matemÁtica ii (10026) 09 derivada de una función de una

MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real

Guía de ejercicios RESUELTA

1

1- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

𝑎) 𝑦 = ln(2 − √𝑥23)

2 − √𝑥23>0 → (𝑥2)

1

3 < 2 → 𝑥2 < 8 → |𝑥| < √8 → −√8 < 𝑥 < √8

𝐷𝑜𝑚 𝑦 = (−√8, √8 )

y’=−

2

3𝑥

−13

2− √𝑥23 = −2

3 √𝑥3

(2− √𝑥23)

Dom y′= ℝ − {0}

Y′ ≠ 0, ∀ 𝑥

Conjuntos de positividad y negatividad de la derivada (intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función)

Intervalos (-√8, 0)

y'(-1)=2

3

(0, √8 )

y'(1)=−2

3

Signo de y′ positiva negativa

y crece decrece

b) y=𝑒√4−𝑥2

4-𝑥2 ≥ 0 → 𝑥2 ≤ 4 → |𝑥| ≤2 → −2 ≤ 𝑥 ≤ 2

Dom y=[-2,2]

Y’=𝑒√4−𝑥2 1

2(4 − 𝑥2)−

1

2(−2𝑥)

Y’= −𝑥𝑒

√4−𝑥2

√4−𝑥2

Dom y'=(-2,2)

y'=0, para x=0



Intervalos (-2, 0) y'(-1)>0

(0, 2) y'(1)< 0



2

Signo de y′ positiva negativa

y crece decrece

c)y=x-√1 − 4𝑥2

1-4𝑥2 ≥ 0 → 4𝑥2 ≤ 1 → 𝑥2 ≤1

4→ |𝑥| ≤

1

2→ −

1

2≤ 𝑥 ≤

1

2

Dom y=[−1

2,

1

2]

Y’=1- 1

2(1 − 4𝑥2)−

1

2(−8𝑥)

y'= 1+4𝑥

√1−4𝑥2

Dom y'=(−1

2,

1

2)

y'(x)= 0 →1+4𝑥

√1−4𝑥2 =0→

−4𝑥

√1−4𝑥2 =1→ −4𝑥 = √1 − 4𝑥2 (x<0)

→ 16𝑥2 = 1 − 4𝑥2, (x<0)

→ 20𝑥2 = 1, (x < 0)

→ 𝑥2 =1

20 , (x < 0)

→ |𝑥| = √1

20, (x<0)

→ 𝑥 = −√1

20



Intervalos

(−1

2, −√

1

20)

y'(-0,3)< 0

(−√1

20 ,

1

2)

y'(0)=1

Signo de y′ negativa positiva



3

y decrece crece

2- Calcular el mínimo y el máximo absoluto de las siguientes funciones:

𝑎) 𝑦 =ln(2 − √𝑥23) en [−1; 1]

Los puntos x=-1 y x=1, son puntos críticos (puntos fronteras del dominio)

f’= −2

3 √𝑥3

(2− √𝑥23)

f′ ≠ 0, ∀ 𝑥

La derivada no existe en x=0, entonces x=0 punto crítico

Intervalos x=-1 (-1,0)

f'(-1

2)>o

x=0 (0, 1)

f'(1

2)<0

x=1

f(-1)=0 f (0)=ln2 f(1)=0

Signo de f′ f'(x)>o f'(x)<0

f Mínimo creciente Máximo decreciente Mínimo

f (-1)=0 y f(1)=0, el mínimo absoluto es 0, y se alcanza en x=-1 y en x=1

El máximo absoluto es ln2, y se alcanza en x=0

𝑏) y=𝑒√4−𝑥2en su dominio de definición

Dom f=[-2,2]

Los puntos x=-2 y x=2, son puntos críticos (puntos fronteras del dominio)

f’= −𝑥𝑒

√4−𝑥2

√4−𝑥2

f’(x)=0, en x=0, x=0 punto crítico

Dom f'=(-2,2)

Intervalos x=-2 (-2,0) f'(-1)>o

x=0 (0, 2) f'(1)<0

x=2

f(-2)=1 f(0)=𝑒2 f(2)=1

Signo de f′ f'(x)>o f'(x)<0

f Mínimo creciente Máximo decreciente Mínimo

f (-2)=1 y f(2)=1, el mínimo absoluto es 1, y se alcanza en x=-2 y en x=2



4

El máximo absoluto es e2, y se alcanza en x=0

𝑐) 𝑦 = x-√1 − 4𝑥2 en [0; 1

2]

Los puntos x=0 y x=1

2, son puntos críticos

f'= 1+4𝑥

√1−4𝑥2

f'(x)=0, para x=-√1

20 no pertenece al intervalo

f' no existe en x=−1

2 (no pertenece al intervalo) y en x=

1

2 es un punto crítico

Intervalos x=0 (0, 1

2)

f'(0,25)>0

x=1

2

f(0)=-1 f(1

2)=

1

2

Signo de f′ f'(x)>0

f Mínimo creciente Máximo

f (0)=-1, el mínimo absoluto es -1, y se alcanza en x=0

El máximo absoluto es 1

2 , y se alcanza en x=

1

2

3- Dadas las siguientes funciones de costo e ingreso, hallar el nivel de producción que hace

máximo el beneficio, y el beneficio máximo.

𝑎) 𝐶 = 50𝑥 + 100 𝐼 = −2𝑥 2 + 650𝑥

(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = -2𝑥2 + 650𝑥 − 50𝑥 − 100= -2𝑥2 + 600𝑥 − 100

El dominio de 𝐵 es [0; +∞),

luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.

𝐵′(𝑥) = -4x+600

Como 𝐵′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de 𝐵 donde no exista 𝐵′.

Se buscan los valores donde 𝐵′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 150, estudiando los signos de 𝐵′

Intervalos x=0 (0,150)

x=150 (150,+∞)

B'(0)=600 B'(150)=0 B'(200)=-800+600 =-200

Signo de B′ B'(x)>o B'(x)<0

f Mínimo creciente Máximo decreciente



5

lim𝑥→+∞

𝐵(𝑥) = lim𝑥→+∞

(−2𝑥2 + 600𝑥 − 100) = −∞

𝑥 = 150 máximo absoluto de 𝐵 en [0; +∞)

B(150)=44900

Luego el nivel de producción que da el beneficio máximo son 150 unidades y el beneficio máximo

es $44900.

𝑏) 𝐶 = 1/3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 800 𝐼 = −10𝑥 2 + 200

(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = −1

3𝑥3 − 5𝑥2+ 200𝑥 − 800

El dominio de 𝐵 es [0; +∞), luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.

𝐵′(𝑥) = −𝑥2 − 10𝑥 + 200

Como 𝐵′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de 𝐵 donde no exista 𝐵′.

Se buscan los valores donde 𝐵′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 10, estudiando los signos de 𝐵′


x=10 (10,+∞)

B'(0)=200 B'(10)=0 B'(11)=-121-100+200=-21

Signo de B′ B'(x)>o B'(x)<0


lim𝑥→+∞

𝐵(𝑥) = lim𝑥→+∞

(−1

3𝑥3 − 5𝑥2 + 200𝑥 − 800) = −∞

𝑥 = 10 máximo absoluto de 𝐵 en [0; +∞)

B(10) ≅ 366,67

Luego el nivel de producción que da el beneficio máximo son 10 unidades y el beneficio máximo

es $366,67, aproximadamente.



6

4- La curva de demanda de ciertas sillas está dada por 𝑝 = −1

10𝑥 + 15. Hallar la función de

ingreso el determinar el número de sillas a ubicar en el mercado para obtener el máximo

ingreso.

En primer lugar, para obtener la función Ingreso, debemos hacer

𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 = (−1

10𝑥 + 15) . 𝑥 = −

1

10𝑥2 + 15𝑥

El dominio de I es [0; +∞),

luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.

𝐼′(𝑥)=−

15

𝑥+15

Como I′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de I donde no exista I′.

Se buscan los valores donde I′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 75, estudiando los signos de I′


x=75 (75,+∞)

I'(0)=15 I'(75)=0

Signo de I′ I'(x)>o I'(x)<0


𝑥 = 75 máximo absoluto de I en [0; +∞)

I(75)=562,5

Luego el nivel de producción que da el ingreso máximo son 75unidades y el ingreso máximo es

$562,5



7

5- Con el propósito de tener mayor seguridad, un fabricante planea cercar un área de

almacenamiento rectangular de 3300 m2, adyacente a un edificio que se utilizará como uno

de los lados del área cercada. La cerca paralela al edificio da a una calle y costará U$S 3 por

metro instalado, mientras que la cerca de los otros dos lados costará U$S 2 por metro

instalado. Encontrar la función de costo total de la instalación de la cerca y calcular la cantidad

de cada tipo de cerca de manera que el costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo?

A=b.h Costo=2.2b+3h

3300=b.h C=4b+3h

3300/b=h C=4b+3.3300/b

Función de costo total:

𝐶(𝑏) =4𝑏2 + 9900

𝑏, 𝑏 ≠ 0

𝐶′(𝑏) =4𝑏2 − 9900

𝑏2, 𝑏 ≠ 0

𝐶′(𝑏) = 0

𝑏 ≈ 49,75 descartamos el valor negativo.

Intervalos (0;49,75)

x=49,75 (49,75;+∞)

I'(75)=0

Signo de C′ C'(x) <o C'(x) >0

f decreciente Mínimo creciente

ℎ ≈3300

49,75≅ 66,39

𝐶(49,75) ≈ 397,99

Se necesita aproximadamente 66,34 metros de la cerca paralela a la calle y 49,75 metros

aproximadamente de la otra cerca. El costo mínimo aproximado es de $397,99.



8

6- La función de costo total de un fabricante está dada por (𝑥) = 𝑥2

4+ 3𝑥 + 400 ¿Para qué nivel de

producción será mínimo el costo promedio por unidad? ¿Cuál es este mínimo?

La función costo promedio resulta 𝑐̅(𝑥) = 𝑥

4+ 3 +

400

𝑥

la derivada de la función costo promedio es 𝑐̅′(𝑥) = 1

4−

400

𝑥2

igualando la derivada a cero 1

4−

400

𝑥2 = 0 resulta x=40

El dominio de 𝑐̅(𝑥) es (0; +∞),

estudiando los signos de 𝑐̅′(𝑥) -

Intervalos (0,40)

x=40 (40,+∞)

𝑐̅′(40) =0

Signo de 𝑐̅′(𝑥) 𝑐̅′(𝑥)<o 𝑐̅′(𝑥)>0

decreciente Mínimo creciente

𝑐̅(40) =40

4+ 3 +

400

40= 23

El nivel de producción que hace mínimo el costo promedio es de 40 unidades.

El costo promedio mínimo por unidad es de 23 unidades monetarias.

7-La empresa Vista TV Cable tiene actualmente 100000 suscriptores que pagan una cuota de 𝑈$𝑆

40. Una encuesta reveló que se obtendrían 1000 suscriptores más por cada 𝑈$𝑆 0,25 de

disminución de la cuota. ¿Para qué cuota se obtendrá el ingreso máximo y cuántos suscriptores se

tendrán con dicha cuota?

p=valor de la cuota

x=cantidad de suscriptores

m=-0,25/1000, (100000,40)

El valor de la cuota (p) en función de la cantidad es

P(x)= -(0,25/1000)x + 65

La función ingreso es



9

I(x)= p x= (−0,25

1000𝑥 + 65)𝑥 = −

0,25

1000𝑥2 +65x

Si x=0 no hay ingreso

I'(x)= - 0,50

1000𝑥 +65

- 0,50

1000𝑥 +65=0 para x=130000 (punto crítico)


x=130000 (130000,+∞)

I'(0)=65 I'(130000)=0

Signo de I′ I'(x)>o I'(x)<0


P(130000)=−0,25

1000130000 +65= 32,5

El ingreso máximo ($4225000), se obtiene con 130000 suscriptores, con una cuota de $32,5

8a)

lim𝑥→0

3𝑥 − 1

𝑥= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜

0

0, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻

lim𝑥→0

3𝑥 . 𝑙𝑛3

1= 30. 𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛3

8b)

lim𝑥→0+

ln(1+𝑥)

√𝑥3, indeterminación del tipo

0

0, porHL

lim𝑥→0+

ln(1+𝑥)

√𝑥3 = lim

𝑥→0+

1

1+𝑥3

2√𝑥

= lim𝑥→0+

2

3√𝑥(1+𝑥) =∞

8c)

lim𝑥→+∞

𝑙𝑛𝑥

𝑥5= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜

∞

∞, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻

lim𝑥→+∞

1𝑥

5𝑥4= lim

𝑥→+∞

1

𝑥.

1

5𝑥4= lim

𝑥→+∞

1

5𝑥= 0



10

8d)

lim𝑥→−∞

𝑒𝑥

√𝑥3 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜

𝑜

∞

lim𝑥→−∞

𝑒𝑥1

√𝑥3 = 0.0 = 0

8e)

lim𝑥→0−

ln (1 − 𝑥)

𝑒1𝑥

= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0

0, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻

lim𝑥→0−

−11 − 𝑥

𝑒1𝑥. (

−1𝑥2 )

= lim𝑥→0−

1

1 − 𝑥.𝑥2

𝑒1𝑥

= lim𝑥→0−

1

1 − 𝑥. lim

𝑥→0−

𝑥2

𝑒1𝑥

= lim𝑥→0−

𝑥2. 𝑒−1𝑥 =

lim𝑥→0−

𝑒−1𝑥

1

𝑥2

= lim𝑥→0−

1

𝑥2𝑒−1𝑥

−2𝑥

𝑥4

= lim𝑥→0−

𝑒−1𝑥

−2

𝑥

= lim𝑥→0−

1

𝑥2𝑒−1𝑥

2

𝑥2

= lim𝑥→0−

𝑒−1𝑥

2 =∞

8f)

lim𝑥→0+

𝑥. 𝑙𝑛𝑥 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞

lim𝑥→0+

𝑙𝑛𝑥

1𝑥

= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞


lim𝑥→0+

1𝑥

−1

𝑥2

= lim𝑥→0+

1

𝑥. (−𝑥2) = lim

𝑥→0+− 𝑥 = 0

8g) lim𝑥→0+

𝑥. 𝑒1

𝑥 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞

lim𝑥→0+

𝑒1𝑥

1𝑥



lim𝑥→0+

𝑒1𝑥 . (−

1𝑥2)

(−1

𝑥2)= lim

𝑥→0+𝑒

1𝑥 = ∞

8h)

lim𝑥→0+

(1 + 𝑥)ln (𝑥) = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 1∞



11

𝑦 = lim𝑥→0+

(1 + 𝑥)ln (𝑥)

ln(𝑦) = 𝑙𝑛 ( lim𝑥→0+

(1 + 𝑥)ln(𝑥)) = lim𝑥→0+

𝑙𝑛((1 + 𝑥)ln(𝑥)) = lim𝑥→0+

ln(𝑥) . ln (1 + 𝑥) =

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞

lim𝑥→0+

ln (1 + 𝑥)

1ln (𝑥)

= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0

0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

lim𝑥→0+

11 + 𝑥

−1𝑥

ln2 (𝑥)

= lim𝑥→0+

1

1 + 𝑥. (−𝑥 . ln2(𝑥)) = lim

𝑥→0+

1

1 + 𝑥 . lim

𝑥→0+(−𝑥 . ln2(𝑥))

= 1. lim𝑥→0+

(−𝑥 . ln2(𝑥)) = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞

lim𝑥→0+

ln2(𝑥)

−1𝑥


∞𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

lim𝑥→0+

2 ln(𝑥).1

𝑥1

𝑥2

= lim𝑥→0+

2 ln(𝑥)1

𝑥


∞𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

lim𝑥→0+

21

𝑥−1

𝑥2

= lim𝑥→0+

−21

𝑥

= lim𝑥→0+

−2 x = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ln 𝑦 =

0 𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑦 = 1, 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒

lim𝑥→0+

(1 + 𝑥)ln (𝑥) = 1



12

8i) lim𝑥→−∞

(1 + 𝑥2)1

𝑥

lim𝑥→−∞

(1 + 𝑥2)1

𝑥 es de la forma ∞0

lim𝑥→−∞

(1 + 𝑥2)1

𝑥 = lim𝑥→−∞

𝑒ln(1+𝑥2)1𝑥

= lim𝑥→−∞

𝑒1

𝑥ln(1+𝑥2) = 𝑒

lim𝑥→−∞

ln(1+𝑥2)

𝑥 = (𝐿𝐻)𝑒lim

𝑥→−∞

2𝑥

1+𝑥2

1 = 𝑒0=1

9- Realizar el estudio de las siguientes funciones y bosquejar su gráfico

𝑎) 𝑦 = 𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑏) 𝑦 = 𝑥. ln(𝑥)

𝑎) 𝑦 = 𝑥. 𝑒−𝑥2

I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio: ℝ

b) Raíces: y = 0 ⟹ 𝑥. 𝑒−𝑥2= 0 ⟹ 𝑥 = 0

c) Conjuntos de positividad y negatividad:

Intervalos (-∞; 0) 0 (0; +∞) 𝑦(−1) = (−1)𝑒−(−1)2

= −1

𝑒

𝑦(1) = (1)𝑒−(1)2

= 1

𝑒

Signo de “y” Negativa Positiva

d) Asíntotas y/o límites al infinito (marcadas con arcos en los gráficos): - No tiene asíntotas verticales pues es una función continua en ℝ.

- Como en la fórmula de la función un factor es exponencial, para

determinar las asíntotas no verticales se estudian por separado los límites

para 𝑥 → +∞ y 𝑥 → −∞ (el símbolo ≗ indica que desde ahí aplicamos

L’Hospital):

lim𝑥→−∞

𝑥𝑒−𝑥2= lim

𝑥→−∞

𝑥

𝑒𝑥2 = [−∞

∞] ≗ lim

𝑥→−∞

1

2𝑥. 𝑒𝑥2 = 0

lim𝑥→+∞

𝑥𝑒−𝑥2= lim

𝑥→+∞

𝑥

𝑒𝑥2 = [∞

∞] ≗ lim

𝑥→+∞

1

2𝑥. 𝑒𝑥2 = 0

Entonces y = 0 es Asíntota Horizontal (AH) para 𝑥 → +∞ y 𝑥 → −∞ (si

tiene AH entonces no posee asíntotas oblicuas)



13

II) Obtener información de la primera derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):

𝑦′ = 𝑒−𝑥2+ 𝑥. 𝑒−𝑥2

. (−2𝑥) = 𝑒−𝑥2(1 − 2𝑥2)

- Dominio de y’: ℝ

- Raíces: y’ = 0 ⟺ 1 − 2𝑥2 = 0 ⟹ − 2𝑥2 = −1 ⟹ 𝑥2 = 1

2⟹ |𝑥| =

1

√2⟹

𝑥1 =1

√2; 𝑥2 =

−1

√2

b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función):

Intervalos (−∞;

−1

√2)

−1

√2 (

−1

√2;

1

√2)

1

√2 (

1

√2; +∞)

𝑦′(−1) = 𝑒−1(−1)

= −1

𝑒

𝑦′(0) = 𝑒0(1)= 1

𝑦′(1) = 𝑒−1(−1)

= −1

𝑒

Signo de y’ Negativa 0 Positiva 0 Negativa y Decrece Min Crece Máx Decrece

c) Extremos relativos de la función:

𝑦 (−1

√2) = (

−1

√2) 𝑒

−(−1

√2)

2

= (−1

√2) (

1

√𝑒) ≅ −0,43

𝑦 (1

√2) = (

1

√2) 𝑒

−(1

√2)

2

= (1

√2) (

1

√𝑒) ≅ 0,43



14

III) Obtener información de la segunda derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):

𝑦" = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(1 − 2𝑥2) + 𝑒−𝑥2

(−4𝑥) = −2𝑥𝑒−𝑥2+ 4𝑥3𝑒−𝑥2

− 4𝑥𝑒−𝑥2

= 4𝑥3𝑒−𝑥2− 6𝑥𝑒−𝑥2

= 𝑒−𝑥2(4𝑥3 − 6𝑥)

- Dominio de y”: ℝ

- Raíces: y” = 0 ⟺ 𝑒−𝑥2(4𝑥3 − 6𝑥) = 0 ⟺ (4𝑥3 − 6𝑥) = 0 ⟹ 𝑥(4𝑥2 − 6) =

0 ⟹

𝑥 = 0 𝑜 (4𝑥2 − 6) = 0 ⟹ 4𝑥2 = 6 ⟹ 𝑥2 =6

4=

3

2⟹ |𝑥| = √

3

2

𝑅𝑎í𝑐𝑒𝑠 ⟶ 𝑥1 = 0; 𝑥2 = −√3

2 ; 𝑥3 = √

3

2

b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la

función):

Intervalos

(−∞; −√3

2 ) −√

3

2 (−√

3

2 ; 0)

0

(0; √3

2 ) √

3

2 (√

3

2 ; +∞)

𝑦"(−2) = 𝑒−4(−20)< 0

𝑦"(−1) = 𝑒−1(2)> 0

𝑦"(1) = 𝑒−1(−2) < 0 𝑦"(2) = 𝑒−4(20)> 0

Signo de y” Negativa 0 Positiva 0 Negativa 0 Positiva y Convexa P.I. Cóncava P.I. Convexa P.I. Cóncava

c) Puntos de inflexión de la función:

𝑦 (−√3

2) = (−√

3

2)

1

𝑒32

≅ (−1,22). (0,22) ≅ −0,27



15

𝑦 (√3

2) = (√

3

2)

1

𝑒32

≅ (1,22). (0,22) ≅ 0,27

𝑦(0) = 0

𝑏) 𝑦 = 𝑥. ln(𝑥)

I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio: 𝑥 > 0 ⟹ 𝔻 = (0; +∞)

b) Raíces: 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 0 (como 0 ∉ 𝔻 ⟹ x = 0 no es raíz) 𝒐 𝑙𝑛(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 1


Intervalos (0; 1) 1 (1; +∞)

𝑦 (1

𝑒) = (

1

𝑒) 𝑙𝑛 (

1

𝑒)

= −1

𝑒

𝑦(𝑒) = 𝑒. 𝑙𝑛(𝑒) = 𝑒

Signo de “y” Negativa 0 Positiva

d) Asíntotas y/o límites al infinito:

- Candidato a Asíntota Vertical (AV): x = 0 Como la función está definida a la derecha de 0, entonces estudiamos la

AV sólo para 𝑥 → 0+:



16

lim𝑥⟶0+

𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = [0. ∞]

= {𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙}

= lim𝑥⟶0+

𝑙𝑛(𝑥)

1𝑥

= [∞

∞] ≗ lim

𝑥⟶0+

1𝑥

−1𝑥2

= lim𝑥⟶0+

1

𝑥. (−𝑥2) = 0

Entonces x = 0 no es AV de y.

- Como la función está definida a la derecha de 0, para determinar las

asíntotas no verticales se estudia sólo el límite para 𝑥 → +∞:

lim𝑥⟶+∞

𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = [∞. ∞] = ∞ ⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝐻

Estudiamos si tiene Asíntota Oblicua (AO), también para 𝑥 → +∞:

𝑚 = lim𝑥⟶+∞

𝑥. 𝑙𝑛(𝑥)

𝑥= ∞ ⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝑂


𝑦′ = 1. 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥.1

𝑥= 𝑙𝑛(𝑥) + 1

- Dominio de y’: 𝑥 > 0 ⟹ 𝔻 = (0; +∞)

- Raíces: y’ = 0 ⟹ 𝑙𝑛(𝑥) + 1 = 0 ⇒ 𝑙𝑛(𝑥) = −1 ⟹ 𝑥 = 𝑒−1 ⟹ 𝑥 = 1

𝑒


decrecimiento de la función): Intervalos

(0;1

𝑒)

1

𝑒 (

1

𝑒; +∞)

Signo de y’ 𝑦′ (1

𝑒2) = 𝑙𝑛 (1

𝑒2) + 1 = −2 + 1 = −1

< 0

𝑦′(𝑒) = 𝑙𝑛(𝑒) + 1 = 2 > 0

y Decrece min Crece



17

c) Extremos relativos de la función:

𝑦 (1

𝑒) =

1

𝑒𝑙𝑛 (

1

𝑒) =

−1

𝑒≅ −0,37

III) Obtener información de la segunda derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):

𝑦" = 1

𝑥

- Dominio de y”: x 0

- Raíces: y” = 0 y” no tiene raíces.


función): y” es positiva en el intervalo (0; +∞) que es donde está definida la función,

por lo tanto, “y” es cóncava.

c) Puntos de inflexión de la función: no posee.



18

𝒄) 𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙

𝒙 − 𝟐)

I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio:

𝑥

𝑥 − 2> 0 ⟹ 𝐴) 𝑥 > 0 𝑦 𝑥 − 2 > 0

𝑥 > 2

𝐵) 𝑥 < 0 𝑦 𝑥 − 2 < 0

𝑥 < 2

Entonces 𝔻 = (−∞; 0) ∪ (2; +∞)

b) Raíces:

𝑙𝑛 (𝑥

𝑥 − 2) = 0 ⟺

𝑥

𝑥 − 2 = 𝑒0 = 1 ⟹ 𝑥 = 𝑥 − 2 ⟹ 0 = −2

⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠

c) Conjuntos de positividad y negatividad: Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)

𝑦(−1) = 𝑙𝑛 (1

3) < 0

//////////// 𝑦(3) = 𝑙𝑛(3) > 0

Signo de y Negativa - //////////// - Positiva


- Candidatos a Asíntota Vertical (AV): x = 0 y x = 2.

Analizamos los límites para 𝑥 → 0- y para 𝑥 → 2+ porque en el intervalo

(0;2) la función no está definida:

lim𝑥⟶0−

𝑙𝑛 (𝑥

𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim

𝑥⟶0−

𝑥

𝑥 − 2) = [𝑙𝑛(0)] = −∞

0 2

0 2



19

lim𝑥⟶2+

𝑙𝑛 (𝑥

𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim

𝑥⟶2+

𝑥

𝑥 − 2) = [𝑙𝑛(∞)] = ∞

Entonces x = 0 y x = 2 son AV de “y”.

- Analizamos las asíntotas no verticales para 𝑥 → -∞ y para 𝑥 → +∞: dada la

forma de la función, podemos analizar para |𝑥| → ∞

lim|𝑥|⟶∞

𝑙𝑛 (𝑥

𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim

|𝑥|⟶∞

𝑥

𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim

|𝑥|⟶∞

𝑥

𝑥 ) = 0

Entonces x = 0 es AH de y (por lo tanto no hay AO).


𝑦′ = 1𝑥

𝑥 − 2

. (1. (𝑥 − 2 − 𝑥. 1)

(𝑥 − 2)2) =

𝑥 − 2

𝑥.𝑥 − 2 − 𝑥

(𝑥 − 2)2=

−2

𝑥(𝑥 − 2)

- Dominio de y’: x 0 y x 2

- Raíces: no tiene


decrecimiento de la función): Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)



20

𝑦′(−1) =

−2

(−1)(−1 − 2)< 0

//////////// 𝑦′(3) =

−2

(3)(3 − 2)> 0

Signo de y’ Negativa - //////////// - Negativa Y Decrece Decrece

c) Extremos relativos de la función: no posee.

III) Obtener información de la segunda derivada:

a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):

𝑦" = −(−2)(2𝑥 − 2)

(𝑥2 − 2𝑥)2 =

4(𝑥 − 1)

(𝑥(𝑥 − 2))2

- Dominio de y” = x 0 y x 2

- Raíces: y” = 0 ⟺ 4(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 1 Esta raíz de y” no

pertenece al Dominio de y.



21


función): analizamos la concavidad de “y” en los intervalos en los que está

definida: Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)

𝑦"(−1) =4(−1 − 1)

((−1)(−1 − 2))2< 0

//////// 𝑦"(3) =

4(3 − 1)

(3)(3 − 2)2> 0

Signo de y” Negativa - //////// - Positiva y Convexa - - Cóncava

c) Puntos de inflexión de la función: no posee porque y” no tiene raíces dentro

de los intervalos de definición de la función.

𝒅) 𝒚 = 𝒙

𝒙𝟐 − 𝟏

I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio:

𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 ≠ 1 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠ 1 𝑦 𝑥 ≠ −1

Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)



22

b) Raíces:

𝑦 = 0 ⟹𝑥

𝑥2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 0


Intervalos (−∞; −1) −1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +∞)

𝑦(−2) < 0 𝑦 (

−1

2) > 0

𝑦 (

1

2) < 0

𝑦(2) > 0

Signo de y Negativa - Positiva 0 Negativa - Positiva


- Candidatos a AV: x = 1 y x = -1. Analizamos los límites para 𝑥 ⟶ 1−, 𝑥 ⟶

1+, 𝑥 ⟶ −1−, 𝑥 ⟶ −1+:

lim𝑥⟶1+

𝑥

𝑥2− 1= [

1

0+] = ∞ lim𝑥⟶1−

𝑥

𝑥2− 1= [

1

0−] = −∞

lim𝑥⟶−1+

𝑥

𝑥2− 1= [

−1

0−] = ∞ lim𝑥⟶−1−

𝑥

𝑥2− 1= [

−1

0+] = −∞

Entonces x = 1 y x = -1 son AV de y.

- Analizamos las asíntotas no verticales para 𝑥 → -∞ y para 𝑥 → +∞: dada la

forma de la función, podemos analizar para |𝑥| → ∞:

lim|𝑥| ⟶ ∞

𝑥

𝑥2 − 1 = lim

|𝑥| ⟶ ∞

𝑥

𝑥2 = 0

Entonces x = 0 es AH de y.



23

II) Obtener información de la primera derivada:


𝑦′ = 1(𝑥2 − 1) − 𝑥(2𝑥)

(𝑥2 − 1)2 =

𝑥2 − 1 − 2𝑥2

(𝑥2 − 1)2 =

−𝑥2 − 1

(𝑥2 − 1)2

- Dominio de y’: (𝑥2 − 1)2 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 ≠ 1 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠

1 𝑦 𝑥 ≠ −1

Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)

- Raíces: y’ = 0 ⟹−𝑥2 − 1

(𝑥2 − 1)2= 0 ⟺ −𝑥2 − 1 = 0 ⟹ (−1)(𝑥2 + 1) = 0

No tiene raíces.


decrecimiento de la función): Intervalos (−∞; −1) -

1 (−1; 1) 1 (1; +∞)

𝑦′(−2) =

−(−2)2

− 1

((−2)2

− 1)2

< 0

𝑦′(0)

−(0)2

− 1

(02 − 1)2

> 0

𝑦′(2) =

−(2)2

− 1

(22 − 1)2

< 0



24

Signo de y’ Negativa - Negativa - Negativa y Decrece - Decrece - Decrece

c) Extremos relativos de la función: no tiene.

III) Obtener información de la segunda derivada:


𝑦" = −2𝑥(𝑥2 − 1)2 − (−𝑥2 − 1)(2(𝑥2 − 1)2𝑥)

(𝑥2 − 1)4

= (𝑥2 − 1)(−2𝑥(𝑥2 − 1) − 4𝑥(−𝑥2 − 1))

(𝑥2 − 1)4

=2𝑥(−(𝑥2 − 1) − 2(−𝑥2 − 1))

(𝑥2 − 1)3=

2𝑥(−𝑥2 + 1 + 2𝑥2 + 2)

(𝑥2 − 1)3

=2𝑥(𝑥2 + 3)

(𝑥2 − 1)3

- Dominio de y”: (𝑥2 − 1)3 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠

1 𝑦 𝑥 ≠ −1



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Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)

- Raíces: 𝑦" = 0 ⟹ 2𝑥(𝑥2+3)

(𝑥2 − 1)3 = 0 ⟺ 2𝑥(𝑥2 + 3) = 0 ⟺ 2𝑥 = 0 ⟹

𝑥 = 0


función): Intervalos (−∞; −1) -

1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +∞)

𝑦"(−2)

=2(−2)((−2)2 + 3)

((−2)2 − 1)3

< 0

𝑦"(−

1

2)

=2(−

12

)((−12

)2 + 3)

((−12

)2 − 1)3

> 0

𝑦"(

1

2)

=2(

12

)((12

)2 + 3)

((12

)2 − 1)3

> 0

𝑦"(2)

=2(2)((2)2 + 3)

((2)2 − 1)3

> 0

Signo de y”

Negativa - Positiva Negativa - Positiva

y Convexa - Cóncava P.I. Convexa - Cóncava

c) Puntos de inflexión de la función:

𝑦(0) = 0

02 − 1= 0



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matemÁtica ii (10026) 09 derivada de una función de una

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