Univerzitet u Tuzli Mainski Fakultet

Skripta sa predavanja

Predmet: Matematika II Predmetni prof:Dr.Sc.Samra Piri,docent

Uredio: Meanovi Mirza1.)Granina vrijednost funkcije, pojam lijeve i desne granine vrijednosti, pojam neprekidnosti, sve pojmove definisati i formulisati teoreme (mogu primjer).

Granina vrijednost funkcije1.)Racionalna funkcija Posmatramo funkciju u skupu realnih brojeva 2.)Eksponencijalna funkcija ; a-baza -smanjuje se - poveava se3)Korjen funkcije ; -ne smije biti negativan broj ; -parni korjen definisano za svako x - neparni korjen4)Logaritamske funkcije definisano za Sluaj 1. Sluaj 2.

-grafik rasteGdje grafik sijee x osu tu taku nazivamo nulom funkcije.Za svaku taku A definiemo okolinu kao otvoreni interval , proizvoljno mali broj. Definicija 1.)Za taku A iz nekog skupa S rei emo da je taka nagomilovavanja skupa S ako bilo koja okolina take A tj.interval sadri barem jednu taku skupa S razliitu od A.Definicija 2.)Neka je taka A nagomilovanje domena funkcije f. Za broj A rei emo da je granina vrijednost funkcije f u taki A ako za proizvoljno postoji broj (koji zavisi od ) takav da vrijedi ime je

Lijeva i desna granina vrijednostDefinicija 1.) Rei emo da je funkcija ima lijevu graninu vrijednost u taki ako postoji Definicija 2.)Rei emo da je funkcija ima desnu graninu vrijednost u taki ako postoji Teorem 1.) Da bi postojale granine vrijednosti funkcije u taki potrebno je i dovoljno da postoje lijeva i desna granina vrijednost funkcije u taki i da su meusobno jednake.Ako je ne postoji konana granina vrijednost funkcije.Teorem 2.)Neka je i tada vrijedi : 1.)2.) ;3.)4.) ; uslov da je 5.)

Neprekidnost funkcijeDefinicija 1.)Za funkciju rei emo da je neprekdina u taki ako je i jednaka je vrijednosti funkcije u taki a.

Primjer.1) ; Lijeva strana = Desnoj strani Postoji granina vrijednost

2.) Pojam izvoda funkcije, geometrijska interpretacija i osobine diferencijabilnih funkcijaDiferencijalni raun funkcija jedne promjenjive

Granina vrijednost kolinika prirataja funkcije i prirataja argumenta kad prirataj argumenta tei nuli naziva se prvim izvodom funkcije u posmatranoj taki. - Za odreivanje izvoda po definiciji. Ako funkcija ima prvi izvod kazemo da je ona u toj tacki diferencijabilna .ako funkcija ima izvod u svakoj tacki u skupu A onda kazemo da je ona diferencijabilna na skupu A . Osobine diferencijabilne funkcije Teorem 1.)Ako je funkcija y=f(x) diferencijabilna u tacki x onda je ona u toj tacki i neprekidna,obrnuto u opcem slucaju ne vrijedi,iz neprekidnosti ne slijedi diferencijabilnost.Teorem 2.)Neka je funkcija y=f(x) injektivna na domenu D(f) i diferencijabilna u tacki x ,tada je njoj inverzna funkcija diferencijabilna u tacki x i vrijedi da je - izvod inverzne funkcije . Geometrijsko znacenje izvoda

y-= k -k-koeficijent pravca

Jednacina tangente na krivu y=f(x) u tocki M() glasi : y-Koeficijent pravca tangente na datu krivu y= f(x) u tacki M( jednak je vrijednosti prvog izvoda funkcije u tacki . Jednacina normale na krivu y=f(x) u tacki M () glasi : y-)

3.)Pravila diferenciranja Pravila diferenciranja 1. Ako je funkcija y= f(x) diferencijabilna u tacki x onda je i funkcija c f(x) ,c=const. Takodje diferencijabilna u tacki x i vrijedi da je = c . Dokaz : 2. Ako su funkcije f1,f2,....,fn diferencijabilne u tacki x onda je i njihov zbir diferencijabilna funkcija u tacki x i vrijedi f1'(x) +f2'(x) +...+f'n(x) Dokaz :

3. Ako su funkcije f(x) i g (x) diferencijabilne u tacki x onda je i njihov proizvod f(x) diferencijabilna funkcija u tacki x i vrijedi da je tof'(x) +f(x) .4. Ako su funkcija f(x) i g(x) diferencijabilne u tacki x tada je i kolicnik diferencijabilna funkcija u tacki x i vrijedi ' = , g(x) . Dokaz:

4.)Izvod sloene funkcije, izvod parametarski zadane funkcije, logaritamski izvod i pojam diferencijala (mogu primjer).

Izvod sloene funkcijeTeorem 1.) Neka je funkcija gdje je diferencijabilna u taki X,pri tome je funkcija sloena funkcija kao kompozicija funkcije f i u. Predpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u taki ,tada je funkcija diferencijabilna u taki x i vai Dokaz :

Kako je tada je

Izvod funkcije zadate u parametarskom oblikuAko je funkcija zadata parametarski gdje je parametar tada se izvod odreuje na sledei nain :

Logaritamski izvod

Izvodi vieg reda -difercijabilna Ako je diferencijabilna funkcija onda moemo traiti i njen izvod koji emo tada zvati drugim izvodom funkcije y i oznaavati sa Ako je funkcija data parametarski :

Diferencijal funkcije Iz ovog vidimo da se prirataj funkcije moe napisati u obliku dva sabirka i kako je u opem sluaju to zakljuujemo da prvi sabirak znakom tei nuli kada zbog toga drugi sabirak nazivamo glavnim dijelom prirataja funkcije.

Oznaavat emo ga sa i zvati diferencijalnom funkcijom :

Priraaj funkcije je priblino jednak diferencijalu funkcije.Specijalno: Prirataj argumenta moemo napisati kao : -Ovako se definie diferencijaln funkcije.Diferencijal funkcije je jednak proizvodu izvoda funkcije i diferencijala argumenta x.

5.) Primjena diferencijalnog rauna na ispitivanje funkcija (monotonost, ekstremi i konveksnost).

Primjena izvoda na izraunavanje limesa(graninih vrijednosti)

Teorem 1.) L'Hospitalovo praviloPretpostavimo da su zadovoljeni sledeci uslovi :1) i su diferencijali funkcije na intervalu (a,b) i 2) i definisane na segmentu 3)Postoji Tada postoji i vrijedi da je taj limes jednak .Sve ovo vrijedi i u sluaju da je

Primjena izvoda u ispitivanju toka funkcijeMonotonost funkcije

Ako za kaemo da je funkcija stogo rastua. Ako za kaemo da je funkcija monotono rastua. Ako za kaemo da je funkcija strogo opadajua.Ako za kaemo da je funkcija monotono opadajua.

Teorem Neka je funkcija definisana na segmentu i diferencijabilna na intervalu (a,b).Ako je kaemo da je funkcija monotono rastua.Ako je kaemo da je funkcija monotono opadajua .

Lokalni ekstremTeorem 1)Neka je funkcija definisana na segmentu i diferencijabilna na intervalu (a,b),osim eventualno u taki .Ako postoji broj ,takav da je iz toga slijedi da jei ako je odnosno ako postoji ,tada u taki ima lokalni maksimum,odnosno lokalni minimum.U okolini take maksimuma prirataj funkcije je negativan.U okolini take minimuma prirataj funkcije je pozitivan.Rjeenja jednainenazivamo stacionarnim takama.Stacionarne take su kandidati za ekstrem.Lokalni ekstremi mogu se odrediti i bez koritenja monotonosti funkcije nego preko izvoda drugog reda (vieg reda).

Teorem 2) Neka je funkcija definisana na segmentu i diferencijabilna na intervalu (a,b) i neka na (a,b) ima izvod prvog i drugog reda.Ako je tj.C je stacionarna taka i vai :1) funkcija u ima lokalni minimum.2)funkcija u ima lokalni maksimum.Teorem 3)Neka je funkcija definisana na segmentu i neka za Ako je (n) parni broj i slijedi da u taki postoji lokalni maksimum.Ako je u taki postoji lokalni minimum.Ako je (n) neparan broj onda u taki ne postoji ekstrem

Konveksnost i konkavnost funkcijeDefinicija 1.) Ako za bilo koje dvije take koje pripadaju domenu funckije f sjekanta grafika funkcije u oznaci AB uvjek iznad odgovarajueg luka grafika funckije tada kaemo da je funckija konveksna na definiciono podruje D(f)

Definicija 2.) Ako za bilo koje dvije take koje pripadaju domenu funckije f sjekanta grafika funkcije u oznaci AB uvjek ispod odgovarajueg luka grafika funckije tada kaemo da je funckija konkavna na definiciono podruje

Definicija 3.) Ako je u nekoj taki funkcija prelazi iz konveksnost u konkavnost ili obrnuto tada za taku C kaemo da je prevojna taka.

Teorem 1.) Neka je definisana na segmentu i neka na intervalu ima neprekidne izvode prvog i drugog reda. -funkcija je konkveksna na intervalu -funkcija je konkavna na intervalu

6.)Lopitalovo pravilo i asimptote funkcije (mogu primjer).

Asimptote funkcijeKosa asimptotaDefinicija 1.) Za pravu rei emo da je kosa asimptota funkcije ako udaljenost tj.udaljenost proizvoljne take grafika funkcije od prave tei ka nuli,tj.neogranieno opada kada taka N tei u beskonanost.

+ desna kosa asimptota-lijeva kosa asimptota

Horizontalna asimptota desna H.A. lijeva H.A.Ako funkcija ima H.A. nema potrebe ispitivati kosu asimptotu.

Vertikalna asimpotaNeka je taka prekida funkcije ako vai da je prava vertikalna asimptota

Parnost i periodinost funkcijeDefinicija 1.) Ako za funkciju vrijedi onda kaemo da je funkcija parna,a ako onda kaemo da je funkcija neparna.Definicija 2.)Za funkciju rei emo da je periodina za perodom P ako je .Najmanji od takvi brojeva P se naziva osnovnim periodom.

Taylorov razvoj funkcije u red Formula za razvoj polinoma po stepenu Uopteno: Za proizvoljnu funkciju moemo formirati polinom n-tog stepena

7.) Neodreeni integral, osobine i metod smjene ( primjer).Neodreeni integraliDefinicija 1.) Neka je E otvoreni interval konaan ili beskonaan na skupu R.Diferencijabilna funkcija definisana na E naziva se primitivna funkcija funkcije ako vai da je

Primitivna funkcija ima takvu osobinu da je i (C=const) takoe primitivna funkcija funkcije Zato to je .Vai i obrnuto,tj.dvije primitivne funkcije se razlikuju samo za konstantu.

Definicija 2.) Pod neodreenim integralom funkcije na intervalu E podrazumjeva se skup svih primitivnih funkcija funkcije u oznaci

Osobine neodreenih integralaDefinicija 1.) Neka su dvije funkcije definisane na skupu E.Pod sumom ovih skupova podrazumjevamo Definicija 2.) Pod proizvodom Tvrdnja 1.)a) - Adiditvnostb) - HomogenostTvrdnja 2.) Diferenciranja i integraciju su jedna drugoj inverzne operacije.

Integracija metodom smjeneNeka treba izraunati i umjesto x uvodimo novu promjenjivu i neka je tada integral glasi

Metoda parcijalne integracijeOva metoda se koristi kad se pod znakom integracija nae proizvod dvije raznorodne funkcije (npr.stepena puta eksponencijalna,stepena puta trigonometrijska...itd) ili ako se pojavi neka teka funkcija ().Neka su i funkcije pod i neka imaju izvode prvog reda .Tada je po pravilu diferenciranje proizvoda odakle slijedi da je ,odnosno da je Iz prethodni jednaina integracijom dobivamo da je Formula Parcijalne integracije.

8.) Parcijalna integracija i integracija racionalnih funkcija ( primjer)9.) Integracija iracionalnih i trigonometrijskih funkcija ( primjer)

10.) Odreeni integral, osobine, metod smjene i parcijalna integracija u odreenom integralu ( primjer)Odreeni integraliDefinicija 1.) Neka je definisana na segmentu .Podijelimo segment na n dijelova takama . Uzmimo i posmatrajmo sumu gdje je .Ako postoji i ako je on konaan za ma kakvu podjelu segmenta zvat emo ga ODREENIM INTEGRALOM U RIMANOVOM SMISLU.Funkcija u granicama od A do B i itamo

Napomena : Suma u prethodnoj jednaini naziva se integralnom sumom.U ovom sluaju kaemo da je integrabilna na segmentu .Da bi funkcija bila integrabilna na dovoljno je da bude neprekidna.Osobine odreeni integral1.) 2.)3.) 4.) Ako je parna funkcija 5.) Ako je neparna funkcija

Newton-Leibnizova formulaAko je neprekidna na segmentu tada na tom segment postoji neodreeni integral i vai jednakost da je

Metod smjene u odreenom integraluTeorem: Ako je funkcija neprekidna na segmentu i i ako funkciju na ima neprekidan izvod ,a je a i tada postoji integral

Parcijalna integracija u odreenom integraluNeka je funkcija i imaju integrabilne izvode na segmentu ,tada iz proizlazi integrabilnost proizvoda na segmentu tj, odakle je -formula za parcijalnu integraciju odreenog integrala.

11.)Primjena odreenog integralaPrimjena odreenog integral1.) Izraunavanje povrine ravnog likaAko je za tada je povrina krivolinijskog trapeze ogranienog lukom krive,pravcima i odsjekom x ose izmeu taaka a i b data formulom:

2.) Izraunavanje duine luka krivea) Duina luka u pravouglim koordinatama neprekdine i diferencijabilne funkcije

b)Duina luka krive zadane parametarski,tj.ako je kriva zadana jednainama ,gdje su i neprekidne funkcije na ,onda je duina luka krive jednaka:

3.) Zapremina rotacionog tijelaa) Ako je povrina presjeka tijela presjeenog sa ravni koja je normalna na x-osu onda je zapremina dobivenog rotacionog tijela

gdje su apcise krajnjih presjeka.b) Tijelo koje nastaje rotacijom krivolinijskog trapeza ogranienog krivom pravcima oko x-ose ima zapreminu

a oko y-ose

Ako krivolinijski trapez ogranien krivom i pravcima rotira oko y-ose onda opisuje tijelo zapremine

4.) Komplanacije obrtnih povrinaPovrina koja opisuje luk krive izmeu taaka sa apcisom rotiranjem oko x-ose data je obrascem

i oko y-ose data je obrascem

Nesvojstveni integrali1.) Integrali neogranienih funkcijaAko je funkcija neograniena u iz segmenta i neprekidna za onda se definie :

Ako ovi limesi postoje i konani su kaemo da integral konvergira,u protivnom integral divergira.2.) Integrali sa beskonanim granicamaAko je funkcija neprekidna za tada je

Ako postoji limes i konaan je integral divergira u protivnom divergira.Analogno je

12.) Simultana i uzastopne granine vrijednosti funkcija vie (mogu primjer), pojam neprekidnosti funkcija vie promjenljivih

Funkcije vie promjenjivihSkup Definicija 1.) Funkciju f koja preslikava nazivamo funkcijom vie promjenjivih.u ,ove granine vrijednost nazivaju se esto SIMULTANA graninih vrijednost funkcije.Ako postoji funkcija i granina vrijednost i ako za ovu funkciju postoji granina vrijednost u taki tada se naziva uzastopnoj graninoj vrijednosti funkcijeu taki .Ako postoji granina funkcija i ako za ovu funkciju postoji granina vrijednost u taki tada se naziva uzastopnoj graninoj vrijednosti funkcijeu taki .Vrijedi sledee:1.)Ako postoje simultana i uzastopna granina vrijednost onda one moraju biti jednake.2.)Ako je tada simultana granine vrijednost ne postoji.3.)Ako ne postoji tada ne moemo nita rei o postojanju .Definicija 2.)Funkcija je neprekidna u taki ako je

13.) Diferencijabilnost funkcija vie promjenljivih, definicija parcijalnih izvoda i totalnih diferencijala I i II reda za funkcije dvije i tri promjenljive (primjerDiferencijabilnost funkcija vie promjenjivihParcijalni prirataj funkcije po nezavisno promjenjivoj je izraz

Prvi parcijalni izvod funkcije po promjenjivoj u je

Za funkciju promjenjive imamo parcijalne izvode i Parcijalni izvodParcijalni izvod drugog reda za funkciju u je:

Uzastopno diferenciranje po pojedinim promjenjivim ne zavisi od redoslijeda diferenciranja ako je funkcija koju diferenciramo neprekidna i vrijedi da je Za drugi parcijalni izvod koristi se .Totalni diferencijal drugog reda za funkciju u definise se kao :

14.) Ekstremi funkcija vie promjenljivih (obini i uslovni).

Ekstremi funkcija vie promjenljivihDefinicija 1.) Neka je funkcija f definisana u okolini take kaemo da je funkcija f ima lokalni minimum u taki A ako i samo ako postoji okolina take A u kojoj uvjek vrijedi da je za svaku tak iz domena funkcija da je Definicija 2.) Funkcija f ima lokalni maximum u taki A ako postoji okolina take A u kojoj je za svaku taku iz domena funkcija je Napomena :Ako prirataj funkcije u okolini posmatrane take mijenja znak onda tu ne moe biti ekstrem.Definicija 3.) Kaemo da je funkcija f ima lokalni ekstrem u taki A ukoliko taka A predstavlja lokalni minimum ili lokalni maximum.Teorem 1.) : Neka je funkcija f definisana na domenu D.Pretpostavimo da funkcija ima lokalni ekstrem u taki A i da postoje parcijalni izvodi funkcije f u taki A tada je Definicija 4.) Neka je funkcija f definisana na domenu D.Ako funkcija f ima parcijalne izvode u taki A takve da je onda taku A nazivamo stacionarnom takom.

Dovoljan uslov za postojanje ekstrema1.) i tada u o postoji lokalni maximum.2.) i tada u o postoji lokalni minimum.3.) i potrebna su daljna ispitivanja po definiciji ekstrema.

Uslovni ekstrem Nalaenje ekstrema funkcije f pri zadatim uslovima svodi se na odreivanje obinog ekstrema funkcije

Navedena funkcija L nazive se LAGRANEVOM FUNKCIJOM a realni parameter LAGRANEVIM mnoiteljem.Za i dati uslov diferencirajmo uslov

15.Viestruki integral, teoreme o integrabilnim funkcijama.

Viestruki integralDefinicija 1.) Integralnom sumom naziva se svaka suma oblika gdje je funkcija koja je ograniena u zatvorenoj oblasti D zatim je oznaka i-te elije podjele oblasti D ,a proizvoljna taka iz elije ( i ujedno mjerni broj njene velicine)Definicija 2.) Viestrukim integralom funkcije u zatvorenoj oblasti D naziva se granina vrijednost integralnih suma u oznaci

Definicija 3.) Funkcija naziva se integrabilnoj u oblasti D ako postoji konana i jedinstvena granina vrijednost integralnih suma.

Definicija 4.) Za funkciju integrabilnoj u oblasti D imamo

i nazivamo ga Dvojnim integralom.

Definicija 5.) Za funkciju integrabilnoj u oblasti D imamo i nazivamo ga Trojnim integralomTeoreme integrabilnih funkcija

Teorem 1.) Osobina distributivnostiViestruki integral linearne kombinacije konanog broja integrabilnih funkcija jednak je linearnoj kombinaciji viestruki integral tih funkcija tj.

Teorem 2.) Osobina aditivnostiZa proizvoljnu podjelu oblasti D na parcijalnoj oblasti D vai jednakost da je Teorem 3.) Ako je tada je Teorem 4.) Teorema o srednjoj vrijednostiAko je proizvoljno neprekidna funkcija u ogranienoj oblasti D ,a integrabilna funkcija koja ima isti znak u toj oblasti tada vai jednakost da je gdje je broj koji lei izmeu donje i gornje granice Teorem 5.) Funkcija neprekidna u zatvorenoj oblasti D integrabilna je u toj oblasti.

16. Dvojni integral po oblasti pravougaonika, po proizvoljnoj oblasti i smjena promjenljive u dvojnom integralu (primjer).

Dvojni integral u oblasti pravougaonikaPosmatrajmo definisanu u pravougaoniku ; .Definicija 1.) Ako je funkcija promjenjiva x

integrabilna na tada se integral

naziva DVOSTRUKIM INTEGRALOM funkcija u zatvorenom pravougaoniku pri uzastopnoj integraciji najprije po promjenjivoj y a onda po promjenjivoj x.Analogno moemo pisati :

Teorem 1.) Ako je funkcija integrabilna u zatvorenom pravougaoniku D tj.ako postoji dvojni integral ove funkcije po D i ako za proizvoljno x iz postoji tada postoji dvostruki integrali njegova vrijednost je jednaka dvojnom integral po oblasti D

Vrijednost dvostrukog integral ne zavisi od poretka integracije.

Dvojni integral po proizvoljnoj oblastiTeorem 1.) Ako je funkcija neprekidna u oblasti D gdje je ; gdje su neprekidne funkcije tada se dvojni integral po oblasti D rauna kao

Jakobijan i smjena promjenjivih u dvojnom integralPosmatrajmo preslikavanje dato sistemom funkcija

Definicija 1.) Preslikavanja (1) naziva se regularnim u oblasti D ako :1.)Funkcija imaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda pos vim promjenjivim2.)Ako je determinanta

Ova determinanta naziva se Jakobijan sistema

Polarni kordinatni system

Teorema 1.) Smjena promjenjivih u dvojnom integral Ako se sistemom funkcija realizuje objektivno preslikavanja oblasti D u i ako je funkcija integrabilna u oblasti D tada je

17.)Geometrijska interpretacija dvojnog integrala (mogu primjer).

18.)Trojni integral po paralelepipedu, po proizvoljnoj oblasti i geometrijska interpretacija trojnog integrala (primjer).

19.)Smjena promjenljive u trojnom integralu. Sferni i cilindricni koordinatni sistem, izracunati Jakobijane (primjer).

20.)Definicija, klasifikacija, red i rjeenje diferencijalne jednaine. Rjeavanje diferencijalnih ednaina sa razdvojenim promjenljivim i jednaina u kojima se promjeljive mogu razdvojiti (primjer).

Definicija diferencijalne jednaineDiferencijalna jednaina je jednaina u kojoj se kao nepoznate pojavljuju,pored argumenta funkcije i njeni izvodi ili diferencijali.Klasifikacija i red diferencijalnih jednainaPrema vrsti izvod,obini ili parcijalni,diferencijalne jednaine dijelimo na obine i parcijalne diferencijalne jednaine.Neka se u diferencijalnoj jednaini kao nepoznate pojavljuje funkcija sa svojim izvodima ili diferencijalima,samo jedne promjenjive.Tada za jednainu kaemo da je obina diferencijalna jednaina.Ako se u diferencijalnoj jednaini pojavljuju funkcija sa dvije ili vie promjenjivih zajedno sa svojim parcijalnim izvodima,za jednainu kaemo da je parcijalna diferencijalna jednaina.Red diferencijalne jednaine je najvii red izvoda koji data diferencijalna jednaina sadri.Prema redu diferencijalne jednaine one se dijele na dijeferencijalne jednaina prvog,drugog....n-tog reda.Obina diferencijalna jednaina reda n ima opti oblik

Rjeavanje diferencijalnih jednaina sa razdvojenim promjenjivimNeka u jednaini funkcija ne zavisi od y,a funkcija ne zavisi od x.Tada se ta jednaina moe napisati u obliku.Diferencijalnu jednainu nazivamo jednaina sa razdvojenim promjenjivimOpti integral ove jednaine je

Primjer 1)

21.Rjeavanje homogene i linearne diferencijalne jednaine I reda (primjer).Homogena jednaina Jednaina je homogena ako su i homogene funkcije istog stepena homogeniteta.Funkcija je homogena stepena homogeniteta n ako vai da je za svako t iz osim nuleNpr. Ova funkcija je homogena homogeniteta 2.

Smjena : Uvrtavanjem ovog u u jednainu,homogena jednaina svede se na jednainu sa razdvojenim promjenjivim.

Linearna diferencijalna jednaina prvog reda )Formiramo odgovarajuu homogenu jednainu date ne homogene jednaine =0 i rijeimo ovu jednainu tj. Dobijemo homogeno rjeenje Zatim umjesto konstante C stavimo funkciju konstanta varira u funkciji ) rjeenje nehomogene jednaine traimo u obliku

22.) Definisati linearnu diferencijalnu jednainu n-tog reda i navesti teoreme o partikularnim rjeenjima. Rjeavanje homogene linearne diferencijalne jednaine II reda sa konstantnim koeficijentima (primjer).

Linearna jednaina n-tog reda i teoreme o partikularnim rjeenjima (1)ako je onda homogenaako je onda je nehomogenaPosmatrajmo homogenu jednainu (2)Teorem 1) Neka je partikularno rjeenje jednaine (2) tada je i gdje je takoe rjeenje jednaine (2)Teorem 2) Neka su partikularna rjeenja jednaine (2) tada je i i gdje su takoe rjeenja jednaine (2)Teorem 3) ) Neka su partikularna rjeenja jednaine (2) tada je rjeenje te jednaine i gdje su

Neka su date funkcije definisane na intervalu Determimantu :

nazivamo Wronskijanova determinantaTeorem 4.) Neka su funkcije linearno zavisne na tada je Wronskijan jednak nuli za svako x iz Ako je Wronskijan razliit od nule onda su sve konst to znai da su funkcije linearno nezavisneRjeavanje homogene linearne diferencijalne jednaine II reda sa konstantnim koeficijentima

1.)Rijeimo odgovarajuu homogenu jednainu i dobijemo 2.)Odredimo partikularno rjeenje i dobijemo i konano rjeenje je:

Odreivanje partikularnih rjeenja u zavisnosti od zadane funkcije 1.) Neka je Da li je rjeenje jednainea) nije ! b)jeste ! -jednostruko rjeenje c) jeste ! -dvostruko rjeenje

2.) Neka je Da li je rjeenje jednainea) nije ! b) jeste