UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

MASTER RAD

Arou-Debroov model u ekonomiji

Mentor: Student:

Prof.dr Dragan Đorđević Koceva Snežana

Niš, 2016.

- 2 -

Sadržaj

Uvod …………………………………………….. 3

1. Preference i funkcije korisnosti ……............ 4

2. Maksimalni elementi ………………………. 15

3. Funkcije potražnje …………………………. 18

4. Ekonomija razmene ……………………….. 28

5. Optimalnost u ekonomiji razmene ……..... 35

6. Optimalnost i decentralizacija ……………. 48

7. Ekonomija proizvodnje ……………………. 63

Literatura ……………………………………… 78

Biografija ……………………………………… 79

- 3 -

UVOD

Jedan od dva centralna pojma u uopštenoj modernoj teoriji ravnoteže je

Valrasov uopšteni model ravnoteže u ekonomiji sa konačnom robom i

konačnim brojem domaćinstava koji su formulisali K. J. Arou i G. Debro.

U ovom radu, proučavaćemo postojanost i optimalnost Valrasove

ravnoteže u Arou-Debroovom modelu. Predstavljena su dva dokaza

egzistencije. U prvom koristimo klasične pojmove funkcije ponude i

potražnje. U tom slučaju vektor cene je vektor cene ravnoteže, ako je po

tim cenama ponuda jednaka potražnji. Drugi dokaz egzistencije

Valrasove ravnoteže je nezavisan od funkcije ponude i potražnje.

Argument ovog dokaza, kombinuje teoremu jezgra ekvivalencije G.

Debroa i H. E. Skarfa sa Skarfovom teoremom egzistencije jezgra

uravnoteženih igara.

U klasičnom Arou-Debroovom modelu, samo konačna količina robe je

zamenjiva, proizvedena i konzumirana, kao što su čelik, pšenica ili

jabuke, dostupna u različito vreme na različitim mestima u različitim

državama, kao različita roba.

Zahvaljujem svom mentoru Prof. Dr. Draganu Đorđeviću na ukazanoj

pomoći pri izradi rada.

- 4 -

1. Preference i funkcije korisnosti

Osnovno načelo u teoriji ekonomije je to da su ljudi koji se bave

ekonomijom racionalni u smislu da znaju svoje interese i da deluju u tom

smislu da povećaju svoj kapital. Ova pretpostavka je napravljena

precizno pretpostavljajući da postoji skup odluka na osnovu kog agenti

mogu praviti izbore. Jedan zahtev je da ukoliko nije bolje od , a nije

bolje od onda nije bolje od . Formalno, pretpostavimo da su

mogućnosti određene nepraznim skupom i da su preference binarne

relacije na tom skupu . U ovom poglavlju, pričaćemo o osnovnim

osobinama preferenci.

Počećemo diskusiju podsećajući se nekih osnovnih osobina binarnih

relacija. Podsetimo se da je binarna relacija na nepraznom skupu

neprazan podskup na × . Za uređeni par ( ) uobičajno

pišemo .

Binarna relacija na skupu može da zadovoljava osobine:

1. Refleksivnost: ( ) .

2. Kompletnost (linearnost): ( , ) .

3. Tranzitivnost: ( ) .

Definicija 1.1. Relacija preference na nepraznom skupu je refleksivna,

kompletna i tranzitivna.

Neka je relacija preference na skupu .

čitamo: „ je barem jednako dobro kao “ ili „ nije gore od

“.

čitamo: „ je preferanije od “ ili „ je bolje od “, znači

i .

Ukoliko istovremeno važi i onda pišemo i kažemo da je

„ indiferentno u odnosu na “. Ukoliko je onda je

skup svih onih koji su bolji od i za skup kažemo da je

skup svih onih elemenata iz koji su gori od . Analogno, nazivamo

skupove i .

- 5 -

Kada je topološki prostor, relacija preference može imati dodatne

osobine:

Definicija 1.2. Relacija preference na topološkom prostoru je:

a) Odozgo poluneprekidna, ako je za svako skup {

zatvoren;

b) Odozdo poluneprekidna, ako je za svako skup

zatvoren;

c) Neprekidna, ako je i odozgo i odozdo poluneprekidna, odnosno

ako su za svako skupovi { i

zatvoreni.

Kako su komplementi skupova { i skupovi

{ i respektivno, možemo sada reći da je

relacija preference na topološkom prostoru neprekidna ako i samo

ako su za svako skupovi i zatvoreni.

Naredna teorema opisuje određene osobine neprekidne preference.

Teorema 1.1. Za relaciju preference na topološkom prostoru sledeći

uslovi su ekvivalentni:

a) Relacija preference je neprekidna;

b) Relacija preference (definisana na podskupu ) je zatvorena

na ;

c) Ako važi na , tada postoje disjunktne okoline i za i

respektivno, takve da iz i sledi .

Dokaz. a) c) Neka je . Imamo dva slučaja.

I Postoji neko takvo da je . U ovom slučaju, okoline

i zadovoljavaju željenu osobinu.

II Ne postoji takvo da je . U ovom slučaju uzimamo

i .

c) b) Neka je {( , )} niz od takav da ( , ) → ( ) na .

Ako važi , onda postoje dve okoline i tačaka i

respektivno, takve da iz i sledi . Specijalno, za

- 6 -

dovoljno veliko , mora biti , što je kontradikcija. Otuda, važi

tj. ( ) . To znači da je zatvoren podskup od .

b) a) Neka je { } niz elemenata { takav da važi na

. Tada niz {( , )} od zadovoljava ( , ) → ( ) na . Kako je

zatvorena na , vidimo da je ( ) . Prema tome, kako važi

, tada je skup { zatvoren.

Na sličan način možemo pokazati da je skup zatvoren za

svako , čime smo dokazali teoremu. ■

Bilo koja funkcija , gde je skup realnih brojeva, definiše

relaciju preference na na sledeći način:

U ovom slučaju, je naravno ekvivalentno sa .

Definicija 1.3. Za funkciju kažemo da je funkcija korisnosti koja

predstavlja relaciju preference na skupu ako važi:

Funkcije korisnosti nisu jedinstveno određene. Na primer, ako funkcija

predstavlja funkciju korisnosti, onda su takođe i funkcije 3 5 u

funkcije korisnosti.

Kada relaciju preference možemo predstaviti funkcijom korisnosti?

Naredna teorema nam kaže da uopštena klasa relacija preferenci može

biti predstavljena funkcijom korisnosti.

Teorema 1.2. Svaka neprekidna preferenca na topološkom prostoru sa

prebrojivom bazom otvorenih skupova može biti predstavljena

neprekidnom funkcijom korisnosti.

Definišimo sada osobine konveksnosti relacije preference.

Definicija 1.4. Relacija preference definisana na konveksnom

podskupu vektorskog prostora je:

1) Konveksna; ako je i na i , onda

.

- 7 -

2) Strogo konveksna; ako i i , onda

za svako .

Jasno je da je relacija preference definisana na konveksnom skupu

konveksna ako i samo ako je skup konveksan za svako

.

Za funkciju korisnosti koja dovodi do konveksne preference kažemo da

je kvazi–konkavna funkcija. Slično, funkcija korisnosti koja dovodi do

strogo konveksne preference je poznata kao strogo kvazi – konkavna

funkcija. Iskažimo njihove definicije.

Definicija 1.5. Funkcija definisana na nepraznom konveksnom

podskupu vektorskog prostora je:

1. Kvazi–konkavna; ako za svako pri čemu je i svako

važi .

2. Strogo kvazi–konkavna; ako za svaki par takav da i

svako važi .

3. Konkavna; ako za svako pri čemu je i svako

važi

4. Strogo konkavna; ako za svako pri čemu je i svako

važi

Funkcija definisana na konveksnom podskupu vektorskog

prostora je konveksna ako je konkavna, tj. ako za svako i

svako važi:

Slično, za funkciju kažemo da je strogo konveksna ako je – strogo

konkavna.

Svaka konkavna funkcija je kvazi–konkavna. Zaista, ako je

konkavna funkcija i i i ako je

onda je

Obratno ne važi. Na primer, funkcija definisana kao

2 je kvazi–konkavna (šta više, strogo kvazi–konkavna), ali nije

- 8 -

konkavna funkcija. Slično, zaključujemo da je svaka strogo konkavna

funkcija strogo kvazi–konkavna.

Konkavne, dva puta diferencijabilne funkcije su one funkcije čiji je drugi

izvod manji ili jednak nuli.

Teorema 1.3. Neka je otvoren interval na i neka je

dva puta diferencijabilna funkcija. Tada je funkcija konkavna

(konveksna), ako i samo ako je za svako

Dokaz. Pretpostavimo najpre da je konkavna funkcija i neka

je . Uzmimo dovoljno malo tako da i pripadaju

intervalu . Koristeći Tejlorov razvoj funkcije do drugog reda imamo:

2 2

i

2 2 .

Prema tome,

pa je dakle,

Kako važi

,

na osnovu sledi .

Sada pretpostavimo da važi za svako . Fiksirajmo i

na tako da je i neka je . Stavimo da je

.

- 9 -

Na osnovu teoreme o srednjoj vrednosti postoje i koji zadovoljavaju

i tako da važi:

.

Dakle, važi , čime smo pokazali da je

konkavna funkcija.

Na isti način se pokazuje da ako je za svako , tada je

strogo konkavna funkcija. ■

Sledeća teorema nam govori o kvazi–konkavnim i strogo kvazi–

konkavnim funkcijama.

Teorema 1.4. Za konveksan podskup vektorskog prostora i funkciju

važi sledeće:

a) Funkcija je kvazi–konkavna ako i samo ako je relacija preference

definisana sa konveksna;

b) Funkcija je strogo kvazi–konkavna ako si samo ako je relacija

preference definisana sa strogo konveksna.

Dokaz. Dokazaćemo deo a), a deo b) se dokazuje analogno kao a).

Pretpostavimo najpre da je kvazi–konkavna funkcija i neka i

važi na (tj. i ) i neka je . Kako

je kvazi–konkavna funkcija, imamo:

,

što znači da je .

Pretpostavimo da je relacija preference definisana pomoću funkcije

konveksna i neka je . Bez gubljenja opštosti, možemo uzeti da je

(tj. ). Iz i i konveksnosti relacije , sledi da

- 10 -

je . Dakle, ,

čime je dokaz teoreme završen. ■

Usmerimo sada pažnju na monotonost relacije preference.

Uređen vektorski prostor je realan vektorski prostor sa relacijom

uređenja ako zadovoljava sledeće dve osobine u skladu sa

algebarskim i uređenim strukturama:

1) Ako važi na , tada važi , za svako ;

2) Ako važi na , tada važi , za svako .

Simbol određuje da važi i . Skup je

poznat kao pozitivan deo skupa i svi elementi tog skupa su pozitivni

vektori.

Najvažniji primer uređenog vektorskog prostora je . Uređenje je

definisano sa ako i samo ako

je za svako . Pozitivan deo prostora označavamo

sa . Jasno,

za svako .

Primetimo da važi na ako i samo ako važi za svako i

važi za bar jedno .

Definicija 1.6. Za relaciju preference definisanu na nepraznom

podskupu uređenog vektorskog prostora kažemo da je:

a) Monotona, ako za svako važi da je , tada ;

b) Strogo monotona, ako za svako važi da je , tada

.

Strogo monotona preferenca je očigledno monotona. Međutim,

monotona preferenca ne mora biti strogo monotona. Na primer,

posmatrajmo preferencu na definisanu preko funkcije korisnosti

. Očigledno, implicira

.

Sa druge strane, primetimo da važi i .

- 11 -

Grafik strogo monotone kvazi–konkavne funkcije je „konveksan od

nastanka“.

Podsetimo , grafik funkcije je bilo koji skup oblika

, gde je bilo koji realan broj – u ekonomiji grafici krivih

su poznati kao indiferentne krive. Intuitivno, kriva je „konveksna od

nastanka “, ako je grafik oblika kao na Slici 1.1.

Slika 1.1

Matematički, „konveksna od nastanka “ kriva je kriva takva da ako su i

bilo koje dve tačke na toj krivoj, tada prava koja prolazi kroz

koordinantni početak i bilo koju tačku ograničenoj tačkama i će

seći krivu u najviše jednoj tački između i (videti Sliku 1.1).

Teorema 1.5. Neka je funkcija definisana na konveksnom

podskupu pozitivnog dela nekog uređenog vektorskog prostora. Ako je

strogo monotona i kvazi–konkavna funkcija, tada je grafik krive

konveksan od nastanka.

- 12 -

Dokaz. Pretpostavimo da za važi i neka je

za neko . Kako je kvazi–konkavna

funkcija, imamo da je

.

Kako je strogo monotona funkcija, vidimo da prava ne seče

nivo skupa ni u jednoj tački van linije segmenta

ograničenog tačkama i . Ovo pokazuje da je grafik krive konveksna

od nastanka. ■

Nastavljamo diskusiju, upoznavajući se sa veoma poželjnim paketima.

Definicija 1.7. Neka je relacija preference definisana na podskupu

vektorskog prostora . Tada za vektor kažemo da je veoma

poželjan paket (ili vektor) za ako:

1) važi za svako i svako ;

2) važi za svako i svako .

Primetimo da ako je veoma poželjan paket, tada je takav i za

svako . Ranije je pomenuto da su relacije preference često

predstavljene preko funkcija korisnosti. Sledeća teorema predstavlja

važnu reprezentaciju preferenci definisanih na pozitivnom delu

konačno–dimenzionalnog vektorskog prostora.

Teorema 1.6. Za neprekidnu relaciju preference definisanu na

pozitivnom potprostoru prostora važi:

1) Ako je konveksna, monotona, sa veoma poželjnim paketom,

tada može biti predstavljena kao neprekidna, monotona i kvazi–

konkavna funkcija korisnosti;

2) Ako je strogo konveksna i strogo monotona, tada može biti

predstavljena kao neprekidna, strogo monotona i strogo kvazi–

konkavna funkcija korisnosti.

Dokaz. Dokazaćemo deo 1), a pod 2) se dokazuje analogno kao deo 1).

Neka je neprekidna, konveksna i monotona relacija preference sa

veoma poželjnim paketom . Zamenom sa , sledi (iz

osobine monotonosti relacije ) da je takođe veoma poželjan vektor.

- 13 -

Dakle, možemo pretpostaviti da postoji veoma poželjan vektor

za koji važi za svako . Sada, za svako ,

stavimo:

Kako su sve komponente vektora pozitivne, postoji takvo da je

, pa na osnovu monotonosti relacije imamo da važi za

neko . Dakle, je dobro definisana funkcija.

Tvrdimo da je . Kako je skup zatvoren,

očigledno je da onda važi . Sa druge strane, ako ,

tada za svako, dovoljno malo mora biti , pa kada

, važi . Dakle, ako je , tada je . Ako je

, tada iz i monotonosti relacije je . Dakle,

je tačno i u ovom slučaju.

Primetimo, ako i , tada ako i samo ako je .

Zaista, ako , tada implicira , što je

nemoguće. Specijalno, za svako postoji tačno jedan broj

takav da je . Geometrijsko značenje je prikazano na Slici 1.2.

Sada je jasno da je funkcija definisana kao funkcija korisnosti,

predstavljena sa . Neprekidnost funkcije sledi iz ekvivalencije

skupova:

i

i neprekidnosti relacije .■

- 14 -

Slika 1.2

- 15 -

2. Maksimalni elementi

Neka je relacija preference na skupu i neka je neprazan podskup

od . Element je maksimalni element u odnosu na relaciju na

skupu ako ne postoji ni jedan element tako da zadovoljava

relaciju . Kako je kompletna kao relacija preference, primetimo

da je element maksimalni element ako i samo ako važi za

bilo koje . Sledeće teoreme opisuju osnovna svojstva maksimalnih

elemenata.

Teorema 2.1. Za relaciju preference na skupu i neprazan podskup

važe sledeći iskazi:

1) Svi maksimalni elementi skupa za su jednaki;

2) Ako je i ima strogo poželjan vektor, onda nijedna

unutrašnja tačka skupa ne može biti maksimalni element.

Dokaz.

(1) Neka je maksimalni element za na skupu . Ako je još

jedan maksimalni element, onda je i , pa važi . To

znači da se svi maksimalni elementi skupa u odnosu na

nalaze u istom indiferentnom skupu, dakle jednaki su.

(2) Neka je veoma poželjan vektor za i neka je unutrašnja tačka

skupa . Tada za dovoljno malo imamo da je .

Relacija pokazuje da ne može biti maksimalni

element za skupa . ■

Podsetimo da je relacija preference na topološkom prostoru odozgo

poluneprekidna ako je za svako skup zatvoren skup.

Sve odozgo poluneprekidne relacije preference na kompaktnom

topološkom prostoru imaju maksimalni element.

Teorema 2.2. Skup svih maksimalnih elemenata odozgo poluneprekidne

relacije preference na kompaktnom topološkom prostoru je neprazan i

kompaktan.

- 16 -

Dokaz. Neka je odozgo poluneprekidna relacija preference na

kompaktnom topološkom prostoru . Neka je za svako

. Kako je odozgo poluneprekidna relacija

preference, tada je (neprazan) skup, zatvoren i otuda je kompaktan.

Primetimo da je skup maksimalnih elemenata relacije kompaktan skup

.

Pokažimo da je . Neka su . Kako je

binarna relacija, skup je potpuno određen. Možemo

pretpostaviti da je , odakle sledi

kao i . Dakle, familija zatvorenih skupova

ima osobinu ograničenog preseka. Kako je kompaktan, skup

je neprazan. ■

Naredna teorema nam govori kada relacija preference ima tačno 1

maksimalan element.

Teorema 2.3. Za odozgo poluneprekidnu, konveksnu relaciju preference

na konveksnom, kompaktnom podskupu topološkog vektorskog

prostora važe sledeća svojstva:

a) Skup svih maksimalnih elemenata u odnosu na relaciju preference

na je neprazan, konveksan i kompaktan;

b) Ako je strogo konveksna, onda ima tačno jedan maksimalni

element na .

Dokaz. (a) Na osnovu Teoreme 2.2, skup svih maksimalnih elemenata u

odnosu na je neprazan i kompaktan. Da bi dokazali da je ovaj skup

konveksan, neka su i dva maksimalna elementa na u odnosu na

i neka važi . Tada je i na osnovu

konveksnosti relacije sledi da je . Sa druge strane,

kako je maksimalan element, imamo , odakle sledi

da je takođe maksimalni element za relaciju .

(b) Pretpostavimo da je strogo konveksna. Ako su i dva

maksimalna, različita elementa, tada je

i

, sto je

u kontradikciji sa činjenicom da je maksimalan element na . To znači

da ima tačno jedan maksimalan element na X. ■

- 17 -

Geometrijska interpretacija maksimalnog elementa je prikazana na Slici

2.1.

Slika 2.1

- 18 -

3. Funkcije potražnje

Funkcije preference i korisnosti nisu primetne na tržištu. Ono što mi

posmatramo su agenti koji prave transakcije po tržišnim cenama, tj.

zahtevaju i snadbevaju robe po tim cenama. To navodi na alternativno,

primitivno formulisanje ekonomskog ponašanja u pogledu funkcije

potražnje. U ovom delu mi izvodimo funkcije potražnje preko

maksimiziranja predmeta korisnosti do budžetskih ograničenja. Stoga

funkcija potražnje predstavlja određene restrikcije koje igraju ulogu

kritike u analizi ravnoteže.

Pre nego što počnemo diskusiju u ovom delu, uvedimo početne oznake.

Boldirana slova označavaju vektore. Boldirano slovo predstavlja vektor

i je vektor cena . Simbol znači

da važi za bilo koje , tj. sve koordinate vektora su realni

pozitivni brojevi. Slično, znači da važi za svako . Bilo koji

vektor koji zadovoljava naziva se strogo pozitivni vektor.

Sada, fiksirajmo vektor , kojim ćemo označavati vektor cena.

Budžetski skup za cenu koji odgovara vektoru je skup:

Budžetski skup je bilo koji skup oblika . Granica budžeta ovog

skupa je skup . Podsetimo se da je skalarni

proizvod dva vektora definisan sa:

.

Poznato je da je funkcija koja slika

u neprekidna

funkcija. Neposredna posledica neprekidnosti funkcije skalarnog

proizvoda je da su svi budžetski skupovi zatvoreni.

Kada vektor cena ima ograničen budžetski skup? Ispostavlja se da ili su

svi budžetski skupovi cena ograničeni ili su svi neograničeni. Uslov

ograničenosti ili neograničenosti budžetskih skupova je dat sledećom

teoremom.

- 19 -

Teorema 3.1. Za cenu važi sledeće:

1) Svi budžetski skupovi za su ograničeni ako i samo ako ;

2) Svi budžetski skupovi za su neograničeni ako i samo ako je bar

jedna koordinata cene jednaka nuli.

Dokaz. Dokazaćemo deo 1), a 2) se dokazuje analogno kao deo 1).

Pretpostavimo da je svaki budžetski skup za cenu ograničen. Tada

važi da je za svako . Zaista, ako je neko , onda vektori

( ) – gde označava standardni jedinični vektor -tog pravca

– pripadaju svakom budžetskom skupu (pošto je ) što znači da

je svaki budžetski skup neograničen.

Sada pretpostavimo da i neka . Neka je

. Ako je , tada je za svako

dakle,

važi za svako . Ovim smo pokazali da je budžetski skup

ograničen. ■

Kako su svi budžetski skupovi zatvoreni (i kompaktnost konačno-

dimenzionalnog prostora je ekvivalentna sa zatvorenjem i

ogranicenošću), prvi deo prethodne teoreme se može preformulisati na

sledeći način: Svi budžetski skupovi za cenu su kompaktni ako i samo

ako . Na osnovu ovog zaključka i Teoreme 2.3 važi naredna

teorema.

Teorema 3.2. Za cenu i neprekidnu relaciju preference na

važe sledeća tvrđenja:

1. Ako je konveksna, onda na svakom budžetskom skupu za

relacija preference ima bar jedan maksimalni element.

- 20 -

2. Ako je strogo konveksna, onda na svakom budžetskom skupu

za relacija ima tačno jedan maksimalni element.

3. Ako ima veoma poželjan paket i strogo je konveksna, onda na

svakom budžetskom skupu za relacija preference ima tačno

jedan maksimalni element koji pripada granici budžeta.

Geometrijska interpretacija dela pod 3. prethodne teoreme prikazana je

na Slici 3.1.

Slika 3.1

U daljoj diskusiji u ovoj glavi važiće pretpostavka da su sve relacije

preference definisane na prostoru . Treba imati na umu da je

unutrašnjost prostora skup svih strogo pozitivnih vektora i da granica

od sadrži sve vektore prostora

koji imaju bar jednu koordinatu

jednaku nuli.

Teorema 3.3. Za cenu i relaciju preference na

važe

sledeći iskazi:

1. Ako je strogo monotona, onda nema nijedan maksimalni

element na bilo kom budžetskom skupu za .

2. Ako je strogo monotona na tako da je sve u

unutrašnjosti preferanije od onog na granici i ako element

zadovoljava , onda nema nijedan maksimalni element u

.

- 21 -

Dokaz. Neka je cena koja ima bar jednu

komponentu koja je jednaka nuli. Neka je .

(1) Pretpostavimo da je strogo monotona i neka je vektor iz

nekog budžetskog skupa . Tada

i . Stroga monotonost relacije implicira . Ovo

pokazuje da nema maksimalni element u .

(2) Sada pretpostavimo da zadovoljava navedena svojstva i da je

. Iz sledi da budžetski skup sadrži strogo

pozitivne elemente, pa ako ima maksimalni element u

onda taj element mora biti strogo pozitivan. Međutim, ako je

bilo koji pozitivan vektor iz tada je

takođe strogo pozitivan vektor iz koji zadovoljava .

Kako je strogo monotona na , vidimo da mora da

važi što pokazuje da nema maksimalni element u ■

Posmatrajmo sada neprekidnu, strogo konveksnu relaciju preference

na koja ima veoma poželjan paket (vektor). Takođe, neka je

fiksirani vektor koji predstavlja početno ulaganje (doprinos).

Tada, na osnovu Teoreme 3.2 pod (3), za bilo koju cenu

relacija preference ima tačno jedan maksimalni element u budžetskom

skupu . Ovaj maksimalni element se naziva vektor potražnje

relacije preference za cenu i označava se sa . Ako je u datoj

situaciji fiksiran i jasnoća nije narušena, onda koje je napisano u

indeksu izostavljamo iz zapisa i pišemo jednostavno . Tako je

u ovom slučaju, funkcija

definisana tako što kažemo da je vektor potražnje za po ceni .

Funkcija je poznata kao funkcija potražnje koja odgovara relaciji

preference . Dva najbitnija svojstva funkcije potražnje su:

1. Kako (na osnovu Teoreme 3.2 pod (3)), pripada granici

budžeta, za svako , uvek važi .

2. Funkcija potražnje je homogena funkcija nultog stepena, tj. za

svako i za svako važi . Ovo sledi

direktno iz jednakosti .

- 22 -

Primetimo da neprekidna relacija preference na ne mora biti strogo

konveksna kako bi funkcija potražnje bila definisana. Pretpostavka

o strogoj konveksnosti može biti oslabljena. Na primer, relacija

preference na definisana pomoću funkcije korisnosti je

strogo monotona na , ali nije strogo konveksna na

. Za svaku

cenu relacija preference definisana preko ove funkcije korisnosti

ima tačno jedan maksimalni element u budžetskom skupu . Dakle,

lako je proveriti da je funkcija potražnje za ovu relaciju preference

dobro definisana i da zadovoljava prethodna dva svojstva.

Kako su funkcije potražnje definisane za određene preference,

definišimo i dodelimo nazive takvim preferencama koje će nam biti od

koristi.

Definicija 3.1. Za neprekidnu relaciju preference na kažemo da je

neoklasična relacija preference ako važi:

1. je strogo monotona i strogo konveksna; ili

2. je strogo monotona i strogo konveksna na i sve tačke u

unutrašnjosti su preferanije od onih na granici.

Ilustrujmo narednim primerom kako neoklasične preference nastaju iz

zajedničkih funkcija korisnosti.

Primer 3.1. Neka su date dve neoklasične relacije preference definisane

preko funkcija korisnosti i . Relacija preference će zadovoljavati

uslov 1), ali neće zadovoljavati uslov 2) i relacija će zadovoljavati

uslov 2), ali neće uslov 1) iz Definicije 3.1. Preference definisane kao 1)

su zastupljene na rubu , dok su preference definisane 2) uvek

zastupljene u unutrašnjosti .

(1) Razmotrimo funkciju korisnosti definisanu na :

Tada je funkcija korisnosti neprekidna, strogo monotona i strogo

konveksna na . Međutim, ova funkcija korisnosti nema osobinu da su

sve tačke u unutrašnjosti preferanije od svih tačaka na rubu. Kako je

element , on je očigledno preferaniji od

koji je u

unutrašnjosti.

- 23 -

(2) Razmotrimo funkciju korisnosti definisanu kao:

Ova funkcija korisnosti je strogo konveksna i strogo monotona na

, ali nije strogo konveksna na rubu

, pošto je svaki vektor na

rubu zanemarljiv. Iz tog razloga, ako i

, sledi da je

, odnosno sve što je u unutrašnjosti je preferanije od bilo čega na

rubu. ■

Treba primetiti da su strogo pozitivni vektori uvek poželjni vektori za

neoklasične preference. Naš zadatak je da proučimo svojstva funkcija

potražnje koje odgovaraju neoklasičnim preferencama. Naredna

teorema je prvi korak u utvrđivanju neprekidnosti funkcije potražnje.

Teorema 3.4. Neka je neoklasična preferenca na i neka i na

zadovoljavaju . Ako niz

zadovoljava i

, onda je:

1) , tj. ;

2) ;

3) .

Dokaz. Iz i neprekidnosti tačaka proizvoda (artikla)

sledi da je , pa je dakle . Sledeće što trebamo

pokazati je da je maksimalni element za u . Da bismo to

dokazali, neka je . Tada važi i tada je (kako je

) za svako . Iz i neprekidnosti

tačaka proizvoda vidimo da postoji neko koje zadovoljava

za svako . Prema tome,

važi za svako i odavde i iz neprekidnosti relacije

sledi za svako . Kada pustimo da i korišćenjem

opet neprekidnosti relacije važi . Ovim smo pokazali da je

maksimalni element u .

Na osnovu Teoreme 3.3 sledi da mora da važi i u tom slučaju

Teorema 3.2 pod 2) garantuje da je čime je dokaz ove

teoreme završen. ■

- 24 -

Naredna lema nam daje potrebne i dovoljne uslove neprekidnosti

funkcije potražnje.

Lema 3.1. (Teorema zatvorenog grafika) Neka je funkcija gde

su dva topološka prostora, pri čemu je Hauzdorfov i kompaktan.

Tada je neprekidna ako i samo ako je grafik

zatvoren podskup od .

Dokaz. Ako je neprekidna, onda je jasno da je zatvoren podskup od

. Obratno, pretpostavimo da je zatvoren podskup od .

Neka je mreža od koja zadovoljava . Moramo pokazati da

. Pretpostavimo suprotno, da . Tada postoji

okolina od i podmreža od koja zadovoljava za

svako . Kako je kompaktan topološki prostor, tada postoji podmreža

od (samim tim podmreža od ) za koju važi na .

Jasno je da , pa i . Sa druge strane imamo

na i na osnovu toga što je zatvoren sledi

, što je nemoguće. Dakle, je neprekidna u tački , pa

znači da je neprekidna na celom . ■

Ako nije kompaktan, onda zatvorenje grafika ne mora da implicira

neprekidnost funkcije . Na primer funkcija definisana sa:

ima zatvoren grafik, ali nije neprekidna. Postoje primeri funkcija čiji su

grafici zatvoreni, a one su prekidne u svakoj tački. Da bi konstruisali

takav primer, posmatrajmo sa Euklidskom topologijom i sa

diskretnom topologijom (to jest svaki podskup je otvoren). Tada funkcija

definisana sa ima zatvoren grafik, ali ima prekid u

svakoj tački skupa .

Sada možemo utvrditi neprekidnost funkcije potražnje. Intuitivno,

neprekidnost funkcije potražnje izražava činjenicu da „male promene u

vektoru cena rezultiraju male promene u vektoru potražnje“.

Geometrijsko značenje ovog iskaza je prikazano na Slici 3.2.

- 25 -

Slika 3.2

Teorema 3.5. Svaka funkcija potražnje koja odgovara neoklasičnoj

preferenci je neprekidna.

Dokaz. Neka je neoklasična preferenca na i neka je

fiksiran. Jednostavnosti radi, označimo funkciju potražnje kao

Neka je sada fiksiran. Primetimo najpre da je unutar segmenta

, gde je , . Neka je

. Ako , tada imamo

odakle sledi

važi za svako To znači da je funkcija ograničena na

, pa je zatvorenje skupa kompaktan podskup od .

Da bi pokazali da je neprekidna u , dovoljno je da se pokaže da je

- 26 -

neprekidna. Prema Lemi 3.1, dovoljno je da se pokaže da

funkcija ima zatvoren grafik. Neka niz

zadovoljava da i . Na osnovu Teoreme 3.4 sledi da je

. To pokazuje da funkcija ima zatvoren grafik, čime

je dokaz ove teoreme završen. ■

Predstavimo sada ekonomsku interpretaciju dosadašnje diskusije.

Vektorski prostor može se posmatrati kao predstavnik robnog

prostora naše ekonomije, gde predstavlja broj dostupne robe. Relacija

preference može predstavljati „ukus“ potrošača, a vektor početno

ulaganje. Vektor predstavlja preovlađajuće cene, pri

čemu je cena robe . Tada vektor potražnje predstavlja robni

paket koji maksimizira funkciju korisnosti potrošača do vrednosti njenih

ograničenja. Ako je vektor

potražnje, tada realan broj

predstavlja ukupan broj jedinica dobara koji je zahtevao pojedinac. Za

vektor broj je norma vektora i pišemo je kao

odnosno . Prema tome, broj je broj jedinica

dobara koje je potrošač poručio.

Što se više cene približavaju granici, neka roba postaje jeftinija što

uzrokuje „veoma veliku“ potražnju te robe. Detaljnije smo iskazali

sledećom teoremom.

Teorema 3.6. Uzmimo u obzir neoklasičnu preferencu na , vektor

i označimo kao funkciju potražnje

koja odgovara . Takođe, pretpostavimo da je niz strogo pozitivnih

vektora i da zadovoljava

Tada imamo:

1. Ako je za neko , tada je niz odnosno ta

koordinata niza potražnje ograničena.

2. Ako i , tada

- 27 -

Dokaz. Pretpostavimo da je niz strogo pozitivnih cena koji

zadovoljava uslove teoreme. Izaberimo neko tako da važi

za svako .

(1) Pretpostavimo da važi za neko . Iz i

, zaključujemo da postoji neko takvo da

važi za svako . Primetimo da nejednakost

implicira

koje važi za svako . Odatle je ograničen niz.

(2) Ako ima ograničen podniz, onda prelazeći na podniz

možemo pretpostaviti da ( na . U tom slučaju, na

osnovu Teoreme 3.4 mora važiti što je kontradikcija da važi

, čime smo dokazali teoremu. ■

Deo (2) prethodne teoreme kaže da kada cene padaju ka nuli, tada

potražnja kolektivno teži ka beskonačnosti. Ipak, treba naglasiti da kada

cena pojedinačne robe teži ka nuli, potražnja za tu robu ne mora da teži

ka beskonačnosti.

- 28 -

4. Ekonomija razmene

U teoriji međunarodne trgovine razmatramo nekoliko zemalja u kojima

se vrši razmena robe na međunarodnim tržištima u utvrđenim uslovima

trgovine. Ovaj model je geneza za ekonomiju razmene o kojoj ćemo

raspravljati u ovom i naredna dva poglavlja. Dokazaćemo postojanje

cena – uslova trgovine – koja su poznata na svim tržištima. Ovakve cene

se nazivaju cene ravnoteže. U Glavi 6 ćemo ispitivati mogućnost

konkurentnog tržišta za efikasnu rapodelu sredstava.

Simbol će označavati skup svih preferenci na . Uvešćemo najpre

definiciju ekonomije razmene na konačno-dimenzionalnom prostoru

robe.

Definicija 4.1. Ekonomija razmene je funkcija koja preslikava neprazan

skup (koji se naziva skup agenata ili izvršilaca) u , odnosno

.

Ako je ekonomija, onda vrednost predstavlja

karakteristiku agenta , element predstavlja početno ulaganje

(doprinos), a njegova preferenca ili odabir. Ako je neki vektor cena,

tada nenegativan realan broj se zove prihod izvršioca cene i

označava se , odnosno . Kada je konačan skup, vektor

predstavlja ukupan doprinos agenata.

U ovoj glavi ćemo razmatrati važne osobine ekonomije razmene-

neoklasične ekonomije razmene. Njihova definicija glasi:

Definicija 4.2. Neoklasična ekonomija razmene je ekonomija razmene

takva da:

1) Skup izvršilaca je konačan;

2) Svaki izvršilac ima nenula početno ulaganje (doprinos) (tj.

) i njegova relacija preference je neoklasična;

3) Celokupno ulaganje je strogo pozitivno, odnosno

.

- 29 -

Do kraja ove glave ćemo podrazumevati kao neoklasičnu ekonomiju

razmene. U tom slučaju, svaki izvršilac ima neoklasičnu preferencu ,

i stoga iz Glave 3 svaki izvršilac ima funkciju potražnje

Kada od celokupne potražnje oduzmemo celokupni

doprinos dobijamo funkciju viška potražnje.

Definicija 4.3. Ako je neoklasična ekonomija razmene, tada je višak

funkcije potražnje za ekonomiju funkcija definisana kao

Predstavljena u vektorskom obliku, funkcija viška potražnje biće

Osnovne osobine funkcije viška potražnje su date u sledećoj teoremi.

Teorema 4.1. Funkcija viška potražnje neoklasične ekonomije razmene

zadovoljava sledeće osobine:

1) je homogena funkcija stepena nula, tj. ) za svako

i svako ;

2) je neprekidna i ograničena odozdo;

3) zadovoljava Valrasov zakon, tj. važi za svako ;

4) Ako niz strogo pozitivnih cena zadovoljava

i važi za neko , tada je niz -te komponente niza

ograničen;

5) Ako važi za svako i tada postoji bar

jedno takvo da

Dokaz.

(1) Ova osobina sledi iz činjenice da važi za svako

, svako i svako

(2) Neprekidnost funkcije viška potražnje sledi direktno iz Teoreme

3.5. Kako je za svako , imamo da važi za

svako , pa sledi da je ograničena odozdo.

- 30 -

(3) Ako , tada imamo

Osobine (4) i (5) se lako dokazuju pozivajući se na Teoremu 3.6. ■

Definišimo sada pojam vektora cene ravnoteže za neoklasičnu

ekonomiju razmene.

Definicija 4.4. Strogo pozitivna cena je cena ravnoteže za neoklasičnu

ekonomiju razmene ako je

Da li svaka neoklasična ekonomija razmene ima cenu ravnoteže?

Poznata Arou- Debroova teorema kaže da ima. Do kraja ove glave ćemo

pokazati da to zaista važi.

Kako je funkcija viška potražnje homogena, stepena nula, drugim

rečima, važi za svako , uviđamo da je strogo pozitivna

cena cena ravnoteže ako i samo ako je za svako .

Drugim rečima, ako je cena ravnoteže, tada se skup sastoji

iz cena ravnoteža. To znači da se u potrazi za cenama ravnoteže

možemo ograničiti na skupove koji sadrže barem jedan element iz skupa

. Dva skupa koja se najčešće koriste za određivanje cena su:

i

Njihova geometrijska interpretacija je prikazana na Slici 4.1. Primetimo

da svaki element iz skupa određen pomoću pozitivnog

vektora pripada skupovima i . U ovoj glavi radićemo isključivo sa

.

- 31 -

Slika 4.1

Jasno, je konveksan i kompaktan podskup od . Skup svih strogo

pozitivnih cena skupa biće definisan kao skup:

za

Sada možemo definisati funkciju viška potražnje kao funkciju koja slika

skup u . U skladu sa Teoremom 4.1, funkcija zadovoljava

sledeće osobine.

Teorema 4.2. Ako je funkcija viška potražnje

za neoklasičnu ekonomiju razmene, tada:

1) je neprekidna i ograničena odozdo na ;

2) zadovoljava Valrasov zakon, tj., važi za svako ;

3) , i implicira da je niz

{ -te komponente niza ograničen;

4) , gde implicira .

Da bismo dokazali da svaka neoklasična ekonomija razmene ima cenu

ravnoteže, pozvaćemo se na teoremu fiksne tačke S. Kakutanija. Zbog

pogodnosti, pozvaćemo se na nekoliko osobina vezanih za

korespodenciju.

Korespodencija (multiplikativna funkcija) između dva skupa i je bilo

koja funkcija , tj. vrednost je podskup skupa za svako

. Kao i obično, predstavlja skup svih podskupova skupa . Grafik

funkcije je podskup skupa definisan sa:

- 32 -

Ako su i topološki prostori, tada se kaže da korespodencija

ima zatvoren grafik ako je grafik zatvoren podskup od

. Za tačku kažemo da je fiksna tačka funkcije ako

je . Teorema fiksne tačke S. Kakutanija glasi:

Teorema 4.3. (Kakutani) Neka je neprazan, kompaktan i konveksan

podskup prostora . Ako je neprazna i konveksna

korespodencija koja ima zatvoren grafik, tada ima fiksnu tačku, tj.

postoji neko takvo da je .

Sada ćemo formulisati teoremu koja garantuje egzistenciju cena

ravnoteže za svaku neoklasičnu ekonomiju razmene.

Teorema 4.4. Pretpostavimo da za funkciju

koja slika u važi:

1) je neprekidna i ograničena odozdo na ;

2) zadovoljava Valrasov zakon, tj., važi za svako ;

3) , i implicira da je niz

{ -te komponente niza ograničen;

4) , gde implicira .

Tada postoji bar jedan vektor za koji važi da .

Dokaz. Neka je funkcija koja zadovoljava osobine 1) - 4). Kao i

obično, će biti predstavljena u vektorskom obliku:

. Za svako , definišimo podskup od

kao

Tada, kad je , skup se sastoji iz svih artikala (roba) koji su

najviše traženi. Očigledno, . Za , neka je

Očigledno je i u ovom slučaju.

Sada definišimo funkciju na sledeći način:

- 33 -

za svako

Kako je , sledi da je za svako . Štaviše,

primetimo da je konveksan i kompaktan podskup skupa , zapravo

je lik (kodomen) funkcije . Kao dopuna, primetimo da ako

tada .

Na ovaj način smo definisali preslikavanje (korespodenciju) ,

koje je neprazno, kompaktno i vrednosti ovakve funkcije su konveksne.

Tvrdimo da ima zatvoren grafik. Da bismo to pokazali, pretpostavimo

da , u , i za svako . Treba da pokažemo da

je . Razlikujemo dva slučaja.

Slučaj I: .

U ovom slučaju možemo pretpostaviti da važi za svako . Neka

sada . To znači da . Kako je

neprekidna za , to postoji neko takvo da je

koje važi za svako , stoga važi za svako . Sada

na osnovu toga što je

uviđamo da

za svako . Iz sledi da , pa je . Drugim

rečima, za svako , pa je .

Slučaj II: .

Bez gubljenja opštosti, možemo pretpostaviti da je

gde je 1 i važi za svako

. U tom slučaju, imamo dva podslučaja:

Slučaj IIa: Postoji podniz niza (koji može biti i sam niz ) iz .

U ovom slučaju, primetimo da kao i

za

Iz pretpostavke sledi da je niz ograničen za svako

i . Odatle, kako je ograničen odozdo,

postoji neko takvo da važi za svako . Na

- 34 -

osnovu poslednjeg i toga da sledi da za svako

. Stoga, .

Slučaj IIb: Ne postoji podniz niza .

U ovom slučaju, možemo pretpostaviti da i

. Kako važi za svako

, zaključujemo da postoji neko takvo da

važi za svako .

Iz sledi da za svako i Iz

ovoga (i kako ), sledi da za , pa je

dakle

Prema tome, došli smo do zaključka da korespodencija ima zatvoren

grafik. Sada na osnovu teoreme o fiksnoj tački Kakutani (Teorema 4.3),

ima fiksnu tačku , tj. . Tada je cena ravnoteže. Da bismo

to dokazali, primetimo najpre da . Zaista, ako bi , tada bi

bilo za svako . Kako imamo za svako

, što implicira da je , što je kontradikcija. Prema tome,

, tj. .

Dalje, neka je i primetimo da je za

svako odakle sledi da je Ovo

znači da je za svako .

Sa druge strane, na osnovu Valrasovog zakona, uviđamo da je

što implicira da je , čime smo dokazali teoremu. ■

Iskažimo sada specijalnu formu Arou-Debroove teoreme.

Teorema 4.5. (Arou-Debro) Svaka neoklasična ekonomija razmene ima

cenu ravnoteže, tj. postoji bar jedna cena tako da važi .

Dokaz. Dokaz sledi direktno iz činjenice da (na osnovu Teoreme 4.2)

svaka funkcija viška potražnje zadovoljava pretpostavku Teoreme 4.4. ■

- 35 -

Treba naglasiti da dokaz prethodne teoreme nije konstruktivan. On

garantuje egzistenciju cene ravnoteže, ali ne obezbeđuje ni jedan metod

za njihovo prebrojavanje. Konstruktivan dokaz egzistencije prvi je dao H.

E. Skarf.

5.Optimalnost u ekonomiji razmene

U ovom odeljku razmotrićemo dva tipa optimalnosti: optimalnost Pareta i

jezgra. U neoklasičnoj ekonomiji razmene, bilo koja preraspodela

društvenog doprinosa izvršiocima zove se raspodela. Raspodela je

Pareto optimalna ako ne postoji nijedna druga raspodela koju svaki

pojedinac preferira u datoj raspodeli. Pareto optimalna raspodela ne

zahteva da bude individualno racionalna. Ovo znači da se pojedinac

može opredeliti za početni doprinos umesto paketa robe koju dobija

Pareto optimalnom raspodelom.

Jači (precizniji) pojam optimalnosti je kooperativna igra teoretskog pojma

jezgra. Ideja je sledeća: Nijedna raspodela nije održiva kao “raspodela

ravnoteže”, ako su izvršioci spremni da sarađuju, da se pogađaju

međusobno i ako grupa agenata može dobiti za sebe preraspodelu

njihovog početnog ulaganja, koju svaki član te grupe preferira da dobije

u paketu robe pomenutom raspodelom. Jezgro je skup raspodela koji ne

može biti poboljšan na ovaj način. Jasno, svako jezgro raspodela je

racionalno individualna Pareto optimalna raspodela.

U ovoj glavi bavićemo se isključivo ispitivanjem raspodela u ekonomiji

razmene sa konačnim brojem potrošača. Prema tome, skup

predstavljaće konačan skup potrošača arbitražne ekonomije

razmene. Početno ulaganje svakog potrošača biće obeleženo sa .

Oznaka predstavljaće ukupan doprinos, tj. .

Raspodela je -torka vektora iz takva da je

- 36 -

Dakle, raspodela predstavlja preraspodelu ukupnog doprinosa između

potrošača. Započećemo našu diskusiju navodeći osnovne osobine

raspodele.

Definicija 5.1. Za raspodelu kažemo da je:

a) Individualno racionalna, ako važi za svaki potrošač ;

b) Slabo Pareto optimalna, ako ne postoji nijedna druga raspodela

takva da je za svako ;

c) Pareto optimalna, ako ne postoji raspodela takva da

za svaki potrošač i za bar jedan potrošač .

Jasno, svaka Pareto optimalna raspodela je slabo Pareto optimalna.

Obrnuto tvrđenje je tačno ukoliko su preference neprekidne i strogo

monotone.

Teorema 5.1. Ako potrošači u ekonomiji razmene imaju neprekidne i

strogo monotone preference, tada je raspodela Pareto optimalna ako i

samo ako je ona slabo Pareto optimalna.

Dokaz. Pretpostavimo da su preference neprekidne i strogo monotone.

Za dokaz je trivijalan. Zato, pretpostavimo da je .

Neka je slabo Pareto optimalna. Pretpostavimo da

raspodela zadovoljava za svako i za

neko . Iz neprekidnosti preference , postoji neko takvo da

važi . Sada, ako stavimo da je

za

i , tada je raspodela. Pored toga, kako je

preferenca strogo monotona, imamo da je za svako , što je u

kontradikciji sa slabo Pareto optimalnošću raspodele .

Odavde sledi da je Pareto optimalna raspodela. ■

Uvešćemo sada oznaku koja će predstavljati skup svih raspodela, tj.

za svako i

Jasno, je konveksan, zatvoren i ograničen podskup (stoga i konveksan

i kompaktan) skupa . Skup svih individualnih, racionalnih

raspodela biće obeležen sa , tj.

za

- 37 -

Kako je , skup je uvek neprazan.

Ako je svaka preferenca neprekidna, tada je očigledno zatvoren

podskup od i stoga je kompaktan skup. Ukoliko je svaka

preferenca konveksna i neprekidna, tada je skup (neprazan)

konveksan i kompaktan podskup od .

Neprekidnost preferenci garantuje egzistenciju individualnih Pareto

optimalnih raspodela.

Teorema 5.2. Ako u ekonomiji razmene sa konačnim brojem potrošača

svaki potrošač ima neprekidnu preferencu, tada individualna, racionalna

Pareto optimalna raspodela uvek postoji.

Dokaz. Označimo raspodele malim slovom, na primer , znači da

Uvedimo relaciju ekvivalencije na na sledeći način:

ako i samo ako je za svako .

Proverimo da li je zaista relacija ekvivalencije na . Jednostavnosti

radi, označimo sa skup svih klasa ekvivalencije (umesto ). Dalje,

definišimo relaciju naredbe na tako što kažemo da je kad god

je za svako . Kako sada predstavlja klasu ekvivalencije, lako

zaključujemo da je zaista relacija naredbe.

Podsetimo se da smo za (neprazan) podskup skupa rekli da je

lanac (mreža, sistem) kad god su dva elementa iz uporediva, tj. kad

god za važi ili . Neka je sada arbitražni lanac od

. Tada je ograničen odozgo u , tj. postoji neko takvo da je

za svako . Da bismo ovo dokazali, razmotrimo dva slučaja.

Slučaj I: Postoji neko takvo da je za svako . U ovom

slučaju, naša tvrdnja je očigledno tačna.

Slučaj II: Za svako postoji neko takvo da je . U ovom

slučaju, skup je usmeren u odnosu na i ako definišemo za

, tada je mreža kompaktnog skupa . Neka su

skup tačaka mreže . Tada, važi za svako . Da

- 38 -

bismo ovo pokazali, neka je fiksirana tačka i primetimo da za

svako važi . Kako je (iz neprekidnosti preference) skup

za svako

zatvoren, zaključujemo da je za svako . Tada je gornja

granica za .

Na osnovu Zornove leme, postoji maksimalan element za .

Kako je i , odatle sledi da , pa dakle ne postoji nijedan

tako da važi , što nas dovodi do zaključka da je

individualna, racionalna Pareto optimalna raspodela. Ovim je dokaz

teoreme završen. ■

Još jedna važna klasa raspodela je raspodela jezgra. Da bismo razumeli

značenje ovog pojma potrebno je definisati pojam „poboljšanje

raspodela“. Skup svih potrošača je neprazan podskup od

. Kažemo da skup poboljšava raspodelu ako

postoji još jedna raspodela takva da

a) ;

b) važi za svako .

Ovo znači da skup poboljšava raspodelu ako potrošači iz mogu

međusobno preraspodeliti ukupan doprinos . Raspodela koja ne

može biti poboljšana od strane potrošača je poznata kao raspodela

jezgra.

Definicija 5.2. Raspodela jezgra je raspodela koja ne može biti

poboljšana od strane bilo kog skupa potrošača.

Skup svih raspodela jezgra ekonomije se naziva jezgro ekonomije i

označava se sa . Napomenimo da raspodela jezgra ne daje

podsticaj izvršiteljima za formiranje koalicije i pogodnosti za

preraspodelu društvenog doprinosa.

Teorema 5.3. Svaka raspodela jezgra je individualno racionalna i slabo

Pareto optimalna.

Dokaz. Neka je raspodela jezgra. Da bismo dokazali da je

individualno racionalna, primetimo da ako važi

za neko , tada koalicija koja se sastoji samo od potrošača (tj.

- 39 -

može poboljšati raspodelu. Stoga, mora važiti za svako

.

Da bismo dokazali da je slabo Pareto optimalna, neka je

još jedna raspodela takva da za svako . Ovo

znači da koalicija može poboljšati raspodelu, što je

nemoguće. Stoga je raspodela slabo Pareto optimalna. ■

Najbolji način ilustrovanja različitih osobina optimalnosti raspodela je uz

pomoć Edgarove kutije. Posmatrajmo dva potrošača ekonomije razmene

iz prostora robe . Celokupan doprinos je . Posmatrajmo

prvog potrošaća sa prostorom robe sistema i drugog potrošača sa

prostorom robe sistema kao što je prikazano na Slici 5.1. Tačka -

dobijena iz sistema - odgovara tački iz sistema i tačka -

dobijena iz sistema - odgovara tački sistema . Raspodela je

proizvoljna tačka, a kutija određena osama i poznata je kao

Edgarova kutija.

Slika 5.1

Da bismo dokazali egzistenciju raspodele jezgra, moramo se najpre

upoznati sa pojmom kooperativne igre -lica sa neprenosivom

korisnošću, koju ćemo jednostavno zvati igrom -lica. Kao što možemo

- 40 -

videti, svaka ekonomija razmene definiše jednu takvu igru. Štaviše, svaki

vektor isplate u jezgru udružene igre -lica odgovara raspodeli mreže

ekonomije razmene. H. E. Skarf je pokazao da uravnotežena igra -lica

ima neprazno jezgro i zaključio na osnovu toga da i neoklasična

ekonomija razmene ima neprazno jezgro. U cilju dokazivanja Skarfove

teoreme o egzistenciji raspodele jezgra, definišimo sledeće pojmove.

Neka je konačan, fiksirani skup igrača i označimo sa

skup svih raspodela skupa , tj. Igra -lica je

neprazna korespodencija , tj. igra -lica je neprazan skup

vrednosti svih raspodela kolekcije svih podskupova prostora . Neka je

skup koji se sastoji od vektora svih isplata koje koalicija

(ujedinjenje) dodeljuje svakom članu. Kao i obično, koalicija može

poboljšati vektor isplate ako postoji vektor takav da je

za svako . Mreža (jezgro) igre je sada definisana kao skup

svih vektora iz takva da ne postoji koalicija koja bi je poboljšala. U

matematičkom terminu, ovakva mreža je definisana kao prateća.

Definicija 5.3. Jezgro igre -lica je skup

i takvo da za svako .

Upoznajmo se sada s pojmom uravnoteženosti igre – lica koji je uvela

O. H. Bondareva. Podsetimo se da simbol označava karakterističnu

funkciju od , tj. funkciju definisanu kao ako je

i ako .

Definicija 5.4. Za (nepraznu) familiju od kažemo da je uravnotežena

ako postoje nenegativne vrednosti takve da važi

Ekvivalentno, familija raspodela je uravnotežena ako postoje

nenegativni skalari takvi da

- 41 -

važi za svako . Nažalost, nije lako proveriti da li je data

familija koalicija uravnotežena. Na primer, ako je tada su

familije

i

uravnotežene - uzima vrednosti {1,1,1}, uzima vrednosti

,

dok familija nije uravnotežena.

Definicija 5.5. (Bondareva) Za igru -lica kažemo da je uravnotežena

ako svaka uravnotežena familija koalicija zadovoljava

Sada možemo formulisati i dokazati teoremu H. E. Skarfa koja se odnosi

na egzistenciju jezgra raspodela prihoda za određenu uravnoteženu

igru. Za elegantan dokaz koji sledi, zaslužan je R. Vohra.

Teorema 5.4. (Skarf) Ako je uravnotežena igra -lica takva da je

a) Svaki zatvoren;

b) Svaki sadržajan odozdo, tj. iz i sledi da

V(S);

c) Ako je , i za svako , tada V(S);

d) Svaki je ograničen odozgo na tj. za svaku koaliciju

postoji neko tako da važi za svako V(S) i svako

,

tada igra -lica ima neprazno jezgro.

Dokaz. Neka je igra -lica koja zadovoljava uslove teoreme. Kako

svaka „translacija“ od zadovoljava iste osobine, zamenom

odgovarajućom translacijom možemo bez gubljenja opštosti pretpostaviti

da za svaku koaliciju .

Dalje, fiksirajmo neku konstantu , tako da za svaku koaliciju i

svako V(S) imamo za svako Posmatrajmo skup

- 42 -

Jasno, je zatvoren, sadržajan odozdo (tj. važi ),

ograniičen odozgo na konstantom i sadrži kuglu sa

centrom u nuli (videti Sliku 5.2). Posebno, granica od je sadržana

u tj. važi da je .

Slika 5.2

Navedimo osobinu skupa koju ćemo koristiti u dokazu.

Ako i za neko , tada takođe važi za neko .

Da bismo ovo dokazali, pretpostavimo da je i za svako .

Kako je tada postoji neko takvo da je

. Iz osobine (c) vidimo da vektor takav za i

pripada (dakle pripada i ) i važi da je za svako .

Odavde dobijamo da je , što je kontradikcija.

Označimo sa zatvoren skup sa elemenata. Tada za svako

postoji tačno jedno takvo da je . Zaista, ako su ,

takvi da , tada važi . Ako važi za

- 43 -

svako , tada za svako , pa je unutrašnja tačka skupa

što je kontradikcija. Sa druge strane, ako važi za neko , onda na

osnovu osobine postoji neko takvo da je i

što implicira da , što je kontradikcija. Dakle, postoji barem jedno

takvo da je . Da bismo videli da postoji takvo , neka

je } i primetimo da je .

Tako , funkcija je definisana kao

, gde je .

Ovako definisana funkcija je neprekidna. Da bismo to videli, dovoljno je

pokazati (na osnovu Teoreme 3.5) da funkcija ima zatvoren grafik.

Neka na i na . Tada je .

Tada,

,

kao i . Kako je zatvoren skup, vidimo

da je . Na osnovu prethodnog je , pa dakle

ima zatvoren grafik.

Za bilo koju koaliciju označimo sa vektor na čija je -ta

koordinata ako , a u suprotnom i neka označava broj

elemenata skupa . Definišimo preslikavanje sa

Kako je , direktno sledi da je neprazan

podskup od . takođe ima zatvoren grafik. Da bismo to pokazali, neka

na , za svako i na . Kako je skup

konačan, vidimo da niz { mora biti eventualno konstanta.

Dakle, postoji neko takvo da je za svako , pa je

za svako . Odatle postoji neka koalicija takva da je

i za svako . Kako je neprekidna i

zatvoren skup, zaključujemo da je . Odatle, , pa

ima zatvoren grafik.

Definišimo sada funkciju sa

- 44 -

gde je, kao i obično, za svaki realan broj . Jasno, je

neprekidna funkcija. Konačno, posmatrajmo preslikavanje

definisano sa

.

Primetimo da je neprazna funkcija koja ima konveksne vrednosti i

zatvoren grafik. Prema tome, na osnovu teoreme fiksne tačke Kakutanija

(Teorema 4.3), ima fiksnu tačku, recimo ( ). Tačka (

zadovoljava

i .

Imajmo na umu da , što znači da je konveksna kombinacija

oblika

gde je

Iz , vidimo da je

za .

Dokazaćemo da je

za svako . Da bismo ovo dokazali, dovoljno je

pokazati da

vazi za svako . Zaista, ako ovo važi, onda je

za svako , pa jednakost sledi iz

.

Da bismo pokazali da

važi za svako , pretpostavimo suprotno, da

. Iz , imamo da je

i

- 45 -

Primetimo da su obe koalicije i neprazne. Zaista, iz

za neko , sledi da je

, tj,

za neko , pa je . Sa

druge strane, ako

važi za svako , tada

će

takođe važiti, što je nemoguće, pa je i . Jasno, . Za

(tj. za

), iz sledi da postoji neka koalicija takva da

i . Specijalnim odabirom konstante , važi .

Za (tj. za ), kako je to je . Ovo je u

kontradikciji sa i stoga važi

Stavljajući da je iz drugog oblika za imamo

Familija je uravnotežena familija na osnovu

. Kako je igra uravnotežena, važi i odatle je vektor

.

Da bi dokaz bio potpun, treba dokazati da vektor pripada . Da

bismo ovo dokazali, pretpostavimo suprotno, da postoji neka koalicija

koja može poboljšati vektor . Tada, i kako , iz

odabira konstante sledi da važi za svako . Sada jasno vidimo

da , što je u kontradikciji sa . Dakle, ne može

biti poboljšan od strane neke koalicije, pa je , čime je dokaz

teoreme završen. ■

Možemo dokazati da ekonomije razmene imaju raspodele jezgra. Ovaj

rezultat je dao H. E. Skarf.

Teorema 5.5. (Skarf) Svaka ekonomija razmene čije su preference

potrošača predstavljene u obliku neprekidnih i kvazi–konkavnih funkcija

korisnosti imaju neprazno, kompaktno jezgro.

- 46 -

Dokaz. Neka je ekonomija razmene sa potrošača takva da je

preferenca svakog potrošača predstavljena kao neprekidna i kvazi–

konkavna funkcija korisnosti . Dokaz ove teoreme se sastoji iz dva

koraka.

Korak I: Jezgro je neprazno.

Da bismo dokazali teoremu, definišimo igru sa -lica

Postoji rapodela takva da

i , za svako }.

Tvrdimo da igra sa -lica zadovoljava osobine iz Teoreme 5.4. Da

bismo to dokazali, primetimo da su osobine (b) i (c) trivijalne i (d) sledi

direktno iz činjenice da je svaka funkcija korisnosti (kao neprekidna

funkcija), ograničena na kompaktnom skupu .

Proverimo da li je skup zatvoren. Pretpostavimo da niz

zadovoljava

Za

svako izaberimo raspodelu

takvu da

i

za svako . Kako je skup svih raspodela kompaktan,

možemo pretpostaviti (prelaskom na podniz i preimenovanjem) da

. Očigledno, i iz

neprekidnosti funkcije korisnosti, je za svako . Odavde

sledi da , pa je svaki skup zatvoren.

Sledeće što pokazujemo je da je igra -lica uravnotežena. U tom cilju,

neka je uravnotežena familija koalicija sa težinama i neka

pripada . Treba pokazati da je

. Da bismo to pokazali, neka je i neka

. Kako pripada , postoji raspodela

takva da i

za svako . Neka je sada

za svako .

Kako je svako konveksna kombinacija, na osnovu toga što je

kvazi–konkavna funkcija sledi da važi za svako . Štaviše,

- 47 -

odakle sledi da , što je trebalo dokazati.

Na osnovu Teoreme 5.4 igra -lica ima neprazno jezgro. Izaberimo

i neka je ,..., raspodela za koju važi

za svako . Da bi dokaz bio završen u ovom koraku, treba

pokazati da je ,..., raspodela jezgra za našu ekonomiju.

Pretpostavimo suprotno, neka postoji raspodela i koalicija

koja zadovoljava i , za svako .

Stavimo da je i primetimo da .

Iz nejednakosti

, za svako

vidimo da koalicija može poboljšati vektor jezgra , što je

nemoguće. Dakle, ,..., je raspodela jezgra.

Korak II: Jezgro je kompaktan skup.

Označimo sa (neprazan) skup svih raspodela jezgra. Jasno, je

podskup kompaktnog skupa , pa je dakle zatvorenje skupa takođe

kompaktan skup. Da bismo videli da je zatvoren, neka je ,...,

raspodela koja pripada zatvorenju skupa i pretpostavimo suprotno, da

postoji raspodela i ujedinjenje potrošača tako da važi

i za svako

Za svako , skup raspodela

je zatvoren podskup od . Odatle je skup zatvoren

podskup od , pa je komplement otvoren. Iz ,..., ,

vidimo da je . Sada, ako , tada imamo

i za svako ,

- 48 -

što je u kontradikciji sa činjenicom da je raspodela jezgra.

Stoga, ,..., pripada , pa je zatvoren, čime smo dokazali

teoremu. ■

6. Optimalnost i decentralizacija

Klasična intuicija, da decentralizovano konkurentno tržište budi

zainteresovanost ekonomista, u optimalnoj podeli resursa, je precizirana

u teoremama K. J. Aroua i G. Debroa.

Ako su tržišne cene, cene ravnoteže, tj. cene poznate na svim tržištima,

onda količine koje zahtevaju domaćinstva, po tim cenama, čine

raspodelu. Takve raspodele se zovu Valrasove (ili konkurentne)

ravnoteže. Konkurentne raspodele su realizovane na decentralizovan i

ne-kooperativan način, pošto svaka naredba potrošača potiče iz

maksimiziranja korisnosti subjekta do granice njenog budžeta – bez

znanja o zahtevima ili brige o ukusima drugih potrošača. U tom slučaju,

cene služe kao znak nestašice i agenti radije sarađuju sa tržištem nego

da međusobno pregovaraju (tj. pogađaju se oko cene), koristeći se i

jezgrom i Pareto optimalnošću.

Iznenađujuće je da je svaka konkurentna raspodela Pareto optimalna

(prva pomoćna teorema) i da svaka Pareto optimalna raspodela može

biti predstavljena u decentralizovanom obliku, kao konkurentna

raspodela – predmet transfera prihoda – (druga pomoćna teorema).

Ovde smo koristili Arouvu formulaciju pomoćne teoreme za ekonomije

sa konačnim brojem agenata i artikala (robe).

Šta je sa jezgrom? Dobijeni rezultati su još više upečatljivi. Svaka

Valrasova raspodela je u jezgru (ojačana verzija prve pomoćne

teoreme), i „na granici“ su samo Valrasove raspodele jezgra. Ova

poslednja teorema se zove teorema jednakosti jezgra u ekonomskoj

literaturi i originalan dokaz je dao F. Y. Edgar za ekonomiju razmene sa

dva dobra i istim agentima. Edgarov model je prvi model u ekonomiji koji

koristi skup sa beskonačno mnogo potrošača, da bi izrazio pojam

- 49 -

savršene konkurencije, gde svako domaćinstvo ima zanemarljiv uticaj u

određivanju cena ravnoteže.

Edgarovu konstrukciju su dopunili G. Debro i H. E. Skarf za arbitražnu

ekonomiju razmene, koristeći pojam kopije date ekonomije. Rezultat H.

E. Skarfa o nepraznom jezgru za igru n-lica zajedno sa Debro-

Skarfovom teoremom ekvivalentnosti jezgra daje nov dokaz egzistencije

Valrasove ravnoteže – dokaz nezavisan od pojmova funkcija ponude i

potražnje. Najvažniji rezultat u ovoj glavi je Skarfov dokaz egzistencije

Valrasove ravnoteže u ekonomiji razmene.

Definicija 6.1. Za raspodelu u ekonomiji razmene kažemo da

je:

a) Valrasova (konkurentna) ravnoteža, ako postoji cena , takva

da i

implicira

ili ekvivalentno, kad god je maksimalan element u budžetskom skupu

za svako .

b) Kvaziravnoteža, ako postoji cena takva da

implicira

Svaka nenula cena koja zadovoljava (b) u Definiciji 6.1 se odnosi na

cenu koja podržava kvaziravnotežu. Ako svaki potrošač ima veoma

poželjan paket, tada je Valrasova ravnoteža kvaziravnoteža. Da bismo

ovo pokazali, pretpostavimo da svaki potrošač ima ekstremno poželjan

paket i neka je Valrasova ravnoteža. Izaberimo cenu

takvu da implicira Tada, ako važi

onda i

važi za svako . Odavde sledi da je što znači da je

kvaziravnoteža.

U narednom primeru videćemo da kvaziravnoteža ne mora biti

Valrasova ravnoteža.

- 50 -

Primer 6.1. Razmotrimo ekonomiju razmene sa prostorom robe i dva

potrošača sa sledećim karakteristikama.

Potrošač 1: Početni doprinos

i funkcija korisnosti

Potrošač 2: Početni doprinos

i funkcija korisnosti

Jasno, paket (1,1) je ekstremno poželjan kod oba potrošača. Raspodela

, gde je

i

je kvaziravnoteža. Da bismo ovo pokazali, neka je cena i

primetimo da

1) implicira ;

2) implicira

Dakle, je kvaziravnoteža.

Međutim, nije Valrasova ravnoteža. Da bismo ovo pokazali,

pretpostavimo suprotno, da postoji nenula cena takva da

implicira Posebno,

imlicira

Sledi da

kao i . Sa druge

strane, imamo i

, tj.

što je kontradikcija. Dakle, nije Valrasova ravnoteža. ■

Valrasova ravnoteža je uvek Pareto optimalna raspodela. Ovaj rezultat

je poznat kao prva pomoćna teorema za koji je zaslužan K. J. Arou.

Teorema 6.1. (Arou) Ako su u ekonomiji razmene preference strogo

konveksne, tada je svaka Valrasova raspodela ravnoteže Pareto

optimalna.

Dokaz. Neka je Valrasova raspodela ravnoteže sa cenom .

Pretpostavimo da postoji još jedna rapodela takva da važi

za svako , i za bar jedno . Jasno,

- 51 -

važi za bar jedno . Iz

imamo

Dakle, mora važiti za bar jedno i prema tome . Iz

stroge konveksnosti preference važi

tako da je

Odavde vidimo da je

pa je što je

nemoguće. Prema tome, raspodela je Pareto optimalna. ■

Osnovna razlika između Valrasove ravnoteže i kvaziravnoteže su prihodi

koje ima svaki agent u pratećim cenama. Kod kvaziravnoteže neki agenti

mogu imati nula prihod u pratećim cenama. Ako kod kvaziravnoteže

svaki agent ima pozitivan prihod, tada je kvaziravnoteža raspodele

ustvari Valrasova ravnoteža.

Dve osnovne osobine pratećih cena date su sledećom teoremom.

Teorema 6.2. Za prateću cenu važe sledeće osobine kvaziravnoteže

:

a) za svako ;

b) Ako je jedna preferenca monotona, tada je .

Dokaz. Neka je kvaziravnoteža u ekonomiji razmene sa

pratećom cenom .

(a) Primetimo da implicira , za svako . Iz

,

vidimo da

kao i da mora važiti za

svako .

(b) Pretpostavimo da je monotona preferenca. Da bismo dokazali da

je cena pozitivan vektor, neka je . Tada, iz monotonosti

preference , je i odatle

- 52 -

Kako je iz (a) , sledi da je ■

U terminima prethodnih osobina, Valrasova ravnoteža u ekonomiji

razmene sa strogo monotonim preferencama je okarakterisana na

sledeći način:

Teorema 6.3. Ako su u ekonomiji razmene preference strogo monotone,

tada su za raspodelu i nenula cenu sledeće osobine

ekvivalentne:

1) Svaki je maksimalan element u budžetskom skupu

2) i implicira .

3) implicira .

4) implicira .

Dokaz. Označimo sa raspodelu, a sa nenula cenu.

Neka važi Kako je maksimalan element u

budžetskom skupu , sledi da je . Na osnovu Teoreme

3.3 (1), važi

Očigledno.

Neka važi Kako je preferenca svakog potrošača

strogo monotona, tada je Odatle,

važi za svako pa je

Primetimo da implicira za svako . Iz

vidimo da je

, pa dakle, mora važiti

za svako . Odatle, na osnovu Teoreme 6.2 je .

- 53 -

Fiksirajmo sada neko , takvo da je Tada je maksimalan

element u budžetskom skupu Da bismo ovo pokazali,

pretpostavimo suprotno, da postoji neko (tj. )

takvo da je Kako je skup otvoren u

,

i tada postoji neko takvo da Odatle je

. Sa druge strane, iz i , vidimo da

je

što je nemoguće. Dakle, je maksimalan element u .

Na osnovu Teoreme 3.3 (1), je i na osnovu prethodnog zaključka

svaki je maksimalan element u čime je dokaz teoreme završen.

■

Sada možemo da preformulišemo Arou-Debroovu teoremu na sledeći

način:

Teorema 6.4. (Arou-Debro) Svaka neoklasična ekonomija razmene ima

Valrasovu ravnotežu.

Ojačana forma prve pomoćne teoreme je iskazana u sledećem obliku:

Teorema 6.5. Svaka Valrasova raspodela ravnoteže je raspodela jezgra

– otuda je takođe i Pareto optimalna.

Dokaz. Neka je Valrasova raspodela ravnoteže u nekoj

ekonomiji razmene i neka je cena takva da implicira

Pokazaćemo da je raspodela jezgra.

Pretpostavimo suprotno, da postoji raspodela i ujedinjenje

takvo da:

a) i

b) za svako .

Tada, mora važiti za svako , i analogno

- 54 -

što je u kontradikciji sa (a). Odatle sledi da je raspodela

jezgra. ■

Nastavljamo diskusiju uvodeći pojam “mogućnost podrške” raspodela od

strane cena.

Definicija 6.2. Za raspodelu u ekonomiji razmene kažemo da

je podržana od strane nenula cene ako

implicira

Kada su preference monotone, cene podrške su uvek pozitivne. Zaista,

ako je raspodela podržana od cene i tada važi

kao i odakle sledi da je tj.,

Naš naredni zadatak je da pokažemo (pod odgovarajućim hipotezama)

da je raspodela Pareto optimalna ako i samo ako može biti podržana od

cene–Debroova formulacija teoreme. Opravdanost ovog iskaza može biti

izvedena intuitivno uz pomoć Edgarove kutije. Ako je raspodela, onda

je Pareto optimalna ako i samo ako se indiferentne krive koje prolaze

kroz dodiruju u tački , i takođe su podržane od zajedničke cene

(videti Sliku 6.1).

Slika 6.1

- 55 -

Teorema 6.6. Ako je raspodela u ekonomiji razmene sa neprekidnim

preferencama podržana od cene takva da tada je ona slabo

Pareto optimalna.

Dokaz. Pretpostavimo da je raspodela podržana od cene

takva da je . Pretpostavimo suprotno, da postoji još jedna

raspodela za koju važi za svako .

Kako je cena podrške, tada je i iz

sledi da važi za svako . Iz neprekidnosti preference,

postoji neko za koje važi za svako . Kao i

prethodno, sledi da je i za svako . Iz

druge jednakosti sledi da važi , kao i , što

je kontradikcija. Dakle, raspodela je slabo Pareto optimalna.

■

Za obrat Teoreme 6.6, potreban nam je uslov koji obezbeđuje da nijedan

paket nije maksimalan.

Definicija 6.3. Za preferencu definisanu na topološkom prostoru

kažemo da je:

1) Lokalno nepotpuna, ako za svako i svaku okolinu tačke ,

postoji bar jedan paket takav da je ;

2) Nepotpuna, ako za svako postoji neko takvo da je

.

Primetimo da je lokalno nepotpuna preferenca uvek nepotpuna.

Teorema 6.7. Ako je u ekonomiji razmene svaka preferenca strogo

konveksna i nepotpuna, tada je svaka slabo Pareto optimalna raspodela

– samim tim i svaka Pareto optimalna raspodela – podržana od nenula

cene.

Dokaz. Razmotrimo ekonomiju razmene čiji potrošači imaju strogo

konveksne i nepotpune preference i neka je slabo Pareto

optimalna raspodela. Neka je za svako

- 56 -

Iz nepotpunosti, svaki je neprazan. Takođe, iz stroge konveksnosti,

svaki je konveksan skup. Sada posmatrajmo konveksan skup

gde je totalni doprinos i primetimo da Zaista, ako bi

, tada bi postojalo takvo da je

što je u kontradikciji da je raspodela slabo Pareto optimalna.

Sada, na osnovu konačno-dimenzionalne verzije teoreme razlaganja,

postoji nenula cena takva da važi za svako .

Da bismo dokazali teoremu, potrebno je pokazati da cena podržava

raspodelu . Pretpostavimo da važi za neko . Za

svako , postoji neko takvo da je . Iz stroge konveksnosti

relacije preference, za svako je

za i

kao i važi za svako

. Iz druge relacije sledi

za svako . Puštajući da , dobijamo

ili Ovim smo pokazali da podržava raspodelu

. ■

Usmerimo sada pažnju na kopirane ekonomije kako bi utvrdili

ekvivalentnu Debro – Skarfovu teoremu.

Definicija 6.4. (Debro-Skarf) Ako je ekonomija razmene sa

potrošača i bilo koji pozitivan, ceo broj, tada -puta kopirana ekonomija

od je nova ekonomija razmene sa potrošača – indeksirana sa

takva da svaki potrošač ima

- 57 -

a) Preferencu koja odgovara ;

b) Početni doprinos koja odgovara (tj. ), pa je

celokupni doprinos kopirane ekonomije jednak

Očigledno je Potrošači oblika su poznati kao

potrošači tipa . Prema tome, -puta kopirana ekonomija je nova

ekonomija koja se sastoji iz potrošača bilo kog tipa . Geometrijski

prikaz potrošača kopirane ekonomije je predstavljen na Slici 6.2.

Slika 6.2

Svaka raspodela ekonomije razmene dovodi do prirodne

raspodele

-puta kopirane ekonomije tako da je

- 58 -

za i .

Ovakva raspodela je poznata kao odgovarajuća raspodela za . Na ovaj

način, svaka raspodela od može biti posmatrana kao raspodela svake

-puta kopirane ekonomije . Lako je uočiti da je svaka Valrasova

raspodela ravnoteže originalne ekonomije razmene takođe Valrasova

raspodela ravnoteže za svaku - puta kopiranu ekonomiju - otuda, to

isto važi i za raspodelu jezgra svake - puta kopirane ekonomije.

Naš sledeći zadatak je da pokažemo da su one jedine raspodele u našoj

originalnoj ekonomiji koje pripadaju jezgru svake kopirane ekonomije –

te raspodele su poznate pod nazivom Edgarove raspodele ravnoteže.

Da bismo to pokazali, navedimo dve jednostavne leme.

Lema 6.1. Neka je neprekidna, konveksna i strogo monotona relacija

preference definisana na prostoru . Ako su pozitivni vektori

na takvi da važi za svako i važi za bar jedno , tada

važi za svaku linearnu kombinaciju gde su pozitivni.

Dokaz. Neka je neprekidna, konveksna i strogo monotona preferenca

na prostoru . Neka su, takođe vektori na

takvi da

važi za svako i . Fiksirajmo takvo da je

.

Kako je , iz neprekidnosti relacije sledi da postoji neko

takvo da . Iz konveksnosti relacije , vidimo da

Sa druge strane, primetimo da

Odatle, iz stroge monotonosti relacije , zaključujemo da je

- 59 -

čime smo dokazali lemu. ■

Lema 6.2. U ekonomiji razmene sa neprekidnim i strogo monotonim

preferencama, ujedinjenje poboljšava raspodelu ako i

samo ako postoji skup pozitivnih vektora takav da

a)

b) važi za svako i važi za bar jedno .

Dokaz. Pretpostavimo da ujedinjenje i skup pozitivnih vektora

zadovoljava osobine (a) i (b). Možemo pretpostaviti da

je Ako je , tada je i ujedinjenje

poboljšava raspodelom . Pretpostavimo da je

. Fiksirajmo tako da važi i izaberimo neko

takvo da . Razmotrimo raspodelu definisanu sa

Tada raspodela zadovoljava

i)

ii) za svako .

Odavde sledi da ako ujedinjenje zadovoljava osobine (a) i (b), tada

poboljšava raspodelu , čime je dokaz završen. ■

Sada možemo formulisati teoremu egzistencije Edgarove ravnoteže, tj.

da postoje raspodele koje pripadaju jezgru svake kopirane ekonomije.

Teorema 6.8. (Debro–Skarf) Ako su u ekonomiji razmene preference

predstavljene preko neprekidnih, kvazi–konkavnih i strogo monotonih

funkcija korisnosti, tada postoje raspodele od koje pripadaju jezgru

svake -puta kopirane ekonomije.

Dokaz. Neka je ekonomija razmene sa neprekidnim, konveksnim i

strogo monotonim preferencama. Kao i obično, raspodela od

- 60 -

biće raspodela svake -puta kopirane ekonomije , dodeljujući paket

svakom potrošaču . Za svako , neka je

Skup ima sledeće osobine.

1) Svaki je neprazan.

Primetimo najpre da u -puta kopiranoj ekonomiji osobine potrošača

zadovoljavaju sve pretpostavke Teoreme 5.5, pa je . Neka

je raspodela jezgra za . Tada

je

za , i ,

tj. nijedan potrošač ne želi više svoj paket od nekog drugog potrošača

istog tipa. Da bismo ovo pokazali (preuređujući potrošače svakog tipa),

možemo pretpostaviti da važi za svako i . Stavimo da je

Tada je

, pa iz konveksnosti preference imamo da

je za svako . Sada pretpostavimo suprotno, da postoji neko

i neko takvi da je Lema 6.1

implicira da je . Ako svaki potrošač uzme paket , tada

na osnovu Leme 6.2 ujedinjenje poboljšava originalnu

raspodelu od , što je nemoguće. Ovim smo pokazali tačnost naše

tvrdnje.

Dalje, primetimo da je iz konveksnosti preference za svako

. Lako uviđamo da pa je dakle

neprazan.

2) Svaki je kompaktan skup.

Na osnovu Teoreme 5.5 je kompaktan skup. Odavde sledi da

je takođe kompaktan skup.

3) Za svako je .

- 61 -

Ova osobina sledi direktno iz činjenice da ako raspodela od ne može

biti poboljšana od -puta kopirane ekonomije, onda ne može biti

poboljšana ni od -puta kopirane ekonomije. Primetimo da kako je skup

svih raspodela od kompaktan skup i niz ima konačan presek,

sledi da je . Konačno, da bismo dokazali da je ,

primetimo da skup svih raspodela od koji pripadaju jezgru svake

kopirane ekonomije je baš skup . ■

Kao što smo napomenuli ranije, Valrasova ravnoteža u ekonomiji

razmene je takođe Valrasova i za svaku kopiranu ekonomiju. Posebno,

svaka Valrasova raspodela ravnoteže leži u jezgru svake kopirane

ekonomije. Obrt ovog tvrđenja takođe važi. Ovu karakteristiku Valrasove

ravnoteže su otkrili G. Debro i H. E. Skarf – koja je takođe poznata kao

Debro – Skarfova teorema ekvivalencije jezgra.

Teorema 6.9. (Debro–Skarf) Raspodela u ekonomiji razmene sa

neprekidnim, konveksnim i monotonim preferencama je Valrasova

raspodela ravnoteže ako i samo ako je ona Edgarova raspodela

ravnoteže.

Dokaz. Neka je ekonomija razmene sa neprekidnim, konveksnim i

strogo monotonim preferencama. Takođe, neka je raspodela

od koja pripada jezgru svake -puta kopirane ekonomije od . Treba

pokazati da je Valrasova ravnoteža.

Za svako , definišimo skupove

i .

Iz stroge monotonosti preference sledi da je svaki neprazan. Na

osnovu Leme 6.1 je takođe i konveksan skup. Odatle, svaki je

neprazan i konveksan. Označimo sa konveksan omotač unije ,

tj.

za svako i

Tvrdimo da ne pripada konveksnom skupu .

Da bismo ovo pokazali, pretpostavimo suprotno, da . Tada, postoji

i , takvo da je

- 62 -

i

Stavimo da je i primetimo da . Dalje, za svako

izaberimo neko takvo da i . Iz sledi da je

, ili

Ako je pozitivan, ceo broj, označimo sa najmanji ceo broj koji je bolji

ili jednako dobar od , tako da je . Kako je za svako

i , to postoji (iz neprekidnosti preference)

neko dovoljno veliko takvo da je

Iz vidimo da je

Na osnovu i Leme 6.2 raspodela može biti poboljšana

od strane -puta kopirane ekonomije od , što je kontradikcija. Dakle,

.

Na osnovu teoreme separacije (razdvajanja) za konačno-dimenzionalni

vektorski prostor, postoji neka nenula cena takva da

važi za svako . Posebno, ako , tada važi , kao i

. Na osnovu osobine (4) Teoreme 6.3 sledi da je raspodela

zaista Valrasova, čime je dokaz teoreme završen. ■

Kao direktnu posledicu ovog rezultata i Teoreme 6.8 navodimo sledeći

rezultat koji je dao H. E. Skarf.

Posledica 6.1. (Skarf) Ako su preference u ekonomiji razmene

predstavljene preko neprekidnih, kvazi–konkavnih i strogo monotonih

funkcija korisnosti, tada ta ekonomija ima Valrasovu raspodelu

ravnoteže.

- 63 -

7. Ekonomija proizvodnje

Ekonomija proučava mnoge oblasti i probleme, razvijajući teorije

ljudskog ponašanja u donošenju ključnih odluka u korišćenju ograničenih

resursa radi proizvodnje i raspodele vrednih materijalnih dobara i usluga

među ljudima.

Preduzeća predstavljaju najvažniji sektor sa aspekta savremene tržišne

privrede. Preduzeća organizuju proizvodnju, nude na tržištima određene

količine roba, nastojeći da maksimiziraju svoje dobiti. Kada odlučuju o

proizvodnji i ponudi, preduzeća nastoje da svoje proizvode prodaju po

takvim cenama kako bi pokrili cene koštanja i ostvarili određeni iznos

dobiti. Cene koštanja predstavljaju odnos ukupnih troškova proizvodnje i

prometa po jedinici proizvoda. Preduzeća se mogu smatrati složenim i

dinamičkim ekonomskim sistemom. Naime, preduzeća se uzdržavaju od

smanjivanja cena, jer to mogu uraditi i konkurenti. Uz pretpostavku da

tim tržištima upravlja savremena konkurencija, pokazuje se mogućim da

se nađe takav skup cena (po jedna cena za svaku robu) za koji se sva

tržišta nalaze u ravnoteži i ta ravnoteža je optimalna. Tržišta se regulišu

isključivo putem cena.

Proizvodnja predstavlja proces transformisanja resursa (inputa) u

proizvode (output). Može se još reći i da je proces proizvodnje deo

procesa reprodukcije u kome se izrađuju proizvodi.

Planiranje proizvodnje podrazumeva aktivnosti kojima se predviđa

buduće stanje proizvodnje, obim proizvodnje i uslovi. Planiranje se vrši

po principu maksimalne proizvodnje sa minimalnim ulaganjem.

Tehnologija podrazumeva način kombinovanja resursa, a pod

tehnološkim procesom podrazumeva se način na koji se odvija proces

proizvodnje.

U Arou-Debroovom modelu tehnološke mogućnosti firme predstavljene

su kao podskup robnog prostora koji se zove skup proizvodnje. Vektor u

ovom skupu zove se plan proizvodnje, pri čemu negativne komponente

vektora odgovaraju resursima, a pozitivne proizvodima.

- 64 -

Posmatrajmo firmu sa četiri vrste proizvoda. Plan proizvodnje

ukazuje na činjenicu da je firmi potrebna jedna jedinica

prvog proizvoda i tri jedinice trećeg proizvoda, dok je firma proizvela po

jednu jedinicu četvrtog i dve jedinice drugog proizvoda.

Skup proizvodnje je značajan pokazatelj uspešnog poslovanja.

Efikasnost podrazumeva odnos između rezultata (outputa) i ulaganja

(inputa). U matematičkom smislu plan proizvodnje , iz skupa

proizvodnje , je efikasan ako nema drugog plana tako da je

.

Glavna pretpostavka koju ćemo uzeti u vezi firme je da je visina

ostvarivanja profita maksimalna. Ukoliko su cene pozitivne, očigledno je

da je i plan efikasan.

Naime, cilj je: Sa datim ulaganjima ostvariti što boljii rezultat ili sa što

manjim ulaganjima ostvariti dati rezultat.

Efikasnost – “raditi stvari na pravi način”.

Podrazumeva se i pretpostavka da je skup proizvodnje jedne firme

konveksan skup, čime se izražava konstantan prinos. Pretpostavlja se i

postojanje mogućnosti da svaki plan mora koristiti najmanje jedan uvoz i

da se firma može ugasiti bez troškova.

Tehnologija kao suma ukupnog znanja i veličine određenog društva u

određenom vremenskom periodu, omogućava da lako izgradimo sve

naše željene pretpostavke, da za vektor proizvodnje sa strogo pozitivnim

cenama nije moguće ostvariti maksimalan profit. Na primer, ako je

proizvodnja definisana na prostoru i tehnologija predstavljena

skupom i , tada ne postoji maksimalan profit

proizvodnje za dati plan proizvodnje po ceni .

Pod funkcijom snadbevanja podrazumeva se zapravo preciziranje koliko

će svake vrste robe firma da proizvede, a koliko će svake vrste robe da

uveze po ceni , pri čemu se govori o strogo pozitivnim cenama. Dakle,

skup proizvodnje je odozgo ograničen skup.

Definicija 7.1. Neprazan podskup definisan na konačno-

dimenzionalnom prostoru je skup proizvodnje ako je

- 65 -

1. Zatvoren;

2. Konveksan;

3.

4. Ograničen odozgo, tj. ako postoji neko takvo da je za

svako .

Na Slici 7.1 su prikazani neki primeri skupova proizvodnje.

Slika 7.1

Definicija 7.2. Ukoliko je skup prozvodnje i strogo pozitivna

cena, tada je funkcija profita sa cenama funkcija definisana

sa

, .

Proizvodnja je neprekidna funkcija, pa je i funkcija profita takodje

neprekidna. Cilj je ostvarivanje maksimalnog profita, pa samim tim

važiće da svaka funkcija profita dostiže svoju maksimalnu vrednost.

Teorema 7.1. Ako je skup proizvodnje i strogo pozitivna cena, tada

postoji bar jedan plan proizvodnje za koji funkcija profita dostiže

maksimum, tj. postoji neko takvo da je , za svako

.

Dokaz. Neka je skup proizvodnje i strogo pozitivna cena. Kako važi

da 0 , vidimo da je

.

Označimo sa . Geometrijska reprezentacija skupa

je prikazana na Slici 7.2.

- 66 -

Slika 7.2

Pokazaćemo da je skup kompaktan. Jasno, skup je zatvoren, pa

ostaje samo da se pokaže da je ograničen. Kako je ograničen odozgo

i , treba pokazati da su negativne komponente planova

proizvodnje iz ograničene odozdo.

Označimo sa i neka je takvo da je

. Neka je

i .

Sada, ako je , tada imamo

,

,

kao i

, za svako . Dakle, zatvoren skup

je ograničen odozdo, pa je samim tim kompaktan

skup. Odavde sledi da postoji plan proizvodnje koji maksimizira funkciju

profita.■

Posmatrajmo skup prozvodnje i neka je strogo pozitivna cena.

Ukoliko je , tada će važiti

- 67 -

.

Ovo ukazuje da nijedan plan proizvodnje , koji se nalazi u unutrašnjosti

skupa ne može maksimizirati funkciju profita. Dakle, planovi

proizvodnje za koji će se ostvariti maksimalan prihod (tj. funkcija profita

će dostići maksimalnu vrednost) leže na granici skupa . Preciznije,

planovi proizvodnje koji maksimiziraju funkciju profita leže na veoma

posebnom delu granice skupa poznatog pod nazivom efikasnost

granice skupa proizvodnje . Podsetimo se da je skup skup svih

vektora koji su bolji ili jednako dobri kao .

Definicija 7.3. Ako je skup prozvodnje, tada je efikasnost granice

za skup

.

Plan koji maksimizira profit leži na . Primetimo da je uvek

neprazan, jer . Može se desiti da je , na primer

. Na Slici 7.3 je prikazana geometrijska reprezentacija

granice efikasnosti za dva skupa proizvodnje.

Slika 7.3

Posmatrajmo skup proizvodnje i neka je . Na osnovu Teoreme

7.1 znamo da funkcija profita dostiže maksimum na . Kao

što smo napomenuli ranije, maksimum profita mora pripadati skupu

- 68 -

. Nameće se pitanje: Kada će funkcija profita imati jedinstven

maksimum? Da bismo dobili odgovor na ovo pitanje, posmatrajmo skup

.

On je neprazan i konveksan. Ovo ukazuje na činjenicu da kada je

strogo konveksan, onda postoji jedinstven plan proizvodnje iz

koji će maksimizirati funkciju profita.

Za konveksan podskup konačno-dimenzionalnog vektorskog prostora

kaže se da je strogo konveksan kada za svako takvi da je

i za svako 0 važi da je u unutrašnjosti

skupa . Odatle, kada je skup strogo konveksan, svaka funkcija profita

ima tačno jedan plan proizvodnje koji je maksimizira i nalazi se u

. Dakle, skup proizvodnje ovakve prirode treba smatrati strogo

konveksnim.

Definicija 7.4. Skup proizvodnje je strogo konveksan kad god ne

sadrži delove linije granice.

Posmatrajmo skup proizvodnje čija je granica efikasnosti predstavljena

krivom koja je zapravo strogo konveksna funkcija na , takva da je

.

Podsetimo da je strogo konveksna ako za svako tako da je

i svako 0 imamo da je

.

Gornja nejednakost ukazuje na činjenicu da ako , tada

, za svako 0 , odakle sledi da ne

sadrži elemente linije.

Teorema 7.2. Ako je strogo konveksan skup, onda svaka funkcija

profita ima jedinstven plan u koji je maksimizira tj. za svako

postoji jedinstveno takvo da je za svako .

Posmatrajmo strogo konveksan skup proizvodnje . Tada, za svako

, postoji tačno jedan plan proizvodnje u koji maksimizira

funkciju profita . Drugim rečima, svaki strogo konveksan

skup proizvodnje definiše funkciju

- 69 -

: ,

poznatiju kao funkciju snadbevanja koja odgovara skupu proizvodnje .

Teorema 7.3. Funkcija snadbevanja odgovara strogo konveksnom

skupu proizvodnje ako je

1) Homogena nultog stepena;

2) Ograničena odozgo;

3) Neprekidna.

Dokaz. Neka je strogo konveksan skup i neka je :

funkcija snadbevanja za .

(1) Primetimo da element maksimizira funkciju ,

, ako i samo ako maksimizira funkciju

, za svako . Odavde sledi da je

za svako .

(2) Ako je za svako , tada je očigledno za

svako .

(3) Fiksirajmo neko takvo da je za svako . Najpre

ćemo pokazati ograničenost funkicje snadbevanja na

zatvorenju skupa . Označimo sa zatvorenje, pri čemu

je =( . Stavimo da je i

neka je . Očigledno je . Sada, ako postoji

koordinata ) vektora takva da je ) , onda je

Dakle, važi

za svako , pa je

ograničen na . Ovaj zaključak zajedno sa Teoremom

zatvorenog grafika kaže da je funkcija snadbevanja

neprekidna ako i samo ako ima zatvoren grafik. Da bismo pokazali

da ima zatvoren grafik, neka na i ) na

. Kako je zatvoren skup, vidimo da . Sa druge strane,

- 70 -

ako je proizvoljan element, tada iz nejednakosti

) sledi . Kako je proizvoljan, iz

poslednje nejednakosti sledi da maksimizira profit na po ceni

. Odatle je, iz jedinstvenosti maksimuma profita, . Dakle,

ima zatvoren grafik čime smo dokazali teoremu.■

Teorema 7.4. Neka je funkcija snadbevanja

koja odgovara strogo konveksnom skupu proizvodnje i neka je niz

strogo pozitivnih cena koji zadovoljava

.

Ako je za neko , tada je niz realnih brojeva odnosno

ta koordinata niza ograničen.

Dokaz. Pretpostavimo da funkcija snadbevanja i niz strogo

pozitivnih cena zadovoljavaju uslove teoreme. Izaberimo neko

takvo da je za svako . Tada je za svako i niz

je ograničen odozgo.

Da bismo pokazali da je niz ograničen odozdo, fiksirajmo neko

i neko tako da važi i za svako . Za

je

,

kao i

za svako , što je i trebalo pokazati.■

Sada ćemo uvesti pojam neoklasičnog privatnog vlasništva u ekonomiji

proizvodnje.

Definicija 7.5. Neoklasična ekonomija proizvodnje privatnog vlasništva

je četvorka

pri cemu:

- 71 -

1. predstavlja prostor robe, tj. pri čemu se posmatra različitih

artikala.

2. Ima potrošača, indeksirani sa , tako da svako od njih ima

početno ulaganje i preferencu . Pretpostavlja se da je ceo

doprinos strogo pozitivan, tj. .

3. Ima proizvođača indeksiranih sa tako da -ti proizvođač ima

optimalan obim proizvodnje.

4. Pod ekonomijom se u ovom smislu podrazumeva ekonomija

privatnog vlasništva. To znači da potrošači poseduju firme. Realan

broj označava da -ti potrošač deli profit sa -tim proizvođačem.

Pretpostavlja se da važi za svako i svako i

za svako .

Interesantno je primetiti da se svaka neoklasična ekonomija

razmene može posmatrati kao neoklasična ekonomija proizvodnje

privatnog vlasništva sa neograničeno mnogo proizvođača i sa

strogo konveksnim skupovima proizvodnje ili .

Funkciju snadbevanja -tog proizvođača neoklasične ekonomije

proizvodnje privatnog vlasništva ćemo označiti sa . Iz

Definicije 7.4 pod (4), vidimo da je prihod -tog potrošača po ceni

određen formulom

.

Kako je , sledi da je za svako . Dakle,

prihod potrošača je funkcija .

Teorema 7.5. Funkcija prihoda svakog potrošača

definisana sa

je neprekidna.

Dokaz. Direktno sledi iz činjenice da je funkcija snadbevanja

neprekidna (Teorema 7.3) kao i iz neprekidnosti tačaka

proizvoda.■

- 72 -

Budžet -tog potrošača biće zatvoren, konveksan skup:

.

Kako svaki potrošač deli deo zarade sa proizvođačem, svaki

potrošački skup budžeta je ‘’veći’’ od skupa ;

videti Sliku 7.4.

Slika 7.4

Ako je , budžetski skup je ograničen. Da bismo ovo pokazali,

fiksirajmo i , i primetimo da je za svako i svako

,

odakle sledi da je ograničen skup. Stoga, je

(neprazan) konveksan i kompaktan podskup od . Na osnovu

Teoreme 3.2, za svako skup ima tačno jedan

maksimalan element za . Taj maksimalan element se naziva

potražnja potrošača po ceni i označava se sa ( ). Kao u

slučaju razmene, može se lako pokazati da ( ) leži na granici

budžeta, tj. da zadovoljava ( ) ; videti Sliku 7.4.

- 73 -

Dakle, svaki potrošač ima funkciju potražnje : .

Važno je primetiti da se funkcije potražnje ekonomije proizvodnje

ponašaju isto kao u slučaju razmene. Njihove osobine opisane su

u narednoj teoremi.

Teorema 7.6. Ako je ( )

funkcija potražnje

-tog potrošača u neoklasičnoj ekonomiji proizvodnje privatnog

vlasništva, tada je:

1) ( ) homogena nultog stepena;

2) ( ) neprekidna;

3) , i implicira da

je niz realnih brojeva ograničen.

Dokaz. Neka je ( )

funkcija potražnje -tog

potrošača u neoklasičnoj ekonomiji proizvodnje privatnog

vlasništva.

(1) Homogenost nultog stepena funkcije ( ) sledi direktno iz

jednakosti .

(2) Primetimo najpre da je ograničen na zatvorenju skupa

. Prema tome, na osnovu Leme 3.1 imamo da je

neprekidna ako i samo ako : ima zatvoren

grafik.

Da bismo pokazali da ima zatvoren grafik, pretpostavimo

da na i na . Iz

i neprekidnosti funkcija prihoda i tačaka proizvoda je

kao i . Dakle, kako bismo pokazali da

je , dovoljno je pokazati da je maksimalan element

za na .

Neka je . Treba pokazati da je . Iz ,

sledi da važi , kao i (kako je ), za

svako imamo da je . Iz neprekidnosti

funkcija prihoda i tačaka proizvoda, vidimo da postoji neko

takvo da za svako . Odatle,

važi za svako kao i

, za svako . Kada pustimo

- 74 -

da i kako je neprekidna, zaključujemo da je ,

što je i trebalo pokazati.

(3) Fiksirajmo i tako da važi i

za svako . Sada primetimo da

važi za svako , odakle sledi sto smo želeli da dokažemo.■

Sledeća teorema opisuje važnu osobinu ograničenosti funkcija

potražnje i snadbevanja.

Teorema 7.7. Posmatrajmo neoklasicnu ekonomiju proizvodnje

privatnog vlasništva i neka je niz strogo pozitivnih cena za koji važi

{ }. Tada postoji barem jedno takvo da

1) važi za nekog potrošača ;

2) važi za nekog proizvođača .

Dokaz. Pretpostavimo da je takvo da

{0}.

Pretpostavimo suprotno, da su nizovi i ograničeni za

svako i svako . Možemo pretpostaviti, bez

gubljenja opštosti, da

i ,

važi za svako i svako .

Iz , vidimo da

- 75 -

važi za svako . Kako je i , postoji neko

takvo da je . Stavimo sada i

primetimo da . ( Ovo sledi iz činjenice da

implicira ).

Posmatrajmo skup

.

Očigledno je . Kako važi da je , to nema maksimalan

element u .

Da bismo došli do kontradikcije, treba pokazati da je maksimalan

element na u odnosu na . Neka je , tj. . Iz ,

vidimo da je ) za svako . Iz neprekidnosti tačaka

proizvoda, vidimo da postoji takvo da je

)

za svako . Odatle, za svako , kao i

za svako . Iz neprekidnosti relacije , sledi da

za svako . Kada pustimo da i kako je

neprekidna, tada je za svako , što je kontradikcija.■

Možemo definisati funkciju viška potražnje za neoklasičnu ekonomiju

proizvodnje privatnog vlasništva.

Definicija 7.6. Ako je neoklasična ekonomija proizvodnje privatnog

vlasništva, tada je funkcija viška potražnje definisana sa

.

U narednoj teoremi navešćemo osnovne osobine funkcije viška

potražnje.

Teorema 7.8. Funkcija viška potražnje neoklasične ekonomije

proizvodnje privatnog vlasništva zadovoljava sledeće osobine.

1) je homogena nultog stepena, tj. važi za svako

i svako ;

2) je ograničena odozdo;

3) je neprekidna;

- 76 -

4) zadovoljava Valrasov zakon, tj. za svako ;

5) Ako niz strogo pozitivnih cena zadovoljava

i važi za neko , tada je niz te komponente niza

ograničen.

6) Ako vazi za svako i {0}, tada

.

Dokaz. (1) Dokaz direktno sledi iz teorema 7.3 i 7.6.

(2) Ova osobina direktno sledi iz činjenice da ako je bilo koji skup

proizvodnje ograničen odozgo, onda je ograničen odozdo.

(3) Neprekidnost funkcije viška potražnje sledi direktno iz teorema 7.3. i

7.6.

(4) Za svako , imamo

(5) Ova osobina je posledica teorema 7.4. i 7.6.

(6) Kako je svaka funkcija ograničena odozdo, ova osobina

direktno sledi iz Teoreme 7.7.■

Pojam cena ravnoteže je sada definisan kao u slučaju razmene.

Kažemo da je strogo pozitivna cena cena ravnoteže za neoklasičnu

- 77 -

ekonomiju proizvodnje privatnog vlasništva ako višak potražnje iščezava

po ceni , tj. ako

Po ceni ravnoteže jednakost izražava činjenicu da je ponuda

jednaka potražnji. Arou Debroova teorema daje dovoljne uslove u

ekonomiji proizvodnje da ima bar jednu cenu ravnoteže.

Teorema 7.9. (Arou Debro) Svaka neoklasična ekonomija proizvodnje

privatnog vlasništva ima cenu ravnoteže.

Dokaz. Na osnovu Teoreme 7.8 znamo da funkcija potražnje

neoklasične ekonomije proizvodnje privatnog vlasništva zadovoljava sve

pretpostavke Teoreme 4.3. Dakle, postoji neko tako da važi

.■

.

- 78 -

Literatura

1. C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Locally solid Riesz spaces

with applications, American Mathematical Society, Providence

Rl, 2003.

2. C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw,Positive operators, Springer,

Dordrecht, 2006.

3. C. D. Aliprantis, D. J. Brown, O. Bukinshaw, Existence and

optimality of competitive equlibria, Springer, Berlin, 1990.

4. C. D. Aliprantis, K. C. Border, W. A. J. Luxemburg, eds.,

Positive operators, Riesz spaces and economics, Springer,

Berlin, 1991 ( Proceedings of a Conference at Caltech,

Pasadena, California, April 16-20, 1990).

- 79 -

Biografija

Koceva Snežana, rođena u Nišu 21.12.1989. godine. Osnovnu

školu „Njegoš” završila je 2005. godine, sa odličnim uspehom.

Iste godine upisuje Gimnaziju „9.Maj” u Nišu, opšti smer, koju

završava 2009. godine sa odličnim uspehom. Odmah upisuje

Prirodno matematički fakultet u Nišu, na odseku za matematiku

i osnovne akademske studije završava 2013. godine sa

prosekom 7.04. Iste godine upisuje master akademske studije,

smer Primenjena matematika, modul u finansijama.