derivada de una funci+æn
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Habilidades
1. Describe con sus palabras el concepto de derivada.
2. Interpreta geométricamente la derivada.3. Define la derivada de una función en un punto.4. Interpreta la derivada como una razón de
cambio.5. Calcular derivadas de funciones polinomiales,
exponenciales de base e y raíces, así como las obtenidas mediante operaciones elementales con estas funciones
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
¿y cuál es esta recta?
Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva.
a x
yy = f(x)
P
Q
x
Pendiente de la recta secante: a-x
afxfmPQ
El problema de la recta tangente
a x
yy = f(x)
P
Q
x
Pendiente de la recta secante: a-x
afxfmPQ
El problema de la recta tangente
h tiende hacia 0, cuando x + h tiende hacia x. Es decir, la pendiente de la recta tangente también se puede calcular como:
Observación:
h
xfhxfm0h
lím
x
y
y = f(x+h)
P
Q
x
y = f(x)
ϴ
h
x+h
Vemos el siguiente ejemplo
Analizar la derivabilidad de la función: en el punto x = 2
2 1xf x
x
y Gr f
2
1
Reglas de derivación
1 cc cxxdxd
x' cfxcfdxd
][
x' gx' fxgxfdxd
x' gx' fxgxfdxd
Si f y g son funciones derivables y c es una constante, entonces:
0c dxd
Reglas de derivación
x' gxfxgx' fxgxfdxd
2xg
x' gxfxgx' fxgxf
dxd
, si 0xg
Derivadas de las funciones trigonométricas
xxdxd cossen xx
dxd sencos
xxdxd 2sectan
xxxdxd cotcsccsc xxx
dxd tansecsec
xxdxd 2csccot
x en radianes
10
EjemplosEncuentre 2' ( ) ( ) 1f x si f x x
)(sen 2xy
Derive:
1003 )1( xy
5 3 3y sen x x
xey cos
11
Ejemplos
3 2 11)()('
xxxfsixf
Encuentre
9
122)()('
t
ttgsitg
Definición:La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como:
si el límite existe. h
afhafa' f0h
lim
1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es derivable en a.2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no es derivable en a.3. La derivada de una función es un límite.4. Para hallar el límite se requiere que la función sea continua en el punto.
Observación:
CONCLUSIONES
Interpretaciones de la derivada Geométrica:
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa a.
)(af
Mecánica:Velocidad de una partícula cuya posición viene dada por y = s(t) en el instante t = a.
v(a)
General:Razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x cuando x = a.
)(af
xafa' f
0Δx
lím