ma1201 m13-1 16-04-14
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
16 April 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Soal 1Soal 1Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang‐bidang koordinat.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 3
Soal 2Soal 2
Hitung apabila S dAx2Hitung apabila S
adalah daerah cincin yg
S
dAx1 20
dibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
Soal 1 dan 2 lebih mudahSoal 1 dan 2 lebih mudahdikerjakan dlm koordinatpolar!polar!
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini
13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Ingat: Sistem Koordinat PolarIngat: Sistem Koordinat Polar
Sistem koordinat polar terdiri dariSistem koordinat polar terdiri darisumbu polar (berupa setengah garis, yang berimpit dengan sumbu‐x positif Py g p g ppada bidang R2) dan titik asal O.
Setiap titik P pada bidang kemudian θ
r
Setiap titik P pada bidang kemudiandinyatakan dengan jaraknya dari O, sebutlah r, dan besar sudut θ yang
Oθ
P = P(r θ)y gdibentuk oleh ruas garis OP dansumbu polar (dihitung berlawanan
P = P(r,θ)
arah dengan arah jarum jam).4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Hubungan Koordinat Polar dandKoordinat Cartesius
Jika P = P(r θ) maka P dapat dinyatakan dalamJika P = P(r,θ), maka P dapat dinyatakan dalamkoordinat Cartesius sebagai P = P(x,y) dengan
x = r cos θ dan y = r sin θx = r cos θ dan y = r sin θ.
Sebaliknya, jika P = P(x,y), maka P dapat dinyata‐kan dalam koordinat polar P = P(r,θ) dengan
r2 = x2 + y2 dan tan θ = y/x,
dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk x = 0dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk x 0.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Persamaan Kurva dalam KoordinatlPolar
Persamaan lingkaran yang ber‐Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari‐jari R dapatdinyatakan secara sederhana dalam Rykoordinat polar sebagai
r = R, 0 ≤ θ ≤ 2π.
R
r R, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Persamaan setengah garis y = x, dengan x > 0, dapat dinyatakandalam koordinat polar sebagai π/4
θ = π/4, r > 0. 4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 8
13.4 INTEGRAL LIPAT DUA DALAMMA1201 MATEMATIKA 2A
KOORDINAT POLARM hit i t l li t d d lMenghitung integral lipat dua dalamkoordinat polar
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Elemen Luas dalam Koordinat PolarElemen Luas dalam Koordinat Polar
Bila dalam koordinatBila dalam koordinatCartesius elemen luas∆A sama dengan ∆x.∆y, maka dalam koordinatpolar
∆A = r.∆r.∆θ. Dari mana datangnyarumus ini? Lihatgambar di samping.
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Integral Lipat Duadalam Koordinat PolarD b tit i θ d i θDengan substitusi x = r cos θ dan y = r sin θ, integral lipat dua yang semula dinyatakand l k di t C t i k di t kdalam koordinat Cartesius sekarang dinyatakandalam koordinat polar sebagai:
SS
rdrdrrfdAyxf )sin,cos(),(
Catatan: Dalam koordinat polar, daerah sepertisetengah lingkaran atau cincin setara dengan
SS
setengah lingkaran atau cincin setara dengan“persegi panjang”.4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Daerah dalam Koordinat PolarDaerah dalam Koordinat PolarDaerah cakram lingkaran
S = {(x,y) | x2 + y2 ≤ R2}
dapat dinyatakan sebagai Rp y g
S = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Daerah segitiga yang dibatasioleh sumbu‐x, garis y = x, dan
θ
garis x = 1, merupakan daerahr‐sederhana, dengan r
= sec θ
0 ≤ r ≤ sec θ, 0 ≤ θ ≤ π/4.4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 12
θ = 0
Contoh 1Contoh 1Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang‐bidang koordinat.
Jawab: V
)(2/ 2
222 rdrdrdAyxJawab: V
)(
2/22/ 4
0 0
r
rdrdrdAyxS
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 13
244 000
ddr
Contoh 2Contoh 2
Hitung I = apabila dAx2Hitung I = apabila
S adalah daerah cincin yg
S
dAx1 20
dibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
Jawab: I =
2 2
22 .cos rdrdr
= …
0 1
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Soal 1Soal 1
Hitung I = bila S adalah daerah dA1Hitung I = bila S adalah daerah
segitiga yang dibatasi oleh sumbu‐x, garis y = x,
S
dAyx 22
dan garis x = 1.
J b IJawab: I = …
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Soal 2Soal 2
Tentukan volume bendaTentukan volume bendapejal yang dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2paraboloida z = x + y , tabung x2 + y2 = 2y, danbidang‐xybidang xy.
Jawab: V = …
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Soal 3Soal 3
Buktikan bahwa
1 dydxBuktikan bahwa
Jawab:
0 0222 .
4)1(dydx
yx
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 17
13.5 PENGGUNAAN INTEGRAL LIPATMA1201 MATEMATIKA 2A
13.5 PENGGUNAAN INTEGRAL LIPATMenentukan massa dan pusat massa lamina d k i t l li t ddengan menggunakan integral lipat dua
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Ingat: Distribusi Massa d dpada Bidang
Misal kita mempunyai y=f(x)Misal kita mempunyaisebuah lamina (kepingdatar) dengan rapat massa ●datar) dengan rapat massaδ konstan, yang menempatidaerah pada bidang yang
y=g(x)
daerah pada bidang yang dibatasi oleh garis x = a danx = b serta kurva y = f(x) danx b serta kurva y f(x) dany = g(x) dengan f(x) ≥ g(x)pada [a b]
∆m ≈ δ[f(x) – g(x)].∆x
∆My ≈ δx[f(x) – g(x)].∆xpada [a, b].
11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 19
∆Mx ≈ ½δ[f(x)2 – g(x)2].∆x
Momen dan Pusat Massa LaminaMomen dan Pusat Massa Lamina
Dari taksiran irisan tadi, kita peroleh
Massa: )]()([ dxxgxfmb
a
Momen thd sb‐y: )]()([ dxxgxfxMb
y
a
Momen thd sb‐x: )]()([ 22 dxxgxfMb
ay
Momen thd sb x: )]()([2
MM
dxxgxfM
y
ax
Pusat massa:11/15/2013 (c) Hendra Gunawan 20
.*;*m
Mym
x xy
Massa dan Pusat Massa Lamina d δ( )dengan Rapat Massa δ(x,y)
Massa )( dAMassa:
Momen)(
),(
dAM
dAyxmS
thd Sb‐x:
Momen
x dm=δ(x,y)dA),( dAyxxM
Sy
Momen
thd Sb‐y:y),( dAyxyM
Sx
Pusat Massa: .*;*m
Mym
Mx xy
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Catatan: Bila rapat massanya δ konstan, maka rumus ini sama dgn rumus sebelumnya.
Contoh/Latihan 1Contoh/Latihan 1
Tentukan massa Jawab:1 1 4 .
5m ydydx
dan pusat massalamina yang
21
1 1
5
0
x
y y
M d d
dibatasi olehkurva y = x2 dan
21
1 1
0.yx
M xydydx
garis y = 1, dengan rapat 2
1 12
1
4 .7x
x
M y dydx
massa di setiaptitik δ(x,y) = y.
4 / 7 5* 0; * .4 / 5 7
x
x y
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 22
4 / 5 7
Contoh/Latihan 2Contoh/Latihan 2
Tentukan massa dan pusat massa lamina ber‐bentuk seperempat cakram lingkaran berjari‐jari1 di Kuadran I, dgn rapat massa δ(x,y) = x2 + y2.
Jawab:
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 23
SoalSoal
Tentukan massa dan pusat massa lamina yangTentukan massa dan pusat massa lamina yang dibatatasi oleh kardioid r = 1 + sin θ, denganrapat massa konstan [Gambar terlebih dahulurapat massa konstan. [Gambar terlebih dahulukardioid tsb!]
4/16/2014 (c) Hendra Gunawan 24