29

2 Finite Differenzen Methode (FDM) Lösungsgebiet wird mit einem (i.a. rechtwinkligen) Gitternetz überzogen Potentialverteilung wird durch eine Taylor–Reihe approximiert:

m

mm

xxfm

dxfdxf )()(

!)()( )(

2.1 Herleitung von Differenzenformeln

Feldproblem wird lokal überführt in eine Differenzengleichung

d

xfdxf

x

fd

)()(lim

0

Vorwärts– Differenz

hx x23

0

Rückwärts – Differenz

)()()(

xd

dxfxf

x

f

hx x12

0

Zentrale Differenz

)(2

)()(x

d

dxfdxf

x

f

hx x 213

0

)()()(

xd

xfdxf

x

f

30

Genauigkeitsvergleich Taylorreihenentwicklung liefert

...6

1

2

1:)( 32 xxxxhx hhhhx

...6

1

2

1:)( 32 xxxxhx hhhhx

1. Ableitung ergibt sich mittels Vorwärtsdifferenz

)(...6

1

2

1 3 hOh

hhh

xhxxx

xhxx

und mittels zentraler Differenz

)(2

...6

1

222 hO

hh

hhxhx

xhxhx

x

Für die 1. Ableitung an den Stellen 2

hx und

2

hx folgt

hxhx

hx

2

h

hxxh

x

2

und damit für die 2. Ableitung an der Stelle x

222 2

hhhxhx

hx

hx

x

2.1.1 Taylorreihenansatz Fünf – Punkte – Differenzenstern

Poisson – Gleichung:

2D, kartesisch:

),(

),(2

2

2

2 yxyxf

yx (1)

1. Schritt: Diskretisierung Differenzenstern

31

2. Schritt: Taylorentwicklung für das Potential an der Stelle P0(x0,y0)

n

n

Ryxy

kx

hn

yxy

kx

h

yxy

kx

h

),(!

1

...),(!3

1

),(!2

1

00

00

3

00

2

3. Schritt: Anwendung der Taylorentwicklung auf den Differenzenstern

...62

3

1

2

1101 xxxxxx

hhh (2)

...62

3

2

2

2202 xxxxxx

hhh (3)

...62

3

3

2

3303 yyyyyy

hhh (4)

...62

3

4

2

4404 yyyyyy

hhh (5)

4. Schritt: Ermittlung der Differenzenformel

4321

00

4

4

3

3

432

2

1

1

210 11

),(2

111

hhhh

yxfhhhhhhhh

(6)

Sonderfall: h1 + h2 + h3 + h4 = h (quadratisches Gitter)

),(4

)(4

100

2

43210 yxfh

(7)

und für die Laplacegleichung

)(4

143210 (8)

),(!1

1),(),( 000000 yx

yk

xhyxkyhx

32

Neun – Punkte - Differenzenstern Taylorentwicklung bis Term 4.Ordnung

...2462

41

31

21

101 xxxxxxxxxx

hhhh

...2462

42

32

22

202 xxxxxxxxxx

hhhh

Zusammenfassung der Ableitungen entsprechend der Schwarz´schen Regel, angewendet auf die Laplacegleichung:

yyxxxxyyyxxyyyxx , :

yyyxxxyxyyxyxxxy

yyyyxxyyyyxxxxxx

,

,

...2462

43

33

23

303 yyyyyyyyyy

hhhh

...2462

44

34

24

404 yyyyyyyyyy

hhhh

...46424

1

336

1

22

1

43

331

23

213

31

41

33

2313

21

31

2331

213105

yyyyxyyyxxyyxxxyxxxx

yyyxyyxxyxxx

yyxyxxyx

hhhhhhhh

hhhhhh

hhhhhh

...46424

1

336

1

22

1

4

4

3

42

2

4

2

24

3

2

4

2

3

4

2

424

2

2

3

2

2

442

2

24206

yyyyxyyyxxyyxxxyxxxx

yyyxyyxxyxxx

yyxyxxyx

hhhhhhhh

hhhhhh

hhhhhh

...

...

4108

3207

yx

yx

hh

hh

33

Daraus folgt ein Gleichungssystem für die acht Unbekannten:

ii

iii

i

T

xxxxyyyxxxxxxyyx

cdDx

x

8

1

8

1

1

10

1

0 ),,,,,,,(

Analytisch auflösbare Spezialfälle des 9–Punkte-Differenzensterns:

a) reguläres Rechteckgitter : h1= h2= h, h3= h4= k

8765

43

22

21

22

220

20

1

55)(10

1

khhkkh

b) äquidistantes Gitter: h1= h2= h3= h4= k

876543210 20

1

5

1

Diskretisierungsfehler:

5 – Punkte – Stern: O(h2) 9 – Punkte – Stern: O(h6)

34

Differenzenformeln für Zylindersymmetrie

Rotationssymmetrie: 02

2

Poisson – Gleichung: ),(1

2

2

2

2

zrfzrrr

...2

21

101 zzz

hh

...2

22

202 zzz

hh

...2

23

303 rrr

hh

...2

24

404 rrr

hh

Elimination der 1. Ableitung r und z, Ausdrücken der 2. Ableitung rr und zz durch die Knotenpotentiale und Auflösung nach 0 liefert die 5 – Punkte – Differenzenformel:

43

342

21

2

),(2

43

4

43

23

34

243

1

2

2

1

1

21

2

0

hh

hhr

hh

r

zrfhh

hhr

hhr

hhhhhh

r

Für ein reguläres Rechteckgitter (h1= h2= h, h3= h4= k) ergibt sich:

22

43432212

0 114

1

2

1

2

1

kh

krkh

und für ein quadratisches Gitter (h = k):

4343210 84

1 r

h

Achsnahe Differenzenformeln o.g. Formeln gelten nicht in der Nähe der Rotationsachse (r 0)! Punkte 1 bis 3 vorgegeben:

3210 46

1

Punkte 3, 5, 8 vorgegeben:

8530 24

1

35

Differenzenformel für einen unsymmetrischen Stern:

2

321

32

32

2

1

1

210 21

21

hhh

hhhhh

Differenzenformel in Polarkoordinaten

Polarkoordinaten: 02

2

z

Laplace – Gleichung: Vereinfachung: h1= h2= h ( ) h3= h4= k ( r )

5 – Punkte – Differenzenstern:

22

2

43432212

0 1422

1

hk

rk

r

k

r

h

011

2

2

22

2

rrrr

...2

hh

2

01

...2

kk rr

2

r303

...2

kk rr

2

r04

2

021

h

2

k2

43r

2

2 0 ...2

hh

2

043rr

k

2

36

Approximation von Rändern und Grenzen Randnahe Gitterpunkte

Unregelmäßiger 5 – Punkte – Stern

mit:

4321 , hqqhqq ba

3412 hqqhqq ba ,

Unregelmäßiger 9 – Punkte – Stern:

Berechnung der Koeffizienten ci erfordert einen erheblichen Aufwand numerische Berechnung

ii

iq

4

10

214231

43

hhhhhh

hhqa

434231

21

hhhhhh

hhqb

ii

ic

8

10

37

Besondere Berandungen ( Symmetrien ) Symmetrien = Linien mit verschwindender Normalkomponente der elektrischen Feldstärke 5 – Punkte – Stern:

43

3210 2

4

1

9 – Punkte – Stern:

768543 ,,

)(10

12

5

1753210

2 Symmetrielinien:

Kombination von Symmetrielinie und Randkurve Differenzenformel eines vollständigen, unregel- mäßigen 9 – Punkte – Differenzensterns:

768543 ,, cccccc

ii

iii

i cc

7,5,32,1

0 2

5310 5

1

5

2

38

Grenzflächen im Feldgebiet Laplace – Gleichung: - quadratisches Gitter

- kartesische Koordinaten

02

2

2

2

yx

Einbeziehung der Grenzbedingungen:

21

2

12121

2121 yynnxxtt EEEE

Die 2. Ableitungen müssen in beiden Bereichen die Laplace – Gleichungen erfüllen, die Grenzknotenpotentiale ergeben sich aus der Taylorentwicklung sowohl im Bereich 1 als auch im Bereich 2. Folglich gilt auch:

Daraus folgt ein System von neun Gleichungen, das nach Auflösung nach dem Potential 0 die Differenzenformel für einen Grenzknoten liefert:

4

1

23

21

1210

2

4

1

Diagonalformel: (

85... bekannt)

86

1

275

21

10 )(2

2

2

201 2 xxx

hh

2

2

2041

2

103

2

2

202

1

2

101

22

2

2

yyyyyy

xxx

xxx

hh

hh

hh

hh

39

Erfassung der Randbedingungen

5 – Punkte – Stern für die Laplace – Gleichung:

04 04321

a) Dirichlet–Bedingungen: hier: ,)( 313 gsg s1 = Knoten 3 auf dem Rand S

30421 4 g

b) Neumann – Bedingung:

hier: 0120

12 22

phph

px

00431 242 hp

c) Cauchy – Bedingung: )()()( sqssn s

hier: 2 000

12 qh

20001 2)( hq

000432 22

142 hqh

)(spn s

)()( sgs

40

3D – Approximationen Differenzengleichung: (äquidistantes Gitter)

6

10 6

1i

i

Beispiel: Poisson–Gleichung für inhomogene, statische Magnetfelder

MdivS m

m

2 , )(

Finite – Differenzen – Operatoren: = 0 angenommen Gleichung mit h multipliziert

0)()(

)( S

ST

Es gilt:

)()()(

222

222

)()(

654321

654321

0

65

0

43

0

21

zyx

zyx

eee

eee

SS

mit:

0

65

0

43

0

21

2,

2,

2

6

106)(

iiT

06)1()1()1()1()1()1( 0654321

41

3D – Differenzenstern auf einer Grenzfläche Punkt 0 auf der Grenzfläche 0,

singulär Berücksichtigung der Grenzbedingungen

)()( 202011

neuer Operator:

42

2.1.2 Umlaufintegralmethode (Integralapproximation der Feldgleichung)

Mathematisches Modell Prinzipiell existieren 4 Typen von mathematischen Modellen für die Feldberechnung: 1. Aufstellung von pDGL´n + RB und/oder AB FDM

2. Minimierung der Feldenergie Variationsaufgabe FEM 3. Aufstellung von IGL´n für Feldquellen IGM Hier: 4. Ableitung von Beziehungen zwischen Integralen der Feldgrößen mittels

Integralsätzen + RB und/oder AB UIM (Gaußscher Satz bzw. Induktionsgesetz in Integralform)

Bezeichnungen: - Approximation der Feldgleichungen in Integralform - Methode nach REICHERT

- Umlaufintegralmethode (UIM) Klassifizierung der Methode: nach Lösungsansatz: Integralverfahren nach Art der Approximation: FDM FEM

Darstellung beider Varianten der näherungsweisen Lösung der Integralform der Feldgleichungen am Beispiel der Magnetfeldberechnung:

Quasistationäres Magnetfeld

JHrot

ArotHB

EJArot1

rot

t

BErot

0t

AErot

t

AE

ew JJt

AArot

1rot

t

AJw

- Wirbelstromdichte

eJ - Erregerstromdichte (eingeprägte Stromdichte)

43

Differentialgleichungssystem:

eJt

AArot

1rot

Satz von Stokes

SdJt

AldArot

1

S

e

sinnvolle Vereinfachung: S = ebene Fläche = Randkurve von S

planparalleler Fall: ze)y,x(JJ , SdJ

ze)y,x(AA

yx ex

Ae

y

AArotB

SdeJet

Alde

x

Ae

y

A1

S

zzyx

rotationssymmetrischer Fall: e)z,r(JJ e)z,r(AA

zr er

Ar

r

1e

z

AB

SdeJe

t

Alde

r

Ar

r

1e

z

A1

S

zr

Vorteil der Einführung des Vektorpotentials im 2D – Fall: Vektorpotential hat nur eine Komponente „skalares Potential“ verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Integrale!

44

Herleitung der Differenzengleichungen Diskretisierung und Differenzenapproximation Diskretisierung: - regelmäßiges Gitternetz (rechtwinklig)

- in der Masche konstant, gleich Wert im Maschenmittelpunkt - J = konst. je Masche - Integrationsweg: Seitenhalbierende zu Seitenhalbierende

?ldArot1

xx2

b

a

edxey

A1ldArot

1

2

xx

yy

AA1 20

03

03

2

yy2

c

b

edyex

A1ldArot

1

2

yy

xx

AA1 30

20

20

2

: : usw.

6655443322 SJSJSJSJSJSdJ

2

xx

2

yyJ 2003

2

A0 = A0 (A1, A2, A3, A4, (A), J, Geometrie) Differenzenformel großes, schwach besetztes, (nichtlineares) Gleichungssystem weitere Lösung wie bei FDM ! Rand- und Grenzbedingungen, Zeitabhängigkeit Erfassung von Grenzflächen FDM: Unterscheidung zwischen Punkten in homogenen Feldbereichen und auf

Grenzflächen nötig! (Taylorreihenentwicklung !) hier: - unproblematisch, da stets gleiche Approximation der Integrale

- gilt sowohl für Grenzflächen zwischen verschiedenen Materialien als auch für Grenze zwischen Leiter – Nichtleiter

Voraussetzung: Diskretisierung, so dass Eigenschaften je Element konstant sind!

12

3

4

45

Erfassung der Randbedingungen 1. Art: A = konst. bzw. allgemein

0ArotldBld (Rand = Feldlinie)

2. Art: 0n

A

Symmetriebedingung für A

0ArotnBn ( B auf Rand) Verfahrensweise wie bei FDM ! Behandlung der Zeitabhängigkeit Zeitableitung des Vektorpotentials wird durch die Potentialwerte zweier aufeinanderfolgender diskreter Zeitpunkte angenähert (Differenzenquotienten)

k,j,i1k,j,ik,j,i

AAt

1

t

A

Ansatzverfahren für unregelmäßige Gitternetze Ausgangspunkt: Integraldarstellung für quasistationäres Feld, Rotationssymmetrie

(Berücksichtigung bewegter Teile!)

1( )

e

S

Arot A dl v rot A J d S

t

Rotationssymmetrie: e)z,r(JJ e)z,r(AA ze)z(vv Diskretisierung linearer Ansatz für A* = r A :

zr

z

*

r

*

zr

*

ebecr

1B

er

Ae

z

A

r

1B

er

)Ar(

r

1e

z

AArotB

czbraA

Koeffizienten werden für jedes aus den Knotenpotentialen ermittelt völlig analog zu FEM !

SdJJJlder

Ar

r

1e

z

A1

S

eiwzr

46

)SdJ(

3j j j

j r z jj j

c be e dl J

r r

Summation über alle j Dreiecke, die am Knoten i anliegen! Zeitdiskretisierung:

*alt

***

AAt

1

t

A

t

A

)0t(A

Wirbelstromterm:

dSt

AASd

t

A alt

dSAdSr

A

t alt

*

dSAdSr

zcb

r

a

t alt

Berücksichtigung der Randbedingungen: RB 1. Art: A = 0 bei allen abgeschlossenen Feldgebieten (Außenraum feldfrei) kein Beitrag zur rechten Seite der Integraldarstellung inhom.: A 0 bei nicht abgeschlossenen Feldgebieten

zusätzlicher Beitrag zum Umlaufintegral wird von der rechten Seite subtrahiert

RB 2. Art: Berücksichtigung von Symmetrien in Rotationssymmetrie möglich:

)z(f

0

r

A auf Fläche r = konst.

)r(f

0

z

A auf Fläche z = konst.

47

Beispiel: 0z

A

erfordert Berechnung eines speziellen Umlaufintegrals

lder

Ae

z

A

r

11I zr

P

P

1

8

redrld

0drz

A

r

11I

analog für P7 P8

Rest wie oben !

inhom. RB: )r(fz

A

f(r) in Integral I einsetzen und zum Umlaufintegral

addieren! Gesamtgleichungssystem: - Ordnung = Zahl innerer Punkte + Randpunkte 2. Art

- Struktur des GS wie bei FDM oder FEM

48

2.2 Aufstellung und Lösung der Gleichungssysteme Knotennummerierung und Indizierung Standardindizierung: parallel zu Koordinatenachsen mit m indizierten Knoten je Reihe verschiedene Bandbreiten BW

BW = 2m + 1

a) Zeilen mit m = 4 BW = 9

b) Spalten mit m = 3 BW = 7

Ermittlung der Bandbreite BW = s + 1 + r In einer Zeile gilt: r = j – i, r – Superdiagonale s - Subdiagonale s = i – j, i – Zeilenindex j – Spaltenindex Einfachindizierung P(i,j) P(k): k = i + (j – 1) I I – Zahl der inneren Knoten je Zeile

Abb.: 2D–Differenzenstern im einfach indizierten Gitter

49

3D – Gitter Pi,j,k: y – Richtung: mj 1

x – Richtung: ni 1 z – Richtung: lk 1

Einfachindizierung: Pq,r,s Pt mit: t = (s – 1)n m + (q – 1) m +r und nq 1 n – Anzahl y-z-Gitterebenen

mr 1 m – Anzahl x-z-Gitterebenen ls 1 l – Anzahl x-y-Gitterebenen

Diagonalindizierung: Rechteckgitter mit (I x J) – Gitterpunkten; I – Punkte in der Zeile J – Punkte in der Spalte Indizierung: - Start am linken unteren Gitterpunkt des Rechtecks

- Diagonalreihe für Diagonalreihe numerieren a) J < I von links oben nach rechts unten

b) I < J von rechts unten nach links oben Beispiel: I = 6, J = 5 Lösung der Gleichungssysteme a) direkte Verfahren : - Gauß – Elimination

- Cholesky – Verfahren b) iterative Verfahren : - Jacoby – Verfahren

- Gauß – Seidel – Verfahren - Relaxationsverfahren - Gradientenverfahren

Relaxationsverfahren für FDM besonders geeignet,

wenn der optimale Relaxationfaktor bekannt ist! Dreieckszerlegung der Matrix: FDEA

50

Iterationsformel:

bDExMx

bxFxEDxxmm

mmmm

11)()1(

)()1(1)()1(

)(

)()1(

mit der Iterationsmatrix M :

DFDEM )1()()( 111

allgemeine Form des Iterationsverfahrens:

cxMx mm )()1(

Optimaler Relaxationsfaktor Voraussetzungen an die Matrix: - symmetrisch

- positiv definit - konsistent geordnet (tridiagonal, blockweise tridiagonal)

positiv definit: symmetrische Matrix A mit reellen Koeffizienten ars, deren quadratische Form

p

ssrrs

p

r

xxaQ11

für jedes p- Tupel (x1, . . ., xp) positiv ist.

51

Relaxationsverfahren lineares Gleichungssystem:

bxA ),( rsaA T

p

T

p

bbb

xxx

),...,(

),...,(

1

1

Iterationsvorschrift:

r

p

rs

m

srs

r

s

m

srs

m

rrr bxaxaxa

1

)(1

1

)1()1(~

)1()()1( ~)1( m

r

m

r

m

r xxx

r

p

rs

m

srs

r

s

m

srs

m

rrr

m

rrr bxaxaxaxa1

)(1

1

)1()()1( )1(

= Punkt – SOR – Methode Spezialfall für = 1: Gauß – Seidel – Iteration

p

rs

m

srs

r

s

m

srsr

m

rrr xaxabxa1

)(1

1

)1()1(

Konvergenzbeschleunigung Verringerung des Spektralradius

iiM max)( µ - Eigenwert von M

Relaxationsfaktor so wählen, dass möglichst klein wird! Sind rD Diagonalmatrizen, so gilt:

2

111

2

opt

1 –

2

22

1

)1(

Vorgehensweise:

Differenzvektor: )()1()1( mmm xxd

)(

)1(

m

m

d

d

Bestimmung von 2

1

Bestimmung von opt

Konvergenz für: 0 < < 2 = 1 - Gauß – Seidel – Iteration > 1 - Überrelaxation < 1 - Unterrelaxation

betragsgrößter Eigenwert der Matrix

)(1 FED

Beziehung zwischen 1 und Spektralradius der Iterationsmatrix M

52

Gradientenverfahren lineares Gleichungssystem: bxA

A - reelle, positiv definite Matrix (m x m) x0 - Anfangsnäherung

n - Iterationsindex r - Residuum

r, x, b, p - Vektoren mit m Komponenten CG – Algorithmus (Conjugate Gradient Method)

0:n 1;: ;0: ;:1100

pbxAr

while residual > tolerance do begin

1n:n

:

:

:

:

:

:

:

1

1

1

1

nnnn

nnnn

n

nn

n

T

nn

nnnn

n

nn

n

T

nn

xx

Arr

pap

rp

rr

end

CGS – Algorithmus (Conjugate Gradient Squared) A - nicht positiv definit CG nicht anwendbar! modifizierter Algorithmus (nach SONNEVELD, siehe Marsal /2-7/)

0:n 1;: ;0:: ;:11000

qqbxAr

while residual > tolerance do begin

end

1n:n

)(:

)(:

:

:

:

:

)(:

:

:

:

11

11

1

00

1

1

00

nnnnn

nnnnn

nnn

n

nn

nT

n

nn

nnnnnn

nnnn

n

nn

nT

n

quxx

quArr

vuq

vr

pAv

pqup

qru

rr

53

Bandbreitenreduzierung (Algorithmus nach Cuthill/Mckee) Umnummerierung aller Variablen (renumbering) führt zur Reduzierung der Bandbreite

und spart damit Speicherplatz! Ziel Minimierung

iiDK

mit: jiDi max jeder Zeile

d.h.

iD größter Abstand zwischen Diagonalterm der Zeile i

und jedem anderen Spaltenterm j dieser Zeile gebräuchlichstes Verfahren: Algorithmus von Cuthill/McKee

[Cuthill, E.;McKee, M. (1969):“Reducing the Bandwidth of Sparse Symmetric Matrices“,

ACM Proc. 24. Nat. Conf.; New York; vgl.: Hoole /10-9 /, S.222 – 224] Beispiel: (8 x 8) – Matrix mit 20 NNE

20019018017168

15014013007

1201100106

908705

60004

5403

322

11

87654321

Ausgangspunkt für die Umnummerierung ist die Darstellung der Verbindungen jedes Knoten zu allen anderen Nachbarknoten. Aufbau der Tabelle:

Knoten Zahl der Verbindungen

Verbindung zu neue Nummer neue Verbindung zu

1 3 2,6,8 4 5,2,3 2 4 1,3,5,8 5 4,6,7,3 3 3 2,5,7 6 5,7,8 4 2 6,8 1 2,3 5 3 2,3,7 7 5,6,8 6 3 1,4,8 2 4,1,3 7 2 3,5 8 6,7 8 4 1,2,4,6 3 1,2,4,5

54

Algorithmus: 1. Start mit dem Knoten mit den wenigsten Verbindungen.

Hier 4 (oder 7) neue Nr. 1 in Spalte 4 2. Der mit Knoten 4 verbundene Knoten 6 (oder 8) wird Nr. 2 in Spalte 4,

Knoten 8 wird Nr. 3 3. Nun erfolgt das gleiche mit dem neuen Knoten 2 (alt: 6):

von den Verbindungen 1, 4, 8 sind 4 und 8 bereits nummeriert. Folglich wird Knoten 1 die Nr. 4.

4. Fortsetzung dieser Prozedur für alle restlichen Knoten

Umkehrung dieses Algorithmus führt zu einer noch effektiveren Umnummerierung Freie Wahl bei gleichrangigen Knoten führt auf unterschiedliche Strategien mit

unterschiedlichen Speicherplatzanforderungen. Modifizierungen sind also möglich!

5. Aufstellung der letzten Spalte:

Beispiel: neuer Knoten 4 (alt:1) hat Verbindungen zu 2, 6 und 8 gemäß Spalte 3 Neue Verbindungen von Knoten 4: 5, 2, 3 Knoten 2 (in Spalte 1) 5 (in Spalte 5) 6 2 8 3

6. Neuordnung der Reihenfolge der Nummerierung 2, 3, 5 damit wird Nr. 5 über der Diagonale in die obere Dreiecksmatrix (symmetrisch) “abgeschoben“ und entfällt somit für die Abspeicherung! Es ergibt sich die folgende unsymmetrische Matrix:

201918000008

17161500007

141300006

121110005

98704

6543

322

11

87654321

Die Tabelle ist leicht zu programmieren Dadurch entstehender Zusatzaufwand kann größtenteils kompensiert werden, wenn

Verkonditionierungen angewendet werden (z.B. bei CG – Verfahren)

Einsparungen bei Speicherplatzreservierungen für die Matrix Zusammenfassung: Bevorzugte iterative Verfahren:

- Gauß–Seidel–Verfahren - Relaxationsverfahren ( insbesondere SOR ) - Newton–Verfahren ( in vielen Varianten ) - Newton–Raphson–Verfahren ( häufig bei nichtlinearen FEM–Matrizen )

55

3 Finite – Difference Time – Domain Method (FDTD) 3.1 Entstehung der Methode 3.2 1D skalare Wellengleichung

2

22

2

2

x

fc

t

f

Lösungen: f(x,t) = F1 (x – c t) + F2 (x + c t)

mit

1c

Taylorreihe für f(x,t) vom Punkt x0 zum Punkt x0 ± ∆x zum Zeitpunkt t :

...24

),(

6

),(2

),(),(),(),(

4

4

43

3

3

2

2

2

x

x

txfx

x

txf

x

x

txfx

x

txftxftxxf

...24

),(

6

),(2

),(),(),(),(

4

4

43

3

3

2

2

2

x

x

txfx

x

txf

x

x

txfx

x

txftxftxxf

Addition beider Ausdrücke:

....12

),(

),(),(2),(),(

4

4

4

22

2

x

x

txf

xx

txftxftxxftxxf

2

22

2 ),(),(2),(),(xO

x

txxftxftxxf

x

txf

„Zentrale – Differenzen – Approximation“ der 2. Ableitung. Genauigkeit: 2. Ordnung, Fehler ~ 2x

2

22

2 ),(),(2),(),(tO

t

ttxftxfttxf

t

txf

Diskrete Wellengleichung:

2

22

2

2

),(),(2),(

),(),(2),(

xOx

txxftxftxxfc

tOt

ttxftxfttxf

56

Diskretisierung Festlegungen: xi = i Δx tn = n Δt fi

n = f (xi , tn ) Diskrete Wellengleichung:

22222

211

2

11

xOctOx

fff

t

fff ni

ni

ni

ni

ni

ni

Explizite Zeitschrittlösung für f:

2212

1121 22

tOxOffx

ffftcf n

in

i

ni

ni

nin

i

Stabilität und Genauigkeit der expliziten Lösung sind von den Werte Δx und Δt

abhängig! „Magischer Zeitschritt“ : Δx = c Δt . Diskrete Wellengleichung mit „Magischem Zeitschritt“ :

111

111

1 22

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni fffffffff

Analyse:

Mit tncxiFf n

i 1

tncxiGg ni 2

cxt / folgt

ni

ni fxniFf 11

1 1

ni

ni gxniGg 12

1 1

Das ist die exakte Lösung!

57

3.3 2D – FDTD Lösung der Maxwellschen Gleichungen Maxwell - Gleichungen: Induktionsgesetz:

impJEEt

B

dSJdSEdlEdSBt S

imp

SCS

Durchflutungsgesetz:

impMHt

D

dSMdlHdSDt

imp

CS

Gaußscher Satz:

D 0 B

dVdSDS V

S

dSB 0

Materialgleichungen:

ED HB EJ Wirbelgleichungen Aus dem Durchflutungsgesetz und dem Induktionsgesetz folgt:

z

E

y

E

t

B yzx

x

yzx Jz

H

y

H

t

D

x

E

z

E

t

Bzxy

y

zxy Jx

H

z

H

t

D

y

E

x

E

t

B xyz

z

xyz Jy

H

x

H

t

D

58

2D – Form der Maxwellschen Gleichungen Fall 1: TMz – Welle (Hz = 0, Ez = Ez(x,y))

y

E

t

B zx

z

xyz Jy

H

x

H

t

D

x

E

t

Bzy

Fall 2: TEz – Welle (Ez = 0, Hz = Hz(x,y))

xzx J

y

H

t

D

y

E

x

E

t

B xyz

yzy J

x

H

t

D

1D – Form der Maxwellschen Gleichungen Fall 1: TMz – Welle (Hz = 0, Ez = Ez(x))

y

E

t

B zx

z

yz Jx

H

t

D

oder

y

E

t

H zx

1

zyz J

x

H

t

E

11

Fall 2: TEz – Welle (Ez = 0, Hz = Hz(x))

xzx J

y

H

t

D

x

E

t

B yz

oder

xzx J

y

H

t

E

11

x

E

t

H yz

1

Modell der 1D Maxwell-Gleichungen ist identisch

mit dem der 1D-Leitungsgleichungen !

59

i

2

1,

2

1 ji

zE

jixH

,2

1

2

1, ji

yH

j

Der Yee – Algorithmus im 2D - TMz - Fall Maxwell-Gleichungen: TMz-Welle (Hz = 0, Ez = Ez(x,y))

z

E

y

E

t

B yzx

z

xyz Jy

H

x

H

t

D

x

E

z

E

t

Bzxy

Raumdiskretisierung: xi = i Δx,

yi = j Δy tn = n Δt fi,j

n = f (xi, yj, tn ) mit zentralen Differenzen:

2,2

1,

2

1,,

xOx

ff

x

tyxfn

ji

n

ji

Maxwell-Gleichungen im 2D diskretisierten Raum (TMz )

3.4 3D - FDTD - Lösung der Maxwell-Gleichungen ( YEE-Algorithmus ) Maxwell´s Wirbelgleichungen in kartesischen Koordinaten

60

Abbildung der Wirbelgleichungen auf den diskreten Raum

- Definition eines regulären, orthogonalen Gitters - Eine Funktion f (x,y,z,t) wird in dem diskreten Gitter definiert und an den

Eckpunkten des Gitters berechnet: f (x,y,z,t) = f (n ∆x, m ∆y, p ∆z, l ∆t) = fl

m,n,p Zentrale – Differenzen – Approximation der Ableitungen

YEE – Zelle (Primärgitter-Zelle)

Annahmen:

1) Elektrische Feldvektoren sind parallel zur und konstant entlang der Kanten des Primärgitters.

2) Magnetische Feldvektoren sind normal zur und

konstant auf jeder Seitenfläche des Primärgitters.

3) Magnetische Feldvektoren sind parallel zur und konstant entlang der Kanten des Sekundärgitters.

4) Elektrische Feldvektoren sind normal zur und

konstant auf jeder Seitenfläche des Sekundärgitters. Die Sekundärgitterknoten verbinden die Zellmittelpunkte des Primärgitters.

61

Ableitung des YEE-Algorithmus aus den Maxwell-Gleichungen in Integralform

CS

dlEdSBt

mit dzdyxdS folgt im diskretisierten Raum

zEyEzEyEBB

t

yzpnmpnmpnmpnmpnmpnm

zl

yl

zl

yl

x

l

x

l

2

1,,1,

2

1,

2

1,1,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1

2

1

Multiplikation mit 1/∆z ∆y führt zu

2

1,,

2

1,1,,

2

1,1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1

2

1

pnmpnmpnmpnmpnmpnmz

lz

ly

ly

lx

l

x

lEE

y

tEE

z

tBB

Analog folgt für eine Seitenfläche des Sekundärgitters

pnmpnmpnmpnmpnmpnmpm

x

l

y

l

y

l

z

l

z

l

xl

xl JHH

z

tHH

y

tDD

,,2

1

2

1,,

2

1

2

1,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,,

2

1

2

1,

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

11

Ähnliche Approximationen ergeben sich für die restlichen Komponenten von B und D.

Stabilitätsverhalten Kann über eine Von Neumann Analyse (wie im obigen Abschnitt) oder als direktes

Eigenwertproblem abgeleitet werden. Explizite Lösungen sind stabil bei Verwendung der Courant-Schranke:

222

111

1

zyxc

t

Spezialfall: ∆x = ∆y = ∆z = ∆

∆t ≤ Δ / c √3

62

Gaußscher Satz Damit der YEE-Algorithmus gut-gestellt ist, müssen die approximierten Felder auch

den Gaußschen Satz erfüllen. Tun sie dies nicht, treten „Geisterladungen“ auf, die zu fehlerhaften Lösungen führen.

Es kann gezeigt werden, dass der Gaußsche Satz erfüllt wird, wenn jede Einheitszelle

separat betrachtet wird. Elektrischer Fluss:

Gaußscher Satz: 0 dVdsDVS

bei ladungsfreien Medien

0 dsD

t S

Integration über die YEE-Zelle und aufsummieren der Seitenflächen

8

1

8

1

0i i CSS

dlHdsDt

dsDt

ii

Das Wegintegral des magnetischen Feldes entlang der Konturen, die die Zellflächen beranden, hebt sich für jede Kante auf, so dass die rechte Seite verschwindet.

Da dies für alle zeitabhängigen Felder in einem quellenfreien Medium zutrifft, kann für die diskretisierten Felder geschlussfolgert werden, dass der Gaußsche Satz in jeder YEE-Zelle erfüllt ist.

Numerische Implementierung

Datenabspeicherung:

0ZelleYEES

dsD

63

Inhomogene Medien

z

H

y

HE

t

D yzx

x

x

H

z

HE

t

Dzx

yy

y

H

x

HE

t

D xyz

z

Stückweise homogenes Medium, dessen Grenzfläche mit den Kanten des Primärgitters

übereinstimmt. Die 4 Bereiche, die das Gitter umgeben, sind beschrieben durch die Materialparameter

εi , σi , μ0 ( i = 1,2,3,4 )

Bild: Seitenfläche auf dem Sekundärgitter in einem inhomogenen Medium.

4

1

4

1 i Ci S S

ii dlHdsEdsEt

ii i

Si ist die Fläche auf jeder Unterfläche, die durch die Kontur Ci berandet wird. Ausführen der Integration über jedes Si und die Berandung Ci

führt z.B. für den Bereich 1 zu:

dAnEE

dAnt

EEnnnn

2

1

1

1

1

1

1

1

1

n

E1 - elektrische Feld im Bereich 1, n

- Flächennormalenvektor Wiederholung für die verbleibenden 3 Bereiche; Beachtung der Stetigkeit der

Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes:

nEnEnEnEnnnn 4321

Addition der Resultate für alle 4 Bereiche:

dAnt

EEnn

4321

1

1

1

dAnEE

nn

4321

1

1

1

2

2

1

442

1

41412

1

12122

1

11

nnnnHlHlHlHl

2

1

442

1

332

1

222

1

11

nnnnHlHlHlHl

64

Wegen dA = A/4 können die Integrale als effektive Materialgrößen betrachtet werden (Mittelwerte der 4 benachbarten Bereiche)

44321

eff

44321

eff

Lineare Interpolation der Medien; im diskretisierten Raum ist das Medium nicht

tatsächlich stückweise konstant, sondern variiert eher linear über eine Diskontinuität. Genauigkeitserhöhung durch Verwendung von Approximationen

2. Ordnung für die inhomogene Grenzfläche möglich. YEE-Algorithmus in allgemeinen inhomogenen Medien

lz

lz

pnm

ly

ly

pnm

l

x

l

x pnmpnmpnmpnmpnmpnmEE

y

tEE

z

tHH

,,,1,,,1,,,,,,

~~~~~~

,,,,

2

1

2

1

lz

lz

pnm

ly

ly

pnm

lx

lx pnmpnmpnmpnmpnmpnm

HHy

tHH

z

tEE

,1,,,1,,,,,,,,

~~~~~~

,,,,

1

Berechnung des Mittelwertes von ε für jede Kante des Primärgitters;

Speichern εm,n,p Berechnung des Mittelwertes von μ für jede Kante des Sekundärgitters;

Speichern μm,n,p