matematika i. mőszaki informatikai m érn ökasszisztens...

1

Matematika I. Felsıfokú Szakképzés 1

Matematika I.Matematika I.MMőőszaki informatikai mszaki informatikai méérnrnöökasszisztenskasszisztens

Galambos GGalambos Gááborbor

JGYPKJGYPK20082008--2009 2009


A Matematika I. fA Matematika I. fııbb tbb téémmáái:i:Halmazok:Halmazok: Alapfogalmak, mAlapfogalmak, mőőveletek halmazokkal, veletek halmazokkal, szszáámhalmamhalma--zokzok, v, véégtelen halmazok.gtelen halmazok.RelReláácicióók:k: Alapfogalmak, relAlapfogalmak, reláácicióók tulajdonsk tulajdonsáágai (reflexgai (reflexíív, v, szimszim--metrikusmetrikus, tranzit, tranzitíív, v, ekvivalencirelekvivalencireláácicióó, , trichottrichotóómiamia, rendez, rendezéés, js, jóóll--rendezrendezéés).s).FFüüggvggvéények:nyek: Alapfogalmak, fAlapfogalmak, füüggvggvéények nyek áábrbráázolzoláása, msa, mőőveletek veletek ffüüggvggvéényekkel, specinyekkel, speciáális flis füüggvggvéények (pl. rekurznyek (pl. rekurzíív fv füüggvggvéények).nyek).Matematikai Logika:Matematikai Logika: Alapfogalmak, logikai mAlapfogalmak, logikai mőőveletek, logikai veletek, logikai ffüüggvggvéények, knyek, köövetkeztetvetkeztetéések sek éés szabs szabáályaik.lyaik.A lineA lineááris algebra alapjai:ris algebra alapjai: LineLineááris egyenletrendszerek, mris egyenletrendszerek, máátrixok, trixok, determindetermináánsok, linensok, lineááris egyenletrendszerek numerikus megoldris egyenletrendszerek numerikus megoldáásai.sai.KombinatKombinatóórikarika:: Alapfogalmak, permutAlapfogalmak, permutáácicióó éés tulajdonss tulajdonsáágai, gai, kombinkombináácicióók, binomik, binomiáális egylis együütthattthatóók, varik, variáácicióók.k.GrGrááfelmfelméélet:let: Alapfogalmak, grAlapfogalmak, grááfok fok áábrbráázolzoláása, klasszikus sa, klasszikus grgrááfbejfbejáárráásoksok, p, páárosrosííttáások, magyar msok, magyar móódszer, dszer, fagrfagrááfokfok..

2


A Matematika II. fıbb témái:

Valószínőségszámítás:Intervallum, távolság, környezet:Valós függvények:Számsorozatok és sorok:Függvények határértéke, folytonosságDifferenciálszámításDifferenciálszálható függvények vizsgálata:Integrálszámítás:


Az elıadás

Bánhegyesiné Topor Gizella, Bánhegyesi Zoltán: Matematika , nem matematika szakosoknak.OKJ informatika sorozat. Mőszaki Kiadó, Budapest, 2002. ISBN 963-16-2266-5.(Megrendelhetı: www.muszakikiado.hu.)

Csernyák László: Analízis, Matematika közgazdászoknak sorozat. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005, ISBN 963 19 3510 8.alapján lett összeállítva. (Keress rá a Google-n: „Csernyák László”)

3


A kA köözzöös tulajdonss tulajdonsáágok alapjgok alapjáán csoportba foglalhatn csoportba foglalhatóó ttáárgyakat, rgyakat, fogalfogal--makatmakat halmazoknakhalmazoknak nevezznevezzüük.k.Pl. bPl. béélyeggylyeggyőőjtemjteméény, embercsoportok, szny, embercsoportok, száámok, fmok, füüggvggvéények.nyek.

A halmazhoz tartozA halmazhoz tartozóó egyedeket a egyedeket a halmaz elemeinekhalmaz elemeinek nevezznevezzüük.k.

Melyek az elemek legfontosabb tulajdonsMelyek az elemek legfontosabb tulajdonsáágai?gai?

EgyEgyéértelmrtelmőően elden eldöönthetnthetıı, hogy az elem hozz, hogy az elem hozzáátartoziktartozik--e a e a halmazhoz.halmazhoz.A halmaz minden eleme a tA halmaz minden eleme a tööbbi elemtbbi elemtııl megkl megküüllöönbnbööztethetztethetıı..Egy halmazban egy elem csak egyszer fordul elEgy halmazban egy elem csak egyszer fordul elıı..Egy halmaz nem lehet Egy halmaz nem lehet öönmagnmagáának az eleme.nak az eleme.

Georg Cantor (1845-1918) alapozta meg a halmazelmélet fogalmát.


Azt, hogy egy Azt, hogy egy hh dolog eleme a dolog eleme a HH halmaznak a halmaznak a hh ∊∊ HH jeljelööllééssel ssel íírjuk rjuk le. le. Ha Ha hh nem eleme a nem eleme a HH halmaznak, akkor a halmaznak, akkor a hh ∉∉ HH jeljelöölléést st alkalmazalkalmaz--zukzuk..

Pl. Ha Pl. Ha ℕℕ--nelnel jeljelööljljüük a termk a terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáát, akkor 5 t, akkor 5 ∊∊ ℕℕ éés s --13 13 ∉∉ ℕℕ. .

BBáármely halmazt egyrmely halmazt egyéértelmrtelmőően meghaten meghatáározzrozzáák az elemei: ha H egy k az elemei: ha H egy halmaz, akkor bhalmaz, akkor báármely rmely xx dologra vagy dologra vagy xx ∊∊ HH vagy vagy xx ∉∉ HH ááll fenn.ll fenn.

KKéét halmazt akkor tekintt halmazt akkor tekintüünk nk azonosnakazonosnak, ha elemei ugyanazok, azaz , ha elemei ugyanazok, azaz a a HH éés s KK halmaz akkor egyenlhalmaz akkor egyenlıı, ha , ha hh ∊∊ HH esetesetéén n hh ∊∊ KK is teljesis teljesüül, l, éés s ha ha hh ∉∉ HH akkor akkor hh ∉∉ KK is igaz. Jelis igaz. Jelöölléése: H = K.se: H = K.

4


Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolEgy halmazt megadhatunk elemeinek felsoroláássáával vagy egy olyan val vagy egy olyan tulajdonstulajdonsáággal, amely a halmaz elemeit egyggal, amely a halmaz elemeit egyéértelmrtelmőően meghaten meghatáározza.rozza.

Pl.Pl.A 3A 3--mal oszthatmal oszthatóó termterméészetes szszetes száámok halmaza mok halmaza íígy gy íírhatrhatóó le:le:

HH = {0, 3, 6, 9, = {0, 3, 6, 9, ……} vagy } vagy HH = {= {xx | | xx ∊∊ ℕℕ éés s xx oszthatoszthatóó 33--malmal}.}.

Halmazok Halmazok áábrbráázolzoláása:sa:

VennVenn--diagramdiagram


Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üüres halmaznakres halmaznaknevezznevezzüük, k, éés s ∅∅ --valval vagy { }vagy { }--valval jeljelööljljüük.k.

Pl. TekintsPl. Tekintsüük a kk a köövetkezvetkezıı halmazt:halmazt:

AA = {azon val= {azon valóós s xx szszáámok, amelyekre sin mok, amelyekre sin xx + cos + cos xx = 2 igaz}= 2 igaz}

Mivel sin Mivel sin xx éés cos s cos xx mindig csak mindig csak --1 1 éés +1 ks +1 köözzéé esesıı éértrtéékeket vehet keket vehet fel, ezfel, ezéért az egyenlet csak akkor lehet igaz, ha sin rt az egyenlet csak akkor lehet igaz, ha sin xx = 1 = 1 éés cos s cos xx = 1 = 1 egyszerre teljesegyszerre teljesüül.l.A sin A sin xx = 1 megold= 1 megoldáása:sa:

A cos A cos xx = 1 megold= 1 megoldáása:sa:

EzEzéért nincs olyan x valrt nincs olyan x valóós szs száám, amely egyenletm, amely egyenletüünknek megoldnknek megoldáása sa lenne. Ezlenne. Ezéért A = rt A = ∅∅..

. ahol ,22

Zkkx ∈+= ππ

. ahol ,2 Zkkx ∈= π

5


VVááltoztassuk meg az ltoztassuk meg az AA halmaz definhalmaz definíícicióójjáát:t:BB = {azon val= {azon valóós szs száámok mok halmazahalmaza, amelyekre sin , amelyekre sin xx + cos + cos xx = 2 igaz}= 2 igaz}

Van kVan küüllöönbsnbséég a kg a kéét defint definíícicióó kköözzöött?tt?

Az Az AA halmaz halmaz üüres halmaz, a res halmaz, a BB halmaz nem halmaz nem üüres halmaz, mert egyetres halmaz, mert egyet--len elemet tartalmaz, ti. az len elemet tartalmaz, ti. az AA üüres halmazt.res halmazt.

KKöönnynnyőő belbeláátni, hogy csak egy tni, hogy csak egy üüres halmaz van. (Hasznres halmaz van. (Hasznáálni kell a lni kell a kkéét halmaz azonosst halmaz azonossáággáára vonatkozra vonatkozóó defindefiníícicióót.)t.)


Induljunk ki az autInduljunk ki az autóók halmazk halmazáábbóól. Keressl. Keressüünk olyan nk olyan tulajdonstulajdonsáágokat, amelyek alapjgokat, amelyek alapjáán tovn továább bonthatjuk az autbb bonthatjuk az autóók k halmazhalmazáát!t!Mondjunk tovMondjunk továábbi halmazokat, bbi halmazokat, éés bontsuk ezeket rs bontsuk ezeket réészekre!szekre!

VennVenn diagrammal:diagrammal:AutAutóókk

SzemSzeméélyautlyautóókk

6


Egy Egy KK halmazt a halmazt a HH halmaz halmaz rréészhalmazszhalmazáánaknak neveznevezüünk, ha a nk, ha a KK halhal--mazmaz minden eleme egyben minden eleme egyben HH--nak is eleme. Jelnak is eleme. Jelöölléése: se: KK ⊆⊆ HH..

A definA definíícicióóbbóól kl köövetkezik, hogy minden halmaz rvetkezik, hogy minden halmaz réésze sajsze sajáát magt magáának, nak, hiszen minden hiszen minden xx ∊∊ HH --bbóóll kköövetkezik, hogy vetkezik, hogy xx ∊∊ HH, teh, teháát a t a HH ⊆⊆ HHtartalmaztartalmazáás mindig igaz.s mindig igaz.

Egy Egy KK halmazt a halmazt a HH halmaz halmaz valvalóódidi rréészhalmazszhalmazáánaknak neveznevezüünk, ha a nk, ha a KKrréészhalmaza szhalmaza HH--nak nak éés s HH--nak van legalnak van legaláább egy eleme, amely nem bb egy eleme, amely nem eleme eleme KK--nak. Jelnak. Jelöölléése: se: KK ⊂⊂ HH..

TTéétel: tel: KK ⊂⊂ H H akkor akkor éés csak akkor igaz, ha s csak akkor igaz, ha KK ⊆⊆ H, H, de de HH ⊈⊈ K .K .

TTéétel: Ha tel: Ha KK ⊆⊆ H H éés s HH ⊆⊆ K , K , akkor akkor HH = = KK..

Az Az üüres halmaz minden halmaznak rres halmaz minden halmaznak réészhalmaza.szhalmaza.


TekintsTekintsüünk egy nk egy AA halmazt, amely rhalmazt, amely réészhalmaza szhalmaza HH--akak. Azt a halmazt, . Azt a halmazt, amely a amely a HH valamennyi valamennyi AA--hoz nem tartozhoz nem tartozóó elemeleméét tartalmazza, az t tartalmazza, az AAhalmaz halmaz HH--ra vonatkoztatott ra vonatkoztatott komplementer (kiegkomplementer (kiegéészszííttıı) halmaz) halmazáánaknaknevezznevezzüük. Jelk. Jelöölléése:se:

AA’’ = {= {xx | | xx ∊∊ HH éés s xx ∉∉ AA }}

HH

AA’’

AA

7


NNééhháány egyszerny egyszerőő megmegáállapllapííttáás:s:

Egy halmaz Egy halmaz öönmagnmagáára vonatkoztatott komplementere az ra vonatkoztatott komplementere az üüres res halmaz.halmaz.Az Az üüres halmaz komplementere maga a halmaz.res halmaz komplementere maga a halmaz.Egy halmaz bEgy halmaz báármely mrmely máásik halmazra sik halmazra vontakoztatottvontakoztatott komplekomple--mentermenterééneknek a komplementere maga a halmaz.a komplementere maga a halmaz.Ha kHa kéét halmaznak ugyanarra a halmazra vonatkoztatott t halmaznak ugyanarra a halmazra vonatkoztatott komplekomple--menterementere egyenlegyenlıı, akkor a k, akkor a kéét halmaz is egyenlt halmaz is egyenlıı egymegymáással. (Ez ssal. (Ez megfordmegfordíítva is igaz.)tva is igaz.)


MMőőveletek halmazokkalveletek halmazokkal

Az Az AA éés s BB halmazoknak az halmazoknak az AA ×× BB szimbszimbóólummal jellummal jelöölt lt DescartesDescartes--ffééle le szorzatszorzatáánn az az öösszes olyan rendezett (sszes olyan rendezett (a,ba,b) p) páárokbrokbóól l áállllóó halmazt halmazt éértjrtjüük, amelyekre k, amelyekre aa ∊∊ AA éés s bb ∊∊ B. B. JelJelöölléése: se:

AA ×× BB = { (a,b) | = { (a,b) | aa ∊∊ AA éés s bb ∊∊ B B }.}.Ha A = B, akkor az AHa A = B, akkor az A ×× AA helyett az helyett az AA22 jeljelöölléést is hasznst is hasznááljuk.ljuk.

Pl. Legyen Pl. Legyen AA = {= {1, 2, 31, 2, 3} } éés s BB = {= {e, fe, f} }

AA ×× BB ==

),3(),3(3

),2(),2(2

),1(),1(1

fe

fe

fe

fe

8


A tA tááblbláázat felfoghatzat felfoghatóó egy speciegy speciáális szorzlis szorzóóttááblbláának. A szorzathalmaz nak. A szorzathalmaz elemeinek a szelemeinek a száámmáát a kt a kéét halmaz elemeinek szorzata adja.t halmaz elemeinek szorzata adja.

TTéétel: A Descartestel: A Descartes--szorzszorzáás ms mőővelete nem kommutatvelete nem kommutatíív. (Nem v. (Nem felcserfelcseréélhetlhetıı).).

A szorzathalmaz kettA szorzathalmaz kettıınnéél tl tööbb halmaz szorzatbb halmaz szorzatáára is ra is éértelmezett, rtelmezett, ekkor rendezett hekkor rendezett háármasok, nrmasok, néégyesek, stb. lesznek a szorzathalmaz gyesek, stb. lesznek a szorzathalmaz elemei.elemei.

A szorzathalmaz lehetA szorzathalmaz lehetııvvéé teszi matematikai alakzatok konstrukciteszi matematikai alakzatok konstrukcióójjáát t is:is:


ℕℕℕℕ

9


A mA mőőveletekrveletekrııl l ááltalltaláábanban

Egy Egy HH halmazon halmazon éértelmezett (belsrtelmezett (belsıı, k, kéétvtvááltozltozóós) s) mmőőveletvelet nem mnem máás, s, mint a mint a HH ×× HH szorzathalmaz lekszorzathalmaz lekéépezpezéése se öönmagnmagáába a ba a HH halmazba, halmazba, azaz minden (azaz minden (x,yx,y) ) ∊∊ HH ×× HH rendezett prendezett páárhoz rhoz HH egy elemegy eleméét rendeljt rendeljüük k hozzhozzáá. Matematika jel. Matematika jelööllééssel:ssel:

φφ: (: (x,yx,y) ) ∊∊ HH ×× HH →→ z = f(z = f(x,yx,y) ) ∊∊ HH

HHáárom alapvetrom alapvetıı mmőőveleti tulajdonsveleti tulajdonsáágot fogunk definigot fogunk definiáálni:lni:

AsszociativitAsszociativitáás (csoportoss (csoportosííthatthatóóssáág)g)KommutativitKommutativitáás (felcsers (felcseréélhetlhetıısséég)g)DisztributivitDisztributivitáás (szs (szééttagolhatttagolhatóóssáág)g)


Egy Egy HH halmazon halmazon éértelmezett rtelmezett •• mmőőveletet akkor mondunk veletet akkor mondunk asszociatasszociatíívv--naknak, ha b, ha báármely rmely x, y, zx, y, z ∊∊ HH elemre fennelemre fennááll, hogyll, hogy

((x x •• yy) ) •• zz = = xx •• ((y y •• zz) = ) = x x •• y y •• zz..

Ha egy mHa egy mőővelet asszociatvelet asszociatíív, akkor a zv, akkor a záárróójelet bjelet báárhova lehet rakni, de rhova lehet rakni, de az elemek sorrendje laz elemek sorrendje léényeges.nyeges.

•• AsszociatAsszociatíív mv mőővelet a valvelet a valóós szs száámok halmazmok halmazáán n éértelmezett rtelmezett öösszeadsszeadáás s éés szorzs szorzáás.s.

•• Nem asszociatNem asszociatíív mv mőővelet a hatvvelet a hatváányoznyozáás, hiszens, hiszen

A bal oldal eredmA bal oldal eredméénye 8nye 822 = 64, a jobb oldal= 64, a jobb oldaléé 2299 = 512.= 512.

( ) ( )2323 22 ≠

AsszociativitAsszociativitááss

10


Egy Egy HH halmazon halmazon éértelmezett rtelmezett •• mmőőveletet akkor mondunk veletet akkor mondunk kommutatkommutatíívnakvnak, ha b, ha báármely rmely x, yx, y ∊∊ HH elemre fennelemre fennááll, hogyll, hogy

x x •• yy = = y y •• xx..

Ha egy mHa egy mőővelet kommutatvelet kommutatíív, akkor a mv, akkor a mőővelet eredmvelet eredméénye fnye füüggetlen a ggetlen a mmőőveletben rveletben réésztvevsztvevıı elemek sorrendjelemek sorrendjééttııll

•• KommutatKommutatíív mv mőővelet a valvelet a valóós szs száámok halmazmok halmazáán n éértelmezett rtelmezett öösszeadsszeadáás s éés szorzs szorzáás, vagy az s, vagy az egybevegybeváággóóssáágigi transzformtranszformáácicióók k egymegymáás uts utááni vni véégrehajtgrehajtáása.sa.

•• Nem kommutatNem kommutatíív mv mőővelet a kivonvelet a kivonáás, hiszens, hiszen

5 5 –– 3 3 ≠≠ 3 3 –– 5.5.

KommutativitKommutativitááss


Legyen adott a Legyen adott a HH halmazon halmazon éértelmezett krtelmezett kéét mt mőővelet velet •• éés s ⎕⎕. A . A ••mmőőveletet veletet balrbalróól disztributl disztributíívv a a ⎕⎕ mmőőveletre nveletre néézve, ha bzve, ha báármely rmely x, yx, y zz∊∊ HH elemre fennelemre fennááll, ll,

x x •• ((yy ⎕⎕ zz) = () = (x x •• y) y) ⎕⎕ ((x x •• zz) .) .

DisztributivitDisztributivitááss

Legyen adott a Legyen adott a HH halmazon halmazon éértelmezett krtelmezett kéét mt mőővelet velet •• éés s ⎕⎕. A . A ••mmőőveletet veletet jobbrjobbróól disztributl disztributíívv a a ⎕⎕ mmőőveletre nveletre néézve, ha bzve, ha báármely rmely x, yx, y zz∊∊ HH elemre fennelemre fennááll, ll,

((x x ⎕⎕ yy) ) •• zz = (= (x x •• z) z) ⎕⎕ ((x x •• yy) .) .

Ha egy mHa egy mőővelet balrvelet balróól is l is éés jobbrs jobbróól is disztributl is disztributíív egy mv egy máásik sik mmőőveletre nveletre néézve, akkor egyszerzve, akkor egyszerőően en disztributdisztributíívitvitáásrsróóll beszbeszééllüünk.nk.

A valA valóós szs száámok kmok köörréében definiben definiáált szorzlt szorzáás ms mőővelete disztributvelete disztributíív az v az ugyanitt definiugyanitt definiáált lt öösszeadsszeadáás ms mőőveletveletéére nre néézve.zve.

11


ZZáártsrtsáágg

A A HH halmaznak egy halmaznak egy KK rréészhalmazszhalmazáát a t a ⎕⎕ mmőőveletre nveletre néézve zve zzáártnakrtnakmondunk, bmondunk, báármely rmely x, yx, y ∊∊ KK elemekre igaz, hogy elemekre igaz, hogy xx ⎕⎕ yy ∊∊ KK..

Pl. a pozitPl. a pozitíív pv pááratlan szratlan száámok halmaza az mok halmaza az öösszeadsszeadáásra nsra néézve nem zve nem zzáárt, de a szorzrt, de a szorzáásra nsra néézve zzve záárt.rt.


Halmazok uniHalmazok unióójaja

Az Az AA éés s BB halmazok halmazok uniunióójjáánn (egyes(egyesííttéésséén) azt a halmazt n) azt a halmazt éértjrtjüük, k, amely azokat amely azokat éés csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek s csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek AA éés s BB kköözzüül legall legaláább az egyiknek elemei. Jelbb az egyiknek elemei. Jelöölléése: se: A A ∪∪ B.B. Az Az AA éés s BBhalmazokat az halmazokat az uniunióó tagjainaktagjainak nevezznevezzüük.k.

AA BB

A halmazok egyesA halmazok egyesííttéés hs háárom vagy trom vagy tööbb tagra is definibb tagra is definiáálhatlhatóó: Az : Az AA11, , AA22,,……, , AAnn,, halmazok halmazok uniunióójjáánn (egyes(egyesííttéésséén) azt a halmazt n) azt a halmazt éértjrtjüük, amely k, amely azokat azokat éés csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek s csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek AAii ((ii==1,2,1,2,……, , nn) halmazok k) halmazok köözzüül legall legaláább az egyiknek elemei. Jelbb az egyiknek elemei. Jelöölléése: se: AA11 ∪∪ AA2 2 ∪∪…… ∪∪ AAnn..

12


Az uniAz unióókkéépzpzéés ms mőőveletveletéének legfontosabb tulajdonsnek legfontosabb tulajdonsáágai:gai:

Az uniAz unióókkéépzpzéés ms mőővelete kommutatvelete kommutatíív.v.

Az uniAz unióókkéépzpzéés ms mőővelete asszociatvelete asszociatíív.v.

Az uniAz unióókkéépzpzéés ms mőővelete velete idempotensidempotens: : A A ∪∪ A = A.A = A.

A A ∪∪ ∅∅ = A.= A.

A A ∪∪ B = B B = B akkor akkor éés csak akkor, has csak akkor, ha A A ⊆⊆ B.B.

A A ∪∪ B = B = ∅∅ akkor akkor éés csak akkor, has csak akkor, ha AA = = ∅∅ éés s BB = = ∅∅..

Legyen Legyen AA egy halmaz, egy halmaz, éés legyen s legyen A A ⊆⊆ B. B. Ha Ha AA'' az az AA halmaz halmaz BB--re re vonatkoztatott komplementer halmaza, akkor vonatkoztatott komplementer halmaza, akkor A A ∪∪ AA'' = B.= B.


Halmazok metszeteHalmazok metszete

Az Az AA éés s BB halmazok halmazok metszetmetszetéénn (k(köözzöös rs réészszéén) azt a halmazt n) azt a halmazt éértjrtjüük, k, amely azokat amely azokat éés csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mind s csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mind az az AA mind a mind a BB halmaznak elemei. Jelhalmaznak elemei. Jelöölléése: se: A A ∩∩ B.B. Az Az AA éés s BBhalmazokat az halmazokat az metszet tagjainakmetszet tagjainak nevezznevezzüük.k.

Pl. Legyen Pl. Legyen KK = {12 oszt= {12 osztóói}, i}, éés s LL = {20 oszt= {20 osztóói}. Ekkor i}. Ekkor KK = {1, 2, 3, = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 4, 6, 12} éés s HH = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. ÍÍgy gy A A ∩∩ B =B ={1, 2, 4}. {1, 2, 4}. A metszethalmaz A metszethalmaz ééppen a 12 ppen a 12 éés 20 ks 20 köözzöös oszts osztóóinak halmaza.inak halmaza.

A halmazok metszete hA halmazok metszete háárom vagy trom vagy tööbb tagra is definibb tagra is definiáálhatlhatóó: Az : Az AA11, , AA22,,……, , AAnn,, halmazok halmazok metszetmetszetéénn azt a halmazt azt a halmazt éértjrtjüük, amely azokat k, amely azokat éés s csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek AAii ((ii==1,2,1,2,……, n, n) ) halmazok halmazok mindegyikmindegyikéénene eleme. Jeleleme. Jelöölléése: se: AA11 ∩∩ AA2 2 ∩∩ …… ∩∩ AAnn..

13


Az metszetkAz metszetkéépzpzéés ms mőőveletveletéének legfontosabb tulajdonsnek legfontosabb tulajdonsáágai:gai:

Az metszetkAz metszetkéépzpzéés ms mőővelete kommutatvelete kommutatíív.v.

Az metszetkAz metszetkéépzpzéés ms mőővelete asszociatvelete asszociatíív.v.

Az metszetkAz metszetkéépzpzéés ms mőővelete velete idempotensidempotens: : A A ∩∩ A = A.A = A.

A A ∩∩ ∅∅ = = ∅∅..

A A ∩∩ B = A B = A akkor akkor éés csak akkor, has csak akkor, ha A A ⊆⊆ B.B.

Legyen Legyen AA egy halmaz, egy halmaz, éés legyen s legyen A A ⊆⊆ B. B. Ha Ha AA'' az az AA halmaz halmaz BB--re re vonatkoztatott komplementer halmaza, akkor vonatkoztatott komplementer halmaza, akkor A A ∩∩ AA'' = = ∅∅..

Az uniAz unióó a a metszetkmetszetkééppéésresre nnéézve disztributzve disztributíív.v.

A metszet az uniA metszet az unióókkéépzpzéése nse néézve disztributzve disztributíív.v.


BizonyBizonyíítsuk be, hogy unitsuk be, hogy unióó a a metszetkmetszetkééppéésresre nnéézve disztributzve disztributíív!v!

AA ∪∪ ((B B ∩∩ CC )) = (= (AA ∪∪ BB)) ∩∩ ((AA ∪∪ CC))

AA ∪∪ ((B B ∩∩ CC )) ((AA ∪∪ BB)) ∩∩ ((AA ∪∪ CC))

AA

CC

BB AA BB

CC

14


Halmazok kHalmazok küüllöönbsnbséégege

Az Az AA éés s BB halmazok halmazok kküüllöönbsnbsééggéénn az az AA halmaznak azt a rhalmaznak azt a réészszéét t éértjrtjüük, k, amelyek nem tartoznak a amelyek nem tartoznak a BB halmazhoz. Jelhalmazhoz. Jelöölléése: se: AA \\ BB ..

A kA küüllöönbsnbséégkgkéépzpzéés ms mőőveletveletéének legfontosabb tulajdonsnek legfontosabb tulajdonsáágai:gai:Az Az AA \\ BB kküüllöönbsnbsééghalmaz mindig rghalmaz mindig réészhalmaza szhalmaza AA--nak.nak.Amennyiben egy Amennyiben egy AA halmazbhalmazbóól kivonjuk annak egy l kivonjuk annak egy BB rréészhalmaszhalma--zzáátt, akkor a , akkor a BB halmaznak halmaznak AA--ra vonatkozra vonatkozóó komplementerkomplementeréét kapjuk: t kapjuk: AA \\ BB = = AA'' ..A A BB \\ A A kküüllöönbsnbsééghalmazt az ghalmazt az AA \\ B B szimmetrikus pszimmetrikus páárjrjáának nak neveznevez--zzüükk. . A A BB \\ A A éés az s az AA \\ B B halmazoknak nincs khalmazoknak nincs köözzöös eleme (s eleme (diszjunktakdiszjunktak). ). AA \\ ∅∅ = = ∅∅ ééss ∅∅ \\ AA = = ∅∅ ééss AA \\ AA = = ∅∅..

A kA küüllöönbsnbséégkgkéépzpzéés ms mőővelete nem kommutatvelete nem kommutatíív.v.A kA küüllöönbsnbséégkgkéépzpzéés ms mőővelete nem asszociatvelete nem asszociatíív.v.


Szimmetrikus differenciaSzimmetrikus differencia

Az Az AA éés s BB halmazok halmazok szimmetrikus differenciszimmetrikus differenciáájjáánn az az A A ∆∆ B = B = {{AA \\ BB} } ∪∪ {{BB \\ AA} }

halmazt halmazt éértjrtjüük, k,

A A ∆∆ BB

AA BB

A definA definíícicióóbbóól a kl a köövetkezvetkezıı tulajdonstulajdonsáágok kgok köövetkeznek:vetkeznek:A A ∆∆ A =A = ∅∅A A ∆∆ B =B = B B ∆∆ A A AA ∆∆ ∅∅ = = ∅∅ ∆∆ AA = = AA..

( ( A A ∆∆ B B ) ) ∆∆ CC = = A A ∆∆ ( ( BB ∆∆ C C ) ( a m) ( a mőővelet asszociatvelet asszociatíív). v).

15


VennVenn diagramm segdiagramm segíítstsééggéével vel áábrbráázoljuk a ( zoljuk a ( A A ∆∆ B B ) ) ∆∆ C C halmazhalmaz--mmőőveletet!veletet!

AA BB

CC


SzSzáámhalmazokmhalmazok

TermTerméészetes szszetes száámokmok

A termA terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáát a t a PeanoPeano axaxóómmáákkalkkal (1889) (1889) íírhatjuk rhatjuk le. le.

GiuseppeGiuseppe PeanoPeano (1858 (1858 –– 1932).1932).

KurtKurt GGöödeldel: Minden axi: Minden axióómarendszerben lmarendszerben lééteznek olyan teznek olyan áállllííttáások, sok, amelyek nem eldamelyek nem eldöönthetnthetıık, azaz amelyeknek bizonyk, azaz amelyeknek bizonyííttáása sa éés cs cááfolata folata az adott rendszeren belaz adott rendszeren belüül nem vl nem véégezhetgezhetıı el.el.

16


A A PeanoPeano axiaxióómmáákk::

1.1. A 0 termA 0 terméészetes szszetes száám, azaz 0 m, azaz 0 ∊ℕ∊ℕ..

2.2. BBáármely rmely nn termterméészetes szszetes száámnak lmnak léétezik egy tezik egy éés csak egy s csak egy –– az az nnszszáámtmtóól kl küüllöönbnböözzıı –– nn'' rráákköövetkezvetkezııje, amelyik szintje, amelyik szintéén n termterméészesze--testes szszáám.m.

3.3. Nincs olyan termNincs olyan terméészetes szszetes száám, amelynek a 0 a rm, amelynek a 0 a ráákköövetkezvetkezııje.je.

4.4. KKüüllöönbnböözzıı termterméészetes szszetes száámoknak kmoknak küüllöönbnböözzıı a ra ráákköövetkezvetkezııje.je.

5.5. Ha egy Ha egy KK halmaz az halmaz az ℕℕ rréészhalmaza, tovszhalmaza, továábbbbáá KK rendelkezik az 1rendelkezik az 1--es axies axióóma szerinti tulajdonsma szerinti tulajdonsáággal, ggal, éés minden s minden KK--beli elem beli elem rráákköövetkezvetkezııjje is a e is a KK halmazban van, akkor halmazban van, akkor KK = = ℕℕ..


A A PeanoPeano axiaxióómmáákk (formaliz(formalizááltan):ltan):

1.1. 0 0 ∊∊ ℕℕ..

2.2. Ha Ha nn ∊∊ ℕℕ, , akkor akkor nn'' ∊∊ ℕℕ..

3.3. Ha Ha nn'' = 0, akkor n = 0, akkor n ∉∉ ℕℕ..

4.4. Ha Ha m, nm, n ∊∊ ℕℕ, , éés s m m ≠≠ nn, akkor , akkor nn'' ≠≠ mm'' ..

5.5. Ha egy Ha egy KK halmazra igaz, hogy halmazra igaz, hogy (i) (i) KK ⊆⊆ ℕℕ, , ((iiii) ) 0 0 ∊∊ KK, (, (iiiiii) ha ) ha n n ∊∊ KK, akkor , akkor nn'' ∊∊ KK,,akkor akkor KK = = ℕℕ..

17


Az 5Az 5--öös axis axióómmáát szokt szokáás a s a teljes indukciteljes indukcióó axiaxióómmáájjáának nevezni.nak nevezni.

Legyen Legyen αα((nn) minden ) minden nn ∊∊ ℕℕ--rere éértelmezett rtelmezett áállllííttáás, s, éés tegys tegyüük fel, hogy k fel, hogy teljesteljesüül a kl a köövetkezvetkezıı kkéét feltt feltéétel:tel:

az az αα(1) (1) áállllííttáás igaz,s igaz,ha valamely ha valamely nn ∊∊ ℕℕ esetesetéén n αα((nn) igaz, akkor ) igaz, akkor αα((n+n+1) is igaz,1) is igaz,

Ekkor Ekkor αα((nn) minden ) minden nn ∊∊ ℕℕ esetesetéén igaz.n igaz.

A A teljes indukciteljes indukcióó axiaxióómmáájjáának vnak vááltozataltozata::

Legyen Legyen kk ∊∊ ℕℕ, , éés s αα((nn) minden ) minden kk ≤≤ nn ∊∊ ℕℕ--rere éértelmezett rtelmezett áállllííttáás, s, éés s tegytegyüük fel, hogy teljesk fel, hogy teljesüül a kl a köövetkezvetkezıı kkéét feltt feltéétel:tel:

az az αα((kk) ) áállllííttáás igaz,s igaz,ha valamely ha valamely nn ∊∊ ℕℕ esetesetéén n αα((nn) igaz, akkor ) igaz, akkor αα((n+n+1) is igaz,1) is igaz,

Ekkor Ekkor αα((nn) minden ) minden kk ≤≤ nn ∊∊ ℕℕ esetesetéén igaz.n igaz.


NNéézzzzüünk egy teljes indukcink egy teljes indukcióós bizonys bizonyííttáást: st: BizonyBizonyíítsuk be, hogy az elstsuk be, hogy az elsıı nn termterméészetes szszetes száám m öösszege sszege

.2

)1()(

+=

nnnS

1.1. A tA téétel tel áállllííttáása sa n n = 1= 1--re igaz, hiszen re igaz, hiszen SS(1) = 1.(1) = 1.

2. Tegy2. Tegyüük fel, hogy az k fel, hogy az áállllííttáást valamely st valamely nn ≥≥ 11--re mre máár belr belááttuk. Ekkorttuk. Ekkor

EzEzéért a trt a téétel tel áállllííttáása igaz.sa igaz.

=+++

=+++

=++=+2

)1(2)1()1(

2

)1()1()()1(

nnnn

nnnnSnS

.2

)2()1( +++=

nn

Biz.Biz.

18


ℕℕ--benben kkéét mt mőővelet definivelet definiáálhatlhatóó: az : az öösszeadsszeadáás, s, éés a szorzs a szorzáás. mindks. mindkéét t mmőőveletre bebizonyveletre bebizonyííthatthatóó, hogy asszociat, hogy asszociatíív v éés kommutats kommutatíív, v, éés s belbelááthatthatóó, hogy a z , hogy a z öösszeadsszeadáás a szorzs a szorzáásra nsra néézve disztributzve disztributíív mv mőővelet.velet.

Esetleg beszEsetleg beszéélni az egyslni az egyséégelemrgelemrııl l éés a s a zzééruselemrruselemrııll..


EgEgéész szsz száámokmok

PrPróóbbááljuk meg kiterjeszteni a termljuk meg kiterjeszteni a terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáát, t, éés az s az azon azon éértelmezett rtelmezett öösszeadsszeadáás s éés szorzs szorzáás ms mőőveletveletéét. A halmaz t. A halmaz kiterjesztkiterjesztéésséénnéél tartsuk be a kl tartsuk be a köövetkezvetkezıı elveket:elveket:

•• Az Az úúj halmaznak a termj halmaznak a terméészetes szszetes száámok halmaza legyen rmok halmaza legyen réészhalmaszhalma--zaza..

•• Az Az úúj halmaz elemein legyen elvj halmaz elemein legyen elvéégezhetgezhetıı a a kivonkivonááss mmőővelete.velete.•• Az Az öösszeadsszeadáás s éés a szorzs a szorzáás ms mőőveletveletéét t úúgy kell gy kell éértelmezni az rtelmezni az úúj halj hal--

mazonmazon, hogy ha a m, hogy ha a mőőveleteket veleteket ℕℕ--belibeli elemekre alkalmazzuk, akkorelemekre alkalmazzuk, akkorugyanazt az eredmugyanazt az eredméényt kell kapnunk, mint kornyt kell kapnunk, mint koráábban.bban.

•• ÉÉrvrvéényesnyesüüljljöön a n a permanenciapermanencia elve, azaz melve, azaz mőőveletekre veletekre minminéél tl tööbbbbazonossazonossáág maradjon g maradjon éérvrvéényben. nyben.

19


Az Az nn termterméészetes szetes szszáám ellentettjm ellentettjééneknek nevezznevezzüük, k, éés s ––nn--nel jelnel jelööljljüük az k az n + xn + x = 0 egyenlet megold= 0 egyenlet megoldáássáát.t.TehTeháát t ––nn--etet az az

nn +(+(––nn) = () = (––nn) + ) + nn = 0= 0öösszefsszefüüggggéés s éértelmezi.rtelmezi.

A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámok mok ellentettjeiellentettjei a terma terméészetes szszetes száámokkal mokkal egyegyüütt alkotjtt alkotjáák az k az egegéész szsz száámok halmazmok halmazáátt. Az eg. Az egéész szsz száámok mok halmazhalmazáának jele: nak jele: ℤℤ..

A permanencia elvA permanencia elvéének megfelelnek megfelelııen az en az öösszeadsszeadáás az egs az egéész szsz száámok mok halmazhalmazáán a kn a köövetkezvetkezııkkééppen ppen éértelmezhetrtelmezhetıı::TetszTetszııleges leges n, mn, m ∊∊ ℕℕ--rere, , ((––nn) +() +(––mm) = ) = –– ((nn + + mm).).

<−−

=

>−

=+−=−+

. ha ),(

ha ,0

ha ,

)()(

mnmn

mn

mnmn

nmmn


RacionRacionáális szlis száámokmok

Legyen Legyen p, qp, q ∊∊ ℕℕ éés s qq ≠≠ 0. Keress0. Keressüük k qxqx = p= p egyenlet megoldegyenlet megoldáássáát az t az egegéész szsz száámok halmazmok halmazáán. Ha a megoldn. Ha a megoldáás nem egs nem egéész, akkor a sz, akkor a pp--nek nek qq--val valval valóó osztosztáássáát jelt jelööljljüük k p/qp/q--val, val, éés ezt egy s ezt egy úúj szj száámnak tekintjmnak tekintjüük.k.

A A p/qp/q alakalakúú szszáámokat, ahol mokat, ahol qq ≠≠ 0, 0, racionracionáális (tlis (töört)szrt)száámoknakmoknak neveznevez--zzüükk, ahol , ahol pp a ta töörtszrtszáám m szszáámlmláállóójaja éés s qq a ta töörtszrtszáám m neveznevezııjeje. A . A racionracionáális szlis száámok jelmok jelöölléése: se: ℚℚ..

Az egAz egéész szsz száámok olyan tmok olyan töörtszrtszáámok, amelyeknek nevezmok, amelyeknek nevezııje 1.je 1.

A racionA racionáális szlis száámok halmazmok halmazáán a racionn a racionáális mlis mőőveletek veletek –– öösszeadsszeadáás, s, kivonkivonáás, szorzs, szorzáás, oszts, osztáás s –– elvelvéégezhetgezhetıık. (Ez azt jelenti, hogy e k. (Ez azt jelenti, hogy e mmőőveletek eredmveletek eredméénye nem vezet ki a racionnye nem vezet ki a racionáális szlis száámok halmazmok halmazáábbóól.)l.)

20


Amennyiben azt akarjuk, hogy a alakAmennyiben azt akarjuk, hogy a alakúú szszáámok mok ugyanugyanúúgy viselgy visel--

kedjenekkedjenek, mint az eg, mint az egéész szsz száámok tovmok továábbbbáá az eddigi maz eddigi mőőveletek veletek tulajdonstulajdonsáágai (asszociativitgai (asszociativitáás, kommutativits, kommutativitáás, disztributivits, disztributivitáás) s) éérvrvéényben maradjanak, az nyben maradjanak, az öösszeadsszeadáást st éés a szorzs a szorzáást a st a kköövetkezvetkezııkkééppen kell definippen kell definiáálni:lni:

1

p

bd

bcad

d

c

b

a +=+

bd

ac

d

c

b

a=⋅


BizonyBizonyíítsuk be, hogy a 3,2121212tsuk be, hogy a 3,2121212…… vvéégtelen szakaszos tizedes tgtelen szakaszos tizedes töört rt egy racionegy racionáális szlis száám tizedes tm tizedes töört alakja!rt alakja!

=

++++=++++= LL642642 10

1

10

1

10

1213

10

21

10

21

10

213...212121,3

99

318

99

213

99

100

100

213

101

1

1

10

1213

2

2=+=⋅+=

−⋅⋅+=

KeressKeressüünk nk ááltalltaláános megoldnos megoldáást egy vst egy véégtelen szakaszos tizedes tgtelen szakaszos tizedes töört rt racionracionáális tlis töörtszrtszáámmmmáá alakalakííttáássáára!ra!

21


A racionA racionáális pontok a szlis pontok a száámegyenesen megyenesen áábrbráázolhatzolhatóók. Belk. Belááthatthatóó, hogy , hogy a sza száámegyenesen bmegyenesen báármely krmely kéét raciont racionáális pont klis pont köözzöött van egy tt van egy –– a ka kéét t szszáámtmtóól eltl eltéérrıı –– úújabb racionjabb racionáális pont. lis pont.

⇩⇩A racionA racionáális pontok a szlis pontok a száámegyenesen egyenletesen smegyenesen egyenletesen sőőrrőőn n helyezkedhelyezked--neknek el.el.


ValValóós szs száámokmok

Vannak olyan szVannak olyan száámok, amelyek nem mok, amelyek nem íírhatrhatóók fel kk fel kéét egt egéész szsz száám m hháányadosaknyadosakéént. Ilyen pl. a .nt. Ilyen pl. a .2

BizonyBizonyíítsuk be, hogy a nem tsuk be, hogy a nem íírhatrhatóó fel alakban, ahol fel alakban, ahol p,qp,q ∊ℤ∊ℤ..2q

p

Biz.Biz.

TfhTfh. az . az áállllííttáás nem igaz. Ekkor ahol (s nem igaz. Ekkor ahol (p,qp,q) = 1.) = 1.

EmeljEmeljüük mindkk mindkéét oldalt nt oldalt néégyzetre:gyzetre:

EbbEbbııl adl adóódik, hogy 2dik, hogy 2qq22 = p= p22, ami lehetetlen, hiszen , ami lehetetlen, hiszen pp éés s qq relatrelatíív v prpríímek. mek.

,2q

p=

.22

2

q

p=

22


Azokat a szAzokat a száámokat, amelyek nem mokat, amelyek nem íírhatrhatóók fel kk fel kéét egt egéész szsz száám m hháányadosaknyadosakéént, nt, irracionirracionáális szlis száámoknakmoknak nevezznevezzüük. Jele: k. Jele: ℚℚ..

Az irracionAz irracionáális szlis száámok azok a szmok azok a száámok, amelyek vmok, amelyek véégtelen gtelen –– nem nem szakaszos szakaszos –– tizedes ttizedes töört formrt formáájjáában felban felíírhatrhatóók. k.

A racionA racionáális pontok blis pontok báár mindenr mindenüütt stt sőőrrőőn helyezkednek el a szn helyezkednek el a száámm--egyenesen, megyenesen, méégsem tgsem tööltik azt teljesen ki. A ltik azt teljesen ki. A „„lukakbanlukakban”” helyezkednek helyezkednek az irracionaz irracionáális szlis száámok.mok.

A racionA racionáális lis éés az irracions az irracionáális pontok teljesen kitlis pontok teljesen kitööltik a ltik a szszáámegyemegye--nestnest..

A szA száámegyenes pontjainak megfeleltethetmegyenes pontjainak megfeleltethetıı szszáámok halmazmok halmazáát a t a valvalóós s szszáámokmok alkotjalkotjáák. Jele: k. Jele: ℝℝ..


TermTerméészetes szszetes száámokmok EgEgéész szsz száámokmok RacionRacionáális szlis száámokmok ValValóós szs száámokmok

TTéétel: Az irraciontel: Az irracionáális szlis száámok halmaza a racionmok halmaza a racionáális szlis száámok mok komplementer halmaza a valkomplementer halmaza a valóós szs száámok halmazmok halmazáára vonatkozra vonatkozóóan. an. ℚℚ* * = = ℝℝ ∖∖ ℚℚ..

23


Algebrai Algebrai éés transzcendens szs transzcendens száámokmok

LLááttuk azt, hogy a szttuk azt, hogy a száámhalmazok kmhalmazok köözzöött a valtt a valóós szs száámok halmaza a mok halmaza a legtlegtáágabb halmaz, amely kgabb halmaz, amely kéét t diszjunktdiszjunkt halmazra halmazra –– a raciona racionáális lis éés az s az irracionirracionáális lis –– bonthatbonthatóó..

LLéétezik a valtezik a valóós szs száámok halmazmok halmazáának mnak máásfsfééle felbontle felbontáása sa rréészhalmaszhalma--zokrazokra??

Kis kitKis kitéérrıı kköövetkezikvetkezik


A A polinompolinom (t(tööbbtagbbtagúú algebrai kifejezalgebrai kifejezéés) egy olyan kifejezs) egy olyan kifejezéés, melyben s, melyben csak szcsak száámok mok éés s vvááltozltozóókk egegéész kitevsz kitevııjjőő hatvhatváányainak szorzatai illetve nyainak szorzatai illetve ilyenek ilyenek öösszegei szerepelnek. Psszegei szerepelnek. Pééldldáául:ul:

pp((x,y,z,ux,y,z,u) = 5) = 5xx44yy66 -- 33xzxz33+11+11yy1515uu77

qq((xx) = 2) = 2xx22 ++ 6x 6x + 9 + 9

A polinomban a szA polinomban a száámokkal szorzott hatvmokkal szorzott hatváányszorzatokat nyszorzatokat monomonakmonomonak((egytagoknakegytagoknak) nevezz) nevezzüük. Pl. k. Pl. pp--nnéél az 5l az 5xx44yy66, a 3, a 3xzxz33 éés az 11s az 11yy1515uu77

tagok).tagok).

A A monomokbanmonomokban lléévvıı szszáámszorzmszorzóókat a kat a polinom egypolinom együütthattthatóóinakinakhhíívjuk. vjuk.

PolinomokrPolinomokróól l ááltalltaláábanban

24


Polinomokat Polinomokat úúgy adunk gy adunk öösszessze, hogy az egynem, hogy az egynemőő egytagokegytagokegyegyüütthattthatóóit it öösszeadjuk:sszeadjuk:

322 625),( yxyyxyxp ++=622 872),,( yzxyyxzyxq +−=

6322 8657),,)(( yzyxyyxzyxqp ++−=+

MMőőveletek polinomokkalveletek polinomokkal

EgynemEgynemőőneknek neveznevezüünk egy nk egy monomotmonomot, ha csak egy, ha csak együütthattthatóóban ban kküüllöönbnbööznek. znek.

Az egyes Az egyes monomokbanmonomokban a va vááltozltozóók kitevk kitevııinek inek öösszege adja meg az sszege adja meg az adott adott monommonom fokfokáátt. A polinom fok. A polinom fokáának a benne lnak a benne léévvıı monomokmonomokfokfokáának maximumnak maximumáát tekintjt tekintjüük.k.

A 0 fokA 0 fokúú monomokatmonomokat konstanskonstans polinomoknakpolinomoknak nevezznevezzüük.k.


A A polinomok szorzpolinomok szorzáásakorsakor „„minden tagot minden taggal beszorzunkminden tagot minden taggal beszorzunk””éés a keletkezs a keletkezıı szorzatokban az azonos vszorzatokban az azonos vááltozltozóók hatvk hatváányait az azonos nyait az azonos alapalapúú hatvhatváányok szorznyok szorzáássáának szabnak szabáálylyáával szval száámmíítjuk ki. Pl.:tjuk ki. Pl.:

xyxyxp += 2),(23 73),( zxzxq −=

=−++−+=⋅ )7(3)7(3),,)(( 232232 zxyxxyzxxxzyxqp24225 7373 xyzyxzxx −+−=

25


A polinomok legegyszerA polinomok legegyszerőőbb megjelenbb megjelenéési formsi formáái az i az egyvegyvááltozltozóós s polinomok.polinomok. PPééldldáául azul az

88xx33 –– 77xx22 + 36+ 36egy harmadfokegy harmadfokúú, egyv, egyvááltozltozóós polinom. s polinom.

Az Az xx fokszfokszááma szerint csma szerint csöökkenkkenıı sorrendbe sorrendbe íírva, az elsrva, az elsıı monommonom foka foka 3, a m3, a máásodiksodikéé 2, a harmadik2, a harmadikéé 0. 0.

A harmadfokA harmadfokúú tag egytag együütthattthatóója 8, a mja 8, a máásodfoksodfokúéúé --7, a konstans tag 7, a konstans tag 36.36.

SpeciSpeciáális polinomoklis polinomok

Egy polinomot Egy polinomot homoghomogéén fokszn fokszáámmúúnaknak neveznevezüünk, ha benne minden nk, ha benne minden monommonom foka egyenlfoka egyenlıı. Pl. a binomi. Pl. a binomiáális tlis téétel:tel:

((a + ba + b))44 = = aa44 + 4+ 4aa33bb + 6+ 6aa22bb22 + 4+ 4abab33 + + bb44


Egy Egy aa szszáámot mot algebrai szalgebrai száámnakmnak neveznevezüünk, ha lnk, ha léétezik olyan raciontezik olyan racionáális lis egyegyüütthattthatóós polinom, amelynek s polinom, amelynek aa gygyööke.ke.Ha az Ha az aa szszáámhoz ilyen polinom nem talmhoz ilyen polinom nem taláálhatlhatóó, akkor , akkor aa transzcendens transzcendens szszáám. m.

Ha az Ha az aa szszáámhoz talmhoz taláálhatlhatóó egy egy nn--ed foked fokúú polinom, amelynek polinom, amelynek ııgygyööke, de egyetlen alacsonyabb fokke, de egyetlen alacsonyabb fokúú polinomnak a mpolinomnak a máár nem gyr nem gyööke, ke, akkor a egy akkor a egy nn--ed foked fokúú algebrai szalgebrai száám.m.

TTéétel:tel: az elsaz elsııfokfokúú algebrai szalgebrai száámok a racionmok a racionáális szlis száámok.mok.

TTéétel:tel: ElsElsıınnéél magasabb fokl magasabb fokúú algebrai szalgebrai száám nem lehet racionm nem lehet racionáális lis szszáám.m.

26


Az irracionAz irracionáális algebrai szlis algebrai száámok megkmok megköözelzelííthetthetıık racionk racionáális szlis száámok mok sorozatsorozatáával. A esetval. A esetéében ez a sorozat:ben ez a sorozat:2

10000

14142,

1000

1414,

100

141,

10

14,1

LiouvilleLiouville: A: A

vvéégtelen sor hatgtelen sor hatáárréértrtééke mindenke minden qq > 1 eset> 1 esetéén transzcendens szn transzcendens száám.m.

LLL

++++++=⋅⋅⋅⋅⋅ nqqqq

a32132121

11111

A A ππ éés az s az ee is transzcendens szis transzcendens száám. (Errm. (Errııl tl tööbbet a gyakorlaton)bbet a gyakorlaton)


SzSzáámhalmazok szmhalmazok száámossmossáágaga

TermTerméészetes szszetes száámbmbóól vagy a nl vagy a néégyzeteikbgyzeteikbııl van tl van tööbb?bb?

Az Az AA éés a s a BB halmazrhalmazróól akkor mondjuk, hogy l akkor mondjuk, hogy egyenlegyenlıı szszáámossmossáággúúakak, , ha van olyan kha van olyan köölcslcsöönnöösen egysen egyéértelmrtelmőő megfeleltetmegfeleltetéés az elemeik s az elemeik kköözzöött, amely tt, amely AA minden elemminden elemééhez hez BB egy meghategy meghatáározott elemrozott eleméét t rendeli hozzrendeli hozzáá, , éés amely s amely BB minden elemminden eleméét hozzt hozzáárendeli rendeli AA valamely valamely elemelemééhez.hez.

↑↓00

00↑↓11

11

↑↓22

44↑↓

33

99↑↓

44

1616↑↓

nn

nn22

…… ……

VVéégtelen halmazokgtelen halmazok

27


Azt az eredmAzt az eredméényt kaptuk, hogy a termnyt kaptuk, hogy a terméészetes szszetes száámok mok éés a ns a néégyzeteik gyzeteik ugyanannyian vannak, azaz ugyanannyian vannak, azaz ℕℕ éés a ns a néégyzetszgyzetszáámok halmaza azonos mok halmaza azonos szszáámossmossáággúú..

Az eredmAz eredméény meglepny meglepıı,hiszen azt kaptuk, hogy a ,hiszen azt kaptuk, hogy a „„rréészsz”” ugyanannyi, ugyanannyi, mint az mint az „„egegéészsz””!!

⇩⇩VVéégtelen halmazok esetgtelen halmazok esetéében nincs ben nincs éértelme a rtelme a „„ttööbbbb””, a , a „„kevesebbkevesebb””vagy az vagy az „„ugyannyiugyannyi”” kifejezkifejezééseknek.seknek.

VVéégtelennek gtelennek nevezznevezzüük azt a halmazt, amelynek van k azt a halmazt, amelynek van öönmagnmagáával val egyenlegyenlıı szszáámossmossáággúú valvalóódi rdi réészhalmaza.szhalmaza.


MegszMegszáámlmláálhatlhatóóan van véégtelen halmazokgtelen halmazok

MegszMegszáámlmláálhatlhatóóan van véégtelengtelen –– vagy megszvagy megszáámlmláálhatlhatóó –– halmazoknak halmazoknak nevezznevezzüük azokat a halmazokat, amelyeknek ugyanannyi elemk azokat a halmazokat, amelyeknek ugyanannyi elemüük van, k van, mint amennyi termmint amennyi terméészetes szszetes száám.m.

⇩⇩Ha Ha AA megszmegszáámlmláálhatlhatóó halmaz, akkor elemei khalmaz, akkor elemei köölcslcsöönnöösen sen megfelelmegfelel--tethettethetııkk a terma terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáának elemeivel.nak elemeivel.

KKöönnynnyőő belbeláátni, hogy a termtni, hogy a terméészetes szszetes száámok helyett tekinthetjmok helyett tekinthetjüük a k a pozitpozitíív termv terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáát. Mit. Miéért?rt?

⇩⇩A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámoknak valmoknak valóó egyegyéértelmrtelmőő megfeleltetmegfeleltetéés azt s azt jelenti, hogy a halmaz elemei sorbarendezhetjelenti, hogy a halmaz elemei sorbarendezhetıık.k.

28


Ha az elemek sorbarendezhetHa az elemek sorbarendezhetıık, akkor az k, akkor az AA halmaz felhalmaz felíírhatrhatóó vvéégtegte--lenlen sorozat formsorozat formáájjáában:ban:

aa11, , aa22, , aa33, , aa44, , ……,,aann, , ……

Ennek az a kEnnek az a köövetkezmvetkezméénye, hogy ha egy halmaz elemei nye, hogy ha egy halmaz elemei sorbarendezhetsorbarendezhetıık, akkor a halmaz elemeinek szk, akkor a halmaz elemeinek száámossmossáága ga megegyemegegye--zikzik a terma terméészetes szszetes száámok szmok száámossmossáággáával.val.

EgyszerEgyszerőő ppééldldáák: A pozitk: A pozitíív pv pááros szros száámok mok éés a prs a príímszmszáámok halmaza mok halmaza megszmegszáámlmláálhatlhatóó..

TTéétel:tel: Egy megszEgy megszáámlmláálhatlhatóó halmaz bhalmaz báármely vrmely véégtelen rgtelen réészhalmaza szhalmaza szintszintéén megszn megszáámlmláálhatlhatóó..

BizonyBizonyííttáás egyszers egyszerőő..


TTéétel:tel: MegszMegszáámlmláálhatlhatóó éés vs vééges halmaz egyesges halmaz egyesííttéésséével nyert halmaz vel nyert halmaz is megszis megszáámlmláálhatlhatóó..

Biz.Biz.

Ha A = {Ha A = {aa11, , aa22, , aa33, , aa44, , ……,,aann, , ……} az adott megsz} az adott megszáámlmláálhatlhatóó halmaz halmaz éés s bb11, , bb22, , bb33, , ……, , bbkk a va vééges halmaz elemei, akkor az ges halmaz elemei, akkor az úúj halmaz j halmaz elrendezelrendezéése:se:

bb11, , bb22, , bb33, , ……, , bbkk, , aa11, , aa22, , aa33, , aa44, , ……,,aann, , ……éés a s a hozzhozzáárendelerendeleééss –– eltoleltoláással ssal –– ismisméét megoldhatt megoldhatóó..

Az Az öösszes egsszes egéész szsz száámok halmaza is megszmok halmaza is megszáámlmláálhatlhatóó. Nagys. Nagysáág g szerint az elemek nem alkotnak sorozatot, de a szerint az elemek nem alkotnak sorozatot, de a sorbarendezsorbarendezééss mmáás s mmóódon eldon eléérhetrhetıı::

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 ……

0 0 --1 1 1 1 --2 2 2 2 --3 3 ……↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓↑↓↑↓

29


KKöövetkezmvetkezméény: ny: ℕℕ éés s ℤℤ azonos azonos szszáámossmossáággúúakak: | : | ℕℕ | = | | = | ℤℤ ||..

ÁÁltalltaláánosnosííttááss--1: k1: kéét megszt megszáámlmláálhatlhatóó halmaz egyeshalmaz egyesííttéésséével kapott vel kapott halmaz is megszhalmaz is megszáámlmláálhatlhatóó..

ÁÁltalltaláánosnosííttááss--2: megsz2: megszáámlmláálhatlhatóóan van véégtelen sok megszgtelen sok megszáámlmláálhatlhatóóhalmaz egyeshalmaz egyesííttéésséével kapott halmaz is megszvel kapott halmaz is megszáámlmláálhatlhatóó..

⇩⇩A racionA racionáális szlis száámok halmaza megszmok halmaza megszáámlmláálhatlhatóó..

Figyelem: ez azt jelenti, hogy ugyanannyi racionFigyelem: ez azt jelenti, hogy ugyanannyi racionáális szlis száám van, mint m van, mint ahaháány pozitny pozitíív egv egéész szsz száám!m!


Az elAz elııbbi bbi áállllííttáás bizonys bizonyííttáássáához elhoz elııszszöör belr beláátjuk, hogy a pozittjuk, hogy a pozitíív v racionracionáális szlis száámok halmaza megszmok halmaza megszáámlmláálhatlhatóó::Alkossuk meg a kAlkossuk meg a köövetkezvetkezıı elrendezelrendezéést:st:

1/1 2/1 3/1 4/11/1 2/1 3/1 4/1

1/2 2/2 3/2 4/21/2 2/2 3/2 4/2

1/3 2/3 3/3 4/31/3 2/3 3/3 4/3

1/4 2/4 3/4 4/41/4 2/4 3/4 4/4

JJáárjuk be a trjuk be a tááblbláázatot zatot áátltlóósan!san!Hagyjuk ki a tHagyjuk ki a tááblbláázatbzatbóól az egyszerl az egyszerőőssííthetthetıı ttöörteket balra tolva a rteket balra tolva a sort! A maradsort! A maradéék tk tááblbláázatban minden pozitzatban minden pozitíív racionv racionáális szlis száám egyszer m egyszer szerepel.szerepel.

30


Ugyanezt a rendezUgyanezt a rendezéést elvst elvéégezhetjgezhetjüük a negatk a negatíív racionv racionáális szlis száámokra is, mokra is, éés alkalmazzuk a ks alkalmazzuk a kéét megszt megszáámlmláálhatlhatóó halmaz egyeshalmaz egyesííttéésséére kimondott re kimondott ttéételt!telt!

Ha fenti kiindulHa fenti kiindulóó ttááblbláázatban a zatban a p/qp/q alakalakúú ttöörtek helyrtek helyéére (re (p,qp,q) alak) alakúúrendezett prendezett páárokat rokat íírunk, akkor azt kapjuk, hogy a runk, akkor azt kapjuk, hogy a poztpoztíívv egegéész sz szszáámokbmokbóól kl kéépezhetpezhetıı rendezett prendezett páárok halmaza is megszrok halmaza is megszáámlmláálhatlhatóó..


KontinuumKontinuum szszáámossmossáággúú halmazokhalmazok

VizsgVizsgááljuk meg a valljuk meg a valóós szs száámok halmazmok halmazáát, t, éés bevezets bevezetııkkéént tegynt tegyüük k fel, hogy ezek a szfel, hogy ezek a száámok is megszmok is megszáámlmláálhatlhatóóan van véégtelen halmazt gtelen halmazt alkotnak.alkotnak.

Ekkor a (0,1) intervallumba esEkkor a (0,1) intervallumba esıı valvalóós szs száámok halmaza mok halmaza –– mint a valmint a valóós s szszáámok halmazmok halmazáának vnak véégtelen rgtelen réészhalmaza szhalmaza –– megszmegszáámlmláálhatlhatóó..EzEzéért ebbe az intervallumba esrt ebbe az intervallumba esıı elemek sorozatba rendezhetelemek sorozatba rendezhetıık. k. Legyen a sorozat tagjainak Legyen a sorozat tagjainak tizedesttizedestöörtrt kifejtkifejtéése a kse a köövetkezvetkezıı::

ahol ahol aanknk az az nn--dikdik valvalóós szs száám m kk--dikdik tizedesjegytizedesjegyéétt jeljelööli.li.

...,0

...,0

...,0

343332313

242322212

141312111

aaaaa

aaaaa

aaaaa

=

=

=

31


Most Most áállllíítsuk eltsuk elıı aa

szszáámot a kmot a köövetkezvetkezııkkééppen: ppen:

bb11--et et úúgy vgy váálasztjuk, hogy lasztjuk, hogy aa1111 ≠≠ bb11. Ez. Ezéért rt aa11 ≠≠ bb..bb22--et et úúgy vgy váálasztjuk, hogy lasztjuk, hogy aa2222 ≠≠ bb22. Ez. Ezéért rt aa22 ≠≠ bb..bb33--et et úúgy vgy váálasztjuk, hogy lasztjuk, hogy aa3333 ≠≠ bb33. Ez. Ezéért rt aa33 ≠≠ bb..éés s íígy tovgy továábbbb……

Olyan szOlyan száámot konstrumot konstruááltunk tehltunk teháát, amely nincs a megszt, amely nincs a megszáámlmláálhatlhatóóananvvéégtelen sok szgtelen sok száám km köözzöött. Mivel ilyen konstrukcitt. Mivel ilyen konstrukcióóbbóól vl véégtelen sokgtelen sokkkéészszííthetthetıı, ez, ezéért a (rt a (0,10,1) intervallum val) intervallum valóós szs száámainak halmaza nemmainak halmaza nemmegszmegszáámlmláálhatlhatóóan van véégtelen.gtelen.Egy olyan halmazhoz jutottunk, amelyben az elemek szEgy olyan halmazhoz jutottunk, amelyben az elemek szááma tma tööbb.bb.

...,0 4321 bbbbb =


A valA valóós szs száámok halmaza tehmok halmaza teháát nem megszt nem megszáámlmláálhatlhatóó. .

Ez csak akkor lehet, ha az irracionEz csak akkor lehet, ha az irracionáális szlis száámok halmaza sem megmok halmaza sem meg--szszáámlmláálhatlhatóó..

A vA véégtelennek ezt a mgtelennek ezt a máásik sik „„fokozatfokozatáátt”” –– CantorCantor nyomnyomáán n –– kontikonti--nuumsznuumszáámossmossáágnakgnak nevezznevezzüük.k.

CantorCantor: L: Lééteziktezik--e olyan sze olyan száámossmossáág, amely a vg, amely a véégtelen szgtelen száámossmossáágngnáál l nagyobb, de a nagyobb, de a kontinuumszkontinuumszáámossmossáágngnááll kisebb?kisebb?P. P. CohenCohen (1963): A k(1963): A kéérdrdéés a halmazelms a halmazelméélet axilet axióómmááibibóól nem l nem ccááfolhatfolhatóó meg, de bizonymeg, de bizonyíítani sem lehet.tani sem lehet.

LLééteziktezik--e a e a kontinuumszkontinuumszáámossmossáágngnááll nagyobb sznagyobb száámossmossáág?g?

32


Egy Egy AA halmaz halmaz öösszes rsszes réészhalmazainak halmazszhalmazainak halmazáát az t az AA hatvhatváányhalnyhal--mazmazáánaknak nevezznevezzüük. Jele: k. Jele: PP((AA).).

BizonyBizonyííthatthatóó, hogy minden A halmazra | , hogy minden A halmazra | AA | < | | < | PP((AA)) ||..

KKöövetkezmvetkezméény: Minden szny: Minden száámossmossáágngnáál van nagyobb szl van nagyobb száámossmossáág.g.

A tA téételnek olyan ktelnek olyan köövetkezmvetkezméényei vannak, amelyek antinnyei vannak, amelyek antinóómimiáához hoz vezetnek. vezetnek.

Az Az antinantinóómiamia olyan olyan áállllííttáás, amelynek az igazss, amelynek az igazsáága is ga is éés a ts a téétel tel tagadtagadáása is bizonysa is bizonyííthatthatóó


RelReláácicióók, fk, füüggvggvéényeknyek

A mindennapi A mindennapi ééletben kapcsolatok vesznek letben kapcsolatok vesznek kköörrüüllll bennbennüünket: nket: �� SzSzüüllıı –– gyermekgyermek�� AdAdóós s –– hitelezhitelezıı�� EladEladóó –– vevvevıı stbstb……

A matematika A matematika –– ttööbbek kbbek köözzöött tt –– tanulmtanulmáányozza a halmazok nyozza a halmazok illill azok azok elemei kelemei köözzöötti kapcsolatokat. Ezeket tti kapcsolatokat. Ezeket relreláácicióóknakknak nevezznevezzüük. Jelk. Jelöölléése: se: a a ℜℜ b (A relb (A reláácicióóban van bban van b--vel).vel).

33


Pl. Pl. PlPl. Legyen . Legyen HH = {1, 2, 3, 4, 5}. Az = {1, 2, 3, 4, 5}. Az aa ℜℜ bb jelentse: jelentse: aa kisebb kisebb bb--nnéél. l.

ElElııszszöör r áábrbráázoljuk a relzoljuk a reláácicióót egy t egy áábrbráával, amelyben a pontok jelval, amelyben a pontok jelöölik lik a sza száámokat, mokat, éés a nyilak a rels a nyilak a reláácicióót: Ha t: Ha aa relreláácicióóban van ban van bb--vel, akkor vel, akkor aa--bbóól irl iráánynyíított nytott nyííl (l (éél) mutat l) mutat bb--be:be:

Mely szMely száámokat jelmokat jelöölik az egyes pontok?lik az egyes pontok?

11

55

44 33

22


Pl. Legyen Pl. Legyen HH = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Az = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Az aa ℜℜ bb jelentse: jelentse: aaosztosztóója ja bb--nek. nek.

Az Az áábrbráánkon nkon –– az elaz elıızzııhhööz hasonlz hasonlóóan an –– ha ha aa relreláácicióóban van ban van bb--vel, vel, akkor akkor aa--bbóól irl iráánynyíított nytott nyííl (l (éél) mutat l) mutat bb--be. Vegybe. Vegyüük figyelembe, hogy k figyelembe, hogy bbáármely rmely aa ∊∊ ℕℕ++--rara: : aa | | aa. (Ezt egy . (Ezt egy hurokhurokééllelllel jekjekööljljüükk.).)

Mely szMely száámokat jelmokat jelöölik az egyes pontok?lik az egyes pontok?

22

44

88

66

1010

55

77

3399

34


BinBinéérr (k(kéételemtelemőő) rel) reláácicióó

Az Az AA éés s BB halmazok khalmazok köözzöötti tti binbinéérr ℜℜ relreláácicióó az az azaz ((a, ba, b) () (aa ∊∊ AA, , bb ∊∊BB) rendezett p) rendezett páárok egy rrok egy réészhalmaza. A rszhalmaza. A réészhalmaznak azon (szhalmaznak azon (a, ba, b) ) ppáárok lesznek az elemei, amelyekre rok lesznek az elemei, amelyekre aa ℜℜ bb teljesteljesüül.l.

ÁÁltalltaláánosan fogalmazva: a nosan fogalmazva: a relreláácicióó kkéét vagy tt vagy tööbb halmaz Descartesbb halmaz Descartes--ffééle szorzatle szorzatáának egy rnak egy réészhalmaza.szhalmaza.

Pl. Legyen Pl. Legyen A =A = {1, 3, 6} {1, 3, 6} ééaa B =B = {0, 2, 4, 5}. {0, 2, 4, 5}. HatHatáározzuk meg az a + b < 7 relrozzuk meg az a + b < 7 reláácicióó elemeit, ahol elemeit, ahol aa ∊∊ AA, , bb ∊∊ B.B.

00 22 44 5511 (1, 0)(1, 0) (1, 2)(1, 2) (1, 4)(1, 4) (1, 5)(1, 5)33 (3, 0)(3, 0) (3, 2)(3, 2) (3, 4)(3, 4) (3, 5)(3, 5)66 (6, 0)(6, 0) (6, 2)(6, 2) (6, 4)(6, 4) (6, 5)(6, 5)


Egy relEgy reláácicióót meghatt meghatáározhatunk rozhatunk �� Az alaphalmaz Az alaphalmaz éés valamely tulajdonss valamely tulajdonsáág megadg megadáássáávalval�� A relA reláácicióóhoz tartozhoz tartozóó rendezett prendezett páárok felsorolrok felsoroláássáávalval�� GrGrááffalffal�� TTááblbláázattalzattal

A matematika gyakran csak egy halmaz elemei kA matematika gyakran csak egy halmaz elemei köözzöötti reltti reláácicióókkal kkal foglalkozik. Ilyenkor az foglalkozik. Ilyenkor az AA ×× AA szorzathalmaz rszorzathalmaz réészhalmazait kell szhalmazait kell megadni.megadni.

35


BinBinéérr relreláácicióók tulajdonsk tulajdonsáágaigai

Ha Ha ℜℜ a a HH halmazon halmazon éértelmezett relrtelmezett reláácicióó, , éés a s a aa ℜℜ aa a halmaz minden a halmaz minden elemeleméére teljesre teljesüül, akkor az l, akkor az ℜℜ relreláácicióó reflexreflexíív.v.

PPééldldáák reflexk reflexíív relv reláácicióókra:kra:

�� A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáán: n: aa osztosztóója ja bb--nek.nek.�� A sA síík valamennyi egyenesk valamennyi egyeneséének a halmaznek a halmazáán: n: aa ppáárhuzamos rhuzamos bb--vel.vel.�� A valA valóós szs száámok halmazmok halmazáán: n: aa egyenlegyenlıı bb--vel.vel.

Hogyan nHogyan nééz ki a relz ki a reláácicióó, ha azt t, ha azt tááblbláázatosan vagy grzatosan vagy grááffal adjuk meg?ffal adjuk meg?


hh11 hh22 hh44

hh11

hh33 hh55

hh22

hh33

hh44

hh55

hh11

hh33

hh44

hh22

hh55

36


Egy Egy HH halmazon halmazon éértelmezett rtelmezett ℜℜ binbinéérr relreláácicióót akkor mondunk t akkor mondunk szimmetrikusnakszimmetrikusnak, ha b, ha báármely rmely a,ba,b ∊∊ HH--ra ra aa ℜℜ bb éés s bb ℜℜ aa egyaregyaráánt nt fennfennááll.ll.

PPééldldáák szimmetrikus relk szimmetrikus reláácicióókra:kra:

�� A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáán: n: aa egyenlegyenlıı bb--vel.vel.�� A sA síík valamennyi hk valamennyi hááromszromszööggéének a halmaznek a halmazáán: n: aa hasonlhasonlóó bb--hez.hez.�� A sA síík valamennyi egyenesk valamennyi egyeneséének a halmaznek a halmazáán: n: aa mermerııleges leges bb--re.re.�� A valA valóós szs száámok halmazmok halmazáán: n: aa nem egyenlnem egyenlıı bb--vel.vel.

Hogyan nHogyan nééz ki a relz ki a reláácicióó, ha azt t, ha azt tááblbláázatosan vagy grzatosan vagy grááffal adjuk meg?ffal adjuk meg?


hh11 hh22 hh44

hh11

hh33 hh55

hh22

hh33

hh44

hh55

hh11

hh33

hh44

hh22

hh55

37


AntiszimmetrikusnakAntiszimmetrikusnak neveznevezüünk egy relnk egy reláácicióót, ha bt, ha báármely rmely a,ba,b ∊∊ HH--ra ra az az aa ℜℜ bb éés a s a bb ℜℜ a a relreláácicióók kk köözzüül legfeljebb az egyik l legfeljebb az egyik ááll fentll fent..HaHa az az aa ℜℜ a a relreláácicióó jelenljelenlééttéét kizt kizáárjuk, akkor rjuk, akkor szigorszigorúú éértelemben rtelemben antiszimmetrikusantiszimmetrikus a rela reláácicióó, ellenkez, ellenkezıı esetben esetben ttáágabb gabb éértelemben rtelemben antiszimmetrikus. antiszimmetrikus.

PPééldldáák szigork szigorúúan antiszimmetrikus relan antiszimmetrikus reláácicióókra:kra:

�� A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáán: n: aa kisebb kisebb bb--nnéél.l.�� AA valvalóódi rdi réészhalmaza szhalmaza BB--nek.nek.�� A termA terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáán: n: aa „„rráákköövetkezvetkezııjeje”” bb--nek.nek.

A szigorA szigorúúan antiszimmetrikus relan antiszimmetrikus reláácicióó grgrááfreprezentfreprezentáácicióója nem ja nem tartalmaz hurkot. tartalmaz hurkot.


Egy Egy HH halmazon halmazon éértelmezett rtelmezett ℜℜ binbinéérr relreláácicióót akkor mondunk t akkor mondunk tranzittranzitíívnakvnak, ha b, ha báármely rmely a,b,ca,b,c ∊∊ HH--ra ra aa ℜℜ bb éés s bb ℜℜ cc--bbııl kl köövetkezik, vetkezik, hogy hogy aa ℜℜ c.c.

PPééldldáák tranzitk tranzitíív relv reláácicióókra:kra:

�� A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáán: n: aa kisebb kisebb bb--nnéél.l.�� A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáán: n: aa osztosztóója ja bb--nek.nek.�� A sA síík valamennyi hk valamennyi hááromszromszööggéének a halmaznek a halmazáán: n: aa hasonlhasonlóó bb--hez.hez.�� A sA síík valamennyi egyenesk valamennyi egyeneséének a halmaznek a halmazáán: n: aa ppáárhuzamos rhuzamos bb--vel.vel.�� A rA réészhalmaza Bszhalmaza B--nek (nek (A A ⊆⊆ BB).).

38


EkvivalenciarelEkvivalenciareláácicióókk

A reflexA reflexíív, szimmetrikus v, szimmetrikus éés tranzits tranzitíív relv reláácicióót t ekvivalencirelekvivalencireláácicióónaknaknevezznevezzüük. Jelk. Jelöölléése: se: aa ~~ bb..

Pl. Legyen Pl. Legyen HH egy cegy céég g öösszes dolgozsszes dolgozóóinak a halmaza. Az inak a halmaza. Az aa ℜℜ bbjelentse azt, hogy jelentse azt, hogy „„ aa ugyanazon az emeleten dolgozik, mint ugyanazon az emeleten dolgozik, mint bb..

VilViláágos, hogy ez a relgos, hogy ez a reláácicióó�� reflexreflexíív, mert v, mert aa ℜℜ a.a.�� szimmetrikus, mert ha szimmetrikus, mert ha aa ℜℜ bb , akkor , akkor bb ℜℜ aa..�� tranzittranzitíív, hiszen v, hiszen aa ℜℜ bb éés s bb ℜℜ cc , akkor , akkor aa ℜℜ c.c.

TovTováábbi pbbi pééldldáák:k:�� A pozitA pozitíív termv terméészetes szszetes száámok halmazmok halmazáán: n: aa egyenlegyenlıı bb--vel.vel.�� A sA síík valamennyi egyenesk valamennyi egyeneséének a halmaznek a halmazáán: n: aa ppáárhuzamos rhuzamos bb--vel.vel.�� AA rréészhalmaza szhalmaza BB--nek (nek (A A ⊆⊆ BB).).


Egy nevezetes ekvivalencia relEgy nevezetes ekvivalencia reláácicióó a a kongruencia relkongruencia reláácicióó: Legyen : Legyen a,b a,b ∊∊ ℤℤ ééss mm ∊ℕ∊ℕ..

Olvasva: Olvasva: aa kongruens kongruens bb--vel vel modulomodulo mm. Jelent. Jelentéése: se: aa éés s bb mm--mel mel osztva ugyanazt a maradosztva ugyanazt a maradéékot adja.kot adja.

Azok a szAzok a száámok, amelyek kongruensek egymmok, amelyek kongruensek egymáással (ssal (modulomodulo m), azok m), azok egy egy maradmaradéékosztkosztáályba lyba tartoznak. tartoznak.

)(mod mba ≡

BizonyBizonyíítsuk be (esetleg a gyakorlaton), hogy a kongruencia tsuk be (esetleg a gyakorlaton), hogy a kongruencia ekviekvi--valenciarelvalenciareláácicióó..

TTéétel: A maradtel: A maradéékosztkosztáályok az eglyok az egéész szsz száámok halmazmok halmazáának nak diszjunktdiszjunktrréészhalmazait alkotjszhalmazait alkotjáák, ha k, ha mm--etet rröögzgzíítjtjüük.k.

39


EkvivalenciosztEkvivalenciosztáályoklyok

Legyen Legyen ℜℜ a a TT halmazon halmazon éértelmezett ekvivalenciarelrtelmezett ekvivalenciareláácicióó, , éés legyen s legyen aa ∊∊ TT. Az . Az aa ekvivalenciaosztekvivalenciaosztáálylyáánaknak nevezznevezzüük k TT--nek az nek az aa--val ekvival ekvi--valens elemeinek halmazvalens elemeinek halmazáát, azaz az t, azaz az aa--val relval reláácicióóban lban léévvıı elemek elemek halmazhalmazáát. Jelt. Jelöölléése: se: TT((aa). (). (TT((aa) ) ⊂⊂ T T ).).

TTéétel: Legyen tel: Legyen a,ba,b ∊∊ TT , , éés s aa ≠≠ bb. Ha . Ha TT((aa))--naknak éés s TT((bb))--neknek van nem van nem üüres metszete, akkor a kres metszete, akkor a kéét ekvivalenciaosztt ekvivalenciaosztáály megegyezikly megegyezik

TegyTegyüük fel, hogy a k fel, hogy a TT((aa) ) éés s TT((bb) ekvivalencioszt) ekvivalenciosztáályoknak van klyoknak van köözzöös s eleme. Legyen ez eleme. Legyen ez xx. . Mivel Mivel xx ∊∊ TT((aa) ) éés s xx ∊∊ TT((bb), ez), ezéért rt xx ~~ aa éés s xx ~~ bb egyidejegyidejőőleg. leg. ÍÍgy a tranzitivitgy a tranzitivitáás miatt s miatt aa ~~ b., b., ezezéért rt aa ∊∊ TT((bb), ami miatt ), ami miatt TT((aa) ) ⊆⊆ TT((bb).).HasonlHasonlóóan megmutathatan megmutathatóó, hogy , hogy TT((bb) ) ⊆⊆ TT((aa).).ÍÍgy gy TT((aa) = ) = TT((bb). ).


KKöövetkezmvetkezméény: Kny: Kéét kt küüllöönbnböözzıı ekvivalanciaosztekvivalanciaosztáály metszete az ly metszete az üüres res halmaz. Egy ekvivalenciaoszthalmaz. Egy ekvivalenciaosztáályt blyt báármely eleme meghatrmely eleme meghatáározza.rozza.

Ha Ha TT az alaphalmaz, akkor az alaphalmaz, akkor TT* jel* jelööli a li a TT halmazhoz tartozhalmazhoz tartozóó ekvivaekviva--lenciaosztlenciaosztáályok halmazlyok halmazáát.t.

PPéélda.lda.

Legyen Legyen TT az egaz egéész szsz száámok halmaza. Az egmok halmaza. Az egéész szsz száámokat mokat íírjuk trjuk töört rt alakba, alakba, éés a s a TT halmazon halmazon éértelmezzrtelmezzüük a kk a köövetkezvetkezıı relreláácicióót: t: ωω ℜℜ ωω'' , , ahol ahol ωω = = a / b a / b éés s ωω'' = = aa'' / b/ b'' éés s a ba b'' = = aa'' b, b b, b ≠≠ 0.0.

EzEzéért prt pééldldáául ul ℜℜ ..

LLáássuk be, hogy az ssuk be, hogy az íígy definigy definiáált rellt reláácicióó reflexreflexíív, szimmetrikus v, szimmetrikus éés s tranzittranzitíív. (Azaz ekvivalenciarelv. (Azaz ekvivalenciareláácicióó.).)

5

3

10

6

HatHatáározzuk meg az ekvivalenciaosztrozzuk meg az ekvivalenciaosztáályok szlyok száámmáát!t!

40


Vannak mVannak máás rels reláácicióók is, amelyek k is, amelyek –– tulajdonstulajdonsáágai miatt gai miatt –– kitkitüüntetett ntetett figyelmet figyelmet éérdemelnek.rdemelnek.

A A HH halmazt mondjuk, ha elemein halmazt mondjuk, ha elemein éértelmezve van egy rtelmezve van egy aa ≺≺ bb relreláácicióó, amely rendelkezik az al, amely rendelkezik az aláábbi tulajdonsbbi tulajdonsáágokkal:gokkal:

aa ≺≺ aa hamis (hamis (irreflexivitirreflexivitááss))ha ha aa ≺≺ bb igaz, akkor igaz, akkor bb ≺≺ aa hamis (hamis (asszimetriaasszimetria))ha ha aa ≺≺ bb igaz, igaz, éés s bb ≺≺ cc igaz, akkor igaz, akkor aa ≺≺ cc igaz (tranzitivitigaz (tranzitivitáás)s)ha a ha a ≠≠ b, b, akkor az akkor az aa ≺≺ bb éés a s a bb ≺≺ aa kköözzüül legall legaláább az egyik igaz bb az egyik igaz ((trichottrichotóómiamia).).

rendezettnekrendezettnek


A termA terméészetes szszetes száámok halmaza, a racionmok halmaza, a racionáális szlis száámok halmaza mok halmaza éés a s a valvalóós szs száámok halmaza rendezett a mok halmaza rendezett a ”” < < ”” ( ( ”” > > ”” ) rel) reláácicióóra nra néézve. zve.

Egy rendezett halmazt Egy rendezett halmazt jjóólrendezettneklrendezettnek mondunk, ha bmondunk, ha báármely nem rmely nem üüres rres réészhalmazszhalmazáának van kezdnak van kezdıı eleme, azaz olyan eleme, amelyet eleme, azaz olyan eleme, amelyet ––az adott rendezaz adott rendezéés szerint s szerint –– az adott raz adott réészhalmaz egyetlen eleme sem szhalmaz egyetlen eleme sem elelıız meg.z meg.

PPééldldáákk

A termA terméészetes szszetes száámok nagysmok nagysáág szerint rendezett halmaza g szerint rendezett halmaza jjóólrendelrende--zettzett..A racionA racionáális lis éés a vals a valóós szs száámok halmaza nem mok halmaza nem jjóólrendezettlrendezett halmaz.halmaz.

BizonyBizonyíítsuk be, hogy a raciontsuk be, hogy a racionáális szlis száámok halmaza nem mok halmaza nem jjóólrendezettlrendezett!!

41


FFüüggvggvéényeknyek

Ha valamely Ha valamely AA halmaz elemeihez adott utashalmaz elemeihez adott utasííttáás szerint egy s szerint egy BB halmaz halmaz elemeit rendeljelemeit rendeljüük hozzk hozzáá úúgy, hogy gy, hogy AA minden elemminden eleméének megfeleltnek megfeleltüünk nk legallegaláább egy bb egy BB--beli elemet, akkor azt mondjuk, hogy az beli elemet, akkor azt mondjuk, hogy az AA halmazt halmazt leklekéépezzpezzüükk a a BB halmazra vagy halmazba.halmazra vagy halmazba.Ha a Ha a BB halmaz halmaz öösszes elemsszes eleméét megfeleltjt megfeleltjüük k AA elemeinek, akkor a elemeinek, akkor a BBhalmazrahalmazra kkéépezpezüünk.nk.Ha a Ha a BB halmaz egy rhalmaz egy réészhalmazszhalmazáát feleltjt feleltjüük meg k meg AA elemeinek, akkor a elemeinek, akkor a BB halmazbahalmazba kkéépezpezüünk.nk.Az Az AA--t t ttáárgyhalmaznakrgyhalmaznak, elemeit, elemeit ttáárgyelemeknekrgyelemeknek nevezznevezzüük.k.Az Az BB--t t kkééphalmaznakphalmaznak, elemeit , elemeit kkéépelemeknekpelemeknek nevezznevezzüük.k.

A lekA lekéépezpezéést a hozzst a hozzáárendelrendeléési elsi elııíírráás s éés a ts a táárgyhalmaz egyrgyhalmaz egyéértelmrtelmőően en meghatmeghatáározza. Jelrozza. Jelöölléése: se: φφ: : AA →→ B,B, vagy vagy aa →→ φφ((aa)),, ha ha aa ∊∊ A.A.


Ha minden Ha minden aa ∊∊ AA--ra (ra (aa; ; φφ((aa)) )) ∊∊ AA ×× B, B, akkor a akkor a φφ relreláácicióót t leklekéépezpezééss--neknek nevezznevezzüük. k.

A A φφ éés s δδ leklekéépezpezééseket akkor tekintjseket akkor tekintjüük k egyenlegyenlııneknek, ha b, ha báármely rmely aa ∊∊ AAesetesetéén n φφ((aa) = ) = δδ((aa). ).

A lekA lekéépezpezééseket a tseket a táárgyelemekhez rendelt krgyelemekhez rendelt kéépelemek szpelemek szááma, ill. a ma, ill. a kkéépelemekhez rendelt tpelemekhez rendelt táárgyelemek szrgyelemek szááma szerint osztma szerint osztáályozhatjuk:lyozhatjuk:

Ha minden egyes kHa minden egyes kéépelemnek csak egy tpelemnek csak egy táárgyeleme van, akkor a rgyeleme van, akkor a leklekéépezpezéés s egyegy--egyegyéértelmrtelmőő vagy vagy kköölcslcsöönnöösen egysen egyéértelmrtelmőő..

AA BB

42


Ha valamely kHa valamely kéépelemnek tpelemnek tööbb tbb táárgyeleme van, akkor a lekrgyeleme van, akkor a lekéépezpezéés s ttööbbbb--egyegyéértelmrtelmőő..

Pl. hPl. hááromszromszöögek gek →→ terterüületletüükk

AA BB


Ha tHa tööbb kbb kéépelemnek egy tpelemnek egy táárgyeleme van, akkor a lekrgyeleme van, akkor a lekéépezpezéés s egyegy--ttööbbbbéértelmrtelmőő..

Pl. anya Pl. anya →→ gyerekeigyerekei

AA BB

43


Ha tHa tööbb kbb kéépelemnek tpelemnek tööbb tbb táárgyeleme is lehet, akkor a lekrgyeleme is lehet, akkor a lekéépezpezéés s ttööbbbb--ttööbbbbéértelmrtelmőő..

Pl. tulajdonosok Pl. tulajdonosok →→ ccéégekgek

AA BB


A fA füüggvggvéény mint lekny mint lekéépezpezééss

Legyen adott kLegyen adott kéét halmaz, t halmaz, AA éés s BB. . FFüüggvggvéényneknynek neveznevezüünk minden nk minden olyan olyan binbinéérr (k(kéételemtelemőő) rel) reláácicióót, amely az t, amely az AA halmaz minden halmaz minden elemeleméének a nek a BB halmaz egyetlen elemhalmaz egyetlen eleméét felelteti meg.t felelteti meg.

KKöövetkezmvetkezméény: Minden fny: Minden füüggvggvéény relny reláácicióó, de minden rel, de minden reláácicióóffüüggvggvéény: a fny: a füüggvggvéény egy ny egy AA halmaznak egyhalmaznak egyéértelmrtelmőő leklekéépezpezéése egy se egy BBhalmazra.halmazra.

Az Az AA halmazt a fhalmazt a füüggvggvéény ny éértelmezrtelmezéési tartomsi tartomáánynyáánaknak, a , a BB halmazt a halmazt a ffüüggvggvéény ny éértrtéékkkkéészletszletééneknek nevezznevezzüük. A fk. A füüggvggvéénykapcsolat jelnykapcsolat jelöölléése: se: yy = = ff((xx).).

44


A fentiek A fentiek éértelmrtelméében egy fben egy füüggvggvéény akkor van pontosan ny akkor van pontosan meghatmeghatáározva, ha megadjukrozva, ha megadjuk

Az Az éértelmezrtelmezéési tartomsi tartomáányt (az nyt (az AA halmazt)halmazt)az az éértrtéékkkkéészletet (a szletet (a BB halmazt)halmazt)A hozzA hozzáárendelrendeléést, azaz azt a lekst, azaz azt a lekéépezpezéést, amely minden st, amely minden xx ∊∊ AAelemet telemet táársrsíít egy t egy yy ∊∊ BB elemmel. elemmel.

Ha B minden eleme kHa B minden eleme kéépe az A halmaz egy elempe az A halmaz egy eleméének, akkor az f nek, akkor az f ffüüggvggvéényt nyt szszüürjektrjektíívnekvnek nevezznevezzüük.k.Ha az A halmaz kHa az A halmaz kéét kt küüllöönbnböözzıı elemeleméének nek mindeigmindeig kküüllöönbnböözzıık a k a BB--beli kbeli kéépei, akkor a lekpei, akkor a lekéépezpezéés s injektinjektíívv..Ha egy fHa egy füüggvggvéény egyszerre ny egyszerre szszüürjektrjektíívv éés s injektinjektíívv (azaz (azaz kköölcslcsöönnöösen sen egyegyéérelmrelmőő, akkor , akkor bijektbijektíívv..


A fA füüggvggvéények nyek áábrbráázolzoláása, megadsa, megadáásasa

A fA füüggvggvéények, mint specinyek, mint speciáális lis binbinéérr relreláácicióók megadk megadáássáát nt néégy mgy móódon don vvéégezhetjgezhetjüük:k:

�� utasutasííttááss�� ttááblbláázatzat�� descardesdescardes diagramdiagram�� VennVenn diagramdiagram

FFüüggvggvéények nyek áábrbráázolzoláása utassa utasííttáássalssal

PPééldldáául: ul: ff: : ℝℝ →→ ℝℝ, , ff((xx) = ) = 2x2x22 –– 33..

45


FFüüggvggvéények megadnyek megadáása tsa tááblbláázattalzattal

bb11 bb22 bb44

aa11

bb33 bb55

aa22

aa33

aa44

aa55 ++++

++++

++

ahol ahol aaii ∊∊ AA éés s bbii ∊∊ b, b, i = 1,2,i = 1,2,……,5. ,5.


FFüüggvggvéények megadnyek megadáása sa DescardesDescardes diagrammaldiagrammal

VegyVegyüük k éészre, hogy a diagram elkszre, hogy a diagram elkéészszííttéésséét egy t egy yy = (= (xx--33))22 ffüüggvggvéényny--kapcsolat alapjkapcsolat alapjáán vn véégeztgeztüük el.k el.

46


FFüüggvggvéények megadnyek megadáása sa VennVenn diagrammaldiagrammal

AA BB

�� A kA kéét halmazt zt halmazt záárt srt sííkidomban elhelyezett pontok kidomban elhelyezett pontok áábrbráázoljzoljáák.k.�� Minden pontot nyMinden pontot nyííl kl kööt t öössze a kssze a kééppéével. vel. �� A kiindulA kiindulóó halmaz minden pontja egyetlen nyhalmaz minden pontja egyetlen nyííl kiindull kiindulóópontja.pontja.


Az Az öösszetett fsszetett füüggvggvéényny

Legyen adott hLegyen adott háárom halmaz, rom halmaz, A, B, CA, B, C, , éés legyen s legyen ff az az AA egy lekegy lekéépezpezéése se BB--be, be, éés s gg a a BB leklekéépezpezéése se CC--be.be.Feleltesse meg Feleltesse meg ff az az AA minden elemminden eleméének a nek a BB egy egy éés csakis egy s csakis egy yyelemeleméét, t, éés feleltesse meg s feleltesse meg gg a a BB ezen ezen yy elemeleméének nek CC egy egy éés csakis egy s csakis egy zzelemeleméét.t.ÍÍgy az gy az AA minden minden xx elemeleméének megfelel nek megfelel CC egy egy éés csakis egy s csakis egy zz eleme.eleme.Az Az íígy definigy definiáált hozzlt hozzáárendelrendeléés leks lekéépezte az pezte az AA halmazt a halmazt a CC halmazba: halmazba: z = gz = g((ff((xx)).)).Ez az Ez az úúj lekj lekéépezpezéés az s az ff éés s gg ffüüggvggvéénybnybııl l áállllóó öösszetett leksszetett lekéépezpezéés, a s, a kkéét lekt lekéépezpezéés szorzata. Jels szorzata. Jelöölléése: se: g g ∘∘ f.f.

Az Az ff éés s gg leklekéépezpezéések sek g g ◦◦ ff szorzatszorzatáán n azaz f f éés s gg leklekéépezpezéések egymsek egymáás s ututááni vni véégrehajtgrehajtáássáát t éértjrtjüük ebben a sorrendben. (Az k ebben a sorrendben. (Az ff ffüüggvggvéény ny éértrtéékkkkéészletszletéét tartalmazni a kell a t tartalmazni a kell a gg ffüüggvggvéény ny éértelmezrtelmezéési si tartomtartomáánynyáának!)nak!)

47


TTéételtel: K: Kéét lekt lekéépezpezéés s öösszetsszetéétele nem kommutattele nem kommutatíívv

PPéélda: lda: Legyen Legyen f f : : ℝℝ →→ ℝℝ, , ff((xx) = ) = 2x2x22 –– 33, ,

g g : : ℝℝ →→ ℝℝ, , gg((xx) = cos) = cos xx..

Ekkor Ekkor g g ∘∘ f = f = cos (cos (2x2x22 –– 33 ) ) éés s f f ◦◦ gg = = 22 coscos22 x x –– 33..

ÁÁbrbráázoljuk a kzoljuk a kéét ft füüggvggvéényt!nyt!


Inverz fInverz füüggvggvéényny

Az Az f: Af: A →→ BB lléétestesíítsen az tsen az AA éés s BB elemei kelemei köözzöött ktt köölcslcsöönnöösen sen egyegyéértelmrtelmőő hozzhozzáárendelrendeléést.st.Ekkor Ekkor BB minden eleme egyetlen minden eleme egyetlen AA--beli elemnek a kbeli elemnek a kéépe, azaz minden pe, azaz minden yy ∊∊ BB--hez tartozik egyetlen hez tartozik egyetlen xx ∊∊ AA úúgy, hogy gy, hogy y y = = ff((xx).).ÍÍgy a gy a BB--n n éértelmezett rtelmezett gg ffüüggvggvéényt kaptunk: nyt kaptunk: g: Bg: B →→ A.A.Ha Ha yy ∊∊ BB, akkor , akkor gg((yy) az ) az azaz egyegyéértelmrtelmőően meghaten meghatáározott rozott xx ∊∊ AA, , amelyre amelyre ff((xx) = ) = y.y.Ezt a fEzt a füüggvggvéényt az nyt az ff ffüüggvggvéény inverz fny inverz füüggvggvéénynyééneknek nevezznevezzüük. k. JelJelöölléése: se: f f --11..

Ha Ha f f --11 az az ff ffüüggvggvéény inverze, akkor ny inverze, akkor ff éértelmezrtelmezéési tartomsi tartomáánya az nya az f f --11

ffüüggvggvéény ny éértrtéékkkkéészlete, szlete, éés s ff éértrtéékkkkéészlete az szlete az f f --11 éértelmezrtelmezéési si tartomtartomáá--nyanya..

48


Ha az (Ha az (xx, , ff((xx)) az )) az ff grafikonjgrafikonjáának egy pontja, akkor az (nak egy pontja, akkor az (ff((xx), ), xx) az ) az f f --11

ffüüggvggvéény grafikonjny grafikonjáának egy pontja, azaz a knak egy pontja, azaz a kéét ft füüggvggvéény grafikonjai ny grafikonjai egymegymáásnak tsnak tüükköörkrkéépei, ahol a tpei, ahol a tüükrkröözzéés tengelye az s tengelye az y = xy = x egyenes.egyenes.

f f : : ℝℝ →→ ℝℝ, , ff((xx) = ) = 22xx, , f f --11((xx) = log) = log2 2 xx,,

ff((xx) = ) = 22xx

f f --11((xx) = log) = log22 xx


RekurzRekurzíív sorozatokv sorozatok

Oldjuk meg a kOldjuk meg a köövetkezvetkezıı feladatotfeladatot: H: Háány nyny nyúúl szl száármazik egyetlen prmazik egyetlen páár r nynyúúltltóól, ha tudjuk, hogy minden pl, ha tudjuk, hogy minden páár havonta r havonta úúj pj páárnak ad rnak ad ééletet, letet, éés s az az úújszjszüüllöött nyulak ktt nyulak kéét ht hóónapos koruktnapos koruktóól lesznek szl lesznek szüüllııkkéépesek?pesek?

hhóónap 1 2 3 4 5 6 7 nap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 108 9 10nynyúúlplpáárr 11 2211 33 55 88 1313 2121 3535 5656

aann = a= ann--11 + a+ ann--22

−−

+=

nn

na2

51

2

51

5

1

FibonacciFibonacci sorozat:sorozat:

49


A A FibonacciFibonacci--sorozatsorozat nnééhháány tulajdonsny tulajdonsáága:ga:

�� A sorozat A sorozat nn. eleme 1. eleme 1--gyel nagyobb, mint az elsgyel nagyobb, mint az elsıı nn--22 elem elem öösszege.sszege.

�� aann akkor oszthatakkor oszthatóó 22--vel, ha vel, ha haha n = 3kn = 3k alakalakúú..�� 44 oszoszóójaja aann --neknek, ha , ha n = 6kn = 6k alakalakúú..

Nyitott problNyitott problééma: A ma: A FibonacciFibonacci--sorozatsorozatbanban vvééges sok, vagy vges sok, vagy véégtelen gtelen sok prsok príímszmszáám vanm van--e?e?


Az Az ííttéélet mint flet mint füüggvggvéényny

�� Az Az ””a ta tááncolt bncolt b--velvel”” relreláácicióó egy alaphalmazon egy alaphalmazon éértelmezett rtelmezett tulajdontulajdon--ssáágg. .

�� Ha az (a,b) pHa az (a,b) páárra a tulajdonsrra a tulajdonsáág fenng fennááll ll –– azaz az azaz az áállllííttáás igaz s igaz ––akkor a pakkor a páár a relr a reláácicióóhoz tartozik.hoz tartozik.

�� Az Az íígy elgy elııáállllíított ftott füüggvggvéény ny éértelmezrtelmezéési tartomsi tartomáánya az nya az öösszes sszes lehetslehetsééges pges páárok halmaza, az A rok halmaza, az A ×× B halmaz.B halmaz.

�� A szorzathalmaz minden A szorzathalmaz minden elemelemééhez egy igaz vagy egy hamis hez egy igaz vagy egy hamis éértrtéék k tartozik.tartozik.

�� EzEzéért a kapott frt a kapott füüggvggvéény minden ny minden elempelempáárhozrhoz egy logikai egy logikai éértrtééket ket rendel.rendel.

�� Az Az íígy kapott fgy kapott füüggvggvéényt nyt kijelentkijelentéésfsfüüggvggvéénynek (nynek (predikpredikáátumftumfüügggg--vvéényneknynek)) nevezznevezzüük.k.

50


A matematikai logika alapjaiA matematikai logika alapjai

A logika a gondolkodA logika a gondolkodáás ts táárgyrgyáát kt kéépezpezıı konkrkonkréét problt probléémmááktktóól, l, tartalmi informtartalmi informáácicióóktktóól elvonatkoztat, l elvonatkoztat, éés a gondolkods a gondolkodáási folyamat si folyamat elemeinek, megelemeinek, megáállapllapííttáásainak ksainak köözzöös, a ks, a köövetkeztetvetkeztetéés s szempontjszempontjáábbóól ll léényeges tartalmnyeges tartalmáát hasznt hasznáálja fel.lja fel.Ez a kEz a köözzöös tartalom, vagy ks tartalom, vagy köözzöös jellemzs jellemzıı az az áállllííttáások sok igazsigazsáággéérréétketke, ami alatt a klasszikus k, ami alatt a klasszikus kééttéértrtéékkőő logiklogikáában azt a ban azt a ttéényt nyt éérjrjüük, hogy egy k, hogy egy áállllííttáás igaz vagy nem igaz (hamis).s igaz vagy nem igaz (hamis).A logikA logikáának azt az nak azt az áággáát, amely a fenti mt, amely a fenti móódon kdon köözelzelííti a ti a gondolkodgondolkodáás ks kéérdrdééseit klasszikus seit klasszikus –– kkééttéértrtéékkőő –– logiklogikáának nak nevezznevezzüük.(Ez azt jelenti, hogy a klasszikus kk.(Ez azt jelenti, hogy a klasszikus kééttéértrtéékkőő logika logika szszáámmáára az ra az áállllííttáások ksok kéét lehetst lehetsééges igazsges igazsáággéértrtééke az alap. Ez az ke az alap. Ez az igazsigazsáággéértrtéék bizonytalansk bizonytalansáágot nem tartalmaz, a kgot nem tartalmaz, a kéét igazst igazsáággéértrtéék k kizkizáárja egymrja egymáást.st.


Egy megEgy megáállapllapííttáást a logika szempontjst a logika szempontjáábbóól akkor tekintl akkor tekintüünk nk áállllííttáásnaksnak, , ha eldha eldöönthetnthetıı rróóla, hogy igaz vagy hamis.la, hogy igaz vagy hamis.

TTööbbbbéértrtéékkőő logiklogikáák lk lééteztezéése: se: fuzzyfuzzy logikalogika

A matematikai logikA matematikai logikáát elst elsıısorban a matematikai kutatsorban a matematikai kutatáásokban sokban alkalmazzalkalmazzáák, de a mindennapi k, de a mindennapi éélet let éés a kutats a kutatáások minden olyan sok minden olyan terterüületletéén hasznn hasznáálhatlhatóó, ahol az igazs, ahol az igazsáággéértrtéék k –– mint absztrakcimint absztrakcióó ––elfogadhatelfogadhatóó. . ÍÍgy a szgy a száámmííttáástudomstudomáány ny éés a mesterss a mestersééges ges inteligenciainteligencia is is alkalmazza a matematikai logikalkalmazza a matematikai logikáát.t.

A matematikai logika kiemelkedA matematikai logika kiemelkedıı alakjai:alakjai:•• GottfriedGottfried WilheimWilheim LeibnitzLeibnitz (1646 (1646 –– 1716)1716)•• George George BooleBoole (1815 (1815 –– 1864) 1864)

51


ÁÁllllííttááson vagy kijelentson vagy kijelentéésensen olyan kijelentolyan kijelentıı mondatot mondatot éértrtüünk, amely nk, amely egyegyéértelmrtelmőően iga vagy hamis. en iga vagy hamis. Egy Egy áállllííttáás egyidejs egyidejőőleg leg namnam lehet igaz is lehet igaz is éés hamis is s hamis is (ellentmond(ellentmondáástalansstalansáág elve).g elve).Egy Egy áállllííttáás nem lehet sem nem igaz sem nem hamis (kizs nem lehet sem nem igaz sem nem hamis (kizáárt rt harmadik elve).harmadik elve).

Vannak olyan kijelentVannak olyan kijelentéések, amelyekkel a logika nem foglalkozik:sek, amelyekkel a logika nem foglalkozik:•• x < 5, mert adott x nx < 5, mert adott x néélklküül az l az áállllííttáásnak nincs meghatsnak nincs meghatáározott rozott igazigaz--

ssáággéértrtéékeke..•• ””az az úút holnap cst holnap csúúszszóós leszs lesz””, mert az adott pillanatban nem , mert az adott pillanatban nem

ddöönthetnthetıı el az el az áállllííttáás.s.•• az az ””azazéért rt ……, mert, mert”” ttíípuspusúú áállllííttáások.sok.


MMőőveletek veletek áállllííttáásokkal, logikai sokkal, logikai éértrtéékekkelkekkel

Logikai mLogikai mőőveletenveleten olyan eljolyan eljáárráást st éértrtüünk, amely egy vagy tnk, amely egy vagy tööbb bb kijelentkijelentéésbsbııl (ezek a ml (ezek a mőővelet tagjai) olyan kijelentvelet tagjai) olyan kijelentéést kst kéépez (ez a pez (ez a mmőővelet eredmvelet eredméénye), amelynek igaz vagy hamis voltnye), amelynek igaz vagy hamis voltáát a tagok igaz, t a tagok igaz, ill. hamis volta egyill. hamis volta egyéértelmrtelmőően meghaten meghatáározza.rozza.

A A mmőőveleteket egyveleteket egy--, k, kéétt--, h, hááromrom--, , …… nn--vvááltozltozóósnaksnak nevezznevezzüük k aszerint, hogy egyaszerint, hogy egy--, k, kéétt--, h, hááromrom--, , …… nn kijelentkijelentéésbsbııl kl kéépeznek peznek úúj j kijelentkijelentéést.st.

Az Az áállllííttáások ksok köörréében is elegendben is elegendıı a logikai a logikai éértrtéékek kkek köözzöötti tti mmőőveleteket tisztveleteket tisztáázni.zni.

52


A negA negáácicióó mmőőveletveletéének igazsnek igazsáágtgtááblbláája:ja:

NegNegáácicióó

Egy Egy pp kijelentkijelentéés s negnegáácicióójjáán (tagadn (tagadáássáán)n) a a ””nem igaz, hogy nem igaz, hogy pp””kijelentkijelentéést (vagy ennek egy nyelvtanilag st (vagy ennek egy nyelvtanilag áátfogalmazott alakjtfogalmazott alakjáát) t) éértjrtjüük.k.

””A szA száámmííttóóggéép nem sp nem sííkidomkidom””..Ez egy egyvEz egy egyvááltozltozóós s ííttéélet, amely egy let, amely egy áállllííttáás (ti. s (ti. ””A szA száámmííttóóggéép p ssííkidomkidom””) tagad) tagadáássáábbóól l ááll. (Nem vizsgll. (Nem vizsgááljuk az eredeti ljuk az eredeti áállllííttáás s igazsigazsáágtartalmgtartalmáát.)t.)

pp ¬¬pp

i hi hh ih i


KonjunkciKonjunkcióó

KKéét kijelentt kijelentéés, s, pp éés s qq konjunkcikonjunkcióójjáánn ((öösszekapcsolsszekapcsoláássáán)n) a a ””pp éés s qq””kijelentkijelentéést (vagy ennek egy nyelvtanilag st (vagy ennek egy nyelvtanilag áátfogalmazott alakjtfogalmazott alakjáát) t) éértjrtjüük.k.

””A 3 osztA 3 osztóója a 12ja a 12--nek nek éés a 4 oszts a 4 osztóója a 16ja a 16--nak.nak.”” Ez az Ez az áállllííttáás igaz, s igaz, mert az elmert az elııtagja tagja éés az uts az utóótagja is igaz. A tagja is igaz. A konjunkcikonjunkcióó akkor akkor éés csak s csak akkor igaz, ha mindkakkor igaz, ha mindkéét tagja igaz. Jelt tagja igaz. Jelöölléése: se: p p ∧∧ q.q.

A A konjunkcikonjunkcióó mmőőveletveletéének igazsnek igazsáágtgtááblbláája:ja: pp qq p p ∧∧ qq

i i ii i ii h hi h hh i hh i hh h hh h h

53


DiszjunkciDiszjunkcióó

KKéét kijelentt kijelentéés, s, pp éés s qq diszjunkcidiszjunkcióójjáánn (sz(széétvtváálasztlasztáássáán)n) a a ””pp vagy vagy qq””kijelentkijelentéést (vagy ennek egy nyelvtanilag st (vagy ennek egy nyelvtanilag áátfogalmazott alakjtfogalmazott alakjáát) t) éértjrtjüük. (Megengedk. (Megengedıı éértelmrtelmőő öösszekapcsolsszekapcsoláás.)s.)

””Tejet vagy kakaTejet vagy kakaóót reggelizt reggelizüünk.nk.””Ez az Ez az áállllííttáás akkor igaz, ha legals akkor igaz, ha legaláább az egyik tagja igaz. bb az egyik tagja igaz. JelJelöölléése: se: p p ∨∨ q.q.

A A diszjunkcidiszjunkcióó mmőőveletveletéének igazsnek igazsáágtgtááblbláája:ja: pp qq p p ∨∨ qq

i i ii i ii h ii h ih i ih i ih h hh h h


Az Az ííttééletkalkulusban a logikai letkalkulusban a logikai éértrtéékeket, a logikai vkeket, a logikai vááltozltozóókat kat éés a s a rajtuk vrajtuk véégzett mgzett mőőveleteket leveleteket leíírróó jelsorozatokat az jelsorozatokat az ííttééletkalkulus letkalkulus formulformulááinakinak nevezznevezzüük.k.

KKéét t formulformuláát azonosnak nevezt azonosnak nevezüünknk, ha a k, ha a kéét formula a benne szereplt formula a benne szereplııvvááltozltozóók minden lehetsk minden lehetsééges ges éértrtéékkéére ugyanazt a logikai re ugyanazt a logikai éértrtééket ket áállllíítja tja elelıı..

PPéélda:lda:AA ∪∪ ((B B ∩∩ CC ) = ) = AA

A bizonyA bizonyííttáás abbs abbóól l ááll, hogy kimutatjuk ll, hogy kimutatjuk azaz aa ∊∊ AA ∨∨ ((aa ∊∊ A A ∧∧ aa ∊∊ BB ) ) áállllííttáás akkor s akkor éés csak akkor igaz, amikor az s csak akkor igaz, amikor az aa ∊∊ AA áállllííttáás.s.

ElegendElegendıı azt bebizonyazt bebizonyíítani, hogy az tani, hogy az áállllííttáások a vsok a vááltozltozóók logikai k logikai éértrtéékeire megegyeznek.keire megegyeznek.

54


TehTeháát azt kell igazolnunk, hogy p, q tetszt azt kell igazolnunk, hogy p, q tetszııleges leges áállllííttáások esetsok esetéén a n a fföönnnnáállll--e a e a pp ∨∨ ((p p ∧∧ qq ) egyenl) egyenlıısséég. g. KKéészszíítstsüük el az k el az igzsigzsáágtgtááblbláázatotzatot::

Mivel tMivel tááblbláázatunk elszatunk elsıı éés utolss utolsóó oszlopa megegyezik, ezoszlopa megegyezik, ezéért az rt az áállllííttáásunk igaz.sunk igaz.

pp qq rr = = p p ∧∧ q p q p ∨∨ rr

i i i ii i i ii h h i i h h i h i h hh i h hh h h hh h h h


TTéétel:tel: BBáármely logikai mrmely logikai mőővelet kifejezhetvelet kifejezhetıı a nega negáácicióó éés a s a konjunkcikonjunkcióómmőőveletveletéével.vel.

Nem bizonyNem bizonyíítjuk, de megmutatjuk az eltjuk, de megmutatjuk az elııáállllííttáásokat:sokat:

pp ∨∨ qq = = ¬¬((¬¬ p p ∧∧ ¬¬ qq ))

pp qq ¬¬p p ¬¬qq p p ∨∨ rr ¬¬((¬¬ p p ∧∧ ¬¬ qq ))

i i h h i ii i h h i ii h h i i ii h h i i ih i i h i ih i i h i ih h i i h hh h i i h h

55


A logikai mA logikai mőőveletek tulajdonsveletek tulajdonsáágaigai

Logikai Logikai ””vagyvagy””::

kommutatkommutatíív: v: p p ∨∨ q = q = q q ∨∨ pp

asszociatasszociatíív: (v: (p p ∨∨ q) q) ∨∨ r = r = p p ∨∨ ((qq ∨∨ r) r)

disztributdisztributíív: v: p p ∨∨ ((q q ∧∧ r) = (r) = (p p ∨∨ q)q) ∧∧ ((p p ∨∨ r) r)

idempotensidempotens: : p p ∨∨ p = p = p p

Logikai Logikai ”é”éss””::

kommutatkommutatíív: v: p p ∧∧ q = q = q q ∧∧ pp

asszociatasszociatíív: (v: (p p ∧∧ q) q) ∧∧ r = r = p p ∧∧ ((qq ∧∧ r) r)

disztributdisztributíív: v: p p ∧∧((q q ∨∨ r) = (r) = (p p ∧∧ q)q) ∨∨ ((p p ∧∧ r) r)

idempotensidempotens: : p p ∧∧ p = p = p p Matematika I. Felsıfokú Szakképzés 110

TovTováábbi logikai mbbi logikai mőőveletekveletek

A A ””pp akkor akkor qq”” alakalakúú kifejezkifejezééseket seket implikimplikáácicióónaknak nevezznevezzüük. (Itt k. (Itt pp az az elelııtag tag éés s qq az utaz utóótag.)tag.)

””Ha a rHa a réészvszvéények nyek áára csra csöökken, akkor nem adom el kken, akkor nem adom el ııket.ket.””(Amennyiben a r(Amennyiben a réészvszvéények nyek áára nem csra nem csöökken, akkor igaznak kken, akkor igaznak tekintjtekintjüük az k az áállllííttáást akst akáár eladtam a rr eladtam a réészvszvéényeket, aknyeket, akáár nem, mert erre r nem, mert erre vonatkozvonatkozóóan nem mondtunk elan nem mondtunk elııre .) Jelre .) Jelöölléése: se: p p →→ q.q.

Az implikAz implikáácicióó mmőőveletveletéének igazsnek igazsáágtgtááblbláája:ja: pp qq p p →→ qq

i i ii i ii h hi h hh i ih i ih h ih h i

56


TTéétel:tel: Az implikAz implikáácicióó nem kommutatnem kommutatíív v éés nem asszociats nem asszociatíív mv mőővelet.velet.

Az implikAz implikáácicióó kifejezkifejezéése se diszjunkcidiszjunkcióóvalval éés negs negáácicióóval:val:

EzEzéért: rt: p p →→ q = q = ¬¬p p ∨∨ q.q.Amennyiben figyelembe vesszAmennyiben figyelembe vesszüük az implikk az implikáácicióó kifejezhetkifejezhetııssééggéét a t a negnegáácicióóval val éés a s a konjunkcikonjunkcióóvalval, azt kapjuk, hogy:, azt kapjuk, hogy:p p →→ q = q = ¬¬((p p ∧∧ ¬¬ q).q).

pp ¬¬pp q q ¬¬p p ∨∨ qq

i h i ii h i ii h h h i h h h h i i ih i i ih i h ih i h i

pp qq p p →→ qq

i i ii i ii h hi h hh i ih i ih h ih h i


A A ””ha ha pp akkor akkor q, q, éés ha q akkor ps ha q akkor p”” alakalakúú kifejezkifejezééseket seket ekvivalenciekvivalenciáánaknak nevezznevezzüük. k.

””Egy nEgy néégyszgyszöög akkor g akkor éés s csakkorcsakkor hhúúrnrnéégyszgyszöög, ha szemkg, ha szemköözti zti szszöögeinek geinek öösszege 180sszege 180°°..”” (Figyelj(Figyeljüük meg, hogy itt kk meg, hogy itt kéét t áállllííttáást tettst tettüünk nk egyszerre.) Jelegyszerre.) Jelöölléése: se: p p ↔↔ q.q.

Az ekvivalencia mAz ekvivalencia mőőveletveletéének igazsnek igazsáágtgtááblbláája:ja: pp qq p p ↔↔ qq

i i ii i ii h hi h hh i hh i hh h ih h i

A definA definíícicióó szerint szerint p p ↔↔ q = q = ((p p →→ qq) ) ∧∧ (( q q →→ pp))

p p ↔↔ q = q = ((p p →→ qq) ) ∧∧ (( q q →→ pp))p p ↔↔ q = q = ((¬¬p p ∨∨ qq) ) ∧∧ ((¬¬q q ∨∨ pp))p p ↔↔ q = q = ¬¬((p p ∧∧ ¬¬ qq) ) ∧∧ ¬¬((¬¬p p ∧∧ qq))

57


A A ””nem igaz, hogy ha nem igaz, hogy ha pp akkor akkor q, q, éés ha q akkor ps ha q akkor p”” alakalakúú kifejezkifejezééseket seket antivalenciantivalenciáánaknak nevezznevezzüük. k.

A mA mőővelet a velet a ””kizkizáárróó vagy ismertvagy ismert”” (XOR). Az (XOR). Az antivalenciaantivalencia akkor akkor éés s csak akkor igaz, ha a kcsak akkor igaz, ha a kéét t áállllííttáás logikai s logikai éértrtééke kke küüllöönbnböözzıı. . JelJelöölléése: se: p p ⊕⊕ q.q.

Az Az antivalenciaantivalencia mmőőveletveletéének igazsnek igazsáágtgtááblbláája:ja: pp qq p p ↔↔ qq

i i hi i hi h ii h ih i ih i ih h hh h h

A mA mőővelet az igazsvelet az igazsáágtgtááblbláázatbzatbóól kizl kizáárja azokat az eseteket, rja azokat az eseteket, amelyekben mindkamelyekben mindkéét t áállllííttáás igaz, tehs igaz, teháát formt formáálisan az ekvivalencia lisan az ekvivalencia tagadtagadáássáát jelenti. t jelenti. p p ⊕⊕ qq = = ¬¬((p p ↔↔ qq ) )

p p ⊕⊕ q = q q = q ⊕⊕ p p p p ⊕⊕ q = q = ¬¬((p p ↔↔ qq ) ) p p ⊕⊕ q = q = ¬¬((p p ∧∧ qq) ) ∧∧ ¬¬((¬¬ p p ∧∧ ¬¬ qq))p p ⊕⊕ q = q = ((¬¬ p p ∧∧ qq) ) ∨∨ ((p p ∧∧ ¬¬ qq))


A A ””sem sem pp semsem qq”” alakalakúú öösszetett kifejezsszetett kifejezééseket seket semsem--sem (sem (WebbWebb--fféélele) ) mmőőveletnek veletnek nevezznevezzüük. k.

A mA mőővelet a velet a diszjunkcidiszjunkcióó tagadtagadáása (NOR). sa (NOR). JelJelöölléése: se: p p ↓↓ q.q.

A A WebbWebb--fféélele mmőővelet igazsvelet igazsáágtgtááblbláája:ja: pp qq p p ↓↓ qq

i i hi i hi h hi h hh i hh i hh h ih h i

ÉÉrvrvéényes a knyes a köövetkezvetkezıı azonossazonossáág:g:p p ↓↓ qq = = ¬¬((p p ∨∨ qq ) )

p p ↓↓ q = q q = q ↓↓ pp

58


A A ””nem nem pp vagy nem vagy nem qq”” alakalakúú kifejezkifejezééseket seket ShefferSheffer --fféélele mmőőveletnek veletnek nevezznevezzüük. k.

””Vagy iszik az ember vagy vezet.Vagy iszik az ember vagy vezet.”” A mA mőővelet a velet a konjunkcikonjunkcióó tagadtagadáása sa (NAND). Ebben az esetben a k(NAND). Ebben az esetben a kéét kijelentt kijelentéés ks köözzüül legfeljebb z egyik l legfeljebb z egyik igaz. Jeligaz. Jelöölléése: se: p p || q.q.

Az Az ShefferSheffer--fféélele mmőővelet igazsvelet igazsáágtgtááblbláája:ja: pp qq p p || qq

i i hi i hi h ii h ih i ih i ih h ih h i

ÉÉrvrvéényes a knyes a köövetkezvetkezıı kkéét azonosst azonossáág:g:p p || qq = = ¬¬((p p ∧∧ qq ) ) p p || qq = = ¬¬p p ∨∨ ¬¬ qq


A logikai fA logikai füüggvggvéény fogalmany fogalma

Az eddigiekben kAz eddigiekben kéétvtvááltozltozóós ms mőőveleteket vizsgveleteket vizsgááltunk, amelyek ltunk, amelyek tekinthettekinthetıık kk kéétvtvááltozltozóós fs füüggvggvéényeknek is. nyeknek is. Ebben az esetben az Ebben az esetben az éértelmezrtelmezéési tartomsi tartomáány az {ny az {i, hi, h} halmaz } halmaz éés az s az éértrtéékkkkéészlet is az {szlet is az {i, hi, h} halmazb} halmazbóól vall valóó..Legyen Legyen i i = 1= 1 éés s n = 0n = 0. . Az ilyen tAz ilyen tíípuspusúú ffüüggvggvéényeket igazsnyeket igazsáágfgfüüggvggvéénynek vagy nynek vagy BooleBoole--ffüüggvggvéényneknynek nevezznevezzüük.k.

A kA kéétvtvááltozltozóós s BooleBoole--ffüüggvggvéényeknyek mintmintáájjáára definira definiáálhatlhatóó az az nn--vvááltozltozóóss BooleBoole--ffüüggvggvéényny is: ekkor mind az is: ekkor mind az éértelmezrtelmezéési tartomsi tartomáány, ny, mind az mind az éértrtéékkkkéészlet egy olyan szszlet egy olyan száám m nn--es, amelynek elemei a {0, 1} es, amelynek elemei a {0, 1} halmazbhalmazbóól szl száármaznak.rmaznak.

59


HHáány darab ny darab nn--vvááltozltozóóss BooleBoole--ffüüggvggvéényny van?van?

Az Az éértrtééktktááblbláázatnak zatnak nn oszlopa van, oszlopa van, éés minden helyre vagy 0s minden helyre vagy 0--t vagy t vagy 11--et et íírunk. Ezrunk. Ezéért rt öösszesen sszesen 22nn sorunk lesz.sorunk lesz.Minden sorba kMinden sorba kéétftfééle mle móódon vdon váálaszthatjuk meg a flaszthatjuk meg a füüggvggvéénynyéértek, ti.rtek, ti.

vagy 0vagy 0--t vagy 1t vagy 1--t. t. ÍÍgy a gy a BooleBoole ffüüggvggvéények sznyek szááma: ma: .22n

1,84 ·1019646

4294967296325

65536164

25683

1642

421

2nn .22n


pp 1 0 1 01 0 1 0qq 1 1 0 01 1 0 0

ff11 1 1 1 1 1 1 1 1 ff1 1 = q = q ∨∨ ¬¬q q „„mindigmindig””ff22 1 1 1 0 1 1 1 0 ff2 2 = p = p ∨∨ q q diszjunkcidiszjunkcióó

ff33 1 1 0 1 1 1 0 1 ff3 3 = = p p →→ q = q = ¬¬p p ∨∨ q q implikimplikáácicióó

ff44 1 1 0 0 1 1 0 0 ff4 4 = = q q qq

ff55 1 0 1 1 1 0 1 1 ff5 5 = = q q →→ p = p = ¬¬q q ∨∨ p p implikimplikáácicióó

ff66 1 0 1 0 1 0 1 0 ff6 6 = = p p ppff77 1 0 0 1 1 0 0 1 ff77 = p = p ↔↔ q = q = ((p p →→ qq) ) ∧∧ (( q q →→ pp) ) ekvivallenciaekvivallenciaff88 1 0 0 0 1 0 0 0 ff8 8 = p = p ∧∧ q q konjunkcikonjunkcióó

ff99 0 0 0 0 0 0 0 0 ff9 9 = q = q ∧∧ ¬¬q q „„sohasoha””

ff1010 0 0 0 1 0 0 0 1 ff10 10 = = p p ↓↓ qq = = ¬¬((p p ∨∨ qq ) ) „„semsem--semsem””ff1111 0 0 1 0 0 0 1 0 ff1111 = = ¬¬((p p →→ qq)) = p = p ∧∧ ¬¬q q implikimplikáácicióó tagadtagadáásasa

ff1212 0 0 1 1 0 0 1 1 ff12 12 = = ¬¬qq negnegáácicióó

ff1313 0 1 0 0 0 1 0 0 ff1313 = = ¬¬((q q →→ pp)) = q = q ∨∨ ¬¬p p implikimplikáácicióó tagadtagadáásasa

ff1414 0 1 0 1 0 1 0 1 ff1414 = = ¬¬p p negnegáácicióó

ff1515 0 1 1 0 0 1 1 0 ff1515 = = p p ⊕⊕ qq antivalenciaantivalenciaff1616 0 1 1 1 0 1 1 1 ff1616 = p = p || qq = = ¬¬((p p ∧∧ qq ) ) ShefferSheffer mmőőveletvelet

60


NormNormáálformlformáák k éés fs füüggvggvéényrendszereknyrendszerek

A kA kéétvtvááltozltozóós fs füüggvggvéényeknnyeknéél ll lááttuk, hogy mindegyik felttuk, hogy mindegyik felíírhatrhatóó a a negnegáácicióó, a , a konjunkcikonjunkcióó valamint a valamint a diszjunkcidiszjunkcióó mmőőveleteinek veleteinek segsegíítstsééggéével.vel.MegmutathatMegmutathatóó ez ez éérvrvéényes az nyes az nn--vvááltozltozóóss BooleBoole--ffüüggvggvéényekrenyekre is oly is oly mmóódon, hogy feldon, hogy felíírhatrhatóó egy olyan formula, amely az adott n egy olyan formula, amely az adott n vvááltozltozóóbbóól l ééppüül fel, l fel, éés ms mőőveletkveletkéént a nt a ¬¬, a , a ∧∧ éés as a ∨∨ logikai logikai mműűveleteket hasznveleteket hasznááljuk.ljuk.Az Az íígy felgy felíírt formula rt formula éértrtééke pontosan akkor lesz igaz, amikor az ke pontosan akkor lesz igaz, amikor az áátalaktalakíítandtandóó ffüüggvggvéény ny éértrtééke is igaz.ke is igaz.

A fenti A fenti áállllííttáást nem bizonyst nem bizonyíítjuk, hanem egy ptjuk, hanem egy pééldldáát mutatunk a t mutatunk a konstrukcikonstrukcióóra.ra.


0000

1100

1010

0110

1001

0101

0011

0111

g(x1,x2,x3)x3x2x1

g(x1,x2,x3) = (x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3)

61


EljEljáárrááss--1: olyan formul1: olyan formuláát t áállllíítottunk eltottunk elıı, amivel , amivel az az éértrtééktktááblbláázattalzattalmegadott igazsmegadott igazsáágfgfüüggvggvéényt ki tudjuk fejezni. A formula jellemznyt ki tudjuk fejezni. A formula jellemzııi:i:

a formulaa formula konjukcikonjukcióókk diszjunkcidiszjunkcióójaja,,

minden minden konjukcikonjukcióóss tag vagy egy vtag vagy egy vááltozltozóó vagy annak a negvagy annak a negááltja,ltja,

minden minden diszjunkcidiszjunkcióóss tagban minden vtagban minden vááltozltozóó szerepel,szerepel,

ugyanaz a vugyanaz a vááltozltozóó egy egy konjunkcikonjunkcióóbanban csak egyszer szerepel,csak egyszer szerepel,

nincs knincs kéét olyan t olyan diszjunkcidiszjunkcióóss tag, amelyek csak a vtag, amelyek csak a vááltozltozóók k sorrendjsorrendjéében kben küüllöönbnbööznek.znek.

A fenti tulajdonsA fenti tulajdonsáággúú formulformuláát t teljes teljes diszjunktdiszjunktíívv normnormáálformlformáánaknaknevezznevezzüük.k.


1000

0100

0010

0110

1001

1101

0011

1111

h(x1,x2,x3)x3x2x1

h(x1,x2,x3) = (¬x1∨¬x2∨x3)∧(x1∨¬x2∨ ¬x3)∧(x1∨¬x2∨x3)∧(x1∨x2∨ ¬x3)

62


EljEljáárrááss--2: olyan formul2: olyan formuláát t áállllíítottunk eltottunk elıı, amivel , amivel az az éértrtééktktááblbláázattalzattalmegadott igazsmegadott igazsáágfgfüüggvggvéényt ki tudjuk fejezni. A formula jellemznyt ki tudjuk fejezni. A formula jellemzııi:i:

a formulaa formula diszjunkcidiszjunkcióókk konjukcikonjukcióójaja,,

minden minden diszjunkcidiszjunkcióóss tag vagy egy vtag vagy egy vááltozltozóó vagy annak a negvagy annak a negááltja,ltja,

minden minden konjukcikonjukcióóss tagban minden vtagban minden vááltozltozóó szerepel,szerepel,

ugyanaz a vugyanaz a vááltozltozóó egy egy diszjunkcidiszjunkcióóbanban csak egyszer szerepel,csak egyszer szerepel,

nincs knincs kéét olyan t olyan konjukcikonjukcióóss tag, amelyek csak a vtag, amelyek csak a vááltozltozóók k sorrendjsorrendjéében kben küüllöönbnbööznek.znek.

A fenti tulajdonsA fenti tulajdonsáággúú formulformuláát t teljes konjunktteljes konjunktíív normv normáálformlformáánaknaknevezznevezzüük.k.


A fenti kA fenti kéét elt elııáállllííttáás ks köövetkezmvetkezméénye, hogy a hnye, hogy a háárom mrom mőővelet (velet (¬¬, , ∧∧, , ∨∨) ) teljes fteljes füüggvggvéényrendszertnyrendszert alkot, azaz balkot, azaz báármely igazsrmely igazsáágfgfüüggvggvéény ny elelııáállllííthatthatóó ezek segezek segíítstsééggéével.vel.

TTéétel: A negtel: A negáácicióó éés s konjunkcikonjunkcióó ééss a nega negáácicióó ((¬¬, , ∧∧) ) öönmagukban is nmagukban is teljes fteljes füüggvggvéényrendszert alkotnak.nyrendszert alkotnak.

Biz.Biz.

A tA téétel tel áállllííttáása azonnal ksa azonnal köövetkezik abbvetkezik abbóól, hogy a l, hogy a diszjunkcidiszjunkcióókifejezhetkifejezhetıı a fenti ka fenti kéét mt mőővelet segvelet segíítstsééggéével:vel:

pp ∨∨ qq = = ¬¬((¬¬ p p ∧∧ ¬¬ qq ))

63


Gyakorlat anyaga:Gyakorlat anyaga:

A kA köövetkeztetvetkeztetééssGyakran hasznGyakran hasznáált klt köövetkeztetvetkeztetéési szabsi szabáályoklyok

LevLeváálasztlasztáási szabsi szabáálylyElvevElvevıı szabszabáálylyHipotetikus szillogizmusHipotetikus szillogizmusIndirekt bizonyIndirekt bizonyííttáássKontrapozKontrapozíícicióó


Logikai Logikai ááramkramköörröökk

Gyakran elGyakran elııfordul, hogy adott elemekbfordul, hogy adott elemekbııl kell l kell öösszesszeáállllíítani tani ááramkramköört rt oly moly móódon, hogy az eldon, hogy az elııre meghatre meghatáározott gyakorlati crozott gyakorlati céélt ellt elééggíítsen ki.tsen ki.A legegyszerA legegyszerőőbb esetekben az bb esetekben az ááramkramköört rt ááramforrramforráásbsbóól, kapcsoll, kapcsolóókbkbóól l éés fogyaszts fogyasztóókbkbóól kell fell kell felééppííteni.teni.

Soros kapcsolSoros kapcsoláás esets esetéében annak feltben annak feltéétele, hogy az tele, hogy az ááramkramköörben rben ááram ram folyjfolyjéék az, hogy mindkk az, hogy mindkéét kapcsolt kapcsolóó be legyen kapcsolva:be legyen kapcsolva:

xx11 xx22

Legyen Legyen xxii éértrtééke igaz, ha az ke igaz, ha az xxii kapcsolkapcsolóó bekapcsolt bekapcsolt áállapotban van.llapotban van.Annak logikai feltAnnak logikai feltéétele, hogy a ltele, hogy a láámpa mpa éégjen: gjen: xx1 1 ∧∧ xx2 2 ..

64


PPáárhuzamos kapcsolrhuzamos kapcsoláás esets esetéében annak feltben annak feltéétele, hogy az tele, hogy az ááramkramköörben rben ááram folyjram folyjéék az, hogy legalk az, hogy legaláább az egyik kapcsolbb az egyik kapcsolóó be legyen be legyen kapcsolva:kapcsolva:

xx11

xx22

Legyen Legyen xxii éértrtééke igaz, ha az ke igaz, ha az xxii kapcsolkapcsolóó bekapcsolt bekapcsolt áállapotban van.llapotban van.Annak logikai feltAnnak logikai feltéétele, hogy a ltele, hogy a láámpa mpa éégjen: gjen: xx1 1 ∨∨ xx2 2 ..


A kibernetikA kibernetikáában (informatikban (informatikáában) a ban) a kküüllöönflnflééee informinformáácicióáóátalaktalakííttóóeszkeszköözzööket ket automatautomatááknakknak nevezznevezzüük.k.

Egy automatEgy automatáának vnak vééges sok bemenete van, ezek kges sok bemenete van, ezek kíívvüülrlrııl kapjl kapjáák az k az informinformáácicióót.t.Az automata mAz automata mőőkkööddéése se úúgy jellemezhetgy jellemezhetıı, hogy megadjuk a , hogy megadjuk a kimeneteken megjelenkimeneteken megjelenıı adatot a bemenadatot a bemenıı adatok fadatok füüggvggvéénynyéében, azaz ben, azaz megadjuk a megadjuk a kk darab kimeneti informdarab kimeneti informáácicióót let leíírróó nn--vvááltozltozóóssffüüggvggvéényeket (ahol nyeket (ahol kk a kimenetek sza kimenetek szááma, ma, nn pedig a bemenetek pedig a bemenetek szszáámmáának felel meg).nak felel meg).Az is Az is nynyíílvlváánvalnvalóó, hogy mind a bemenetek mind a kimenetek , hogy mind a bemenetek mind a kimenetek igazsigazsáágfgfüüggvggvéények (az nyek (az éértrtéékkkkéészlete a {0, 1} halmazbszlete a {0, 1} halmazbóól kerl kerüül ki.l ki.

Az automatAz automatáákk

Az automatAz automatáák ennk ennéél bonyolultabbak, de nekl bonyolultabbak, de neküünk most ennyi elnk most ennyi eléég.g.

65


EgyszerEgyszerőő vvééges automatges automatááknakknak nevezznevezzüük azokat az elektronikus k azokat az elektronikus ááramkramkööri egysri egyséégeket, amelyek az egyes logikai geket, amelyek az egyes logikai ááramkramköörrööknek knek felelnek meg. Mivel minden logikai mfelelnek meg. Mivel minden logikai mőővelet elvelet elııáállllííthatthatóó a a konjunkcikonjunkcióó, a , a diszjunkcidiszjunkcióó éés a negs a negáácicióó segsegíítstsééggéével (ezek teljes vel (ezek teljes ffüüggvggvéényrendszert alkotnak), eznyrendszert alkotnak), ezéért ezek a leggyakrabban alkalmazott rt ezek a leggyakrabban alkalmazott ááramkramköörröök. Jellemzk. Jellemzııik:ik:

A A konjunkcikonjunkcióónaknak megfelelmegfelelıı ÉÉS kapunakS kapunak kkéét (esetleg tt (esetleg tööbb) bemenete bb) bemenete éés egy kimenete van. A kimeneten akkor s egy kimenete van. A kimeneten akkor éés csak akkor van impulzus s csak akkor van impulzus –– ezt jelezt jelööljljüük 1k 1--gyel gyel –– ha mindegyik bemeneten van impulzus. ha mindegyik bemeneten van impulzus. JelJelöölléése:se:

ÉÉSS


A A diszjunkcidiszjunkcióónaknak megfelelmegfelelıı VAGY kapunakVAGY kapunak kkéét (esetleg tt (esetleg tööbb) bb) bemenete bemenete éés egy kimenete van. A kimeneten akkor s egy kimenete van. A kimeneten akkor éés csak akkor van s csak akkor van impulzus impulzus –– ezt jelezt jelööljljüük 1k 1--gyel gyel –– ha legalha legaláább bemeneten van bb bemeneten van impulzus. Jelimpulzus. Jelöölléése:se:

VAGYVAGY

A negA negáácicióónak megfelelnak megfelelıı NEM (INVERTER) kapunakNEM (INVERTER) kapunak egy bemenete egy bemenete éés egy kimenete van. A kimeneten akkor s egy kimenete van. A kimeneten akkor éés csak akkor van impulzus s csak akkor van impulzus –– ezt jelezt jelööljljüük 1k 1--gyel gyel –– ha a bemeneten nincs impulzus. Jelha a bemeneten nincs impulzus. Jelöölléése:se:

NEMNEM

66


A digitA digitáális klis kéészszüülléékek kek ééppííttııelemeinek legjelentelemeinek legjelentıısebb csoportjsebb csoportjáát az t az un. logikai un. logikai ááramkramköörröök alkotjk alkotjáák.k.A logikai A logikai ááramkramköörröök bk báármely teljes logikai frmely teljes logikai füüggvggvéényrendszernek nyrendszernek megfelelmegfelelıı ááramkramköörröökbkbııl l –– íígy az gy az ÉÉS, a VAGY S, a VAGY éés a NEM s a NEM ááramkramköörröökbkbııl l –– felfelééppííthetthetıık.k.

PPééldalda

A logikai A logikai ””kizkizáárróó vagyvagy”” (XOR) norm(XOR) normáál forml formáája: ja: xx11 ⊕⊕ xx22 = = ((¬¬ xx11 ∧∧ xx22) ) ∨∨ ((xx11 ∧∧ ¬¬ xx22))

NEMNEM

NEMNEM

ÉÉSS

ÉÉSS

VAGYVAGY

xx11

xx22


Gyakorlat:Gyakorlat:

KKéészszíítstsüük el mk el máás logikai fs logikai füüggvggvéény ny ááramkramköörréét!t!Logikai programozLogikai programozáássNem kNem kééttéértrtéékkőő logiklogikáákk

67


A lineA lineááris algebra alapjairis algebra alapjai

Oldjunk meg egy kOldjunk meg egy kéétismeretlenes linetismeretlenes lineááris egyenletrendszert!ris egyenletrendszert!Induljunk ki az elsInduljunk ki az elsııfokfokúú kkéétismeretlenes linetismeretlenes lineááris egyenletrendszer ris egyenletrendszer ááltalltaláános alakjnos alakjáábbóól:l:

Az un. Az un. ””egyenlegyenlıı egyegyüütthattthatóókk”” mmóódszerdszeréét fogjuk alkalmazni: olyan t fogjuk alkalmazni: olyan konstansokkal szorozzuk a kkonstansokkal szorozzuk a kéét egyenletet, hogy az egyenletek t egyenletet, hogy az egyenletek öösszeadsszeadáása utsa utáán csak az n csak az xx (ill. az (ill. az yy) maradjon ismeretlenk) maradjon ismeretlenkéént az nt az egyenletben. Az egyenletben. Az íígy kapott egyismeretlenes elsgy kapott egyismeretlenes elsııfokfokúú egyenletet megyenletet máár r egyszeregyszerőően megoldhatjuk.en megoldhatjuk.

222

111

cybxa

cybxa

=+

=+


Szorozzuk meg az elsSzorozzuk meg az elsıı egyenletet egyenletet bb22--vel, a mvel, a máásodikat sodikat ((--bb11))--gyelgyel, , majd adjuk majd adjuk öössze az egyenleteket. Azt kapjuk, hogy:ssze az egyenleteket. Azt kapjuk, hogy:

EbbEbbııl kapjuk:l kapjuk:

(Ennek a kifejez(Ennek a kifejezéésnek akkor van csak snek akkor van csak éértelme, ha )rtelme, ha )

HasonlHasonlóóan kapjuk, hogy an kapjuk, hogy

12211221 )( bcbcxbaba −=−

1221

1221

baba

bcbcx

−−

=

.01221 ≠− baba

0 ha , 12211221

1221

2112

1221 ≠−−−

=−−

= babababa

caca

baba

acacy

68


FigyeljFigyeljüük meg a kapott megoldk meg a kapott megoldáások szerkezetsok szerkezetéét! Mind a szt! Mind a száámlmláállóó--ban, mind a nevezban, mind a nevezııben nben néégygy--nnéégy szgy száámbmbóól azonos ml azonos móódon kdon kéépeztpeztüünk nk egy egy úúj szj száámot. Vezessmot. Vezessüük be erre a mk be erre a mőőveleti utasveleti utasííttáásra a ksra a köövetkezvetkezııjeljelöölléést:st:

Ezt az Ezt az úúj objektumot az j objektumot az aa11, a, a22, b, b11, b, b22 szszáámokbmokbóól kl kéépzett pzett mmáásodrendsodrendőődetermindetermináánsnaknsnak nevezznevezzüük. Azt mondjuk, hogy az k. Azt mondjuk, hogy az aa11, b, b22 elemek a elemek a ffııáátltlóó mentmentéén, mn, mííg az g az aa22, b, b11 elemek a elemek a mellmelléékkáátltlóó mentmentéén fekszenek. n fekszenek.

Egy mEgy máásodrendsodrendőő determindeterminááns ns éértrtéékkéét t úúgy szgy száámoljuk ki, hogy a moljuk ki, hogy a ffııáátltlóóbeli elemek szorzatbeli elemek szorzatáábbóól kivonjuk a melll kivonjuk a melléékkáátltlóó mentmentéén fekvn fekvııszszáámok szorzatmok szorzatáát.t.

.22

111221 ba

bababa =−


A mA máásodrendsodrendőő determindeterminááns segns segíítstsééggéével az egyenletek megoldvel az egyenletek megoldáásai a sai a kköövetkezvetkezıı alakban alakban íírhatrhatóók fel:k fel:

aholahol

Itt Itt DD--t az egyenletrendszer determint az egyenletrendszer determináánsnsáának nevezznak nevezzüük. A k. A DDxx (ill. a (ill. a DDyy)) determindetermináánst a nst a DD--bbııl l úúgy kapjuk, hogy az gy kapjuk, hogy az xx (ill. az (ill. az yy) ) egyegyüütthattthatóóinak helyinak helyéébe bebe beíírtuk az egyenletrendszer jobb oldalrtuk az egyenletrendszer jobb oldaláán n áállllóószszáámokat.mokat.

, ,

22

11

22

11

22

11

22

11

D

D

ba

ba

ca

ca

yD

D

ba

ba

bc

bc

x yx ====

22

11

22

11

22

11 , ,ba

baD

ca

caD

bc

bcD yx ===

69


PPéélda:lda:

Most a rendszer determinMost a rendszer determináánsa:nsa:

ééss

EzEzéért:rt:

HelyettesHelyettesííttééssel ellenssel ellenıırizzrizzüük az eredmk az eredméény helyessny helyessééggéét!t!

5

73

=+

=+

yx

yx

.023111

31≠−=−==D

.251

71 ,8

15

37−==−== yx DD

1. 2

2 ,4

2

8=

−−

===−−

==D

Dy

D

Dx yx


A mA máásodrendsodrendőő determindeterminááns tulajdonsns tulajdonsáágaigai

TTéétel:tel: A determinA determinááns ns éértrtééke elke elııjelet vjelet váált, ha klt, ha kéét sort soráát (vagy kt (vagy kéét t oszloposzlopáát) megcsert) megcserééljljüük.k.

Biz.Biz.

,)(11

2221121221

22

11

ba

bababababa

ba

ba=−=−−=−

KKöövetkezmvetkezméényny--1:1: A determinA determinááns ns éértrtééke nem vke nem vááltozik, ha az elemeket ltozik, ha az elemeket a fa fııáátltlóóra tra tüükrkröözzzzüük.k.

.)(22

1121211221

22

11

ab

abbaabbaba

ba

ba=−=−−=−

70


KKöövetkezmvetkezméényny--2:2: Minden olyan tMinden olyan téétel, amely tel, amely éérvrvéényes egy nyes egy mmáásodrensodren--ddőő determindeterminááns soraira kimondva, ns soraira kimondva, éérvrvéényes marad akkor is, ha azt a nyes marad akkor is, ha azt a determindeterminááns oszlopaira mondjuk ki.ns oszlopaira mondjuk ki.

TTéétel:tel: Ha egy determinHa egy determináánst egy sornst egy soráának minden elemnak minden eleméét t megszorozmegszoroz--zukzuk egy egy kk konstanssal, akkor a determinkonstanssal, akkor a determinááns ns éértrtééke ke kk--szorosszorosáárara nnıı..

Biz.Biz.

.)(22

1121211221

22

11

kbka

bakabkbababak

ba

bak =−=−=


KKöövetkezmvetkezméényny--3:3: Ha a mHa a máásodrendsodrendőő determindeterminááns egyik sora a mns egyik sora a máásik sik sorsoráának tnak tööbbszbbszöörrööse, akkor a determinse, akkor a determinááns ns éértrtééke nulla.ke nulla.

Biz.Biz.

.011

11

11

11 ==ba

bak

kbka

ba

TTéétel:tel: Ha a mHa a máásodrendsodrendőő determindeterminááns kns kéét sora elemrt sora elemrııll--elemre elemre megmeg--egyezikegyezik, akkor a determin, akkor a determinááns ns éértrtééke nulla.ke nulla.

Biz.Biz.

.0)( 111111

11 =−= bababa

ba

71


TTéétel:tel: Ha mHa máásodrendsodrendőő determindetermináánsban valamelyik sor felbonthatnsban valamelyik sor felbonthatóókkéét elem t elem öösszegsszegéére, akkor a determinre, akkor a determinááns felns felíírhatrhatóó kkéét determint determinááns ns öösszegeksszegekéént.nt.

Biz.Biz.

=+−+=+

+122211

222

111 )()( bcabcabca

bca

=−+−= )()( 12211221 bcbcbaba

.22

11

22

11

bc

bc

ba

ba+=


TTéétel:tel: Egy determinEgy determinááns ns éértrtééke nem vke nem vááltozik, ha egy ltozik, ha egy sorsoráánknk konstanskonstans--szorosszorosáát hozzt hozzááadjuk a madjuk a máásik sorhoz.sik sorhoz.

Biz.Biz.

=+=++

22

22

22

11

22

2121

ba

kbka

ba

ba

ba

kbbkaa

22

11

22

22

22

11

ba

ba

ba

bak

ba

ba=+=

.22

11

ba

ba=

72


Gyakorlat:Gyakorlat:

Oldjuk meg a 100. oldalon levOldjuk meg a 100. oldalon levıı 3 feladatot!3 feladatot!


HarmadrendHarmadrendőő determindetermináánsonnson a ka köövetkezvetkezıı 33××33--as elrendezas elrendezéést st éértjrtjüük:k:

amelynek amelynek éértrtéékkéét a kt a köövetkezvetkezıı kkééplettel szplettel száámmíítjuk ki:tjuk ki:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

++=

.322311332112312213 aaaaaaaaa −−−

73


Egy harmadrendEgy harmadrendőő determindeterminááns ns ffııáátltlóójjáán n az az aa1111 éés az s az aa3333 elemeket elemeket öösszeksszekööttıı egyenes szakaszt egyenes szakaszt éértjrtjüük:k:

A determinA determinááns ns mellmelléékkáátltlóójaja az az aa1313 éés az s az aa3131 elemeket elemeket öösszeksszekööttııegyenes szakasz. egyenes szakasz.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A determinA determinááns ns éértrtéékkéét a t a SarrusSarrus szabszabáállyalllyal hathatáározhatjuk meg:rozhatjuk meg:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

31

21

11

a

a

a

32

22

12

a

a

a

332211 aaa 312312 aaa+ 322113 aaa+ 332213 aaa− 322311 aaa− 322311 aaa−Matematika I. Felsıfokú Szakképzés 146

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

KifejtKifejtéési Tsi Téétel:tel: A harmadrendA harmadrendőő determindeterminááns ns éértrtééke kiszke kiszáámmííthatthatóómmáásodrendsodrendőő determindetermináánsok snsok súúlyozott lyozott öösszegeksszegekéént.nt.

Biz.Biz.

=−−−++ 322311332112312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

=−+−+− )()()( 312232211333213123123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa +−

74


Egy harmadrendEgy harmadrendőő determindeterminááns ns aaijij elemelemééhez tartozhez tartozóó aldeterminaldetermináánsonnsonazt a mazt a máásodrendsodrendőő determindetermináánst nst éértjrtjüük, amelyet k, amelyet úúgy kapunk, hogy gy kapunk, hogy elhagyjuk a determinelhagyjuk a determinááns ns ii. sor. soráát t éés s jj. oszlop. oszlopáát. Az t. Az aaijij elemhez elemhez tartoztartozóó

JelJelöölléése:se:

MegjegyzMegjegyzéés: a s: a KifejtKifejtéési Tsi Téételbentelben az az aldeterminaldetermináánsns elelııjelejele +1, ha a +1, ha a az indexek az indexek öösszege psszege pááros, ros, éés (s (––1), ha az indexek 1), ha az indexek öösszege psszege pááratlan.ratlan.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

222113 aa

aaA =


Az elsAz elsııfokfokúú hhááromismeretlenesromismeretlenes egyenletrendszeregyenletrendszer

TekintsTekintsüük a kk a köövetkezvetkezıı egyenletrendszert!egyenletrendszert!

JelJelııljljüükk az egyenletrendszer determinaz egyenletrendszer determináánsnsáát t DD--vel, vel, éés s jeljelııljelje DDii azt a azt a harmadrendharmadrendőő determindetermináánstnst, amelyet , amelyet DD--bbııl l úúgy kapunk, hogy gy kapunk, hogy DD ii--dikdik oszloposzlopáát az egyenletrendszer jobboldalt az egyenletrendszer jobboldaláán n áállllóó éértrtéékekkel kekkel helyetteshelyettesíítjtjüük. Pl.k. Pl.

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=++

=++

=++

33231

22221

11211

3

baa

baa

baa

D =

75


TTéétel(tel(CramerCramer szabszabáály):ly): Ha az egyenletrendszer determinHa az egyenletrendszer determináánsa nem 0, nsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldakkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldáása van. Az sa van. Az ii--dikdikismeretlen ismeretlen éértrtééke egy olyan tke egy olyan töörttel egyenlrttel egyenlıı, amelynek nevez, amelynek nevezııje a je a rendszer determinrendszer determináánsa, sznsa, száámlmláállóója pedig ja pedig DDii::

MegjegyzMegjegyzéés: A ts: A téétel tel áállllííttáása igaz sa igaz nn ismeretlenes egyenletrendszer ismeretlenes egyenletrendszer esetesetéén is. n is.

.3,2,1 , == iD

Dx i

i


Gyakorlat: kGyakorlat: köönyv 103nyv 103--104. oldalon l104. oldalon léévvıı ppééldldáák.k.

76


Oldjuk meg a kOldjuk meg a köövetkezvetkezıı egyenletrendszert:egyenletrendszert:

Az egyenletrendszer determinAz egyenletrendszer determináánsa:nsa:

SzSzáámoljuk most ki a moljuk most ki a DDii determindetermináánsok nsok éértrtéékeit:keit:

43106

5683

232

321

321

321

=++

−=−+

=+−

xxx

xxx

xxx

156601848307224

3106

683

121

=++−++=−

−

=D

104

3104

685

122

1 =−−

−

=D 39

346

653

121

2 −=−−=D 1303 =D


EzEzéért az egyenletrendszer megoldrt az egyenletrendszer megoldáása:sa:

Az Az éértrtéékek visszahelyetteskek visszahelyettesííttéésséével ellenvel ellenıırizzrizzüük a megoldk a megoldáás s helyesshelyessééggéét!t!

3

2

156

10411 ===

D

Dx

4

1

156

3922 =

−==

D

Dx

6

5

156

13033 ===

D

Dx

77


A determinA determinááns fogalmns fogalmáának nak ááltalltaláánosnosííttáásasa

nn--ed rended rendőő determindetermináánsnaknsnak nevezznevezzüük azt az k azt az nn22 elembelembııl l áállllóó, , nn sorba sorba éés s nn oszlopba rendezett toszlopba rendezett tááblbláázatot, amelynek zatot, amelynek éértrtéékkéét a t a kköövetkezvetkezıı--kkééppenppen szszáámmíítjuk ki:tjuk ki:

ahol ahol AAijij az az aaijij elemhez tartozelemhez tartozóó ((nn--11))--eded rendrendőő aldeterminaldetermináánsns..

MegjegyzMegjegyzéés: a fenti kifejts: a fenti kifejtéést az st az aldeterminaldetermináánsokonnsokon addig folytatjuk, addig folytatjuk, amamííg mg máásodrendsodrendőő aldeterminaldetermináánsokhoznsokhoz nem jutunk. (nem jutunk. (RekurzRekurzíív v defindefiníícicióó))

∑=

+−=n

jijij

ji

nnnn

n

n

Aa

aaa

aaa

aaa

1

21

22221

11211

)1(

K

MOMM

K

K


A determinA determináánst bnst báármely sora vagy oszlopa szerint kifejtve rmely sora vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt az eredmugyanazt az eredméényt kapjuk.nyt kapjuk.A determinA determinááns ns éértrtééke nem vke nem vááltozik, ha elemeit a fltozik, ha elemeit a fııáátltlóóra ra ttüükrkröözzzzüük. (Kk. (Köövetkezmvetkezméény: a sorokra kimondott tny: a sorokra kimondott téételek telek éérvrvéényesek az nyesek az oszlooszlo--pokrapokra is.)is.)A determinA determinááns ns éértrtééke elke elııjelet vjelet váált, ha klt, ha kéét sort soráát megcsert megcserééljljüük.k.Ha a determinHa a determinááns kns kéét sora megegyezik, akkor a determint sora megegyezik, akkor a determinááns ns éértrtééke zke zéérus.rus.Ha a determinHa a determinááns valamely sora csupa zns valamely sora csupa zéérus elemet tartalmaz, rus elemet tartalmaz, akkor a determinakkor a determinááns ns éértrtééke zke zéérus.rus.Ha egy determinHa egy determinááns valamely sorns valamely soráának elemeit egy mnak elemeit egy máásik sorhoz sik sorhoz tartoztartozóó aldeterminaldetermináánsokkalnsokkal szorozzuk, akkor a kapott szorzat szorozzuk, akkor a kapott szorzat éértrtééke zke zéérusrus

Az Az nn--ed rended rendőő determindetermináánsokra nsokra éérvrvéényes tnyes téételek I.telek I.

78


Ha a determinHa a determinááns fns fııáátltlóója felett (alatt) csupa zja felett (alatt) csupa zéérus elem rus elem ááll, akkor ll, akkor a determina determinááns ns éértrtéékkéét a ft a fııáátltlóóbeli elemek szorzatbeli elemek szorzatáábbóól megkapl megkap--hatjuk.hatjuk.Ha egy determinHa egy determinááns egy sorns egy soráában minden elem felbonthatban minden elem felbonthatóó kkéét t elem elem öösszegsszegéére, akkor a determinre, akkor a determinááns felns felíírhatrhatóó kkéét determint determinááns ns öösszegeksszegekéént.nt.Ha a determinHa a determinááns egy sorns egy soráának minden elemnak minden eleméét megszorozzuk egy t megszorozzuk egy kkkonstanssal, akkor a determinkonstanssal, akkor a determinááns ns éértrtééke ke kk--szorosszorosáárara nnöövekszik. vekszik. (K(Köövetkezmvetkezméény: ha a determinny: ha a determinááns egyik sora egy mns egyik sora egy máásik sor sik sor ttööbbszbbszöörrööse, akkor a determinse, akkor a determinááns ns éértrtééke zke zéérus.)rus.)A determinA determinááns ns éértrtééke nem vke nem vááltozik, ha valamely sorltozik, ha valamely soráához egy hoz egy mmáásik sorsik soráának nak konstansszoroskonstansszorosáátt hozzhozzááadjuk.adjuk.

Az Az nn--ed rended rendőő determindetermináánsokra nsokra éérvrvéényes tnyes téételek II.telek II.


HatHatáározzuk meg az alrozzuk meg az aláábbi determinbbi determinááns ns éértrtéékkéét:t:

=⋅==

363212

652

321

44

363212

24208

321

4

363212

24208

1284

0

989

656

323

3

16=

79




0

321103

321102

321101

321100

106105104103

105104103102

104103102101

103102101100

==

1

110500

0100

0010

0001

=


MMáátrixoktrixok

MMáátrixnaktrixnak neveznevezüünk nk nn××mm darab tdarab tééglalap alakban elrendezet valglalap alakban elrendezet valóós s szszáámot. mot. JelJelöölléése se AA((n,mn,m) vagy ) vagy AAnn××mm, ahol , ahol nn××mm a a mmáátrix ttrix tíípusapusa, , nn a a mmáátrix sorainak, trix sorainak, mm a ma máátrix oszlopainak sztrix oszlopainak szááma.ma.

A mA máátrixban taltrixban taláálhatlhatóó aaijij szszáámok a mok a mmáátrix elemeitrix elemei, ahol , ahol ii--t t sorindexnek, sorindexnek, jj--t oszlopindexnek nevezzt oszlopindexnek nevezzüük.k.

=×

nmnn

m

m

mn

aaa

aaa

aaa

A

K

MOMM

K

K

21

22221

11211

80


KKéét mt máátrixtrix akkor akkor éés csak akkor s csak akkor egyenlegyenlıı, ha azonos t, ha azonos tíípuspusúúak, ak, éés az s az azonos helyen azonos helyen áállllóó elemeik megegyeznek.elemeik megegyeznek.Azaz Azaz A A = (= (aaijij))nn××mm éés B = (s B = (bbijij))pp××qq esetesetéén n A = BA = B, ha , ha n = pn = p éés s m = qm = q, , tovtováábbbbáá aaijij = = bbijij minden minden i,ji,j ppáárra, ahol rra, ahol 1 1 ≤≤ i i ≤≤ n, 1 n, 1 ≤≤ j j ≤≤ m.m.

SpeciSpeciáális mlis máátrixok:trixok:

nnéégyzetesgyzetes (kvadratikus) m(kvadratikus) máátrix: trix: n = mn = m..sormsormáátrixtrix: : n = 1n = 1..oszlopmoszlopmáátrixtrix: : m = 1m = 1..zzéérusmrusmáátrixtrix: : aaijij = 0= 0, minden , minden i,ji,j ppáárra.rra.egysegyséégmgmáátrixtrix: : aaiiii = 1 = 1 éés s aaijij = 0= 0, ha , ha i i ≠≠ jj..szimmetrikus mszimmetrikus máátrixtrix: : aaijij = = aajiji

antiszimmetrikusantiszimmetrikus mmáátrixtrix: : aaijij = = --aajiji , , haha i i ≠≠ j, j, ééss aaiiii = 0= 0


MMőőveletek mveletek máátrixokkaltrixokkal

Az Az A A = (= (aaijij))nn××mm éés s B B = (= (bbijij))nn××mm mmáátrixok trixok öösszegsszegéénn azt a azt a C C = (= (ccijij))nn××mm

mmáátrixot trixot éértjrtjüük, amelyre k, amelyre ccijij = = aaijij + + bbijij..

ÖÖsszeadni csak azonos tsszeadni csak azonos tíípuspusúú mmáátrixokat lehet!trixokat lehet!

PPéélda:lda:

=

−+

−

435

411

114

121

321

312

81


MMáátrixot egy trixot egy λλ skalskaláárralrral úúgy szorzunkgy szorzunk, hogy a m, hogy a máátrix minden elemtrix minden eleméét t szorozzuk a konstanssal. Ha szorozzuk a konstanssal. Ha A A = (= (aaijij))nn××mm éés s λλ egy valegy valóós szs száám, akkor m, akkor C C = (= (ccijij))nn××mm == λλ A, A, haha

ccijij = = λλ aaijij ∀∀ 1 1 ≤≤ i i ≤≤ n, 1 n, 1 ≤≤ j j ≤≤ m m ..

PPéélda:lda:

−=

− 93

63

31

213

Legyenek Legyenek AA11, A, A22, , ……, , AAnn azonos tazonos tíípuspusúú mmáátrixok, trixok, éés legyenek s legyenek adotadot--taktaka a kk11, k, k22,,……kknn konstansok. Ekkor akonstansok. Ekkor a

kifejezkifejezéést az st az AA11, A, A22, , ……, , AAnn mmáátrixok linetrixok lineááris kombinris kombináácicióójjáánaknaknevezznevezzüük.k.

∑=

=+++=n

iiinn AkAkAkAkL

12211 ...


Az Az A A = (= (aaijij))nn××mm éés B = (s B = (bbijij))pp××qq mmáátrixokat trixokat –– ebben a sorrendben ebben a sorrendben ––konformkonformáábilisnekbilisnek neveznevezüünk, ha nk, ha m = pm = p..

Az Az A A = (= (aaijij))nn××mm éés B = (s B = (bbijij))mm××ll mmáátrixok szorzattrixok szorzatáánn azt a azt a C C = (= (ccijij))nn××ll

mmáátrixot trixot éértjrtjüük, amelyrek, amelyre

∑=

=+++=m

kkjiknjinjijiij babababac

12211 K

PPééldalda

−

−−

−

=

−

−=⋅

197

331

11512

201

132

13

11

25

BA

TTéétel:tel: A mA máátrixszorztrixszorzáás nem kommutats nem kommutatíív, v, éés nem s nem zzéérusosztrusosztóómentesmentes, , de asszociatde asszociatíív v éés az s az öösszessze--adadáásra nsra néézve disztributzve disztributíív.v.

82


Az Az A A = (= (aaijij))nn××m m mmáátrix transzpontrix transzponááltjltjáánn azt az azt az AzAz AA** = (= (aajiji))**mm××n n

mmáátrixot trixot éértjrtjüük, amelyre k, amelyre aaijij = a= a**jiji

PPéélda:lda:

=

315

142A

=∗

31

14

52

A

Egy nEgy néégyzetes gyzetes AA mmáátrixtrix determindetermináánsnsáánn a ma máátrix trix eleemeibeleemeibııll kkéépzett pzett determindetermináánst nst éértjrtjüük. Jelk. Jelöölléése: |se: |AA| vagy | vagy detdet AA..

Az Az AA mmáátrixottrixot regulreguláárisnakrisnak nevezznevezzüük, ha k, ha detdet AA ≠≠ 00..

Az A mAz A máátrixot strixot szingulzinguláárisnak risnak nevezznevezzüük, ha k, ha detdet AA = 0= 0


Az Az EEnn××n n mmáátrixot trixot egysegyséégmgmáátrixnaktrixnak nevezznevezzüük, ha k, ha eeiiii = 1= 1, , éés s eeijij = 0= 0, ha , ha i i ≠≠ jj..

Egy Egy A A = (= (aaijij))nn××n n nnéégyzetes mgyzetes máátrix trix inverzinverzéénn azt a azt a AA--11 = (= (aaijij))--11nn××n n

mmáátrixot trixot éértjrtjüük, amelyre igaz, hogy k, amelyre igaz, hogy EAAAA == −− 11

PPéélda:lda:

A mA máátrixszorztrixszorzáás segs segíítstsééggéével a szvel a száámmííttáás helyesss helyessééggéét!t!

−

−

−

=

111

312

121

A

−

−−=−

3

1

3

1

3

19

1

9

2

9

59

5

9

1

9

2

1A

83


TTéétel:tel: Legyen Legyen AA invertinvertáálhatlhatóó mmáátrix, az inverztrix, az inverzéét jelt jelöölje lje B=B=((bbijij). ). Ekkor fennEkkor fennááll, hogyll, hogy

ahol ahol AAjiji az az AA mmáátrix trix aajiji elemelemééhez tartozhez tartozóó adjungadjungááltlt aldeterminaldetermináánsns..

.det

det)1(

A

Ab ji

ji

ij

+−=

PPéélda: Szlda: Száámmíítsuk ki az tsuk ki az AA mmáátrix inverztrix inverzéét, ha t, ha

−−=

211

111

112

A 3

211

111

112

det −=−−=A

3

1

3

1

det

det)1( 1111

11 =−−

=−

=+

A

Ab

3

1

3

11

det

det)1( 2121

12 =−

⋅−=

−=

+

A

Ab

03

0

det

det)1( 3131

13 =−

=−

=+

A

Ab


13

3

det

det)1( 1212

21 =−−

=−

=+

A

Ab

−

−−=

13

1

3

2111

03

1

3

1

B

13

3

det

det)1( 2222

22 −=−

=−

=+

A

Ab

13

3

det

det)1( 3232

23 =−

=−

=+

A

Ab

3

2

3

2

det

det)1( 1313

31 −=−

=−

=+

A

Ab

3

1

3

1

det

det)1( 2323

32 =−−

=−

=+

A

Ab

13

3

det

det)1( 3333

33 =−−

=−

=+

A

Ab

−−=

211

111

112

A

84


−−=

211

111

112

A

=

−

−−

−−=

100

010

001

13

1

3

2111

03

1

3

1

211

111

112

AB

−

−−=

13

1

3

2111

03

1

3

1

B


LineLineááris egyenletrendszerekris egyenletrendszerek

Legyen Legyen AAmmxxnn egy megy máátrix, trix, bb11, b, b22, , ……, , bbmm pedig pedig skalskaláárokrok. . LineLineááris ris egyenletrendszernekegyenletrendszernek nevezznevezzüük az alk az aláábbi egyenletrendszertbbi egyenletrendszert

Az Az nn szszáámot az mot az ismeretlenek szismeretlenek száámmáánaknak, m, mííg g mm--etet az az egyenletek egyenletek szszáámmáánaknak nevezznevezzüük. k.

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++

=+++

K

L

K

K

2211

22222121

11212111

85


Bevezetve az ismeretlenekbBevezetve az ismeretlenekbııl l éés a jobb oldali s a jobb oldali skalskaláárokbrokbóóll kkéépezettpezett

oszlopmoszlopmáátrixokat (oszlopvektorokat), a linetrixokat (oszlopvektorokat), a lineááris egyenletrendszert ris egyenletrendszert rröövidvidíített (mtett (máátrix alakban megadott) formtrix alakban megadott) formáában is felban is felíírhatjuk:rhatjuk:

AX = BAX = BA lineA lineááris egyenletrendszerhez tartozris egyenletrendszerhez tartozóó alapmalapmáátrixtrix az az AA mmáátrix, mtrix, mííg g az un. az un. bbııvvíített alapmtett alapmáátrixtrix::

=

nx

x

x

XM

2

1

=

nb

b

b

BM

2

1

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

L

MM

L

L

21

222221

111211


Ha a Ha a bb11, b, b22, , …… , , bbmm skalskaláárokrok mindegyike zmindegyike zéérróó, akkor , akkor homoghomogéén n linelineááris egyenletrendszerrris egyenletrendszerrııll beszbeszééllüünk, mnk, mííg ellenkezg ellenkezıı esetben esetben inhomoginhomogéén linen lineááris egyenletrendszerrris egyenletrendszerrııll..

A (A (ξξ11, , ξξ22, , …… , , ξξnn) vektort ) vektort a linea lineááris egyenletrendszer megoldris egyenletrendszer megoldáássáánaknaknevezznevezzüük, hak, ha

teljesteljesüül. l. TriviTriviáális megoldlis megoldááss alatt a csupa zalatt a csupa zéérusbrusbóól l áállllóó megoldmegoldáást st éértjrtjüük. Az ettk. Az ettııl eltl eltéérrıı megoldmegoldáást st nemtrivinemtriviáálislis megoldmegoldáásnaksnaknevezznevezzüük.k.

mnmnmm

nn

nn

baaa

baaa

baaa

=+++

=+++

=+++

ξξξ

ξξξ

ξξξ

K

L

K

K

2211

22222121

11212111

86


TTéételtel: A homog: A homogéén linen lineááris egyenletrendszernek mindig van ris egyenletrendszernek mindig van megolmegol--ddáásasa, hiszen a trivi, hiszen a triviáális megoldlis megoldáás egy ilyen rendszernek megolds egy ilyen rendszernek megoldáása.sa.

TTéétel(tel(CramerCramer szabszabáály):ly): Ha az egyenletrendszer determinHa az egyenletrendszer determináánsa nem 0, nsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldakkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldáása van. Az sa van. Az ii--dikdikismeretlen ismeretlen éértrtééke egy olyan tke egy olyan töörttel egyenlrttel egyenlıı, amelynek nevez, amelynek nevezııje a je a rendszer determinrendszer determináánsa, sznsa, száámlmláállóója pedig ja pedig DDii::

.,,2,1 , niD

Dx i

i K==

A A CramerCramer szabszabáály ly áállllííttáása igaz sa igaz nn ismeretlenes egyenletrendszer ismeretlenes egyenletrendszer esetesetéén is. n is.


a11x1 a12x2++ ++ ++ a1nxn a1n+1==

a21x1 a22x2 a2nxn a2n+1

an1x1 an2x2 annxn ann+1

……

++ ++

++ ++

++

++ ==

==

……

……

……………………………………………………………………………………………………

aholahol aain+1in+1=b=bii

Az Az eljeljáárrááss lléényegenyege: : OlyanOlyan egyenletrendszeregyenletrendszer kialakkialakííttáásasa, , amelynekamelynekegyegyüütthattthatóó mmáátrixatrixa hhááromszromszöög alakg alakúú..

LineLineááris ris egyenletrenszerekegyenletrenszerek numerikus megoldnumerikus megoldáásasa

Gauss eliminGauss elimináácicióó

87


Az Az algoritmusalgoritmus::

a11(0)x1 a12

(0)x2++ ++ ++ a1n(0)xn a(0)

1n+1==

a21(0)x1 a22

(0)x2 a2n(0)xn a(0)

2n+1

an1(0)x1 an2

(0)x2 ann(0)xn a(0)

nn+1

……

++ ++

++ ++

++

++ ==

==

……

……

……………………………………………………………………………………………………

2.2. JelJelööljljüükk ssjj(i(i--1)1)--vel vel azaz egyenletrendszeregyenletrendszer j.j. sorsoráátt azaz ii. . llééppéésbensben..

TegyTegyüükk felfel, , hogyhogy aaiiii(i(i--1)1)≠≠00. .

Legyen Legyen qqjj(i(i--1)1)=a=ajiji

(i(i--1)1)/a/aiiii(i(i--1)1)..

3. Legyen 3. Legyen ssjj(i(i)) = s= sjj

(i(i--1)1) ––qqjj(i(i--1)1)ssii

(i(i--1)1) mindenminden j>ij>i--rere..

1.1. Minden Minden 11 ééss nn--11 kköözzéé esesıı ii--rere vvéégezzgezzüükk el a el a kköövetkezvetkezııketket::


a11(0)x1 a12

(0)x2++ ++ ++ a1n(0)xn a1n+1

(0)==

a22(1)x2 a2n

(1)xn a2n+1(1)

ann(n-1)xn ann+1

(n-1)

……

++ ++ ==

==

……

……………………………………………………………………………………………………

A A szszáámmííttáásoksok befejezbefejezéésese ututáánn a a kköövetkezvetkezıı feladatotfeladatot kapjukkapjuk::

AmibAmibııll a a megoldmegoldááss::

,a

xaa

x)1j(

jj

n

1jtt

)1j(jt

)1j(1jn

j −

+=

−−+ ∑−

= 1,),1n(,nj K−=

88


HatHatáározzukrozzuk megmeg a a kköövetkezvetkezıı egyenletrendszeregyenletrendszer megoldmegoldáássáátt!!

2x2x11+3x+3x22--xx33=9=9

xx11+2x+2x22+x+x3 3 =4=4

xx11--xx22--2x2x3 3 =1=1

qq22(0)(0)=1/2=1/2

qq33(0)(0)=1/2=1/2

2

9 x

2

1 - x

2

5-

2

1- x

2

3x

2

1

9 x - 3x2x

32

32

321

−=

=+

=+

qq33(1)(1)== --55

7 7x 2

1- x

2

3x

2

1

9 x - 3x2x

3

32

321

−=

=+

=+

A A megoldmegoldááss::

xx33== --11 2

2

12

3

2

1

x 2 =+−

= 12

)16(9x 1 =

+−=


MekkoraMekkora a a mmőőveletigveletigéényny ((osztosztáásoksok ééss a a szorzszorzáásoksok szszáámama) ?) ?

Az Az algoritmusbalgoritmusbóóll adadóódikdik, , hogyhogy mindenminden jj--rere ((nn--jj) ) osztosztáástst ééss ((nn--jj)()(nn--j+1j+1) ) szorzszorzáástst kellkell elvelvéégeznigezni. . EzEzéértrt::

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )∑ ∑∑−

=

−

=

−

=

−+−=−++−−1n

1j

1n

1j

21n

1j

jn2jnjn1jnjn

( ) ( ) ( )6

5321

6

121 23 nnnnn

nnn −+=−+

−−=

A A visszahelyettesvisszahelyettesííttééss mmőőveletigveletigéényenye nn osztosztááss ééss n(nn(n--1)/21)/2 szorzszorzááss. . EzEzéértrt azaz öösszessszes mmőőveletvelet::

)(3

1

3

3

26

532 2323223

nOnnnnnnnnn

+=−+

=+

+−+

89


Gauss eliminGauss elimináácicióó ffııelem kivelem kiváálasztlasztáássalssal

1.1. Minden Minden 11 ééss nn--11 kköözzéé esesıı ii--rere vvéégezzgezzüükk el a el a kköövetkezvetkezııketket::

)1n(lj

nlj

)1j(kj amaxa −

≤≤

− =2. Legyen2. Legyen

3. Ha 3. Ha k k ≠≠ jj, akkor cser, akkor cserééljljüük meg a k meg a k.k. sort a sort a j.j. sorral. sorral.

4. Folytassuk az elj4. Folytassuk az eljáárráást, a Gaussst, a Gauss--eliminelimináácicióó (2) (2) éés (3) ls (3) lééppéésséével.vel.


TTéételtel: Ha a line: Ha a lineááris egyenletrendszer ris egyenletrendszer AA mmáátrixa trixa nem szingulnem szinguláárisris, , akkor a fenti eljakkor a fenti eljáárráással kivssal kiváálasztott lasztott

elemek egyike sem lehet zelemek egyike sem lehet zéérus.rus.

)1n(nn

)2(33

)1(22

)0(11 a,,a,a,a −

K

Biz.:Biz.:Mivel az Mivel az AA mmáátrix nem szingultrix nem szingulááris, ezris, ezéért rt det(A)det(A)≠≠ 00..

A A ffııelemkivelemkiváálasztlasztáásossos Gauss mGauss móódszer vdszer vééggéén fejtsn fejtsüük ki a k ki a „„kihkihááromrom--szszöögeltgelt”” mmáátrixot a ftrixot a fııáátltlóóba esba esıı elemek szerint:elemek szerint:

0)det( )1()2(33

)1(22

)0(11 ≠±= −n

nnaaaaA K

AttAttóól fl füüggggııen, hogy pen, hogy pááros vagy pros vagy pááratlan szratlan száámmúú sorcsersorcseréét hajtottunk t hajtottunk vvéégre.gre.

90


HatHatáározzukrozzuk megmeg a a az az elelıızzıı egyenletrendszeregyenletrendszer megoldmegoldáássáátt a fa fııelem elem kivkiváálasztlasztáássáának mnak móódszerdszeréévelvel!!

2x2x11+3x+3x22--xx33=9=9

xx11+2x+2x22+x+x3 3 =4=4

xx11--xx22--2x2x3 3 =1=1

qq22(0)(0)=1/2=1/2

qq33(0)(0)=1/2=1/2

2

9 x

2

1 - x

2

5-

2

1- x

2

3x

2

1

9 x - 3x2x

32

32

321

−=

=+

=+

2

1- x

2

3x

2

1

2

9 x

2

1 - x

2

5-

9 x - 3x2x

32

32

321

=+

−=

=+

qq33(1)(1)== 1/1/55

10

14- x

10

14

2

9 x

2

1 - x

2

5-

9 x - 3x2x

3

32

321

=

−=

=+

xx33==--1, x1, x22=2, x=2, x11=1=1Matematika I. Felsıfokú Szakképzés 180

Gauss Gauss eliminelimináácicióó teljes fteljes fııelem kivelem kiváálasztlasztáássalssal

Az elAz elıızzıı mmóódszert szokdszert szokáás rs réészleges fszleges fııelem kivelem kiváálasztlasztáásnak nevezni.snak nevezni.

Teljes fTeljes fııelem kivelem kiváálasztlasztáásnsnáál az egyl az együütthattthatóó mmáátrix trix „„maradmaradéékk””rréészszéének legnagyobb abszolnek legnagyobb abszolúút t éértrtéékkőő elemeleméét sort sor-- éés oszlopcsers oszlopcseréékkel kkel a ma máátrix diagontrix diagonáális elemlis eleméének helynek helyéére visszre visszüük. Azaz a k. Azaz a j.j. llééppéésben sben legyenlegyen

{maxa )1j(pq =− }nk,ij:a )1j(

ik ≤≤−

91


ppjj=j (j=1,2,=j (j=1,2,……,n),n) j=1j=1

meghatmeghatáározrozáásasa

=0=0

t=t=ppjj ppjj==ppqq ppqq=t=t

(i=j+1,(i=j+1,……,n),n)(i=j+1,..,n k=j+1,(i=j+1,..,n k=j+1,……,n+1),n+1)

j j ≤≤ nn--11j=j+1j=j+1

,a

xaa

x)1j(

jj

n

1jtp

)1j(jt

)1j(1jn

p

t

j −

+=

−−+ ∑−

= 1,),1n(,nj K−= VVÉÉGEGE

HibajelzHibajelzééss

)j(pqa

)j(pqa

)j(jj

)j(ij

)j(ij a/aa =

(j)ij

(j)ij

(j)ik

)j(ik aa-aa =


HatHatáározzukrozzuk megmeg az az elelıızzıı egyenletrendszeregyenletrendszer megoldmegoldáássáátt a fa fııelem elem kivkiváálasztlasztáássáának mnak móódszerdszeréévelvel!!

2x2x11+3x+3x22--xx33=9=9

xx11+2x+2x22+x+x3 3 =4=4

xx11--xx22--2x2x3 3 =1=1

p = (1,2,3)p = (1,2,3)

33xx22++22xx11--xx33=9=9

22xx22+x+x11+x+x3 3 =4=4

--xx22++xx11--2x2x3 3 =1=1

p = (2,1,3)p = (2,1,3)

qq22(0)(0)==22//33

qq33(0)(0)==--1/1/33

4 x3

7 - x

3

5

2- x3

5x

3

1-

9 x - 2x3x

31

31

312

=

=+

=+

92


2 x3

1 x

3

5

4 x3

1x

3

7-

9 2x x-3x

13

13

132

−=−

=−

=+

qq33(1)(1)== --5/75/7

p = (2,3,1)p = (2,3,1)

21

18 x

21

18

4 x3

1x

3

7-

9 2x x-3x

1

13

132

=

=−

=+

xx11=1, =1, xx33==--1, x1, x22=2 =2

FigyeljFigyeljüük meg az indexeket k meg az indexeket éés permuts permutáácicióó vektor viszonyvektor viszonyáát!t!Matematika I. Felsıfokú Szakképzés 184

Gauss-Jordan elimináció

a11x1 a12x2++ ++ ++ a1nxn a1n+1==

a21x1 a22x2 a2nxn a2n+1

an1x1 an2x2 annxn ann+1

……

++ ++

++ ++

++

++ ==

==

……

……

……………………………………………………………………………………………………

aholahol aain+1in+1=b=bii

Az Az eljeljáárrááss lléényegenyege: : EkvivalensEkvivalens áátalaktalakííttáásokkalsokkal olyanolyan egyenletegyenlet--rendszerrendszer kialakkialakííttáásasa, , amelynekamelynek egyegyüütthattthatóó mmáátrixatrixa egysegyséégmgmáátrixtrix..

93


a11(0)x1 a12

(0)x2++ ++ ++ a1n(0)xn a(0)

1n+1==

a21(0)x1 a22

(0)x2 a2n(0)xn a(0)

2n+1

an1(0)x1 an2

(0)x2 ann(0)xn a(0)

nn+1

……

++ ++

++ ++

++

++ ==

==

……

……

……………………………………………………………………………………………………

2.2. Legyen Legyen ssjj(i(i--1) 1) azaz egyenletrendszeregyenletrendszer j.j. sorasora azaz i. i. llééppéésbensben. . TegyTegyüükk felfel, ,

hogyhogy aaiiii(i(i--1)1)≠≠00. .

3. Legyen 3. Legyen ssii(i)(i)== ssii

(i(i--1)1)/a/aiiii(i(i--1)1), ,

ééss ssjj(i(i)) = s= sjj

(i(i--1)1) –– aaijij(i)(i)ssii

(i(i)) mindenminden jj≠≠ii--rere..

1.1. Minden Minden 11 ééss nn--11 kköözzéé esesıı ii--rere vvéégezzgezzüükk el a el a kköövetkezvetkezııtt::


ann(1)xn

a11(0)x1 a12

(0)x2++ ++ ++ a1n(0)xn a(0)

1n+1==

a21(0)x1 a22

(0)x2 a2n(0)xn a(0)

2n+1

an1(0)x1 an2

(0)x2 ann(0)xn a(0)

nn+1

……

++ ++

++ ++

++

++ ==

==

……

……

……………………………………………………………………………………………………

x1 a12(1)x2 a1n

(1)xn a(1)1n+1

a22(1)x2 a2n

(1)xn a(1)2n+1

an2(1)x2 a(1)

nn+1

ss11((11))=s=s11

((00))/a/a1111((00)),,

j=2, j=2, ……,n,nssjj((11)) = = ssjj

((00)) –– aa1111((11))ss11

((11)) mindenminden jj ≠≠ ii--rere..

94


ann(1)xn

x1 ++ ++a1n(0)xn a(0)

1n+1==

a2n(0)xn a(0)

2n+1

an2(0)x2 a(0)

nn+1++

++

++

==

==

……

……

……………………………………………………………………………………………………

ss11((11))=s=s11

((00))/a/a1111((00)),,

j=2j=2 ,,……, n, nssjj((11)) = = ssjj

((00)) –– aa1111((11))ss11

((11)) mindenminden jj ≠≠ ii--rere..

Az Az i.i. llééppéésben:sben:

……a1i(0)x2 ++++

……………………………………………………………………………………………………

aii(0)x2 ++


HatHatáározzukrozzuk megmeg az az elelıızzıı egyenletrendszeregyenletrendszer megoldmegoldáássáátt a fa fııelem elem kivkiváálasztlasztáássáának mnak móódszerdszeréévelvel!!

2x2x11+3x+3x22--xx33=9=9

xx11+2x+2x22+x+x3 3 =4=4

xx11--xx22--2x2x3 3 =1=1 211

121

132

−−

−

1

4

9

2

3

2

50

2

3

2

10

2

1

2

31

−−

−

2

72

12

9

−

−

600

310

501 −

6

1

6

−

−

==

====

95


600

310

501 −

6

1

6

−

−

100

010

001

1

2

1

−

xx33= = --1 1 xx22= 2 = 2 xx11= 1 = 1

AmibAmibııl a megoldl a megoldáás:s:

==


Az elAz elıızzııekben leekben leíírt mrt móódszer egyszerdszer egyszerőő gyakorlati mgyakorlati móódszert dszert ad ad mmáátrixok inverttrixok invertáálhatlhatóóssáággáának eldnak eldööntntéésséére re éés az s az inverzminverzmáátrixtrix meghamegha--ttáározrozáássáárara..MegjegyzMegjegyzéés. (Ms. (Máátrix trix invertinvertáálláásasa szimultszimultáán Gauss eliminn Gauss elimináácicióóval.) val.) Legyen adva egy nLegyen adva egy néégyzetes mgyzetes máátrix, melyet Gauss elimintrix, melyet Gauss elimináácicióóval val egysegyséégmgmáátrixsztrixszáá alakalakíítottunk:tottunk:

A mA máátrix tehtrix teháát invertt invertáálhatlhatóó éés inverze:s inverze:

Ez azt jelenti, hogy ha az Ez azt jelenti, hogy ha az AA mmáátrixot Gauss elimintrixot Gauss elimináácicióóval, azaz val, azaz elemi sorelemi soráátalaktalakííttáásokkal egyssokkal egyséégmgmáátrixsztrixszáá alakalakíítjuk, s ugyanezeket az tjuk, s ugyanezeket az elemi sorelemi soráátalaktalakííttáásokat vsokat véégrehajtjuk az egysgrehajtjuk az egyséégmgmáátrixon, a trixon, a vvéégeredmgeredméény ny AA inverze lesz. Tehinverze lesz. Teháát az elimint az elimináácicióót egyszerre, t egyszerre, szimultszimultáán hajtjuk vn hajtjuk véégre a kgre a kéét mt máátrixon, de az elemi sortrixon, de az elemi soráátalaktalakííttáásokat sokat az az AA hathatáározza meg, az egysrozza meg, az egyséégmgmáátrix csak trix csak ””elszenvedielszenvedi””..

IAEEE kk =− 11K

IEEEEEEA kkkk 11111

KK −−− ==

MMáátrix trix invertinvertáálláásasa GaussGauss--JordanJordan eliminelimináácicióóvalval

96


(A m(A móódszer vdszer véégrehajtgrehajtáásakor termsakor terméészetesen nem kell az elemi szetesen nem kell az elemi mmáátrixokat feltrixokat felíírni, azoknak csak a bizonyrni, azoknak csak a bizonyííttáásnsnáál van szerepl van szerepüük.) k.)

Gyakorlatilag leGyakorlatilag leíírjuk egymrjuk egymáás mells melléé az az invertinvertáálandlandóó mmáátrixot (bal trixot (bal oldal) oldal) éés az egyss az egyséégmgmáátrixot (jobb oldal), majdtrixot (jobb oldal), majd

1.1. Gauss eliminGauss elimináácicióóval lval léépcspcsııs alaks alakúúra hozzuk ezt a ra hozzuk ezt a „„hosszhosszú”ú”mmáátrixot. Ha a baloldali ntrixot. Ha a baloldali néégyzetes mgyzetes máátrix nem tartalmaz csupa trix nem tartalmaz csupa zzéérróóbbóól l áállllóó sort (hsort (hááromszromszöög alakg alakúú éés a fs a fııáátltlóóban nincs zban nincs zéérus), rus), akkor a makkor a máátrix inverttrix invertáálhatlhatóó, s az elj, s az eljáárráást folytatjuk.st folytatjuk.

2.2. Elemi sorElemi soráátalaktalakííttáásokkal alulrsokkal alulróól fl föölfellfeléé haladva elhaladva eléérjrjüük, hogy a k, hogy a baloldalon egysbaloldalon egyséégmgmáátrix legyen. A jobb oldalon az trix legyen. A jobb oldalon az inverzminverzmáátrixtrixvan.van.


HatHatáározzukrozzuk megmeg a ka köövetkezvetkezıı mmáátrix inverztrix inverzéét! t!

212

221

111

100

010

001

010

110

111

− 102

011

001

−

−

100

110

001

113

011

012

−

−

−

100

010

001

113

102

012

−

−

−

212

221

111

113

102

012

−

−

−

100

010

001

==

==

==

==

==××EllenEllenıırzrzéés:s:

97


MegoldhatMegoldhatóó, hogy a , hogy a kombinatkombinatóórikarika a gyakorlat anyaga legyen??a gyakorlat anyaga legyen??

Javaslat: KezdjJavaslat: Kezdjüük a fk a féélléév gyakorlatv gyakorlatáát a t a kombinatkombinatóórikrikáávalval. Ez . Ez elegendelegendıı ididııt ad az elt ad az elııadadáásnak ahhoz, hogy elsnak ahhoz, hogy elııre haladjon!re haladjon!


Legyen Legyen VV elemeknek egy velemeknek egy vééges halmaza, ges halmaza, éés s EE a a VV elemeibelemeibııl l kkéépezett rendezett ppezett rendezett páárok rok –– esetleg esetleg üüres res –– halmaza. halmaza. GrGrááfnak fnak nevezznevezzüük k a a VV éés s EE ááltal meghatltal meghatáározott struktrozott struktúúrráát. Jelt. Jelöölléése: se: GG((V,EV,E))

V(G) V(G) ≔≔ A A GG cscsúúcshalmazacshalmaza E(G)E(G) ≔≔ A G A G éélhalmazalhalmaza

vv11

vv22

vv33

vv55

vv44 • ee11 = = {{vv11,v,v44} } öösszeksszeköötiti a a vv11 ééss vv44 cscsúúcsokatcsokat•• vv33 and and vv22 are are szomszszomszéédos csdos csúúcsokcsok,,•• ee22 and and ee44 areare szomszszomszéédos dos ééleklek,,•• ee44 and and vv55 are are illeszkednekilleszkednek..

ee11

ee22

e3

ee44ee55

IdIdıınknkéént ant a vv11vv22 jeljelöölléést fogjuk hasznst fogjuk hasznáálni a lni a {{vv11,v,v22}} helyetthelyett..

GrGrááfelmfelméélet alapjailet alapjai

98


VV((GG) elemeinek a sz) elemeinek a száámmáát a t a grgrááf rendjf rendjééneknek nevezznevezzüük. Jelk. Jelöölléése: se: n(Gn(G))..

EE((GG) elemeinek a sz) elemeinek a száámmáát a t a grgrááf mf mééretretééneknek nevezznevezzüük. Jelk. Jelöölléése: se: m(Gm(G))..

Legyen a G grLegyen a G grááf csf csúúcshalmaz cshalmaz V(G) = V(G) = {{vv11, v, v22, , …… , , vvnn} } éés s éélhalmazalhalmazaE(G) = E(G) = {{ee11, e, e22, , …… , , eemm}}.. A grA grááf lef leíírhatrhatóó mmáátrixokkaltrixokkal..

AA szomszszomszéédsdsáági mgi máátrixtrix A(G) = A(G) = [[aaijij]]nnxxnn aholahol

aaijij == {{11 haha vviivvjj ∊∊ E(G)E(G)

00 haha vviivvjj ∉∉ E(G)E(G)

AzAz illeszkedilleszkedéési msi máátrixtrix B(G) = B(G) = [[bbijij]]nnxxmm aholahol

bbijij == {{ 11 haha vvii ééss eejj illeszkedikilleszkedik

00 kküüllöönbennben. .

Az Az nn--ed rended rendőő, , mm mmééretretőő grgrááfot fot G(n,m)G(n,m) vagy vagy GGnn,m,m jeljelööli. li.


Egy gráf, és a hozzá tatozó szomszédsági és illeszkedési mátrixok

v1

v4v3

v2

e1

e3

e5

e4e2

=

0110

1011

1101

0110

A

=

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

B

v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5

v1

v2

v3

v4

v1

v2

v3

v4

99


CsCsúúcsok fokszcsok fokszáámama

Egy Egy GG grgrááf f vv cscsúúcscsáának foksznak fokszáámmáánn a csa csúúcshoz illeszkedcshoz illeszkedıı éélek lek szszáámmáát t éértjrtjüük. Jelk. Jelöölléése:se: degdegGG vv vagyvagy degdeg vv..

Egy csEgy csúúcsot csot ppáárosnakrosnak vagy vagy ppááratlannakratlannak nevezznevezzüük attk attóól fl füüggggııen, en, hogy a fokszhogy a fokszááma pma pááros vagy pros vagy pááratlan.ratlan.

Egy csEgy csúúcsot csot izolizolááltnakltnak neveznevezüünk, ha nk, ha degdeg v =v = 0, 0, éés s vvéégg--cscsúúcsnakcsnak, ha , ha degdeg vv = = 11..

δδ(G) =(G) = minmin degdegGG vv a a GG grgrááf f minimminimáális fokszlis fokszáámama..vv∊∊ GG

∆∆(G) =(G) = maxmax degdegGG v v a a GG grgrááf f maximmaximáális fokszlis fokszáámama..vv∊∊ GG

JelJelııljelje a a vv cscsúúccsal ccsal szomszszomszéédos csdos csúúcsokcsok halmazhalmazáát t ΓΓ(v).(v). degdegGGvv==||ΓΓ(v)(v)|.|.


v1

v9v4v2

v6 v7v8

v5

21

2

3

4

2

5

3 2

v3

degdegGG vv22 = 3 = 3 degdegGG vv44 = 4 = 4 degdegGG vv99 = 2= 2

δδ(G) = (G) = degdegGG vv88 = 1= 1 ∆∆(G) = (G) = degdegGG vv66 = 5= 5

CsCsúúcsfokszcsfokszáámokmok egy gregy grááfbanfban

100


TTéételtel ((““KKéézfogzfogáásisi““ Lemma):Lemma): TekintsTekintsüük a G(n,m) grk a G(n,m) grááfot, aholfot, aholVV((GG) = ) = {{vv11, v, v22, , ……, , vvnn}. }. EkkorEkkor

nn

∑∑degdegGG vvii = 2m= 2mi=1i=1

Biz.: Biz.:

KKöövetkezmvetkezméényny: : BBáármely grrmely grááfban a pfban a pááratlan csratlan csúúcsok szcsok szááma mindig ma mindig ppááros.ros.

Az Az áállllííttáás azonnal ks azonnal köövetkezik abbvetkezik abbóól a tl a téénybnybııl, hogy minden l, hogy minden éél kl kéét t cscsúúcsra illeszkedik.csra illeszkedik.


Azt a grAzt a grááfot, amelynek nincsenek fot, amelynek nincsenek ééleilei üürere grgrááfnak nevezzfnak nevezzüükk..

A A HH grgrááf a f a GG grgrááf rf réészgrszgrááfja, hafja, haV(H)V(H)⊆⊆ V(G)V(G) ééssE(H)E(H)⊆⊆ E(G)E(G)..

RRéészgrszgrááfok fok éés induks indukáált rlt réészgrszgrááfokfok

vv

LegyenLegyen vv∊∊V(GV(G)) ééss ||V(G)V(G)| | ≥≥ 22. A . A H = G H = G –– vv grgrááf f a a vv cscsúúcs tcs töörlrléésséévelvelááll elll elıı GG--bbııl, hal, ha

V(H) = V(G) V(H) = V(G) –– {{vv} } ééssE(H)E(H) a a GG azon azon ééleit tartalmazza, amelyek nem illeszkednek vleit tartalmazza, amelyek nem illeszkednek v--re.re.

HaHa ee∊∊ E(G)E(G), , akkorakkor H = G H = G –– ee ((deletedelete an edgean edge) ) GG--nek egy olyan nek egy olyan rréészgrszgrááfja, amelyrefja, amelyre

V(H) = V(G)V(H) = V(G) ééssE(H) = E(G) E(H) = E(G) –– {{ee}. }.

101


ee

GG G G –– v v G G –– e e

vv


Ha Ha GG egy egy HH rréészgrszgrááfjfjáának rendje megegyezik nak rendje megegyezik GG rendjrendjéével, akkor vel, akkor HH--t t GG feszfeszííttıı rréészgrszgrááfjfjáánaknak nevezznevezzüük.k.

Ha Ha uu éés s v v a a GG nem szomsznem szomszéédos csdos csúúcsai, akkor csai, akkor G + fG + f, ahol , ahol ff = = uvuv, , jeljelööli azt a grli azt a grááfot, amelynek csfot, amelynek csúúcshalmaza cshalmaza V(G)V(G) éés s éélhalmazalhalmaza E(G) E(G) ∪∪ { { f f }}. . EzEzéért G rt G ⊆⊆ G + f.G + f.

Ha Ha UU aa V(G)V(G) egy regy réészhalmazszhalmaz, , akkor akkor thenthen ⟨⟨UU ⟩⟩ a a GG--nek egy olyan nek egy olyan UUááltalltal indukindukáált grlt grááfja, fja, amelyamelycscsúúcshalmazacshalmaza UU ⊆⊆ V(G)V(G) éésséélhalmazalhalmaza minden olyan minden olyan éélet tartalmaz let tartalmaz GG--bbııl, amely illeszkedik l, amely illeszkedik az az UU kkéét elemt eleméére. re.

102


SpeciSpeciáális grlis grááfokfok

Egy Egy GG grgrááfot fot rr--regulreguláárisris grgrááfnakfnak neveznevezüünk, ha nk, ha degdeg vv = = rr a a GG grgrááf f minden minden vv cscsúúcscsáárara. .

Egy Egy grgrááf teljesf teljes, ha b, ha báármely krmely kéét cst csúúcsa szomszcsa szomszéédos. dos.

HaHa G = G(m,n)G = G(m,n), akkor , akkor GG ((nn--11))--regulreguláárisris, , éés s m = n(nm = n(n--1)/21)/2. . JelJelöölléése:se: KKnn. .

44--regulregulááris grris grááfokfok..


A Petersen gráf

103


Egy Egy GG grgrááf f komplemenskomplemens grgrááfjfjáán azt a grn azt a grááfot fot éértjrtjüük, amelyrek, amelyreV(V( ))= V= V(G)(G)u,vu,v∊∊V(G), V(G), uvuv∊∊ EE(( ) ) akkor akkor éés csak akkor, has csak akkor, ha uvuv ∉∉ EE((GG).).

GG

G

ÁÁllllííttááss--11: Ha : Ha G = G(m,n),G = G(m,n), akkor egy olyan akkor egy olyan nn--ed rended rendőő grgrááf, f, amelynek mamelynek méérete: rete:

m2

nm −

=

G

ÁÁllllííttááss-- 22: A : A KKnn teljes grteljes grááf f komplemenskomplemens grgrááfja az fja az nn--ed rended rendőőüüres.res.

)K( n


Egy Egy GG grgrááfot fot kk--rréészesnekszesnek mondunk, mondunk, k k ≥≥ 11, ha a , ha a V(G)V(G) cscsúúcspontjaicspontjai--naknak halmaza halmaza úúgy gy particionparticionáálhatlhatóó kk rréészhalmazra (szhalmazra (VV11,V,V22,,……,,VVkk)), hogy , hogy E(G)E(G) elemei elemei VVii éés s VVjj --belibeli cscsúúcsokat kcsokat köötnek tnek öössze, aholssze, ahol i i ≠≠ j.j.

Ha Ha k = 2k = 2, akkor a gr, akkor a grááf f kkéétrtréészes.szes.

TTéételtel: Ha : Ha GG egy egy rr--regularregular kkéétrtréészes grszes grááf, f, r r ≥≥ 11, , akkor akkor ||VV11|| = = ||VV22|| ..

Egy Egy teljes kteljes kéétrtréészesszes grgrááfot, ahol fot, ahol ||VV11|| = = rr éés s ||VV22|| = = ss K(r,s)K(r,s)--elel vagyvagy KKrr,s,s--el el jeljelııljljüükk .. ((A A KK1,s1,s grgrááfot fot csillagnak csillagnak nevezznevezzüükk).).

104


v1

v6v3v2

v4 v5v7

v6v4v2

v1v3 v5

v7

Egy kétrészes gráf két különbözı (izomorfikus) ábrázolása

V1

V2


MMőőveletek veletek ggááfokonfokon

KKéét grt grááf f egyesegyesííttéésséén (unin (unióójjáán) n) azt a azt a G = GG = G11 UU GG22 grgrááfot fot éértjrtjüük, k, amelyreamelyre V(G)V(G) == V(GV(G11) ) UU V(GV(G22)) ééss E(G)E(G) = = E(GE(G11) ) UU E(GE(G22)). .

PPééldalda: : 3K3K1 1 UU 2K2K3 3 UU KK2,22,2..

105


KKéét grt grááf f öösszekapcsolsszekapcsoláássáánn azt a azt a G = GG = G11++GG22 grgrááfot fot éértjrtjüük, amelyrek, amelyreV(G) = V(GV(G) = V(G11) ) UU V(GV(G22)) ééssE(G) = E(GE(G) = E(G11) ) UU EE(G(G22) ) UU{{uvuv | | uu∊∊V(GV(G11)) ééss v v ∊∊ V(GV(G22))}. }.

PPééldalda::

GG11 GG22 GG11+G+G22


KKéét grt grááf f direkt szorzatdirekt szorzatáánn azt a azt a G = GG = G1 1 ×× GG22 grgrááfot fot éértjrtjüük, amelyrek, amelyreV(G) = V(GV(G) = V(G11) ) ×× V(GV(G22)) éésskkéét cst csúúcs: (cs: (uu11,u,u22) ) éés (s (vv11,v,v22) akkor ) akkor éés csak akkor szomszs csak akkor szomszéédos, ha dos, ha vagy vagy uu11 == vv11 ééss uu22vv22∊∊E(GE(G22))vagy vagy uu22== vv22 ééss uu11vv11∊∊E(GE(G11))

PPééldalda::

GG11 GG22G = GG = G11××GG22

u11

v11

w11

u22 v22

w22

(u11,u2)

(v11,v2)

(u11,v2)

(v11,u2)

106


GrGrááfok bejfok bejáárráásasa

LeLegyengyen uu ééss vv aa GG grgrááf f –– nem sznem szüükskséégkgkééppen kppen küüllöönbnböözzı –– kkéét t cscsúúcsa.csa. Egy Egy WW--velvel jeljelöölt lt uu––vv sséétata a a GG grgrááfban a csfban a csúúcspontoknak cspontoknak éés s az az ééleknek egy olyanleknek egy olyan

W: u = uW: u = u00,e,e11,u,u11,e,e22,u,u22,,…….,u.,ukk--11,e,ekk,u,ukk = v= vvvééges, alternges, alternáállóó sorozata, amely az sorozata, amely az uu cscsúúcsponttal kezdcsponttal kezdııdik, a dik, a vvcscsúúccsal vccsal véégzgzııdik, dik, ééss eei i = u= uii--11uuii mindig egy mindig egy éél,l, i=1,2,i=1,2,……,k,k. . AA kk szszáámot mot a a WW ssééta hosszta hosszáánaknak nevezznevezzüük.k.

uu

ee11

uu11

ee22

uu22

ee33 uu33

uu44

ee55 ee44

=u=u55ee66

uu66=v=v

k=6k=6


EgyEgy uu––vv ssééttáátt zzáártnak rtnak vagyvagy nyitottnak nyitottnak neveznevezüünk attnk attóól fl füüggggııen, hogy en, hogy u = vu = v vagyvagy u u ≠≠ vv..

A A uu--vv öösvsvéényny az egy olyanaz egy olyan uu––vv ssééta, amelyben ta, amelyben éél nem isml nem isméétltlııdik, dik, éés s egy egy uu––vv úútt az egy olyanaz egy olyan uu––vv ssééta, amelyben csta, amelyben csúúcspont nem cspont nem ismisméétltlıı--dikdik. .

KKöövetkezmvetkezméényny--11: : minden minden úút egyben t egyben ıısvsvéény isny is..

KKöövetkezmvetkezméényny--22: Minden : Minden úút egyben t egyben sséétt is, de a megfordis, de a megfordíítottja tottja ááltalltaláá--banban nem igaz.nem igaz.

107


PPééldalda::

vv11

vv44

vv55 vv33

vv22

4352321 v,v,v,v,v,v,v:W egyegy vv11--vv44 sséétata dede nem nem öösvsvéényny..

431521 v,v,v,v,v,v:T egyegy öösvsvéényny dede nnemem úútt..

4231 v,v,v,v:P egyegy úútt..


PPéélda:lda:

vv22vv11

vv33

vv44

=

0100

1011

0101

0110

A

=

1011

0311

1121

1112

A 2

34314

32313

31212

31311

v,v,v,v:W

v,v,v,v:W

v,v,v,v:W

v,v,v,v:W

=

0311

3244

1423

1432

3A

TTéételtel: Ha : Ha AA a a GG szomszszomszéédsdsáági mgi máátrixa, trixa, éés s V(G) = V(G) = {{vv11,v,v22,,……,v,vnn}, akkor }, akkor az az AAkk hatvhatváánymnymáátrixtrix ((i,ji,j) eleme) eleme, k , k ≥≥ 11, megadja a , megadja a kk hosszhosszúússáággúú vvii--vvjj

ssééttáákat a kat a GG grgrááfbanfban..

108


Egy nem triviEgy nem triviáális zlis záárt rt öösvsvéényt nyt kköörrúútnaktnak neveznevezüünk, nk, éés azt a ks azt a köörutat, rutat, amelyben amelyben nn kküüllöönbnböözzıı csomcsomóópont szerepel, pont szerepel, kkıırnekrnek nevezznevezzüük. k.

Egy Egy aciklikusaciklikus grgrááfban nincs kfban nincs köör. r.

Egy kEgy köörr ppáárosros, ha hossza p, ha hossza pááros, egyros, egyéébkbkéént a knt a köör r ppááratlanratlan..

Egy Egy kk hosszhosszúússáággúú kköört rt kk--kköörnekrnek neveznevezüünk. A nk. A 33--kköör a r a hhááromszromszöögg..

Egy Egy uu cscsúúcsrcsróól azt mondjuk, hogy l azt mondjuk, hogy öösszeksszekööthetthetıı a a vv cscsúúccsal, a ccsal, a grgrááfban lfban léétezik egy tezik egy uu––vv úút.t.

Egy Egy grgrááf f öösszefsszefüüggggıı, ha b, ha báármely krmely kéét cst csúúcsa csa öösszeksszekööthetthetıı. Egy. Egyéébkbkéént nt a gra grááf nem f nem öösszefsszefüüggggıı. .

Azt az Azt az nn--ed rended rendőő grgrááfot, amely fot, amely úút, t, PPnn jeljelööli, li, éés s CCnn egy n csegy n csúúcspontcspontúúkköört jelrt jelööl. l.


TTéételtel: Egy G gr: Egy G grááf csf csúúcshalmazcshalmazáán n éértelmezett rtelmezett „ö„összefsszefüüggggıı”” relreláácicióóegy egy ekvivalanciaekvivalancia relreláácicióó..

Biz.: Biz.: HHáázizi feladatfeladat

AzoktAzokt a ra réészgrszgrááfokat, amelyek az ekvivalencia relfokat, amelyek az ekvivalencia reláácicióóeredmeredméényeknyekéént lnt léétrejtrejöött ekvivalencia oszttt ekvivalencia osztáályoknak felelnek meg, a G lyoknak felelnek meg, a G grgrááf f öösszefsszefüüggggıı komponenskomponensééneknek nevezznevezzüük. A G grk. A G grááf f komponenseinek szkomponenseinek száámmáát t kk((GG)) jeljelöölili..

Egy Egy öösszefsszefüüggggıı grgrááfban az u fban az u éés v css v csúúcsokcsok dd((u,vu,v)) ttáávolsvolsáággáán n a ka kéét t cscsúúcspont kcspont köözzöött megadhattt megadhatóó uu−−vv utak minimutak minimáális hosszlis hosszáát t éértjrtjüük. k.

109


v1

v9v4v2

v6 v7v8

v5

Távolsági szintek a v1 csúcsból kiindulva.

03

2

2

3

2

1

1 2

v3

v1

v2 v6

v3 v5 v9 v7

v8v4

szint 0

szint 1

szint 2

szint 3


Egy G grEgy G grááf f feszfeszííttıı ffáájjáánn azt a feszazt a feszííttıı rréészgrszgrááfot fot éértjrtjüük, amely fa.k, amely fa.

TTéételtel: Minden : Minden öösszefsszefüüggggıı ffáának van fesznak van feszííttıı rréészgrszgrááfja fja

Proof. By construction. We choose an arbitrary vertex Proof. By construction. We choose an arbitrary vertex xx∊∊ VV. Let . Let

VVii={ y ={ y ∊∊ G : d(x,y)=G : d(x,y)= i, i=1,2,i, i=1,2,……,M }.,M }.

IfIf yyii∊∊ VVii , i > 0, i > 0 andand xx,,zz11,,zz22,,……,,zzii--11,,yyii is is aann xx –– yyii pathpath thenthen d(x,d(x,zzjj)=)=j,j, 00 < < jj << ii..

It is It is clearclear that that VVjj ≠≠ ØØ, if , if jj << MM, and for any , and for any y y ∊∊ VVii,, ii ≤≤ MM, there exists , there exists at least one at least one yy''∊∊ VVii--11, , whichwhich adjacentadjacent toto y y inin G. ({yG. ({y'',y} ,y} ∊∊ E(G)).E(G)).

A feszA feszííttıı fa problfa probléémama

110


……

VV00 VV11 VV22 VVMM--11 VVMMVVMM--22

xx

KKöövetkezmvetkezméényny--1: A 1: A G(n,m) G(n,m) feszfeszííttııffáája: ja: T(n,nT(n,n--1).1).


Az Az optimalizoptimalizáácicióó--elmelmééletlet egyik ismert problegyik ismert probléémmáája az, hogy hogyan ja az, hogy hogyan lehet megtallehet megtaláálni egy grlni egy grááf valamilyen specif valamilyen speciáális lis tuljdonstuljdonsáággalggalrendelkezrendelkezıı feszfeszííttıı ffáájjáát.t.Legyen adott aLegyen adott a G=(V,E)G=(V,E) grgrááf f éés egy pozits egy pozitíív v éértrtéékkőő ff ffüüggvggvéény, amely ny, amely a gra grááf f éélein van definilein van definiáálva:lva: f: f: EE→→ℝℝ

++

. . KeressKeressüük azt ak azt a T=(V,ET=(V,E΄́))öösszefsszefüüggggıı feszfeszííttıı ffáátt, , amelyreamelyre

minimminimáálislis..∑

∈

=,

)()(Exy

xyfTf

Az ilyen tulajdonsAz ilyen tulajdonsáággúú feszfeszííttıı rréészfszfáát t gazdasgazdasáágos feszgos feszííttıı ffáánaknaknevezznevezzüük. k.

111


Egy valEgy valóós probls problééma: Egy adott rma: Egy adott réégigióóban falvakat akarunk ban falvakat akarunk öösszeksszeköötni tni vvíízvezetzvezetéékkel. Ismerjkkel. Ismerjüük, hogy mennyibe kerk, hogy mennyibe kerüül az egyes l az egyes flvakflvakkköözzöötti vezettti vezetéékek felkek felééppííttéése. se.

KeressKeressüük meg azt a hk meg azt a háállóózatot, mely a legkevesebb kzatot, mely a legkevesebb kööltsltsééggel ggel ééppííthetthetıı fel!fel!

33

33

33

33

22

22

22

44

44

11

11

55

PPééldalda::

44


KruskalKruskal AlgoritmusAlgoritmus ((1956): 1956): VVáálasszuk ki a legolcslasszuk ki a legolcsóóbb bb éélet let GG--bbııl, l, azaz azt az azaz azt az éélet, amelyre let, amelyre f(ef(e)) minimminimáálislis. . A kA köövetkezvetkezıı éélet a mlet a méég ki nem vg ki nem váálasztottak klasztottak köözzüül mindig l mindig úúgy gy vváálasztjuk, hogy az a legolcslasztjuk, hogy az a legolcsóóbb legyen. A vbb legyen. A váálasztlasztáásnsnáál arra kell l arra kell üügyelngyelnüünk, hogy nem knk, hogy nem kéépezhetpezhetüünk knk köörutat a kivrutat a kiváálasztott lasztott éélekblekbııl. l. Ha ilyen Ha ilyen éél ml máár nincs, akkor vr nincs, akkor vééget get éér az algoritmus. r az algoritmus.

33

33

33

33

22

22

22

44

44

11

55

11

f(Tf(T11)=15)=15

44

112


2. Algoritmus2. Algoritmus: : Az algoritmus lAz algoritmus léényege az, hogy drnyege az, hogy dráága ga éélet csak akkor let csak akkor szabad vszabad váálasztani, ha lasztani, ha biztosbiztosíítannitanni akarjuk a grakarjuk a grááf f öösszefsszefüüggggııssééggéét. t. TTöörrööljljüük tehk teháát a legdrt a legdráággáább bb éélet a grlet a grááfbfbóól l minaddigminaddig, am, amííg a grg a grááf f öösszefsszefüüggggıı marad.marad.Ha ilyen Ha ilyen éél ml máár nincs, akkor vr nincs, akkor vééget get éér az algoritmus. r az algoritmus.

33

33

33

33

22

22

22

44

44

11

55

11

f(Tf(T22)=15)=15

44


A legrA legröövidebb videbb úút problt probléémmáájaja

RendeljRendeljüünk a G grnk a G grááf mindenf minden ((u,vu,v ))∊∊ E(G) E(G) ééllééhez egy hez egy w(u,vw(u,v))ffüüggvggvéényt, nyt, éés nevezzs nevezzüük ezt k ezt ssúúlynaklynak.. Azt a, amelynek Azt a, amelynek éélei slei súúlyozva lyozva vannak, vannak, ssúúlyozott grlyozott grááfnakfnak nevezznevezzüük. k.

LegyenLegyen w: E(G)w: E(G)→→ℝℝ+ + egy fegy füüggvggvéényny.. TerjesszTerjesszüük ki a fk ki a füüggvggvéény ny definicidefinicióójjáátt egy gregy grááf f H H ⊆⊆ GG rréészgrszgrááfjfjáára:ra:

∑ ∈=

)().()(

HEeewHw

SzSzáámos olyan mos olyan optimalizoptimalizáácicióóss problproblééma lma léétezik, amely egy stezik, amely egy súúlyozott lyozott grgrááfban keres egy olyan rfban keres egy olyan réészgrszgrááfot, amely valamilyen tulajdonsfot, amely valamilyen tulajdonsáág g szerint minimszerint minimáális (vagy maximlis (vagy maximáális). lis).

113


A legrA legröövidebb videbb úút problt probléémmáája: adott egy sja: adott egy súúlyozott grlyozott grááf, (vasf, (vasúút t hháállóózat). Hatzat). Hatáározzuk meg a legrrozzuk meg a legröövidebb utat a grvidebb utat a grááf f –– elelııre adott re adott ––kkéét cst csúúcspontja (vcspontja (váárosa) krosa) köözzöött.tt.

Ebben a kEbben a köörnyezetben az rnyezetben az úút hosszt hosszáán a n a úút t ááltal reprezentltal reprezentáált rlt réészgrszgrááf f ssúúlylyáát fogjuk t fogjuk éérteni.rteni.

TegyTegyüük fel, hogy az k fel, hogy az uu00 éés as a vv00 cscsúúcsok kcsok köözzöötti tti úút hosszt hosszáát akarjuk t akarjuk meghatmeghatáározni:rozni:

Az algoritmus egy fokozatosan nAz algoritmus egy fokozatosan nöövekvvekvıı SSii halmazt khalmazt kéészszíít, ahol t, ahol 0 0 ≤≤i i ≤≤ n n –– 1,1, ééss {{uu00} } ⊆⊆ SSi i ⊆⊆ V(G)V(G)..

Minden lMinden lééppéésben egy sben egy cimkcimkéétt rendelrendelüünk a csnk a csúúcspontokhoz: cspontokhoz: l:(Gl:(G))→→ℝℝ∪∪{{∞∞} } úúgy, hogy a gy, hogy a v v ∊∊ SS cscsúúcshoz tartozcshoz tartozóó l(vl(v)) ccíímke a mke a vvcscsúúcs tcs táávolsvolsáággáát adja meg az t adja meg az uu00 cscsúúcstcstóól az l az ⟨⟨SS ⟩⟩ indukindukáált lt rréészgrszgrááff--banban..

The The DijkstraDijkstra algorithm (1959)algorithm (1959)


IterIteráácicióós ls lééppééss::

HAHA SSii = V(G)= V(G) akkor az algoritmus befejezakkor az algoritmus befejezııdikdik..

HaHa SSii ≠≠ V(GV(G) ) akkorakkor ééssllegyen egyen uui+1i+1 aa WW egy tetszegy tetszııleges csleges csúúcspontjacspontja..

Ha Ha l(ul(ui+1i+1) =) = ∞∞ vagyvagy uui+1i+1 = v= v00 akkor az algoritmus megakkor az algoritmus megáállll..

Ha Ha ll (u(ui+1i+1)) < < ∞∞ akkorakkor SSi+1i+1 = S= Sii UU {{uui+1i+1}}, , éés legyens legyen

i=i+1.i=i+1.

)}v(lmin)v(lSv|v{WiSviiii ∈=∈= ,

} ),(),(|),()( ),(min{)( 1111 ++++ ∈∈+= iiii SzGEzuzuwulzlzl

∞

∈≠

=

=

különben

)(),( és ha ),,(

ha ,0

)( 000

0

GEvuvuvuw

uv

vl

ElElııkkéészszííttıı llééppééss::

},u{S,0i 00 ==

114


Mi aMi a DijkstraDijkstra''s s AlgoritAlgoritmusmus bonyolultsbonyolultsáágaga??

nn--ben ben polinomipolinomiáálislis: : O(nO(n22).).

PPééldalda: :

uu00

11

22

2244

77 33

11

vv00vv11

vv33vv22

l(vl(v11))l(vl(v22))l(vl(v33))l(vl(v00))l(ul(u00))

00 77 11 22 ∞∞

StepStep

00

SSii

uu00

11

22

33

44

00

00

00

00

uu00 vv22117711 2222

uu00 vv22 vv002211 2255

uu00 vv22 vv0011 22 vv3355 22

uu00 vv22 vv0011 22 vv3355 22 vv11

}Sz),G(E)z,u(|)z,u(w)u(l),z(lmin{)z(l 1i1i1i1i ++++ ∈∈+=

)}v(lmin)v(lSv|v{uiSviiii1i ∈+ =∈= ,


Euler gráfok

Egy olyan kEgy olyan köörutat a rutat a GG grgrááfban, amely tartalmazza a G fban, amely tartalmazza a G öösszes sszes éélléét t Euler Euler kköörnekrnek mondjuk.mondjuk.

EgyEgy Euler Euler öösvsvéényny tartalmazza az tartalmazza az öösszes sszes éélet, de nem zlet, de nem záártrt..

EgyEgy grgrááff EulerEuler grgrááff, ha benne l, ha benne léétezik tezik EulerEuler--kköörr..

Egy G grEgy G grááfot fot ppáárosnakrosnak ((ppááratlannakratlannak) mondunk, ha minden cs) mondunk, ha minden csúúcsa csa ppááros (pros (pááratlan).ratlan).

TTéételtel : : Egy Egy öösszefsszefüüggggıı grgrááfban akkor fban akkor éés csak akkor van s csak akkor van EulerEuler--kköörrúútt, , ha a grha a grááf minden csf minden csúúcsa pcsa pááros. ros.

115

Matematika I. Felsıfokú Szakképzés 229 Matematika I. Felsıfokú Szakképzés 230

DefiniDefiniááljuk a kljuk a köövetkezvetkezıı sorozatot: a sorozatban egy betsorozatot: a sorozatban egy betőő azt a azt a szszáárazfrazfööldet jelenti, amelyhez az ldet jelenti, amelyhez az úút sort soráán eln eléérkeztrkeztüünk, nk, éés ks kéét t egymegymáás uts utááni elem azt a hidat jelenti, amelyen ni elem azt a hidat jelenti, amelyen áát kell kelni t kell kelni úútban az tban az egyik teregyik terüületrletrııl a ml a máásikra. sikra. Ha ilyen Ha ilyen úút lt léétezne, akkor az letezne, akkor az leíírhatrhatóó lenne lenne 88 betbetőővel, amelyek vel, amelyek mindegyikmindegyikéét az t az A, B, CA, B, C ééss DD betbetőőkbkbııl vl váálasztjuklasztjukMivel minden hMivel minden híídon pontosan egyszer szabad don pontosan egyszer szabad áátmenni, eztmenni, ezéért az rt az AA éés s BB betbetőők ebben a sorozatban kk ebben a sorozatban kéétszer fordulnak tszer fordulnak úúgy elgy elıı, hogy , hogy ıık k egymegymáást kst köövetik. Ugyanez a helyzet az vetik. Ugyanez a helyzet az AA éés s CC betbetőőppáárralrral is. is. Mivel Mivel ööt ht hííd vezet az d vezet az AA ááltal jelltal jelöölt terlt terüületre, ezletre, ezéért rt AA--nak a jnak a jóómegoldmegoldáásban hsban hááromszor kell megjelenni. romszor kell megjelenni. ((KKéét pt páár jelr jelööl egyl egy--egy egy belbelééppéést st éés kils kilééppéést az st az AA terterüületre, egy pedig vagy killetre, egy pedig vagy kilééppéést vagy st vagy belbelééppéést st AA--ra.)ra.)HasonlHasonlóó megfontolmegfontoláásbsbóól, l, B, CB, C éés s DD kkéétszer jelenik meg a tszer jelenik meg a sorozatsorozat--banban..EzEzéért legalrt legaláább bb 99 betbetőőbbııl kell l kell áállni a sorozatnak. Ez pedig lehetetlen. llni a sorozatnak. Ez pedig lehetetlen.

116


The The sevenseven bridgesbridges on the Pregel in Kon the Pregel in Köönigsbergnigsberg

AA

CC

BB

DD


Hamilton utak

Az utazAz utazóó üügyngynöök problk probléémmáájaja: : egy utazegy utazóüóügyngynöök k nn vváárost akar rost akar meglmegláátogatni togatni úúgy, hogy az gy, hogy az úút vt vééggéén visszan visszaéérjen a krjen a köözponti irodzponti irodáába. ba. BBáármely krmely kéét vt vááros kros köözzöötti utaztti utazáás ks kööltsltséége ismert.ge ismert.KeressKeressüünk egy hatnk egy hatéékony algoritmust, amely megtalkony algoritmust, amely megtaláálja a legolcslja a legolcsóóbb bb utat.utat.

Mit jelent a Mit jelent a „„hathatéékony algoritmuskony algoritmus””??

A vA váálasz megleplasz meglepıı: nem ismert az, hogy l: nem ismert az, hogy lééteziktezik--e hate hatéékony kony lgoritmuslgoritmusa probla problééma megoldma megoldáássáára. ra.

VariVariáánsns: : Ha az Ha az úúttttóól azt kl azt kööveteljveteljüük meg, hogy kk meg, hogy köörrúút legyen, azaz t legyen, azaz nincs megengedve az, hogy az utaznincs megengedve az, hogy az utazáás alatt ugyanazt a vs alatt ugyanazt a váárost krost kéétszer tszer is is éérintse.rintse.

117


Azt a kAzt a köörutat, amely tartalmazza a problrutat, amely tartalmazza a probléémmáához tartozhoz tartozóó grgrááf minden f minden cscsúúcspontjcspontjáát, t, HamiltonianHamiltonian kköörnek rnek nevezznevezzüükk..

Az elnevezAz elnevezéés onnan ered, hogy s onnan ered, hogy Sir William Sir William RowanRowan Hamilton Hamilton 18571857--ben konstruben konstruáált egy jlt egy jááttéékot, amely sorkot, amely soráán a feladat az volt, hogy n a feladat az volt, hogy mikmikéént lehet a dodekant lehet a dodekaééder csder csúúcsaiba vert szcsaiba vert szöögeken vgeken véégigvezetni egy gigvezetni egy madzagot madzagot úúgy, hogy minden csgy, hogy minden csúúcsot csak egyszer csot csak egyszer éérintrintüünk. nk. Ez volt 19. szEz volt 19. száázad zad ““Rubik Rubik kockkockáájaja ““..

Azt a grAzt a grááfot, amelynek van fot, amelynek van HamiltonHamilton kkööre, re, HamiltonHamilton grgrááfnak fnak nevezznevezzüükk..

1855-ben Thomas P. Kirkman következı kérdést tette fel: Legyen adott egy poliéderhez tartozó gráf. Lehet-e mindig konstruálni egy olyan körutat, amely minden csúcspontot egyszer és csk egyszer érint?


A dodekaéder gráfja

118


HamiltonHamilton kköörrööket (ket (éés s HamiltonHamilton utakat) mutakat) máár korr koráábban is vizsgbban is vizsgááltak.ltak.

17591759--ben ben EulerEuler tanulmtanulmáányozta azt a problnyozta azt a probléémmáát, hogy lehetst, hogy lehetséégesges--e a e a huszhuszáárral bejrral bejáárni a sakktrni a sakktáábla mind a 64 mezbla mind a 64 mezııjjéét t úúgy, hogy minden gy, hogy minden mezmezııt t éérintrintüünk, egyikre sem lnk, egyikre sem lééppüünk knk kéétszer, tszer, éés a vs a vééggéén vissza jutunk n vissza jutunk a kiindula kiindulóópontra.pontra.


A gazdasA gazdasáágos gos HamiltonHamilton kköör meghatr meghatáározrozáássáánnáál ll léényegesen nyegesen egyszeegysze--rrőőbbbb az a feladat, hogy laz a feladat, hogy lééteziktezik--e e HamiltonHamilton kköör a grr a grááfban? fban?

Erre a kErre a kéérdrdéésre sincs jsre sincs jóó vváálasz. lasz.

VanVan--e olyan felte olyan feltéétel, amely alapjtel, amely alapjáán eldn eldöönthetnthetıı, hogy egy gr, hogy egy grááf f HamiltonHamilton--grgrááff--ee vagy sem?vagy sem?

TTéételtel ((DiracDirac): Ha ): Ha GG egy egy 2n2n--ed rended rendőő grgrááf, f, éés minden css minden csúúcspontja cspontja legallegaláább bb nn--ed foked fokúú, akkor a gr, akkor a grááf f HamiltonHamilton--grgrááff..

TTéételtel (O. (O. OreOre, , 19601960): ): Ha G egy Ha G egy nn--ed rended rendőő, , n n ≥≥ 33, , éés minden nem s minden nem szomszszomszéédosdos u, v u, v cscsúúcspontjcspontjáára ra

degdeg u + deg v u + deg v ≥≥ nn,,akkor akkor GG HamiltonHamilton--grgrááff..

119


RegulRegulááris grris grááfok esetfok esetéében a ben a DiracDirac--ttéételtel javjavííthatthatóó: : JacksonJackson (1980) (1980) kimutatta, hogy minden olyan 2kimutatta, hogy minden olyan 2--öösszefsszefüüggggıı rr--regulreguláárisris grgrááf, f, amelynnekamelynnek legallegaláább 3r csbb 3r csúúcspontja van, az cspontja van, az HamiltonHamilton--grgrááff..A A PetersenPetersen grgrááf mutatja, hogy a f mutatja, hogy a 3r3r feltfeltéétel nem helyettestel nem helyettesííthetthetıı 3r+13r+1--elel..


Gyakorlat: BinGyakorlat: Binááris fris fáák k éés alkalmazs alkalmazáásaik:saik:binbinááris fris fáák k áábrbráázolzoláásasarendezrendezéés fs fáávalvalttöömmöörrííttéés fs fáával.val.

matematika i. mőszaki informatikai m érn ökasszisztens...

Documents