1. Funkcije-preslikavanjaDefinicija: Neka su X i Y neprazni skupovi. Pod preslikavanjem ( ili funkcijom ) f, skupa X u skup Y podrazumijeva se svaki podskup ( zakon ) kojim se svakom elementu x iz X priruuje jedan i samo jedan element y iz skupa Y. Elementi skupa X nazivaju se originali, a elementi skupa Y slike preslikavanja f. Skup X zovemo domen preslikavanja f i oznacavamo D(f), a skup slika f(X) kodomen preslikavanja f i oznacavamo sa R(f).

2. Prsten Tijelo PoljeDefinicija: Skup G u kome su definisane i zatvorene operacije , tako da je (G, ) Abelova grupa i pri tome za * vae osobine asocijativnosti i distributivnosti, grupa (G, *) zove se prsten. Definicija: Prsten sa jedinicom (G, elementa, naziva se tijelo. Definicija: Komutativno tijelo (G, , *), u kome vazi osobina egzistencija inverznog *) naziva se polje.

3. Binmona formulaDefinicija: Za svako vazi jednakost:

Navedena relacija predstavlja raspisani oblik Newtonove binomne formule, odnosno krai zapis binomne formule je dat kao:

Opsti oblik Binomne formule je data relacijom:

4. Apsolutna vrijednost realnog brojaDefinicija: Apsolutna vrijednost (modul ili norma) realnog broja x (u oznaci |x|) je preslikivanje , definisano pomou:

ili

ili

5. Algebarski oblik kompleksnog broja Definicija: Skup kompleksnih brojeva C je skup svih ureenih parova (x,y) realnih brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i mnoenja na slijedei nacin:

Jednakost kompleksnih brojeva

se uvodi na osnovu jednakosti uredjenih parova, tj.:

Stav1. Operacija sabiranja kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna operacija, tj. vrijedi:

Stav2. Operacija mnozenja kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna operacija, tj. vrijedi:

Stav3. Operacija mnozenja je distributivna operacija prema operaciji sabiranja, tj. vrijedi:

Definicija: Kompleksni broj (0,1) naziva se imaginarna jedinica i oznacava se sa . Imaginarna jedinica ima osobinu da je gdje je f gore navedeni izomorfizam. Svaki kompleksni broj mozemo napisati u obliku:

6. Trigonometrijski oblik kompleksnog brojaDefinicija: Modul kompleksnog broja z u oznaci |z| ili , je nenegativan broj

Za broj kazemo da je konjugovano kompleksan broju z = x + iy. Sabiranjem, odnosno oduzimanjem dobijamo slijedece jednakosti:

Iz trougla Oaz sa slike nalazimo ugao naziva se argument kompleksnog broja

. Ovaj i oznacavamo ga sa

Na osnovu svega gore navedenog, sada mozemo uvesti novi oblik kompleksnog:

7. Mnozenje kompleksnih brojeba u trigonometrijskom oblikuAko su kompleksni brojevi zadani u trigonometrijskom obliku:

Koristeci definiciju mnozenja, lahko se dobija: Ako koristimo adicionu teoremu posljednja jednakost prelazi u :

8. Korijenovanje komppleksnih brojevaU skupu kompleksnih brojeva definise se n-ti ( ) korijen broja broj sa osobinom da je njegov n.ti stepen jednak broju z, tj.: Ako predjemo u trigonometrijske oblike: Iskoristimo Moivreovu formulu za stepen (1) dobijamo: Odakle je (na osnovu jednakosti komkleksnih brojeva): Prema tome, ako je , tada je , iz u oznaci , kao

Sto predstavlja formulu za nalazenje n-tog korijena kompleksnog broja z.

9. Kvadratna matrica i njena determinantaNeka su m i n prirodni brojevi. Skup A obliku prevougaone seme: koje zapisujemo u

Za matricu (1) kazemo da ima m vrsta i n kolona, odnosno da je tipa (formata) m x n. Napomenimo da prvi indeks oznacava redni broj vrste a drugi indeks broj kolone. Brojeve nazivamo elemntima matrice. Ako je broj vrsta matrice A jednak broju kolona, tj. m=n, tada za matricu A kazemo da je kvadratna matrica reda n. Determinanta kvadratne matrice reda n je broj koji se korespondira matrici A preko elemenata matrice A. Determinantu matrice obiljeavat cemo:

Preciznije pod determinantnom matrice

reda n

podrazumijevamo broj,

10.Minori i kofaktori determinanteGdje je determinanta matrice A reda n-1 koja je dobijena iz matrice A brisanjem prve vrste i k-te kolone. U relaciji (2) broj (determinanta ) zove se minor elemenata . Dakle minor proizvoljnog elementa determinante matrice A je determinanta matrice, koja je dobijena iz matrice A brisanjem i-te vrste i j-te kolone. Stav.1: Laplaceov razvoj. Za svaku kvadratnu matricu A reda n i svako i,j ( vazi: )

Neka je elemenata

kvadratna matrica reda n, tada proizvod , gdje je zovemo algebarski komplement ili kofaktor elemenata .

minor

11.Adjungovana matrica. Inverzna matricaUocimo, determinantu kvadratne matrice reda n, tj.:

A zatim od kofaktora matricu:

njenih elemenata

formirajmo matricu

reda n, tj

Transponovana matrica, matrice M, tj matrica obiljezava se adjA, dakle:

zove se adjungovana matrica, matrice A i

Posmatrajmo kvadratnu matricu reda n. Za kvadratnu matricu A kazemo da je regularna matrica ako je , a singularna ako je . Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, tada kvadratnu matricu B zovemo inverznom matricom matrice A, ako je ispunjen uslov AB = BA = I, gdje je I jedinicna matrica istog reda kao matrice A i B. Inverzna matricu matrice A trazimo prema sljedecm obrascu:

12.Elementarne transoformacije matrica. Rang matrice.Elementarne transformacije matrice su: 1. Mnozenje kolona (vrsta) jednim brojem razlicitom od nule; 2. Dodavanje jednoj koloni (vrsti) neke druge kolone (vrste); 3. Zamjena mjesta dviju kolona (vrsta). Red bazisnog minora matrice zovemo rangom matrice A i obiljezavamo sa RgA. Ako su svi elementi matrice A nule, tada po definiciji smatramo da je RgA =0. Stav 5. Pri elementarnim transformacijama rang matrice se ne mijenja.

13.Sistemi linearnih algebarskih jednacina. Definicija i osnovni pojmoviSistem m linearnih jednacina sa n nepoznatih je oblika:

Gdje su slobodni clanovi, a Ako je od brojeba

koeficijenti sistema (1); nepoznate.

zada za sistem (1) kazemo da je homogen, ako je bar jedan za sistem (1) kazemo da je nehomogen sistem.

14.Rjesavanje sistema n jednacina sa n nepoznatihStav ( Cramer ) Sistem od n linearnih jednacina sa n nepoznatih tj. sistem

ima jedinstveno rjesenje, kada je determinanta matrice sistema razlicita od nule; rjesenje je dato pomocu: gdje je determinanta matrice sistema, a matrica koje su dobijene iz matrice sistema, zamjenom i-te kolone, kolonom slobodnih koeficijenata, tj.

15.Sistemi od m jednacina i n nepoznatihSistem m linearnih jednacina sa n nepoznatih je oblika:

Gdje su slobodni clanovi, a

koeficijenti sistema (1); nepoznate.

Ako je od brojeba

zada za sistem (1) kazemo da je homogen, ako je bar jedan za sistem (1) kazemo da je nehomogen sistem. i dodamo drugoj jednacini, dobijamo

Ako prvu jednacinu sistam pomnozimo brojem sistem:

Za uredjenu n-torku (

) brojeva kazemo da je rjesenje sistema (2) ako pri zamjeni sistem (2) prelazi u jednakosti medju brojevima.

Gdje je vektor kolona

.

Za kolone kombinacija je:

matrice A i skalare

njihova linearna

Za dva sistema oblika (1), koji ne moraju imati isti broj jednacina, kazemo da su ekvivalentni, ako je svako rjesenje jednog ujedno i rjesenje drugog sistema i obrnuto. Ako sistem (2) nema rjesenje, tada kazemo da je on nemoguc. Ako sistem (2) ima bar jedno rjesenje, tada kazemo da je on saglasan i da je rjesiv.

16.Kroneker- Kapelijev stavStav 1. ( Kronecker-Capelli ): Sistem (1) je saglasan tj. ima bar jedno rjeenje, ako i samo ako je rang sistema (1) jednak rangu proirene matrice istog sistema.

(1)

(2) a) Ako sistem ima rjeenje, tad arelacija (2) pokazuje da je kolona slobodnih lanova kombinacija svih kolina matrica sistema tj. matrice:

Prema tome , dodavanjem kolone slobodnih lanova matrici broj linearno nezavisnih kolona se ne poveava, pa je RgA=Rg , gdje je:

tzv. Proirena matrica sistema. b) Ako je RgA=Rg , tada je bazisni minor matrice A istovremeno i bazisni minor matrice , sto znaci da je kolona slobodnih clanova linearno kombinacija onih kolona matrice A koje sadrze elemente bazisnog minora. Prema tome kolona slobodnih clanova je linearna kombinacija svih kolona matrice A, ciji koeficijenti predstavljaju rjesenje sistema (1). Iz Kronecker-Capillijevog stava slijedi da je svaki homogeni sistem uvijek saglasan. Pri tome ciji su svi elementi nule, tj. (0,........,0) je rjesenje sistema (3):

17.Rjesavanje homogenih sistemaSistem jednaina kod koga su slobodni lanovi 0, zove se homogen sistem jednaina, i ima sljedeci izgled:

Ovakav sistem ima uvijek jedno rjesenje , koje se zbog svoje ociglednosti zove trivijalno rjesenje. Kod rjesavanja ovakvog sistema mogu nastupiti sljedeca dva slucaja: a. Ako je determinanta sistema (1) razlicita od nule, onda sistem (1) nema drugih rjesenja osim trivijalnog. b. Ako je determinanta sistema (1) jednaka nuli, onda sistem (1) ima i drugih rjesenja osim trivijalnog. U slucaju triju homogenih linearnih jednacina sa 3 nepoznate:

Ako je D=0 i jedna i njena subdeterminanta razlicita od nule, npr pretpodstavkom da je , dobija se poslije diobe sa z:

elemenata

, a pod

Ovaj sistem, posto je D=0, imace rjesenje po nepoznatim

te je:

Odakle je: . Ako bi subdeterminante sistema (1) sve bile jednake nuli, onda bi sistem bio zavisan, te bi se sve tri jednacine svele na jednu.

18.Gausov metod rjesavanje sistema linearnih jednacinaZa iznalazenje rjesenja sistema linearnih jednacina izlozicemo tzv Gaussovu metodu eliminacije, kojom se svaki sistem od m linearnih jednacina sa n nepoznatih moze rijesiti. Gaussov metod eliminacije zasniva se na elementarnim trasnformacijama sistema. Postmatrajmo sistem:

I pretpostavimo da je drugoj, a zatim mnozimo sa (1), tj. sistem:

. Ako prvu jednacinu sistema (1) pomnozimo sa

i dodamo

i dodamo trecoj itd., dobicemo sistem ekvivalentan sistemu

Neka je sada Isti postupak eliminacije primijenicemo na posljednjih (m-1) jednacina sistema (2) i dobicemo njemu ekvivalentan sistem:

Nastavljajuci postupak na isti nacin, poslije (k-1) eliminacija dobija se sistem jednacina

koji je ekvivalentan sistemu (1). Svodjenjem sistema (1) na sistem (4) moguce je samo onda kada su . Medjutim ako je recimo , tada se na prvo mjesto u sistemu dovodi jednacina u kojoj je koeficijent uz razlicit od nule. Ako takve nema, sistema ima (n-1) nepoznatih. Ako se u bilo kom koraku, pri dobijanju sistema (2),(3),(4) desilo da koeficijenti bar jedna od jednacina pomenutih sistema budu nule sa slobodan clan razlicit od nule, onda bismo, zakljucili da je taj sistema bio protivrjecan, pa prema tome i njemu ekvivalentan sistem (1) bio bi protivrjecan. Sistem (4) u kome k moze biti manje ili jednako n jednostavno se moze rijesiti iduci odozgo na gore. Ako je k=n sistem (4) ima jedinstveno rjesenje. Ako je k