luova ja jäljittelevä päättely lukion derivaatta …...derivoiminen koettiin mekaaniseksi...

Pro gradu -tutkielma

Toukokuu 2017

Fysiikan ja matematiikan laitos

Itä-Suomen yliopisto

Luova ja jäljittelevä päättely lukion

derivaatta -kurssin oppikirjassa

Eetu Käsnänen

Eetu Käsnänen Luova ja jäljittelevä päättely lukion derivaatta -kurssin

oppikirjassa.

Itä-Suomen yliopisto

Matematiikan aineenopettajakoulutus

Fysiikan ja matematiikan laitos

Työn ohjaaja Tutkijatohtori Antti Viholainen

Tiivistelmä

Tutkimuksella haluttiin selvittää sisältääkö lukion uuden opetussuunnitelman (2015)

mukaisesti koottu oppikirja tarpeeksi luovuutta vaativia tehtäviä ja hyödynnetäänkö

niissä tarpeeksi teknologiaa. Tutkimukseen sisältyi sekä kvantitatiivinen että

kvalitatiivinen analyysi.

Kvantitatiiviseen tutkimukseen valittiin oppikirjan joka toinen tehtävä, ja ne analysoitiin

käyttämällä tutkimusmenetelmissä esitettyä analysointityökalua. Tehtävät luokiteltiin

niiden vaatimien päättelytapojen mukaisesti luokkiin malliratkaisujen, kirjan esimerkkien

ja teorian perusteella. Tutkitut päättelytavat olivat muistamiseen (MR), algoritmiseen

(AR), lokaaliin luovaan (LCR) ja globaaliin luovaan päättelyyn (GCR) perustuvia.

Lisäksi oppikirjan käyttämää tehtävien luokittelua ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja

syventäviin tehtäviin verrattiin niiden sisältämiin päättelytapoihin.

Kvalitatiiviseen tutkimukseen valittiin jokaisesta edellä mainitusta päättelytavasta yksi,

ja niitä analysoitiin teoreettisen viitekehyksen avulla. Lisäksi tarkasteltiin myös

teknologian hyödyntämistä tehtävien ratkaisun tukena.

Tutkimus osoitti, vastoin hypoteesia, että oppikirjan tehtävät sisältävät luovaa päättelyä

enemmän kuin jäljittelevää päättelyä. Jäljittelevää päättelyä vaati noin kolmasosa

oppikirjan luokitelluista tehtävistä ja loput vaativat ainakin osakseen luovaa päättelyä.

Oppikirja vastaa näin opetussuunnitelman perusteiden (2015) asettamia vaatimuksia.

Oppikirjan tehtävät olivat suurelta osin monipuolisia ja niissä tutkittiin huomattavasti

arkielämän ilmiöitä.

Abstract

The aim of the study was to find out whether the textbook compiled by the new

curriculum (2015) contains a sufficient degree of creativity and technology. The study

included both quantitative and qualitative analysis.

In the quantitative study, every second exercise was selected from the textbook and was

analysed using the analytical tool which is presented in the research methods chapter.

Tasks were categorized according the reasoning they required, based on model solutions,

book examples and theory. The study methods discussed were memorization (MR),

algorithmic (AR), local based (LCR) and global creative reasoning (GCR). Additionally,

the classification of assignments used in the textbook for core tasks, strengthening tasks,

and advanced tasks was compared with the reasoning they contained.

For each of the abovementioned reasoning methods, one exercise was chosen from each

category and exercises were analysed using the theoretical framework. In addition,

technology utilization was considered to support the solution of task.

The study showed, contrary to the hypothesis, that the exercises of the textbook contain

creative reasoning more than imitative reasoning. Imitative reasoning was required in

about one third of the classified tasks of the textbook, and the rest required at least in

some part creative reasoning. The textbook thus obeys the curriculum (2015) criteria. The

tasks of the book were largely versatile and they were often connected to everyday life

phenomena.

Esipuhe

Halusin kirjoittaa didaktisen gradun, sillä valmistun opettajaksi ja koen sen palvelevan

tulevaa ammattiani matemaattista gradua paremmin. Pohtiessani tutkielmani aihetta

minulla ei ollut mielessäni valmista aihetta. Lopullinen aihe muotoutui muutamien

tapaamisten aikana ohjaajani kanssa. Aiheen selvittyä tutkielman aloittaminen kesti oman

aikansa, mutta päästessäni vauhtiin sujui sen tekeminen lähes vaivattomasti.

Opinnot alkavat olemaan paketissa ja on aika esittää kiitokset. Haluan kiittää kaikkia

suurenmoisia opiskelukavereita mahtavasta opiskeluajasta. Suuri kiitos avopuolisolleni

Elina Hallikaiselle tuesta ja rohkaisusta gradun kirjoittamisessa ja muutenkin opinnoissa.

Kiitos Antti Viholaiselle tutkielmani ohjaamisesta ja viisaista sanoista.

Joensuussa 19. toukokuuta 2017 Eetu Käsnänen

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Teoria 4

Matematiikan kompetenssit 4

Luovuus 6

Ongelmanratkaisu 7

Päättelytavat 9

Derivaatan oppiminen 11

Aiemmat tutkimukset 12

3 Tutkimusmenetelmät 14

Oppikirjan yleisesittely 15

Luokittelukriteerit 16

Esimerkkejä 17

Tehtävien kvalitatiivinen analyysi 22

4 Tulokset 23

Kvantitatiivinen analyysi 23

Kvalitatiivinen analyysi 29

5 Pohdinta 35

Päättelytapojen vertailu 35

Kvalitatiivinen analyysi 38

Teknologian hyödyntäminen 39

Tutkimuksen luotettavuus 40

Jatkotutkimusaiheita 41

Viitteet 42

Liite A Luokitellut tehtävät 44

Liite B Tehtävien malliratkaisut 58

1

Luku I

1 Johdanto

Oppikirjalla on matematiikan opiskelussa tänä päivänäkin suuri rooli ja sen tulisi

noudattaa opetussuunnitelman perusteita. Se toimii niin opettajan työkaluna, kuin

oppilaankin. Hyvä ja monipuolinen oppikirja motivoi opiskelijaa ja voi saada

kiinnostumaan oman matemaattisen ongelman ratkaisun ja matemaattisen ajattelun

kehittämisestä. Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015 (Opetushallitus, 2015)

määrittelee mitä matematiikan opetuksessa on painotettava. Se ohjaa opetusta, sekä

oppimateriaaleja. Tutkimukseen valittu oppikirja on kirjoitettu sitä silmällä pitäen.

Opiskelijaa tulee kannustaa lukion opetussuunnitelman mukaan kehittämään luovia

ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin. Opetuksen tulee sisältää ajankohtaisia aiheita,

ilmiöitä ja niihin liittyviä ongelmia. Opetuksessa tulee käyttää vaihtelevia

opetusmenetelmiä, sekä hyödyntää teknologiaa. Teknologiaa, dynaamisia matematiikan

ohjelmistoja, symbolisia laskenta ohjelmia, tilasto-ohjelmia, taulukkolaskentaa ja

digitaalisia tietolähteitä tulee sisältyä matematiikan opetukseen ja opiskeluun.

Opiskelijoiden tulee kyetä esittämään kysymyksiä, luomaan oletuksia ja päätelmiä, sekä

perustelemaan omia väitteitään. (Opetushallitus, 2015)

Opiskelijoiden oppimisvaikeuksia ja ratkaisujen puutteellista perustelutaitoa on tutkineet

Boesen, Lithner ja Palm. Heidän mukaansa oppikirjan teorian uudelleen kirjoittaminen

tai pelkästään jonkin algoritmin seuraaminen tehtävän ratkaisemisessa ei anna itsessään

2

opiskelijalle valmiuksia suoriutua haastavammista matemaattisista ongelmista. Tällainen

jäljittelevä päättely ei vaadi opiskelijalta aiheen syvempää ymmärrystä. (Boesen, Lithner

& Palm, 2010) Kuitenkin Lithnerin jäljittelevää ja luovaa päättelyä koskevasta

tutkimuksesta selviää, että jäljittelevällä päättelyllä on suuri merkitys matematiikan

luovan ongelmanratkaisun kehittymisessä. (Lithner, 2007)

Teknologian kehittyminen on korostanut matemaattisen ongelmanratkaisutaidon

merkitystä (Polya, 2014). Teknologian rooli matematiikan opetuksessa kasvaa koko ajan

sähköisen ylioppilaskokeen ja kehittyvät tekniikan myötä. Kuten lukion

opetussuunnitelman perusteista käy ilmi, tulee teknologiaa hyödyntää niin matematiikan

opetuksessa kuin oppimisessa. Teknologian monipuolinen käyttäminen antaa oppilaalle

valmiudet suoriutua nyky-yhteiskunnan tuomista haasteista ja niiden käytön

hallitseminen kehittää osaltaan myös luovuutta. Erilaisten dynaamisten applikaatioiden

avulla voidaan havainnollistaa ongelmaa ja sitä voidaan tutkia usealta eri kannalta. Näin

ongelmista saadaan luovia ja päästään eroon vanhahtavista käsityksistä. (Heikkinen,

2016)

Derivaatta on lukion matematiikan yksi osa-alueista, joka tutkii funktion

muutosherkkyyttä. Tätä aihetta pidetään usein opiskelijoiden keskuudessa hankalana ja

suurimmalta osin teoria painotteisena tylsänä aiheena. Todellisuudessa derivaattaa voi

soveltaa moneen arkielämän ilmiöön, mutta omalta lukioajaltani muistan, ettei

arkielämän ja derivaatan välille syntynyt juurikaan yhteyttä. Derivoiminen koettiin

mekaaniseksi suoritukseksi, jossa tärkeintä oli oikeaan vastaukseen pääseminen. Halusin

tutkia, onko uuden opetussuunnitelman mukaisesti koottu oppikirja edelleen

teoriapainotteinen, vai vaaditaanko tehtävien ratkaisemisessa luovuutta.

Tutkielman tarkoituksena on tutkia, millaisia päättelytapoja uuden opetussuunnitelman

mukainen oppikirja vaatii oppilaalta ja sisältääkö oppikirja tarpeeksi luovuutta vaativia

tehtäviä. Päättelytapoja tarkastellaan myös teknologian näkökulmasta, ja teknologian

3

hyödyntämistä tutkitaan päättelytapojen, lähinnä luovan päättelyn kannalta.

Matemaattinen ongelman ratkaisutaito vaatii opiskelijalta teorian tuntemista ja saman

tyyppisten, mekaanisten laskutoimitusten suorittamista kehittyäkseen. Luovuuden

merkitys matemaattisen ajattelun ja matemaattisen ongelman ratkaisutaidon

kehittymisessä on suuri. Ilman luovuutta kaiken matemaattisen tekemisen tulisi olla vain

toisten tulosten kopioimista, eikä yksilölle jäisi juurikaan tilaa kokeilla itse. Luovuus tuo

matematiikkaan mahdollisuuden soveltaa aiemmin opittuja asioita, ja parhaassa

tapauksessa kehittää jotain uutta, ennalta määräämätöntä. Toivottavasti matematiikan

opetus lukiossa olisi menossa kohti luovaa matemaattista ajattelua.

4

Luku II

2 Teoria

Tässä luvussa esitellään teoreettisia lähtökohtia matematiikan oppimisesta ja oppikirjan

tehtävien analysoinnista. Ensimmäisessä alaluvussa käsitellään matematiikan oppimista

ja tehtävien analysointia Nissin ja Højgaardin (2011) kehittämien kahdeksan

kompetenssin avulla. Toisessa alaluvussa tarkastellaan luovuutta, josta siirrytään

matemaattiseen ongelman ratkaisuun. Matemaattinen ongelmanratkaisu vaatii päättelyä,

joten kolmannessa alaluvussa esitetään tutkimuksessa käsitellyt päättelytavat, jonka

jälkeen viimeisessä alaluvussa käsitellään kuinka derivaattaa tulisi opiskella.

Matematiikan kompetenssit

Niss ja Højgaard ovat kehittäneet matematiikan kompetensseja, jotka kuvaavat

matemaattisen ongelmanratkaisuprosessia. Kompetensseja on yhteensä kahdeksan ja ne

on jaettu kahteen pääryhmään; kyky kysyä ja vastata kysymyksiin matematiikassa

matematiikan avulla, sekä kyky käyttää matematiikan kieltä ja matemaattisia

apuvälineitä. Ensimmäiseen pääryhmään kuuluvat neljä ensimmäistä kompetenssia ja

toiseen pääryhmään kuuluvat loput neljä kompetenssia. Näiden kompetenssien avulla

pystytään analysoimaan ja kuvaamaan niin opettajan kuin oppilaankin valmiuksia

suoriutua matemaattisesta ongelmanratkaisusta.

5

Kuva 1. Nissin & Højgaardin kompetenssikukka. (Niss & Højgaard, 2011)

Neljä ensimmäistä kompetenssia ovat matemaattisen ajattelun, ongelmaan pureutumisen,

mallinnuksen ja perustelun kompetenssit. Matemaattisen ajattelun kompetenssissa

opiskelijan tulee ymmärtää kysymys sekä löytää tarpeelliset ja riittävät tiedot

ongelmanratkaisemiseksi. Ongelmaan pureutuminen tarkoittaa, että opiskelija osaa lähteä

tarkastelemaan ongelmaa oikealla tavalla ja kykenee pureutumaan sen ytimeen.

Mallinnuksen kompetenssissa paneudutaan opiskelijan kykyyn yhdistää matematiikan eri

osa-alueita, sekä analysoida ja rakentaa malleja niiden pohjalta. Opiskelijan kykyä

perustella väitteensä tai ratkaisunsa matemaattisesti oikein kuvaa perustelun kompetenssi.

Toiseen pääryhmään, eli kykyyn käyttää matematiikan kieltä ja apuvälineitä kuuluvat

esittelyn, symbolismin ja formalismin, kommunikoinnin sekä apuvälineiden ja työkalujen

kompetenssit. Esittämisen kompetenssilla tarkoitetaan, että opiskelija osaa hyödyntää,

6

käsitellä ja ymmärtää erilaisia matemaattisia esitysmuotoja. Symbolismin ja formalismin

kompetenssissa opiskelijan tulee ymmärtää ja osata käyttää matemaattista kieltä

ratkaisuissaan sekä perusteluissaan. Kommunikoinnin kompetenssissa opiskelijan tulee

osata ilmaista matemaattista tietoa usealla eri tavalla, kuten kuvaajin, tekstein ja

suullisesti. Viimeinen kompetenssi, eli apuvälineiden ja työkalujen kompetenssi

tarkoittaa, että opiskelijan tulee tietää, ymmärtää ja osata käyttää matemaattisen

ongelmanratkaisemiseen sopivia apuvälineitä. Lisäksi opiskelija osaa myös etsiä

tarvittavaa tietoa tukemaan omaa ongelmanratkaisuprosessia.

Kaikki esitetyt kompetenssit ovat itsenäisiä ja toimivat erillään, mutta ne myös

kietoutuvat toisiinsa. Kun tehtävän ratkaisua aloitetaan analysoimaan, voi siitä löytyä

useita kompetensseja, mutta analysointi voidaan tehdä myös käyttämällä vain siihen

parhaiten sopivaa kompetenssia. (Niss & Højgaard, 2011)

Luovuus

Luovuuden käsite on hankala määritellä tarkoin, mutta sen sisältymistä arkielämään ei

tule vähätellä. Monet arkielämän askareet tai tilanteet vaativat luovuutta ja matematiikalla

on sen kehittämisessä suuri rooli. (Pehkonen, 2012) Luovuus liitetään helposti taiteeseen,

eikä sen yhteyttä arkielämään välttämättä nähdä. Opettaja tarvitsee luovuutta muun

muassa työnsä suunnitteluun ja toteuttamiseen. Luovuus onkin kaikille yksilöille

ominainen piirre, johon liittyviä taitoja ja ajattelumalleja voidaan kehittää. Sitä tarvitaan,

kun yksilön tulee selviytyä yllättävästä tai muuttuvasta tilanteesta. (Sahlberg, Meisalo,

Lavonen & Kolari, 1993) Luovuudelle voidaan antaa eräs määritelmä; ”Luovuus on

toimintaa, jossa yksilö tuottaa jotakin uutta ja ennalta määräämätöntä” (Pehkonen, 2012).

Käsitteenä luovuus riippuu miltä kannalta sitä halutaan katsoa. Tässä tutkielmassa

luovuuden tarkastelu painottuu luovuuteen matematiikassa ja muiden alojen määritelmät

luovuudelle sivuutetaan. Luovuus onkin kykyä rikkoa rajoja ja kokeilla jotain uutta.

7

Luovuus ja luova päättely voivat johtaa epävarmuuteen ja vaativat riskinottoja.

Luovuuteen liittyy vahvasti yksilön mielikuvitus ja intuitio, jolla yksilö voi alkaa ratkaista

matemaattista ongelmaa. Se vaatii yksilöltä kykyä katsoa asiaa aivan uudelta kannalta, ja

unohtamaan vanhahtavat ajattelumallit, joissa ratkaisuun päädytään esimerkiksi

muistamalla asioita ulkoa. Luovaa ongelmaa tarkasteltaessa lopputulokseen ei kannata

kiinnittää liikaa huomioita, sillä tärkeintä luovuudessa ei ole itse vastaus, vaan polku jota

pitkin siihen päädytään. Opettajalla on avaimet kehittääkseen oppilaiden luovaa ajattelua

tarjoamalla heille sopivan haastavia ja luovia ongelmia ratkaistavaksi. (Pehkonen, 2012;

Polya, 2014)

Ongelmanratkaisu

Matemaattista ongelmanratkaisua tulee harjoitella koulussa, jotta opiskelija pystyy

suoriutumaan ongelmanratkaisusta itsenäisesti niin koulussa kuin arkielämässäkin. Eräs

tapa kehittää ongelmanratkaisutaitoa on harjoitella tehtävien ratkaisemista jäljittelemällä.

Ongelmatehtäviä tulee ensin tarkkailla, jäljitellä ja seurata miten muut ihmiset niitä

ratkaisevat. Tällaisen harjoittelun myötä oppilas oppii ratkaisemaan ongelmia

itsenäisesti. Ongelmanratkaisutaidon syntymiseen ja kehittymiseen vaaditaan motivaatio

oppia ratkaisemaan ongelmatehtäviä. Opettajan tulee pyrkiä motivoimaan oppilaitaan

mielekkäiden ilmiöiden ja arkipäiväisten ongelmien avulla, näin oppilas ymmärtää

ongelmanratkaisutaidon merkityksen syvemmin ja hän osaa soveltaa taitojaan

arkielämässä. Matemaattinen ongelmanratkaisu voidaan jakaa neljään vaiheeseen;

ongelman ymmärtäminen, ratkaisumenetelmän kehittäminen, suunnitelman toteutus sekä

ratkaisun tarkastelu ja arviointi. (Polya, 2014) Nämä neljä ongelmanratkaisun vaihetta

voidaan liittää Nissin ja Højgaardin määrittelemiin edellä käsiteltyihin kompetensseihin.

Ratkaistava ongelma tulee ymmärtää, sillä ei ole mielekästä alkaa ratkaista ongelmaa,

mitä ei ymmärrä. Oppilaan tulisi aina ymmärtää käsiteltävä ongelma ja haluta aidosti

8

ratkaista se. Sanallisissa tehtävissä oppilaiden tulee tunnistaa olennaiset tiedot

tehtävänannosta ja pohtia niitä huolellisesti. Tämä vaihe kuuluu matemaattisen ajattelun

kompetenssiin.

Ratkaisumenetelmän kehittämisen tarkoitus on suunnitella ennen varsinaisen ratkaisun

suorittamista menetelmä, jolla tehtävää voisi alkaa ratkaista. Oppilaan valitseman

menetelmän ei tarvitse olla täydellinen, vaan sitä voi kehittää ongelmanratkaisuprosessin

edetessä. Oppilaalla tulee siis olla idea, kuinka hän lähtee ongelmaa ratkaisemaan ja sitä

tulee kyetä tarkastelemaan oikealla tavalla, eli pureutumaan ongelman ytimeen. Tämä

ongelmanratkaisuprosessin vaihe kuuluu ongelmaan pureutumisen kompetenssiin.

Suunnitelman toteuttamisvaiheessa oppilaan on tarkoitus käyttää itse keksimää tai

kehittämää ratkaisumenetelmää. Tämän vaiheen toteutuksen ei tule olla liian helppoa, ja

tässä vaiheessa voidaan huomatakin oman ratkaisumenetelmän vajaavaisuus ja joutua

palaamaan ratkaisumenetelmän kehittämiseen. Oppilaan tulee yhdistellä aiemmin

opittuja taitoja ja edettävä kärsivällisesti kohti ratkaisua. Oppilas hyödyntää tässä

vaiheessa mallinnuksen, sekä apuvälineiden ja työkalujen kompetensseja.

Saatua ratkaisua ongelmaan tulee tarkastella ja sen oikeellisuutta tulee arvioida

kriittisesti. On hyvä myös tarkastaa, että pohjatietoja on käytetty oikein ja vastaus on

järkevä. Tämän vaiheen tarkoitus on tarjota oppilaalle mahdollisuus syventää

oppimistaan kritisoimalla omaa ratkaisuprosessiaan. Hänellä on mahdollisuus oppikirjan

sulkemisen sijaan kehittää omaa ymmärrystään ja syventää oppimista hiomalla

ratkaisuaan vieläkin paremmaksi. Onko siinä jotain ylimääräisiä vaiheita vai onko

ratkaisussa jokin kohta, jonka suorittaminen ei olekaan ratkaisuun päätymisen kannalta

olennaista? (Polya, 2014) Saatu ratkaisu, sen esittäminen, symbolismi ja formalismi, sekä

kommunikointi ovat tämän vaiheen kompetensseja.

Luovaa ongelmanratkaisua oppii vain itse tekemällä ja se kehittyykin parhaiten

harjoittelemalla aktiivisesti edellä mainittujen vaiheiden avulla. Luova ongelmanratkaisu

9

tarkoittaa avoimien ja joustavien menetelmien käyttämistä. Näillä menetelmillä yksilöltä

odotetaan ongelman tutkimista ja tarkastelua monipuolisesti, sekä ongelman lähestymistä

eri näkökulmista. Kuten luovuus yleensäkin, vaatii myös luova ongelmanratkaisu yksilöä

tuottamaan jotain ennalta arvaamatonta avoimen tai osakseen avoimen tehtävän

ratkaisemiseksi. Avoin tehtävä ei juurikaan rajaa sitä, kuinka sitä tulisi lähestyä, eikä

niissä määritellä ongelman ratkaisumenetelmää tarkasti, vaan ratkaisumenetelmän

kehittäminen ja ratkaisuun päätymisen polku jätetään ratkaisijan itse kehitettäväksi tai

löydettäväksi. (Sahlberg ym. 1993)

Päättelytavat

Matemaattisen ongelman ratkaisemiseen tarvittavat päättelytavat voidaan jakaa kahteen

päätyyppiin; jäljittelyyn perustuvaan ja luovaan päättelyyn. (Lithner, 2007) Jäljittelyyn

perustuva päättely voidaan taasen jakaa kahteen osioon; muistamiseen perustuvaan ja

algoritmiseen päättelyyn. Muistamiseen perustuvalla päättelyllä tarkoitetaan

ratkaisumallin valitsemista tehtävän ratkaisun muistamisen perusteella. Se perustuu

asioiden kirjoittamiseen ulkomuistista. Tällaisia tehtävätyyppejä ovat esimerkiksi

kysymykset: ”Mikä on rationaalifunktio tai kuinka monta litraa on yksi

kuutiosenttimetri.” Myös jotkin todistustehtävät perustuvat muistamiseen ja niihin

vastataan vain muistelemalla aiemmin kirjoitettua tai esitettyä todistusta.

Algoritmiseen päättelyyn rajataan yleensä tehtävät, joissa voidaan käyttää kaavoja, jotka

ovat ratkaisijalle tuttuja. Algoritmisessa päättelyssä polku ratkaisun saavuttamiseksi on

heti tehtävän alussa tiedossa. Tämä polku voi olla valmis esimerkki oppikirjassa, tai

vaikkapa valmiina annettu kaava. Tällaisessa tehtävätyypissä virhe syntyy vain, mikäli

tekee laskuvirheen. Tehtävän alussa valitaan ratkaisuun käytettävä kaava ja sitä

käyttämällä päädytään suoraviivaisesti ratkaisuun. Saatua ratkaisua ei arvioida tai

kritisoida, vaan perusteluita pidetään triviaaleina ja yleensä ne sivuutetaan. Algoritmista

10

päättelyä vaativien tehtävien merkitystä luovan ongelmaratkaisutaidon kehittymisessä ei

tule aliarvioida ja se on suuressa osassa oppilaan harjoitellessa omia

ongelmanratkaisutaitojaan (Polya, 2014). Jäljittelemällä tehtävien ratkaisuja ja

seuraamalla ratkaisuprosesseja oppikirjan esimerkkien avulla päästään aktiivisella

harjoittelulla koko ajan lähemmäksi luovaa matemaattista ajattelutapaa (Sahlberg ym.,

1993).

Luovuudella tarkoitetaan matematiikassa joustavaa ajattelua ja sitä pidetään myös

älykkyyden mittana. Luovuus onkin olennainen osa matemaattista ongelmanratkaisua.

Siihen kuuluu suurena osana yksilön oma intuitio tehtävän ratkaisuun pääsemisessä, sekä

yksilön kyky käyttää mielikuvitusta etsiessään toimivia ratkaisumalleja ongelmaan.

Luovassa ajattelussa yksilö tuottaa jotain ennalta-arvaamatonta, mitä ei ole esimerkiksi

tehtävässä määritetty. Tarkoituksena on valita tai kokeilla useita ratkaisumenetelmiä ja

aloittaa ongelman tarkastelu niillä. Luovan tehtävän ratkaisua ei voida saavuttaa

mekaanisesti laskemalla. Divergoiva ajattelu, eli mielikuvitus ja logiikka ovat luovan

ajattelun yhdistelmiä. Konvergoiva ajattelu tarkoittaa määrätietoista tavoitteeseen

pyrkivää loogista ajattelua, eikä se välttämättä vaadi ratkaisijaltaan luovuutta, toisin kuin

divergoiva ajattelu. Matemaattisen ongelmanratkaisun tarkoitus on kehittää luovuutta, ja

sen vuoksi myös uudessa opetussuunnitelman perusteissa se onkin keskiössä. Luovuuden

kehittämisen tarkoituksena on pyrkimys eroon vanhoista luutuneista ajattelutavoista ja

asenteista matematiikkaa kohtaan. Matemaattista ongelmanratkaisua pyritään

kehittämään joustavammaksi ja vastaanottavammaksi. (Pehkonen, 2012)

Matematiikassa luova päättely voidaan jakaa myös kahteen eri osaan, lokaaliin (LCR) ja

globaaliin luovaan päättelyyn (GCR). (Lithner, 2007) Lokaali luova päättely (LCR)

tarkoittaa, että osa ongelmanratkaisua vaatii luovuutta. Tehtävät ovat yleensä analyyttisiä

ja ratkaisuun päästään yleensä osakseen itse keksityllä ratkaisumallilla tai kaavalla.

Tehtävän pääideaa ei kuitenkaan tarvitse keksiä itse, vaan ratkaisussa voidaan käyttää jo

opittuja asioita. Globaalia luovaa päättelyä tarvitaan täysin luovan tehtävän

11

ratkaisemiseen. Tehtävän ratkaisemiseksi yksilön tulee seurata intuitiotaan tai

mielikuvitusta saadakseen tehtävän ratkaistuksi. Tehtävä ei yleensä ratkea heti, vaan sen

ratkaiseminen vaatii useampien ratkaisumallien tarkastelua ja kokeilemista. Tällaiset

ongelmat ovat joustavaa ajattelua kehittäviä ongelmia. Globaalia luovaa päättelyä

vaativan tehtävän ratkaisemisessa yksilön täytyy tuottaa jotain ennalta määräämätöntä

päästäkseen lopputulokseen tai eteenpäin ongelmanratkaisussaan. (Boesen ym., 2010;

Pehkonen, 2012)

Derivaatan oppiminen

Hähkiöniemi (2006) tuo esiin väitöskirjassaan hyötyjä erilaisten representaatioiden

käytöstä derivaatan opettamisessa. Representaatio tarkoittaa ongelman esittämistä,

kuvaamista tai sen tuomaa mielikuvaa, nämä mielikuvat voidaan rinnastaa divergoivaan

ajatteluun. Hähkiöniemen tutkimuksessa oppilaat käyttivät ongelmaan tutustuessaan ja

sitä ratkaistaessa kuvaajaa. Kuvaajasta tutkittiin jyrkkyyttä, vaakasuoruutta ja tangenttia.

Näitä käyrän ominaisuuksia oppilaat havainnollistivat elein ja käsien liikkein. Erilaisten

representaatioiden avulla voidaan oppia itse derivaatta, kun käsitellään sitä objektina,

Hähkiöniemi sanoo.

Opiskelija voi alkaa muodostaa matemaattista käsitettä kahdella eri tavalla Hähkiöniemen

(2006) mukaan. Hän voi suorittaa toimintoja jo olemassa oleville objekteille ja

abstrahoida näistä toiminnoista uuden objektin. Opiskelija voi esimerkiksi abstrahoida

derivaatan arvojen laskemisen toiminnoista derivaatta käsitteen.

Hähkiöniemi kertoo väitöskirjassaan hypoteettisesta oppimispolusta derivaatan

oppimisessa, jossa erilaiset representaatiot auttavat oppilasta oppimaan derivaatan. Tässä

mallissa derivaatan tutkiminen voidaan aloittaa liikkeen tai keskinopeuden kuvaajan

tulkinnalla. Näin derivaatta saadaan heti liitettyä jo opittuihin tuttuihin asioihin. Oppilas

12

saa näin käsityksen, että derivaatalla tarkoitetaan funktion herkkyyttä muutokselle.

(Hähkiöniemi, 2006)

Samu Eskelinen käsittelee pro gradu tutkielmassaan derivaatan oppimista Tall & Vinner

(1981) tutkimuksen mukaan. Tutkimuksessa on ilmennyt, että opiskelijoiden vaikeudet

funktion graafisten representaatioiden ymmärtämisessä johtuvat perinteisten

opetusmenetelmien käytöstä. Funktio esitetään tutkimuksen mukaan yleensä graafisesti,

mutta sen tutkiminen jää taka-alalle ja siirrytään algebralliseen tarkasteluun. Näin

graafiselle tulkinnalle ei anneta tarpeeksi tilaa toimia tukena ja apuvälineenä oppimisessa.

(Eskelinen, 2015)

Aiemmat tutkimukset

Matematiikan oppikirjoja on tutkittu yleisesti laajalti, alakoulun oppikirjoista lukion

oppikirjoihin. Isokääntä (2015) on tutkinut omassa pro gradu -tutkielmassaan yläkoulun

ja lukion geometrian oppikirjoja niiden sisältämien esimerkkien avulla. Hänen mukaansa

oppikirjojen rakenteet eivät juurikaan eroa toisistaan, mutta toteaa kuitenkin uuden

opetussuunnitelman voivan tuoda niihin vaihtelevuutta. (Isokääntä, 2015)

Partanen (2013) on tutkinut lukion oppikirjan käyttöä lukiolaisten kannalta pro gradu -

tutkielmassaan ja hän toteaakin, että oppikirjaa käytetään suurimmaksi osaksi tehtävien

tekemiseen. Tutkimuksessa huomattiin lukiolaisten positiivinen suhtautuminen

oppikirjaan heidän oppimisensa tukena, mutta se vaatii oppikirjalta tiivistä teoriaa ja

hyviä malliesimerkkejä. (Partanen, 2013)

Luovaa ja jäljittelevää päättelyä oppikirjan tehtävissä on tutkinut Gustafsson (2013) pro

gradu -tutkielmassaan. Hän tutki yläkoulun kirjasarjoja ja havaitsi niiden sisältävän

enemmän jäljittelevää, kuin luovaa päättelyä vaativia tehtäviä. (Gustafsson, 2013)

13

Luovuutta matematiikassa ovat tutkineet muiden muassa Lithner (2007). Lithner on

tutkinut erilaisia päättelytapoja, sekä luovuuden merkitystä matematiikan oppimisessa.

Hän jakoi ongelmanratkaisemiseen tarvittavat päättelytavat jäljittelyä vaativiin ja

luovuutta vaativiin päättelytapoihin. (Lithner, 2007)

Leskinen on tutkinut pro gradu -tutkielmassaan luovuuden merkitystä matemaattiseen

ongelmanratkaisuun, sekä luovuuden merkitystä opetuksessa. Hänen mukaansa luovuutta

vaativia tehtäviä tulisi sisällyttää opetukseen perinteisen opetustyylin rinnalle. (Leskinen,

2014)

14

Luku III

3 Tutkimusmenetelmät

Tutkimuksella haluttiin selvittää, minkä verran uuden opetussuunnitelman mukaisesti

kootussa oppikirjassa esiintyy luovaa päättelyä. Hypoteesina oli, että jäljittelyyn

perustuvaa päättelyä esiintyy luovaa päättelyä enemmän. Tutkimus sisältää kaksi osaa;

kvantitatiivisen ja kvalitatiivisen analyysin. Molemmissa analyyseissä tutkittiin myös

teknologian hyödyntämistä jokaisessa luokitteluun valitussa päättelytavassa. Painoarvo

teknologian tarkastelussa oli luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä ja sitä verrattiin

jäljittelevää päättelyä sisältäviin tehtäviin. Tehtävä sisälsi teknologiaa, mikäli

tehtävänannossa niin sanottiin, tehtävään oli liitetty Geogebra-applikaatio tai tehtävän

ratkaisusta kävi ilmi, että siinä oletetaan käytettävät teknologisia apuvälineitä, kuten

CAS-laskinta. Teknologia oli kaksiarvoinen muuttuja, eli tehtävä joko sisälsi teknologiaa

tai ei. Tutkimukseen valittiin Otavan Juuri MAA 6 Derivaatta (Hähkiöniemi, Juhala,

Juutinen, Louhikallio-Fomin, Luoma-Aho, Raittila, & Tikka, 2016) - kurssin oppikirja,

joka on koottu vuoden 2015 lukion opetussuunnitelman perusteita mukaillen.

Tutkimuskysymyksiksi muotoutui seuraavat:

1. Millaista luovaa päättelyä derivaatta -kurssin tehtävät vaativat tai sisältävät?

2. Onko uuden opetussuunnitelman vaatimuksiin luovuudesta vastattu oppikirjassa?

15

3. Hyödynnetäänkö teknologiaa luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä jäljittelevää

päättelyä vaativia tehtäviä enemmän?

Kvantitatiivisessa tutkimuksessa luokiteltiin oppikirjan joka toinen tehtävä

päättelytapojen (MR, AR, LCR ja GCR) mukaisesti luokkiin. (Lithner, 2007) Tehtäviä

luokiteltiin yhteensä 136 kappaletta, jolla saatiin kattava kuva oppikirjan sisältämistä

tehtävistä. Luokiteltujen tehtävien vaatimat päättelytavat laskettiin prosentteina, mikä

kertoo, kuinka paljon mitäkin päättelytapaa oppikirjan tehtävissä vaaditaan. Tehtävien

teknologian hyödyntämistä oppimisen tukena ja apuvälineenä tarkasteltiin ja teknologian

hyödyntämistä tutkittiin jokaisen päättelytavan kohdalla erikseen. Luokiteltujen tehtävien

vaatimia päättelytapoja verrattiin myös oppikirjan käyttämään tehtävien luokitteluun.

Kvalitatiiviseen analyysiin valittiin jokaiseen päättelytapaan luokiteltu tehtävä ja sitä

analysoitiin opetussuunnitelman perusteiden, matemaattisten kompetenssien, eri

päättelytapojen ja derivaatan oppimisen kannalta. Laadullisella tutkimuksella haluttiin

tuoda esiin erilaisten päättelytapojen merkitys matematiikan ymmärtämisessä ja

oppimisessa. Lisäksi haluttiin tarkastella, kuinka hyvin oppikirja toteuttaa

opetussuunnitelmassa määritetyt tavoitteet.

Oppikirjan yleisesittely

Oppikirjan rakenne on perinteinen ja jokainen kappale koostuu teoriaosasta, esimerkeistä

ja harjoitustehtävistä, joihin löytyy oikeat vastaukset kirjan takaa. Tehtävät on luokiteltu

oppikirjassa ydintehtäviin, vahvistaviin ja syventäviin tehtäviin. Vahvistavat ja

syventävät tehtävät ovat monipuolisempia ja haastavampia kuin ydintehtävät. Jokaisessa

kappaleessa muutamia tehtäviä, joihin löytyy kirjan takaosasta vihje. Näin opiskelijan ei

tarvitse heti pyytää apua, vaan hän voi ensin yrittää ratkaista tehtävää vihjeen avulla.

Oppikirja sisälsi valmiita digiapplikaatioita osassa tehtävistä, ja jokaisen kappaleen alussa

oli myös digijohdanto, joka sisälsi applikaation uuden aiheen ymmärtämiseksi.

16

Applikaatiot oli toteutettu Geogebra-ohjelmalla ja niitä pystyi käyttämään suoraan

oppikirjan digimateriaalista. Opiskelijan on siis mahdollista myös vastata tehtäviin

verkkokirjaan ja tehdä sinne muistiinpanoja.

Luokittelukriteerit

Tehtäviä analysoitiin oppikirjan esimerkkien, teorian ja malliratkaisujen avulla

käyttämällä alla esitettyä analysointityökalua. Analysointityökalussa on sovellettu

Lithnerin (2007) tekemää päättelytapojen luokittelua ja sitä on muokattu vastaamaan

lukion oppikirjan tarpeita. Luokitteluryhmiä tarkennettiin, jotta erot tehtävien

luokittelussa saatiin yksiselitteisesti esiin. Kukin tehtävä voi kuulua vain yhteen

luokkaan.

Tehtävät luokiteltiin seuraaviin neljään ryhmään:

1. Muistamiseen perustuva päättely (MR)

• Toistetaan määrättyä prosessia ja muistetaan, kuinka tehtävä ratkaistaan.

• Tehtävän ratkaiseminen perustuu aiemmin opitun ulkoa muistamiseen.

• Kirjasta löytyvät tai ennalta läpikäydyn todistuksen kirjoittaminen.

• Esim. Mikä on kulmakerroin? Mikä on polynomi?

2. Algoritmiin perustuva päättely (AR)

• Kirjasta löytyy vastaava esimerkki, jolla tehtävän voi ratkaista suoraan.

• Oppikirjasta löytyy suora kaava, jolla tehtävän voi ratkaista.

• Tehtävän ratkaisemiseen tarvittava polku on heti tehtävän alusta tiedossa.

• Perusteluja pidetään triviaaleina ja väärään vastaukseen päädytään vain tekemällä

laskuvirhe.

• Tehtävän voi ratkaista mekaanisesti laskemalla

17

3. Lokaaliin luovuuteen perustuva päättely (LCR)

• Osa tehtävän ratkaisua vaatii luovaa ajattelua

• Tehtäviin ei löydy täysin vastaavaa esimerkkiä oppikirjasta tai tehtävän muotoilu

poikkeaa siitä tai kirjan teoriasta huomattavasti.

• Vaatii tehtävän ratkaisijalta omaa päättelyä, eikä kirjasta löydy apua tehtävän

täydelliseen ratkaisemiseen.

4. Globaaliin luovuuteen perustuva päättely (GCR)

• Tehtävä poikkeaa täysin kirjan esimerkeistä tai teoriasta.

• Vaatii oman ratkaisumenetelmän löytämisen tai kehittämisen

• Tehtävät, jotka sisältävät useiden aiemmin opittujen asioiden yhdistämistä.

Esimerkkejä

Alla on esitetty kaksi esimerkkitehtävää jokaisesta luokittelussa käytetystä

päättelytavasta, sekä perustelut luokittelulle. Esimerkit 1-4 ovat jäljittelyyn perustuvaa

päättelyä vaativia tehtäviä ja näistä esimerkit 1 ja 2 ovat muistamiseen perustuvaa

päättelyä vaativia ja esimerkit 3 ja 4 algoritmiseen päättelyyn perustuvia. Esimerkit 5-8

vaativat ratkaisijalta luovuutta ainakin jossain vaiheessa tehtävänratkaisuprosessia.

Esimerkit 5 ja 6 vaativat lokaalia luovaa päättelyä ja esimerkit 7 ja 8 globaalia luovaa

päättelyä. Kvalitatiiviseen analyysiin valittiin joka toinen seuraavista esimerkkitehtävistä.

18

Esimerkki 1.

207) Seuraavista päättelyistä vain yksi on oikein. Mikä?

A Jos halutaan laskea funktion f raja-arvo kohdassa 𝑥 = 1, ensin on varmistettava, että

arvo 𝑓(1) on olemassa.

B Funktion arvo ja raja-arvo kohdassa 𝑥 = 𝑎 voivat olla eri suuria.

C Jos tiedetään, että 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1

𝑓(𝑥) = 1, niin 𝑓(−1) = 1.

Tehtävän sai ratkaistua vain muistamalla oppikirjassa esitetty teoria ulkoa ja tämän

vuoksi tehtävä kuuluu muistamiseen perustuvan päättelyn luokkaan. Tehtävän väittämiä

pystyi vertaamaan suoraan oppikirjan teoriaan ja löytämään oikean päättelyn.

Esimerkki 2.

247) Onko funktio 𝑓 jatkuva kohdassa 𝑥 = 2? Perustele.

a) b) c)

Tehtävän ratkaisuun riitti oppikirjasta löytyvän määritelmän (s.53) ulkoa muistaminen.

Malliratkaisuissa esiintyvänä perusteluna on vain määritelmän uudelleen kirjoittaminen.

Esimerkki 3.

126) Ratkaise epäyhtälö. Varmista tulos kuvaajan avulla.

a) 3−5𝑥

8𝑥−6≤ 0 b)

2𝑥−6

𝑥2−9≥ 0

19

Tehtävä jäljittelee oppikirjan esimerkkiä kolme (s. 25) ja ratkaisuun päädytään suoraan

sen avulla. Opiskelijalta vaaditaan algoritmista päättelyä epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Esimerkki 4.

340) Olkoon 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥.

a) Muodosta funktion 𝑓 derivaattafunktio 𝑓′(𝑥).

b) Laske funktion 𝑓 muutosnopeus kohdassa 𝑥 = 2 eli 𝑓′(2).

Tehtävän ratkaisussa jäljiteltiin oppikirjan määritelmää (s. 86) ja derivointisääntöjä (s.

89), joiden käyttäminen tällaisessa tehtävässä kuuluu algoritmiseen päättelyyn.

Esimerkki 5.

434) a) Tutki appletin avulla, kuinka monta nollakohtaa funktiolla 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 + 𝑐

voi olla. Kiinnitä erityisesti huomiota funktion paikalliseen maksimin ja minimin sijaintiin

eri tilanteissa.

b) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 + 2 on yksi nollakohta.

c) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 + 1 on kolme nollakohtaa.

Tehtävän ratkaiseminen vaati useampien asioiden yhdistämistä, kuten Bolzanon lause,

kulkukaavio ja teoria. Ratkaisu tehtävän kaikkiin kohtiin on jo alussa tiedossa, sillä

tehtävään kuuluu Geogebralla tehty appletti. Tehtävä vaatii osakseen luovuutta

ratkaisussa, mutta ratkaisu on jo valmiiksi tiedossa ja tämän vuoksi tehtävä kuuluu

lokaaliin luovaan päättelyyn.

20

Esimerkki 6.

527) Joen varteen halutaan rajata aidalla 200𝑚2:n suuruinen suorakulmion muotoinen

alue. Aita tarvitaan kolmelle sivulle.

a) Arvioi lyhyimmän mahdollisen aidan pituus appletin avulla.

b) Muodosta lauseke aidan pituudelle. Valitse muuttujaksi 𝑥 joen suuntaisen sivun pituus.

c) Määritä lyhyimmän mahdollisen aidan pituus.

Tehtävään kuului appletti, jonka avulla lyhyimmän aidan pituuden saa selvitettyä, eli

vastaus tehtävään on jo alussa tiedossa. Lyhyimmän mahdollisen aidan pituuden

määrittäminen vaatii opiskelijalta luovaa päättelyä, eli osa tehtävän ratkaisusta vaatii

luovaa päättelyä ja tämän vuoksi tehtävä kuuluu lokaalin luovan päättelyn luokkaan.

Esimerkki 7.

332) Tutki käyriä 𝑦 =𝑥2−3

2𝑥−3 ja 𝑦 = 𝑥2 + 1.

a) Määritä käyrien yhteiset pisteet ilman teknisiä apuvälineitä.

b) Piirrä käyrät sopivalla ohjelmalla ja tarkastele käyriä erityisesti yhteisten pisteiden

läheisyydessä tarvittaessa suurentaen kuvaa. Kuvaile havaitsemasi ero.

21

c) Määritä yhteisiin pisteisiin piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet algebrallisesti.

Käytä tarvittaessa symbolisen laskennan ohjelmaa apuna. Miten tangenttien yhtälöt

vahvistavat b-kohdan havainnot?

Tehtävässä vaaditaan opiskelijalta paljon aiemmin opittujen asioiden yhdistämistä ja

tehtävänannosta tulee kyetä löytämään ratkaisulle olennaisimmat asiat. Opiskelijan tulee

ajatella luovasti ja vapaasti valittavan teknologian käyttäminen tukee tätä, joten tehtävä

kuuluu globaaliin luovaan päättelyyn.

Esimerkki 8.

438) Suorakulmion muotoisesta peltilevystä rakennetaan laatikko poistamalla jokaisesta

nurkasta yhtä suuret neliön muotoiset palat ja taittamalla jäljelle jäänyt levy

suorakulmaiseksi särmiöksi. Miten pois leikattavien neliöiden sivun pituus tulisi valita,

jotta laatikon tilavuus olisi suurin mahdollinen? Mikä on tällöin tilavuus?

Tehtävä liittyy arkielämään ja vaikka siihen on tehty appletti, ei se anna kuitenkaan

valmista vastausta vaan kaikki seikat ovat avoimena opiskelijalle. Opiskelijan tulee

ajatella luovasti ja koettaa kokeilemalla keksiä kuinka ratkaisuun päädytään. Tämän

vuoksi tehtävä kuuluu globaalin luovan päättelyn luokkaan.

22

Tehtävien kvalitatiivinen analyysi

Tutkimus sisältää myös laadullisen analyysin, jossa neljää tehtävää analysoidaan

tarkemmin ja tarkastellaan mitä matematiikan kompetensseja, teknologiaa ja

päättelytapaa niiden ratkaiseminen vaatii. Analysoitavat tehtävät olivat edellä esitetyt

tehtävät: 207, 126, 434 ja 332. Tehtävät valittiin, sillä ne kuvaavat hyvin päättelytapaa,

jota ne edustavat.

23

Luku IV

4 Tulokset

Tässä luvussa esitellään tutkimustulokset ja niitä tarkastellaan tarkemmin

pohdintaosiossa. Kvantitatiivisen analyysin tulokset on esitetty oppikirjan lukujen

mukaisessa järjestyksessä ja niistä jokainen käsitellään erikseen. Lopuksi on esitetty

kaikkien tehtävien yhteenlasketut eri päättelytapojen prosentuaaliset osuudet.

Kvantitatiivisen analyysin tuloksissa on esitetty valitut tehtävät päättelytapojen

mukaisessa järjestyksessä ja niitä on tarkasteltu niin päättelytapojen kuin matemaattisten

kompetenssien, derivaatan oppimisen, uuden opetussuunnitelman ja teknologian

kannalta.

Kvantitatiivinen analyysi

Oppikirjan ensimmäisen luvun tehtävien (24kpl) jakauma on esitetty seuraavassa

taulukossa.

24

Taulukko 1. Luvun 1. Rationaalifunktio, tehtävien luokittelu (yhteensä 24 tehtävää)

MR AR LCR GCR Teknologia

Yhteensä: 0 7 10 7 9

Prosentteina: 0% 29,2% 41,6% 29,2% 37,5%

Rationaalifunktio luku (Taulukko 1) ei sisältänyt yhtään tehtävää, joka perustuisi vain

ulkoa muistamiseen. Algoritmiseen päättelyyn perustuvia tehtäviä oli 29,2%

tarkastelluista tehtävistä. Täysin luovia tai luovuutta vaativia tehtäviä oli 70,8%

luokitelluista tehtävistä. Näistä lokaalia luovaa päättelyä (LCR) vaativia oli 41,6% ja

globaalia luovaa päättelyä (GCR) vaativia 29,2%. Ensimmäisen luvun tehtävistä 37,5%

hyödynnettiin teknologiaa.

Raja-arvo ja jatkuvuus luvun tehtävien (34kpl) vaatimat päättelytavat on esitetty

seuraavassa taulukossa.

Taulukko 2. Luvun 2. Raja-arvo ja jatkuvuus, tehtävien luokittelu (yhteensä 34

tehtävää)


Yhteensä: 4 10 15 5 9

Prosentteina: 11,8% 29,4% 44,1% 14,7% 26,5%

Toisen luvun (Taulukko 2) tehtävistä 41,2% oli jäljittelyyn perustuvia tehtäviä. Niistä

11,8% oli muistamiseen perustuvia (MR) tehtäviä ja 29,4% oli algoritmiseen päättelyyn

25

perustuvia (AR). Luovuutta vaativia tehtäviä oli yhteensä 58,8% raja-arvo ja jatkuvuus -

luvun tehtävistä. Niistä 44,1% tehtävistä vaati luovuutta jossain vaiheessa tehtävän

ratkaisua ja kuuluivat näin lokaalin luovan päättelyn (LCR) luokkaan. Globaalia luovaa

päättelyä (GCR) vaativia tehtäviä oli 14,7% luvun tehtävistä. Teknologiaa hyödynnettiin

26,5% 34 luokitellusta tehtävästä.

Derivaatta -luvun tehtävien (30kpl) luokittelu on esitetty seuraavassa taulukossa.

Taulukko 3. Luvun 3. Derivaatta, tehtävien luokittelu (yhteensä 30 tehtävää)


Yhteensä: 1 10 13 6 11

Prosentteina: 3,3% 33,3% 43,3 20,0% 36,7%

Kolmannen luvun tehtävistä (Taulukko 3) 36,6% perustui jäljittelevään päättelyyn, joista

3,3% perustui muistamiseen perustuvaan päättelyyn (MR) ja 33,3% perustui

algoritmiseen päättelyyn (AR). Luovaan päättelyyn perustuvia tehtäviä oli 63,3% luvun

tehtävistä, joista 43,3% kuului lokaaliin luovaan päättelyyn (LCR) ja 20,0% kuului

globaaliin luovaan päättelyyn (GCR). Tehtävistä 36,7% hyödynnettiin teknologiaa.

Polynomifunktion kulku -luvun tehtävien (25kpl) luokittelu on esitetty seuraavassa

taulukossa.

26

Taulukko 4. Luvun 4. Polynomifunktion kulku, tehtävien luokittelu (yhteensä 25

tehtävää)



Prosentteina: 0% 28,0% 20,0% 52,0% 28,0%

Luvun neljä (Taulukko 4) tehtävistä yksikään ei kuulunut muistamiseen perustuvan

päättelyn (MR) ryhmään. Algoritmiseen päättelyyn perustuvia tehtäviä oli 28,0% luvun

luokitelluista tehtävistä. Luovaa päättelyä vaativia tehtäviä oli 72,0% kaikista 25

tehtävästä. Näistä 20% kuului lokaaliin luovaan päättelyyn (LCR) ja 52,0% globaaliin

luovaan päättelyyn (GCR). Teknologia sisältyi 28,0% luvun tehtävistä.

Viidennen ja viimeisen luvun tehtävien (23kpl) luokittelu on esitetty seuraavassa

taulukossa.

Taulukko 5. Luvun 5. Rationaalifunktion kulku, tehtävien luokittelu (yhteensä 23

tehtävää)



Prosentteina: 0% 34,8% 30,4% 34,8% 34,8%

Rationaalifunktion kulku -luvun tehtävistä (Taulukko 5) 34,8% kuului jäljittelyyn

perustuvaan päättelyyn ja nämä kaikki tehtävät kuuluivat algoritmisen päättelyn (AR)

27

luokkaan. Muistamiseen perustuvia tehtäviä ei ollut yhtään. Luovaa päättelyä vaati 65,2%

luvun 23 luokitellusta tehtävästä, joista 30,4% kuului lokaaliin luovaan päättelyyn (LCR)

ja 34,8% kuuluin globaaliin luovaan päättelyyn (GCR). Teknologiaa oli hyödynnetty

34,8% tehtävistä.

Alla on esitetty kaikkien lukujen luokiteltujen tehtävien yhteenlasketut osuudet kussakin

luokassa.

Taulukko 6. Oppikirjan kaikki tehtävät luokiteltuna (yhteensä 136 tehtävää)


Yhteensä: 5 42 50 39 44

Prosentteina: 3,7% 30,9% 36,7% 28,7% 32,4%

Kaikista luokitelluista tehtävistä (136kpl) (Taulukko 6) jäljittelyyn perustuvaa päättelyä

vaativia tehtäviä oli 34,6%, joista 3,7% oli muistamiseen perustuvia (MR) ja 30,9%

algoritmiseen perustuvia (AR). Luovaa päättelyä vaati kaikista luokitelluista tehtävistä

65,4%. Lokaalia luovaa päättelyä (LCR) vaati 36,7% tehtävistä ja 28,7% vaati globaalia

luovaa päättelyä (GCR). Kaikista luokitelluista tehtävistä 32,4% hyödynsi teknologiaa

tehtävän ratkaisussa.

Oppikirjassa tehtävät oli luokiteltu ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja syventäviin

tehtäviin. Taulukossa 7 on esitetty kunkin oppikirjan käyttämän luokittelutavan

sisältämien päättelytapojen määrä prosentteina.

28

Taulukko 7. Oppikirjan käyttämän tehtäväjaon luokittelu päättelytapojen mukaan.

Tehtävätyyppi: MR AR LCR GCR Teknologia

Ydintehtävät 12,1% 75,8% 12,1% 0% 9,1%

Vahvistavat

tehtävät

1,6% 20,3% 45,3% 32,8% 40,6%

Syventävät

tehtävät

0% 10,3% 43,6% 46,1% 38,5%

Ydintehtäviä oli yhteensä 33 kappaletta, vahvistavia tehtäviä oli 64 kappaletta ja

syventäviä tehtäviä oli 39 kappaletta. Ydintehtävistä 12,1%, vahvistavista tehtävistä 1,6%

ja syventävistä tehtävistä 0% vaati muistamiseen perustuvaa päättelyä (MR).

Ydintehtävistä 75,8%, vahvistavista tehtävistä 20,3% ja syventävistä tehtävistä 10,3%

vaati algoritmista päättelyä (AR). Ydintehtävistä 12,1%, vahvistavista tehtävistä 45,3%

ja syventävistä tehtävistä 43,6% vaati lokaalia luovaa päättelyä (LCR). Ydintehtävistä

0%, vahvistavista tehtävistä 32,8% ja syventävistä tehtävistä 46,1% vaati globaalia

luovaa päättelyä (GCR). Ydintehtävistä 9,1%, vahvistavista tehtävistä 40,6% ja

syventävistä tehtävistä 38,5% hyödynsi teknologiaa tehtävän ratkaisussa. Vahvistavissa

ja syventävissä tehtävissä hyödynnettiin teknologiaa ydintehtäviä enemmän.

29

Taulukko 8. Päättelytapojen sisältämä teknologian määrä.

MR AR LCR GCR

Yhteensä: 1 4 19 20

Prosentteina: 20,0% 9,5% 38,0% 51,3%

Muistamiseen perustuvan päättelytavan tehtäviä luokittelussa oli viisi, algoritmiseen

päättelyyn perustuvia tehtäviä oli luokittelussa 42, lokaaliin luovaan päättelyyn kuului 50

tehtävää ja globaaliin luovaan päättelyyn kuului 39 tehtävää (Taulukko 6). Muistamiseen

perustuvista (MR) tehtävistä 20%, eli yksi tehtävä hyödynsi teknologiaa ja algoritmiseen

päättelyyn kuuluvista tehtävistä 9,5% hyödynsi teknologiaa. Lokaalin luovan päättelyn

tehtävistä 38% hyödynnettiin teknologiaa ja globaalin luovan päättelyn tehtävistä 51,3%

hyödynsi teknologiaa (Taulukko 8).

Kvalitatiivinen analyysi

Oppikirjan malliratkaisut tehtäviin on esitetty liitteessä B niiden käsittelyjärjestyksessä.

207 (MR): Seuraavista päättelyistä vain yksi on oikein. Mikä?

A Jos halutaan laskea funktion f raja-arvo kohdassa 𝑥 = 1, ensin on varmistettava, että

arvo 𝑓(1) on olemassa.

B Funktion arvo ja raja-arvo kohdassa 𝑥 = 𝑎 voivat olla eri suuria.

C Jos tiedetään, että 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1

𝑓(𝑥) = 1, niin 𝑓(−1) = 1.

30

Tehtävän ratkaiseminen vaatii vain muistamiseen perustuvaa päättelyä. Tehtävän

ratkaisemiseen tarvittavat tiedot löytyvät kirjan teoria osiosta. Tehtävä oli oppikirjassa

luokiteltu vahvistavaksi tehtäväksi. Tehtävän malliratkaisussa oli perusteltu vääriä

väittämiä, vaikkei sitä tehtävän annossa pyydetty.

Tehtävän ratkaisussa tuli löytää kolmesta väittämästä oikea. Oikean väittämän voi löytää

lukemalla kirjan teoria osion huomautuksen: ”Funktion arvolla kohdassa 𝑥 = 𝑎 ei ole

raja-arvon olemassaolon eikä itse raja-arvon kannalta merkitystä. Funktion ei tarvitse olla

edes määritelty kohdassa 𝑥 = 𝑎 (Hähkiöniemi ym. 2016).”

Tehtävän ratkaisu sivuaa (Niss & Højgaardin 2011) kompetenssikukan toista pääryhmää,

jossa opiskelijan tulee kyetä kysymään ja vastaamaan kysymyksiin matematiikassa ja

matematiikan avulla. Tehtävässä opiskelijalta vaaditaan matemaattisen ajattelun

kompetenssia, eli opiskelijan tulee ymmärtää kysymys ja osata etsiä tarvittavat tiedot

ongelmanratkaisemiseksi oppikirjasta. Tehtävän ratkaiseminen perustuu vain ulkoa

muistamiseen tai suoraan oppikirjasta tiedon hakemiseen, joten ratkaisuprosessiin ei

sisälly muita matemaattisia kompetensseja.

Tehtävässä ei vaadita opiskelijalta luovuutta, eikä matemaattista ajattelua edellä mainittua

enempää. Tehtävässä ei hyödynnetä teknologiaa, eikä se vastaa suoraan uutta

opetussuunnitelmaa.

126 (AR): Ratkaise epäyhtälö. Varmista tulos kuvaajan avulla.

a) 3−5𝑥

8𝑥−6≤ 0 b)

2𝑥−6

𝑥2−9≥ 0

Tehtävä on mekaaninen laskutoimitus, jonka voi ratkaista jäljittelemällä kirjan

esimerkkiä vaihe vaiheelta. Tehtävä on luokiteltu oppikirjassa ydintehtäväksi, eli sen

tarkoitus on vahvistaa perusasioiden hallitsemista.

31

Tehtävässä tuli ratkaista kaksi epäyhtälöä ja varmistaa tulos kuvaajan avulla. Ratkaisu

aloitetaan määrittelemällä määrittelyehto, jonka jälkeen ratkaistaan osoittajan

nollakohdat merkkikaaviota varten. Nämä kaikki vaiheet on esitetty esimerkissä 3 (s. 25),

eikä tehtävän ratkaisu malliratkaisun perusteella poikkea siitä.

Tehtävän ratkaisuun sisältyy vahvasti (Niss & Højgaard, 2011) toisen pääryhmän

kompetensseja, eli kykyä käyttää matematiikan kieltä ja apuvälineitä. Opiskelijalta

vaaditaan esittelyn ja osakseen myös symbolismin ja formalismin kompetensseja.

Opiskelijan tulee kyetä tarkastelemaan ratkaisuaan kuvaajan avulla, sekä hyödyntämään

merkkikaaviota ratkaisuun pääsemisessä. Apuvälineiden ja työkalujen kompetenssin

hyödyntäminen ongelmanratkaisuprosessissa on jätetty avoimeksi tehtävänannossa,

vaikkakin jotakin sopivaa ohjelmaa hyödyntäen kuvaajien piirtäminen kyseessä olevien

epäyhtälöiden kohdalla on suotavaa.

434 (LCR): a) Tutki appletin avulla, kuinka monta nollakohtaa funktiolla 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

𝑥2 + 𝑐 voi olla. Kiinnitä erityisesti huomiota funktion paikalliseen maksimin ja minimin

sijaintiin eri tilanteissa.

b) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 + 2 on yksi nollakohta.

c) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 + 1 on kolme nollakohtaa.

Tehtävä vaatii ratkaisijalta lokaalia luovaa päättelyä, sillä tehtävässä tulee osoittaa kahden

eri funktion nollakohtien lukumäärät. Oppikirjassa tehtävä on luokiteltu vahvistaviin

tehtäviin, joten sen tarkoitus on syventää oppimista.

Tehtävässä tutkittiin appletin avulla funktiota, jonka vakiotermi oli c. Appletti oli

Geogebralla toteutettu ja sen käyttäminen oli selkeää. Appletin avulla pystyi

havaitsemaan vakiotermin arvon vaikutuksen nollakohtien lukumäärään. Sen avulla

nähtiin, että b- ja c-kohdissa osoitettavilla funktioilla on tehtävänannon mukaisesti

32

nollakohtia, mutta niiden lukumäärän osoittaminen on jätetty opiskelijan oman pohdinnan

varaan.

Nollakohtien osoittamisen tukena pystyi käyttämään oppikirjan esimerkkejä, mutta

valmista esimerkkiä siihen ei kuitenkaan ollut. Opiskelijan tulee ensin derivoida funktiot

ja selvittää derivaattafunktioiden nollakohdat. Tämän jälkeen derivaattafunktion avulla

voidaan tehdä kulkukaavio, josta havaitaan millä väleillä nollakohdat sijaitsevat. Lopuksi

Bolzanon lausetta hyödyntämällä saatiin osoitettua väite oikeaksi.

Tehtävä hyödyntää seuraavia matemaattisia kompetensseja: matemaattisen ajattelun

kompetenssi, ongelmaan pureutumisen kompetenssi, perustelemisen kompetenssi,

symbolismin ja formalismin kompetenssi ja apuvälineiden ja työkalujen kompetenssi.

Matemaattisen ajattelun kompetenssia tarvitaan, kun tehtävää aloitetaan ratkaisemaan.

Opiskelijan tulee ymmärtää mitä hän on osoittamassa, sekä hänen tulee soveltaa

oppikirjan esimerkkejä, jotta tehtävän ratkaisussa pääsee alkuun. Funktio täytyy

ymmärtää ensin derivoida ja aloittaa tämän jälkeen funktion kulun tarkastelu

derivaattafunktion avulla. Nämä vaiheet sisältyvät niin matemaattisen ajattelun kuin

ongelmaan pureutumisen kompetensseihin. Ratkaisuprosessissa tulee osata kirjoittaa

epäyhtälöt formaalisti, sekä tulos tulee perustella matemaattisesti oikein. Tehtävään

rakennettua applettia tulee osata hyödyntää ja osata nähdä siitä vakiotermin arvon

muuttumisen vaikutus nollakohtiin, sekä ymmärtää käyttää ratkaisussaan Bolzanon

lausetta. Nämä liittyvät apuvälineiden ja työkalujen kompetenssiin.

332 (GCR): Tutki käyriä 𝑦 =𝑥2−3

2𝑥−3 ja 𝑦 = 𝑥2 + 1.

a) Määritä käyrien yhteiset pisteet ilman teknisiä apuvälineitä.

b) Piirrä käyrät sopivalla ohjelmalla ja tarkastele käyriä erityisesti yhteisten pisteiden

läheisyydessä tarvittaessa suurentaen kuvaa. Kuvaile havaitsemasi ero.

33

c) Määritä yhteisiin pisteisiin piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet algebrallisesti.

Käytä tarvittaessa symbolisen laskennan ohjelmaa apuna. Miten tangenttien yhtälöt

vahvistavat b-kohdan havainnot?

Tehtävän ratkaiseminen vaatii globaalia luovaa päättelyä, sillä siinä tulee tutkia käyriä

useilla eri tavoilla, eikä ratkaisuun ole oppikirjassa mallia. Oppilaan tulee kyetä

kehittämään ratkaisumenetelmät jokaiseen kohtaan itse. Oppikirjassa tehtävä on

luokiteltu syventäviin tehtäviin.

Ensimmäisessä kohdassa tuli selvittää käyrien yhteiset pisteet, jotka saadaan selville

asettamalla käyrien yhtälöt yhtä suuriksi. Tämä vaihe tuli suorittaa ilman teknisiä

apuvälineitä ja olikin enemmän mekaaninen laskutoimitus. Kuitenkaan käyrien yhteisien

pisteiden määrittämiseen ei oppikirjassa annettu suoraan mallia, joten sen opiskelija

joutui keksimään itse tai muistelemaan aiemmin opittuja asioita.

Tehtävän b-kohdassa tuli piirtää käyrät itse valitsemallaan ohjelmalla ja havainnoida

käyrien käyttäytymistä yhteisten pisteiden läheisyydessä. Tästä tulisi huomata, että käyrät

leikkaavat yhdessä ja sivuavat toisiaan toisessa pisteessä. Opiskelijalle annettiin vapaus

käyttää haluamaansa sovellusta ratkaisunsa tukena. Leikkauspisteisiin piirrettyjen

tangenttien kulmakertoimet tuli määrittää c-kohdassa algebrallisesti ja käyttää

symbolisen laskennan ohjelmaa tukena. Opiskelijan tuli kertoa kuinka tangenttien yhtälöt

vahvistava b-kohdan havaintoja. Tangenttien kulmakertoimien määritys on jätetty aivan

opiskelijan oman valinnan varaan ja ne voikin tehtävässä ratkaista haluamallaan tavalla.

Niiden ratkaiseminen vaatii derivaatan käsitteen ja määritelmän ymmärtämistä. Lisäksi

b-kohdan havaintojen perustelu c-kohdasta saatujen tangenttien yhtälöiden avulla kertoo

opiskelijan taitotasosta ja kyvystä ratkaista matemaattisia ongelmia itsenäisesti.

Opiskelijan tulee ymmärtää kysymys ja löytää tarpeelliset tiedot ratkaisun saamiseksi,

niin kuvaajasta kuin tehtävänannostakin. Tehtävässä tulee kyetä lähtemään

tarkastelemaan ongelmaa oikealta suunnalta ja se vaatiikin hieman intuitiota opiskelijalta,

34

sillä oppikirjasta ei tähän tehtävään mennessä löydy valmista mallia. Tehtävä vaatii

opiskelijaa yhdistelemään aiemmin opittuja asioita ja arvioimaan kriittisesti omaa

työskentelyään. Ratkaisu tulee osata perustella matemaattisesti oikein ja c-kohdan

tuloksia tulee kyetä soveltamaan b-kohdan havaintoihin. Tehtävä toteuttaa kaikki neljä

ensimmäiseen pääryhmään kuuluvaa matemaattista kompetenssia. Ratkaisun

saavuttaminen c-kohdassa vaatii opiskelijalta divergoivaa ajattelua.

Tehtävässä tulee hyödyntää paljon teknologiaa ja sen valinta on jätetty opiskelijan itse

päätettäväksi. Opiskelija joutuu käyttämään ratkaisussaan siis kommunikoinnin sekä

apuvälineiden ja työkalujen kompetensseja, toisesta matemaattisten kompetenssien

pääryhmästä. Kommunikoinnin kompetenssi näkyy c-kohdassa, kun sen avulla tulee

kertoa kuinka tangenttien yhtälöt tukevat b-kohdan havaintoja.

35

Luku V

5 Pohdinta

Tässä luvussa käsitellään ensin luokiteltujen tehtävien päättelytapoja, ja sitä kuinka ne

jakautuivat oppikirjassa. Tämän jälkeen käsitellään kvalitatiivista analyysiä ja pohditaan

sen tuloksia. Lopuksi pohditaan teknologian hyödyntämistä ja jatkotutkimusaiheita.

Päättelytapojen vertailu

Oppikirjan luokitelluista tehtävistä alle 35% sisälsi jäljittelyyn perustuvaa päättelyä

(Taulukko 6), eli muistamiseen ja algoritmiseen päättelyyn perustuvaa. Tästä vain 3,7%

oli puhtaasti ulkoa muistamista vaativia tehtäviä. Oppikirjassa oli selvästi kiinnitetty

huomiota siihen, että muistamiseen perustuvia tehtäviä ei olisi. Muistamiseen

perustuvalla päättelyllä ei voida mitata oppilaan ymmärtämistä, eivätkä ne kehitä

matemaattista ongelmanratkaisukykyä (Lithner, 2007). Jäljittelyyn perustuvien tehtävien

kohdalla tilanne on toinen. Polya (2014) mainitsee teoksessaan, että matemaattisen

ongelmanratkaisutaidon kehittyminen vaatii jäljittelevien tehtävien tekemistä.

Opiskelijan tulee jäljitellä jotain tiettyä polkua ratkaisuun pyrkiessään, ja näin hänen

matemaattinen ajattelu- ja ongelmanratkaisutaidot kehittyvät kohti luovaa ajattelutapaa.

Algoritmiseen päättelyyn perustuvien tehtävien osuus luokitelluista tehtävistä oli 30,9%,

mikä on mielestäni täysin perusteltua. Yhtälöiden mekaanisen derivoimisen tulee olla

36

opiskelijalla hallussa, jotta hän voi suoriutua luovan tehtävän ratkaisemisesta. Hänellä

tulee olla taito suoriutua mekaanisista laskutoimituksista, että hän voi ajatella luovasti ja

kehittyä ongelmanratkaisussa.

Oppikirjan luokitelluista tehtävistä luovaa päättelyä vaati yhteensä 65,4%. Tästä lokaalia

luovaa päättelyä vaati 36,7% ja globaalia luovaa päättelyä 28,7%. Osa lokaalia luovaa

päättelyä vaativista tehtävistä vaati luovuutta enemmän kuin toiset, mutta ero globaaliin

luovaan päättelyyn oli selkeä. Noin kaksi kolmasosaa luokitelluista tehtävistä sisälsi

ainakin palan luovaa ajattelua ja tämä onkin ongelmanratkaisun kannalta erittäin

merkittävä seikka. Tekemällä lokaalia luovaa päättelyä vaativia tehtäviä opiskelijan

matemaattinen ongelmanratkaisutaito kehittyy, ja hänen valmiudet suoriutua globaalia

luovaa päättelyä vaativista tehtävistä parantuvat (Polya, 2014). Opiskelija saa käyttää

mielikuvitustaan ratkaisua kehitellessään, ja tämä antaa myös opettajalle mahdollisuuden

ruokkia opiskelijan motivaatiota yleisestikin matematiikkaa kohtaan. Globaalia luovaa

päättelyä vaativissa tehtävissä opiskelijan tulee osata yhdistellä useita aiemmin opittuja

asioita, eikä ratkaisuun löytynyt oppikirjasta vastaavaa esimerkkiä. Opiskelijalle annettiin

useissa tehtävän annoissa tietoon, että hänen tulee käyttää jotain sopivaksi katsomaansa

teknologista apuvälinettä ongelmaan tutustumisessa, kuten myös ratkaisuun

pääsemisessä. Opiskelijan saatua globaalia luovaa päättelyä vaativa tehtävä ratkaistua,

tuo se hänelle tunteen onnistumisesta. Tällaisilla onnistumisen kokemuksilla, eli

affekteilla on suuri merkitys matematiikan ongelmanratkaisutaidon kehittymisessä ja

motivaatiossa matematiikkaa kohtaan (Hyvärinen, 2017). Globaalia luovaa päättelyä

vaativat tehtävät sisälsivät myös useampia Niss & Højgaardin matematiikan

kompetensseja, ja olivat sen vuoksi huomattavasti monipuolisempia muihin tehtäviin

nähden. Yllättävien ja muuttuvien tilanteiden käsitteleminen antaa myös opettajalle

enemmän tietoa opiskelijan taitotasosta ja siitä, kuinka hän osaa ratkaista matemaattisia

ongelmatehtäviä. Matemaattinen luovuus onkin sitä, että opiskelija voi tuottaa jotain

ennalta määräämätöntä ja seurata intuitiotaan. Globaalin luovan päättelyn tehtävissä

opiskelijan tuli alkaa ratkaista ongelmaa rohkeasti, ja välillä kokeilemalla erilaisia

37

ratkaisumalleja. Osassa globaalin luovan päättelyn tehtävissä opiskelijan tuli käyttää vain

intuitiotaan päästäkseen ratkaisuun. Globaalin luovan päättelyn tehtävissä oli myös paljon

hyödynnetty arkielämän ilmiöitä ja niitä pyrittiin tuomaan tehtävissä selvästi esiin.

Derivaatta nähdään helposti teoreettisena, eikä sen yhteyttä arkielämään välttämättä

nähdä. Oppikirjan luovaa päättelyä vaativat tehtävät pyrkivät kuitenkin rikkomaan tätä

käsitystä ja syventävät oppimista taidokkaasti.

Tehtävät oli jaettu oppikirjassa ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja syventäviin

tehtäviin. Ydintehtävien tarkoitus oli harjoitella luvun perusasioita, ja ne sisälsivätkin

suurimmalta osin joko muistamiseen perustuvaa tai algoritmiseen perustuvaa jäljittelevää

päättelyä. Vahvistavat tehtävät ja syventävät tehtävät vaativat enemmän luovuutta ja

antoivat opiskelijalle mahdollisuuksia kehittää omia ratkaisumalleja. Taulukosta 7

nähdään, kuinka oppikirjan käyttämän luokittelun tehtävät sijoittuivat eri

päättelytapoihin. Ydintehtävistä vain noin 12% vaati hieman luovuutta, kun taas yli 75%

ydintehtävistä vaati algoritmista päättelyä. Ydintehtävät sijoittuivat selvästi jäljittelevään

päättelyyn, ja ehkä näin olikin tarkoitus. On hyvä huomata, että muistamiseen

perustuvalla päättelyllä oli näissä ydintehtävissä pieni osa, ja suurin painoarvo oli annettu

algoritmiselle jäljittelylle. Vahvistavat ja syventävät tehtävät sisälsivät huomattavasti

enemmän luovaa päättelyä kuin ydintehtävät. Syventävissä tehtävissä globaalia luovaa

päättelyä vaativien tehtävien osuus oli noin 14 prosenttiyksikköä suurempi kuin

vahvistavien tehtävien globaalin luovuuden määrä. Oppikirjan tehtävien luokittelu on

mielestäni onnistunut ja korreloi suoraan saatujen tulosten kanssa. Mitä haastavampi

tehtävä, sitä enemmän luovuutta tulee hyödyntää.

Oppikirjassa oli viisi lukua, joista kahta viimeistä lukuun ottamatta kaikki luvut

noudattivat samanlaista jakaumaa luokiteltujen tehtävien sisältämissä päättelytavoissa.

Kolmessa ensimmäisessä luvussa oli kaikissa eniten lokaaliin luovaan päättelyyn

perustuvia tehtäviä, algoritmiseen päättelyyn perustuvia tehtäviä oli toiseksi eniten ja

vähiten oli muistamiseen perustuvaa päättelyä. Viimeisissä kahdessa luvussa globaalin

38

luovan päättelyn osuus oli muita suurempi tai yhtä suuri. Oppikirjan lukujen välillä ei siis

ole juurikaan eroavaisuuksia, vaan luvut toteuttavat samanlaista tyyliä, eli luovaa

päättelyä on suurimmassa osassa tehtävistä. Globaalia luovaa päättelyä vaaditaan

viimeisissä luvuissa sen vuoksi enemmän, että niissä on jo käsitelty perusasiat ja

tehtävissä voidaan soveltaa jo paremmin aiemmin opittua.

Oppikirjan tehtävien vaatimista päättelytavoista voi olla ylpeä, sillä yli puolet oppikirjan

tehtävistä sisälsivät luovaa päättelyä. Tämä oli täysin vastoin hypoteesia. Kuvittelin, että

derivaatta on niin teoreettinen aihe, että siihen on erittäin hankala saada luovuutta

mukaan, mutta näin ei onneksi ollut. Tehtävät vastaavat opetussuunnitelmaa erittäin

hyvin, sillä niissä hyödynnettiin tavallisia ilmiöitä ja tuotiin näin derivaattaa hieman

lähemmäksi jokaisen opiskelijan arkielämää. Opiskelijalle annettiin useissa tehtävissä

vapaat kädet lähteä ratkaisemaan ongelmaa, ja opiskelijoilta vaadittiin usein myös

perusteluja ja pohdintaa, kuinka tulokseen tai ratkaisumenetelmään on päästy.

Kvalitatiivinen analyysi

Muistamiseen perustuvassa tehtävässä (207) ei mitata osaamista tai ymmärtämistä, vain

ainoastaan ulkoa muistamista ja kappaleen lukemista. Tehtävällä ei ole juurikaan

merkitystä derivaattakäsitteen ymmärtämisessä tai oppimisessa, eikä se ole

monipuolinen. Tämän tyyppisiä tehtäviä voidaan pitää täytetehtävinä, eikä niillä ole

merkitystä oppikirjassa, joka sisältää paljon luovaa päättelyä vaativia tehtäviä.

Algoritmista päättelyä vaativassa tehtävässä (126) jäljiteltiin vain valmista esimerkkiä,

mutta se oli kuitenkin monipuolinen tehtävä, sillä se sisältää useita eri vaiheita.

Matemaattisen ajattelun kehittymisen ja matemaattisen ongelman ratkaisutaidon

harjoittelussa tällainen monivaiheinen tehtävä voi olla hyödyksi. Opiskelijalle voi

kehittyä ymmärrystä, mitä tehdään ja hän voi oppia ajattelemaan matemaattisesti

kehittyneemmin jäljittelyä vaativien tehtävien avulla. Luovuutta ei vaadittu tehtävien

39

ratkaisussa, mutta toisaalta tehtävään sisältyi vahvasti ongelmanratkaisuprosessin

käytännöntaitojen opetteluvaihe, jonka avulla oppilaan matemaattinen ajattelu kehittyy ja

hän oppii näin ratkaisemaan ongelmia itsenäisesti.

Luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä (434 ja 332) opiskelijalta vaadittiin useampien

asioiden yhdistämistä ja ne toteuttavat hyvin matematiikan kompetensseja. Tehtävissä oli

useammin hyödynnetty teknologiaa luovuuden tukena ja havainnollistuksessa jäljittelyä

vaativiin tehtäviin verrattuna. Opiskelijalle jätetään ratkaisumenetelmä avoimeksi ja hän

saa näin käyttää mielikuvitustaan ratkaisuun pyrkiessään. Ratkaisun tarkastelu ja

arvioiminen tapahtuvat useasti teknologisten sovellusten avulla. Luovuutta vaativien

tehtävien ratkaisussa hyödynnetään usein eri representaatioita kuten Hähkiöniemen

(2006) väitöskirjan mukaan derivaatan opiskelussa tulisikin tehdä. Tehtävät motivoivat

opiskelijaa ratkaisussa olemalla monipuolisia ja opiskelijalle on annettu ainakin lähes

vapaat kädet ratkaisumenetelmään. Luovuutta vaativien tehtävien monipuolisuus

toteuttaa opetussuunnitelman perusteiden (2015) asettamat vaatimukset luovuudesta ja

monipuolisuudesta. Opiskelijaa kehotetaan esittämään kysymyksiä ratkaisuprosessin

aikana ja tämä kannustaa luovaan ongelmanratkaisuun. Teknologian monipuolinen

hyödyntäminen luovuuden osalta lisää mielekkyyttä ja sen käytön avoimuus luo

mahdollisuuden käyttää juuri haluamaansa apuvälinettä. Tämä tuo vaihtelua

ratkaisuprosessiin opiskelijoiden välillä ja mahdollistaa tehtävien ratkaisujen vertailun

opiskelijaryhmissä.

Teknologian hyödyntäminen

Teknologiaa pyydettiin käyttämään tai sen käyttäminen oli selvästi nähtävissä 32,4%

tarkastelluista oppikirjan tehtävistä (Taulukko 6), mikä on kunnioitettava määrä. Uusi

opetussuunnitelma painottaakin, että teknologiaa tulee hyödyntää mahdollisimman

paljon opetuksessa ja tämä kirja mielestäni tekee sen. Appletit toimivat erittäin hyvin ja

40

niiden avulla pääsi tarkastelemaan ongelman ydintä. Teknologian hyödyntäminen

useassa muodossa tuo mielestäni esiin teknologian monipuolisen hyödyntämisen

opiskelijan luovuuden kehittämisen kannalta ja sen, että siihen on todellakin panostettu.

Oppikirjan luokitelluista luovuutta vaativista tehtävistä useat hyödynsivät teknologiaa

luovuuden tukena (Taulukko 8), kun taasen jäljittelevää päättelyä vaativissa tehtävissä

vain murto-osassa oli hyödynnetty teknologiaa. Jäljittelevissä tehtävissä appletit eivät

mahdollistaneet luovuutta opiskelijalla, vaan ne oli tarkoin rajattu palvelemaan vain

kyseisen tehtävän ratkaisua. Muistamiseen perustuvista tehtävistä yksi viidesosa

hyödynsi teknologiaa, mutta tulokset oikeellisuutta tulee kritisoida, sillä kategoriaan

kuuluvia tehtäviä oli vain viisi. Luovuuden ja teknologian välillä on selvä yhteys ja ne

nähdäänkin toisiaan vahvistavina seikkoina. Mitä monipuolisempi tehtävä, sitä

moniulotteisempi appletti mahdollistavat luovuuden käyttämisen ratkaisuprosessissa.

Globaalia luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä hyödynnettiin teknologiaa lokaalia

luovaa päättelyä vaativia tehtäviä enemmän, joka kertoo myös luovuuden ja teknologian

välisestä yhteydestä. Myös oppikirja luokittelu ydintehtäviin, vahvistaviin ja syventäviin

tehtäviin tukee tätä väitettä. Mitä monipuolisempi ja haastavampi tehtävä, sitä enemmän

teknologiaa käytetään ratkaisuprosessin tukena.

Tutkimuksen luotettavuus

Tutkimuksessa käytettiin vain yhtä oppikirjaa, joten tulokset voisivat olla erilaisia, mikäli

oppikirjoja olisi useampia. Lisäksi luovuutta vaativaa päättelyä voisi tarkastella

muidenkin aihealueiden kannalta ja tällöin saataisiin kattavampi kuva oppikirjojen

sisältämän luovuuden määrästä. Oppikirjasta valittiin vain joka toinen tehtävä, jonka

vuoksi analyysi ei ole täysin kattava ja mahdollisesti toisen tyyppiset tehtävät ovat jääneet

analysoimatta. Pidän tätä kuitenkin epätodennäköisenä, sillä luokiteltavien tehtävien

valinnassa käytettiin liukuvaa menetelmään, joten valitut tehtävä eivät aina olleet

kappaleen ensimmäinen tehtävä ja niin edelleen. Luokittelukriteerit ovat tarkoin tutkittuja

41

ja Lithnerin (2007) kehittämää luokittelua voidaan pitää luotettavana. Tätä saman

tyyppistä luokittelua on käytetty myös muissa tutkimuksissa, kuten Gustafssonin (2013)

pro gradu -tutkielmassa. Oppikirja vastaa uuden opetussuunnitelman perusteiden (2015)

vaatimuksia luovuudesta, teknologiasta ja monipuolisuudesta, joten tuloksia voidaan

pitää luotettavina, sillä niiden kuuluukin vastata opetussuunnitelmaa. Luotettavuutta

lisäisi myös, mikäli tehtävien vaatimaa luovuutta tutkittaisiin opiskelijoiden tekemien

ratkaisujen pohjalta, eikä vain malliratkaisujen avulla. Näin matematiikan kompetensseja

saataisiin paremmin hyödynnettyä ja luovuuden käsitettä laajennettua, sekä luovuutta

tutkittua enemmän yksilön kannata. Näin polku ratkaisuun olisi opiskelijan itse luoma ja

päättelytavat riippuisivat yksilöistä. Jako luovaa tai jäljittelevää päättelyä vaativiin

tehtäviin ei ole absoluuttinen, vaan sama tehtävä voi olla toiselle oppilaalle luovuutta

vaativa, mutta toiselle oppilaalle ei. Näin ollen luokittelun tuloksetkin voivat riippua

luokittelijasta ja toinen luokittelija voisi saada samoilla kriteereillä erilaisia tuloksia.

Jatkotutkimusaiheita

Tutkitun Juuri MAA 6-oppikirjan jatkotutkimusaiheena voisi olla oppikirjassa olevien

digijohdantojen tutkiminen ja niiden hyöty kappaleen asioiden sisäistämisessä. Lisäksi

oppikirja sisältää teknologiaa ja sitä on monessa muodossa hyödynnettykin, joten sen

merkitystä derivaatan opettamisessa voisi tutkia. Oppikirjan tehtävien vaatimia

päättelytapoja voisi myös vertailla toisten kustantajien kokoamiin uuden

opetussuunnitelman mukaisiin oppikirjoihin ja tutkia onko näiden välillä eroja.

Tehtävien vaatimia päättelytapoja voisi myös analysoida opiskelijoiden tekemien

vastausten pohjalta, jolloin polku tehtävän ratkaisemiseen olisi opiskelijan itse luoma.

Näin matemaattisten kompetenssien liittäminen olisi luonnollisempaa ja luovuutta

pystyisi analysoimaan enemmän yksilön kannalta.

42

Viitteet

Boesen, J.; Lithner, J.;& Palm, T. (2010). The relation between types of assesment tasks

and the mathematical reasoning students use. Umeå Mathematics Education

Research Centre, Umeå University, 1-17.

Eskelinen, S. (2015). Opiskelijoiden kokemuksia teknologia-avusteisista tutkivan

matematiikan tehtävistä derivaatan oppimisessa. Pro Gradu -tutkielma. Itä-

Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.

Gustafsson, H. (2013). Luova ja jäljittelevä päättely yläkoulun matematiikan oppikirjojen

tehtävissä. Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan

laitos.

Heikkinen, J. (2016). OPS 2016 tavoitteet ja teknologian integrointi perinteiseen

matematiikan opetukseen. Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan

ja matematiikan laitos.

Hyvärinen, J. (2017). Affektit matematiikan oppimisessa ja opetuksessa. Pro Gradu -

tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.

Hähkiöniemi, M. (2006). The role of representations in learning the derivative.

Väitöskirja, Jyväskylän yliopisto.

Hähkiöniemi, M.; Juhala, S.; Juutinen, P.; Louhikallio-Fomin, S.; Luoma-Aho, E.;

Raittila, T.;& Tikka, T. (2016). Juuri 6 – Derivaatta. Keuruu, Kirjapaino Oy.

Isokääntä, A. (2015) Geometria yläkoulun ja lukion oppikirjoissa. Pro Gradu -tutkielma.

Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.

43

Kansanen, P.;& Uusikylä, K. (2002). Luovuutta, motivaatiota, tunteita – Opetuksen

tutkimuksen uusia suuntia. Jyväskylä, Gummerus Kirjapaino Oy.

Leskinen, J. (2014). Luovuus matematiikan opetuksessa. Pro Gradu -tutkielma. Oulun

yliopisto, Matemaattisten tieteiden laitos.

Lithner, J. (2007). A Research framework for creative and imitative reasoning.

Educational Studies Mathematics 67: 255-276.

Opetushallitus, (2015). Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015. Haettu:

http://www.oph.fi/download/172124_lukion_opetussuunnitelman_perusteet_201

5.pdf (22.3.2017)

Niss, M.;& Højgaard, T. (2011). Competencies and Mathematical Learning – Ideas and

inspiration for the development of mathematics teaching and learning in

Denmark. Department of Science, Roskilde University, 1-209.

Partanen, M. (2013). Lukiolaisten kokemuksia ja näkemyksiä pitkän matematiikan

oppikirjan käytöstä. Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja

matematiikan laitos.

Pehkonen, E. (2012). Luovuus matematiikassa. Helsingin yliopisto, OKL. Dimensio 77

(1), 48-55.

P��lya, G. (2014) Ratkaisemisen taito – Kuinka lähestyä matemaattisia ongelmia.

Tallinna, AS Pakett.

Roivas, S. (2015). Teknologian käyttö matematiikan oppitunnilla yläkoulussa ja lukiossa.

Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.

Sahlberg, P.;Meisalo, V.;Lavonen, J.;& Kolari, M. (1993). Luova ongelmanratkaisu

koulussa. Helsinki, Painatuskeskus Oy.

Uusikylä, K.;& Piirto, J. (1999). Luovuus - Taito löytää rohkeus toteuttaa. Juva, WSOY.

http://www.oph.fi/download/172124_lukion_opetussuunnitelman_perusteet_2015.pdf

http://www.oph.fi/download/172124_lukion_opetussuunnitelman_perusteet_2015.pdf

44

Liite A

Luokitellut tehtävät

Tehtävänumero/

Aihe

Päättely-

tapa:

1.

Rationaalifunktio

MR AR LCR GCR Tekno-

logia

Esimerkki/

sivu

Teoria Muita huomioita

102 x Esim 1/ s. 11 s. 11

104 x Esim 3/ s. 14-

15

106 x Määritelmä s.

11

s. 11

108 x Esim 2/ s. 13

45

110 x x Vihje kirjan

lopussa

112 x x s. 11

114 x x

116 x x


lopussa

120 x x

122 x Esim 1/ s. 23

124 x Esim 1/ s. 23

126 x Esim 3/ s. 25


lopussa

130 x Vihje kirjan

lopussa

132 x

46

134 x Esim 1/ s. 21

136 x

138 x Vihje kirjan

lopussa

140 x

142 x x

144 x

146 x


lopussa

2. Raja-arvo ja

jatkuvuus

201 x Määritelmä s. 35

203 x

205 x Esim 1/ s. 36

47

207 x Muista teoria ulkoa

209 x Esim 1/ s.36

ja esim 3/ s.

38

211 x


lopussa

215 x Esim 3/ s. 38 Vihje kirjan

lopussa

217 x Esim 3/ s. 38

219 x Vihje kirjan

lopussa

221 x x


lopussa

225 x Esim 1/ s. 38

48

227 x Esim 1/ s. 38

229 x

231 x x

233 x x

235 x

237 x

239 x x Digiapplikaatio

241 x

243 x Esim 2/ s. 47

245 x


249 x Johdanto s. 52

251 x s. 52-55

49

253 x Vihje kirjan

lopussa

255 x x


lopussa ja

digiapplikaatio


lopussa

261 x

263 x

265 x

267 x

3. Derivaatta

302 x x s. 65 Vihje kirjan

lopussa

304 x Esim 1/ s. 66

50


308 x Esim 1/ s. 66 s. 65 ja

määritelmä s. 67

310 x Teoria toimii

tukena, muttei anna

valmista vastausta.


314 x


lopussa

318 x x s. 75-77



lopussa

324 x x s.76 Vihje kirjan

lopussa

51

326 x x

328 x x Edellisen

kappaleen asiaa

330 x Vihje kirjan

lopussa. Tehtävään

vaadittavaa teoriaa

ei ole vielä

käsitelty.

332 x


336 x Esim 1/ s. 87

338 x Esim 2/ s. 88 Määritelmä s. 76

340 x Määritelmä s. 76 Vihje kirjan

lopussa

342 x Vihje kirjan

lopussa

344 x s.90

52

346 x Esim 3/ s. 88

348 x

350 x Vihje kirjan

lopussa. Vaatii

aiempien lukion

kurssien asioiden

hallitsemista.

352 x x

354 x x


lopussa

358 x Vihje kirjan

lopussa

360 x x

4.

Polynomifunktion

kulku

53


101

Vihje kirjan

lopussa

404 x Esim 2/ s. 104

406 x Esim 2/ s. 104


lopussa


101

412 x x Esim 3/ s. 105 Vihje kirjan

lopussa

414 x

416 x

418 x Esim 2/ s. 104 Vihje kirjan

lopussa


lopussa

54



426 x Esim 2/ s. 112

428 x Arkielämän

sovellutus

430 x

432 x

434 x x

436 x


lopussa ja

digiapplikaatio

440 x x

442 x

444 x

55

446 x x

448 x Vihje kirjan

lopussa

450 x

5.

Rationaalifunktion

kulku


503 x Lause s. 125 Vihje kirjan

lopussa

505 x Lause s. 125

507 x Lause s.125

509 x Vihje kirjan

lopussa

511 x

56


lopussa

515 x x

517 x

519 x x

521 x x

523 x Esim 4/ s. 138

525 x Esim 4/ s. 138

527 x x

529 x x Esim 2/ s. 135 Vihje kirjan

lopussa ja

digiapplikaatio


533 x

535 x Vihje kirjan

lopussa

57

537 x

539 x x

541 x

543 x


lopussa

58

Liite B

Tehtävien malliratkaisut

luova ja jäljittelevä päättely lukion derivaatta …...derivoiminen koettiin mekaaniseksi...

Documents