matematika 1 teorija.docx

7/17/2019 Matematika 1 Teorija.docx

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-teorijadocx 1/33

Matematika I –TEORIJA



1.-Unarni veznik negacija iskaza p, je iskaz ”nije p”, koga oznacavamo sa ”¬p”.

Negacija tacnog iskaza je netacan iskaz i obrnuto, negacija netacnog iskaza je tacan iskaz.

-Konjukcija je binarni veznik. Konjukcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”, u oznaci ”p∧q”.Iskaz p∧q je tacan samo u slucaju da su istovremeno i p i q tacni iskazi.

-isjunkcija je binarni veznik. isjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p ili q”, u oznaci ”p∨q”.Iskaz p∨q je tacan iskaz ako je bar jedan od iskaza p i q tacan, odnosno on je netacan ako suoba iskaza netacni.

-Iskljucna disjunkcija ili ekskluzivna disjunkcija je binarni veznik. Iskljucna disjunkcijaiskaza p i q je iskaz ”ili p ili q” i oznacavamo je sa p q. Iskaz p q je tacan iskaz samo ako je⊻ ⊻tacno jedan od iskaza p i q tacan.

-Implikacija je binarni veznik. Implikacija iskaza p i q je iskaz ”ako p onda q”, kogaoznacavamo sa p⇒q. Iskaz p ⇒q je netacan samo ako je iskaz p tacan, a iskaz q netacan.

-!kvivalencija je binarni veznik. !kvivalencija iskaza p i q je iskaz ”p ako i samo ako q”, uoznaci p⇔q.Iskaz p⇔q je tacan ako su iskazi p i q iste istinitosti, tj. ako su oba tacni ili oba netacni.

"#!$%&I'U (% I(K%)I*% *"+!*" #$!(%II U "/IKU %!/!.

Iskazne 0ormuleIskazna 0ormula je niz iskaza povezani1 iskaznim operacijama.

e0 2.342. Iskazna slova su iskazne 0ormule.5. %ko su % i iskazne 0ormule, onda su i6%∧7, 6%∨7, 6%⇒7, 6%⇔7, ¬% ,iskazne 0ormule.

8. Iskazne 0ormule mogu se 0ormirati jedino konacnim brojem primjena 2. i 5. ove de0inicije.

-#rioritet operacija. ako imamo da je najveceg prioriteta negacija, zatim su to konjukcija idisjunkcija 6istog prioriteta7 i na kraju implikacija i ekvivalencija 6istog prioriteta7. %ko se u0ormuli pojavljuju operacijski simboli istog prioriteta, primjenjujemo pravilo izvrsavanjaoperacija s lijeva na desno.



%U"/"9I'%

e0 2.54-:ormula : je tautologija ako u svakoj interpretaciji ima vrijednost .⊤-rugacije receno, neka 0ormula je tautologija ako za proizvoljne vrijednosti svoji1 iskazni1slova njena istinitosna vijednost je tacna. Kod ovakvi1 0ormula posljednja kolona uistinitosnoj tablici 6kojaodgovara cijeloj 0ormuli7 sastoji se samo od simbola .⊤

e0 2.84-Neka su % i iskazne 0ormule. %ko je 0ormula %⇒ tautologija onda je nazivamo tautoloskaimplikacija i kazemo da iskaz koji odgovara 0ormuli % tautoloski implicira iskaz dat0ormulom .

e0 2.;4-Neka su % i iskazne 0ormule. %ko je 0ormula %⇔ tautologija, kazemo da je onatautoloska ekvivalencija, a za iskaze koji odgovaraju 0ormulama % i kazemo da su

tautoloski ekvivalentni.5.

"peracije sa skupovima de0nisemo sa4

-#resjek ili zajedni<ki dio dva skupa je skup koji <ine elementi koji su u skupu % i u skupu ."zna<avamo ga sa

-Unija skupova % i je skup koji <ine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova

% i . "zna<avamo ga sa .

-#razan skup ∅ 6ili =>7je, skup koji nema nijednog elementa, on je podskup svakog skupa.

-)a skupove % i ka?emo da su jednaki i pi@emo %A onda i samo onda ako je itj. ako su elementi skupa % eklementi skupa i obrnuto ako su elementi skupa elementiskupa %.

-%ko su % i skupovi tada skup svi1 elemenata skupa % koji nisu u nazivamo razlikaskupova % i i pi@imo

-(imetri<na razlika skupova % i je skup %B koji sadr?i sve elemetnte skupova %C i C%.#i@emo4 %BA6%C7∪6C%

-Neka je %⊆. Komplement 6dopuna7 skupa % u odnosu na skup je skup svi1 elemenata iz koji ne pripadaju skupu %. #i@emo4 &6%7A= ∈ 4 ∉>

-Neka je % proizvoljni skup. (kup svi1 podskupova skupa % nazivamo partitivni skup skupa%. #i@emo4 #6%7A=D4D⊆%> %ko je skup % kona<an i ima n elemenata tada njegov partitivniskup #6%7 ima 5n elemenata.



-Direktni pri!"# $De%&arte%"'( i)i *arte!i+e" pri!"#( nepra!ni, %kp"a

B A i +e %kp %"i, reeni, par"a

6 , 7 x y

/i+a +e pr"a kr#inata x e)ement %kpa

A0 a #ra kmpnenta y e)ement %kpa B0 i !na/a"a %e %a A B×

. 2nak A B×

%e /ita 3 A pta B3.

Direktan pri!"# %kp"a A i B %e kratk !api%+e( ){ } A B x y x A y B× = ∈ ∧ ∈, 4 .

4.-5inarna re)a&i+a na %kp 6 +e 7i) k+i nepra!an p#%kp 8 ⊆ 6 9 6. *a!em #a

+e re)a&i+i 8 % $i)i i % re)a&i+i 8( ak +e $ 0 ( ∈ 8.:i%em 8 .-5inarna re)a&i+a-#n% i!me# #"a e)ementa$"a!n k+i +e pr"i a k+i #ri(;O<O5I=E

->a 7inarn re)a&i+ 8 na %kp 6 ka!em #a +e re)a&i+a ek"i"a)en&i+e ak +ere?ek%i"na0 %imetri/na i tran!iti"na.

@.-nk&i+a i)i pre%)ika"an+e +e pra"i) i)i !akn pri#r!i"an+a k+im %e %"akme)ement ∈ 6 pri#r!+e +e#an e)ement ∈ B0 %t %e !na&a"a %a C 6B .:ri

&em +e %kp 6 #men0a %kp 6 k#men pre%)ika"an+a.

O<O5I=E



-:re%)ika"an+e +e %r+ek&i+a ak %"aki e)ement ∈B pre#%ta")+a %)ik 7ar +e#n∈6.

-In+ek&i+a +e pre%)ika"an+e k# ka %e %"aki e)emnt ∈6 pre%)ika"a ta&n +e#ane)ement ∈B. -:re%)ika"an+e +e 7i+ek&i+a k)ik +e i%t"remen i %r+ek&i+a i in+ek&i+a.

.

-=eka % 60 B i 2 nepra!ni %kp"i i neka % #ata pre%)ika"an+a C6FB i CBF2.

nk&i+ ,C6F2 #eGni%an pm&

$ ∈∀ 6( ,$ ( H $E ($ ( H$ $ ((

!"em kmp!i&i+a pre%)ika"an+a i .-Ak +e nk&i+a C6B 7i+ekti"n pre%)ika"an+e0 n#a &e in"er!n pre%)ika"an+e 7it -1C B60 % tim #a +e !a#")+en %)" $ ∈∀ 6( C -1$ $ ((H #n%n E -1H1.

.:ean"i ak%imiC

1. 1 +e prir#an 7r+0 t+. 1∈=.

K. <"aki prir#an 7r+ n ima t/n +e#n %)+e#7enika nL.4. >"i+ek +e nL 10 t+. 1 ni+e %)+e#7enik ni+e#n prir#n 7r+a.@. Ak +e mLH nL0 ta#a +e m H n0 t+. ak % %)+e#7eni&i #"a+ prir#ni, 7r+e"a

+e#naki0 ta#a % i %ami ti 7r+e"i +e#naki.. $Ak%im in#k&i+e( <"aki p#%kp M %kpa =0 k+i %a#rNi 7r+ 1 i %)+e#7enika%"ak%" e)ementa0 %a#rNi %"e prir#ne 7r+e"e0 t+. M H =.

:OT:>=A I=D>*IJA- Ak %e premi%ama $p)a!ni %#( na7r+i %"aki p+e#ini %)&a+ neke "r%te pa %e!ak)+&i &i+e)+ "r%ti n#a +e t ptpna in#k&i+a.

-Ak +e !a nek matemati/k t"r#n+0k+a "i%i prir#nm 7r+ n0 #ka!anCa( #a +e na i%pra"na !a neki #re#eni prir#an 7r+ nP07( #a i! pretp%ta"ke #a +e t"r#n+a i%pra"na !a neki prir#an 7r+ nHk n!n%)i+e#i #a +e na i%pra"na i !a %)+e#e&i prir#an 7r+ nHkL1;On#a +e ta t"r#n+a i%pra"na !a %"e prir#ne 7r+e"e nQnP.

.-2a %"aki prir#an 7r+ n #eGni%em Saktri+e) 7r+a n %anU H nV$n-1(V$n-K(V...V4VKV1t+. :ri!"# %"i, prir#ni, 7r+e"a # 7r+a n. : #"r !imam PUH1 i 1UH1.:ri!"# pr"i, n parni, 7r+e"a !na/a"am %a $Kn(UU. Ana)n0 pri!"# pr"i, n

neparni, 7r+e"a !na&a"am %a $Kn-1(UU. I!ra! 7)ika (nk ) na!i"a %e 7inmni

keG&+ent i "ri+e#iC

(nk )=

n !

k ! ∙ (n−k ) !=

n∙ (n−1 ) ∙ (n−2 ) ∙ … ∙(n−k +1)k !

: #"r !imam (n

0)=(n

n)=1

2a 7inmni keG&+ent "ri+e#i !akn %imetri+e t+.

(n

k )=( n

n−k )



2a %"e prir#ne 7r+e"e n i k0 k W n "ri+e#i =eXtn"a 7inmna rm)a ima 7)ikC

(a+b )n=∑

k =0

n

(n

k )an−k

bk

Y.Ap%)tna "ri+e#n%t rea)n 7r+a Z0 !na&i [Z[ +e 7r+

¿ x∨{ x , x ≥0

− x , x<0

O<O5I=E|− x| H | x|

x ≤| x|| xy|=| x|| y|

| x y| H| x|| y|

, y ≠0

| x+ y|≤| x|+| y|

| x− y|≤| x|+| y|

| x|≤a⟺−a ≤ x ≤ a

¿| x|−| y|∨≤∨ x− y∨¿

\.

-*mp)ek%an 7r+

z a i b= + ≠ 3

#re]en +e p)pre/nikm

r z a b= = +5 5

&entra)ne krNni&e k+a pr)a!i ta/km z i )m

( )π θ θ 53 <≤

k+i #N

O z

!ak)apa

%a p)%m x > 3

0 $<).@.(. >aθ

%e !"e arment i)i )a"na "ri+e#n%t

armenta kmp)ek%n 7r+a

z a i b= +

0 i !na/a"a %e %a

arg z

.

*ak +e

cos cos , sin sinθ θ θ θ = = = =a

r a r

b

r b r ili i ili

t +e( )θ θ sincos ir bia z +=+=

0π θ 53 <≤

.

<"akm kmp)ek%nm 7r+

z a i b= + #"ara +e#an i %am +e#an arment

3θ

$ar!( !a k+e "ri+e#i

3 <≤ z arg π 5

.

<"e %ta)e "ri+e#n%tiθ

$Ar!( #7i^em p rm)i

π θ θ k 53 +=

0

Argz z arg= π k 5+

,5,2,3 ±±=k



Da 7i%m #ati kmp)ek%ni 7r+

z a i b= +0

3≠ z

0 napi%a)i trinmetri+%km 7)ik0#re+em m#) r prema rm)i

55 ba z r +==

._)a"n "ri+e#n%t kmp)ek%n 7r+a #7iêm i! re)a&i+a

θ cosr a =

0 θ sinr b =

0 3 <≤

θ π 5 i)i π θ π <≤−

.

Ta#a !a3≠a

θ θ

θ tg

r

r

a

b==

cos

sin

a

barctg =⇒ θ

.

Je#na/inaa

btg =θ

0 inter"a)

[ )π 5,3

ima #"a r+eèn+a0 # k+i, %e %am +e#an

!ima ka

z arg

i #re+e %e prema !na&ima 7r+e"aa

ib

. Inter"a) kme %e

kreê )a"na "ri+e#n%tθ

!a"i%n%ti # !naka 7r+e"aa

ib

+e #at ta7e)iC

3≠a b 3=a

03≠b 3≠a

03=b

L L 53 π θ <≤

- L π θ π <<5 5π θ =

- - 58π θ π << π θ =

L - π θ π 558 << 5π θ =

Ak +e3== ba

ta#a +e

33355

=+= z

i +e#nak%t( ) ( )3sin3cos3sincos iir z +=+= θ θ

+e i%pn+ena !a %"ak

θ

.2na/i kmp)ek%ni 7r+ +e ne#reen.

1P.



*mp)ek%an 7r+

( )w i= + ρ ϕ ϕ cos sin

na!i"am n-ti korijen kompleksnog broja

( ) z r i= +cos sinθ θ

0 i pièmw z

n=0 ak +e

w z n =. O"#+e0 na %n" rm)e !a

%tepen"an+e kmp)ek%ni, 7r+e"a0 #7i+am

( ) ( ) ρ ϕ ϕ θ θ n n i n r icos sin cos sin+ = +

0

#ak)e +e ρ ρ

n n

r r = = ili0 #+e %e p#

r n

p#ra!mi+e"a aritmeti/ki kri+en0 a

n k ϕ θ π = + 5

0 i)i

ϕ θ π

=+ 5k

n. I!

ϕ θ

π = + ⋅n

k

n5

%)i+e#i #a ê %in%i0 #n%n k%in%i

)a0

ϕ

0 7iti ra!)i/iti !ak n= −3 2 5 2, , , ... ,

0 pa ê

w r k

ni

k

n

n= +

+ +

cos sin

θ π θ π 5 5

imati n ra!)i/iti, "ri+e#n%ti i !na/a"aêm i, %a

w w wn3 2, ,...,

0 #ak)e

w r k

n i

k

n k nk

n= +

+ +

= −cos sin , , , , ...,

θ π θ π 5 53 2 5 2

.O"a rm)a %e !"e rm)a !a kr+en"an+e kmp)ek%ni, 7r+e"a.

11.:OJAM MATRIE

-<kp e)emenataamn m. n∈ N

napi%ani, 7)ik %,emeC

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

⋮

am1

a32

⋮

am2

a33

⋮

am3

⋯ a1n

⋯ a2n

⋯

⋱

⋯

a3n

⋮

amn]

+e matemati&ki peratr k+i %e na!i"a matri&a i k+i nema #re#en nmeri&k"ri+e#n%t0 "e& pre#%ta")+a #re#eni na&in pi%an+a e)emenata nek %kpa.

-*eG&+ent aik (i=1,2, …,m, j=1,2… n) !" %e e)emnti matri&e.

-E)ementi aik , a12 , .. ,a ¿(i=1,2… , m) &ine i-t "r%t matri&e.

-E)ementi a1k , a2k , … , amk (k =1,2,… , n) &ine k-t k)n matri&e.

-2a matri& k+a ima m "r%ta i n k)na0ka!em #a +e tipa0 #n%n rmatam× n .

-Matri&a %e kra&e m!e napi%attiC A= [aik ]

Ak % matri&i A= [aik ] i=k

n#a %e ra#i k"a#ratn+ matri&i prti"nm +e

pra"ana

*"a#ratne matri&e ima+ )a"n #i+ana) k+ &ine e)ementia11 , a2 2 , … , amn .

27ir "i, e)emenata !"e %e tra matri&e$k"a#ratne( tr A=a11, a2 2 , … , amn



-Ak matri&i ##am +e#n k)n na kra+0na!i"am +e pr%irena matri&a ipi%emC

[ A∨b ]=

[ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

⋮am 1

a32

⋮am 2

a33

⋮am 3

⋯ a1 n

⋯ a2 n

⋯⋱⋯

a3 n

⋮amn|

b1

b2

b3

⋮bm ]

O:ERAIJE-D"i+e matri&e % +e#nake ak i %am ak % i%t rmata i ima+ %"e#"ara+&e )emente i%te.-M %e %a7irati i #!imati %am matri&e i%t rmata.<a7ira+$#!ima+( %etak %t %e #"ara+&i e)ementi %a7er$#!m(0re!)tat +e amtri&a i%trmata.-Matri&a %e mnNi %ka)arm tak `t %e %"aki e)ement matri&e pmnNi tim%ka)arm$7r+em(.-:ROI2OD MATRIA-m %e mn!iti %am matri&a rmata mZn %a matri&mrmata nZp pri &em +e re!)tat matri&a rmata mZp.

1K.-Determinant #eGni%em ka nk&i+ A#etA i! %kpa %"i, k"a#ratni,matri&a %kp rea)ni, $i)i kmp)ek%ni,( 7r+e"a. :ra"i) +e %)+e#eêC

=eka +e A=

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

⋮an 1

a32

⋮an 2

a33

⋮an3

⋯ a1 n

⋯ a2 n

⋯⋱

⋯

a3 n

⋮ann ] k"a#ratna matri&a n-t re#a

Sn %kp %"i,

permta&i+a p=( p1 , p2 , … , pn) # [ 1,n ] N i i ( p ) kpni 7r+ in"er!i+a t+

permta&i+i. 5r+

∑ p∈Sn

(−1)i ( p)a1 p

1a1 p

1… an p

n

=a!i"am #eterminantm matri&e A.-2a #eterminant pr" re#a imam #a +e #etAH[a[Ha-2a r+eà"an+e #eterminanti kri%te %e #"a pra"i)aC

a( bap)a&e ra!"+ #eterminante mNe pr"#iti p 7i) k+em re#tk i)i %tp&matri&e. =eka +e matri&a re#a n.Ak t+ matri&i i!%ta"im i-ti re#ak i)i +-ti %tpa& #7itêm matri& /i+ #eterminant !"em %7#eterminanta I !na/a"am +e %a M i+.

bap)a&e" ra!"+ p i-tm retkC

detA=∑ j=1

n

(−1)i+ jaij A ij

bap)a&e" ra!"+ p +-tm %tp&



detA=∑i=1

n

(−1)i+ jaij A ij

7(<ar%" pra"i) prim+en++e %e i%k)+/i" !a #eterminant 4 re#aC

[

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

]

a11 a12

a21 a22

a31 a32

=¿

¿ (a11a22a33+a12a23 a31+a13 a21a32 )−(a12a21 a33+a11a23 a32+a13 a22a31)

14.

O<O5I=E DETERMI=A=TI• Ak +e A T tran%pn"ana matri&a matri&e A ta#a +e #etAH#etA T.

•

Determinanta mi+en+a !nak ak #"a retka$%tp&a( !ami+ene m+e%ta.• Determinanta %e mn!i 7r+em tak %t %e tim 7r+em pmn!e %"i e)emnti

%am +e#n retka$%tp&a(.• Determinanta ne mi+en+a "ri+e#n%t ak e)ementima +e#n retka$%tp&a(

##am #"ara+&e e)emente #r retka$%tp&a( pmnNene i%tim7r+em.

• Ak % %"i e)ementi +e#n retka$%tp&a( #eterminante +e#naki n)i ta#a +e#eterminanta +e#anka n)i.

• Determinanta +e +e#naka n)i ak % %"i e)emnti +e#n retka$%tp&a( +e#naki #"ara+&im e)ementima #r retka$%tp&a(.

[email protected] "riti %am a#+n"an+ matri&i k"a#ratne matri&e.

=eka +eC A=[

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

⋮an 1

a32

⋮an 2

a33

⋮an3

⋯ a1 n

⋯ a2 n

⋯⋱

⋯

a3 n

⋮ann

]rmira+m matri& kaktra !a#ane matri&eC

A¿=[

A11 A12 A13

A21 A22 A

A31

⋮

An1

A32

⋮

A n2

A33

⋮

An3

⋯ A1n

⋯ A2n

⋯

⋱

⋯

A3n

⋮

A nn

] Tran%pn"ana kaktr matri&a na!i"a %e a#+n"ana matri&aC

A

(¿¿¿)T

adjA=¿A#+n"ana matri&a +e kmtati"na %a %"+m matri&m0t+.C



A ∙ adjA=adjA ∙ A "a+ pri!"# +e#nak +e %ka)arn+ matri&i na &i++ #i+ana)i %e

#etAH[A[ pa %)i+e#i

det ( A ∙ adjA )=det

([

| A| 0 0 0

0 | A| 0 0

0

0

0

0

| A| 0

0 | A|

])= (| A|)n

det ( adjA )=(| A|)n−1

_#+e +e n rmat matri&e .

1.

Ak +e A k"a#ratna matri&a re#a n i re)arna$#etA ≠ P( ta#a +eC

A−1=

1

detA adjA

*+a ima %"+%t" #a +e A−1

A= I .

1.Ran MATRIE

Ak !a e)emente A 1, A 2 ,…., An k+e % i%t tipa ka!em #a % )inearn !a"i%ni

ak i! +e#nak%ti

α 1 A1, α 2 A2 , … . , α n A n=0 %)i+e#i #a % %"i %ka)ari α 1, α 2, … . , α n=0 t+ #a "ri+e#i

2=¿ , … . ,=α n=0

α 1=α ¿ . >k)ik +e 7ar +e#an # na"e#eni, %ka)ara ra!)i&it # n)e0 a

#a "ri+e#i +e#nak%tα

1 A

1,α

2 A

2, … . , α n A n=0

tm %)/a+ kaNem #a %

matri&e A 1, A 2 ,… ., An )inearn !a"i%ne. 5r+ )inearn ne!a"i%ni,

re#aka$%tpa&a( matri&e na!i"a %e ran matri&e i !na/a"am %a r$A(.

:# e)ementarnim tran%rma&i+a matri&e p#ra!mi+e"a %eC• 2am+ena 7i) k+e #"a retka$%tp&a( matri&e.

• Mn!en+e e)emenata 7i) k+e retka$%tp&a( matri&e 7r+em ra!)i&itim #n)e.

• D#a"an+e e)ementima 7i) k+e retka $%tp&a( #"ara+&e e)emente7i) k+e #r retka$%tp&a( pre#,#n pmn!ene nekim 7r+em.

1.-<i%tem # n )inearni, a)e7ar%ki, +e#na/ina %a n nep!nati, %e m!e napi%ati 7)ikC

a11 x1+a12 x2+…+a1 n xn=b1

a21 x1+a22 x2+…+a2 n xn=b2

… … … … … … … … … … … …



an 1 x1+an 2 x2+…+ann xn=bn

#+e x i( i=1,2,… . , n) pre#%ta")+a nep!nani&e0 aij (i , j=1,2, ….. , n) keG&+ente

%i%tema a bi(i=1,2,… . , n) % kmpnente na #e%n+ %trani +e#na&ina.

R+e%en+e " %i%tema +e reena n-trka rea)ni, 7r+e"a$

x1 , x2 , … , xn¿=(d1 , d2 , … , dn) tak"a #a ka#a %"ak # #ani, +e#na&ina m+e%t

n nep!nati, $ x

1, x

2, … , xn¿ "r%tim 7r+ne "ri+e#n%ti (d1 , d2 , … , d n) #7i+em

i%tinite 7r+ne i!ra!e.>k)ik +e %i%tem r+e%i" 0n m!e imati i)i %am +e#nr+e%en+e i)i i, imati 7e%kna&n mn.

-<i%tem +e#na/ina %e m!e napi%ati matri&n+ rmi AX =B #+e +e A matri&a

keG&+enata$matri&a %i%tema(0a x i b % "ektri k)ne0

A=

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

⋮

an1

a32

⋮

an2

a33

⋮

an3

⋯ a1n

⋯ a2n

⋯

⋱

⋯

a3n

⋮

ann ] 0 X =

[ x1

x2

x3

⋮

xn] 0B=

[b1

b2

b3

⋮

bn]1Y.

ektr pre#%ta")+a r+enti%an #! t +e #! k# k+i, %e !a kra+n+e ta&ke ta&n !nak+a +e p&etak 0 a k+a kra+. <mi+er "ektra !na/a"am %tre)i&m kra+n++ta&ki.

5 c

A

ektr k+em +e p/etna ta/ka A0 a kra+na 5 !na&a"am %a AB .

O%im !na&a"an+a "ektra p/etnm i kra+n+m ta&km m!em i, !na&a"ati %a"e)ikim `tampanim i)i ma)im pi%anim %)"ima.:ra"a& "ektra pre#%ta")+a pra"a nak++ ta+ "ektr )eNi i %"e pra"e k+e % n++ para)e)ne0 a inten!itet i)i m#)"ektra pre#%ta")+a n+e" #!in0#n%n #a)+en%t # p&etne # kra+neta&ke.

-D"a "ektra mNem %a7irati na #"a na&inaC1. :ra"i) tr)a-na ta+ na&in%a7iram na#"e!ane "ektre0tak %t na kra+ pr" "ektra na#"e!emp&etak #r "ektra i re!)tat +e "ektr k+em +e p&etak0p&etak pr""ektra0 a kra+0kra+ #r "ektra.K. :ra"i) para)e)rama-na ta+ na&in %a77iram #"a "ektra k+i ima+ !a+e#ni&kip&etak i t na na&in #a na# n+ima ka %trani&am kn%trie%empara)e)ram.27ir im pre#%ta")+a #iana)a para)e)rama k+a kre^e i!!a+e#ni&ke ta&ke a !a"r%a"a %prtnm "r,.<"+%t"a %a7iran+aC



Mn!en+e "ektra %a %ka)arm +e n&ki+a k+a par ( λ , a) pri#r!+e "ektr

λ a .

2a "ektr λ a "ri+e#iC

a

i

λ a

% k)inerani $ima+ i%ti i)i para)e)ni pra"a&(a∨¿

| λ a|=¿ λ∨∙∨¿ 0

λ>0⟹a i λ a ima+ i%te %mi+er"e

λ<0⟹a i λ a ima+ %prtne %mi+er"e

O<O5I=E M=O2E=JA <A <*AbAROM

1\.

binearna km7ina&i+a "ektra a i b +e tre^i "ektr p a+ p b 0#+e % p i d

pri!")+ni %ka)ari.2a "ektre a i b ka!em #a % )inearn ne!a"i%ni ka#a +e

p a+ p b ≠ 0 $ !a %"ak p0d ≠ 0 (. > prti"nm ka#a p%t+e tak"a K 7r+a

p=α , = ! 0 k+a ni% i%t"remen +e#naka n)i0 #a +e α a+ ! b=0 .2a "ektre

a i b ka!em #a % )inearn !a"i%ni.

KP.

<ka)aran pri!"# "ektra a i b !na&i a ∙ b $a %ka)arn % 7( +e %ka)ar$rea)an

7r+( k+e "ak #eGniramCa∨¿ ∙∨b∨∙"#$%

a ∙ b=¿¿ 0 #+e +e % a i!me#

"ektra a i b 0a , b

%=∠¿ (

<ka)arni pri!"# "ektra kri%itm pri)ikm i%piti"an+a kmit%ti i!me# #"a"ektra i "ri+e#i #a % #"a nen)ta "ektra kmita ak +e n+i," %ka)arni pri!"# +e#na n)i.

>k)ik % "ektri a i b !a#ani %"+im kr#inatama a ( x , y , & ) b( x2 , y2 , &2) ta#a

%e n+i," %ka)arni pri!"# ra&na na %)e#e&i na&in x1 x2+ y1 y2+ &1 &2 i "m

%)/a+ "+et kmit%ti !a#an +e na %)e#e^i na/inCa⊥b⟺ x

1 x

2+ y1 y

2+ &1 &

2=0

<ka)arni pri!"# +e kmtati"an0#i%tri7ti"an i )inearan.K1.

2a #e. ektr%k pri!"#a K "ektra tre7a #eGni%ati p+am )i+e" #n%n

#e%n trie#ra.=a&in #re#i"an+a #e%n$)i+e"( trie#raC :a)a& rke %e p%ta"i %mi+er "ektra" 0a pr%tima t"rene %ake %e pk%a"a na+kra&im ptem #&i # "ektra a



#b 0ak %e t &ini #e%nm rkm t +e #e%ni trie#ar0a ak %e t &ini )i+e"m

rkm t +e )i+e"i trie#ar

ektr%ki pri!"# "ektra a , b %a !nakm a ×b +e "ektr &i+i +e inten!it

7r+n +e#nak p"r%ini para)e)rama kn%tri%an na "ektrima a i b 0pra"a&

+e nrma)an na ra"an #re#en tim "ektrima0 a %mi+er +e taka" #a "ektr a , b

a ×b &ine #e%ni trie#ar.

|a × b|=|a|∙|b|sinα ,∡(a , b )=α ,0≤ α ≤ '

ektr%ki pri!"# ima %7ineC

KK.

M+e%"iti pri!"# 4 "ektra a , b , " +e %ka)ar k+i %e #7i+e ka#a "ektre a i b

pmn!im "ektr%ki0 a !atim #7i+eni re!)tat pmn!im %ka)arn %a "ektrm" ... |a × b|∙ "

=a++e#n%ta"ni+i na&in n+e" i!ra&na"an+a +e pm& #et t+ "ri+e#iC

|a × b|∙ "=

|

x1 y1 &1

x2 y2 &2

x3 y3 &3

|>k)ik "ektri a , b , " ne )e!e i%t+ ra"ni na# n+ima m!em kn%tri%ati

para)e)pipe# 0!apremina tak #7i+en para)e)pipe#a t+ n+en m+erni 7r+ +e#nak

+e ap%)tn+ "ri+e#n%ti m+e%"it pri!"#a ¿||a × b|∙ "| .

4 "ektra % kmp)anarna$)eNe i%t+ ra"ni( ak i %am ak +e n+i," m+e%"itipri!"# +e#nak n)i.

K4.

ektr%ki 7)ik +e# ra"niCn ((−(

0 )=0

_#+e % ( i (0 ra#i+ "ektri pri!")+ne ta&ke T i i!#ane ta&ke TP k+e pripa#a+

ra"ni0 a n +e "ektr nram)e $"ektr k+i +e kmit na ra"a(.

Op%ti 7)ikC A x+B y+) &+ *=0

#+e +e n=( A , B , ) ) .

<ementni 7)ik +e#. Ra"niC



x

+ +

y

m+

&

n=1

_#+e )0m i n re#m #%+e/&i k+e ra"an #%+e&a na kr#inatnim %ama Z00!.

Je#na&ina ra"ni kr! tri ta&keC

K@.

K.

K.



K.

KY.



K\.

4P.

41.=i! +e nk&i+a t+. :re%)ika"an+e %a %kpa prir#ni, 7r+e"a %kp rea)ni, i)i

kmp)ek%ni, 7r+e"a : N -

> ni! +e ta&n #re#en k+e +e pr"i &)an0k+e #ri &)an it#. (1 )−1."+an (2 )−2. "+an (3 )−3. "+anitd ! napmen #a nema p%)+e#n+e &)ana.

*ra^i +e#n%ta"ni+i !api% &)an"a ni!aa1 , a2 , a3 , … , an .

an− p(ed$ta/+ja n−ti"+an ni&a#dn#$n# #p0 i "+anni&a .

:m& p&e &)ana ni!a %e !a#a+e 7)ik kak i!)e#a %"aki &)an ni!a !a"i%n%ti# n+e" in#eZa.

an

≤ an

+1(∀n∈ {1,2 …})-mntn ra%t&i

an<an+1(∀n∈ {1,2 …}) -mntn %tr ra%t&i

an ≥ an+1(∀n∈ {1,2…}) -mntn pa#a+&i



an>an+1(∀n∈ {1,2 …}) -mntn %tr pa#a+&i

4K.

2a ni!an ka!em #a ima rani&n "ri+e#n%t 1∈ ak p%t+i prir#an 7r+

k 0=k 0(2) k+i !a"i%i # ℇ #+e +e 2 pri!")+n #a7ran p!iti"an 7r+ tak

#a %"i &)an"i ni!aak , k >k 0 te!e ℇ k)ini ta&ke

1 A 0 t+ "ri+e#i #a +e

ak ∈ ( 1−2 , 1+2 )∀ k >k 0

O<O5I=EAk +e ni! kn"erentan n#a n ima ta&n +e#n rani&n "ri+e#n%tAk +e ni! kn"erentan n#a +e i rani&en<"aki ni! k+i +e mntn i rani&en +e kn"erentan

44. Terem 1C Ak #"a ni!a $an( i $7n( ima+ i%t rani&n "ri+e#n%t ffnff0 t+. Ak "ri+e#i

limn -3

an= 1 , limn - 3

bn= 1 i ak !a tre&i ni! $&n( "ri+e#i #a +e

an ≤ "n ≤ bn ,∀ n

ta# +elimn -3

"n= 1.

Terem KC =eka ni!"i an i 7n kn"erira+ i neka "ri+e#ilimn -3

an= A0

limn -3

bn=B

ta# +eC

=i! $ an+bn¿ k#n/e(4entani nje4#/ +ime$ je A ≠B

=i! $ an−bn ¿k#n/e(4entan i nje4#/+ime$ je A=B

=i! $ an ∙ bn ¿k#n/e(4entan i nje4#/ +ime$ je A ∙ B

=i! $ an/bn¿k#n/e(4entan i nje4#/ +ime$ je A /B

=i! α an¿ (α −(ea+an b(#j ) je k#n/e(4entani nje4#/+ime$ je αA

limn -3

an

¿¿

(an)k =¿¿limn - k

¿

k √ an=¿ k

√ limn - 3

an=k √ A

limn - k

¿

[email protected]+ e %e mNe #eGnirati ka C

bime% ni!a 7r+e"a

<ma 7e%kna/n ni!aC



#+e +e nU aktri+e)a n.

loge x=+nx

4.

:retp%ta"iti #a +e C

∑n=1

3

an (1 ) an ≥ 0 (∀ n∈ {1,2,… . })

DfA)am7ert" kriteri+=eka !a $1( "ri+e#i

limn⟶3

an+1

an

=(

(<1¿k#n/e(4i(a

(>1¿di/e(4i(a

(=1k(ite(ij ne daje #d4 . i p#t(ebna $5 d#datnai$piti/anja

a&,-e" kriteri+

lim

n⟶

3

n√ an=(

(<1¿k#n/e(4i(a

(>1¿di/e(4i(a


Ra7e" kriteri+

limn⟶3 ( an

an+1−1)=(

(>1¿k#n/e(4i(a ff$=IJE I<TO *AO *OD :RA DA(ff

(<1¿di/e(4i(a


4.

http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktorijela&action=edit&redlink=1

http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktorijela&action=edit&redlink=1



4.=eka +e nk&i+a f #eGni%ana na nekm p#%kp A %kpa rea)ni, 7r+e"a0 %a

"ri+e#n%tima 0 t+. neka : A 2 i neka ta/ka x0 pripa#a %kp A

!a+e#n %a nekm %"+m k)inm

( x0−6 , x0+6 )⊂ A

O!na/im %a 7x= x− x0( x∈ A) prira`ta+ ne!a"i%n prmen)+i"e i %a

7y= 7 ( x0)= ( x0+ 7x)− ( x0)

#"ara+^i prira`ta+ nk&i+e .

Defnicija 1. Ak p%t+i $kna/na( rani/na "ri+e#n%t

lim 7 x⟶0

7 y

7 x= lim

7 x⟶0

( x0+ 7x)− ( x0) 7x

n#a kaNem #a +e nk&i+a dierencijabilana u tački x0 0 a ta+ )ime%

na!i"am izvodom nk&i+e ta/ki x0 i !na/a"am %a

y 8 ( x0)= 8 ( x0)= lim 7 x⟶0

( x0+ 7x)− ( x0) 7x

4Y._emetri+%ki0 pr"a #eri"a&i+a $kna&na i)i 7e%kna&na( nk&i+e ta&ki Z0pre#%ta")+a keG&+ent pra"&a tanente $t( na kri" _ ta&ki Z.



De.C

Tan4enta na nek5 k(i/5 9 ,5 &adan#j ta" ki ( x , ( x ) ) te k(i/e , deini(a $eka# p(a/a k#ja

$ad(&ita"k5 ( x , ( x ) )∈9 , a p(ed$ta/+ja 4(ani"ni p#+#&aj $n#pa $je"i"a (teti/a )k(i"/e ,

k#je $pa jaj5 ta"k5 ( x , ( x ) ) ka# $ta+n5, i bi+#k#j5 d(545 ( x¿ ( x¿) ) nak(i/#j . :(i t#me

$n#p $je"i"ana$taje p#mije(anjem ta"ke ( x¿ ( x¿ ) ) p# k(i/#j p(ema$ta+n#j ta"ki ( x , ( x ) ) .

Ak G%kiram ta&k ; ( x , ( x ) )∈9 0 ta#a %np pra"i, k+e pr)a!e kr! ta/k

gM ima+ +en#a&in< − ( x )=k ( X − x ) ,( :)

_#+e pra"e %npa ima+ keG&+ent pra"&a k. :ra"a k+a ima keG&+ent

k =t 4 α 2= 8 ( x ) , +a%n pre#%ta")+a tanent kri"e

9 . =aime0 keG&+ent pra"&a

%+e&i&e $%( +e

t4 α 1= ; 1 ; 8

= =

( x+= )− ( x)=

:re#p%ta"im #a +e 8 ( x )≠0 i $:( i!a7erem

k = −1

8 ( x)

, ta#a ^e #7i+ena

pra"a 7iti rtna)an na tanent ta&ki M kri"e _ i pre#%ta")+a nram) kri"e_ #at+ ta&kiC



< = 8 ( x ) ( X − x )+ ( x ) >(? ) < =

−1

8 ( x )

( X − x )+ ( x ) ,(@)

(? ) i(@) % tanenta i nrma)a _ 0 re#m0 ta&ki ; ( x , ( x ) ) .

4\.

@P.Dieren&i+a) +e aprk%ima&i+a nk&i+e k)ini neke ta&ke.

DeC Ak# je 5nk"ija die(en"ijabi+na 5 ta"ki X = x , &a /e+e"in5 8 ( x ) ( X − x )

ka&em# da je die(ne"ija+ 5nk"ije5 ta"ki X = x , #&na"a/aj5"i 4a $a d i+i d ( x ) .

*ak+e , die(en"ija+ d ( x ) je p(#i&/#d i&/#da 5nk"ije5 ta"ki X = x i p(i(a$taja

a(45menta 7 x= X − x , tj . d ( x )= 8 ( x ) ( X − x )=

8 ( x ) 7 x .

@1._emetri%+k% !na&en+e #ieren&i+a)a prika!an +e na %)i&i0 n %)i+e#i i! #eGni&i+e

tanen%a )a pra"anm trkt 7AB) % "r,"ima

A= ( x , ( x ) ) , B=( x+ 7 x , ( x ) ) i ) =( x+ 7 x , ( x )+dy) je( je t4α = 8 ( x ) .



8 ( x0 )= lim

7 x⟶0

( x0+ 7x )− ( x0 ) 7x

∧d ( x )= 8 ( x ) ( X − x )=

8 ( x ) 7 x⟹

y

x −

8 ( x )=¿ 8 ( x )−

8 ( x )=0

y−dy

x =¿ lim

x⟶0

¿

lim x⟶0

¿

:a !ak)+&+em #a ra!)ika ( y−dy) te!i n)i 7r!e # x .2a #")+n ma)e

x "ri+e#i y dy .

O#"ara+&i prira%t armenta x emetri%+ki pre#%ta")+a prira%t tanente

nk&i+e y= ( x )

ta&ki Z.

@K.> pr%tim %)/ahe"ima0 )fjpita)" pra"i) )a%i #a !a nk&ihe f $ x ( i g$ x (0

ak i)i 0 ta#aC

Me %ta)im %)"ima0 #a 7i " pra"i) "aNi)0 mra #a p%thi )ime%

.

@4.

Mntn%t nk&i+e matemati&i !na/a"a n+en %"+%t" #a ++ %e %a pra%tm"re#n%ti armenta "re#n%ti niN # "e^i, ka man+im i)i # man+i, ka "e^im.

Mntn%t i%pit+em prek pr" i!"#a nk&i+e

8 ( x )= lim

x⟶0

y

x=k

@@.

http://sh.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://sh.wikipedia.org/w/index.php?title=Argument_(matematika)&action=edit&redlink=1

http://sh.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://sh.wikipedia.org/w/index.php?title=Argument_(matematika)&action=edit&redlink=1



@.

@.



@.

matematika 1 teorija.docx

Documents