MATLAB

Dr. Tolga BEKLER

Canakkale Onsekiz Mart Universitesi

Jeofizik Mühendisligi Bölümü

2006

BÖLÜM -I -

Içindekiler

Giris Baslarken Temel Matematiksel Islemler Degiskenler Karmasik Sayilar Temel Istatistiksel Islemler Polinomlar Yuvarlatma Islemleri Matriks ve Vektörler Nokta Çarpim/Bölme Temel Matris Islemleri Ters Islemler Özvektörler ve Özdegerler Hazir Matris Fonksyionlari Grafik Çizimler Yüzey Çizimleri Vektör Alanlari Sembolik Degiskenler Denkleme Sistemlerinin Çözümü Dogrusal Olmayan Denklem Takimlarinin Çözümü Integraller Türevler Örnekler Örnekler

Giris

MATLAB, MATrix LABoratory szöcüklerinden gelir ve temelde sayisal ve analitik olarak matematiksel fonksyionlarin ifadelerinin kullanildigi basta mühendislik alaninda olmak üzere birçok sayisal analizi kullanan bilimlerde son yillarda oldukça sik kullanilan bir hazir yazilim paketidir. Özellikle yüksek performans gerektiren algoritma hazirlama ve gelistirme, sayisal analiz, simülasyon, mühendislik problemlerinin sayisal ve grafik çözüm tekniklerinde son derece etkindir.

Baslarken

Matlab yazilim paketinde kullanilacak olan her hazir fonksyion yaninda kullanicinin da kendi yazilimini olusturma imkani saglar. Matlab’in gerek kisisel bilgisayarlarda (PC) gerekse diger isletim sistemlerinde (UNIX, LINUX) gibi bazi ufak farkliliklar disinda kullanimi, ya dogrudan kendi çalisma ve komut ekreaninda ya da ‘m’ uzantili program dosyasi olusturmak suretiyle (script) olmaktadir. Program çalistrildiginda çalisma ekranina ilk olarak ‘>>’ komut ekrani gelecektir. >> 4.3+4.2 ans = 8.5000 ‘ans’ 2.3 ile 4.2 sayilarinin toplamini sonuc olarak verecektir. (answer) >> format rat >> 5.1-3.3 ans = 9/5 Sonuç format rat ile kesirli halde alinabilir. >> format compact >> 5*7 ans = 35 Islem sonucu arasina ekstra bosluk birakilmaz

Temel Matematiksel islemler >> 5^8 ans = 40 >> format long ile istenilen sonucun duyarliligi gösterilir. >> sqrt(2) ans = 1.41421356237310

Temel trigonometric operatörler (cos, sin, tan, sec, csc, cot), tersleri (acos, asin, atan, asec, acsc, acot), exponansiyel fonksyionexp, dogal logaritma log. Örnek: ln(14)+sin(π/4) asagidaki sekilde hesaplanir >> log(14)+sin(pi/4) ans = 3.34616411080181 Matlab’te hazir fonksyionalrin kullanim sekillerini bilmek istenirse ‘help’ komutu kullanilir >> help abs (mutlak deger icin yardim dosyasi cagirma) ABS Absolute value. ABS(X) is the absolute value of the elements of X. When X is complex, ABS(X) is the complex modulus (magnitude) of the elements of X. See also SIGN, ANGLE, UNWRAP. Overloaded methods help sym/abs.m

Degiskenler

Tüm yazilabilir karakterler degisken olarak atanabilir ve ‘=’ olarak verilir.

>> x=23 x = 23 Degislen isimleri büyük ve küçük harf ayrimina hassastir. X ve x degiskenleri ayri olarak tanimlabilir. >> x^2-3*x+2 ans = 30 >> log(x) ans = 1.94591014905531 >> sin(x) ans = 0.65698659871879 Yeni bir ifade icin bir önceki degisken kullanilabilir. Her islem ssonucu bellekte saklanir. >> y=8*x y = 56 >> x=x+5 x = 12

>> y y = 56 >> who komutu kullanilan degisken isimlerini verir Your variables are: ans x y >> whos komutu degiskenlerin boyut bilgisini verir. Name Size Bytes Class ans 1x1 8 double array x 1x1 8 double array y 1x1 8 double array Grand total is 3 elements using 24 bytes Bellekteki degiskenleri silmek icin ‘clear’ komutu kullanilir. Bu asamadan sonra degiskenler çagrilmak istenirse; >> clear >> who >> x ??? Undefined function or variable 'x'. ile karsilasilir.

Karmasik Sayilar

Genel formati a+ib, a-ib, a+bj, a+jb olan ifadelerdir.

>>2-3i

ans =

2.0000 - 3.0000i

>> 2-3*i

ans =

2.0000 - 3.0000i

ayni ifadenin 2-i3 olarak yazilamayacagina dikkat edilmeli.

Karmasik sayilarin taniminda ‘complex’ fonksyionuda kullanilir. Bu fonksyion karmasik sayinin gerçel ve sanal kisimlarini verir.

> x=3;y=4;

>> complex(x,y)

ans =

3.0000 + 4.0000i

>> complex(2,-3)

ans =

2.0000 - 3.0000i

Karmasik sayi islemleri:

abs :Mutlak deger alir (Genlik bilgisi)

angle : Faz açisi

conj : Karmasik eslenik

imag : Karmasik sanal kisim

real : Karmasik gerçel kisim

>> z=2+5i; >> abs(z) ans = 5.3852 >> angle(z) ans = 1.1903 >> conj(z) ans = 2.0000 - 5.0000i >> imag(z) ans = 5 >> real(z) ans = 2

Temel Istatistiksel Islemler

Özellikle saha ve gozlem verileri üzerinde yapilacak analizlerin ve degerlendirilmeler için istatistiksel yöntemleri Matlab’te kullanmak mümkündür. Bilinen en temel komutlar; max : Veri kümesindeki en büyük degeri bulur. min : Veri kümesindeki en küçük degeri bulur. length : Küme içinde kaç eleman oldugunu verir. sum : Kümenin toplam sayisini verir prod : Verilerin çarpimini hesaplar median : Verilerin ortanca degerini hesaplar std : Standart sapma mean : Ortalama deger yada aritmetik ortalama

geomean : Geometrik ortalama harmmean : Harmonik ortalama sort : Küme elemanlarini azalan sirada hazirlar >> T=[2.1;2.5;1.9;-1.9;2.4;3.0] T = 2.1000 2.5000 1.9000 -1.9000 2.4000 3.0000 >> max(T) ans = 3 >> min(T) ans = -1.9000 >> length(T) ans = 6 >> sum(T) ans = 10 >> prod(x) ans = 120 >> median(x) ans = 3.5000 >> median(T) ans = 2.2500 >> std(T) ans = 1.7874 >> mean(T) ans = 1.6667 >> geomean(T) ??? Error using ==> geomean The data must all be non-negative numbers. % Negatif sayi içeren küme var >> harmmean(T) ans = 3.6896

Polinomlar Matlab’ta polinomlar bir vektörle temsil edilirler. Polinom olusturmak için yüksekten düsük dereceliye dogru azalan sirada polinom katsayilari yazilir. x=s4+3s3-15s2-2s+9 polinomu programa asagidaki sekilde yazilir; x=[1 3 -15 -2 9] x = 1 3 -15 -2 9

Benzer sekilde y=s4+1’in gösterilimi y=[1 0 0 0 0 1] seklindedir. Polinomun herhangi bir kök için degeri, örnegin s4+1’in s=2 için degeri; z=polyval([1 0 0 0 1],2) veya dogrudan z=polyval(y,2) z = 17 Polinomun köklerinin bulunmasi, örnegin s4+3s3-15s2-2s+9 için; roots([1 3 -15 -2 9]) ans= -5.5745 2.5836 -0.7951 0.7860 • Iki polinomun çarpilmasi, (x+8) (x2+4x+8) = x3+6x2+16x+16 x=[1 2] y=[1 4 8] z=conv(x,y) z= 1 6 16 16 • Iki polinomu bölelim [xx,R]=deconv(z,y) xx= 1 2 (bölüm=x+2) R= 0 0 0 0 (kalan=0)

Örnek: P(x)=x4+3x3-15x2-2x+9 polinomunun x=2 için alacagi degerin bulunmasi

>> P=polyval([1 3 -15 -2 0],2)

P =

-24

Örnek: P(x)=x4-5x x=2 ve x= 8 için fonksiyonun alacagi degerin bulunmasi

>> x=[2 8]; >> p=[1 0 0 -5 0]; >> pp=polyval(p,x) pp = 6 4056

Polinom Köklerinin Bulunmasi

Bir P(x)=0 polinomunun köklerinin bulmak için ‘roots’ komutu kullanilir.

Örnek: y=3x3+4x2-6x+1 denklemini saglayan kökler

>> y=[3 4 -6 1]; >> roots(y) ans = -2.2763 0.7469 0.1961

Yuvarlatma Islemleri

fix : Sifira dogru yuvarlatir

floor : - 8 dogru yuvarlatir

ceil :+ 8 dogru yuvarlatir

round : en yakin tamsayiya yuvarlatir.

>> a=3.5;

>> fix(a)

ans =

3

>> floor(a)

ans =

3

>> ceil(a)

ans =

4

>> round(a)

ans =

4

Matrisler ve Vektörler

Matriks olusturmak için köseli, parantez kullanilir ve ’;’ ile satirlar ayrilir >> A=[2 11 -3 8; 1 0 8 -3; 7 1 2 5] A =

2 11 -3 8 1 0 8 -3 7 1 2 5 Sonuç verecek olan her komut satiri sonuna ‘;’ konulursa görülmesini istemediginiz >> B=[2 0 -3; -1 1 3]; will still define the variable B containing a 2×3 matrix, but MATLAB will not echo anything. >> whos Name Size Bytes Class A 3x4 96 double array B 2x3 48 double array v 3x1 24 double array Grand total is 21 elements using 168 bytes Bir B matrisinin elemanlarini gormek icin; >> B B = 2 0 -3 -1 1 3 Vektorlerim matrislerin tek kolon halidir ve gösterimleri; >> v = [ 2; 3; -4] v = 2 3 -4 Bir satir vektorü bir satiri olan bir matrisdir. >> w=[3 -2 5 11] w = 3 -2 5 11 Örnegin iki sayi arasinda sirali satir vektörü olusturmak için a:b; örnegin >> 2:5 ans = 2 3 4 5 j:i:k bir satir vektörünü tanimlar ve j baslangiç, I artim ve k son elemani gösterir. >> 3:2:9 ans = 3 5 7 9 Matrisin transpozu >> A=[5 -2 9; 11 7 8] A = 5 -2 9 11 7 8 >> A' ans = 5 11 -2 7 9 8

Esit artimli bir vektörün transpozu asagidaki gibi tanimlanir; >> [1:3:10]' ans = 1 4 7 10 A is A(i,j) matrisinin istenilen I ve j elemaninin bulunmasi >> A=[3 -2 7 8; 4 3 2 1; 10 15 -2 9] A = 3 -2 7 8 4 3 2 1 10 15 -2 9 >> A(3,2) ans = 15 3. satirin 2. ve 4. sutun degerleri >> A(3,[2 4]) ans = 15 9 3. kolonun tum degerleri >> A(3,:) ans = 10 15 -2 9 >> A(:,3) ans = 7 2 -2 A matrsinin 1, 2 ve 4. kolon degerleri >> A(:,[1 2 4]) ans = 3 -2 8 4 3 1 10 15 9 Ayni satir sayisina sahip iki matris asagidaki örnekte oldugu birlestirilebilir. >> A=[1 2 3; 4 5 6] A = 1 2 3 4 5 6 >> B=[7 8; 9 10] B = 7 8 9 10 >> [A B] ans = 1 2 3 7 8 4 5 6 9 10 >> C=[7 8 9] C =

7 8 9 Eger satirlar birlestirilmek istenirse; >> [A;C] ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bir A matrisinden herhangi bir satirin kaldirilmasi istenirse >> A=[ 4 7 2 1 3; 8 7 12 -2 5; 11 1 14 -2 0] A = 4 7 2 1 3 8 7 12 -2 5 11 1 14 -2 0 >> A(2,:)=[] seklinde yazilir. A = 4 7 2 1 3 11 1 14 -2 0 >> A(:,[1 3])=[] 1. ve 3. sütünlar kaldirildiktan sonraki durum A = 7 1 3 1 -2 0

Nokta çarpim

Matlab dilinde dot (nokta islemler) islemler çarpma *. Bölme ./ veya .\ Üstalma .^ olarak kullanilir. Yani nokta isaretli islemler matrislerde eleman (elemanter) islem yapilacagini gösterir. N bier sakaler olmak üzere a.^n, a matrisindeki her bir elemanin n. katresinin alinacagini ifade eder( Inan, A., 2004). Vektörlerin her elemani çarpilir ve kümülatif toplam elde edilir. >> v=[7; 23; 15; 2], w=[5; -2; 1; -8] v = 7 23 15 2 w = 5 -2 1 -8 >> dot(v,w) ans = -12 Nokta çarpim simetriktir ayni sonuç alinir. >> dot(w,v) ans = -12 Bir vektörün boyu ||v||=√{v·v}. ise >> vlength=sqrt(dot(v,v)) vlength =

28.4077 Yada norm komutu ile de elde edilir. >> norm(v) ans = 28.4077 Iki vector arasindaki açi θ ise v·w=||v||||w||cosθ. θ = arccos((v·w)/||v||||w||). çözümü >> theta=acos(dot(v,w)/(norm(v)*norm(w))) theta = 1.6144 >> theta*180/pi ans = 92.4971 Yaklasik açi 92.5°.

Temel matris islemleri >> A=[5 -1 2; 3 4 7] A = 5 -1 2 3 4 7 >> B=[2 2 1; 5 0 3] B = 2 2 1 5 0 3 >> A+B ans = 7 1 3 8 4 10 Ayni boyutttaki matrislerin toplami gerçeklestirilebilir. >> C=[3 1; 6 4] C = 3 1 6 4 >> A+C ??? Error using ==> + Matrix dimensions must agree. Seklinde hatali sonuç alinir. Bir matrisin elemanlarinin scalar bir sayi ile çarpilmasi. A=[1 2 ; 3 4] A = 1 2 3 4

>> 3*A ans = 3 6 9 12 ‘ * ‘ çarpim operatörü olup 2A seklinde yazilamaz. >> 2A ??? 2 | Missing operator, comma, or semi-colon. Ayni sekilde vektörlerin scalar çarpimlari ve ara islemleri yapilabilir. B=[2 ;3] B = 2 3 >> C=[4 ;3] C = 4 3 >> D=3*A-2*C D = -2 3 Iki matrisin A*B çarpimi A m×n ve B n×k oldugunda geçerlidir. Sonuç A*B matrisi m×k boyutundadir. >> A=[3 1 7 2; 6 -3 4 2; 9 4 -1 -2] A = 3 1 7 2 6 -3 4 2 9 4 -1 -2 >> B=[1 2; 3 4; 5 6; 7 8] B = 1 2 3 4 5 6 7 8 >> A*B ans = 55 68 31 40 2 12 Matlab’da islem satiri devam edemeyecek durumda ise … kullanilir A=[2;2;2 ... ;33] A = 2 2

2 33 Matriks rank hesaplama için Bsr matrisin tüm karesel alt matrislerinden, determinanti sifirdan farkli olan en yüksek boyutlusunun boyutuna A matrisinin ranki denir. >> A=[1 2 1 4; 2 3 1 3; 3 2 1 2; 4 3 1 1] A = 1 2 1 4 2 3 1 3 3 2 1 2 4 3 1 1 >> rank(A) ans = 3

Ters Islemler

Bir A matrisinin tersi A^(-1) yada inv(A) ile gösterilir. Inv ters islem yapma operatörüdür. >> A=[2 1 1; 1 2 2; 2 1 2] A = 2 1 1 1 2 2 2 1 2 >> Ainv=inv(A) Ainv = 2/3 -1/3 0 2/3 2/3 -1 -1 0 1 Sonucun saglanmasi için ters ve kendisi birim matrisi vermelidir. >> A*Ainv ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> Ainv*A ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Eger matris tekil ise tersi alinamaz. Hatali sonuç alinir. >> B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> inv(B) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.055969e-018. ans = 1.0e+016 *

-0.4504 0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9007 -0.4504 B matrisinin rank degeri >> rank(B) ans = 2 Rank degeri 3’den küçük oldugundan B matrisi tekildir, Matrisin determinantinin sifirdan farkli deger almasi gerek. >> det(B) ans = 0

MAtlab tarafindan tekil olarak gorulen tersi alinabilen matrisler vardir.

>> format long >> C=[1.00000000000001 1; 1 .99999999999999] C = 1.00000000000001 1.00000000000000 1.00000000000000 0.99999999999999 >> inv(C) Warning: Matrix is singular to working precision. ans = Inf Inf Inf Inf >> rank(C) ans = 1 >> det(C) ans = 0 >> rref(C) ans = 1.00000000000000 0.99999999999999 0 0 Matlab matrisi rank=1 ve determinanti 0 oldugundan tekil kabul eder..Ancak eger ε = 0.00000000000001, then det(C)=(1+ε)(1−ε)−1=−ε2 ≠ 0, boylece tersi alinabilir. Format komuru ile 1+ε ve 1−ε olarak birbirinden farkli 15 digitli bir deger elde edilir. Bu durumda tanim ;

(1+ε)(1−ε)=1−ε2 = 0.9999999999999999999999999999

Bu klasik anlamda bir ters çözüm isleminin tekil matrisler icin çözüm asamasidir.

Ax=b olarak verilen bir ifadenin çözümünü ele alalalim, Burada A is terselenebilir olsun, basit olarak x=A−1b olacaktir.

>> A=[11 7 -6 8; 3 -1 12 15; 1 1 1 7; -4 6 1 8] A = 11 7 -6 8

3 -1 12 15 1 1 1 7 -4 6 1 8 >> b=[10; -23; -13; 4] b = 10 -23 -13 4 >> format rat >> x=inv(A)*b x = 1 5 2 -3 Islemi saglamak için >> A*x ans = 10 -23 -13 4

Özvektörler ve Özdegerler

Bir kare matrisin özdegerlerini bulmak için ‘eig’ komutu kullanilir. >> A=[ 3 1 1; 1 3 1; 1 1 3] A = 3 1 1 1 3 1 1 1 3 >> eig(A) ans = 2.0000 2.0000 5.0000 >> [Q,D]=eig(A) A çarprazlanabilir ise Q = -0.8164 -0.0137 0.5774 0.3963 0.7139 0.5774 0.4201 -0.7001 0.5774 D = 2.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 5.0000 Q matrisinin kolonlari A matrisinin öz-temellerini olusturur. v Q-1AQ=D. Saglamasi >> inv(Q)*A*Q ans = 2.0000 0 0.0000 0.0000 2.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 5.0000 Q gerçekçe özvektörlerin dik normalarini olusturur. >> Q'*Q

ans = 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 Bir matrisin kösegen degerleri için ‘diag(A)’ kullanilir. >> a=[2 4 4;2 3 1;3 -2 5] a = 2 4 4 2 3 1 3 -2 5 >> diag(a) ans = 2 3 5

Hazir matris fonksiyonlari

Rand, ones, zeros, eye:

‘rand’ veya ‘randn’ fonksyionlarinin kullanilmasi; bazi durumlarda yalnizca bir özelligi veya bir seyi denemek ve durumunu gözlemek için rastgele sayilardan olusmus bir matris olusturmak için kullanilir. ‘Rand’ düzenli olarak dagilmis ‘randn’ ise normal olarak dagilmis rastgele sayi üretir (Inan, A., 2004).

Örnegin; a=-5 ile b=5 arasinda yani -5 ile +5 arasinda rastgele sayili 2x4 (iki satur 4 sütünlu) bir matris üretmek istenirse

>>a=-5+10*rand(2,4)

a =

4.3547 -0.8973 -4.4211 3.1317

4.1690 3.9365 -1.4713 -4.9014

>> c=rand(4) 0 ile 1 arasinda 4x4 matris olusturur. Özellikle iki boyutlu verilere rastgele gürültü eklenmesinde temel kullanima uygundur.

c = 0.1389 0.2722 0.4451 0.8462 0.2028 0.1988 0.9318 0.5252 0.1987 0.0153 0.4660 0.2026 0.6038 0.7468 0.4186 0.6721

‘Ones’ fonksyionu elemanlari 1 olan bir matris ‘zeros’ fonksiyonu elemanlari 0 olan matris olusturur.

>> s=ones(3)

s =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

>> d=zeros(4)

d =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

‘eye’ fonksiyonu ile birim matris olusturulur.

>> d=zeros(2,4) d = 0 0 0 0 0 0 0 0 >> e=ones(2,5) e = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> f=eye(3,3) f = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Özel Matrisler

Pascal(i) fonksyionu i. siraya kadar passcal üçgeninin elemanlarindan olusan ixi boyutunda bir matris olusturulur.

>> pascal(4)

ans =

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

1 4 10 20

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ‘magic(j)’ fonksiyonu jxj uzunlugunda 1’den j’ye kadar sayilardan olusan (j=2 hariç) esit satir, sütün ve kösegen toplamina sahip bir kare matris olusturur.

>> magic(3)

ans =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

8 + 1 + 6 = 15 + 3 + 5 + 7 = 15 + 4 + 9 + 2 = 15 ---------------- 15 15 15

[x,y]=meshgrid(x,y) fonksiyonu x ve y vektörlerini X ve Y matrislerine dönüstürerek aslinda 3 boyutlu grafik çizimleri için bir veri ortami hazirlar.

>> [X,Y]=meshgrid(-2:1:2,-2:1:2)

X = -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

Y = -2 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 Burada -2 ile 2 arasinda artimi 1 olan X ve Y matrisleri olusturulmustur.

Grafik Çizimleri

‘plot’ fonksiyonu belirli bir düzlem verisinin grafik gösterimi için kullanilir. Bir x ve y düzleminde verilen bir verinin gösterimi plot(x,y). Örnegin x ve y elemanlari (0,0), (1,1), (4,2) ve (5,−1) olan düzlem

>> x=[0 1 4 5 0]; >> y=[0 1 2 -1 0]; >> plot(x,y)

Bir baska örnekte y=x3 fonksiyonu [−2,2] olarak tanimlaniyorsa bunun matlab da çizimini yapalim. Araligini kendimizin belirleyecegi −2 den 2 x degerleri

>> x=-2:.05:2; % 0.05 artim x vektörü 1x81 matrisini olusturur. Bu size(x) yazilarakta belirlenebilir. >> y=x.^3; y=x^3 yazildiginda x kare matris olmadiginda hata verecektir. >> plot(x,y) Çizilen grafige baslik yazilmasi >> title('f(x)=x^3 fonksiyonu')

r(t)=(2tcost/(t+1),2tsint/(t+1)) kapali egrisini t ∈ [0,4π] için çizimde t vektörü aiagidaki gibi tanimlansin .

>> t=0:.1:4*pi; >> x=2*t.*cos(t)./(t+1); >> y=2*t.*sin(t)./(t+1); >> plot(x,y); >> title('(2t cos t/(t+1),2t sin t/(t+1))') Matlab grafik çizimlerini otomatik ayarlar. Uygun ölçekte görmek için ‘axis equal’ >> axis equal

Ayni sekil üzerinde birden fazla egriyi göstermek için ‘hold on’.

Ayni sekil üzerinde birden fazla egriyi göstermek için ‘hold on’ kullanilir.

Örnek: x2+y2=4 ve (x−1)2+(y−1)2=1 gibi iki daire ayni sekilde gösterilmek istenirse. r1(t)=(2cost,2sint) ve r2(t)=(1+cost,1+sint) t ∈ [0,2π] olarak tanimlanirsa.

>> t=0:pi/20:2*pi; >> plot(2*cos(t),2*sin(t))

>> hold on >> plot(1+cos(t),1+sin(t)) >> axis equal >> title('x^2+y^2=4 and (x-1)^2+(y-1)^2=1 daireleri')

Yüzeylerin Çizimleri

f(x,y) fonksiyonun dikdörtgensel ortamda gösterimi

R=[a,b]×[c,d]={(x,y) | a ≤ x ≤ b and c ≤ y ≤ d},

Ilk olarak ‘meshgrid’ fonksiyonunu kullanarak ortami gridleyerek tanimlayabiliriz

Dikdörtgen [0,4]×[0,3] parçalara bölünürse ve genisligi 1 yüksekligi 0.5 olan. Gird araligini tanimlayan x ve y vektörlerinin tanimlanmasi gerek. >> x=0:4 x = 0 1 2 3 4 >> y=0:.5:3 y = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 meshgrid grid noktalarini tanimlar. >> [X,Y]=meshgrid(x,y) X = 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Y = 0 0 0 0 0 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 öylece 35 noktadan olusan 7×5 matris elde edilir. X matrisi x koordinatlarini y matrisi y kooridnatlarini içerir. f(x,y)=3x−2y fonksiyonunu çizelim. z koordinatlarini olusturan z >> Z=3*X-2*Y olarak tanimlansin Z = 0 3 6 9 12 -1 2 5 8 11 -2 1 4 7 10 -3 0 3 6 9 -4 -1 2 5 8 -5 -2 1 4 7 -6 -3 0 3 6 Sonuç olarak ’surf’ fonksyionu tanimli yüzeyin çizimi için kullanilir >> surf(X,Y,Z) >> title('f(x,y)=3x-2y yüzeyi')

x ve y tanimlamalari dogrudan da yapilabilir. >> [X,Y]=meshgrid(0:4,0:.5:3)

Örnek: f(x,y)=x2y−2y fonksiyonunu [−2,2]×[−1,1] tanimli aralikta gösterelim. Kenar uzunlugu 0.1 olan karelerden olusan bir grid tanimlanmasi gerek.

>> [X,Y]=meshgrid(-2:.1:2,-1:.1:1); z yüzeyinin tanimi >> Z=(X.^2).*Y-2*Y;

Yüzeyin çizilmesi. >> surf(X,Y,Z) >> title('f(x,y)=x^2y-2y Yüzeyi')

Yariçapi ρ olan bir küre R3 ile merkezlenmis olsun. Ve genellestirilmis ifadesi ve tanim araligi,

r(φ,θ)=(ρsinφcosθ ρsinφsinθ,ρcosφ) 0 ≤ φ ≤ π,0 ≤ θ ≤ 2π.

Bu birim küreyi çizdirelim. Ilk olarak φ ve θ mesgrid fonksyionunu parametreleri olacaktir.

>> phi=0:pi/20:pi; >> theta=0:pi/10:2*pi; >> [Phi,Theta]=meshgrid(phi,theta); ρ = 1 için. >> X=sin(Phi).*cos(Theta); >> Y=sin(Phi).*sin(Theta); >> Z=cos(Phi); Finally we plot the surface, and scale the axes so that it looks like a sphere! >> surf(X,Y,Z) >> axis equal >> title('Birim küre {\bf R}^3') %{\bf R} yazim sekli R3 için formattir. Yada hazir fonksiyon halinde ‘sphere(n)’ n tam sayisi ile ayni küre elde edilir.

Konturlama ( Egri Seviye Degerleri )

f(x,y)=x2−y2. seviye egrilerinin gösterilmesi için 'contour’ komutu kullanilmaktadir.

>> [X,Y]=meshgrid(-1:.1:1); >> Z=X.^2-Y.^2; >> contour(X,Y,Z) >> title(' f(x,y)=x^2-y^2 fonksiyonunun seviye egrileri')

Konturlarin degerlerini elde etmek için >> [C,h]=contour(X,Y,Z); >> clabel(C,h) >> title('f(x,y)=x^2-y^2 kontur degerleri ile.')

Grafik ve Konturlarin beraber çizdirilmesi için ‘surfc’ komutu kullanilir >> surfc(X,Y,Z) >> title('f(x,y)=x^2-y^2. fonksiyonu ve kontur cizgileri')

Vektör Alanlari

Bir vektör alan Rn ile tanimlanan bir fonksiyon olsun. F:Rn→Rn, ve grafik olarak her x degerinin F(x) olarak yani x in Rn tanimlanir. MATLAB, quiver(X,Y,U,V) ile (U,V)vektörünü (X,Y)noktalarinda .

Örnek:Vektör alani F(x,y)=(−y,x)

>> [X,Y]=meshgrid(-1:.2:1); >> quiver(X,Y,-Y,X) >> axis equal >> axis([-1 1 -1 1])

>> quiver(X,Y,-Y,X,0) quiver(X,Y,U,V,s) genel ifadesinde s ölçeklendirme olarak kullanilir. Yukarida sagdaki sekilde s=0 olarak alinmistir. Kullanilmassa otomatik ölçeklendirme yapilir.

Sembolik Degiskenler ve Ifadeleri

MATLAB simgesel islemlerde Symbolic Math Toolkit’i kullanir. Kullanilacak fonksiyonlar

>> help symbolic ile görülebilir. Simgesel degisken ve islemlere giris yapmak için ‘>>symintro’ yazmak yeterlidir. Sayisal islemlerde ve karakter indislerinde bildirime gerek yok iken, simgesel islemlerde kullanilacak degiskenlerin önceden bildirilmesi gerekir. Örnegin ‘a’ gibi bir sembolik degisken >> sym a ans = a veya >> sym('a') ans = a ile bildirilir. Bir fonksionda geçen degiskenler x,y ve z olsun >> syms x y z Anlami x=sym('x'), y=sym('y') ve z=sym('z'). Sembolik bir ifade yazalim. >> S=x^2-y^2 S = x^2-y^2

Bu ifadenin faktörü. >> factor(S) ans = (x-y)*(x+y) S’nin küpü ve açilimi. >> S^3 ans = (x^2-y^2)^3 >> expand(ans) ans = x^6-3*x^4*y^2+3*x^2*y^4-y^6 Bir fonksiyonu sadelestirmek icin ‘simplify’ fonksyionu kullanilir. >> S=(x^3-4*x)/(x^2+2*x) S = (x^3-4*x)/(x^2+2*x) >> simplify(S) ans = x-2 Sembolik ifadeler matris yada vektör normunda olabilir. >> syms a b >> A=[cos(a) -sin(a); sin(a) cos(a)] A = [ cos(a), -sin(a)] [ sin(a), cos(a)] >> B=[cos(b) -sin(b); sin(b) cos(b)] B = [ cos(b), -sin(b)] [ sin(b), cos(b)] >> C=A*B C = [ cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b), -cos(a)*sin(b)-sin(a)*cos(b)] [ sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b), cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)] >> simplify(C) ans = [ cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b), -cos(a)*sin(b)-sin(a)*cos(b)] [ sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b), cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)] simplify fonksiyonu görüldügü gibi herhangi bir degisiklik yapmadi. Bu durumda baska bir seçebek olan ’simple’ fonksyionu kullanilir. Esitligin en kisa ifadesi. >> D=simple(C) D = [ cos(a+b), -sin(a+b)] [ sin(a+b), cos(a+b)]

Örnek: f(x,y)=(4x2−1)e−x2−y2 fonksiyonu için f(1,2) sonucunu bulalim.

>> syms x y >> f=(4*x^2-1)*exp(-x^2-y^2) f = (4*x^2-1)*exp(-x^2-y^2)

>> f(1,2) ??? Index exceeds matrix dimensions. f bir fonksiyon olmadigindan bir degisken oldugundan MATLAB f(1,2) bir satir ve 2 kolon olarak giris yapacaktir. Ifadenin sonucunu bulmak için degisken degistirme yapilmalidir. Bunun için ‘subs’ fonksiyonu kullanilir. >> subs(f,{x,y},{1,2}) ans = 0.0202 Sadece y’ye bagli bir ifade elde edilecekse, >> subs(f,x,3) ans = 35*exp(-9-y^2)

Fonksiyonlari tanimlamak için bir baska yol da ’inline’ komutunu kullanmaktir.

Örnek: g(x,y)=x2−3xy+2

>> g=inline('x^2-3*x*y+2') g = Inline function: g(x,y) = x^2-3*x*y+2 olarak tanimlanabilir. g(2,3) için fonksiyonu degerlendirmek için. g(2,3) ans = -12 inline fonksyonlarin dezavantaji sembolik olarak degistirilemez. >> g^2 ??? Error using ==> ^ Function '^' not defined for variables of class 'inline'.

Denklem Sistemlerinin Çözümü

Matlab’in bir diger gelismis özelligi her türlü dogrusal ve dogrusal olmayan denklem takimlarinin çözüm kümesini bulmasidir. Bu amaç için ‘solve’ komutunu kullanir.

>> solve('sin(x)+x=5') ans = 5.6175550052726989176213921571114 Eger esitlik verilmezse, >> solve('a*x^2+b*x+c','x') ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

Örnek: x2+y2=4 ve (x−1)2+(y−1)2=1 olarak verilen iki fonksiyonun kesisim degerlerini bulmak için. >> S=solve('x^2+y^2=4','(x-1)^2+(y-1)^2=1') S = x: [2x1 sym] y: [2x1 sym] >> [S.x S.y] ans = [ 5/4-1/4*7^(1/2), 5/4+1/4*7^(1/2)] [ 5/4+1/4*7^(1/2), 5/4-1/4*7^(1/2)] Kesisim degerleri ((5−√7)/4,(5+√7)/4) and ((5+√7)/4,(5−√7)/4). Dogrusal Denklem Takimlarinin Çözümü

n. dereceden dogrusal denklem takimi

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++=+++

................................................

...

...

2211

22222121

11212111

biçiminde verilir. Bu denklem takiminin matris biçiminde gösterimi

[ ]A [ ]x = [ ]B

seklinde tanimlanabilir. Burada;

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

   ..        ...     ..   ..      .

   ..      

   ..      

21

22221

11211

[ ]nbbbB    ..       21=

katsayilar matrislerini ve

[ ]321    ...       xxxX = çözümü istenen degiskenler matrisini (vektörünü) gösterir.

Bu tür istenen denklem takimlarinin çözümü için, içinde yer alan özel fonksiyonlar yoktur. Bu denklemlerin çözümünde matris islemlerinden yararlanilabilir. AX=B biçiminde verilen denklem takiminin çözümünde A\B biçiminde soldan (bölen bölme isaretinin solunda yer almakta) matris bölme islemi ile yerine getirilir. XA=B biçiminde tanimlanan matris

denklemin çözümünde B/A seklinde sagdan matris bölme islemi kullanilir. Sagdan ve soldan matris bölme isleminde sayisal Gauss eliminasyon teknigi kullanilir. Denklem Takimlarinin Ters Matris Islemi Yolu ile Çözümü

AX=B biçiminde verilen ve B’nin satir matrisi olarak tanimlandigi matris denkleminin her iki tarafini A-1 ile çarparsak

A-1 AX=A-1B elde edilir. Burada A-1 A, I olarak tanimlanan birim matrise denktir. Buna göre

IX=A-1B veya

X=A-1B

elde edilir. MATLAB ortaminda bu çözüm;

X=inv(A)*B

komutu ile elde edilebilir. Diger taraftan B’nin sütun matrisi olarak tanimlandigi, XA=B biçiminde ifade edilen denklem takiminin çözümü için, her iki taraf A-1 ile çarpilir ve gerekli düzenlemeler yapilirsa

X=BA-1 elde edilir.MATLAB ortaminda

X=B * inv(A) bildirimi ile gerekli çözüm elde edilmis olur. Örnek : Asagida verilen denklem takiminin çözümünü elde ediniz.

−=+−−=+−+=−++=+−+

1552103

1      2416    272

2        4

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxxxxxx

xxxx

Çözüm : Çözüm ilk önce soldan ve sagdan matris bölme islemlerine göre ele alinacak ve daha sonra da ters matris islemine göre çözülecektir. AX=B biçiminde matris denklemi verildiginde çözüm soldan bölme islemine göre asagidaki bildirimlerle yerine getirilebilir.

a=[ 1 4 –1 1; 2 7 1 -2; 1 4 -1 2; 3 -10 -2 5 ] b=[ 2 16 1 -15 ] >> x=a\b;

Denklem takimlari XA=B biçiminde matris denklemi ile tanimlandiginda çözüm sagdan bölme islemi ile asagidaki sekilde saglanir. Burada A ve B matrisleri bir önceki orijinal halinin traspozesi olmaktadir.

a=[ 1 2 1 3; 4 7 4 -10; -1 1 -1 -2; 3 -10 -2 5] b=[2 16 1 -15] x=b/a

Ters matris islemi ile çözümde; MATRIS denklemi AX=B biçiminde verildiginde, A ve B matrisi

a=[ 1 4 –1 1; 2 7 1 -2; 1 4 -1 2; 3 -10 -2 5 ]; b=[ 2 16 1 -15 ]

biçiminde tanimlandiktan sonra x=inv(a)*b; bildirimi ile çözüm elde edilir: Benzer sekilde Matris denklemi XA=B biçiminde verildiginde A ve B matrisleri,

a=[ 1 2 1 3; 4 7 4 -10; -1 1 -1 -2; 3 -10 -2 5] b=[2 16 1 -15] x=b*inv(a)

bildirimi ile çözüm elde edilir. Yukarida verilen bildirimler yolu ile x çözümü için

x= 2.0000 1.0000 3.0000 -1.0000

seklinde elde edilmis olur. Burada x1= 2, x2=1, x3=3 x4=-1 ‘dir. Dogrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü

Dogrusal olmayan denklemlerin dogrusal denklemlerde oldugu gibi tek bir standart biçimi yoktur. Gerek MATLAB içinde gerekse Otimatization Toolbox içinde, gerek tek degiskenli ve gerekse çok degiskenli denklemlerin çözümünde kullanilan çesitli çözüm fonksiyonlari vardir. Dogrusal olmayan denklemlerin çözümü, dogrusal denklem çözümü kadar basit olmayip bunlarin çözümü için ayrica bir fonksiyon dosyasi hazirlanmasi gerekir.

Burada, MATLAB içinde yer alan fzero fonksiyon fonksiyonu ile Otimatization Toolbox içinde yer alan fsolve fonksiyon fonksiyonu ayrintili bir biçimde ele alinacaktir. Ayrica diger dogrusal olmayan fonksiyon fonksiyonlarinin kisaca tanimlari gözden geçirilecektir.

fzero: Fonksiyon fonksiyonu; tek degiskenli bir fonksiyonun sifirini hesaplar. Genel kullanim biçimleri asagida oldugu gibidir.

z=fzero(‘function’,X0); z=fzero(‘function’,X0,tol);

z=fzero(‘function’,X0,tol, trace);

fun(x) biçimindeki bir fonksiyonun, X0 ile tanimlanan degere yakin olan tek bir sifirini hesaplar. Burada, fonksiyonu sifir yapan, yani x eksenini kesen bir sifir degeri hesaplanir.

Ikinci bildirimde yer alan tol isimli, seçimli argüman bagil hata toleransini belirler. Üçüncü bildirimde yer alan seçimli trace argümani her bir hesap yineleme islemindeki bilgileri görüntüler.

Fonksiyon fonksiyonu olan fzero fonksiyonunu kullanmak için ayrica function ile baslayan bir fonksiyon dosyasi hazirlanmasi gerekir. Örnek: f(x)=x3-2x-5 fonksiyonunun bir sifirini bulunuz. Çözüm: Önce bir fx.m adi ile fonksiyon dosyasi hazirlanir. Function y=fx(x) y=x^3-2*x-5 Burada dosya adi ‘fx’ ile fonksiyon adi ‘fx’ ayni olmasi gerektigine dikkat edilmelidir. Daha sonra MATLAB ortaminda z=fzero(‘fx’,2) bildirimi ile z=2.0946 sonucu elde edilir. Burada X0=2 olarak tahmini bir baslangiç deger verilmistir.

f (x) fonksiyonu gerçekten bir polinom olduguna göre asagida verilen roots komutu ile p=roots([1 0 -2 -5])

Ayni fonksiyonu sifir yapan gerçek deger ile birlikte karmasik eslenik kökleri de;

p= 2.0946 -1.0473 + 1.1359i -1.0473 - 1.1359i

olarak elde edilmis olur Örnek : e2x –x –2 biçiminde verilen dogrusal olmayan fonksiyonun bir adet sifirini bulunuz. Çözüm:Burada f(x) fonksiyonu;

f(x)=e2x –x –2 biçimine sokulabildigine göre fonksiyon dosyasi; function y=fex(x) y=exp(2*x)-x-2;

biçiminde hazirlanir. Daha sonra MATLAB ortaminda;

z=fzero(‘fex’,1) z0.4475 elde edilir.

Yukaridaki örneklerden de görüldügü gibi fzero fonksiyonu herhangi bir fonksiyonun

tahmini bir sifirinin hesaplanmasinda ve/veya dogrusal olmayan denklemlerin çözümünde daha kullanislidir. Dogrusal denklemlerin ayni anda tüm köklerini çözmek gerektiginde roots fonksiyonunu kullanmak daha pratik olacaktir. Dogrusal Olmayan Denklem Takimlarinin Çözümü

Dogrusal olmayan denklem takimlarinin çözümünde, Optimization Toolbox içinde yer alan fsolve fonksiyon fonksiyonu kullanilir. fsolve fonksiyonu dogrusal olmayan denklem takiminin çözümünü saglar.

fsolve fonksiyonunun belli basli kullanim biçimleri asagida oldugu gibidir. x=fsolve(‘fun’,x0) x=fsolve(‘fun’,x0,options) x=fsolve(‘fun’,x0,options,’grad’) x=fsolve(‘fun’,x0,options,’grad’,p1,p2, ...) [x,options]=fsolve(‘fun’,x0, ...)

fsolve dogrusal olmayan denklemlerin köklerini hesaplar. Çikis argümani olan X degerleri; F(x)=0 seklinde hesaplanir. Burada F(x) ve X skalar, vektör veya matrislerden ibaret olabilir.

x=fsolve(‘dun’,x0) bildirimi, fun.m isimli M-dosyasinda tanimlanan denklemleri, X0 tahmini baslangiç degerlerinden baslayarak çözer ve sonucu X degiskenine atar. Burada X0 boyutu x degisken sayisi kadar olmalidir.

Ikinci bildirimde yer alan seçimli argüman options seçimli parametreler vektörünü tanimlar. options için pek çok seçenek mevcuttur. Bunlar ile ilgili bilgiler help folve yolu ile saglanabilir.

Üçüncü bildirimde yer alan grad, X noktasinda fonksiyonlarin kismi türevlerini (Jacobianlarini) df/dx, df=grad(x) elde etmek için kullanilir. df’in i’inci sütunu f’deki fonksiyonun i’inci kismi türevine karsilik gelir. Örnek: Bir metal kesme islemine ait denklem takimi C=1.2+11.62323v-1f-1 + 5.7449x10-8v3f0.16d1.14 0.0499v0.95 f0.78 d0.75=20 biçiminde tanimlanmaktadir. Burada c 1.27 i,le 1.28 arasinda bir degerdir. Tamamen nonlinear olan bu denklemlerin çözümü için gerekli fonksiyon dosyasi function f=nlnr(x) &x(1)=v, x(2)=f, x(3)=d, degiskenlerine .karsilik gelmektedir. F(1)=-0.08+11.6323/(x(1)*x(2))+5.744e-8 . . .

(x(1).^3)* (x(2).^0.16) * (x(3).^1.14); f(2)=12.7 –0.015*(x(1).^(-1.52))*(x(2).^1.004) . . . *( x(3). ^0.25); f(3)=20-0.0449*(x(1).^0.95)*(x(2).^0.78) *(x(3).^0.75); hazirlanabilir. Daha sonra MATLAB ortaminda fsolve ile asagidaki bildirimler yolu ile çözülür. Burada en önemli husus baslangiç degerinin seçimidir. Uygun bir çözüm elde edilene kadar baslangiç degerlerinin seçimi degistirilebilir.

x=fsolve(‘nlnr’,[0.5 112.5 20]); Bildirimi ile

X= 0.6686 217.4627 18.2436

Sonucu elde edilir. Bu sonuç f fonksiyonlari ile test edildiginde

f= 1.0e-008 *(-0.0573 -0.5991 0.5776) sifira çok yakin degerler elde edildigi görülür. Buna karsilik X0 baslangiç degerleri asagida oldugu gibi seçilecek olursa >>x=fsolve(‘nlnr’,[1 2 100]); Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND= 6.79344e-017 Maximum number of iterations has been exceeded Biçiminde bir uyari alinir. Buda çözümün yeterli tamlikta gerçeklenmedigini gösterir. Gerçekten de f fonksiyon degerleri asagidaki biçimde yazilarak test edildiginde

>> F(1)=-0.08+11.6323/(x(1)*x(2))+5.744e-8 . . . (x(1).^3)* (x(2).^0.16) * (x(3).^1.14); >> f(2)=12.7 –0.015*(x(1).^(-1.52))*(x(2).^1.004) . . . *( x(3). ^0.25); >> f(3)=20-0.0449*(x(1).^0.95)*(x(2).^0.78) *(x(3).^0.75); f= 0.1715 0.2316 0.5576

sifirdan oldukça farkli degerler elde edildigi görülür. Bu durumda baslangiç degerlerini degistirmek sureti ile uygun çözümler arastirilmalidir.

Optimization Toolbox içinde, dogrusal olmayan denklemlerin, degisik sekilde çözümünde kullanilan diger pek çok fonksiyon vardir. Bunlarin tanimlari asagida kullanilan diger pek çok fonksiyon vardir. Bunlarin tanimlari asagida oldugu gibidir. Genel kullanim biçimleri MATLAB ortaminda help komutu ile elde edilebilir.

attgoal : Çoklu-amaçli hedefe ulasma problemi çözümü constr : Kisitli minimizasyon çözümü fmin : Skalar kisitsiz minimizasyon çözümü. fminu, fmins : Kisitsiz minimizasyon çözümü. Fsolve : Dogrusal olmayan denklem çözümü. leastssq : Dogrusal olmayan en küçük kareler çözümü. minimax : Minimum-maksimum çözümü. seminf : Yari mutlak minimizasyon lp : Dogrusal programlama nnls : Negatif olmayan en küçük kareler çözümü. qp : Egrisel programlama.

Integraller Simgesel integral alma fonksiyonu ‘int’ genel kullanim sekli int(s) : findsym ile belirlenen simgesel degiskene göre S’nin belirsiz integralini alir int(s,v) : S’nin v’ye göre integralini alir. int(S,a,b) : S’nin varsayilan degiskene göre a’dan b’ye kadar belirli integralini alir. int(S,v,a,b) : S’nin tanimli a’dan b’ye kadar belirli integralini alir. Örnek:

∫ +−− dxxx )2042( 5 integrallinin hesaplanmasi >>int(-2*x^5-4*x+20) ans = -1/3*x^6-2*x^2+20*x >> pretty(int(-2*x^5-4*x+20)) 6 2 - 1/3 x - 2 x + 20 x Örnek:

∫ ++1

0))1ln(( dtuttat integralinin hesaplanmasi

>> syms x a u t; >> int_s=a*t*log(t+1)+u*t; >> r=int(int_s,t) r = 1/2*a*log(t+1)*t^2-1/2*a*log(t+1)-1/4*a*t^2+1/2*a*t+3/4*a+1/2*u*t^2 >> ss=int(int_s,t,0,1) ss = 1/2*u+1/4*a Eger integral sinirlari –8 , +8 ise -inf ve +inf olarak sinirlar verilir.

Türevler

Türev ifadesi ’diff’ komutu ile verilir. Örnegin f f(x)=sin(ex) ifadesinin x’e bagli türevi >> syms x >> f=sin(exp(x)) f = sin(exp(x)) >> diff(f) ans = cos(exp(x))*exp(x) nth türev diff(f,n) olarak verilir. >> diff(f,2) ans = -sin(exp(x))*exp(x)^2+cos(exp(x))*exp(x)

Kismi türevlerin bulunmasina örnek f(x,y)=x3y4+ysinx. >> syms x y >> f=x^3*y^4+y*sin(x) f = x^3*y^4+y*sin(x) Ilk olarak ∂f/∂x hesaplanir. >> diff(f,x) ans = 3*x^2*y^4+y*cos(x) Daha sonra ∂f/∂y hesaplanir. >> diff(f,y) ans = 4*x^3*y^3+sin(x) ∂3 f/∂x3 bulmak istersek >> diff(f,x,3) ans = 6*y^4-y*cos(x)

Bir fomksiyonun bilinmeyen parametrelerine göre türevinin alinmasi için Jacobian matrisin olusturulmasi gerekir. Bunun için ‘jacobian’ komutu kullanilir.

Örnek: f(x,y)=(sin(xy),x2+y2,3x−2y).

>> f=[sin(x*y); x^2+y^2; 3*x-2*y] f = [ sin(y*x)] [ x^2+y^2] [ 3*x-2*y] >> Jf=jacobian(f) Jf = [ cos(y*x)*y, cos(y*x)*x] [ 2*x, 2*y] [ 3, -2]

Dogrusal bir dönüsüm durumunda Jacobian oldukça basittir. >> A=[11 -3 14 7;5 7 9 2;8 12 -6 3] A = 11 -3 14 7 5 7 9 2 8 12 -6 3 >> syms x1 x2 x3 x4 >> x=[x1;x2;x3;x4] x = [ x1] [ x2] [ x3] [ x4] >> T=A*x T = [ 11*x1-3*x2+14*x3+7*x4] [ 5*x1+7*x2+9*x3+2*x4] [ 8*x1+12*x2-6*x3+3*x4] T ‘nin Jacobian ‘i >> JT=jacobian(T) JT = [ 11, -3, 14, 7] [ 5, 7, 9, 2] [ 8, 12, -6, 3] The Jacobian of T is A matrisinivermektedir. Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ‘dsolve’ komutu kullanilmaktadir. Örnek: ∂y/∂t=-ay diferansiyel denkleminin çözümü >> y=dsolve('Dy=-a*y') y= C1*exp(-a*t) Uygulamada varsayilan degisken t’dir. Ancak problem y=-ay seklinde verilseydi bu durumda degiskenin ne oldugu belirtilmemistir. y(0)=1 baslangiç kosulu verildigini düsünelim. >> y=dsolve('Dy=-a*y','y(0)=1') y = exp(-a*t) C1 katsayisinin kalktigi görülmektedir. Örnek:

032

2

=++ ydtdy

dtyd diferansiyel denklemin çözümü

dsolve('D2y+3*Dy+y=0') ans = C1*exp(1/2*(-3+5^(1/2))*t)+C2*exp(-1/2*(3+5^(1/2))*t) pretty(ans) 1/2 1/2 C1 exp(1/2 (-3 + 5 ) t) + C2 exp(- 1/2 (3 + 5 ) t)

‘Pretty’ komutu ile düzenli basim sekli gelir. Örnek: y(0)=0, y?(0)=1 kosullari altinda y??+4y?+12y=8sin4t ikinci derecden diferansiyel denklemin çözümü r=dsolve('D2y+4*Dy+12*y=8*sin(4*t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t') r = -4/17*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)-2)*t)-3/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)-2)*t)*2^(1/2)-7/34*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)-2)*t)*2^(1/2)+3/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2^(1/2))*t)*2^(1/2)+7/34*cos(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2+2^(1/2))*t)*2^(1/2)+3/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)-2)*t)*2^(1/2)-7/34*cos(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)-2)*t)*2^(1/2)+1/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2+2^(1/2))*t)+7/34*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2^(1/2))*t)*2^(1/2)-4/17*cos(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2+2^(1/2))*t)-4/17*cos(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)-2)*t)-3/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2+2^(1/2))*t)*2^(1/2)-1/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2^(1/2))*t)+1/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)-2)*t)-4/17*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2^(1/2))*t)-1/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)-2)*t)+8/17*exp(-2*t)*cos(2*2^(1/2)*t)+41/68*exp(-2*t)*sin(2*2^(1/2)*t)*2^(1/2) >> pretty(simple(r)) 1/2 8/17 exp(-2 t) cos(2 2 t) - 2/17 sin(4 t) - 8/17 cos(4 t) 41 1/2 1/2 + -- exp(-2 t) sin(2 2 t) 2 68

M-Dosyalari

M-dosyalari olarak ele aldigimiz dosyalar aslinda matlab ortaminda kullanmis oldugumuz komutlardir ve veri analizini saglayan fonksiyonlardir.Bu fonksiyonlar her amaca yeterli olsa da sonuçlara daha hizli ulasabilmek için kendimize özel fonksiyonlar yani yeni M-dosyalari olusturabiliriz.Çesitli yollarla bu M-dosyalarini hazirlayabiliriz.Istersek bir komutlar dizisi sayesinde sonuca ulasiriz istersek de “function” kelimesiyle baslayan bir fonksiyonel dosya olustururuz.Önemli olan bize istedigimiz sonucu kisa zamanda verebilmesi.Simdi de örnek olarak bir M-dosyasi olusturalim:

Örnegin kütlesinin ve hizinin degerini girdigimde bana o cismin kinetik enerjisini veren bir M-dosyasi olusturalim.Öncelikle komutlari yazacagim sayfaya girmem gerek.M-dosyasi olusturmak için öncelikle “file “ menüsünden “new” dedigimizde M-file diyecektir.onu seçerek

alanimizi olusturmus oluruz.Baska bir yol ise Command Window’da “edit” yazarak olusturmaktir.

Asagidaki gibi M-dosyamizi olusturuyoruz: % kütlesi ve hizi verilen bir cismin % kinetik enerjisinin hesabi m=input('Lütfen kütle degerini giriniz(kg)= ') v=input('Lütfen cismin hiz degerini giriniz(m/s)= ') Ek=m*v^2/2 (verilen degerlere göre kinetik enerji hesaplaniyor)

Bu komutlari yazdiktan sonra bunu sakliyoruz.Örnegin sayfadaki disket resmine tikladik ve dosya ada olarak kinetik yazdik ve dosyayi saklamis olduk.Simdi de islemlerimizin dogrulugunu test edelim.Command Window’a geçerek kinetik yazdigimizda veya komutlari yazdigimiz sayfadan “debug ” menüsünden “Run” seçtigimizde bakalim neler oluyor:

>> kinetikLütfen kütle degerini giriniz(kg)=10m = 10 Lütfen cismin hiz degerini giriniz(m/s)=50 v = 50 Ek = 12500

%************************************** % Hareketli egri için bir örnek r(t)=(2tcost/(t+1),2tsint/(t+1)) % kivrim.m % hold on for T=0:.1:4*pi t=[T T+.1]; plot(2*t.*cos(t)./(t+1),2*t.*sin(t)./(t+1)) axis equal axis([-2 2 -2 2]) axis off pause(.01) end %************************************************* % rastgele sayi üretimi ve sinus üzerine bindirme f1=50 % frekans f2=100 % frekans dt=0.001; max_sure=50; % saniye byt=40; % random sayi buyultme faktoru t = 0:0.001:.255; x = 10*sin(2*pi*f1*t) %+cos(2*pi*f2*t); yy = x + byt*randn(size(t)); subplot(2,1,1) plot((1/dt)*t(1:max_sure),yy(1:max_sure)) xlabel('zaman (milisaniye)') subplot(2,1,2) Y = fft(yy,256);

Pyy = Y.* conj(Y) / 256; f = 1000*(0:128)/256; plot(f,Pyy(1:129)) xlabel('frekans (Hz)') %************************************************ %************************************************ % K,re seklinde bir cismin gravite anomalisi ve rastgele gürültü eklenmesi clear all; G=6.6579E-8; s=3000000; d=300; % s=input('kütle='); % d=input('derinlik='); byt=0.008; % rastgele sayi faktoru % kure seklindeki cismin gravite anomalisinin ifadesi % anomaliye rastgele gurultu eklenir. for i=(1:40) tm=s*1E6 td=d*1E2 x(i)=(i-21)*1E4 delg(i)=((G*tm*td)*(1/((x(i)^2+td^2)^1.5)))*1E3; gur=byt*randn(size(i)); gdelg(i)=delg(i)+gur; end; plot(x,gdelg) xlabel('uzaklik km') ylabel('mgal') text(5000,0.2,'\leftarrowanomali',... 'FontSize',16) %****************************************************

KAYNAKLAR

• MATLAB ILE MÜHENDISLIK SISTEMLERININ ANALIZI VE ÇÖZÜMÜ Prof.Dr. Ibrahim YÜKSEL U.Ü.Makine Mühendisligi Bölümü 1996 • Matlab ve Programlama

Dr. Aslan Inan, Papatya • DIFERANSIYEL DENKLEMLER VE UYGULAMALARI

Prof. Dr. Mehmet AYDIN Gönül GÜNDÜZ Beno KURYEL Yard. Doç. Dr. Galip OTURANÇ Izmir 1999

• HTTP://WWW.MATHWORKS.COM • HTTP://EDUCATION.MATHWORKS.COM • HTTP://EFE.EGE.EDU.TR/~MATLAB/MATLAB1.DOC