Matematiikan johdantokurssi

Martti Pesonen, Pekka Smolander, . . .

7. syyskuuta 2017

1

Mitä matematiikka on?

Matematiikanmääritteleminenlienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Mate-maatikot sanovatkin usein leikillisesti, että matematiikka on sitä mitä matemaa-tikot tekevät! Matemaatikkojen työ taas sisältää arvailuaja asioiden yhdistelyä,laskemista ja kokeilua, pähkäilyä ja eksaktia päättelyä, sekä runsaasti uuden opis-kelua.

Opintojen myötä tuon hämärän kuvan pitäisi tarkentua, kun eri kursseilla harjoi-tellaan matemaattisten käsitteiden ja prosessien verkoston rakentamista.

Millaista matematiikka on?

eksaktia: tarkkaa ja täsmällistä, väitteet perustuvat loogiseen päättelyyn, ei uskot-teluun tai arvailuun. ’Eksakti’ ei kuitenkaan tarkoita mitään absoluuttista totuutta,vain sitä, että johdetut tulokset ovat totta lähtien joistain sovituista totuuksista,aksioomista.

abstraktia: matematiikka sisältää paljon käsitteitä, joille ei ole ’todellisuuspoh-jaa’, siis vastinetta elämässä tai luonnossa. Matematiikkaa ei siis aina käytetä jon-kin havaintotodellisuuteen kuuluvan ilmiön kuvaamiseen tai selittämiseen.

formaalia: käsitellään merkkejä, symboleja, joilla pitää olla sovittu merkitys.Matematiikka on muodollista kieltä, jossa on tarkat säännöt, esimerkkinä vaik-kapa laskusääntö(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, joka sekin pitää paikkansa vaintietyillä sovituilla olettamuksilla. Seuraava sääntö on totta väljemmillä ehdoilla:(a + b)2 = a2 + ab+ ba + b2. Edellisessä tarvitaan oletuksena vaihdannaisuus jaosittelulaki, jälkimmäisessä vain osittelulaki.

ikinuorta : matemaattinen tietous ei vanhene: esimerkkinä Pythagoraan lause, vrt.50-luvun elektroniikka.

Matematiikka on edelleen intensiivisen tutkimuksen kohde, se on vahvasti haarau-tunut ja erikoistunut. Esimerkiksi jo viime vuosikymmenellä julkaistiin vuosittainyli 80 000 matemaattista artikkelia tai kirjaa (”that can generally be classified asresearch in the mathematical sciences”).

Onko matematiikka tieteiden kuningatar vai tieteiden palvelijatar? (saksaksi dieMathematik)

3

Matematiikan osa-alueita

Muinoin pythagoralaiset jakoivat matematiikan Kuvion 1 mukaisesti.

matematiikka

diskreetti jatkuva

absoluuttinen suhteellinen staattinen dynaaminen

aritmetiikka musiikki geometria tähtitiede

Kuva 1: Pythagoralainen matematiikan jaotus

Perinteisesti ymmärretään, että matematiikka on oppi luvusta (aritmetiikka ja al-gebra) ja tilasta (geometria). Nykyisin matematiikka jaetaan yli 60 eri haaraan,hienommassa jaottelussa noin 5000 osa-alueeseen.

Algebralle ominaista ovat laskutoimitukset ja niitä koskevat säännöt, samoinli-neaarialgebralle.Analyysi on yleisnimitys matematiikalle, joka pohjautuu raja-arvon käsitteeseen,se sisältää mm. differentiaali- ja integraalilaskennan. ’Calculus’ on analyysin al-keismuoto, jossa todistaminen ja perusteleminen on esillävaatimattomammin; lu-kiomatematiikka on luonteeltaan lähellä calculusta.Geometriaon enemmän tai vähemmän abstraktien olioiden ’piste’ ja ’suora’ tar-kastelua. Nykyään tunnetaan monia erilaisia sovelluskelpoisiakin geometrioita.Logiikka yksinkertaisimmillaan on keino mekanisoida totuuksien käsittelyä japerustelemista. Tutkimusalana logiikka on pedanttista javaativaa.Joukko-oppi pohjautuu matemaattiseen logiikkaan ja yleensä jo ns.naiivi joukko-oppi riittää mm. analyysin tarpeisiin. Tutkimusalana joukko-oppi on kaikkeamuuta kuin yksinkertaista, se on lähellä filosofiaa.Topologia on joukon lokaalin rakenteen ja jatkuvan tutkimista; keskeisiä ovatominaisuudet, jotka eivät muutu jatkuvissa muunnoksissa.Sovelletun matematiikan osa-alueetpohjautuvat pitkälti perinteisen matematii-kan haaroihin, mutta painottuvat enemmän matematiikan soveltamiseen ja algorit-mien kehittämiseen. Vaikka menetelmät ovat usein approksimatiivisia, niiden onoltava perusteltavissa eksaktein menetelmin, joista käyvät selville mm. virhearviotja pätevyysehdot.

Matematiikan osa-alueiden rajat eivät suinkaan aina ole tarkkoja, on mm. sen kal-taisia tutkimusaloja kuin algebrallinen topologia ja analyyttinen geometria.

4

Matematiikan johdantokurssista

Sana ”kurssi” voi tarkoittaaopintojaksoa, josta saadaan suoritus opintopisteinä,tai siihen liittyvääopetustapahtumaa, joka on fyysinen toimenpide opintojaksonsuorittamista varten. Tämä jaotus tulee Oodi-järjestelmästä. Opintojakson voi suo-rittaa osallistumalla opetustapahtumaan (arkikielessä siis tämä ”kurssi”) kertaus-kuulusteluineen tai suorittaa erikseen järjestettävälläloppukuulustelulla, joita onnk. yleisinä ainekohtaisina tenttipäivinä.

Matematiikan johdantokurssin merkityksestä

Opintojakson nimi Matematiikan johdantokurssi viittaa siihen, että siinä käsitel-lään matematiikan perusasioita, joita tarvitaan pääasiassa muiden matematiikankurssien pohjatietoina. Se antaa melko kattavan valikoiman käsitteistöä ja perus-työkaluja, joita käytetään hyvin monilla matematiikan osa-alueilla. Johdantokurs-sissa lähtökohtana ovat logiikka ja joukko-oppi, joista lähtien lisätään rakennettakohti systeemiä, josta muilla kursseilla voidaan alkaa käsitellä mm. algebrallisiarakenteita ja differentiaalilaskentaa.

Matematiikan johdantokurssi ei siis ole lukion peruskurssien jatkoa, vaan siinäpyritään luomaan perustaa, jonka pohjalta mm. lukiossa varsin pinnallisesti ja yk-sipuolisesti – yleensä myös perustelematta – opetetut asiat voidaan perustella,to-distaa.

Matematiikan johdantokurssin sisällöstä

Logiikkaa käytämme perustellessamme väitteitä, usein jopa tätä tiedostamatta.Arkielämässä perusteluksi käy monesti päättely, jonka osaset, premissit, ovat tottariittävällä todennäköisyydellä tai sovitaan tosiksi.

Kun lapsi sanoo: ”Mutta kaikilla muilla jo on!”

olisi vanhemman yleensä helppo napauttaa: ”Selvitetäänpäonko asia ihan niin.”

Eri asia tietysti on, unohtuuko vaatimus yhden tai edes useamman vastaesimerkinavulla, eli löytämällä kaveripiiristä henkilö(i)tä, joilla sitä turhaketta ei ole (eikäehkä tulekaan olemaan).

Erityisesti matematiikassa on tarvetodistaalauseiden muotoon puettuja väitteitä,jotta voidaan rakentaa yhä rikkaampia teorioita. Silloin on lähdettävä koko popu-laation yhteisesti sopimista perusolettamuksista, joista kuka tahansa voi – aina-kin periaatteessa – johtaa samat totuudet. Logiikka ja joukko-oppi tarjoavat hyvinmoneen tilanteeseen sopivan kielen.

5

Miten suhtautua henkilöön, joka sanoo hänellä olevan kolmemiljoonaa posti-merkkiä? Määrä on suuri, ja voi hyvinkin olla, että hänellä on esimerkiksi täydel-linen kokoelma suomalaisia merkkejä. Toisaalta hänellä voisi olla vaikkapa vainkahdenlaisia merkkejä, eikä tämä enää tee vastaavaa vaikutusta. Kun puhutaan ko-koelmasta, tarkoitetaan yleensäerilaistenmerkkien määrää. Matematiikassa pu-hutaan silloinjoukostaja sen alkiomäärästä. Jos yhdistetään kaksi postimerkki-kokoelmaa, ei kokoelman laajuus tavallisesti ole kokoelmien laajuuksien summa,vaan merkkijoukkojenyhdisteenalkiomäärä.

Kun henkilö maksaa laskun pankkitililtään, hän varmasti uskoo systeemien toi-mivan niin, että maksu menee juuri oikeaan osoitteeseen, eikä esimerkiksi mo-ninkertaisesti useille eri tileille. Sähköpostilista mahdollistaa viestin lähettämisenusealle vastaanottajalle ja samaa listaa voi käyttää hyvinkin moni lähettäjä. Nämäovat esimerkkejärelaatioista.

Tässä kurssimateriaalissa tutustutaan logiikan ja joukko-opin tarjoaman mate-maattisen kielen avulla erilaisiin relaatioihin kuten ekvivalenssi, järjestys ja funk-tio, sekä lukujoukkoihin ja niihin liittyviin funktioihin.Vaikka monet käsiteltävistä asioista ovat tuttuja jo ”koulumatematiikasta”, voiopiskelu- ja tarkastelunäkökulman abstraktius ja formaalisuus aluksi hämmen-tää. Toisaalta aiheiden käsittelyn perusteellisuuden vuoksi itse käsitteellinen si-sältö voi tuntua varsin suppealta. Tätä on kuitenkin vaikeavälttää, koska kurssinpäätarkoitus on orientoida ”korkeampaan matematiikkaan”, siis antaa vankka teo-reettinen ja käytännöllinen pohja mm. aksiomatiikkalähtöisiä matematiikan haa-roja käsitteleviä kursseja varten (algebra, lineaarialgebra, todennäköisyyslaskenta,topologia).Matematiikan muilla peruskursseilla ja analyysin kursseilla perehdytään tarkem-min mm. yhden ja useamman muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraali-laskentaan.

Luentomoniste on koottu pääasiassa laitoksella vuosien mittaan pidettyjen perus-kurssien luento- ja harjoitusmateriaaleista. Moniste kannattaa tulostaa paperillekurssilla annettavien ohjeiden mukaan, vaikka se pdf-muodossakin on saatavilla.Muu oppiaines julkaistaan pääasiassa sähköisessä muodossa ja se sisältää harjoi-tuksia ja visualisointeja sekä vuorovaikutteisia opiskelumoduleja.

Käytämme kurssilla melko standardeja merkintöjä; kuitenkin yhdistelmä:= tar-koittaa määrittelyä, ja osajoukolle käytetään (relaatioiden≤ ja < kanssa analogi-sesti ja loogisesti) merkintää⊆, ei⊂, jonka tulisi olla aidon osajoukon merkintä.

Joensuussa 7. syyskuuta 2017

6 SISÄLTÖ

Sisältö

1 Lauselogiikkaa 10

1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Tautologia ja looginen ekvivalenssi . . . . . . . . . . . . . . . .. 14

1.3 Looginen päättely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 ∗Sumeasta logiikasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Joukko-oppia 20

2.1 Joukko ja alkio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Joukkojen merkitseminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Joukko-opin käsitteitä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Joukko-opin kaavoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Joukko-opin väitteiden todistaminen . . . . . . . . . . . . . . .. 27

2.6 Yleisempää joukko-oppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Joukkojen alkiomääristä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 Joukko-opin ongelmista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.9 ∗Sumeasta joukko-opista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Lausefunktiot 38

3.1 Avoin lause ja kvanttorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Lausefunktion negaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Relaatiot 42

4.1 Tulojoukko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Relaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat . . . . . . . . . . . . .. 45

4.4 Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen . . . . . .. . . . . 47

4.5 Funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6 Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

4.7 Ekvivalenssirelaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8 Järjestysrelaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

SISÄLTÖ 7

5 Funktiot 64

5.1 Injektio ja surjektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Yhdistetty funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Käänteisfunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 Osajoukkojen kuvautuminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Reaalifunktiot 76

6.1 Reaalifunktio ja sen esittämistapoja . . . . . . . . . . . . . . .. 76

6.2 Reaalifunktiotyyppejä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3 Käänteiskuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4 Funktioiden yhdistäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5 Reaalifunktioiden luokittelusta . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88

7 Algebralliset alkeisfunktiot 90

7.1 Polynomit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Algebrallisista yhtälöistä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3 Rationaalifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Potenssi- ja juurifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Transkendenttiset alkeisfunktiot 102

8.1 Yleiset potenssi- ja juurifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102

8.2 Eksponentti- ja logaritmifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

8.4 Hyperboliset ja areafunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9 Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus 130

9.1 Kahden muuttujan funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.2 Laskutoimitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10 Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta 140

10.1 Matemaattisen teorian käsitteitä . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140

10.2 Induktioperiaate ja induktiotodistus . . . . . . . . . . . . .. . . 143

8 SISÄLTÖ

10.3 Suora ja epäsuora todistus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.4 Ekvivalenssin osoittaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.5 Todistuksen esitysjärjestys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

10.6 Väitteen osoittaminen vääräksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

10.7 Arviointitekniikka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10.8 Tietokone todistuksen apuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11 Joukkojen mahtavuuksista 160

11.1 Mahtavuusvertailujen määrittely . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160

11.2 Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys . . . . . . . . . . . . . .. . 162

11.3 Joukon kardinaliteetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12 Lukualueet 168

12.1 Luonnolliset luvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.2 Kokonaisluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.3 Rationaaliluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

12.4 Reaaliluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

12.5 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

12.6 Binomikertoimet ja binomikaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.7 Numeroituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

12.8 Kompleksiluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.9 Kompleksinen 2. ja 3. asteen polynomiyhtälö . . . . . . . . .. . 198

13 Parametrikäyrät ja vektorifunktiot 200

13.1 Parametrikäyrät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13.2 Vektorifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

SISÄLTÖ 9

1 Lauselogiikkaa

Logiikka on teoria oikeasta päättelystä.

Logiikka jaetaan usein – etenkin teknillisillä ja tietoteknisillä aloilla – kahteenosaan:propositiologiikkaeli lauselogiikkaja sen laajennuspredikaattilogiikka,jossa tarkastellaan nk.avoimia lauseita(predikaatteja, lausefunktioita), joista saa-daan joukko-opin ja kvanttorien∀ ja ∃ avulla logiikan (suljettuja) lauseita.

Luvuissa 1-3 tarkastelemme lauseita ja niiden yhdistämistä konnektiiveilla sekäjoukko-opin alkeita ja lausefunktioita.

1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot

Logiikan perusalkioina ovat lauseet ja niiden arvoina totuusarvot.

Määritelmä 1.1.1 Logiikassalause(proposition, statement) on väite tai ilmaisu,jolla on täsmälleen yksi mahdollisista totuusarvoistatosi (true) ja epätosi(false).

Totuusarvoja merkitään jatkossa tosi= T ja epätosi= E (myös symboleja tosi= 1 ja epätosi= 0 käytetään, erityisesti tietotekniikassa).

Matemaattinen logiikka ei tunne muita totuusarvoja: tämä nk. ’kielletyn kolman-nen laki’ tarkoittaa, että lause ei voi olla muuta kuin tosi tai epätosi. Toiseksi, lauseei voi olla yhtä aikaa tosi ja epätosi: tämä on nk. ’kielletynristiriidan laki’.

Logiikan tehtävä ei ole ottaa kantaa lauseidenhavainnolliseen totuuteentai to-tuusarvoon sinänsä, vaan siinä pyritään esittämään menetelmiä, joiden avulla to-sina pidetyistä väitteistä voidaan johtaa uusia tosia väitteitä. On kuitenkin järkevääliittää reaalielämään liittyvään lauseeseen sen havainnollinen totuusarvo.

Esimerkki 1.1.2 Ilmaisut

”Rooma on Ranskassa.””Luku 12 on jaollinen luvulla3.””3 < 2.”

ovat kaikki logiikan lauseita, koska niiden totuusarvo on kiistatta selvitettävissä.Sen sijaan ilmaisut

”Avaa ikkuna!””1 + 1.””Tämä lause on epätosi.”

eivät ole logiikan mielessä lauseita. Myöskään väitteen ”Ydinvoimaa tarvitaanlisää.” totuusarvo ei ole ilmeinen.

1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot 11

Lauseita merkitään tässä esityksessä isoilla kirjaimillaP , Q, R, S, . . . Ainoatlogiikan ”vakiot” ovat identtisesti tosilauseT ja vastaavastiepätosilauseE.

Annetuistaperuslauseistaeli atom(ilaus)eistavoidaan johtaa uusia lauseita,mo-lekyylilauseitaeli johdettuja lauseitaloogisten konnektiivien avulla:

¬ negaatio (’ei’) vaihtaa totuusarvon∨ disjunktio (’tai’) edes yksi tosi∧ konjunktio (’ja’) kaikki tosia⇒ implikaatio (’jos . . . niin’) seuraa⇔ ekvivalenssi (’jos ja vain jos’) sama(narvoise)t totuusarvot

Määritelmä 1.1.3 OlkootP jaQ logiikan lauseita.

a) LauseenP negaatio¬P on lause, jolla on päinvastainen totuusarvo kuinlauseellaP .

b) LauseidenP ja Q disjunktioP ∨ Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, josP on tosi taiQ on tosi, ja epätosi, josP jaQ ovat epätosia.

c) LauseidenP ja Q konjunktioP ∧ Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, josP jaQ ovat tosia, muutoin epätosi.

d) LauseidenP jaQ implikaatioP ⇒ Q on lause, jonka totuusarvo on epätosi,josP on tosi jaQ epätosi, muulloin tosi.

e) LauseidenP ja Q ekvivalenssiP ⇔ Q on lause, jonka totuusarvo on tosi,jos lauseillaP jaQ on sama totuusarvo, muulloin epätosi.

Johdettuja lauseitaovat kaikki ne lauseet, jotka saadaan äärellisen monella logii-kan operaatiolla äärellisen monesta peruslauseesta.

Huomautus 1.1.4 Negaatio kohdistuu yhteen, sitä seuraavaan lauseeseen, muutyhdistävät kahta lausetta, jotka voivat olla itsekin konnektiiveilla johdettuja; vrt.lukujen laskutoimitukset!

Loogisten symbolien avulla saatujen lauseiden totuusarvot ilmaistaan usein nk.totuusarvotaulukon(truth table) avulla. Seuraavat perustotuusarvotaulukot on siissovittu logiikan perustaksi:

12 1 LAUSELOGIIKKAA

Negaatio ’ei’P ¬PT EE T

Konjunktio ’ja’P Q P ∧QT T TT E EE T EE E E

Disjunktio ’tai’P Q P ∨QT T TT E TE T TE E E

Implikaatio ’jos . . . niin’P Q P ⇒ QT T TT E EE T TE E T

Ekvivalenssi ’jos ja vain jos’P Q P ⇔ QT T TT E EE T EE E T

Huomautus 1.1.5 a) Negaatio tarkoittaa täydellistä vastakohtaa, esimerkiksi re-aalilukujen tilanteessa lauseen ”a < b” negaatio ei ole ”a > b” vaan ”a ≥ b”.Mikähän on lauseen ”auto on musta” negaatio?

b) Disjunktio ’tai’ poikkeaa kieliopillisesta tai-sanasta siinä, että se ei ole ’pois-sulkeva tai’; arkikielessähän ’tai’ tarkoittaa usein ’joko . . . tai’.

c) Implikaatio voidaan lukea monilla eri tavoilla. LauseP ⇒ Q luetaan

JosP , niin Q.Q, josP .Q, mikäli P .P on riittävä ehto lauseelleQ.Q on välttämätön ehto lauseelleP .

d) Lauseita yhdistettäessä on aina käytettävä tarpeellinen määrä sulkeita osoitta-maan, missä järjestyksessä lauseet on yhdistetty. Sovitaan kuitenkin, että jos ne-gaatio vaikuttaa vain seuraavaan atomilauseeseen, niin sulkeita ei tarvita.

e) Jos johdetussa lauseessa onn eri atomilausetta, niin totuuarvotaulukossa joh-detun lauseen kuvaamiseen tarvitaan2n vaakariviä.

Esimerkki 1.1.6 Olkoot seuraavassaP , Q ja R logiikan lauseita. Näistä johdet-tuja lauseita ovat mm.

a)¬Q, T ∨Q, ¬P ∧Q,

b) (P ∧Q) ⇒ R,

c) (P ⇔ Q) ∨ ¬R.

1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot 13

Esimerkki 1.1.7 Oletetaan, että Esimerkin 1.1.6 peruslauseellaP on arvo tosi eliT, ja olkootQ jaR epätosia. Silloin johdettujen lauseiden totuusarvot ovat:

a)¬Q tosi,T ∨Q tosi,¬P ∧Q epätosi,

b) (P ∧Q) ⇒ R tosi,

c) (P ⇔ Q) ∨ ¬R tosi.

Annetuista lauseista konnektiiveilla johdetun lauseen kaikki mahdolliset totuusar-vot saadaan selville mekaanisella laskulla totuusarvotaulukon avulla.

Esimerkki 1.1.8 LauseenP ∧ ¬Q totuusarvot ovat

P Q ¬Q P ∧ ¬QT T E ET E T TE T E EE E T E

Esimerkki 1.1.9 OlkoonS lause(¬P∨Q) ⇒ Q. Määritä lauseenS totuusarvot.

Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko, josta lauseen totuusarvot näkyvät.

P Q ¬P ¬P ∨Q Q ST T E T T TT E E E E TE T T T T TE E T T E E

Esimerkki 1.1.10 Määritä lauseen¬P ∨ (Q ∧ ¬R) totuusarvot.

Ratkaisu. Muodostetaan taas totuusarvotaulukko:

P Q R ¬P ¬R Q ∧ ¬R ¬P ∨ (Q ∧ ¬R)T T T E E E ET T E E T T TT E T E E E ET E E E T E EE T T T E E TE T E T T T TE E T T E E TE E E T T E T

Huomautus 1.1.11Logiikan lause on erotettava matematiikan lauseesta, jokaontosi väite. Matematiikan lause on usein kahden logiikan lauseen implikaatio, siismuotoaA ⇒ B, missäA on oletus jaB väitös.

14 1 LAUSELOGIIKKAA

1.2 Tautologia ja looginen ekvivalenssi

Identtisesti tosi lause ontautologia(nk. ajatuslaki, yleispätevä looginen totuus).Johdettu lause on tautologia, jos se on tosi riippumatta siitä, mitkä totuusarvotatomilauseilla on. Tällöin totuusarvotaulukon sarakkeessa on vain arvoja T.

Esimerkki 1.2.1 Tutki, onko lause(P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q tautologia.

Ratkaisu. MerkitäänS:llä tehtävän lauseketta ja muodostetaan totuusarvotauluk-ko. Koska lauseenS sarakkeeseen tulee vain arvoja T, onS tautologia.

P Q P ⇒ Q P ∧ (P ⇒ Q) ST T T T TT E E E TE T T E TE E T E T

Esimerkki 1.2.2 Osoita tautologiaksi lauseR := ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q).

Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko

P Q P ⇒ Q ¬(P ⇒ Q) ¬Q P ∧ ¬Q RT T T E E E TT E E T T T TE T T E E E TE E T E T E T

Koska lauseenR sarakkeeseen tuli vain arvoja T, onR tautologia.

Lause 1.2.3Seuraavat logiikan lauseet ovat tautologioita:

1. (P ∨Q) ⇔ (Q ∨ P ) ∨ vaihdannainen

2. (P ∧Q) ⇔ (Q ∧ P ) ∧ vaihdannainen

3. [P ∨ (Q ∨R)] ⇔ [(P ∨Q) ∨R] ∨ liitännäinen

4. [P ∧ (Q ∧R)] ⇔ [(P ∧Q) ∧R] ∧ liitännäinen

5. [P ∨ (Q ∧R)] ⇔ [(P ∨Q) ∧ (P ∨R)] I osittelulaki

6. [P ∧ (Q ∨R)] ⇔ [(P ∧Q) ∨ (P ∧R)] II osittelulaki

7. ¬(¬P ) ⇔ P kaksoisnegaatio

1.2 Tautologia ja looginen ekvivalenssi 15

8. ¬(P ∨Q) ⇔ (¬Q ∧ ¬P ) I de Morganin laki

9. ¬(P ∧Q) ⇔ (¬Q ∨ ¬P ) II de Morganin laki

10. (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) kontrapositio

11. (P ⇔ Q) ⇔ [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )] ekvivalenssi implikaatioiksi

12. (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨Q) implikaatio disjunktioksi

Todistus.Todistetaan malliksi lauseen kohta 10 (kontrapositio) tautologiaksi:

P Q ¬Q ¬P P ⇒ Q ¬Q ⇒ ¬P koko lauseT T E E T T TT E T E E E TE T E T T T TE E T T T T T

Muut todistetaan vastaavaan tapaan (ks. mm. Tehtävä 1.2.4). �

Tehtävä 1.2.4 Todista Lauseesta 1.2.3 kohta 12.

Määritelmä 1.2.5 JosP1 ja P2 ovat lauseita ja jos ekvivalenssiP1 ⇔ P2 ontautologia, niin sanotaan, ettäP1 ja P2 ovat loogisesti yhtäpitäviäeli loogisestiekvivalentteja(logical equivalence). Tätä merkitäänP1 ≡ P2.

Esimerkki 1.2.6 Koska(P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧Q) ∨ (P ∧ R)) on tautologia,on

P ∧ (Q ∨R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧R).

Kahden lauseen looginen ekvivalenssi mahdollistaa logiikan lausekkeiden sieven-telyn, jossa lausekkeen osia pyritään korvaamaan yhtäpitävillä (yksinkertaisem-milla) lausekkeilla (vrt. algebrassax(x2 − y2) + xy2 = x3).

Esimerkki 1.2.7 Sievennetään lauseke(¬P ∧Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q).

Sovelletaan ensin II osittelulakia (takaperin):

(¬P ∧Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) ≡ (¬P ) ∧ (Q ∨ ¬Q).

Nyt Q ∨ ¬Q ≡ T, joten

(¬P ∧Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) ≡ (¬P ) ∧ (Q ∨ ¬Q) ≡ (¬P ) ∧T ≡ ¬P.Tehtävä 1.2.8 Sievennä lauseetP ∨ (P ∧Q) ja P ∧ (P ∨Q).Vihje: Muodosta totuusarvotaulukko . . .

16 1 LAUSELOGIIKKAA

1.3 Looginen päättely

Looginenpäättely(argument) muodostuu äärellisen monestaoletuksestaeli pre-misseistä(premise) A1, A2, . . . , An ja johtopäätöksestä(conclusion) B, joidenkaikkien tulee olla logiikan lauseita. Päättelyt ovat siismuotoa: JosA1, A2, . . . ,An ovat tosia, myösB on tosi.

Määritelmä 1.3.1 Äärellisen monesta lauseesta koostuva päättely

A1, A2, . . . ,An. SiisB.

on johdonmukaineneli sitova(valid argument), jospäättelylause

(A1 ∧A2 ∧ · · · ∧An) ⇒ B

on tautologia.

Esimerkki 1.3.2 Onko seuraava päättely johdonmukainen?

Jos7 < 4, niin 7 ei ole alkuluku. Luku7 ei ole< 4. Siis7 on alkuluku.

Ratkaisu. Merkitään atomejaP := ”7 < 4” ja Q := ”7 on alkuluku”. Päättelyvoidaan nyt kirjoittaa muotoon

A1 := P ⇒ ¬QA2 := ¬PB:= Q

Muodostetaan totuusarvotaulukko päättelylausetta(A1 ∧A2) ⇒ B varten:

A1 A2 A1 ∧A2 B (A1 ∧A2) ⇒ BP Q ¬Q P ⇒ ¬Q ¬P (P ⇒ ¬Q) ∧ ¬P QT T E E E E T TT E T T E E E TE T E T T T T TE E T T T T E E

Päättelylause ei ole tautologia, sillä viimeisellä rivillä sillä on arvo epätosi. Sitenpäättely ei olejohdonmukainen.

Esimerkki 1.3.3 Onko seuraava päättely johdonmukainen?

Jos on opiskelija, saa alennusta VR:ltä. En ole opiskelija,joten en saa alennustaVR:ltä.

Ratkaisu. MerkitäänP := ”Olen opiskelija.” jaQ := ”Saan alennusta VR:ltä.”

Päättely on muotoa

1.3 Looginen päättely 17

A1 := P ⇒ QA2 := ¬PB: ¬Q

Totuusarvotaulukon

A1 A2 A1 ∧A2 B (A1 ∧ A2) ⇒ BP Q P ⇒ Q ¬P ¬QT T T E E E TT E E E E T TE T T T T E EE E T T T T T

rivillä 3 on nyt päättelylauseella epätosi arvo, joten lause ei ole tautologia ja sitenpäättely ei olejohdonmukainen.

Koska implikaatio on tosi aina paitsi silloin, kun siinä todesta seuraa epätosi eliT ⇒ E, riittää (jo hieman harjaantuneelle lukijalle) päättelyn sitovuuden totea-miseksi tutkia ne tapaukset (taulukon rivit), joissa premissien konjunktiolauseA1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An on tosi, mikä on totta jos ja vain jos kaikki premissitAi

ovat tosia. On siis perusteltu

Käytännön sääntö:Päättely on johdonmukainen eli sitova, jos joh-topäätösB on tosi aina silloin, kun kaikki premissitA1, A2, . . . ,An

ovat tosia.

Esimerkki 1.3.4 Tutki logiikan menetelmin seuraavien päättelyjen johdonmu-kaisuutta.

a) Jos ei sada, menen ulos. Sataa. Siis en mene ulos.

b) Jos ei sada, menen ulos. En mene ulos. Siis sataa.

Ratkaisu. a) Voidaan valita peruslauseiksiP := ”Sataa.” jaQ := ”Menen ulos.”

Päättely on muotoa

A1 := ¬P ⇒ QA2 := PB: ¬Q

Tutkitaan tätä nyt edellä olevan käytännön säännön avulla.Totuusarvotaulukon

18 1 LAUSELOGIIKKAA

A2 A1 BP Q ¬P ¬P ⇒ Q ¬QT T E T ET E E T TE T T T EE E T E T

ensimmäisellä rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Päättelyei olejohdonmukainen.

b) Olkoot edelleenP = ”Sataa.” jaQ = ”Menen ulos.”

Päättely on nyt muotoa

A1 := ¬P ⇒ QA2 := ¬QB: P

Tämän totuusarvotaulukossa

B A1 A2

P Q ¬P ¬P ⇒ Q ¬QT T E T ET E E T TE T T T EE E T E T

ainoastaan toisella rivillä ovat kaikki premissit tosia. Koska myös johtopäätös ontällä tosi, on päättely johdonmukainen.

Huomautus 1.3.5 On syytä tarkentaa, että edellä on logiikalla tarkoitettu nimen-omaan perinteistä kaksiarvoista matemaattista logiikkaa, jossa totuusarvot ovat Eja T. Tämä sopii hyvin teorianmuodostukseen, jossa tavoitellaan ehdotonta totuut-ta.

Vaikka formaalin logiikan juuret ovat antiikin kreikassa (Aristoteles), pidetäänenglantilaista George Boolea (1815 - 1864) logiikan (ja samalla myös joukko-opin) matematisoijana. Häneltä on peräisin symbolien ja loogisten operaatioidenkäyttö; nyt logiikka nousi formaaliudessaan algebran ja analyysin rinnalle. Boolentyötä jatkoivat mm. britti Augustus de Morgan (1806 - 1871) ja amerikkalainenBenjamin Peirce (1809 - 1880).

Tekniikassa ja teollisuudessa käytetään nykyään paljon kulmikkaan kaksiarvoisenlogiikan ”pehmeämpää” laajennusta, nk.sumeaa logiikkaa, jonka alkuna pidetäänLotfi A. Zadeh’in (1921 -) julkaisuaFuzzy setsvuonna 1965.

1.4 ∗Sumeasta logiikasta 19

1.4 ∗Sumeasta logiikasta

Sumea logiikka(fuzzy logic) on matemaattisen logiikan laajennus, jossa lauseellaon diskreetin totuusarvon E= 0 ja T = 1 sijasta reaalinen totuusarvo suljetullavälillä [0, 1]. Sumeassa logiikassa ei siis ole kyse siitä, mitä jokin on, vaan siitä,kuinka varmasti tai paremminkin kuinka paljon jokin asia on. Siis esimerkiksikuinka paljon numero3 on sama kuin numero5. Numero3 on selvästikin paljonenemmän sama kuin numero5 kuin esimerkiksi numero23.

Sumeassa logiikassa peruskonnektiivit määritellään seuraavasti: josP ja Q ovattotuusarvoja väliltä[0, 1], niin

¬P := 1− PP ∨Q := max(P,Q)P ∧Q := min(P,Q)

Sumeaan logiikkaan liittyy analogisesti mm.sumea joukko-oppi(ks. Luku 2) janiin edelleen. Sumeat systeemit soveltuvat erinomaisestikaikenlaiseen prosessiensäätöön, jopa automaattipesukoneen ohjaukseen.

Esimerkki 1.4.1 Sumea logiikka on sisäänrakennettuna myös inhimillisessäelä-mässä:

”Pitkillä ihmisillä on iso jalka.””Pasi on melko pitkä.”Siis: ”Pasilla on melko iso jalka.”

Esimerkki 1.4.2 Seuraavassa voitaisiin varmaan jopa laskea, jos skaalauksistasovittaisiin:

”Josx on vähän alle5, niin y on vähän alle20.””Luku x on vähän yli5.”Siis: ”Luku y on varmaankin vähän yli20.”

Esimerkki 1.4.3 Entä nyt:

”Josx on noin10, niin y on erittäin pieni.””Luku x on lähes100.”Siis: ??

2 Joukko-oppia

Logiikka ja joukko-oppi ovat modernin matematiikan kulmakiviä. Esimerkiksi to-dennäköisyyslaskentaa on vaikea kuvitella ilman joukkoja(”tapahtumat”), ja ta-vanomaiset todistusmekanismit ovat ”helposti” muotoiltavissa logiikan ja joukko-jen avulla. Mutta ei joukko-opin käyttö rajoitu pelkästäänmatematiikan piiriin,sen käyttöalueina ovat esimerkiksi tietotekniikka, lingvistiikka ja informaatioteo-ria:

Loogiselta kannalta tarkasteltuna käänteistiedoston käyttö on joukko-opin sovellus ja joukko-oppi on siten käänteistiedostoihin perustuvantiedonhaun matemaattinen perusta. Jokaisen ammattimaisen tiedon-hakijan on tarpeen hallita sen alkeet. Joukko-opin tuntemus on tärke-ää myös tiedonhaun tutkimuksessa.Internetix/Informaatiotutkimus

2.1 Joukko ja alkio

Joukko-opin peruskäsitteet ovatjoukko(set) ja alkio (element, point). Näitä kä-sitteitä emmemäärittele, sanomme vain, että ”joukko koostuu alkioista” tai että”tietyt alkiot muodostavat tietyn joukon”. Alkeellisimmillaan joukko voidaan il-maista luettelemalla sen alkiot, esimerkiksi arpanopan silmäluvut{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Merkintäa ∈ A tarkoittaa ”a on joukonA alkio” eli ”alkio a kuuluu joukkoonA”. Sen negaatioa /∈ A := ¬(a ∈ A) tarkoittaa ”a ei ole joukonA alkio” eli”alkio a ei kuulu joukkoonA”. Edellä esimerkiksi3 ∈ S mutta8 /∈ S.

Käsitteelle joukko asetetaan seuraavat vaatimukset:1) JosA on joukko jaa mikä tahansa alkio, niin täsmälleen yksi väittämistäa ∈ Aja a /∈ A on tosi (vrt. Luku 1.1).2) Joukko ei saa esiintyä itsensä alkiona.

Huomautus 2.1.1 Kohta 1) sitoo joukko-opin kaksiarvoiseen logiikkaan ja kohta2) sulkee pois ristiriitoja; esimerkiksi seuraavat määrittelyt eivät tuota joukkoja:

a)A := {1, A} (kehämääritelmä).b)A := kaikkien joukkojen joukko (kehämääritelmä).c) Joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita (Russellin paradoksi, ks. Luku 2.8).

Joukko voi toki olla jonkin toisen joukon alkio muttei itsensä alkio. Ongelmiltavälttyy yleensä sillä, että ottaa avuksi jonkin selkeänperusjoukonX, joka sisältääkaikki tarkasteltavat alkiot, ja tutkii sitten joukonX alkioista koostuviaosajouk-koja (Luku 2.3).

2.2 Joukkojen merkitseminen 21

2.2 Joukkojen merkitseminen

Joukkoja voidaan esittää

a) luettelemalla sen alkiot aaltosulkeissa pilkulla erotettuina:{2, 6} ja{2, 4, 6, . . .}.

b) antamalla aaltosulkeissa alkio ja pystyviivan jälkeen ehto, joka joukon alkioi-den pitää toteuttaa:{ x | ehto alkiollex }, esimerkiksi

{ x | x on kahdella jaollinen kokonaisluku}.c) kuvaamalla joukon alkiot sanallisesti, esimerkiksi ”parittomien kokonaisluku-jen joukko”.

d) tavanomaisten sovittujen symbolien avulla:N, jne. . . . (ks. alla).

e) tuloksena muista joukoista saaduilla joukko-operaatiolla (ks. alla).

Tällä kurssilla käytetään seuraavia merkintöjä lukujoukoille:

N := {1, 2, 3, . . .} luonnollisten lukujen joukkoN0 := {0, 1, 2, 3, . . .} peruslukujen joukkoZ := {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . } kokonaislukujen joukkoQ := { m

n| m ∈ Z, n ∈ N } rationaalilukujen joukko

R reaalilukujen joukkoC := { x+ iy | x ∈ R, y ∈ R } kompleksilukujen joukkoA+ joukonA aidosti positiivinen osa

Huomautus 2.2.1 Joskus merkitäänN = {0, 1, 2, 3, . . .}. Nollan kuuluminenluonnollisten lukujen joukkoon on kuitenkin sopimuskysymys.

Reaaliakselin väleille käytetään tavanomaisia hakasulkumerkintöjä:

]a, b[ := { x ∈ R | a < x < b } avoin väli[a, b[ := { x ∈ R | a ≤ x < b } puoliavoin väli (avoin loppupäästä)]a, b] := { x ∈ R | a < x ≤ b } puoliavoin väli (avoin alkupäästä)[a, b] := { x ∈ R | a ≤ x ≤ b } suljettu väli

Esimerkki 2.2.2 Joukoissa{2x+ 1 | x ∈ ]1, 2] } ja ]3, 5] on samat alkiot.

Huomautus 2.2.3 Hakasulut varataan yleensä välien merkitsemiseen. Kuitenkinäärellisenlukumääräjoukonmäärittelemme seuraavasti:

[n] :=

{∅, josn = 0,{1, 2, 3, . . . , n} muutoin.

Lisäksi on muistettava:Alkiot aaltosulkeissa: kyseessä on joukko.Alkiot kaarisulkeissa: kyseessä on järjestetty jono lukuja (vektori).

22 2 JOUKKO-OPPIA

2.3 Joukko-opin käsitteitä

Seuraavassa luetellaan joitakin joukko-oppiin liittyviäperuskäsitteitä ja ilmaistaanniitä osin myös logiikan kielellä. Joukko-oppihan perustuu pitkälti logiikkaan jasisältää jo aineksia lausefunktioista (ks. Luku 3).

Tyhjä joukko: Joukko, jossa ei ole yhtään alkiota, ontyhjä joukko(empty set).Tyhjää joukkoa merkitään∅ (joskus myös{}).

Perusjoukko: Jos kaikkien tarkasteltavien joukkojen alkiot ovat tietyssä laajem-massa joukossaX, tätä sanotaanperusjoukoksi(fundamental, universal set).

Osajoukko: JoukkoA on joukonB osajoukko(subset), jos jokainen joukonAalkio on myös joukonB alkio. Merkintä on tällä kurssillaA ⊆ B, vaikka useinkäytetään myös (epäloogista) merkintääA ⊂ B (joka vastaisi paremmin aitoaosajoukkoa, ks. myöh.)

Logiikaksi:A ⊆ B, jos ja vain josx ∈ A ⇒ x ∈ B on tosi kaikillax ∈ X.

Esimerkki 2.3.1 a) OlkootA := {1, 2} ja B := {1, 2, 3}. TällöinA ⊆ B, muttaei B ⊆ A.

b)N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

c) Entäs josA := {a1, a2} ja B := {b1, b2, b3}, niin millä edellytyksillä onA ⊆B?

Joukkojen samuus:JoukotA, B ⊆ X ovat identtiseteli sama joukko(identical,same, equal), jos niissä on täsmälleen samat alkiot. Samuutta merkitään A = B.

Logiikaksi:A = B, jos ja vain josx ∈ A ≡ x ∈ B kaikilla x ∈ X.

Esimerkki 2.3.2 Olkoot A := {1, 2}, B := {2, 1} ja C := {1, 2, 1}. TällöinA = B = C.

Huomautus 2.3.3 a) Aina päteeA ⊆ A.

b)A = B jos ja vain josA ⊆ B jaB ⊆ A.

c) On visusti opittava erottamaan merkit∈ ja⊆:

a ∈ B : a on joukonB alkio

A ⊆ B : A on joukonB osajoukko

Esimerkki 2.3.4 a) OlkoonA := {1, 2}. Tällöin on voimassa

∅ ⊆ A, 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 /∈ A, {1} ⊆ A, {2} ⊆ A, {1, 2} ⊆ A ja {1, 2} = A,

mutta esimerkiksi merkinnät1 ⊆ A ja {1} ∈ A eivät ole mielekkäitä.

2.3 Joukko-opin käsitteitä 23

b) Jos kuitenkinB := {1, {1}}, niin myös{1} ∈ B on mielekäs ja totta!

c) Mitähän tarkoittaa lauseenA ⊆ B negaatioA 6⊆ B := ¬(A ⊆ B)?

Aito osajoukko: JosA ⊆ B jaA 6= B, niinA on joukonB aito osajoukko(propersubset). Aitoa osajoukkoa merkitsemme jatkossaA ( B.

Esimerkki 2.3.5 Selvästi{1, 2} ( {1, 2, 3}, samoinN ( Z ja Q ( R. Mitenkämuut lukujoukot?

Yhdiste: JoukkojenA, B ⊆ X yhdiste(union) on joukko, joka koostuu kaikistajoukkojenA jaB alkioista, ts. yhdiste on joukko (ks. Kuva 2)

A ∪ B := { x ∈ X | x ∈ A tai x ∈ B } = { x ∈ X | x ∈ A ∨ x ∈ B }.

Logiikan vastaavuus:x ∈ A ∪ B ≡ x ∈ A ∨ x ∈ B kaikilla x ∈ X.

X

A

B

X

AB

Kuva 2: Kahden joukon yhdisteA ∪B ja leikkausA ∩ B

Esimerkki 2.3.6 JosA := {1, 2} jaB := {2, 3}, niin A ∪ B = {1, 2, 3}.

Leikkaus: JoukkojenA, B ⊆ X leikkaus(intersection) on joukko, joka koostuujoukkojenA jaB yhteisistä alkioista, ts. leikkaus on joukko (ks. Kuva 2)

A ∩B := { x ∈ X | x ∈ A ja x ∈ B } = { x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B }.

Logiikan vastaavuus:x ∈ A ∩ B ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B kaikilla x ∈ X.

Esimerkki 2.3.7 JosA := {1, 2} jaB := {2, 3}, niin A ∩ B = {2}.

Erilliset joukot: Joukot A ja B ovat erilliset eli pistevieraat(disjoint), josA ∩ B = ∅.

Esimerkki 2.3.8 JosA := {1, 2} jaB := {3, 4}, niin A ∩ B = ∅ eli A jaB ovaterilliset.

24 2 JOUKKO-OPPIA

Joukkoerotus: JoukkojenA, B ⊆ X erotus(difference) on joukko, johon kuulu-vat ne joukonA alkiot, jotka eivät kuulu joukkoonB, ts. joukko (ks. Kuva 3)

A \B := { x ∈ X | x ∈ A ja x /∈ B } = { x ∈ X | x ∈ A ∧ x /∈ B }.Logiikan vastaavuus:x ∈ A \B ≡ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B) kaikilla x ∈ X.

X

A

X

B

A

Kuva 3: Joukkojen erotusA \B ja joukon komplementtiA = X \ A

Esimerkki 2.3.9 JosA := {1, 2} jaB := {2, 3}, niin A \B = {1}.

Komplementti: JoukonA ⊆ X komplementti(complement) on joukko, jo-hon kuuluvat kaikki ne perusjoukonX alkiot, jotka eivät kuulu joukkoonA, ts.komplementti on joukko (ks. Kuva 3)

A = X \ A := { x ∈ X | x /∈ A }.Muita merkintöjä:∁A, Ac tai −A.Logiikan vastaavuus:x ∈ A ≡ ¬(x ∈ A) kaikilla x ∈ X.

Esimerkki 2.3.10 Olkoon X := {1, 2, 3, 4, 5} (perusjoukko),A := {1, 2} jaB := {2, 3}. TällöinA = {3, 4, 5} jaB = {1, 4, 5}.

Edellä olevia joukko-operaatioita havainnollistavia kuvioita 2 ja 3 sanotaanVenn-diagrammeiksi(englantilainen John Venn, 1834 - 1923).

Tulojoukko: JoukkojenX jaY tulojoukko(product) eli karteesinen tuloon jouk-ko, jonka alkioina ovat kaikki järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on jou-kostaX ja jälkimmäinen alkio on joukostaY, ts. joukko

X×Y := { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y }.

Logiikan vastaavuus:(x, y) ∈ X×Y ≡ x ∈ X ∧ y ∈ Y.

Esimerkki 2.3.11 OlkoonX := {1, 2} jaY := {2, 3}. Tällöin

X×Y = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.

2.4 Joukko-opin kaavoja 25

Tehtävä 2.3.12Olkoon X := {1, 2} ja Y := {♥,♣,♦}. Mitkä seuraavistaolioista ovat joukonX×Y alkioita:

a) (1, 1) b) (2,♦) c) (1, 2,♣)d) (1,♥) e) (3,♦) f) {1,♥} g) (♦, 1) ?

Tulojoukkoja ja niiden osajoukkoja, relaatioita, käsitellään Luvussa 4.

Potenssijoukko: JoukonA ⊆ X potenssijoukko(power set) on joukonA kaik-kien osajoukkojen joukko

P(A) := {B ⊆ X | B ⊆ A }.

Esimerkki 2.3.13 OlkoonA := {1, 2} jaB := {2, 3, 4}. Tällöin

P(A) = {∅, {1}, {2}, A}P(B) = {∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, B} .

Huomautus 2.3.14Jokaisen joukon potenssijoukko on aidosti ”suurempi” jouk-ko kuin joukko itse. Tätä asiaa käsitellään tarkemmin Luvussa 11.1.

Tehtävä 2.3.15OlkoonA := {2, {2, 4}, 5}. Mitkä seuraavista ovat totta:

a)2 ∈ A b) 2 ⊆ A c) {2} ∈ A d) {2} ⊆ Ae)4 ∈ A f) 4 ⊆ A g) {4} ∈ A h) {4} ⊆ Ai) {2, 4} ⊆ A j) {2, 4} ∈ A k) {{2, 4}} ⊆ A l) {{2, 4}} ∈ A

2.4 Joukko-opin kaavoja

Myös mutkikkaampia joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Venn-diagrammeilla kuten Kuvassa 4.

A B

X

C

BA

X

Kuva 4: Joukko-operaatioA ∪ (B ∩ C) ja yhtälö(A \B) ∪ (A ∩ B) = A

26 2 JOUKKO-OPPIA

Lause 2.4.1OlkootA, B jaC perusjoukonX osajoukkoja. Tällöin

a) A ∪ B = B ∪A ∪ vaihdannainen

b) A ∩ B = B ∩A ∩ vaihdannainen

c) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ∪ liitännäinen

d) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ∩ liitännäinen

e) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) I osittelulaki

f) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) II osittelulaki

g) A = A kaksoiskomplementti

h) A ∪ B = B ∩A I de Morganin laki

i) A ∩ B = B ∪A II de Morganin laki

j) A ⊆ B ≡ B ⊆ A

k) A = B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

l) A \B = A ∩ B

m) A ∪ A = A, A ∩A = A idempotenssi

n) A ∪X = X, A ∩X = A

o) A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅

p) X = ∅, ∅ = X

q) A ∪ A = X, A ∩ A = ∅

r) A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B

s) A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B.

Todistus. Väitteet voidaan todistaa esimerkiksi käyttäen Lauseen 1.2.3 tautolo-gioita, siis loogisia ekvivalenttiuksia. Todistetaan malliksi kohdat e) ja h).

2.5 Joukko-opin väitteiden todistaminen 27

OlkootA, B,C ⊆ X joukkoja. Kohdan e) osoittaa seuraava loogisesti ekvivalent-tien vaiheiden muunnosketju: Jokaisellax ∈ X on totta

x ∈ A ∪ (B ∩ C) ≡ x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C

≡ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

≡ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)

≡ x ∈ A ∪B ∧ x ∈ A ∪ C

≡ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Tämä tarkoittaa, että joukoissa on samat alkiot, eliA∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).Todistetaan vastaavaan tapaan h), siis ettäA ∪B = B ∩A. Käytetään nyt ekviva-lenssiketjua, jossa kukin vaihe on tautologia:

x ∈ A ∪B ⇔ ¬(x ∈ A ∪B)

⇔ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)

⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ A)

⇔ (x ∈ B) ∧ (x ∈ A)

⇔ x ∈ B ∩ A.

SiisA ∪B = B ∩A. Vaihdannaisuuden takia toki myösA ∪ B = A ∩B. �

Tehtävä 2.4.2 Lisää todistukseen kunkin vaiheen perustelut, esimerkiksi viit-taukset sopiviin lauselogiikan kaavoihin.

Huomautus 2.4.3 Koska liitäntälait c) ja d) ovat voimassa, on mielekästä ja yksi-käsitteistä käyttää merkintäjäA∪B∪C jaA∩B ∩C. MerkinnöilläA∩B ∪C jaA∪B ∩C ei ole sovittua tarkoitusta, vrt. kaavat e) ja f). Tällaisiaei pidä käyttää.

2.5 Joukko-opin väitteiden todistaminen

1. Venn-diagrammien avulla voi usein havaita, onko väite voimassa vai ei, muttaVenn-diagrammiteivät todistaväitettä.

2. Väitteitä todistetaan ’sieventämällä’ lausekkeita tunnettuja kaavoja käyttäen taisoveltamalla logiikan tautologioita lauseisiinx ∈ A, x ∈ B jne.

3. Se, ettei väite ole voimassa, osoitetaan aina näyttämällä vastaesimerkki, so.konkreettinen tilanne, jossa oletukset ovat voimassa, mutta väite ei.

4. MuotoaA = B oleva väite kannattaa usein osoittaa Lauseen 2.4.1 k) mukaisestikahdessa vaiheessa:A ⊆ B jaB ⊆ A eli tosiksi

x ∈ A ⇒ x ∈ B ja x ∈ B ⇒ x ∈ A.

28 2 JOUKKO-OPPIA

Esimerkki 2.5.1 Osoita, ettäA = (A \B) ∪ (A ∩B).

Ratkaisu. Olkoon perusjoukkonaX. Kuvan 5 Venn-diagrammin mukaan kaavanäyttäisi pätevän.

AB

A\B

U

A BX

Kuva 5: Esimerkin 2.5.1 Venn-diagrammi

Todistustapa 1:Joukko-opin kaavojen mukaan (kohdat n, q, f ja l)

A = A ∩X = A ∩ (B ∪B)

= (A ∩ B) ∪ (A ∩B)

= (A \B) ∪ (A ∩ B).

Todistustapa 2:Osoitetaan alkiotasolla

1) A ⊆ (A \B) ∪ (A ∩B) ja2) (A \B) ∪ (A ∩B) ⊆ A.

1) Olkoonx ∈ A. Josx ∈ B, niin x ∈ A ∩ B. Josx ∈ B, niin x ∈ A \ B. Siisjoka tapauksessax ∈ (A \B) ∪ (A ∩B). Näin ollenA ⊆ (A \B) ∪ (A ∩ B).

2) Olkoonx ∈ (A\B)∪(A∩B). Tällöinx ∈ A\B tai x ∈ A∩B. Kummassakintapauksessax ∈ A. Näin ollen(A \B) ∪ (A ∩ B) ⊆ A.

Kohdista1) ja 2) seuraaA = (A \B) ∪ (A ∩ B).

Todistustapa 3:Logiikan lakien perusteella saadaan jokaisellax ∈ X:

x ∈ (A \B) ∪ (A ∩B) ⇔ x ∈ A \B ∨ x ∈ A ∩B

⇔ [x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)] ∨ [x ∈ A ∧ x ∈ B]

⇔ x ∈ A ∧ [¬(x ∈ B) ∨ x ∈ B]

⇔ x ∈ A ∧ [x /∈ B ∨ x ∈ B]︸ ︷︷ ︸=T, sillä aina tosi

⇔ (x ∈ A) ∧ T

⇔ x ∈ A.

SiisA = (A \B) ∪ (A ∩B).

2.5 Joukko-opin väitteiden todistaminen 29

Esimerkki 2.5.2 OlkootA, B jaC perusjoukonX osajoukkoja. Päteekö kaava

(B \ A) ∪ (B \ C) = B \ (A ∪ C)?

Ratkaisu. Kuvan 6 Venn-diagrammin mukaan näyttäisi, että kaava ei päde. Venn-

AB

C

(B \ A) U (B \ C)

X

AB

C

B \ (A U C)

X

Kuva 6: Onko(B \ A) ∪ (B \ C) = B \ (A ∪ C) ?

diagrammista saadaan myös vihje vastaesimerkkiä varten: järjestetään yksi alkioalueelle, joka ei ole toisessa mukana. Valitaan ”minimalistisesti”X := {1}, A :={1}, B := {1} ja vaikkapaC := ∅. Silloin A, B, C ⊆ X ja

(B \ A) ∪ (B \ C) = ∅ ∪ {1} = {1}B \ (A ∪ C) = {1} \ {1} = ∅.

Siis kaava ei päde esimerkiksi edellä valituilla joukoilla.

Tehtävä 2.5.3 Onko Esimerkin 2.5.2 joukkoyhtälö sitten aina epätosi?

Esimerkki 2.5.4 Todista, että josA ⊆ B, niin B ⊆ A.

Ratkaisu. OlkoonA ⊆ B. Osoitetaan, ettäx ∈ B ⇒ x ∈ A: Olkoonx ∈ B.Tällöin x /∈ B. KoskaA ⊆ B ja x /∈ B, niin x /∈ A. Siis x ∈ A. Näin ollenB ⊆ A.

Tehtävä 2.5.5 Päteekö yhtälö(A \B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)?

Tehtävä 2.5.6 PäteeköA \ (B \ C) = (A \B) ∪ C?

Tehtävä 2.5.7 PäteeköA \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C)?

Todistus.Joukko-opin kaavojen mukaan (miten?)

A \ (B ∪ C) = A ∩ B ∪ C = A ∩ (B ∩ C)

= (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = (A \B) ∩ (A \ C).

�

30 2 JOUKKO-OPPIA

2.6 Yleisempää joukko-oppia

OlkoonA kokoelma erään perusjoukonX osajoukkoja. Oletetaan, että joukotA1,A2, . . . ,An ∈ A.

Yhdiste: JoukkojenA1, A2, . . . ,An yhdisteon joukko

n⋃

i=1

Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai jollakin i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} },

siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioistax, jotka kuuluvatjohonkin joukoistaAi, i = 1, 2, 3, . . . , n.

Leikkaus: JoukkojenA1, A2, . . . ,An leikkauson joukko

n⋂

i=1

Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai jokaisellai ∈ {1, 2, 3, . . . , n} },

siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioistax, jotka kuuluvatjokaiseenjouk-koonAi, i = 1, 2, 3, . . . , n.

Esimerkki 2.6.1 OlkoonAi := {1, 2, . . . , i}, ts.A1 := {1}, A2 := {1, 2}, A3 :={1, 2, 3} jne. Tällöin

n⋃

i=1

Ai = {1, 2, . . . , n} = An jan⋂

i=1

Ai = {1} = A1.

Karteesinen tulo: JoukkojenX1, X2, . . ., Xn tulojoukkoeli karteesinen tuloonjoukko

n∏

i=1

Xi = X1 ×X2 × · · · ×Xn := {(x1, x2, . . . , xn) | x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn},

siis joukko, joka muodostuu järjestetyistä jonoista(x1, x2, . . . , xn). Esimerkiksivoidaan merkitä

n∏

i=1

R = R× R× · · · × R︸ ︷︷ ︸n kpl

= Rn.

2.6 Yleisempää joukko-oppia 31

Äärettömät yhdisteet ja leikkaukset: JosA1, A2, . . . ovat perusjoukonX os-ajoukkoja, niin

∞⋃

i=1

Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai jollakin i ∈ N },

∞⋂

i=1

Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai kaikilla i ∈ N }.

Vielä yleisemmin: OlkoonA kokoelma perusjoukonX osajoukkoja. Silloin⋃

A∈AA := { x ∈ X | x ∈ A jollakin A ∈ A},

⋂

A∈AA := { x ∈ X | x ∈ A kaikilla A ∈ A}.

Esimerkki 2.6.2 Olkoon perusjoukkonaX := R ja Ax := [x, x+1] kaikilla x ∈R. Silloin

A := {Ax | x ∈ R }on kaikkien yhden yksikön pituisten suljettujen välien kokoelma, ja

⋃

A∈AA =

⋃

x∈RAx = R,

⋂

A∈AA =

⋂

x∈RAx = ∅.

Erikoisesti arvoillax = i ∈ N saadaan vain∞⋃

i=1

Ai = [1, 2] ∪ [2, 3] ∪ [3, 4] ∪ . . . = [1,∞[ ,

∞⋂

i=1

Ai = ∅.

Esimerkki 2.6.3 OlkootAi :=]0, 1 + 1

i

[, i ∈ N. Mitä ovat

⋃∞i=1Ai ja

⋂∞i=1Ai?

Ratkaisu. Kuviosta 7 voinemme saada idean, että voisi hyvinkin olla:

a)⋃∞

i=1Ai = ]0, 2[,

b)⋂∞

i=1Ai = ]0, 1].

Todistetaan kohdan a) väite näyttämällä, että:1)⋃∞

i=1Ai ⊆ ]0, 2[ ja2) ]0, 2[ ⊆ ⋃∞

i=1Ai.

32 2 JOUKKO-OPPIA

A1 = ]0,2[

A2 = ]0, [

A3 = ]0, [

3_2

4_3

0 1 2

0 1 2

0 1 2

Kuva 7: Esimerkin 2.6.3 välejä

1) Josx ∈ ⋃∞i=1Ai niin x ∈ Ai jollakin i eli x ∈

]0, 1 + 1

i

[⊆ ]0, 2[.

2) Josx ∈ ]0, 2[, on0 < x < 2 ja on olemassai ∈ N, jolle x ∈ Ai (tässä ainakini = 1 kelpaa). Siten myösx ∈ ⋃∞

i=1Ai.

Todistetaan niinikään kohdan b) väite näyttämällä, että:1’)⋂∞

i=1Ai ⊆ ]0, 1] ja2’) ]0, 1] ⊆ ⋂∞

i=1Ai.

1’) Olkoon x ∈ ⋂∞i=1Ai mielivaltainen, ts.x ∈ Ai kaikilla i ∈ N. Täten0 <

x < 1 + 1/i kaikilla i ∈ N. Riittää osoittaa, että ei voi ollax > 1. Jos näinolisi, voitaisiin lukujen1 ja x välistä löytää luku1+1/k, kunk on riittävän suuri.Silloin x /∈ Ak, ja sitenx /∈ ⋂∞

i=1Ai. On siis oltavax ∈ ]0, 1].

2’) Olkoonx ∈ ]0, 1] mielivaltainen. Silloin0 < x ≤ 1 < 1 + 1/i, jotenx ∈ Ai

jokaisellai ∈ N. Siisx ∈ ⋂∞i=1Ai.

Tehtävä 2.6.4 Olkoon perusjoukkona euklidinen tasoR2 = R× R. Tasonyksik-kökiekkoon joukko

D := { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1 }.

OlkoonA kaikkien niiden1-säteisten tasoympyröiden joukko, joiden keskipisteon yksikkökiekossaD. Mitä ovat seuraavat joukot?

⋃

A∈AA =

⋂

A∈AA =

Ympyröiden yhdiste(visualisointi)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/KiekkojenYhdiste.htm

2.7 Joukkojen alkiomääristä 33

2.7 Joukkojen alkiomääristä

Puetaan lauseiksi intuitiivisesti ilmeiset äärellisten joukkojen yhdisteiden ja tu-lojen alkiomääriä koskevat tulokset. Merkintä#X tarkoittaa jatkossa äärellisenjoukonX alkioiden lukumäärää. Asiaan palataan tarkemmin Luvussa 11.

Lause 2.7.1a) Kahden erillisen äärellisen joukonA, B ⊆ X alkiomäärille onvoimassa

#(A ∪B) = #A+#B.

b) Kahden äärellisen joukonA, B ⊆ X alkiomäärille on voimassa

#(A ∪ B) = #A +#B −#(A ∩ B)

c) Kolmelle äärelliselle joukolleA, B, C ⊆ X pätee yhteenlaskukaava

#(A ∪ B ∪ C) = #A +#B +#C

−#(A ∩ B)−#(A ∩ C)−#(B ∩ C)

+#(A ∩B ∩ C).

Todistus.a) Väite on varsin järkeenkäypä.

b) Seuraa edellisestä samuuksiaA = (A \B)∪ (A∩B), B = (B \A)∪ (A∩B)ja

A ∪B = (A \B) ∪ (A ∩B) ∪ (B \ A)

(ks. Luku 2.5) soveltaen.

c) Voidaan päätellä vastaavaan tapaan. Laskettaessa kaikkien alkioiden määräätulevat kaksittaisissa leikkauksissa olevat lasketuiksikahteen kertaan, ja kaikkienkolmen leikkauksessa kolmesti. Mutta tästä kolmen leikkauksesta tulevat poiste-tuiksi kaikki, joten ne on lisättävä. �

Lause 2.7.2 (summaperiaate)JosA1, A2, . . ., An ⊆ X on äärellinen kokoelmapareittain erillisiä äärellisiä joukkoja, niin niiden yhdiste on äärellinen ja

#

(n⋃

k=1

Ak

)=

n∑

k=1

#Ak.

Lauseiden 2.7.2 ja 2.7.1 yleistysjoukkojen yleinen yhteenlaskukaavaeli summa-ja erotusperiaate:

34 2 JOUKKO-OPPIA

Lause 2.7.3 (joukkojen yhteenlaskukaava)JosA1, A2, . . ., An ⊆ X, n ∈ N,ovat äärellisiä joukkoja, niin

#(A1 ∪ . . . ∪An) =

n∑

i=1

#Ai −∑

1≤i<j≤n

#(Ai ∩Aj)

+∑

1≤i<j<k≤n

#(Ai ∩Aj ∩Ak)

− · · ·+ (−1)n−1#(A1 ∩ . . . ∩ An).

Todistus sivuutetaan tässä yhteydessä, mutta havainnollistukseksi:

Tehtävä 2.7.4 Kirjoita auki joukkojen yleinen yhteenlaskukaava neljän joukontapauksessa.Aloita ottamalla esimerkiksi joukotA1, A2, A3, A4 ⊆ X.

Tehtävä 2.7.5 Lauseen 2.7.3 yhteenlaskukaavassa voidaan kaksittaisten, kolmit-taisten etc. leikkausten lisäksi tulkita ensimmäisen summan yhteenlaskettavat ’yk-sittäisten’ leikkausten alkioiden summaksi. Niinpä voidaan laskea kuinka montatermiä kaavan oikealla puolella on. Kahden joukon tapauksessa niitä oli 3, kolmenjoukon tapauksessa 7, ja tietysti yhden joukon tapauksessa1. Tehtävästä 2.7.4 pi-täisi voida nähdä niitä olevan neljän joukon tapauksessa 15.Entäpä viiden joukon tapauksessa? Yleisesti?Vihje: Kuinka monella tavalla voidaan ottaak alkiotan alkion joukosta?

Lause 2.7.6 (tuloperiaate)Äärellisten joukkojenX ja Y tulojoukon alkiomää-rille on

#(X×Y) = #X ·#Y.

Yleisesti: JosX1,X2, . . .,Xn,n ∈ N, on kokoelma äärellisiä joukkoja, niin niidentulojoukko on äärellinen ja

#

(n∏

k=1

Xk

)=

n∏

k=1

#Xk.

Lause 2.7.7Jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvullen ∈ N0 pätee:Jos joukossaA onn alkiota, niin sen potenssijoukossaP(A) on2n alkiota.

Väite perustellaan induktiotodistuksella Luvussa 10.2.

Joukkojen alkiomäärän käsitettä laajennetaan Luvussa 11 koskeman myös ääret-tömiä joukkoja.

2.8 Joukko-opin ongelmista 35

2.8 Joukko-opin ongelmista

Palataan vielä luvun alussa mainittuun joukko-opin ongelmallisuuteen.

Saksalaiset matemaatikot Georg Cantor (1845 - 1918) ja Gottlob Frege (1848 -1925) kehittivät nk.naiivin joukko-opin(johon mekin tässä esityksessä tyydym-me), jonka piti olla täydellinen ja ristiriidaton. Hanke kaatui (jossain määrin), kunbrittiläinen filosofi-matemaatikko Bertrand Russell (1872- 1970) esitti keksimän-sä paradoksin v. 1901.

Esimerkki 2.8.1 (Russellin paradoksi) Sovimme jo, että joukon ei sallita ollaitsensä alkio, ja että emme muodosta ”kaikkien joukkojen joukkoa”, koska nämäjohtavat ikävyyksiin. Voisimmekohan kiertää tämän vaikkapa seuraavasti: Muo-dostetaan joukko, johon kootaan kaikki ne joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita:

R := {A | A /∈ A }.

Nyt tietysti mielivaltaisesta joukostaB pitäisi voida sanoa että jokoB ∈ R taiB /∈ R. Mutta miten on joukonR itsensä laita?

1) Jos onR ∈ R, niin joukonR määritelmän mukaan se ei saa olla itsensä alkioeli R /∈ R.

2) Jos taas onR /∈ R eli R ei ole itsensä alkio, niin nyt joukonR määritelmänmukaanR ∈ R.

Kansanomainen versio paradoksista:Eräässä syrjäisessä kylässä ei siedetä parrak-kaita. Kylässä on vain yksi parturi ja hän on mies. Osa kyläläisistä ajaa partansaitse, muiden parran leikkaa kyläparturi. Leikkaako parturi oman partansa?

Russellin paradoksi johti järeämmänaksiomaattisen joukko-opinkehittämiseen.Sen rakentajia olivat saksalaiset Ernst Zermelo (1871 - 1956) ja Abraham Fraenkel(1891 - 1965), ja lopulta norjalainen Thoralf Skolem (1887 -1963). Tässä nk. ZF-aksiomatiikassaon aksioomia 9. Jos lisäksi hyväksytään kymmenes aksiooma,jossain määrin kiistanalainenValinta-aksioomaC (Axiom of Choice), puhutaanZFC-aksiomatiikasta.

Aksiomaattisen joukko-opin muotoutumiseen vaikutti suuresti myös itävaltalai-nen Kurt Gödel (1906 - 1978). Hän todisti nk.epätäydellisyyslauseen, jonka mu-kaan jokaisessa formaalisessa järjestelmässä (kuten aksiomatiikoissa) on ainakinyksi tosi lause, jota ei kuitenkaan voi todistaa tämän kyseisen järjestelmän puit-teissa. On siis olemassa tosia ja epätosia lauseita, joidentotuussarvoa ei voidaperustella kyseisessä aksiomatiikassa. Näin matematiikka ei voikaan olla sisäises-ti täysin konsistentti, ja mm. Fregen yritys luoda täydellinen rakennemalli (edessilloiselle) matematiikalle oli tuomittu epäonnistumaan.

36 2 JOUKKO-OPPIA

Frege ei kestänyt työhönsä kohdistunutta iskua, vaan katkeroitui ja vetäytyi tutkimusalaltariviopetustyöhön. Cantorkaan ei lopulta kestänyt hänen matematiikkaansa kohdistettuakritiikkiä; hänen elämänsä viimeiset vuodet kuluivat mielisairaalassa. Gödel taas kuvittelinuoruudestaan lähtien itselleen erilaisia sairauksia. Vanhetessaan hän alkoi pelätä, ettähänet myrkytetään, ja lopulta – syömättömyyttään – kuoli aliravitsemukseen.

Tehtävä 2.8.2 Ota selville – jos uskallat – aksiomaattisen joukko-opin aksioomat,Valinta-aksiooma ja Kontinuumihypoteesi.

2.9 ∗Sumeasta joukko-opista 37

2.9 ∗Sumeasta joukko-opista

Sumeat joukot(fuzzy set) ovat sumean logiikan (ks. Luku 1) kanssa yhteensopivajoukko-opin laajennus. Siinä alkio voi kuulua kokonaan tai’jossain määrin’ tiet-tyyn joukkoon. Esimerkiksi ihmisten joukko voidaan jakaa sumeisiin osajoukkoi-hin ”lapset”, ”nuoriso”, ”aikuiset”, ja ”vanhat”. Yhden ihmisen voidaan (tietyllähetkellä) katsoa kuuluvan jossain määrin sekä lasten että nuorten joukkoon. Sopi-malla yhteinen matemaattinen malli voidaan ilmiö mekanisoida ’laskennoksi’.

Tavallisessa joukko-opissa alkion kuulumista joukkoonA ⊆ X voidaan mitatatotuusarvoin tai nk.karakteristisen funktionavulla;

χA(x) :=

{1, x ∈ A

0, x ∈ X \ A

Sumeassa joukko-opissa tavallisen perusjoukonX sumeaa osajoukkoaA voidaankarakterisoida nk.jäsenyysfunktiollaJA, jonka maalijoukoksi otetaan suljettu väli[0, 1]. Alkion x kuuluessa kokonaan joukkoonA sillä on täysi jäsenyysaste1 tässäjoukossa,JA(x) = 1. Yleisesti siis jokaiselle perusjoukon alkiolle ja sumealleosajoukolle0 ≤ JA(x) ≤ 1.

Esimerkki 2.9.1 Ihmisten sumean osajoukon ”nuoriso” jäsenyysfunktion valintaon tietenkin tulkinnanvarainen, eräs ehdotus näkyy Kuvassa 8.

1

0 403530252015105

Kuva 8: Eräs ehdotus nuorison jäsenyysfunktioksi iän mukaan

Tehtävä 2.9.2 Hahmottele joukon ”lapset” jäsenyysfunktiota.

3 Lausefunktiot

Luvuissa 1 ja 2 esitellyt lauselogiikka ja joukko-oppi yhdistyvät hyödyllisellä ta-valla nk. kvanttorien avulla. Tarkasteltavat ”lausefunktiot” ovat todellakin tulkit-tavissa (totuusarvoisiksi)funktioiksi (ks. Luku 5), mutta tässä emme funktiofor-malismia vielä täysin käytä.

3.1 Avoin lause ja kvanttorit

Määritelmä 3.1.1 Olkoon A ⊆ X epätyhjä joukko. IlmausP (x) on joukossaA määriteltyavoin lauseeli lausefunktio(predicate, propositional function), josP (x) on looginen lause (tosi tai epätosi) silloin, kun siihen sijoitetaan mikä ta-hansa joukonA alkio. LausefunktionP ratkaisujoukkoLP on niiden alkioidenxmuodostama joukko, joillaP on tosi.

Esimerkki 3.1.2 P (x) := ”x + 3 < 7” on reaalilukujen joukossa määriteltylausefunktio.P on tosi, kunx < 4 ja epätosi, kunx ≥ 4. TätenLP = ]−∞, 4[.

Esimerkki 3.1.3 Q(n) := ”Luku n on parillinen.” on vaikkapa kokonaislukujenjoukossa määritelty lausefunktio. Tosia ovat arvotQ(2n) eli . . . , Q(−2), Q(0),Q(2), Q(4),. . . ja epätosia kaikki arvotQ(2n + 1), missän ∈ Z. TätenLQ ={ 2n | n ∈ Z }.

Lausefunktioista voidaan muodostaa loogisia lauseita seuraavienkvanttorien(quan-tifier) avulla:∀ kaikkikvanttori(for all )∃ olemassaolokvanttori(exists)

Muistisääntö: ’All’ → A → ∀, ’Exists’ → E → ∃.

Syntaksi: Kun P on muuttujastax ∈ A riippuva lausefunktio, saadaan kaksierilaista (suljettua) lausetta

∃ x ∈ A : P (x) , luetaan ”On olemassa (ainakin yksi)x ∈ A, jolleP (x) on tosi.”

∀ x ∈ A : P (x) , luetaan ”Jokaisellax ∈ A on voimassaP (x).” tai ”Olipa x ∈ A

mikä tahansa, niinP (x) on tosi.”

Huomautus 3.1.4 a) Olemassaolokvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein”siten, että” tai ”sellainen . . . , että”b) Kaikkikvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein ”on voimassa” tai ”ontotta” .

3.1 Avoin lause ja kvanttorit 39

Esimerkki 3.1.5 a) Lause

∃ x ∈ R : x+ 3 < 7

luetaan ”On olemassa reaalilukux, jolle päteex+ 3 < 7”.Lause on tosi, sillä esimerkiksi1 + 3 < 7.b) Lause

∀ x ∈ R : x+ 3 < 7

luetaan ”Kaikilla reaaliluvuillax on voimassax+ 3 < 7”.Lause on epätosi, sillä esimerkiksi5 + 3 ≥ 7.

Lausefunktiossa voi olla myös useita muuttujia. Lausefunktiota sanotaan yksi-,kaksi-, kolme- jne. paikkaiseksi sen mukaan, kuinka monta muuttujaa siinä on.

Tehtävä 3.1.6P (x, y) := ”x2 + y2 = 1” on kaksipaikkainen lausefunktio, kunmäärittelyjoukko valitaan sopivasti. Keksi sellainen ja selvitä missäP se on tosi.

JoukossaA×B määritellystä kahden muuttujan avoimesta lauseestaP (x, y) saa-daan kvanttorien avulla periaatteessa 8 eri lausetta:

1) ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y)

”On olemassa alkiotx ∈ A ja y ∈ B, joille P (x, y) on tosi.”

2) ∃ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y)

”On olemassa (kiinteä)x ∈ A siten, että jokaiselley ∈ B on voimassaP (x, y).””On olemassa sellainenx ∈ A, että olipay ∈ B mikä tahansa,P (x, y) on tosi.”

3) ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y)

”Jokaistax ∈ A kohti on olemassa sellaineny ∈ B, ettäP (x, y) on tosi.””Olipa x ∈ A mikä tahansa, niin aina löytyy sellaineny ∈ B, ettäP (x, y) pätee.”

4) ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y)

”Jokaisellax ∈ A ja y ∈ B on voimassaP (x, y).””P (x, y) pätee kaikillax ∈ A ja y ∈ B.”

Vaihtamalla muuuttujien järjestys kvanttorien perässä saadaan toiset neljä:1’) ∃ y ∈ B, ∃ x ∈ A : P (x, y)

2’) ∃ y ∈ B, ∀ x ∈ A : P (x, y)

3’) ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : P (x, y)

4’) ∀ y ∈ B, ∀ x ∈ A : P (x, y)

Kuitenkin vain 6 niistä on loogisesti erilaisia; nimittäinlauseilla 1) ja 1’) on ainasama totuusarvo, samoin lauseilla 4) ja 4’).

40 3 LAUSEFUNKTIOT

Kvanttorien järjestyksen merkitys: Kun avointa lausetta suljettaessa käytetäänmolempia kvanttoreita∀ ja ∃, on oltava hyvin tarkkana; sekä niiden keskinäinenjärjestys että muuttujien järjestys voivat vaikuttaa lauseen totuusarvoon!

Esimerkki 3.1.7 OlkoonP (x, y) := ”y = |x|”, missäx ∈ R ja y ∈ R.

1) ∃ x ∈ R, ∃ y ∈ R : y = |x| on tosi, sillä esimerkiksi1 = |1|.2) ∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R : y = |x| on epätosi. Jokaisellax ∈ R on esimerkiksi−1 = |x| epätosi.

3) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R : y = |x| on tosi. Mielivaltaisellex ∈ R voidaan valitay := |x|; silloin y = |x|.4) ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R : y = |x| on epätosi, sillä esimerkiksi1 6= |3|.2’) ∃ y ∈ R, ∀ x ∈ R : y = |x| on epätosi. Olkoony ∈ R mielivaltainen. Jos nyty = 0, valitaan vaikkapax := 1, jolloin 0 6= |1|. Jos taasy 6= 0, valitaan vaikkapax := 0. Silloin y 6= |0|.3’) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R : y = |x| on epätosi. Kuny := −1, niin arvostaxriippumatta ony 6= |x|.

Tehtävä 3.1.8 Kirjoita kvanttorien avulla lause: ”Jokaista reaalilukuax vastaasellainen luonnollinen lukun, ettäx kuuluu välille[n, n+1[.”

Tehtävä 3.1.9 Koeta esittää kvanttorien avulla nk. kokonaislukujen jakoyhtälö:Josm ∈ Z ja n ∈ N, on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt luvutq, r ∈ Z, joillem = qn+ r ja 0 ≤ r < n.

3.2 Lausefunktion negaatio

Kvanttoreilla suljetun lausefunktion negaatio saadaan vaihtamalla olemassaolo-kvanttori∃ kaikkikvanttoriksi∀ ja päinvastoin sekä ottamalla lausefunktion ne-gaatio. Esimerkiksi:

• ¬ (∃ x ∈ A : P (x)) ≡ ∀ x ∈ A : ¬P (x)”Ei pidä paikkaansa, että on olemassax ∈ A, jolle P (x) pätee.””Ei ole olemassa alkiotax ∈ A, jolle P (x) pätee.””jokaisellex ∈ A onP (x) epätotta.”

• ¬ (∀ x ∈ A : P (x)) ≡ ∃ x ∈ A : ¬P (x)”Ei pidä paikkaansa, että kaikillax ∈ A päteeP (x).””On olemassa ainakin yksi alkiox ∈ A, jolle P (x) ei päde.”

¬ (∃ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y)) ≡ ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B : ¬P (x, y)

3.2 Lausefunktion negaatio 41

Lause on epätosi, jos ja vain jos sen negaatio on tosi. Se, että jokin lause on epä-tosi, voidaan perustella negaation avulla. Tarkemmin:

Huomautus 3.2.1 1) Lause∃ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi kon-kreettisella esimerkillä ja epätodeksi näyttämällä, ettäkaikilla x ∈ A ja kaikillay ∈ B pätee¬P (x, y).

2) Lause∃ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi antamalla esimerkkijostakin sellaisestax ∈ A, jolle P (x, y) on voimassa kaikillay ∈ B.Lause osoitetaan epätodeksi antamalla jokaistax ∈ A kohti esimerkki sellaisestay ∈ B, että¬P (x, y) on voimassa.

3) Lause∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi antamalla jokaistax ∈ Akohti sellainen alkioy ∈ B, ettäP (x, y) on tosi.Lause osoitetaan epätodeksi antamalla esimerkki sellaisesta alkiostax ∈ A, ettäkaikilla y ∈ B on voimassa¬P (x, y).

4) Lause∀ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi näyttämällä, että kaikillax ∈ A ja kaikilla y ∈ B on voimassaP (x, y).Lause osoitetaan epätodeksi antamalla (yhdet) alkiotx ∈ A ja y ∈ B, jolleP (x, y) ei ole voimassa, ts.¬P (x, y) on tosi.

Tehtävä 3.2.2 Mitkä seuraavista kolmen muuttujan lausefunktion avulla muo-dostetusta lauseista ovat tosia:

a)∃ x, ∀ y, ∀ z : x(y + z2) = 0b) ∀ x, ∀ y, ∃ z : x(y + z2) = 0c) ∀ x, ∃ z, ∀ y : x(y + z2) = 0d) ∀ x, ∀ z, ∃ y : x(y + z2) = 0e)∀ x, ∃ y, ∀ z : x(y + z2) = 0f) ∃ z, ∀ y, ∀ x : x(y + z2) = 0g) ∃ y, ∃ x, ∀ z : x(y + z2) > 0

Tehtävä 3.2.3 Keksi esimerkki lausefunktiostaP (x, y, z), jolle seuraavilla lau-seilla on eri totuusarvo:

a)∃ x, ∀ y, ∃ z : P (x, y, z)b) ∃ x, ∃ y, ∀ z : P (x, y, z)

Tehtävä 3.2.4 Keksi selitys seuraavalle (vrt. Luku 2.6) lauseelle:

∀ x ∈ B, ∃ i ∈ N : x ∈ Ai.

Tehtävä 3.2.5 Kannattaa huomata, että kvanttoreilla lauseeksi muunnettava lause-funktio voi olla johdettu lause, esimerkiksi implikaatiolause. Mikä onkaan impli-kaationP ⇒ Q negaatio, mikä vastaavan ekvivalenssin?

4 Relaatiot

Luvussa käsitellään tulojoukkojen osajoukkoja, nk. relaatioita, mm. ekvivalens-si ja järjestys, jotka ovat tärkeimpiä yhden joukon sisäisiä ei-algebrallisia relaa-tiotyyppejä. Tulojoukko esiintyi jo Luvussa 2. Luvussa 5 käsitellään tarkemminfunktioita ja laskutoimituksia.

4.1 Tulojoukko

Epätyhjien joukkojenX jaY tulojoukoksieli karteesiseksi tuloksi(cartesian pro-duct) X×Y sanotaan joukkoa, jonka alkioina on kaikki järjestetyt parit, joissaensimmäinen alkio on joukostaX ja jälkimmäinen alkio on joukostaY, siis

X×Y := { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y }.Huomautus 4.1.1 JosX = Y, niin voidaan merkitäX×X =: X2.

Esimerkki 4.1.2 OlkoonX := {1, 2} jaY := {2, 3}. Tällöin

X×Y = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)},Y ×X = { (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}.

Siis yleensäX×Y 6= Y ×X.

Lause 4.1.3OlkootX, Y jaZ joukkoja. Tällöin

a) X× (Y ∪ Z) = (X×Y) ∪ (X× Z),

b) X× (Y ∩ Z) = (X×Y) ∩ (X× Z),

c) (X ∪Y)× Z = (X× Z) ∪ (Y × Z),

d) (X ∩Y)× Z = (X× Z) ∩ (Y × Z).

Todistus. Todistetaan malliksi kohta b), muut kohdat jäävät harjoitustehtäviksi.Logiikan laskusääntöjen mukaan (täydennä perustelut):

(x, y) ∈ X× (Y ∩ Z) ⇔ (x ∈ X) ∧ (y ∈ Y ∩ Z)

⇔ (x ∈ X ∧ x ∈ X) ∧ (y ∈ Y ∧ y ∈ Z)

⇔ (x ∈ X ∧ y ∈ Y) ∧ (x ∈ X ∧ y ∈ Z)

⇔ ((x, y) ∈ X×Y) ∧ ((x, y) ∈ X× Z)

⇔ (x, y) ∈ (X×Y) ∩ (X× Z)

�

4.1 Tulojoukko 43

Tulojoukkoa voidaan havainnollistaa tasokuvion avulla. Kuvio voi olla koordinaa-tisto, mutta yhtä hyvin jokin abstraktimpi esitys.

Esimerkki 4.1.4 OlkootX := {1, 2, 3}, Y := {2, 3} jaZ := {a, b, c}. Tällöin

X×Y = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)},Y × Z = {(2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)},

joita esittävät Kuvan 9 tasokuviot

1

2

3y

x1 2 3

a

b

c

2 3 Y

Z

Kuva 9: Esimerkin 4.1.4 tasokuviohavainnollistukset

Esimerkki 4.1.5 Olkoot

X := [0, 1] = { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1 } ja

Y := [1, 2] = { x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 }.

Tällöin Kuva 10 havainnollistaa tulojoukkoa

X×Y = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 ja 1 ≤ y ≤ 2 }.

1

2y

x1 20

Kuva 10: Esimerkin 4.1.5 tasokuviohavainnollistus

44 4 RELAATIOT

4.2 Relaatio

Määritelmä 4.2.1 OlkootX jaY epätyhjiä (perus)joukkoja. Kaikkia tulojoukonX×Y osajoukkoja sanotaanrelaatioiksi(relation) joukosta (tai joukolta)X jouk-koonY. JosR ⊆ X×Y ja (x, y) ∈ R, niin sanotaan: ”Alkiox on relaatiossaRalkiony kanssa”. RelaatiossaR oloa merkitään myösxRy.

Esimerkki 4.2.2 OlkootX := {1, 2, 3, 4}, Y := {1, 2, 3} ja

R := {(1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2)}.

TällöinR on relaatio joukostaX joukkoonY. Relaatiota voidaan havainnollistaaeri tavoin, Kuvassa 11 nuolidiagrammina ja karteesisena diagrammina.

1

2

3

4

1

2

3

X

Y

1

2

3

1 2 3 4

X

Y

Kuva 11: Esimerkin 4.2.2 relaatio nuoli- ja tasokuviona

Esimerkki 4.2.3 Määritellään relaatioR ⊆ N× N asettamalla

xRy ⇔ x+ y ≤ 4.

IlmaiseR järjestettyjen parien joukkona ja piirrä sen kuvaaja.

Ratkaisu.R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} ja kuvaaja Kuvassa 12.

1

2

3

y

1 2 3 x

Kuva 12: Esimerkin 4.2.3 kuvaaja

Tehtävä 4.2.4 Entä relaatioS ⊆ N× Z, xRy ⇔ x+ y ≤ 4 ?

4.3 Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat 45

4.3 Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat

Nimetään relaation osapuolet ja joukot, joiden kanssa tietty alkio tai joukko onrelaatiossa.

Määritelmä 4.3.1 OlkootX ja Y epätyhjiä joukkoja. RelaatiossaR ⊆ X × Y

ensimmäistä joukkoaX sanotaan relaationlähtöjoukoksi(domain) ja jälkimmäis-tä joukkoaY sanotaan relaationmaalijoukoksi(co-domain). Sanomme myös, ettärelaationsuuntaon joukostaX joukkoonY.

Esimerkki 4.3.2 Joukosta

R := { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6) }

tulee relaatio ainakin seuraavilla valinnoilla:

a) Lähtöjoukko ja maalijoukko ovatX := {1, 2, 3, 4, 5, 6}; silloin R ⊆ X×X.Myöskin tätä laajemmat joukot kelpaavat.

b) Lähtöjoukko onX := {2, 3} ja maalijoukkoY := {2, 4, 6}. Nämä ovat sup-peimmat kelvolliset joukot, joilleR ⊆ X×Y, ja siis on relaatio.

Tehtävä 4.3.3 Mitkä seuraavista joukoista sopivat joukon

R := { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6) }

lähtö- ja maalijoukoiksiX jaY (ks. myös Esimerkki 4.3.2):

1)X := {1, 2, 3} jaY := {1, 2, 4, 6}.

2)X := {2, 3, 4} jaY := {3, 4, 5, 6}.

3)X := {−1, 2, 3} jaY := R.

4)X := N jaY := Q.

Huomautus 4.3.4 a) Monesti relaation lähtöjoukossa ja maalijoukossa on alkioi-ta, jotka eivät lainkaan esiinny itse relaation alkiopareissa. Joskus nämä voi-daan jättää kokonaan huomiotta (esimerkiksi poistamalla lähtö- tai maalijoukos-ta), mutta toisinaan ne vaikuttavat olennaisesti relaation ominaisuuksiin (esimer-kiksi refleksiivisyys ja funktio-ominaisuus).

b) Englanninkielisessä terminologiassa ’lähtöjoukko’ onuseindomain, mutta toi-saalta tämä voi tarkoittaa myös todellista ’määrittelyjoukkoa’, joka voi olla sup-peampi kuin lähtöjoukko. Funktion tapauksessa nämä ovat kuitenkin sama asia,ominaisuus sisältyy funktion määritelmään (ks. Luku 4.5).

46 4 RELAATIOT

Usein on tarpeen poimia relaatiosta osia tai selvittää alkioihin tai osajoukkoihinliittyvät jäsenet.

Määritelmä 4.3.5 OlkoonR ⊆ X×Y relaatio. Lähtöjoukon osajoukonA ⊆ X

kuvajoukko(image) relaatiossaR on maalijoukon osajoukko

R(A) := { y ∈ Y | (x, y) ∈ R jollakin x ∈ A }.

Vastaavasti maalijoukon osajoukonB ⊆ Y alkukuvajoukko(pre-image) on läh-töjoukon osajoukko

R−1(B) := { x ∈ X | (x, y) ∈ R jollakin y ∈ B }.

Erityisesti lähtöalkionx ∈ X kuvajoukko on

R(x) := R({x}) = { y ∈ Y | (x, y) ∈ R }

ja maalialkiony ∈ Y alkukuvajoukko

R−1(y) := R−1({y}) = { x ∈ X | (x, y) ∈ R }.

Relaationmäärittelyjoukko(domain) on koko maalijoukon alkukuvaR−1(Y) ⊆X ja arvojoukko(range) on koko lähtöjoukon kuvajoukkoR(X) ⊆ Y.

Esimerkki 4.3.6 JoukonX := {1, 2, 3, 4, 5, 6} relaatiossa (ks. myös Esimerkki4.3.2 ja Tehtävä 4.3.3)

R := {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}

alkion2 kuvajoukkoR(2) = {2, 4, 6} ja alkion2 alkukuvajoukkoR−1(2) = {2}.

Joukon{1, 2} kuvajoukko on{2, 4, 6} ja joukon{3, 4, 5} kuvajoukko on{6}.

Joukon{1, 2, 3} alkukuvajoukko on{2} ja joukon{5, 6} alkukuvajoukko{2, 3}.

Joukon{1, 3, 5} alkukuvajoukko on∅.

Esimerkki 4.3.7 Kuvassa 13 on esitetty eräs joukkojenX := {1, 2, 3, 4} jaY :={a, b, c, d, e} välinen relaatioR.

LähtöjoukonX alkioiden kuvajoukot ovat:

R(1) = {a}, R(2) = {a, b, d}, R(3) = {b, e}, R(4) = ∅.

MaalijoukonY alkioiden alkukuvajoukot ovat:

R−1(a) = {1, 2}, R−1(b) = {2, 3}, R−1(c) = ∅, R−1(d) = {2}, R−1(e) = {3}.

4.4 Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen 47

1

2

3

4

X

a

b

c

d

e

Y

Kuva 13: Esimerkin 4.3.7 kaavio

Edelleen esimerkiksi

R({2, 3}) = R({1, 2, 3}) = R(X) = {a, b, d, e}R({1, 4}) = R(1) = {a}R({1, 2}) = R({1, 2, 4}) = {a, b, d}

R−1({a, b}) = R−1({a, b, c}) = R−1({a, b, c, d}) = R−1(Y) = {1, 2, 3}R−1({b, c}) = R−1({b, c, d}) = R−1({b, c, d, e}) = R−1({d, e}) = {2, 3}.

Tehtävä 4.3.8 Relaation

C := { (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, x2 + y2 = 1 }lähtö- ja maalijoukot ovatR.

a) Määritä alkioiden0, 1/2, 1 ja 2 kuvajoukot.

b) Määritä alkioiden0, 1/2, 1 ja 2 alkukuvajoukot.

c) Mitkä olisivat suppeimmat mahdolliset lähtö- ja maalijoukot, joillaR voitaisiinkorvata niin, ettäC pysyisi samana joukkona?

Tehtävä 4.3.9 Määritä Esimerkin 4.3.7 (Kuva 13) tapauksessa

a) joukon{a, d} alkukuvan kuvajoukko.

b) alkion2 kuvajoukon alkukuvajoukko.

4.4 Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen

Tutustutaan seuraavaksi relaatioiden kääntämiseen ja yhdistämiseen sekä todiste-taan pari näitä koskevaa perustulosta.

Määritelmä 4.4.1 RelaationR ⊆ X × Y käänteisrelaatio(inverse relation) onjoukko

R−1 := { (y, x) | (x, y) ∈ R }.

48 4 RELAATIOT

Huomautus 4.4.2 a) Jokaisella relaatiollaR ⊆ X × Y on käänteisrelaatioR−1

ja se on itsekin relaatio, koskaR−1 ⊆ Y ×X.

b) Relaatio ja käänteisrelaatio toteuttavat ehdon

xRy ⇔ yR−1x,

ts. relaatioissa on samat parit mutta käänteisessä järjestyksessä; relaation suuntaon vaihtunut.

Esimerkki 4.4.3 OlkootX := {1, 2, 3, 4}, Y := {y, z} ja

R := {(1, y), (3, y), (3, z), (4, y)},ks. Kuva 14. Tällöin onR tulojoukonX×Y osajoukkona relaatio ja

R−1 = {(y, 1), (y, 3), (y, 4), (z, 3)}.

y

1 2 3 4

z

y

1

2

z

4

3

Kuva 14: Esimerkin 4.4.3 relaatiotR jaR−1

Esimerkki 4.4.4 a) OlkoonA kaikkien suomalaisten kirjainten aakkosjärjestystäkuvaava relaatio, siis

xAy ⇔ ”x on kirjaimeny edellä”.

Tällöin yA−1x tarkoittaa samaa: ”y on kirjaimenx jälkeen”.

b) OlkoonaKb jos ja vain jos ”a on oikealle kirjaimestab”. Silloin bK−1a tar-koittaa ”b on vasemmalle kirjaimestaa”.

Esimerkki 4.4.5 Edellä oli jo merkitty alkion kuvajoukkoaR(x) ja alkukuva-joukkoaR−1(y). Koska

R(x) = { y ∈ Y | (x, y) ∈ R } = { y ∈ Y | (y, x) ∈ R−1 } = (R−1)−1(x),

voidaan aavistella, ettäR = (R−1)−1.

4.4 Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen 49

Lause 4.4.6Jokaiselle relaatiolleR onR = (R−1)−1.

Todistus.OlkoonR ⊆ X×Y mielivaltainen relaatio. Sen käänteisrelaatioR−1 ⊆Y×X, ja edelleen sen käänteisrelaatio(R−1)−1 ⊆ X×Y. SiisR ja (R−1)−1 ovatsaman perusjoukonX×Y osajoukkoja. Sen, että joukot ovat samat, osoittaa lasku

(x, y) ∈ R ⇔ xRy ⇔ yR−1x ⇔ x(R−1)−1y ⇔ (x, y) ∈ (R−1)−1.

�

Määritelmä 4.4.7 JoukonX×X yksikkö-eli identtisyysrelaatio(unit, identity)on

IdX := { (x, x) | x ∈ X }.

Määritelmä 4.4.8 RelaatioidenR ⊆ X×Y ja S ⊆ Y×Z yhdistetty relaatioelikompositio(composition) on relaatio

S ◦R := { (x, z) ∈ X×Z | jollekin y ∈ Y : xRy ja ySz }.

Huomautus 4.4.9 a) JoukkojenX ja Z välille voi siis syntyä relaatio välittävienalkioideny ∈ Y avulla (tai kautta).

b) JosR ⊆ X×Y, niin R−1 ◦R ⊆ X×X jaR ◦R−1 ⊆ Y×Y.

c) YksikkörelaatioIdX vastaa algebrallisessa mielessä nk. neutraalialkiota (ks.Luku 9.2). Se on itse asiassa identtinen kuvausId(x) := x (ks. Luku 5).

Nimittäin, jokaiselleR ⊆ X×X on (harjoitustehtävä)

IdX ◦R = R ◦ IdX = R.

Esimerkki 4.4.10 Ihmisten joukossa relaatio

”henkilö x on henkilönz setä”

on relaatioiden ”henkilöx on henkilöny veli” ja ”henkilö y on henkilönz isä” yh-distetty relaatio, silläx on henkilönz setä, jos ja vain jos on (tai on ollut) olemassasellainen henkilöy, että henkilöx ony:n veli jay on henkilönz isä.

Tehtävä 4.4.11Olkoot X := {1, 2, 3}, Y := {a, b, c} ja Z := {α, β}. Piirräseuraavaan kuvioon nuolet, jotka kuvaavat relaatioita

R := {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, a)}, S := {(b, α), (c, α), (c, β)}

ja relaatioitaS ◦R sekäR−1:

50 4 RELAATIOT

X Y Z X Z Y X

R S S ◦R R−1

1 a 1 a 1α α

2 b 2 b 2β β

3 c 3 c 3

Lause 4.4.12RelaatioilleR ⊆ X×Y ja S ⊆ Y×Z pätee laskusääntö

(S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1.

Todistus. (S ◦ R)−1 ja R−1 ◦ S−1 ovat selvästikin relaatioita joukostaZ jouk-koonX. Seuraava ekvivalenssiketju osoittaa relaatiot samoiksi: Kullakin (z, x) ∈Z×X

(z, x) ∈ (S ◦R)−1 ⇔ z(S ◦R)−1x⇔ x(S ◦R)z⇔ jollekin y ∈ Y : xRy ja ySz⇔ jollekin y ∈ Y : yR−1x ja zS−1y⇔ jollekin y ∈ Y : zS−1y ja yR−1x⇔ z(R−1 ◦ S−1)x⇔ (z, x) ∈ R−1 ◦ S−1.

�

Lause 4.4.13RelaatioilleR ⊆ X×Y, S ⊆ Y×Z, T ⊆ Z×V pätee

(T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).

Todistus.KoskaT ◦ S ⊆ Y×V ja R ⊆ X×Y, on (T ◦ S) ◦ R relaatio joukostaX joukkoonV. KoskaT ⊆ Z×V jaS ◦R ⊆ X×Z, on myösT ◦ (S ◦R) relaatiojoukostaX joukkoonV. Väitteen osoittaa oikeaksi ekvivalenssiketju:

(x, v) ∈ (T ◦ S) ◦R ⇔ x((T ◦ S) ◦R)v

⇔ jollekin y ∈ Y : xRy ja y(T ◦ S)v⇔ joillekin y ∈ Y, z ∈ Z : xRy, ySz ja zTv⇔ jollekin z ∈ Z : x(S ◦R)z ja zTv⇔ x

(T ◦ (S ◦R)

)v

⇔ (x, v) ∈ T ◦ (S ◦R)

�

4.4 Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen 51

Huomautus 4.4.14a) Relaatioiden yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio.Lauseen 4.4.13 mukaan tulo on kuitenkin liitännäinen, joten voidaan merkitä

T ◦ S ◦R := (T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).

b) JoukonX×X relaatioiden joukko varustettuna kompositiolla◦ on algebralli-selta rakenteeltaanpuoliryhmä, jonka neutraalialkio on diagonaaliIdX. Käänteis-relaatio ei yleensä toteutaryhmän käänteisalkioltavaadittavia ehtoja

R ◦R−1 = R−1 ◦R = IdX,

joten kyseessä ei ole ryhmä (vasta bijektiivisten kuvausten joukko on ryhmä, ks.Luku 9.2).

c) Lauseiden 4.4.12 ja 4.4.13 tuloksia käyttäen voidaan laskea esimerkiksi

(T ◦ S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1 ◦ T−1.

Joukon sisäiselle relaatiolle voidaan määritelläpotenssityhdistämällä sitä itsensäkanssa toistuvasti:

Määritelmä 4.4.15 RelaationR ⊆ X×X n. potenssi(power) Rn määritelläänluvuille n ∈ N0 seuraavasti:

1. R0 := IdX,

2. Rn+1 := Rn ◦R, n ∈ N0.

Nyt esimerkiksiR3 = (R◦R)◦R = R◦R◦R. Mitä onR1? Määritelmän kohdat1 ja 2 antavat tuloksenR1 = R0 ◦ R = IdX ◦ R. Mutta Huomautuksen 4.4.9yhteydessäpä on tulosR = IdX ◦R, jotenR1 = R.

Esimerkki 4.4.16 Relaatio ”olla isoisä” on relaation ”olla isä” toinen potenssi,”olla isoisän isä” kolmas potenssi jne.

Määritelmä 4.4.17 Sanomme, ettäR-ketjuvallitsee alkioidenx ja y välillä, josniiden välillä vallitsee jokin relaationR potenssi.

Esimerkki 4.4.18 Relaatio ”isänpuoleinen esi-isä” on yleisessä muodossa esitet-ty R-ketju, kunR = ”isä”.

Tehtävä 4.4.19Formuloi ”isä”-relaatio tarkemmin, ja kirjoita potenssimuodossa”isänisänisänisänisänisä”.

52 4 RELAATIOT

4.5 Funktio

Määritelmä 4.5.1 Relaatiof ⊆ X × Y on funktio (function) eli kuvaus(map)joukostaX joukkoonY, jos

F1) jokaistax ∈ X vastaay ∈ Y siten, että(x, y) ∈ f ,

F2) jos(x, y1) ∈ f ja (x, y2) ∈ f , niin y1 = y2.

Relaatiof ⊆ X×Y on siis funktio, jos ja vain jos jokaistax ∈ X vastaatäsmäl-leen yksiy ∈ Y siten, että(x, y) ∈ f .

Kaikki funktiot ovat relaatioita, mutta kaikki relaatiot eivät ole funktioita.

Esimerkki 4.5.2 Esimerkin 4.4.3 relaatioR = {(1, y), (3, y), (3, z), (4, y)}ei olefunktio, koska3Ry ja 3Rz (olettaen tietysti, ettäy 6= z). OnkoR−1 funktio?

Josf ⊆ X×Y on funktio, käytetään merkintääf : X → Y. Jos lisäksi(x, y) ∈f , niin merkitäänf(x) := y ja sanotaan, ettäx on muuttuja(variable) ja alkio yon alkionx kuva(image) funktiossaf .

Esimerkki 4.5.3 OlkoonX ihmisten joukko jaR ⊆ X× R relaatio

xRy ⇔ ihmisenx pituus ony.

TällöinR on funktio joukoltaX joukkoonR. Voidaan merkitä

f(x) := ihmisenx pituus.

Jaa, mutta eikös tässä ole jotain ongelmallista?

Esimerkki 4.5.4 OlkootX := {1, 2, 3} ja Y := {1, 2, 3, 4, 5}. Relaatioista (ks.Kuva 15)

R1 := {(1, 1), (2, 1), (3, 4), (1, 3)}R2 := {(1, 1), (2, 1), (3, 4)}R3 := {(1, 1), (2, 1)}

vainR2 on funktio. Miksi muut eivät ole?

Huomautus 4.5.5 a) Merkintäf tarkoittaa itse funktiota,f(x) tarkoittaa funktionf arvoa pisteessäx.

b) Funktionf : X → Y määrittelyjoukolle (joka on sama kuin lähtöjoukko,miksi?) käytetään joskus merkintääMf = X. Vastaavasti arvojoukkoa merkitäänAf = f(X).

4.5 Funktio 53

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

R1 R3R2

X

Y

X

Y

X

Y

Kuva 15: Esimerkin 4.5.4 relaatiot

Tehtävä 4.5.6 Olkoon lähtöjoukkoN ja maalijoukko sopivaY, jotta sääntön 7→3n+ 6 muodostaa funktion.

a) Keksi sopivaY.

b) Mikä on funktion arvojoukko?

Tehtävä 4.5.7 Mitkä seuraavista kolmikoista ”lähtö - maali - sääntö” voivat muo-dostaa funktion jollakin järkevällä tavalla:

a){1, 2, 3} - {2, 3, 4} - lisätään lukuun1.

b)N - Z - arvotaan luvulle etumerkki.

c) Aakkoset - luvut - järjestysluku.

d)R - R+ - etäisyys.

e) Taso -R - etäisyys.

f) Kissat - koirat - tykkääminen.

Huomautus 4.5.8 Milloin kaksi funktiota ovat samat? Kaksi funktiotaf : X →Y ja g : U → V ovatsamat(identical), merkitäänf = g (tai myösf ≡ g), jos

(1) X = U,

(2) Y = V,

(3) f(x) = g(x) kaikilla x ∈ X.

Funktion käsitettä ja ominaisuuksia tarkastellaan perusteellisemmin Luvussa 5.

54 4 RELAATIOT

4.6 Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä

Funktio saattoi olla kahden eri joukon välinen relaatio. Tarkastellaan vielä yhdenjoukon sisäisiä relaatioita. Nimetään aluksi relaatioiden tärkeimpiä ominaisuuk-sia.

Määritelmä 4.6.1 RelaationR ⊆ X×X sanotaan olevan

a) refleksiivinen, jos jokaisellex ∈ X onxRx,

b) symmetrinen, jos kaikillax, y ∈ X pätee

xRy ⇒ yRx.

c) antisymmetrinen, jos kaikillax, y ∈ X pätee

xRy ∧ yRx ⇒ x = y.

d) transitiivinen, jos kaikillax, y, z ∈ X pätee

xRy ∧ yRz ⇒ xRz.

e) täysi(total, trichotomous), jos kaikillax, y ∈ X päteexRy tai yRx.

Lause 4.6.2RelaatioR ⊆ X×X on

α) refleksiivinen jos ja vain josIdX ⊆ R,

β) symmetrinen jos ja vain josR = R−1,

γ) antisymmetrinen jos ja vain josR ∩R−1 ⊆ IdX,

δ) transitiivinen jos ja vain josR ◦R ⊆ R,

ǫ) täysi jos ja vain josR ∪ R−1 = X×X.

Todistus.Kohdatα), β) ja ǫ) ovat ilmeisiä. Kohtaδ) on harjoitustehtävä. Todiste-taan näytteeksi kohtaγ).

⇒ OlkoonR antisymmetrinen ja(x, y) ∈ R ∩ R−1. Silloin on xRy ja yRx,joten antisymmetrisyyden perusteellax = y ja siten(x, y) ∈ IdX.

⇐ Kääntäen: oletetaan, ettäR ∩ R−1 ⊆ IdX. OlkootxRy ja yRx, jolloin myösxR−1y. Silloin (x, y) ∈ R∩R−1 ⊆ IdX, jotenx = y. SiisR on antisymmetrinen.�

4.7 Ekvivalenssirelaatio 55

4.7 Ekvivalenssirelaatio

Ekvivalenssirelaatio on tärkeä erikoistapaus joukon sisäisestä relaatiosta. Se onrelaatio, joka esittää joukon alkioiden jotakin yhteistä ominaisuutta.

Ekvivalenssirelaatio = ”samankaltaisuussuhde”.

Määritelmä 4.7.1 RelaatioE ⊆ X ×X on joukossaX määriteltyekvivalenssi-relaatio (equivalence relation), jos

E1) xEx kaikilla x ∈ X, refleksiivisyys

E2) xEy ⇒ yEx, symmetrisyys

E3) xEy ja yEz ⇒ xEz. transitiivisuus

Esimerkki 4.7.2 OlkoonX := {1, 2, 3}. Tällöin

E := {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}

on ekvivalenssirelaatio.

123

y

x

1 2 3

Esimerkki 4.7.3 OlkoonX := kaikkien ihmisten joukko. Määritellään relaatioE ⊆ X×X asettamalla

xEy ⇔ ”Henkilöillä x ja y on sama etunimi.”

Tällöin E on ekvivalenssirelaatio, mikäli kultakin henkilöltä käytetään vain yhtäkutsumanimeä.

Esimerkki 4.7.4 MääritelläänR ⊆ Z× Z asettamalla

xRy ⇔ ”x+ y on parillinen.”.

OnkoR ekvivalenssirelaatio?

56 4 RELAATIOT

Ratkaisu. Tarkastetaan ekvivalenssin määritelmän kohdat:

E1)xRx kaikilla x ∈ Z, silläx+ x = 2x on parillinen.

E2) OlkoonxRy. Silloin x+ y = y + x on parillinen ja sitenyRx.

E3) OlkootxRy jayRz. Silloinx+y jay+z ovat parillisia, siis muotoax+y = 2mja y + z = 2n joillakin m, n ∈ Z. Koska

x+ z = (x+y) + (y+z)− 2y = 2m+ 2n− 2y = 2(m+ n− y),

missäm+n−y ∈ Z, onx+z parillinen ja sitenxRz.

Kohtien E1-3) nojallaR on ekvivalenssirelaatio.

Tehtävä 4.7.5 Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossaX. Onko totta, että josotetaan osajoukkoA ⊆ X ja rajoitetaanE tähän, niin saadaan ekvivalenssi jou-kossaA?

Ekvivalenssirelaatiolla on luokitteleva ominaisuus, se antaa keinon ”niputtaa” jou-kon alkiot relaation ominaisuuden perusteella ”karsinoihin”.

Määritelmä 4.7.6 OlkoonE joukossaX määritelty ekvivalenssirelaatio jaa ∈X. Joukko

E(a) := { x ∈ X | aEx }on alkiona määräämäekvivalenssiluokka(equivalence class).

JoukkoE(a) sisältää siis kaikki ne joukonX alkiot, joiden kanssaa on relaatiossaE. Relaation symmetrisyyden nojalla myösE(a) = { x ∈ X | xEa }

Esimerkki 4.7.7 OlkootX := {1, 2, 3} jaE := {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}.Tällöin

E(1) = {1, 3}E(2) = {2}E(3) = {1, 3} = E(1).

Esimerkki 4.7.8 OlkoonE ⊆ Z×Z Esimerkin 4.7.4 ekvivalenssirelaatio:

xEy ⇔ ’x+ y on parillinen’.

Tällöin

E(0) = {0,±2,±4, . . .} = E(2) = E(4) = . . . ,

E(1) = {±1,±3,±5, . . .} = E(3) = E(5) = . . .

4.7 Ekvivalenssirelaatio 57

Huomautus 4.7.9 Olkoon E ⊆ X × X ekvivalenssirelaatio. Tällöin jokainena ∈ X on relaatiossa itsensä kanssa, ts.aEa. Sitena ∈ E(a). Jokainen alkiokuuluu siis johonkin ekvivalenssiluokkaan, ainakin itsensä määräämään.

Ekvivalenssiluokkien yleiset ominaisuudet voidaan kootalauseeksi:

Lause 4.7.10JosE ⊆ X×X on ekvivalenssirelaatio, niin

a) a ∈ E(a) kaikilla a ∈ X,

b) aEb ⇔ E(a) = E(b),

c) a 6E b ⇔ E(a) ∩ E(b) = ∅,

d) X =⋃

a∈XE(a).

Todistus.Kohta a) on selvä. Kohta b):

⇒ Oletetaan, ettäaEb, ja osoitetaan kahdessa osassa, ettäE(a) = E(b).

1) Olkoonx ∈ E(a). Tällöin aEx ja symmetrisyyden nojalla myösxEa. Koskaoli aEb, on transitiivisuuden nojallaxEb, samoinbEx, eli x ∈ E(b). SiisE(a) ⊆E(b).

2) Symmetrisyyden nojallabEa. Vaihtamalla edeltävässä päättelyssä alkioidenaja b roolit, nähdään, ettäE(b) ⊆ E(a).

Kohdista 1) ja 2) seuraaE(a) = E(b).

⇐ Oletetaan, ettäE(a) = E(b). Osoitetaan, ettäaEb:

Koskaa ∈ E(a) jaE(a) = E(b), ona ∈ E(b). Mutta silloinhanaEb.

c) ⇐ Osoitetaan suoraan, että josE(a) ∩ E(b) = ∅, niin a 6E b.

Olkoon siisE(a) ∩ E(b) = ∅. KoskaaEa, ona ∈ E(a), jotena /∈ E(b). Muttasilloin a 6E b.

⇒ Osoitetaan epäsuorasti, että josa 6E b, niin E(a) ∩ E(b) = ∅; ts. josE(a) ∩E(b) 6= ∅, niin aEb.

Antiteesi: E(a) ∩ E(b) 6= ∅. Siis on olemassax ∈ E(a) ja x ∈ E(b). Koskax ∈ E(a), onaEx. Vastaavasti myösbEx ja symmetrisyyden nojallaxEb. KoskaaEx ja xEb, on transitiivisuuden nojallaaEb.

Mutta tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis antiteesi ei voi olla totta ja väiteon tosi.

Kohta d) jää helpoksi harjoitustehtäväksi. �

58 4 RELAATIOT

Ekvivalenssi ja ositus. Olkoon annettu ekvivalenssirelaatioE ⊆ X×X. KoskaEon refleksiivinen, on jokainen alkiox ∈ X relaatiossaE ainakin itsensä kanssa.Jokainen alkio on siis jossakin ekvivalenssiluokassa. Toisaalta mikään alkio eivoi kuulua Lauseen 4.7.10 nojalla useampaan kuin yhteen ekvivalenssiluokkaan.Täten ekvivalenssirelaatio jakaa perusjoukonX pistevieraisiin osiin, ts. määrääseuraavan määritelmän mukaisen osituksen.

Määritelmä 4.7.11 PerheA = {Xi ⊆ X | i ∈ I } on joukonX ositus(parti-tion), jos

a) jokainenXi on epätyhjä,

b)⋃

i∈I Xi = X,

c)Xi ∩Xj on tyhjä aina, kuni 6= j.

Lause 4.7.12a) EkvivalenssirelaationE ⊆ X×X määräämät ekvivalenssiluokat{E(x) | x ∈ X } muodostavat joukonX osituksen.

b) JosA = {Xi | i ∈ I } on joukonX ositus, on olemassa täsmälleenyksi ekvivalenssirelaatioE ⊆ X×X, joka muodostaa osituksenA, nimittäin

E := { (x, y) ∈ X×X | x, y ∈ Xi jollekin i }.

Todistus.Kohta a) on todettu edellä.

b) SelvästiE on relaatio joukossaX. Osoitetaan, ettäE on refleksiivinen, sym-metrinen ja transitiivinen.

1) Olkoonx ∈ X mielivaltainen. KoskaA on ositus, on olemassa indeksii ∈ I,jolle x ∈ Xi. Mutta silloin(x, x) ∈ E eli xEx. TätenE on refleksiivinen.

2) OlkootxEy. Silloin x ja y ovat samassa joukossaXj , joten myösyEx, mikäosoittaa symmetrisyyden.

3) OlkootxEy ja yEz. On olemassai1, i2 ∈ I, joille x, y ∈ Xi1 ja y, z ∈ Xi2 .Koskay kuuluu molempiin jaA on ositus, onXi1 = Xi2 . Siisx, z ∈ Xi1 eli xEz.RelaatioE on siis myös transitiivinen.

Tuli siis osoitetuksi, ettäE on ekvivalenssi. Jos lopuksiF ⊆ X×X on jokinekvivalenssi, joka määrää osituksenA, onxFy ⇔ x, y ∈ Xi ⇔ xEy, eli F = E.�

Huomautus 4.7.13Lause 4.7.12 osoittaa, että ekvivalenssirelaatio voidaanil-maista antamalla suoraan siihen liittyvä ositus.

Tehtävä 4.7.14OlkoonX := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sekäA := {1, 2, 3, 5, 7},B := {0, 4, 6, 9} jaC := {8}. Keksi ekvivalenssirelaatio, joka määrää joukolleX

osituksen{A,B,C}.

4.8 Järjestysrelaatio 59

4.8 Järjestysrelaatio

Määritelmä 4.8.1 JoukossaX määritelty relaatioJ ⊆ X ×X on osittainen jär-jestys(partial order), jos

J1) xJx kaikilla x ∈ X, refleksiivisyys

J2) xJy ja yJx ⇒ x = y, antisymmetrisyys

J3) xJy ja yJz ⇒ xJz. transitiivisuus

Esimerkki 4.8.2 OlkootX := {1, 2, 3, 4} ja

R := {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}

(ks. Kuva 16). RelaatioR on osittainen järjestys joukossaX, sillä

J1)xRx sillä (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R,

J2) JosxRy ja x 6= y, niin y 6Rx, tarkasta!

J3) JosxRy ja yRz niin xRz, tarkasta kaikki tilanteet!

123

y

x

1 2 3

4

4

2

1

3

4

2

1

3

4

Kuva 16: Esimerkin 4.8.2 järjestys taso- ja nuolikuviona jaHassen kaaviona

Nuolikaavioiden ohella järjestyksiä voidaan kuvata pelkistetyilläHassen kaavioil-la (saksalainen Helmut Hasse, 1898 - 1979), joissa relaatiossaolo kuvataan vaik-kapa ylöspäin olevalla nuolella tai janalla. Kuviosta jätetään luupit ja ’oikaisunuo-let’ pois, kun sitä sovitaan luettavan transitiivisesti. Kuviossa 16 relaatio1R4 nä-kyy välittävän alkion2 avulla. Hassen kaaviota saa käyttää vain ja ainoastaan jär-jestysrelaatioiden kuvaamiseen, koska niissä implisiittisesti oletetaan olevan kaik-ki luupit ja transitiivisuuden vaatimat oikaisunuolet!

60 4 RELAATIOT

Esimerkki 4.8.3 Relaatio≤ on osittainen järjestys reaalilukujen joukossaR.

J1)x ≤ x kaikilla x ∈ R.

J2)x ≤ y ja y ≤ x ⇒ y = x.

J3)x ≤ y ja y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Tämä on nk.luonnollinen järjestys(natural order) reaalilukujen joukossaR.

Esimerkki 4.8.4 Osajoukkorelaatio⊆ on osittainen järjestys joukonX potenssi-joukossaP(X) – siis kaikkien joukonX osajoukkojen joukossa.

Olkoon esimerkiksiX := {1, 2}. TällöinP(X) = {∅, {1}, {2},X}, ja

J1)∅ ⊆ ∅, {1} ⊆ {1}, {2} ⊆ {2} ja X ⊆ X; vastaava pätee yleises-tikin.

J2) Kun otamme mitkä tahansa kaksi joukonX osajoukkoaA ja B,joille A ⊆ B jaB ⊆ A, niin tiedämmekin jo, ettäA = B.

J3) ’Olla osajoukko’ myös siirtyy: JosA ⊆ B ja B ⊆ C, on myösA ⊆ C.

Tehtävä 4.8.5 Piirrä Esimerkkien 4.8.3 ja 4.8.4 tilanteet Hassen kaavioina.

Määritelmä 4.8.6 JoukonX osittainen järjestysR on täydellinen järjestystaitotaali järjestys(total order), jos se on osittainen järjestys ja täysi, ts.

J4) Kaikillax, y ∈ X on voimassaxRy tai yRx.

Täydellistä järjestystä sanotaan myöslineaariseksi järjestykseksi(linear order) tailyhyestijärjestykseksi(order).

Esimerkki 4.8.7 OlkootX := {1, 2, 3} ja

R := {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.

Tällöin R ei ole täydellinen järjestys, sillä ei ole voimassa2R3 eikä3R2. Relaa-tiostaR saadaan täydellinen järjestys lisäämällä joko alkio(2, 3) tai alkio (3, 2).

Esimerkki 4.8.8 Reaalilukujen joukonR luonnollinen järjestys≤ on täydellinenjärjestys.

Esimerkki 4.8.9 Määritellään luonnollisten lukujen joukossaN relaatio|:

x | y ⇔ ”x on luvuny tekijä.”

4.8 Järjestysrelaatio 61

Tämä luetaan myös näin: ”x jakaa luvuny”. Onko relaatio|a) osittainen järjestys?

b) täydellinen järjestys?

Ratkaisu: a) Kokonaislukux on luvuny tekijä, josy on jaollinen sillä, eli josy = kx jollakin k ∈ N.

J1)x | x kaikilla x ∈ N, silläx = 1 · x.

J2) Oletetaan, ettäx | y ja y | x joillakin x, y ∈ N. Seuraava lasku näyttää tämänkohdan todeksi (lisää tarkat perustelut):

x | y ja y | x ⇒ y = k1x ja x = k2y joillakin k1, k2 ∈ N

⇒ x = k1k2x, k1k2 ∈ N

⇒ k1k2 = 1

⇒ k1 = k2 = 1

⇒ x = y.

J3) Oletetaan, ettäx | y ja y | z joillakin x, y, z ∈ N. Silloin:

x | y ja y | z ⇒ y = k1x ja z = k2y joillakin k1, k2 ∈ N

⇒ z = k1k2x, k1k2 ∈ N

⇒ x | z.Siis | on osittainen järjestys.

b) J4) ei päde, sillä esimerkiksi2 ∤ 3 ja 3 ∤ 2. Siis | ei ole täydellinen järjestys.

Huomautus 4.8.10ReaalilukujenR järjestykseen≤ liittyy aito järjestysx <y ⇔ (x ≤ y ja x 6= y). Vastaavasti jokaiseen osittaiseen ja täydelliseen jär-jestykseenR liittyy aito järjestys(proper order) S, jolle

xSy ⇔ xRy ja x 6= y.

Määritelmä 4.8.11 Sanomme, että pari(E,≤) onosittain järjestetty joukko(par-tially ordered set), jos≤ on osittainen järjestys joukossaE.

Vastaavasti pari(E,≤) on totaalisti järjestetty joukkotai täysin järjestetty joukko(totally ordered set), jos≤ on täydellinen järjestys joukossaE.

Tarkastellaan lopuksi osittain järjestetyn joukonäärimmäisiä alkioita. Tätä var-ten on syytä todeta, että osittainen järjestys periytyy osajoukkoihin: Jos(E,≤) onosittain järjestetty joukko jaF ⊆ E, niin rajoittuma(F,≤) on myös osittain jär-jestetty joukko (koeta perustella!).Pitääkö vastaava asia paikkansa myös totaalisti järjestetyn joukon osajoukoille?

62 4 RELAATIOT

Määritelmä 4.8.12 Olkoon(E,≤) osittain järjestetty joukko jaF ⊆ E.

Alkio a ∈ E on minimaalinen, josx = a aina, kunx ≤ a.Alkio a ∈ E on maksimaalinen, josx = a aina, kuna ≤ x.

Alkio a ∈ E on äärimmäinen, josa on minimaalinen tai maksimaalinen.

Alkio a ∈ E on joukonE pienin alkio, josa ≤ x kaikilla x ∈ E.Alkio a ∈ E on joukonE suurin alkio, josx ≤ a kaikilla x ∈ E.

Alkio a ∈ E on joukonF alaraja, josa ≤ x kaikilla x ∈ F .Alkio a ∈ E on joukonF yläraja, josx ≤ a kaikilla x ∈ F .

Alkio a ∈ E on joukonF suurin alarajaeli infimum, jos se on joukonF alarajo-jen joukon suurin alkio.Alkio a ∈ E on joukonF pienin ylärajaeli supremum, jos se on joukonF ylära-jojen joukon pienin alkio.

JoukkoF on alhaalta(vast.ylhäältä) rajoitettu, jos sillä on alaraja (vast. yläraja)joukossaE.

JoukkoF on rajoitettu, jos se on alhaalta ja ylhäältä rajoitettu.

Esimerkki 4.8.13 Esimerkin 4.8.9 relaatio|

x | y ⇔ ”x on luvuny tekijä”

rajoitettuna joukkoonE := {1, 2, 3, 4, 5, 6} on esitetty Kuvassa 17 nuolikaavionaja Hassen kaaviona, josta on helppo tarkastaa osittaisen järjestyksen vaatimukset.

1

6

5

4

3

2 4 5

1

6

2 3

Kuva 17: Jaollisuusesimerkin 4.8.13 kaaviot

Tällä osittain järjestetyllä joukolla(E, | ) on ominaisuudet:

• äärimmäisiä alkioita ovat1, 4, 5 ja 6, joista1 on minimaalinen ja pienin alkio.

• suurinta alkiota ei ole, mutta4, 5 ja 6 ovat maksimaalisia.

• luku 6 on joukon{1, 2, 3, 6} yläraja ja supremum.

• joukolla{1, 2, 3, 5, 6} ei ole ylärajaa.

4.8 Järjestysrelaatio 63

Lause 4.8.14Olkoon(E,≤) osittain järjestetty joukko.

a) JoukossaE on korkeintaan yksi pienin ja yksi suurin alkio.

b) OsajoukollaF ⊆ E on korkeintaan yksi infimum ja supremum.

c) JoukossaE on pienin alkio jos ja vain josE on alhaalta rajoitettu. Vastaavapätee suurimmalle alkiolle.

Todistus.Kohdat a) ja b) ovat harjoitustehtäviä (vihje: antisymmetrisyys).Kohta c) on ilmeinen. �

Merkintöjä.JoukonE pienintä alkiota merkitäänminE ja suurintamaxE. Luon-nollisesti voidaan puhua myös osajoukonF ⊆ E pienimmästä ja suurimmastaalkiosta, kun paria(F,≤) tarkastellaan järjestettynä joukkona. JoukonF ⊆ E

suurinta alarajaa merkitääninf F , pienintä ylärajaasupF (vrt. Analyysit).

Tehtävä 4.8.15Piirrä Hassen kaavio Esimerkissä 4.8.9 määritellystä jaollisuusre-laatiosta| joukossaE := {1, 2, 3, . . . , 10} ja määritäsup{2, 4} sekäinf{4, 6, 10}.

Zornin lemma ja hyvin järjestäminen

Luvussa 2.8 mainitussa ZF-aksiomatiikassa valinta-aksiooman (C) kanssa yhtäpi-täviä ovat seuraavat järjestystä koskevat aksioomat:

Zornin lemma (saksalais-amerikkalainen Max August Zorn, 1906-1993). Olkoon(E,≤) epätyhjä osittain järjestetty joukko. Jos sen jokaisella totaalisti järjestetylläosajoukolla on yläraja, niin joukossaE on ainakin yksi maksimaalinen alkio.

Täysin järjestetty joukko(E,≤) onhyvin järjestetty, jos sen jokaisessa epätyhjäs-sä osajoukossa on pienin alkio. Tämä tarkoittaa mm. sitä, että jokaisella alkiollapitää ollavälitön seuraaja, muttei välttämättä välitöntä edeltäjää.

Pari(N,≤) on hyvin järjestetty, mutta(Z,≤) ei ole, kun≤ on tavallinen suuruus-järjestys. Kuitenkin kokonaisluvut (ja jopa rationaaliluvut, ks. Luku 12.7) voidaanjärjestää hyvin, esimerkiksi seuraavasti:

0,−1, 1,−2, 2,−3, 3,−4, 4, . . .

Hyvinjärjestämisaksiooma. Jokainen joukko on hyvinjärjestettävissä.

Lystikästähän tässä on se, ettei kukaan ole keksinyt miten edes reaaliluvut piste-tään hyvään järjestykseen!

5 Funktiot

Funktiot ovat erikoistapauksia relaatioista, joita käsiteltiin Luvussa 4. Luvussa 4.5funktio eli kuvausf : X → Y määriteltiin relaationaf ⊆ X ×Y, jolle jokaistax ∈ X vastaa täsmälleen yksi sellaineny ∈ Y, että(x, y) ∈ f .

JoukkoX on funktionf lähtöjoukko, Y maalijoukkoja f(X) arvojoukko.

Relaation lähtöjoukko voi olla määrittelyjoukkoa laajempi, mutta funktiolla nämäyhtyvät;määrittelyjoukko= lähtöjoukko. Tämä seuraa funktion määritelmästä.

Alkio x ∈ X on muuttujaja vastaavaf(x) := y ∈ Y on kuva. Funktion tapauk-sessa kuvajoukossaf(x) on nimittäin tasan yksi alkio, jolloin se voidaan samais-taa alkion itsensä kanssa.

Usein funktiota tarkastellaan myös varsinaisen määrittelyjoukon osajoukoissa. Sa-nonta ”funktiollaf : X → Y on se-ja-se ominaisuus joukossaA ⊆ X” voitaisiinkorvata tarkastelemalla funktionf rajoittumaa(restriction) joukkoonA, siis funk-tiota f |A : A → Y, jolle (f |A)(x) := f(x) kaikilla x ∈ A. Silloin sanottaisiin:”Funktionf : X → Y rajoittumalla joukkoonA on se-ja-se ominaisuus.”

5.1 Injektio ja surjektio

Määritelmä 5.1.1 Tarkastellaan funktiotaf : X → Y.

a) Funktiof on injektio (injection, one-to-one), jos kaikillax1, x2 ∈ X pätee:

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

b) Funktiof on surjektio(surjection, onto), jos jokaistay ∈ Y vastaax ∈ X

siten, ettäf(x) = y.

c) Funktiof on bijektio (bijection), jos se on sekä injektio että surjektio.

Huomautus 5.1.2 Relaatiof : X → Y on bijektio, jos jokaistax ∈ X vastaa täs-mälleen yksiy ∈ Y siten, että(x, y) ∈ f ja jos jokaistay ∈ Y vastaa täsmälleenyksi sellainenx ∈ X, että(x, y) ∈ f .

Funktiof : X → Y on injektio, jos ja vain jos

x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),

ts. eri alkiot kuvautuvat eri alkioille, eli mitkään kaksi alkiota eivät kuvaudu sa-malle alkiolle.

5.1 Injektio ja surjektio 65

Surjektiivisuus tarkoittaa sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on ainakin yksialkukuva määrittelyjoukossa. Injektiivisyys puolestaantarkoittaa sitä, että jokai-sella maalijoukon alkiolla on korkeintaan yksi alkukuva määrittelyjoukossa. Bi-jektiivisyys tarkoittaa siis sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on täsmälleenyksi alkukuva määrittelyjoukossa.

Koska implikaatiox = y ⇒ f(x) = f(y) pätee kaikille kuvauksille,f oninjektio täsmälleen silloin kun ekvivalenssi

x = y ⇔ f(x) = f(y)

pätee kaikillex, y ∈ X. Kuvan 18 kaaviot kuvastavat erilaisia tilanteita relaatioistaja funktioista.

on funktioei ole injektioei ole surjektio

on funktioon injektioon surjektio=> on bijektio

on funktioei ole injektioon surjektio

ei ole funktio ei ole funktio

Kuva 18: Kaikki relaatiot eivät ole funktioita

Esimerkki 5.1.3 Olkoonf : R → R, f(x) := 1 kaikilla x ∈ R (vakiokuvaus).Funktio f ei ole injektio, sillä esimerkiksif(0) = 1 = f(1). Kuvausf ei olemyöskään surjektioR → R, sillä1 on ainoa maalijoukon alkio, jolla on alkukuvia.Kaikki reaaliluvut ovat luvun1 alkukuvia;f−1(R) = f−1({1}) = f−1(1) = R.

66 5 FUNKTIOT

−2 −1 0 1 20

1

2

3

4y

x

y=f(x)

Kuva 19: Funktionf : R → R, f(x) := x2, kuvaaja

Esimerkki 5.1.4 Olkoonf : R → R, f(x) := x2 (Kuva 19).

a) Funktiof ei ole injektio, sillä esimerkiksif(−1) = f(1) = 1.

Edelleenf ei ole surjektio, sillä esimerkiksi ei ole olemassa alkiotax ∈ R, jollef(x) = −1.

b) Kuvausf on injektio joukossaA := [0,∞[, ts.f |A on injektio. Jos nimittäinx, y ∈ A, x 6= y, niin joko x < y tai y < x. Ensimmäisessä tapauksessaf(x) =x2 < y2 = f(y) ja jälkimmäisessä tapauksessaf(y) = y2 < x2 = f(x). Jokatapauksessaf(x) = x2 6= y2 = f(y).

Esimerkki 5.1.5 Todistetaan funktiof : R → R,

f(x) := 2x+ 3,

bijektioksi: Ensiksikin, kyseessä todella on funktio.Oletetaan, että luvuillax, y ∈ R on sama kuvaf(x) = f(y). Siis

f(x) = 2x+ 3 = 2y + 3 = f(y).

Tästä saadaan2x = 2y ja edelleenx = y. Siisf on injektio.

Surjektiivisuuden todistamiseksi olkoony ∈ R (maalijoukosta). Asetetaanf(x) =2x+ 3 = y ja ratkaistaanx y:n funktiona. Koska

2x+ 3 = y ⇔ 2x = y − 3 ⇔ x =1

2(y − 3)

ja tämäx on lähtöjoukossaR, on se luvuny ∈ R alkukuva. Siisf on myössurjektio, ja kaikenkaikkiaan bijektio.

5.2 Yhdistetty funktio 67

Esimerkki 5.1.6 Kuvausf : N → R,

f(n) :=1

n,

on injektio. Yleisestikin jokainen aidosti kasvava tai aidosti vähenevä jono mää-rittelee injektionN → R.

5.2 Yhdistetty funktio

Jo Luvussa 4.4 on yhdistetty relaatioita, mutta tarkastellaan vielä erikseen funk-tioiden yhdistämistä.

Määritelmä 5.2.1 Olkoot f : X → Y ja g : Y → Z funktioita. Tällöin funktiog ◦ f : X → Z,

(g ◦ f)(x) := g (f(x))

on funktioidenf ja g yhdistetty funktioeli yhdistetty kuvaus(composite function).

Funktiof on sisäfunktio(inner function) ja funktiog on ulkofunktio(outer func-tion).

Perustavanlaatuiset kysymykset:Onko yllä määritelty ’yhdistetty funktio’ myös todella funktio?Entä onko äskeinen määritelmä sopusoinnussa relaatioidenyhdistämisen kanssa?

Kuvan 20 kaavio havainnollistaa yhdistämisprosessin osapuolia. Sen pitäisi mm.funktion määritelmässä vaadittujen kuvien olemassaolon ja yksikäsitteisyyden pe-rusteella vahvistaa myönteinen vastaus edellisiin kysymyksiin.

x f(x)

g(f(x))

fg

g o f

X Y Z

Kuva 20: Yhdistetty funktio

68 5 FUNKTIOT

Esimerkki 5.2.2 Yhdistetään molemmin päin funktiot

f : R → R, f(x) := 3x− 1,

g : R → R, g(x) := x2 − 2.

Koska molempien lähtöjoukko sisältää toisen arvojoukon, ovat yhdistetyt funktiotmääriteltyjä ja

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x− 1) = (3x− 1)2 − 2

= 9x2 − 6x+ 1− 2 = 9x2 − 6x− 1

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 − 2)

= 3(x2 − 2)− 1 = 3x2 − 6− 1 = 3x2 − 7.

Esimerkki 5.2.3 Funktioita joukosta samaan joukkoon voidaan yhdistellä mielinmäärin, myös puolin ja toisin, kuten kuvassa 21.

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

f g

1

2

3

4

f

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

g o f f o g

X X

XXXX

XX

Kuva 21: Yhdistetyt funktiotf ◦ g ja g ◦ f .

Huomautus 5.2.4 a) Funktioiden yhdistäminenei ole vaihdannainen operaatio,siis yleensäg ◦ f 6= f ◦ g, ks. Esimerkit 5.2.2 ja 5.2.3.

5.2 Yhdistetty funktio 69

b) Funktioiden yhdistäminenon liitännäinen operaatio(ks. Kuva 22): Josf :X → Y, g : Y → Z ja h : Z → V ovat funktioita, niin

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

Tämähän on vain erikoistapaus relaatioiden yhdistämisen liitännäisyydestä (ks.Lause 4.4.13).

f g h

X Y Z V

g o f h o g

x

f(x)

g(f(x))h(g(f(x)))

Kuva 22: Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen operaatio

Lause 5.2.5 a) Josf ja g ovat injektioita, niing ◦ f on injektio.

b) Josf ja g ovat surjektioita, niing ◦ f on surjektio.

Todistus. a) Oletetaan, ettäf : X → Y ja g : Y → Z ovat injektioita. Olkoonjoillakin x1, x2 ∈ X (g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2) eli g(f(x1)) = g(f(x2)). Koskagon injektio, onf(x1) = f(x2). Koskaf on injektio, seuraax1 = x2. Siis

(g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2) ⇒ x1 = x2,

joteng ◦ f on injektio.

b) Olkoot f : X → Y ja g : Y → Z surjektioita. Olkoonz ∈ Z. Koskagon surjektio, on olemassay ∈ Y siten, ettäg(y) = z. Koskaf on surjektio, onolemassax ∈ X, jolle f(x) = y. Siis

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z.

Alkiota z ∈ Z vastaa (ainakin yksi)x ∈ X, jolle (g ◦ f)(x) = z. Funktiog ◦ f onsiis surjektio. �

Edellisen lauseen nojalla on siis:

Lause 5.2.6Kahden bijektion yhdistetty funktio on bijektio.

70 5 FUNKTIOT

5.3 Käänteisfunktio

RelaationR ⊆ X × Y käänteisrelaatioR−1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R } on ainaolemassa (Luku 4.4).

Jos relaatio on funktio, niin käänteisrelaatio on tietystiolemassa, mutta tämä kään-teisrelaatio ei välttämättä ole funktio.

Määritelmä 5.3.1 Jos funktionf : X → Y käänteisrelaatio on funktio, sitä kut-sutaan funktionf käänteisfunktioksieli käänteiskuvaukseksi(inverse function) jamerkitäänf−1 : Y → X.

Lause 5.3.2Funktionf : X → Y käänteisrelaatiof−1 : Y → X on funktio, josja vain josf on bijektio.

Todistus. ⇐ Oletetaan, ettäf on bijektio (ja siis funktio). Osoitetaan, että kään-teisrelaatiof−1 on funktio (ks. Määritelmä 4.5.1): Ensinnäkin,f−1 ⊆ Y ×X onrelaatio.

F1) Olkoony ∈ Y mielivaltainen. Koskaf on surjektio, on olemassax ∈ X siten,ettäy = f(x) eli (x, y) ∈ f . Siis jokaistay ∈ Y vastaax ∈ X, joille (y, x) ∈ f−1.

F2) Oletetaan, että(y, x1) ∈ f−1 ja (y, x2) ∈ f−1. Tällöin (x1, y) ∈ f ja (x2, y) ∈f eli f(x1) = y ja f(x2) = y. Koskaf on injektio jaf(x1) = f(x2), on oltavax1 = x2.

Kohtien F1) ja F2) nojallaf−1 on funktio.

⇒ Oletetaan, ettäf−1 on funktio. Osoitetaan, ettäf on bijektio.

a) Injektio: Olkoonf(x1) = f(x2) =: y. Tällöin (y, x1) ∈ f−1 ja (y, x2) ∈ f−1.Koskaf−1 on funktio, onx1 = x2, ja sitenf on injektio.

b) Surjektio: Olkoony ∈ Y. Koskaf−1 on funktio, on olemassax ∈ X, jolle(y, x) ∈ f−1. Mutta silloin(x, y) ∈ f eli f(x) = y. Siisf on surjektio.

Kohtien a) ja b) nojallaf−1 on bijektio. �

Huomautus 5.3.3 Bijektion käänteisfunktio on aina bijektio: Olkoonf−1 funk-tion f käänteisfunktio. Tällöinf−1 on bijektio, koska sillä on käänteisfunktio(f−1)−1 = f .

Huomautus 5.3.4 Funktiollaf : X → Y on siis käänteisfunktio, jos ja vain josyhtälölläy = f(x) on yksikäsitteinen ratkaisux ∈ X kaikilla y ∈ Y, ja tällöinx = f−1(y).

5.3 Käänteisfunktio 71

Esimerkki 5.3.5 Määritä funktionf : R → R,

f(x) := x3 − 1,

käänteisfunktio.

Ratkaisu. Olkoony ∈ R (maalijoukosta). Tällöin

y = f(x) = x3 − 1 ⇔ x3 = 1 + y

⇔ x = 3√1 + y.

Koska ratkaisu on yksikäsitteinen, onf−1 on olemassa ja

f−1(y) = 3√1 + y.

Vaihtamalla muuttujaksix saadaan käänteisfunktiof−1 : R → R,

f−1(x) = 3√1 + x.

Määritelmä 5.3.6 Funktio Id : X → X, Id(x) := x (siis yksikkörelaatio) onidenttinen kuvaus(identity map).

Huomautus 5.3.7 a) IdX on aina bijektio ja(IdX)−1 = IdX.

b) Josf : X → Y ja g : Y → X ovat funktioita, niinf ◦ IdX = f ja IdX ◦ g = g.

Lause 5.3.8Olkoonf : X → Y bijektio. Tällöin (ks. Kuva 23)

f−1 ◦ f = IdX ja f ◦ f−1 = IdY.

f -1

X Y

f

X Y

f

f -1

f -1

f

x x

y = f(x)y'

x'

y'

IdY

IdX

Kuva 23: Yhdistämälläf ja f−1 saadaan identtisiä kuvauksia

Todistus. Olkoon x ∈ X ja y := f(x) ∈ Y. Käänteisfunktion määritelmänmukaanf(x) = y jos ja vain josx = f−1(y). Siten

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(y) = x

kaikilla x ∈ X eli f−1 ◦ f = IdX. Vastaavastif ◦ f−1 = IdY. �

72 5 FUNKTIOT

Lause 5.3.9Olkootf : X → Y ja g : Y → Z bijektioita. Tällöin

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Yleisemmin: Jos funktiotfi ovat bijektioita, niin

(f1 ◦ f2 ◦ . . . ◦ fn)−1 = f−1n ◦ · · · ◦ f−1

2 ◦ f−11 .

Todistus. Tulos on yleinen relaatioita koskeva tulos (Lause 4.4.12),yleistys voi-daan todistaa induktiolla. �

5.4 Osajoukkojen kuvautuminen

Palautetaan mieleen kuvajoukot ja alkukuvajoukot Luvusta4.3. Jos relaatiof onfunktio, kullakin alkiolla on yksi ja vain yksi kuva-alkio.Tämän ansiosta kuva- jaalkukuvajoukot voidaan esittää yksinkertaisessa muodossa:

Lause 5.4.1Olkoonf : X → Y funktio.

a) OsajoukonA ⊆ X kuvajoukko on

f(A) = { f(x) ∈ Y | x ∈ A }.

b) JoukonB ⊆ Y alkukuvajoukko on

f−1(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B }.

Huomautus 5.4.2 a) Käytännössä on usein hyötyä ominaisuuksista

y ∈ f(A) ⇔ ∃ x ∈ A s.e. y = f(x)

x ∈ f−1(B) ⇔ f(x) ∈ B.

b) Funktiof : X → Y on surjektio jos ja vain josf(X) = Y.

Esimerkki 5.4.3 Olkoonf : R → R, f(x) := x2. Tällöin

Mf = R

Af = [0,∞[

f(Z) = {0, 1, 4, 9, 16, . . .}f−1(Z) = {0,±1,±

√2,±

√3,±2, . . .}

f([1, 2]) = [1, 4]

f−1([1, 4]) = [−2,−1] ∪ [1, 2].

5.4 Osajoukkojen kuvautuminen 73

Esimerkki 5.4.4 OlkoonX := {1, 2, 3, 4}, Y := {1, 2, 3, 4, 5} ja f : X → Y

sellainen, että (ks. myös Kuva 24)

f(1) = 4

f(2) = 4

f(3) = 1

f(4) = 5.

TällöinMf = X = {1, 2, 3, 4} jaAf = {1, 4, 5}, ja esimerkiksi

f({2, 3}) = {1, 4}f({1, 2}) = {4}

f−1({2, 3}) = ∅f−1({1, 2, 4}) = {1, 2, 3}.

1

5432

X Yf1

432

Kuva 24: Esimerkin 5.4.4 funktio

Lause 5.4.5Olkoonf : X → Y funktio. OlkootA1, A2 ⊆ X sekäB1, B2 ⊆ Y.Tällöin

a) f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2),

b) f(A1 ∩A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2),

c) f(A1 \A2) ⊇ f(A1) \ f(A2),

d) f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2),

e) f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2),

f) f−1(B1 \B2) = f−1(B1) \ f−1(B2),

g) f−1(f(A1)

)⊇ A1,

h) f(f−1(B1)

)⊆ B1.

74 5 FUNKTIOT

Todistus.a) On osoitettava, että kaikillay ∈ Y on voimassa

y ∈ f(A1 ∪ A2) ⇔ y ∈ f(A1) ∪ f(A2).

Funktion määritelmän ja yhdisteen määritelmän mukaan

y ∈ f(A1 ∪ A2) ⇔ ∃ x ∈ A1 ∪ A2 : y = f(x)

⇔ (∃ x ∈ A1 : y = f(x)) tai (∃ x ∈ A2 : y = f(x))

⇔ y ∈ f(A1) tai y ∈ f(A2)

⇔ y ∈ f(A1) ∪ f(A2).

b) Osoitetaan, että kaikillay ∈ Y: y ∈ f(A1 ∩ A2) ⇒ y ∈ f(A1) ∩ f(A2).

Funktion määritelmän mukaan (täydennä perustelut):

y ∈ f(A1 ∩ A2) ⇒ ∃ x ∈ A1 ∩A2 : y = f(x)

⇒ x ∈ A1 ja x ∈ A2 ja y = f(x)

⇒ (x ∈ A1 ja y = f(x)) ja (x ∈ A2 ja y = f(x))

⇒ y ∈ f(A1) ja y ∈ f(A2)

⇒ y ∈ f(A1) ∩ f(A2).

e) Osoitettava:∀x ∈ X x ∈ f−1(B1 ∩B2) ⇔ x ∈ f−1(B1) ∩ f−1(B2).

Käänteisrelaation määritelmän mukaan (täydennä perustelut):

x ∈ f−1(B1 ∩ B2) ⇔ f(x) ∈ B1 ∩ B2

⇔ f(x) ∈ B1 ja f(x) ∈ B2

⇔ x ∈ f−1(B1) ja x ∈ f−1(B2)

⇔ x ∈ f−1(B1) ∩ f−1(B2).

Muut kohdat jätetään harjoitustehtäviksi, samoin sen näyttäminen, että kohtien b),c), g) ja h) osajoukko-ominaisuudet todella voivat olla aitoja. �

Tehtävä 5.4.6 Tutki yksityiskohtaisesti mitä Lauseen 5.4.5 kohdan b) implikaa-tioista ei voida korvata ekvivalensseilla.

5.4 Osajoukkojen kuvautuminen 75

6 Reaalifunktiot

Tässä luvussa esitellään reaalifunktioiden esittämistä ja eräitä keskeisiä ominai-suuksia, joita niillä voi olla.

6.1 Reaalifunktio ja sen esittämistapoja

Määritelmä 6.1.1 OlkoonA ⊆ R ja B ⊆ R. Funktiotaf : A → B kutsutaanreaalifunktioksi(real function).

Sopimus: Jos reaalifunktionf määrittelyjoukkoaA = Mf ei ole mainittu, niinjoukoksi Mf otetaan laajin mahdollinenA ⊆ R. Jatkossa käytämme funktiol-le usein merkintääx 7→ ”lauseke”, joka tarkoittaa funktion määräävää sääntöä;määrittelyjoukko tulee aina itse selvittää, mikäli sitä eiole annettu.

Esimerkki 6.1.2 Reaalifunktionf ,

f(x) :=2x+ 1

x− 4x2,

laajin mahdollinen määrittelyjoukko onMf = R \ {0, 14}.

Reaalifunktiong,g(x) :=

√x2 − 2x,

laajin mahdollinen määrittelyjoukko on puolestaanMg = ]−∞, 0] ∪ [2,∞[.

Reaalifunktioiden esitysmuotoja

Eksplisiittinen esitys:Suora kaava tai lausekef(x) := . . .

Muuttujanvaihdolla tai yhdistettynä funktiona:f(u(x)) := . . .

Implisiittinen esitys:Yhtälön avulla, esimerkiksiF (x, y) = 0.

Parametriesitys:relaationf ⊆ A×B alkiot (x, y) = (x, f(x)) annetaan erikseenjostain ulkoisesta muuttujasta riippuvina:

(x, y) :

{x = u(t)y = v(t)

t ∈ T ⊆ R.

Graafinen esitys tasossa:Reaalifunktionkuvaaja(graph) on tasonR × R osa-joukko

{ (x, y) ∈ R | x ∈ Mf , y = f(x) } = { (x, f(x)) | x ∈ Mf }.

6.1 Reaalifunktio ja sen esittämistapoja 77

Graafinen esitys kaaviolla:Diskreettejä funktioita (joilla määrittelyjoukko onäärellinen), voidaan esittää jo Luvussa 4 esillä olleilla Venn-diagrammityyppisilläkaavioilla tai vaikkapa kahden lukusuoran avulla, ks. Kuva25.

0 1 2 3 4 5-6 -5 -4 -3 -2 -1 6

0 1 2 3 4 5-6 -5 -4 -3 -2 -1 6x

y = f(x)

Kuva 25: Diskreetti reaalifunktio

Graafinen esitys dynaamisella kuviolla:Kahden suoran välinen muuttuja-arvo-liitäntä vaatii käyttäjän vuorovaikutusta, ks. linkki.

Reaalifunktion dynaaminen esitys(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/FunktionDynEsitys.htm

Esimerkki 6.1.3 Reaalifunktiof : R → R, f(x) := 23x+ 1, voidaan esittää

a) eksplisiittisesti antamalla suora määrittely lausekkeena:f(x) = 23x+ 1,

b) yhdistettynä funktiona:f(32z) = z + 1,

c) implisiittisesti arvoay ja muuttujaax sitovana yhtälönä:2x− 3y + 3 = 0,

d) parametrimuodossa antamalla relaationf ⊆ R× R alkiot (x, y):{

x = 3ty = 2t+ 1

t ∈ R,

e) graafisena tasoesityksenä, kuten Kuvassa 26.

y

x1 2 3-1

1

2

-1

Kuva 26: Reaalifunktionf , f(x) = 23x+ 1, kuvaajaa

78 6 REAALIFUNKTIOT

Implisiittisen ja parametriesityksen kanssa on oltava tarkkana, sillä niistä syntyysalakavalasti riippuvuuksia, jotka eivät olekaan yhden muuttujan reaaliarvoisiafunktioita.

Tehtävä 6.1.4 Seuraavat ilmaukset esittävät yhden muuttujan reaaliarvoista funk-tiota vain huolellisesti valituissa määrittelyjoukoissa, missä?

a) x2 + y2 = 1 b)

{x = cos ty = sin t

Esimerkki 6.1.5 Määritelläänf(ex) := x2, x ∈ R. Funktio f tulee näin mää-ritellyksi vain välilläR+ = ]0,∞[. Helposti saadaan myös eksplisiittinen esitys:koska eksponenttifunktio on bijektio, saadaan sijoituksella ex = u eli x = ln usuora lausekef(u) = (ln u)2 arvoilla u > 0. Funktio on siisf : R+ → R,f(x) = (ln x)2.

Esimerkki 6.1.6 Määritelläänf(x2) := x, x ∈ R. Silloin f(12) = 1 jaf((−1)2) = −1. Kuitenkin molemmissa laskettiinf(1), joten kyseessä ei ole-kaan funktio!

Esimerkki 6.1.7 Monien funktioiden esittäminen graafisesti on hankalaa:

a) Funktiof : R → R,

f(x) :=

{0, x ∈ Q1, x ∈ R \Q

on epäjatkuva kaikissa reaalipisteissä.

b) Funktiog : R → R,

g(x) :=

{sin( 1

x), x 6= 0

0, x = 0

on origon ulkopuolella siisti, mutta oskilloi sitä lähestyttäessä yhä kiivaamminvälillä [0, 1].

c) Funktiof : R → R,

h(x) :=

{x sin( 1

x), x 6= 0

0, x = 0

on jatkuva, mutta sekin oskilloi kiihtyvästi origon lähellä.

Tehtävä 6.1.8 Muotoile sääntö, joka sopii yhteen Kuvan 25 kanssa.

6.2 Reaalifunktiotyyppejä 79

6.2 Reaalifunktiotyyppejä

Monotonisuus

Määritelmä 6.2.1 OlkoonA ⊆ R. Funktiof : A → R on

a) kasvava(increasing), jos kaikillax1, x2 ∈ A on voimassa

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

b) vähenevä(decreasing), jos kaikillax1, x2 ∈ A on voimassa

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).

c) aidosti kasvava(strictly increasing), jos kaikillax1, x2 ∈ A on voimassa

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

d) aidosti vähenevä(strictly decreasing), jos kaikillax1, x2 ∈ A on voimassa

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

e) (aidosti) monotoninen((strictly) monotonic, monotone), jos se on (aidosti)kasvava tai (aidosti) vähenevä.

Lause 6.2.2Aidosti monotoninen funktio on injektio.

Todistus.Harjoitustehtävä. �

Lemma 6.2.3 Olkoonf : A → R kuvaus.

a) Josf on aidosti kasvava, niinx < y jos ja vain josf(x) < f(y),

b) Josf on aidosti vähenevä, niinx < y jos ja vain josf(x) > f(y).

Todistus. Todistetaan malliksi kohta a), kohta b) jätetään harjoitustehtäväksi.Implikaatio vasemmalta oikealle pätee määritelmän mukaan.

Käänteisen implikaation todistamiseksi olkoonf(x) < f(y) ja olkoon vastoinväitettäx ≥ y. Tapauksessax = y päteef(x) = f(y) (ristiriita) ja tapauksessax > y pätee aidon kasvavuuden nojallaf(x) > f(y) (ristiriita). �

80 6 REAALIFUNKTIOT

Esimerkki 6.2.4 Olkoot f ja g sellaisia reaalifunktioita, että yhdistetty funktiog ◦ f on määritelty. Josf on aidosti kasvava jag aidosti vähenevä, on

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ⇒ g(f(x1)) > g(f(x2)) ⇒ (g◦f)(x1) > (g◦f)(x2).

Yhdistetty funktiog ◦ f on siis aidosti vähenevä.

Monotonisuutta voidaan käyttää mm. epäyhtälöiden ratkaisussa.

Esimerkki 6.2.5 a) Identtinen kuvaus, ja yleisemmin muotoax 7→ ax, missävakioa > 0, olevat funktiot ovat aidosti kasvavia funktioitaR → R, sillä jopa

x1 < x2 ⇔ ax1 < ax2.

b) Funktiof : ]0,∞[ → R, f(x) := 1x, on aidosti vähenevä ja

0 < x1 < x2 ⇔ 1

x1

>1

x2

.

Samoin funktiog : ]−∞, 0[ → R, g(x) := 1x, on aidosti vähenevä ja

x1 < x2 < 0 ⇔ 1

x1>

1

x2.

Esimerkki 6.2.6 Olkoonf : R → R aidosti vähenevä. Ratkaistaan epäyhtälö

f

(5x− 3

4

)< f

(x2− 1).

Lemman 6.2.3 b) nojalla epäyhtälö pätee jos ja vain jos(5x − 3)/4 > x/2 − 1.Siis

5x− 3

4>

x

2− 1 ⇔ 5x− 3 > 2x− 4 ⇔ 3x > −1 ⇔ x > −1

3.

Huomaa, että tarkasteltavan epäyhtälön kannalta funktionf lauseke on epäolen-nainen, eikä lauseketta sitäpaitsi edes tarvitse olla olemassa!

Usein puhutaan funktion mootonisuudesta jossain lähtöjoukon osajoukossa, useim-miten jollain osavälillä. Määritelmässä 6.2.1 taas puhuttiin monotonisuudesta ko-ko lähtöjoukossa. Nämä sovitetaan yhteen määrittelemällä:

Määritelmä 6.2.7 Reaalifunktiof on kasvava osajoukossaA ⊆ Mf , jos senrajoittumaf |A on kasvava.Reaalifunktiof on vähenevä osajoukossaB ⊆ Mf , jos sen rajoittumaf |B onvähenevä.Muut monotonisuuslajit määritellään vastaavalla tavalla.

6.2 Reaalifunktiotyyppejä 81

Esimerkki 6.2.8 a) Muotoax 7→ ax2, missä vakioa > 0, olevat funktiot eivät olekasvavia funktioitaR → R. Kuitenkin ne ovat aidosti väheneviä välillä]−∞, 0]ja aidosti kasvavia välillä[0,∞[.

b) Funktiof : R \ {0} → R, f(x) := 1x, on aidosti vähenevä erikseen väleillä

]0,∞[ ja ]−∞, 0[, mutta ei niiden yhdisteessä, joka on kokoMf .

Parillisuus ja jaksollisuus

Määritelmä 6.2.9 a) Reaalifunktiof onparillinen (even), josf(−x) = f(x)kaikilla x ∈ Mf .

b) Reaalifunktiof onpariton (odd), josf(−x) = −f(x) kaikilla x ∈ Mf .

Huomautus 6.2.10a) Parillisen funktion kuvaaja on symmetrineny-akselin suh-teen ja parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

b) Yleensä funktio ei ole parillinen eikä pariton, nämä ominaisuudet ovat funk-tioiden joukossa harvinaisia.

Esimerkki 6.2.11 Parillisia funktioita ovat esimerkiksi

x 7→ x2, x 7→ 1

x4 − 1ja x 7→ cosx.

Parittomia ovat taas

x 7→ x3, x 7→ 1

x5ja x 7→ sin x.

Määritelmä 6.2.12 Koko reaalilukujen joukossa määritelty reaalifunktiof onjaksollinen(periodic), jos on olemassaa 6= 0 siten, ettäf(x + a) = f(x) kai-killa x ∈ R. Tällöin a on funktionf jakso.

Jos funktion aidosti positiivisten jaksojen joukossa on pienin luku, sitä sanotaanfunktionperusjaksoksi.

Huomautus 6.2.13Jos funktionf jakso ona 6= 0, niin jokainen monikertaka 6= 0, k ∈ Z, on myös jakso. Jokaisella jaksollisella funktiolla on siis aidostipositiivisiakin jaksoja.

Esimerkki 6.2.14 Trigonometriset funktiotsin ja cos ovat jaksollisia perusjakso-naan2π. Funktiostatan saadaan jaksollinen perusjaksonaπ, kun sille määritelläänpisteisiinπ/2 + nπ, n ∈ Z, vaikkapa arvo0.

Tehtävä 6.2.15Onkohan jaksollisia funktioita, joilla ei ole perusjaksoalainkaan?

82 6 REAALIFUNKTIOT

Rajoitettu funktio

Määritelmä 6.2.16 Funktiof onalhaalta rajoitettu(lower bounded), jos on ole-massa lukum < 0, jolle f(x) ≥ m kaikilla x ∈ Mf .Funktiof on ylhäältä rajoitettu(upper bounded), jos on olemassa lukuM > 0,jolle f(x) ≤ M kaikilla x ∈ Mf .Funktiof onrajoitettu(bounded), jos on olemassa lukuM > 0, jolle |f(x)| ≤ Mkaikilla x ∈ Mf .

Funktio f on rajoitettu joukossaA ⊆ Mf , jos on olemassa lukuM > 0, jolle|f(x)| ≤ M kaikilla x ∈ A.

Voitaisiin sanoa myös: Funktiof on rajoitettu joukossaA ⊆ Mf , jos ja vain jossen rajoittuma joukkoonA, f |A : A → R, on rajoitettu. Kuvan 27 funktio onrajoitettu, ainakin kuviossa näkyvällä välillä.

y

x

M

-M

Kuva 27: Kuvan funktio on rajoitettu

Tehtävä 6.2.17Osoita, että funktio on rajoitettu jos ja vain jos se on sekä ylhäältäettä alhaalta rajoitettu.

Esimerkki 6.2.18 a) Vakiofunktiotx 7→ a ovat rajoitettuja koko joukossaR, mut-ta lineaarifunktiotx 7→ ax eivät, paitsi arvollaa = 0.

b) Polynomit ovat rajoitettuja jokaisella äärellisellä välillä I ⊆ R.

c) Sinifunktio sin : R → R on rajoitettu, sillä tunnetusti| sin x| ≤ 1 kaikillax ∈ R. Samoin kosini on rajoitettu, mutta tangenttifunktio on rajoitettu vain tie-tynlaisilla väleillä, millä esimerkiksi?

6.2 Reaalifunktiotyyppejä 83

Koveruus ja kuperuus - konveksi ja konkaavi funktio

Derivoituvien reaalifunktioiden (kuvaajien) kuperuuksia tarkastellaan derivaatanmonotonisuuksien tai toisen derivaatan merkin avulla. Alaspäin kuperuus määri-tellään usein niin, että funktion kuvaaja on tarkasteluvälillä jokaisen tangenttinsayläpuolella. Tämä määritelmä on sinänsä kuvaava, mutta oikeastaan se on enem-mänkinkuvaileva, epälaskennallinen. Koska on runsaasti ei-derivoituvia funktioi-ta, joilla ei tangentteja ainakaan joka paikassa ole, on tarpeen ottaa käyttöön ylei-sempi määritelmä, joka on myös laskennallinen.

Koska alaspäin kuperuus toisaalta tarkoittaa, että jokaisella välillä[x, y] ⊆ I funk-tion kuvaaja tasossa on pisteitä(x, f(x)) ja (y, f(y)) yhdistävän janan alapuolella(ks. Kuva 28), asetetaan täsmälliseksi määritelmäksi tämän analyyttinen vastine.

(x, f(x))

x y

It

0 1

(1-t)x+ty

(y, f(y))

(1-t)f(x)+tf(y)

f((1-t)x+ty)

Kuva 28: Konveksin reaalifunktion määritelmän havainnollistus

Määritelmä 6.2.19 Olkoon I reaalilukuväli. Reaalifunktiof : I → B on alas-päin kuperaeli konveksi(convex), jos on voimassa

f((1− t)x+ ty

)≤ (1− t)f(x) + tf(y) kaikilla x, y ∈ I, t ∈ [0, 1].

Reaalifunktiog on ylöspäin kuperaeli konkaavi(concave), jos −g on alaspäinkupera.

Joskus puhutaan myöskoveruuksista, esimerkiksi alaspäin kupera tarkoittaa sa-maa kuin ylöspäin kovera. On ilmeistä, että konkaavius voitaisiin määritellä erik-seenkin kääntämällä konveksiuden määritelmässä merkki≤ merkiksi≥.

Esimerkki 6.2.20 Vakiofunktiof , f(x) := a, on konveksi, mutta myös konkaavi.Sijoitus konveksiuden ja konkaaviuden määritelmiin antaanimittäin yhtälön

f((1− t)x+ ty

)= a = (1− t)a+ ta = (1− t)f(x) + tf(y).

84 6 REAALIFUNKTIOT

Esimerkki 6.2.21 Itseisarvo on alaspäin kupera, ts. funktiof = | | : R → R,x 7→ |x|, on konveksi.

Perustelu. Josx ≥ 0 ja y ≥ 0, on myös(1− t)x+ ty ≥ 0 ja

f((1−t)x+ty

)= |(1−t)x+ty| = (1−t)x+ty = (1−t)|x|+t|y| = (1−t)f(x)+tf(y).

Vastaavalla tavalla käsitellään tapausx ≤ 0 ja y ≤ 0. Olkoon lopuksix < 0 jay > 0. Koskat ja1−t ovat ei-negatiivisia, on kolmioepäyhtälön (|a+b| ≤ |a|+|b|)nojalla

f((1− t)x+ ty

)= |(1− t)x+ ty|≤ |(1− t)x|+ |ty| = (1− t)|x|+ t|y| = (1− t)f(x) + tf(y).

Tehtävä 6.2.22a) Osoita, että lineaari-affiini funktiof , f(x) := ax+ b, on kon-veksi ja konkaavi.b) Osoita, että itseisarvofunktio ei ole konkaavi (ts.x 7→ −|x| ei konveksi).

Esimerkki 6.2.23 Osoita, että perusparaabelin piirtävä neliöfunktiof , f(x) :=x2, on alaspäin kupera, siis konveksi.

Ratkaisu. Sijoittamallaf(x) = x2 saadaan kaikillax, y ∈ R ja t ∈ [0, 1]:

(1− t)f(x)+ tf(y)− f((1− t)x+ ty

)= (1− t)x2+ ty2−

((1− t)x+ ty

)2 ≥ 0.

Vasen puoli menee muotoon

(1− t)x2 + ty2 −((1− t)x+ ty

)2= tx2 − t2x2 − 2txy + 2t2xy + ty2 − t2y2,

josta yhdistelemällä tulomuotoon (tee se!) saadaan yhtäpitävä epäyhtälö

tx2 − t2x2 − 2txy + 2t2xy + ty2 − t2y2 = t(1− t)(x− y)2 ≥ 0.

Mutta tämähänon tosi kaikillax, y ∈ R ja t ∈ [0, 1]!

Lause 6.2.24a) Konveksien funktioiden summa on konveksi.b) Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla onkonveksi.

Todistus.a) Olkootf ja g : I → R konvekseja. On osoitettava, että summaf + gon konveksi. Oletuksen mukaan kaikillax, y ∈ I, t ∈ [0, 1] on

(f + g)((1− t)x+ ty

)= f

((1− t)x+ ty

)+ g((1− t)x+ ty

)

≤ (1− t)f(x) + tf(y) + (1− t)g(x) + tg(y)

= (1− t)(f(x) + g(x)) + t(f(y) + g(y))

= (1− t)(f + g)(x) + t(f + g)(y).

b) Harjoitustehtävä. �

Voidaan osoittaa, että konveksi funktio on jatkuva. Esimerkki 6.2.21 osoittaa, ettäkonveksin funktion ei kuitenkaan tarvitse olla derivoituva.

6.3 Käänteiskuvaus 85

6.3 Käänteiskuvaus

Palautetaan mieliin funktioasioita Luvuista 4 ja 5.

OlkootA,B ⊆ R epätyhjiä joukkoja jaf : A → B bijektio. Tällöin jokaista maa-lijoukon alkiotay ∈ B vastaa yksikäsitteinen alkukuva lähtöjoukossaA (Huo-mautus 5.1.2). Tälle alkukuvalle käytetään merkintääf−1(y). Sääntöy 7→ f−1(y)määrittelee kuvauksenB → A, ja tätä kuvausta sanotaan kuvauksenf käänteis-kuvaukseksi ja sille käytetään merkintääf−1.

Esimerkki 6.3.1 Jos kuvausf : A → B on määritelty analyyttisellä lausekkeel-la, käänteiskuvauksen lauseke saadaan selville, mikäli yhtälöstäf(x) = y ∈ Bsaadaanx ratkaistua yksikäsitteisestiy:n avulla.

Esimerkissä 5.1.5 todettiin, että kuvauksessaf : R → R, f(x) = 2x + 3, luvuny ∈ R yksikäsitteinen alkukuva on1

2(y−3). Siis käänteiskuvauksenf−1 : R → R

antaa sääntöf−1(x) = 12(x − 3). Tässä käänteiskuvauksen muuttujaa voitaisiin

merkitäy:llä, mutta siihen ei ole erityistä tarvetta. Yleensä kuvauksen ja sen kään-teiskuvauksen lausekkeissa käytetäänkin samaa muuttujamerkintää.

Esimerkki 6.3.2 Olkoonf : R \ {−1} → R kuvaus

f(x) :=x

1 + x.

Mikä on kuvajoukkof(R \ {−1})? Onkof injektio määrittelyjoukossaan?

Tutkitaan mielivaltaisen luvuny ∈ R alkukuvia. Josy ∈ R, niin olettaenx 6= −1voidaan kirjoittaa

f(x) = y ⇔ x

1 + x= y ⇔ y + yx = x ⇔ y = x(1− y).

Jos lisäksiy 6= 1, oikeanpuoleinen yhtälö on edelleen ekvivalentti yhtälön

x =y

1− y

kanssa. Jokaisellay 6= 1 on siis yksikäsitteinen reaalinen alkukuvay1−y

. Luvulla1 ei ole alkukuvaa, sillä jos olisix

1+x= 1, olisi 1 + x = x, mikä on mahdotonta.

Näin ollenf on bijektio joukostaR \ {−1} joukkoonR \ {1}. Käänteiskuvausf−1 : R \ {1} → R \ {−1} saadaan yo. yhtälöstä ja

f−1(x) =x

1− x.

86 6 REAALIFUNKTIOT

Huomautus 6.3.3 Josf : A → B on bijektio, niin funktionf kuvaaja ja kään-teisfunktionf−1 kuvaaja ovat toistensa peilikuvia suorany = x suhteen. Funktionf kuvaaja on nimittäin joukko

{ (x, f(x)) | x ∈ A }

ja käänteisfunktionf−1 kuvaaja on joukko

{ (f(x), x) | x ∈ A }.

Toisaalta pisteet(x0, f(x0)) ja (f(x0), x0) ovat toistensa peilikuvia suorany = xsuhteen kaikillax0 ∈ A. Tämän toteamiseksi huomaa, että

(1) pisteiden(x0, f(x0)) ja (f(x0), x0) kautta kulkeva suora on kohtisuorassasuoraany = x nähden,

(2) pisteiden(x0, f(x0)) ja (f(x0), x0) välisen janan keskipiste on suorallay =x.

Lemma 6.3.4 Olkoonf : A → B reaalifunktio.a) Josf on aidosti kasvava, on käänteiskuvausf−1 : f(A) → A aidosti kasvava.b) Josf on aidosti vähenevä, on käänteiskuvausf−1 : f(A) → A aidosti vähene-vä.

Todistus.Todistetaan kohta b), kohta a) jätetään harjoitustehtäväksi.

Koskaf on aidosti vähenevä, se on injektio (Lemma 6.2.2). Näin ollen f : A →f(A) on bijektio ja siis käänteiskuvausf−1 : f(A) → A on olemassa.

Olkootx′, y′ ∈ f(A). Tällöin on olemassa (injektiivisyyden nojalla yksikäsittei-set) luvutx, y ∈ A siten, ettäf(x) = x′ ja f(y) = y′. Käänteiskuvauksen määri-telmän mukaanf−1(x′) = x ja f−1(y′) = y. Lemman 6.2.3 b) nojallax < y, josja vain josf(x) > f(y). Siisf−1(x′) < f−1(y′) jos ja vain josx′ > y′. Erityisestif−1 : f(A) → A on aidosti vähenevä. �

6.4 Funktioiden yhdistäminen 87

6.4 Funktioiden yhdistäminen

OlkootA, B jaC ⊆ R epätyhjiä osajoukkoja ja olkootf : A → B ja g : B → Ckuvauksia. Tällöin relaatioiden yhdistämissääntö saa yksinkertaisen muodon

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ A,

määrittelee yhdistetyn funktiong ◦ f : A → C.

Esimerkki 6.4.1 Olkootf : R → R, g : R → R ja h : R → R kuvaukset

f(x) := x+ 1, g(x) := x2, ja h(x) := |x|.Tällöin esimerkiksi

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1,

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x+ 1) = (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1,

(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(x2 + 2x+ 1) = |x2 + 2x+ 1|.Näistä palautunee mieliin, että kuvausten yhdistäminenei ole vaihdannainen ope-raatioeli yleensäf ◦ g 6= g ◦ f .

Samoin, kuten jo relaatioiden tapauksessa, yhdistettäessä useampia funktioita eitarvita sulkuja määräämään laskujärjestystä, koska kuvausten yhdistäminen on lii-tännäinen operaatio; yleisesti pätee

(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))),

((h ◦ g) ◦ f)(x) = (h ◦ g)(f(x)) = h(g(f(x)),

eli h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f (ovat sama funktio).

Huomautus 6.4.2 Olkoonf : A → B bijektio. Tällöin tiedämme sen käänteis-kuvauksenf−1 olevan olemassa ja

(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = x kaikilla x ∈ B,

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = x kaikilla x ∈ A,

suoraan käänteiskuvauksen määritelmän mukaan.

Esimerkki 6.4.3 Esimerkin 6.3.2 kuvauksille

f(x) =x

1 + xja f−1(x) =

x

1− xon

(f ◦ f−1)(x) = f

(x

1− x

)=

x1−x

1 + ( x1−x

)=

x1−x

1−x+x1−x

= x, x 6= 1,

(f−1 ◦ f)(x) = f−1

(x

1 + x

)=

x1+x

1− ( x1+x

)=

x1+x

1+x−x1+x

= x, x 6= −1.

88 6 REAALIFUNKTIOT

6.5 Reaalifunktioiden luokittelusta

Reaalifunktioita voidaan luokitella monilla tavoin. Erästärkeä jakoperuste on nii-den – samoin kuin lukujen, ks. Luku 12.4 –algebrallisuus, joka lähtee funktioidenmuodostamistavoista.

1. Algebralliset funktiot

Algebrallisia funktioita(algebraic function) ovat ne reaalifunktiot, joiden määrit-telyjoukko on äärellisen monen välin yhdiste, ja jotka saadaan vakiofunktioistax 7→ c ∈ R ja identtisestä kuvauksestax 7→ x suorittamalla äärellisen montayhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, juurenottoa ja kuvausten yhdistämistä.Algebrallisia ovat siis:

a) rationaalifunktiot(rational function), joita ovatpolynomit(polynomial) jamurtofunktiot(fractional functions).

Polynomien yleinen muoto onx 7→ P (x):

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0.

Murtofunktiot ovat muotoa:x 7→ P (x)Q(x)

, missäP jaQ ovat polynomeja.

b) juurifunktiot (root functions), jotka ovat muotoa

x 7→ x1n = n

√x

jollakin n ∈ N.

c) funktiot, jotka saadaan yhdistämällä kohtien a) ja b) funktioita.

Algebrallisten funktioiden määrittelyjoukko voi olla kokoR tai sen jokin osajouk-ko. Esimerkiksi rationaalifunktioilla voi olla nimittäjän nollakohdissa määrittele-mättömyyspisteitä. Juurenottojen yhteydessä määrittelyjoukko voi käydä hyvin-kin suppeaksi.

Esimerkki 6.5.1 Algebrallisia ovat esimerkiksi funktiotx 7→ x/(1− x2) ja x 7→√1− x2. Edellisen lähtöjoukoksi käyR\{−1, 1}, jälkimmäisen vain väli]−1, 1[.

Tehtävä 6.5.2 Muodosta algebrallinen funktio, joka on määritelty jollain rajoite-tulla välillä lukuunottamatta yhtä sen pistettä.

6.5 Reaalifunktioiden luokittelusta 89

2. Transkendenttiset funktiot

Muut kuin algebralliset reaalifunktiot ovattranskendenttisia(transcendental). Nejaetaan vielä kahteen kastiin:

α) Transkendenttiset alkeisfunktiot, joita ovat- yleiset potenssifunktiot- eksponenttifunktiot- logaritmifunktiot- trigonometriset funktiot- syklometriset eli arkusfunktiot- hyperboliset funktiot- areafunktiot- edellisistä ja algebrallisista funktioista aritmeettisesti tai yhdistämällä saa-dut funktiot, jotka eivät sievene tai muuten redusoidu algebrallisiksi.

β) Korkeammat transkendenttifunktiot, joita ei voida esittää nk.suljetussamuodossa, ks. alla.

Algebrallisia funktioita ja transkendenttisiä alkeisfunktioita kutsutaan yhteisni-mellä alkeisfunktiot(elementary functions). Funktio on esitettysuljetussa muo-dossa(closed form), jos se on saatu alkeisfunktioista suorittamalla äärellisen mon-ta yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, juurenottoa,kuvausten yhdistämistä jakuvauksen kääntämistä.

Esimerkki 6.5.3 Korkeampia transkendenttifunktioita saadaan aikaan mm. sar-jojen ja integraalien avulla:

Φ(x) =1

2π

∫ x

−∞e−t2/2 dt, x 7→

∞∑

n=1

1

nx, x 7→

∫ x

0

sin t

tdt.

Tehtävä 6.5.4 Mihin yllä mainituista luokista kuuluvat funktiotx 7→ x2 + 1,

x 7→√

x2 + 1x, x 7→ cosx, x 7→ ex

2, x 7→ sin2 x, x 7→ 1− 2 sin2 x− cos 2x?

Tehtävä 6.5.5 Olkoot f : R → R+, f(x) := ex2, ja g : R+ → R, g(x) :=

ln x3+1. Mihin yllä mainituista luokista kuuluvat funktiot (siellä missä määritel-tyjä)

a)f , g, f + g, fg ?b) g ◦ f ?b) f ◦ g ?

Alkeisfunktioita käsitellään tarkemmin Luvuissa 7 ja 8.

7 Algebralliset alkeisfunktiot

7.1 Polynomit

Polynomi on alkeisfunktioista yksinkertaisin, koska kuva-alkio saadaan lähtöpis-teestä äärellisellä määrällä yhteen- ja kertolaskuoperaatioita. Polynomit ovat tär-keitä mm. siksi, että

(1) sovellutuksissa ongelmien ratkaisut ovat usein polynomien nollakohtia,

(2) polynomeilla voidaan approksimoida muita säännöllisiä funktiota.

Määritelmä 7.1.1 Polynomion reaalifunktioP : R → R,

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0,

missäa0, a1 . . ., an ∈ R ovat vakioita, polynominkertoimia(coefficients). Josan 6= 0 ja ai = 0 kun i > n, niin luku degP := n ∈ N0 on polynominP aste(degree). Nollapolynomi0 on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia, se onsiis samalla nollafunktio. Sovitaan, että nollapolynomilla ei ole astetta.

Huomautus 7.1.2 a) Nollapolynomin asteeksi näkee joskus sovittavandeg 0 :=−1 tai deg 0 := −∞.

b) Polynomi voidaan esittää sigma-merkintää käyttäen

P (x) =

n∑

k=0

akxk.

Esimerkki 7.1.3 Lauseke

P (x) =√7x5 − πx2 + 1

määrittelee polynomin, jolledegP = 5.

Perustelemme aluksi, miksi yhtälölläP (x) = 0 on korkeintaandegP erisuurtareaalista ratkaisua. Tätä varten tarvitaan seuraava aputulos (vrt. kokonaislukujenjakoyhtälö Tehtävässä 3.1.9):

Lemma 7.1.4 (polynomien jakoyhtälö)Olkoot P ja Q polynomeja ja olkoondegQ > 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt polynomitA jaR siten,että kaikillax ∈ R pätee

P (x) = A(x)Q(x) +R(x) ja degR < degQ.

7.1 Polynomit 91

Lemman 7.1.4 jakoyhtälössä polynomiP on jaettavaja polynomiQ on jakajapolynomiA on osamääräja polynomiR jakojäännös(denominator, nominator,quotient, remainder).

Lemman 7.1.4 todistus sivuutetaan algebrallisena ja teknisenä, ks. esimerkiksiMyrberg: Algebra, s. 112.

Määritelmä 7.1.5 Jos jakoyhtälössä jakojäännösR = 0 (nollapolynomi), sano-taan, että polynomiP on jaollinen (divisible) polynomillaQ, jaQ on polynominP tekijä (factor).

Esimerkki 7.1.6 Käsin laskienA jaR löydetään jakokulman avulla.

a) OlkoonP (x) := x3 + x2 + x+ 1 ja Q(x) := x2 + 1.

Jakamalla jakokulmassax3 + x2 + x + 1 polynomillax2 + 1 saadaan tulokseksix+ 1. Siis

x3 + x2 + x+ 1 = (x2 + 1)(x+ 1)

eli A(x) = x+ 1 jaR = 0.

b) OlkoonP (x) := x3 + 3x2 − x− 1 ja Q(x) := x+ 2.

Jakamalla jakokulmassax3 + 3x2 − x − 1 polynomillax + 2 saadaanA(x) =x2 + x − 3 ja jakojäännökseksiR(x) = 5. Tarkastamalla todetaan, että tulos onoikein, sillä

A(x)Q(x) +R(x) = (x2 + x− 3)(x+ 2) + 5 = x3 + 3x2 − x− 1 = P (x).

Määritelmä 7.1.7 Reaalilukux0 on polynominP nollakohta (zero, root), josP (x0) = 0.

Lemma 7.1.8 Jos polynomillaP on nollakohtax0, niin P on muotoa

P (x) = (x− x0)A(x),

missäA on polynomi, jolledegA = degP − 1.

Todistus.Kun polynomiP jaetaan polynomillaQ, Q(x) = x− x0, saadaan jako-yhtälön nojalla esitys

P (x) = (x− x0)A(x) +R(x), x ∈ R, (1)

missädegR < degQ = 1. SiisdegR = 0 tai R on nollapolynomi. Joka tapauk-sessaR on vakiopolynomi. Sijoittamallax = x0 esitykseen (1) saadaan

0 = P (x0) = (x0 − x0)A(x0) +R(x0) = R(x0).

92 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT

KoskaR on vakiopolynomi jaR(x0) = 0, on R välttämättä nollapolynomi, jaensimmäinen väite on todistettu.

PolynominA astetta koskeva väite todetaan helposti antiteesin kautta. �

Lemma 7.1.9 JosP on polynomi

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0,

jolle n = degP ∈ N, ja josx1, x2, . . . , xn ovat erillisiä polynominP nollakohtia,niin P on muotoa

P (x) = an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn).

Todistus.Soveltamalla toistuvasti Lemmaa 7.1.8 voidaan kirjoittaa

P (x) = (x− x1)A1(x) = (x− x1)(x− x2)A2(x) = (x− x1) · · · (x− xn)An(x),

missädegA1 = n − 1, degA2 = n − 2, . . . , degAn = 0. Tällöin erityisestiAn(x) = an. �

Lause 7.1.10JosP on polynomi jadeg P = n, niin polynomillaP on korkein-taann kappaletta erillisiä nollakohtia.

Todistus.Tehdään antiteesi: Erillisiä nollakohtia onm, missäm > n. Nyt Lem-man 7.1.9 nojallaP on muotoa

P (x) = an(x− x1) · · · (x− xm),

missäan 6= 0. Mutta tällöin välttämättädegP ≥ m > n, mikä on ristiriita. �

Esimerkki 7.1.11 Nollakohdat voivat olla moninkertaisia. Esimerkiksi

x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3,

jolloin sanotaan, ettäx = 1 onkolminkertainennollakohta. Tietenkään (reaalisia)nollakohtia ei tarvitse olla olemassa. Esimerkiksi polynomilla x 7→ x2 + 1 ei olereaalisia nollakohtia.

Polynomifunktioiden visualisointeja(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/Polynomifunktiot.htm

7.2 Algebrallisista yhtälöistä 93

7.2 Algebrallisista yhtälöistä

Tarkastellaan yhtälöäP (x) = 0, (2)

missäP on polynomi. Tätä sanotaanalgebralliseksi yhtälöksi. Yhtälöllä (2) onLauseen 7.1.10 nojalla korkeintaandegP erillistä reaalista ratkaisua.

Esimerkki 7.2.1 JosdegP = 1, niin (2) on muotoa

ax+ b = 0,

missäa 6= 0 ja b ∈ R. Tällä yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisux = − ba.

Palautetaan mieleen myös toisen asteen yhtälön ratkaisukaava.

Lause 7.2.2 (toisen asteen yhtälön ratkaisukaava)Olkoot a 6= 0 ja b, c ∈ R.Tällöin yhtälön

ax2 + bx+ c = 0 (3)

ratkaisut saadaan kaavasta

x =−b±

√b2 − 4ac

2a. (4)

Yhtälön (3)diskriminanttion lukuD := b2 − 4ac.

(i) Jos diskriminanttiD > 0, on yhtälöllä (3) kaksi reaalista ratkaisua.

(ii) JosD = 0, on yhtälöllä (3) täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu.

(iii) JosD < 0, ei yhtälöllä (3) ole reaalisia ratkaisuja.

Todistus. Sijoittamalla on helppo todeta, että yhtälön (4) lauseke todella on rat-kaisu. Tämä myöskin todistaa kohdan (i) (Lause 7.1.10). Kohtia (ii) ja (iii) tarkas-tellaan jäljempänä. �

Esimerkki 7.2.3 a) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan myös ratkaisuneljännen asteen yhtälölle, jossa esiintyy ainoastaan muuttujanx parillisia potens-seja. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä

−2x4 + x2 + 1 = 0.

Merkitäänx2 = y, jolloin yhtälö saa muodon−2y2 + y + 1 = 0. Tämän ratkaisuon

y =−1 ±

√9

−4

94 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT

eli y1 = −12

ja y2 = 1. Alkuperäisen yhtälön ratkaisut saadaan yhtälöidenx2 = −1

2ja x2 = 1 ratkaisuina. Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole reaalisia ratkai-

suja, kun taas jälkimmäisellä yhtälöllä on ratkaisutx = ±1. Nämä ovat samallatarkasteltavan yhtälön ainoat reaaliset ratkaisut.

b) Jos esimerkiksi kolmannen asteen yhtälön eräs ratkaisu tunnetaan, muut ratkai-sut saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta Lemman7.1.8 nojalla. Tarkas-tellaan esimerkiksi yhtälöä

x3 − 7

2x− 1 = 0.

Yhtälön eräs ratkaisu onx = 2, joten jakamalla jakokulmassa saadaan (Lemma7.1.8)

x3 − 7

2x− 1 = (x− 2)(x2 + 2x+

1

2) = 0.

Siten alkuperäisen yhtälön muut ratkaisut saadaan yhtälönx2 + 2x + 12= 0 rat-

kaisuista. Nämä ovat

x =−2 ±

√4− 2

2= −1± 1

2

√2.

Kokonaislukukertoimisen polynomin tapauksessa saattaa olla apua seuraavastaaputuloksesta, jonka avulla voi kokeilemalla yrittää löytää mahdollisiarationaali-juuria.

Menetelmä 7.2.4Jos supistetussa muodossa oleva rationaalilukur/s on koko-naislukukertoimisen yhtälön

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0, an 6= 0,

juuri, niin |r| on luvuna0 ja |s| luvunan tekijä.

Tehtävä 7.2.5 Ratkaise yhtälö4x3 + 8x2 − 11x+ 3 = 0.Opastus.Polynomiyhtälö on kokonaislukukertoiminen, joten Menetelmän 7.2.4mukaan kannattaa kokeilla murtolukujar/s, missär = ±1,±3 jas = ±1,±2,±4.

Tehtävä 7.2.6 JohdaLauseessa 7.2.2 esitetty toisen asteen polynomiyhtälön rat-kaisukaava.

Syvennämme tarkastelua kunhan olemme tutustuneet lähemmin kompleksilukui-hin, ks. Luku 12.9.

7.3 Rationaalifunktiot 95

7.3 Rationaalifunktiot

Rationaalifunktiot ovat muotoa

R(x) =P (x)

Q(x),

missäP ja Q 6= 0 ovat polynomeja. Rationaalifunktio on määritelty nimittäjäpo-lynominQ nollakohtien ulkopuolella.

Tehtävä 7.3.1 Kuvassa 29 on rationaalifunktioidenR1, R2, R3, R4,

R1(x) := − 1

x2, R2(x) :=

1

x4 + x− 1, R3(x) :=

−1 + 5x

x2ja R4(x) :=

1

x− 2

kuvaajat, tosin eivät tässä järjestyksessä. Mikä kuvaajista esittää mitäkin funktio-ta?

–20

–10

0

10

20

y

1 2 3 4x

–20

–15

–10

–5

5

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

y

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8x

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Kuva 29: Tehtävän 7.3.1 rationaalifunktiot

96 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT

Rationaalifunktion jakaminen osamurtoihin

Tarkastellaan rationaalifunktioitaR = PQ

, joille degP < degQ. Tarkoituksenaon esitellä laskurutiineja, joilla saadaan aikaan rationaalifunktion osamurtokehi-telmä. Emme tässä yhteydessä perustele, miksi kyseinen rutiini johtaa tulokseen.Huomaa, että saatu tulos voidaan (ja kannattaa) aina tarkistaa.

Tapaus 1.Oletetaan, ettädegQ = n ja että polynomillaQ onn kappaletta erillisiänollakohtiax1, . . . xn. Tällöin rationaalifunktiollaR = P

Qon osamurtokehitelmä

R(x) =P (x)

Q(x)=

P (x)

a(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

=A1

x− x1

+A2

x− x2

+ . . .+An

x− xn

missäA1, . . ., An ∈ R ja a 6= 0.

Esimerkki 7.3.2 Huomaa, että osamurtokehitelmä ratkaisee funktionR integ-rointiongelman; nimittäin

∫1

x− x1dx = ln |x− x1|+ C, C ∈ R,

ja siis

∫R(x) dx =

∫ n∑

i=1

Ai

x− xi

dx =n∑

i=1

Ai ln |x− xi|+ C, C ∈ R.

Esimerkki 7.3.3 Määritetään osamurtokehitelmä funktiolle

R(x) :=x

x2 − 1.

Asetetaanx

x2 − 1=

A

x+ 1+

B

x− 1, x 6= ±1.

Kertomalla nimittäjät pois (siis lavennukset etc.) saadaan

x = A(x− 1) +B(x+ 1) = Ax−A +Bx+B = (A+B)x+ (B −A).

Tämä pätee kaikillax 6= ±1 vain josA+B = 1 jaB−A = 0. Tästä yhtälöparistasaadaan ratkaisuiksiA = 1

2ja B = 1

2. Huomaa, että metodi menee asteenn

kasvaessa työlääksi, koska ratkaisuun pääseminen edellyttää yleisessä tapauksessayhtälöryhmän ratkaisua tilanteessa, jossa onn tuntematonta jan yhtälöä.

7.3 Rationaalifunktiot 97

Esimerkki 7.3.4 Osamurtokehitelmä löytyykin yleensä kätevimminHeaviside-metodilla. Etsitään malliksi sellaiset vakiotA1, A2, A3 ∈ R, että

R(x) :=1

x(x− 1)(x+ 1)=

A1

x+

A2

x− 1+

A3

x+ 1(5)

kaikilla x 6= 0, x 6= ±1.

Kerrotaan (5) ensin puolittain ”ensimmäisellä nimittäjällä” x, jolloin saadaan

1

(x− 1)(x+ 1)= A1 + x

A2

x− 1+ x

A3

x+ 1. (6)

Tähän voidaan sijoittaax = 0, jolloin saadaan−1 = A1 (tarkkaan ottaen tässätulisi vedota yhtälön (6) lausekkeiden jatkuvuuteen pisteessäx = 0, koska a prioritarkastellaan vain pisteitäx 6= 0, x 6= ±1). Sijoitetaan esitykseen (5)A1 = −1 jakerrotaan seuraavaksi ”toisella nimittäjällä”x− 1. Näin saadaan

1

x(x+ 1)= −1

x(x− 1) + A2 + A3

(x− 1)

(x+ 1).

Nyt sijoitetaanx = 1 ja saadaanA2 = 12. SijoittamallaA2 = 1

2esitykseen (5) ja

kertomalla ”kolmannella nimittäjällä”x+ 1 todetaan

1

x(x− 1)= −x+ 1

x+

1

2

(x+ 1

x− 1

)+ A3.

Sijoittamalla lopuksix = −1 saadaanA3 =12.

Siis1

x(x− 1)(x+ 1)= −1

x+

1

2

(1

x− 1

)+

1

2

(1

x+ 1

)

kaikilla x 6= 0 ja x 6= ±1. Kertomalla nimittäjät pois voidaan helposti tarkistaa,että tulos on oikein.

Määritelmä 7.3.5 Olkoonn ∈ N. PolynomillaQ onn-kertainen nollakohtax0,josQ on jaollinen polynomilla(x− x0)

n, mutta ei polynomilla(x− x0)n+1.

Tapaus 2.Jos nimittäjäQ on muotoa

Q(x) = (x− x1)n1(x− x2)

n2 · · · (x− xs)ns,

missäx1, . . . , xs ovat erillisiäQ:n nollakohtia jani ∈ N, niin jokaista termiä(x− xi)

ni kohti on osamurtokehitelmään summattava mukaan lauseke

Ai1

x− xi+

Ai2

(x− xi)2+ . . .+

Aini

(x− xi)ni, i = 1, 2, . . . , s.

98 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT

Esimerkki 7.3.6 Jaetaan osamurtoihin

R(x) :=1

x2(x− 1).

Nimittäjällä on siis kaksinkertainen nollakohta0 ja yksinkertainen nollakohta1.

Etsitään Heaviside-metodilla vakiotA1, A2 jaA3 ∈ R siten, että

R(x) =1

x2(x− 1)=

A1

x2+

A2

x+

A3

x− 1. (7)

Kerrotaan ensin (7) puolittain erotuksellax− 1, jolloin todetaan

1

x2= (x− 1)

A1

x2+ (x− 1)

A2

x+ A3.

Sijoittamalla tähänx = 1 saadaanA3 = 1. Toisaalta, kertomalla (7) puolittainneliölläx2 ja sijoittamallaA3 = 1 saadaan

1

x− 1= A1 + A2x+ x2 1

x− 1,

ja sijoittamalla tähänx = 0 todetaanA1 = −1. Sijoittamalla nytA1 = −1saadaan yhtälö (7) muotoon

1

x2(x− 1)= − 1

x2+

A2

x+

1

x− 1.

Koska tämän pitää olla samalla vakiollaA2 voimassakaikilla x 6= 0, x 6= 1,saadaan sijoittamalla vaikkapax = 2

−1

4=

A2

2+ 1,

ja sitenA2 = −1. Siis kaikillax ∈ R \ {0, 1} pätee

1

x2(x− 1)= − 1

x2− 1

x+

1

x− 1.

Kertomalla nimittäjät pois tarkistetaan helposti, että tulos on taas oikein.

Huomautus 7.3.7 Jos nimittäjäpolynomillaQ on tekijänä vähintään toista astettaoleva polynomi, jolla ei ole reaalisia nollakohtia, osamurtokehitelmä mutkistuuentisestään. Silloin voidaan koettaa osoittajaan vakion sijasta yritettäAx+B, taijakaa kompleksisiin tekijöihin.

7.4 Potenssi- ja juurifunktio 99

7.4 Potenssi- ja juurifunktio

Olkoonn ∈ N ja olkoonf : R+ → R,

f(x) := xn.

Jos0 ≤ x < y, niin tunnetustixn < yn, joten funktiof on aidosti kasvava. Se onsiis injektio ja kuvausf : R+ → f(R+) on bijektio. Bolzanon lauseesta (AnalyysiI) seuraa, ettäf(R+) = R+, jotenf : R+ → R+ on bijektio. Kyseisen bijektionkäänteiskuvauksellen:s juurifunktiof−1 : R+ → R+ käytetään merkintää

f−1(x) =: n√x.

Huomaa, että Lemman 6.3.4 a) nojalla juurifunktio on aidosti kasvava ja että

( n√x)n = x ja n

√xn = x

kaikilla x ∈ R+ Huomautuksen 6.4.2 mukaan.

Olkoonn ∈ N pariton. Tällöin sääntöf(x) = xn määrittelee injektionR → R.Tämän toteamiseksi riittää osoittaa, ettäf on aidosti kasvava joukossaR. Olkootx, y ∈ R, x < y. Jos0 ≤ x < y, niin xn < yn. Josx < 0 ≤ y, niin xn < 0 ≤ yn,koskan on pariton. Jos lopuksix < y < 0, niin 0 < −y < −x ja luvun nparittomuuden nojalla

−yn = (−y)n < (−x)n = −xn.

Näin ollenxn < yn. Siis f : R → R on injektio. Pitäen tunnettuna, ettäf(R) =R (seuraa Bolzanon lauseesta, Analyysi I) päätellään, ettäf on aidosti kasvavabijektioR → R. Käänteiskuvaukselle käytetään edelleen merkintää

f−1(x) = n√x.

Lemman 6.3.4 nojalla myös tämä juurifunktiox 7→ n√x on aidosti kasvava.

Esimerkki 7.4.1 Ratkaistaan epäyhtälö

(x2 + 2)14 > (x2 + 3x)

14 .

Neljäs juuri on määritelty vain ei-negatiivisille luvuille. Siksi vaaditaan, ettäx2 +3x = x(x+ 3) ≥ 0 eli x ≤ −3 tai x ≥ 0.

Oletetaan, ettäx ≤ −3 tai x ≥ 0. Juurifunktion aidon kasvavuuden nojalla (Lem-ma 6.2.3)

(x2 + 2)14 > (x2 + 3x)

14 ⇔ x2 + 2 > x2 + 3x

⇔ 2 > 3x

⇔ x <2

3.

Siispä kysytyn epäyhtälön ratkaisut ovatx ≤ −3 tai 0 ≤ x < 23.

100 7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT

Esimerkki 7.4.2 Olkoonf : R \ {−2} → R,

f(x) := 5

√3x

x+ 2.

Määritetään funktionf käänteiskuvaus.

Tätä varten olkoony ∈ R. Koska kuvausx 7→ x5 on injektio, voidaan arvoillax 6= −2 kirjoittaa ekvivalenssiketju

f(x) = y ⇔ 5

√3x

x+ 2= y ⇔ 3x

x+ 2= y5

⇔ 3x = y5(x+ 2)

⇔ x(3− y5) = 2y5

⇔ x =2y5

3− y5

olettaen, ettäx 6= −2 ja ettäy 6= 5√3. Siis jokaisellay 6= 5

√3 on yksikäsitteinen

alkukuva2y5/(3 − y5). Ekvivalenssiketjun yhtälöstäx(3 − y5) = 2y5 nähdään,että luvullay = 5

√3 ei ole alkukuvaa. Näin ollenf on bijektio joukostaR \ {−2}

joukkoonR \ { 5√3} ja käänteiskuvausR \ { 5

√3} → R \ {−2} on

f−1(x) =2x5

3− x5.

Esimerkki 7.4.3 Määritä säännöllef : x 7→ 3√x2 − 3 lähtöjoukko ja maalijouk-

ko niin, että syntyy mahdollisimman laajalla välillä määritelty reaalifunktio, jollaon käänteisfunktio. Määritä myös se.

Ratkaisu. Sääntöf(x) = 3√x2 − 3 määrittelee selvästi funktionR → R, mutta

se ei ole injektio, silläf(−√3) = 0 = f(

√3). Yleisemmin,f on parillinen,

siis kuvaaja on symmetrineny-akselin suhteen, silläf(−x) = 0 = f(x) kaikillax ∈ R.

Funktiof voidaan esittää yhdistettynä funktionah ◦ g, missäg(x) := x2 − 3 jah(x) := 3

√x, sillä

(h ◦ g)(x) = h(x2 − 3) =3√x2 − 3 = f(x).

Funktiog on välillä [0,+∞[ aidosti kasvava arvojoukkonaan[−3,+∞[, ja vastaa-vastih on aidosti kasvava funktio[−3,+∞[ →

[− 3√3,+∞

[. Yhdistetty funktio

f on siten aidosti kasvava ja näin ollen injektio, ja niinpä funktion f rajoittuma-kuvausf1 : [0,+∞[ →

[− 3√3,+∞

[on bijektio.

7.4 Potenssi- ja juurifunktio 101

Lauseen 5.3.2 mukaan funktiollaf1 on käänteiskuvausf−11 :

[− 3√3,+∞

[→

[0,+∞[. Se voidaan tässä tapauksessa myös laskea:

y =3√x2 − 3 ⇔ y3 = x2 − 3 ⇔ x = ±

√y3 + 3.

Koska piti ollax ≥ 0, pitää valita positiivinen haara; vaihtamalla muuttujat saa-daan (ks. Kuvat 30)

f−11 (x) =

√x3 + 3.

Toinen yhtä laajasti määritelty ratkaisufunktio on samalla lausekkeella määriteltyaidosti vähenevä bijektiof2 : ]−∞, 0] →

[− 3√3,+∞

[(perustele itse!) ja sillä on

käänteisfunktionaf−12 :

[− 3√3,+∞

[→ ]−∞, 0],

f−12 (x) = −

√x3 + 3.

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Kuva 30: Esimerkin 7.4.3 funktioita

Tehtävä 7.4.4 Ratkaise yhtälö ja piirrä tilanteesta kuvio:

2√|x2 − 1| = 1.

8 Transkendenttiset alkeisfunktiot

Algebrallinen potenssifunktiox 7→ xn ja juurifunktio x 7→ n√x yleistyvät eräin

rajoituksin myös reaalisille eksponenteille.

8.1 Yleiset potenssi- ja juurifunktiot

Luvunx > 0 reaaliset potenssit määritellään seuraavissa vaiheissa:

Olkoonn ∈ N, m ∈ Z ja r ∈ R. Määritellään induktiivisesti:

1)

{x1 := xxn+1 := x · xn, n ∈ N

2)

{x0 := 1

x−n :=1

xn

3) xmn := (x

1n )m, missäx

1n on lukuy > 0, jolle päteeyn = x,

4) xr :=

{inf{x

mn

∣∣ mn∈ Q, m

n< r

}, kun0 < x < 1,

sup{x

mn

∣∣ mn∈ Q, m

n< r

}, kunx ≥ 1.

Reaalisen potenssin määritteleminen rationaalipotenssin avulla vaatii reaaliluku-jen täydellisyysaksiooman tuntemisen (joukonsupremumsup = pienin yläraja jainfimum inf = suurin alaraja, ks. Luku 4.8 ja Analyysit).

Määritelmä 8.1.1 Olkoonr ∈ R. Funktiof : R+ → R, f(x) := xr on yleinenpotenssifunktio(power function).

Huomautus 8.1.2 Kokonaislukuarvoillam ∈ N ja parittomillan ∈ N voidaanpotenssifunktiotx 7→ xm ja x 7→ x

1n laajentaa koko reaalilukujen joukossa mää-

ritellyiksi, ks. Luku 7.4. Arvoillar > 0 voidaan sopia0r = 0, siis jatkaax 7→ xr

nollaan asti.

Laskusääntöjä 8.1.3Olkootx > 0 ja y > 0 sekär ja s reaalilukuja. Tällöin

a) (xy)r = xryr b)

(x

y

)r

=xr

yr

c) xrxs = xr+s d)xr

xs= xr−s

e) (xr)s = xrs

8.1 Yleiset potenssi- ja juurifunktiot 103

r > 1

0

1

2

3

y

1 2 3x

r = 1

0

1

2

3

y

1 2 3x

0 < r < 1

0

1

2

3

y

1 2 3x

r = 0

0

1

2

3

y

1 2 3x

r < 0

0

1

2

3

y

1 2 3x

Kuva 31: Potenssifunktioiden kuvaajia

Esimerkki 8.1.4 Edelliset laskusäännöt pätevät vain, kunx > 0 ja y > 0. Sitenlaskussa

−2 = (−8)13 = (−8)

26 = ((−8)2)

16 = 64

16 = 2

on varmaankin käytetty sääntöjä väärin, miten?

Potenssifunktiotx 7→ xr ovat jatkuvia määrittelyjoukossaanR+. Lisäksi ne ovatmonotonisia ja ei-negatiivisia. Potenssifunktioiden kuvaajia eri arvoillar ∈ Rnäkyy Kuvassa 31.

Huomautus 8.1.5 Kullakin arvolla r 6= 0 on funktionx 7→ xr käänteisfunktiox 7→ x

1r yhtälailla potenssifunktio.

Esimerkki 8.1.6 a) Olkoonf : R → R, f(x) := x3. Funktionf käänteisfunktioonf−1 : R → R,

f−1(x) = x13 = 3

√x.

b) Funktiong : [0,∞[ → [0,∞[, g(x) := x2, käänteisfunktiog−1 : [0,∞[ →[0,∞[ on

g−1(x) = x12 =

√x.

Potenssi- ja juurifunktioiden visualisointeja(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/PotenssiJaJuurifunktiot.htm

104 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

8.2 Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Tärkein eksponenttifunktioista one-kantainen eksponenttifunktio, jonka käänteis-funktio on luonnollinen logaritmi.

Eksponenttifunktio kantalukuna e

Neperin lukue on transkendenttinen ”luonnonvakio”, jota voi lähestyä monellatapaa. Yksinkertaisin tapa on käyttää lukujonoa:

(1 + 1)1 = 2(1 +

1

2

)2

= 2, 25

(1 +

1

3

)3

= 2, 37037 . . .

(1 +

1

4

)4

= 2, 44141 . . .

(1 +

1

5

)5

= 2, 48832 . . .

...

Voidaan osoittaa, että jonolla on äärellinen raja-arvo (jono on kasvava ja ylhäältärajoitettu, ks. Analyysi I).

Määritelmä 8.2.1 Neperin lukue on raja-arvo

e := limn→∞

(1 +

1

n

)n= 2,71828 . . . .

Luku on nimetty skotlantilaisen astrologi-matemaatikko John Napier’n (1550 -1617) mukaan; hän keksi mm. jäljempänä käsiteltävän luonnollisen logaritmin.

Määritelmä 8.2.2 Funktioexp : R → R+, exp(x) := ex, one-kantainenekspo-nenttifunktio(exponential function).

Eksponenttifunktioexp on aidosti kasvava (jatkuva) bijektioR → R+, ks. kuvaajaKuvassa 32.

8.2 Eksponentti- ja logaritmifunktiot 105

0

1

2

3

4

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Kuva 32: Eksponenttifunktion kuvaajaa

Laskusääntöjä 8.2.3Eksponenttifunktiolleexp on voimassa kaikillax, y ∈ R jan ∈ N

a) e0 = 1 b) e−x =1

ex

c) ex+y = exey d) ex−y =ex

ey

e) limx→0

ex − 1

x= 1 f) lim

x→∞

ex

xn= ∞

Huomautus 8.2.4 Raja-arvokaavan mukaanx 7→ ex kasvaa nopeammin kuin po-tenssifunktiox 7→ xn milläänn ∈ N.

106 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

Logaritmifunktio kantalukuna e

Koska eksponenttifunktioexp : R → R+ on bijektio, sillä on käänteisfunktioexp−1 : R+ → R.

Määritelmä 8.2.5 Eksponenttifunktionexp käänteisfunktiotaln := exp−1 :R+ → R sanotaanluonnolliseksi logaritmifunktioksi(natural logarithm).

–2

–1

0

1

2

y

1 2 3 4x

Kuva 33: Logaritmifunktion kuvaajaa

Huomautus 8.2.6 Logaritmifunktion kuvaajaa näet Kuvassa 33. Luonnollistalo-garitmifunktiotax 7→ ln x sanotaan myöse-kantaiseksi logaritmiksi(logarithm ofbasee). Käänteisfunktion määritelmän mukaan

y = ex ⇔ x = ln y.

Logaritmifunktioln : R+ → R on aidosti kasvava (jatkuva) bijektio.

Laskusääntöjä 8.2.7Logaritmifunktiolle ln on voimassa kaikillax, y, r ∈ R+,c ∈ R ja n ∈ N

a) ln 1 = 0 ja ln e = 1 b) ln xc = c ln x

c) ln(xy) = ln x+ ln y d) ln(xy

)= ln x− ln y

e) limx→∞

x

(lnx)n= ∞ f) lim

x→∞

xr

ln x= ∞

Raja-arvosäännön f) mukaan mikä tahansa potenssifunktiox 7→ xr, r > 0, kasvaanopeammin kuinln.

Koska eksponentti- ja logaritmifunktiot ovat toistensa käänteisfunktioita, on

elnx = x kaikilla x ∈ R+,ln ex = x kaikilla x ∈ R.

8.2 Eksponentti- ja logaritmifunktiot 107

Muut eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponenttifunktionx 7→ ax kantaluvuksi käy mikä tahansa reaalivakioa > 0.

Määritelmä 8.2.8 Olkoona ∈ R+ vakio. Funktioexpa : R → R+, expa := ax

ona-kantainen eksponenttifunktio.

Arvoilla 0 < a < 1 on eksponenttifunktioexpa aidosti vähenevä ja arvoillaa > 1aidosti kasvava, ks. Kuva 34. Rajatapausa = 1 on luonnollisesti vakiofunktioexp1 = 1.

a > 1

0

1

2

3

4

y

–3 –2 –1 1 2 3x

0 < a < 1

0

1

2

3

4

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Kuva 34: Eksponenttifunktioiden kuvaajia

Arvoilla a ∈ R+ \ {1} on funktioillax 7→ ax käänteiskuvaukset.

Määritelmä 8.2.9 Kullekin vakiolle a ∈ R+ \ {1} sanotaana-kantaisen ekspo-nenttifunktion käänteisfunktiotaloga : R+ → R a-kantaiseksi logaritmifunktiok-si.

Logaritmifunktioiden kuvaajat ovat eksponenttifunktioiden kuvaajien peilikuviasuorany = x suhteen, ks. Kuva 35.

a > 1

–2

–1

0

1

2

y

1 2 3 4x

0 < a < 1

–2

–1

0

1

2

y

1 2 3 4x

Kuva 35: Logaritmifunktioiden kuvaajia

108 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

Eksponenttifunktioiden visualisointeja(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/Eksponenttifunktiot.htm

Logaritmifunktioiden visualisointeja(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/Logaritmifunktiot.htm

Eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuuksia

Lause 8.2.10a) Eksponenttifunktioexpa voidaan esittääe-kantaisen eksponent-tifunktion avulla:

ax = ex ln a.

b) Logaritmifunktiologa voidaan esittääe-kantaisen logaritmin avulla muodossa

loga x =ln x

ln a=

1

ln a· ln x.

Todistus.a) Olkoonx ∈ R. Silloin ax = eln ax = ex ln a (perustele!).

b) Olkoonx > 0 ja y := loga x. Silloin käänteisfunktion määritelmän ja luonnol-lisen logaritmin ominaisuuksien nojalla

y = loga x ⇔ x = ay

⇔ ln x = ln ay = y ln a

⇔ y =ln x

ln a,

eli loga x = y = lnxln a

. �

Esimerkki 8.2.11 Lauseen 8.2.10 a) nojalla voidaan funktiox 7→ xx esittää muo-dossa

xx = elnxx

= ex lnx, x > 0,

ja yleisemminf(x)g(x) = eln f(x)g(x) = eg(x) ln f(x).

Eksponentti- ja logaritmilausekkeita sisältävien yhtälöiden ratkaisemisessa voi-daan hyödyntää näiden funktioiden bijektiivisyyttä: arvoilla x, y, a > 0, a 6= 1,on

x = y ⇔ ax = ay,

x = y ⇔ loga x = loga y.

8.2 Eksponentti- ja logaritmifunktiot 109

Esimerkki 8.2.12 Ratkaistaan yhtälö

2x2−1 − 1

2· 32x = 0.

2x2−1 − 1

2· 32x = 0 ⇔ 2 · 2x2−1 = 32x

⇔ 2x2

= 32x

⇔ ln 2x2

= ln 32x

⇔ x2 ln 2 = 2x ln 3

⇔ x(x ln 2− 2 ln 3) = 0

⇔ x = 0 tai x =2 ln 3

ln 2

Esimerkki 8.2.13 Ratkaistaan yhtälö

4x − 2x+2 = 32.

Aluksi muokataan yhtälöä:

4x − 2x+2 = 32 ⇔ (2x)2 − 2x22 − 32 = 0

⇔ (2x)2 − 4 · 2x − 32 = 0.

Merkitäänt := 2x. Silloin on t > 0, mikä saattaa vaikuttaa ratkaisuihin. Nyt

4x − 2x+2 = 32 ⇒ t2 − 4t− 32 = 0

⇒ t = 8 tai t = −4

⇒ 2x = 8 = 23 tai 2x = −4

⇒ x = 3 tai 2x = −4.

Ainoa reaalinen ratkaisu voi ollax = 3, mikä toteuttaakin yhtälön (tarkasta!).

Eksponentti- ja logaritmifunktioita sisältävienepäyhtälöidenratkaisu voidaan pe-rustaa näiden funktioiden

• aidosti monotonisuuteen.

• jatkuvuuteen; jatkuva funktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdissa.

On kuitenkin muistettava kantaluvusta johtuvat eroavuudet:

Arvoilla a > 1, x, y ∈ R on: x < y ⇔ ax < ay.Arvoilla 0 < a < 1, x, y ∈ R on: x < y ⇔ ax > ay.

Arvoilla a > 1, x, y ∈ R+ on: x < y ⇔ loga x < loga y.Arvoilla 0 < a < 1, x, y ∈ R+ on: x < y ⇔ loga x > loga y.

110 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

Esimerkki 8.2.14 Ratkaistaan epäyhtälö

2x2−1 − 1

2· 32x < 0.

2x2−1 − 1

2· 32x < 0 ⇔ 2x

2

< 32x

⇔ ln 2x2

< ln 32x∣∣ ln aidosti kasvava

⇔ x2 ln 2− 2x ln 3 < 0

⇔ x(x ln 2− 2 ln 3) < 0

Merkitäänf(x) := x ln 2− 2 ln 3 ja tarkastellaan merkkikaaviota:

x − + +f(x) − − +xf(x) + − +

0 2 ln 3ln 2

Ratkaisu on siis0 < x < 2 ln 3ln 2

.

Lause 8.2.15Joslimx→x0 f(x) = ∞ (tai limx→x0 f(x) = −∞), niin

limx→x0

(1 +

1

f(x)

)f(x)= e.

Todistus.Seuraa yhdistetyn funktion määritelmästä ja tunnetusta raja-arvotulok-sesta

limx→±∞

(1 +

1

x

)x= e.

�

Esimerkki 8.2.16 Lasketaan raja-arvo

limx→∞

(1 +

1

3x

)x

.

Muokataan lauseketta Lauseen 8.2.15 mukaiseksi:

limx→∞

(1 +

1

3x

)x

= limx→∞

(1 +

1

3x

) 13·3x

= limx→∞

[(1 +

1

3x

)3x] 1

3

= e13 = 3

√e.

8.2 Eksponentti- ja logaritmifunktiot 111

Esimerkki 8.2.17 Lasketaan raja-arvo

limx→∞

(x− 2

x

)x

.

Muokataan lauseketta Lauseen 8.2.15 mukaiseksi:

limx→∞

(x− 2

x

)x

= limx→∞

(1− 2

x

)x

= limx→∞

(1− 1

x2

)x

= limx→∞

[(1 +

1

−x2

)−x2

]−2

= e−2 =1

e2.

Eksponentti- ja logaritmifunktioiden laskusäännöille

limx→∞

ex

xn= ∞, lim

x→∞

x

(lnx)n= ∞, lim

x→∞

xr

ln x= ∞, (r > 0).

saadaan yleistykset

Lause 8.2.18Joslimx→x0 f(x) = ∞, niin

limx→x0

ef(x)

(f(x))n= ∞, lim

x→x0

f(x)

(ln f(x))n= ∞, lim

x→x0

f(x)r

ln f(x)= ∞, (r > 0).

112 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot

Trigonometristen funktioiden määritelmät

Perinteisen määritelmän mukaan lukuπ on ympyrän kehän pituuden suhde halkai-sijaan ja tunnetusti sen eräs likiarvo onπ ≈ 3,1415926. Tutkitaan nyt kulmamit-toja tarkastelemallayksikköympyrää(unit circle) eli 1-säteistä origokeskistä taso-ympyrää. Asetetaan tarkasteltavan kulman kärki origoon jaalkukylki positiivisellex-akselille, ks. Kuva 36. Kulmant suuruusradiaaneina(radian) on kulmaa vas-

-1

-1

1

1

positiiviset kulman arvot

negatiiviset kulman arvot

+

_

t

x

y

Kuva 36: Yksikköympyrä

taavan kaaren pituus yksikköympyrän kehällä kiertosuuntaa vastaavalla merkillävarustettuna. Radiaania sanotaan myösabsoluuttiseksi kulmamitaksija usein si-tä käsitellään paljaana reaalilukuna. Koska yksikköympyrän kehän pituus on2π,saadaan yhteys1 (rad) = 360◦

2π≈ 57,29578◦. Yleisesti: josα on kulma asteina jat

on kulma radiaaneina, niin verrannostat2π

= α360◦

saadaan aste-radiaaniyhteydet

t =α

360◦2π ja α =

t

2π360◦.

Tehtävä 8.3.1 a) Montako radiaania on kulma225◦?b) Montako astetta on kulma−7,23?

Kuvassa 37 on esitetty joitakin keskeisiä kulmien vastaavuuksia.

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot 113

0o= 0

π30

ο =

_6

π

π135ο = __

4

3

π90ο =

_2 π

60ο = _

3π_4

45ο =

180ο =

2�0o

π__

23

Kuva 37: Kulmia asteina ja radiaaneina

Tehtävä 8.3.2 a) Montako astetta ja radiaania on kulma, jonka oikea kylki on po-sitiivisella vaaka-akselilla ja vasen kylki vastakkaissuuntainen kulman3π/4 va-semman kyljen kanssa?b) Mikä on se yksikköympyrän kehän piste, jossa kehä leikkaakulman5π/4 va-semman kyljen?

Jokaista reaalilukuat (= kulman suuruus radiaaneina) vastaa täsmälleen yksi ke-hän piste(x, y). Jokaista kehän pistettä(x, y) vastaa ääretön määrä reaalilukuja(radiaanikulmia)t+ n2π, n ∈ Z.

Määritelmä 8.3.3 Olkoon(x, y) kulmaat vastaava yksikköympyrän kehän piste.Määritellään kulmant kosinicos ja sini sin asettamalla

cos t := x

sin t := y

Siten (ks. Kuva 38)- kulman kosini on kulmaa vastaavan kehäpisteenx-koordinaatti- kulman sini on kulmaa vastaavan kehäpisteeny-koordinaatti

Yleisemmin: origokeskisenr-säteisen ympyrän tapauksessacos t = x/r ja sin t =y/r eli x = r cos t ja y = r sin t. Eräitä tärkeitä arvoja saadaan suorakulmaisistamuistikolmioista, ks. Kuva 39.

114 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

-1

-1

1

1t

x = cos t

x,y( )

rt

( )

-r

y = sin t

r

r

x = r cos t

y = r sin tx,y

-r

Kuva 38: Suhteita yksikköympyrässä jar-säteisessä ympyrässä

1 1 1

_21

_21_

23

2_2

2_2

_23

30o = 45o = 60o =π_6

π_3

π_4

Kuva 39: Muistikolmiot

Määritelmä 8.3.4 Ajatellaan kulma muuttujaksi ja merkitään sitä symbolillax.Näin tulevat määritellyksitrigonometriset funktiot(trigonometric functions):

Sini f1 : R → [−1, 1], f1(x) := sin x

Kosini f2 : R → [−1, 1], f2(x) := cosx

Tangentti f3 : R \ {π2+nπ | n ∈ Z} → R, f3(x) = tan x :=

sin x

cos x

Kotangentti f4 : R \ {nπ | n ∈ Z} → R, f4(x) = cot x :=cosx

sin x

Sekantti f5 : R \ {π2+nπ | n ∈ Z} → R, f5(x) = sec x :=

1

cosx

Kosekantti f6 : R \ {nπ | n ∈ Z} → R, f6(x) = csc x :=1

sin x

Trigonometriset funktiot ovat määrittelyjoukoissaan jatkuvia. Sini ja kosini ovatjaksollisia perusjaksoinaan2π. Muista saadaan jaksollisia jatkamalla ne määritte-lemättömyyskohdissa vaikkapa nolliksi (ks. Kuva 40, huomaa skaalat akseleilla).

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot 115

y = sin x

–1

1y

–8 –4 4 8x

y = cos x

–1

1y

–8 –4 4 8x

y = tan x

–4

–20

2

4y

–8 –4 4 8x

y = cot x

–4

–20

2

4y

–8 –4 4 8x

Kuva 40: Trigonometristen funktioiden kuvaajia

Trigonometristen funktioiden visualisointeja(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/TrigonometrisetFunktiot.htm

Sini ja kosini ovat rajoitettuja,| sin | ≤ 1 ja | cos | ≤ 1.

Pienillä kulman arvoilla|x| ≈ 0 on sin x ≈ x, mistä johtuu mm. raja-arvo-omi-naisuus

limx→0

sin x

x= 1.

Tämä käy ilmi myös sinin sarjakehitelmästä, kunx ∈ R on radiaaneja:

sin x = x− x3

3!+

x5

5!− . . . =

∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!.

Kosinilla on myös samankaltainen sarjakehitelmä, mikähänse on? Trigonometri-set funktiot voitaisiinmääritelläkinsuoraan sarjaesitysten avulla.

116 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

Huomautus 8.3.5 Trigonometristen funktioiden potensseja merkitään usein

sinn x := (sin x)n.

Tällä potenssimerkinnällä on kuitenkin vaaransa, koska funktion ja relaation yh-distämiselle itsensä kanssa (ks. Määritelmät 4.4.15 ja 5.2.1) käytetään niinikäänpotenssimerkintääf 2 = f ◦ f , mikä yleensä on aivan eri asia! Esimerkiksi(sin x)2 6= sin(sin x) lähes kaikillax ∈ R.

Laskusääntöjä 8.3.6 (osattaviksi)Trigonometrisille funktioille sini ja kosini onkaikkialla voimassa muunnoskaavat

1) sin(−x) = − sin x 2) cos(−x) = cos x

3) sin x = sin(x+ n2π) 4) cosx = cos(x+ n2π)

5) sin 2x = 2 sin x cosx 6) cos 2x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sin2 x

7) cos2 x+ sin2 x = 1 8) cos2 x− sin2 x = cos 2x

9) sin(x+

π

2

)= cosx 10) cos

(x+

π

2

)= − sin x

11) sin(π − x) = sin x 12) cos(π − x) = − cosx

Tangentille ja kotangentille pätevät niiden määrittelyjoukoissa

13) tanx =sin x

cosx14) cotx =

1

tanx15) tan(−x) = − tanx 16) cot(−x) = − cot x

17) tanx = tan(x+ nπ) 18) cotx = cot(x+ nπ)

Perusyhteenlaskukaavat

19) sin(x+ y) = sin x cos y + cosx sin y

20) sin x+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y

2

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot 117

Trigonometriset yhtälöt ja epäyhtälöt

Trigonometristen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisussa kannattaa käyttää apunayksikköympyrää.

A. Yhtälöiden ratkaiseminen

OlkoonT trigonometrinen funktio. Trigonometriset yhtälöt pyritään palauttamaanesimerkiksi trigonometristen kaavojen avulla seuraaviinperustyyppeihin:

T (α(x)) = a tai T (α(x)) = T (β(x)),

missäa ∈ R ja α ja β ovat reaalifunktioita.

1) MuotoaT (α(x)) = a olevat yhtälöt ratkaistaan etsimällä ensin yksi ratkaisuα(x) = α0 laskimella tai muistikolmion avulla ja sitten loput ratkaisut funktionTmääritelmän nojalla yksikköympyrää apuna käyttäen:

sin(α(x)) = a cos(α(x)) = a tan(α(x)) = a

α0

a

y

xa

α0

α0a

y

xa

α0

α0

y

xa

α0

α(x) = α0 + n2π α(x) = α0 + n2π α(x) = α0 + nπtai tai α(x) 6= π

2+ nπ

α(x) = π − α0 + n2π α(x) = −α0 + n2π

Esimerkki 8.3.7 Ratkaise yhtälö2 sin 2x = 1.

Ratkaisu. Yhtälö menee muotoon 1) arvollaα(x) := 2x:

2 sin 2x = 1 ⇔ sin 2x =1

2.

Yksikköympyrä ja muistikolmio (Kuva 41) antavat ratkaisut

{2x = π

6+ n2π

2x = π − π6+ n2π

⇔{

x = π12

+ nπ

x = 5π12

+ nπ, n ∈ Z.

118 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

1_21

π_6

_21

π_6

5π__ 6

Kuva 41: Esimerkin 8.3.7 apukuviot

2) MuotoaT (α(x)) = T (β(x)) olevan yhtälön eräs ratkaisu saadaan asettamal-la α(x) = β(x). Loput ratkaisut löytyvät funktionT määritelmän nojalla yksik-köympyrää apuna käyttäen:

sin(α(x)) = sin(β(x)) cos(α(x)) = cos(β(x)) tan(α(x)) =tan(β(x))

y

x

y

x

y

x

α(x) = β(x) + n2π α(x) = β(x) + n2π α(x) = β(x) + nπtai tai α(x) 6= π

2+ nπ

α(x) = π − β(x) + n2π α(x) = −β(x) + n2π β(x) 6= π2+ nπ

Esimerkki 8.3.8 Ratkaise yhtälötan 3x = tan x.

Ratkaisu. Yhtälö on muotoa 2), jossaα(x) = 3x ja β(x) = x. Ottamalla huo-mioon yhtälö ja tangentin määrittelyalue saadaan yhtälöryhmä

3x = x+ nπ3x 6= π

2+ nπ

x 6= π2+ nπ

⇔

x = nπ2

x 6= π6+ nπ

3

x 6= π2+ nπ

, n ∈ Z.

Ottamalla huomioon, että tangetti ei ole määritelty arvoilla x = π2+ nπ (Kuva

42), saadaan ratkaisuiksix = nπ, n ∈ Z.

3) Muotoasin(α(x)) + cos(α(x)) = a oleva yhtälö kannattaa usein korottaa ne-liöön, jolloin voidaan käyttää ominaisuuttacos2 α + sin2 α = 1. Saadut ratkaisuton tarkastettava!

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot 119

ei käy

ei käy

Kuva 42: Tangentti ei ole määritelty, kunx = π2+ nπ, n ∈ Z

Esimerkki 8.3.9 Ratkaise yhtälöcosx+ sin x = 1.

Ratkaisu. Korotetaan molemmat puolet neliöön:

cosx+ sin x = 1 ⇒ cos2 x+ sin2 x+ 2 cosx sin x = 1 ⇒ sin 2x = 0.

Tämän ratkaisut ovat kohdan 1) mukaan:

sin 2x = 0 ⇔ 2x = 0 + n2π tai 2x = (π − 0) + n2π, n ∈ Z

⇔ x = nπ tai x =π

2+ nπ, n ∈ Z

⇔ x = nπ

2, n ∈ Z

Tarkastus osoittaa, etteivät nämä kaikki toteuta alkuperäistä yhtälöä; ratkaisuksijää vainx = n2π tai x = π

2+ n2π, n ∈ Z.

Esimerkki 8.3.10 Ratkaise yhtälöcos 2x = sin x.

Ratkaisu. Trigonometristen kaavojen avulla saadaan

cos 2x = sin x ⇔ 1− 2 sin2 x = sin x

⇔ 2 sin2 x+ sin x− 1 = 0

⇔ sin x =−1 ±

√1 + 8

4=

−1± 3

4

⇔ sin x = −1 tai sin x =1

2

⇔ x =3

2π + n2π tai x =

π

6+ n2π tai x =

5π

6+ n2π, n ∈ Z

⇔ x =π

6+ n

2π

3, n ∈ Z (koottuina).

120 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

B. Epäyhtälöiden ratkaiseminen

Olkoon ratkaistava yhtälö muotoaf(x) > g(x) tai f(x) ≥ g(x).

1) Yleensä kannattaa ratkaista vastaava yhtälöf(x) = g(x) eli f(x)−g(x) = 0ja tehdä lausekkeenf(x)− g(x) etumerkkitarkastelu yksikköympyrällä taireaaliakselin välillä[0, 2π].

2) Jatkuvan funktion merkki voi vaihtua vain nollakohdissaja kohdissa, jois-sa funktio ei ole määritelty. Huomaa, että merkki voi vaihtua myös epä-jatkuvuuskohdissa. Kun nämä pisteet ovat selvillä, voidaan lausekkeenf(x) − g(x) etumerkki kullakin välillä selvittää kokeilemalla yhdellä vä-lin sisällä olevalla muuttujan arvolla.

3) Rationaalilausekkeita sisältävissä epäyhtälöissä kannattaa yleensä viedäkaikki termit epäyhtälön samalle puolelle (ei kertoa nimittäjiä pois), laskeayhteen ja tehdä osoittajan ja nimittäjän merkkitarkasteluyksikköympyrällä.

Esimerkki 8.3.11 Ratkaise epäyhtälö2 cos 2x ≥ 1.

Ratkaisu. Tarkastellaan yhtäsuuruutta:

2 cos 2x = 1 ⇔ cos 2x =1

2

⇔ 2x = ±π

3+ n2π, n ∈ Z

⇔ x = ±π

6+ nπ, n ∈ Z.

Lausekkeen2 cos 2x − 1 merkkikaavioon 43 asetellaan nämä mahdolliset mer-kinvaihtopisteet. Kultakin väliltä valitaan sopiva piste, josta etumerkki ko. välilläselviää; tässä esimerkiksi pisteet0, π/2, π ja 3π/2.

π_6

π__ 65

π_6−− π__

65

− −

−−++

++

Kuva 43: Merkkikaavio lausekkeelle2 cos 2x− 1

Nähdään, että ratkaisu on

−π

6+ nπ ≤ x ≤ π

6+ nπ, n ∈ Z.

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot 121

Esimerkki 8.3.12 Ratkaise epäyhtälöcos 2x ≤ sin x.

Ratkaisu. Ratkaistaan yhtäsuuruus (ks. Esimerkki 8.3.10):

cos 2x = sin x ⇔ x =π

6+ n

2π

3, n ∈ Z.

Lausekkeencos 2x − sin x merkkikaavion 44 mukaan sijoitetaan nyt lausekkee-

π_6

π__ 65

− −+

+

+

π_2−

+

Kuva 44: Merkkikaavio lausekkeellecos 2x− sin x

seen vaikkapa pisteet0, π/2 ja π ja merkitään etumerkkivälit. Nähdään, ettäepäyhtälön ratkaisu on

π

6+ n2π ≤ x ≤ 5π

6+ n2π tai x = −π

2+ n2π, n ∈ Z.

Arkusfunktiot eli syklometriset funktiot

Trigonometriset funktiot eivät ole – toisin kuin esimerkiksi eksponenttifunktiot– sellaisinaan käännettävissä, mutta rajoittamalla ne sopiville määrittelyväleillesaadaan käyttökelpoiset osittaiset käänteisfunktiot; mm. funktiolaskimet tuottavatjuuri näiden arvoja.

1. Sinifunktio on aidosti kasvava välillä[−π

2, π2

], joten sen rajoittumafunktio

f :[−π

2, π2

]→ [−1, 1], f(x) := sin x, on bijektio. Tämän käänteisfunktiota

kutsutaan nimelläarkussinin päähaaraja sitä merkitään

arc sin := f−1 : [−1, 1] →[−π

2,π

2

].

Siten

sin x = y ⇔ x = arc sin y kaikilla x ∈[−π

2,π

2

].

122 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

2. Kosinifunktio on aidosti vähenevä välillä[0, π], joten sen rajoittumafunktiof : [0, π] → [−1, 1], f(x) := cos x, on bijektio. Sen käänteisfunktio onarkuskosinin päähaara:

arc cosx := f−1 : [−1, 1] → [0, π] .

3. Tangenttifunktio on aidosti kasvava välillä]−π

2, π2

[, joten sen rajoittuma-

funktio f :]−π

2, π2

[→ R, f(x) := tanx, on bijektio. Sen käänteisfunktio

onarkustangentin päähaara:

arc tanx := f−1 : R →]−π

2,π

2

[.

4. Kotangentti on aidosti vähenevä välillä]0, π[, joten sen rajoittumafunktiof : ]0, π[ → R, f(x) := cot x, on bijektio. Sen käänteisfunktio onarkusko-tangentin päähaara:

arc cot := f−1 : R → ]0, π[ .

Rajoittumalla muihin väleihin voidaan määritellä muita arkusfunktioiden haaroja,nk. sivuhaaroja; näille ei merkinnöissäarcsin, arccos, jne käytetä yläviivaa.

Esimerkki 8.3.13 Funktio f1 :[π2, 3π

2

]→ [−1, 1] , f1(x) := sin x, on bijektio,

joten sillä on käänteisfunktiof−11 : [−1, 1] →

[π2, 3π

2

]. Tätä voidaan sanoa arkus-

sinin1. sivuhaaraksija merkitä vaikkapaarcsin1 := f−11 .

Seuraava sivuhaara olisiarcsin2 : [−1, 1] →[3π2, 5π

2

].

Jaksollisuudesta johtuen muut haarat voidaan kuitenkin palauttaa päähaaraan, esi-merkiksi

arcsin1 x = − arc sin x+ π = arc sin(−x) + π kaikilla x ∈ [−1, 1],

arcsin2 x = arc sin x+ 2π kaikilla x ∈ [−1, 1].

Huomautus 8.3.14a) Arkusfunktioiden päähaaroille käytetään monesti – mm.laskimissa – epätarkkoja merkintöjäsin−1, cos−1, tan−1, ja cot−1. Monikäsittei-syyden lisäksi on syytä taas huomata, ettäsin−1 x ja (sin x)−1 tarkoittavat eri asioi-ta.

b) Tarkasti ottaen voitaisiin puhua sinifunktionkäänteisrelaatiostaarcsin :=sin−1, joka on joukko

arcsin = { (x, y) ∈ R2 | sin y = x }.

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot 123

y = arcsin x

–2–10

123456789

10

y

–1 0.5 1x

Kuva 45: Arkussini-relaatiotaxy-tasossa

Tehtävä 8.3.15Piirrä Kuvaan 45 arkussinin päähaara ja Esimerkissä 8.3.13ku-vatut sivuhaarat.

Lause 8.3.16Funktio arc tan : R →]−π

2, π2

[on koko reaalilukujen joukossa

rajoitettu, aidosti kasvava jatkuva bijektio, jolle

limx→∞

arc tanx =π

2, lim

x→−∞arc tanx = −π

2.

Arkusfunktioyhtälöiden ratkaisemisesta

Yhtälöiden ratkaisemisessa on muistettava:

1) todetaan määrittelyalueet,

2) trigonometristen funktioiden ja trigonometrian kaavojen avulla yhtälö muu-tetaan algebralliseksi yhtälöksi,

3) saadut ratkaisuttarkastetaan.

Esimerkki 8.3.17 Lasketaan luvunx := arc sin 12

tarkka arvo.

Ratkaisu. Ottaen huomioon, ettäx ∈ [−π2, π2], saadaan

x = arc sin1

2⇔ sin x =

1

2⇔ x =

π

6.

124 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

Esimerkki 8.3.18 Sievennäcos(arc sin x), kun−1 ≤ x ≤ 1.

Ratkaisu. Koska onarc sin : [−1, 1] → [−π2, π2] eli

−π

2≤ arc sin x ≤ π

2,

oncos(arc sin x) ≥ 0. Koska ainacos2 x+ sin2 x = 1, on

cosx = ±√

1− sin2 x.

Edellä todetun nojalla on kosini tarkasteluarvoilla ei-negatiivinen, joten

cos(arc sin x) = +

√1− (sin(arc sin x))2 =

√1− x2.

Vastaavalla tavalla voitaisiin näyttää, että välillä[−1, 1] on

sin(arc cosx) =√1− x2.

Esimerkki 8.3.19 Ratkaise yhtälöarc sin x = 2 arc cosx.

Ratkaisu. Määrittelyalue on−1 ≤ x ≤ 1. Koskaarc sin on tällä välillä bijektio,on (vaikkakin edellyttäen vielä, että|2 arc cosx| ≤ π

2, ratkaisut on siten kuitenkin

tarkastettava)

arc sin x = 2 arc cosx ⇒ x = sin(2 arc cos x)

⇒ x = 2 sin(arc cos x) cos(arc cosx)

⇒ x = 2√1− x2 · x

⇒ x(1− 2√1− x2) = 0

⇒ x = 0 tai√1− x2 =

1

2

⇒ x = 0 tai x = ±√3

2.

Tarkastetaan:x = 0: arc sin 0 = 0, mutta2 arc cos 0 = π, ei käy.

x =√32

: arc sin√32

= π3

ja 2 arc cos√32

= 2 · π6= π

3, käy.

x = −√32

: arc sin(−

√32

)= −π

3, mutta2 arc cos

(−

√32

)= 2 · 5π

6, ei käy.

Vastaus:x =

√3

2.

8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot 125

126 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

8.4 Hyperboliset ja areafunktiot

Hyperboliset funktiot määritellään helpoimmin eksponenttifunktion avulla.

Määritelmä 8.4.1 Hyperbolinen sinion funktiosinh : R → R,

sinh x :=1

2(ex − e−x).

Hyperbolinen kosinion funktiocosh : R → R,

cosh x :=1

2(ex + e−x).

Hyperbolinen tangenttion funktiotanh : R → R,

tanh x :=sinh x

cosh x.

Hyperbolinen kotangenttion funktiocoth : R \ {0} → R,

coth x :=cosh x

sinh x.

Hyperboliset funktiot ovat jatkuvia koko määrittelyjoukoissaan (ks. Kuva 46).

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Kuva 46: Hyperboliset funktiot

Tehtävä 8.4.2 Nimeä hyperbolisten funktioiden kuvaajat Kuvaan 46.

8.4 Hyperboliset ja areafunktiot 127

Huomautus 8.4.3 Trigonometrisistä ja hyperbolisista funktioista havaitaan

a) Piste(cos t, sin t), t ∈ R, on ympyrälläx2 + y2 = 1.

b) Piste(cosh t, sinh t), t ∈ R, on hyperbelilläx2 − y2 = 1.

Ympyröitä ja hyperbelejä voi siis piirtää näiden parametriesitysten avulla.

y

x

y

x

a) b)

Kuva 47: Pisteiden(cos t, sin t) ja (cosh t, sinh t) sijainnit

Laskusääntöjä 8.4.4Hyperbolisille funktioille on voimassa muunnoskaavat

a) cosh2 x− sinh2 x = 1,

b) sinh 2x = 2 sinh x cosh x,

c) cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x,

d) sinh(x+ y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,

e) cosh(x+ y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.

Todistus.Todistetaan malliksi kohta b):

2 sinh x cosh x = 2 · 12(ex − e−x) · 1

2(ex + e−x)

=1

2(e2x − e−2x)

= sinh 2x.

�

Hyperbolisten funktioiden visualisointeja(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/HyperbolisetFunktiot.htm

128 8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT

Areafunktiot

Määritelmä 8.4.5 Hyperbolinen sinisinh : R → R on bijektio. Sen käänteis-funktio onareahyperbolinen sini

ar sinh := sinh−1 : R → R.

Hyperbolisen kosinin rajoittumacosh : [0,∞[ → [1,∞[ on bijektio. Sen kään-teisfunktio onareahyperbolisen kosinin päähaara

ar cosh := cosh−1 : [1,∞[ → [0,∞[ .

Areakosinin toinen haara onar cosh : [1,∞[ → ]−∞, 0].

Hyperbolinen tangenttitanh : R → ]−1, 1[ on bijektio. Sen käänteisfunktio onareahyperbolinen tangentti

ar tanh := tanh−1 : ]−1, 1[ → R.

Hyperbolinen kotangentticoth : R \ {0} → R \ [−1, 1] on bijektio ja sen kään-teisfunktio onareahyperbolinen kotangentti

ar coth := coth−1 : R \ [−1, 1] → R \ {0}.

Areahyperboliset funktiot ovat jatkuvia koko määrittelyjoukoissaan (ks. Kuva 48).

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Kuva 48: Areahyperboliset funktiot

8.4 Hyperboliset ja areafunktiot 129

Tehtävä 8.4.6 Nimeä areahyperbolisten funktioiden kuvaajat Kuvaan 48.

Esimerkki 8.4.7 Ratkaisex yhtälöstäy = sinh x.

y = sinh x ⇔ y =1

2(ex − e−x)

⇔ exy =1

2(ex)2 − 1

2⇔ (ex)2 − 2yex − 1 = 0

⇔ ex =2y ±

√4y2 + 4

2= y ±

√y2 + 1

Koskaex > 0, on valittavax = ln(y +√y2 + 1). Näin olemme johtaneet lasku-

kaavan hypebolisen sinin käänteisfunktiolle ja

ar sinh x = ln(x+√x2 + 1).

Laskusääntöjä 8.4.8Areahyperbolisille funktioille on voimassa muunnoskaavat

1) ar sinh x = ln(x+√x2 + 1),

2) ar cosh x = ln(x+√x2 − 1),

3) ar cosh x = ln(x−√x2 − 1),

4) ar tanhx = 12ln(1+x1−x

), x ∈ ]−1, 1[.

Todistus.Kaava 1) on jo edellä johdettu.

2) & 3) Ratkaisemallax yhtälöstä

y = cosh x =1

2(ex + e−x)

saadaan funktioidenar cosh x ja ar cosh x lausekkeet.

4) Ratkaisemallax yhtälöstä

y = tanh x =ex − e−x

ex + e−x,

saadaan funktionar tanhx lauseke:

ar tanhx =1

2ln

(1 + x

1− x

), x ∈ ]−1, 1[ .

�

Tehtävä 8.4.9 Ilmaisear cothx logaritmien avulla.

9 Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus

Seuraavaksi tutkiskelemme kahden muuttujan funktiota ja sen erikoistapaustalas-kutoimitus.

9.1 Kahden muuttujan funktio

Kahden muuttujan funktio voitaisiin määritellä sääntönäf : X×Y → Z,

f(x, y) := täysin määrätty alkio joukostaZ,

joka liittää kaikkiin lähtöjoukonX × Y järjestettyihin pareihin(x, y) tasan yh-den alkion joukostaZ. Tätä voidaan pitää myös yhden muuttujan funktiona, kunlähtöjoukoksi ajatellaan tulojoukkoX × Y ja siten muuttujaksi järjestetty pari(x, y).

Esimerkki 9.1.1 Sääntö(m,n) 7→ mn

määrittelee kahden muuttujan funktionZ×N → Q. Tämä on tunnetusti jopa surjektio. Onko se injektio?

On kuitenkin käytännöllistä ja joustavampaa sallia lähtöjoukon olla jokin tulojou-kon (perusjoukon)X × Y osajoukkoA = Mf ⊆ X × Y. Useinhan tarvitaanfunktioita, joiden määrittelyjoukko ei ole mikään selkeä tulojoukko.

Esimerkki 9.1.2 Määritellään

g(x, y) :=x

1− x2 − y2.

Sääntö(x, y) 7→ g(x, y) antaa kelvollisia lukuja tason yksikköympyrän kehänulkopuolisille pareille(x, y), joten voidaan sallia määrittelyjoukoksi

A := Mg = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 6= 1 }.

Määritelmä 9.1.3 OlkootX, Y jaZ epätyhjiä joukkoja jaA ⊆ X×Y. Relaatiof ⊆ A × Z on kahden muuttujan funktio(two-variable function), jos jokaista(x, y) ∈ A vastaa täsmälleen yksi alkioz = f(x, y) joukossaZ.

Kahden muuttujan funktion(x, y) 7→ f(x, y) tapauksessa relaatiomainen esitys-tapa tarkoittaa joukkoa

f = {((x, y), z

)| (x, y) ∈ A, f(x, y) = z ∈ Z }.

9.1 Kahden muuttujan funktio 131

Esimerkki 9.1.4 Esimerkissä 9.1.2 oli kyseessä funktiog : A → R,

g(x, y) :=x

1− x2 − y2,

missäA = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 6= 1 } ⊆ R2.

Esimerkki 9.1.5 Muutamia kahden muuttujan funktioita:

a)f : R× R → R, f(x, y) := 2

b) g : [1,∞[× R → R, g(x, y) :=√x2 − 1

c) h : R× R → {tosi, epätosi}, xy = 1 (tai h(x, y) := ”xy = 1”)

d) i : Z× Z → Z, i(m,n) := |m− n|e) j : Z× Z → R, j(m,n) := em+n

f) f : X×Y → Z erilaisina kuviona Kuvassa 49

y1

X

Yy2

x1 x2 x3

Z z1

z5

z4

z3

z2

f

y1 y2x 1

x 3x 2

(x3, y

2)

((x3, y

2), z2)

f (x3, y

2) = z

2

z1

z3

z4

z5

Kuva 49: Funktio tasokaaviona ja idea kolmiulotteisesta

g) Kun A := {a1, a2}, B := {b1, b2, b3} ja C := {c1, c2, c3, c4}, niin funktiog : A× B → C on taulukkona:

g b1 b2 b3a1 c2 c3 c1a2 c1 c2 c4

132 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS

Tehtävä 9.1.6 Valitse seuraaville säännöille sopivat lähtö- ja maalijoukot niin,että muodostuu kahden muuttujan funktio:

a)f(m,n) := 12(m+ n)

b) g(x, y) := 1x−y

c) h(x, y) :=√x2 − y2

d) 4 ln(x− y)− 2 = 0

Tehtävä 9.1.7 OlkootX := {x1, x2}, Y := {y1, y2} ja Z := {z1, z2, z3, z4, z5}.Piirrä Kuvan 50 vasempaan kuvioon relaatioH,

H :={(

(x1, y1), z4),((x1, y2), z2

),((x2, y1), z5

),((x2, y2), z3

),((x2, y1), z5

)}.

Esitä se myös taulukkona. Onko se funktio?

z1 z3 z4 z5z2

x1

x2

y1

y2x2 y1,( ) ,( )y2x2

y2x1,( )x1 y1,( )

Z

X Y

z1 z3 z4 z5z2

x1

x2

y1

y2x2 y1,( ) ,( )y2x2

y2x1,( )x1 y1,( )

Z

X Y

Kuva 50: Tehtävien 9.1.7 ja 9.1.8 kuviot

Tehtävä 9.1.8 OlkoonH kuten Tehtävässä 9.1.7.

a) Selvitä onko seuraava relaatioonH liittyvä relaatio funktio

HX := {(x, z) | ∃ y ∈ Y, jolle H(x, y) = z}.

b) Piirrä relaatioHX nuolin Kuvan 50 oikeanpuoleiseen kuvioon sekä esitäHX

taulukkona.

Matematiikan tietokoneohjelmat kuten Maple, Mathematicaja Matlab (ja monetsuppeammatkin) osaavat esittää kahden muuttujan funktioiden muodostamia pin-toja, jopa implisiittimuodossa annetuista. Kuvioihin voiliittyä myös monia säätö-optioita ja mm. kuvan pyörittely ja animaatiot ovat mahdollisia.

Kuvassa 51 on Maple-ohjelmalla tuotettu funktionf : R2 → R,

f(x, y) := 3x2 − 7y2,

kuvaajaa ”kolmiulotteisena”.

9.1 Kahden muuttujan funktio 133

–4–2

02

4x

–4–2

02

4y

–150

–100

–50

0

50

Kuva 51: Kahden muuttujan funktion muodostamaa pintaa (Maple)

Implisiittisesti määritelty kahden muuttujan funktio

Tämän täydennyksen tarkoitus on laajentaa perspektiiviä kahden muuttujan funk-tion määrittely- ja esitystapoihin.

Kolmen muuttujan funktiomääritellään (aivan kuten kahden muuttujan tapaukses-sa) funktionaf ⊆ A×Y, missäA ⊆ X1 ×X2 ×X3.

Kahden muuttujan funktio voi olla määritelty implisiittisesti, jonkin muotoa

F (x, y, z) = 0

olevan yhtälön avulla, missäF : A → R on jossain joukossaA ⊆ R3 määriteltykolmen muuttujan funktio. Jos jokin muuttujista, esimerkiksi z, voidaan yhtälöstäratkaista, saadaan eksplisiittinen esitys, mutta usein yhtälö ei ratkea algebrallisinkeinoin, vaan voidaan joutua tyytymään numeeriseen arviointiin.

Esimerkki 9.1.9 Yhtälö2x+4y−2z = 0 tulee määritellyksi funktionF : R3 →R, F (x, y, z) := 2x + 4y − 2z nollakohtien avulla. Yhtälöstä saadaan ratkaise-malla:z = f(x, y) := x+ 2y, joka on määritelty koko tasossaR2.

Esimerkki 9.1.10 Yhtälöstäexy − exz = 0 nähdään, että se on mielekäs täsmäl-leen arvoillaxy > 0, tason neljänneksissä I ja III eli joukossa

A := {(x, y) ∈ R2 | xy > 0} = (R+ × R+) ∪ (R− × R−).

Yhtälöstä voidaan helposti ratkaistay = 1exexz = 1

xexz−1, mutta myösz =

1x(ln(xy) + 1) (sensijaanx on hankalampi tapaus . . . ). Siis esimerkiksi

g(x, y) = z = 1x(ln(xy) + 1)

muodostaa kahden muuttujan funktiong : A → R.

134 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS

Implisiittiseksi voidaan luokitella myös tilanne, jossa funktio on annettu yhdistet-tynä funktiona(x, y) 7→ f

(u(x, y), v(x, y)

), koska haluttua funktion arvoaf(a, b)

ei voida laskea suoraan – eikä edes kaikkia arvoja(a, b) ehkä saavuteta – vaan onensin löydettävä sopivat muuttujienx ja y arvot, joilleu(x, y) = a ja v(x, y) = b.

Esimerkki 9.1.11 Olkoonf(x+y, x−y) := xy. Onkof määritelty koko tasossaR2?

Ratkaisu. Tehdään muuttujienvaihtox + y = u, x − y = v. Tästä syntyy kahdenyhtälön ja kahden tuntemattoman yhtälöryhmä, jolla on yksikäsitteinen ratkaisu(ratkaise!)x = 1

2(u+ v) ja y = 1

2(u− v). Siisf(u, v) = xy = 1

4(u+ v)(u− v) =

14(u2 − v2), joka on määritelty kaikilla(u, v) ∈ R2. Kaikenkaikkiaan siisf on

funktioR2 → R,f(x, y) = 1

4(x2 − y2).

Edellä on siis voimassa: kunx ja y käyvät läpi kaikki mahdolliset reaaliarvot, niinmyösu = x+ y ja v = x− y käyvät läpi kaikki reaaliarvot.

Esimerkki 9.1.12 Olkoong(x−y, 2y−2x) := xy. Onkog määritelty koko tasos-saR2?

Ratkaisu. Yritetään samaa strategiaa, muuttujienvaihtoax−y = u,−2x+2y = v.Nyt tämä antaa äärettömästi ratkaisuja ehdollav = −2u. Vaikka nytx ja y käyvätläpi kaikki mahdolliset reaaliarvot, niinu = x − y ja v = −2(x − y) käyvätläpi vain suoranv = −2u pisteitä(u,−2u). Näin olleng ei todellisuudessa tulemääritellyksi kuin suorallaB := {(x, y) ∈ R2 | y = −2x}. Mutta mitä ovat arvot,ovatko ne yksikäsitteisiä? Nyt lukupareilla(x1, y1) = (1, 0) ja (x2, y2) = (2, 1)saadaan tuloksetg(1 − 0, 2 · 0 − 2 · 1) = 0 = g(1,−2), muttag(2 − 1, 2 · 1 −2 · 2) = 2 = g(1,−2). Relaatiog ei siis olekaan funktio, koska tulokset eivät oleyksikäsitteisiä.

9.2 Laskutoimitus 135

9.2 Laskutoimitus

Algebrallisissa rakenteissa esiintyy erityisiä kahden muuttujan funktioita, lasku-toimituksia eli binäärioperaatioita, jotka toimivat yhden joukon sisällä. Perusesi-merkki on yhteenlasku tai sen kanssa samankaltaiset operaatiot mm. algebrassa.

On myös vastaavia operaatioita, joissa jokin toinen joukkovaikuttaa tuloksiin,esimerkiksi vektorien skalaarilla kertominen, joka tuleevastaan mm. lineaarial-gebrassa. Tästä syystä voidaan puhua erikseen sisäisistä ja ulkoisista laskutoimi-tuksista. Asetamme määritelmän väljäksi, mutta toisaaltatäsmälliseksi.

Määritelmä 9.2.1 OlkoonX epätyhjä joukko. Jokainen kahden muuttujan funk-tio joukoltaX×X joukkoonX on laskutoimitus(binary operation) joukossaX.

JoukossaX määritelty laskutoimitus on siis jokin sääntö◦, jolla jokaiseen järjes-tettyyn pariin(x, y) ∈ X×X liitetääntäsmälleen yksialkiox◦y := ◦(x, y) ∈ X.

Jotta algebralliset laskusäännöt voivat toimia – usein olla edes mielekkäitä – onvälttämätöntä vaatia, että

• operaation tulos on määritelty kaikilla pareilla,

• tulos on samassa joukossa kuin operoijat.

Jo peräkkäisten laskujen merkitseminen, esimerkiksi(x ◦ y) ◦ z, on mielekästävain, jos tiedämme, että tulosx ◦ y antaa sellaista, joka voi edelleen operoidaalkionz kanssa!

Esimerkki 9.2.2 a) Yhteenlasku+ on laskutoimitus joukoissaN jaZ.b) Erotus− ei ole laskutoimitus joukossaN, sillä esimerkiksi1 − 2 = −1 /∈ N.Erotus on kuitenkin laskutoimitus joukossaZ.c) Kertolasku on laskutoimitus kussakin joukoistaN, Z, Q, R ja C. Jakolasku onlaskutoimitus joukoissaQ \ {0}, R \ {0} jaC \ {0}.

Tehtävä 9.2.3 Ovatko seuraavat operaatiot◦ laskutoimituksia joukossaX?a)X := N, m ◦ n := m+ 2nb)X := N, m ◦ n := m− 2nc)X := N, m ◦ n := 2md)X := N, kahden luvun keskiarvo.e)X := Z, kahden luvun keskiarvo.f) X := Q, kahden luvun keskiarvo.g)X := R, x ◦ y := xy

h)A joukko,X := P(A), x ◦ y := x ∩ y

136 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS

Esimerkki 9.2.4 Logiikassa operaatiot∨ ja ∧ muodostavat myös laskutoimituk-sen joukossaX := {E,T}, ja tästä syntyy eräänlaista algebraa, nk.Boolen al-gebraa. Siinä olevat peruslaskut ovat jo tuttuja:

E∨ E = E E∨ T = T T ∨ E = T T ∨ T = TE∧ E = E E∧ T = E T∧ E = E T∧ T = T

eli laskutaulukkoina∨ E TE E TT T T

ja∧ E TE E ET E T

Määritelmä 9.2.5 JoukonX laskutoimitus◦ on vaihdannainen(commutative),jos kaikillex, y ∈ X on

x ◦ y = y ◦ x.

Yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia, mutta vähennys- ja jakolasku eivät.Ei-vaihdannaisista standardeista operaatioista on syytämainita matriisien kerto-lasku ja jo tuttu funktioiden yhdistäminen.

Tehtävä 9.2.6 Mitkä seuraavista operaatioista◦ ovat vaihdannaisia laskutoimi-tuksia joukossaZ ?a)x ◦ y := xy − 1b) x ◦ y := (x− 1)yc) x ◦ y := x2 − y2

d) x ◦ y := 2(x+ y)

Määritelmä 9.2.7 JoukonX laskutoimitus◦ on liitännäinen (associative), joskaikille x, y, z ∈ X on

x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z.

Tehtävä 9.2.8 Monet tutut operaatiot ovat liitännäisiä. Keksi joku ennestään tuttuei-liitännäinen operaatio.

Tehtävä 9.2.9 Mitkä Tehtävän 9.2.6 operaatioista◦ ovat liitännäisiä?

Määritelmä 9.2.10 JoukonX laskutoimitukset◦ ja ∗ toteuttavatosittelulait (di-stributive), jos kaikillex, y, z ∈ X on

x ∗ (y ◦ z) = (x ∗ y) ◦ (x ∗ z) vasen osittelulaki

(x ◦ y) ∗ z = (x ∗ z) ◦ (y ∗ z) oikea osittelulaki

Usein käytetään sanontaa ”∗ on (vasemmalta tai oikealta)osittelevalaskutoimi-tuksen◦ suhteen”.

9.2 Laskutoimitus 137

Esimerkki 9.2.11 a) Kertolasku on ositteleva yhteenlaskun suhteen.b) Yhteenlasku ei ole ositteleva kertolaskun suhteen.c) Logiikan konjunktio ja disjunktio ovat osittelevia toistensa suhteen, samoinjoukko-opin leikkaus ja yhdiste.

Tehtävä 9.2.12Osoita, että yhteenlasku ei ole kummaltakaan suunnalta osittele-va kertolaskun suhteen.

138 9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS

Esimerkki 9.2.13 OlkoonX := {a1, a2, a3, a4, a5, a6}. Laskutoimitus◦ joukossaX voidaan määritellä esimerkiksi laskutoimitustaulukon avulla:

ai ◦ aj a1 a2 a3 a4 a5 a6a1 a1 a2 a3 a4 a5 a6a2 a2 a1 a4 a3 a6 a5a3 a3 a5 a1 a6 a2 a4a4 a4 a6 a2 a5 a1 a3a5 a5 a3 a6 a1 a4 a2a6 a6 a4 a5 a2 a3 a1

Tämän konkreettinen vastine on tasasivuisen kolmion kierrot ja peilaukset sekäniiden yhdistely (Kuvat 52 ja 53).

1

3

21

3

21

3

213

2

1

3

2

1

32

Kuva 52: Kolmion kierrot0, 120 ja 240 astetta vastapäivään

1

3

21 3

2

1

3

21

3

21

3

2

1

3 2

Kuva 53: Kolmion peilaukset

Näitä voidaan merkitä lukemalla kolmion ulkopuolella olevat luvut sisällä olevienmääräämässä järjestyksessä. Asetetaan matriisien yläriveihin sisäpuolen luvut jaalariviin vastaavat ulkopuolen luvut:

a1 kolmio paikallaan, siis0 asteen kierto

a1 :=

(1 2 31 2 3

)

9.2 Laskutoimitus 139

a2 peilaus kärjen1 kautta kulkevan suoran suhteen

a2 :=

(1 2 31 3 2

)

a3 peilaus kärjen3 kautta kulkevan suoran suhteen

a3 :=

(1 2 32 1 3

)

a4 240 asteen kierto vastapäivään (positiivinen suunta!)

a4 :=

(1 2 33 1 2

)

a5 120 asteen kierto vastapäivään (positiivinen suunta!)

a5 :=

(1 2 32 3 1

)

a6 peilaus kärjen3 kautta kulkevan suoran suhteen

a6 :=

(1 2 33 2 1

)

Tällöin taulukon laskutoimitus◦ toimii kuten kiertojen ja peilausten yhdistämi-nen, siis tekeminen peräkkäin.

Algebrassa ja lineaarialgebrassa puhutaan tarkemmin näistä sekä muista nk.ryh-mienominaisuuksista, nimittäin neutraalialkioista ja käänteisalkioista, jotka mah-dollistavat mm. yhtälöiden ratkaisemisen tällaisessa ryhmässä. Mainittakoon kui-tenkin, että Esimerkissä 9.2.13 neutraalialkio ona1. Mitä ovat yhteen- ja kertolas-kun neutraalialkiot? Funktioiden yhdistämisen?

10 Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta

Matemaattisessa teoriassa esiintyy aksioomia, määritelmiä, lauseita, lauseiden to-distuksia, apulauseita, seurauslauseita jne. Pyrimme nytsaamaan jonkinlaista ryh-tiä tähän käsiteviidakkoon.

10.1 Matemaattisen teorian käsitteitä

Aksiooma

Matematiikassa jokin asia on tosi, vain jos se pystytään matemaattisesti todista-maan, ts. johtamaan jo tunnetuista tuloksista. Näin syntyytodistusketju:

. . . ⇒ tulos ⇒ tulos ⇒ uusi tulos.

Mikä on tällaisen ketjun alku, miten ensimmäinen tulos voidaan todistaa? Mihinkoko päättely nojaa? Lähtökohdat on yksinkertaisestisovittava. Näitä sopimuksia,matematiikan perustotuuksia, sanotaanaksioomiksi(axiom). Aksiooma on siis to-distamaton totuus, sovittu juttu.

Yleensä aksioomat on valittu siten, että ne vastaavat havaintoa (jos mahdollista),ts. tuntuvat järkeviltä ja luonnollisilta lähtökohdilta.Aksioomien on oltava keske-nään ristiriidattomia.

Määritelmä

Määritelmällä kuvataan käsitteitä, matemaattisia otuksia, jotka elävät aksioomienkuvaamassa maailmassa. Määritelmä on hyvä, jos se on yksikäsitteinen ja ristirii-daton. Määritelmä ei sinänsä väitä mitään, joten siinä ei ole mitään todistettavaa.Määritelmä on siis ”kastetilaisuus”, paikka, jossa jollekin otukselle annetaan nimi.

Sanotaan, että määritelmä onaksiomaattinen, jos siinä esitetään ne ehdot, jotkamääriteltävä otus toteuttaa, ja joista kaikki muut ominaisuudet ovat johdettavissa.

On huomattava, että määritelmässä määritelty käsite ja senmäärittelevä ehto ovatyhtäpitäviä, vaikka määritelmä tavallisesti esitetään ’jos’-muodossa. Useat käsit-teet voidaan määritellä vaihtoehtoisilla tavoilla riippuen siitä, missä järjestykses-sä teoriaa on rakennettu, ts. mitä käsitteitä ja tuloksia joentuudestaan tunnetaan.Mahdollisesti myös muita vaihtoehtoja esitetään ja – oltaessa kovin perusteelli-sia – osoitetaan niiden yhtäpitävyys valitun määritelmän kanssa. Tämä tapahtuuusein esittämällä vaihtoehtoinen määritelmä ’jos ja vain jos’ -lauseena.

10.1 Matemaattisen teorian käsitteitä 141

Esimerkki 10.1.1 (logaritmifunktion määritelmiä) Annetaan vaihtoehtoisia mää-ritelmiä käsitteellelogaritmifunktio. Kussakin yhteydessä näistä yksi valitaan lo-garitmifunktion määritelmäksi riippuen siitä mitä käsitteitä jo tunnetaan.

Määritelmä 1.Logaritmifunktioon eksponenttifunktion käänteisfunktio.

Määritelmä 2.Logaritmifunktioon funktio

f : R+ → R, f(x) :=

∫ x

1

1

tdt.

Määritelmä 3.Olkoonf : R+ → R funktio, joka toteuttaa seuraavat ehdot:

a) limx→0

f(1 + x)

x= 1,

b) f(xy) = f(x) + f(y) kaikilla x, y ∈ R+.

Tällöin funktiotaf sanotaanlogaritmifunktioksi.

Lause eli Teoreema

Matematiikan teoriassa esiintyvät lauseet (nyt ei puhuta logiikan lauseista) ovatmatematiikantuloksia, totuuksia ja päämääriä. Lause on aina todistettava loogi-sesti oikealla päättelyllä aksioomien tai jo aikaisemmin todistettujen tulosten avul-la. Pyrkimyksenä on esittää lauseet mahdollisimman yleisessä muodossa, esimer-kiksi:

Esimerkki 10.1.2 Lause 1.Derivoituva funktio on jatkuva.

Kuitenkin näin lakoninen esitystapa vaatii lukijalta tulkintaa, johon asiayhteydes-tä pitäisi saada riittävästi taustatietoa; mm. funktion muuttujien lukumäärä, jatku-vuuden ja derivoituvuuden määrittely jne . . .

Ikävä kyllä usein näkee seuraavanlaista turhaa symbolien käyttöä:

Lause 1’.JoukossaA derivoituva funktiof on jatkuva.

Lauseen todistuksessa on tietysti mentävä tarpeellisiin yksityiskohtiin.

Monissa kielissä Teoreemaa suppeampi tai vaatimattomampitulos on nimeltäänPropositio.

142 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

Apulause eli Lemma

Lausetta, jota tarvitaan vain jonkin toisen ”tärkeämmän” lauseen todistamiseksi,kutsutaanapulauseeksieli lemmaksi. Lemman ei tarvitse välttämättä olla kovinyleisessä muodossa ja se voi sijaita vaikka keskellä lauseen todistusta.

Seuraus eli korollaari

Lausetta, joka on toisen lauseen välitön seuraus, usein erikoistapaus, kutsutaankorollaariksieli seurauslauseeksi.

Esimerkki 10.1.3 Lause. Jokaiselle reaaliluvullex pätee√x2 = |x|.

Seuraus.Josx ≥ 0, niin√x2 = x.

Tehtävä 10.1.4 Ilmaise edellinen lause ja seuraus ilman symboleja.

Konjektuuri

Konjektuuri muistuttaa muotoilultaan lausetta. Kyseessäei ole tulos, vaan oletettuväite, jota ei vielä ole onnistuttu todistamaan eikä kumoamaan. Konjektuurit työl-listävät matemaatikkoja ja ohjaavat jopa uusien matematiikan alojen kehittymistä.

Esimerkki 10.1.5 Konjektuuri.Jokainen lukua2 suurempi parillinen kokonais-luku voidaan esittää kahden alkuluvun summana.

Esimerkiksi siis48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3. Tämä on kuuluisaGoldbachinkonjektuuri.

Todistus

Esimerkin 10.1.2 Lauseen 1 todistus voisi alkaa asetelman kuvauksella.

Todistus.Olkoonf joukossaA ⊆ R määritelty derivoituva reaaliarvoinen funktio.Olkoonx ∈ A mielivaltainen. Koskaf on derivoituva pisteessäx, on sillä esitys. . .

Todistamista sen eri muodoissaan tarkastellaan Luvussa 10.2.

10.2 Induktioperiaate ja induktiotodistus 143

Matemaattinen malli

Matemaattista teoriaa rakentamalla saadaan matemaattinen malli. Jos malli kuvaa’todellisuutta’, niin se on todellisuuden pelkistetty kuva. Järkevillä aksioomienvalinnoilla ja käsitteiden määrittelyillä malli pyritäänsaamaan mahdollisimmanhyvin toimivaksi.

Loogisesti oikein suoritetulla päättelyllä saatu tulos kertoo totuuden. Tämä totuuson totuus kyseisessä mallissa, ei ympäröivässä todellisuudessa. Toisaalta todis-tuksesta tulee merkityksellinen vasta, kun myös sitä myöhemmin tarkasteleva voiymmärtää sen ja vakuuttua todistuksen oikeellisuudesta.

10.2 Induktioperiaate ja induktiotodistus

Induktion idea

Asetetaan dominolaattoja pystyasentoon lähelle toisiaan.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x xxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Kuva 54: Dominolaatat pystyssä peräkkäin ja lähekkäin

Olettakaamme, että

1◦ jonon ensimmäinen laatta kaatuu.

2◦ jonossa ei ole liian suuria välejä: josk:s laatta kaatuu, se kaataak + 1:nlaatan.

Silloin kaikki dominolaatat kaatuvat.

Matemaattinen induktio(induction) on todistusmenetelmä, joka toimii domino-laattaesimerkin kuvaamalla tavalla.

Matemaattisen induktion periaate

OlkoonP (n) luonnollisia lukuja koskeva väite. Jos

144 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Kuva 55: Kun yksi kaatuu, seuraavatkin kaatuvat

1◦ P (1) on tosi, ja

2◦ siitä, ettäP (k) on tosi jollakin arvollak ≥ 1 seuraa, ettäP (k + 1) on tosi,

niin ominaisuusP (n) on voimassa kaikille luonnollisille luvuillen ∈ N.

Kohta2◦ jaetaan usein selvyyden vuoksi kahteen osaan I2) ja I3), jolloin induk-tiotodistus koostuu kolmesta osasta:

I1) n = 1: OsoitetaanP (1) todeksi tavalla tai toisella.

I2) n = k: Tehdääninduktio-oletus, jossa ilmaistaan, mitä ”P (k) on tosi jolla-kin arvollak ≥ 1” tarkoittaa.

I3) n = k+1: Induktioaskeltai induktioväite, jossa todistetaan induktio-oletustakäyttäen ”P (k + 1) on tosi”.

Esimerkki 10.2.1 Todista, että josn on luonnollinen luku, niinn2 + n on parilli-nen luku.

Ratkaisu. OlkoonP (n) := ”n2 + n on parillinen”.

I1) Arvo n = 1. Kokeillaan luvullan = 1:

12 + 1 = 2 on parillinen. Siis väite on tosi arvollan = 1, eli P (1) on tosi.

I2) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, ettäP (k) on tosi eli ettäk2+k on parillinenjollakin arvollak ≥ 1.

I3) n = k+1: Induktioaskel: Osoitetaan, ettäP (k+1) on tosi, ts.(k+1)2+(k+1)on parillinen.

Induktio-oletuksen mukaank2 + k = 2m jollakin m ∈ Z.

Tarkastellaan lukuan2 + n arvollak + 1:

(k + 1)2 + (k + 1) = k2 + 2k + 1 + k + 1

= k2 + k + 2k + 2

= 2m+ 2k + 2∣∣ induktio-oletus

= 2(m+ k + 1) = 2p, p ∈ Z.

10.2 Induktioperiaate ja induktiotodistus 145

Siis (k + 1)2 + (k + 1) on parillinen.

Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojallan2 + n on parillinen kaikillan ∈ N.

Esimerkki 10.2.2 Todista, että kaikillan ∈ N on

1 + 2 + 3 + . . .+ n =n(n + 1)

2.

Ratkaisu. Olkoon kyseinen väite ”P (n) on tosi”. Induktiotodistus:

I1) n = 1. Tarkistetaan kaava arvolla 1:1 = 1·22

, mikä on tosi.

I2) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että kaava pätee jollakin arvolla k ≥ 1, eli

1 + 2 + . . .+ k =k(k + 1)

2.

I3) n = k+1: Induktioaskel: Induktio-oletuksen nojalla (ja sievennellen)

1 + 2 + . . .+ k + (k + 1) =k(k + 1)

2+ k + 1

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2

=(k + 1)(k + 2)

2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Siis kaava pätee arvollak + 1.

Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla kaava pätee kaikilla n ∈ N.

Esimerkki 10.2.3 Todista, että3n ≥ 1 + 2n kaikilla n ∈ N.

Ratkaisu. I1)n = 1: 31 = 3 ≥ 3 = 1 + 2 · 1 on tosi.

I2) n = k: Oletetaan, että jollekin luvullek ≥ 1 pätee

3k ≥ 1 + 2k. (induktio-oletus)

I3) n = k+1: Väite: 3k+1 ≥ 1 + 2(k + 1). Induktio-oletuksen nojalla – ja koskak ≥ 0:

3k+1 = 3 · 3k ≥ 3(1 + 2k) = 3 + 6k

= 1 + 2(k + 1) + 4k ≥ 1 + 2(k + 1).

Siis epäyhtälö pätee myös luvullak + 1.

Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla epäyhtälö pätee kaikillan ∈ N.

146 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

Matemaattisen induktion eri versioita

Joskus tarvitaan induktiotodistuksista erilaisia muunnelmia. Seuraavassa kaksi:a) siirros koskemaan kokonaislukuja jostakin perusarvosta lähtien (luvun 1 sijasta)b) yleinen hajoitusmahdollisuus

a) Olkoonm ∈ Z kiinteä luku. OlkoonP (n) kokonaislukujan ≥ m koskevaväite. Jos1∗) P (m) on tosi, ja2∗) siitä, ettäP (k) on tosi jollakink ≥ m seuraa, että myösP (k + 1) on tosi,niin ominaisuusP (n) on voimassa kaikillen ≥ m.

b) OlkoonP (n) luonnollisia lukuja koskeva väite. Jos1�) P (1) on tosi, ja2�) siitä, ettäP (1),P (2), . . . ,P (k) ovat tosia jollakink ≥ 1, seuraa, ettäP (k+1)on tosi,niin P (n) on voimassa kaikilla luonnollisilla luvuilla.

Lause 10.2.4Jos joukossaA onn ∈ N0 alkiota, niin sen potenssijoukossaP(A)on2n alkiota.

Todistus.Perustellaan väite matemaattisella induktiolla joukon alkiomääränn =0, 1, 2, 3, . . . suhteen.

I1) Kun n = 0, on asia selvä; tyhjällä joukolla ei ole alkioita, mutta on yksiosajoukko, se itse:20 = 1.

I2) n = k: Oletetaan, että lauseen väite on tosi jollakink ≥ 0, ts. k-alkioisillajoukoilla on2k osajoukkoa.

I3) n = k+1: OlkoonA joukko, jossa onk + 1 alkiota, ts.

A = {a1, a2, . . . , ak, ak+1}.

On osoitettava, että joukollaA on2k+1 osajoukkoa. OlkoonB := {a1, a2, . . . , ak}.Koska joukossaB on k alkiota, on sillä induktio-oletuksen mukaan2k osajouk-koa. Kun lisätään joukonB jokaiseen osajoukkoon alkioak+1, saadaan2k uuttaosajoukkoa. KoskaB ⊆ A, ovat joukonB osajoukot myös joukonA osajoukkoja.Myös uudet joukot ovat konstruktionsa perusteella joukonA osajoukkoja. TätenjoukollaA on

2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

osajoukkoa. Näin induktioaskel on tullut todistetuksi.

Matemaattisen induktion periaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla on väite tullut todis-tetuksi. �

10.2 Induktioperiaate ja induktiotodistus 147

Tehtävä 10.2.5Todista induktiolla, että aritmeettisen sarjan osasummille päteekaava

a + (a+ d) + (a+ 2d) + . . .+ (a + (nd)) = (n+ 1)

(a+ n

d

2

).

Tehtävä 10.2.6Todista induktiolla, että kun geometrisen sarjan suhdeluku q 6= 1,niin sen osasummille pätee kaava

1 + q + q2 + · · ·+ qn =1− qn+1

1− q.

Tehtävä 10.2.7Unkarilainen matemaatikko György ”George” Pólya (1887 - 1985)havainnollisti induktiotodistuksen ”voimaa” seuraavan lauseen ja sen todistuseh-dokkaan avulla:

Hevonvärilause.Kaikki hevoset ovat samanvärisiä.

Onko väite mielestäsi totta, onko todistus kelvollinen? Jos ei, missä vika?

Todistus.Jätetään yksinkertaisuuden vuoksi kirjavat hevoset tarkastelun ulkopuo-lelle, koska voi olla vaikeuksia tulkita samanvärisyyttä näiden kesken.

Muodostetaan siis todistus matemaattisella induktiolla (yksiväristen) hevosten lu-kumääränn suhteen. Jos nimittäin väite pitää paikkansa kaikenkokoisille hevos-joukoille, niin ymmärrettävästi se on totta kaikkien hevosten joukolle; hevosiahanon vain äärellisen monta.

I1) n = 1: Yhden hevosen joukossa väite on triviaalisti totta.

I2) n = k: Oletetaan, että jollakink ≥ 1 kaikissak:n hevosen joukoissa hevosetovat samaa väriä.

I3) n = k + 1: Olkoon A hevosjoukko, jossa onk + 1 hevosta (kukin niistäyksivärinen).

Numeroidaan hevoset:A = {h1, h2, h3, . . . , hk, hk+1}. Jotta pääsemme käyttä-mään induktio-oletusta, tarkastellaan kahtak hevosta sisältävää osajoukkoa, vaik-kapa

B := {h1, h2, h3, . . . , hk} jaC := {h2, h3, . . . , hk, hk+1}.

Induktio-oletuksen mukaan näissä olevat hevoset ovat keskenään samanvärisiä;olkoot joukonB hevoset väriäb ja joukonC hevoset väriäc.

Koska selvästiB ∩ C 6= ∅, on ainakin yksi hevonen väriäb ja c ja yksivärisyydenperusteellab = c. KoskaA = B ∪C, ovat kaikki joukonA hevoset samanvärisiä.

Induktioperiaatteen ja todistuksen kohtien I1-3) nojallakaikki (yksiväriset) hevo-set ovat samanvärisiä.

148 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

Induktiivinen määrittely

Induktioperiaatetta voidaan käyttää myös määriteltäessämm. lukujonoja:

1◦ Yksi luku jonon(xn) = x1, x2, x3, . . . alusta kiinnitetään,x1 := a.

2◦ Annetaan sääntöxk+1 := f(xk) jonka avulla lukuxk+1 määräytyy luvunxk

avulla.

Tällöin sanotaan, että lukujono on määriteltyinduktiivisesti(inductive).

Joskus sanotaan myös, että jono on annetturekursiivisesti(recursive). Idean tul-kinta on kyllä usein käänteinen, erityisesti tietokoneohjelmoinnissa.

Normaalisti lukujono(xn) = x1, x2, x3, . . . määritellään induktiivisesti asettamal-la

x1 := a,

xk+1 := f(xk), k ∈ N,

missäa ∈ R ja f : R → R on funktio. On huomattava, että säännön on syytä ollafunktio, ja vieläpä sellainen, että sen määrittelyjoukko varmastisisältää kaikkijonon luvut.

Esimerkki 10.2.8 Kun valitaanf(x) := 2x2 ja

x1 := 1

xk+1 := 2x2k, k ∈ N.

Tällöin x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2 · 22 = 8, x4 = 2 · 82 = 128 jne.

Hiukan yleisempi muoto induktiokaavan määräävälle funktiolle onxk+1 = f(k, xk).

Esimerkki 10.2.9 Valitsemallaf(k, x) := (k + 1)x ja

x0 := 1,

xk+1 := (k + 1)xk, k ∈ N0

saadaan jonox0 = 1, x1 = 1 · 1, x2 = 2 · 1, x3 = 3 · 2, x4 = 4 · 6, . . .

Toinen tulkinta tällekertomajonolle (factorial) on suora määrittely

0! := x0 = 1,

k! := xk = 1 · 2 · 3 · 4 · · ·k.

10.2 Induktioperiaate ja induktiotodistus 149

Lukujonon alusta voidaan antaa myös vaikkapa kaksi lukuax1 := a1, x2 := a2, jaantaa sääntö muodossaxk+2 := f(xk+1, xk), tai vastaavassa.

Esimerkki 10.2.10 MääritelläänFibonaccin lukujono(Fibonacci sequence) (Fn)asettamalla

F1 = 1,

F2 = 1,

Fk+1 = Fk + Fk−1, k ≥ 2.

Siis(Fn) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .

Tähän lukujonoon kuuluvia lukuja kutsutaanFibonaccin luvuiksi(Fibonacci num-bers).

Fibonaccin (Leonardo Pisano Fibonacci, 1170-1250) luvut esiintyvät luonnossamuun muassa

• kukkien terälehdissä: liljat, irikset (3), leinikit, omena, villiruusu (5), kos-moskukka (8), asterit (21), kaunokainen (34, 55 ja 84),

• kasvien lehtien ja oksien järjestyksessä,

• luonnon spiraaleissa: männyn kävyissä (8 ja 13), auringonkukassa (34 ja55), päivänkakkarassa (21 ja 34).

Esimerkki 10.2.11 Todista

Lause.F1 + F2 + . . .+ Fn = Fn+2 − 1 kaikilla n ∈ N.

Todistus.I1) n = 1: 1 = 2− 1 on tosi.

I2) n = k: Oletetaan, että jollakink ≥ 1 on

F1 + F2 + . . .+ Fk = Fk+2 − 1. (induktio-oletus)

I3) n = k + 1: Arvolla k + 1 saadaan induktio-oletuksesta lähtien

F1 + F2 + . . .+ Fk + Fk+1 = Fk+2 − 1 + Fk+1

= Fk+1 + Fk+2 − 1

= Fk+3 − 1

= F(k+1)+2 − 1.

Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla kaava pätee kaikilla n ∈ N. �

150 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

Fibonaccin lukujonon määrittelevä yhtälö on esimerkkitoisen kertaluvun lineaa-risesta vakiokertoimisesta rekursiokaavasta eli differenssiyhtälöstä, joka aina voi-daanratkaistasamaan tapaan kuin vastaavanlainen differentiaaliyhtälö.

Fibonaccin rekursiokaavaan sovellettuna ratkaisumenetelmä johtaa (sijoituksillaFk = αk) karakteristiseen yhtälöön

α2 = α + 1,

josta saadaanα = 1±√5

2. Jonon luvuille voidaan nyt saada alkuehtojenF1 = F2 =

1 avulla suora laskukaava

Fn =1√5

(1

2(1 +

√5)

)n

− 1√5

(1

2(1−

√5)

)n

.

Lukuα onkultainen luku(golden ratio), joka onkultaisen leikkauksen suhdeluku

α =1 +

√5

2≈ 1,618034.

Tämä saadaan myös peräkkäisten Fibonaccin lukujen suhteenraja-arvona

limn→∞

Fn+1

Fn

=1 +

√5

2= α.

Esimerkki 10.2.12 Kultaisessa suorakulmiossavierekkäisten sivujen suhde=kultainen lukuα. Kun suorakulmiota edelleen jaetaan samassa suhteessa, voidaansen sisälle piirtää nk.kultainen spiraali, ks. Kuva 56.

Kuva 56: Kultainen suorakulmio

10.3 Suora ja epäsuora todistus 151

10.3 Suora ja epäsuora todistus

Suora todistus

Logiikan lause(P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q on tautologia, joten päättely

PP ⇒ Q

Q

on johdonmukainen (ks. Luku 1.3).

Monet väitteet ovat muotoa ”JosP , niin Q”. Suorassa todistuksessa käytetäänhyväksi oletustaP , ja näytetään, että jos oletusP on tosi, niinQ on tosi.

Esimerkki 10.3.1 Väite.Josn on parillinen kokonaisluku, niinn2 on parillinen.

Todistus.Olkoonn parillinen kokonaisluku. Tällöinn = 2k jollekin k ∈ Z, joten

n2 = (2k)2 = 2 · 2k2 = 2m,m ∈ Z,

on parillinen. �

Esimerkki 10.3.2 Väite.Josn2 on parillinen kokonaisluku, niinn on parillinen.

Todistus.Olkoonn2 ∈ Z parillinen. Tällöinn2 = 2k missäk ∈ Z. Siis

n =√2k ???

Ei voida jatkaa!! �

Kuten tästä esimerkistä huomataan, väitteen todistaminensuorasti ei ole aina mah-dollista.

Epäsuora todistus

1) Lause(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) on tautologia, ts.(P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P ).

Näin saadaan käänteinen suora todistusmenetelmä:

VäiteP ⇒ Q voidaan todistaa osoittamalla¬Q ⇒ ¬P .

2) Toisaalta logiikan lause(P ⇒ Q) ⇔(¬(P ∧ ¬Q)

)on tautologia. Siten:

VäiteP ⇒ Q voidaan todistaa osoittamallaP ∧ ¬Q mahdottomaksi.

152 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

VäiteP ⇒ Q todistetaan epäsuorasti yhdistämällä ylläolevat kaksi periaatetta:

Tehdäänvastaoletuseli antiteesi¬Q ja pyritään näyttämään

• joko ristiriita lauseenP kanssa (siis ettäP olisikin epätosi)

• tai että lauseistaP ja ¬Q seuraa mahdottomuus, esimerkiksi ristiriita jon-kun aikaisemmin saadun tuloksen, oletuksen tai aksiooman kanssa.

Esimerkin 10.3.2 väitteen todistaminen onnistuu epäsuoralla todistuksella:

Esimerkki 10.3.3 Väite.Josn2 on parillinen, niinn on parillinen.

Todistus.OlkootP (n) := ”n2 on parillinen” jaQ(n) := ”n on parillinen”.

Tehdään vastaoletus:¬Q(n) on tosi elin on pariton. Tällöin on olemassak ∈ Z,jolle n = 2k + 1. Silloin

n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.

Mutta tämä luku onkin paritonta muotoa2p+1, p ∈ Z, eli ¬P (n) olisi tosi. Tämäon ristiriita, joten on oltavaQ(n) tosi. �

Esimerkki 10.3.4 Väite: Josn ∈ N, niin 2(2n+1) ei ole minkään kokonaisluvunneliö.

Todistus.Vastaoletus.luku 2(2n+ 1) on kokonaisluvun neliö eli

2(2n+ 1) = k2

jollakin k ∈ Z. Silloin k2 on parillinen ja Esimerkissä 10.3.3 todistetun nojallamyösk on parillinen. Siisk = 2p jollakin p ∈ Z. Mutta tällöin

2(2n+ 1) = (2p)2 = 2(2p2),

mistä seuraa2n+ 1 = 2p2. Koska2n+ 1 on pariton ja2p2 on parillinen, ilmeneehaettu ristiriita. �

Esimerkki 10.3.5 Määritelmä.Kokonaislukun ≥ 2 on alkuluku, mikäli sillä eiole muita positiivisia tekijöitä kuin1 ja se itse.

Alkulukuja ovat siis mm.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .

10.4 Ekvivalenssin osoittaminen 153

Lause.Alkulukuja on ääretön määrä.

Todistus.Vastaoletus.Alkulukuja on äärellinen määrä.

Tällöin on tietysti olemassa suurin alkuluku. Olkoon tämäp ∈ N. Luku

q := (2 · 3 · 4 · 5 · · ·p) + 1

ei ole jaollinen millään luvuista2, 3, . . . , p, sillä jakojäännös on aina1. Siis lu-ku q > p on jaoton (siis alkuluku) tai ainakin sen alkutekijät ovat> p. Siis onolemassa lukuap suurempia alkulukuja. Tämä on ristiriita luvunp määrittelynkanssa, joten antiteesi ei voi olla totta. �

10.4 Ekvivalenssin osoittaminen

Luvussa 2 todistimme ekvivalenssitodistuksilla eräitä joukkojen samuuksia, mm.I osittelulain. VäiteP ⇔ Q joudutaan usein jakamaan (ja yleensä kannattaakinjakaa) osiinP ⇒ Q jaQ ⇒ P . Koska lause

(P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ))

on tautologia, ovat lauseetP ⇔ Q ja (P ⇒ Q)∧(Q ⇒ P ) loogisesti ekvivalentit.

Usein jompikumpi tai jopa molemmat joudutaan todistamaan epäsuorasti, tai saa-tetaan joutua käyttämään aivan erilaisia päättelypolkuja.

Esimerkki 10.4.1 Lause.Luonnollinen luku on parillinen, jos ja vain jos sen ne-liö on parillinen.

Todistus.Väitteen eri puolet on todistettu Esimerkeissä 10.3.1 ja 10.3.3. �

Seuraus.Luonnollinen luku on pariton, jos ja vain jos sen neliö on pariton.

Ominaisuuksien yhtäpitäviksi todistamisia on ollut mm. Luvuissa 4.6 ja 4.7, katsoesimerkiksi Lauseen 4.7.10 kohta c).

10.5 Todistuksen esitysjärjestys

Todistusta tehdessä on syytä ensin selkeästi erottaamitä oletetaanja mitä väite-tään, ja mieluiten kirjoittaa ne myös selkeästi näkyviin, esimerkiksi

Oletus.Luku n on parillinen.

Väitös.Luku n2 on parillinen.

Todistus.Olkoonn ∈ N parillinen. Parillisuuden nojalla . . .

154 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

Itse todistusta työstettäessä on ensin syytä selvittää mitä kaikkea oletetuista asiois-ta voi päätellä ja miten niitä voisi yhdistellä. Samoin kannattaa tutkiskella väitteensisältöä, mistä lähimmistä asioista se voisi olla seurausta. Voi siis edetä oletuksistaniin pitkälle kuin seurauksia keksii, ja taas väitteestä vastaavasti takaperin. Mikä-li ”sillan rakenteet” molemmilta päin osuvat yhteen, voidaan lopullinen todistusmuokata loogiseen järjestykseen yhdistämällä osapäättelyt.

• Suora todistusetenee ainaoletuksesta väitteeseen.

• Epäsuora todistuslähtee ainaantiteesistä, joka lisätään muihin oletuksiin. Päät-telyn pitäisi johtaa ristiriitaan alkuperäisen oletuksentai tunnetun tuloksen tai ak-siooman kanssa.

10.6 Väitteen osoittaminen vääräksi

Väitteet ovat usein muotoa ”jokaisellex ∈ A pätee. . . ” tai ”kaava . . . pätee”. Täl-laista väitettä oikeaksi todistettaessa on huomioitava kaikki mahdolliset tapaukset.

Väitteen kumoaayksi esimerkki, jossa väite ei ole voimassa. Tällaista väitteenkumoavaa yksittäistapausta sanotaanvastaesimerkiksi(counter-example). Joskusvastaesimerkki on hyvin yksinkertainen, joskus sitä voi olla hyvinkin työlästä kek-siä. Onpa niinkin, että monille tunnetuille konjektuureille ei ole keksitty todistus-ta, mutta ei myöskään vastaesimerkkiä!

Väite osoitetaan vääräksi esittämällä väitteelle yksi vastaesimerkki!!

Esimerkki 10.6.1 Väite.Joukoille pätee laskusääntö

A \ (B ∪ C) = (A \B) ∪ (A \ C).

Ratkaisu. Vaikkapa Venn-diagrammi rohkaisisi epäilemäänväitteen paikkansapi-tävyyttä, ja sen avulla voi vastaesimerkin usein keksiäkin.

Oikein: Kaava ei päde, sillä esimerkiksi josA := {1, 2},B := {2, 3} jaC := {3},niin puoliskot ovat eri joukkoja

A \ (B ∪ C) = {1}(A \B) ∪ (A \ C) = {1, 2}.

Väärin : Kaava ei päde, sillä joukko-opin laskusääntöjen mukaan

A \ (B ∪ C) = A ∩B ∪ C = A ∩ (B ∩ C)

= (A ∩B) ∩ (A ∩ C) = (A \B) ∩ (A \ C)

6= (A \B) ∪ (A \ C),

sillä yhdiste ja leikkaus eivät ole samat.

10.7 Arviointitekniikka 155

Ongelmana on se, että vaikka kahden joukon yhdiste ja leikkaus eivätyleensäolesama joukko, ne voisivatkin juuri tuossa tapauksessa, noille joukoille, olla sattu-moisin samat. Monet yhtälöt ovat tosia, vaikkemme niitä tosiksi suoralta kädeltänäekään. Perustelujen pitää olla sellaisia, ettei niihin voi tarttua kysymällä ”mistätiedät, onko varmasti?”

Esimerkki 10.6.2 Väite. Jos funktiollef : R → R päteef ′(x0) = 0, niin x0 onsen ääriarvokohta.

Ratkaisu. Väite on väärä.

Vastaesimerkki.Etsitään funktio ja muuttujalle (määrittelyjoukosta) arvo, jossafunktion derivaatta häviää, mutta joka ei ole ääriarvokohta.

Olkoonf : R → R, f(x) := x3 (Kuva 57). Tällöinf ′(x) = 3x2, jotenf ′(0) = 0,mutta0 ei tunnetusti ole funktionf ääriarvokohta.

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

y

–2 –1 1 2x

Kuva 57: Funktionf , f(x) := x3, kuvaajaa origon liepeillä

10.7 Arviointitekniikka

Matemaattisiin todistuksiin liittyy usein oleellisena osanaarvioiminen. Jos väiteon muotoa ”On olemassa sellainen luku, että . . .”, niin todistuksessa riittää taval-lisesti etsiä jokin ehdon toteuttava luku, ei kaikkia, eikä”parasta”.

Esimerkki 10.7.1 Osoita, että riittävän suurilla arvoillan ∈ N on

7

3n+ 1< 0,0001.

Tämä tarkoittaa: on osoitettava, että on olemassan0 ∈ N s.e.

n > n0 ⇒ 7

3n+ 1< 0,0001.

156 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

Ratkaisutapa 1.Ratkaistaann epäyhtälöstä:

7

3n+ 1< 0,0001 ⇔ 3n + 1 >

7

0,0001⇔ 3n > 70000− 1

⇔ n > 23333.

Voidaan valitan0 := 23333, jolloin

n > n0 = 23333 ⇒ 7

3n+ 1< 0,0001.

Ratkaisutapa 2.Arvioidaan lauseketta 73n+1

ylöspäin, kohti yksinkertaisempaalauseketta:

7

3n+ 1<

7

3n<

9

3n=

3

n.

Nyt 3n< 0,0001 ⇔ n > 30000. Siis valitaankin nytn0 := 30000, jolloin

n > n0 = 30000 ⇒ 7

3n+ 1<

3

n< 0,0001 eli

n > 3·104 ⇒ 7

3n+ 1< 10−4.

Samaan tapaan huomataan, että esimerkiksi

n > 3·105 ⇒ 7

3n+ 1< 10−5,

n > 3·106 ⇒ 7

3n+ 1< 10−6.

Siis kunn on riittävän suuri, lausekkeesta73n+1

tulee pienempi kuin mikä tahansa(ennalta valittu) positiivinen luku.

Matematiikassa mielivaltaista aidosti positiivista reaalilukua merkitään tavallisestikreikkalaisella kirjaimellaepsilonε. Mielivaltainenε > 0 tarkoittaa sitä, ettäε voisijaita lukusuoralla missä tahansa nollan oikealla puolella. Usein tarkasteluissaεon lähellä nollaa.

Arviointia koskevia sanontoja

mielivaltainen = ”mikä tahansa”

mielivaltaisen lähellä = ”lähempänä kuin epsilonin päässä”

Esimerkki 10.7.2 Olkoonε > 0. Esimerkin 10.7.1 mukaan

n >3

ε⇒ 7

3n+ 1< ε.

10.7 Arviointitekniikka 157

Huomautus 10.7.3Josε > 0 on mielivaltainen reaaliluku, niin myös esimerkiksilukuja

2ε, ε2,1

2ε5 ja

√ε

voidaan pitää mielivaltaisina positiivisina reaalilukuina, koska ne voivat olla mie-livaltaisen lähellä nollaa, kunhanε on riittävän lähellä nollaa. Sen sijaan esimer-kiksi luvut

2 + ε, eε ja ln ε

eivät ole mielivaltaisia positiivisia reaalilukuja, sillä2 + ε > 2, eε > 1 ja ln ε voiolla negatiivinen.

Esimerkki 10.7.4 Osoita, että lauseke4n+1n3+3

saa mielivaltaisen lähellä nollaa ole-via arvoja, kunn on tarpeeksi suuri.

Ratkaisu. Olkoonε > 0 mielivaltainen. Osoitetaan, että on olemassan0 ∈ N s.e.

n > n0 ⇒ 0 ≤ 4n+ 1

n3 + 3< ε.

Arvioimalla lauseketta saadaan

0 ≤ 4n+ 1

n3 + 3<

4n+ 1

n3≤ 4n+ n

n3=

5n

n3=

5

n2≤ 5

n< ε,

kunn > 5ε. Valitaan nyt sellainenn0 ∈ N, ettän0 >

5ε. Silloin

n > n0 ⇒ 0 ≤ 4n+ 1

n3 + 3< ε.

Kun nyt valitaan esimerkiksiε := 10−9 tai ε := 10−15:

n >5

10−9⇒ 0 ≤ 4n+ 1

n3 + 3< 10−9

n >5

10−15⇒ 0 ≤ 4n+ 1

n3 + 3< 10−15.

Huomautus 10.7.5a) Vastaavalla tavalla käsitellään tilannetta ”mielivaltaisensuuri”. Mielivaltaisen suurta lukua merkitään usein kirjaimellaM .

b) Joissain tilanteissa lausekkeen arvo halutaan mielivaltaisen lähelle annettua lu-kua.

c) Ajatus ”mielivaltaisen lähellä” on monissa sellaisissakin tarkasteluissa, joissaei esiinny eksplisiittisesti lukuaε.

Tarkastellaan vielä näitä tilanteita esimerkkien valossa.

158 10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA

Esimerkki 10.7.6 Osoita, ettän5+n2−2n2+2n

saa mielivaltaisen suuria arvoja, kunn ontarpeeksi suuri.

Ratkaisu. OlkoonM > 0 mielivaltainen. Arviomalla lauseketta saadaan

n5 + n2 − 2

n2 + 2n≥ n5 + n2 − 2n2

n2 + 2n=

n5 − n2

n2 + 2n=

n4 − n

n + 2

≥ n4 − n

n + 2n=

n3 − 1

3≥ n− 1

3> M,

kunn > 3M + 1. Siis

n > 3M + 1 ⇒ n5 + n2 − 2

n2 + 2n> M.

Esimerkki 10.7.7 Osoita, että2n+3n+5

saadaan mielivaltaisen lähelle lukua2, kunnon tarpeeksi suuri.

Ratkaisu. Olkoonε > 0 mielivaltainen. Väite tarkoittaa, että pitää olla∣∣∣∣2n + 3

n+ 5− 2

∣∣∣∣ < ε,

kunn on tarpeeksi suuri. Arvioimalla itseisarvoa saadaan arvoilla n > 7ε:

∣∣∣∣2n+ 3

n + 5− 2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣2n+ 3− 2n− 10

n + 5

∣∣∣∣ =∣∣∣∣−7

n+ 5

∣∣∣∣ =7

n+ 5<

7

n< ε

Esimerkki 10.7.8 OlkoonAi :=[0, 1

i

]arvoilla i ∈ N. Osoita:∩∞

i=1Ai = {0}.Tilanteesta saa alustavan käsityksen Kuvasta 58. Luku0 kuuluu jokaiseen jouk-

A1 = [0,1]

A2 = [0, ]

A3 = [0, ]

1_

2

1_

3

0 1

0 1

0 1

1_

2

1_

3

Kuva 58: Esimerkin 10.7.8 välejä

koonAi, joten{0} ⊆ ⋂∞i=1Ai. Osoitetaan, että josx ∈ ⋂∞

i=1Ai niin x = 0.

Vastaoletus.x 6= 0.

Koskax ∈ ⋂∞i=1Ai, onx ∈ A1 eli 0 ≤ x ≤ 1. Koskax 6= 0, onx > 0. Koska

1x∈ R, on olemassan ∈ N, jolle n > 1

xeli x > 1

n. Tällöinx /∈

[0, 1

n

].

KoskaAn =[0, 1

n

], niin x /∈ An. Siisx /∈ ⋂∞

i=1Ai, mikä on ristiriita.

10.8 Tietokone todistuksen apuna 159

10.8 Tietokone todistuksen apuna

Esimerkki 10.8.1 Väite: Jokainen parillinen kokonaislukun > 2 voidaan esittääkahden alkuluvun summanan = p+ q.

Mitä voidaan tehdä tietokoneella? Tietokoneella voidaan etsiä näitä alkulukujaannetuille kokonaisluvuille. Tällaisilla lukujen testaamisilla ei kuitenkaan voidaosoittaa väitettä oikeaksi.

Tietokoneen käyttö todistuksissa rajoittuu lähinnä mekaanisten laskutoimitustensuorittamiseen (sellaisten, jotka ainakin periaatteessavoidaan tehdä ilman konet-ta). Tietokone on hyvä työväline vastaesimerkkien keksimisessä, siis jonkin väit-teen osoittamisessa vääräksi.

Esimerkki 10.8.2 Kartanväritysongelma(graph coloring). Väritetään kartta niin,että mitkään naapurimaat eivät ole samanvärisiä keskenään. Maat voivat olla min-kä muotoisia tahansa, mutta kukin maa muodostuu yhdestä yhtenäisestä osasta.Montako väriä riittää?Ongelma on vanha, yksinkertainen ja kiehtova. On helppo osoittaa, että ainakinneljä väriä tarvitaan (ks. Kuva 59). Todistus sille, että4 väriä aina riittää, on tun-

Kuva 59: Ainakin4 väriä tarvitaan

netuin tietokoneella toteutettu matemaattinen todistus.Todistus vaati niin paljonmekaanista laskemista, ettei se ilman tietokonetta ollut mahdollinen (K. Appel jaW. Haken, 1976:The solution of the Four-Color-Map Problem:Scientific Ame-rican, vol. 237). Työhön kului aikaa 4 vuotta ja yli 1200 tietokonetuntia.

11 Joukkojen mahtavuuksista

Joukon alkiomäärän elikardinaliteetinkäsite voi tuntua itsestään selvältä asialta(vrt. Luku 2.7). Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettö-myyden tulkinnassa. Kuitenkin on monesti tärkeää päästä vertaamaan ”erikokoi-sia” äärettömiä, esimerkiksi miten joukon ja sen potenssijoukon alkiomäärät suh-tautuvat toisiinsa. Joukkojen keskinäisiä alkiomääriä voidaan vertailla funktioidenmaailmasta saatavalla työkalulla, käsitteelläjoukkojen mahtavuus(set cardinali-ty). Jo Luvussa 2.7 otimme käyttöön alkiomäärä-symbolin#; #A tarkoitti siisjoukonA alkioiden lukumäärää.

11.1 Mahtavuusvertailujen määrittely

Ristiriitoja välttääksemme otamme jonkin perusjoukonX, jonka osajoukkojakaikki vertailtavat perustason joukot ovat. MääritelläänjoukonX osajoukkojenyhtämahtavuusrelaatio≃ asettamalla:

A ≃ B ⇔ A = B = ∅ tai on olemassa bijektioA → B.

Lause 11.1.1Yhtämahtavuusrelaatio≃ on ekvivalenssi joukon potenssijoukossa.

Todistus.Asetelma on kelvollinen,≃⊆ P(X)×P(X), joten≃ todella on relaatiojoukossaP(X).

(E1)≃ on refleksiivinen:A ≃ A, koska identtinen kuvausId : A → A, Id(x) :=x, on näiden välinen bijektio.

(E2)≃ on symmetrinen: JosA ≃ B, on olemassa bijektioA → B. Sen käänteis-kuvausB → A on bijektio ja sitenB ≃ A.

(E3)≃ on transitiivinen: OlkootA ≃ B ja B ≃ C. Silloin on olemassa bijektiotf : A → B ja g : B → C. Nämä voidaan yhdistää funktioksig ◦ f : A → C, jokabijektioiden yhdistettynä funktiona on bijektio. SiisA ≃ C. �

Määritelmä 11.1.2 Sanotaan, että (perusjoukonX osa)joukotA ja B ovatyhtämahtavia(equal cardinality), jos A ≃ B, ts. jos molemmat ovat tyhjiä tai onolemassa bijektioA → B.

JoukkoA on korkeintaan yhtä mahtavajoukko kuinB, jos jokoA = ∅ tai onolemassa injektioA → B. Tätä merkitäänA � B. JosA � B, sanotaan myös,että joukkoB on vähintään yhtä yhtä mahtavakuinA.

JoukkoB onaidosti mahtavampi kuinjoukkoA (tai: joukkoA onaidosti vähem-män mahtava), josA � B mutta ei oleA ≃ B; merkitäänA ≺ B taiB ≻ A.

11.1 Mahtavuusvertailujen määrittely 161

Lause 11.1.3JoukkoA on korkeintaan yhtä yhtä mahtava kuinB jos ja vain josjokoA = ∅ tai on olemassa surjektioB → A.

Todistus.OlkootA, B ⊆ X. JosA = ∅, on asia selvä. Olkoon siisA 6= ∅.⇒ Oletetaan, ettäA � B, ts. että on olemassa injektiof : A → B. Tämä

voidaan tulkita bijektioksif : A → f(A), jolloin sen käänteisrelaationf−1 ra-joittuma joukkoonf(A) on bijektiof(A) → A. Jos joukkoB \ f(A) = ∅, onasia selvä (miksi?). Jos ei, otetaan joukostaA jokin alkio a ja kuvataan kaikkijoukonB \ f(A) alkiot alkiolle a. Tarkemmin muotoiltuna: tehdään uusi funk-tio G : B → A, jolle G(y) := f−1(y) kaikilla y ∈ f(A) ja G(y) = a kaikillay ∈ B \ f(A). Silloin G : B → A on surjektio.

⇐ Oletetaan kääntäen, että on olemassa surjektiog : B → A. Nyt jokainen al-kukuvajoukkog−1(x) on epätyhjä ja funktio-ominaisuuden nojalla nämä joukotovat erillisiä, elig−1(x1) ∩ g−1(x2) kaikilla x1 6= x2. Täten jokaistax ∈ A koh-ti voidaan valita yksi alkio sen alkukuvajoukosta ja näin saadut alkukuvat ovatkaikki eri alkioita. Tällä tavoin saamme aikaan injektionA → B. �

Esimerkki 11.1.4 OlkoonA := {1, 2, 3, 4, 5} jaB := {a, b, c, d, e, f}.a) Oletetaan aluksi, että joukonB kaikki alkiot ovat eri alkioita. SilloinA on kor-keintaan yhtä mahtava, jopa aidosti vähemmän mahtava kuinB, siisA ≺ B. Ää-rellisten joukkojen tapauksessa mahtavuuksien vertailuavoidaan yleensäkin tehdäsuoraan alkiomäärien avulla; yllähän on#A = 5 < 6 = #B.b) Jos joukonB luetelluissa alkioissa on samoja, niinA onkin vähintäin yhtä mah-tava kuinB.

Esimerkki 11.1.5 Olkoon2N := {2, 4, 6, 8, . . .}. Tällöin N ≃ 2N, sillä funktiof : N → 2N, f(n) := 2n, on bijektio, ks. Kuva 60.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6n

f(n)7 8 9 10 11 12

Kuva 60: Esimerkin 11.1.5 bijektiof(n) = 2n

Esimerkki 11.1.6 Väli ]0, 1[ on yhtä mahtava joukonR kanssa, sillä on olemassabijektio f : R → ]0, 1[. Esimerkiksi mikä?

Tehtävä 11.1.7Onko puoliavoin väli[0, 1[ yhtä mahtava kuin avoin väli]0, 1[?

162 11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA

Osoitetaan, että potenssijoukko on aina aidosti mahtavampi kuin joukko itse. Ää-rellisille joukoillehan tämä seuraisi myös Lauseesta 10.2.4.

Lause 11.1.8 (Cantorin lause)Mielivaltaiselle joukolleX on X ≺ P(X). Eri-tyisesti äärelliselle joukolle on#X < #P(X).

Todistus.JosX = ∅, on asia selvä:∅ ≺ {∅}.

Olkoon siisX epätyhjä joukko. Kuvausf : X → P(X), f(x) := {x}, on selvästiinjektio, jotenX � P(X).

Aidon vähemmän mahtavuuden todistamiseksi riittää Lauseen 11.1.3 mukaannäyttää, että ei ole olemassa surjektiotaX → P(X). Olkoon g : X → P(X)funktio ja

A := { x ∈ X | x /∈ g(x) }.Silloin A ∈ P(X). Näytetään, että mikään joukonX alkio ei kuvaudu joukolleA ⊆ X.

Vastaoletus:On olemassax0 ∈ X, jolle g(x0) = A. Koskax0 ∈ A tai x0 /∈ A,seuraa:

Josx0 ∈ A, joukonA määrittelyn nojallax0 /∈ g(x0) = A.

Josx0 /∈ A = g(x0), joukonA määrittelyn nojallax0 ∈ A.

Vastaoletus johtaa molemmissa tapauksissa ristiriitaan,joten ei ole olemassa al-kiota x0 ∈ X, joka kuvautuisi joukolleA. Koska ei ole olemassa surjektiotaX → P(X), onX ≺ P(X). �

11.2 Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys

Naiivi tapa määritellä joukon äärettömyys on sanoa joukkoaäärettömäksi, jos sii-nä ei ole äärellisen monta alkiota. Tässä kuitenkin piilee kehämäärittelyn maku;ääretön määritellään äärellisen avulla. Mitä on sitten ’olla äärellinen’?

Matemaattisesti voidaan menetellä toisinpäin, määritelläänkin ääretön joukkoedellä johdettujen työkalujen avulla, muodollisesti täysin riippumatta – tuosta hie-man hämärästä – äärellisyyskäsitteestä.

Määritelmä 11.2.1 Joukko onääretön(infinite), jos se on yhtä mahtava jonkinaidon osajoukkonsa kanssa. Muutoin joukko onäärellinen(finite).

Äärettömän lukumäärän määrittely näin voi aluksi vaikuttaa hiukan abstraktilta,mutta aikaa myöten sen käyttökelpoisuuden pitäisi tulla näkyviin.

11.3 Joukon kardinaliteetti 163

Esimerkki 11.2.2 Viisialkioinen joukkoA := {1, 2, 3, 4, 5} on ymmärrettävästiäärellinen, koska sen jokaisessa aidossa osajoukossa on enintään neljä alkiota,eikä näiden välillä siten voi olla bijektiota.

Esimerkki 11.2.3 Esimerkissä 11.1.5 todettiin, ettäN ≃ 2N = {2, 4, 6, 8, . . .}.Koska2N on joukonN aito osajoukko, onN ääretön. Onkohan myös2N ääretön?

Nyt on siis voitu matemaattisesti vetää raja äärellisen ja äärettömän lukumääränvälille. Mutta onkohan olemassa erikokoisia äärettömiä? Mehän nimittäin tiedäm-me Lauseesta 11.1.8, että vaikkapaP(N) on aidosti mahtavampi kuinN, joka josekin on ääretön joukko!

Luvussa 11.3 lähestymme äärellisyysasiaa toisesta perspektiivistä, nimittäin luo-kittelemalla joukot niiden mahtavuuksien perusteella.

11.3 Joukon kardinaliteetti

Lauseessa 11.1.1 osoitettiin yhtämahtavuus ekvivalenssirelaatioksi. Relaatiosta”olla korkeintaan yhtä mahtava kuin” saadaan osittainen jajopa totaali järjestyspienellä jekulla, ks. Lauseet 11.3.5 ja 11.3.6.

Ekvivalenssi- ja järjestysrelaatioiden avulla saadaan määritellyksi joukon abso-luuttinen koko alkioiden määrän mielessä. Palautetaan mieleen ekvivalenssiluo-kat (ks. Luku 4.7): JoukonA ⊆ X määräämä ekvivalenssiluokka on joukko

≃ (A) = {X ∈ P(X) | A ≃ X}.

Määritelmä 11.3.1 JoukonA määräämää ekvivalenssiluokkaa yhtämahtavuusre-laatiossa≃ sanotaan senkardinaaliluvuksieli kardinaliteetiksi, ja sitä merkitääncardA := ≃ (A). Kaikkien kardinaalilukujen joukkoa merkitään symbolillaK,siisK = {cardA | A ∈ P(X)}.

Tietty kardinaaliluku on siis todellisuudessa joukko, jonka alkioina ovat kaikkisamankokoiset joukot, siis joukot joiden välillä on bijektioita. Esimerkiksi JukolanveljeksetJ on alkiona samassa kardinaaliluvussa kuin[7] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},samoin (perinteinen) Otavan tähdistö.

Esimerkki 11.3.2 Esimerkissä 11.1.5 todettiin, ettäN ja 2N = {2, 4, 6, 8, . . .}ovat yhtämahtavia eliN ≃ 2N. JoukotN ja 2N kuuluvat siis samaan kardinaalilu-kuunκN. Tämä on pienin ääretön kardinaaliluku ja sillä on oma merkintäℵ0 := κN

(ℵ luetaan ”alef”).

164 11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA

Kardinaalilukujen joukkoon saadaan osittainen järjestyskorkeintaan-yhtä-mahtava-relaation� avulla: asetetaan kaikillaκ1, κ2 ∈ K

κ1�κ2 ⇔ X1 � X2 joillakin X1 ∈ κ1,X2 ∈ κ2.

X

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

joukon X osajoukot

BA

C

P(X)

A

BC

P(X)

A

BC

ekvivalenssiluokat yhtämahtavien

relaatiossa

(A) = card A_~ (C) = card C_~

osittainen järjestys

(A)(C)

Kkardinaaliluvut

_

_~

_~_~

Kuva 61: Kardinaalilukujen rakentuminen

Koska kardinaaliluvun alkiot ovat keskenään yhtä mahtavia, sana ”joillakin” voi-taisiin korvata sanalla ”kaikilla”.

Apulause 11.3.3Kardinaalilukujen joukon relaatio� on refleksiivinen ja transi-tiivinen.

Todistus.Harjoitustehtävä, vrt. Lause 11.1.1. �

11.3 Joukon kardinaliteetti 165

Antisymmetrisyys perustuu seuraavaan kuuluisaan lauseeseen:

Lause 11.3.4 (Cantor-Schröder-Bernstein)JosA, B ⊆ X ja on olemassa in-jektiotA → B jaB → A, niin on olemassa bijektioA → B.

Todistus. Olkoot f : A → B ja g : B → A injektioita. Määritellään kaikillan ∈ N:

C1 := A \ g(B)Cn+1 := g

(f(Cn)

)

Määritellään edelleenC := ∪∞n=1Cn ja funktioh : A → B,

h(x) :=

{f(x), kunx ∈ C

g−1(x), kunx ∈ A \ C.

Selvästikinh todella on funktio, koskaf on funktio jag on injektio. Osoitetaanhbijektioksi.

1) h on injektio. Olkootx1, x2 ∈ A, x1 6= x2. Erotetaan kolme tapausta.

a) Josx1, x2 ∈ C, funktion f injektiivisyyden nojalla myösh(x1) = f(x1) 6=f(x2) = h(x2).b) Josx1, x2 ∈ A \ C, funktion g injektiivisyyden nojallah(x1) = g−1(x1) 6=g−1(x2) = h(x2).c) Jos lopuksix1 jax2 ovat eri joukoissa, olkoon esimerkiksix1 ∈ C jax2 ∈ A\C.Tällöin x1 ∈ Cn jollakin n ∈ N, jolloin h(x1) ∈ f(Cn). Jos nyt olisi myösh(x2) ∈ f(Cn), niin

g(h(x2)) = g(g−1(x2)) = x2 ∈ g(f(Cn)) = Cn+1,

mikä on vastoin oletustammex2 ∈ A \ C. Siis nytkinh(x1) 6= h(x2).

2)h on surjektio. Olkoony ∈ B mielivaltainen. On osoitettava, että jollekinx ∈ Aonh(x) = y (tai että alkukuvajoukkoh−1(y) 6= ∅).

Tapauksessay ∈ f(Cn) jollakin n ∈ N löytyy triviaalisti alkukuva joukostaCn ⊆A. Oletetaan siis, ettäy /∈ f(Cn) kaikilla n ∈ N, eli ettäy ∈ B \ ∪∞

n=1f(Cn).Näytetään, ettäg(y) ∈ A \ C, ja ettäh(g(y)) = y.

Selvästig(y) /∈ C1 joukonC1 määrittelyn mukaan. Edelleen milläänn ∈ N ei voiolla g(y) ∈ Cn+1, koskaCn+1 = g

(f(Cn)

)ja g oli injektio, seuraisiy ∈ f(Cn).

Siisg(y) ∈ A \ C ja h(g(y)) = g−1(g(y)) = y.Näin on konstruoitu bijektioh : A → B. �

Lause 11.3.5Relaatio� on osittainen järjestys kardinaalilukujen joukossa.

166 11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA

Todistus.Apulauseessa 11.3.3 on jo todettu refleksiivisyys ja transitiivisuus. An-tisymmetrisyys: Oletetaan, että kahdelle kardinaaliluvulle κ, µ ∈ K on voimassaκ �µ jaµ �κ ja osoitetaan, ettäκ = µ. Tämä taas edellyttää, että löydämme näis-tä keskenään yhtä mahtavat alkiotK ∈ κ ja M ∈ µ, siis sellaiset, joiden välilläon bijektio.Oletuksesta seuraa, että on olemassa alkiotK1, K2 ∈ κ ja M1, M2 ∈ µ, joilleK1 � M1 ja M2 � K2. Tämä tarkoittaa, että on olemassa injektiotf : K1 → M1

ja g : M2 → K2, ks. Kuva 62.

κ

K1

K2

k

µ

M1

M2

m

f

g

Kuva 62: Kardinaalilukujen alkioiden väliset injektiot

Kunkin ekvivalenssiluokan alkioiden välillä on bijektiot, siis erityisesti bijektiotk : K1 → K2 ja m : M1 → M2. Yhdistetty funktiom ◦ f : K1 → M2 on silloininjektio, samoink−1 ◦ g : M2 → K1. Cantor-Schröder-Bernsteinin lauseen 11.3.4nojallaK1 ≃ M2, joten ne ovat samassa ekvivalenssiluokassa, ts.κ = µ. �

Lause 11.3.6Yllä määritelty relaatio� on totaali järjestys kardinaalilukujen jou-kossa.

Todistus.Asia on selvä, kun uskotaan, että jokaisesta joukkoparistaA, B jompi-kumpi on vähintäin yhtä mahtava kuin toinen, ts. että on olemassa injektioA → BtaiB → A. �

Voimme nyt lopulta sopia täsmällisesti mitä joukon alkiomäärällä#A tarkoite-taan. Idea on hyvin yksinkertainen: Annettu joukkoA kuuluu johonkin kardinaa-lilukuunκ. Tsekataan löytyykö samasta kardinaaliluvusta myös jokinlukumäärä-joukko [n], n ∈ N0. Jos löytyy,#A = n.

Samalla määrittelemme äärellisyyden ja äärettömyyden uudelleen. Tämän ja ai-kaisemman Määritelmän 11.2.1 äärellisyyskäsitteen yhtäpitävyys jäänee kuiten-kin tarkasti perustelematta . . .

11.3 Joukon kardinaliteetti 167

Määritelmä 11.3.7 JoukkoX on äärellinen, josX ≃ [n] jollakin n ∈ N0, muu-toin joukkoX on ääretön.

Jos joukkoX on äärellinen jaX ≃ [n], samaistetaan sen kardinaliteetti ja alkioi-den lukumäärän = #X seuraavasti:

#X = n ∼ card [n] = cardX.

Myös näin saatua peruslukua#X sanotaan kardinaaliluvuksi. Tästä lähtien myösäärettömän joukon kardinaliteettia merkitään symbolilla#X.

Olkoon reaalilukujen joukon kardinaalilukuc := #R. Voidaan osoittaa, ettäP(N) ≃ R, joten c = #R = #P(N). Sitenℵ0 = #N < #R = c. Kardi-naaliluvuista voidaan siis sanoa

0 < 1 < 2 < 3 < . . . < n < . . . < ℵ0 < c < #P(R) < . . .

Niin kutsuttuKontinuumihypoteesisanoo, että kardinaalilukuja ei ole lukujenℵ0

ja c välillä. Tämä on muusta joukko-opista riippumaton olettamus!

12 Lukualueet

Seuraava tiivistetty esitys pyrkii antamaan mielikuvan lukualueiden määrittelynproblematiikasta. Määritellään lukualueet lähtökohtanakäsitteet ekvivalenssire-laatio, funktio ja bijektio. Lukualue määritellään antamalla joukko, jossa on mää-ritelty tietyt laskutoimitukset sekä mahdollisesti järjestys.On muistettava:Luku on abstrakti käsite. Luvun merkitseminen numerosymbo-lien avulla ja lukujen nimittäminen ovat sopimuksia.

12.1 Luonnolliset luvutN = {1, 2, 3, . . .}Luonnolliset luvut voidaan määritelläjoukkojen yhtämahtavuudenavulla (GeorgCantor 1845-1918) tai – niinkuin tässä –Peanon aksioomienavulla (GiuseppePeano 1858-1932).

Peanon aksioomat

Määritelmä 12.1.1 JoukkoaL sanotaanluonnollisten lukujen joukoksi(naturalnumber set), jos se toteuttaa seuraavat viisi ehtoa:

P1) JoukossaL on ainakin yksi alkioΥ ∈ L (”ypsilon”, yksikkö).

P2) Jokaisella alkiollaa ∈ L on olemassa täsmälleen yksi(välitön) seuraaja(successor) a′ ∈ L.

P3) Josa ∈ L, niin a′ 6= Υ.

P4) Josa ∈ L ja b ∈ L ja josa′ = b′, niin a = b.

P5) JosA on joukonL sellainen osajoukko, että

1)Υ ∈ A,2) josa ∈ A, myösa′ ∈ A,

niin silloin A = L.

12.1 Luonnolliset luvut 169

Tutkaillaanpa tarkemmin mitä aksioomista voidaan päätellä ja ilmaista moderninmatematiikan käsitteillä:

1) Ehto P1 takaa, että joukkoL ei ole tyhjä.2) Ehto P2 takaa, että välitön seuraajarelaatio′ ⊆ L × L on funktio. Merkitäänjatkossa tarvittaessa kyseistä funktiotaSv : L → L, Sv(a) := a′.3) Ehto P3 vaatii, että yksikkö on ”ensimmäinen” alkio,Υ ei siis saa olla minkäänalkion seuraaja.Sv ei siten ole surjektio.4) Ehto P4 takaa, että jokaisella alkiolla on korkeintaan yksi välitönedeltäjä; siisalkio, jonka välitön seuraaja se on; funktio′ on siis injektio. Edelleen aksioomatP2 ja P4 antavat mahdollisuuden lisätä ja supistaa:a′ = b′ ⇔ a = b (ks. jäljem-pänä Lause 12.1.12).5) Ehto P5 on pohjana matemaattisen induktion periaatteelle, mutta se myös kiel-tää ”kilpailevat” alkiojonot.

Esimerkki 12.1.2 On ilmeistä, että:a) Vanha tuttuN = {1, 2, 3, 4, . . .} toteuttaa Peanon aksioomat, kun yksikköΥ := 1 ja seuraajafunktioSv(n) := n + 1, ja sehän tietysti on itse asiassa ko-ko aksiomatiikan taustalla.b) JoukkoN0 = {0, 1, 2, 3, . . .} niinikään kelpaa, kun se varustetaan samalla seu-raajafunktiolla ja yksikkönä on nytΥ := 0.

Mutta myös monet muut systeemit kelpaavat:c) JoukkoM := { 1

2n| n ∈ N } = {1

2, 14, 16, . . .} on myös luonnollisten lukujen

joukko Peanon mielessä, kun yksikkönäΥ := 12

ja Sv(12n) := 1

2(n+1).

d) Von Neumannin ordinaalikonstruktio puolestaan nyhjäisee tyhjästä erään met-kan luonnollisten lukujen joukon:Υ := ∅ ja seuraajafunktioSv(A) := A ∪ {A}.Näin saadaan jono∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . . Mikäpä on seuraava?

Tehtävä 12.1.3Esimerkissä 12.1.2 joukoillaN jaM ei ole yhteisiä alkioita. Mit-kä Peanon aksioomista ovat totta näiden yhdisteelleN ∪ M , kun käytetään mo-lempien yksikköjä ja seuraajafunktioita?

Luonnollisten lukujen joukkoon saadaan totaali järjestysseuraavalla tavalla, kunmerkitään lyhyestia′′ := (a′)′, a′′′ := (a′′)′ = ((a′)′)′ jne.

Määritelmä 12.1.4 Luonnollisten lukujen joukossaL määritellään kunkin alkiona ∈ L seuraajajoukko

S(a) := {a′, a′′, a′′′, a′′′′, . . . , a(n), . . .},

missäa′ = Sv(a), a′′ = Sv(Sv(a)) = S2v(a), . . . ja yleisestia(n) = Sn

v (a), missätietysti ovat käytössä funktioiden yhdistämispotenssit.

170 12 LUKUALUEET

Olkoon jatkossaL eräs luonnollisten lukujen joukko jaΥ sen yksikkö. Merkitään:Υ(0) := Υ, Υ(1) := Υ′ = Sv(Υ), Υ(2) := Υ′′ = S2

v (Υ), jne.

Lause 12.1.5a)L = S(Υ) ∪ {Υ} eli L = {Υ(0),Υ(1),Υ(2), . . .}.

b) Jokainena ∈ L, a 6= Υ, on jonkun alkion välitön seuraaja.

c) Kaikki alkiot Υ(0),Υ(1),Υ(2), . . . ovat eri alkioita.L on siis erityisesti ääretönjoukko.

Todistus.a) MerkitäänA := S(Υ) ∪ {Υ}. Osoitetaan aksiooman P5 avulla, ettäA = L.Ensiksikin,A ⊆ L aksiooman P2 mukaan jaΥ ∈ A.Olkoon toiseksia ∈ A mielivaltainen. Josa = Υ, on a′ = Υ′ ∈ S(Υ) ja sitenmyösa′ ∈ A. Jos taasa 6= Υ, ona ∈ S(Υ) ja sitena = Υ(n) jollakin n ∈ N. Muttasilloinkin a′ = Υ(n+1) ∈ S(Υ), koska välitön seuraaja on aina yksikäsitteinen.Aksiooman P5 ehdot täyttyvät ja niinpäL = A = S(Υ) ∪ {Υ}.

b) Olkoona ∈ L, a 6= Υ. Silloin kohdan a) nojallaa = Υ(n) jollakin n ∈ N ja seon alkionΥ(n−1) välitön seuraaja.

c) Tehdään vastaoletus: kaksi alkioistaΥ(n) on samoja.Tiedetään, ettäΥ(0) 6= Υ(1), sillä alkio Υ = Υ(0) ei ole minkään, edes itsensäseuraaja. Koska Olkoonn pienin tavallinen luonnollinen luku, jolley := Υ(n) =Υ(k), ja k > n. Tilanne on siis seuraava:

Υ(0) → Υ(1) → · · · → Υ(n−1) → y = Υ(n) → · · · → Υ(k−1) → y = Υ(k) → · · ·Aksiooman P4 mukaan alkiot, joilla on sama välitön seuraaja, tässäy, ovat samaalkio, tässä siis olisiΥ(n−1) = Υ(k−1). Mutta luvunn piti olla pienin sellainen,joten antiteesi on epätosi ja siten kaikki alkiotΥ(n) ovat eri alkioita. �

Seuraus 12.1.6a) Ainaa /∈ S(a).

b) JoukonL kullekin parillea 6= b on jokoa ∈ S(b) tai b ∈ S(a).

Todistus.a) Alkio ja sen kaikki seuraajat ovat eri alkioita (Lause 12.1.5 kohta).b) Lauseen 12.1.5 mukaan alkiot voidaan asettaa jonoksi, jossaa = Υ(n) ja b =Υ(k) joillakin n ≤ k. Silloin ona ∈ S(b) tai b ∈ S(a).Josa ∈ S(b), on seuraajajonossa pätkä· · · → b → b′ → · · · → a → · · · . Samoinjos b ∈ S(a), on seuraajajonossa pätkä· · · → a → a′ → · · · → b → · · · . Muttakukin alkio esiintyy koko jonossa tasan kerran, joten jonotyhdistyvät peräkkäin:

· · · → b → b′ → · · · → a → a′ → · · · → b → · · ·Näin ollen olisib ∈ S(b), mikä on vastoin kohtaa a). �

12.1 Luonnolliset luvut 171

Määritelmä 12.1.7 Luonnollisten lukujen joukossa määritelläänseuraajarelaa-tio: alkio on relaatiossa itsensä ja kaikkien seuraajajoukkonsa alkioiden kanssa,ts.

a ≤ b ⇔ (a = b) ∨ (b ∈ S(a)).

Lause 12.1.8Luonnollisten lukujen joukon seuraajarelaatio on totaalijärjestys.

Todistus. OlkoonL luonnollisten lukujen joukko ja≤ ⊆ L × L sen seuraajare-laatio. Se on osittainen järjestys, sillä:

J1) Refleksiivisyys seuraa suoraan määritelmästä:a ≤ a kaikilla a ∈ L.J2) Antisymmetrisyys: Josa 6= b ja a ≤ b sekäb ≤ a, olisi a ∈ S(b) ja b ∈ S(a).Mutta tämä on Seurauksen 12.1.6 nojalla mahdotonta.J3) Transitiivisuus: Harjoitustehtävä.

J4) Lisäksi se on täysi, sillä jokaiselle parille(a, b) ∈ L × L on voimassaa = btai Seurauksen 12.1.6 mukaana ∈ S(b) tai b ∈ S(a), ja sitenb ≤ a tai a ≤ b. �

Määritelmä 12.1.9 Luonnollisten lukujen joukossaL määritellään (induktiivi-sesti tai rekursiivisesti) seuraavat laskutoimitukset:

Yhteenlasku(addition):{

a+Υ := a′ (Y1)a+ b′ := (a + b)′ (Y2)

Kertolasku(multiplication):{

a ·Υ := a (K1)a · b′ := (a · b) + a (K2)

Huomautus 12.1.10Ylläolevista aksioomista voidaan johtaa kaikki luonnollis-ten lukujen tutut laskusäännöt.

Lause 12.1.11Luonnollisten lukujen totaali järjestys voidaan karakterisoida myösyhteenlaskun avulla:

a ≤ b ⇔ a = b tai a+ c = b jollekin c ∈ L.

Todistus.Harjoitustehtävä. �

172 12 LUKUALUEET

Lause 12.1.12Luonnollisille luvuille pätee supistussääntö:Josa, b, c ∈ L, niin a+ c = b+ c jos ja vain josa = b.Tätä voidaan soveltaa myös epäyhtälöihin:Josa, b, c ∈ L, niin a+ c ≤ b+ c jos ja vain josa ≤ b.

Todistus. Sovelletaan aksioomia P2 ja P4 toistuvasti: siirtyen lisäämisessä yksiseuraaja kerrallaan ja supistaessa taaksepäin. �

Esimerkki 12.1.13 Lasketaan kokeeksi muutamia summia ja tuloja (perustele nä-mä!):

Υ+Υ = Υ′

Υ′ +Υ = (Υ′)′ = Υ′′

Υ+Υ′ = (Υ + Υ)′ = Υ′′

Υ′ +Υ′ = (Υ′ +Υ)′ = Υ′′′

Υ ·Υ = Υ

Υ′ ·Υ = Υ′

Υ ·Υ′ = Υ ·Υ+Υ = Υ′

Υ′ ·Υ′ = Υ′ ·Υ+Υ′ = Υ′′′

Luonnollisia lukuja merkitään jatkossa jälleen1 ∼= Υ, 2 := 1′, 3 := 2′, 4 := 3′,jne.

Esimerkki 12.1.14 Yhteen- ja kertolasku sujuvat näppärästi edellä annetuillaeväillä:

2 + 2 = 2 + 1′ = (2 + 1)′ = (2′)′ = 3′ = 4,

3 · 2 = 3 · 1′ = (3 · 1) + 3 = 3 + 3 = 3 + 2′ = (3 + 2)′

= (3 + 1′)′ = ((3 + 1)′)′ = (4′)′ = 5′ = 6.

12.1 Luonnolliset luvut 173

174 12 LUKUALUEET

12.2 KokonaisluvutZ = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}Pidetään luonnollisten lukujen ominaisuudet tunnettuinaja määritellään kokonais-luvut niiden avulla. Formaalisti tämä tapahtuu yhteenlaskun avulla, vaikka käytän-nössä tämä osoittautuukin tapahtuvan vähennyslaskun kautta.

Tarkastellaan lukupareja(a, b) ∈ N× N. Määritellään joukossaN× N relaatioRseuraavasti:

(a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b+ c.

RelaatioR on ekvivalenssirelaatio ja se jakaa joukonN × N alkiot ekvivalenssi-luokkiin (ks. Luku 4.7).

Määritelmä 12.2.1 Lukuparin(a, b) ∈ N × N määräämää ekvivalenssiluokkaamerkitään tässä[a, b]. Näitä ekvivalenssiluokkia kutsutaankokonaisluvuiksi(inte-gers). Kokonaislukujen joukkoa merkitään alustavasti

Z := { [a, b] | (a, b) ∈ N× N }.Määritelmä 12.2.2 Merkitään edelleen lukuparin(a, b) määräämää ekvivalens-siluokkaa[a, b] ja määritellään joukossa Z:

Yhteenlasku: [a, b]⊕ [c, d] := [a+ c, b+ d].

Kertolasku: [a, b]⊙ [c, d] := [ac+ bd, ad+ bc].

Järjestys: [a, b] � [c, d] ⇔ a + d ≤ b+ c.

Esimerkki 12.2.3 Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan:

Yhteenlasku:[1, 5]⊕ [2, 4] = [1 + 2, 5 + 4] = [3, 9].

Kertolasku:[1, 5]⊙ [2, 4] = [1 · 2 + 5 · 4, 1 · 4 + 5 · 2] = [22, 14].

Järjestys:[3, 5] � [2, 4], sillä 3 + 4 = 7 ≤ 7 = 5 + 2.

Edellä Määritelmässä 12.2.2 kuvatut operaatiot ovat tosiasiassa hieman ongelmal-lisia:Ovatko yhteen- ja kertolasku todella laskutoimituksia joukossaZ eli ovatko nefunktioita Z × Z → Z (ks. Luku 9)?

Kahden ekvivalenssiluokan eli kokonaisluvun[a, b] ja [c, d] summa nimittäin mää-ritellään välillisesti käyttäen niidenedustajia(a, b) ja (c, d). Tästä johtuu, että eiole lainkaan itsestään selvää, että tulos on yksikäsitteinen! Pitää siis näyttää, ettäkahden kokonaisluvunx, y ∈ Z summax⊕ y on kokonaisluku, joka ei riipu siitämiten ne edustajat on ekvivalenssiluokistax ja y valittu. Sen perustelemisesta, ettäkyseessä on todella funktioZ × Z → Z, käytetään usein ilmaisua ”laskutoimituson hyvin määritelty”.

12.2 Kokonaisluvut 175

Esimerkki 12.2.4 Kokonaisluvunx := [2, 5] edustajia (siis ekvivalenssiluokanx alkioita) ovat paitsi(2, 5), myös(1, 4), (3, 6), (4, 7) jne. Nimittäin esimerkiksi(1, 4)R(2, 5), koska1 + 5 = 6 = 4 + 2, samoin nuo muutkin. On siis totta, että

x = [1, 4] = [2, 5] = [3, 6] = [4, 7] = . . .

Kokonaisluvuny := [7, 3] edustajia taas ovat(7, 3), (6, 2), (5, 1) ja myös(8, 4),(9, 5), (10, 6) jne, ja siten

y = [5, 1] = [6, 2] = [7, 3] = [8, 4] = . . .

Havaitaan, että kokonaisluvuillax ja y on äärettömän monta esitystä niiden edus-tajien avulla! Jotta tulosx⊕y olisi yksi ja vain yksi kokonaisluku, se pitäisi saadatulokseksi käytettiinpä mitä hyvänsä edustajia kustakin ekvivalenssiluokastax jay. Onko näin, edes tässä konkreettisessa tapauksessa?Ihan yleisestikin on totta supistussääntö[a, b] = [a+ 1, b+ 1], sillä a+ (b+ 1) =b+ (a+ 1) (liitännäisyys ja vaihdannaisuus joukossaN).Helposti havaitaan, ettäx = [n, n + 3] ja y = [m + 4, m] kullakin m, n ∈ N.Silloin

x⊕ y = [n +m+ 4, n+ 3 +m] = [4, 3],

mikä on ihan sama kuin alkuperäisistä saatux ⊕ y = [2, 5] ⊕ [7, 3] = [9, 8] =[8, 7] = [7, 6] = [6, 5] = [4, 3]. Sievimmilläänhän summa on[2, 1].

Jätetään toistaiseksi edellisen konkreettisen Esimerkinvaraan (ja myöhemmäksiharjoitustehtäväksi) se, että yhteenlasku on hyvin määritelty. Todistetaan malliksivähän hankalampi kertolaskun tapaus.

Lause 12.2.5Määritelmässä 12.2.2 kuvattu kertolasku on hyvin määritelty, ts. seon funktioZ × Z → Z.

Todistus. Olkoot x = [a, b] ja y = [c, d] mielivaltaiset alkiot joukostaZ, jolloinmäärittelyn mukaanx⊙y = [ac+bd, ad+bc]. Olkoot sitten(a′, b′) ∈ x ja (c′, d′) ∈y mielivaltaiset edustajat, jolloinx = [a, b] = [a′, b′] ja y = [c, d] = [c′, d′]. Onkonyt tulos sama alkiox⊙ y = [ac+ bd, ad+ bc], jos laskemmekin sen muodossa

x⊙ y = [a′, b′]⊙ [c′, d′] = [a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′]?

Tiedämme seuraavat asiat:(a′, b′)R(a, b) ja (c′, d′)R(c, d) eli a′ + b = b′ + a jac′ + d = d′ + c. Jotta em. tulonx ⊙ y esitykset ovat sama kokonaisluku (ekviva-lenssiluokka), riittää osoittaa, että parit(ac+bd, ad+bc) ja (a′c′+b′d′, a′d′+b′c′)ovat relaatiossaR eli että

(ac+ bd) + (a′d′ + b′c′) = (ad+ bc) + (a′c′ + b′d′).

176 12 LUKUALUEET

Käytetään edellä olevia yhtälöitäa′ + b = b′ + a ja c′ + d = d′ + c kerrottuinasopivilla luvuilla saadaksemme kaikki tarvittavat tulotermit mukaan:

a(d′ + c) = a(c′ + d) eli ad′ + ac = ac′ + ad | mukaanac, adb(c′ + d) = b(d′ + c) eli bc′ + bd = bd′ + bc | mukaanbd, bc(b′ + a)c′ = (a′ + b)c′ eli b′c′ + ac′ = a′c′ + bc′ | mukaanb′c′, a′c′

(a′ + b)d′ = (b′ + a)d′ eli a′d′ + bd′ = b′d′ + ad′ | mukaana′d′, b′d′

Nyt lasketaan taulukon oikeapuoleiset yhtälöt puolittainyhteen ja käytetään ter-mien järjestelyyn vaihdannaisuutta ja liitännäisyyttä:

(ac + bd) + (a′d′ + b′c′) + (ad′ + bc′ + ac′ + bd′)= (ad+ bc) + (a′c′ + b′d′) + (ac′ + bd′ + bc′ + ad′)

Rivien viimeiset sulkulausekkeet todetaan helposti samoiksi, joten ne voidaan su-pistaa pois ja jäljelle jää haluttu yhtälö

(ac + bd) + (a′d′ + b′c′) = (ad+ bc) + (a′c′ + b′d′);

siis (ac+ bd, ad+ bc)R(a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′) jax⊙ y = [ac + bd, ad+ bc] = [a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′]. �

Tehtävä 12.2.6a) Laske[6, 6]⊕ [2, 4].b) Ratkaisex yhtälöstäx⊕ [7, 2] = [2, 12].c) Laske[15, 6]⊕ [2, 17].d) Laske[6, 6]⊙ [2, 17].e) Ratkaisex yhtälöstäx⊙ [7, 2] = [2, 12].f) Ratkaisex yhtälöstä[3, 1]⊙ x = [2, 1].

Kokonaisluvuille voidaan muotoaα⊕x = β oleva yhtälö aina ratkaista. Kullakinα = [a, b] on vasta-alkiona−α = [b, a], sillä

α⊕ (−α) = [a, b]⊕ [b, a] = [a+ b, b+ a] = [1, 1].

Tässä[1, 1] = [2, 2] = . . . on yhteenlaskun neutraali- eli nolla-alkio:

[a, b]⊕ [1, 1] = [a+ 1, b+ 1] = [a, b] = [1, 1]⊕ [a, b].

Nyt vaikkapa yhtälö[3, 5] ⊕ x = [1, 7] ratkeaa lisäämällä molemmille puolillevasta-alkio[5, 3], jolloin x = [5, 3]⊕ [1, 7] = [6, 10] = [1, 5].

Sen sijaan muotoaα ⊙ x = β olevia yhtälöitä voidaan ratkaista vain poikkeusta-pauksissa, ks. Tehtävä 12.2.6 e) ja f).

Kun merkitään erotusta tuttuun tapaana−b := [a, b], niin Esimerkin 12.2.3 laskutvoidaan esittää myös(−4) + (−2) = −6 ja (−4) · (−2) = 8.

Jatkossa kokonaislukujen joukkoa merkitään tutustiZ.

12.2 Kokonaisluvut 177

178 12 LUKUALUEET

12.3 RationaaliluvutQ = {m

n| m ∈ Z, n ∈ N}

Pidetään nyt kokonaislukujen ominaisuudet tunnettuina jamääritellään rationaa-liluvut kokonaislukujen avulla. Taas työkaluna on ekvivalenssi, mutta käytetäänkertolaskua. Tuloksena ovat osamäärien muodostamat ekvivalenssiluokat.

Tarkastellaan lukupareja(a, b) ∈ Z× N. Määritellään joukossaZ× N relaatioRseuraavasti:

(a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc.

RelaatioR on ekvivalenssirelaatio ja siten se jakaa joukonZ × N alkiot ekviva-lenssiluokkiin.

Määritelmä 12.3.1 Lukuparien(a, b) ∈ Z × N määräämiä ekvivalenssiluokkiakutsutaanrationaaliluvuiksi(rational numbers).

Merkitään lukuparin(a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa[a, b], ja määritellään:

Yhteenlasku: [a, b]⊕ [c, d] = [ad + bc, bd].

Kertolasku: [a, b]⊙ [c, d] = [ac, bd].

Järjestys: [a, b] � [c, d] ⇔ ad ≤ bc.

Esimerkki 12.3.2 Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan.

Yhteenlasku:[1, 5]⊕ [2, 7] = [1 · 7 + 5 · 2, 5 · 7] = [17, 35].

Kertolasku:[1, 5]⊙ [2, 7] = [1 · 2, 5 · 7] = [2, 35].

Järjestys:[1, 5] � [2, 7], sillä 1 · 7 ≤ 5 · 2.

Kun merkitään jakolaskua tuttuun tapaanab:= [a, b], niin Esimerkin 12.3.2 laskut

voidaan esittää myös

1

5+

2

7=

1 · 7 + 5 · 25 · 7 =

17

35,

1

5· 27

=1 · 25 · 7 =

2

35,

1

5<

2

7, sillä 1 · 7 < 5 · 2.

Rationaalilukujen joukkoQ ei ole kyllin laaja, jotta edes yksinkertaiset, meillearkipäiväiset yhtälöt ratkeaisivat.

12.3 Rationaaliluvut 179

Esimerkki 12.3.3 Yhtälölläx · x = 2 ei ole ratkaisua joukossaQ.

Todistus.Antiteesi.On olemassaq ∈ Q, jolle q2 = 2.

Antiteesin mukaan olisi eräälleq = mn

, missäm ∈ Z ja n ∈ N, voimassaq2 = 2.Voidaan olettaa, ettäm

non supistettu muoto. Siis

(mn

)2=

m2

n2= 2 eli m2 = 2n2.

Koskam2 on parillinen, on myösm on parillinen (miksi?), jotenm = 2k jollekink ∈ Z. Edelleen

m2 = 4k2 = 2(2k2) = 2n2,

jotenn2 = 2k2. Koskan2 on parillinen, on myösn on parillinen. Koskam ja novat parillisia, eim

nolekaan supistettu muoto.

Tämä on ristiriita, joten minkään rationaaliluvun neliö eiole2. �

180 12 LUKUALUEET

12.4 Reaaliluvut

Rationaaliluvut eivät riitä kaikenlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen eivätkä myös-kään täyttämään lukusuoraa.

Reaalilukujen määritelmistä

Rationaalilukujen joukonQ täydentämiseen reaaliluvuiksiR on useita ekvivalent-teja tapoja, joita ei kuitenkaan tässä käsitellä tarkasti.

1. Cantorin menetelmäperustuu ajatukseen määritellä irrationaaliluvut rationaa-lilukujonojen raja-arvoina. Reaaliluvut ovat rationaalilukujonojen ekvivalenssi-luokkia relaatiossa, jossa samaa raja-arvoa kohti suppenevat rationaalilukujonotsamaistetaan.Ks. esimerkiksi L. Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2, s. 189 –.

2. Dedekindin leikkaukset(Richard Dedekind, 1831 - 1916). Menetelmä perustuulukusuoran pisteiden ja reaalilukujen yksikäsitteiseen vastaavuuteen.Ks. esimerkiksi W. Rudin: Principles of mathematical analysis.

3.Aksiomaattinenmäärittely. Luetellaan perusominaisuudet (14 kpl), jotkareaali-lukujen joukko ja siinä määritellyt yhteenlasku, kertolasku ja järjestys toteuttavat.Ks. Algebran tai Analyysin oppikirjat.

Huomautus 12.4.1Reaalilukuja on tapana havainnollistaareaaliakselineli lu-kusuoran(real line, real axis) avulla.

Reaalilukujen merkintä

Nykyisin on käytössä niin kutsuttuarabialainenlukujen merkintätapa, jossa lu-ku merkitäänarabialaisin numeromerkein paikkajärjestelmässä. Paikkajärjestel-mä tarkoittaa sitä, että luvun suuruus määräytyy luvunpaikka-ja numeroarvoista.Paikka-arvot ovat kantaluvun potensseja. Kun kantaluku onkymmenen, niin pu-hutaankymmenjärjestelmästä(decimal number system).

Kymmenjärjestelmässä esimerkiksi

643,576 = 6 · 102 + 4 · 101 + 3 · 100 + 5 · 10−1 + 7 · 10−2 + 6 · 10−3.

Reaaliluku voidaan esittää eri lukujärjestelmissä, kunhan sovittujanumeromerk-kejä on riittävästi. Kantaluvuksi voidaan valita mikä tahansa luonnollinen lukub > 1. Tällöin mikä tahansa reaalilukur saadaan muodossa

r = anbn + . . .+ a1b+ a0 + c1b

−1 + c2b−2 + c3b

−3 + . . . ,

12.4 Reaaliluvut 181

missä0 ≤ ai ≤ b − 1 ja 0 ≤ ci ≤ b − 1. Arabialaisella merkintätavalla lukuamerkitään ilmoittaen pelkät kantaluvun alenevien potenssien kertoimet käyttäendesimaalipilkkua (nykyään usein desimaalipiste) erottamaan kokonaisosaa ja de-simaaliosaa:

r = anan−1 . . . a1a0,c1c2c3 . . . .

Reaalilukujen luokittelu

1. tapa: Jako rationaali- ja irrationaalilukuihin

Rationaaliluvut(rational numbers) ovat reaalilukuja, jotka voidaan esittää koko-naislukujen osamäärinä, siisQ =

{mn| m ∈ Z, n ∈ N

}.

Irrationaaliluvut (irrational numbers) eli irrationaaliset reaaliluvut ovat ne reaa-liluvut, jotka eivät ole rationaalilukuja; irrationaalilukujen joukko on siisR \ Q.Irrationaalilukuja ei siis voida esittää kokonaislukujenosamäärinä.

Rationaaliluvuilla on kaksi esitysmuotoa: Rationaalilukumuoto eli murtoluku-muoto(fraction format), sekädesimaalilukumuoto(decimal format).

Irrationaaliluvut voidaan esittää yleisesti vaindesimaalilukumuodossa, mutta joil-lekin irrationaaliluvuille on sovittu erikoismerkintä kutenπ, e,

√2 jne.

Voidaan osoittaa, että

Reaaliluvun desimaaliesitys onpäättyvä tai jaksollinen ⇔ luku on rationaaliluku

Reaaliluvun desimaaliosa onpäättymätön ja jaksoton ⇔ luku on irrationaaliluku

Jaksollinen desimaaliluku voidaan aina palauttaa murtolukumuotoon suppeneviensarjojen avulla.

Esimerkki 12.4.2 Luku 12= 0,5 = 0,49999 . . ., sillä

0,49999 . . . = 4 · 10−1 + 9 · 10−2 + 9 · 10−3 + . . .

=4

10+

9

102

(1 +

1

10+

(1

10

)2

+

(1

10

)3

+ . . .

)

=4

10+

9

102· 1

1− 110

=4

10+

1

10=

5

10=

1

2.

Seuraava algoritmi perustuu myös suppeneneviin sarjoihin, mutta esitys on epä-täsmällisempi.

182 12 LUKUALUEET

Esimerkki 12.4.3 Olkoonx = 2,6 125 125 125 . . .. Tällöin

1000x = 2612,5125 . . .x = 2,6125 . . .

999x = 2609,9

mistä seuraax = 260999990

≈ 2,6125125125 . . ..

Tehtävä 12.4.4Muunna päättymätön jaksollinen desimaaliluku0,0abcdabcda . . .murtolukumuotoon sekä geometristen sarjojen (vrt. Esimerkki 12.4.2) että Esi-merkin 12.4.3 menetelmällä.

Huomautus 12.4.5a) Käsitteetmurtolukuja desimaalilukueivät muodosta eril-lisiä lukualueita, vaan ne liittyvät lukujen esitysmuotoihin.

b) Jos nollasta poikkeavalla reaaliluvulla on päättyvä desimaaliesitys, niin sillesaadaan myös päättymätön esitys, jossa on äärettömän montanollasta poikkeavaadesimaalia (vrt.0,5 = 0,4999 . . .).

Päättymättömät desimaaliesitykset ovat yksikäsitteisiä, ts. jokaisella nollasta poik-keavalla reaaliluvulla on yksi ja vain päättymätön desimaaliesitys.

2. tapa: Jako algebrallisiin ja transkendenttisiin lukuih in

Algebralliset reaaliluvut(algebraic real numbers) ovat jonkin kokonaislukuker-toimisen polynomin juuria, ts. muotoa

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0, ai ∈ Z

olevien yhtälöiden ratkaisuja.

Esimerkki 12.4.6 Luku√5+1 on algebrallinen luku, sillä se on ratkaisu yhtälölle

x2 − 2x− 4 = 0.

Esimerkki 12.4.7 Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia, sillä kukinmn

on ai-nakin yhtälönnx−m = 0 juuri.

Transkendenttilukuja(transcendental numbers) ovat ne reaaliluvut, jotka eivät olealgebrallisia. Luku on siten transkendenttiluku, jos se eiole minkään kokonaislu-kukertoimisen polynomin juuri.

Esimerkki 12.4.8 Luvut π ja e ovat transkendenttisia. Luku√2 ei ole, miksi?

12.5 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö 183

12.5 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö

Reaaliluvunx itseisarvo(absolute value) on

|x| :={

x, kunx ≥ 0−x, kunx < 0

Itseisarvon geometrinen merkitys liittyy suuruuteen tai välimatkaan (Kuva 63):

0x y|x||x-y|

Kuva 63: Pisteiden etäisyyksiä lukusuoralla

|x| on pisteenx etäisyys origosta lukusuoralla, ja samalla nollaa jalukuax yhdistävän janan pituus.

|x− y| on pisteidenx ja y välinen etäisyys lukusuoralla.

Lause 12.5.1 (itseisarvon ominaisuuksia)Kaikille reaaliluvuille x, y ∈ R jaa > 0 on voimassa:

|x| ≥ 0 |x| = | − x|

|xy| = |x||y|∣∣∣∣x

y

∣∣∣∣ =|x||y| , y 6= 0

|x| < a ⇔ −a < x < a |x| > a ⇔ x < −a tai x > a

−|x| ≤ x ≤ |x|√x2 = |x|.

Esimerkki 12.5.2 Ratkaistaan muistin virkistämiseksi muutamia itseisarvoyhtä-löitä ja -epäyhtälöitä.

a) Ratkaistaanx yhtälöstä|4x− 3| = |3x+ 2|.

|4x− 3| = |3x+ 2| ⇔ 4x− 3 = 3x+ 2 tai 4x− 3 = −(3x+ 2)

⇔ x = 5 tai x =1

7.

b) Ratkaistaan epäyhtälö|x− 2| < 3.

|x− 2| < 3 ⇔ −3 < x− 2 < 3

⇔ −1 < x < 5.

184 12 LUKUALUEET

c) Ratkaistaan epäyhtälö|3x+ 2| < 1.

|3x+ 2| < 1 ⇔ −1 < 3x+ 2 < 1

⇔ −3 < 3x < −1

⇔ −1 < x < −1

3.

d) Ratkaistaan epäyhtälö|−2x+ 4| ≥ 1.

|−2x+ 4| ≥ 1 ⇔ −2x+ 4 ≤ −1 tai − 2x+ 4 ≥ 1

⇔ −2x ≤ −5 tai − 2x ≥ −3

⇔ x ≥ 5

2tai x ≤ 3

2.

Lause 12.5.3 (kolmioepäyhtälö)Kaikilla x, y ∈ R pätee∣∣|x| − |y|

∣∣ ≤ |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

Todistus.Itseisarvon ominaisuuksien nojalla−|xy| ≤ xy ≤ |xy| ja edelleen

−2|x||y| ≤ 2xy ≤ 2|x||y|.

Lisäämällä neliötx2 ja y2 kuhunkin lausekkeista saadaan

x2 − 2|x||y|+ y2 ≤ x2 + 2xy + y2 ≤ x2 + 2|x||y|+ y2

⇒ |x|2 − 2|x||y|+ |y|2 ≤ x2 + 2xy + y2 ≤ |x|2 + 2|x||y|+ |y|2⇒ (|x| − |y|)2 ≤ (x+ y)2 ≤ (|x|+ |y|)2⇒

∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x+ y| ≤

∣∣|x|+ |y|∣∣ = |x|+ |y|.

�

12.6 Binomikertoimet ja binomikaava 185

12.6 Binomikertoimet ja binomikaava

Lasketaan joitakin binomina + b potensseja:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+ b)5 = a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

...

Nyt varmaan palautuvat mieleenPascalin kolmio(ranskalainen Blaise Pascal,1623-62)

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1...

ja binomikertoimet (n

k

)=

n!

k! (n− k)!

Miten nämä tarkemmin ottaen liittyvät toisiinsa?

Tehtävä 12.6.1Osoita, että binomikertoimille pätee yhtälö(n

k

)+

(n

k + 1

)=

(n+ 1

k + 1

).

Lause 12.6.2 (binomikaava)Olkoota ja b reaalilukuja jan ∈ N. Tällöin

(a+ b)n =

(n

0

)an +

(n

1

)an−1b+

(n

2

)an−2b2 + . . .+

(n

n− 1

)abn−1 +

(n

n

)bn

eli lyhyesti

(a+ b)n =

n∑

k=0

(n

k

)an−k bk.

Tehtävä 12.6.3Todista binomikaava vaikkapa induktiolla.

186 12 LUKUALUEET

12.7 Numeroituvuus

JoukoissaN, Z, Q ja R on kaikissa ääretön määrä alkioita. KuitenkinR selväs-ti poikkeaa joukoistaN, Z ja Q. Ero voidaan esittää Luvussa 11 määritellyillämahtavuus-käsitteillä: joukon mahtavuutta joukkoonN verrattuna mitataan käsit-teellä numeroituvuus.

Määritelmä 12.7.1 JoukkoA on numeroituva(countable, denumerable), jos onolemassa bijektioN → A. Joukko onkorkeintaan numeroituva(at most coun-table), jos se on äärellinen tai numeroituva.

Joukko onylinumeroituva(uncountable), jos se on ääretön, mutta ei numeroituva.

Numeroituvat joukot ovat siis yhtä mahtavia joukonN kanssa.

Esimerkki 12.7.2 Esimerkin 11.1.5 joukkoA := {2, 4, 6, 8, . . .} on numeroituva.

Esimerkki 12.7.3 Kokonaislukujen joukkoZ on numeroituva, sillä funktiof :N → Z, joka määritellään

f(1) = 0,f(2k) = k, k = 1, 2, 3, . . .

f(2k+1) = −k, k = 1, 2, 3, . . .

on bijektio. Funktiof antaa tavan esittääZ luettelona

Z = {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, . . .}.

Numeroituva joukko on siis ääretön, mutta sen alkiot voidaan asettaa jonoksi jaesittää luettelona{a1, a2, a3, . . .}. Tällä luettelolla ei ole välttämättä mitään teke-mistä alkioiden suuruusjärjestyksen kanssa.

Huomautus 12.7.4a) Esimerkin 12.7.3 ideaa käyttäen: kahden numeroituvanjoukon yhdiste on numeroituva: JosA := {a1, a2, a3, . . . } jaB := {b1, b2, b3, . . . },niin

A ∪ B = {a1, b1, a2, b2, a3, b3, . . . }on selvästikin numeroituva. Huomaa, että joukon luetteloesityksessä voi esiintyäsamoja lukuja, mutta siinä on kuitenkin ääretön määrä eri lukuja.

b) Joskus puhutaan myösnumeroituvasti äärettömistäjoukoista, erityisesti silloinkun ’numeroituvuus’ määritellään enintään yhtämahtavuutena joukonN kanssa.Silloin ’numeroituva’ tarkoittaakin äärellistä tai numeroituvasti ääretöntä.

12.7 Numeroituvuus 187

Esimerkki 12.7.5 NäytetäänCantorin ensimmäisellä diagonaalimenetelmällä,että tulojoukkoN× N on numeroituva:

1 2 3 4 · · ·1 (1, 1) → (1, 2) (1, 3) → (1, 4) · · ·

ւ ր ւ2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) · · ·

↓ ր ւ3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) · · ·

ւ4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) · · ·

...

Koska joukonN × N alkiot voidaan esittää luettelona, niin myös joukonQ+ :={ m

n| m,n ∈ N } alkiot voidaan esittää luettelona.Q+ on siis numeroituva:

Q+ = {11, 12, 21, 31, 13, 14, 23, . . . } = {1, 1

2, 2, 3, 1

3, 14, 23, . . . }.

Tästä saadaan eräs tapa esittää koko rationaalilukujen joukko luettelona:

Q = {0, 1,−1, 12,−1

2, 2,−2, 3,−3, 1

3,−1

3, 14,−1

4, 23, . . . }.

On siis osoitettu:

Lause 12.7.6Rationaalilukujen joukkoQ on numeroituva.

Lause 12.7.7Reaalilukuväli[0, 1] on ylinumeroituva.

Todistus.Jokainen joukon[0, 1] nollasta poikkeava alkio voidaan esittää yksikäsit-teisellä tavalla päättymättömänä desimaalilukuna, jossaon ääretön määrä nollastapoikkeavia desimaaleja (ks. Huomautus 12.4.5).

Lienee selvää (miksi?), että väli[0, 1] ei ole äärellinen, joten jos se ei ole ylinu-meroituva, sen on oltava numeroituva.

Antiteesi:Väli I := [0, 1] on numeroituva joukko.Silloin välin I luvut voidaan esittää jononax1, x2, x3, . . . . Niiden päättymättömätdesimaaliesitykset olkoot

x1 = 0, a11 a12 a13 a14 . . .x2 = 0, a21 a22 a23 a24 . . .x3 = 0, a31 a32 a33 a34 . . .x4 = 0, a41 a42 a43 a44 . . .

...

188 12 LUKUALUEET

Nk. Cantorin toisella diagonaalimenetelmällänähdään, että yllä oleva luettelo eivoi sisältää kaikkia välin]0, 1] reaalilukuja:

Muodostetaan lukuy := 0, b1 b2 b3 b4 . . . , missä0 < bi ≤ 9, i = 1, 2, 3, . . . jabi 6= aii.

Tällöin 0 < y ≤ 1. Toisaalta esitysten yksikäsitteisyyden perusteellay 6= xi millätahansai = 1, 2, 3, . . . , sillä lukujeni:nnet desimaalit ovat erilaisia.

Siis y ei ole luettelossax1, x2, x3, . . . . Näin ollen kaikki välin]0, 1] luvut sisältä-vää luetteloa ei ole olemassa. �

Suoraan edellisestä lauseesta seuraa:

Lause 12.7.8ReaalilukujoukkoR on ylinumeroituva.

Esimerkki 12.7.9 Väli [2, 4] on ylinumeroituva, sillä välit[0, 1] ja [2, 4] ovat yhtämahtavia. Funktiof : [0, 1] → [2, 4], f(x) := 2x+ 2 on nimittäin bijektio.

Huomioita

• RationaalilukujoukkoQ on numeroituva ja reaalilukujoukkoR ylinumeroi-tuva.R on aidosti mahtavampi kuinQ.

• JosA = {a1, a2, . . . } on joukko, niinA ei edusta mielivaltaista joukkoa,vaan mielivaltaistanumeroituvaajoukkoa. Ei siis voida merkitä esimerkiksiR = {x1, x2, x3, . . . }.

• Reaalilukuja havainnollistetaan lukusuoran avulla. Rationaaliluvut ovatti-heässälukusuoralla, ts. kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrärationaalilukuja. Edelleen kahden reaaliluvun välissä onaina ääretön mää-rä irrationaalilukuja (Analyysit) ja kahden irrationaaliluvun välissä äärettö-mästi rationaalilukuja . . .

Hassua, eikö? Esiintyvätkö rationaali- ja irrationaaliluvut siis lukusuorallavuoron perään?

• Irrationaalilukujen joukkoR \Q on ylinumeroituva.

Perustelu.Antiteesi:R \Q on numeroituva. TällöinR = Q ∪ (R \Q) olisinumeroituvien joukkojen yhdisteenä numeroituva.

• Vieläkin mahtavampia joukkoja kuinR on olemassa, esimerkiksi sen po-tenssijoukko (vrt. Luku 11).

12.8 Kompleksiluvut 189

12.8 Kompleksiluvut

Esimerkiksi yhtälölläx2 = −1 ei ole reaalista ratkaisua. Tilkitäksemme tämänvalitettavan puutteen voimme edelleen laajentaa lukujoukkoja ottamalla käyttöönkompleksiluvut. Näiden käyttö on osoittautunut vielä paljon hyödyllisemmäksikuin pelkästään yhtälöiden ratkeamisen varmistaminen.

Määritelmä 12.8.1 Reaalilukuparia(x, y) ∈ R × R sanotaankompleksiluvuksi(complex number) ja kaikkien näiden parien joukkoakompleksilukujen joukoksi

C := R× R = { (x, y) | x ∈ R, y ∈ R }

Josz = (x, y), niin reaalilukuax sanotaan kompleksiluvunz reaaliosaksi(realpart) ja reaalilukuay imaginaariosaksi(imaginary part).Näitä merkitään Rez := x ja Imz := y.

Kaksi kompleksilukuaz1 = (x1, y1) ja z2 = (x2, y2) ovatsamat, josx1 = x2 jay1 = y2, siis silloin kun niillä on sama reaaliosa ja sama imaginaariosa.

Tulkitsemalla kompleksiluvutxy-tason pisteiksi saadaankompleksitaso(complexplane), jossax-akseli onreaaliakseli(real axis) ja y-akseli onimaginaariakseli(imaginary axis).

Kompleksilukuz on reaalinen, jos Imz = 0, ja imaginaarinen, jos Imz 6= 0. JosRez = 0 ja Imz 6= 0, niin luku onpuhtaasti imaginaarinen(purely imaginary).

Reaaliselle kompleksiluvulle eli reaaliluvulle voidaan käyttää merkinnän(x, 0)sijasta merkintääx.

Kompleksilukujen joukossaC määritellään laskutoimitukset

Yhteenlasku: (x1, y1) + (x2, y2) := (x1+x2, y1+y2)

Kertolasku: (x1, y1) · (x2, y2) := (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).

Näin määritellyt yhteenlasku ja kertolasku todella ovat laskutoimituksia (ks. Luku9.2) kompleksilukujen joukossa, siis hyvin määriteltyjä funktioitaC × C → C,koska tulokset ovat selvästikin määriteltyjä ja yksikäsitteisiä kompleksilukuja kai-killa (x1, y1), (x2, y2) ∈ C.

Tehtävä 12.8.2Näytä, että kompleksilukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat vaih-dannaisia, so. kaikilla(x1, y1), (x2, y2) ∈ C on

(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1),

(x1, y1) · (x2, y2) = (x2, y2) · (x1, y1).

190 12 LUKUALUEET

Lause 12.8.3Kompleksilukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat liitännäisiä, ts.z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 ja z1(z2z3) = (z1z2)z3 kaikilla z1, z2, z3 ∈ C.

Todistus. Yhteenlaskun liitännäisyys on harjoitustehtävä. Kertolaskun liitännäi-syys: Olkootz1, z2, z3 ∈ C, zi = (xi, yi). Silloin

(x1, y1) ·((x2, y2) · (x3, y3)

)= (x1, y1) · (x2x3 − y2y3, x2y3 + x3y2)(

(x1, y1) · (x2, y2))· (x3, y3) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) · (x3, y3)

Lasketaan näille merkintöjen selvyyden vuoksi koordinaatit erikseen:1) Ensimmäisen ja toisen ensimmäisiksi koodinaateiksi saadaan

x1(x2x3 − y2y3)− y1(x2y3 + x3y2) = x1x2x3 − x1y2y3 − y1x2y3 − y1x3y2,

(x1x2 − y1y2)x3 − (x1y2 + x2y1)y3 = x1x2x3 − y1y2x3 − x1y2y3 − x2y1y3,

jotka selvästikin ovat sama reaaliluku.2) Toisiksi koordinaateiksi saadaan niinikään

x1(x2y3 + x3y2) + y1(x2x3 − y2y3) = x1x2y3 + x1x3y2 + y1x2x3 − y1y2y3,

(x1x2 − y1y2)y3 + (x1y2 + x2y1)x3 = x1x2y3 − y1y2y3 + x1y2x3 + x2y1x3,

siis sama luku. �

Edellä on vapaasti käytetty myös reaalilukujen osittelulakeja. Osittelulait ovat voi-massa myös kompleksiluvuille (harjoitustehtävä):

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 ja (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 kaikilla z1, z2, z3 ∈ C.

Kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestystä, joka olisi yhteensopiva reaalilu-kujen luonnollisen järjestyksen kanssa.

Normaalimuoto

Kompleksilukujen kertolaskun määritelmän mukaan

(0, 1) · (0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.

Kompleksilukuai := (0, 1) sanotaanimaginaariyksiköksi(imaginary unit) ja silleon siis voimassa

i2 = −1.

Kompleksilukuz = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) voidaan esittää nyt ns.normaali-muodossa(normal form)

z = x+ iy, missäx, y ∈ R.

12.8 Kompleksiluvut 191

Kompleksiluvuilla voidaan laskea normaalimuodossa käyttämällä reaalilukujenlaskusääntöjä ja ottamalla huomioon, ettäi2 = −1:

Josz1 = x1 + iy1 ja z2 = x2 + iy2 ovat normaalimuotoja, niin ovat myös summaja tulo

z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2),

z1 · z2 = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + y1x2).

Esimerkki 12.8.4 Yhteen- ja kertolaskua normaalimuodossa:

(−2 + i4) + (3− i2) = 1 + i2

(−2 + i4)(3− i2) = −6 + i4 + i12− i28 = 2 + i16

Normaalimuotoisen kompleksiluvunz = x+ iy 6= 0 käänteislukuon

z−1 =1

z=

1

x+ iy=

x− iy

(x+ iy)(x− iy)=

x− iy

x2 + y2=

x

x2 + y2− i

y

x2 + y2.

Tehtävä 12.8.5Todenna, ettäz · 1z= 1 kaikilla z ∈ C \ {0}.

Esimerkki 12.8.6 Lasketaan kompleksiluvunz := 2 − i käänteisluku ja senreaali- ja imaginaariosat:

1

2− i=

2 + i

(2− i)(2 + i)=

2 + i

22 − i2=

2 + i

4 + 1=

2

5+ i

1

5.

Täten Rez = 25

ja Imz = 15.

Kompleksilukujen jakolaskumääritellään käänteisluvulla kertomisena:

z

w:= z · w−1

kaikilla z ∈ C, w ∈ C \ {0}.

Esimerkki 12.8.7 Lasketaan kompleksilukujen osamäärä:

3 + i

1− i=

(1 + i)(3 + i)

12 − i2=

1

2(3 + i+ 3i+ i2) =

1

2(2 + 4i) = 1 + 2i.

192 12 LUKUALUEET

Esitysmuoto tason vektorina

Kompleksilukuz voidaan tulkita tason vektoriksi, joka on pisteestä(0, 0) = 0alkavan ja pisteeseenz = (x, y) = x+ iy päättyvän suuntajanan määräämä.

Määritelmä 12.8.8 Olkoonz = x+ iy kompleksiluku (ks. Kuva 64).a) Luvunz moduli(modulus, module) eli itseisarvoon

|z| :=√

x2 + y2.

b) Luvunz argumenttieli vaihekulma(argument) arg z on kulmaϕ, jonka mää-rittelevät yhtälöt

cosϕ =x√

x2 + y2ja sinϕ =

y√x2 + y2

.

ϕx

y|z|

z = x+iy

0

Kuva 64: Kompleksiluvunz esitys tasossa

c) Kompleksiluvunz = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti(complex con-jugate) on kompleksiluku (Kuva 65)

z = x− iy.

ϕx

y|z|

z = x+iy

z = x-iy_

−ϕ

Kuva 65: Liittoluvun geometrinen tulkinta

12.8 Kompleksiluvut 193

ϕz

z_

α

(-2,2)

(-2,-2)

Kuva 66: Lukujenz := −2 + i2 ja z = −2− i2 vaihekulmat

Esimerkki 12.8.9 Olkoonz := −2 + i2. Laske|z|, arg z ja arg z.

Ratkaisu. Ks. Kuva 66.

Saadaan

|z| =√

(−2)2 + 22 =√8 = 2

√2,

arg z = ϕ =π

2+

π

4=

3π

4,

arg z = α = π +π

4=

5π

4.

Esimerkki 12.8.10 Olkoonz1 := 4 + i2, z2 := −2 + i3. Näiden erotus on

z1 − z2 = 4 + i2− (−2 + i3) = 6− i.

Moduliksi saadaan|z1 − z2| =

√62 + 12 =

√37,

mikä on pisteiden(4, 2) ja (−2, 3) välinen etäisyys (ks. Kuva 67).

z2

z1-z2

z1

I

R

(4,2)(-2,3)

z1-z2

-z2

0 (6,-1)

Kuva 67: Lukujenz1 = 4 + i2 ja z2 = −2 + i3 erotus

194 12 LUKUALUEET

Itseisarvon eli modulin geometrinen merkitys on yleisestikin

|z| on pisteenz etäisyys origosta|z1 − z2| on pisteidenz1 ja z2 välinen etäisyys.

Esimerkki 12.8.11 Millä kompleksiluvuilla pätee|z| = 2, ts. mikä on joukko{ z ∈ C

∣∣ |z| = 2 }?

Ratkaisu. Olkoonz = x+ iy. Tällöin

|z| =√

x2 + y2 = 2 ⇔ x2 + y2 = 22.

Joukko{ z ∈ C∣∣ |z| = 2 } on siis2-säteinen origokeskinen ympyrä (Kuva 68).

2

|z|=2

Kuva 68: Yhtälön|z| = 2 ratkaisu

Esimerkki 12.8.12 Mille kompleksiluvuille on voimassa yhtälöz2 = |z|2?Ratkaisu. Olkoonz = x+ iy normaaliesitys. Silloin

z2 = x2 − y2 + 2xyi,

|z|2 = x2 + y2.

Vertaamalla imaginaariosia saadaanx = 0 tai y = 0. Reaaliosien perusteella taas:josx = 0, niin myösy = 0. Jos taasy = 0, saax olla mitä hyvänsä. Täten kaikkireaaliluvut ja vain ne toteuttavat yhtälön.

Lause 12.8.13Olkootz = x+ iy, z1 ja z2 kompleksilukuja. Tällöin

a) (z) = z,

b) z1 + z2 = z1 + z2

c) z1z2 = z1 · z2

12.8 Kompleksiluvut 195

d)

(1

z

)=

1

z

e) |z1z2| = |z1||z2|

f)

∣∣∣∣z1z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

g) |z|2 = z · z = x2 + y2

h) x = 12(z + z) ja y = 1

2i(z − z).

Todistus. Todistetaan tässä kohta c), muut kohdat todistetaan vastaavaan tapaan.Merkitäänz1 = x1 + iy1 ja z2 = x2 + iy2. Tällöin

z1 · z2 = (x1 − iy1)(x2 − iy2)

= x1x2 − ix1y2 − ix2y1 + i2y1y2

= x1x2 − y1y2 − i(x1y2 + x2y1)

= z1z2.

�

Napakoordinaattiesitys

Tason pisteen(x, y) ∈ R napakoordinaattiesityson{

x = r cosϕy = r sinϕ,

missär =√x2 + y2 on etäisyys origosta jaϕ on pisteen(x, y) vaihekulmaeli

kulma x-akselin pisteestä(√

x2 + y2, 0) pisteeseen(x, y) vastapäivään. Tällöinarvoillaϕ ∈

]−π

2, π2

[pätee

ϕ = arc tany

x.

Vastaavasti, jos kompleksiluvunz = x + iy moduli on |z| = r ja argumenttiarg z = ϕ, niin x = r cosϕ ja y = r sinϕ. Täten kompleksiluvullaz on napa-koordinaattiesitys

z = r(cosϕ+ i sinϕ).

Esimerkki 12.8.14 Määritetään luvunz := 2 + i napakoordinaatit. Nyt

r =√22 + 12 =

√5.

196 12 LUKUALUEET

Vaihekulmalleϕ onx = r cosϕ ja y = r sinϕ, joten saadaan yhtälöt

cosϕ =x

r=

2√5

ja sinϕ =y

r=

1√5.

Jakamalla oikeanpuoleinen yhtälö vasemmanpuoleisella saadaan

tanϕ =1

2.

Kulmaksiϕ saadaanϕ = arc tan 12≈ 0.464 radiaania eli asteina360 · arc tan 1

2

2π≈

26.6.

Eulerin ja de Moivren kaavat

MääritelläänEulerin kaava(sveitsiläinen Leonhard Euler, 1707 - 1783)

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ

jaez = ex+iy = exeiy = ex(cos y + i sin y).

Näin määritelty kompleksinen eksponenttifunktio noudattaa reaalisen eksponent-tifunktion laskusääntöjä.

Eksponenttifunktion avulla saadaan kompleksiluvullez toinen napakoordinaattie-sitysmuoto (ks. Kuva 69)

z = reiϕ = |z|ei arg z.

iz = x + iy = re

y

x

-z = rei(- + )

-z = rei( + ) -i

z = x - iy = re

> 0

i

1

r

-

Kuva 69: Kompleksilukuja tasossa

Kompleksilukujen aritmetiikkaa(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/KompleksiAritmetiikkaa.htm

12.8 Kompleksiluvut 197

Esimerkki 12.8.15 Olkoonz := 1 + i. Lasketaan moduli ja argumentti:

|z| = r =√12 + 12 =

√2,

arg z = ϕ = arccos1√2=

π

4.

Nyt z saadaan muotoon

z = 1 + i =√2ei

π4 =

√2(cos

π

4+ i sin

π

4

).

Olkoon nyt|z| = r = 1. Tällöin kompleksiluvullaz on esitykset

z = cosϕ+ i sinϕ = eiϕ,

joten korottamalla potenssiinn saadaan (ks. Kuva 70)

zn = (cosϕ+ i sinϕ)n =(eiϕ)n

= einϕ.

z

zn

ϕϕn

Kuva 70: Kompleksiluvun potenssizn, kun |z| = 1

Toisaalta Eulerin kaavan mukaan kulman arvollanϕ pätee

einϕ = cosnϕ + i sinnϕ.

Näin ollen saadaan nk.de Moivre’n kaava(ranskalainen Abraham de Moivre 1667- 1754)

(cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ + i sinnϕ.

198 12 LUKUALUEET

12.9 Kompleksinen 2. ja 3. asteen polynomiyhtälö

Voimme nyt jatkaa Luvun 7.2 tarkastelua.

Algebran peruslauseon reaalitapausta koskevan Lauseen 7.1.10 vahvennus.

Lause 12.9.1 (algebran peruslause)Kompleksimuuttujan algebrallisella polyno-miyhtälöllä

anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0,

missäai, z ∈ C ja an 6= 0, on aina täsmälleenn juurta, kun niiden kertaluvutotetaan huomioon.

Esimerkiksi yhtälöllä(z − 1)n = 0

on vain yksin-kertainen juuri1.

Esimerkki 12.9.2 Tarkastellaan kompleksimuuttujan toisen asteen algebrallistayhtälöä

z2 + z + 1 = 0.

Kokeillaan tuttua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Saadaan

z =−1 ±

√1− 4

2=

−1±√−3

2.

Merkitsemällä−3 = 3i2 ja kirjoittamalla√−3 = i

√3 voidaan arvella ratkaisujen

olevan

z =−1 ±

√1− 4

2=

−1± i√3

2.

Tarkistetaan vastaus sijoittamalla. Saadaan

(−1± i

√3

2

)2

+

(−1± i

√3

2

)+1 =

1

4(1+ 3i2 ∓ 2i

√3− 2± 2i

√3+ 4) = 0.

Siis luvut z = −1±i√3

2ovat ratkaisuja eikä algebran peruslauseen nojalla muita

ratkaisuja ole olemassa.

Esimerkki 12.9.3 (b) Tarkastellaan yleisesti kompleksimuuttujan toisen asteenalgebrallista yhtälöä

az2 + bz + c = 0,

12.9 Kompleksinen 2. ja 3. asteen polynomiyhtälö 199

missäa, b, c ∈ R ja b2 − 4ac < 0. Vastaavaan tapaan kuin edellä voidaan todeta,että kompleksiluvut

z =−b± i

√4ac− b2

2a

ovat erilliset ratkaisut. Algebran peruslauseen nojalla muita ratkaisuja ei ole.

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden yleiset ratkaisukaavat keksittiin jo1500-luvulla (keksijöinä italialaiset Niccolo Tartaglia(1499-1557) ja LudovicoFerrari) (1522-1565). Kaavat julkisti Cardano julkaisussaan Ars Magna 1545. Vii-dennen asteen yhtälön ratkaisukaavaa etsittiin innolla kunnes norjalainen NielsHenrik Abel (1802-1829) todisti vuonna 1824, että yleistä ratkaisukaavaa ei voiolla olemassa!

Korkeamman asteen polynomien eksaktien nollakohtien löytäminen onkin useinmahdotonta ja on tyydyttävä numeerisen analyysin antamiinnollakohtien likiar-voihin.

Esimerkki 12.9.4 (Cardanon kaava) Kolmannen asteen reaalikertoimisen yhtä-lön

z3 + pz + q = 0, (8)

missäp, q ∈ R, ratkaisut saadaanCardanon kaavoilla

z1 =3

√− q

2+√

q2

4+ p3

27+

3

√− q

2−√

q2

4+ p3

27,

z2 =(−1

2+ i

√3

2

)3

√− q

2+√

q2

4+ p3

27+(−1

2− i

√3

2

)3

√− q

2−√

q2

4+ p3

27,

z3 =(−1

2− i

√3

2

)3

√− q

2+√

q2

4+ p3

27+(−1

2+ i

√3

2

)3

√− q

2−√

q2

4+ p3

27.

Cardanon kaava on historiallisesti merkittävä, sillä se onensimmäisiä tuloksia,jotka sisältävät negatiivisen luvun neliöjuuren.

13 Parametrikäyrät ja vektorifunktiot

Lopuksi tutkiskelemme yhden ja kahden muuttujan vektoriarvoisia funktioita.Edellisistä hyviä esimerkkejä ovatparametrikäyrätja jälkimmäisen erääseen eri-koistapaukseen tutustuimme Luvussa 9.1, nimittäin kun havainnollistimme kah-den muuttujan funktiota kolmiulotteisessa koordinaatistossa.Useamman muuttu-jan funktio ja vektorifunktio ovat yksinkertaisesti funktiota, joiden lähtöjoukkotai maalijoukko ovat aivan erityistä tyyppiä.

Yleinenn:n muuttujan funktiotarkoittaa funktiotaA → B, missä lähtöjoukkoAon jonkinn-ulotteisen tulojoukon epätyhjä osajoukko ja maalijoukkoB jokin epä-tyhjä joukko. Jos myös tämä maalijoukko on tulojoukko tai sellaisen osajoukko,funktiota sanotaanvektoriarvoiseksitai vektorifunktioksi.

13.1 Parametrikäyrät

Tuttu tapa visualisoida yhden reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiotah : A → Ron piirtää euklidiseenxy-koordinaatistoon sen kuvaaja (ks. Luku 6.1), siis joukko

Gh := { (x, h(x)) | x ∈ A }.Tällöin funktio-ominaisuudesta seuraa, että muuttujan arvonx kasvaessa vastaavakuvaajan piste(x, h(x)) siirtyy vääjäämättä samaan suuntaan. Näin voidaan saadaaikaan vain hyvin erikoista tyyppiä olevia liikeratoja tasossa, ks. Kuva 71.

y

xx

(x, h(x))

xx

(x, h(x)) y

Kuva 71: Funktion kuvaaja ja eräs hankalampi tasokäyrä

Vaikeus voitetaan sallimalla vapaampi liike myösx-suunnassa. Tämä käy siirty-mällä aitoon vektoriarvoiseen funktioon, ts. ottamalla käyttöön kaksi reaalifunk-tiota f ja g, joista syntyy järjestetty pariH := (f, g). Näistäf säätää funktionarvonx-koordinaattia jag seny-koordinaattia, joten voimme kirjoittaa

H :

{x = f(t),y = g(t),

t ∈ I,

13.1 Parametrikäyrät 201

missäI on sopiva reaalinenparametrijoukko. Syntyneen vektoriarvoisen funktionH : I → R2,

H(t) = (f(t), g(t))

kuvapisteiden koordinaattifunktioita sanotaankomponenteiksitai komponentti-funktioiksi.

On selvää, että jokaisen yhden muuttujan reaalifunktiong : A → R relaatio-tulkinta voidaan esittää Kuvan 71 osoittamalla tavalla vektorifunktiona, nimittäinvalitsemallaf := Id ja I = A.

Esimerkki 13.1.1 Neliöfunktioh : R → R, h(x) := x2, parametrisoituu valitse-mallaf(t) := t ja g(t) := h(t) = t2, ks. Kuva 72.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

–3 –2 –1 1 2 3x –3

–2

–1

0

1

2

3

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9x

Kuva 72: Paraabeli ja sen käänteisrelaatio parametrikäyrinä

Esimerkki 13.1.2 Neliöjuuren päähaara eli positiivinen puolih : [0,∞[ →[0,∞[, h(x) :=

√x, saadaan niinikään suoraan valitsemallaf(t) := t ja g(t) :=

h(t) =√t, parametrivälinäI := [0,∞[.

Neliöfunktion koko käänteisrelaatio sen sijaan saadaan valitsemallaf(t) := t2 jag(t) := t, ks. Kuva 72.

Tehtävä 13.1.3Mitkä ovat sopivat parametrivälit Esimerkkien 13.1.1 ja 13.1.2 jakuvan 72 tapauksissa?

Esimerkki 13.1.4 Kahta tason pistettä(x1, y1) ja (x2, y2) yhdistävä jana voidaanparametrisoida esimerkiksi seuraavasti: valitaan parametriväliksi I := [0, 1] jafunktioiksi x, y : I → R:

x(t) := x1 + (x2 − x1)t,

y(t) := y1 + (y2 − y1)t.

202 13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT

Huomaa, että näin saadaan myös pystysuorassa olevat janat!

Pieni ongelmanpoikanen kätkeytyy tähän sinänsä näppäräänesitystapaan: samakuvaaja saadaan aikaan useilla erilaisilla parametriesityksillä. Kun on piirrettävätietty tasokäyrä, siis relaatio tai kuvaaja, valitaan sopiva käyränparametrisointi,ts. kaksi reaalifunktiota ja parametriväli. Edelleen, mm.jaksollisten komponentti-funktioiden tapauksessa piirto voi tapahtua useaan kertaan paramerivälin aikana,eikä se näy tuloskäyrästä mitenkään. Tässä voi olla apua dynaamisista kuvioista,joissa piirto näkyy silloin kun se tapahtuu.

Tasokäyrien parametriesityksiä(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJ ohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/KayranParametriEsitys.htm

Tehtävä 13.1.5Koeta keksiä edellä olleille Esimerkeille 13.1.1 ja 13.1.2muun-laisia parametriesityksiä.

Esimerkki 13.1.6 Ympyräesimerkissä 6.1.4

{x = cos t,y = sin t

saadaan ylempi puoliympyrä parametrint määrittelyvälilläI = [0, π] ja täysi ym-pyrä välilläI = [0, 2π], ks. Kuvat 73. Täsmälleen sama staattinen kuvio saadaanympyrälle millä tahansa laajemmalla parametrivälillä kuin [0, 2π].

-1

1

1

t

y

x(t)

0 π

x

y(t)

(x(t), y(t))-1

-1

1

1

t

y

x(t)

0 2ππ

x

y(t)(x(t), y(t))

Kuva 73: Puoliympyrän ja ympyrän kehän muodostuminen parametrikäyrinä

Tehtävä 13.1.7Mikä on sopiva parametriväli ympyräesimerkissä 13.1.6, kun ha-lutaan piirtää origokeskinen ympyränkaari pisteestä(0, 1) pisteeseen(−1, 0) ?

13.1 Parametrikäyrät 203

Mielivaltainen origokeskinenr-säteinen ympyrä saadaan myös helposti:{

x = r cos t,y = r sin t,

t ∈ [0, 2π].

Tehtävä 13.1.8Kuinka saadaanr-säteinen(x0, y0)-keskinen ympyrä?

Esimerkki 13.1.9 Ellipsi saadaan pienellä muunnoksella ympyrän esityksestä:jos ellipsin puoliakselit ovata ja b, niin origokeskiselle ellipsille saadaan esitys

{x = a cos t,y = b sin t,

t ∈ [0, 2π].

Tehtävä 13.1.10Muodosta origokeskisen hyperbelin parametriesitys (vihje: Lu-ku 8.4).

Monia muita mielenkiintoisia kuvioita saadaan aikaan sinin ja kosinin avulla.

Esimerkki 13.1.11 Sykloidion parametrikäyrä{

x = a(t− sin t),y = a(1− cos t),

jonka ympyrän kehän piste piirtää, kuna-säteinen ympyrä pyörii pitkinx-akselialiukumatta, ks. Kuva 74.

0

0.40.81.21.6

2

y

2 4 6 8 10x

Kuva 74: Sykloidin piirtää kiinteä ympyrän piste

Tehtävä 13.1.12Selvitä pienin parametriväli, jolla sykloidin yksi ylöspäin kupe-ra kaarenpätkä saadaan.

Esimerkki 13.1.13 Episykloidion parametrikäyrä (ks. Kuva 75){

x = (a + b) cos t− b cos((a + b)t/b),y = (a + b) sin t− b sin((a+ b)t/b),

t ∈ [0, 2π].

204 13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT

–6

–4

–2

0

2

4

6

y

–6 –4 –2 2 4 6x

–6

–4

–2

0

2

4

6

y

–6 –4 –2 2 4 6x

Kuva 75: Episykloidi ja hyposykloidi

Esimerkki 13.1.14 Hyposykloidion parametrikäyrä (ks. Kuva 75)

{x = (a− b) cos t + b cos((a− b)t/b),y = (a− b) sin t− b sin((a− b)t/b),

t ∈ [0, 2π].

Esimerkki 13.1.15 Astroidion parametrikäyrä (ks. Kuva 76)

{x = a cos3 t,y = b sin3 t,

t ∈ [0, 2π].

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Kuva 76: Astroidi

Eräs tapa muodostaa tasokäyriä on käyttäänapakoordinaattiesitystämuodossaΓ : φ 7→ (φ, r(φ))p (p niinkuin polar), missäφ ∈ I, I parametriväli. Kuvaa-jan pisteΓ(φ) asettuu siis etäisyydeller(φ) origosta alkavalla puolisuoralla, jonka

13.1 Parametrikäyrät 205

kiertokulma positiivisenx-akselin suhteen onφ. Käyrän pisteen suorakulmaisetkoordinaatit ovat silloin

Γ(φ) =

{x = r(φ) cosφ,y = r(φ) sinφ,

φ ∈ I.

Tehtävä 13.1.16Yhdistä seuraavat määrittelyt Kuvaan 77: 1)r = φ, 2) r = 1/φ,3) r = ln(1 + φ), 4) r = sin 4φ, 5) r = sinφ, 6) r = 1− cosφ.

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

–0.2 0.2 0.4

–3

–2

–1

0

1

2

–2 –1 1 2 3

–1

–0.5

0

0.5

1

–2 –1.5 –1 –0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–0.4 –0.2 0.2 0.4

–4

–3

–2

–1

1

–2 2 4 6

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

Kuva 77: Käyriä napakoordinaattipiirroksina

206 13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT

13.2 Vektorifunktiot

Kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio rakentuu tietysti kahdesta (tai useam-masta) kahden muuttujan komponenttifunktiostaf : A → U ja g : A → V,missäA ⊆ X ×Y ja U ja V joukkoja. YhdistelmäH := (f, g) on siten funktioA → U×V.

Tarkastelemme tässä vain muutamia esimerkkejä reaalisista vektorifunktioista, ts.H = (f, g) : A → R2, missäA ⊆ R2 ja f ja g funktioitaA → R.

Esimerkki 13.2.1 Seuraavat ovat koko tasossa määriteltyjä funktioita tasoon, siisHk : R

2 → R2:

a)H1(x, y) = (f1(x, y), g1(x, y)) = (5,−2)

b)H2(x, y) = (f2(x, y), g2(x, y)) = (x, 1)

c) H3(x, y) = (f3(x, y), g3(x, y)) = (x− y, y − x)

d)H4(x, y) = (f4(x, y), g4(x, y)) = (y, x)

e)H5(x, y) = (f5(x, y), g5(x, y)) = (x+ y, x− y)

f) H6(x, y) = (f6(x, y), g6(x, y)) = (2x+ y, 3x− 2y)

H1 on vakiofunktio, se kuvaa koko tason yhteen pisteeseen.H2 on vakio toisenmuuttujan ja myös toisen komponentin suhteen. Se projisoi koko tason kohtisuo-raan suoralley = 1. H3 kuvaa koko tason suoraksi; kokeile vaikka! Mikä on tuosuora, miten asia perustellaan?H4 peilaa tason suorany = x suhteen.

H4, H5 jaH6 ovat bijektioita tasosta tasoon (ks. Lineaarialgebra).

Tehtävä 13.2.2Kuvassa 78 näkyy kuinka osa Esimerkin 13.2.1 funktioistaHk

kuvaavat yksikköympyrän oikeapuoleiseen tasoon. Selvitämikä mikin on.

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

Kuva 78: Kuinka funktiot kuvaavat ympyrän

13.2 Vektorifunktiot 207

Vektorifunktion havainnollistamisesta

Staattisilla kuvilla on vaikea kuvata kahden muuttujan vektorifunktioita. Niidentoimintaa voi kuitenkin havainnollistaa näyttämällä miten ne tasoa deformoivat taitransformoivat eli muuntavat, toisin sanoen kuinka erilaiset tason osat kuvautuvat.Usein on helppo tutkia kuinka esimerkiksi tietynlaiset käyrät (suorat, ympyrät,neliöt) kuvauksessa muuntuvat. Kuinka Kuvan 78 sisällöt onpiirretty? Maple-ohjelmalla lähtöpuolen yksikköympyrä piirretään helposti näin:

[> restart: with(plots): with(plottools): # nollataan mui sti, ladataan piirtopaketit[> alue := [-4..4, -4..4]; # piirtoalueen määrittely[> plot([cos(t), sin(t), t = 0..2 * Pi], scaling = constrained, view = alue); # parametrikäyrän piirto

Edellisen ympyrän kuvajoukot on piirretty toiseen (erilliseen) kuvaan, aluksi ku-kin erikseen ja lopuksi yhdistämällä yhdeksi kuvaksi. Tässä vain esimerkkinä kah-den funktion kuvat yksikköympyrästä:

[> H7 := (x, y) -> [x - 2 * y, 2 * x + 3 * y]; # määritellään funktiot[> H8 := (x, y) -> [sin(x - 2 * y), 2 * x + 3 * y]; # ja piirretään, talletetaan ja yhdistetään[> plot([op(H7(cos(t), sin(t))), t = 0..2 * Pi], scaling = constrained, color = black);[> plot([op(H8(cos(t), sin(t))), t = 0..2 * Pi], scaling = constrained, color = cyan);[> H7kuva := plot([op(H7(cos(t), sin(t))), t = 0..2 * Pi], scaling = constrained, color = black):[> H8kuva := plot([op(H8(cos(t), sin(t))), t = 0..2 * Pi], scaling = constrained, color = cyan):[> display(H7kuva, H8kuva, view = alue);

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

Kuva 79: Lisää yksikköympyrän kuvia

208 13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT

Paremmin onnistumme havainnollistamisessa käyttämällä dynaamisia kuvioita,vaikka piirtäisimme tulokset samaan kuvaankin; pitää tulkita niin, että lähtö- jamaalijoukko ovat päällekkäin.

Lineaaristen perusfunktioiden visualisointeja(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/

matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/

Kurssimateriaali/applet/LineaarisetPerusfunktiot.ht m

Lopuksi kuvataan erästä kompleksimuuttujan kompleksiarvoista funktiota, jokavoidaan tietysti tulkita kahden muuttujan vektorifunktioksi.

Eräs kompleksifunktio(JavaSketchpad)http://cs.uef.fi/mathematics/MathDistEdu/SemProd/Mo ebius.htm

13.2 Vektorifunktiot 209

HakemistoA+, 21[n], 21#, 33, 166C, 21N, 21N0, 21Q, 21R, 21Z, 21ℵ0, 163card , 163c, 167P, 25a-kantainen eksponenttifunktio, 107a-kantainen logaritmifunktio, 107e-kantainen logaritmi, 106n:s juurifunktio, 99

Abel, Niels Henrik, 199aidosti kasvava, 79aidosti mahtavampi, 160aidosti vähenevä, 79aito järjestys, 61aito osajoukko, 23aksiomaattinen määritelmä, 140aksiomaattinen määrittely, 180aksiooma, 140alaraja, 62alaspäin kupera, 83algebrallinen funktio, 88algebrallinen yhtälö, 93algebralliset reaaliluvut, 182algebran peruslause, 198alhaalta rajoitettu funktio, 82alhaalta rajoitettu joukko, 62alkeisfunktiot, 89alkio, 20alkukuva, 85

alkukuvajoukko, 46, 72antisymmetrisyys, 54antiteesi, 152apulause, 142arabialaiset numeromerkit, 180areahyperbolinen kosini (päähaara), 128areahyperbolinen kotangentti, 128areahyperbolinen sini, 128areahyperbolinen tangentti, 128argumentti, 192arkuskosinin päähaara, 122arkuskotangentin päähaara, 122arkussinin päähaara, 121arkustangentin päähaara, 122arvojoukko, 46arvojoukko, funktion, 64aste, 90atomilause, 11avoin lause, 38

bijektio, 64binomikerroin, 185Boole, George, 18

Cantor, Georg, 35, 168Cantor-Schröder-Bernstein, 165Cantorin I diagonaalimenetelmä, 187Cantorin lause, 162Cantorin menetelmä, 180Cantorin toinen diagonaalimenetelmä, 188

de Moivre’n kaava, 197de Moivre, Abraham, 197de Morgan, Augustus, 18Dedekind, Richard, 180Dedekindin leikkaukset, 180desimaalilukumuoto, 181disjunktio, 11diskriminantti, 93

210

HAKEMISTO 211

edeltäjä, 169eksponenttifunktio, 104ekvivalenssi, 11ekvivalenssiluokka, 56ekvivalenssirelaatio, 55epätosi, 10erilliset joukot, 23erotus, joukkojen, 24Euler, Leonhard, 196Eulerin kaava, 196

Ferrari, Ludovico, 199Fibonacci, Leonardo, 149Fibonaccin luku, 149Fibonaccin lukujono, 149Fraenkel, Abraham, 35Frege, Gottlob, 35funktio, 52

Gödel, Kurt, 35

Hasse, Helmut, 59Hassen kaavio, 59Heaviside-metodi, 97hyperbolinen kosini, 126hyperbolinen kotangentti, 126hyperbolinen sini, 126hyperbolinen tangentti, 126hyperboliset funktiot, 126hyvin järjestetty, 63Hyvinjärjestämisaksiooma, 63

identtinen kuvaus, 71identtiset joukot, 22identtisyysrelaatio, 49imaginaariakseli, 189imaginaariyksikkö, 190implikaatio, 11induktiivinen, 148induktio-oletus, 144induktioaskel, 144induktioväite, 144

infimum, 62injektio, 64irrationaaliluvut, 181itseisarvo, 183, 192

jaettava (polynomit), 91jakaja (polynomit), 91jakojäännös (polynomit), 91jakolasku (C), 191jakso, 81jaksollinen, 81jaollisuus (polynomit), 91johdettu lause, 11johdonmukainen, 16johtopäätös, 16joukko, 20joukkojen mahtavuus, 160juurifunktio, 88järjestys, 60järjestys (Q), 178järjestys (Z), 174jäsenyysfunktio, 37

kahden muuttujan funktio, 130karakteristinen funktio, 37kardinaliteetti, 160karteesinen tulo, 24, 42kasvava, 79kertolasku (C), 189kertolasku (N), 171kertolasku (Q), 178kertolasku (Z), 174kertoma, 148kokonaisluvut, 174kolmioepäyhtälö, 184kompleksifunktio, 208kompleksikonjugaatti, 192kompleksiluku, 189kompleksilukujen joukko, 189kompleksiluvun imaginaariosa, 189kompleksiluvun käänteisluku, 191

212 HAKEMISTO

kompleksiluvun reaaliosa, 189kompleksitaso, 189komplementti, 24komponentti, 201komponenttifunktio, 201kompositio, 49konjektuuri, 142konjunktio, 11konkaavi, 83Kontinuumihypoteesi, 167konveksi, 83korkeampi transkendenttifunktio, 89korkeintaan numeroituva joukko, 186korkeintaan yhtä mahtava, 160korollaari, 142kosini, 113kultainen luku, 150kuva, 52, 64kuvaaja, 76kuvajoukko, 46, 72kuvaus, 52kvanttori, 38kymmenjärjestelmä, 180käänteisfunktio, 70käänteiskuvaus, 70, 85käänteisrelaatio, 47

laskutoimitus, 135lause, 10, 141lausefunktio, 38leikkaus, 23lemma, 142liittoluku, 192liitännäisyys, 136lineaarinen järjestys, 60logiikka, 10looginen yhtäpitävyys, 15luku, 168lukualue, 168lukumääräjoukko, 21lukusuora, 180

luonnollinen järjestys, 60luonnollinen logaritmi, 106luonnollisten lukujen joukko, 168lähtöjoukko, 45lähtöjoukko, funktion, 64

maalijoukko, 45maalijoukko, funktion, 64maksimaalinen alkio, 62matemaattinen induktio, 143matemaattinen malli, 143minimaalinen alkio, 62moduli, 192molekyylilause, 11moninkertainen nollakohta, (polynomit),

92monotonisuus, 79murtofunktio, 88murtolukumuoto, 181muuttuja, 52, 64määritelmä, 140määrittelyjoukko, 46

n-kertainen nollakohta (polynomit), 97napakoordinaattiesitys, 195Napier, John, 104negaatio, 11Neperin luku, 104nollakohta, (polynomit), 91nollapolynomi, 90normaalimuoto, 190numeroituva joukko, 186numeroituvasti ääretön joukko, 186

oletus, 16osajoukko, 22osamurtokehitelmä, 96osamäärä (polynomit), 91osittain järjestetty joukko, 61osittainen järjestys, 59osittelulaki, 136ositus, 58

HAKEMISTO 213

paikkajärjestelmä, 180parametrisointi, 202parillinen, 81pariton, 81Pascal, Blaise, 185Peano, Giuseppe, 168Peanon aksioomat, 168Peirce, Benjamin, 18perusjakso, 81perusjoukko, 22peruslause, 11pienin alkio, 62pienin yläraja, 62pistevieraat joukot, 23Polya, George, 147polynomi, 88, 90polynomien jakoyhtälö, 90polynomin aste, 90polynomin kerroin, 90potenssi (relaation), 51potenssifunktio, 102potenssijoukko, 25premissi, 16puhtaasti imaginaarinen, 189puoliryhmä, 51päättely, 16

R-ketju, 51radiaani, 112rajoitettu funktio, 82rajoitettu joukko, 62rajoitettu joukossa, 82rajoittuma, 64rationaalifunktio, 88rationaalifunktiot, 95rationaaliluvut, 178, 181ratkaisujoukko, 38reaaliakseli, 180, 189reaalifunktio, 76refleksiivisyys, 54rekursiivinen, 148

relaatio, 44Russell, Bertrand, 35

samuus, 22seuraaja, 168seuraus, 142sini, 113sisäfunktio, 67sitova, 16Skolem, Thoralf, 35suljettu muoto, 89sumea joukko, 37sumea logiikka, 19supremum, 62surjektio, 64suurin alaraja, 62suurin alkio, 62symmetrisyys, 54

Tartaglia, Niccolo, 199tautologia, 14tekijä (polynomit), 91teoreema, 141todistus, 142tosi, 10totaali järjestys, 60totaalisti järjestetty joukko, 61totuusarvotaulukko, 11transitiivisyys, 54transkendenttiluvut, 182transkendenttinen alkeisfunktio, 89transkendenttinen funktio, 89transkendenttiset alkeisfunktiot, 102trigonometriset funktiot, 114tulojoukko, 24, 42tyhjä joukko, 22täydellinen järjestys, 60täysi, 54täysin järjestetty joukko, 61

ulkofunktio, 67

214 HAKEMISTO

vaihdannaisuus, 136vaihekulma, 192, 195Valinta-aksiooma, 35vastaesimerkki, 154vastaoletus, 152Venn, John, 24Venn-diagrammi, 24von Neumann, 169vähenevä, 79väli, 21väritysongelma, 159

yhdiste, 23yhdistetty funktio, 67yhdistetty kuvaus, 67yhdistetty relaatio, 49yhteenlasku (C), 189yhteenlasku (N), 171yhteenlasku (Q), 178yhteenlasku (Z), 174yhtämahtavuus, 160yksikkökiekko, 32yksikkörelaatio, 49yksikköympyrä, 112ylhäältä rajoitettu funktio, 82ylhäältä rajoitettu joukko, 62ylinumeroituva joukko, 186yläraja, 62ylöspäin kupera, 83

Zadeh, Lotfi, 18Zermelo, Ernst, 35ZF-aksiomatiikka, 35Zorn, Max, 63Zornin lemma, 63

äärellinen joukko, 162ääretön joukko, 162äärimmäinen alkio, 62