fismat dicky integral lipat

8/18/2019 Fismat Dicky Integral Lipat

1/22

TUGAS FISIKA MATEMATIKA

INTEGRAL RANGKAP

DISUSUN OLEH:

DICKY PRASETYA BAGASKARA

26020213120016

PROGRAM STUDI OSEANOGRAFI

FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KEAUTAN

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

2014


2/22

A. INTEGRAL RNGKAP 2

1. In!"#$% L&'$ D($ A$) D$!#$* P!#)!"& P$n+$n"

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak

peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap. Pada

integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di

R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut

terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga

integral lipat tiga.

ambar 1.1

!etapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi"sisi sejajar sumbu"sumbu koordinat,

yakni misal # R # $%&,y' # ,b xa ≤≤ d xc ≤≤ (. Bentuk suatu partisi dengan )ara membuat garis"

garis sejajar sumbu & dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang ke)il yang jumlahnya

n buah, yang ditunjukkan dengan k * 1,2,...n. !etapkan k x∆ dan k y∆ adalah panjang sisi"sisi k R

dan k A∆ * k x∆ . k y∆ adalah luas. Pada k R ambil sebuah titik misal ',% k k y x dan bentuk

penjumlahan Riemann k

n

k k

k A y x f ∆

∑=',%

1 .

+efinisi #

Integral lipat dua

&

b

a

d)

k R

',%k k

y x

y


3/22

-ndai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R, jika #

.lim

→ IpI k

n

k

k k A y x f ∆∑=

',%1

ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut ∫∫ R

dA y x f ',% , yang

disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh

∫∫ R dA y x f ',% * .lim→ IpI k

n

k

k k A y x f ∆∑= ',%1

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

1. /ika f%&,y' dan g%&,y' masing"masing kontinu dalam daerah R maka#

∫∫ ∫∫ = R R

dA y x f k dA y xkf ',%',%

∫∫ ∫∫ ∫∫ +=+ R R R

dA y x g dA y x f dA y x g y x f ',%',%'0,%',%

2. ∫∫ ∫∫ ∫∫ += R R R

dA y x f dA y x f dA y x f

1 2

',%',%',%

. 3ifat pembanding berlaku jika f%&,y' ≤ g%&,y' untuk semua %&,y' di R, maka #

∫∫ ∫∫ ≤ R R

dA y x g dA y x f ',%',%

Perhitungan Integral Lipat dua

/ika f%&,y' *1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua merupakan

luas R.

∫∫ ∫∫ = R R

dA y x f k dA y xkf ',%',%

* ∫∫ R

dAk 1

* k.-%R'

4ontoh 3oal

1. -ndai f sebuah fungsi tangga yakni #


4/22

f%&,y' *

≤≤≤≤

≤≤≤≤

≤≤≤≤

2,.,

21,.,2

1.,.,1

y x

y x

y x

hitung ∫∫ R

dA y x f ',% dengan R * $ (.,.#',% ≤≤≤≤ y x y x

ja5ab #

misal persegi panjang R 1, R 2, R

R 1 * $ (1.,.#',% ≤≤≤≤ y x y x

R 2 * $ (21,.#',% ≤≤≤≤ y x y x

R * $ (2,.#',% ≤≤≤≤ y x y x , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua, sehingga #

∫∫ = R

dA y x f ',% ∫∫ 1

',% R

dA y x f 6 ∫∫ 2

',% R

dA y x f 6 ∫∫

',% R

dA y x f

* 1.-%R 1' 6 2. -%R 2' 6 .-%R '

* 1. 6 2. 6 .

* 17

2. 8ampiri ∫∫ R

dA y x f ',% dengan19

79:',%

2 y x y x f

+−= ,

R * $ (7.,:.#',% ≤≤≤≤ y x y x . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann

/a5ab #

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 7 bujur sangkar yang sama dengan

tiap"tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. !itik"titik )ontoh yang diperlukan dan nilai"nilai yang

berpadanan dari fungsi itu adalah #

',% 11 y x * %1,1', f ',% 11 y x *19

1;

',% 22 y x * %1,', f ',% 22 y x *19

9<

',% y x * %1,


5/22

/adi karena k A∆ * :, k A∆ * k x∆ k y∆ * 2.2 * :

∫∫ R

dA y x f ',% > k k

k k A y x f ∆∑=

',%7

1

* ',%:7

1

∑=k

k k y x f

*19

7=9


6/22

Integral Lipat

/ika .',% ≥ y x f pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai ?olume dari benda

pejal diba5ah permukaan gambar 1

@ * ∫∫ R dA y x f ',% , R * $ (,#',% d ycb xa y x ≤≤≤≤ .

ambar 1.2

Iris #

Iris benda pejal itu menjadi kepingan"kepingan sejajar terhadap bidang & %gb. 2a'

b

a

a b

R

A-%y'

y∆

&

y

y b. 1.

b. 1

b. 2b


7/22

A-!I8- 3C-A 1

Irisan bidang y * k, kepingan ?olume yang berpadanan > -%y' y∆

@olume v∆ dari kepingan se)ara aproksimasi diberikan oleh v∆ > -%y' y∆ , diintegralkan ,

@ * ∫ d

c

dy y A '% , untuk y tetap kita hitung -%y' dengan integral tunggal biasa #

-%y' * ∫ b

a

dx y x f ',% , sehingga # @ * ∫ ∫ d

c

b

a

dydx y x f 0',% DD.. %2'

+ari %1' dan %2' #

∫∫ R

dA y x f ',% * ∫ ∫ d

c

b

a

dydx y x f 0',% begitu juga ∫∫ R

dA y x f ',% * ∫ ∫ b

a

d

c

dxdy y x f 0',%

P!#,$)$%$*$n :

Hitung :

∫ ∫ +

.

2

1

0'2% dydx y x

/a5ab #

a. ∫ ∫ +

.

2

1

0'2% dydx y x


8/22

Perhitungan Volume

4ontoh soal #

8itung ?olume @ dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh * : E &2 Ey dan diba5ah persegi

panjang R * $ (2.,1.#',% ≤≤≤≤ y x y x

/a5ab #

/a5ab #

@ * ∫∫ R

dA y x f ',%

* ∫∫ −− R

dA y x ':% 2 * dxdy y x ':%2

.

1

.

2 −−∫ ∫

* dy yx x x 00

1:

1

.

2

.

−−∫ * dy y'1

:%

2

.

−−∫

*

19 satuan ?olume

1.. 8itung #

a. dydx y x '%:

1

2

1

2

∫ ∫ −

+

1

2

%1,2'

%,,:'

%1,,'%1,2,1'

%,2,2'

y

&


9/22

b. dxdy y x 'sin%.

1

.

∫ ∫ π

2. In!"#$% L&'$ D($ A$) D$!$#$* B(-$n P!#)!"& P$n+$n"

ambar 2.1

8impunan 3 terrtutup dan terbatas di bidang %b.1' keliling 3 oleh suatu persegi panjang R

dan sisinya sejajar sumbu"sumbu koordinat %b.2'. andai f%&,y' terdefinisi pada 3 dan didefinisikan

b.1b.2

b.

3 3

f%&,y'*

* f%&,y'

3


10/22

f%&,y'* pada bagian R diluar 3 %b.', f dapat diintegralkan pada 3 jika dapat diintegralkan pada

R.

∫∫ S

dA y x f ',% * ∫∫ R

dA y x f ',%

Perhitungan Integral Aipat +ua -tas 8impunan"himpunan Umum

3uatu himpunan 3 adalah y sederhana %gb.:' jika terdapat fungsi"fungsi kontinu 1φ dan 2φ

pada a,b0 sedemikian sehingga #

(',%'%#',$%#21 b xa x y x y xS ≤≤≤≤ φ φ

b.2.2 b. 2. 3ebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan & sederhana

Bukan himpunan & sederhana

ba

3

)

d

&* '%1 yϕ &* '%2 yϕ

/ y*%&'

y* %&'

/

00

3

3


11/22

-tau y sederhana

3uatu himpunan 3 adalah y sederhana %gb.:' jika terdapat fungsi"fungsi kontinu 1Φ dan 2Φ

pada a,b0 sedemikian sehingga # (',%'%#',$%# 21 b xa x y x y xS ≤≤≤≤ φ φ . 3edangkan suatu

himpunan 3 adalah & sederhana %gb.


12/22

Kerjakan soal berikutF

1. 8itung #

a. ∫ ∫ − +<

2

'1.:%

x

x

dydx y x

/a5ab #

a. ∫ ∫ −

+<

2

'1.:%

x

x

dydx y x

3. In!"#$% L&'$ D($ D$%$, K#&n$ K((

/ika * f%&,y' menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan tak

negatif, maka ?olume @ dari benda pejal diba5ah permukaan ini dan diatas R adalah

@ * ∫∫ R

dA y x f ',% ...... %1'

+alam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk #

a

b

-%&'

*f%&,y'

b.2.<

y* 1φ %&' y* 2φ %&'

/

A-!I8-


13/22

R * $ (,#',% β θ α θ ≤≤≤≤ br ar

+engan ≥α dan π α β 2≤− . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai

* f%&,y' * ',%'sin,)os% θ θ θ r f r r f =

3ehingga #

@ * ∫∫ ∫∫ = R R

rdrd r r f rdrd r f θ θ θ θ θ 'sin,)os%',% ........ %2'

+ari %1' dan %2' #

R

*f%&,y'*G%r,θ '

/

#$

#

R

β θ =

α θ =

R k

R k

R

k

Partisi R dalam persegi panjang kutub yang

lebih ke)il R 1, R 2

, D. R n. dengan menggunakan suatu kisi kutub

pada gambar diatas luas -%R k ' dapat ditulis #

k k k k r r R A θ ∆∆='% dengan k r adalah radius

rata"rata R k . /adi @ k k k k n

k r r r f θ θ ∆∆≈∑ ',%

b.2.9

b.2.;

b.2.7


14/22

∫∫ R

dA y x f ',% * ∫∫ R

rdrd r r f θ θ θ 'sin,)os%

/ika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari yang lalu kita

mengenal istilah himpunan & sederhana dan himpunan y sederhana, pada pengintegralan kutub ini,

kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana dan himpunanθ sederhana. 8impunan r

sederhana berbentuk (',%'%#',$%# 21 β θ α θ φ θ φ θ ≤≤≤≤ r r S dan disebut θ sederhana jika

berbentuk #

1. P!n!#$'$n In!"#$% 2

Penerapan integral dua selain untuk men)ari ?olume benda pejal, penerapan lain yaitu

men)ari massa, pusat massa dan momen inersia.

a. Hassa

-ndai suatu lamina men)akup daerah s di bidang &y dan jika kerapatan %massa satuan luas'

di %&,y' dinyatakan oleh ',% y xδ . Partisikan s dalam persegi panjang ke)il .21 ,..., k R R R

-mbil titik % ', k k y x pada k R . Hassa k R se)ara hampiran k AR y x ',%δ dan massa total

lamina se)ara hampiran '%',%1

k

n

k

k k R A y xm ∑=

= δ

3

r*

r*

α θ =

β θ =

b.2.=8impunan r sederhana

3

*

*

r*a r*b

b.2.18impunan θ sederhana


15/22

Hassa %m' diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi mendekati

nol, sehingga #

'%',%lim1

k k k k

n

P R A y xδ

=→Σ

Aimit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2#

∫∫ = s

dA y xm ',%δ

b. Pusat Hassa

/ika nmmm ,..., 21 adalah kumpulan titik massa yang masing"masing ditempatkan di %

', 11 y x ,% ', 22 y x ,.......,% ',

nn

y x pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan

sumbu &. ∑=

=n

k

k k y m x 1

, ∑=

=n

k

k k x m y 1

. Koordinat % ', y x dari pusat massa#

Koordinat % ', y x dari pusat massa.

∫∫

∫∫ ==

s

s y

dA y x

dA y x x

m

x

',%

',%

δ

δ

dan

∫∫

∫∫ ==

s

s x

dA y x

dA y x y

m

y

',%

',%

δ

δ

Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen %kerapatan tak sama', tapi jika

kerapatannya sama %homogen', maka pusat massa menjadi#

∫∫

∫∫ =

s

s

dA

xdA

xδ

δ

dan∫∫

∫∫ =

s

s

dA

ydA

yδ

δ

). Homen Inersia

+efinisi#

Homen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak terpendek dari

partikel terhadap sumbu. /ika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga #

∑=

=++=n

k

k k nn r mr mr mr m I 1

222

22

2

11 ....

3uatu lamina tak homogen dengan kerapatan ',% y xδ yang men)akup suatu daerah s dari

bidang &y, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap keping k R ,


16/22

ambil limit dan dba5a ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap sumbu &, y dan

adalah x I , y I , dan ! I

∑ ∫∫ =

→==

n

k s

k k P

x dA y x y ym I 1

22

',%lim δ

∑ ∫∫ =→ ==n

k s

k k P

y dA y x x ym I 1

22

',%lim δ

∫∫ +=+= s

y x ! dA y x y x I I I ',%'% 22 δ

Aatihan.

3ebuah lamina dengan kerpatan xy y x =',%δ dibatas sumbu &, garis & *7 , kur?a I2 x y = .

!entukan #

a. Hassa

b. Pusat massa

). Homen inersia terhadap sumbu &, y dan

/a5ab #

a. ∫∫ = s

dA y xm ',%δ

* ∫ ∫ 7

. .

I2 x

xydydx

* [ ] dx xy I2

2

7

2

1∫

* dx x∫ 7

.

I;

2

1

* [ ]7

.

I1.

7

. 1.

2

1 x∫

B. INTEGRAL RANGKAP 3


17/22

1. Integral Rangkap !iga Pada Koordinat Kartesius

',,% k k k ! y x

Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B

dengan sisi"sisi sejajar sumbu"sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan meletakkn

bidang"bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam balok"balok bagian,

yaitu# nk " " " " ,....,....,,

,21 . Pada k " , ambil satu titik )ontoh ',,% k k k ! y x dan dengan

penjumlahan Riemann diperoleh#

∑=

n

k

k k k ! y x f 1

',,% k V ∆

+engan k V ∆ * k k k ! y x ∆∆∆ ,, adalah ?olum k " . /ika P adalah panjang diagonal terpanjang dari

setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut#

∑∫ ∫ ∫

=→

∆=n

k

k k k k

" P

V ! y x f dV ! y x f 1.

',,%lim',,%

/ika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga mempunyai

urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. 3ehingga integral lipat di fungsi

f%&,y,' atas daerah B ditulis sebagai berikut#

∫ ∫ ∫ "

dV ! y x f ',,% , misalnya kita tuliskan ∫ ∫ ∫ "

dxdyd! ! y x f ',,% , yang mempunyai arti#

a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap & dengan menganggap y dan sebagai konstanta

b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap sebagai konstanta

y

&

Jy

J

J&

B

Bk b. .1


18/22

). !erakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap .

Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya

menyesuaikan.

3ebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka untuk

menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk menghitung

integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu. 3ehingga bila B balok persegi panjang

yang dibatasi. f !ed ycb xa ! y x " ≤≤≤≤≤≤= ,,#',,$% (

Bila f !ed ycb xa ! y x " ≤≤≤≤≤≤= ,,#',,$% (, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B

adalah#

∫∫∫ ∫ ∫ ∫=

"

b

a

d

c

f

e

dxdyd! ! y x f dV ! y x f ('',,%%$',,% (

Herupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.

&

y

b

d)

a

e

f

b. .2


19/22

2. Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap

-ndai f%&,y,' terdefinisi pada 3 dan f%&,y,' bernilai nol, bila diluar 3. -ndai 3 himpunan

sederhana dan xyS adalah proyeksi permukaan benda 3 pada bidang &y, untuk lebih jelasnya

perhatikan gambar berikut#

Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal 3, maka diperoleh#

∫∫∫ ∫∫ ∫ =S S

y x !

y x ! xy

dAd! ! y x f dV ! y x f

',%

',%

2

1

0',,%',,%

3&y

&

y

3&y

y

&

b. .

b. .:

3&y


20/22

+imana adalah proyeksi permukaan benda 3 pada bidang &y. 3elanjutnya jika 3&y daerah

pada bidang &y yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar .: . yang dibatai oleh#

(',%'%#',$% 21 b xa x y y x y y xS xy ≤≤≤≤= , sehingga dengan integral berulang diperoleh#

∫∫∫ ∫∫ ∫ =S S

y x !

y x ! xy

dAd! ! y x f dV ! y x f ',%

',%

2

1

0',,%',,%

* ∫ ∫ ∫ b

a

x y

x y

y x !

y x !

dxdyd! ! y x f

'%

'%

',%

',%

2

1

2

1

0'',,%%

+ari rumus di atas perlu diperhatikan bah5a batasan integrasi harus sesuai dengan urutan"urutan

pengintegralannya.

1. 8itung ∫ ∫ ∫ +2

x y x

y

y!d!dydx

/a5ab #

2. 8itung ∫ ∫ ∫ 1

. . .

2

x xy

!d!dydx y x

/a5ab #

∫ ∫ ∫ 1

. . .

2

x xy

!d!dydx y x

A-!I8- :


21/22

Cn* S$% $n P!,$*$)$n

$. In!"#$% %&'$ 2

S$% :

dydx y x '%

:

1

2

1

2

∫ ∫ −

+

P!,$*$)$n

. In!"#$% %&'$ 3

S$% :

∫ ∫ ∫ 1

. . .

2

x xy

!d!dydx y x


22/22

P!,$*$)$n :

MENGER5AKAN SOAL

1. 4arilah ?olume bangun yang dibatasi oleh *, &*2, &*

fismat dicky integral lipat

Documents