materi sistem linear elektro unsoed
DESCRIPTION
materi untuk matakuliah sistem linear teknik elekteo unsoedTRANSCRIPT
-
1
BAB I SINYAL DAN SISTEM
1.1. Definisi
Sistem dapat didefinisikan sebagai sekumpulan objek yang disusun membentuk
proses dengan tujuan tertentu. Sebagai model matematis yang menghubungkan antara
input dan output, umumnya disebut IO Sistem, seperti tampak dalam gambar 1 dibawah
ini :
gambar 1 Model matematik IO Sistem
Masukan dari lingkungan (environment) ke sistem dan keluaran dari sistem ke
environment disebut sinyal. Sistem yang menghubungkan sinyal input kontinu dengan
sinyal output kontinyu disebut Sistem Waktu Kontinyu dan yang menghubungkan
deretan sinyal input (diskrit) dengan deretan sinyal output disebut Sistem Waktu Diskrit
(SWD), seperti tampak pada gambar 2 dan gambar 3
gambar 2 Sistem Waktu Kontinyu
gambar 3 Sistem Waktu Diskrit
Analisis sistem, periksa apakah sistem tersebut :
x(n)
n SWD
x(n) y(n) n
x(t)
t
SWK
x(t) y(t) t
Input Output Sistem
Sinyal Output Sinyal Input
Environment
yt)=T(x(t))
-
2
Stabil/tidak stabil
Kausal/tidak kausal
Tak ubah waktu/berubah waktu
Linier/non linier
Statis/dinamis
Deterministik/stokastik
Tools Analisis = model matematis
Persamaan linier
Transformasi = jembatan=memindahkan satu kawasan ke kawasan yang lain,
dengan : 1. transformasi fourier
2. transformasi laplace
3. transformasi z
4. transformasi Fourier Diskrit
Bedakan antara waktu kontinyu dengan waktu diskrit dan kawasan frekuensi
kontinyu dengan kawasan frekuensi diskrit
1.1. Sifat dan Klasifikasi sistem
a. Statis dan dinamis
-
3
Sistem statis jika keluaran sistem hanya tergantung pada masukan pada saat itu
(memoryless), sedangkan sistem dinamis jika keluaran sistem mengingat masa
lalu (with memory)
b. Linier
Sistem linier jika memenuhi prinsip superposisi, seperti tampak pada gambar 4
dibawah ini :
gambar 4 Prinsip superposisi
Dan homogenitas :
x1 (t) + x2(t) = y1(t) + y2(t)
c. Pergeseran waktu
Sistem tak ubah waktu (invariant) jika output sistem tidak berubah betuk
walaupun outputnya akan bergeser sejauh pergeseran input.
gambar 5. Sistem tak ubah waktu
Jika y1(t) adalah output dari x1 (t) dan y2 (t) adalah output dari x2 (t) dan x1 (t) =
x1(t-t0) maka y1 (t) = y1 (t-t0) Sistem disebut LTW atau LTI (Linier Time
Invariant) jika linier tak ubah waktu
SWK
y1 (t) x1 (t)
SWK
y2(t) x2 (t)
y1(t) + y2(t) x1(t) SWK
x2(t)
x (t) SWK
SWK x (t-2) y (t-2)
2 1
y (t)
2
1
2 3
-
4
d. Kausalitas
Sistem LTW disebut kausal/non anticipatory bila keluaran pada waktu n=n0
(untuk SWD) hanya bergantung pada harga-harga dari masukan (sebelumnya
dan sekarang), jadi h(n) = 0 untuk n < 0
Respons impuls SWD
gambar 6 Respon Impuls SWD kausal dan non Kausal
Respon impuls SWK
gambar 7. Respons Impuls SWK Kausal dan Non Kausal
Catatan : sistem yang dapat direalisasi harus kausal
e. Stabilitas
Sistem LTW disebut stabil bla setiap masukan terbatas menghasilkan keluaran
terbatasBIBO = Bounded Input Bounded Output
h(n) h(n)
Non Kausal Kausal
Non Kausal Kausal
h(n) h(n)
t t 0 0
-
5
... ... n n
stabil Tidak stabil
)(th
Kondisi yang diperlukan dan cukup (KPC) adalah :
n
nh )( untuk SWD dt
-
6
a. y(n) = ax 2 (n-1)
b. y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)
Periksa sistem di atas.
Jawab.
a. y(n) = ax 2 (n-1)
Linieritas
Jika input x1 (n) maka output y1 (n) = ax1 2 (n-1)
Jika input x2 (n) maka output y2 (n) = ax2 2 (n-1)
Ambil
X(n) = x3 (n) = x1 (n) + x2(n)
Maka :
Y(n) = y3 (n) = a[x(n-1)]2
b. y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)
1.2. Operator p dan q
Suatu operator L input
output = Fungsi Transfer sistem
Untuk SWK L(p) = )(
)(
pD
pN
Persamaan 1 Fungsi Transfer
N = numerator
D = denominator
Dimana p = operator maju
p = operator integral c dt
Untuk SWD L(q) = )(
)(
qD
qN
Dimana q = operator maju
q = operator tunda
q x(n) = x (n-1)
-
7
q x(n) = x (n+1)
Untuk menganalisis suatu sistem maka buat dulu model matematis input-outputnya
Contoh 1.2.1
Model matematis sistem :
L dt
tdi )( +
t
tiC
)(1
d t = v (t)
)()(1
tvtidtC
Rdt
dL
)()(1
tvtipC
RLp
L(p) = C
Cx
p
px
CpRLptv
ti
input
output
/
1
)(
)(
= 1 RCpLCp
pC
Persamaan 2 Model Matematika Sistem
1.3. Diference Equation Model
a. SWK persamaan Diferensial
ntxb
dt
txdbtyaty
dt
da
dt
tyda
dt
tyda am
m
mnn
n
nn
n
n
......1
11
1
1
L R
C i(t)
v(t) +
-
Output sistem = i(t)
Input sistem = v(t)
-
8
Persamaan 3 Model Persamaan diferensial
n = orde persamaan diferensial
n
t
a0
1 = koefisien penyebut = koefisien D(p)
m
t
b0
1 = koefisien pembilang = koefisien N(p)
Umumnya n > m. Ambil p = d/dt maka :
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
n
m
mn
n
n
n
n
apapapa
bpbpbpb
pD
pN
tx
typL
txbpbtyapapapa
1
1
1
1
1
1
1
1
...
...
......
Dimana :
atorsistemoperpL
apbpbpbpN
apapapapD
n
m
m
m
m
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
...
...
Jadi : D(p) y(t)=N(p) x(t)
Solusi ada dua, yaitu komplementer dan partikuler
1. Solusi komplementer (yc(t)) jika input x(t) = 0,
Jadi :
0...0 011
1
apapapatypDn
n
n
nc
Didapat :
n
i
nniic tyAtyAtyAtyAty1
2211 ...
Dimana : y1(t) = en(t)
Yi = akar-akar polynomial D(p)
Ai = konstanta yang dihitung dari kondisi awal
Kemungkinan akar D(p) adalah riil atau kompleks dan simpel atau jamak.
Maka :
i. y1(t) = erit
untuk semua akar riil yang berbeda
ii. y1(t) = ert , te
rt , t
2e
rt , ... , t
m-1e
rt untuk m buah akar riil kembar
-
9
iii. y1(t) = et
cos t ; et sin t untuk akar komplek yang berbeda ini
dari
et
= + j
iv. y1(t) = et
cos t ; et sin t (1)
= tet
cos t ; tet sin t (2)
2. Solusi khusus (particular) jika input sistem ada , x(t) 0
txpLtxpD
pNty
txpNtypD
p
p
Kasus khusus jika input eksponensial maka output juga eksponensial.
Ambil
x(t) = Aest
Maka
yp(t) = L(p) x (t) , p = s
jika input sinudoida maka buat menjadi eksponensial.
Ingat : tjte tj sincos
Jika x(t) = A cos (t) = Re ( A tje )
Maka y(t) = ( L(p) x(t)),p = j
Jika x(t) = A sin (t) = Im ( A tje )
Maka y(t) = ( L(p) x(t)),p = j
Didapat :
Solusi persamaan : solusi komplemeter + solusi particular
y(t) = yc(t) + yp(t)
-
10
1.4. Realisasi Sistem Waktu Kontinyu dan Sistem Waktu Diskret
Syarat sistem dapat direalisasi jika kausal. Dapat direalisasi dalam bentuk :
a. Struktur langsung type I
b. Struktur langsung type II
a. Realisasi untuk Sistem Waktu Diskrit
a. Struktur I untuk SWD-LTW kausal
N
i
N
i
ii inxbinya0 0
Ambil ao = 1
N
i
N
i
ii inxbinyany0 0
NnyanyaNnxbnxbnxb Nn ...1...1 110
Persamaan 4 Struktur I SWD-LTW
gambar 9 Struktur I SWD-LTW Kausal
b. Struktur II untuk SWD
N
oi
N
i
ii inxbinya0
+ + + +
q-1
q-1
q-1
...
...
...
... q
-1
...
... aN-1 aN
bo
b1 BN
Bo
-
11
NnybnybnybNnyanyanya nn ...1...1 1010
NNoNNo qbqbbnxqaqaany ...... 1111
N
oiN
oi
N
No
N
No qb
qaqaqaa
qbqbb
qX
qy
qD
qNqL 11
1
1
1
1
1
1 1
...
...
Persamaan 5 Struktur II SWD
N
oiN
oi
nxqannx
n
qa
qL 111
1
1
1
gambar 10 Struktur II SWD
N
oi
N
oi
N
oi
i inbqbnnyqbn
nyqL
1
1
112
gambar 11 Struktur II SWD
Rangkaian total digabung
L2(q) = L1(q).L2(q)
nnx
nyn
nx
ny
+
q-1
q-1
q-1
y(n) x(n)
y(n) x(n) +
q-1
q-1
q-1
-
12
gambar 12 Rangkaian total
Contoh 1.3.1
SWD dengan y(n)+y(n-1)+5y(n-2)+7y(n-3)=6x(n)+4x(n-1) Buat realisasi type I
dan type II sistem diatas Jawab :
y(n) x(n) +
q-1
q-1
q-1
+
-bo
-b1
-b2
-bN
-a1
-a2
-aN
-
13
1.5. Stabilisasi Sistem Linier
SWK stabil jika bagian riil akar persamaan D(p) adalah negatif. Pada sistem di atas
pole p = -6 dan p = -4 adalah negatif, maka sistem stabil sistem stabil.
Jika Y = + j stabil jika < 0
Bidang p :
gambar 13 Bagian negatif D (p)
1.5.1. Persamaan Diference (untuk SWD)
Bentuk umum sistem LTW
N
i
M
i
ii inxbinya0 0
Persamaan 6 Bentuk umum LTW
Ambil ao = 1
MnxbnxbNnyanyany MN ......1 01
Dengan operator q :
Dimana :
q-1
x(n) = x(n-1) dan q x(n) = x (n+1)
maka :
y(n) (1 + a1 q-1
+ + aN q-N
) = x (n) (b0 + b1 q-1+..+ bM q
-M
L(q) =
qD
qN
nx
ny
Daerah stabil
Im(p)
riil(p)
-
14
N)-q aN 1-q a1 (1
-q bM ..1-q b1 (b0
Jadi : D (q)y(n) = N (q) x(n)
Solusi : y (n) = yc(n) + yp(n)
1.5.2. Solusi komplementer jika deretan masukan = 0
D(q) yc(n) = N (q).0 = 0 , maka D (q) = 0 dengan solusi, yc(n) = rk riil dan
tunggal, dimana rk = akar polynomial D (q) dengan solusi :
1. rk riil dan tunggal yk (n) = rk
2. rk riil dan jamak sejumlah m buah
3. rk kompleks tapi tunggal
4. rk kompleks dan jamak sejumlah m buah
1.5.3. Solusi partikuler jika deretan masukan ada
D(q) y p (n) = N (q) x (n)
y p (n) = )(
)(
qD
qNx(n) = L(q) x (n)
kasus khusus jika input eksponensial, ambil x(n) = A (s) n
Didapatkan : y p (n) =
[L(q) x(n)]q Stabilitas sistem SWD, stabil jika amplitudo akar polinomial D(q)
-
15
a. Continous Time dan Diskrit Time Signals
b. Analog dan Digital Signals
c. Real dan Kompleks Signals
d. Deterministic dan Random Signals
e. Even dan Odd Signals
f. Periodik dan Non periodik Signals
g. Energy dan Power Signals
Adapun Macam-macam sinyal-sinyal Dasar adalah
1. Unit Step Kontinyu u (t)
0,0
0,1
t
ttu
gambar 14 Unit step kontinu u (t)
2. Unit step diskrit u(n)
0,0
0,1
n
nnu
gambar 15 Unit step diskrit u (n)
3. Fungsi segiempat (t)
lainnyat
tt
,0
5.05.0,1
u(t)
1
0 t
u(n)
0 1 2 3 n
(t)
-0.5 0 0.5 t
-
16
gambar 16 Unit fungsi segi empat (t)
4. Fungsi segitiga
tt 1
11 t
gambar 17 Unit fungsi segi tiga
5. Fungsi sinc
tt
ttc
sinsin
gambar 18 Unit fungsi sinc
6. Fungsi impuls delta kontinyu
lainnyat
tt
,0
0,1
gambar 19 impuls delta kontinyu
7. Fungsi impuls diskrit (t)
lainnyan
nn
,0
0,1
(t)
-t 1 t
(t)
1
0 t
(n)
1
0 n
= 0 untuk t = 1, 1, ...
= 1 untuk t = 0
-3 -2 -1 0 1 2 3 t
Sinc(t)
-
17
Operasi Pencerminan, Penskalaan waktu dan pergeseran
1. Sinyal kontinyu f (t)
a
btafbatf
2. sinyal diskrit
a
bnafbaxf
Contoh :
1. Diketahui sinyal kontinyu f(t)
lainnyat
tt
t
tf
,0
20,5.01
01,1
f(t)
1 1-0.5t
-1 0 1 2 t
+ geser kiri, - geser kanan
a = kompressi ax, a 1
1/a = ekspansi ax
pencerminan
-
18
lainnyat
tt
t
tf
,0
10,1
05.0,1
2
220),2(5.01
021,1
2 tt
t
tf
2.
3
1f f(2t) ekspansi 3x
tf
3
1
f(2t)
1 1-t
0.5 0 1 t
a. f(2t) kompressi 2x
,-0.5 t 0
1-t ,0 1 1
= 0 , t lainnya
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 t
1
t6
11
, 0 t 6
1, -3 t 0
-
19
ttf 6
11
3
1
3. f(t-3) geser kanan 3 step
3tf
\
4. f(-t)
tf
5. f(-0.5t)
1 , -1 t-3 0
, -2 t 3
1 0.5(t-3) , 0 t-3 2
2.5 0.5 t , -3 t 5
0 , t lainnya 1 2 3 4 5 t
2.5 0.5t 1
f(t-3)
1 , -1 t 0
, 0 t 1
1 0.5(-t) , 0 -t 2
1+0.25t , -2 t 0
0 , t lainnya -2 0 1 t
1- 0.5t
f(-t)
f(-0.5t)
0 , t lainnya
-
20
tf 5.0
6. f(3-t) = f-(t-3) = f(-t+3_ balik, geser kanan 3
tf 5.0
1.7. Konversi Sinyal Waktu Kontinyu ke Sinyal Waktu Diskrit Sinyal
Konversi sinyal kontinyu ke diskrit dapat digambarkan seperti gambar 21 sebagai
berikut :
1.8. Respon Impuls
Respons impuls adalah respons atau output sistem jika masukannya diberi fungsi
impuls/ delta.
Waktu
kontinyu t
Waktu diskrit
n
Frekuensi
diskrit Frekuensi
kontinyu
sampling
rekonstruksi
sampling
rekonstruksi
Pasangan
diskrit
Pasangan
kontinyu -1 -1
1 , -1 -0.5t 0
, 0 t 2
1 0.5(-0.5t) , 0 -0.5t 2
1+0.25t , -4 t 0
0 , t lainnya -1 0 2 t
1- 0.25t 1
1 , -1 3-t 0
, 3 t 4
1 0.5(3-t) , 0 3-t 2
-0.5+0.5t , 1 t 3
0 , t lainnya 0 1 3 4 t
f(3-t)=f-(t-3)
-0.5+0.5t
1
gambar 20 Hubungan Pasangan Kontinyu dan Pasangan Diskrit
(n)
h(n) SWD
(t)
h(t) SWK
Respons impuls
-
21
gambar 21 Respon Impulse
Sistem sering digambarkan dengan respons impulsnya karena dengan respons
impulsnya dapat dilihat apakah sistem tersebut kausal dan stabil
gambar 22 Respon Impulse (2)
1. Respons Impuls SWD
Contoh :
Diketahui SWD-LTW
y(n) + a1y(n-1) + a2 y(n-2) + ..........+ aN y (n-N) = x(n)
Respon impuls sistem jika x(n) = (n)
Maka y(n) = h(n)
Jadi
h(n) + a1h(n-1) + a2h(n-2) + .........+ a N h(n-N) = (n)
Karena kausal maka h(n) = 0 untuk n < 0
Maka
N = 0 h (0) = (0) = 1 ; h(n-1) =0, h (n-2) = 0 dst
N = 1 h (1) = h (1) + a1 h(0) + 0 + .......+ 0 = (1) = 0
N = 2 h(2) + a1 h(1) + a2 h (0) + .......= (2) = 0
Dst
Ingat solusi perbedaan y(n) = yc (n) + yp(n)
D(q) y(n) = N(q) x (n)
SWD x(n) h(n) y(n)
SWK x(t) h(t) y(t)
-
22
yc(n) D(q) yc (n) = 0 maka D (q) = 0 maka yc (n) =
m
k
n
kk rA1
yp(n) yp(n) = L (q) x (n) dimana q = s untuk x (n) = (s)n tetapi input di sini
bukan eksponensial maka yp(n) = 0
contoh :
y(n)-0,8y(n-1) + 0,15y(n-2) = x(n)
respons impuls
h(n) 0,8h(n-1) + 0,15h(n-2) = (n)
n=0 h(0) 0,8h(-1) + 0,15h(-2) = (0) = 1 h(0) = 1
n=1 h(1) 0,8h(0) + 0,15h(-1) = (1) = 0 h(1) = 0,8
n=2 h(2) 0,8h(1) + 0,15h(0) = (2) = 0 h(2) = 0,8 . 0,8 0,15 = 0,49
Solusi
m
k
nnn
kkc rArArAny1
2211
Dimana
nxqqny 21 15,08,01
3,05,015,08,015,08,01
2
2
2
2
2
21
qq
q
qq
q
q
q
qq
qqL
Jadi
nnc BAny 3,05,0
n = 0 yc(n) = A + B = 1
n = 1 yc(n) = 0,5A + 0,3B = 0,8
A + 0,6B = 1,6
A + B = 1
- 0,9B = 0,6 B = -1,5 dan A = 2,5
Maka
nunhny nn 3,05,15,05,2
-
23
Bagaimana jika inputnya superposisi ?
Karena sistem linier maka outputnya juga superposisi
2. Respons Impuls SWK
Dari pers Diferensial
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
n
n
nn
n
n 011
1
1 ...
txbdt
tdxb
dt
txdb
dt
txdb
m
m
nm
m
n 011
1
1 ...
Persamaan 7 Respon impulse SWK
Dalam operator p
txpNtypDtx
ty
pD
pNpL
Respon impuls y(t) = h(t) jika input x(t) = (t)
Dimana y(t) = h(t) = yk(p) + yp(t) yp(t) = 0
n
i
tr
ic eAtyth0
1
r = akar dari polinomial D(p)
jika input superposisi maka output superposisi prinsip linieritas dengan mencari
terlebih dahulu h(t) untuk satu harga (t)
jadi
ttyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
n
n
nn
n
n 011
1
1 ...
dengan kondisi awal (0) = 0, kalikan kedua sisi dengan dt kemudian diintegrasikan dari
0- hingga 0
+ didapat
-
24
0
0
1
1
1
10
dttdt
ydn
n
Contoh :
txdt
dxy
dt
dy
dt
yd3234
2
2
txppppy 32342
13
32
342
32
pp
p
pp
ppL
ttc BeAety 3
t = 0 yc(t) = A + B = 0
13 BAtdt
tdyc
-2A = 1 A = - dan B =
t
c eety31
2
1
2
1
Input tt eethtx 312
3
2
331
Input tt ee
dt
tdyth
dt
dx 32 3222
Jadi
ththth 21
-
25
tueeth t 5,05,1 3
1.9. Konvolusi
Konvolusi adalah suatu operasi perkalian sekaligus penjumlahan. Dalam kawasan
waktu dapat digunakan untuk mendapatkan respon sistem terhadap masukan bebas. Jadi
merupakan transformasi dari masukan ke keluaran.
1.9.1. Penjumlahan Konvolusi
Teorema
Jika x(n) adalah input suatu SWD-LTW dan y(n) output sistem tsb dimana y(n) =
T [x(n)] maka :
k k
khknxknhkxny
Persamaan 8 Konvolusi
Dimana semua operasi di atas didefinisikan sebagai operator konvolusi * sehingga
k k
khknxknhkxnhnxny *
h(n) = respon impuls
x(n) h(n) y(n)
y(n) = x(n) * h(n)
Sifat :
1. Commutative x(n) * h(n) = h (n) * x(n)
-
26
2. Assosiative x(n) * [y(n) * z(n) ] = [ x(n) * y(n)] * z (n)
3. Distributive untuk operasi penjumlahan
x(n) * [y(n) * z(n) ] = x(n) * y(n) * z(n)
4. Memiliki elemen identity
x(n) * (n)= (n) * x (n) = x(n)
5. Konvolusi dari suatu deretan pulsa sampling tertunda dengan x(n)
x(n) * (n-k) = x (n-k)
Contoh :
gambar 23 Konvolusi x(n) dan h(n)
1.9.2. Integral Konvolusi
Prinsip dan sifatnya sama dengan SWD dimana diganti dengan
xth*txtyx
-
dhtxdtthx
Persamaan 9 Konvolusi Integral
x(n) SWD- LTW
h(n) x(n)
n n
h(n) x(n)
0,5
3 2 1
Dapatkan output sistem y(n) = x(n) * h(n)
x(t) h(t) y(t)
-
27
secara grafis :
Gambarkan x() dan h (t0 - ) dimana h (t0 - ) = h- ( - t0 ) yaitu h() yang
dicerminkan kemudian digeser sejauh t0 kemudian di integralkan
Disini merupakan variabel integrasi, jadi set satu harga t kemudian lakukan
operasi di atas dimana hasil integrasi merupakan luas bawah kurva
Contoh :
Hitung y(t)
Jawab
dthxthtxty *
Set 0 < t < 1
R=1 y(t)
L=1H
x(t)
x(t)
t
1
1
x(t) h(t) y(t)
x(t) h1(t) = e-tu(t) h(-t)
1 t t t
1
1
x()
0 t 1
-
28
dthxthtxty *
t
rt de0
1
t
tt edee0
1
1
0
1 eeee et
t
1.1 e
BAB II ANALISIS FOURIER PADA SINYAL WAKTU KONTINYU
2.1. Pendahuluan
Analisis Fourier, diambil setelah ilmuwan fisika Prancis Jean Baptise Fourier
(1768-1830), memecahkan bahwa hampir seluruh fungsi periodik dapat
direpresentasikan sebagai sinusoidal pada seluruh frekuensi yang terkait. Kerja Fourier
telah membawa dampak yang nyata dalam teori sistem linier khususnya dalam teori
komunikasi. Bukan hanya membuat kita untuk dapat mengerti sinyal periodik melalui
-
29
spektrum frekuensinya tetapi juga dapat mengembangkan pengetahuan dasar pada
sejumlah sinyal periodik melalui transformasi Fourier.
Kontribusi Fourier dapat disimpulkan oleh pernyataan bahwa sinyal yang
digunakan dalam engineering dapat direpresentasikan dalam domain waktu dan
domain frekuensi, lebih dari itu representasinya mempunyai hubungan secara unik
sehingga pengubahan representasi sinyal tersebut dalam satu domain akan mengubah
representasinya dalam domain yang lain.
2.2. Deret Fourier Untuk Sinyal Perodik Sinyal x(t) dikatakan periodik jika memenuhi persamaan dibawah ini untuk
sejumlah nilai T,
x(t + T)=x(t)
Persamaan 10 Deret fourier untuk sinyal periodik
nilai terkecil T yang memenuhi Persamaan 10 diatas disebut sebagai periode sinyal.
Besaran fo=1/T dikatakan frekuensi dasar sinyal (Hertz) dan o=2fo adalah frekuensi
dasar dalam radian perdetik.
Sinusoidal dengan frekuensi nfo, dimana n adalah integer, dikatakan sebagai
harmonik ke n.
2.2.1. Bentuk Trigonometri pada Deret Fourier
Jika x(t) adalah fungsi periodik dengan periode T, hampir dalam setiap kasus dapat
diekspresikan dengan teorema Fourier seperti Persamaan 11 dibawah ini :
1
sincosn
onono tnbtnaatx
Persamaan 11 Teorema fourier
Persamaan 11 tersebut disebut sebagai deret fourier untuk x(t) konstanta ai dan b1
disebut koefisien fourier. Persamaan 2.2 tersebut menunjukkan bahwa sinyal periodik
-
30
gambar 24 Beberapa sinyal periodik yang sering digunakan
x(t) dapat didekati dengan penjumlahan sejumlah sinyal sinusoidal dengan periode
T=2o.
Analisis Fourier pada sinyal waktu kontinyu bertujuan untuk memindahkan sinyal
dari kawasan tertentu ke kawasan frekuensi, yaitu dengan menggunakan Deret Fourier
Waktu Kontinyu (DFWK) untuk sinyal periodik, dan dengan Transformasi
Fourier Waktu Kontinyu (TFWK) untuk sinyal tidak periodik (aperiodik). Deret
x(t) sebagaimana Persamaan 12 dapat juga dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
1
cosn
oono tndatx
Persamaan 12 Deret x (t)
Hubungan koefisien an dan bn terhadap dn dan n dapat ditunjukkan sebagai berikut :
an = dn cos n
bn = dn sin n
Persamaan 13 koefisien an dan bn
Untuk keperluan perhitungan koefisien fourier digunakan sifat dasar ortogonalitas
sinusoidal. Beberapa integral penting yang dapat secara mudah dihasilkan untuk to dan
bilangan bulat n dan m maka :
To
n
t
t
o dttn 0sin (2.5)
Persamaan 14 koefisien fourier 1
To
n
t
t
o dttn 0cos (2.6)
Persamaan 15 koefisien fourier 1I
X(t
)
X(t
) X(t
)
-
31
To
n
t
t
oo dttmtn 0cossin (2.7)
Persamaan 16 koefisien fourier 1II
To
n
t
t
oo
mnjikaT
mnjikadttmtn
2/
0sinsin (2.8)
Persamaan 17 koefisien fourier 1V
To
n
t
t
oo
mnjikaT
mnjikadttmtn
2/
0sinsin (2.9)
Persamaan 18 koefisien V
Kita dapat menggunakan identitas diatas untk mengevaluasi koefisien fourier.
Pertama, kita kalikan kedua sisi dari Persamaan 11 dengan dt dan mengintegralkan
sepanjang satu perioda, misal t0 sampai t0 + t. Dengan menggunakan Persamaan 14 dan
Persamaan 15 maka sisi kanan akan hilang, kecuali a0. Sehingga kita peroleh :
Tt
tdttx
Ta
0
0
10 (2.10)
Persamaan 19 koefisien V
Begitu pula pengalian kedua sisi Persamaan 11 dengan cos n0t dan mengintegralkan
sepanjang satu perioda, akan kita peroleh harmonisa ke-n :
Tt
tn dttntx
Ta
0
00cos
2 (2.11)
Persamaan 20 Harmonisa an dan bn
Tt
tn dttntx
Tb
0
00sin
2 (2.12)
Persamaan 21 armonisa an dan bn (2)
2.2.2. Deret Fourier Waktu Kontinyu Bentuk Eksponensial
-
32
Bentuk eksponensial dari deret Fourier didasarkan pada identitas Euler,yang
dapat ditulis sebagai berikut :
2
cos00
0
tjntjnee
tn
(2.13)
Persamaan 22 Identitas euler
j
eetn
tjntjn
2sin
00
0
(2.14)
Persamaan 23 Identitas euler (2)
Persamaan diatas kita substitusikan ke dalam Persamaan 11, kita peroleh :
1
000 sincosn
nn tnbtnaatx
1
022
0000
n
tjntjn
n
tjntjn
nj
eeb
eeaa
1
000
22n
tjnnntjnnn ejba
ejba
a (2.15)
Persamaan 24 Identitas euler (3)
Selanjutnya dapat lebih disederhanakan dengan substitusi dibawah ini :
00 ac
2
nnn
jbac
2
nn
n
jbac
Sehingga :
n
tjn
necatx0
0 (2.16)
Persamaan 25 Identitas euler (3)
-
33
Demikian juga, dengan mensubtitusi integral an dan bn dari Persamaan 20 dan
Persamaan 21, kita peroleh :
Tt
t
tjn
n dtetxT
c0
0
01
(2.17)
Persamaan 26 Transformasi fourier
Persamaan 25 dan Persamaan 26 diatas mendifinisikan deret fourier bentuk
eksponensial yang mana Persamaan 26 merupakan persamaan analisis untuk
menganalisa persamaan bentuk periodik ke dalam komponen fourier. Sedangkan
Persamaan 25 dikatakan sebagai persamaan sintesis yang dapat digunakan mensintesa
bentuk gelombang dari komponen Fourier.
Hubugan antara koefisien fourier bentuk trigonometri dengan bentuk
eksponensial ditunjukkan sebagai berikut :
nj
nnn cedjban 2 (2.18)
Persamaan 27 Koefisien fourier
Contoh 2.2
Kita perhatikan gelombang bentuk persegi seperti pada contoh 3-1, misalnya lebar pulsa
1 tinggi A1 dan periode T, maka :
Tt
t
T
Ttjn
T
T
tjn
T
T
tjntjn
n dtedtedtAeT
dtetxT
c0
0
0000
2
22
2
.0.011
2
2
01
A
A
tjndtAe
T
j
e
j
e
Tn
Ae
Tjn
AtjntjnA
A
tjn
22
2 000
0
2
20
-
34
2sin
2
sin 0
0
0 ncT
A
n
n
T
A
Untuk n=0 dengan L1 Hopital diperoleh
T
Ac
0 , sehingga :
z
n
tjne
nc
T
A
T
Atx
1
0 0
2sin (2.19)
Persamaan 28 Fungsi L Hospital
2.2.3. Pengaruh Simetri
Sebuah sinyal periodik dikatakan fungsi genap jika memenuhi persamaan :
x(t) = x(-t) (2.20)
Persamaan 29 Fungsi genap
dan dikatakan fungsi ganjil jika :
x(t) = -x(-t) (2.21)
Persamaan 30 Fungsi ganjil
Persamaan 29 dan Persamaan 30 diatas menunjukkan bahwa fungsi genap adalah
simetri pada sumbu vertikal pada t=0, dan fungsi ganjil adalah antisimetri terhadap
sumbu vertikal. Beberapa contoh fungsi genap dan ganjil ditunjukkan pada gambar 25
Dengan demikian bahwa sin n0t adalah ganjil dan cos n0t adalah genap untuk
seluruh nilai n. Hasil dari penjumlahan dari beberapa fungsi ganjil adalah fungsi ganjil,
dan hasil dari penjumlahan sejumlah fungsi genap adalah fungsi genap. Sehingga Deret
Fourier untuk fungsi periodik ganjil dapat berisi hanya sinus dan konstanta. Sama
halnya, deret fourier untuk fungsi periodik genap dapat berisi hanya cosinus dan
konstanta. Konstanta akan bernilai nol jika daerah dibawah setengah siklus positif sama
dengan daerah dibawahsetengah siklus negatif. Jika kita menggunakan bentuk
eksponensial, koefisien yang muncul adalah majiner untuk fungsi ganjil dan real untuk
fungsi genap.
(a) (b) (c)
-
35
gambar 25 Contoh fungsi genap dan ganjil (a) fungsi genap (b) fungsi ganjil (c) fungsi genap
Dari keterangan diatas dapat kita pahami bahwa, jika sebuah sinyal periodik
mempunyai simetri ganjil atau genap, maka pengintegralan dapat dilakukan hanya
setengah periode, oleh karena setengah periode yang lainnya identik. Dengan
mengalikan hasil integral setengah periode tersebut dengan 2, akan diperoleh hasil akhir
integral lengkap.
Sebuah fungsi periodik dikatakan mempunyai simetri setengah gelombang jika :
txT
tx
2
Persamaan 31 Simetri setengah gelombang
Jenis simetri ini dapat divisualisasikan dengan catatan bahwa, jika bagian setengah
gelombang negatif dari gelombang digeser sepanjang setengah periode maka akan
merupakan cermin (bayangan) dari bagian setengah-gelombang positif terhadap sumbu
waktu t.
Beberapa bentuk gelombang yang mempunyai simetri setengah gelombang
ditunjukkan dengan gambar 26
gambar 26 Contoh bentuk gelombang dengan setengah-gelombang
2.2.4. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Kontinyu
x(t)
t
x(t)
t
-
36
Dengan memahami sifat-sifat deret fourier, maka akan mempermudah dalam
menentukan deret fourier dari beberapa fungsi periodik. Untuk itu kita akan memulai
dengan operasi penurunan (deferensial) dan pengintegralan.
2.2.4.1. Diferensial dan Integrasi Sinyal Periodik
Jika deret fourier untuk sinyal periodik diketahui, maka deferensial atau integral
sinyal tersebut dapat diketahui jika penurunan atau mengintegralkan tiap-tiap bagian
dari deret tersebut. Lebih jelasnya, jika penurunan deret kedua sisi deret fourier
komplek yang diberikan persamaan 2.16 akan diperoleh :
n
ttjn
n
tjn
n ectjnecdt
d
dt
dx00 ..0 (2.23)
Persamaan 32 Differensial dan integrasi sinyal periodik
Dari Persamaan 32 dapat kita lihat bahwa pengaruh diferensial adalah pengalian
koefisien fourier dengan jn0. Dengan kata lain, jika koefisien deret fourier komplek
diberikan oleh jn0 cn. Ini menunjukkan bahwa pengaruh penurunan akan menaikkan
magnituda ke harmoni yang lebih tinggi.
Demikian halnya integrasi adalah kebalikan turunan. Pengaruh integrasi akan
membagi koefisien bentuk komplek pada deret fourier oleh jn0. Sehingga, integrasi
mempunyai pengaruh pengurangan magnituda pada harmonik yang lebih tinggi dari
sinyal tersebut. Dalam integrasi ini harus dihitung juga konstanta integrasi. Hal ini dapat
diperoleh secara sederhana, komponen dc dari integrasi diperoleh dari daerah dibawah
satu putaran penuh fungsi itu.
2.2.4.2. Pengaruh Pergeseran waktu pada bentuk gelombang
Diberikan sebuah sinyal x(t) dengan deret Fouriernya adalah :
n
tjn
n ectx0. (2.24)
Persamaan 33 Deret fourier
-
37
Misalkan kita definisikan sinyal lainnya y(t), yang mempunyai korelasi dengan x(t)
sebagai berikut :
y(t) = x(t-) (2.25)
Persamaan 34 Deret fourier (2)
Sinyal x(t) dan y(t) ditunjukan dalam gambar 2-6. Menunjukkan bahwa
keterlambatan tersebut dapat diperoleh dari transformasi sederhana dengan mengubah
variable t menjadi (t-). Konskuensinya, deret fourier untu y(t) akan diperoleh dengan
penggantian t menjadi (t-) kedalam persamaan 2.24, sehingga diperoleh :
n
tjn
n ectx0. (2.26)
Persamaan 35 Deret fourier (3)
Koefisien Fourier untuk fungsi yang telah digeser, n diperoleh :
n = c.e-jn0
(2.27)
Persamaan 36 Koefisien fourier
Ini menunjukkan bahwa dua koefisien Fourier tersebut adalah bilangan kompplek
dengan amplituda sama, akan tetapi argumen berbeda :
gambar 27. Pergeseran sepanjang sumbu waktu
Didepan telah kita singgung bahwa hampir setiap kasus sebuah fungsi periodik
dapat diekspresikan dalam bentuk deret fourier. Hal ini benar untuk hampir seluruh
x(t)
t
t
y(t)
-
38
sinyal yang digunakan dalam masalah engineering, tetapi perlu sekali mengetahui
kondisi yang diperlukan agar deret konvergen untuk fungsi yang diberikan. Kondisi
ini dikatakan Dirichlet Condition. Jika sebuah fungsi memenuhi kondisi ini maka
deret fourier dengan nilai tak terhingga (infinite), dijamin konvergen untuk
seluruh nilai t, dengan pengecualian pada titik diskontinyu sinyal. Kondisi tersebut
adalah seperti dibawah ini :
1. Fungsi tersebut dapat diintegralkan secara mutlak (absolutly integrable) sepanjang
beberapa periode, sehingga :
Tt
tdttx
0
0
(2.28)
Persamaan 37 absolutly integrable
2. Fungsi harus mempunyai nilai maksima dam minima terbatas (finite) sepanjang
perioda penuh.
3. Fungsi harus mempunyai jumlah diskontinuitas terbatas sepanjang perioda penuh.
Dalam kenyataannya, dapat dibuktikan bahwa jika suatu fungsi memenuhi ketiga
kondisi tersebut, maka deret Fourier Truncuted akan merupakan pendekatan terbaik
untuk sinyal aslinya, dibandingkan dengan beberapa fungsi harmonik lainnya.
2.3. Sistem Dengan Input Periodik
2.3.1. Respon Steady-State Terhadap Input Sinusoidal
Dalam Bab I kita telah membahas solusi particular persamaan diferensial linier
untuk fungsi sinusoidal yang mana telah diperoleh sangat sesuai menggunakan aljabar
komplek. Sebagaimana hal ini, dasar pendekatan adalah identik dan didasarkan pada
penggantian operator p dengan j, dimana adalah frekuensi sinusoidal dalam radian
perdetik.
Diberikan sebuah sistem linier yang dijelaskan oleh persamaan diferensial dibawah
ini, ditulis dalam notasi operator :
tupNtypD (2.29)
Persamaan 38 Persamaan differensial
-
39
Dimana D(p) dan N(p) adalah polinomial adalah operator diferensial p. Kita akan
meninjau kasus khusus dimana fungsi input u(t) adalah sinusoidal, diberikan oleh :
tAtu cos (2.30)
Persamaan 39 Fungsi input sinusiodal
Misalkan dengan identitas Euler kita tulis sebagai berikut :
tjtj eUeUtAtu cos (2.31)
Persamaan 40 Identias euler
Dimana :
jAeU 5.0 (2.32)
Persamaan 41 Identitas euler
Dan
jAeU 5.0 (2.33)
Persamaan 42 Identitas euler
Catatan bahwa secara umum U dan U adalah bilangan komplek dan konjugatnya U
dikatakan sebagai phasor yang merepresentasikan sinusoidal, yang mana berisi
informasi mengenai magnituda dan phase sinusoidal tersebut.
Dalam bab terdahulu, komponen steady-state akan diperoleh dengan menggunakan
superposisi :
tj
jp
tj
jp UepD
pNUe
pD
pNty
(2.34)
Persamaan 43 Komponen steady state
Jika sekarang kita mendefinisikan :
-
40
jjp Me
pD
pNty (2.35)
Persamaan 44 Komponen steady state (2)
Dimana M adalah modulus pada bilangan komplek dan adalah argument, kita
dapat menuliskan persamaan diatas :
tjtj eYeYty (2.36)
Persamaan 45 Komponen steady state (2)
Dimana bilangan komplek
jj MAeUMetY (2.37)
Persamaan 46 Komponen steady state (2)
Dan Y konjugat komplek
Dengan mensubtitusikan Y dan Y kedalam persamaan (2.36) diatas, kita peroleh
solusi steady-state :
tMAtyss cos2 (2.38)
Persamaan 47 Komponen steady state (3)
Contoh 2-3 :
Rangkaian listrik seperti gambar dibawah dengan masukan sistem sebagai berikut :
36cos8
43cos2010
tttx (2.39)
Persamaan 48 Komponen steady state (4)
Kita akan menghitung keluaran sistem stedy-state yss
gambar 28 Rangkaian RLC 2 Loop
Rangkaian tersebut jika nyatakan dalam operator p :
1 Mohm 1 Mohm
1 F 1 F x(t)
-
41
,133 txtyPP maka
13
13
PPtx
typL
Dalam kasus ini, input terdiri atas tiga komponen, dengan frekuensi0, 3, dan 6
radian. Oleh karena itu kita akan mengevaluasi sistem dalam frekuensi tersebut dan
kemudian mengalikan nilainya secara berurutan dengan phasor input untuk memperoleh
phasor output yang sesuai.
113
103
jP
PP
2297433 8305.013
1 jjP e
PP
26665863 0254.013
1 jjP e
PP
Akhirnya tegangan keluaran steady-state diberikan oleh :
66658.2
36cos0203.02974.2
43cos609.16102
ttv (2.40)
Persamaan 49 Tegangan keluaran steady state
2.4. Spektrum Sinyal Periodik
Pada umumnya, fungsi periodik terdiri fungsi sinusoidal dasar dan sejumlah
harmoniknya (secara teori tak terhingga). Jenis fungsi bergantung pada perubahan nilai
pada tiap-tiap harmonik. Jika kita menggunakan bentuk eksponensial untuk deret
Fourier, maka cnt yang secara umum adalah bilangan komplek,mengandung informasi
tentang magnituda dan phase tiap-tiap komponen gelombang. Jika cnt magnituda cn
diplot terhadap n0t kita akan memperoleh spektrum frekuensi magnituda fungsi
periodik tersebut. Dengan jalan yang sama kita dapat memplot spektrum frekuensi dari
phase cn. Dalam penggunaan yang umum, spektrum dari magnituda dikatakan sebagai
spektrum frekuensi, mungkin karena tidak berubah terhadap pergeseran waktu, dimana
spektrum dari phasa berubah terhadap pergeseran sepanjang sumbu waktu.
2.5. Daya Rata-Rata Sinyal Periodik
Berdasarkan Parseval pendekatan teorema, daya ratarata sinyal periodik adalah :
-
42
tjn
n
nectx
)(
Tt
tdttx
TP
0
0
21 (2.41)
Persamaan 50 Daya rata-rata sinyal periodik
Dimana T adalah perioda sinyal. Dapat ditunjukkan bahwa kuantitas P akan
merepresentasikan daya rata-rata sebenarnya yang dikirim kedalam resistor 1 ohm jika
x(t) adalah arus yang mengalirinya atau tegangannya.
Sifat ortogonalitas antar harmonik dalam deret Fourier, sebagaimana ditunjukkan
dalam bantuan Persamaan 10 dan Persamaan 11, bahwa : memungkinkan utuk
menghitung daya rata-rata dalam komponen koefisien Fourier tanpa harus mengerjakan
integrasi seperti yang diberikan dalam persamaan (2.41).
Hal ini dapat ditunjukkan dengan mudah, melalui bantuan Persamaan 10 dan
Persamaan 11, bahwa :
Tt
tn
ncdttxT
P0
0
221 (2.42)
Persamaan 51 Daya rata-rata sinyal periodik (2)
Dimana cn adalah koefisien deret Fourier komplek. Persamaan diatas juga mungkin
diekspresikan dalam bentuk koefisien deret Fourier trigonometri, sehingga :
n
nnbaaP
222
02
1 (2.43)
Persamaan 52 Koefisien deret fourier trigonometri
2.6. Transformasi Fourier
Pada bahasan 2.4 telah dijelaskan bahwa spectrum frekuensi pada sinyal periodik
adalah diskret dan dapat diperoleh dengan deret Fourier. Dengan pendekatan bentuk
eksponensial, dimana nilai spektralnya adalah diskret terhadap frekuensi, cn = f()
dengan n nilai integer.
-
43
dttx )(
tt
t
tjn
n etxT
c
0
0
)(1
Sekarang kita akan membahas konsep spektrum frekuensi dari sinyal aperiodik. Hal
ini sangat penting karena hamper setiap saat kita dihadapkan pada sinyal yang tidak
periodik. Untuk keperluan ini digunakan Transformasi Fourier. Untuk mempelajari
masalah ini kita gunakan pendekatan pengaruh kenaikan periode pada sinyal. Dalam
batas tertentu, ketika periode mendekati tak terhingga, kita akan memperole sinyal
aperiodik.
Dengan kata lain sebuah sinyal aperodik dapat dianggap sebagai sinyal periodik
dengan perode tak terhingga.
0 = T
2 0 untuk T
Sehingga d untuk sinyal periodik sangat kecil.
Konsekuensinya, spectrum diskret untuk fungsi perodk akan digantikan dengan
spectrum kontinyu untuk fungsi aperiodik.
dextx tj)(2
1)(
(2.47)
Persamaan 53 Integral spectrum discret
dtetxx tjn
)()( (2.48)
Persamaan 54 Integral spectrum kontinou
Dimana spectrum frekuensi x() adalah transformasi Fourier dari x(t) dan x(t)
adalah invers transformasi Fourier dan x().
Sebagaimana pada deret Fourier, fungsi x(t) harus memenuhi Diriclet Condition
agar transformasi Fourier ada. Kondisi ini menjamin bahwa integral yang didefinisikan
dalam persamaan 2.38 akan konvergen. Kondisi tersebut adalah
1. x(t) harus absolutely integrable, yaitu:
-
44
(2.49)
Persamaan 55 absolutely integrable
2. X(t) harus mempunyai jumlah maxima dan minima terhingga dalam interval
waktu terbatas
3. x(t) harus mempunyai jumlah diskontinyu terhinga dalam sejumlah interval dan
tiap-tiap diskontinyu terhingga
2.6.1. Beberapa Pasangan Transformasi Fourier
Dalam bahasan ini kita akan memberikan contoh mencarimencari tranformasi
Fourier untuk beberapa fungsi aperiodik, kemudian diikuti pencarian invers
transformasi Fouriernya.
2.6.2. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
Dengan mengenal sifat-sifat transformasi Fourier akan mebuat kita mengerti
hubungan representasi sinyal pada kawasan waktu dan kawasan frekuensi. Selain itu
juga akan membantu kita memperoleh transformasi Fourier dengan lebih mudah.
Dalam hal ini kita sepkati bahwa :
X() = F [x(t)] menunjukkkan bahwa X() adalah transformasi Fourier dari x(t)
X(t) = F -1
[X()] x(t) adalah transformasi Fourier dari X ()
2.6.2.1. Linieritas
Sifat linieritas ditunjukkan :
X1 () = F [x1(t)] dan
X2 () = F [x2(t)]
Maka
F[a1x1(t) + a2x2(t)] = [a1X1() + a2 X2()]
-
45
Persamaan 56 Sifat linieritas
2.6.2.2. Dualitas
Dalam bahasan terdahulu, bahwa transformasi Fourier dari pulsa segiempat dalah
fungsi sinc , dan transformasi fungsi sinc adalah pulsa segiempat. Demikian juga
transformasi suatu konstanta adalah impuls dan impuls adalah suatu konstanta.
Hubungan dualitas transformasi Fourier ditunjukan sbb :
Jika
X () = F [x(t)] maka F [X(t)] = 2 x (-)
Persamaan 57 Prinsip dualitas
2.6.2.3. Turunan Dan Integral Dalam Kawasan Waktu
Seringali kita perlu menentukan transformasi Fourier untuk fungsi waktu dengan
memperolehnya dari fungsi waktu yang lain yang telah diketahui transformasi
Fouriernya. Persamaan berikut dapat membantu kita untuk keperluan ini.
Jika X () = F [x(t)] maka F [px(t)] = j x ()
Dan
)()0()(1
)(1
XjX
jtx
pF
Persamaan 58 Turunan dan itegral dalam kawasan waktu
2.6.2.4. Penskalaan Waktu Dan Frekuensi
aX
aatmakaFxtxFJikaX
1)()()(
Persamaan 59 Penskalaan waktu dan frekuensi
Dimana a adalah konstanta real
2.6.2.5. Pergeseran Waktu
Theorema :
)()()0()()( 0 XeatttmakaFtxFJikaX tj
Persamaan 60 Pergeseran waktu
-
46
2.6.2.6. Pergeseran Frekuensi
Theorema :
)()()()( txeFatomakaXtxFJikaX otj
Persamaan 61 Pergeseran frekuensi
2.6.2.7. Turunan Dan Integral Dalam Kawasan Frekuensi
Theorema :
)()(:)()( tjtxFd
dXmakatxFJikaX
Persamaan 62 Turunaan dan integral dalam kawasan frekuensi
2.6.3. Konvolusi
2.6.3.1. Konvolusi Dalam Kawasan Waktu
Teorema :
Misalkan:
X () = F [x(t)] , H()= F[h(t), dan jika Y () = F [y(t)]
dimana x(t), h(t), dan y(t) dihubungkan oleh integral konvolusi sbb :
dthxty )()()(
)()()( XHY
Persamaan 63 Konvolusi dalam kawasan waktu
2.6.3.2. Konvolusi Dalam Kawasan Frekuensi
Teorema:
Misalkan :
X () = F [x(t)] dan Y () = F [y(t)] maka :
duuyuXtytxF )()(2
1)()(
Persamaan 64 Konvolusi dalam kawasan frekuensi
2.6.4. Transformasi Fourier Pada Fungsi Periodik
-
47
2.6.4.1. Transformasi Fourier Pada Suatu Konstanta
Pada contoh 2.8 telah ditunjukkan bahwa invers transformasi Fourier untuk fungsi
impuls unit () adalah satu konstanta 1/2 leh karena itu, transformsi Fourier suatu
konstanta adalah 2 A ()
2.6.4.2. Transformasi Fourier Pada Sinusoidal
Transformasi Fourier untuk sinusoidal dapat ditentukan dari pernyataan bentuk
eksponensial kompleks sebagai berikut:
2
cosotjnotjn ee
otn
j
eeot
otjnotjn
2sin
Persamaan 65 Eksponensial kompleks
Konsekuensinya, untuk mengevaluasi transformasi fungsi tersebut, pertama kali
kita harus memperolehtransformsi fourier pada fungsi eksponensial. Kita dapat
mengerjakannya dengan mencari invers transformasi fourier untuk fungsi impuls (-
0).
otjtj edeotx
2
1)(
2
1)(
oeF otj 2
)]()(cos ootF
)()(sin oojtF
-
48
Hasil ini membrkan kita suatu pendekatan lain untuk menjelaskna modulasi.
Perkalian sinyal pemodulasi dengan pembawa sinusoidal sama dengan konvolusi dalam
kawasan frekuensi.
Tabel 1 Pasangan Transformasi Fourier
X(t) X() Keterangan
1. A(t-to) tojAe Impuls pada t=to
2. A 2A() Fungsi step
3. A(t)
)(
1
jA Hanya benar untuk a>0
4. A e at
(t) ja
A Hanya benar untuk a>0
5. A e at
2)(
22 ja
Aa Hanya benar untuk a>0
6. A e at
cos o t (t) 2)(
)(
ja
jaA Hanya benar untuk a>0
7. A e at
sin o t (t) 2)(
ja
oA Hanya benar untuk a>0
8. A t e at
(t) 2)( ja
A Hanya benar untuk a>0
9. A e jt
)(2 oA
10. A cos o t )()( ooA
11. A sin o t )()( oojA
-
49
12. A PT (t)
2sin
TcAT
Pulsa segi empat dengan
tinggi A, -T/2
-
50
2.7. Energi Sinyal
Kandungan energi sinyal didefinisikan sebagai :
dttxE )(2
Persamaan 66 Energi signal
Integral di atas merepresentasikan energi total yang akan didisipasikan dalam
hambatan satu ohm dengan arus x(t) yang melaluinya atau tegangan x(t).
Hanya daya dari sinyal perodik yang dapat diperoleh dari koefisien deret fourier,
sekarang kita akan menunjukkan bahwa energi sinyal aperiodik dapat diperoleh dari
transformasi fourier.
Dengan menggunakan invers transformasi fourier, kita dapat menuliskan
persamaan sebagai berikut :
dtdextxE tj)(
2
1)(2
ddtetxX tj)()(2
1
dXX )()(2
1
Persamaan 67 Inverse transformasi fourier
Dimana x(t) adalah fungsi waktu nyata, X (-)=X*(). Sehingga kita peroleh
dttxE )(2 =
dX 2)]([2
1
Persamaan ini merepresentasikan bentuk yang dihasilkan dari teorema Parseval untuk
fungsi waktu nyata aperiodik dengan energi terbatas Fungsi [X()]2 diketahui sebagai
energy spectral density function pada sinyal x(t) yang menunjukkan distribusi energi
total pada sinyal tersebut.
-
51
BAB III ANALISIS FOURIER UNTUK SINYAL WAKTU DISKRIT
Dalam bab 2 kita telah mempelajari bagaimana sinyal kontinyu waktu berulang
dapat digambarkan sebagai sebuah superposisi sinusoida dalam bentuk sebuah fourier
deret. Dalam bab ini kita akan mengulangi kembali waktu diskrit dalam teori yang
dipelajari dalam bab sebelumnya. Dalam bagian berikutnya kita akan memulai dengan
gambaran deret fourier dari sinyal waktu diskrit kontinyu. Ini akan diikuti dengan
sebuah pengkajian dari Transformasi fourier waktu diskrit (TFWD), dan perulangan
spektrum frekuensi dan sinyal-inyal waktu diskrit periodik.
3.1. Deret Fourier Untuk Sinyal-Sinyal Waktu Diskrit Berulang
Dalam bab 2, sebuah sinyal SWD x(n) didefinisikan periodik jika beberapa integer
postif N, sinyal tersebut memenuhi persamaan :
X(n)= x(n+N
Persamaan 68 Deret fourier sinyal waktu diskrit
Nilai terkecil N sehingga pers. 3.1 tsb dinamakan perioda sinyal. Juga telah
ditunjukan dalam bab 2 hanya untuk kasus sinyal waktu persamaan berulang yang
paling sederhana berbentuk :
X(n) = a n cos (2n/N)
-
52
X(n) = b n sin (2n/N)
Kita mendefinisikan frekuensi sudut sinyal-sinyal berulang waktu diskrit sbg :
= 2/N
Dengan satuan radian. Untuk sinyal-sinyal kontinyu frekuensi sudut dilambangkan
mempunyai satuan radian per detik. Frekuensi sudut tidak dapat dipenuhi oleh
sembarang nilai. Tetapi untuk fungsi berulang kontinyu waktu tidak ada batasan nilai
untuk .
Jadi dapat disimpulkan :
Cos ( + 2 k)n = cos n
Dimana k adalah sembarang integer. Ini menunjukkan bahwa persamaan sinusoida
yang identik dihasilkan untuk ferkuensi yang dipisah pada jarak 2 . Sebagai
konsekuensi dari hasil ini adalah bahwa hanya nilai-nilai terbatas dari harmonisa-
harmonisa bebas sinyal tersebut.
Dalam kasus sinyal waktu diskrit kita boleh menggunakan bentuk trigonometri :
o= 2/N Berdasar cos (kon) mempunyai harmonisa-harmonisa sbb:
cos (Non) = cos (2n) = cos (0on)
cos ([N+1]on) = cos (on)
cos ([N+2]on) = cos (2on)
cos ([N+k]on) = cos (Non
Persamaan 69 Nilai harmonisa
Hubungan yang serupa dengan mudah dikembangkan untuk harmonisa-harmonisa
dari bentuk sin ([N+k]on)
-
53
3.2. Pernyataan Deret Fourier
Didasarkan pada hubungan :
122
kj
N
N
kjNojk eee
Dimana k adalah sembarang integer untuk penyeragaman notasi, maka unit satuan
akar ke N dinotasikan sbb :
ojN
j
N eeW
2
Satu set sinyal kompleks waktu diskrit yang brulang dengan periode N diberikan
oleh persamaan :
N
kj
k
N ew
2
semua dari sinyal sinyal ini mempunyai frekuensi yang merupakan
kelipatan dari frekuensi dasar W N dan dinamakan harmonisa. Lebih lanjut frekuensi-
frekuensi ini memenuhi hubungan orthogonalitas :
0
1
)1()(
i
N
N
N
i
Nk
Nw
www
Dimana i sembarang integer.
Kita jabarkan sembarang sinyal berulang waktu diskrit dengan periode N dalam
bentuk deret Fourier, sbb :
1
0
2,1,0,)(N
k
kn
Nk nwanx
-
54
Dimana,
.1,.....,2,1,0,)(1
NkwnxN
a knNk
Yang paling penting untuk diingat bahwa deret Fourier sinyal waktu diskrit adalah
sebuah penjumlahan nilai-nilai yang jumlahnya terbatas, seperti yang ditunjukkan pada
pers. 3.13, dimana ini berbeda sekali deret Fourier untuk sinyal-sinyal kontinyu waktu
yang terdiri dari nilai-nilai yang jumlahnya tak terbatas. Terdapat komponen dc dan
komponen pokok frekuensi yang besarnya 2/N. Harmonisa-harmonisa frekuensi yang
besarnya 2k/N, dimana k=2,3,4,N-1. Penting juga dicatat bahwa hanya komponen-
komponen N dari deret yang harus dievaluasi.
3.3. Pembuktian Persamaan Deret Fourier
Persamaan 3.13 dan 3.14 adalah merupakan pernyataan deret Fourier untuk waktu
diskrit.
Contoh 3.1
Cari koefisisen Fourier waktu diskrit gelombang kotak seperti diperlihatkan dalam
gb 3.4 untuk N=8
3.4. Respon Tunak Terhadap Masukan Periodik
Respon tunak dari sistem waktu diskrit stabil terhadap masukan periodik dapat
ditentukan cara yang sama seperti cara-cara yang digunakan untuk sistem waktu
kontinyu.
Contoh 3.2
Tentukan output tunak (steady state) dari sistem, bila sistem mempunyai persamaan
sistem dan persamaan masukan periodik dengan perioda 10.
Persamaan sistem diskrit :
Y(n+2)-0.7y(n+1)+0.1y(n)=u(n+1)+2u(n)
Persamaan 70 Sistem diskrit
Persamaan masukan periodik diberikan oleh : U(n)= 20 e 102 nj
-
55
3.5. Transformasi Fourier Waktu Diskrit
Di bab ini kita akan membahas penerapan deret Fourier untuk sinyal-sinyal waktu
diskrit tidak periodik. Ini akan diselesaikan dengan cara yang digunakan untuk
menyelesaikan kasus waktu kontinyu.
Tinjau x(n) yang merupakan deret Fourieryang merupakan sinyal waktu diskrit
yang bernilai nol untuk range 0N, kita dapat menyatakan persamaan 3.29 dalam
bentuk x(n) seperti di bawah ini :
1
)(1 N
on
onjk
k enxN
a
Persamaan 71 Deret fourier sinyal waktu diskrit
Akhirnya karena x(n) adalah tidak nol untuk 0
-
56
Marilah sekarang kita menguji pengaruh yang ditimbulkan dengan penambahan N.
Dari definisi x(n), x(n) akan mendekati x(n) untuk nilai N yang meningkat terus.
Kita akan menguji pengaruh yang ditimbulkan dengan penambahan N
)()(~lim nxnxN
Bila N menuju ke nilai tak hingga, maka N
o
2
0. untuk menentukan spectrum
kontinu kita menentukan dulu persamaan selimut dari spectrum diskrit persamaan tsb
adalah :
nj
n
k enxNaX
)()(
Persamaan 72 Persamaan selimut spektruk diskrit
dimana mengganti k o dan ak diberikan oleh persamaan :
)(1
XN
ak
Sekarang kita dapat menulis persamaan dalam bentuk X() untuk menghasilkan :
N
n
onjkeokXN
nx0
.)(1
)(~
Persamaan 73 Deret fourier sinyal waktu diskrit
Bila N dari persamaan 3.32 disubstitusikan kita dapat menulis Persamaan 73 menjadi
N
n
onjkeokXo
nx0
)(2
)(~
Persamaan 74 Deret fourier sinyal waktu diskrit
Karena N , o0 untuk )(~ nx x(n) nilai terbatas dari n. Konsekuensinya adalah
pemisahan diantara komponen-komponen frekuensi akan mengubah o menjadi d dan
pers 3.37 menjadi
2
0)(
2
1)( deXnx onjk
Persamaan 3.34 dan 3.38 mendefinisikan Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)
dan Transformasi Fourier Waktu Diskrit Invers(TFWDI)
-
57
)2(2)( koX
Contoh 3.4
Cari persamaan transformasi Fourier waktu diskrit X() dari sinyal pulsa kotak berikut
ini:
11,1 ,0)( NnNuntuk ainuntukyanglnx
3.2 Fourier Waktu Diskrit Sinyal-Sinyal Periodik
Seperti halnya kasus untuk waktu kontinyu, masukan eksponensial akan mengalami
pergeseran frekuensi, yang mana untuk masukan sinyal yang berbentuk sinusoida
diubah dulu ke dalam bentuk eksponensial.
Eksponensial kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk :
onjAenx )(
Persamaan 75 Eksponensial kompleks
Transformasi fouriernya diberikan oleh :
Persamaan 76 Transformasi fourier
Sekarang kita akan mencari TFWD untuk fungsi periodik cosinus dan sinus. Untuk
cosinus kita mempunyai persamaan :
)(2
cos)( )onjonj eeA
onAnx
Persamaan 77 Fungsi periodik sinus
Dengan memanfatkan hasil yang didapat pada Persamaan 76 dan Persamaan 77 kita
mendapatkan :
k
kokoX )2()2()(
Persamaan 78 Fungsi periodik sinus
Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa TFWD dari fungsi sinus
adalah
49.3....................................................................(2
sin)( )onjonj eej
AonAnx
-
58
Adalah
k
kokojX 50.3.......................................).........2()2()(
3.3 Sifat-Sifat TFWD
Beberapa sifat TFWD adalah
a. Periodik atau berulang
)()2( XX
b. Linearitas
)()( 212111 XaXanxanxa
c. Pergeseran waktu dan frekuensi
)()()()()()( oXnxemakaXenonxmakaXnx nojnoj d. Penskalaan waktu dan frekuensi
)/()()()( kXnkxmakaXnx
e. Diferensiasi dan penjumlahan
kj
n
m
kXXe
mx )2()0()(1
1)(
f. Diferensiasi dalam frekuensi
)(
)()(
d
dXjnnx
g. Teorema parseval
n
dXnx
2
0
22)(
2
1)(
h. Konvolusi
Jika
k
XHmakaYknhkxny )()()()()()(
i. Konvolusi periodik dan konvolusi sirkular
-
59
Nk
k
N
m
nRmnxmxmnxmxny1
1
0
2121 )()(~)(~)()()(
3.4 Transformasi Fourier Diskrit
Meskipun teori dari transformasi Fourier waktu diskrit sangat berguna untuk
memahami proses penyamplingan dan untk banyak penerapan lain, kita tidak dapat
menempatkan X() ke dalam memori komputer karena dia adalah sebuah fungsi yang
kontinyu. Untk implementasi dari komputer digital kita harus mendiskritkan frekuensi.
Hal ini membutuhkan sebuah konsep dari transformasi Fourier Diskrit (TFD). TFD
mengambil peranan yang cukup luas dalam dunia pengolahan sinyal digital.
Transformasi Fourier Diskrit memiliki persamaan sbb :
).2
()()(
.1.....3,2,1,0,)()(
/2
1
0
2
N
kXXkX
NkenxkX
Nkn
N
K
N
knj
Persamaan 79 Transformasi fourier sinyal waktu diskrit
Invers dari TFD adalah
.1,.....,2,1,0,)(1
)(1
NnwkXN
nX knN
N
ok
Persamaan 80 Inverse transformasi fourier sinyal waktu diskrit
Perbedaan antara TFWD dan TFD adalah sebagai berikut :
Kita mempunyai sinyal terbatas waktu tetapi bukan merupakan sinyal periodik x(n)
dengan durasi N. Kita mendapatkan sebuah spectrum frekuensi kontinyu untuk deretan
sinyal ini, x(n), dengan membuat N mendekati nilai tak berhingga dan menganggap
bahwa perioda deretan sinyal ini x(n) adalah tak terbatas. Dengan kenyataan ini, TFWD
akan memprosesnya menjadi sebuah sinyal fungsi kontinyu dari frekuensi, sebaliknya
dengan TFD kita menganggap sinyal ini, x(n) adalah periodik dengan periode N,
dimana N adalah terbatas. Hasil dari TFD adalah fungsi diskrit dari frekuensi karena
semua komponen frekuensi adalah integral perkalian dari frekuensi dasar o = 2/N.
Selanjutnya akan tlih adalah sangat mirip dengan deret Fourier diskrit. Konsekuensinya
-
60
spectrum x(n) diskrit dengan nilai terletak pada perkalian integral dari frekuensi dasar
o.
Persamaan berikut mendefinisikan transformasi Fourier diskrit dan transformasi Fourier
diskrit invers
72.3....................................................................1,.....,2,1,0,)(1
)(1
NkwnXN
kX knN
N
ok
.Persamaan-persamaan ini siap diprogramkan pada computer. Lebih lanjut bila kita
membandingkan kedua persamaan di atas, kita akan mempunyai dasar algoritma yang
baik untk menghitung transformasi berikutnya.
Angka pengalian riil yang dibutuhkan untuk komputasi TFD adalah 4N2
3.5 Beberapa Sifat Dari TFD
Jika F[x(n)]=X(k), k =0,1,2,3,,N
Maka :
1. Linear
)()( 212111 kXakXanxanxa
2. pergeseran waktu
kmNwkXmnx )()(
3. pergeseran frekuensi
)()( mkXwnx mnN
4. dualitas
)()( nNxkx
5. konvolusi
)()()(mod)(1
0
kYkXiyNinxN
i
6. perkalian
-
61
)(mod)()()(1
0
1 iYNikxNnynxN
i
7. teorema parseval
1
1
1
1
22)()(
N
n
N
k
kXnxN
3.6 Penerapan TFD
Salah satu terapannya adalah untuk system identifikasi.
Kita telah membahas tentang permasalahan identifikasi system di baba 2 seperti untuk
penerapan dekonvolusi dan ditunjukkkan dalam sub bab 2.10 bahwa seseorang dapat
menentukan deretan respon impuls dari system linier jika masukan dan keluaran x(n)
dan y(n). Seseorang juga bias menggunkaan algoritma FFT untuk mendapatkan TFD
X(k) dan Y(k). TFD H(k) dari deretan respon impuls kemudian secara langsung dapat
diketahui melalui persamaan 3.74
H(k) =Y(k)/X(k)
Persamaan 81 Deretan respons impulse
Jika menginginkan, seseorang dapat menentukan deretan respon impuls h(n) dengan
menjumlah TFD invers dari H(k). Dalam perjalanan selanjutnya algoritma FF sering
digunakan untuk menentukan model system dari data input outputnya. Suatu keharusan
bagaimanapun perlu dicatat bahwasistem yang didapat selanjutnya dapat secara
signifikan dipengaruhi oleh kehadiran noise dalam data input-output. Hasil ini biasanya
dapat ditingkatkan dengan pemfilteran data sebelum menggunkan algoritma FFT.
-
62
BAB IV TRANSFORMASI LAPLACE
Analisis untuk SWK: Karena adanya kendala analisis dengan TFWK antara lain :
Kesulitan integrasi pada TFWK
Pada analisis transient rangkaian selalu dihadapkan dengan bilangan kompleks
+j, sedangkan TFWK hanya bekerja dalam daerah
Jadi transformasi Laplace seperti halnya TFWK merubah sinyal kawasan waktu
menjadi kawasan frekuensi frekuensi kompleks
4.1. Transformasi Laplace Bilateral
TLB diturunkan dari TFWK :
deXtx
dttxX
tj
tj
)(2
1)(
).()(
Persamaan 82 Transformasi laplace bilateral
Bila fungsi anatXe t dim)( fungsi eksponensial merupakan faktor
konvergensi, maka maka TFWK dari y(t) adalah:
)()(
)()(
).(.)(
)(
jXY
dtetxY
dtetxeY
tj
tjt
Jadi dari pers di atas
dejXtx j )().(2
1)(
Definisikan variable frekuensi kompleks
Bila s= +j ds=j.d d = ds/j
-
63
Maka
dsesXtx
dtetxsX
st
st
)(2
1)(
).()(
disebut pasangan TLB
Bidang s adalah :
Notasi :
X(s) = [x(t)]
x(t) = -1
[X(s)]
cat: transformasi Laplace
Konvergensi TLB :
Terintegrasi secara mutlak jika nilainya kurang dari tak hingga
-
64
4.2. Transformasi Laplace Satu Sisi
Definisi : Diberikan suatu sinyal x(t) kuasal, maka
0
. dtetxSx st
j
j
stdsesxtx .2
1
Konvergensi TLSS jika
0... txeLim t
4.3. Sifat-Sifat Transformasi Laplace Satu Sisi
a. sxsxtxtx 2.1.2.1. Linieritas
b. sxetutx s.. Pergeseran Waktu
c. asXetx ta .. Pergeseran Frekuensi
d. a
sXa
atx .1 Pensakalan waktu dan
Frekuansi
e. 0. XsXsdt
dxX Differensiasi Waktu
f. s
sXdX
t
0
Integrasi Waktu
dan
0
0
dxs
sXdX
t
g. ds
sXdtxt . Perkalian dengan t
dan
ds
sXdtxt
nnn 1.
h.
t
duuxt
tx Pembagian terhadap t
TLSS =
-
65
i. sXsXdtxx 2121 ..
Konvolusi Waktu
j.
jc
jc
duusXuXj
txtx 2121 .2
1. Konvolusi frekuansi
4.4. Pasangan Tlss Dan Gambar Di Bidang S
a. Fungsi Eksponensial Kausal
tueAtx t..
0
010.
s
A
s
Ae
s
AdteAsX sts
b. Fungsi Unit Step
0
0
. 11
se
sdtesU tsst
c. Fungsi Cosinus Kausal X(t)=A.Cos(.t).u(t)
22
t.jtj ..5,0.5,0
2
e
2
e
s
sA
js
A
js
AAsX
d. Fungsi Sinus Kausal X(t)=A.Sin(.t).u(t)
A
t
j
Pole X
Bidang S
A
t
j
u(t)
A
t
x
x
j
j
-j
zero
x A
t
j
j
-j
-
66
22
t-jtj ./.5,0/.5,0
.2
A.eA.e
s
A
js
jA
js
jA
jsX
e. Fungsi Cosinus Teredam Kausal X(t)=A.e
-.t.Cos(.t).u(t)
X(t)=[A.e-.t
.Cos(.t).u(t)] {Gunakan : sifat pergeseran frekuensi}
f. Fungsi Sinus Teredam Kausal X(t)=A.e
-.t.Sin(.t).u(t)
X(t)=[A.e-.t
.Sin(.t).u(t)] Gunakan sifat c. Maka ganti s dengan s + dimana
22
....
s
AtutSinA
Jadi 22
.
s
AsX
g. Fungsi Unit Ramp Kausal X(t)= t.u(t)
x
t
x
x -
j
j
-j
t
x
x -
j
j
-j
t
pole j
-
67
0 0
1
. !..int...n
xanst
a
ndxexegrasitabellihatdtetsX
Ambil n=1, maka X(s) =1/s2
Atau dari sifat : [t.x(t)] = -dX(s)/ds
Dimana X(s) = [ u(t) ] = 1/s
Jadi
2
11.
ssds
dtut
h. Fungsi Impuls
1.0 0
.
dttdttet ts
. set Sifat Pergesaran Waktu
Fungsi x(t) = A.t.e
asXetX t Sifat Pergesaran Frekuensi 2. /.. sAetA t Sifat Pergesaran Waktu
s
AeA t..
Maka
2
...
s
A
as
A
ds
detA t
4.5. Invers Transformasi Laplace
Untuk mengembalikan spektral ke sinyal fungsi waktu X(s) X(t)
(t)
1
t
1
(t-)
t
-
68
ja
ja
stdsesXj
tX2
1
Dapat diselesaikan lewat definisi diatas atau melihat pasangan TLSSnya
A.(t-) steA.
A.u(t) s
A
A.e-st
.u(t) s
A
A.Cos(t).u(t) 22
.
s
sA
A.Sin(t).u(t) 22
.
s
A
A.e-t.Cos(.t).u(t)
22
.
s
sA
A.e-t.Sin(.t).u(t)
22..
s
A
t.u(t) 2
1
s
tn.e
-at.u(t)
1!
nas
n
Lebih mudah diselesaikan dengan cara yang terakhir dengan melihat Bentuk polynomial X(s) = N(s)/D(s) lihat akar D Pasangan transformasinya Bentuk X(s) = N(s)/D(s) dalam ekspensi parsial
4.6. Solusi Dengan Penyesuaian Koefisien
Fungsi rasional
sss
ssX
43
12)(
23
-
69
4.7. Ekspansi Parsial Untuk Akar D(S) Simple Pole
n
n
k
k
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
sD
sNsX
........)( 2
2
2
1
1
n
nk
k
kk
kps
ApsA
ps
Aps
ps
ApssXps
........)(
2
2
1
1
Maka
kpskk
sXpsA
4.8. Akar D(S), Multiple Pole-Simple
nn
r
t
rt
t
t
t
t
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
ps
AsX
...........)( .
2
2.1.
1
1
dimana
1. ps
r
rrt sXpsA
tps
r
rrt sXpsds
dA
1.
tps
r
rrt sXpsds
dA
2
2
2.!2
1
.
.
.
tps
r
rk
k
kri sXpsds
d
kA
!
1.
4.9. Ekspansi Parsial: D(S) Kompleks Konjugate Simple Pole
22
2345
2562
375044012628706945
ssss
ssssX
-
70
4.10. Metode Grafis
Untuk mengevaluasi koefisien parsial dari X(s) dengan cara menggambarkan
vektor diagram semua pole-zore sistem.
Diketahui :
n
m
pspsps
zszszsK
sD
sNsX
......
.......
21
21
Nilai dari X(s) di s = s1
1
11
skePoleSetiapLangsungJarakPerkalian
skeZeroSetiapLangsungJarakPerkalianKsX
Evaluasi pole pk dari X(s)
kps
sXpsA 1.
k
k
kpkePoleSetiapLangsungJarakPerkalian
pkeZeroSetiapLangsungJarakPerkalianKKAsX 1
4.11. Teorema Nilai Awal Dan Akhir
Digunakan untuk memudahkan mencari suatu keadaan awal (t = 0) dan keadaan
akhir (t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu frekuensi (s).
Teorama nilai awal, jika
-
71
sXtX Maka
)(.0x sXsLims
Teorama nilai akhir , jika
sXtX Maka
sXstx .limlim
4.12. Aplikasi TLSS
Aplikasi yang penting dari TLSS
a. Solusi persamaan differensial
b. Mencari respon impuls sistem
c. Mencari respon lengkap rangkaian analisa rangkaian
d. Analisis SWK
4.13. Solusi Persamaan Diferensial
Sifat differensiasi
0. XsXs
dt
dx
Bentuk umum
0...0.0..
121
n
nnnn
n
n
dt
d
dt
dxsXssXs
dt
xd
4.14. Respon Impuls Sistem
0000.2.3 xdanydengandt
dxtxty
dt
dy
s s0
-
72
4.15. Solusi Lengkap Rangkaian RLC
i. Resistor R
V(t) = R.i(t) V(s)=R.I(s) I(s)=G.V(s) i(t)=G.V(t)
ii. Induktor L
dt
diLt V 0...V LiLslsLs
01.
L Lis
sVsL
ls
01
i0t0
L
t
idVL
t
iii. Kapasitor C
dt
diLt V
s
Vs
sCs c
0
1.
1V
0....l cVsCsVsCs
01
V0t0
c
t
VdiC
t
4.16. Analisis SWK
Diberikan SWK LTW
an.yn(t)+...+a0.y(t) = b0.x(t)+...+bm.x
m(t)
h(t) X(t) Y(t)
-
73
sDsN
sH
Respon sistem y(t) = x(t)*h(t)
Transformasi Laplace
[ an.sn+ an-1.s
n-1+..+a0].Y(s) = [b0 + b1.s+...+bm.s
m(t)]X(s)
Fungsi Transfer Sistem
0
1
1
10
...
...
asasa
sbsbb
sX
sYsH
n
n
n
n
m
m
sH-tth
Respon steady state
s.XsY sH
sXsH .ty -1
Stabilitas SWK
SWK stabil jika dan hanya jika :
i. Stabil dalam arti BIBO
ii. Respon impuls terintegrasi secara mutlak
iii. Lim h(t) = 0
iv. Akar real D(s) < 0
v. Letak pole disebelah kiri sumbu imajiner
4.17. Transformasi Laplace Bilateral
TLB diturunkan dari TFWK :
deXtx
dttxX
tj
tj
)(2
1)(
).()(
-
74
bila fungsi anatXe t dim)( fungsi eksponensial merupakan faktorr konvergensi, maka
maka TFWK dari y(t) adalah:
)()(
)()(
).(.)(
)(
jXY
dtetxY
dtetxeY
tj
tjt
Jadi dari pers di atas
dejXtx j )().(2
1)(
Definisikan variable frekuensi kompleks
Bila s= +j ds=j.d d = ds/j
dsesXtx
dtetxsX
st
st
)(2
1)(
).()(
disebut pasangan TLB
Bidang s adalah :
Notasi :
X(s) = [x(t)]
x(t) = -1
[X(s)]
cat: transformasi Laplace
Konvergensi TLB :
-
75
Terintegrasi secara mutlak jika nilainya kurang dari tak hingga
-
76
BAB V TRANSFORMASI Z
Pada bab ini akan dibahas transformasi-z dengan waktu diskrit pada system LTI.
Pada waktu diskrit sistem LTI dengan respon impulse h[n], keluaran y[n] pada masukan
eksponensial nz adalah
y[n] = T{ nz } = H(z) nz
dimana,
H(z) =
n
nznh ][
5.1. Definisi
Fungsi H(z) merupakan transformasi-z dari h[n]. Untuk waktu diskrit sinyal x[n],
menjadi X(z)
X(z) =
n
nznx ][
Variabel z merupakan suatu nilai kompleks yang direpresentasikan dengan,
z = r je
dimana,
r adalah magnitude z dan adalah besar sudut z.
5.2. Region of Convergence (ROC)
ROC merupakan range nilai pada variabel komplek z dimana daerah ini dikenal.
5.3. Persyaratan pada ROC
1. ROC tidak berisi beberapa pole.
2. Jika x[n] merupakan suatu finite-sequence. Dimana nilai x[n] = 0, kecualai pada
N 1 n N 2 , dimana nilai N 1 dan N 2 adalah finite.
3. Jika x[n] merupakan sisi kanan dimana x[n] = 0 untuk n < N 1 < - dan X(z)
konvergen untuk beberapa nilai z, maka ROC :
maxrz atau > maxrz
maxr merupakan magnitude terbesar pada beberapa pole X(z).
4. Jika x[n] merupakan sisi kiri dimana x[n] = 0 untuk n > N 2 > X(z) konvergen
untuk beberapa nilai z, maka ROC
-
77
minrz atau < minrz
minr merupakan magnitude terkecilr pada beberapa pole X(z).
5. Jika x[n] merupakan kedua sisi dimana x[n] tidak dibatasi oleh sisi kanan
ataupun kiri dan X(z) konvergen untuk beberapa nilai z maka ROC :
21 rzr
Dimana,
1r dan 2r merupakan magnitude pada dua pole pada X(z).
5.4. Transformasi-z untuk beberapa common sequence
1. Unit Impuls [n]
X(z) = 1][ 0
zznn
n untuk semua z
Maka [n] 1
2. Unit Step u[n]
Setting a =1, maka
u[n] 11
11
z
z
z 1z
Tabel 3 Tabel Transformasi-z
X[n] X(z) ROC
[n] 1 Semua z
u[n]
1,
1
11 z
z
z
1z
-u[-n-1]
1,
1
11 z
z
z
1z
[n-m] mz Semua z kecual1 0 jika m> 0 atau jika m < 0
na u[n]
az
z
az ,
1
11
az
- na u[-n-1]
az
z
az ,
1
11
az
n na u[n] 221
1
)(,
)1( az
az
az
az
az
-n na u[-n-1] 221
1
)(,
)1( az
az
az
az
az
-
78
(n+1) na u[n] 2221
])(
[,)1(
1
az
z
az
az
)(cos 0n u[n]
1)cos2(
)(cos
0
2
0
2
zz
zz
1z
)(sin 0n u[n]
1)cos2(
)(sin
0
2
0
zz
z
1z
)cos( 0nrn u[n]
2
0
2
0
2
)cos2(
)cos(
rzz
zrz
rz
)sin( 0nrn u[n]
2
0
2
0
)cos2(
)sin(
rzz
zr
rz
100 Nnlainnyaan 11
1
az
za NN
0z
5.5. Sifat dari Transformasi-Z
1. Linier
Jika 1x [n]) 1X (z) ROC = 1R
2x [n] 2X (z) ROC = 2R
Kemudian ][][ 2211 nxanxa )()( 2211 zXazXa
2. Pergeseran
Jika x[n] X(z) ROC = R
X[n-n 0 ] )(0 zXe
n R = R { z0 }
3. Multiplikasi oleh nz0
Jika x[n] X(z) ROC = R
Kemudian,
nz0 x[n] X(0z
z) R = Rz0
4. Time Reversal
Jika x[n] X(z) ROC = R
Kemudian,
x[-n] X(z
1) R =
R
1
-
79
5. Diferensiasi
Jika x[n] X(z) ROC = R
Kemudian,
nx[n] -zdz
zdX )() R = R
6. Kombinasi
Jika x[n] X(z) ROC = R
Kemudian,
n
k
kx ][ )(1
)(1
11
zXz
zzX
z
R = R { 1z }
7. Konvolusi
Jika 1x [n] 1X (z) ROC = 1R
2x [n] 2X (z) ROC = 2R
Kemudian,
1x [n] * 2x [n] 1X (z) . 2X (z) 21' RRR
5.6. Inverse Transformasi-Z
Inverse dari transformasi-z dari X(z) adalah x[n]. Yang direpresentasikan dengan :
x[n] = )(1 zX
1. Inverse
x[n] = dzzzXj
n
c
1)(2
1
Dimana,
C merupakan counterclockwise.
2. Menggunakan tabel transformasi-z
X(z) = 1X (z)+.......+ nX (z)
Dimana,
1X (z)....... nX (z) merupakan fungsi dari inverse transformasi 1x [n]..... nx [n].
Dengan sifat kelinieran menjadi:
x[n] = 1x [n]+.....+ nx [n]
-
80
3. Power Series
X(z) =
n
nznx ][
= ...+ x[-2] 2z + x[-1]z + x[0]+ x[1] 1z + x[2] 2z +...
4. Menggunakan Pecahan Parsial
X(z) = ))...((
))...((
)(
)(
1
1
n
m
pzpz
zzzzk
zD
zN
Asumsikan n m dan semua pole kp adalah sederhana
Maka :
n
k k
k
n
n
pz
c
z
c
pz
c
pz
c
pz
c
z
c
z
zX
1
0
2
2
1
10 ...)(
Dimana ,
00 )( zzXc kpzkk z
zXpzc
)()(
Dapat dituliskana menjadi:
X(z) =
n
k k
k
n
npz
zcc
pz
zc
pz
zcc
1
0
1
10 ...
Contoh Soal :
1. Tentukan Transformasi-z dari
a. x[n] = ]1[ nuan
b. x[n] = ]1[ nua n
a. X(z) = n
n
n
n
nn zaznua
1
]1[
za
zan
n
10
1
1
1)(
Jika azatauza 11
Sehingga menjadi,
X(z) = 11
1
1 1
1
11
11
azaz
z
za
za
za az
b. X(z) = n
n
n
n
nn zaznua
1
]1[
-
81
= 1)()(00
n
n
n
n azaz
az
zan
n
1
1)(
0
Jika a
zatauza1
1
Sehingga menjadi,
X(z) =
az
z
az
az
az 111
1
1
az
1
2. Jika diketahui,
2100)( NnNlainnyannnx Dimana, 1N dan 2N sebuah batasan. Tunjukkan ROC pada X(z) pada z-plane
kecuali kemungkina z=0 atau z=.
X(z) = nN
Nn
znx
2
1
][
Untuk z yang tidak bernilai 0 atau tak terbatas maka X(z) akan konvergen. Jika 1N
< 0 dan 2N > 0 maka keduanya akan positif pada z dan semuanya negatif pada z.
3. Tentukan X(z) dan gambarkan pole-zero dengan ROC :
a. x[n] = ][3
1][
2
1nunu
nn
b. x[n] = ]1[2
1][
3
1
nunu
nn
c. x[n] = ]1[3
1][
2
1
nunu
nn
a. Berdasarkan tabel transformasi-z:
][2
1nu
n
2
1z
z
2
1z
][3
1nu
n
3
1z
z
3
1z
Dapat dilihat ROC mengalami overlap :
-
82
X(z) = ))((
)(2
3
1
2
1
12
5
3
1
2
1
zz
zz
z
z
z
z
2
1z
Im(z) Im(z)
Re(z) Re(z)
(a) (b)
b. Berdasarkan tabel transformasi-z:
][3
1nu
n
3
1z
z
3
1z
]1[2
1
nu
n
-2
1z
z
2
1z
Dapat dilihat ROC mengalami overlap :
X(z) = ))((6
1
3
1
2
1
2
1
3
1
zz
z
z
z
z
z
3
1
2
1z
c. Berdasarkan tabel transformasi-z:
][2
1nu
n
2
1z
z
2
1z
]1[3
1
nu
n
-3
1z
z
3
1z
Dapat dilihat bahwa ROC tidak saling overlap maka tidak ada common
ROC dan x[n] tidak mempunyai X(z).
4. Tentukan inverse transformasi-Z dari :
X(z) = 2)2)(1( zzz
z 2z
Menggunakan teknik pecahan parsial :
-
83
2
211
2 )2(21)2)(1(
1)(
zzz
c
zzzz
ZX
Dimana,
1)2(
1121
z
zc 1
1
122
z
z
Dengan substitusi maka didapat :
2
1
2 )2(
1
21
1
)2)(1(
1
zzzzz
Setting nilai z=0, didapat
4
1
21
4
1 1
11
Maka diperoleh nilai
X(z) = 2)2(21
z
z
z
z
z
z 2z
Karena ROC adalah 2z , maka x[n] merupaka suatu fungsi sisi kanan.
x[n] = ][221 1 nun nn
5. Tentukan fungsi H(z) dari gambar berikut :
x[n]
k/2
q[n-1] q[n]
k/3
y[n] Berdasarkan gambar diatas diperoleh :
q[n] = x[n] + ]1[2
nqk
y[n] = q[n] + ]1[3
nqk
Menggunkan transformasi-z maka diperoleh :
Q(z) = X(z) + )(2
1 zQzk
Y(z) = Q(z) + )(3
1 zQzk
z1z
-
84
Apabila ditulis ulang :
)()(2
1 1 zXzQzk
)()(3
1 1 zXzQzk
Maka H(z) dapat diketahui:
H(z) =
2
3
)(1
)(1
)(
)(1
2
13
kz
kz
z
z
zX
zY
k
k
2
kz