Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Franck Laloë

Mécanique quantiqueTome III

Fermions, bosons, photons, corrélations et intrication

S AV O I R S A C T U E L S EDP Sciences/CNRS Éditions

Dans la même collection :

Cohomologie galoisienne - Et théorie du corps de classes David Harari

Optique non linéaire François Hache

Chimie verte - Concepts et applications Jacques Augé et Marie-Christine Scherrmann

De la solution à l’oxyde - Chimie aqueuse des cations métalliques, Synthèse de nanostructures Jean-Pierre Jolivet

Physique de la conversion d’énergie Jean-Marcel Rax

La matière en désordre Étienne Guyon, Jean-Pierre Hulin et Daniel Bideau

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EDP Sciences, ISBN (papier) : 978-2-7598-2107-5, ISBN (ebook) : 978-2-7598-2151-8CNRS Éditions, ISBN : 978-2-271-11808-0

Table des matières

XV Opérateurs de création et d’annihilation pour desparticules identiques 1A Formalisme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2B Opérateurs symétriques à une particule . . . . . . . . . . . . . . . . 14C Opérateurs à deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Compléments du chapitre XVGUIDE DE LECTURE 29

AXV Particules et trous 331 Etat fondamental d’un gaz de fermions sans interactions . . 332 Nouvelle définition des opérateurs de création et d’annihi-

lation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Vide d’excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

BXV Gaz parfait en équilibre thermique ; fonctions de distributionquantiques 371 Description grand-canonique d’un système sans interactions 382 Valeurs moyennes des opérateurs symétriques à une particule 403 Opérateurs à deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Nombre total de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Equation d’état, pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

CXV Systèmes de bosons condensés, équation de Gross-Pitaevskii 571 Notations, ket variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 Une première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Généralisation, calcul en notation de Dirac . . . . . . . . . . 624 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

DXV Équation de Gross-Pitaevskii dépendant du temps 731 Evolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 Analogie hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 Ecoulements métastables, superfluidité . . . . . . . . . . . . 83

EXV Systèmes de fermions, approximation de Hartree-Fock 951 Les bases de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 Généralisation : méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . 107

TABLE DES MATIÈRES

FXV Fermions, Hartree-Fock dépendant du temps 1191 Ket variationnel et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203 Calcul de l’optimisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234 Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

GXV Fermions ou bosons : équilibre thermique en champ moyen 1291 Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302 Approximation de l’opérateur densité à l’équilibre . . . . . 1343 Equations de champ moyen dépendant de la température . 144

HXV Applications de la méthode du champ moyen à température nonnulle 1531 Hartree-Fock à température non nulle, bref rappel . . . . . 1532 Système homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543 Magnétisme spontané de fermions répulsifs . . . . . . . . . . 1574 Bosons : équation d’état, instabilité attractive . . . . . . . . 165

XVI Opérateur champ 171A Définition de l’opérateur champ . . . . . . . . . . . . . . . . . 172B Opérateurs symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175C Evolution dans le temps de l’opérateur champ (point de

vue de Heisenberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184D Lien avec la quantification d’un champ . . . . . . . . . . . . 186

Compléments du chapitre XVIGUIDE DE LECTURE 189

AXVI Corrélations spatiales dans un gaz parfait de bosons ou defermions 1911 Système dans un état de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Fermions dans l’état fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . 1943 Bosons dans un état de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

BXVI Fonctions de corrélation spatio-temporelles, fonctions de Green2031 Fonctions de Green dans l’espace ordinaire . . . . . . . . . . 2032 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123 Fonction spectrale, règle de somme . . . . . . . . . . . . . . . 218

CXVI Théorème de Wick 2231 Démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2232 Applications : fonctions de corrélation d’un gaz parfait . . 228

iv

TABLE DES MATIÈRES

XVII Etats appariés de particules identiques 235A Opérateurs création et annihilation d’une paire de particules 238B Construction d’états appariés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242C Propriétés des kets caractérisant les paires d’états . . . . . 247D Corrélations entre particules, fonction d’onde de paires . . 255E Les états appariés comme vide de quasi-particules ; trans-

formations de Bogolubov-Valatin . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Compléments du chapitre XVIIGUIDE DE LECTURE 269

AXVII Opérateur champ de paires de particules identiques 2711 Opérateurs de création et d’annihilation de paires . . . . . 2722 Valeurs moyennes dans un état apparié . . . . . . . . . . . . 2773 Relations de commutation des opérateurs champ . . . . . . 288

BXVII Energie moyenne dans un état apparié 2951 Utilisation d’états qui ne sont pas états propres du nombre

total de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2952 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2973 Fermions de spin 1/2 dans un état singulet . . . . . . . . . . 3004 Bosons de spin nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

CXVII Appariement de fermions, théorie BCS 3151 Optimisation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172 Fonctions de distribution, corrélations . . . . . . . . . . . . . 3263 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414 Etats excités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

DXVII Paires de Cooper 3551 Le modèle de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552 Vecteur d’état et hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3553 Solution de l’équation aux valeurs propres . . . . . . . . . . 3574 Calcul de l’énergie de liaison dans un cas simple . . . . . . . 357

EXVII Bosons répulsifs condensés 3611 Etat variationnel, énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3632 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3653 Propriétés de l’état fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . 3684 Méthode opératorielle de Bogolubov . . . . . . . . . . . . . . 379

v

TABLE DES MATIÈRES

XVIII Rappels d’électrodynamique classique 385A Electrodynamique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387B Description du champ transverse comme un ensemble d’os-

cillateurs harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Complément du chapitre XVIIIGUIDE DE LECTURE 405

AXVIII Formulation lagrangienne de l’électrodynamique 4071 Lagrangien avec divers types de variables . . . . . . . . . . . 4082 Application au champ de rayonnement libre . . . . . . . . . 4143 Lagrangien du système global champ + particules en in-

teraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

XIX Quantification du rayonnement électromagnétique 425A Quantification du rayonnement en jauge de Coulomb . . . . 427B Les photons, excitations élémentaires du champ quantique

libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432C Description des interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Compléments du chapitre XIXGUIDE DE LECTURE 445

AXIX Echanges d’impulsion entre atomes et photons 4471 Recul d’un atome libre absorbant ou émettant un photon . 4482 Applications de la force de pression de radiation : ralentis-

sement et refroidissement des atomes . . . . . . . . . . . . . 4533 Blocage du recul par un confinement spatial . . . . . . . . . 4644 Suppression du recul dans certains processus multiphoto-

niques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

BXIX Moment cinétique du rayonnement 4731 Valeur moyenne du moment cinétique pour une particule

de spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4742 Moment cinétique du rayonnement libre classique en fonc-

tion des variables normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4773 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

CXIX Echanges de moment cinétique entre atomes et photons 4851 Transfert de moment cinétique de spin aux variables ato-

miques internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4862 Les méthodes optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4883 Transfert de moment cinétique orbital aux variables ato-

miques externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

vi

TABLE DES MATIÈRES

XX Absorption, émission, et diffusion de photons par un atome 497A Outil de base : l’opérateur d’évolution . . . . . . . . . . . . . 498B Absorption de photons entre deux niveaux atomiques dis-

crets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503C Processus d’émission induite et d’émission spontanée . . . . 510D Rôle des fonctions de corrélation dans les processus à un

photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514E Diffusion de photons par un atome . . . . . . . . . . . . . . . 516

Compléments du chapitre XXGUIDE DE LECTURE 527

AXX Exemple de processus multiphotonique : absorption à deux pho-tons 5291 Rayonnement monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . 5292 Rayonnement non monochromatique . . . . . . . . . . . . . . 5333 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

BXX Photo-ionisation 5411 Brefs rappels sur l’effet photo-électrique . . . . . . . . . . . 5422 Calcul des taux de photo-ionisation . . . . . . . . . . . . . . 5443 Une théorie quantique du rayonnement est-elle essentielle

pour décrire la photo-ionisation ? . . . . . . . . . . . . . . . . 5504 Photo-ionisation à deux photons . . . . . . . . . . . . . . . . 5565 Ionisation tunnel avec des champs laser intenses . . . . . . . 559

CXX Atome à deux niveaux dans un champ monochromatique.Méthode de l’atome habillé 5611 Brève description de la méthode de l’atome habillé . . . . . 5632 Domaine des couplages faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5693 Domaine des couplages forts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5744 Modifications du champ. Dispersion et absorption . . . . . 580

DXX Les déplacements lumineux : un outil pour manipulerles atomes et le champ 5851 Forces dipolaires et pièges laser . . . . . . . . . . . . . . . . . 5852 Miroirs pour atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5873 Réseaux optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5884 Refroidissement sub-Doppler. Effet Sisyphe . . . . . . . . . 5895 Détection non destructive d’un photon . . . . . . . . . . . . 593

EXX Détection de paquets d’ondes à un ou deux photons, interfé-rences 5971 Paquets d’ondes à un photon, probabilité de photo-détection 5992 Signaux d’interférence à un ou deux photons . . . . . . . . . 6023 Amplitude d’absorption d’un photon par un atome . . . . . 6084 Diffusion d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6105 Exemple de paquet d’ondes à deux photons intriqués . . . . 615

vii

TABLE DES MATIÈRES

XXI Intrication quantique, mesures, inégalités de Bell 623A Notion d’intrication, buts de ce chapitre . . . . . . . . . . . 624B Etats intriqués d’un système de deux spins 1/2 . . . . . . . 626C Intrication entre systèmes physiques quelconques . . . . . . 629D Mesure idéale et états intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . . 632E Expériences “quel chemin” : peut-on identifier le chemin

suivi par le photon dans l’expérience des fentes d’Young ? . 639F Intrication, non-localité, théorème de Bell . . . . . . . . . . 641

Compléments du chapitre XXIGUIDE DE LECTURE 651

AXXI Opérateur densité et corrélations ; séparabilité 6531 Entropie statistique de von Neumann . . . . . . . . . . . . . 6532 Différences entre corrélations classiques et quantiques . . . 6563 Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

BXXI Etats GHZ, échange d’intrication 6631 Désaccord de signe dans un état GHZ . . . . . . . . . . . . . 6632 Échange d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

CXXI Emergence d’une phase relative sous l’effet de processus dedétection 6731 Probabilités des mesures de position simple, double, etc. . 6742 Augmentation de l’intrication sous l’effet du processus de

détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6793 Détection d’un grand nombre de particules Q . . . . . . . . 681

DXXI Emergence d’une phase relative sur des condensats à spin,argument EPR et non-localité macroscopiques 6891 Deux condensats à spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6902 Probabilités des différents résultats de mesure . . . . . . . . 6923 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

APPENDICES 703

IV Intégrale de chemins de Feynman 7031 Propagateur quantique d’une particule . . . . . . . . . . . . 7042 Interprétation en termes d’histoires classiques . . . . . . . . 7083 Discussion ; une nouvelle règle de quantification . . . . . . . 7104 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

viii

Avant-propos

V Multiplicateurs de Lagrange 7171 Fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7172 Fonction de N variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

VI Rappels de mécanique statistique quantique 7211 Ensembles statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212 Variables intensives ou extensives ; valeur des grandeurs

physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

VII Transformée de Wigner 7351 Fonction delta d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7372 Distribution de Wigner de l’opérateur densité (particule

sans spin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7373 Transformée de Wigner d’un opérateur . . . . . . . . . . . . 7494 Généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7575 Discussion physique, distribution de Wigner et effets quan-

tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

BIBLIOGRAPHIE 765

INDEX 770

ix

Avant-propos des éditeurs scientifiques

En tant que directeurs de la collection “ Savoirs Actuels”, nous sommes par-ticulièrement heureux d’y publier l’ouvrage “Mécanique quantique, tome III” parClaude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Franck Laloë. Les deux premiers tomes,publiés en 1973, ont connu un énorme succès dans le monde entier et ont fait l’ob-jet de nombreuses traductions. Ils contiennent un exposé approfondi des principeset des applications de la mécanique quantique qui a servi de base à l’apprentis-sage du domaine pour des générations d’étudiants dans de nombreuses disciplines.Le tome III qui leur fait suite développe la seconde quantification et la théoriede l’opérateur champ, ainsi que plusieurs de ses applications : méthodes du champmoyen (Hartree-Fock, Gross-Pitaevskii), théorie de l’appariement, etc., puis la quan-tification du champ électromagnétique (émission spontanée, atome habillé, etc.) ; ledernier chapitre est consacré à divers aspects de l’intrication quantique.

Les trois auteurs sont des physiciens de très grande réputation internationale :

Claude Cohen-Tannoudji a été chercheur CNRS, professeur à l’Université deParis puis au Collège de France, où il a donné pendant trente années des cours dontle rayonnement a été considérable dans de nombreux laboratoires. Il a été lauréatdu Prix Nobel en 1997 avec Steve Chu et William Phillips pour ses nombreusescontributions à la physique atomique et l’optique quantique, en particulier dans ledomaine du refroidissement et du piégeage d’atomes par des faisceaux laser.

Bernard Diu a été professeur à l’Université de Paris et y a enseigné avec grandsuccès diverses disciplines de la physique, en particulier la mécanique quantique ainsique la mécanique statistique. Son domaine de recherche principal est la physique desparticules élémentaires. Il a toujours fait preuve d’un intérêt soutenu pour l’ensei-gnement et la diffusion des sciences, et il a publié plusieurs livres destinés au grandpublic dont “Traité de physique à l’usage des profanes”.

Franck Laloë a été maître assistant attaché aux cours de mécanique quan-tique, puis chercheur CNRS au sein du Laboratoire Kastler-Brossel. Ses travaux derecherche ont porté sur divers effets liés aux statistiques quantiques, l’orientationnucléaire de l’hélium trois par pompage optique, les ondes de spin dans les gaz àbasse température, et divers aspects de la mécanique quantique fondamentale. Il aégalement effectué des recherches en acoustique musicale.

Ces auteurs ont déjà publié de nombreux autres ouvrages. Nous tenons àsignaler les livres précédemment édités dans “Savoirs Actuels” auxquels ont collaboréces auteurs :

“Photons et atomes, introduction à l’électrodynamique quantique” (1987, nou-velle édition 2001), par Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc et Gil-bert Grynberg, traite en grand détail de la quantification du champ électro-magnétique ;

Avant-propos

“Processus d’interaction entre photons et atomes” (1988, nouvelle édition1996), par les mêmes auteurs, décrit les applications à la physique atomique,et détaille en particulier la méthode de l’atome habillé qui est à la base destravaux qui ont valu le prix Nobel à Claude Cohen-Tannoudji ;

“Comprenons-nous vraiment la mécanique quantique ?” (2011, nouvelle éditionprévue en 2018) par Franck Laloë a fait date dans les ouvrages consacrés auxfondements de la mécanique quantique ; il est destiné à devenir un “classique”,intéressant aussi bien les physiciens que les philosophes, et au-delà tous ceuxqui sont passionnés par la science aujourd’hui.

Michèle Leduc, physicienne, directricede recherche émérite au CNRS et auLaboratoire Kastler Brossel, directricede la collection “Savoirs Actuels”

Michel Le Bellac, professeur de physiqueémérite à l’Université de Nice-SophiaAntipolis, directeur adjoint de la col-lection “Savoirs Actuels” pour la sériePhysique et Astrophysique

xii

Avant-propos

Avant-propos des auteurs au Tome III

Ce tome III poursuit l’étude de la mécanique quantique présentée dans lestomes I et II [1, 2]. Il introduit de nouvelles approches et méthodes de calcul qui serévèlent essentielles pour décrire et interpréter des phénomènes physiques observésdans de nombreux domaines de la physique, dont certains sont en plein développe-ment.

Un premier sujet étudié est l’étude des ensembles de particules identiques,libres ou en interaction. De tels systèmes ont déjà été décrits dans le Chapitre XIVdu tome II en partant du postulat de symétrisation, qui impose à la fonction d’ondedu système global de rester invariante par permutation de deux particules (cas desbosons, de spin entier ou nul) ou de changer de signe dans une permutation impaire(cas des fermions, de spin demi-entier). Dans ce tome III, nous introduisons une autreméthode qui conduit à des calculs souvent beaucoup plus simples, parfois appelée “se-conde quantification”. Cette description est basée sur l’utilisation dans un “espace deFock” d’opérateurs d’annihilation ai et de création a†i , qui respectivement détruisentou créent une particule dans un état |ui〉 appartenant à une base orthonormée. Lesrelations de commutation ou d’anti-commutation de ces opérateurs sont parfaite-ment équivalentes aux propriétés de symétrie des fonctions d’ondes imposées par lepostulat de symétrisation du Chapitre XIV. La méthode est illustrée par l’étude denombreux exemples, comme les propriétés des électrons dans un solide ou celles desatomes identiques dans un gaz à très basse température. Dans les approximations de“champ moyen”, souvent utilisées pour prendre en compte les interactions entre par-ticules, l’évolution de chaque particule dans un système de N particules est décritecomme résultant de l’interaction moyenne de cette particule avec les N − 1 autres.On établit ainsi les équations de Hartree-Fock (pour des fermions) et de Gross-Pitaevskii (pour des bosons). L’étude de l’équation de Gross-Pitaevskii permet enparticulier de comprendre certains aspects d’un phénomène physique important, lasuperfluidité des bosons. Nous présentons également le phénomène d’appariement enmécanique quantique, de façon unifiée en traitant dans le même cadre général fer-mions (condensation “BCS” pour Bardeen-Cooper-Schrieffer) et bosons (théorie deBogolubov). Pour des fermions, la théorie BCS est à la base de notre compréhensionde la supraconductivité dans les métaux. Notre étude des états appariés permet éga-lement de discuter dans quelle mesure un système de deux fermions appariés peut secomporter comme un boson. Mentionnons enfin que, dans le cas où la base |ui〉 est labase |r〉 des états propres de l’opérateur position, les opérateurs d’annihilation et decréation ψ (r) et ψ† (r) sont des champs d’opérateurs et constituent un exemple de“champ quantique ”. Ainsi, la valeur moyenne

⟨ψ† (r1)ψ† (r2)ψ (r2)ψ (r1)

⟩est une

“fonction de corrélation” spatiale, décrivant comment la détection d’une particule enr1 influence la détection d’une autre particule en r2. On peut ainsi obtenir un nouveléclairage sur les interférences spatiales en physique quantique ; elles sont associées,non plus à une interférence entre deux ondes classiques, mais à une interférenceentre deux amplitudes de probabilité quantiques associées à deux chemins différentsconduisant le système d’un même état initial à un même état final.

Un second grand sujet abordé dans ce tome III est la théorie quantique duchamp électromagnétique. Certes, le Chapitre XIII du tome II abordait la descrip-tion des interactions matière-rayonnement, mais uniquement dans le cadre de la

xiii

Avant-propos

théorie des perturbations dépendant du temps où le champ est décrit classiquement ;des notions essentielles, comme par exemple celle d’émission spontanée, sont alorsperdues. De surcroît, la compréhension de phénomènes couramment observés (parexemple en optique quantique) requiert une description quantique du rayonnement.Nous avons donc consacré plusieurs chapitres à ces sujets. Afin de partir d’une basesolide, nous commençons au Chapitre XVIII par des rappels d’électromagnétismeclassique, ce qui a l’avantage de considérablement simplifier l’exposé de la quantifi-cation. Cette dernière est ensuite introduite au Chapitre XIX avec la présentationd’une théorie quantique du champ électromagnétique de manière aussi simple quepossible, ainsi que de ses interactions avec les atomes. Nous montrons ainsi com-ment apparaissent les excitations élémentaires du champ, les photons. Les processusfondamentaux d’interaction atomes-photons (absorption, émissions induite et spon-tanée) sont introduits, y compris la photo-ionisation (absorption d’un photon faisantpasser l’atome de son état fondamental vers le continuum d’ionisation). L’accent estmis aussi sur les lois de conservation du moment cinétique total et de l’impulsiontotale lors de l’absorption d’un photon par un atome. Ces lois sont en effet à la basede méthodes importantes, comme le pompage optique et le refroidissement et le pié-geage d’atomes par des faisceaux laser ; elles peuvent être considérées comme desoutils de manipulation d’atomes par la lumière et ont donné naissance à de nom-breuses applications. Des processus d’ordre supérieur, faisant intervenir plusieursphotons dans une transition entre deux niveaux atomiques, sont également étudiés.On montre aussi comment le comportement d’un atome dans un champ intense,résonnant ou quasi-résonnant, peut être interprété en termes d’atome “habillé” parles photons avec lesquels il interagit. Mentionnons enfin que, dans la théorie quan-tique du rayonnement, les opérateurs associés au champ électrique constituent unautre exemple de champ quantique, différent de celui mentionné plus haut pourdes particules matérielles identiques. Dans ce cas également, on peut introduire desfonctions de corrélation spatiales très utiles pour comprendre comment des effetsd’interférence peuvent apparaître sur la distribution des positions où sont détectésles photons, même si les deux faisceaux lumineux qui interfèrent sont incohérents(effet Hanbury Brown et Twiss).

Les corrélations entre particules matérielles ou entre photons sont un exempleimportant de corrélations entre deux systèmes dans la mesure où une observationeffectuée sur un système modifie les prédictions sur une observation effectuée surl’autre. Bien sûr, des corrélations peuvent aussi exister entre deux systèmes clas-siques. Pour souligner les différences importantes entre corrélations classiques etquantiques, nous introduisons, dans le dernier chapitre de ce tome III, la notion fon-damentale d’intrication quantique : deux systèmes 1 et 2 sont intriqués si le vecteurd’état qui décrit leur état n’est pas un simple produit de deux vecteurs d’état, unpour le système 1 et un autre pour le système 2. Nous analysons en détail plusieursconséquences physiques intéressantes d’une telle situation qui est à la base d’undomaine très actif de recherches à l’heure actuelle. Ce chapitre nous fournit ainsil’occasion de discuter le théorème d’Einstein, Podolsky et Rosen, ainsi que celui deBell, et de souligner certains aspects troublants de la mécanique quantique.

L’ouvrage se termine par quatre appendices, dont deux exposent une autrefaçon d’introduire la mécanique quantique. L’Appendice IV expose brièvement laméthode de l’intégrale de chemin de Feynman, qui constitue une procédure de quan-tification différente de la quantification canonique, très importante par exemple en

xiv

Avant-propos

théorie quantique des champs. L’Appendice V contient une brève introduction auxmultiplicateurs de Lagrange. L’Appendice VI contient un résumé de mécanique sta-tistique quantique et de ses principaux résultats utilisés dans cet ouvrage. Enfin,l’Appendice VII sur la transformée de Wigner montre comment il est possible dereformuler la mécanique quantique en termes de quasi-distributions, ce qui peutd’ailleurs également fournir une procédure de quantification.

Malgré un intervalle de temps de plusieurs décennies, nous avons porté toutenotre attention à conserver l’esprit des deux premiers tomes, avec un style d’expo-sition où toutes les étapes du raisonnement sont explicitées. Nous avons conservé lastructure de l’ouvrage en chapitres et en compléments où les chapitres, au nombrede 7, peuvent être lus indépendamment des compléments ; chacun de ces derniersest d’ailleurs rédigé comme un tout, de façon à pouvoir être utilisé séparément, sansnécessiter la lecture des autres compléments. Leur but est de prolonger ou d’ap-profondir tel ou tel aspect abordé dans le chapitre qui précède, et de présenter desapplications possibles. Un point • figurant dans l’en-tête de la page de chaque com-plément permet au lecteur de voir immédiatement s’il se trouve dans un chapitre oudans un complément.

En première lecture, il est déconseillé de lire tous les compléments dans l’ordreoù ils se présentent. En fonction de ses intérêts et de son degré d’avancement dansla lecture, chacun pourra choisir ceux qui l’intéressent. Il sera guidé pour cela, à lafin de chaque chapitre, par une liste commentée de l’ensemble de ses compléments.

Il est indéniable que le niveau du tome III est (un peu) supérieur à celui desdeux premiers tomes, qui s’adressent à ceux qui débutent en mécanique quantique.Nous n’avons pas hésité à procéder à de nombreux renvois vers les tomes I et II,au cas où le lecteur n’aurait plus en tête les bases de la théorie. Mais ce n’est paspour autant que ce tome III se place au niveau d’un cours de mécanique quantiqueavancée. Nous renvoyons d’ailleurs à plusieurs reprises le lecteur à des ouvrages pluscomplets que le nôtre ou des références plus avancées.

xv

Avant-propos

Remerciements : Nicole et Dan Ostrowsky ont, à l’occasion de leur traduc-tion du texte en anglais, proposé de nombreuses améliorations ou clarifications, etnous leur en sommes très reconnaissants. Nombreux sont en fait les collègues et amisqui ont grandement contribué à la mise au point de cet ouvrage. Cela nous a d’au-tant plus aidés que chacun, dans son style propre, nous a apporté des remarques etsuggestions complémentaires, et toujours utiles. Tous nos remerciements vont doncen particulier à :

Pierre-François CohadonJean DalibardSébastien GleyzesMarkus HolzmannThibaut JacqminPhilippe JacquierAmaury MouchetJean-Michel RaimondFélix Werner

De plus, Marco Picco et Pierre Cladé nous ont grandement aidés à maîtrisercertains aspects délicats de la typographie Latex. Roger Balian, Edouard Brézin etWilliam Mullin nous ont fait bénéficier d’utiles conseils et suggestions. Enfin, pourun certain nombre de figures, nous remercions vivement pour leur aide GenevièveTastevin, Pierre-François Cohadon et Samuel Deléglise

xvi

Chapitre XV

Opérateurs de création et

d’annihilation pour des

particules identiques

A Formalisme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2A-1 Etats et espace de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3A-2 Opérateurs de création a† . . . . . . . . . . . . . . . . . 6A-3 Opérateurs d’annihilation a . . . . . . . . . . . . . . . . 7A-4 Opérateurs nombres d’occupation (bosons et fermions) . 9A-5 Relations de commutation ou d’anticommutation . . . . 9A-6 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

B Opérateurs symétriques à une particule . . . . . . . . . 14B-1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14B-2 Expression en termes des opérateurs a et a† . . . . . . . 15B-3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17B-4 Opérateur densité réduit à une particule . . . . . . . . . 18

C Opérateurs à deux particules . . . . . . . . . . . . . . . 19C-1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19C-2 Un cas simple : factorisation . . . . . . . . . . . . . . . 20C-3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21C-4 Opérateur densité réduit à deux particules . . . . . . . . 22C-5 Discussion physique ; effets de l’échange . . . . . . . . . 23

Introduction

Pour un système composé de particules identiques, la numérotation des par-ticules qui apparaît dans le chapitre XIV [1, 2] n’a en fait aucun sens physique. Deplus, dès que le nombre de particules dépasse quelques unités, les calculs où l’on

CHAPITRE XV OPÉRATEURS DE CRÉATION ET D’ANNIHILATION POUR DESPARTICULES IDENTIQUES

part de particules numérotées pour appliquer ensuite le postulat de symétrisationse révèlent souvent compliqués. Par exemple, le calcul de la valeur moyenne d’unopérateur symétrique demande de symétriser le bra, le ket, puis enfin l’opérateur,ce qui introduit un grand nombre de termes 1 ; ils semblent a priori différents, alorsqu’on constate souvent à la fin du calcul que beaucoup de ces termes sont simple-ment égaux entre eux, ou parfois s’annulent mutuellement. Il existe cependant uneméthode qui permet d’éviter ces lourdeurs, tout en étant parfaitement équivalente :l’utilisation des opérateurs de création et d’annihilation agissant dans l’espace deFock. Le postulat de symétrisation (ou d’antisymétrisation) est alors entièrementcontenu dans de simples règles de commutation (ou d’anticommutation) satisfaitespar ces opérateurs de création et d’annihilation. La numérotation non physique desparticules disparaît totalement, remplacée par la notion de “nombre d’occupation”des états individuels, bien plus naturelle pour des particules identiques.

La méthode exposée dans ce chapitre et le suivant est parfois appelée “secondequantification” 2. Elle met en jeu des opérateurs qui ne conservent pas le nombrede particules, agissant ainsi dans un espace des états plus vaste que ceux que nousavons considérés jusqu’ici ; ce nouvel espace est appelé “espace de Fock” (§ A). Cesopérateurs qui changent le nombre de particules apparaissent cependant surtoutcomme des intermédiaires de calcul, qui souvent se regroupent de façon qu’au boutdu compte le nombre total de particules reste bien conservé. Nous en verrons desexemples avec l’expression des opérateurs symétriques à une particule (§ B), telsque l’impulsion totale ou le moment angulaire total d’un système de particules iden-tiques. Nous étudierons ensuite les opérateurs symétriques à deux particules (§ C),comme l’énergie d’un système de particules identiques en interaction, leur fonctionde corrélation spatiale, etc. En mécanique statistique quantique, l’utilisation de l’es-pace de Fock est bien adaptée aux calculs effectués dans le cadre de l’ensemble“grand canonique”, où l’on autorise des fluctuations du nombre total de particulespar échange avec un réservoir extérieur. De plus, et comme nous le verrons dans leschapitres suivants, cet espace de Fock est particulièrement bien adapté à la priseen compte des processus physiques où le nombre de particules varie, par exemplel’absorption ou l’émission de photons.

A. Formalisme général

Nous appelons EN l’espace des états d’un système deN particules discernables,produit tensoriel de N espaces des états E1 individuels :

EN = E1(1)⊗ E1(2)⊗ ..⊗ E1(N) (A-1)

Deux sous-espaces de EN sont particulièrement importants pour les systèmes departicules identiques, puisqu’ils contiennent tous les états physiques qui leur sontaccessibles : pour des bosons c’est l’espace ES(N) des états complètement symé-triques, pour des fermions l’espace EA(N) des états totalement antisymétriques. Les

1. Pour un opérateur symétrique à une particule qui comprend la somme de N termes, le ketet le bra contiennent chacun N ! termes ; l’élément de matrice fait donc apparaître N (N !)2 termes.Ce nombre devient rapidement très élevé dès que N dépasse quelques unités.

2. Cette dénomination est quelque peu illogique, puisqu’aucune nouvelle quantification nevient se superposer à celle des postulats habituels de la mécanique quantique ; c’est plutôt lasymétrisation des particules identiques qui en constitue l’ingrédient essentiel. Mais cette appellationreste souvent utilisée.

2

A. FORMALISME GÉNÉRAL

relations (B-49) et (B-50) du Chapitre XIV donnent les projecteurs sur ces deuxsous-espaces :

SN =1

N !

∑

α

Pα (A-2)

et :

AN =1

N !

∑

α

εαPα (A-3)

où les Pα sont les N ! opérateurs de permutation pour les N particules et εα la paritéde Pα (dans le présent chapitre, il est commode d’ajouter un indice N à la notationde ces projecteurs).

A-1. Etats et espace de Fock

Partant d’une base orthonormée {|uk〉} arbitraire de l’espace des états à uneparticule, nous avons construit au § C-3-d du Chapitre XIV une base de l’espace desétats pour N particules identiques ; ses vecteurs sont caractérisés par des nombresd’occupation ni, avec :

n1 + n2 + ..+ nk + .. = N (A-4)

où n1 désigne le nombre d’occupation du premier vecteur de base |u1〉, n2 celui de|u2〉, ..,nk celui de |uk〉. Dans cette suite de nombres, certains (ou même beaucoup)peuvent être nuls : il n’y a aucune raison particulière qu’un état déterminé soittoujours occupé. Il est donc souvent commode de ne spécifier que la suite des nombresd’occupation non nuls, que nous noterons ni, nj , .., nl, .. pour indiquer que le premierétat de la base qui recueille au moins une particule est |ui〉 avec une populationni, le second |uj〉 avec une population nj , etc. Comme dans (A-4), ces nombresd’occupation se somment à N .

Remarque :Dans ce chapitre, nous aurons constamment à utiliser des indices de types différents,qu’il ne faut pas confondre entre eux. Les indices i, j, k, l, .. repèrent les différentsvecteurs d’une base {|ui〉} dans l’espace des états E1 d’une particule ; le nombrede valeurs que peut prendre chacun d’entre eux est donné par la dimension de cetespace des états – d’ailleurs souvent infinie. Ils ne doivent pas être confondus avecles indices qui repèrent des particules numérotées ; ces derniers prennent N valeursdifférentes, que nous noterons q, q′, etc. Enfin, l’indice α distingue les différentespermutations de N particules, et peut prendre N ! valeurs différentes.

A-1-a. Etats de Fock pour des bosons identiques

Pour des bosons, les vecteurs de base s’écrivent selon la formule (C-15) duChapitre XIV :

|ni, nj , .., nl, ..〉= c SN |1 : ui; 2 : ui; ..; ni : ui; ni + 1 : uj ; .. ni + nj : uj ; ..〉 (A-5)

3

774 Index

Longitudinaux (champs), 389Longueur de cohérence BCS, 336Longueur de relaxation, 67Lorentz (équations de), 387

Magnétisme spontané de fermions, 157Magnétisme spontané de Stoner, 157Maxwell (équations de), 387Mécanique statistique (rappels de), 721Mesure idéale de von Neumann, 632Métastabilité de l’écoulement superfluide,

88Micro-canonique (ensemble), 721Millikan, 543Miroirs pour atomes, 587Modèle de Cooper, 355Modes du rayonnement, 402, 404Mollow, 578Moment cinétique du champ électro-

magnétique, 396, 473Moments conjugués, 411, 416, 423Monogamie quantique, 657Mössbauer (effet), 468Multiphotoniques (transitions), 469, 529Multiplicateurs de Lagrange, 717Multipolaires (ondes), 483

Nécessité d’un traitement quantique,550, 553

Négatives et positives (composantes duchamp), 502

Niveau de Fermi, 33Nombre d’occupation, 3Nombre d’occupation (opérateur), 9Nombre de photons, 567Nombre total de particules (gaz par-

fait), 47Non destructive (détection d’un pho-

ton), 593Non diagonal (ordre à longue distance),

195, 200Non-localité, 641Non-séparabilité, 644Normale (fonction de corrélation), 204,

210

Ondes multipolaires, 483Opérateur champ, 172Opérateur champ (évolution), 184, 186

Opérateur d’annihilation, 7Opérateur d’évolution, 499Opérateur de création, 6Opérateur de création d’une paire de

particules, 238, 272Opérateur de Weyl, 738Opérateur densité à une particule de

Hartree-Fock, 110Opérateur “densité de particules”, 177Opérateur densité réduit, 18Opérateur nombre d’occupation, 9Opérateur réduit à une particule, 18Opérateurs à deux particules, 19, 22,

44, 176Opérateurs à une particule, 14, 17, 40,

176Opérateurs de création et annihilation,

419Opérateurs symétriques, 14, 17, 19, 22,

40, 44, 175Optiques (réseaux), 588Orbital (moment cinétique du rayon-

nement), 482Ordre non diagonal à longue distance,

195, 200Oscillation de Rabi, 566

Paire de particules (opérateur de créa-tion), 238, 272

Pairers de Cooper, 355Paires (fonction d’onde de), 277Paires BCS (fonction d’onde de), 328,

336Paires brisées et paires excitées, 347Paquet d’ondes (un photon), 603Paquet d’ondes gaussien, 743Paquets d’ondes (photons), 597Paquets d’ondes à deux photons, 615Paramètre d’ordre des paires, 277Paramétrique (conversion), 615Parité, 538Particules et trous, 33Particules identiques, 1Penrose-Onsager (critère de), 198, 287,

375Peres, 648Phase relative (condensats à spin), 689Phase relative de deux condensats, 673

Index 775

Phase relative entre condensats, 685Phase relative entre deux condensats,

694Phonons de Bogolubov, 76Photo-détection double, 607, 619Photo-détection simple, 604, 605Photo-électrique (effet), 542Photo-ionisation, 541, 599Photo-ionisation (deux photons), 556Photo-ionisation (taux de), 547, 557Photons, 432, 434, 542Photons (absorption et émission), 497Photons (nombre de), 567Photons (vide de), 435Pièges dipolaires, 585Pièges laser, 585Planck (loi de), 513Point de vue d’interaction, 500Point de vue de Heisenberg, 184Pointeurs (états), 636Polarisation du champ électromagné-

tique, 398Pompage optique, 492, 573Postulat de projection de Von Neumann,

638Potentiel chimique, 723Potentiel de Hartree-Fock, 124Potentiel thermodynamique (minimisa-

tion), 133Potentiels scalaire et vecteur, 388, 391Pression (gaz parfait), 52Pression de radiation, 452Principe de moindre action, 409Probabilité d’absorption d’un photon,

506Processus d’annihilation-création de paires,

256, 303, 312Produit d’opérateurs (transformée de

Wigner), 751Propagateur d’une particule, 704, 708

Quantification d’un champ, 186Quantification du champ, 427Quasi-classique (état du champ), 436Quasi-classiques (situations), 745Quasi-distribution, 738, 748Quasi-particules, 156, 265

Quasi-particules (phonons de Bogolu-bov), 382

Quasi-particules (vide de), 261Quel chemin (expérience), 639

Rabi (oscillation de), 566Ralentissement des atomes, 453Raman (diffusion), 521Raman (laser), 523Raman stimulée (diffusion), 523Rang de Schmidt, 632Rayleigh (diffusion), 519Rayon de Fermi, 33Rayonnement isotrope, 509Réalisme local, 641, 646, 666Recul (atome libre), 448Recul (énergie de), 451Refroidissement des atomes, 453Refroidissement Doppler, 454Refroisdissement par évaporation, 462Refroidissement Sisyphe, 462Refroidissement subrecul, 462Règle de quantification, 710Règles de sélection, 442, 486Relais (état), 517, 530, 532, 539relation de Gibbs-Duhem, 732Relativiste (effet Doppler), 451Relaxation (longueur de), 67Renormalisation, 435Réseaux optiques, 588Résonannte (diffusion), 520

Schmidt (décomposition de), 629Schmidt (rang de), 632Schrödinger, 626Seconde quantification, 187Semi-classiques (situations), 745Séparabilité, 644, 659Séparable (opérateur densité), 659Sisyphe (effet), 589Sisyphe (refroidissement), 462Slater (déterminant), 97Spectre des excitations BCS, 351Spectroscopie sans effet Doppler, 538Spin 1 et rayonnement, 474, 479, 480Spontanée (émission), 512, 568Sub-Doppler (refroidissement), 589Subrecul (refroidissement), 462Superfluidité, 83, 92