TRANSFORMASI FOURIERKelompok 1 mempresentasikan:

PENDAHULUAN Deret fourier merupakan suatu deret

yang merepresentasikan suatu keadaan yang periodik kedalam bentuk fungsi deret.

Bagaimana bila keadaannya tidak periodik?

Oleh sebab itu Transformasi Fourier diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.

DEFINISI TRANSFORMASI FOURIER Secara umum, transformasi fourier

mengubah suatu keadaan yang berbasis waktu menjadi keadaan yang berbasis frekuensi.

PERSAMAAN UMUM Secara umum, persamaan Transformasi

Fourier yaitu

PEMBUKTIAN Diketahui deret fourier kompleks

Misalkan , makadimana merupakan setengah perioda, oleh karena itu

Dalam hal ini, kita ganti x menjadi variabel u untuk menghindari kebingungan nantinya.

Dengan mensubstitusikan persamaan Cn diatas dengan persamaan f(x) didapat:

Dimana untuk mempersingkat tulisan,

Kini terlihat seperti integral terhadap Untuk itu, bila kita asumsikan menuju tak

hingga,Sehingga , maka menjadi Karena dalam bentuk integral sudah kontinu,

makatidak ada lagi iterasi n sehingga

Dengan mensubstitusikan dengan f(x) yang sebelumnya,

maka

Bila kita memisalkan

Maka persamaan f(x) menjadi

TRANSFORMASI FOURIER UNTUK FUNGSI GENAP GANJIL

Pertama-tama, bila kita substitusikan persamaan euler Dengan persamaan g(w) , maka bisa kita dapatkan

kita misalkan f(x) ganjil. Maka akan bernilai nol karena

Sehingga hanya tersisa yang memberikan hasil genap (karena keduanya sama-sama ganjil), sehingga hasil akhirnya sebagai berikut

Dengan cara yang sama untuk mencari f(x) , maka didapat

Untuk menghilangkan nilai imajiner i, dapat kita coba saling mensubstitusi kedua persamaan f(x) maupun g(x) diatas, hingga koefisien akan bertemu dengan menghasilkan . Maka untuk menuliskan rumus umum untuk keduanya, koefisien sebelum kedua persamaan saling mensubstitusikan akan menjadi , sehingga untuk fungsi yang ganjil

Sehingga untuk fungsi yang ganjil

Dan untuk fungsi yang genap

APLIKASI TRANSFORMASI INTEGRALDiberikan fungsi non periodik berikut

Karena fungsi yang diberikan tidaklah periodik, maka fungsi tersebut tidak dapat digunakan pada deret fourier, sehingga kita dapat menuliskan f(x) kedalam bentuk integral fourier. Pertama, cari nilai g(w)

Kita coba substitusikan hasil g(w) diatas untuk f(x)

Maka didapatlah fungsi integral untuk keadaan non periodik diatas. Karena merupakan fungsi genap, hal ini sesuai dengan fungsi pada gambar.