lucia 2010 [lezioni di scienza delle costruzioni - 02] r0.1.0

2 Meccanica dei corpi rigidi

Corso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale Lucia

• Analisi cinematica dei corpi rigidi;

• Analisi statica dei corpi rigidi;

• Trave inflessa: vincoli e reazioni vincolari;

• Analisi statica: calcolo delle reazioni vincolari;

• Azioni interne: caratteristiche della sollecitazione;

• Equazioni indefinite di equilibrio;

• Travature reticolari;

• Principio dei lavori virtuali per i corpi rigidi;

• Esempi di calcolo.

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Corpo rigido. Le mutue distanze fra i punti materiali appartenenti al sistema non variano in seguitoall’azione di forze esterne.

Il modello di corpo rigido può essere impiegato per analizzare sistemi reali quando la deformabilità delcorpo non influenza apprezzabilmente la risposta strutturale.

Nella presente trattazione per “analisi cinematica dei corpi rigidi” si intende l’analisi delle condizioni divincolo o equivalentemente lo studio delle equazioni cinematiche. E’ fondamentale stabilire, infatti, se uncorpo rigido risulta vincolato in modo da eliminare i gradi di libertà di cui è dotato, ovvero se i vincoli di cuiè dotato abbiano la capacità, per numero e/o posizione di esplicare reazioni in grado di equilibrare unsistema di forze generico (analisi statica).

Nello studio della statica dei sistemi strutturali si analizza l’equilibrio sotto l’azione delle forze esternefacendo riferimento a spostamenti infinitesimi. Tali spostamenti evidentemente possono anche non esserereali, in quanto si ritiene che la staticità del sistema risulti compromessa se si manifestano spostamentianche infinitesimi individuati dalle caratteristiche geometriche dell’atto di moto del sistema. Nel verificarel’equilibrio del sistema sotto l’azione dei carichi esterni si farà pertanto riferimento a “spostamenti virtuali”intesi come spostamenti infinitesimi (definiti come la parte del primo ordine di uno sviluppo in serie diTaylor dei possibili spostamenti dalla configurazione di riferimento) compatibili con i vincoli del sistema.

Postulati fondamentali: (i) non si altera l’equilibrio di un corpo rigido se si trasporta il punto di applicazionedi una forza qualsiasi lungo la sua retta di applicazione; (ii) ai fini della statica del corpo rigido è legittimosostituire il sistema di forze con la sua risultante applicata in un punto della sua retta d’azione (assecentrale).


2/40 a.a. 2010-'11 MECCANICA DEI CORPI RIGIDI

- Un punto materiale nello spazio Pj possiede, nel piano, due gradi di libertà (2 coordinate lagrangiane: xj, yj).

- Un sistema di N punti liberi è caratterizzato da 2·N gradi di libertà nello spazio: le coordinate dei puntipossono variare indipendentemente una dall’altra.

- Un corpo rigido nel piano è caratterizzato da 3 gradi di libertà: due traslazioni ed una rotazione oppure unarotazione a attorno ad un centro di rotazione C, traccia dell’asse di rotazione (per fissare C servono 2 parametriXC, YC, la rotazione α è il terzo parametro).

Spostamento infinitesimo lungo latangente

2 4

12 4

L L'cos L' ...!

L L'

al primo ordine: L L' 1cos sen tan

Nell’analisi della meccanica dei corpi rigidi si fa riferimento al principio di sovrapposizione degli effetti:l’effetto prodotto da più forze agenti contemporaneamente è uguale alla somma degli effetti prodotti dallesingole forze pensate agenti separatamente.

Le costruzioni costituiscono, in genere, dei sistemi nello spazio, opportune ipotesi semplificative possonoricondurre l’analisi strutturale ad un problema piano.




Pj [xj,yj]

xj

yj

y

x x

y

Pj

dxj

dyj

Pj

j

Grado di libertà nel piano di unpunto materiale

Grado di libertà nel piano di uncorpo rigido.

- Oss: quando la rotazione avviene attorno al punto improprio di una direzione equivale ad una traslazione indirezione perpendicolare alla direzione stessa.

I punti i materiali o i corpi rigidi che schematizzano i sistemi strutturali evidentemente non sono liberi dimuoversi nello spazio (piano) ma devono essere opportunamente vincolati in modo da impedire qualunquemovimento.

I vincoli si possono distinguere per il numero dei movimenti che sono atti a impedire. Con riferimento alproblema piano un vicolo potrà essere semplice, doppio o triplo.

Un corpo rigido si definisce rigidamente vincolato se i sui vincoli impediscono ogni moto rigido, anche seinfinitesimo (atto di moto rigido).




Un vincolo è semplice quando impedisce un solo movimento. Il tipo più comune è l’appoggio semplice (fig. a)realizzato da una cerniera con carrello che impedisce la traslazione nella direzione normale alla direzione discorrimento del carrello, e consente la rotazione intorno alla cerniera A. Equivalente al carrello è l’asta dicollegamento o biella (fig. b).

a)

b)

Un vincolo è doppio quando impediscedue movimenti. Può essere costituito dauna cerniera fissa c) che impedisce ognitraslazione e consente la rotazioneintorno ad A. Due bielle equivalgono aduna cerniera, perché il corpo puòcompiere una rotazione istantaneaintorno al punto O di incontro delle duebielle d). Il vincolo è triplo quandoimpedisce tre movimenti, cioè tutti ipossibili movimenti nel piano ed ègeneralmente costituito dall’incastro.Tre bielle non concorrenti in un puntocostituiscono un incastro.

c) d)




Per impedire ogni movimento ad un corpo rigido o ad un sistema di corpi rigidi occorrono almeno tanti vincoliquante sono le libertà di movimento o i sui gradi di libertà (g.d.l.).

Dato un sistema di uno o più corpi rigidi tra loro vincolati caratterizzato da L gradi di libertà:

Il numero di vincoli presenti o grado di vincolo V può essere:

- insufficientie a vincolare qualsiasi movimento (sistema ipostatico/labile): V < L ;

- strettamente sufficiente (sistema isostatico/isodeterminato): V = L ;

- in soprannumero (sistema iperstatico/iperdeterminato): V > L .

Per impedire ogni movimento del sistema non basta verificare che i vincoli siano in numero sufficiente, occorreanche accertarsi che siano efficaci, cioè che non presentino singolarità atte a consentire spostamenti anchepiccoli.

Analiticamente i vincoli si traducono in equazioni tra i parametri che definiscono i gradi di libertà del sistema.Per “saggiare” l’efficacia dei vincoli è necessario verificare che le relazioni che li esprimono siano tra loroindipendenti.




Esempio: Consideriamo un sistema di 4 punti nel piano xy.

y

x

B

A

D

C - Vincoliamo i punti a coppie con un vincolo di rigidità:

B A B AX X Y Y L

2 2 2

1 D C D CX X Y Y L

2 2 2

2

- Poniamo una cerniera interna tra le aste AB e CD agli estremi B eC rispettivamente:

B CX X

B CY Y

- Poniamo una cerniera fissa in A:A

X aA

Y b

- Vincoliamo il punto D con un carrello con retta di scorrimentofissata:

D DY m X q

Abbiamo imposto 7 condizioni ad un sistema di 4 punti (2x4= 8g.d.l.) il sistema risulta labile: V < L

D

A

B=C

x

y

q




y

x

B=C

A

D

- Se poniamo in D un cerniera al posto del carrello otteniamo:

DX c

DY d

In questo caso le condizioni di vincolo V=8 pareggiano il numero dei gradidi libertà del sistema. Se i vincoli si dimostrano efficaci il sistema risultaisostatico.

Avendo espresso analiticamente i vincoli come funzioni delle coordinatelagrangiane dei punti materiali è possibile verificare analiticamente lacorretta disposizione dei vincoli che assieme al pareggio V=L è condizionenecessaria e sufficiente a garantire l’isostaticità del sistema.

A B A B A B A B

C D C D C D C D

B C

B C

A

A

D

D

f X X X X Y Y Y Y L

f X X X X Y Y Y Y L

f X X

f Y Y

f X a

f Y b

f X c

f Y d

2 2 2 2 2

1 1

2 2 2 2 2

2 2

3

4

5

6

7

8

2 2 0

2 2 0

0

0

0

0

0

0

A

A

B

B

C

C

D

D

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

La struttura risulta isostatica se la matrice

ha determinante ∆ non nullo.

8 8

j

ji j=1 i=1

i ji

fA

x




A A B B C C D D

A B A B B A B A

C D C D D C D C

X Y X Y X Y X Y

f X X Y Y X X Y Y

f X X Y Y X X Y Y

f

f

f

f

f

f

1

2

3

4

5

6

7

8

2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

D C B A D C B AX X Y Y Y Y X X 4

Se Δ≠0 la struttura è isostatica;

Se Δ=0 la struttura è labile (corrisponde alla condizione A, B=C, e D allineati).




I vincoli che interessano un corpo o sistema di corpi rigidi possono essere esaminati non solo da un punto divista geometrico (in termini di spostamenti virtuali da essi concessi o impediti) ma anche da un punto di vistastatico, considerando le forze che i vincoli sono in grado di esercitare.

POSTULATO (non smentito dall’esperienza):

- Un corpo rigido che in virtù dei vincoli imposti su di esso abbia perso ogni libertà di movimento non si muovequalunque sia il sistema di forze applicato sul corpo, anche se con risultante e momento risultante non nulli;

Evidentemente perché il corpo non si muova il sistema dei vincoli deve offrire un sistema di forze R che unito alsistema di forze applicate F, costituisce un sistema con risultante e momento risultante nulli.

F

R

F R

I vincoli sono in grado di esercitare tutte e sole le componentidella forza corrispondenti alle componenti di spostamentoimpedito.

Per calcolare le reazioni vincolari è possibile utilizzare delleequazioni di equilibrio dette equazioni cardinali della statica. Se ilsistema è costituito da un solo corpo rigido (3 g.d.l.) sonosufficienti 3 equazioni di equilibrio: 2 equazioni di equilibrio allatraslazione (rotazioni secondo punti impropri) e una alla rotazionesecondo un generico punto proprio del piano.


Analisi statica dei corpi rigidi


Un sistema di corpi rigidi vincolati tra loro e con l’esterno è isostatico se è risolvibile mediante il solo impiegodelle equazioni di equilibrio: le 3 equazioni cardinali della statica + eventuali equazioni ausiliarie (se il sistema ècomposto da un insieme di corpi rigidi mutuamente connessi) in tale caso il sistema si definisce staticamentedeterminato.

Se il sistema è iperstatico le equazioni di equilibrio non sono sufficienti a determinare le reazioni vincolari: ilsistema si dice staticamente indeterminato. Se V è il numero di vincoli efficaci, n il numero di equazioni di

equilibrio linearmente indipendenti che si possono scrivere ed (V- n) = i > 0, allora il sistema ammette i

soluzioni e per il calcolo delle reazioni vincolari è necessario tenere conto delle deformazioni del sistema.

Se il sistema è labile si possono scrivere più equazioni di equilibrio di quante siano le reazioni vincolari efficacipertanto risulta V < n; in generale non esistono soluzioni ed il sistema è definito staticamente impossibile.


Analisi statica dei corpi rigidi


Si definisce trave il solido generato da una figura piana che si sposti nello spazio conservandosi perpendicolarealla traiettoria del suo baricentro. Tale traiettoria, che si suppone coincidente con una linea continua erettificabile, si dice asse geometrico o linea d’asse: essa può essere una curva gobba o piana ed in particolarepuò ridursi ad una retta. La figura generatrice ha forma generica e le sue dimensioni possono variare concontinuità e comunque sono sempre piccole rispetto alla lunghezza della linea d’asse. Pertanto la trave si puòritenere un solido monodimensionale.

Data una trave, un generico punto O sulla sua linea d’assepuò essere individuato da un’ascissa curvilinea s. Ladirezione z ortogonale alla sezione retta individua unsistema di riferimento locale Oxyz con x e y ortogonali eposti sulla sezione retta.

Una trave ad asse piano è detta staticamente piana se leforze applicate (ridotte ai punti della linea d’asse)appartengono al piano dell’asse (o appartengono tutte adun piano nel caso di asse rettilineo). Il piano delle forze èdetto piano di sollecitazione mentre la sua intersezionecon il piano di una sezione retta è detto asse disollecitazione.


Trave inflessa: vincoli e reazioni vincolari


Poiché le forze, concentrate e distribuite, giacciono nel piano della trave (piano di sollecitazione yz), imomenti hanno asse momento ortogonale al piano della trave.




Una trave o un sistema di travi può presentare vincoli inuno o più punti del suo asse geometrico. Dal punto divista statico tali vincoli si differenziano tra loro per leazioni (reazioni vincolari) che sono capaci di trasmettereal sistema.

Si supporrà sempre che i vincoli siano bilateri, che cioè lareazione possa assumere qualunque segno.

Nello spirito della teoria delle travi non sono i punti adessere vincolati ma le sezioni rette. Quindi un vincolo diuna trave riguarda un’intera sezione retta e come talelimita il moto rigido (eventualmente medio) di talesezione. A un tale vincolo corrisponde una reazionevincolare globale che riguarda l’intera sezione vincolata eche rappresenta risultante e momento risultante di tuttele reazioni corrispondenti al “vincolamento” della datasezione.

Si definisce il grado di vincolo il numero dellecomponenti di spostamento impedite dal vincolo stesso.




Considerazioni geometriche sull’efficacia dei vincoli.

Ogni spostamento elementare di una trave piana si può considerare coincidente con una rotazione elementare intorno ad un punto denominatocentro di rotazione. Se la trave è libera la rotazione può verificarsi attorno ad uno qualsiasi dei 2 punti del piano di appartenenza.

La presenza di un vicolo semplice riduce ad una semplice infinità il numero dei possibili centri di rotazione che devono appartenere alla retta peril punto vincolato parallela alla direzione efficace, retta che si identifica nel caso di carrello e pendolo semplice con quella passante per il puntovincolato e normale alla linea di scorrimento o passante per l’asse del pendolo. Un vincolo doppio fissa un unico punto come possibile centro dirotazione e lascia perciò alla trave un solo grado di libertà. La cerniera consente una rotazione attorno al suo centro, un doppio pendolo unatraslazione ortogonale all’asse dei due pendoli (=rotazione avente come centro il punto improprio della direzione dei due pendoli). L’incastrorende impossibile qualsiasi rotazione ed elimina di conseguenza tutti i gradi di libertà.

Per stabilire se tre vincoli applicati ad una trave piana siano tutti efficaci basta assicurarsi per via geometricache essi non lascino alla struttura alcun possibile centro di rotazione proprio o improprio.

Struttura labile

Struttura labile

Struttura labile

Struttura isostatica se l’asse del pendolo non passa per A

Per una trave dotata di un vincolo semplice ed uno doppio, l’efficacia delle tre condizioni sussiste se la rettaper il punto cui è applicato il primo dei vincoli, parallela alla direzione efficace non passa per l’unico centrodi rotazione che deriva dal secondo.




Le reazioni vincolari devono assicurare l’equilibrio con leforze esterne. Non è però assicurato a priori che i vincolisiano in grado di equilibrare carichi arbitrari né se ciòavviene, che le sole equazioni cardinali della staticadeterminino univocamente il valore delle loro azioni. Pernon limitare l’indagine a condizioni carico particolari, leforze esterne saranno sostituite dalla loro risultanteapplicata in un determinato punto del piano e dal loromomento risultante rispetto al punto stesso.

x x

y A B y

O A A B B

R H F

R V V F

M YH X V X V M

0

0

0

Es. (a): struttura isostatica

Eq. Card. Statica

x

A y

A B B

H F

V F

Y X X V M

1 0 0

0 1 1 In forma matriciale

La matrice dei coefficienti ha determinante diverso da zeroe quindi il sistema fornisce una e una sola soluzione qualeche sia il vettore dei termini noti.


Analisi statica: calcolo delle reazioni vincolari


Per il calcolo delle reazioni vincolari è inizialmente necessario confrontare il numero delle reazioni vincolariincognito N con il numero delle equazioni di equilibrio n che si è in grado di scrivere.

N=n è condizione necessaria ma non sufficiente affinché una struttura risulti isostatica.

E’ necessario verificare, infatti, che i vincoli risultino efficaci e quindi che le relazioni che li esprimono risultinolinearmente indipendenti, ovvero che la caratteristica della matrice dei coefficienti C =n. Se il Determinante dellamatrice risulta non nullo allora la caratteristica della matrice corrisponde al numero di equazioni n.

Caso Tipo di struttura problema

N=n=C isostatica determinato

N>n=C iperstatica indeterminato

n>CIndipendentemente da N

labile determinato*

indeterminato*

impossibile*

* dipende dal carico applicato.




x

y A B

B A

R H F

R V V F

M V l Hl

2 0

0

0

A

B

H F

V F

V F

2

2

x

a

y

a

B

R H

R V pdx V pa

paM W pxdx W

0

2

0

0

0

02

H

V pa

paW

2

0

2

Oss: ai fini del calcolo delle reazioni vincolari latrave è considerata come un corpo rigido: èlegittimo sostituire il carico distribuito con la suarisultante.




Sistemi articolati di aste rigide

Le equazioni di equilibrio nel piano non sono più limitate alle sole tre equazioni cardinali della statica: seprivato dei vincoli esterni il sistema può infatti evidenziare gradi di libertà dovuti a possibili movimentirelativi di una parte rispetto alle altre. L’incremento nel numero di equazioni necessarie ad imporrel’equilibrio costituisce la sola differenza rispetto alla trave singola. Dal punto di vista statico la struttura si diràisostatica se le equazioni di equilibrio ammettono una e una sola soluzione per qualunque condizione dicarico, iperstatica se tale soluzione è definita a meno di uno o più parametri arbitrari, ipostatica se lasoluzione esiste solo per particolari condizioni di carico.

Se privato di tutti i vincoli, esterni e mutui, un sistema di n aste possiede 3n gradi di libertà nel piano. Sonoquindi necessari 3n gradi di vincolo per impedirli. Se i vincoli sono correttamente posizionati (equazioni divincolo linearmente indipendenti), essi sono anche sufficienti. Si noti che dal punto di vista del grado divincolo non vi è differenza tra il collegamento al supporto esterno o ad un’altra asta.

Arco a tre cerniere: se le tre cerniere non sonoallineate il sistema è isostatico




Sistemi articolati di aste rigide: definizione dei vincoli interni

Vincoli semplici

Cerniera in cui confluiscono k travi sottrae un numero di g.d.l paria: k 2 1

Vincoli doppi




Arco a tre cerniere isostatico

Sistema a 2 g.d.l: è ammessala rotazione attorno ad ungenerico punto sull’asse c-c.

Un’asta vincolata con due vincoli semplici (bielle ocarrelli) possiede un unico grado di libertà: il suocentro di istantanea rotazione è identificato dalpunto (proprio o improprio) comune alle rette su cuisi collocherebbero i centri di istantanea rotazionedell’asta qualora i vincoli fossero applicatiindividualmente.




Sistemi articolati di aste rigide:

Considerazioni geometriche sull’efficacia dei vincoli.

Per stabilire se i vincoli interni ed esterni di un sistema articolato di aste rigide risultano efficaci è sufficienteverificare che non ci sia allineamento tra i centri di rotazione assoluti (delle singole aste) ed i centri di rotazionerelativi che definiscono il movimento mutuo tra le aste connesse. Se questa condizione è soddisfatta gli elementirigidi che compongono la struttura non possono subire spostamenti infinitesimi a partire dalla configurazioneiniziale.

La posizione dei centri relativi è influenzata dallapresenta dei vincoli interni: una cerniera definiscenel punto vincolato la posizione del centrorelativo, un pendolo definisce la retta diappartenenza del centro relativo, un doppiopendolo definisce l’appartenenza ad un fascioimproprio di rette parallele alla direzione dei duependoli etc.







Centro d’ istantanea rotazione:

Il centro di istantanea rotazione (c.i.r.) attiene allo spostamento1 di un singolo corpo/elemento rigido(non di tutta la struttura). Il c.i.r. non è un punto fisso e non è un punto intorno al quale la strutturaruota.

Esiste perciò un punto C, solidale con i lcorpo rigido, cui compete spostamento virtuale nullo. Esso è ilc.i.r. di quello spostamento rigido.

DEF: Il c.i.r di uno spostamento virtuale rigido piano è quel punto C solidale con il corpo rigido cuicompete spostamento virtuale nullo.

δC=0

Lo spostamento virtuale δP di ogni punto P appartenente al corpo rigido in uno spostamento rotatorio si esprime analiticamente come:

Il c.i.r di un corpo rigido si trova dunque sulla perpendicolare allo spostamento di ogni punto P appartenente al corpo stesso. La sua posizione è nota qualora si conoscano in direzione gli spostamenti virtuali di due punti.

1 Ogni spostamento virtuale rigido piano non traslatorio è rotatorio.





ES. Dato il sistema di aste in figura, l’asta AB è vincolata a una biella OA con centro di rotazione lacerniera in O. Se ne vuole descrivere lo spostamento virtuale dalla configurazione AB a quella A’B’:

1) Rototraslazione = Traslazione (AB A’B” ) + Rotazione (polo A’) [fig. a]

2) Rotazione (polo C, c.i.r) [fig.b]





DEF: Si definisce centro di istantanea rotazione relativo fra due corpi rigidi il ci.r che ciascuno dei duecorpi avrebbe se l’altro fosse fermo, prescindendo da ogni altro vincolo che non sia quello dicollegamento fra i due corpi.

Se il vincolo interno è descritto da una cerniera è immediata l’individuazione del c.i.r relativo (la cerniera stessa,ovviamente), ma lo sarà qualunque CERNIERA in senso largo che funga da collegamento.

Il c.i.r relativo fra due componenti rigidi (1 e 2) di un sistema è solidale, nell’infinitesimo, con entrambe. Esso hadunque uno spostamento che può vedersi partecipe della rotazione del corpo 1 attorno al C1, sia della rotazione delcorpo 2 attorno a C2. Deve perciò essere rispettata una condizione di congruenza che imponga l’uguaglianza dello

spostamento di C12 secondo le due rotazioni.





L’uguaglianza in direzione della precedente relazione impone che C1, C2 e C12 siano allineati (es. infig.a), se tale condizione non è soddisfatta lo spostamento virtuale non avviene e i vincoli sono bendisposti (fig.b).

Sistemi a maglie chiuse

Si definiscono strutture a maglie chiuse strutture nelle quali la linea d’asse si rinchiude una o più volte su sestessa. Tali strutture presentano dei vincoli interni sovrabbondanti legati alla particolare geometria, tantoche una sconnessione completa praticata in una generica sezione S non altera i gradi di libertà.

Generalizzando una struttura che presenta c maglie chiuse, possiede 3c condizioni di vincolo internesovrabbondanti mentre, per quanto riguarda i vincoli esterni, va trattata come un unico corpo rigido. Per lestrutture a maglie chiuse si può distinguere un’analisi cinematica/statica interna, nei confronti della quale èiperdeterminata e un’analisi cinematica/statica esterna nei confronti della quale può risultare labile a),isodeterminata/isostatica b) o iperdeterminata/iperstatica c).

Per rendere la struttura staticamente determinata è necessario effettuare delle sconnessioni interne (ad es.tre cerniere non allineate etc.).




Le caratteristiche della sollecitazione rappresentano la risultante F ed il momento risultante M delle forzeinterne che agiscono in corrispondenza delle sezioni della trave con il momento M valutato rispetto albaricentro G(s) della sezione retta ed F applicata in G(s).

Si supponga di separare idealmente la travein due parti: perchè queste si mantengonoidealmente in equilibrio occorre postulareche le due parti si scambino, attraverso lasezione di separazione, delle azioni, di cui leequazioni cardinali della statica consentonodi calcolare la risultante ed il momentorisultante (rispetto il baricentro dellasezione)

La componente N della forza risultante F, normale alla sezione retta, è detta sforzo normale, mentre la suacomponente T nel piano della sezione è detta sforzo tagliante o sforzo di taglio mentre la coppia M con assemomento ortogonale al piano di sollecitazione viene definito momento flettente.

Le quantità N, T, M non forniscono indicazioni sullo stato di sollecitazione locale nei punti della sezione, che ilsolo equilibrio non è in grado di determinare. Esse rappresentano comunque significative misure globalidello stato di sollecitazione in una trave.


Azioni interne: caratteristiche della sollecitazione


I diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sitracciano riportando perpendicolarmente alla linea d’asse, ilvalore della caratteristica stessa. Per quel che riguarda sforzonormale e taglio non importa da quale parte venga riportatoil valore positivo, purché sia chiaramente indicato il segnodella caratteristica. Nel caso di momento flettente invecenon ha importanza il suo segno, che può anche non essereindicato. E’ consuetudine riportare il momento dalla partedelle fibre tese.




-

+

+-




Le equazioni indefinite di equilibrio rappresentano l’equilibrio nell’intorno di un punto della linea d’asse.Se gli spostamenti sono piccoli l’asse deformato si confonde con l’asse indeformato e quindi scriverel’equilibrio sotto tale ipotesi è equivalente a scrivere l’equilibrio di una trave rigida. Le semplificazioni chesi ottengono supponendo che l’asse deformato sia rettilineo dipendono strettamente dall’ipotesi dipiccoli spostamenti.

Per ottenere le equazioni indefinite di equilibrio è sufficiente scrivere le equazioni di equilibrio nelpiano (due alla traslazione ed una alla rotazione) di un tronco di trave lungo dz, trascurando gliinfinitesimi di ordine superiore in dz.


Le equazioni indefinite di equilibrio


Equazioni di discontinuità

Se in corrispondenza di un punto dellalinea d’asse agisce una forza oppure unacoppia concentrata, l’equilibrio nell’intornodel punto impone che in suacorrispondenza le caratteristiche dellasollecitazione subiscano una discontinuità.In tale equilibrio le forze distribuite nonintervengono mentre le forze concentraterestano invariate.




Si definisce reticolare una struttura costituita da aste rettilinee collegate esternamente e tra loroesclusivamente da cerniere. Se i carichi sono costituiti unicamente da forze concentrate sulle cerniere,ogni asta risulterà soggetta a sola azione assiale. Se infatti un’asta rettilinea e priva di carichi vieneestratta da suo contesto per equilibrio le reazioni ad essa trasmesse dalle cerniere non potranno cheessere uguali, opposte e allineate sulla retta che congiunge i due estremi (annullamento dei momenti incorrispondenza della cerniera).

Trattandosi di travi chiuse è necessario, per poter calcolare lo sforzo normale in tutte le aste, che lastruttura sia staticamente determinata.

Condizione necessaria: indicando con N il numero dei nodi si possono scrivere 2N-3 equazioni: ossia 2equazioni di equilibrio alla traslazione per ogni nodo meno le 3 equazioni cardinali che servono pertrovare le reazioni vincolari. Allora se A=2N-3, con A numero delle aste, il sistema è internamentegeometricamente determinato. La condizione di sufficienza si ottiene verificando che le equazioni diequilibrio risultino linearmente indipendenti.


Le travature reticolari


Per trovare i valori dello sforzo normale nelle aste,dopo aver calcolato le reazioni vincolari esterne, siisolano una alla volta le cerniere e si scrivono leequazioni di equilibrio al nodo.

Nodo A: x

y

R F N N F

F FR N N

1 1

2 2

0

02 2

Nodo B: x

y

NR N N F

NFR N N F

34 4

32 3

02

0 22 2

Nodo C: y

F FR N N 5 50

2 2

Nodo D: verifica dell’esattezza del calcolo.

Oss: per poter iniziare il calcolo occorre che inalmeno un nodo concorrano solamente due aste(circostanza quasi sempre verificata in strutturereticolari isostatiche).




Confronto tra la soluzione di una trave reticolare con quella di una trave piena della stessa luce e soggetta allastessa condizione di carico: metodo delle sezioni di Ritter.

a




Enunciato: Un sistema soggetto a vincoli bilateri e privi di attrito è in equilibrio in una determinataconfigurazione C0 se e solo se risulta dL=0, ovvero se il lavoro virtuale di un sistema di forze agente sulsistema è nullo per tutti i possibili spostamenti virtuali a partire da C0.

Nell’analisi di corpi rigidi sussiste l’equivalenza tra il principio dei lavori virtuali e le equazioni cardinalidella statica.

Principio dei lavori virtuali per la lamina piana(corpo rigido) in figura:

x y oL R h R v M

L h, v,

0

stante l’arbitrarietà degli spostamenti virtuali lacondizione può essere imposta con una solacomponente diversa da 0:

x x

y y

o o

v , L R h h R =0

h , L R v v R =0

h , v L M M =0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

= Eq. cardinali della statica

Rx, Ry, Mo = sistema di forze attive e reattive


Il principio dei lavori virtuali per i corpi rigidi


Applicazioni: con riferimento ai corpi rigidi e ai sistemi articolati di aste rigide, il p.l.v. può essere impiegato perricercare soluzioni equilibrate (in alternativa alle equazioni di equilibrio cardinali e ausiliarie).

Calcolo delle reazioni vincolari:

hL W F h F W=- F h

3 10

2 2

Si sopprime un vincolo per volta e si studiano sistemi unavolta labili: si applica il p.l.v considerando l’unico atto dimoto rigido possibile e valutando il lavoro virtuale delleforze esterne e della reazione vincolare incognita W.

Calcolo delle azioni interne:

hL M F M= F h

10

2 2

Si introduce una sconnessione interna a cui corrisponde lacaratteristica della sollecitazione incognita. Al sistema unavolta labile si applica il p.l.v considerando l’unico atto dimoto rigido possibile e valutando il lavoro virtuale delleforze esterne e dell’azione interna incognita M.




x A B

y A B

A B

R H H F

R V V F

M F h Fh V h

0

2 0

3 2 2 0

Applicazioni: rispetto il calcolo diretto delle equazioni di equilibrio, il p.l.v. può portare dei vantaggi ad esempio nelcalcolo delle reazioni vincolari di un sistema articolato che presenta più di 3 gradi di vincolo a terra. In questo caso siconsiderano i movimenti relativi che si possono avere quando vengono rimossi i vincoli a terra.

Equazioni cardinali:

A

B

A B

FV

FV

H H F

02

50

2

Principio dei lavori virtuali:B B

B B

L Fh H h V h

L Fh H h Fh H =F

2 3 2 0

2 3 5 0

AH F 2




lucia 2010 [lezioni di scienza delle costruzioni - 02] r0.1.0

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