MAKALAH

TRANSFORMASI KOORDINAT

(Guna Memenuhi Tugas Fisika Matematika II)

Oleh :

Triana Wulandari (120210102023)

Ratna Sari (120210102104)

Tegas Amanda Setyandaru (120210102105)

Nuri Tika Sari (120210102110)

Kelas : Mat.A

Dosen Pengampu :

Dr. I Ketut Mahardika, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2014

REVIEW OPERASI MATRIKS

Perkalian 2 matriks A dan B dinyatakan sbg:

Tranpose suatu matriks adalah

Tranpose perkalian 2 matriks dinyatakan dalam :

• Artinya

Contoh :

Jika, A = maka

orde (2 x 3) orde (3 x 2)

Determinan Matrik

Determinan matriks berordo 2x2:

Determinan matriks berordo 3x3:

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

322113312312332211

333231

232221

131211

det

Dari persamaan tersebut, dapat dituliskan pula dalam bentuk matriks:

Invers Matriks

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga AB = BA = I maka B

disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A-1.

Matriks B-1 juga mempunyai invers yaitu A, maka dapat dituliskan A = B-1.

Transformasi Linier

Persamaan transformasi linier 2 dimensi:

Artinya transformasi linier menyatakan bagaimana cara memperoleh Vektor R bila

diberikan vektor r. Dalam notasi matriks dinyatakan:

Transformasi Orthogonal

Jika sumbu-sumbu koordinat yang baru diperoleh dari rotasi terhadap sumbu-sumbu

koordinat yang lama dengan sudut rotasi , maka dapat dinyatakan:

atau

Hubungan antara variabel lama dan baru dapat dinyatakan menjadi:

Untuk matriks ortogonal berlaku

Untuk transformasi ortogonal

Berarti harus dipenuhi

Yang dapat dinyatakan

Dengan M menyatakan matrik ortogonal. Transpose dari matriks M sama dengan

matriks inversnya.

Koordinat Kurvalinier

Suatu fektor ds dalam sistem koordinat silinder dinyatakan dengan vektor- vektor

satuannya

Jika dinyatakan dalam koordinat kartesian vektor ds tersebut adalah

Karena dx memiliki variabel r, maka dapat dinyatakan

Sehingga

Persoalan kinematika dalam koordinat silinder:

Perpindahan sebuah benda dari titik pusat koordinat dalam selang waktu t dinyatakan

dengan vektor s seperti ditunjukkan dalam gambar

Maka kecepatannya adalah

Karena Maka

Sehingga diperoleh

Secara umum, misalkan suatu sistem koordinat mempunyai variabel koordinat yang

dinyatakan dengan , ,dan jika sistem koordinat tersebut ortogonal (vektor-

vektor basisnya saling tegak lurus) maka

Disebut sebagai faktor skala. Vektor perpindahan ds dapat diperoleh dengan cara

Dengan adalah vektor satuan dalam sistem koordinat tersebut.

Faktor skala dapat menentukan perubahan titik koordinat.

Menentukan Faktor Skala

Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder dengan

Jawab :

Diketahui:

Penyelesaian :

Macam- macam Basis Vektor

• Basis vektor ada 3

1. Basis kontravarian ( )

2. Basis fisis (A )

3. Basis kovarian (C )

Contoh soal :

• Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder dengan

Jawab :

Diketahui :

Penyelesaian :

Soal latihan

1) Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder parabolik dengan

2) Tentukan faktor skala dalam koordinat bola dengan

3) Kerjakan no 2 menggunakan pembuktian basis vector

Jawaban :

1. Diketahui :

Penyelesaian :

2. Penyelesaian :

3. Penyelesaian :

OPERASI VEKTOR DALAM KOORDINAT CURVILINIER YANG ORTHOGONAL

GRADIEN

Operator Del

Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan dengan (nabla), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial.

Operator del ini bermanfaat untuk mencari gradien, divergensi, dan curl.

= disini merupakan vektor satuan

= disini merupakan faktor skala

Koordinat silinder:

Definisi Gradien

Misalkan u (x,y,z) terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik (x,y,z) dalam ruang R3 , maka gradien atau grad atau didefinisikan oleh

Sehingga dapat dituliskan persamaan umum yakni :

Dari persamaan diatas, untuk koordinat silinder melingkar adalah:

DIVERGENSI

Divergensi yang merupakan fungsi skalar memiliki persamaan umum sebagai

berikut :

Misalkan suatu vektor V dinyatakan dalam komponen-komponen sebagai

. . . . . . . . . . . 1

Karena

. . . . . . . . . . . 2

Dimana,

Diperoleh ,

Substitusikan ke Persamaan. 1

. . . . 3

Dari identitas vektor diperoleh . Kemudian disubstitusikan ke persamaan 1, untuk divergensi suku pertama adalah

Maka,dapat dituliskan

. . . . 4

Suku kedua ruas kanan persamaan 3 sama dengan 0 (lihat persamaan 2), sehingga

. . . . . 5

Kembali ke persamaan umum gradien,maka dapat dituliskan vektor adalah

sehingga diperoleh persamaan berikut:

ˆrr 223 V

LATIHAN SOAL :

1. Jika , carilah pada koordinat silinder!

2. Jika , carilah pada koordinat Bola!

3. Jika carilah pada koordinat bola!

JAWAB :

1. Diket:

2. Diket :

3. Diket : ˆrr 223 V

333

322

2

211

1

1 Vhhe

Vhhe

Vhhe

V

LAPLACIAN

Diperoleh dari divergensi dari vektor gradien, yaitu :

Sehingga :

CURL

Dari ungkapan bentuk umum gradien u untuk 1 dapat dituliskan :

Sehingga untuk 1 dapat dituliskan :

Curl dari vektor gradien tersebut dapat diperoleh :

Identitas vektor

Vektor V dapat dituliskan dalam bentuk :

Sehingga :

33

3

322

2

211

1

1 Vhhe

Vhhe

Vhhe

111

111

1

1

1

111

1

111 Vh

he

Vhhe

he

Vhhe

Vh

111

111

1

1 Vhhe

Vhhe

22

2

2 Vhhe

Identitas Vektor :

Sehingga :

Telah ditunjukkan

sama dengan nol

maka,

Sedangkan persamaan dan dapat dituliskan :

33

3

3 Vhhe

222

222

2

2 Vhhe

Vhhe

33

3

322

2

211

1

1 Vhhe

Vhhe

Vhhe

Dapat diperoleh hubungan Curl suatu Vektor V

Atau

LATIHAN SOAL :

1. Jika , tentukan pada koordinat silinder melingkar,dimana

faktor skala (hr=1, hϴ=r, hz=1)!

2. Jika , tentukan pada koordinat bola,dimana faktor

skala !

3. Jika ,tentukan pada koordinat silinder

melingkar, dimana faktor skala (hr=1, hϴ=r, hz=1)!

JAWAB :

1. Diket :

2. Diket : pada koordinat bola didapatkan

3. Diket :

ˆr)z(

r)zr(

zr

ez

r)z(r

43

1

z)zr(e

rr

43

z)zr.r(ˆrrr.rzr

34 40001

zzˆrrrz 34 4

KOORDINAT KURVALINEAR

Koordinat Kurvilinear adalah perubahan relatif koordinat permukaan dari titik ke titik.

Sebuah titik P di dalam ruang di definisikan oleh dimana u1 , u2 dan u3 adalah

fungsi harga tunggal dari posisi, transformasi terhadap titik P di tuliskan :

Dan

Vektor posisi titik P sebagai fungsi , adalah :

Elemen perpindahannya adalah :

Atau

Dimana :

Dan

Sehingga : ,

ini yang disebut dengan Koefisien Matrik sebuah ruang.

Macam-macam Koordinat Kurvalinier

Berikut diberikan macam nilai faktor skala yang sering digunakan dalam fisika matematik

(selain koordinat bola dan silinder melingkar)

1. Koordinat Silinder Eleptik (u, v, z)

Alih bentuknya :

Faktor-Faktor skalanya :

2. Silinder Melingkar

Faktor-Faktor skalanya :

3. Koordinat Silinder Parabolik (ξ, η, z)

Alih bentuknya :

Faktor-Faktor skalanya :

4. Koordinat Bipolar (ξ, η, z)

Alih bentuknya :

Faktor-Faktor skalanya :

5. Koordinat Sferoida Lonjong (u, v, )

Alih Bentuk (Ragam)

Faktor Skala

6. Koordinat Sferoida Pipih (u,v, )

Alih ragam

Faktor skala

7. Koordinat Parabola (ξ, η, )

Alih ragam

Faktor skala

8. Koordinat Toroida (ξ, η, )

Alih ragam :

Faktor-Faktor skalanya :

9. Koordinat Bisferik (ξ, η, )

Alih ragam :

Faktor-Faktor skalanya :

10. Koordinat Elipsoida Konfokal (ξ, η, ζ)

Alih ragam :

Faktor Skalanya :

TENSOR

Kata tensor diperkenalkan pada tahun 1846 oleh William Rowan Hamilton untuk menggambarkan operasi norma dalam suatu sistem aljabar jenis (akhirnya dikenal sebagai aljabar Clifford). Kata tensor digunakan dalam arti seperti saat ini oleh Woldemar Voigt pada 1898

Tensor adalah entitas geometri yang diperkenalkan ke dalam matematika dan fisika untuk memperluas pengertian skalar, (geometris) vektor, dan matriks.

Dalam fisika semua besaran adalah tensor. Tensor mempunyai range. Range pada tensor akan menunjukkan jumlah komponennya. Jumlah komponen dari sebuah tensor adalah 3n, dengan n menyatakan range tensor tersebut.

1. Skalar merupakan tensor range nol (n=0). Mempunyai 1 komponen. Contoh : Kelajuan (v), Jarak (s), dan Energi (E).

2. Vektor merupakan tensor range 1 (n=1). Mempunyai 3 komponen yaitu komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z pada koordinat kartesian. Dan tetap mempunyai 3 komponen untuk sistem koordinat yang lain. Contoh : Posisi (r) , terdiri dari rx , ry , rz , kecepatan (v), dan gaya (F).

3. Sedangkan Tensor itu sendiri merupakan tensor range lebih dari 1 (n>1).

Range 2 (n=2) . Mempunyai 9 komponen. Contoh

Tensor Green

Tensor Stress

Tensor yang akan dibahas dalam makalah ini adalah tensor range dua.

Jenis-jenis Tensor

Ada tiga jenis Tensor :

1. Tensor matrik kovarian (Gkov)

Tensor matrik kovarian dilambangkan dengan

Dimana = Gkov

Tampilan tensor matrik kovarian adalah

Gkov = =

Tensor matrik kovarian bersifat diagonal dengan unsure diagonal : , dimana

= (

Contoh : koordinat bola di atas dapat dibentuk tensor matrik kovarian yaitu :

Gkov = =

Dibuktikan bahwa : = = 0 ; = = 0

= = 0 , dan

= ; = ; =

Sehingga : Gkov = =

Karena = =

= =

= =

Maka

Gkov = = =

Memenuhi sifat

2. Tensor kontravarian

Memenuhi sifat

3. Tensor campuran

Tensor matrik kovarian untuk bola

Disebut Tensor diagonal

Memenuhi sifat

Dengan adanya defenisi tensor dalam tiga buah jenis tensor diatas maka jika pada suatu matrik persegi tidak memiliki salah satu dari sifat tiga jenis tensor diatas, matrik tersebut bukanlah tensor.

Untuk memperlihatkan sifat tiga tensor diatas, kita harus mendefenisikan matrik baru yang merupakan transformasi koordinat dari tensor tersebut. Kemudian menggunakan sifat tensor untuk membuktikan apakah matrik tersebut tensor atau tidak sekaligus menentukan jenis tensornya.

Contoh :

Buktikanlah apakah matrik di bawah termasuk tensor dan tentukan jenisnya.

Sebuah tensor

matrik koordinat dari tensor tersebut adalah

Jawab :

dan

secara umum transformasi koordinat dibentuk oleh sebuah matrik sebagai berikut :

sehingga

Operasi pada tensor dalam koordinat kurvalinier:

1. skalar + skalar = skalar

2. skalar + vektor = (tidak ada)

3. vektor + vektor = vektor

4. skalar x skalar = skalar

5. skalar x vektor = vektor

6. vektor (perkalian) vektor ada 2, yaitu :

a. (dot product)

b. (cross product)

Latihan Soal

1. Buktikan bahwa koordinat sferoida pipih memiliki faktor skala .

Dengan alih bentuknya :

2. Buktikan bahwa koordinat silinder parabolik memiliki faktor skala Dengan alih bentuknya:

3. Diketahui koordinat silinder melingkar dengan

dan dengan menggunakan operasi pad tensor,

tentukan :

1. Jawab :

2. Jawab :

3. Jawab :

a)

b)

Jadi,