Univerza v Ljubljani

Fakulteta za matematiko in fiziko

Jasna Urbanija

Magnetno resonancno slikanje in simulacijalaminarnega toka tekocin

Diplomsko delo

Mentor: doc. dr. Igor Sersa

Ljubljana, september 2005

Zahvala

Za potrpezljivost in vso pomoc pri izvedbi tega diplomskega dela se najlepse zahvaljujemmentorju doc.dr.Igorju Sersi. Hvala tudi vsem sodelavcem, kolegom ter prijateljem zanasvete in vzpodbude.

Fakulteta za matematiko in fiziko - Oddelek za fiziko, naravoslovna smer

Povzetek

Pretakanje raznih tekocin po ceveh vsakovrstnih oblik srecamo tako rekoc na vsakemkoraku, vendar lastnosti takih tokov le tezko natancno izmerimo, saj nam je obicajnoneposreden dostop v sam tok tekocine onemogocen. Zato je magnetna resonanca, kiomogoca neinvazivno opazovanje lastnosti toka (hitrost, pospesek), idealna metoda zaopazovanje le tega. Uporablja se predvsem v medicini za slikanje pretoka krvi po zilahter gibanja srcne misice.

V svoji nalogi sem na razlicno oblikovanih cevkah, po katerih se je pretakala voda, pre-verila dve razlicni magnetno-resonancni metodi slikanja toka tekocine: metodo oznacevanjain metodo fazne detekcije. Poleg hitrosti sem z metodo fazne detekcije lahko neposrednomerila tudi pospesek. Rezultate sem primerjala z racunalnisko simulacijo toka, ki gaopisuje Navier-Stokesova enacba.

Predmetne oznake

slikanje z magnetno resonanco, tok tekocine, fazna detekcija, metoda oznacevanja

PACS 76.60.-k, 47.66.+i

1

Faculty of Mathematics and Physics - Department of Physics

Abstract

Flow of different fluids through all kinds of pipes is one of the most common phenomenathat we meet in everyday life, though the properties of the flow can not be easily measureddue to a difficult access to the flow itself. Magnetic resonance imaging enables non-invasive examination of the flow parameters such as velocity and acceleration and thereforerepresents an ideal method for the flow study. It is also especially useful for medicalimaging of the blood flow and myocardium movements.

Within this research project two different magnetic resonance methods for flow imagingwere tested on the flow of water through pipes of various shapes: a tagging method and aphase detection method. In addition to the measurement of the velocity field, the phasedetection method enables measurement of the acceleration as well. The results werecompared to the computer simulation, which is based on the Navier-Stokes equation.

Key Words

magnetic resonance imaging, fluid flow, phase detection method, tagging method

PACS 76.60.-k, 47.66.+i

2

Kazalo

1 Uvod 4

2 Osnove jedrske magnetne resonance 52.1 Magnetni dipolni moment jeder in Zeemanov razcep . . . . . . . . . . . . . 52.2 Blochove enacbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Blochove enacbe v vrtecem se koordinatnem sistemu . . . . . . . . . . . . . 82.4 Pulz π/2 in spinski odmev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Slikanje z magnetno resonanco 103.1 Vpliv gradienta magnetnega polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Izbira rezine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Slikanje v 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Oprema laboratorija za slikanje z magnetno resonanco . . . . . . . . . . . . 14

4 Hidrodinamski opis toka 164.1 Eulerjev in Lagrangeov opis gibanja tekocin . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Navier-Stokesova enacba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Metode slikanja toka tekocin z magnetno resonanco 195.1 Metoda oznacevanja (tagging) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Fazna detekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.1 Slikanje toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.2 Slikanje pospeska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2.3 Omejitve slikanja hitrosti tekocin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Priprava eksperimenta 29

7 Meritve 307.1 Meritve z metodo oznacevanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Meritve s fazno detekcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2.1 Slikanje toka skozi zozano cevko v sredinskem prerezu . . . . . . . . 337.2.2 Slikanje toka skozi zozano cevko v 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2.3 Meritve pospeska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Diskusija 40

9 Zakljucek 42

Literatura 43

Dodatek A:Simulacija nestisljive Navier-Stokesove enacbe v 2D 44

3

1 Uvod

Pretakanje tekocin po razlicno oblikovanih ceveh je vsakdanji pojav tako v zivi kot nezivinaravi, zato je raziskovanje fizikalnih zakonitosti pretoka v razlicnih okoliscinah vednoaktualno. Kljub temu vecina raziskav ostane le pri racunalniskih simulacijah, saj staobicajno direkten dostop v cev, po kateri se pretaka dolocena tekocina, in merjenje njenegapretoka onemogocena. Tipicen primer je pretakanje krvi po zilah zivih bitij. Zanima nas,kaksne so hitrosti, pospeski in tlaki na dolocenem delu cevi (zile). Invazivno bomo to les tezavo pomerili, in se to le v omejenem stevilu tock. Uporaba magnetne resonance jezato idealno orodje za neinvazivno merjenje toka.

V nalogi smo na plasticnih in steklenih modelckih, po katerih se je pretakala voda,preverili dve najbolj znani metodi za merjenje toka ter pospeska. Skoraj vse tekocine sozelo primerne za tovrstno slikanje, saj je v njih obicajno vodik, ki ima mocan signal in jezato osnova slikanja z magnetno resonanco. Paziti moramo le, da je cev iz materiala, kinima spinskega signala.

V prvem delu naloge so tako predstavljene osnove magnetne resonance in slikanjaz magnetno resonanco, nato sledi predstavitev posameznih metod za slikanje toka teromejitve, s katerimi se pri slikanju srecamo. Na koncu pa so predstavljene meritve tersimulacije, izvedene v okviru tega diplomskega dela.

4

2 Osnove jedrske magnetne resonance

2.1 Magnetni dipolni moment jeder in Zeemanov razcep

Magnetna resonanca temelji na interakciji magnetnega dipolnega momenta jedra z zunan-jim magnetnim poljem [1]. Vrtilna kolicina jedra

~Γ = h~I (2.1)

nam doloca magnetni dipolni moment

~µ = γh~I, (2.2)

kjer je ~I spin jedra. Dipolni moment je vzporeden s smerjo vrtilne kolicine in je pomnozens faktorjem γ, ki je znacilen za posamezna jedra in ga imenujemo giromagnetno razmerje.Magnetni dipolni momenti jeder so velikostnega reda jedrskega magnetona µj = eh/2mp ≈5 ·10−27 Am2, kjer je mp masa protona. Pri slikanju z magnetno resonanco (MRI)obicajnoopazujemo precesijo protona (jedro atoma vodika). Giromagnetno razmerje za protonje priblizno γ = 42.6 MHz/T. Interakcijo magnetnega dipolnega momenta z zunanjimmagnetnim poljem opise Hamiltonov operator:

H = − ~B · ~µ = −γh ~B · ~I. (2.3)

V primeru staticnega magnetnega polja B0 v smeri osi z, se ta enacba prepise v

H = −γhB0Iz. (2.4)

Lastne vrednosti tega operatorja so za jedra s spinom I enake:

Em = −γhB0m , m = −I,−I + 1, ..., I − 1, I. (2.5)

To nam pove, da se osnovno stanje jedra s spinom I, ki je brez prisotnosti zunanjegamagnetnega polja 2I + 1 krat degenerirano, v magnetnem polju razcepi na 2I + 1 enakorazmaknjenih energijskih nivojev. Ta pojav imenujemo Zeemanov razcep. Za proton,ki ima spin 1/2 tako dobimo razcep na dve energijski stanji (m = ±1/2), oziroma par-alelno in antiparalelno stanje glede na projekcijo magnetnega dipolnega momenta na smerstaticnega magnetnega polja. Ti stanji sta med seboj razmaknjeni za

∆E = γhB0.

Pricakovali bi, da se bodo v prisotnosti mocnega magnetnega polja vsi spini postaviliparalelno s smerjo polja, saj bi tako dosegli najnizje energijsko stanje. Temu seveda sezdalec ni tako, saj protoni v snovi niso izolirani, ampak so sklopljeni med seboj in z okolico.Zaradi tega je zasedenost nizjeenergijskega nivoja le malenkostno visja od zasedenostivisjeenergijskega nivoja (N+ > N−). Ta razlika nam omogoca opazovanje absorbcijeelektromagnetnega valovanja v snovi, na cemer temelji tudi magnetna resonanca. Ker staprocesa absorbcije in emisije enako verjetna, v primeru enakih zasedenosti nivojev tega

5

I = ½

B=0

DE

m=-½

m=½

Slika 1: Zeemanov razcep za jedro s spinom 1/2.

pojava ne bi mogli opazovati. Razliko v zasedenosti nivojev dolocimo z Boltzmanovimfaktorjem [1]:

N+ = N−e∆E/kT , (2.6)

kjer je T temperatura sistema. Ker je pri sobni temperaturi ∆E/kT ≈ 10−6, lahkozapisemo

N+ −N− ≈ Nhω0

2kT,

kjer je N celotno stevilo spinov v vzorcu. Ce presezek protonov s spinom vzporedno s pol-jem pomnozimo z dipolnim magnetnim momentom za posamezen spin γh/2 in vpeljemogostoto protonov na enoto volumna ρ0, lahko dolocimo tudi ravnovesno stanje magneti-zacije

M0 =ρ0γ

2h2

4kTB0. (2.7)

Zaradi razlike v zasedenosti stanj lahko z absorbcijo elektromagnetnega valovanja vvzorcu dosezemo prehode med Zeemanovimi nivoji. Dolocimo frekvenco valovanja, ki boomogocila prehode iz stanj z nizjo energijo (m = 1/2) v stanja z visjo energijo (m = -1/2):

∆E = hω0, (2.8)

ω0 = γB0. (2.9)

To frekvenco imenujemo Larmorjeva frekvenca. Tako casovno odvisno motnjo, ki bopovzrocila prehod med energijskima stanjema, obicajno dosezemo z vrtecim se magnetnimpoljem B1, ki se vrti s frekvenco ω0 v ravnini pravokotni na smer staticnega magnetnegapolja B0. V magnetnem polju gostote 2,35T je absorbcijska frekvenca protonov priblizno100MHz, kar je v obmocju radijskih (RF) valov.

Opazimo, da za dobro absorbcijo potrebujemo mocno magnetno polje, saj je ab-sorbirana moc odvisna od kvadrata zunanjega magnetnega polja in obratno sorazmernas temperaturo [1]

P ∝ (N+ −N−)∆E ∝ B02

T. (2.10)

2.2 Blochove enacbe

V magnetnem polju ~B deluje na jedro z magnetnim momentom ~µ navor ~µ× ~B. Spremembavrtilne kolicine je enaka sunku navora, zato lahko za spreminjanje pricakovane vrednosti

6

magnetnega momenta zapisemo:

d < ~µ >

dt= γ < ~µ > × ~B (2.11)

Jedrska magnetizacija je definirana kot sestevek posameznih jedrskih magnetnih momen-tov ~µi znotraj ustrezno majhnega dela vzorca prostornine ∆V

~M =∑

i∈∆V

~µi

∆V= n < ~µ >, (2.12)

kjer je n stevilo opazovanih jeder na enoto prostornine. Ce enacbo (2.11) pomnozimo zn, dobimo izraz, ki opisuje casovno spreminjanje magnetizacije v odvisnosti od zunanjegamagnetnega polja

d ~M

dt= γ ~M × ~B. (2.13)

Seveda bi ta enacba veljala le v primeru, ko jedra ne bi cutila medsebojne interakcije ininterakcije z okolico. Zaradi dejstva, da temu nikoli ni tako, moramo zgornji enacbi dodatirelaksacijske clene. Kot vemo, se v ravnovesnem stanju vzpostavi longitudinalna magne-tizacija M0. Ko sistem spinov z dodatnim, vrtecim se magnetnim poljem B1 zmotimo izravnovesnega stanja, se bo po koncanem RF pulzu le to zopet zacelo vzpostavljati. Taproces imenujemo spinsko-mrezna relaksacija, saj je zanj odgovorna izmenjava energijespinov z mrezo. Opis spinsko mrezne relaksacije podamo z enacbo [2]:

dMz

dt=

M0 −Mz

T1

. (2.14)

T1 je spinsko-mrezni relaksacijski cas in je za vodo priblizno 3s. Resitev te enacbe namopise longitudinalno relaksacijo:

Mz(t) = Mz(0) e−t/T1 + M0(1− e−t/T1). (2.15)

Prav tako pa ne smemo pozabiti na interakcijo med posameznimi jedri. Ta vplivana transverzalno relaksacijo, kjer pride do postopne izgube fazne koherence med jedri.Ker pri tem ne pride do izmenjave energije z okolico, ima ta proces drugacno hitrost kotspinsko-mrezna relaksacija. Izkaze se [1], da vedno velja T2 < T1 in je za vodo T2 = 2s. Ceje po prenehanju RF pulza transverzalna magnetizacija Mx,y razlicna od nic (se pravi, daje prislo do fazne koherence med spini jeder), se bo ta zacela vracati v svojo ravnovesnolego Mx,y = 0:

dMx,y

dt= −Mx,y

T2

. (2.16)

Resitev, ki nam opise transverzalno relaksacijo se glasi:

Mx,y(t) = Mx,y(0) e−t/T2 . (2.17)

Seveda to drzi ob predpostavki, da je zunanje polje idealno homogeno. To seveda vpraksi ni nikoli popolnoma res, zato pride do dodatne transverzalne relaksacije zaradinehomogenosti polja. Ustrezen relaksacijski cas oznacimo s T ∗

2 .

1

T ∗2

=1

T2

+ γ√

< ∆B20 >. (2.18)

7

V primerjavi z izgubo koherence med spini zaradi interakcije med jedri, ki je ireverzibilenin popolnoma nakljucen proces, je relaksacija zaradi nehomogenosti polja urejen procesin se mu je z ustreznim zaporedjem pulzov mogoce popolnoma izogniti.

Sedaj zdruzimo enacbi relaksacije (2.14) in (2.16) z enacbo gibanja (2.13) in dobimoBlochove enacbe, ki so nepogresljive za opis pojavov pri slikanju z magnetno resonanco:

dMx,y

dt= γ ( ~M × ~B)x,y − Mx,y

T2

(2.19)

dMz

dt= γ ( ~M × ~B)z +

(M0 −Mz)

T1

(2.20)

2.3 Blochove enacbe v vrtecem se koordinatnem sistemu

Zelo prikladno je zgornje enacbe zapisati v vrtecem se koordinantnem sistemu. Enacba(2.13) se v vrtecem koordinatnem sistemu, ki se glede na laboratorijskega vrti s frekvenco~ωr = (0, 0,−ωr) prepise v:

d ~M

dt=

δ ~M

δt+ ~ωr × ~M. (2.21)

Pri tem je δ ~Mδt

odvod magnetizacije po casu glede na vrteci se koordinatni sistem:

δ ~M

δt= γ ~M × ~Bef in je ~Bef = ~B +

~ωr

γ. (2.22)

Ce opazujemo spreminjanje magnetizacije dovolj kratek cas, da lahko zanemarimo ucinkerelaksacije, potem nam zgornja enacba opisuje gibanje magnetizacije v vrtecem se koor-dinatnem sistemu.

Poglejmo si primer, ko je polje enako staticnemu polju v smeri osi z: ~B = (0, 0, B0).

Tedaj je efektivno polje enako ~Bef = (0, 0, B0) + 1/γ (0, 0,−ωr). Ce izberemo ωr = γ B0,kar ustreza ze znani Larmorjevi frekvenci (2.9), ugotovimo, da je efektivno polje Bef = 0.To pomeni, da magnetizacija v vrtecem se koordinatnem sistemu miruje, oziroma dav laboratorijskem sistemu precesira okoli staticnega magnetnega polja B0 z Larmorjevofrekvenco.

2.4 Pulz π/2 in spinski odmev

Pri slikanju z magnetno resonanco si zelimo magnetizacijo zasukati v smeri pravokotnoglede na zunanje magnetno polje. Zanima nas, kaksen RF pulz moramo uporabiti, da sebo magnetizacija zasukala v smeri osi y. Poleg staticnega zunanjega polja vpeljemo sevrtece se magnetno polje ~B1 = (B1, 0, 0).

To smo sedaj zapisali v vrtecem se koordinatnem sistemu, ki ga bomo oznacili sS ′(x′, y′, z′), os z v mirujocem sistemu in z′ v vrtecem sistemu sovpadata. Sedaj se efek-tivno polje glasi Bef = (B1, 0, B0 − ωr/γ). Ce je ωr = γB0, je efektivno polje v z smerienako nic, kar pomeni, da nam ostane le se efektivno polje B1 v x′ smeri. Enacba vvrtecem se sistemu se sedaj glasi:

~δM

δt= γ ~M × ~B1. (2.23)

8

z

x

y

M0B

x’

y’

z

M

1B

z

x

y

M0B

x’

y’

z

M

1B

x

y

0B

x’

y’

z

M

1B

f

0w

Slika 2: Vpliv dodatnega magnetnega polja ~B1 na zasuk magnetizacije.

Ta nam opisuje precesijo magnetizacije okoli x′ osi v vrtecem sistemu. Ce zelimo mag-netizacijo zasukati za kot π/2, se pravi v smer osi y′, moramo polje B1 vkljuciti za castp:

ϑ = π/2 = γB1tp. (2.24)

Pri tem smo lahko zanemarili vpliv relaksacije, saj to obicajno poteka precej pocasnejekot je trajanje pulza. Omenili smo ze, da ima transverzalna relaksacija dve komponenti:prispevek spinsko-spinske interakcije in prispevek zaradi nehomogenosti polja. Po casu τpo pulzu π/2 se bo magnetizacija zaradi nehomogenosti polja odmaknila od y′ osi za nekkot α = γ∆Bτ . Sedaj s pulzom π zasucemo magnetizacijo okoli osi x′ tako, da bo populzu oklepala z osjo y′ kot π − α. Nehomogenost polja je na dolocenem mestu se vednoenaka, zato se bo magnetizacija v casu τ po π pulzu zopet zavrtela za kot α in se bo takov casu 2τ po sunku π/2 zbrala v smeri −y′. Ne glede na to, kaksna je nehomogenost poljana posameznem mestu in s tem premik za kot α po nekem casu τ , se bo vsa magnetizacijapo casu τ po π sunku zbrala v smeri osi −y′. Ta pojav imenujemo spinski odmev. S temodpravimo zmanjsanje signala zaradi nehomogenosti polja, se vedno pa ostane relaksacijazaradi interakcije med spini. Zaradi tega je visina spinskega odmeva za faktor e−2τ/T2

manjsa od signala takoj po π/2 sunku. S ponavljanjem π sunkov v ustreznem zaporedju,lahko dobimo vec spinskih odmevov, katerih visina eksponentno pojema z razpadnimcasom T2.

x’

y’

z’

M

x’

y’

z’

M

x’

y’

z’

Mx’

y’

z’

M

z’

x’

y’M

a

p/2[ ]x p[ ]x

a

t t

Slika 3: Pulz π/2 in spinski odmev.

9

3 Slikanje z magnetno resonanco

3.1 Vpliv gradienta magnetnega polja

Do sedaj smo se trudili, da bi bilo nase zunanje magnetno polje cimbolj homogeno, sajnam odstopanja od nehomogenosti pomenijo izgubo faze med spini. Vendar lahko pravodvisnost precesijske frekvence jeder od zunanjega magnetnega polja izrabimo za rekon-strukcijo slike. Homogenemu zunanjemu polju dodamo linearno narascajoce magnetnopolje z doloceno smerjo gradienta in smerjo polja v smeri homogenega zunanjega polja.Dodano magnetno polje, ki ga imenujemo tudi gradientno polje, je veliko manjse od zu-nanjega polja in nam sluzi za to, da vzdolz izbrane smeri gradienta jedra precesirajo sfrekvenco, ki je odvisna od koordinate ~r:

ω(~r) = γB0 + γ ~G~r. (3.1)

Iz velikosti frekvence lahko torej razberemo, na katerem mestu vzdolz gradienta magnet-nega polja se doloceno jedro nahaja. Ta lastnost omogoca slikanje z magnetno resonanco.

Slikanje v treh dimenzijah poteka obicajno tako, da postopoma vzbudimo posameznerezine v vzorcu in nato na izbrani rezini uporabimo tehniko 2D slikanja, s katero se bomoseznanili v nadaljevanju.

3.2 Izbira rezine

Najprej si poglejmo, kako lahko vzbudimo posamezne rezine. To dosezemo z delovanjemRF pulza v prisotnosti gradienta magnetnega polja. Ta postopek imenujemo selektivnavzbuditev. Za lazje racunanje vzamemo za gradient ~G = (0, 0, Gz) v laboratorijskemsistemu, se pravi, da se bo z komponenta polja spreminjala vzdolz z osi (s tem bomoustvarili rezino pravokotno na z os). Zato je prikladno zapisati Blochove enacbe za vsakoravnino, pravokotno na polje v z smeri posebej. Vpeljemo vrtec se koordinatni sistemS ′(x′, y′, z′), ki se vrti okoli z osi s kotno frekvenco ω(z) = γGzz. V tem sistemu lahkopri doloceni vrednosti z koordinate zapisemo Blochove enacbe takole:

dMx′

dt= −γMz′By′ = −γMz′B1(t)sin[γGzz(t + T )], (3.2)

dMy′

dt= γMz′Bx′ = γMz′B1(t)cos[γGzz(t + T )], (3.3)

dMz′

dt= γ(Mx′By′ −My′Bx′). (3.4)

Pri tem predpostavimo cas trajanja pulza od t = −T do t = T . Po zgledu Bailes inBryanta [4] na tem mestu naredimo predpostavko, da se z komponenta magnetizacije lemalo spreminja, in je torej dMz′

dt= 0 oziroma Mz′ = M0. To seveda za pulz π/2 ni cisto

res, vendar se rezultat vseeno dobro ujema z dejanskimi vrednostmi [2]. Sedaj zdruzimox′ in y′ komponento magnetizacije: M+′ = Mx′ + iMy′ , in integriramo po casu od −T doT . Dobimo:

M+′ (T, z) = iγM0

∫ T

−TB1(t) eiγGzz(t+T ) dt. (3.5)

10

Rezultat je ugodno zopet prepisati v obicajen vrtec se sistem S, v katerem ~B1 miruje:M+(T ) = M+

′ (T )exp(−iγGzz2T ). Dobimo:

M+(T, z) = iγM0 e−iγGzzT∫ T

−TB1(t) eiγGzzt dt. (3.6)

Vidimo, da je profil transverzalne magnetizacije vzdolz osi z sorazmeren Fourierovi trans-formaciji (FT) RF pulza. Ker obicajno zelimo vzbuditi jedra v rezini s skatlastim profilom,

bomo to najlazje dosegli, ce bomo na sistem delovali z RF pulzom oblike sinc(x) = sin(x)x

,saj nam da FT sinc funkcije skatlast profil. Tako obliko pulza imenujemo oblikovanoziroma mehek pulz. Tako kot trdim pulzom, lahko tudi mehkim pulzom spreminjamonjihovo dolzino (π/2,π), vendar v tem primeru le s spreminjanjem amplitude, ne pa tuditrajanja pulza.

Iz enacbe (3.6) je se razvidno, da ima magnetizacija dodaten fazni faktor, odvisen odz koordinate spinov: φ = γGzzT . Temu se lahko izognemo tako, da po koncanem pulzuza cas T vklopimo gradient velikosti -Gz.

Na ta nacin smo dosegli zajemanje signala le iz koncno velike rezine, ki ima skatlastprofil. V nasem primeru je ta rezina pravokotna na z os, vendar je v splosnem lahkorezina s primerno izbiro gradientov poljubno obrnjena. Sedaj pa poglejmo, kako pridemodo 2D slike izbrane rezine, ki naj lezi zaradi lazje obravnave se vedno pravokotno na z os.

3.3 Slikanje v 2D

Uporaba Fourierove transformacije je osnova slikanja z NMR. NMR signal celotnegavzorca takoj po pulzu π/2 je vsota signalov vseh delov vzorca in ga definiramo kot:

S(t) ≡∫

ρ(~r) eiω(~r)t d~r, (3.7)

kjer je ρ(~r) gostota jeder na enoto prostornine, ω(~r) = γBz(~r) pa je frekvenca jedrskeprecesije. Ce bi bil vzorec postavljen v homogeno magnetno polje, bi bila ta frekvenca vcelem vzorcu enaka: ω(~r) = ω0 = γB0, NMR signal za ta primer pa:

S(t) =∫

ρ(~r) eiω0td~r = N eiω0t,

kjer je N =∫

ρ(~r)d~r celotno stevilo jeder v vzorcu. Spekter tega signala oziroma njegovaFourierova transformiranka iz casovnega v frekvencni prostor pa je:

F (ω) = FT (S(t))(ω) =∫

N e−iωt eiω0tdt = 2πNδ(ω − ω0).

Spekter signala proste precesije za vzorec v homogenem magnetnem polju B0 je torejdelta funkcija pri ω = ω0.

Poglejmo kaj se zgodi, ce v izbrani smeri poleg zunanjega polja vkljucimo se gradientnopolje: Bz = B0 + ~G~r. Ko enacbo (3.1) vstavimo v enacbo (3.7) zapisemo NMR signal:

S(t) =∫

d~rρ(~r) eiω0t eiγ ~G~rt, (3.8)

11

ki mu ustreza spekter:

F (ω) =∫

dt e−iωt∫

d~rρ(~r) eiω0t eiγ ~G~rt = (3.9)

=∫

d~rρ(~r)2πδ(ω − ω0 − γ ~G~r). (3.10)

V primeru, da imamo gradient ~G = (Gx, 0, 0), se ta enacba prepise v:

F (ω) =∫

dxρx(x)2πδ(ω − ω0 − γGxx), (3.11)

kjer je ρx(x) =∫ ∫

ρ(x, y, z) dydz gostota jeder na enoto dolzine v smeri osi x. Vidimo, dav tem primeru NMR spekter ustreza enodimenzionalni sliki predmeta. Gradientno mag-netno polje, ki nam da linearno povezavo med frekvenco precesije in krajevno koordinato,je torej bistvenega pomena pri slikanju z NMR.

Zaradi prirocnosti bomo sedaj namesto konjugiranih prostorov frekvence in casa uvedlikonjugirana prostora koordinate ~r in reciprocne krajevne koordinate ~k. Povezavo medkrajevno koordinato in frekvenco ze imamo in nam jo podaja enacba (3.1). Podobno

lahko definiramo tudi reciprocno koordinato ~k, tako da korespondira s casom:

~k ≡ 1

2πγ ~Gt. (3.12)

V nadaljevanju ne bomo vec pisali faznega faktorja z ω0, saj je ves cas konstanten in galahko s primerno detekcijo izlocimo. Tako lahko enacbi (3.8) in (3.9) prepisemo v:

S(~k) =∫

ρ(~r) ei2π~k~rd~r, (3.13)

ρ(~r) =∫

S(~k) e−i2π~k~rd~k. (3.14)

Vidimo, da sta signal S(~k) in gostota jeder ρ(~r) vzajemno konjugirana in ju povezujeFourierova transformacija.

V nasem primeru smo z uporabo gradienta in ustreznega RF pulza dosegli zajemsignala iz rezine pravokotne na z os. Debelina rezine naj bo a. Zajeti signal v xy ravninise bo torej glasil:

S(kx, ky) =∫ a/2

−a/2

[∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ρ(x, y, z) ei2π(kxx+kyy)dxdy

]dz. (3.15)

Zunanji integral lahko opustimo, saj nam predstavlja le povprecevanje po rezini. Takolahko zapisemo:

S(kx, ky) =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ρr(x, y) ei2π(kxx+kyy)dxdy (3.16)

V tej enacbi zopet vidimo 2D Fourierovo transformacijo gostote spinov ρr(x, y) v xyravnini (to je volumska gostota povprecena po debelini rezine). Vrednosti te gostotebomo dobili z obratno Fourierovo transformacijo:

ρr(x, y) =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞S(kx, ky) e−i2π(kxx+kyy)dkxdky. (3.17)

12

Ce bomo torej poznali signal v vseh tockah ravnine kxky, bomo lahko rekonstruirali slikorezine. Vemo, da sta

kx =1

2πγGxtx in ky =

1

2πγGyty.

S spreminjanjem velikosti in trajanja gradienta lahko torej zajamemo razlicne tocke v kprostoru.

RF

Gz

Gx

Gy

ACQ

DGy

ty

TE

tx=-NT tx=0 tx=(N-1)T

p/2[x] p[y]

Gxneg

=txneg

Slika 4: Pulzno zaporedje za slikanje v 2D s spinskim odmevom iz izbrane rezine.

Imamo torej dve moznosti. Prva je, da ob konstantni velikosti gradienta (ta naj bo vsmeri x) zajemamo signal ob razlicnih casih. Recimo, da signal belezimo v N razlicnihtockah s casovnim intervalom vzorcenja T :

kx =1

2πγG0Tj; j = 0, 1, ..., N − 1.

S tem v korakih zajamemo vse tocke pozitivnega poltraka kx. Tak gradient imenujemobralni gradient. Ker za rekonstrukcijo slike potrebujemo tudi tocke negativnega poltraka,napravimo majhen trik. Pred zacetkom zajemanja signala vklopimo Gneg

x za cas tnegx .

Gradient smo oznacili z ’neg’, ker mora imeti negativno vrednost glede na bralni gradi-ent, cas trajanja pa mora biti tak, da prestavi zacetek zajema signala v ustrezno tockonegativnega poltraka kx osi: |Gneg

x |tnegx = GxNT . S tem dobimo signal za vse (2N) zeljene

tocke kx ravnine, vendar le pri vrednosti ky = 0.Da bomo lahko naredili 2D rekonstrukcijo, moramo zajem signala opraviti se za vse

ostale vrednosti ky, tako da bomo zajeli signal iz celotne kxky ravnine. To naredimo s

13

t.i. faznim gradientom. Pred zacetkom zajemanja signala za nek fiksen cas ty vklop-imo gradient Gy v y smeri. Njegova velikost pa ni ves cas enaka, ampak se ob vsakiponovitvi zajema signala po casu TR enakomerno poveca. Tako smo dosegli zajem sig-nala pri razlicnih vrednostih ky. Zeleli bi, da so vrednosti kx in ky med seboj enakomernorazmaknjene, tako da dobimo 2Nx2N med seboj enako razmaknjenih tock v k prostoru.Gradient Gy bomo torej enakomerno povecevali od Gy = −N∆Gy do Gy = (N − 1)∆Gy.Veljati pa mora se: ty∆Gy = TGx, da bodo razmiki med zajetimi tockami v kx in ky

ravnini enaki.V zaporedje lahko med vzbuditveni pulz π/2 in zajem signala ACQ vkljucimo se pulz

π in tako zajamemo signal v tocki spinskega odmeva ob casu TE = 2τ po pulzu π/2.Uporaba spinskega odmeva ugodno vpliva na kvaliteto slike, saj spinski odmev povrneprecej signala, ki bi se sicer zaradi T ∗

2 razpada izgubil.S tem dobimo signal iz celotne kxky ravnine. S FT tega signala dobimo sliko gos-

tote jeder (MR slika) vnaprej dolocene rezine. Ce se z ze opisano metodo pomikamo porazlicnih rezinah, dobimo 3D sliko opazovanega objekta.

3.4 Oprema laboratorija za slikanje z magnetno resonanco

Slikanje z magnetno resonanco je mozno le v magnetnih poljih z visoko jakostjo. Cimvecja je jakost magneta, tem boljso locljivost slike lahko dobimo, oziroma boljse razmerjemed signalom in sumom pri izbrani locljivosti. Zato je osnovni sestavni del laboratorijasuperprevodni magnet cim vecje jakosti, v nasem primeru B0 = 2, 35T . V tem poljuje precesijska frekvenca vodikovih jeder 100MHz. Za dobro slikanje je pomembno tudi,da je polje znotraj magneta cim bolj homogeno. Ker temu nikoli ni povsem zadosceno,so okoli superprevodnega magneta namescene dodatne tuljave za homogenizacijo mag-netnega polja. Pred vsakim slikanjem zato vkljucimo primerno kombinacijo teh tuljav,tako da se nehomogenost polja v vzorcu cim bolj zmanjsa. Poleg teh tuljav so pris-otne se gradientne tuljave, s katerimi ustvarimo za slikanje neizogibno potrebne gradientemagnetnega polja v zeleni smeri: x, y ali z, ki v primernih trenutkih slikanja dodaja os-novnemu staticnemu polju B0 ustrezna linearno narascajoca polja. Jakost teh gradientovje velikostnega reda 10mT/m.

MAGNET

MAGNET

GRADIENTNE TULJAVE

GRADIENTNE TULJAVE

RF TULJAVA

RF TULJAVA

VZOREC

ZAŠČITNA KLETKA

RF ODDAJNIK

RF SPREJEMNIK

GRADIENTNIOJAČEVALNIK

RF OSCILATORPULZNIGENERATOR

RAČUNALNIK

Slika 5: Skica pomembnejsih delov opreme za slikanje z NMR.

14

RF sonda je tuljavica, v katero vstavimo vzorec. Dejansko pa je RF sonda del ni-hajnega kroga, ki je uglasen na precesijsko frekvenco vodikovih jeder. Naloga RF sondepri slikanju je, da ustvarja kar se da homogeno, vrtece se magnetno polje B1. Ker morabiti precesijska frekvenca nihajnega kroga precej visoka, navadne solenoidne tuljave ne bimogli uglasiti na tako visoke frekvence. V ta namen se zato obicajno uporabljajo sedlastetuljave s precej nizjo induktivnostjo.

Drugi del opreme laboratorija so elektronske komponente, ki povezujejo magnet zracunalnikom in tako omogocajo izvajanje pulznih zaporedij, zajem signala in njegovoobdelavo. Glavni del elektronske opreme je racunalnik, ki skrbi za izvajanje pulznihzaporedij, ima nadzor nad vso spremljajoco elektronsko opremo in je zadolzen za izracunslike iz zajetega signala NMR. Preko racunalnika krmilimo generator oblik signalov, RFoddajnik, sprejemni del opreme ter gradientne tuljave in tuljave za homogenizacijo polja.

Generator oblik signala je analogno-digitalni pretvornik, ki generira zeljeno obliko ovo-jnice za oblikovane RF pulze. Namen RF oddajnika je ojacitev RF pulzov iz modulatorjav prave RF pulze. Tipicna moc teh oddajnikov je velikostnega reda od nekaj 100W donekaj kW. K sprejemnemu delu opreme spadajo predojacevalnik in pasovni filter ter faznidetektor. Gradientni ojacevalnik nam ojaca obliko gradientnega pulza na zeleno moc.Vsaka gradientna tuljava ima svoj gradientni ojacevalnik.

15

4 Hidrodinamski opis toka

4.1 Eulerjev in Lagrangeov opis gibanja tekocin

Tok tekocine opisemo s tem, da dolocimo vsem delcem tekocine hitrost in pospesek. Kerso ti delcki tekocine med seboj tesno povezani, lahko v danem casu katerokoli lastnosttekocine (gostota, tlak, hitrost in pospesek) podamo kot zvezno funkcijo koordinate.

V splosnem poznamo dva mozna nacina opisa toka tekocine. Prvi je Lagrangeov opis,kjer v casu sledimo dolocenemu delcku tekocine in hkrati opazujemo spreminjanje dolocenelastnosti tekocine za ta delcek, npr. hitrosti. Lahko bi rekli, da nam metoda oznacevanja(poglavje 5.1) poda lastnost tekocine v Lagrangeovem opisu, saj oznacimo posamezendelec in mu nato sledimo.

Drugi in bolj splosno uporabljen je Eulerjev opis. Tu nas zanima, kako se spreminjahitrost v doloceni tocki tekocine, oziroma kaksno je hitrostno polje tekocine. Prav takopa dolocimo tudi druge lastnosti tekocine (tlak, pospesek) v fiksnih tockah prostora, kotekocina tece mimo teh tock. Lastnosti tekocine niso vec vezane na dolocen delec kot priLagrangeovem opisu. Hitrostno polje tako zapisemo:

~V = u(~r, t)i + v(~r, t)j + w(~r, t)k, (4.1)

kjer so u, v in w komponente hitrosti v x, y in z smeri prostora. Pogledati zelimo se, kaksenje v tem opisu pospesek. Pospesek je enak spremembi hitrosti. Prispevka k spreminjanjuhitrosti pa sta dva: hitrostno polje je casovno odvisno in se zato hitrost delcka tekocinespreminja s casom. Delcek se v casu dt premakne z mesta ~r na mesto ~r+d~r = ~r+~V (~r, t)dt.Diferencial hitrosti tako zapisemo kot vsoto dveh prispevkov [5]:

D~V = ~V (~r + ~V (~r, t)dt, t + dt)− ~V (~r, t). (4.2)

Ko to odvajamo po casu dobimo:

D~V (~r, t)

Dt= ~a(~r, t) =

∂~V (~r, t)

∂t+ (~V (~r, t) · ∇)~V (~r, t). (4.3)

Diferencial hitrosti smo oznacili z D in ga imenujemo snovni ali substancialni odvod. Prviclen v zgornji enacbi se imenuje lokalni clen, drugi pa konvekcijski clen. V svojih meritvah

sem obravnavala stacionaren tok, kjer je ∂~V (~r,t)∂t

= 0, zato je tudi lokalni pospesek enak

nic. Se vedno pa ostane konvekcijski pospesek, odvisen od spreminjanja hitrostnega poljav odvisnosti od koordinate. Eulerjev opis sem uporabila za dolocanje hitrostnega poljatekocine pri meritvah s fazno detekcijo.

Za prikaz hitrostnega polja pogosto uporabimo tokovnice. To so krivulje, ki so v vsakitocki tangencialne na hitrostno polje tekocine:

~r(l, t) =d~r(l, t)

dl=

~V (~r, t)

|~V (~r, t)| . (4.4)

Za opis tokovnice tako veljajo enacbe:

x =dx

dl=

u

Vy =

dy

dl=

v

Vz =

dz

dl=

w

V, (4.5)

16

kjer je V = |~V (~r, t)|. To lahko v krajsi obliki zapisemo kot:

dx

u=

dy

v=

dz

w. (4.6)

Ce je tok stacionaren, potem so tokovnice kar poti delcev, ki jih dobimo iz hitrostnegapolja. Taksnemu toku pravimo tudi laminaren tok. Za stacionaren tok so tokovnice vescas enake, za nestacionaren tok pa lahko v casu spreminjajo svojo obliko.

4.2 Navier-Stokesova enacba

Navier-Stokesova enacba je osnovna enacba hidrodinamike newtonskih tekocin [6]. ZaNewtonske tekocine je znacilno, da so napetosti linearno odvisne od hitrosti deformacije.Poleg tega predpostavimo, da je tekocina nestisljiva: ∂ρ

∂t= 0. Iz kontinuitetne enacbe za

gostoto:∂ρ

∂t+∇ · (ρ~V ) = 0 (4.7)

sledi, da je za nestisljive tekocine ∇ · ~V = 0. Zato lahko Navier-Stokesovo enacbo zanestisljive tekocine zapisemo:

ρ

∂~V

∂t+ (~V∇)~V

= ρ~f z −∇p + η∇2~V . (4.8)

~f z je gostota zunanjih sil, za katero predpostavimo, da je enaka nic, ko lahko zanemarimovpliv gravitacije. η je viskoznost. Enacbo prepisemo v brezdimenzijsko obliko z uvedbobrezdimenzijskih parametrov:

~V ′ =~V

V0

, p′ =p

ρV 20

, t′ =tV0

L, r′ =

r

L, (4.9)

kjer je V0 neka znacilna hitrost, obicajno povprecna hitrost v cevi, L pa znacilna dimenzija,v primeru okrogle cevi je to kar premer cevi. Navier-Stokesova enacba se sedaj glasi:

∂~V

∂t+ (~V∇)~V = −∇p +

1

Re∇2~V (4.10)

Zapis crtic smo opustili, saj ni vec potreben, ce se zavedamo, da so vse kolicine brezdi-menzijske. Uvedli smo novo brezdimenzijsko konstanto:

Re =ρLV0

η, (4.11)

ki se imenuje Reynoldsovo stevilo. Ta nam doloca mejo laminarnosti in turbolence vtekocini. Za tok v okrogli cevi in Reynoldsova stevila manjsa od 2000 predpostavljamo,da je tok laminaren. Za Reynoldsova stevila, ki so vecja od 2000 in manjsa od 4000,imamo podrocje prehajanja med laminarnim in turbolentnim tokom, za vecja Reynoldsovastevila pa je tok popolnoma turbolenten. Zavedati se moramo, da so zgoraj navedenaReynoldsova stevila le priblizna meja laminarnosti in turbolence.

17

Analiticna resitev Navier-Stokesove enacbe v vecini primerov ni mozna, vseeno pa silahko pogledamo najbolj preprost primer toka po okrogli cevi s konstantnim polmerom.Tak tok obicajno imenujemo Poiseuilleov tok. V tem primeru je Navier-Stokesovo enacbonajbolj prikladno zapisati v cilindricnih koordinatah. Predpostavimo, da je hitrost vz-poredna s stenami in sta torej vr in vθ enaki nic. Ostane nam le hitrost vzdolz cevi vz.Kontinuitetna enacba (4.7) nam da pogoj ∂vz/∂z = 0. vz je torej le funkcija radialneoddaljenosti od sredisca valja: vz = vz(r). Navier-Stokesove enacbe se tako zreducirajona:

0 = −∂p

∂r(4.12)

0 = −1

r

∂p

∂θ(4.13)

0 = −∂p

∂z+ η

[1

r

∂

∂r

(r∂vz

∂r

)](4.14)

Prvi dve enacbi nam povesta, da tlak p ni odvisen od r in θ. Zadnjo enacbo pa prepisemo:

1

r

∂

∂r

(r∂vz

∂r

)=

1

η

∂p

∂z(4.15)

in jo dvakrat integriramo. Upostevamo se robne pogoje, da je v sredini cevi hitrost koncnain na stenah (pri r = R) enaka nic. Tako dobimo v cevi pricakovan parabolicen profilhitrosti:

vz =1

4η

(∂p

∂z

)(r2 −R2) (4.16)

vmaxZ

R

r

q

Slika 6: Parabolicen profil hitrosti v cevi.

18

5 Metode slikanja toka tekocin z magnetno resonanco

5.1 Metoda oznacevanja (tagging)

Z metodo oznacevanja poskusamo v izbrani rezini slikanja spine vzbuditi le znotraj mrezetock. Ta se bo pod vplivom toka v casu od oznacitve do zajema signala deformirala intako nakazala na hitrost posameznih delov tekocine. Ce tekocina miruje, se vzbujenamreza tock ne bo nic deformirala.

Pogosto uporabljeni nacin oznacevanja temelji na uporabi zaporedja DANTE [7]. Toje sestavljeno iz vec kratkih trdih RF pulzov, ki si sledijo v razmakih τ v prisotnostigradienta v zeleni smeri oznacevanja. Zelimo, da RF pulzi skupaj zasucejo magnetizacijoza π, torej mora biti dolzina in amplituda posameznega pulza dolocena tako, da nam bomagnetizacijo zasukal za kot π/N , kjer je N stevilo vseh pulzov. V casu τ med pulzi spiniprecesirajo v gradientnem polju z razlicnimi frekvencami v razlicnih legah.

x’

y’

z

x’

z

x’

y’

z

x’

y’

z

x’

z

x’

y’

z

x’

y’

z

x’

y’

z

x’

y’

z

p/N

RF1

RF1

RF2

RF2

RF5

RF5

t

x’

y’

z

x’

y’

z

p/N

p/Np/N

2 /Np

p/N

x’

y’

z

x’

y’

z

x’

y’

z

TI

x’

y’

z

x’

y’

z

TI

t

x’

y’

z

p/2

p/2

Slika 7: Vpliv zaporedja na zasuk magnetizacije za spine, ki se v gradientnem polju vcasu τ med posameznimi RF pulzi zasucejo za kot 2πn (zgoraj) in 2π(n + 1/2) (spodaj).Z rdeco puscico je oznacena smer magnetizacije.

Samo spinom, ki se bodo v casu τ med zaporednimi pulzi zaradi gradienta magnetnegapolja zasukali za mnogokratnik 2π okoli osi z, se bo kot zasuka okoli B1 konstruktivnosesteval. Spini, ki se bodo v casu med pulzi zaradi vpliva gradientnega polja zasukali za(2n + 1)π, bodo ohranili svojo longitudinalno magnetizacijo, saj jih bo en pulz zasukalnavzdol, naslednji pa navzgor (koti zasukov se bodo destruktivno sestevali). Ti spini bodoohranili skoraj vso longitudinalno magnetizacijo. Spini, ki med pulzi precesirajo za kot2πn, pa bodo po vseh N pulzih zasukani za kot π okoli smeri B1 (njihova magnetizacijaje sedaj zbrana v −z smeri) (glej sliko 7 in pulzno zaporedje na sliki 8).

Po zadnjem RF pulzu (v nasem primeru RF5) v prisotnosti gradienta magnetnegapolja v zeleni smeri oznacevanja je magnetizacija spinov na mestih

xn =2πn

γGxτ(5.1)

19

obrnjena v smeri −z, magnetizacija spinov na mestih

xn+1/2 =2π(n + 1/2)

γGxτ(5.2)

pa je od smeri z odmaknjena najvec za kot π/N (za sode N je odklon enak 0) in je privelikih N prakticno vzporedna z z osjo. Magnetizacija spinov na mestih xn+1/2 se torejni popolnoma destruktivno sestela. Kljub temu, da temu ni tako, nas to ne vznemirjaprevec, saj zadnjemu pulzu sledi cas inverzije TI, v katerem se magnetizacija, ki je maloodmaknjena od ravnovesne lege relaksira nazaj v ravnovesno stanje, hkrati pa potece tudiT2 relaksacija. Magnetizacija bo zato po casu TI kazala v smeri z osi in bo le malenkostnomanjsa od magnetizacije popolnoma zrelaksiranega vzorca. Za magnetizacijo na mestihxn, ki je po koncu gradientnih pulzov obrnjena v smeri −z osi, pa zelimo, da se bo vcasu TI zrelaksirala do te mere, da bo njena velikost enaka nic. Cas TI med koncemoznacevanja in zacetkom slikanja moramo zato ustrezno nastaviti. Pri tem si pomagamoz enacbo (2.15). Ce za Mz(0) vstavimo naso trenutno vrednost magnetizacije po koncuRF pulzov, se pravi Mz(0) = −M0, dobimo pogoj TI = T1 ln2.

RF

Gz

Gx

Gy

ACQ

p/2[x] p[y]

tTI

Slika 8: Pulzno zaporedje za slikanje toka z metodo oznacevanja.

S tem smo dosegli, da je magnetizacija spinov na mestih xn tudi po pulzu π/2 enakanic in nam tako ne prispeva k intenziteti v sliki, magnetizacija na mestih xn+1/2 pa se bopo pulzu π/2 zasukala v smer y′ in bo tako signal teh spinov najvecji.

Na tak nacin dobimo proge v zeleni smeri gradienta (na primer v x smeri), da bidobili mrezast vzorec, moramo izvesti enako zaporedje pulzov v prisotnosti gradienta v ysmeri. Vecje bo gradientno polje, bolj skupaj bodo rezine. Tako smo oznacili vzorec. Ce jetekocina tekla, se je vzorec v casu TI tudi premaknil glede na hitrost tekocine v posameznitocki in je tako mreza, ki jo detektiramo ustrezno premaknjena. Iz teh premikov lahkoocenimo hitrost tekocine na posameznem mestu.

20

V pravilnost napovedi se lahko prepricamo tudi racunsko. Do sedaj smo govorili le ospinih pri dveh diskretnih frekvencah vrtenja, in sicer 2πn/τ in (2π + 1)n/τ . Preveritizelimo, kaj se zgodi tudi pri vseh vmesnih frekvencah. Enacba (3.6), do katere pridemos pomocjo Blochovih enacb, nam doloca razvoj magnetizacije pod vplivom RF pulza vprisotnosti gradientnega polja. Ta nam je sluzila za dolocanje selektivne vzbuditve rezinza slikanje. Tudi sedaj je problem zelo podoben, le da tokrat zelimo selektivno vzbuditidolocene proge v rezini. Namesto konstantnega RF pulza imamo sedaj vec kratkih RFpulzov. Ti pulzi imajo seveda se vedno neko sirino ∆t, vendar lahko za nazorni prikazpredpostavimo, da so to delta funkcije: B1(t) =

∑Nn=0 δ(t− nτ)B1∆t. Predpostavimo se,

da delujemo z gradientom Gx v x smeri. Enacbo (3.6) lahko predelamo tako, da dobimo[8]:

M+ = iM0γB1∆t e−iγGxxτNN−1∑

n=0

eiγGxxτn . (5.3)

Vsoto v zgornji enacbi znamo izracunati, saj velja:

1 + a + a2 + ...aN =aN+1 − 1

a− 1. (5.4)

Dobimo:

M+ = iM0γB1∆t e−iγGxxτN eiγGxxNτ − 1

eiγGxxτ − 1. (5.5)

To lahko izrazimo s sinusoma:

M+ = iM0γB1∆t e−iγGxxτ(N+1)/2 sin(γGxxτN/2)

sin(γGxxτ/2). (5.6)

Fazni clen pred integralom lahko enako kot pri izbiri rezine iznicimo tako, da po koncupulzov za priblizno polovicen cas trajanja gradienta vkljucimo gradient enake velikosti znasprotnim predznakom (slika 8). Tudi ce tega popravka ne bi naredili, nam to ne biznatno spremenilo slike, saj je intenziteta signala neodvisna od faznega clena. Slika 10 jeenaka, ce fazni clen upostevamo ali pa ne.

-0.01 -0.005 0.005 0.01

-3

-2

-1

1

2

3

[m]

-0.01 -0.005 0.005 0.01

-1

1

2

3

[m]

Slika 9: Realni in imaginarni del magnetizacije po oznacevanju, kot nam jo da enacba5.6.

21

-0.01 -0.005 0.005 0.01

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

[m]

Slika 10: Intenziteta magnetizacije po oznacevanju, kjer so lepo vidni vrhovi, ki nam bododali svetle proge v sliki. Na osi x so dejanske razdalje vzorca, ostali parametri simulacijeso kot pri poskusu slikanja prikazanem v nadaljevanju: τ = 0, 2ms, Gx = 0, 05T/m, N=5.

Dobimo funkcijo, ki je podobna sinc funkciji. Glavni vrhovi so v frekvencni skalimed seboj oddaljeni za τ−1, sirina posameznega vrha pa je dolocena s celotno dolzinooznacevanja (Nτ)−1. Vecje stevilo pulzov bo torej vplivalo na zozanje glavnih vrhovoziroma zozanje temnih prog v sliki, vecanje casa med posameznimi pulzi pa nam bo teproge postavilo bolj skupaj. Paziti moramo se, da je posamezen RF pulz dovolj kratek,da ne povzroci nastanka rezine.

Ker nam pulz π/2 obrne magnetizacijo, bomo detektirali ravno inverzen signal, kot gavidimo na sliki (10). Se pravi, da bodo namesto ozkih svetlih prog in temnega vmesnegadela v dobljeni sliki ozke proge temne, vmesni del pa bo svetel.

5.2 Fazna detekcija

5.2.1 Slikanje toka

Metoda meritve hitrostnega profila tekocine s fazno detekcijo temelji na kodiraju fazespinov z uporabo ustreznih gradientnih zaporedij. Vpliv gradientnih polj na spreminjanjefaze gibajocih se spinov nam omogoca dolocanje lastnosti toka: premike tekocine, hitrostiin pospeseke. V svojem delu sem se omejila predvsem na merjenje hitrostnega profila zatok vode v zozani cevi.

Poglejmo si najprej, kako sta povezana hitrost in faza spinov. Fazo zapisemo kot:

ϕ(t) = γ∫

~r(t)~Gdt. (5.7)

22

Ker seveda ne opazujemo vec mirujoce tekocine, se polozaj spinov spreminja v skladu shitrostjo in pospeskom tekocine na posameznem mestu:

~r(t) = ~r0 + ~v0t +1

2~a0t

2. (5.8)

Izhodiscni cas t = 0, kjer definiramo ~r0, ~v0 in ~a0, si lahko poljubno izberemo. Enacba(5.7) se zato pod vplivom gradienta ~G, ki traja cas τ (glej slika 11 levo), prepise v:

ϕ = γ∫ T+τ/2

T−τ/2(~r0 + ~v0t +

1

2~a0t

2)~Gdt = γ~r0~Gτ + γ~v0

~GτT + γ~a0~G(

1

2T 2τ +

1

24τ 3) (5.9)

T1

Gx

t

T2

t’

t

TT /2-t T+ /2t

G

t

Slika 11: Vpliv gradienta na gibajoce se spine (levo). Bipolarni gradient iznici odvisnostfaze od polozaja spinov (desno).

Z dodatnim gradientom v negativni smeri bom odpravili krajevne odvisnosti v fazi.Zato uporabimo bipolarni gradient, kot je prikazano na sliki (11 desno). Predpostavimo,da opazujemo tok v x smeri, zato delujemo na sistem z gradientom Gx v x smeri. Sestetimoramo dve fazi: ϕ1, ki jo del tekocine pridobi po koncu prvega gradienta Gx in ϕ2, faza,ki jo sistem spinov pridobi po koncu drugega gradienta −Gx. S pomocjo enacbe (5.9)zapisemo obe fazi:

ϕ1 = γx0Gxτ + γvx0GxτT1 + γax0Gx(1

2T 2

1 τ +1

24τ 3), (5.10)

ϕ2 = −γx0Gxτ − γvx0GxτT2 − γax0Gx(1

2T 2

2 τ +1

24τ 3). (5.11)

Sestevek obeh faz ϕ = ϕ1 + ϕ2 nam da:

ϕ = γvx0Gxτ(T1 − T2) + γ1

2ax0Gxτ(T 2

1 − T 22 ). (5.12)

Vidimo, da je faza odvisna od hitrosti in pospeska, znebili pa smo se krajevne odvis-nosti. V primeru, da imamo konstantno hitrost in je pospesek enak nic, dobimo linearnoodvisnost faze od hitrosti ne glede na to, kako izberemo izhodiscni cas t = 0, kjer jev = vx0, saj je hitrost enaka v vseh casih. Tudi v primeru, ko pospesek ni enak nic,lahko z uporabo enakega bipolarnega gradienta merimo hitrost. Vendar bo faza v temprimeru odvisna le od hitrosti samo v primeru, ko bo T 2

1 − T 22 = 0. To dosezemo s tem,

23

RF

Gz

Gx

Gy

ACQ

p/2[x] p[y]

T1 T2T0 T3 T4 T5 t

Slika 12: Zaporedje za kodiranje hitrosti v x smeri. Z rdeco barvo sta oznacena gradientaza kodiranje hitrosti v x smeri. V temno modri so gradienti za izbiro rezine, svetlo modranam oznacuje bralni gradient, crtkasto pa je oznacen fazni gradient.

da izhodiscni cas t = 0 postavimo na sredino med oba gradienta. Izmerjena hitrost vx0

bo tako hitrost v casu t = 0 na sredini med gradientoma. Enacba 5.12 pa je sedaj:

ϕ = γvx0Gxττ ′, (5.13)

kjer je τ ′ = T1 − T2.Po enakem postopku lahko dolocimo tudi hitrost v y smeri, le da uporabimo gradiente

v y smeri. Prav tako ni nujno, da sta oba gradienta enake oblike in dolzine, vendar pamorata biti ustrezni ploscini Gτ enaki.

Ce bi dodali bipolarnemu gradientu se en enak bipolarni gradient, bi se tako znebilise odvisnosti od hitrosti in bi lahko detektirali pospesek [3].

Pri dejanskem zaporedju za slikanje (slika 12) sem prvi del bipolarnega gradientapostavila pred π pulz, drugega pa za π pulz. Ker nam π pulz fazo obrne, sta oba delabipolarnega gradienta pozitivna.

5.2.2 Slikanje pospeska

Podobno kot smo se pri slikanju hitrosti znebili krajevne odvisnosti faze, se sedaj z us-treznim zaporedjem gradientov poskusamo znebiti se hitrosti. Na tak nacin bo faza so-razmerna le pospesku, ki ga zelimo izmeriti. To naredimo tako, da bipolarnemu gradientu,kot smo ga uporabili pri detekciji hitrosti, dodamo se en par bipolarnih gradientov, kotkaze slika (13).

24

T1

Gx

t

T2

t

t

T3

T4

Slika 13: Zaporedje stirih gradientov, kot je prikazano na sliki nam da v fazi le odvisnostod pospeska tekocine.

RF

Gz

Gx

Gy

ACQ

p/2[x] p[y]

T1 T2 T3 T4 t

Slika 14: Zaporedje za slikanje pospeska v x smeri. Zaporedje je enako za slikanjepospeska v y smeri, le da vklopimo oznacevalne gradiente (rdeci) v y smeri namesto v xsmeri.

25

O tem se prepricamo po podobnem postopku kot pri detekciji hitrosti. Prvi in drugigradient nam data enak fazni pomik kot 5.10 in 5.11. Podobno lahko zapisemo faznizamik zaradi tretjega in cetrtega gradienta:

ϕ3 = −γx0Gxτ − γvx0GxτT3 − γaxGx(1

2T 2

3 τ +1

24τ 3), (5.14)

ϕ4 = γx0Gxτ + γvx0GxτT4 + γaxGx(1

2T 2

4 τ +1

24τ 3), (5.15)

kjer je τ dolzina enega gradientnega pulza.Predpostavimo, da so vsi gradienti enako dolgi. Ko sestejemo vse faze: ϕ = ϕ1 +ϕ2 +

ϕ3 + ϕ4 dobimo:

ϕ = γvx0Gxτ(T1 − T2 + T4 − T3) + γ1

2axGxτ(T 2

1 − T 22 + T 2

4 − T 23 ). (5.16)

Ce se zelimo znebiti odvisnosti od hitrosti v fazi, moramo zadostiti pogoju, da je T2−T1 =T4 − T3, torej morata biti prvi in drugi gradient enako razmaknjena kot tretji in cetrti.Za boljso detekcijo je ugodno, da so vsi gradienti cim bolj skupaj, zato jih v zaporedjuza slikanje namestimo kar enega za drugim. To pomeni, da so razdalje med sredisciposameznih gradientov tudi τ .

Na tak nacin dobimo preprosto zvezo med fazo in pospeskom:

ϕ = 2γaxGxτ3. (5.17)

5.2.3 Omejitve slikanja hitrosti tekocin

Zanima nas se, kaksne so omejitve pri uporabi metode slikanja toka tekocin s fazno de-tekcijo. Metoda je uporabna le za slikanje laminarnega toka, zato mora biti hitrost do-volj majhna, da ne pride do turbulenc. To nam doloca Reynoldsovo stevilo. Pogoj zalaminaren tok je Re < 2000, kar bi v nasem primeru pretoka vode po cevi (d = 4mm)pomenilo, da mora biti povprecna hitrost manjsa od 0, 5 m/s. Temu pogoju smo zadostili,saj so povprecne velikosti nekaj cm/s.

Zaradi hitrega toka bi lahko prislo tudi do pobega oznacenih spinov iz rezine za slikanje.Na to moramo se posebej paziti, kadar je tok pravokoten na oznaceno rezino (ce bi opa-zovali hitrost v precnem prerezu skozi cev). Pri tem smo omejeni z debelino rezine d incasom med vzbuditvijo in detekcijo - TE: v < d/TE. V nasem primeru, kjer so najvecjehitrosti v ∼ 0.1 m/s in je TE ∼ 10 ms, dobimo pogoj d > 1 mm. Ker so v nasem primerurezine izbrane v ravnini toka, to pomeni le, da so slike premaknjene za najvec 1mm.

Upostevati moramo tudi, da lahko fazo dolocimo le v obmocju od ϕ = 0 do ϕ = 2π.To pomeni, da bomo dobili zvezen potek faze le pri hitrostih do najvec v = 2π/(γGxττ ′).To v primeru predstavljenih meritev (slike 21, 22 in 23)(G = 0, 125 T/m, τ = 2 ms,τ ′ = 4, 26ms) pomeni omejitev hitrosti na najvec v = 2 cm/s. Temu pogoju sevedane zadostimo, saj je razpon hitrosti pogosto vecji (v primeru nasih meritev do priblizno6cm/s). To opazimo tudi v sliki faze, kjer pride do skoka v barvi (preskok med belo incrno) tam, kjer se faza spremeni za 2π (glej sliko 15). Zato ker pri postavitvi eksperimentaobicajno ne pazimo na to omejitev, moramo fazno sliko ustrezno popraviti, in sicer tako,

26

da v preskoku faze dodamo oziroma odvzamemo fazo 2π (tocka A na sliki 15 se takopreslika v B). Crtkasti premici na isti sliki sta rezultat pravilno popravljene (cikcakaste)fazne slike.

X

2p

6p

4p

j

A

B

p

Xi+1 XkXi

3p

C

D-p

Slika 15: Odvisnost faze od x koordinate. Z modro barvo je predstavljeno hitrejsespreminjanje hitrosti vzdolz koordinate x, z rdeco pa pocasnejse. Crtkasti premici, ki judobimo s popravljanjem faze, sta sorazmerni hitrosti v obeh primerih.

Vendar ’glajenje’ fazne slike ni povsem enostavno, saj nam nedolocenost fazne slikezaradi suma lahko otezi pravilno dolocanje preskokov v fazi. Zato smo v nasem primerugladili - dodajali ali odvzemali mnogokratnik 2π, kjer je bila razlika v fazi med sosednjimatockama po absolutni vrednosti vecja od π: |ϕi+1−ϕi| > π. Mnogokratnik 2π smo dodajalitoliko casa, dokler ni bila razlika faz po absolutni vrednsoti manjsa od π. S tem pa dobimododatno omejitev za najvecjo spremembo hitrosti, ki jo lahko na tak nacin izmerimo, insicer se hitrost med sosednjima tockama ne sme spremeniti za vec kot ∆v = π/(γGττ ′).V nasprotnem primeru lahko pride do napake pri interpretaciji fazne slike, ki jo zgladimotam, kjer je dejansko ne bi smeli, saj je razlika v fazi med sosednjima tockama vecja odπ, ceprav ni prislo do skoka v fazi. Na sliki 15 sta sosednji tocki oznaceni z xi in xi+1. Vprimeru hitrega spreminjanja hitrosti vzdolz x koordinate (modra barva) je fazna razlikamed tema tockama tocno π, zato bi nas program za ’glajenje’ faze napacno interpretiralspreminjanje faze in bi tocko C preslikal v D, kar bi nam prineslo napacen rezultat.

Pri merjenju majhnih hitrosti smo naceloma omejeni z najvecjo jakostjo gradientov inrelaksacijo NMR signala. Ce bi zeleli meriti hitrosti, primerljive z nakljucnim gibanjemmolekul oziroma difuzijo z zaporedjem, kjer je τ ′ = 3ms, bi potrebovali gradiente velikostiG ∼ 65 T/m, kar pa je prakticno neizvedljivo. Pri tem smo upostevali, da zelimo doseci

fazni pomik ∆ϕ = π. Spodnja limita merljive hitrosti je podana z v =√

D/T1, in je za

vodo v ∼ 20 µms−1 [2], kjer je D difuzijski koeficient vode.Zavedati se moramo tudi, da se zaradi premikanja tekocine, krajevna koordinata in

njej dolocena hitrost ne ujemata popolnoma, saj ne moremo obeh informacij zajeti hkrativ isti tocki. To si bomo najbolje predstavljali, ce pogledamo sliko 16, kjer v casu in krajusledimo dolocenemu delcu. Predpostavimo, da se delec giblje le vzdolz x osi s konstantno

27

T1 T2T0 T =03 T4 T5 t

X

X1

X2

X4

X3

X5

A

B

C

D

E

F

Slika 16: Odvisnost krajevne koordinate delca med izvajanjem zaporedja. Casi se ujemajos casi oznacenimi na sliki 12.

hitrostjo. Ob casu T0 vzbudimo delec s π/2 sunkom. Od casa T1 − τ/2 do casa T1 + τ/2poteka prvi del faznega kodiranja delca, nato ob casu T3 delcu obrnemo fazo s π pulzomin ob casu T2 sledi drugi del kodiranja hitrosti. Delec se sedaj nahaja na koordinati x3,njegova hitrost pa je zakodirana v tocki C (ki ustreza koordinati x2) na sredini med obemakodirnima gradientoma. V tocki E delcu s faznim gradientom zakodiramo koordinato y,in v tocki F zajamemo signal in s tem preberemo njegovo x koordinato. Ce povzamemovse informacije skupaj, smo dobili delec s koordinato (x(T5), y(T4)), ki nosi informacijo ohitrosti ob casu T3 na koordinati X2. Vidimo, da se napaki ne moremo izogniti. Poskrbimolahko le, da so zamiki v zajemanju posameznih informacij cim manjsi, in sicer tako, daposkusamo zaporedje za slikanje izvesti v cim krajsem casu, kar pa nam narekuje uporabovelikih gradientov.

Zaradi nehomogenosti polja ima faza spinov neko napako. Temu se izognemo tako, dafazni sliki toka odstejemo fazno sliko tekocine v mirovanju. Za izracun hitrostnega poljav 2D potrebujemo tri fazne slike: eno brez toka ϕ0 in dve v zeljenih smereh merjenja tokax in y (ϕx in ϕy). Nato faznima slikama toka po tockah odstejemo fazno sliko tekocine vmirovanju. Vektor hitrosti je tako za vsako tocko posebej sorazmeren :

~v(i, j) =~i[ϕx(i, j)− ϕ0(i, j)]

γGxττ ′+~j

[ϕy(i, j)− ϕ0(i, j)]

γGyττ ′. (5.18)

Razmerje signal proti sumu ali SNR (signal to noise ratio) nam poda razmerje medvelikostjo signala intenzitetne slike A in sumom oziroma ozadjem σ intenzitetne slike:

SNR =A

σ. (5.19)

Napaka hitrosti ali pospeska je kar enaka napaki faze, saj so kolicine med seboj premoso-razmerno povezane:

∆v

v=

∆ϕ

ϕ=

σ

Aϕ=

1

ϕ SNR, (5.20)

in je v primeru nasih meritev med 1% in 3%.

28

6 Priprava eksperimenta

Za pripravo eksperimentov sem potrebovala vodno crpalko, s katero sem lahko reguliralatok skozi razlicno oblikovane cevke. Uporabila sem akvarijsko crpalko, ki ima kontinuiranpretok in ustvarja pritisk enak 1,5m visokemu tlacnemu stolpcu. Za regulacijo hitrostisem uporabila zaporo na cevki.

Cevke smo izdelali iz pleksi stekla in plastike. Pri izbiri materialov sem morali paz-iti, da ne dajajo NMR signala. Pri tem je bilo potrebno uporabiti dokajsnjo mero iz-najdljivosti, saj sem bila pri velikosti cevke omejena z velikostjo RF tuljave, v kateromoramo vstaviti merilno cevko, ce zelimo slikati. RF tuljava ima krozno odprtino naobeh straneh, tako da sem lahko ustvarila krozno pretakanje vode. Vendar je odprtina naeni strani velika le 3mm, kar omeji velikost izhodne cevke. Povezovalne cevke, po katerihpreko vodne crpalke v merilno cevko doteka in odteka voda, so imele premer 2mm inskupno dolzino vsaj 3m. Paziti sem morala namrec, da je bila crpalka dovolj oddaljenaod magneta in je bilo tako zagotovljeno njeno pravilno delovanje.

V vseh primerih sem slikala pretok vode, saj nam ta da dokaj velik signal. Zaradiprecej velikega spinsko mreznega relaksacijskega casa za vodo T1 = 3s so meritve potekaledlje casa, kot ce bi uporabila kaksno tekocino s krajsim relaksacijskim casom T1 (naprimervodo s primesjo modre galice), ker mora biti cas ponavljanja zaporedja ustrezno daljsi(vsaj 2s za primer vode). Ker opazujem v vseh primerih stacionarno stanje toka, me daljsicas merjenja ni motil.

RF tuljavo, v katero sem predhodno namestila cevko, sem vstavila v magnet. Vnasem primeru je to superprevoden magnet z gostoto magnetnega polja B0 = 2, 35T .Vklopila sem crpalko in pri tem pazila, da v sistemu cevk nisem imela zracnih mehurckov,saj na teh mestih ne bi dobila NMR signala in bi hkrati tudi ovirali pretok. Temuje sledila uglasitev RF tuljave na resonancno frekvenco 100MHz. Uglasitvi RF tuljavesledi nastavitev homogenosti magnetnega polja z dodatnimi tuljavami (ti. shim tuljave).Ker resonancna frekvenca nikoli ni tocno 100MHz sem poiskala frekvencni odmik od tevrednosti (obicajno reda velikosti 0,1MHz). Ko sem dolocila se zaporedje pulzov, ki semga zelela izvesti, je bil vzorec pripravljen za zacetek meritve.

V svoji nalogi sem merila laminaren tok, zato sem morala paziti, da je bila hitrost vescas dovolj majhna. Izkaze se, da tezave nastopijo ze pri Reynoldsovih stevilih manjsih od2000. Voda je morala skozi izhodno cevko debeline 2mm le pocasi kapljati, oziroma je bilpretok skozi cev lahko najvec okoli 4 · 10−7 m3/s.

Ostali parametri, ki so znacilni za vodo, so se: viskoznost η, ki je za vodo pri 16◦Cenaka η = 1.12 · 10−3 Ns/m2, gostota vode ρ = 999 kg/m3 pri 16◦C, spinsko-mreznirelaksacijski cas T1 = 3s, spinsko-spinski relaksacijski cas T2 = 2s.

29

7 Meritve

7.1 Meritve z metodo oznacevanja

Za meritev z metodo oznacevanja smo uporabili pulzno zaporedje na sliki (8). Parametrislikanja so bili: vidno polje slikanja FOV = 30 mm, matrika MxM = 256x256, debe-lina rezine d=2mm, velikost oznacevalnih gradientov Gx, Gy = 0,05 T/m, razmik medposameznimi RF pulzi τ = 0, 2ms, cas ponavljanja zaporedja TR = 3 s, cas med koncemoznacevanja in zacetkom zaporedja za slikanje TI= 2s, stevilo pulzov pri oznacevanju veni smeri N=5. Celoten cas meritve za rezine v precnem prerezu je 1h25min, za rezine vvzdolznem pa 3h12min.

Na sliki (17) je narisan model valja, skozi katerega smo pretakali vodo in ustreznerezine slikanja. Najprej smo slikali sredinski rezini valja ob mirovanju vode. Tako do-bimo referencno mrezo (slika 18), ki jo kasneje primerjamo z mrezo, ki se je zaradi tokapremaknila.

x

y

z

Slika 17: Model valja, ki smo ga uporabili pri izvedbi eksperimenta. Premer velikegavalja je 19mm, dolzina pa 14mm. Premer malih cevk skozi katere voda vstopi ali izstopiiz valja je 2mm. Puscice nakazujejo smer toka vode, oznacena sta tudi preseka valja vvzdolznem (zelena) in precnem (vijola) prerezu, v katerih smo slikali. Na levi je narisankoordinatni sistem za hitrosti.

Iz slike (18) lahko dolocimo dimenzijo enega kvadratka, ki znasa 20 tock (celotnadolzina slike je 256 tock oziroma 30mm), kar znasa 2,3mm. To se ujema z racunskovrednostjo razdalje med dvema vrhoma: ∆x = (2π)/(γGxτ).

Da je bila teoreticna napoved pravilna, lahko potrdimo tudi s primerjavo stevilo vrhovv sliki (10) in stevilom temnih prog vzdolz ene dimenzije valja (18). V obeh primerih jeto stevilo 9, s tem da se ujemata skali odmikov (valj ima premer 2cm).

Opazimo, da se na slikah valja, ko je tekocina mirovala, pojavijo ob zgornjem inspodnjem robu temne lise. Te se vidijo tudi na slikah posameznih rezin valja ob tokuvode skozi valj. Za to je kriva velikost valja (2r=19mm), saj ima skoraj enake dimenzijekot RF tuljava. To pomeni, da pride na robovih vzorec v blizino zic RF tuljave, kjer papolje ni vec homogeno (ob zicah je vecje kot sicer). Posledica tega so temne lise, ki jihopazimo.

30

Slika 18: Sliki valja v vzdolznem (levo) in precnem (desno) prerezu, ko ni prisotnegatoka.

x

z

Slika 19: Slike premaknjene mreze spinov zaradi toka vode v precnem prerezu in v rezinahdebeline 2mm. Cas med oznacevanjem in zajemom signala je 2s. Prva rezina je slikanatik ob vstopu oziroma izstopu vode v valj, ostale pa si sledijo proti zunanji stranici valja.

31

Poskusajmo narediti oceno hitrosti v x smeri ob izhodu vode iz valja. Na sliki (19) jerezina 1 slikana tik ob vstopu oziroma izstopu vode v valj. Ob izhodu vode iz valja je lepoviden premik kvadratkov proti srediscu izhodne cevke. Oznaceni kvadratek (v rdecemkrogcu) se premakne priblizno za pol kvadratka, kar je 1mm v casu TI, ki znasa 2,01s. Iztega izracunamo hitrost vode v x smeri tik ob izhodu iz valja: vx = 0, 5 mm/s.

Na priblizno istem mestu poskusamo oceniti se hitrost v y smeri. Tu si pomagamo s 5.rezino na sliki (20). Vidimo, da se oznaceni kvadratek (v rdecem krogcu) glede na mirovnolego premakne za dva kvadratka, kar je 4mm. Hitrost v tej smeri bo torej vy = 2 mm/s .

y

z

Slika 20: Slike premaknjene mreze spinov zaradi toka vode v vzdolznem prerezu in vrezinah debeline 2mm. Cas med oznacevanjem in zajemom signala je 2s.

32

Obe hitrosti, ki smo ju lahko dolocili iz slike sta precej majhni. Merjenje majnihhitrosti nam omogoca dolg spinsko mrezni relaksacijski cas vode T1 = 3s, zaradi cesarmora biti (v skladu z nasim zaporedjem) tudi cas inverzije precej dolg TI = 2s. Zaporedjeje torej primerno za merjenje zelo pocasnih tokov.

Kjer je tok vecji je tezko dolociti premik posameznega kvadratka in s tem hitrost nadolocenem mestu. Tako se zgodi ob vhodu vode v valj (slika 20, rezina 4 in 5), kjer jemeja med posameznimi kvadratki ze popolnoma zabrisana.

Na sliki (19), rezine 1, 2 in 3 je ob vrhu lepo viden krogec, kjer priteka voda v valj.Vidimo, da je znotraj krogca oznacitev vzorca popolnoma zabrisana, krogec je enakomernosvetel. Temu je kriv pritok neoznacene vode iz cevke. Debelina rezine je namrec 2mm,kar bi pomenilo, da bo oznacena voda, ki ima hitrost pravokotno na rezino, se pravi vsmeri y vecjo od v = 1mm/s, v casu TI = 2s pobegnila iz rezine. To bo nadomestila novavoda, ki pritaka preko cevke in ni oznacena, ter bo zato oddala enakomeren signal v casuslikanja. Zgoraj smo ocenili hitrost vode ob izhodu iz valja vy = 2mm/s. Prav gotovolahko ob vhodu v valj pricakujemo (slika 19) se vecjo hitrost. Opazimo, da je neoznacenavoda dosegla celo tretjo rezino (gledano od dotoka ’sveze’ vode v valj). To pomeni, da jepovprecna hitrost vode v y smeri ob pritoku v valj priblizno 3mm/s.

7.2 Meritve s fazno detekcijo

7.2.1 Slikanje toka skozi zozano cevko v sredinskem prerezu

Za slikanje smo uporabili zaporedje na sliki 12. Ko smo slikali hitrost v y smeri smo temuustrezno namesto gradientov v x smeri uporabili enake gradiente v y smeri (oznaceni zrdeco barvo na sliki). Celoten cas slikanja hitrosti v eni doloceni smeri je 4 min. Prametrislikanja so: FOV = 30mm, NxN = 128x128, d=1mm, TR=2s, Gx, Gy = 0,125 T/m,τ = 2ms, τ ′ = 7, 26ms, 2rozek = 3mm, 2rsirok = 9mm.

Na sliki 21 vidimo intenzitetni sliki vode skozi presek cevi ob mirovanju (levo) in kose voda po cevi pretaka z doloceno hitrostjo (desno). Voda tece z desne proti levi. Opaz-imo, da je intenziteta slike v primeru pretakanja tekocine dosti svetlejsa, kot v primerumirovanja. To je posledica saturacije vode v mirovanju, saj je cas ponavljanja TR = 2smanjsi kot spinsko mrezni relaksacijski cas T1 = 3s za vodo. S tem zgubimo del signala,saj v casu TR ne pride do popolne relaksacije spinov. V primeru, da imamo tok tekocinepo cevi, pride v casu TR do dotoka ’sveze’ vode v podrocje slikanja. Spini v ’svezi’ vodiprej niso bili vzbujeni, in so zato popolnoma zrelaksirani in nam tako omogocijo vecjo in-tenziteto slike. Vidimo, da je kljub pretoku v vogalih na sliki 21 desno intenziteta se vednosibka. Iz tega sklepamo, da je tam hitrost manjsa kot na sredini cevke in zato ’sveza’ vodav casu TR ni dosegla teh podrocij, kar nam dejansko potrdijo nadaljni rezultati (slika 23).

Iz slike 21 lahko kvantitativno ocenimo hitrost vode v cevi. V casu TR je ’sveza’ vodapretekla dolzino cevke l = 4cm, kar nam da pogoj vTR > l, oziroma v > 2cm/s.

Na sliki 22 sta prikazani fazni sliki, ki ju dobimo ob uporabi gradienta v x smeri Gx

(levo) in v y smeri Gy (desno). Ti fazni sliki je treba ustrezno popraviti: zgladiti fazo, kotje opisano v zgornjem poglavju in odsteti fazno sliko tekocine v mirovanju, da se izognemododatnim napakam v fazi. Tako pridemo do dveh faznih slik, ki sta sorazmerni hitrostitekocine v x in y smeri (slika 23).

33

a.)

x

y

b.)

Slika 21: Vpliv toka na intenziteto slike: a) voda miruje v cevi, b) tok vode po cevi. Casponavljanja je v obeh primerih 2s.

a.) b.)

Slika 22: Fazni sliki, ki ustrezata amplitudni sliki 21b, v primeru vklopa kodirnih gra-dientov za hitrost v smeri x (a) in y (b). Tok vode je z desne proti levi. Slika prikazujespreminjanje faze od 0 (crno) pa do 2π (belo).

[cm/s]

5.3

-1.8

0

1.8

3.5

[cm/s]

5.3

-1.8

0

1.8

3.5

a.) b.)

Slika 23: Hitrostno polje v x (a) smeri in y (b) smeri, pridobljeno iz ustreznih faznih slik(slika 22).

34

Spodaj sta prikazani vektorski sliki z magnetno resonanco slikanega toka (slika 24)in racunalniska simulacija enakega toka (slika 25). Na sliki 24 vektorji niso popolnomasimetricni glede na os cevi, kot bi pricakovali glede na simulacijo (slika 25). Temu jeverjetno vzrok to, da cev ni bila popolnoma v vodoravnem polozaju, ko je bila vstavljenav magnet. Tako pri simulaciji kot tudi pri meritvi lahko opazimo, da je dolzina vektorjev,ki predstavljajo hitrost tekocine, v sredini ozjega dela cevi prblizno 4-5 krat daljsa kotv sredini sirsega dela. Reynoldsovo stevilo izracunamo po enacbi 4.11, kjer je L premersirokega dela cevi L = 2rsirok = 9 mm, v0 pa povprecna hitrost sirokega dela cevi v0 ∼0, 9 cm/s.

Slika 24: Vektorski prikaz hitrosti, pridobljen z zdruzitvijo slik hitrostnih polj (slika 23ain b).

Slika 25: Vektorski prikaz hitrosti za cevko enake geometrije kot na sliki 24 priReynoldsovem stevilu 70 z uporabo simulacije, opisane v dodatku A.

35

7.2.2 Slikanje toka skozi zozano cevko v 3D

Tok sedaj tece iz ozjega dela cevke v sirsega. Parametri slikanja so: FOV =30mm,NxNxN = 64x64x64, d=0,23mm, TR=200ms, Gx = 0,075 T/m. Celoten cas slikanja v3D je bil 14 min. Na sliki 26 vidimo lepo ujemanje simulacije (desno) in meritve (levo)hitrosti skozi srediscno rezino cevke. Slika 27 nam prikazuje slike hitrosti v posameznihrezinah valja. Ce primerjamo sliki (23) in (26) opazimo, da je hitrostni profil skozi cevodvisen od smeri toka in se za oba primera precej razlikuje. V primeru, ko je tok vodeiz sirsega dela v ozji, hitrost naraste v trenutku, ko voda vstopi v ozji del, medtem kose hitrost vode, ki pritece z ozjega dela v sirsi le pocasi zmanjsuje. Locljivost teh slik jeslabsa kot pri slikanju v 2D, saj bi za vecjo locljivost potrebovali dosti daljsi cas meritve(za locljivost 128x128 bi merili z enakim zaporedjem priblizno eno uro).

2.6

1.8

1.1

0.4

-0.3

2.6

1.8

1.1

0.4

-0.3

[cm/s]

Slika 26: MRI slika hitrosti v x smeri in simulacija (opis v dodatku A) hitrosti toka skozizozano cevko. Tok tece z leve proti desni.

36

2.6

1.8

1.1

0.4

-0.3

[cm/s]

2.6

1.8

1.1

0.4

-0.3

[cm/s]

Slika 27: 12 izmed 64 slik hitrosti v x smeri. Debelina rezine je 0,23mm. Pricakujemo,da bo hitrostni profil simetricen glede na srediscno rezino valja. Zato sklepamo, da jesrediscna rezina 7. po vrsti. Tam je tudi intenziteta hitrosti najvecja.

37

7.2.3 Meritve pospeska

Poskusali smo slikati pospesek v cevi, ki se v sredini zozi. Pricakujemo, da bomo nazacetku in koncu zozanega dela cevi zaznali pospesek, saj tam pride do najvecjega skokav hitrosti. Najprej smo posneli hitrostni sliki v x in y smeri (sliki 28 in 29). Tok tece izdesne proti levi. Ker je bil cas ponavljanja le TR=1s, ob koncu cevi (na levi strani slike)na obeh slikah opazimo znaten sum, saj je bila hitrost v cevi premajhna, da bi sveza vodav casu med ponavljanji zajela celoten del slikane cevi.

-2,3v [cm/s]x 0 1,7 2,9 4,6

Slika 28: Slika hitrosti v x smeri. Pozitivna smer hitrosti je smer toka. Voda tece z desneproti levi.

0,50,30-0,2-0,5v [cm/s]y

Slika 29: Slika hitrosti v y smeri. Pozitivna smer y koordinate kaze navzdol.

Iz obeh slik hitrosti lahko kar direktno izracunamo pospesek (glej 4.3) :

ax =∆vx

∆xvx +

∆vy

∆yvx (7.1)

Ker je pospesek v y smeri dosti manjsi od pospeska v x smeri, in zato iz danih meritev tuditezko dolocljiv, racunamo le pospesek v x smeri. Tako dobimo pospesek v x smeri, kot gapredstavlja slika 30. Res opazimo pred vstopom vode v zozan del cevi nekoliko svetlejsepodrocje, ob izstopu pa temnejse. Povprecen pospesek v oznacenem delu (s krogcema)cevi je ax = 6cm/s2 ob vstopu na desni strani cevi in −4cm/s2 ob izstopu na levi strani.Ob izstopu je pospesek negativen, saj se hitrost zmanjsuje, poleg tega pa je tudi manjsi

38

kot ob vstopu, kar ustreza ze predhodnim meritvam hitrosti. V njih smo ugotovili, da sehitrost ob vstopu v zozan del tako rekoc skokoma poveca, medtem ko se hitrost vode obprehodu iz zozanega dela v razsirjen del cevi le postopoma zmanjsuje.

ax[m/s2]

0,260

0,162

0,074

-0,014

-0,101

-0,189

-0,277

Slika 30: Slika pospeska v x smeri, pridobljena iz slik hitrosti.

Meritev pospeska s pomocjo zaporedja na sliki 14 nam pri prvem poskusu meritevni uspela, saj smo vzeli prekratek cas τ trajanja oznacevalnih gradientov. Ko smo letega podaljsali na τ = 7 ms in pri tem ohranili velikost gradinta Gx = 30, dobimo slikopospeska, kot ga kaze slika 31. Pri tem smo v zaporedju prvi bipolarni gradient postavilipred π pulz, drugi pa takoj za njim. Na ta nacin smo kljub dolgim casom oznacevalnihgradientov uspeli ohraniti dovolj signala v spinskem odmevu. Seveda smo s tem izracunalile priblizno vrednost pospeska, saj enacba 5.17 velja le v primeru, da si oznacevalnigradienti sledijo brez vmesnih casovnih razmikov. Vseeno je napaka zanemarljiva, sajje dolzina razmika med prvima dvema in zadnjima dvema oznacevalnima gradientomazaradi vmesnega π pulza le 0, 3 ms. Tok na sliki 31 tece v obratni smeri kot na sliki 30,velikosti pospeskov pa se kar lepo ujemajo in so najvecje (priblizno ax = 5 cm/s2) obvstopu in izstopu iz sirokega dela v ozji del cevi. Cas ponavljanja zaporedja na spodnjisliki je TR = 3 s, vidno polje slikanja pa je za vse zgornje primere FOV = 25 mm.

-7,7

-3,6

0,6

4,7

8,8

ax[cm/s2]

Slika 31: Slika pospeska v x smeri, slikana z zaporedjem za slikanje pospeska.

39

8 Diskusija

Za uspesno postavitev eksperimentov je bilo potrebno upostevati mnoge omejitve, saj namlahko ze en sam napacno izbran parameter slikanja popolnoma zabrise zeljene rezultate.Tako smo pri merjenju z metodo oznacevanja lepo videli premike vode v valju, vendarle za izredno majhne hitrosti (nekaj mm/s), saj je cas inverzije TI = T1 ln2 za dolocenovrsto tekocine fiksno dolocen, se pravi, da ga ne moremo poljubno skrajsati, kar bi namomogocalo meritev vecjih hitrosti. To bi lahko delno resili tako, da bi povecali kvadratkev mrezi, kar dosezemo z manjsanjem razdalje med pulzi. Za merjenje vecjih hitrosti s tometodo bodo zato najbolj primerne tekocine s krajsim T1 casom. Merjenje vecjih hitrostibi lahko dosegli tudi s tem, da bi spine namesto za kot π, kot smo to naredili mi, zzacetnimi RF pulzi zasukali za kot π/2. Spini so sedaj ze pravilno zasukani za zajemsignala. Ta lahko sledi po zelo kratkem casu v katerem pride do premika tekocine. Na tanacin bi lahko izmerili hitrejse tokove. Cas do zajema signala mora biti v tem primeruzaporedja kratek, saj bi nam sicer T ∗

2 relaksacija iznicila vecino signala.Metoda oznacevanja se je izkazala uporabna tudi za slikanje konvekcije [11], z njo pa

bi bilo v bodoce mozno pomeriti tudi premike sipkih in mehkih snovi.Pri merjenju z metodo fazne detekcije sem lahko izmerila dosti vecje hitrosti (reda

velikosti cm/s) kot pri metodi oznacevanja, poleg tega lahko s to metodo neposrednoizmerimo hitrostno polje v vsakem delu tekocine. To je seveda zelo prirocno, saj lahko izhitrostnega polja izracunamo tudi pospesek in tlak. Vendar ima tudi ta metoda svoje po-manjkljivosti. Glavne omejitve te metode so opisane v poglavju 5.2.3. Problemi nastanejopredvsem pri pobegu oznacenih spinov iz rezine v primeru prevelike hitrosti v smeri pra-vokotno na izbrano rezino, pri t.i. ’glajenju’ fazne slike ter pri zajemu razlicnih informacij(faza, koordinata) o dolocenem jedru v razlicnih casih zaporedja. V vsakem primeru senatancnost meritve izboljsa, ce nam uspe zaporedje izvesti v cim krajsem casu. Tako izgu-bimo manj signala, informacije o dolocenem delu tekocine pa so bolj usklajene. Cepravrazlicne informacije (faza, koordinata), ki jih na koncu pripisemo istemu delu tekocine, sevedno zajemamo zaporedno, se s skrajsanjem casa izvajanja zaporedja njihova casovnaneusklajenost zmanjsa. Vendar smo tu precej omejeni, saj bi s skrajsanjem oznacevalnihgradientov povzrocili manjse razmike faze pri enakih hitrostih in nespremenjeni amplitudigradientov. Dolzino oznacevalnih gradientov zato prilagodimo glede na velikost hitrosti,ki jih merimo. Mocna gradientna polja bi omogocila vec svobode pri slikanju, vendar nazalost tudi tu nimamo velike izbire. Konec koncev se izkaze, da je razpon hitrosti, ki jihlahko na ta nacin merimo, precej omejen, saj moramo pri vsem paziti se na to, da imamoves cas tok laminaren, kajti turbolenten tok ni vec stacionaren in je nasa metoda za mer-jenje le tega neprimerna. Kljub temu se v literaturi ze pojavljajo metode, s katerimi bilahko merili tudi turbolenten tok [12], vendar bi v tem primeru morali hkrati vzbuditi inzajeti signal iz celotnega vzorca.

Omenila sem ze, da nas velikokrat pravzaprav ne zanima hitrostno polje, ampakpospesek in tlak v dolocenem delu tekocine. Kot smo pokazali, lahko pospesek mer-imo neposredno ali pa ga izracunamo iz hitrostnega polja. Pri merjenju pospeska smobili predvsem omejeni z dolzino oznacevalnih gradientov, saj nam daljsi cas τ omogocamerjenje manjsih pospeskov, hkrati pa nam daljsi cas do spinskega odmeva zaradi T1

relaksacije zmanjsuje intenziteto signala, kar se je v mojem primeru izkazalo za najvecji

40

problem. Podobno kot pospesek bi lahko iz hitrostnega polja s pomocjo Navier-Stokesoveenacbe izracunali tudi tlak [13], vendar se tega v svoji nalogi nisem lotila.

Opisane metode se uporabljajo predvsem v medicinski diagnostiki za merjenje pretokakrvi po zilah (metoda fazne detekcije) in preverjanje pravilnosti delovanja srcne misice(metoda oznacevanja)(slika 32). V medicini se sicer za slikanje toka uporabljajo se drugemetode: slikanje z ultrazvokom, ki temelji na Dopplerjevem efektu in rentgensko slikanjeozilja, kjer je predhodno potrebno kri oznaciti z ustreznim kontrastnim sredstvom. Mer-jenje z magnetno resonanco ima prednost pred drugimi metodami, saj je skoraj povsemneinvazivno (ni potrebno uporabljati kontrastnih sredstev) in nam poda dokaj natancnohitrostno sliko. Poleg tega ni skodljivo za clovekovo zdravje.

desni ventrikellevi ventrikel

a.) b.)

Slika 32: Z metodo oznacevanja posneti sliki srcne misice ob koncu diastole (a) in sistole(b).

Slika 33: Z magnetno resonanco posneto ozilje glave.

41

9 Zakljucek

Pokazali smo, da lahko s posebnimi magnetno resonancnimi metodami slikanja prido-bimo uporabne informacije o toku tekocine. Pri metodi oznacevanja ne moremo pridobitihitrostnega polja tekocine v vsaki tocki slikanja, vendar kljub temu dobimo zelo nazorenvpogled v potek toka. Hitrost na posameznem mestu tekocine lahko s to metodo ocenimona podlagi premika oznacene mreze jeder.

Metoda s fazno detekcijo se je izkazala za bolj natancno, vendar le na ozkem intervaluhitrosti, ko je tok se popolnoma laminaren. Lepo je uspela tudi meritev pospeska, cepravsmo pri merjenju majhnih pospeskov omejeni z dolzino gradientnih pulzov, ki jih zaradipojemanja signala ne moremo poljubno podaljsevati. V pravilnost rezultatov smo seprepricali tudi s preprosto racunalnisko simulacijo toka, ki pokaze lepo ujemanje napovediz meritvami.

Pri postavitvi eksperimenta smo bili omejeni z velikostjo RF tuljave in zato tudipri izbiri oblik cevi nismo mogli biti prevec izvirni. Vsekakor smo z meritvami doseglizelene rezultate, ki omogocajo izhodisce za bodoco uporabo opisanih metod v razisko-valne namene, saj so se na modelnih vzorcih izkazale kot uporabne za merjenje razlicnihvrst pretokov.

Z uporabo magnetov s cedalje vecjo gostoto magnetnega polja kot tudi z izdelavocedalje mocnejsih gradientov magnetnega polja lahko v bodoce pricakujemo se natancnejsemeritve toka z danimi metodami in moznost slikanja tako zelo pocasnih tokov, primerljivihz difuzijo, kot tudi razvoj novih metod, s katerimi bomo lahko slikali zelo hitre nesta-cionarne (turbolentne) tokove.

42

Literatura

[1] Slichter, C.P.: Principles of Magnetic Resonance, Springer-Verlag(1990)

[2] Callaghan, P.T.: Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy, Oxford Sci-ence Publications(1993)

[3] Vlaardingerbroek, M.T., den Boer, J.A.: Magnetic Resonance Imaging, Springer-Verlag(1996)

[4] Bailes, D.R., Bryant, D.J.: Contemp.Phy. 25, 441(1984)

[5] Munson, B.R., Young, D.F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, JohnWiley & Sons(1998)

[6] Podgornik: Skripta iz hidrodinamike

[7] Mosher, T.J., Smith, M.B.: A DANTE Tagging sequence for the Evaluation of Trans-lational Sample Motion, Magnetic resonance in Medicine, 15, 334-339(1990)

[8] Sersa, I., Macura, S., J. Magn. Reson., 29, 433(1978)

[9] Fletcher, C.A.J.: Computational Techniques for Fluid Dynamics, Springer-Verlag(1988)

[10] Numerical Recipes in C, The Art of Scientific Computing, Cambridge UniversityPress(1992)

[11] Mikac, U., Urbanija, J., Sersa, I.: Convection Flow Imaging by Dynamical MR Mi-croscopy, 8th International Conference on Magnetic Resonance Microscopy, The Hei-delberg Conference,P-32, 2005

[12] Sederman, A.J., Mantle, M.D., Buckley, C., Gladden, L.F.: MRI technique measur-ment of velocity vectors, acceleration, and autocorrelation functions in turbulent flow,Journal of Magnetic Resonance, 166(2004)

[13] Tyszka, J.M., Laidlaw, D.H., Asa, J.W., Silverman, J.M.: Three-Dimensional, Time-Resolved (4D) Relative Pressure Mapping Using Magnetic Resonance Imaging, Jour-nal of Magnetic Resonance, 15, 2(2000)

43

Dodatek A:

Simulacija nestisljive Navier-Stokesove enacbe v 2D

Simulirati zelimo tok nestisljive tekocine po cevi, ki je opisan z Navier-Stoksovo enacbo(4.10):

∂~V

∂t+ (~V∇)~V = −∇p +

1

Re∇2~V (.1)

in za katerega velja:∇ · ~V = 0, (.2)

kjer je ~V = (u, v).Za numericno obdelavo Navier-Stokesove enacbe uporabimo metodo SIMPLE (Semi-

Implicit Method for Pressure-Linked Equations) [9], ki je iterativna metoda.Ce enacbo (.1) razpisemo po koordinatah x in y oziroma u in v smeri hitrosti in pri

tem upostevamo kontinuitetno enacbo (.2), dobimo:

∂u

∂t+

∂p

∂x=

1

Re

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)− ∂(u)2

∂x− ∂(uv)

∂y(.3)

in∂v

∂t+

∂p

∂x=

1

Re

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)− ∂(uv)2

∂x− ∂(v2)

∂y(.4)

Ti dve enacbi diskretiziramo na mrezi kot kaze slika (34), tlak je definiran v sredini celic,hitrosti pa na robovih. Celica definirana z (i, j) obsega obmocje[(i−1)δx, iδx] X[(j−1)δy, jδy], kjer je i = 1, ..., imax, j = 1, ..., jmax. Tlak pi,j je definiranv tocki ((i− 0, 5)δx, (j − 0, 5)δy), hitrost v x smeri ui,j v tocki (iδx, (j − 0, 5)δy), hitrostv y smeri vi,j pa v tocki ((i− 0, 5)δx, jδy).

i i+1i-1

j-1

j

j+1

pi,j pi+1,j

ui,jui-1,j ui+1,j

vi,j vi+1,j

vi,j-1 vi+1,j-1

Slika 34: Mreza za diskretizacijo Navier-Stokesove enacbe.

Diskretizacija posameznih clenov enacbe(.3) na sredini desnega robu celice je sledeca:[∂(u2)

∂x

]

i,j

=1

δx

((ui,j + ui+1,j

2

)2

−(

ui−1,j + ui,j

2

)2)

(.5)

44

[∂(uv)

∂y

]

i,j

=1

δy

((vi,j + vi+1,j)

2

(ui,j + ui,j+1)

2− (vi,j−1 + vi+1,j−1)

2

(ui,j−1 + ui,j)

2

)(.6)

[∂2u

∂x2

]

i,j

=ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

(δx)2(.7)

[∂2u

∂y2

]

i,j

=ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

(δy)2(.8)

[∂p

∂x

]

i,j

=pi+1,j − pi,j

δx(.9)

Podobna je diskretizacija clenov enacbe (.4) na sredini zgornjega robu celice:

[∂(v2)

∂y

]

i,j

=1

δy

((vi,j + vi,j+1

2

)2

−(

vi,j−1 + vi,j

2

)2)

(.10)

[∂(uv)

∂x

]

i,j

=1

δx

((vi,j + vi+1,j)

2

(ui,j + ui,j+1)

2− (vi−1,j + vi,j)

2

(ui−1,j + ui−1,j+1)

2

)(.11)

[∂2v

∂x2

]

i,j

=vi+1,j − 2vi,j + vi−1,j

(δx)2(.12)

[∂2v

∂y2

]

i,j

=vi,j+1 − 2vi,j + vi,j−1

(δy)2(.13)

[∂p

∂y

]

i,j

=pi,j+1 − pi,j

δy(.14)

Algoritem za izracun Navier-Stokesove enacbe:Diskretiziramo se casovna clena v enacbah (.3) in (.4):

[∂u

∂t

]n+1

=un+1 − un

δt(.15)

[∂v

∂t

]n+1

=vn+1 − vn

δt(.16)

Uvedemo novi spremenljivki U∗ in V ∗:

U∗ = u + δt

[1

Re

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)− ∂(u)2

∂x− ∂(uv)

∂y

](.17)

V ∗ = v + δt

[1

Re

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)− ∂(uv)2

∂x− ∂(v2)

∂y

](.18)

Enacbi (.3) in (.4) lahko sedaj zapisemo kot:

un+1 = U∗n − δt∂pn+1

∂x(.19)

45

vn+1 = V ∗n − δt∂pn+1

∂y(.20)

pn+1 lahko dolocimo implicitno z resevanjem Poissonove enacbe, saj iz kontinuitetneenacbe

∂un+1

∂x+

∂vn+1

∂y= 0 (.21)

sledi Poissonova enacba za tlak:

∂2pn+1

∂x2+

∂2pn+1

∂y2=

1

δt

(∂U∗n

∂x+

∂V ∗n

∂y

)(.22)

Zgornjo enacbo diskretiziramo:

pn+1i+1,j − 2pn+1

i,j + pn+1i−1,j

(δx)2+

pn+1i,j+1 − 2pn+1

i,j + pn+1i,j−1

(δy)2=

1

δt

(U∗n

i,j − U∗ni−1,j

δx+

V ∗ni,j − V ∗n

i,j−1

δy

)

(.23)in jo resujemo z SOR (successive overrelaxation) algoritmom izboljsanim z Chebyshevimpospesevanjem. Algoritem je nazorno opisan v Numerical recipes in C, str. 866, [10].

Celoten algoritem resevanja Navier-Stokesove enacbe zacnemo z racunanjem U∗ in V ∗

z uporabo un in vn, nato resujemo Poissonovo enacbo za tlak pn+1 in koncno s pomocjoenacb (.19) in (.20) izracunamo novi vrednosti hitrosti un+1 in vn+1.

Robni pogoji in zacetne vrednosti:Zacetne vrednosti hitrosti in tlakov so postavljene na niclo.

Za zadostitev robnim pogojem moramo definirati hitrosti se izven mej obmocja, sepravi za i = 0, i = imax+1, j = 0 in j = jmax+1.Predpostavimo, da je cev enakomerno debela in da tok skoznjo tece iz leve proti desni. Vtem primeru lahko zapisemo sledece robne pogoje.

Hitrost na robu cevi mora biti enaka nic:

vi,0 = 0 , vi,jmax = 0 , i = 1, ..., imax (.24)

ui,0 = −ui,1 , ui,jmax+1 = −ui,jmax , i = 1, ..., imax. (.25)

Hitrost ob vstopu v cev je definirana z dano vrednostjo:

u0,j = uvstop , j = 1, ..., jmax (.26)

Hitrost ob izstopu iz cevi pa je definirana z normalnim odvodom, ki mora biti na mejienak nic:

uimax,j = uimax−1,j , vimax+1,j = vimax,j , j = 1, ..., jmax. (.27)

Tlak ob izhodu cevi je postavljen na nic. Na robu cevi pa velja, da je gradient tlaka vnormalni smeri enak nic:

pi,0 = pi,1 , pi,jmax+1 = pi,jmax , i = 1, ..., imax. (.28)

Dane robne pogoje ustrezno prilagodimo glede na obliko cevi.

46

Spodaj podpisana Jasna Urbanija izjavljam,da sem avtorica tega diplomskega dela.

47