számítási tartomány felett:

A hiba minimalizálására többféle módszer létezik, pl. kollokációs módszer, Galerkin módszer, legkisebb négyzetek módszere [1]. Ezen módszerek, valamint a variációs módszerek (pl. Rayligh-Ritz) részletes ismertetésére most nem térek rá, mivel ezek túlmutatnak dolgozatom keretein és már az eddigiekből is látszik, hogy bonyolult matematikai átalakításokat igényelnek. A temérdek adat mátrixos kezelése miatt a VEM hátránya, hogy túl sok időt igényel (megfelelően finom beosztás és kiterjedt, komplex geometriák esetén egy program napokig fut a mai legmodernebb számítógépeken).

( )2

Ω|u-u|= u-u,u-u = u-u dΩ∫% % % % (3.7)

Lu-f=R% (3.8)

n

i ii=1

u(x)= a v (x)∑% (3.9)

Lu-f=R%

Ωwf(R)dΩ=0∫ (3.10)

26

3.5.3. Véges térfogat módszere (VTM) Igen sokféle véges térfogat módszer létezik. Ezek között legelterjedtebb a cella központi VTM. A módszer a peremfeltételekkel együtt egy makroszkópikus egyensúlyi modellként fogható fel. A számítási teret véges számú cellára osztjuk fel, amelyek diszjunktak, azaz nem lapolják át egymást. A cellák összessége hozza létre a numerikus hálót. A cellák tetszőleges alakúak lehetnek: sokszögek 2D-ban, illetve többlapú 3D-s alakzatok. A következő lépés a fluxusegyensúly felírása az elemi területekre. Minden egyes elemi területre, illetve térfogatra felírt makroszkópikus egyensúly közvetlen információt fog szolgáltatni az ismeretlen áramlástani mennyiségekre, melyek egy átlagos értéket jelentenek az elemi terület, térfogat felett. Összefoglalva, a VTM a numerikus reprezentáció szempontjából egy terület-, térfogat-átlagolt áramlástani mennyiségek olyan sorozatát jelenti, amely egyaránt felfogható diszkrét és folytonos reprezentációként. Diszkrét, mivel minden terület-, térfogatelemhez egy állapotjelző tartozik, de folytonos is, mivel felírható függvénykapcsolat a paraméterek között (problémát jelenthet azonban, hogy nincs pontos függvényérték a cellák határain, így itt valamilyen interpolációs technikát kell alkalmazni). Diszkretizációt tekintve pedig a területre, térfogatra felírt fluxusegyensúlyt kifejező algebrai egyenletek vezethetők le a kiindulási egyenletekből, mint azt rövidesen látni fogjuk [1]. A VTM napjaink egyik legelterjedtebb módszere. Egyesíti a véges differencia módszer egyszerűségét és a véges elemes módszer flexibilitását. A VTM tetszőleges 2D-s és 3D-s geometriákra alkalmazható, a háló lehet strukturált vagy nem strukturált (pl. háromszög elemek, melyek nagy lehetőséget biztosítanak a geometria leírására), könnyen lehet a hálózást automatizálni, könnyebben lehet helyi hálófinomítást alkalmazni [1]. Nem igényel annyi matematikai átalakítást, mint a VEM, és gyorsabb is annál. Ezen előnyei miatt én a véges térfogat módszert választottam a PZU vizsgálatára. A megmaradási törvények, mint pl. az Euler-egyenlet, többé-kevésbé pontosan modellezik a nagysebességű, nem viszkózus áramlást. De ismert, hogy egy disszipációs tagot kell bevezetni a hamis oszcilláció elkerülése érdekében. Ez két módon valósítható meg: mesterséges disszipáció bevezetésével, vagy un. ellenszél (upwind) típusú sémák alkalmazásával, mint pl. a fluxus vektor megosztás, vagy a fluxus különbség megosztás (Godunov típusú sémák). A szub-, illetve transzszonikus áramlás esetén a skaláris mesterséges disszipáció a legjobb közelítés, mivel ez egyszerűen programozható, nem igényel túl nagy memóriát, tehát számítástechnikailag optimális. Nagyobb Mach-számok esetén viszont, ahol erős vagy mozgó lökéshullámok jelennek meg, a fluxus vektor vagy a fluxus különbség megosztás módszerét érdemesebb alkalmazni. Ezek számítástechnikailag költségesebbek ugyan, de ezek a módszerek adják a lehető legpontosabb megoldást a lökéshullámokra. Tekintetbe véve, hogy a PZU-ban az áramlás szubszonikus, nem kell az utóbbi módszerekhez folyamodnunk, hiszen erre az esetre a mesterséges disszipáció a legjobb közelítés. Ezt a továbbiakban bővebben kifejtem (ld. a 27. és 28. oldalon D-t).

Nézzük, hogy valósul meg a véges térfogat módszere síkbeli, nem viszkózus, összenyomható, instacioner áramlásra (pl. a PZU esete). Alapegyenletünk, mint a 3.5.1. alfejezetben, most is az Euler-egyenlet:

0U F Gt x y

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂(2)

27

Azt már tisztáztuk, hogy milyen mennyiségek tartoznak az U, F és G vektorba, de azt nem, hogy az egyes komponensekhez milyen összefüggéseket használunk:

A (2) egyenlet a következő formába írható a teljes fluxus vektor ( H

r) bevezetésével:

Integrálva a (9) egyenletet az Ω felületelem felett, amelyet az S ív határol, kapjuk:

i,j+1 ,1ijnr B C F dSnr i+1,j ,4ijn

r i,j cella ,2ijnr dS

i-1,j y A Ωi,j D ,3ijnr

ey ex x i,j-1 11. Ábra. Cella központi strukturált négyszög elem A (10) egyenletet Gauss- Osztrogradszkij-tétel segítségével átalakítva kapjuk:

(9)

(10)

(11)

x yH Fe Ge= +r r r

( ) 0tU H U∂+∇ =

∂

r r

( ) 0Ud H Ut Ω Ω

∂Ω+ ∇ =

∂ ∫∫ ∫∫r r

d dS 0s

U Hnt Ω

∂Ω+ =

∂ ∫∫ ∫r rŃ

22 2

v

pp v

v

1 1 pE=e = e=C T=2 κ-1 ρ

C

C -C =R =κ p=ρRT C

V V u v+ +r r

28

Ahol ( , )x yn n n=r

a határoló görbéből kifelé mutató egységvektor. A véges térfogat közelítésben először a (11) egyenletben szereplő görbementi integrált

kell kiszámítani. Ezt könnyebben megtehetjük a sebesség normál komponensének bevezetésével:

Ezzel a (11) egyenlet így írható:

Folytonosról diszkrét formára áttérve, a tartomány j-edik pontjában az U vektor értéke :

A (13) egyenletet a (12) egyenletbe helyettesítve (az első integráljel mögé), és a második integrált kiszámítva egy cella összes oldala (Nf számú) feletti összegzésével kapjuk [5]:

Ez az egyenlet a már említett mesterséges disszipáció bevezetésével a következő

képpen módosul [22]:

A D kiszámítása a következő módon történik:

Az (i,j) és (i+1, j) csomópontok között:

(13)

(14)

(15)

x y

x 1 1i+ ,j i- ,j2 2

y 1 1i,j+ i,j-2 2

D=D +D

D =d -d

D =d -d

( ) ( )( ), (2) (4)1 1, ,1 1, , 2, 1, , 1,2 2i+ ,j2

d 3 3i ji j i ji j i j i j i j i j i jU U U U U U

tε ε+ ++ + + −

Ω= − − − + −

∆

1j

jj

U UdΩ

= ΩΩ ∫∫

[ ]fN

j,k,k 1

1 Sj n j kj

U Ht =

∂= −

∂ Ω ∑

dS 0t ns

Ud HΩ

∂Ω+ =

∂ ∫∫ ∫Ń

[ ]fN

j,kj,kk=1j

d 1=- S -Ddt Ωj nU H

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

(12)

( )( )n x y x x y y x yV Vn ue ve n e n e un vn= = + + = +rr r r r r

0

ρρ pρ p

ρ h

n

n xn

n y

n

VuV n

H HnvV n

V

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟= = ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎟⎜ ⎠⎝

r r

29

Az ε(2) és ε(4) együtthatók meghatározása a következő módon történik:

Ahol a konstansok értéke:

Amint az a di+1/2, j számításából is látszik, szükség van két-két sor fiktív cella felvételére a tartomány mindegyik oldala mentén.

A (15) egyenlet már egy elsőrendű közönséges differenciálegyenlet, amely jól közelíthető pl.negyedrendű Runge-kutta eljárással. Ennek lényege a következő:

A minél kisebb memóriaigény és a nagy numerikus stabilitás érdekében, άk optimális megválasztásával, elhagyva a cellák indexeit a Runge -Kutta módszer általános sémája:

Ha 4.-rendű a séma, akkor m=4 és

A felső index idősíkot jelent [5].

0

0 1

1

( )

k=1,m és az paraméterre igaz :0 1 =1

n

k kk

n m

k m

U UU U t U

U U

α

αα α

−

+

=

= + ∆ ℜ

=< ≤

1 =4-k+1kα

(2) (2) (4) (4) (2)1 1 1i+ ,j i+ ,j i+ ,ji+1,j i,j2 2 2ε =κ max(ν ,ν ), ε =max(0,( -ε )) κ

[ ]fN

j j,k kj,kk=1j

d 1=- S -D = ( , )dt Ω n jU H U U

⎛ ⎞ℜ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

i+1,j i,j i-1,ji,j

i+1,j i,j i-1,j

p -2p +pν =

p +2 p + p

(2) (4)1 1κ = és κ4 256

=

30

4. Elért eredmények 4.1. Saját fejlesztésű program és eredményei

Amiről eddig szó volt, az az irodalomkutatás eredménye. Sikerült tehát a módszert kiválasztani, hozzájutni a porleválasztó műszaki paramétereihez. Első lépésben az 5. Ábrán látható rajzból csak a vizsgálandó csatornát hagytam meg (12. Ábra).

12. Ábra. A vizsgált áramlási tér

Következő lépésként AutoCAD-ben a kontúrokat spline-okkal közelítettem és azok kontrollpontjainak koordinátáit többdimenziós tömbökbe beolvasva írtam egy programot Visual C++ nyelven. Ez a program a következő módon hálózza be a kontrollpontok által határolt tartományt: mivel az alsó és a felső, illetve a be- és kilépés vonalaira illesztett görbék tartópontjainak száma páronként egyezik, ezért páronként képezhető egy-egy alsó és felső pont x és y koordinátáinak különbsége. A különbségeket tetszőleges egész számmal osztva, megkapjuk, hogy két átellenes pont között mennyi osztáspont (rácspont) lesz. Ezek remekül ciklusokba szervezhető utasítások. Így a hálózás finomságát könnyen változtathatjuk. A program kiírja a rácspontok koordinátáit egy szöveges file-ba, amely vizuálisan megjeleníthető. A 12. Ábrán látható, hogy a vizsgálatból elhagytam a szeparátor gyűrűit. Ezt azért tettem, hogy egyszerűbbé tegyem a geometriát (és a programozási feladatot), feltételezve, hogy a porkiválasztásban nem ezek játszák a legfontosabb szerepet. Feltételezésem helyességét, ill. helytelenségét később a Fluenttel végzett szimulációk mutatták meg.

A hálózás után a következő lépés az Euler-egyenlet megoldása a már ismertetett negyedrendű Runge-Kutta módszerrel. Ezt a BME Repülőgépek és Hajók Tanszéken írt, általam továbbfejlesztett (PZU-ra alkalmazott) Fortran nyelvű program teszi meg, amely a rácspontok koordinátáit átveszi a hálózó program által létrehozott textfile-ból. Eredményül megkapjuk az áramlástani jellemzőket (sebesség, hőmérséklet, Mach-szám, nyomás, sűrűség) minden egyes cellára. A sebességek ismeretében ki lehet számítani a porszemekre ható centrifugális és légerőket. Ezután felírhatjuk és megoldhatjuk a mozgásegyenletet: kiszámítható, hogy a szívócsatornába a szimmetriatengelytől adott sugáron belépő porrészecske pályája elkerüli-e a gomba végén lévő porgyűjtőt, ahonnan kifújják az ejektorral

Belépés

Kilépés

31

a port, vagy sem? Így meghatározható, hogy a beszívott porszemek hány százalékát sikerül kiszűrni, és mekkora hányada jut a kompresszorba, vagyis pontos értéket kaphatunk a PZU tisztításának fokára. Mivel a Mi-24 tervezésének idején még numerikus módszereket nem használtak, így ezek alkalmazása erre a berendezésre mindenképpen újdonságnak számít. A dolgozatom ezen alfejezetének kulcsát tehát az Euler-megoldó képezi. Ennek működését a 6.2 mellékletben található blokkdiagram ismerteti. 4.1.1 A program érvényesítése Annak érdekében, hogy meggyőződjünk számításaink és a program helyességéről, valamilyen módon érvényesíteni kell azt. Erre legjobb lenne egy szélcsatorna kísérlet, de erre sajnos nem volt lehetőségem, így be kell érnünk elméleti módszerekkel. Ilyen egy csőben elhelyezett szárnyprofil körüli áramlás.

13. Ábra. Áramlási csatorna szárnyprofillal

A hálózás a 13. Ábrán látható, és három részre oszlik: az első részben egyre sűrűsödik a profil irányában, középen egyenletes a beosztás, a 3. részben a profiltól távolodva egyre nyúlik. Az első és a harmadik szakaszban két egymást követő rácspont távolsága: ∆ξi = ξi+1 - ξi . Ha L a hossza az adott szakasznak és N számú rácspontot helyezünk rá, akkor:

Két egymást követő cellahossz aránya állandó:

Könnyű belátni, hogy a geometriai sorozat összege:

Ez adott L és N esetén egy nemlineáris függvény, amely R-re megoldható Newton-Raphson módszerrel, ha ∆ξ adott [12].

N-1

ii=1

L= ∆ξ∑

i+1

i

∆ξ∆ξ

R =

N

11-RL=∆ξ1-R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

32

A következő peremfeltételeket írtam elő a bemeneten: a torlóponti nyomást:………………………………………………..….p0in=107417 Pa a torlóponti hőmérsékletet:…………………………………………….……T0in=297 K az áramlás vízszintessel bezárt szögét:………………………………………...…αin=0˚ a kimeneten: a statikus nyomást:……………………………………………...………pout=101325 Pa A 14. és 15. Ábrán látható Rizzi A. W. tesztje és a saját programmal kapott eredmény

szubszonikus esetre, azonos Mach-számú területek vonalakkal elválasztva. Látható, hogy a kettő jó egyezést mutat.

14. Ábra. Rizzi A. W. tesztje

15. Ábra. Saját teszteredmény

33

4.1.2. A program alkalmazása a PZU-ra

A [3]-ból vett adatok alapján meghatározhatjuk, hogy nagyjából mekkora sebességgel áramlik a közeg a szívócsatornában.

A portisztítón keresztül áramló levegő mennyisége felszálló üzemmódon működő hajtómű esetén / H=0, v=0, nemzetközi szabványos légkör/: …………………………………………………………………………………..... m=& 8,94 kg/s A sebesség ott a legnagyobb, ahol legszűkebb az áramlási csatorna keresztmetszete. Az 5. ábrán láthatjuk, hogy ez az ’a’-val jelölt szakasz.Ennek keresztmetszete mérés alapján: …………………………………………………………………………………...A=82376 mm2

Amiből a sebesség az m& =Aρc összefüggés felhasználásával: ……………………………………………………………....c=8,94/0,082376*1,225=88,6 m/s Láttuk, hogy a program remek eredményeket adott a tesztnél. A hitelesség igazolása után feltételezhetően alkalmazható a PZU-ra is. A teszthez képest meg kell változtatni a geometriát (a 4. fejezet elején ismertetett módon), és a peremfeltételeket. Ezek a következők voltak, statikus nyomás, statikus hőmérséklet, sűrűség, sebesség a bemeneten:

pin =101325 Pa Tin =293 K ρ=1,2 kg/m3 Vr

=100 m/s

Ezekből sorrendben a hangsebesség, Mach-szám, torlóponti hőmérséklet és nyomás:

Katalógusban megadott érték szerint a nyomásesés porkiválasztón 1500 Pa, ez alapján

a statikus nyomás a kimeneten:

A kezdeti értékek helyes megadása szintén nagyon fontos. Ha ezeknek valótlan

értékeket adunk meg (pl. a belépési keresztmetszetnél 45°-ot belépési szögnek, ami a háló alapján láthatóan azt jelentené, hogy a sebesség a falnak ütközik), akkor a program vagy el se indul, vagy bizonyos számú iterációs ciklus lefutása után megáll valamilyen hibaüzenettel. Gyakori az, hogy valahol négyzetgyök alatt negatív szám lesz, és emiatt a program „elszáll”.

ma= κRT= 343,1 s

M= =0,29a

Vr

20in

κ-1T =T* 1+ M =297,9 K2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

κ-1κ

0in 0in0in

T p= p 107417 PaT p

⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

out in vesztp =p -p =99825Pa

34

Ezekkel a perem- és kezdeti feltételekkel a program a következő eredményeket adta 100000 iterációs ciklus lefutása után:

16. Ábra. Áramvonalak

17. Ábra. Sebesség (m/s)

18. Ábra. Statikus nyomás (Pa)

35

19. Ábra. Hőmérséklet (K)

20. Ábra. Mach-szám

21. Ábra. Sűrűség (kg/m3)

36

A 16. Ábrán a hálózás és az áramvonalak láthatóak. Látható, hogy ezek szinte minden pontban párhuzamosak a fallal. A 17. Ábrán látható, hogy a sebesség abszolút értéke a legszűkebb keresztmetszetben a legnagyobb, majd a bővülő részben fokozatosan csökken. Ezzel összhangban változik a Mach-szám is a 20. Ábra tanúsága szerint. A 18. Ábrán látható statikus nyomás az ívelt rész környékén ugyanolyan eloszlást mutat, mint a tesztben a csatornába helyezett köríves profil körül. A bővülő keresztmetszetben fokozatosan nő a Bernoulli-törvénynek megfelelően.

A hőmérséklet fokozatosan növekszik a belépésitől a kilépési felé haladva. De nemcsak a növekedés-csökkenés van összhangban előzetes várakozásainkkal, hanem az egyes jellemzők értéke is. A sűrűség pl. az egész tartományon belül 1,1-1,3 kg/m3 értékek között mozog, a hőmérsékletek között sincsenek extrém nagy eltérések, a Mach-számok (0,2-0,3) is reálisak, az előzetesen a peremeken kiszámolt értékekhez képest nincs nagy eltérés.

Az ábrák x és y tengelyein szereplő hosszak dm-ben értendők, úgy megfelelnek a valóságnak. A PZU durván fél méter hosszú.

0,00E+00

1,00E-03

2,00E-03

3,00E-03

4,00E-03

5,00E-03

6,00E-03

0 10000 20000 30000 40000 50000

Iterációk száma

Rez

iduu

mok

L2

norm

ája

Ev

22. Ábra. Konvergenciagörbe A 22. Ábrán látható a konvergenciagörbe, vagyis a ρ*v és ρ*E tagok L2 normája 50000 iterációs ciklusig ábrázolva, 100-as beosztással a vízszintes tengelyen. Az L2 norma a következő összefüggéssel számítható pl. a ρv tagra:

Ahol Np a tartomány összes cellájának száma, ∆(ρv)i pedig az i-edik cellában a ρv szorzat két egymást követő iterációs ciklusban való eltérése. Látható, hogy a görbék gyorsan lekonvergálnak 10-3 nagyságrend alá, majd ezt követően hullámozva konvergál a nullához. A szakirodalmak szerint ez a hullámzás ezen módszer sajátossága.

pN2i

10i=1 i

∆ρv 1 ∆(ρv)=log ( )ρv Np (ρv)∑

37

4.1.3 A porkiválasztás numerikus vizsgálata

Ha a portalanítási fokot numerikusan akarjuk számítani, akkor tudnunk kell, hogy a szimmetriatengelytől adott távolságban beérkező porrészecske pályája hogyan alakul. Eddig a programmal az áramlástani állapotjelzőkre kapott eredmények elemzésére került sor, melyek azért fontosak, mert a részecskék pályájának számításához (ld. később) a sebességtér ismerete szükséges.

Először is pontosítsuk, hogy mit is értünk a porkiválasztó portalanítási foka alatt. Szó volt róla, hogy a por egy részét szeparálja a berendezés és azt kivezetjük a gépen kívülre még mielőtt a hajtóműbe jutna. A por maradék része bejut a kompresszorba. Portalanítási fok alatt a kivezetett por tömege és a beszívott összes por tömegének arányát értjük [16]. Ez egy „hatásfokra emlékeztető” dimenziótlan viszonyszám, melynek értéke 0 és 1 közé esik, és minél nagyobb, annál jobb az általa jellemzett berendezés. Kísérletileg viszonylag egyszerűen meg lehet határozni ezt a viszonyszámot: a hajtómű szívócsatornájába (még a porkiválasztó elé) adott tömegű port adagolva mérjük, hogy mekkora tömegű az ejektor által kifújt por, amit könnyen fel lehet fogni egy a háztartási porszívókban használatos porgyűjtőhöz hasonló zsákkal. Nagyon valószínű, hogy a ’60-as években, a Mi-24-es tervezése idején így határozták meg a már említett hatásfokot, ami a [3] -ból vett adatok alapján az eredeti berendezésre 70-75 %. Ezzel egyszerű módon, és pontosan meg lehet határozni a tisztítás fokát, de egy berendezést így optimalizálni nagyon sok pénzbe kerül, mivel újra és újra meg kell építeni egy konstrukciót, és azt kísérletileg tesztelni. Az utóbbi évtizedek rohamos számítástechnikai fejlődése (ld. 3.3 fejezet) lehetővé tette az optimalizálás költséghatékonyabb módját is. A numerikus módszerekről nagy vonalakban szintén volt már szó, most nézzük, hogyan alkalmazható a porkiválasztás számítására a véges térfogat módszert alkalmazó program. Ehhez a következő feltételezésekkel éltem [14]:

– a beszívott kétfázisú közegben a por koncentrációja olyan kicsi, hogy a por össztérfogata elhanyagolható a gáz térfogatához képest, így nem befolyásolják az áramlási kép alakulását

– a porszemek mérete lényegesen nagyobb a levegőmolekuláknál, így a Brown-mozgással nem számolunk

– súrlódás csak a gáz és a szilárd szemcsék közt ébred – a gázfázis ideális gáz – a szilárd szemcsék azonos átmérőjű gömbök, egymással nem ütköznek, nem

tapadnak össze – a porszemek nem forognak, Magnus-hatással nem számolunk – a porszemek a gáz molekuláihoz viszonyított nagy méretüknél fogva parciális

nyomást nem hoznak létre – a szilárd szemcsék hőmérséklete megegyezik a gázfáziséval, hőáramlás nincsen

közöttük – az áramlás 2 dimenziós, stacionárius

A porszemcsék a levegőben a légerők hatására állandóan gyorsuló mozgást végeznek. Egy adott pontbeli gyorsulás kiszámítható a 23. Ábra alapján.

38

23. Ábra. A szemcse sebessége, a levegő sebessége, a szemcsére ható erő

A sebességek közti összefüggés:

Ahol Svr a porszemcse sebessége, V

ra levegő sebessége, relvr a szemcse levegőhöz

képesti relatív sebessége. A szemcsére felírható Newton II. törvénye:

A (4.2) egyenletben DF

r a szemcsére ható légellenállás, m a porszemcse tömege, ar a

szemcse légellenállás hatására létrejövő gyorsulása. Az DFr

légellenállás, mely párhuzamos a relatív sebességgel, de azzal ellentétes irányú, a (4.3) összefüggés szerint számolható.

Ahol ρ a levegő sűrűsége, d a porszemcse átmérője, cx az ellenállástényező, melynek értéke függ a Reynolds-számtól. A PZU-ban a sebesség nagysága kis tartományban változik (ld. 17. Ábra), ezért a Reynolds-szám adott átmérőjű porszemre (pl. 10 mikron) állandónak vehető (10 m/s relatív sebességet feltételezve):

X

Y

α

DYFr

DxFr

DFr

Sxvr

Syvr

Svrrelyvr

relxvr

relvr

Vr

S relv = +vVrr r (4.1)

Dma-F 0=rr (4.2)

2

D x rel relρ d πF =c v v2 4

r r r (4.3)

5rel

3

v dρ 10*10 *1,17Re 6,50,018*10η

−

−= = =r

(4.4)

39

0,6-nál nagyobb, 1000-nél kisebb Reynolds-számokra használható Dallavale [16] képlete (4.5).

A (4.2) egyenletet, valamint a légellenállást (4.3) felírhatjuk x és y komponensekre bontva (23. Ábra):

A (4.6) és (4.7) egyenletekbe behelyettesítve a (4.8), (4.9) és (4.3) egyenleteket, kiszámíthatóak a gyorsuláskomponensek:

Felhasználva, hogy

A (4.14) egyenletben ρp a porszem sűrűségét jelöli. Ha a légerők a porszemeket ívelt alakú pályára kényszerítik, akkor centrifugális gyorsulást is figyelembe kell venni a pályaszámításnál:

(4.15)-ben r a pillanatnyi pályasugarat jelöli. Ha ismerjük a szemcse sebességét és helyzetét a belépő peremen, akkor pontról-pontra végigkövethetjük a pályájának alakulását. A centrifugális erőt komponensekre bontva a részecske pillanatnyi koordinátái:

x40c =0,4+Re

(4.5)

x Dxma -F 0=rr

y Dyma -F 0=rr

(4.6)

(4.7)

relxDx Dx

rel

vF Fv

= −rr rr (4.8)

relyDy Dy

rel

vF F

v= −

rr r

r (4.9)

( ) ( ) ( )2 2

x x Sx Sy Sxp

3 ρ 1a =- c v cos v sin v cos4 ρ d

V V Vα α α− + − −r r rr r r r (4.10)

( ) ( ) ( )2 2

y x Sx Sy Syp

3 ρ 1a =- c v cos v sin v sin4 ρ d

V V Vα α α− + − −r r rr r r r (4.11)

relx Sxv v cosV α= −rr r (4.12)

rely Syv v sinV α= −rr r

(4.13)3

pd πm=ρ6

(4.14)

2S

cf

va =

r

rr

(4.15)

20 sx x cfx

1x(t)=x +v t+ (a +a )t2r rr

(4.16)

40

A (4.16) és (4.17) egyenletekbe minél kisebb t időket helyettesítünk, annál pontosabban tudjuk a porszemek pályáját meghatározni. Kidolgoztam tehát a pályaszámításhoz szükséges összefüggéseket. A munkám elsődleges céljának elsősorban a PZU új, hatékonyabb gépészeti kialakítását, numerikus optimalizálását tekintettem, ezért a továbbiakban − elsősorban a cél hamarabbi elérése érdekében − a Fluent kereskedelmi program használatára térek át a porkiválasztás egyenleteinek leprogramozása helyett. A saját fejlesztésű CFD kód további kidolgozását egy következő dolgozat keretében szeretném folytatni, ebben a munkában pedig a NS-megoldó segítségével próbálok új eredményeket elérni a hajtóművek porkiválasztása területén.

20 sy y cfy

1y(t)=y +v t+ (a +a )t2r rr

(4.17)

41

4.2 Fluent alkalmazásával elért eredmények 4.2.1 A Fluent adta lehetőségek A Fluent napjaink egyik legelterjedtebb szoftvere a hő- és áramlástani folyamatok modellezésére. Alkalmazható sok más egyéb mellett: – 2 és 3 dimenziós modellek készítésére – összenyomhatatlan és összenyomható közegek vizsgálatára

– súrlódásmentes, lamináris és turbulens áramlásra – többfázisú közegek áramlására, beleértve a kavitációt is – stacioner és instacioner áramlásokra – fázisátalakulásokra – égési folyamatok, kémiai reakciók modellezésére – áramlástechnikai forgó gépek méretezésére. Alkalmas más, CAD rendszerben elkészített gometria átvételére (pl.: IGES, Parasolid,

ACIS, IDEAS FTL, ProEngineer). Ezekhez képest kevésbé kifinomult a Gambit preprocesszor, de ez kimondottan a Fluent „alá dolgozik”, tehát az ezzel készített geometriákat a Fluent biztosan tudja olvasni és kezelni, míg az említett CAD rendszerekben készült hálókra ez nem mindig teljesül. Emiatt én a Gambitet használtam a különféle geometriák elkészítésére.

Sokrétűségéből kifolyólag ma már többek között a Fluentet használják erőművi egységek tervezésétől kezdve, az épületek, lakóparkok körüli áramlások vizsgálatán keresztül az autóiparig és az űrkutatásig az élet számos területén.

A Fluent (a saját programhoz hasonlóan) a tömeg-, lendület-, és energiamegmaradás

alapegyenleteit oldja meg véges térfogat módszerrel. Egyéb fontosabb tulajdonságai: – cella-centrált (a változók értékeit a cellák középpontjában tárolja) – kollokált (a nyomást és a sebességet ugyanazon helyen tárolja) – strukturálatlan hálót használ – szegregált (az egyenleteket külön-külön, egymás után oldja meg) A 3.2. fejezetben már volt szó a saját program írásának nehézségeiről. Ezekkel

szemben a Fluent alkalmazásakor a felhasználónak nem kell a programozással bajlódni, könnyű a peremfeltételek megadása bonyolult alakú geometriákra is. Pl. a kilépő peremnél a port a tiszta levegőtől elkülönítő fémsapka (ld. 24, 26, 27., stb. Ábrák) berajzolása, mely programozáskor nagy nehézséget okozott, Fluentben nem probléma. Nem okoz nehézséget a súrlódásos közeg vizsgálata sem, számos turbulenciamodell közül (Spalart-Allmaras, Standard k-ε, Renormalization-group k-ε, Realizable k-ε, k-ω, Reynolds-stress, Large eddy simulation) választhatjuk ki a számunkra legmegfelelőbbet.

Történelmileg az első általánosan alkalmazható turbulencia modell a Standard k-ε modell volt (B. E. Launder és D.B. Spalding, 1972), mely a turbulencia jellemzésére használt két legfontosabb mennyiségről kapta a nevét (k: a turbulencia kinetikus energiája egységnyi tömegű közegre, ε: a turbulens kinetikus energia disszipációja egységnyi tömegű közegben, egységnyi idő alatt). Ennek a Fluent 6.1.-es verziójában elérhető legújabb, továbbfejlesztett változata a Realizable k-ε, mely a korábbiaknál a mérésekkel jobban egyező eredményeket ad. A Standard k-ε modellhez képesti előnyei [17]:

– jobban adja vissza szabadsugarak sebességterét – erősen görbült áramvonalak esetén és örvényes áramlások esetén pontosabb

42

– leválási buborék sebességtere és mérete pontosabb – szekunder áramlásokat jobban képes kezelni A PZU gyűrűi körül várható örvények és görbült áramvonalak megjelenése, ezért én a Realizable k-ε modellt használtam minden esetben.

A turbulencia kialakulása szempontjából nagyon lényeges szerepe van az áramlási tér szilárd falak közvetlen közelében lévő rétegének, a határrétegnek, ahol a csúsztatófeszültségekből származó erők a tehetetlenségi erőkkel egy nagyságrendbe esnek.

Számomra nemcsak a turbulencia miatt fontos az áramlás pontos ismerete a határrétegben, hanem a porszemcsék miatt is, amelyek a szeparálás folyamán a falnak ütköznek, majd onnan visszaverődnek.

Egy turbulens határréteg sebességprofilja jó közelítéssel leírható az alábbi logaritmikus faltörvénnyel, ha a fal mentén a nyomás közelítőleg állandó [17]:

+ +1u = lny +Cκ

A fenti képletben: + uu =

τ ρ

+ y τ ρy =

υ

0.4κ ≅ C 5.45≅ u: fallal párhuzamos sebességkomponens a határréteg egy pontjában [m/s], y: a határréteg adott pontjának a faltól mért távolsága [m], τ: fali csúsztatófeszültség az adott keresztmetszetben [Pa s], ρ: sűrűség [kg/m3], υ : kinematikai viszkozitás [m2/s].

A logaritmikus profil csak a turbulens határréteg turbulens tartományának egy részét

írja le, amelyben 30 y 300+≤ ≤ , tehát nem érvényes sem a határréteg falhoz közeli lamináris alaprétegében, sem pedig a határréteg külső zónájában. A lamináris alaprétegben ( 0 y 5+≤ ≤ esetén) az alábbi egyszerű módon számítható a sebesség: +u y+=

A határrétegben rendkívül rohamosan változnak u és a turbulencia jellemzők értékei, modellezésükhöz rendkívül finom hálózásra lenne szükség. Gambitben a falközeli háló elkészítéséhez speciális eszközök állnak rendelkezésre, de megfelelő részletességű numerikus háló még így sem készíthető, így a falhoz legközelebbi cellákban a falfüggvények felhasználásával kap értéket a sebesség, valamint k és ε. A Fluent a logaritmikus faltörvényt alkalmazza, ha y+>11.225, és az +u y+= összefüggést, ha y+<11.225 [18].

Nagyon durva felbontást a falak közelében még falfüggvények használata esetén sem alkalmazhatunk, és az egymás feletti cellarétegek vastagsága nem növekedhet túlságosan rohamosan.

Tekintve, hogy y+ nemcsak geometriai adatoktól, hanem áramlási jellemzőktől is függ, ezért csak az első szimulációs futtatás eredményeinek ismeretében derül ki, hogy megfelelő méretűek-e a falközeli cellák [17]. Ha nem, új hálózást kell készíteni.

Mivel a Fluent az iterációk során a változók értékeit a cellák középpontjaiban tárolja, és a többi pontban a szomszédos cellák értékeiből interpolálja, emiatt hirtelen

43

cellanövekedések, erős torzulások nem engedhetőek meg. A hálózás torzultságának jellemzésére szolgál Gambitben a következő mennyiség:

max eq eq min

RASeq eq

Q max ,180

⎧ ⎫Θ −Θ Θ −Θ⎪ ⎪= ⎨ ⎬−Θ Θ ⎪⎪ ⎭⎩

ahol: Θmax: a cella élei által bezárt maximális szög Θmin: a cella élei által bezárt minimális szög Θeq: 90˚ négyszögre, és 60˚ háromszögre Tapasztalatként elfogadott, hogy ne legyen egy olyan cella sem, amelyre QRAS > 0.9 . Ha mégis, új hálózással célszerű próbálkozni. Az általam készített hálóknál általában csak olyan cellák voltak, melyekre: QRAS < 0.7 . 4.2.2. Az alkalmazott geometria vizsgálata A jobb portalanítási fokkal működő szerkezet megtalálásához azt az utat követtem, hogy először a jelenleg alkalmazott kialakítás 2D-s modelljét készítettem el, elemeztem a kialakult áramlási képet és a porszemcsék pályáját, majd ez alapján próbáltam ki más geometriákat. A különböző geometriai modelleket úgy helyeztem el x–y síkban, hogy azokat az x–tengely körül megforgatva a mérethelyes 3D-s alakzatot kapjuk. Ennek az a jelentősége, hogy a Fluent (a Solver menü Axisymmetric fülének aktiválása után) az alapegyenleteket a valós forgásszimmetrikus térbeli formának megfelelően fogja kezelni. Minden esetben másodrendű diszkretizációs sémát (Second order upwind) használtam. Az elsőrendű (First order upwind) ugyan gyorsabb konvergenciát eredményezhet, de csak akkor adhat pontos eredményt, ha a cellazónák vonala párhuzamos az áramvonalakkal (pl. lamináris áramlás egyenes csőszakaszban, melyre téglalap alakú cellákat használunk egyenes sorokban). A PZU-ban (gyűrűkkel együtt) az áramlás nyilván nem marad lamináris, mert a Reynolds-szám értéke 88 m/s átlagsebességgel és 0,06 m hidraulikai átmérővel számolva:

Ezért döntöttem a másodrendű diszkretizációs séma használata mellett. Mindegyik geometriai kialakításnál azonos peremfeltételeket használtam a reális összehasonlíthatóság érdekében. Mivel gyári adatként a szerkezetbe belépő tömegáram volt ismert (8,94 kg/s), ezt írtam elő belépő peremfeltételként (mass flow inlet). Meg kell még adni Fluentben a belépő sebesség irányát (nálam ez merőleges a belépő keresztmetszetre), a hidraulikai átmérőt (0,06 m), valamint a turbulencia fokot, mely az ingadozó sebesség komponenseinek négyzetösszegéből vont négyzetgyök és az átlagsebesség komponenseinek négyzetösszegéből vont négyzetgyök hányadosa. Ez utóbbira belső áramlásoknál tapasztalatok szerint jó becslés 10%, így ennyit írtam elő. Sajnos, a kilépési keresztmetszetre nem álltak rendelkezésemre megbízható gyári adatok. Ezért rajz alapján meghatároztam a kilépő keresztmetszetek arányát:

kil

kip

A 15A 1

=

ahol: kilA : a kilépő keresztmetszetnek a portól megtisztított része, amely a kompresszorba jut,

53

cd 88*0,06Re 3,43*10υ 0,0154*10−= = =

44

kipA : a kilépő keresztmetszetnek azon része, mely a porban dús koncentrátumot tartalmazza, ezt fújják hajtóművön kívülre a kompresszortól megcsapolt levegővel.

Következő lépésként azzal a feltételezéssel éltem, hogy a kompresszorba jutó, és a porral együtt elvezetett levegő aránya egyezik a kimeneti felületek fenti arányával. Ez nyilván nem igaz, mert a valóságban nem feltétlenül egyeznek ezen két felületrészen a közeg állapotjelzői, ebből kifolyólag a két térfogatáram aránya sem egyezik a felületek arányával. Azonban a 6%-os (1/15) levegőelvétel reális becslésnek tűnik. Az elszívás miatt valószínűleg kisebb lesz a nyomás az Akip felületen, mint az Akil-en, tehát 6%-nál több levegő fog távozni, így porelvezetés szempontjából ez a becslés maximális biztonságra való törekvést jelent. Ennél nagyobb levegőelvétel kizárólag a porleválasztás miatt előzetes megfontolások alapján nem engedhető meg, mert ezen felül is el kell valamennyit vezetni a kompresszorból az ejektorba. Az elvett levegő miatt pedig kisebb lesz a hajtómű teljesítménye. Ezen kívül egyéb járulékos levegőveszteséget jelent a turbinalapátok hűtésére elvezetett levegő. Elvégeztem a szerkezet vizsgálatát nagyobb levegőveszteségre is (ld. 4.2.3 alfejezet vége), de a különféle geometriákat 6%-os levegőelvételnél hasonlítottam össze.

Ennek megfelelően a kimeneten a kiáramlás (outflow) peremfeltételt alkalmaztam, melynél csak a két felületrészen kilépő közeg tömegáramának arányát kell megadni. A hálózás, mely 17308 cellából áll, a 24. Ábrán látható. A határréteg és a gyűrűk körül besűrítettem, az ott gyorsan változó állapotjelzők pontosabb modellezése érdekében, ezt mutatja a 25. Ábra. A kapott eredmények a 26, 27, 28. Ábrákon láthatók.

24. Ábra. A hálózás

45

25. Ábra. A hálózás gyűrűk körüli részlete

26. Ábra. Az áramvonalak a sebesség abszolutértékének (m/s) megfelelően színezve

46

27. Ábra. A statikus nyomás (Pa)

28. Ábra. A turbulens kinetikus energia (m2/s2) A 26. és a 28. ábra igazolja a 4.2.2. alfejezet elején tett feltételezésemet, mert a gyűrűk körül erős turbulencia mutatkozik. Nem szabad azonban „vakon bízni” a 28. ábrában. Balról számítva a 3. és 4. gyűrű bal sarkában az ott látható piros foltok ellenére lehet, hogy nem kiugróan nagy a turbulens kinetikus energia, hanem ez a k–ε modell jellegzetes hibája, az ún. torlóponti anomália, amely rendszerint a belépő élnél jelentkezik. A gyűrűk közel vannak a kompresszor belépő keresztmetszetéhez, tehát a miattuk keletkező örvények a kompresszorba is bejuthatnak. A kompresszor előtti turbulens áramlás azt eredményezheti, hogy a teljes keresztmetszetnek lesz egy olyan része, ahol a leválás miatt

47

nem jut be annyi levegő, mint a keresztmetszet többi részén, ahol nincsenek leválások. Ebben az esetben előfordulhat, hogy ahol kevesebb levegő megy be, kisebb lehet a nyomás, szívás alakulhat ki, a levegő hátulról vagy oldalról kezdhet el odaáramlani. E miatt a nyomás elöl ismét megnő, a levegő kezd hátraáramolni, de elöl ismét szívás lesz, így a jelenség periodikusan ismétlődik: kialakulhat a kompresszoroknál nemkívánatos üzemállapot, a pompázs. A 27. Ábra tanúsága szerint ettől nem kell tartani, hiszen látható, hogy a kimenő perem mentén egyenletes a nyomáseloszlás. A pompázs veszélyét az Akip felületen elvezetett levegő is csökkenti, mely nemcsak a port szívhatja el, hanem a gyűrűkön leváló határréteget is. Minél inkább csökkentjük a porelvezető szakaszban a nyomást (több levegőt vezetve el), a határrétegelszívó hatás is intenzívebb lesz, így a leválások kompresszorba jutásának valószínűsége csökkenthető. Mint később látni fogjuk, a porszemek pályájának alakulása, és ebből kifolyólag a portalanítási fok erősen függ a porszemcsék méretétől. A beszívott por szemcseméret eloszlása (szemcsézete) függ attól, hogy a helikopter éppen hol száll le ill. fel, ezért erről biztosat mondani nem lehet. Az bizonyos, hogy a kisebb porszemeket könnyen felkavarhatja a rotorszél, tehát ezekből van több. Arról nem volt adatom, hogy mekkora az a maximális szemcse, amit még felkavarhat a rotor. Ezzel kapcsolatban tehát nagy a bizonytalanság, ezért a trajektóriákat én is abban a szemcseátmérő tartományban vettem fel, amelyet a General Electric és a Cranfield University használ a különféle szűrők tesztelésekor. Ez az ún. arizonai útmenti finom (AC–fine) és durva (AC-coarse) por [9][13]. Még a durva sem tartalmaz 200 mikron átmérőnél nagyobb szemcséket, és a 80 – 200 µm tartományba is csak a szemcsék 9%-a esik. A finom mintánál 80 µm átmérőjű a legnagyobb szemcse. Tudjuk, hogy a hajtóművekre csak a 10 µm-nél nagyobb szemcsék veszélyesek (ld. 2.2. fejezet), és hogy a 100 mikronnál nagyobbak nagyon ritkán fordulnak elő, ezért elsősorban a 10 – 100 µm közti tartomány érdekes számunkra. Ehhez képest én egészen szélsőséges esetként felvettem a trajektóriákat 0.5 mm maximális átmérőre, mely már egy kisebb kézzelfogható „kavics”, és a teljesség kedvéért szintén megvizsgáltam az 1 µm átmérőjű porszemek hatását. A porszemcsék pályájának kirajzolása előtt Fluentben meg kell adni két pont koordinátáit. Az ezek közti szakaszról fognak indulni a porrészecskék. A két pont természetesen a belépő perem két végpontja volt. A porszemek kezdeti sebességének megadásakor jobb híján azt feltételeztem, hogy nagyságuk a levegő ottani sebességének 90%-a, irányuk pedig merőleges a peremre. Fluentben megadható tetszőleges belépési sebességprofil. Én az egyenletes eloszlás (tehát azonos sebességgel lépnek be a szemcsék a belépő perem hossza mentén) mellett döntöttem, mert közvetlenül a belépési perem előtt és után egyenletesen és szimmetrikusan szűkül, majd tágul a keresztmetszet, ezért nem indokolt a bonyolultabb sebességprofil előírása. A szemcseanyag megadásának csak a sűrűség szempontjából van jelentősége (ld. 4.1.3. alfejezet). A kvarchomok sűrűsége 1500 kg/m3, ezért ennyit adtam meg. Fluentben lehetőség van arra, hogy a trajektóriák figyelembe vegyék a turbulens áramlás ingadozó komponensének hatását. Ez azt jelenti, hogy ha egymás után többször lefutatjuk a pályaszámító algoritmust, más-más pályákat, és ezért más-más portalanítási fokokat kapunk a sztochasztikusan változó ingadozó sebességkomponens miatt. Ezáltal nemcsak a belépő részecskék száma adható meg, hanem az is, hogy egy adott helyen belépő részecske pályáját hányszor számolja a program. A belépő peremet 100 részre osztva (ez meglehetősen sűrű, ld. 29–32. Ábrák), tehát 100 részecskét belőve kezdtem növelni a sztochasztikusan számolt pályák számát egészen addig, amíg a portalanítási fokban jelentkező hiba 1%-nál kisebb nem lett. Ehhez 100-ig kellett elmenni, tehát összesen 10000 pályát számolva vettem fel egy adott átmérőre a portalanítási fokot. Ennyi pályát azonban lehetetlen

48

egy ábrába kirajzolni, ezért a következő ábrák a sztochasztikus hatás kikapcsolásával, csak a közepes sebesség figyelembevételével készültek:

29. Ábra. Trajektóriák 1 mikron átmérőjű szemcsék esetén

30. Ábra. Trajektóriák 10 mikron átmérőjű szemcsék esetén

49

31. Ábra. Trajektóriák 50 mikron átmérőjű szemcsék esetén

32. Ábra. Trajektóriák 100 mikron átmérőjű szemcsék esetén

Amint az ábrákból látszik, a kis porszemek (1 mikron) szinte tökéletesen követik az áramvonalakat, ezeknél a portalanítási fok nagyon rossz, a nagyobbaknál (10 mikron) már elkezdődik a leválasztás kezdetben gyenge portalanítási fokkal, majd a nagyobbaknál egészen kiváló a hatásfok. Problémát itt csak a gyűrűk között, és a 4. gyűrű és a záró terelősapka között elrepülő részecskék jelentenek. Az eredmény több szemcseméretre a 33. Ábrán látható, a széles mérettartomány miatt a vízszintes tengelyen logaritmikus skálát használtam.

50

33. Ábra. Portalanítási fok a teljes vizsgált tartományra

Nagyobb szemcséknél azért következik be a portalanítási fok romlása, mert azoknak nagyobb a tömegük, ebből adódóan a lendületük is, a levegő viszont kevésbé „sodorja őket magával”, így a PZU-ba beérve annak falának ütközve ide-oda pattognak. Falnak ütközéskor elveszítik mozgási energiájuk egy részét, amely a [20] alapján a 10 µm átmérőjű kvarcszemcsék és acél fal esetében kb. 50%-os kinetikus energiaveszteséget jelent. Nagyobb szemcsékre még nagyobb a veszteség, de csak azért, mert azok szabálytalanabb alakúak, és az ütközéskor a haladásban tárolt mozgási energiájuk egy része nemcsak a plasztikus deformációban veszik el, hanem forgássá alakul. Az egyszerűség kedvéért én gömb alakúnak vettem a szemcséket, így sebességcsökkenés csak a falra merőleges irányban lesz, tangenciális irányban nem. Ennek oka, hogy az ütközés pillanatában fellépő erő az érintkezési felületek normálisának irányában fog hatni, ezért tangenciális irányban nem okoz változást [21]. Fluentben az egyes sebességkomponensekre vonatkozó veszteségi tényezőt kell megadni, ami az ütközés utáni és előtti sebességkomponensek hányadosa. Fentiek szerint ez a viszonyszám tangenciális irányban 1, normális irányban 0.5=0.707 , hiszen a mozgási energia a sebesség négyzetével egyenesen arányos. A portalanítási fok mellett fontos tényező még a keletkező nyomásveszteség, amit a bemenő és kilépési perem torlóponti nyomásainak különbségeként számoltam:

A peremek torlóponti nyomásait a következő módon definiált felületi átlaggal számoltam a Fluentben:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03

Szemcseátmérő(m)

Port

alan

ítási

fok(

%)

0veszt 0in 0out∆p =p - p (4.2.1)

n

0 0 0i ii=1

1 1p p dA= p AA A

= ∑∫ (4.2.2)

51

ahol A az adott zóna teljes felülete, p0i és Ai pedig a zóna egy-egy cellájának torlóponti nyomása, ill. területe. Így számolva a torlóponti nyomásveszteségre 2067 Pa adódott, ami a gyári értékkel (1500 Pa) összevetve, a belépő torlóponti nyomáshoz viszonyítva, az 1%-os hibahatáron belül van:

Más geometriák kialakításánál tehát nemcsak a portalanítási fok növelését tartottam szem előtt, hanem lehetőleg a nyomásveszteség csökkentését is. Ha alaposan megnézzük a 29–32. Ábrákat, láthatjuk, hogy sokkal jobb portalanítási fokot érhetnénk el, ha több gyűrűt tennénk a szerkezetbe, nagyobb átfedéssel, az elsőt a szimmetriatengelytől távolabbra helyezve. Így azonban biztos nagyobb lenne a nyomásveszteség, ami azt eredményezi, hogy kisebb lesz a hajtómű teljesítménye (2.3. fejezet). A legjobb az lett volna, ha azt is vizsgálom, hogy a nyomásveszteség, ill. a levegőelvétel a hajtómű teljesítményére milyen hatással van. Így számszerűen meg lehetne mondani, hogy még mennyi az a nyomásesés és levegőelvétel, ami a hajtómű teljesítményét még nem rontja le jelentősen. Ez azonban nagyon összetett feladat lett volna, amire egymagam nem vállalkoztam. 4.2.3. Jobb kialakítás keresése Az első ötletem az volt a hatásfok javítására, hogy az eredeti beszívó részt még íveltebbé téve, a centrifugális erő nagyobb lesz, hosszabb íven fog hatni, ezáltal a por nagyobb részét szeparálhatjuk. A köríves rész sugarát korlátlanul csökkenteni nem lehet, mert ha túl nagy a görbület, akkor leválás alakulhat ki, amely egyrészt nyomáscsökkenést okoz, másrészt a porszemeket „visszakavarja” az ívelt csatornarész középpontja felé. Nem lehet tehát egyszerűen az íveltség korlátlan fokozásával jobb eredményt elérni. A másik ötletem a gyűrűk helyzetének változtatása volt. Első kísérletként elhagytam a gyűrűket a szerkezetből (34. Ábra). Ezt követően elfordítottam a gyűrűket az óramutató járásával megegyező és ellenkező irányba is 5˚-al. Ezeket a „-5 fok” (35. Ábra), és a „+5 fok” (36. Ábra) névvel láttam el az egyszerűség kedvéért. A „NACA” elnevezésű szerkezet arról az ötletemről kapta a nevét, hogy NACA 2510 jelű szárnyprofilokat építettem be az eredetinél íveltebb csatornába a gyűrűk helyett (37. Ábra) azt remélve, hogy az áramvonalas kialakításnak köszönhetően majd csökkeni fog a nyomásesés, és a nagyobb íveltségnek köszönhetően nőni fog a portalanítási fok. A többitől gyökeresen eltérő próbálkozásra a Cranfield University cikkében leltem („Cranfield”) [13]. Ez látható a 38. Ábrán. Az eredményeket kiértékelve jutottam el az „5gyűrű” névvel ellátott szerkezethez (39. Ábra), mely a legjobb eredményeket adta.

0vesztszámolt 0vesztgyári

0in

∆p ∆p 2067-1500*100% *100% 0,53%p 107417−

= =

52

34. Ábra. Az „üres” elnevezésű szerkezet a statikus nyomásnak (Pa) megfelelően színezett áramvonalakkal

35. Ábra. Az „-5 fok” elnevezésű szerkezet a statikus nyomásnak (Pa) megfelelően színezett áramvonalakkal

53

36. Ábra. A „+5 fok” elnevezésű szerkezet a statikus nyomásnak (Pa) megfelelően színezett áramvonalakkal

37. Ábra. A „NACA” elnevezésű szerkezet a statikus nyomásnak (Pa) megfelelően színezett áramvonalakkal

54

38. Ábra. A „Cranfield” elnevezésű szerkezet a statikus nyomásnak (Pa) megfelelően színezett áramvonalakkal

39. Ábra. Az „5 gyűrű” elnevezésű szerkezet a statikus nyomásnak (Pa) megfelelően

színezett áramvonalakkal

55

A portalanítási fok a szemcseátmérő függvényében a különböző geometriákra a 40. Ábrán látható.

40. Ábra. A portalanítási fok-görbék A szerkezeteken kialakuló súrlódási veszteségeket nemcsak a nyomásveszteség számszerű értékével, hanem az ez alapján bevezetett dimenziótlan mennyiséggel, a nyomásveszteségi tényezővel is jellemezhetjük:

A cél ω csökkentése. A kialakult nyomásveszteségek: „üres”

eredeti

„+5 fok”

„-5 fok”

„NACA”

„Cranfield”

„5gyűrű”

Torlóponti Nyomásesés (Pa)

481

2067

2027

2468

2493

738

1652

ω

0.1309

0.5618

0.5509

0.6636

0.7756

0.2037

0.4489

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03

Szemcseátmérő(m)

Porta

laní

tási

fok(

%)

üres

eredeti

+5fok

-5fok

NACA

Cranfield

5gyuru

in0 out02

in

p -pω= 1 ρ V2

r

56

Látható, hogy a gyűrűk elhagyásával kapott „üres” szerkezet jelleggörbéje mélyen a többi alatt van. Hibás volt tehát a kezdeti feltételezésem (4.1. fejezet), hogy a gyűrűk elhagyásával is megfelelő a szerkezet. Egyetlen előnye, hogy kicsi a nyomásvesztesége. A 38. Ábrán egyértelműen látszik a Cranfield University-féle geometria működési elve: a porrészecskék nekiütődve az oldalfalnak a szerkezet felső részébe vándorolnak, ahol egy válaszfallal külön csatornába terelve a hajtóműbe nem jutnak be. A „Cranfield” hatásfoka a számunkra fontos tartomány túlnyomó részében sokkal rosszabb a többinél, viszont a különösen nagy szemcséket kiválóan szeparálja. Ha csak a durva szemcsék leválasztására lenne szükség, akkor ez lenne az ideális megoldás, de nekünk nem ez kell. A „NACA” elnevezésű szerkezet esetében érthető módon nem teljesült a nyomásveszteség csökkenésével kapcsolatos várakozásom, mert az áramlás nagy állásszöggel éri a szárnyprofilokat, ezért nagyok a leválási veszteségek. Ha elforgatnánk a profilokat, hogy kisebb legyen az állásszög, akkor pedig a portalanítási fok romlana rohamosan, mivel az elterelés is megszűnne. Azért prezentálom mégis az ezzel kapott eredményeket, mert a portalanítási foka meglepően jó, csak a nagyon nagy szemcsékre figyelhető meg erős romlás. Megvizsgáltam az íveltebb csatornát gyűrűk és szárnyprofilok nélkül is, azonban a nyomásveszteség így is magas volt. Ezért mind a szárnyprofilok, mind a nagyobb íveltség gondolatát elvetettem. Az viszont kérdéses, hogy az eredetinél durván 400 Pa-al nagyobb nyomásveszteség mennyire jelent problémát a hajtómű teljesítményének szempontjából. A „-5 fok” szerkezet portalanítási foka a 25 mikron átmérőig nem rosszabb, de nem is jobb az eredetinél (ez egyébként elmondható a „+5 fok”-ról, és az „5 gyűrű”-ről is), de sokkal rosszabb annál a nyomásveszteséget illetően. A „+5 fok” az egyik legjobban sikerült geometria. Az eredetinél kisebb a nyomásveszteség, és csak a 75 mikronnál nagyobb szemcsékre rosszabb a portalanítási foka. Ilyen nagy szemcsékre megvizsgálva a trajektóriákat, sikerült eljutnom a legjobb kialakításhoz.

41. Ábra. Trajektóriák 100 µm-es porszemekre a „+5 fok” esetén Amint az a 41. Ábrán látható, nagy szemcséknél a portalanítási fok romlását a 4. gyűrű után, és a gyűrűk közt elrepülő szemcsék okozzák. Ezt úgy küszöböltem ki, hogy több gyűrűt, egymáshoz képest kisebb távolságra tettem a szerkezetbe, az utolsót közelebb a szimmetriatengelyhez. Így jött létre az „5 gyűrű” elnevezésű szerkezet.

57

42. Ábra. Trajektóriák 10 µm átmérőjű porszemekre az „5 gyűrű” elnevezésű szerkezeti

kialakítás esetén

43. Ábra. Trajektóriák 50 µm átmérőjű porszemekre az „5 gyűrű” elnevezésű szerkezeti

kialakítás esetén

58

44. Ábra. Trajektóriák 75 µm átmérőjű porszemekre az „5 gyűrű” elnevezésű szerkezeti

kialakítás esetén

A 42. Ábra tanúsága szerint az 5 gyűrűs szerkezetnek kis méretű porszemekre (10-20 µm) nem jobb a portalanítási foka, mint az eredeti PZU-nak. Várakozásaimnak megfelelően azonban a 25 mikronnál nagyobb szemcséktől kezdve az egészen nagyokig végig jobb a portalanítási foka az eredeti PZU-nál (ld. 40. Ábra). A 43. és 44. Ábrák azt mutatják, hogy sikerült kiküszöbölni a korábbi konstrukcióknál – pl.: az eredeti vagy a „+5 fok” – fennálló problémát, mert a nagy átmérőjű szemcsék (50-100 µm) nem pattannak át a gyűrűk közt, ill. a 4. gyűrű után. Az „5 gyűrű” kialakításnak van még egy nem várt nagy előnye: a nyomásvesztesége is kisebb, mint az eredetinek.. Megvizsgáltam a jelenleg alkalmazott berendezést 5, 8 és 10%-os levegőelvételre is. A számunkra fontos szemcsemérettartományra kapott eredményeket a 45. Ábra mutatja.

40

50

60

70

80

90

100

1,00E-05 3,00E-05 5,00E-05 7,00E-05 9,00E-05

Szemcseátmérő(m)

Port

alan

ítási

fok(

%)

5% veszt.

eredeti6%

8% veszt.

10%veszt.

45. Ábra. Különböző levegőelvezetéssel kapott portalanítási fokok

59

Nem meglepő, hogy nagyobb levegőelszívással javul a portalanítási fok, hiszen ha több levegőt vezetünk el, akkor a nagyobb térfogatáram miatt nagyobb lesz a sebesség és kisebb a nyomás a kilépő perem közelében levő elvezető szakaszban, és ez több port „visz el”. Az viszont furcsa, hogy csak a 25 mikronnál nagyobb szemcséknél kezd javulni a hatásfok a levegőelszívás növelésével. Ismétlem: annak eldöntése, hogy éredmes lenne-e nagyobb vagy inkább kisebb levegőelvezetéssel működtetni a PZU-t, mindenképpen igényelné a porleválasztó és a hajtómű együttes vizsgálatát

5. Összegzés

A téma nem tekinthető lezártnak, mert további vizsgálatok tárgyát képezhetik pl.: – más sűrűségű és belépő sebességű szemcsékre felvett jelleggörbék – különféle hálózástól és turbulencia modelltől való függés – más peremfeltétel alkalmazásától való függés

a hajtómű és a PZU együttes vizsgálata. Ugyancsak érdemes lenne a 4.2.3. alfejezet elején említett problémával foglalkozni – nevezetesen, hogy az áramlási csatorna íveltségének változtatásával található-e a portalanítási fok szempontjából egy optimum, és ez a nyomásveszteséget hogyan befolyásolja – , de ennek vizsgálata sok időbe telhet. Az eddigi munkámról összefoglalásként kijelenthetem, hogy sikerült jobb hatásfokkal és kisebb áramlási veszteséggel üzemelő szerkezeti kialakítást kifejlesztenem. Meg kell említeni azonban, hogy a kapott eredményeket nem szabad kétségek nélküli biztos tényként elfogadni, mert azok függnek pl. az alkalmazott turbulencia modelltől, peremfeltételektől.

Különösen a számértékeket kell óvatosan kezelni, mert általános vélekedés a CFD-ről, hogy inkább kvalitatíve ad pontosabb erdményeket, semmint kvantitatíve. Az elért eredményeket pedig csak a valóságban is megépített modellekkel, velük végzett mérésekkel lehetne 100%-os biztonsággal igazolni. A kísérleti eredmények elengedhetetlenül szükségesek lennének tehát, ha gyakorlati alkalmazásra kerülne sor.

60

6. Mellékletek 6.1. Néhány szó a CD mellékletről A CD-n a jelen munka elektronikus változatán („Moroczdiploma.doc”) kívül megtalálható még a „Fortran” könyvtárban a 4.1.2. alfejezetben található eredményeket adó program, az eredményfile-okkal együtt. A „validacio” könyvtárban a 4.1.1. alfejezetben olvasható eredmények találhatók az adott geometriát használó programmal együtt. A „Fluent” könyvtár tartalmazza a 4.2.3. alfejezetben bemutatásra kerülő szerkezeti kialakításokhoz tartozó eredményfile-okat, a Gambit-ben elkészített hálókkal együtt. ………………………………………… Mórocz László Gyula Várpalota, 2003. 01. 10.

61

6.2. A program blokkdiagramja

Start

értékadás konstansoknak: p0in=107417 Pa (torlóponti nyomás a belépési keresztmetszetnél)

T0in=297,9 K (torlóponti hőmérséklet a belépésnél) αin=75° (közeg belépési szöge a belépésnél)

pout=99825 Pa (statikus nyomás a kilépési keresztmetszetnél) n=100000 (az iterációk száma)

∆t=0,00000129932 (lépésköz a Runge-Kutta eljárás során)

inicializálás (kezdőértékadás az összes cellának) : T=293 K (statikus hőmérséklet) P=105325 Pa (statikus nyomás)

ρ=p / R*T (sűrűség) u=50 m/s (sebesség x irányú komponense) v=50 m/s (sebesség x irányú komponense)

nem k< n (iterációk száma)

igen

1.

2. léptetés: k=k+1

3.

4.

Az eredmények file-ba írása: p=….

T=…. u=…. v=…. M=…

62

Az előző oldalon csak 1.- 4. számokkal jelölt négy utasítás mindegyike három függvény meghívását jelöli, pl. az 1-es számú téglalap :

Permfeltételek függvény hívása

Számítások lényege fv. hívása

Runge-Kutta fv.hívása

A számok arra utalnak, hogy a negyedrendű Runge-Kutta közelítés hányadik lépése történik. A program eredménye nemcsak a fentebb említett áramlástani jellemzők file-ba írása, hanem ciklusonként kiírja (és 10, vagy 100 ciklusonként file-ba írja), hogy mennyit változnak két egymást követő lépésben a ρ*v és ρ*E tagok. Ez alapján felrajzolható a program konvergenciagörbéje. Most pedig nézzük, hogyan dolgozik a Peremfeltételek függvény. A belépő keresztmetszet (inlet) minden cellájára :

nem igen

p (i,j) = 2*p (i+1,j) – p (i+2,j) p=pin

U1=ρ U2=ρ*u U3=ρ*v

V< RTκ

10

0 * pT Tp

κκ −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

0T 2M= -1 *T κ-1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

V=M* κ*R*Tu=V*cosα

v=V*sinαρ=p/R*T

1-κκ

0in0

pT=T *p

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0T 2M= -1 *T κ-1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

V=M* κ*R*Tu=V*cosα

v=V*sinαρ=p/R*T

2 22 3

4 11

U +UTU =U * +κ-1 2*U

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

63

A kilépő keresztmetszet (outlet) minden cellájára :

nem igen U1= belülről, U1= belülről U2= az iterációs tartomány U2= belülről U3= celláiból U3= belülről

ρ= U1 u= U2/ U1 v= U3/ U1

A szilárd fal minden cellájára: par= fallal párhuzamos komponens mer= falra merőleges komponens u= par*cos(α) – v*sin(α)*mer v= -mer*cos(α)-par*sin(α) p=belülről

U1=ρ U2=ρ*u U3=ρ*v

V< RTκ

2out4

0

p 1U = + *ρ*Vp *(κ-1) 2

2out4

0

p 1U = + *ρ*Vp *(κ-1) 2

4U =belülről

21 1T=(E- * )*2

VR

κ −

( )2 20

κ-1T=T - u +v2*κ*R

ρ=p/R*T

2 2

4 1T u +vU =U * +κ-1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

64

A diagramokban a 0 index torlóponti jellemzőre utal, a 0 index nélküliek statikus állapotjelzők. A Számítások lényege nevű függvény kiszámítja a 3.5.3. alfejezet (15) egyenletének jobb oldalán szereplő összeget minden cellára. A Runge-Kutta függvény a negyedrendű Runge-Kutta közelítés négy lépcsőjét valósítja meg a programban, tehát a 3.5.3. alfejezet végén található egyenleteket.

7. Köszönetnyilvánítás Végül szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik észrevételeikkel, tanácsaikkal segítettek munkám során. Külön köszönöm Dr. Kristóf Gergelynek, hogy a BME Áramlástan Tanszéken lehetőséget biztosított számomra a Fluent 6.1. használatára.

65

Irodalomjegyzék [1] Veress Árpád: Bevezetés az áramlástan numerikus módszereibe, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, egyetemi jegyzet, Budapest, 2002 [2] Dr Endrődy István: Véges elemes módszer az áramlástanban és a mechanikában, Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, egyetemi jegyzet, szerkesztés alatt, 2002 [3] REAT 64 \a Mi-24-es típusú harcihelikopter üzemeltetési szabályzata\ [4] S.S. Rao: The finite element method in engineering, Pergamon Press plc, Headington Hill Hall, Oxford OX3 0BW, England, 1989 [5] Árpád Veress: Roe's approximated Riemann solver for 2D transonic flow, Budapest University of Technology and Economics, 2002 [6] Jan Novák: Digitális technika, CSER Kiadó, 1999 [7] Király Zoltán: Az abakusztól a notebookig, www. scitech.metesz.hu/10kiraly/index.html [8] Köpeczi Bócz Tamás: Számítástechnikai ismeretek I. [9] GE Company: Gas Turbine Inlet air Treatment, 1991 [10] Óvári Gyula: A helikoptersárkány rendszerei és berendezései, tanszéki segédlet a Repülőgép rendszerek c. tárgyhoz [11] Eleőd András: Számítógéppel segített gyártmánytervezés, tanszéki segédlet a Géptervezés III. c. tárgyhoz [12] Rizzi, A. W. (1981). Numerical Methods for the Computations of Transonic Flows with Shock Waves. Notes on Numerical Fluid Mechanics, Vieweg, Braunschweig 3. [13] Dr Jason Tan: Advanced Engine Environmental Protection, 1999, Cranfield University www.public.cranfield.ac.uk [14] Sánta Imre: A poros gázok termikus vizsgálata és expanzió folyamatának számítása, egyetemi doktori disszertáció, Budapest, 1974 [15] Dr. Alföldy Ferenc: A csodálatos emberi test, Móra Ferenc Ifjúsági Könyvkiadó, Budapest, 1989 [16] Dr Koncz István: Portalanítás és porleválasztás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982 [17] Dr. Kristóf Gergely, Lohász Máté, Régert Tamás: Áramlások numerikus modellezése FLUENT szimulációs rendszerrel, BME Áramlástan Tanszék, 2003 [18] B. E. Launder és D. B. Spalding: The Numerical Computation of Turbulent Flows, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1974

66

[19] Stefan Silbernagl, Agamemnon Despopoulos: SH atlasz Élettan, Springer Hungarica Kiadó Kft., 1996 [20] Friedrich Löffler: Staubabscheiden, Georg Thieme Verlag Stuttgart, New York, 1988 [21] M.Csizmadia Béla, Nándori Ernő: Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997 [22] Jameson A. and Schmidt W.: Recent Developements in Finite Volume Time-Dependent Techniques for Two and Three Dimensional Transonic Flow. VKI Lecture Series: Computational Fluid Dynamics, 1982.