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Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 7º AnoEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau;
resolução de situações-problema
Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.
1. Introdução
Expressões algébricas
A resolução de vários problemas matemáticos faz uso de uma ferramenta muito poderosa
ÁLGEBRA
Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.
Imagem: Kwtleonard / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
• É o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas.
ÁLGEBRA
Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.
As expressões matemáticas formadas por letras e números são denominadas
ÁLGEBRA
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.
Imagem: Kwtleonard / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
Consideremos um número racional qualquer, que denominamos x.
ÁLGEBRA
Vejamos como escrever algumas expressões com o número x.
O dobro desse número 2 · x ou 2xO terço desse número 1/3 · x ou x/3
O quadrado desse número menos 5 x² - 5O triplo desse número mais o próprio número 3 · x + x ou 3x + x
A terça parte desse número mais o próprio número 1/3 · x + x ou x/3 + x
Diferença entre esse número e
Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.
Podemos representar muitas situações do dia a dia com expressões algébricas. Acompanhe alguns exemplos.
APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA EM SITUAÇÕES REAIS
Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.
Uma blusa custa x reais e um short custa y reais. Qual é o valor total desses dois produtos?
Exemplo 1
Preço da blusa: x reaisPreço do short: y reais
Valor total: (x + y) reais
Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução de situações-problema.
Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o preço da bandeja com 30 ovos?
Exemplo 2
Preço da dúzia de ovos: x reaisQuantidade de dúzia de ovos em uma bandeja dúzias.
Preço da bandeja: x reais
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O comprimento de um terreno retangular é 50 metros maior que a largura. Qual a área desse terreno? E qual é o perímetro?
Exemplo 3
X + 50XTerreno
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Exemplo 3
X + 50
XTerreno
Largura: x
Área do terreno: x·(x +50)Comprimento: x + 50
Perímetro do terreno: x+(x+50)+x+(x+50)
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Podemos substituir as letras por alguns números racionais.
Valor numérico de uma expressão algébrica
Quando calculamos a expressão para determinado número, o resultado é:
Valor numérico
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Vamos acompanhar cada exemplo para uma melhor aprendizagem!
Utilizaremos os exemplos anteriores
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Uma blusa custa x reais e um short custa y reais. Qual é o valor total desses dois produtos
Exemplo 1
Se o preço da blusa for 10,00 reais?Se o preço do short for 17,00 reais?
(x + y) = ?
(10,00 + 17,00) = 27,00
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Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o preço da bandeja com 30 ovos?
Exemplo 2
Preço da dúzia de ovos: 3,00 reaisQuantidade de dúzia de ovos em uma bandeja: dúzias.
7,5 reais
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O comprimento de um terreno retangular é 50 metros maior que a largura. Qual a área desse terreno? E qual é o perímetro?
Exemplo 3
X + 50
XTerreno
Admitindo que x = 40 metros.
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Exemplo 3
X + 50
XTerreno
Largura: x = 40 metros
Área do terreno: x·(x +50)Comprimento: x + 50
40·(40 +50)=1600+2000 = 3600m²
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Exemplo 3
X + 50
XTerreno
Largura: x = 40 metrosComprimento: x + 50
Perímetro do terreno: x+(x+50)+x+(x+50)
40+(40+50)+40+(40+50) = 260 m
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EQUAÇÃO
Uma sentença matemática com sinal de igualdade que apresenta, pelo menos, uma letra representando um número desconhecido chama-se
Equação
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Exemplos de equaçãoObserve estas sentenças:
2x = 4
a² = 4
3x – 5y = 7 m/2 + n = 3
4 + m = 5
3x – 2x = 5
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Não são exemplo de equaçãoObserve estas sentenças:
2x > 4
a² < 4
3x – 5y < 7
5 + 3 = 8
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Cada letra de uma equação representa um termo desconhecido da equação. Ela é denominada
Incógnita
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Exemplos de incógnitaObserve estas sentenças:
2x = 4
a² = 4
3x – 5y = 7 A incógnita é x
A incógnita é a
As incógnitas são x e y
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Raiz ou solução de uma equação
A incógnita de uma equação pode assumir diversos valores, mas apenas para alguns desses valores a sentença será verdadeira.
Raiz ou solução de uma equação é um número que, ao substituir a incógnita, torna a
sentença verdadeira.
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Exemplo 1
Vamos verificar se o número – 1 é raiz da equação 8x + 3 = - 5.
8x + 3 = - 5 Substituímos x por (-1)
8 · (-1) + 3 = - 5 -8 + 3 = - 5 - 5 = - 5
PORTANTO, - 1 é RAIZ (ou solução) da equação 8x + 3 = - 5.
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Exemplo 2
Qual é o valor de n na equação n + 10 = 25,para ela ser verdadeira?
n + 10 = 25
n = 25 - 10 n = 15
PORTANTO, 15 é RAIZ (ou solução) da equação n+ 10 = 25.
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Exemplo 3
Qual é o valor de a na equação a/3 = 45, para ela ser verdadeira?
a/3 = 45
a = 3 · 45 a = 135
PORTANTO, 135 é RAIZ (ou solução) da equação a/3 = 45.
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Elas possuem 2 membros, o 1º está à esquerda da igualdade, e o 2º está à direita.
É uma sentença aberta, ou seja, uma sentença que apresenta letras, expressa por uma igualdade envolvendo expressões matemáticas.
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
No caso, estamos tratando de equação de 1º grau, por isso o expoente da variável é sempre dado por 1.
Ex: x + 5 = 11 1º MEMBRO 2º MEMBRO
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RESOLUÇÕES DE EQUAÇÃO DO 1º GRAUEx 1: Um aluno do 7º Ano da escola Dr. Adilson Bezerra de Souza, em Santa Cruz do Capibaribe-PE, alugou o filme sobre a vida de Luiz Gonzaga, com o preço dado pela expressão 6x – 9 = 9. Qual o preço do aluguel do filme? 6x – 9 = 9 6x = 18 x=18:6 x = 3 V {3}
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RESOLUÇÕES DE EQUAÇÃO DO 1º GRAUEx2.• Sendo U = Q , resolva a equação -3x = 5
4 6MMC(4,6)=12
-9x = 1012 12 -9x=10 => Multiplicado por (-1)
9x=10 x =-10 9Como -10/9 ϵ Q , então V= {-10/9}.
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RESOLUÇÕES DE EQUAÇÃO DO 1º GRAUEx3.• Sendo U=Q, resolva a equação 2 . (x – 2) – 3 . (1 - x) = 2 . (x – 4). Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.
2x – 4 – 3 + 3x = 2x – 8 2x + 3x -2x = – 8 + 4 + 3 3x = -1
X= -1 3
Como -1/3 ϵ Q , então V= {-1}. 3
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Situações-problemaExemplo 1. Somando as idades de Ana e de Beatriz, obtemos 15 anos. Calcule as duas idades, sabendo que o dobro da idade de Ana é igual ao quádruplo da idade de Beatriz.ResoluçãoAna: xBeatriz: 15 – xEquação:2x = 4(15 – x)2x = 60 – 4x2x + 4x = 606x = 60x = 60/6x = 10 Beatriz: 15 – 10 = 5
Ana tem 10 anosBeatriz tem 5 anos
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Situações-problemaExemplo 2. Dois pacotes juntos pesam 30 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 8 kg a mais que o menor?Pacote menor: xPacote maior: x + 8Equaçãox + (x + 8) = 30 Pacote maior: 11 + 8 = 19 kg2x + 8 = 30 Pacote menor: 11 kg2x = 30 – 82x = 22x= 22/2x = 11 Pacote maior = 19 kg
Pacote menor = 11 kg
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Situações-problemaExemplo 3. Uma estante custa quatro vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 120,00?Preço da cadeira: xPreço da estante: 4xEquaçãox + 4x = 1205x = 120x = 120/5x = 24 4x=96 O preço da estante é R$ 96,00
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Situações-problemaExemplo 4. Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros. Qual é o valor de cada prestação?R$ 250 – R$ 30 = R$ 220Equação30 + 4x = 2504x = 250 – 304x = 220x = 220/4x = 55
O valor de cada prestação é R$ 55,00.
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Situações-problemaExemplo 5. Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?Um número: xDobro: 2xQuádruplo: 4xEquaçãox + 2x + 4x = 847x = 84x = 84/7x = 12 O número é igual a 12.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Projeto Araribá: matemática: ensino fundamental/ Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editora execultiva Juliane Matsubara Barroso. – 3ª ed. – São Paulo: Moderna, 2010. p. 132 – 134; 139 – 140 e 146 – 150.
<http://2.bp.blogspot.com/_g3yPegi7UUM/TKEfilJkxBI/AAAAAAAAApQ/OrvSplaQwcM/s1600/menino+estudando+gif.png>. Acesso em 25 jun. 2012, 22:10:12.
<http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcS9WtqRcUKyNJKjcSdJEVEOf504enM0DQkYjry-9-6pCU-XNyWC>. Acesso em 26 jun. 2012, 22:07:29.
<http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-equacao-1-o-grau-com-uma-incognita.htm>. Acesso em 27 jun. 2012, 01:07:47.
<http://www.alunosonline.com.br/matematica/problemas-envolvendo-equacoes.html>. Acesso em 14 jul. 2012, 12:58:12.
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n° do slide
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18/09/2012