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Metodo de Newton-RaphsonMas sobre el Metodo de Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson para RaıcesComplejas

J. Armando Lara R.

Ingenierıa ElectronicaInstituto Tecnologico de Lazaro Cardenas

Invierno 2011-2012

Armando Lara Analisis Numerico


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1 Metodo de Newton-RaphsonIntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo

2 Mas sobre el Metodo de Newton-Raphson


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IntroduccionDesarrollo del MetodoEjemplo

Introduccion

A continuacion se presenta un desarrollo del metodo deNewton-Raphson para varias variables, aplicable parapolinomios con raıces complejas.

Notese que si se quiere obtener raıces complejas, el puntoinicial en las iteraciones, debe estar en el plano complejo.


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Desarrollo del Metodo

Sea F : Ω ∈ Rn → Rn un campo vectorial. Y las coordenadas deF , fi : Ω ∈ Rn → Rn con i = 1, 2, ..., n campos escalares.Ademas, x = (x1, x2, ..., xn)t.





La diferencial total para un campo escalar fi esta dado por:

dfi(x) =∂f(x)

∂x1dx1 +

∂f(x)

∂x2dx2 + · · ·+ ∂f(x)

∂xndxn

en otra forma

dfi(x) =(∂f(x)∂x1

∂f(x)∂x2

. . . ∂f(x)∂xn

)·

x1

x2

. . .xn

dfi(x) = ∇fi(x) · dx

Podemos aproximar dfi(x(k)) con ∆x(k) apropiado, con lo

anterior obtenemos

∆fi(x(k)) = ∇fi(x(k)) · ∇x(k)





Si se tiene un sistema de n ecuaciones con n incognitas,

f1(x) = 0, f2(x) = 0, . . . , fn(x) = 0

este sistema se puede interpretar como el cero de un campovectorial F ,

F (x) =

f1(x)f2(x). . .

fn(x)

=

00. . .0





Para resolver el problema, considere x(k) y x(k+1) dosestimaciones de la solucion de F (x) = 0. En donde x(k+1) es lamejor estimacion. Ahora considere el incremento de F parax = x(k):

∆F (x(k)) = F (x(k+1))− F (x(k))

∆F (x(k)) =

f1(x(k+1))

f2(x(k+1)). . .

fn(x(k+1))

−f1(x(k))

f2(x(k)). . .

fn(x(k))

∆F (x(k)) =

f1(x(k+1))− f1(x(k))

f2(x(k+1))− f2(x(k)). . .

fn(x(k+1))− fn(x(k))





∆F (x(k)) =

∇f1(x(k)) ·∆x(k)

∇f2(x(k)) ·∆x(k)

. . .

∇fn(x(k)) ·∆x(k)

=

∇f1(x(k))

∇f2(x(k)). . .

∇fn(x(k))

·∆x(k)

J(x(k)) =

∇f1(x(k))

∇f2(x(k)). . .

∇fn(x(k))

En donde J es la matriz jacobiana (un arreglo de gradientes delos campos escalares fi, con i = 1, 2, ..., n)del campo vectorial F .





Ademas, podemos hacer F (x(k+1)) ≈ 0 por ser x(k+1) la mejorestimacion del cero de F . Entonces,

∆F (x(k)) = −F (x(k))

−F (x(k)) = J(x(k)) ·∆x(k)

y por consiguiente obtenemos:

∆x(k) = −[J(x(k))

]· F (x(k))

siempre que J(x(k)) sea no singular. Finalmente

x(k+1) = x(k) + ∆x(k)


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Ejemplo de Raıces Reales y Complejas de una EcuacionPolinomial.

Dada la ecuacion z3 − 3 = 0, donde z ∈ C. Encuentre todas lassoluciones de la ecuacion. Para resolver la ecuacion hacemosz = x + y · i, con i2 = −1, obteniendo:

(x + y · i)3 − 3 = 0

Resolviendo el producto notable y agrupando terminos seobtiene

(x3 − 3xy2 − 3) + (3x2y − y2) · i = 0

Haciendo r = (x, y)t con P (x, y) = x3 − 3xy2 − 3 yQ(x, y) = 3x2y − y2, se tiene que

F (r) =

(P (r)Q(r)

)=

(00

)= 0




Ejemplo de Raıces Reales y Complejas de una EcuacionPolinomial.

Con la matriz jacobiana

J(r) =

(3x2 − 3t2 −6xy

6xy 3x2 − 3y2

)Si r(0) = (1,5, 0)t, aplicando el algoritmo, este se detiene enN = 4 y la raız real es la parte real del vectorr(4) = (1,44224957, 0)t; z1 = 1,44224957.Con r(0) = (−0,5, 1,0)t, el algoritmo se detiene en N = 5, y lasolucion es dada por r(5) = (−0,72112479, 1,24902477)t en dondez2,3 = −0,72112479± 1,24902477 raıces complejas conjugadas.



Mas sobre el Metodo de Newton-Raphson

El metodo de Newton se puede aplicar a raıces complejas;para ello hay que dar un punto de partida en el planocomplejo. De hecho, la aplicacion del metodo de Newton araıces complejas ha sido muy fructıfero en el campo de losfractales.

Las fronteras entre las zonas de convergencia y divergenciaexhiben un comportamiento fractal, caracterizado porpatrones que se repiten indefinidamente cuando sedisminuye la escala de observacion.




Zona de convergencia en el plano de c de la ecuacion iterativazn+1 = z2

n + c, comenzando con z0 = 0.

Conjunto de Mandelbrot. Los lımites de la figura son -2.25 y0.75 en el eje x, y -1.5 y 1.5 en el eje y.




Conjunto de Mandelbrot coloreando las zonas de divergenciasegun la velocidad de divergencia.




Zonas de convergencia segun el punto de partida z0, para lasolucion de la ecuacion z6 − 1 = 0 por el metodo deNewton-Raphson, coloreadas segun el numero de iteracionesnecesario para la convergencia. La zona azul celeste correspondea la convergencia y la rojiza es la que diverge mas rapido. Loslımites de la figura son -1 y 1 en ambos ejes. Los brazoscorresponden a cada una de las seis raıces de la ecuacion.



Scientia et Technica Ano XI, No 27, Abril 2005. UTP. ISSN0122-1701


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