mechanik in der veranstaltungstechnik

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Verlag, Herausgeber und Au to r m a c h e n darauf a u f m e r k s a m , d a s s d ie im vor l iegenden Buch genann ten M a r k e n n a m e n , Pro-duk tbeze i chnungen und Scha l tungen in der Regel pa ten t - und waren rech t l i chem Schu t z unter l iegen. Die Veröf fent l ichung aller In fo rmat ionen und A b b i l d u n g e n gesch ieh t mi t größter Sorgfalt, dennoch können Fehler nicht ausgeschlossen werden. Verlag, Herausgeber und Au to r ü b e r n e h m e n desha lb für feh lerhaf te A n -g a b e n und deren Fo lgen keine Ha f tung . Sie s ind d e n n o c h d a n k -bar für Verbesserungsvorsch läge und Kor rek turen.

© 2 0 0 2 PPVMEDIEN G m b H , Bergk i rchen

1 . Au f lage 2002 2 . aktual is ier te und erwei ter te Au f lage 2005

ISBN 3 -937841 -17 -2

T i te l fo to : Ray F inkenberger -Lewin T i te lges ta l tung : nav im96 , Kons tan t in Frhr. v. Ga isberg Lektorat : A rm in Krämer Satz und Layout : Sylv ia Rasp, Br ig i t te K r immer A b w i c k l u n g : Sab ine Schn ieder Druck : Scherhaufer In tern. Druck

Al le Rech te vo rbeha l ten . Nachd ruck , auch auszugswe ise , sow ie Verv ie l fä l t igungen jeg l icher Ar t nur mi t schr i f t l icher G e n e h m i g u n g der PPVMEDIEN G m b H .

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Über dieses Buch

In der Veranstaltungstechnik spielen neben der Licht- und Ton-technik zunehmend Traversen-Tragwerke, Bühnenüberdachun-gen, Podien und bewegte Konstruktionen eine Rolle. Der hohe Anspruch an die technische Ausstattung von Bühnen, Shows, Messen und Veranstaltungen erfordert grundlegende Kenntnis-se in der technischen Mechanik hinsichtlich Planung und Aus-führung der Gewerke. Hier setzt die "Mechanik in der Veranstal-tungstechnik" an: Zunächst werden in diesem Buch die natur-wissenschaftlichen Grundlagen der Mechanik erarbeitet, welche dann auf die spezifischen Probleme in der Veran-staltungstechnik angewendet werden. Ganz nebenbei werden auch die mathematischen Grundlagen zur Lösung von Glei-chungen aufgefrischt und erklärt. Dieses Buch eignet sich als Nachschlagewerk und Lehrbuch gleichermaßen. Die beiliegende CD enthält zahlreiche Berechnungstabellen, die bereits in Excel angelegt sind und sofort eingesetzt werden kön-nen. Hierdurch wird die tägliche Arbeit des Veranstaltungstech-nikers wesentlich erleichtert.

Über den Autor

Dipl.-Ing. Michael Lück leitet seit 1994 das Ingenieurbüro Expo Engineering, das als Dienstleister für viele renommierte Unter-nehmen der Veranstaltungsbranche Lösungen zu Bühnen, Tribünen, Traversen und Sonderkonstruktionen erarbeitet. Michael Lück ist neben der aktiven Projektarbeit auch als Dozent an der Siemens Media Academy, der SRT (Schule für Rundfunk-technik), der HWK Köln, der IHK Köln und an der LEB Thürin-gen/IHK Erfurt tätig.

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Inhaltsverzeichnis Vorwort an den Leser 9

I . E i n f ü h r u n g 11 1.1 Körper 11 1.2 Kraft 12

2. Kräf tesysteme - Zusammenwi rken von Kräften ..13 2.1 Darstellung einer Kraft 13 Bezeichnung 14 Einheiten 14 Genauigkeit 15 2.2 Lineares Kräftesystem 15 Zusammenwirkung von Kräften in Koordinaten-Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie 15 Zusammenwirkung von Kräften beliebiger Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie 17 2.3 Zentrales Kräftesystem 22 Übungsaufgabe 24 Übungsaufgabe 25

3. Gle ichgewicht von Kräf ten 29 3.1 Gleichgewichtsbedingungen GGB

beim linearen Kräftesystem 30 3.2 Gleichgewichtsbedingungen GGB

beim zentralen Kräftesystem 38 Übungsaufgabe 41 Übungsaufgabe 43 Übungsaufgabe 46

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Inhaltsverzeichnis

3.3 Gleichgewichtsbedingungen GGB beim allg. Kräftesystem 53

Das Moment 53 Übungsaufgabe 60 Übungsaufgabe 62 Übungsaufgabe 65

4. Ebene Fachwerke 69 Folgende Eigenschaften kennzeichnen ein Fachwerk 70 Berechnung von Stabkräften im Fachwerk 71 1. Schritt - Auflagerreaktionen 73 2. Schritt - Jeder Knoten ist ein zentrales Kräftesystem 73 Übungsaufgabe 76 Übungsaufgabe 78

5. Innere Kräfte und Spannungen 81 5.1 Normalkraft und Normalspannung 81 Übungsaufgabe 84 5.2 Scherkraft und Scherspannung 85 Übungsaufgabe 87 5.3 Lochleibungskraft und Lochleibungsspannung ....87

6. Schnittgrößen des biegebeanspruchten Trägers ....91 6.1 Schnittgrößen für Träger mit einer Einzellast 94 1. Schritt - Auflagerreaktionen 94 2. Schritt - Schnittkräfte 95 Übungsaufgabe 96 1. Schritt - Auflagerreaktionen 96 2. Schritt - Schnittkräfte 97 Übungsaufgabe 98 6.2 Schnittgrößen für Träger mit mehrfachen

Einzellasten 100 6.3 Schnittgrößen für Träger mit Streckenlasten 102 Übungsaufgabe 103 1. Schritt-Auflagerreaktionen 103 6.4 Schnittgrößen für Träger mit mehreren Feldern ..105

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7. Spannungen des biegebeanspruchten Trägers ..107 7.1 Biegespannung 107 Übungsaufgabe 111 7.2 Schubspannung aus Querkräften 114 7.3 Torsionsmoment und Torsionsspannung 115 7.4 Überlagerung von Spannungen 116

8. Gi t ter träger 117 8.1 Baugruppen 118 8.2 Innere Kräfte der Gurtrohre 119 8.3 Innere Kräfte an den Verbindern 124 8.4 Innere Kräfte in den Streben 126 Andere Strebenanordnungen 130 Strebenanordnung an den Enden der Traversenelemente ..131 Versatz von Diagonal-Streben 132 Ausschließlich senkrechte Streben 133 8.5 Aluminium-Werkstoffe 134 8.6 Welchen Typ für welche Anwendung? 136 Profilgeometrie und Streben 136 a) 2-Punkt-Gitterträger 136 b)3-Punkt-Gitterträger 136 c) 4-Punkt-Gitterträger 137 d) Folding-Traverse 137 Verbinder 138 a) Statische Beurteilung 138 b) Beurteilung der Toleranzen 138 c) Beurteilung des Handlings 139 8.7 Interpretation von Datenblättern und Katalogen .140 8.8 Zertifikate und Prüfungen 144

9. Anschlagen und Aufhängen 147 9.1 Anschlagmittel und Lastaufnahmemittel 147 9.2 Hebezeuge 149 Einsatz von BGV-D8 (früher VBG 8)-Hebezeugen in Produktionsstätten 149

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Einsatz von BGV-C1 -Hebezeugen in Produk t ionss tä t ten 149

9.3 „Bridle" - Ansch lagen im Winke l 150

1 0 . F l ä c h i g e B e l a s t u n g - P o d e s t e 153

Gle ich last 153 Dre iecks-Trapezlast unter 45° 154 Dre iecks-Trapezlast unter 60° 154 10.1 Stat ik der B ü h n e n p o d e s t e 156 10.2 Umrandungspro f i l e von Podes te n 158 Prof i ldaten Umrandungsp ro f i l 159

1 1 . D y n a m i s c h e E i n f l ü s s e d u r c h H e b e z e u g e 163

1 2 . K i n e t i k 169 12.1 D a s d y n a m i s c h e G r u n d g e s e t z 169

12.2 Arbei t und Energie 174

Hubarbe i t 175 Besch leun igungsarbe i t 175 Federarbei t 175 Arbe i t der äußeren Kräf te 176 K inet ische Energie des S y s t e m s 176 Arbe i tssa tz 177 Arbei t der äußeren Kräfte 178 K inet ische Energie des Sys tems 178 Arbe i tssa tz 178 12.3 Le istung 178

1 3 . A n h a n g u n d F o r m e l s a m m l u n g 181

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Vorwort an den Leser Der hohe A n s p r u c h an d ie t echn i sche Auss ta t t ung von Bühne , Show, Messe und Veransta l tung er forder t g rund legende Kenn t -n isse v o n techn ische r Mechan i k bei der P lanung und A u s -füh rung der Gewerke . In der Verans ta l tungs techn ik en tw icke l t s ich neben der L ich t - und Tontechn ik z u n e h m e n d der Bedar f an Traversen-Tragwerken, B ü h n e n ü b e r d a c h u n g e n , Pod ien und b e -w e g t e n Kons t ruk t i onen . R ich t iges Ansch lagen sow ie d ie A u s -wah l kor rekter Ansch lagmi t t e l , Traversen und Hebezeuge se t -zen Kenntn isse der au f t re tenden Be las tungen vo raus , d ie s ich w i e d e r u m mi t te ls der Mechan i k be rechnen lassen. Dieses Buch kann s o w o h l als Nachsch lagwe rk als auch als Lehrmater ia l ver-w e n d e t w e r d e n . Die in der Ausb i l dung bef ind l i chen Personen für „Fachkra f t für Verans ta l tungs techn ik " , „Geprü f te r Meis ter für Verans ta l tungs techn ik " und „ Ingen ieur fü r Verans ta l tungs tech -n ik" f i nden in d iesem B u c h ein ihre A u s b i l d u n g un te rs tü tzendes Werk. Quer-Einste iger und A u t o d i d a k t e n können ihr theore t i -sches W issen du rch das Se lbs t s tud ium ve rbesse rn .

Ein w ich t ige r G rund zur Wei te rb i ldung ist d ie s te t ig w a c h s e n d e An fo rde rung an d ie Qual i f ikat ion v o n Verans ta l tungs techn ikern . Die Qual i f ika t ion der am Produk t ionsp rozess bete i l ig ten Perso-nen en tsche ide t daher auch über d e n Rahmen der auszu füh ren -den Arbe i ten und über d ie zu t r agende Veran twor tung . A u c h d ie Ar t einer Veransta l tung ist ein Kr i ter ium für d ie er forder l iche Q u a -l i f ikat ion der p lanenden und aus füh renden Personen . Die Be -ru fsgenossenscha f ten und Verwa l tungs -Beru fsgenossenscha f -ten s ind z.Z. dam i t beschäf t ig t , Rege lungen zu t re f fen, um die z u n e h m e n d au fwend ig w e r d e n d e n Produk t ionen so s icher w ie

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mög l i ch zu m a c h e n . Man beach te d ie Schr i f tenre ihen Prävent i -on und d ie Unfa l l ve rhü tungsvorschr i f ten .

Der VPLT (Verband für pro fess ione l le L ich t - und Tontechnik) ist mi t se inen Arbe i tskre isen ebenfa l ls mi t der Erstel lung von S t a n -da rds beschäf t ig t , so dass d e m Verans ta l tungs techn iker viele In fo rmat ionsque l len bere i ts tehen, s. www.arbe i t ss i cherhe i t .de

www.vp l t . o rg

Zunächs t we rden in d iesem Buch d ie na tu rw issenschaf t l i chen Grund lagen erarbei tet , d ie dann auf d ie spez i f i schen P rob leme bei der Verans ta l tungs techn ik a n g e w e n d e t we rden . Die m a t h e -ma t i schen Grund lagen z u m Lösen von G le ichungen w e r d e n auf-ge f r isch t und erklärt . Die Erk lärungen s ind zu An fang d e s B u c h e s besonde rs ausführ l ich ange legt und w e r d e n Lesern mi t „ L ü c k e n " hi l freich se in .

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1. Einführung Die Def in i t ion e in iger Begr i f fe d ie in d e m B u c h b e s c h r i e b e n w e r d e n :

Mechan ik : Die Mechan i k ist ein Tei lgebiet der Physik. Sie er fasst d ie B e w e -g u n g und d e n Ruhezus tand v o n Kö rpe rn und beinhal te t M o d e l -le zur Be rechnung der Kräf te und der B e a n s p r u c h u n g e n .

Statik: Die Sta t ik ist e in Tei lgebiet der Mechan ik . Sie beschre ib t d e n R u -hezus tand der Körper unter Kra f te inw i rkung.

Dynamik: Die Dynamik ist ebenfal ls ein Tei lgebiet der Mechan ik . Sie b e -schre ib t d ie B e w e g u n g von Körpern infolge von Kräf ten.

1.1 Körper

Als Körper beze ichne t m a n alle „g re i fba ren" , fes ten Ob jek te , d ie s ich du rch Masse , Vo lumen , Pos i t ion und Stof f kennze ichnen . Auf al le Körper w i rk t auf der Erde d ie Erdanz iehung, so dass jeder Körper e ine Eigenlast besi tz t . Die Bautei le einer K o n -s t ruk t ion s ind a l lesamt Körper.

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1.2 Kraft

Kräf te können Körper in B e w e g u n g verse tzen , deren B e w e g u n g ände rn und sie de fo rm ie ren . Kräf te haben eine R ich tung und e inen Bet rag , w o d u r c h sie m a t h e m a t i s c h zu so genann ten Vek-to ren w e r d e n . Im Gegensa tz zu den Vektoren g ib t es a u c h G r ö -ßen, d ie nur du r ch e inen Bet rag dargeste l l t w e r d e n - z .B. d ie Tempera tu r oder d ie Masse .

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2. Kräftesysteme -Zusammenwirken von Kräften

Es g ibt in der Mechan ik versch iedene Kräf tesysteme, d ie unter-sch ied l ich au fwend ig zu berechnen s ind . Um Bautei le (Traversen, Ansch lagmi t te l usw.) auswählen zu können , ist es sehr w ich t ig , Me thoden zu ve rwenden , d ie auch komplexere , n icht sofor t zu du rchschauende Si tuat ionen r icht ig analysieren. Kräfte lassen s ich rechner isch als auch zeichner isch addieren und subtrahieren. Die genauere M e t h o d e ist d ie rechner ische, da d ie Ungenau igke i -ten ledigl ich durch Rundung ents tehen. Ze ichner ische Lösungen w u r d e n f rüher häuf iger angewende t , da noch keine Taschen-rechner zur Ver fügung s tanden und d a s Rechnen sehr a u f w e n -d ig war. Al lerd ings kann durch d ie Verwendung von C A D - ( C o m -puter-Aided-Design-) P rog rammen eine zeichner ische Lösung recht exakt ausfal len.

2.1 Darstellung einer Kraft

Kräf te lassen s ich g raph i sch gu t als Pfei le dars te l len , da ihr Vek-to r -Charak te r auf d iese Weise er fasst w i rd (hier: e ine Kraft in einer Ebene). Die Länge d e s Pfei ls g ib t den Bet rag (Größe) der Kraft a n ; d ie R ich tung der Kraft w i rd du rch d ie R ich tung des Pfei ls dargeste l l t . Für e ine g raph i sche Ana lyse ist d ie Kraft in ein Raster e ingeze ichnet , um e inen Maßs tab fes tzu legen. W ü r d e der M a ß s t a b 1 cm (1 Kästchen) <>1 kN bedeu ten , so w ü r d e d iese Kraft F2 e inen Be t rag v o n 4 ,47 kN haben .

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B e z e i c h n u n g Kräf te w e r d e n mi t G roßbuchs taben (A, B, C, D ...) beze ichnet . Häuf ig w i rd e ine Kraft mi t F (Force, eng l isch=Kraf t ) besch r i eben . Treten mehrere Kräf te auf, so kann m a n mi t Nummer ie rungen d ie Kräf te un te rsche iden : F 1 , F2, F3, . . .F13 . . . .

E i n h e i t e n Die Einheit der Kraft ist das N e w t o n (N). Ein Körper der Masse 1 kg erfährt du r ch d ie E rdbesch leun igung eine Gewich tsk ra f t von F = 1 kg * 9,81 m/s2 = 9,81 N. Die E rdbesch leun igung ist überal l auf der Erde eine kons tan te Größe, d ie du rch d ie Masse de r Erde erklärt ist.

Für d ie Berechnung vo n s ta t ischen Prob lemen darf 1 kg < = > 10 N gesetz t we rden .

Da d ie Kräfte im techn ischen Bereich oft sehr hoch ausfa l len, wi rd mit Vorsätzen w ie Ki lo- und M e g a - gerechnet . 100 kg < = > 1 k N .

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Ein Kilo (k) en tsp r i ch t d e m Faktor 10^3 =1000 . Ein M e g a (M) en t -spr ich t d e m Faktor 10^6 = 1 0 0 0 0 0 0 . Eine Anhänge las t du r ch e ine PA Box von 120 kg w ü r d e somi t als 1,2 kN in einer Be rechnung angesetz t .

G e n a u i g k e i t Eine Genau igke i t v o n zwei Ste l len nach d e m K o m m a reicht aus , um Kräf te aus d e m Bereich der Verans ta l tungs techn ik d a r z u -ste l len. Wi rd d ie Last der PA-Box mi t zwe i Ste l len nach d e m K o m m a dargeste l l t , so beschre ib t d ie zwe i te Stel le d ie a d ä q u a -te Masse in kg . Eine dr i t te Ste l le w ü r d e d ie „100g -S te l l e " b e -schre iben und ist über f lüss ig .

2.2 Lineares Kräftesystem

Als l ineares Krä f tesys tem beze ichnet man das Wi rken v o n Kräf-ten g le icher R ich tung , daher g le icher (Wirkungs-)L in ien, angre i -f end an d e m g le ichen Punkt . Falls mehrere Kräf te an e inem Punkt auf einer Linie angre i fen, so ist es w ich t i g zu er fahren, w ie groß d ie S u m m e der Kräfte ist. Mi t d e m l inearen Krä f tesys tem fasst m a n zwe i ode r mehr Kräf te zu einer resul t ierenden Kraft z u -s a m m e n .

Z u s a m m e n w i r k u n g v o n K r ä f t e n i n K o o r d i n a t e n -R i c h t u n g a u f e i n e r ( W i r k u n g s - ) L i n i e Liegen d ie Kräf te auf einer (Wirkungs-)L in ie , so lassen s ich d ie Be t räge d i rekt e rmi t te ln . Besonde rs e in fach ist d ie Be rech -nung /das Ab lesen , w e n n d ie Kräf te i n einer Haup tachse d e s K o -o rd ina tensys tems l iegen:

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Die S u m m e der zusammenwi rkenden Kräfte lässt s ich graphisch ablesen: 3 Käs tchen + 2 Käs tchen = 5 Käs tchen

und m a t h e m a t i s c h du rch Add i t i on /Sub t rak t i on b e s t i m m e n . Die S u m m e der Kräf te nennt m a n d ie resul t ierende Kraft „F res" .

Fres = 3,0 kN + 2,0kN = 5,0 kN

Da d ie Kräf te a u c h in un tersch ied l icher R ich tung w i r ken können , w e r d e n d ie R ich tungen über d a s Vorze ichen bes t immt . M a n kann sein Koo rd ina tensys tem frei w ä h l e n , m u s s j e d o c h dabe i b le iben , um kor rek te Ergebnisse zu erz ie len.

Würde F2 nach l inks zeigen (entgegen der posi t iven x-Richtung) , so wäre d ie result ierende Kraft

Fres = F1 -F2 = 3kN-2kN =1 kN

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Z u s a m m e n w i r k u n g v o n K r ä f t e n b e l i e b i g e r R i c h t u n g a u f e i n e r ( W i r k u n g s - ) L i n i e Die Kräfte dü r fen z w e c k s Be rechnung auf ihrer Wi rkungs l in ie ve r schoben w e r d e n . Ze ichner isch lassen s ich d ie Kräf te d i rek t ab lesen , i n d e m m a n d a s Ende der Kraft F2 an d ie Sp i tze der Kraft F1 an legt und den A b s t a n d des Endes der Kraft F1 an d ie Sp i tze der Kraft F2 miss t .

Au f d iese Weise liest m a n 4 ,47 cm - 2 ,24 cm = 2,23 cm ab .

Au f d ie rechner ische Lösung sol l näher e ingegangen w e r d e n : Rechner i sch w e r d e n d ie e inzelnen Kräf te in ihre K o m p o n e n t e n x / y zer legt und d a n n für j ede Koord ina te einzeln add ier t . A b s c h -l ießend w e r d e n d ie K o m p o n e n t e n w iede r zu einer resu l t ierenden Kraft umgerechne t . Das Wor t „ K o m p o n e n t e n " beze ichne t d ie „An te i le " einer Kraft in den jewe i l igen Koo rd ina ten -R ich tungen x und y.

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F1 wird in Komponenten zerlegt F1x = 2,0kN (2 Kästchen abgelesen, Richtung x negativ, weil nach links) F1y= 1,0 kN (1 Kästchen abgelesen, Richtung y negativ, weil nach unten)

F2 wird in Komponenten zerlegt F2x = 4,0kN (4 Kästchen abgelesen, Richtung x positiv, weil nach rechts) F2y = 2,0kN (2 Kästchen abgelesen, Richtung y positiv, weil nach oben)

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n zur Resul t ie renden add ier t , w o b e i d ie Vorze ichen nun berücks ich t ig t w e r d e n .

Fres.x = -F1,x + F2,x = -2,0+ 4,0 = 2,0 kN Fres.y = -F1,y + F2,y = -1,0 + 2,0 = 1,0 kN

Nun s ind d ie K o m p o n e n t e n der Resul t ierenden ermi t te l t . Die „An te i le " in x - und y -R ich tung der resul t ierenden Kraft s ind b e -kannt .

Die resul t ierende Kraft w i rk t „zwe i K ä s t c h e n " nach rech ts (pos i -t ives x) und „e in K ä s t c h e n " nach o b e n (posi t ives y). Die Größe der gesamten resul t ierenden Kraft ist noch n icht bekann t , kann aber mi t Hil fe der Geomet r i e berechnet w e r d e n . Die Kraft und ihre K o m p o n e n t e n verha l ten s ich w ie d ie Längen der Sei ten in e inem rechtw ink l igen Dreieck. Der Bet rag der Re-su l t ie renden w i rd mi t d e m Satz von Pythagoras berechnet .

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Der Satz des Py thagoras : I m Or ig ina l : A 2 + B 2 = C 2

Für d ie Kräf te: (Fres ,y ) 2 + (F res ,x ) 2 = (F res ) 2

Um den Be t rag der gesuch ten Kraft Fres zu erha l ten, w i rd d ie Quadra twurze l gezogen .

Fres = s q r ( 2 , 0 2 + 1,0 2 ) = 2,24 k N , sqr bedeu te t squareroot : „Quadra twurze l aus. . . "

Das Zer legen v o n Kräf ten in K o m p o n e n t e n lässt s ich auch du rch eine W inke langabe bewerks te l l i gen . Das f o l gende S y s t e m ist e twas stei ler (10°) als das zuvor berechne te . Die Kräf te s ind aber g le ich groß, so dass d ie Resul t ie rende den g le ichen Bet rag haben muss , w ie zuvor berechnet . Nur d ie R ich tung ist e ine a n -dere . Das Vorgehen ist i den t i sch , j e d o c h w e r d e n d ie K o m p o -nenten der Kräf te n icht du r ch „ K ä s t c h e n zäh len " ermi t te l t , s o n -de rn du rch d ie t r i gonomet r i schen Funk t ionen . Diese m a t h e m a -t i schen Opera t ionen e rmög l i chen es, d ie Bez iehung zw i schen Längenverhä l tn issen und Winke ln im rech tw ink l igen Dreieck darzus te l len :

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A (Gegenkathete)

B (Ankathete)

s ina l fa= G e g e n k a t h e t e / H y p o t e n u s e = A / C S inus

Als H y p o t e n u s e beze ichnet m a n d ie längs te Sei te im rech tw ink -l igen Dreieck. Gegenka the te nennt m a n d ie d e m be t rach te ten Winke l g e g e n ü -ber l iegende Sei te. Die Anka the te ist d ie an d e m be t rach te ten Winke l an l iegende Sei te.

Au f unser Krä f tesys tem a n g e w a n d t , e rgeben s ich d ie K o m p o -nenten der e inzelnen Kräf te du rch Aufs te l len der S inus /Kos inus -Z u s a m m e n h ä n g e :

cosalfa= A n k a t h e t e / H y p o t e n u s e = tanalfa = Gegenka the te / Anka the te =

B / C A / B

Kos inus Tangens

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Die K o m p o n e n t e n für F 1 : sin36,57° = F1 ,y/F1 F1,y = F1 *sin36,57° = 2,24kN*sin36,57°=1,33kN cos36,57° = F1.X/F1 F1,x = F1 *cos36,57° = 2,24 kN * cos36,57° =1,8kN

Die K o m p o n e n t e n für F2: sin36,57° = F2,y/F2 F2,y = F2 *sin36,57° = 4,47kN *sin36,57° = 2,66kN cos36,57° = F2,x/F2 F2,x = F2 * cos36,57° = 4,47kN *cos36,57° = 3,59 kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n zur Resu l t ie renden add ier t (auf Vor-ze i chen /R ich tungen achten!)

Fres.x = -F1,x + F2,x = -1,8 + 3,59 = 1,79 kN Fres.y = -F1,y + F2,y = -1,33 + 2,66 = 1,33 kN

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Der Bet rag der Resul t ie renden w i rd mi t d e m Satz von Pythago-ras berechnet :

Fres = s q r ( 1 , 7 9 2 + 1 , 3 3 2 ) = 2,23 kN - en tsp r i ch t ca . 2,24 k N , w ie zuvor berechnet . Ungenau igke i ten en ts tehen bei der rechner i -s c h e n Lösung au fg rund der R u n d u n g .

2.3 Zentrales Kräftesystem

Als zentra les Krä f tesys tem beze ichnet m a n das Wi rken von Kräf-ten un tersch ied l icher R ich tung , angre i fend an d e m g le ichen Punkt e ines Körpers . Ze ichner isch lassen s ich d ie Kräf te d i rekt ab lesen , i ndem m a n das Ende der Kraft F2 an d ie Sp i tze der Kraft F1 an legt un d den A b s t a n d des Endes der Kraft F1 zur Sp i tze der Kraft F2 misst . Trägt m a n be ide Kräf te ane inander an , so erhäl t m a n das so genann te „K rä f tepa ra l l e log ramm" .

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Rechner isch geh t m a n ebenso vor, w ie be im l inearen Krä f tesys-t e m :

Die K o m p o n e n t e n für F1 e rgeben s ich aus S i n u s / K o s i n u s - Z u -s a m m e n h a n g :

sin53,13° = F1,y/F1 F1,y = F1 * sin53,13° = 5,0kN* sin53,13° = 4,0kN cos53,13° = F1,x/F1 F1,x = F1 * cos53,13° = 5,0kN* cos53,13° = 3,0kN

Die K o m p o n e n t e n für F2: sin56,31° = F2,y/F2 F2,y = F2 *sin56,31° = 3,61 kN*sin56,31° = 3,0kN cos56,31° = F2,x/F2 F2,x = F2 *cos56,31 ° = 3,61 kN*cos56,31° = 2,0kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n zur Resul t ie renden add ie r t (Vorzei-chen beachten! )

Fres,x = - F1,x + F2,x = -3,0 + 2,0 = -1,0kN Fres.y = F1,y + F2,y = 4,0 + 3,0 = 7,0 kN

Der Bet rag der Resul t ierenden w i rd mi t d e m Satz von Pythago-ras berechnet :

Fres = sqr((-1,0)2 + 7,0^2) = 7,07 kN

Der Winke l der Resul t ierenden zur Senk rech ten kann über den S inussatz berechnet we rden :

s /na = Fres,x/Fres = -1,0 kN/7,07 kN

Der inverse S inus (Taschenrechner „sin"-^1") l iefert das Ergebnis des Winke ls : a = sin-^1 (-1,0/7,07) = -8 ,13° , das negat ive Vorzei -chen beschre ib t den Z u s t a n d , dass der Winke l auf der negat iven Sei te der x - A c h s e l iegt, a lso nach l inks zeigt .

Es dür fen be l ieb ig viele Kräf te zu Resul t ierenden z u s a m m e n g e -fasst w e r d e n . Treten daher mehr als zwei Kräfte auf, so w i rd auf

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g le iche Weise ver fahren. Es können a u c h Zw ischene rgebn i sse ( F r e s l , Fres2...) geb i lde t w e r d e n , d ie nachher in ebenso s u m -mierbar s ind .

Ü b u n g s a u f g a b e : An e inem H ä n g e p u n k t in einer Messeha l le w e r d e n zwe i S tah l -sei le angesch lagen , d ie zwe i Anze igeta fe ln ha l ten. Be rechnen Sie d ie Gesamt las t des H ä n g e p u n k t s (resul t ierende Kraft) und deren Winke l . Das Seil der Tafel 1 z ieht mi t einer Kraft v o n 2,0 kN an d e m H ä n -gepunk t . Das Seil der Tafel 2 z ieht mi t e iner Kraft von 1,2 kN an d e m H ä n -gepunk t .

L ö s u n g : Die K o m p o n e n t e n für F1 e rgeben s ich aus S i n u s / K o s i n u s - Z u -s a m m e n h a n g :

sin50° = F1,x/F1 F1,x = F1 *sin50° = 2,0 kN *sin50° = 1,53 kN cos50° = F1,y/F1 F1,y = F1 * cos50° = 2,0kN* cos50° = 1,29 kN

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Die K o m p o n e n t e n für F2: sin30° = F2,x/F2 F2,x = F2 *sin30° = 1,2 kN *sin30° = 0,6 kN cos30° = F2,y/F2 F2,y = F2 * cos30° = 1,2 kN * cos30° = 1,04 kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n zur Resul t ie renden add ier t : Fres,x = - F1,x + F2,x = -1,53 + 0,6 = -0,93 kN Fres,y = -F1,y - F2,y = -1,29 -1,04 = -2,33 kN


Fres = sqr((-0,93)2 + (-2,33^2) = 2,51 kN

Der Winke l der Resul t ie renden zur Senk rech ten kann über den S i n u s - Z u s a m m e n h a n g ermi t te l t w e r d e n : a = sin-^1 (-0,93/2,51) = -21 ,75° . Das negat ive Vorze ichen b e -schre ib t den Z u s t a n d , dass der Winke l auf der negat iven Sei te der x - A c h s e l iegt, a lso nach l inks zeigt .

Ü b u n g s a u f g a b e : An e inem Traversen-Tower (Mast) s ind zwe i Stahlse i le hor izonta l gespann t ( idealerweise mit t ig) . Die Sei le z iehen mi t un te rsch ied -l icher R ich tung und Größe. S1 = 1,8 k N , S2 = 2,1 k N . Die Drauf-s i ch t (s. f o l g e n d e Seite) ze igt d ie R i ch tungen der Sei le. W i e groß ist d ie resu l t ierende Kraft , und in w e l c h e m Winke l w i rk t s ie? Die Resul t ierende bes t immt d ie B i egebeansp ruchung d e s Towers .

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L ö s u n g : Die K o m p o n e n t e n für S1 e rgeben s ich aus d e m S inus /Kos inus -Z u s a m m e n h a n g :

sin60° = S1,x/S1 S1,x = S1 *sin60°=1,8kN*sin60°=1,56kN cos60° = S1,y/S1 S1,y = S1* cos60° = 1,8kN* cos60° = 0,9kN

Die K o m p o n e n t e n für S2 : sin50° = S2,y/S2 S2,y = S2 * sin50° = 2,1 kN* sin50° =1,61 kN cos50° = S2,x/S2 S2,x = S2 * cos50° = 2,1 kN* cos50° = 1,35 kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n zur Resul t ie renden addier t : Sres,x = - S1,x + S2,x = -1,56 + 1,35 = -0,21 kN Sres,y = -S1,y + S2,y = -0,9+ 1,61 = 0,71 kN

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Fres = sqr((-0,21)2 + 0,712) = 0,74 kN

Der Winkel der Resultierenden zur Senkrechten: alfa = sin-^1 ( -0 ,21/ 0,74) = -16 ,5° . Das negat ive Vorze ichen beschre ib t den Z u s t a n d , dass der Winke l auf der negat iven Sei te der x - A c h s e l iegt, a lso nach l inks zeigt .

Der Winke l der Resul t ie renden zur Hor izonta len : al fa = s in-^1 ( 0 , 7 1 / 0,74) = 73 ,6° . Das pos i t ive Vorze ichen beschre ib t den Z u s t a n d , dass der Winke l auf der pos i t i ven Sei te der y -Achse l iegt, a lso nach o b e n zeigt .

Die g raph ische Lösung des Prob lems:

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Durch d ie Ve rwendung e ines C A D - (Compute r -A ided-Des ign - ) S y s t e m s w e r d e n genaue Ergebn isse erzielt. Es w i rd das Kräf te-para l le log ramm geze ichne t und d ie Resu l t ie rende e inge t ragen . Winke l und Be t rag lassen s ich ab t ragen . Ein C A D - S y s t e m er le-d ig t d ie „ B e m a ß u n g " du rch das Ank l i cken der S t recken .

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3. Gleichgewicht von Kräften Als G le i chgew ich tszus tand beze ichne t m a n in der Sta t ik ein r u -hendes S y s t e m , bei d e m alle Kräf te zue inander im G le i chge -w ich t s tehen . Das bedeute t , d a s s d ie Resu l t ie rende g le ich null ist. Al le Kräf te z u s a m m e n haben nach außen d ie W i r k u n g , als wä re keine Kraft vo rhanden . Für al le ruhenden Kons t ruk t i onen gilt de r G le i chgew ich t szus tand : z .B . für e ine Traverse mi t B e -l euch tungskö rpe rn , e ine ge f l ogene PA-Box , für ein P o d i u m mi t M e n s c h e n g e d r ä n g e usw.

Für das G le i chgew ich t v o n Kons t ruk t i onen s ind be im Einwi rken v o n Be las tungen b e s t i m m t e „Ha l tek rä f te " er forder l ich , dami t das S y s t e m in Ruhe ble ibt .

Beg inn t zu Ble ib t in Ruhe fa l len

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Die Kraft wa r als l inks w i r k e n d a n g e n o m m e n w o r d e n , das Er-gebn is ist negativ, daher ist d ie u rsprüng l i che R i ch tungsannah -me fa l sch . Die Kraft m u s s nach rech ts mi t e inem Bet rag v o n 0,1 kN w i r ken . Ergeben s ich negat ive Ergebn isse für be rechne te Kräf te, so w i rken sie immer en tgegengese tz t zur u rsprüng l i chen R i ch tungsannahme .

Die Be rechnung v o n unbekann ten Kräf ten bei l inearen Sys te -m e n ist recht e in fach , kann aber häuf ig a n g e w a n d t w e r d e n . Ins-besonde re Se i l um lenkungen lassen s ich mi t der M e t h o d e analy-s ieren.

Beisp ie l : Sei l t r ieb im Theater W i e groß ist d ie Hal tekraf t des Se i lendes?

Masse = 50 kg

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Um zu einer Lösung zu k o m m e n , beg inn t m a n , das S y s t e m dor t zu un te rsuchen , wo berei ts Lasten bekann t s ind . M a n „ s c h n e i -d e t " dazu das Tei lsystem mi t der bekann ten Last frei . Es w i rd dam i t nur der Kno tenpunk t be t rach te t , an d e m d ie Last e inge le i -te t w i rd und d ie n o c h unbekann ten Kräf te ebenfa l ls angre i fen.

Ein w ich t iger A s p e k t bei al len Se i l - und Ket ten t r ieben ist zu be rücks i ch t i gen . Bei e inem d u r c h g e h e n d e n Seil (wie in o b i g e m Beispiel) ist d ie Sei lkraf t an jeder Stel le im Seil g le ich ! Es gehen ke ine Kräf te ver loren. Ebenso verhäl t s ich eine Ket te oder eine andere se i lähnl iche Struktur.

Zunächs t w i rd a lso das Tei lsystem am Las te in le i tungspunk t u n -te rsuch t :

s s

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Beisp ie l : Kurbe ls ta t iv W ie groß ist d ie Zugkra f t für d ie W inde?

Seiltrieb 1

Seiltrieb 2 zur Winde

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Die Funk t ionswe ise e ines so l chen Stat ivs : In d a s äußere Rohr s ind zwe i (geführte) E insteck l inge e ingesetz t . Das Seil der W i n d e w i rd umge lenk t und hält d e n ers ten E in-s teck l ing . W i rd d ieser ausge fahren , so fähr t d ie an d i esem Ein-s teck l ing angesch lossene Umlenkro l le nach o b e n und z ieht den zwe i ten E insteck l ing heraus.

Der L ö s u n g s w e g beg inn t w ieder an der Laste in le i tungsste l le .

1,5 kN

Die M a s s e bew i rk t e ine Last v o n F = 1,5 k N . Durch d e n Versatz der Sei l - und der Rohrachse en ts teh t ein so genann tes „ K i p p -m o m e n t " , das du rch d ie Führung b lock ier t w i rd . Dieser U m s t a n d w i rd hier vernach läss ig t , wei l er d ie Sei lkräf te n icht d i rekt bee in -f lusst .

Um das Prob lem zu lösen, w i rd das Krä f teg le ichgewich t au fge-stel l t .

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Die K o m p o n e n t e n für F1 be t ragen : F1,x=1,06kN F1,y = 2,56kN

Der Be t rag der Resul t ie renden w i rd mi t d e m Satz von Pythago-ras berechnet :

F1 = sqr(1,062 + 2,562) = 2,77 kN

Der Winke l der Resul t ie renden zur x - A c h s e berechnet s i ch : s /na = F1,y/F1= 2,56 kN/2,77 kN alfa = sin-^1 (2,56 kN/2,77 kN) = 67,5°

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Ü b u n g s a u f g a b e : In der A u f h ä n g u n g einer „ L E D - W a n d " s ind d ie Sei lkräf te zu b e -rechnen .

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Die Ergebn isse w e r d e n nun mi t Hil fe des P r o g r a m m s „Zent ra les K rä f tesys tem" v o n der CD kontro l l ier t . Es w e r d e n alle Kräf te in der e r rechneten R ich tung e ingegeben .

Die Eingabe in das Programm erfolgt wie dargestellt:

Die errechnete Resultierende ist gleich null. Das bedeutet, dass alle Kräfte sich am Knoten kompensieren und somit Gleichgewicht in allen Richtungen herrscht. Die Lösung ist korrekt!

2,0 kN

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Ü b u n g s a u f g a b e : Um eine Kamera über e ine S t recke in größerer H ö h e fahren zu können , w u r d e ein Se i l sys tem mi t zwe i S tü tzen err ichtet . W ie groß s ind d ie Kräf te in Sei len und S tü tzen bei d ieser Pos i t ion der Kamera?

Das G e s a m t s y s t e m bes teh t in d iesem Fall aus drei zent ra len Krä f tesys temen, d ie einzeln ge lös t w e r d e n .

L ö s u n g : Das S y s t e m w i rd am Punkt der Laste in le i tung „ f re igeschn i t ten" . Es erg ib t s ich ein zentra les Krä f tesys tem mi t zwe i unbekann ten Sei lk rä f ten.

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Nun können d ie G le i chungen e inander g le ichgesetz t w e r d e n : S2*cos10°/cos20° = (1,0kN-S2 *sin10°)/sin20°, die rechte Klammer auflösen S2 * cos 10°/cos20° = 1,0 kN/sin20° - S2 * sin 10°/sin20° S2 * cos10°/cos20° + S2 *sin10°/sin20° = 1,0 kN/sin20° S2 * (cos10°/cos20° + sin10°/sin20°) = 1,0kN/sin20° S2 = (1,0 kN/sin20°) I (cos10°/cos20° + sin10°/sin20°) S2=1,88kN

S2,x = S2*cos10°=1,88kN*cos10°=1,85kN S2,y = S2*sin10°=1,88kN*sin10° = 0,33 kN

Da nun S2 bekann t ist, kann auch S1 berechnet w e r d e n . Fo lgen -der Z u s a m m e n h a n g w u r d e bere i ts zuvor aufgeste l l t :

S1 = (1,0kN-S2 *sin10°)/sin20°, nun kann S2 eingesetzt werden S1 = (1,0 kN- 1,88 kN*sin10°)/ sin20° S1 = 1,97 kN S1,x = S1 *cos20°= 1,97 kN*cos20°= 1,85 kN S1,y = S1 *sin20°=1,97kN*sin20° = 0,67kN

Die b isher sehr au fwend ige m a t h e m a t i s c h e Lösung der Sei lkräf-te w i rd du rch e ine tabe l la r ische Lösung ersetzt , d ie im A n h a n g zu f inden ist. Für d ie hier e ingesetz ten Winke l w i rd d ie Tabel le aus -zugswe i se dargeste l l t :

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Durch d ie Tabel le lassen s ich auf d iese Weise Be rechnungen e insparen . Die genaue Benu tzung w i rd in Abschn i t t 9 er läutert .

N a c h d e m d ie Sei lkräf te S1 und S2 berechnet s ind , w e r d e n d ie anderen Tei lsysteme analysiert . Zunächs t der l inke Kno tenpunk t :

S5

Der Winke l z w i s c h e n S3 und S5 bet räg t 25° . Bemaßt waren 65° zw i schen S3 und der Hor izonta len . Die S u m m e der Winke l im rech tw ink l igen Dreieck bet räg t 180° . Da der rech te Winke l 90° z w i s c h e n der Hor izonta len und S5 b e -t rägt , lassen s ich d ie anderen Winke l umrechnen .

Die K o m p o n e n t e n von S1 s ind bekann t . Die Winke lbez iehung von S3 w i rd aufgeste l l t und zu spä te rem Ze i tpunk t benöt ig t .

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3.3. Gleichgewichtsbedingungen GGB beim allg. Kräftesystem

Das a l lgemeine Krä f tesys tem er laubt das Berechnen v o n Kräf-t en , ohne d a s d ie Kräfte am g le ichen Punkt angre i fen. Es ist e twas au fwend ige r als das zent ra le Krä f tesys tem, v e r m a g aber auch komp lexe re P rob leme zu lösen.

Zunächs t w i r d ein neuer Begri f f e ingeführ t , der fü r d ie nach fo l -g e n d e n Be t rach tungen große B e d e u t u n g hat.

D a s M o m e n t Ein M o m e n t kann als D r e h m o m e n t , K i p p m o m e n t , B i e g e m o m e n t etc . e rsche inen . Ein M o m e n t en ts teh t immer, w e n n d ie Wi rkungs l in ien zweier Kräfte paral lel ver laufen und d ie Kräf te e inen ung le ichen Bet rag haben ode r en tgegengese tz t s i nd .

Bei den b isher igen Be t rach tungen am zentra len Krä f tesys tem (alle Kräf te gre i fen an e inem Punk t an) genüg te das G le i chge -w ich t in hor izonta ler und vert ikaler R ich tung , um d e n Körper in Ruhe zu ha l ten. L iegen d ie Wi rkungs l in ien aber paral le l , so erg ibt s i ch zwar keine Versch iebung des Körpers , aber e ine Verdrehung! O b w o h l das G le i chgew ich t in x - und y -R i ch tung g e g e b e n ist, be f indet s ich der Körper n icht in Ruhe.

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Die Drehung des Körpers beruht auf d e m M o m e n t , d a s das Kräf-tepaar bewi rk t . Der Bet rag des M o m e n t s ist abhäng ig von d e m W i r k a b s t a n d und der Kraft . Ein M o m e n t kann als „d ie Kraft de r Ro ta t i on " be t r ach -tet w e r d e n . Ein d rehmomen ts ta r ke r M o t o r „ha t Kraf t " .

Das M o m e n t w i rd mi t M beze ichnet . M = F * a (a ist der Wi rkabs tand)

Beisp ie l : Kurbe l

Um d ie Kurbe l im G le i chgew ich t zu ha l ten, ist es nö t ig , d ie Ver-sch iebungen und d ie Verdrehung zu ve rh indern . J e d e der B e w e -g u n g s b e h i n d e r u n g e n er forder t e ine „Ha l t ek ra f t /Ha l t emomen t " . Durch d iesen U m s t a n d e rgeben s ich d ie so genann ten Auf lager -b e d i n g u n g e n . Für d ie Funkt ions fäh igke i t e ines j eden t e c h n i -schen Gerä ts s ind d ie Auf lager von en tsche idender B e d e u t u n g .

Um d ie Au f l age rbed ingungen r icht ig wäh len zu können , w e r d e n e in ige Beisp ie le er läutert . Die un te rsch ied l i chen Au f lagerungen b ie ten ve rsch iedene Beh inde rungen .

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Um die Kurbe l im G le i chgew ich t zu ha l ten, g ib t es zwe i M ö g l i c h -ke i ten:

Eine E inspannung am Drehpunk t (behinder t al le Ve rsch iebun -gen und d ie Verdrehung)

Ein Gelenk am Drehpunk t un d e ine Berührung an d e m Kurbe la rm

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Bei be iden Au f l age rbed ingungen bef indet s ich d ie Kurbe l im G le i chgew ich t . Wenn m a n in d ie Tabel le s ieht, so ist zu e rkennen , dass d ie S u m m e der Wer t igke i ten in be iden Fällen 3 erg ibt .

Die Auf lager bew i rken „Ha l tek rä f te " in der Koord ina te , in der s ie B e w e g u n g e n b lock ie ren . W i rd e ine B e w e g u n g n icht b lock ier t , so kann auch keine Auf lagerkra f t w i r ken .

Wäh l t m a n d ie zwe i te Au f l age rbed ingung der Kurbe l , so kann m a n d ie Auf lagerkrä f te w ie fo lg t e inze ichnen:

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Für d ie ma thema t i s che Formul ie rung der neuen G le ichung s ind e in ige Regeln zu beach ten . Eine Kraft bewi rk t d a n n ein M o m e n t , w e n n sie eine K o m p o n e n t e senkrech t z u m Drehhebel hat und der Hebel d ieser K o m p o n e n t e v o m be t rach te ten Drehpunk t u n -g le ich null ist.

Der Drehpunk t , der be t rach te t w i r d , kann frei def in ier t w e r d e n , j e d o c h m u s s für al le angre i fenden Kräf te der g le iche Drehpunk t gewäh l t w e r d e n , um d ie S u m m e der D r e h m o m e n t e zu l is ten.

Der Bet rag des M o m e n t s ist abhäng ig von d e m W i r k a b s t a n d und der K ra f t komponen te senkrech t z u m Drehhebe l . Das M o m e n t w i rd mi t M beze ichnet . M = F * a, (a ist der W i r k a b s t a n d - auch bekann t als Hebel) Das M o m e n t ist somi t das Produk t aus Kraft (senkrecht z u m He-belarm) und Hebe la rm. Die Kräf te w e r d e n nun mi t te ls der drei G G B s berechnet . A ls Beispie l w e r d e n e in ige Zah lenwer te e inge-setzt .

F = 1,3 kN

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Ü b u n g s a u f g a b e : Für e ine Traverse mi t zwei PA-Clus tern sol len d ie Be las tungen der Hängepunk te an der Decke berechnet we rden . J e d e s Cluster w ieg t 600 k g , d ie Z ü g e je 60 k g , d ie anderen Eigenlasten b le iben unberücks ich t ig t . Die Maße s ind in cm a n g e g e b e n .

Zunächs t w i rd das s ta t i sche S y s t e m der Traverse aufgeste l l t :

6,0 6,0 kN kN

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Die Ergebnisse w e r d e n nun mit Hi l fe des P r o g r a m m s „Auf lager -reak t ionen" v o n der CD kontrol l ier t . Es w e r d e n alle Lasten e in -g e g e b e n .

Die Ergebn isse s t i m m e n übere in !

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4. Ebene Fachwerke

Das Fachwerk ist für viele Kons t ruk t ionen ein nütz l iches Hi l fs-mi t te l , um Mater ia l e inzusparen und t r o t z d e m eine große Ste i f ig -keit zu b ie ten . Ein Viereck mi t ge lenk igen Ecken ist ve rsch ieb l i ch , n icht so ein Dre ieck oder z u s a m m e n g e s e t z t e Kons t ruk t ionen aus Dre iecken. Die untere A b b i l d u n g zeigt ein Fachwerk aus zwei Dre iecken.

In der Verans ta l tungs techn ik w e r d e n häuf ig Gerüs te e ingesetz t , d ie auf d e m g le ichen Pr inzip des Fachwerks be ruhen . B e s o n -ders in teressant s ind d ie Kräf te in den e inzelnen S täben , da d ie

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Diagona len , d ie Riegel und d ie St ie le n icht unbegrenz t be las tbar s ind .

F o l g e n d e E i g e n s c h a f t e n k e n n z e i c h n e n e i n F a c h w e r k : 1. Al le S täbe s ind starr und ge rade 2. Die S täbe s ind ge lenk ig mi te inander in den K n o t e n p u n k t e n

v e r b u n d e n 3. Die Achs -L in ien der S täbe schne iden s ich in e inem Punkt 4. Die Lasten s ind Einzel lasten in den K n o t e n p u n k t e n 5 . Das Fachwerk ist 3 -wer t ig ge lager t und somi t s ta t i sch b e -

s t i m m t 6. Es gilt fo lgende Bed ingung für d ie Anzahl der S täbe und Knoten :

s = 2*k-3, s = Anzahl der Stäbe, k = Anzahl der Knoten

Die E igenschaf t Nr. 2 ist in der Praxis n icht zu 1 0 0 % erfül l t , dar f aber als ger ing füg iger Fehler vernach läss ig t w e r d e n (z.B. g e -schwe iß te S t reben in einer Traverse s ind keine realen Gelenke).

Die Bed ingung Nr.6 soll an ein igen Beispie len untersucht we rden .

S = 7 k = 5 7 = 2 * 5 - 3 stimmt

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S = 5 k = 4 5 = 2 * 4 - 3 stimmt

S = 7 k = 5 7 = 2 * 5

S = 7 k = 5 7 = 2 * 5

B e r e c h n u n g v o n S t a b k r ä f t e n i m F a c h w e r k 1. Schr i t t : Be rechnung der Auf lager w ie be im a l lgemeinen Kräf-

t esys tem mi t 3 G G B s (dabei das Fachwerk als Gesamtkö rpe r betrachten!)

2 . Schr i t t : Jeder Kno ten w i rk t w ie ein zentra les Krä f tesys tem und kann mi t 2 G G B s berechnet w e r d e n .

3 . Schr i t t : Die aufgeste l l ten G le i chungen können ine inander e in -gesetz t w e r d e n . Die S tabkrä f te w e r d e n so ermi t te l t .

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Beispie l Hafenkran

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Ü b u n g s a u f g a b e : Für e inen Stah lse i l verband in einer Open -A i r -Bühne sol l d ie Se i l -kraft berechnet w e r d e n . Die R ü c k w a n d aus Plane (muss üb r i -gens s c h w e r en t f l ammbar sein) ist nur an d e m hinteren Dach rand und d e m P o d i u m befest ig t . So w i rd e ine Häl f te der W i n d last über den h interen Dachrand-Träger abgele i te t , der w ie -d e r u m über zwe i Stahlsei le (eines je Se i tenwand) d ie Last auf d ie vorderen Fußpunk te ab t räg t .

Seitenansicht Open-Air-Bühne

Drucksteifer Riegel oder beide Auf lager horizontal fest

Die Ve rbände s ind in der Regel als Kreuz-Verband ausgeführ t , so dass bei R ü c k e n w i n d der andere Verband zugak t iv w i r d . Dami t d ieser Verband d ie Last ab t ragen kann , m u s s ein d rucks te i fe r

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Die Auf lager reak t ionen s ind g le ich , da d ie Kons t ruk t ion s y m m e -t r isch ist. A = B = 6 , 0 k N

Die S tabkrä f te von S1 und S2 w e r d e n d a d u r c h ebenfa l ls g le ich . S1 = S 2

Die Be rechnung beg inn t m a n s innvol ler Weise an e inem der Auf -lager, da m a n auf d iese Weise be ide unbekann ten S tabkrä f te lösen kann!

Das s ta t i sche S y s t e m w i rd skizziert . W ieder w e r d e n alle u n b e -kannten Kräf te v o m Kno ten w e g geze ichnet .

A = 6 ,0 k N

K o m p o n e n t e n von S1 cos45° = S1 ,y / S1 S1 = S1 ,y / s in45° S1 ,y = S1 * s in45° S1,x = S1,y (45° Winkel)

Am schne l l s ten löst m a n d ie Au fgabe , i n d e m m a n mi t der G G B in Y-R ich tung beg inn t , da berei ts eine Kraft auf d ieser A c h s e b e -kannt ist.

81

5. Innere Kräfte und Spannungen Alle Baute i le s ind fes te Körper, d ie au fg rund von Be las tungen deformier t w e r d e n . Die De fo rmat ion beansp ruch t den Werkstof f . Bei genügende r Fest igkei t des Werks to f fs hält das Bautei l der B e a n s p r u c h u n g s tand . Die B e a n s p r u c h u n g eines Baute i ls hängt v o n zwe i Größen ab - den inneren Kräf ten und d e m Querschn i t t . Je g r ö -ßer d ie inneren Kräf te s ind , des to größer w i rd d ie De fo rmat ion und auch d ie B e a n s p r u c h u n g . Je größer d ie Querschn i t t swer te des Bautei ls , um so ger inger ist se ine B e a n s p r u c h u n g . A ls Maß der B e a n s p r u c h u n g w i rd d ie S p a n n u n g gesetz t . Die inneren Kräf te in e inem Bautei l w e r d e n als Schn i t tg rößen , Schni t tkräf -te oder Schni t t lasten beze ichnet .

5.1 Normalkraft und Normalspannung

Als Normalkra f t w i rd eine innere Kraft (Schni t tkraf t ) beze ichnet , d ie senkrech t zur Querschn i t t s f l äche w i rk t und daher en t lang der S tabachse f l ießt. Norma lk rä f te w e r d e n mi t d e m Fo rme lbuchs ta -ben N beze ichnet . Ist N posit iv, so hande l t es s ich um eine Z u g -kraft . Bei nega t i vem Vorze ichen w i rk t e ine Druckkra f t .

82

Beispie l S tab S1 des Hafenkrans

Die zuvor be rechne te Stabkra f t w i rk t auf be iden Sei ten des b e -t rach te ten S tabs tücks . Das Element ist im G le i chgew ich t . Die Kräf te f l ießen du rch den Querschn i t t des Rohres. Die N o r m a l -kraft e rzeugt N o r m a l s p a n n u n g e n in d e m Rohrquerschn i t t .

83

5 . I n n e r e K r ä f t e u n d S p a n n u n g e n

Die N o r m a l s p a n n u n g w i rd mi t d e m Fo rme lbuchs taben s igmaN (S igma N) gekennze ichne t . Die N o r m a l s p a n n u n g w i rd mi t f o l -gender Formel berechnet :

sigmaN = N/A N <> Normalkraft im Stab N = S1 =50 kN A <> Querschnittsfläche des Rohres A (Rohr 48,3x3,2) = 4,53cm2

Für den S tab S1 des Hafenkrans erg ib t s i ch : sigmaN = N/A = 50 kN/4,53 cm2 = 11,04 kN/cm2

Ob das Rohr der Be las tung s tandhä l t , hängt nun von der Fes t ig -keit des Mater ia ls ab . Hier e in ige zu läss ige S p a n n u n g e n untersch ied l icher Mater ia l ien, d ie in Tabel len gel istet s i nd :

Falls das Rohr be isp ie lswe ise aus Baustah l S t37 -2 bes teh t , so w i rd es der Be las tung s tandha l ten .

A c h t u n g : Bei sch lanken D r u c k s t ä b e n wi rd ein a n d e r e s B e -rechnungsver fahren v e r w e n d e t , da sch lanke S t ä b e t rotz zulässiger S p a n n u n g e n auskn icken können! Die B e r e c h -nung von Kicks icherhe i ten sollte d e m Ingenieur über lassen b le iben , da sie recht komplex sein k a n n .

84

Ü b u n g s a u f g a b e : Die N o r m a l s p a n n u n g e n in der Lasche sol len berechnet w e r d e n . Es w i rd e ine Zugkra f t von 20 kN angesetz t . Maße in (mm).

Dicke der Lasche t = 5mm

Die Lasche ist mit Boh rungen von d = 1 2 m m versehen . Die Löcher s c h w ä c h e n d ie Kons t ruk t i on . Die ve rb le ibende Quer -schn i t t s f läche w i rd w ie fo lg t berechnet :

A = ( 5 0 m m - 1 2 m m ) * 5 m m = 1 9 0 m m 2 = 1,9 c m 2

F = 20 kN sigmaN = 2 0 7 1 , 9 = 10,53 kN / c m 2

85

5.2 Scherkraft und Scherspannung Als Scherkra f t w i rd e ine Kraft beze ichnet , d ie paral lel zur Quer -schn i t t s f läche w i rk t und daher senkrech t zur A c h s e f l ießt. Scher -kräf te w e r d e n mi t d e m Fo rme lbuchs taben V ode r F beze ichnet . Diese Ar t der B e a n s p r u c h u n g ist besonde rs für Sch rauben und Bolzen relevant. (Für Bo lzen und andere Querschn i t te s iehe A b -schn i t t 7.1)

Beisp ie l : Ansch luss des S tabes S1 des Hafenkrans (s. 4 . Ebene Fachwerke) Der S tab S1 sol l an se inen Enden mi t einer Sch raube und einer Gabe lve rb indung angesch lossen se in .

( S k i z z e n i ch t m a ß s t ä b l i c h )

86

Die Sch raube verh inder t das Wegg le i ten der Gabe l ve rb indung . In der Scher fuge zw i schen den Verb indungsg l iedern w i r ken d ie Kräf te auf d ie Sch raube . Sie e rzeugen Sche rspannungen in d e m vol len Kernquerschn i t t der Sch raube . Die S c h e r s p a n n u n g einer Sch raube w i rd mit d e m F o r m e l b u c h -s taben tau (Tau) gekennze ichne t . Sie w i rd mi t fo lgender Formel b e -rechnet :

r = F/As (andere Bauteile außer Schrauben s. 7.1) F <> Scherkraft in der Schnittfuge As <> Querschnitts fläche der Schraube AS(M16) = 2,01 cm2

Für den Ansch luss des S tabes S1 des Hafenkrans erg ib t s i ch : Die S tabkra f t S1 w i rd an zwei Scher fugen über t ragen (Die Ver-b i ndung ist zweischn i t t ig ) . Daher erhält j ede Scher fuge d ie ha lbe Kraft .

F = S1/2 = 50 kN/2 = 25 kN tau = F/As = 25 kN/2,01 cm2 = 12,44 kN/cm2

Eine S c h r a u b e der Fest igke i tsk lasse 5.6 hat eine zu läss ige S c h e r s p a n n u n g von zul tau = 16,8 k N / c m 2 .

Die S c h r a u b e hält de r Be las tung s t a n d .

87

Ü b u n g s a u f g a b e : Wie groß ist d ie S c h e r s p a n n u n g des Bo lzens? F = 60,0 kN Bo lzen d = 1 2 m m

Scherkra f t je Scher fuge F = 60,0 kN / 4 = 15,0 kN Scher f läche As = p i /4 * ( 1 2 m m ) 2 = 113 m m 2 = 1,13 cm S c h e r s p a n n u n g t = 15,0 / 1 , 1 3 = 13,27 kN / c m 2

5.3 Lochleibungskraft und Lochleibunsspannung

Durch das Verb inden zweier Bautei le du rch Bo lzen , Sch rauben oder N ie ten w e r d e n an den L o c h w a n d u n g e n der Boh rungen d ie Kräfte v o n e inem Bautei l auf das Verb indungsmi t te l und dann wei ter auf das nächs te Bautei l über t ragen . Die L o c h w a n d u n g e n we rden gegen das Verb indungsmi t te l gepreßt . Die Baute i le we r -den auf Loch le ibung beansp ruch t . Ist d ie L o c h l e i b u n g s s p a n -nung zu groß, so d roh t das L o c h aufzure ißen.

88

Beisp ie l : Ansch luss des S tabe s S1 des Hafenkrans

Die Loch le i bungsspannung w i rd mi t d e m Fo rme lbuchs taben s igmaL (S igma L) gekennze ichne t . Sie w i rd mi t fo lgender Formel b e -rechnet :

sigmaL = F/Al F <> Anpress-Kraft auf die betrachtete Fläche Al <> Anpress-Fläche der Bohrungswandung Al = D*t (Durchmesser Bolzen * Dicke der Lasche)

Bei d e m Gabe lansch luss müssen zwe i Bautei le überprü f t wer -d e n : d ie Gabe l und der mi t t ige Zap fen .

Gabe l AL = 16mm * 10mm = 160mm2 = 1,6cm2

F = S1/2 = 50 kN/2 = 25 kN SIMGAL = F/Al = 25 kN/1,6cm2 = 15,6kN/cm2

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Zap fen AL = 16 mm * 28 mm = 448 mm2 = 4,48 cm2

F = S1=50kN sigmaL = F/AL = 50 kN/4,48 cm2 =11,1 kN/cm2

Die Gabe l -Laschen s ind höher beansp ruch t .

S inn igerwe ise d imens ion ie r t m a n d ie D icke de s Zap fens und der Gabe l so , dass Al bei be iden Baute i len g le ich groß ist. Eine en t -sp rechende Kons t ruk t ion bei g le ichen Außenmaßen wä re w ie fo lg t gesta l te t :

t(Zapfen) = 24 mm

t(Gabel) = 12 mm

Auf d iese Weise ergibt s ich bei g le icher Be las tung fo lgende Loch le i bungsspannung :

sigmaL = F/AL = 50 kN/(2 * 1,2 cm* 1,6 cm) = 13,02 kN/cm2

Die Be las tung der Gabe l l iegt so ledig l ich bei 13,02 / 15 ,6 * 1 0 0 % = 8 4 % der zuvor be rechne ten Lösung .

Ob d ie Laschen der Be las tung s tandha l ten , hängt nun von der Fest igkei t des Mater ia ls ab . Hier e in ige zu läss ige Loch le i bungsspannungen un te rsch ied l i -cher Mater ia l ien, d ie in Tabel len gel is tet s ind :

90

Achtung: Die Randabs tände der Boh rung s ind w i ch t i g . Bleibt zu wen ig Mater ia l an den Rändern der B o h r u n g , so reißt d ie Lasche ab , o b w o h l d ie zu läss ige Loch le i bungsspannung noch n icht er-reicht ist. Fo lgende min ima le A b s t ä n d e müssen für S tah l laschen e ingeha l ten w e r d e n , um die o b e n genann ten Wer te zu erfü l len:

(Skizze nicht maßstäblich)

Bei ger ingeren Randabs tänden s ind d ie Baute i le n icht u n -brauchbar , v ie lmehr s ind sie nur n icht so hoch belastbar. Bei A l -umin iumbau te i l en sol l ten d ie Randabs tände bei e = 2,0 * D l ie-gen , um eine vol le Ausnu t zung der zu läss igen S p a n n u n g e n zu er re ichen.

Falls mehrere Verb indungsmi t te l hinter- oder nebene inander a n -geordne t s i nd , können d iese ebenfa l ls als t r agend angesehen we rden , sofern d ie A b s t ä n d e untere inander ausre ichen. U m k o n -krete A n g a b e n zu erha l ten, sol l te m a n in der en t sp rechenden N o r m nachsehen . (DIN 18800 Te i l1 , DIN 4113 Teil l )

91

6. Schnittgrößen des biegebeanspruchten Trägers

In den b isher igen Beispie len des S tabes 1 des Hafenkrans w u r d e immer ein S tab bet rachtet , der mi t Normalkrä f ten beanspruch t wu rde . Eine andere Ar t der Beansp ruchung liegt bei der Traverse aus Abschn i t t 3.3 vor. Auf d ie Traverse w i rken Lasten ein, d ie senkrecht zu ihrer A c h s e s tehen. Bei d e m Z u g s t a b des Ha fen-krans lag d ie Wirkungsl in ie ent lang der S tabachse .

Die Traverse w i rd unter der Last g e b o g e n .

Um die B e a n s p r u c h u n g (Spannungen) in B iege-Trägern zu er-mi t te ln , m ü s s e n zunächs t d ie Schn i t t k rä f te im Träger ermi t te l t we rden . Wenn der Träger in Ruhe ble ibt , so s ind al le Kräf te im G le ichgewich t . Dies gilt auch für d ie e lementar k le inen Tei ls tücke des Trägers. Au fsch luss g ib t der Schn i t t du rch den Träger:

92

Für d e n Träger g ib t es drei Schn i t t g rößen , d ie mi t al len angre i -f enden Kräf ten im G le i chgew ich t s tehen .

N - Normalkraft Q - Querkraft M - Biegemoment

Normalkrä f te w i rken ent lang der A c h s e des Trägers (Zug / Druck).

Querkrä f te w i rken senkrech t zur A c h s e des Trägers (Scherkraft) . B i e g e m o m e n t e w i r ken in der Ebene.

Für d ie Be rechnung der Schn i t t k rä f te wäh l t m a n in der Regel das pos i t ive Schn i t tu fer aus , um mi t den 3 G G B s d ie Schn i t t k rä f te zu be rechnen .

N - Normalkraft nach rechts positiv Q - Querkraft nach unten positiv M - Biegemoment gegen Uhrzeiger positiv

Für d ie me is ten Traversen g ib t es A n g a b e n zu den zu läss igen Schn i t tg rößen . Die Schn i t tg rößen können für den indiv iduel len Lastfal l ermi t te l t und mi t den zu läss igen Wer ten verg l ichen wer -d e n .

Beispie l Traverse, Be rechnung der Schn i t t k rä f te an zwe i Ste l len des Trägers.

x = 2,2m und x = 3,7 m.

97

Nun kann m a n das Ergebnis für B in d ie zwe i te G G B e insetzen: A = 3,5 kN-B

A = 3,5 kN-2,19 kN= 1,31 kN

2 . S c h r i t t - S c h n i t t k r ä f t e

Normalkra f tver lauf ist n icht re levant (N = 0) und w i rd n icht g e -ze ichnet .

98

Ü b u n g s a u f g a b e : Ze ichnen Sie den Schn i t tg rößenver lau f des dargeste l l ten Trä-gers und g e b e n Sie d ie Wer te des B i e g e m o m e n t s und der Quer-kraft im D iag ramm an .

Zunächs t w e r d e n dazu d ie Auf lager reak t ionen berechnet . Die Ergebn isse lauten:

A = 1 2 , 6 k N B = 7,4 kN Nun können d ie Schn i t tg rößen skizziert w e r d e n .

100

6 S hnit öße Träg e r c Einz e

Beispie l : Träger mi t drei Einzel lasten

101

Für d ie Schn i t tg rößen be im Träger auf zwei Stü tzen mit Einzel las-

ten e rgeben s ich fo lgende Z u s a m m e n h ä n g e :

1 . Die Querkra f t en ts teh t sp rungha f t am Au f lage rpunk t in de r

Größe der Auf lagerkra f t .

2 . Das M o m e n t ist am Auf lager g le ich null u n d s te ig t in l inearer

Form bis zur nächs ten Last an .

3 . Die Querk rä f te b le iben z w i s c h e n d e n Einzel lasten kons tan t .

Die Querk ra f t f läche ist ein Rech teck .

4 . Ein S p r u n g in der Querkraf t l in ie erzeugt e inen Kn ick in der M o -

menten l in ie .

102

6 Sc größen T S r cke a e

Beispiel Träger mit S t recken las t

Für d ie Schn i t tg rößen be im Träger auf zwei Stü tzen mi t S t recken -

lasten e rgeben s ich fo lgende Z u s a m m e n h ä n g e :

1. Die Querkra f t en ts teh t sp rungha f t am Au f lage rpunk t in de r

Größe der Auf lagerkraf t .

2 . Au f unbe las te ten A b s c h n i t t e n bleibt d ie Querkra f t kons tan t .

3. Im Bere ich de r St recken las t fällt d ie Querkra f t linear. Die Quer -

kraf t f läche ist in d i e s e m Bere ich ein Dreieck.

4 . Das M o m e n t ist am Auf lager g le ich null u n d s te ig t in l inearer

Fo rm bis zur S t recken las t an .

104

nun kann m a n das Ergebnis für B in d ie zwe i te G G B e insetzen:

Ay=13,6kN-B

Ay = 13,6 kN - 6,525 kN = 7,075 kN

Standard-Las t fä l le s ind in der F o r m e l s a m m l u n g im A n h a n g b e -

sch r ieben .

105

4 Schn t g ö e äg t meh e en e e

Ist ein Träger auf m e h r als zwe i S tü tzen gelager t , ergibt s ich ein

so genann te r „Mehr fe ld t räger " . Die Prob lemat ik der auf d iese

Weise s ta t i sch ü b e r b e s t i m m t e n Au f lage rung soll hier nur kurz

a n g e s p r o c h e n w e r d e n , da d ie B e r e c h n u n g s m e t h o d e n im Ver-

häl tn is z u m Träger auf zwei S tü tzen deut l i ch schwier iger s ind .

Die so genann te Durch laufw i rkung ist be im Zwei fe ld t räger am

a u s g e p r ä g t e s t e n . Daher sol l d a s A u g e n m e r k auf d iesen g e r i c h -

te t w e r d e n .

106

Der g röß te Bet rag d e s B i e g e m o m e n t s erg ibt s ich über der (den)

mi t t leren Stütze(n), w e n n be ide Felder be lastet s ind . Das Vorze i -

c h e n d e s B i e g e m o m e n t s wechse l t , s o d a s s Druck - u n d Z u g z o -

ne ebenfa l ls w e c h s e l n . Ist nur ein Feld belastet , so erg ibt s ich d a s

max ima le B i e g e m o m e n t im Feld, und d a s äußere Auf lager er-

fähr t a b h e b e n d e Auf lagerk rä f te . Die un te rsch ied l i chen Be las -

t u n g s z u s t ä n d e v o n Mehr fe ld t rägern s ind im A n h a n g dargeste l l t .

107

7. Spannungen des biegebeanspruchten Trägers

Die Schn i t t k rä f te d e s b i e g e b e a n s p r u c h t e n Trägers b e a n s p r u -

c h e n d e n Querschn i t t d e s Trägers. Die N o r m a l s p a n n u n g e n aus

Druck - und Zugkrä f ten s ind berei ts in A b s c h n i t t 5.1 er läuter t

w o r d e n . Die S p a n n u n g e n aus Querkra f t u n d B i e g e m o m e n t w e r -

d e n in d i e s e m Abschn i t t erarbei tet .

7 i es n u g

Beispiel Ba lken unter B i e g e b e a n s p r u c h u n g

108

Die B i e g e b e a n s p r u c h u n g erzeugt Z o n e n mi t Z u g - und Druck -

s p a n n u n g im Querschn i t t . In d e m Übergangsbere i ch f indet

keine De fo rmat ion s ta t t , d e m z u f o l g e ist d ieser Bere ich s p a n -

nungsf re i . Von d ieser „neut ra len Faser" n i m m t d ie S p a n n u n g

nach außen immer we i te r zu , so d a s s in d e n Randzonen d ie

h ö c h s t e n S p a n n u n g e n auf t re ten.

Um d ie Größe der B i e g e s p a n n u n g zu ermi t te ln , re ichen d ie b i s -

her er läuter ten Z u s a m m e n h ä n g e v o n Kraft und Querschn i t t s -

f läche, w ie bei N o r m a l - u n d S c h e r s p a n n u n g e n , n icht aus . Die

f o lgende Be t rach tung zeigt d a s P rob lem:

Beispie l Lineal

In be iden Belastungsfä l len ist d ie Querschn i t t s f läche d e s Lineals

g le ich , d ie De fo rma t ionen , d e m n a c h a u c h d ie S p a n n u n g e n , s ind

a l lerd ings un te rsch ied l i ch .

109

Die G e o m e t r i e d e s Profi ls ist im Fall de r B i e g e b e a n s p r u c h u n g

eine Größe, d ie e inen Einf luss auf d ie S p a n n u n g hat . Die „ B ie g e -

h a u p t g l e i c h u n g " zeigt d e n Z u s a m m e n h a n g .

Die B i e g e s p a n n u n g w i rd mi t d e m F o r m e l b u c h s t a b e n s igmaB (S igma

B) gekennze ichne t . Die max ima le B i e g e s p a n n u n g w i rd mi t f o l -

gender Formel berechnet :

x = /W

M <> Biegemoment im Träger an der Stelle x

W <> Widerstandsmoment des Profils

Die m a x i m a l e B i e g e s p a n n u n g tr i t t in d e n Randfasern d e s Profi ls

auf.

Für viele S tandard-Pro f i le s ind d ie W i d e r s t a n d s m o m e n t e in Ta-

bel len gel is tet . Für u n s y m m e t r i s c h e Profi le g ib t es A n g a b e n für

W x , Wy u n d W z . Die K le inbuchs taben s ind d ie B iegeachsen

eines Prof i ls. In der Regel er läutern Schaub i lde r d ie Tabel len, so

d a s s d ie zu t re f fende A c h s e zu e rkennen ist. Au f de r C D - R o m

s ind P r o g r a m m e zur B e r e c h n u n g d e s W i d e r s t a n d m o m e n t s v o n

Hohlpro f i len hinter legt .

Ob d a s Profil der Be las tung s tandhä l t , hängt v o n der Fest igkei t

d e s Mater ia ls ab .

Hier e in ige zu läss ige S p a n n u n g e n untersch ied l icher Mater ia l ien,

d ie in Tabel len gel is tet s i n d :

Werks to f f zul s i gmaB ( k N / c m 2 )

A l u m i n i u m A I M g 3 F 1 8 4,5

A l u m i n i u m A l M g S i 0,5 F22 9,5

A l u m i n i u m A l M g S i 1 F31 14,5

Baus tah l S t37 - 2 16,0

Baustah l S t 5 2 - 3 24 ,0

Edels tahl 4 2 C r M o 4 36,0

Beispiel: Trägerprofil auswählen

110

Der PA-Lau tspreche r aus Abschn i t t 6.1 sol l an ein gee igne tes

Stahl -Prof i l gehäng t w e r d e n . Vorhanden s ind je ein Q u a d r a t -

Hohlprof i l 7 0 x 7 0 x 4 (warmgefer t ig t ) und 9 0 x 9 0 x 5 (kal tgefert igt)

aus Baustah l S t 3 7 - 2 . Kann e ines de r Profi le v e r w e n d e t w e r d e n ?

zul sigmaB(St37-2) = 16,0 kN/cm 2

max M = 3,6 kNm (siehe Abschnitt 6.1)

Es gilt: max sigmaB = M/W

Damit d a s Profil de r Be las tung s tandhä l t , m u s s m a x s igmaB < zul s igmaB

sein. Das W i d e r s t a n d s m o m e n t W m u s s groß g e n u g se in , dami t

die B e d i n g u n g erfül l t ist.

Das erforder l iche minimale W i d e r s t a n d s m o m e n t wi rd berechnet :

W

min, erf W> 3,6 kNm/(16,0 kN/cm 2)

min, erf W> 360 kNcm/(16,0 kN/cm 2)

min, erf W> 22,5 cm 3

W ( 7 0 x 7 0 x 4 , warmgefer t ig t ) = 21,3 c m 3 , n icht gee ignet

W ( 9 0 x 9 0 x 5 , kal tgefert igt) = 42,9 c m 3

Die B e r e c h n u n g d e s B i e g e m o m e n t s er fo lg te o h n e d ie

Be rücks i ch t i gung der Eigenlast d e s Prof i ls! Die Eigenlast w i rk t

als Gle ich last über d e n ganzen Träger.

Standard-Lastfall: M = q *L 2/8 (Formelsammlung Anhang)

Eigenlast g (90x90x5) = 0,128 kN/m

M(g) < 0,128 kN/m * (11,0 m) 2/8 = 1,94 kNm

in der Mitte des Trägers

G e s a m t b i e g e m o m e n t

max M < 3,6 kNm + 1,94 kNm = 5,54 kNm

111

Die maximalen Biegemomente von Eigenlast und Anhän-

gelast treten an verschiedenen Positionen auf, so dass

das Gesamtbiegemoment real kleiner ist.

Ü b e r p r ü f u n g der S p a n n u n g :

max sigmaB = M/W

max sigmaB = 5,54 kNm/42,9 cm 3

max sigmaB = 554 kNcm/42,9 cm 3

max sigmaB = 12,91 kN/cm 2 < 16,0 kN/cm 2, Profil hält der Be-

lastung stand.

Übungsaufgabe:

Eine R a m p e z u m Be laden eines L K W soll g e b a u t w e r d e n . Es s o l -

len F l igh t -Cases bis zu e inem G e w i c h t v o n 3 0 0 kg zu ver laden

se in . Für d e n a rbe i tenden Verans ta l tungs techn iker w i rd ein G e -

w ich t v o n 100 kg angesetz t . Al le Lasten sol len konzentr ier t auf

e inen Punkt w i rken k ö n n e n . Unterha lb einer Ho lzp la t te (Eigen-

g e w i c h t e vernach läss igen) sol len zwe i Quadra thoh lp ro f i le

7 0 x 7 0 x 4 aus Stahl S t37 -2 als Trage lemente ver laufen (L =

1,35m). Die Last tei l t s ich g le ichmäßig auf be ide Q u a d r a t h o h l -

prof i le auf. Überp rü fen Sie d ie Profi le auf Tragfähigkei t und

berücks ich t igen Sie d ie ungüns t igs ten Pos i t ionen der Last .

112

Profi le:

Quadrathohlprofile 70x70x4 - St37-2

A = 10,4 cm 2

l = 74,7 cm 4

W = 21,3 cm 3

i = 2,68 cm

Diese Wer te s t a m m e n aus Stahlprof i l -Tabel len.

Sie k ö n n e n aber auch mi t Hilfe d e s P r o g r a m m s „ R e c h t e c k - H o h l -

p ro f i l -Geomet r ie " e r rechnet w e r d e n . Kleine Di f ferenzen z w i -

s c h e n d e n Tabel lenwer ten und d e n Be r echnungen k o m m e n

du rch die Rundungs rad ien der Profi le zus tande , d ie in d e n Ta-

bel len be rücks ich t ig t w u r d e n .

113

f o l gende Grenzwer te w e r d e n fes tge legt :

zu läss ige B i e g e s p a n n u n g s igmab = 16,0 kN / c m 2

(zulässige S c h u b s p a n n u n g tau = 9,2 kN / c m 2 - s. A b s c h n i t t 7.2)

Max ima l w i r k e n d e Punkt las t :

P = 3,0kN+1,0kN = 4,0kN

Max ima l w i r k e n d e Punkt las t je Quadra thoh lp ro f i l :

F= 4,0 kN/2 = 2,0 kN

Max ima les B i e g e m o m e n t / B i e g e s p a n n u n g bei Last in der Mi t te

(Standard Lastfal l - s iehe Formeln im Anhang)

max M = F*L/4 = 2,0kN* 1,35m 14 = 0,675 kNm = 67,5 kNcm

max sigmab = max M / W = 67,5 kNcm / 21,3 cm 3 = 3,17 kN /

cm 2 < 16,0 kN/cm 2

Max ima le Q u e r k r a f t / S c h u b s p a n n u n g bei Last ganz am Rand (s.

A b s c h n i t t 7.2)

maxQ = F = 2,0kN

max tau =1,5*maxQ/Asteg=1,5*2,0kN/(2*0,4*6,6) =

0,57kN/cm 2

114

oder mittlere Schubspannung:

tau = max Q / Asteg = 2,0 kN / (2 * 0,4 * 6,6) = 0,38 kN/cm 2

< 9 , 2 k N / c m 2

Die Profi le s ind h inre ichend t rag fäh ig .

7 Sc b n g u Que k e

In der Regel s ind d ie Querk rä f te bei längeren Trägern n icht m a ß -

g e b e n d , s o n d e r n das B i e g e m o m e n t . Bei kurzen Trägern kann

aber a u c h d ie Querkra f t eine Rol le für d ie Tragfähigkei t sp ie len .

Die Querk rä f te in b i e g e b e a n s p r u c h t e n Trägern w i rken senkrech t

zur A c h s e der Profi le. In A b s c h n i t t 5.2 w u r d e berei ts d ie Scher -

s p a n n u n g x für S c h r a u b e n be t rach te t . Die S c h u b s p a n n u n g für

Profi le ist abhäng ig v o n der Geomet r i e . Die Bezugs f lächen u n d

die Formeln für d ie max ima le S c h u b s p a n n u n g tau s ind d e n B e i -

sp ie l -Prof i len zugeordne t .

115

Beispiel Trägerprof i l 9 0 x 9 0 x 5 - S c h u b s p a n n u n g be rechnen

Für d a s Quadra t -Hoh lp ro f i l 9 0 x 9 0 x 5 (kal tgefert igt) aus Baustah l

S t37 -2 aus A b s c h n i t t 7.1 w i rd d ie S c h u b s p a n n u n g berechnet .

max Q = 1,127kN am Auflager A (siehe Abschnitt 6.1)

A s t e g = 2*((90 mm-5mm) * 5 mm) = 850 mm 2 = 8,5 cm 2

max tau =1,5*Q /Asteg = 1,5*1,127 kN/8,5 cm 2 = 0,2 kN/cm 2

zul tau (St37-2) = 9,2 kN/cm 2

Die Eigenlast d e s Profi ls m u s s nacht räg l ich n icht be rücks ich t ig t

w e r d e n , d a d ie S c h u b s p a n n u n g nur bei 2 % der zu läss igen

S p a n n u n g l iegt.

7 o s on mo n d o s on pann g

Als Torsion beze ichnet m a n ein M o m e n t , d a s ein Profil um seine

Längsachse verdreht . Die Torsion ist für d e n Verans ta l tungs-

techn ike r v o n ger ingerer B e d e u t u n g und w i rd ledigl ich kurz er-

läutert . Das T o r s i o n s m o m e n t er rechnet s ich e b e n s o w i e d a s

D r e h m o m e n t :

Mt = F*a(s. 3.3)

Die Tors ionsspannung ist v o n Natur aus e ine S c h u b s p a n n u n g ,

sie w i rk t daher senkrech t zur Prof i lachse.

tau = Mt / Wp (Wp <> polares Widerstandsmoment)

Die h ö c h s t e Tors ionsspannung tr i t t bei s y m m e t r i s c h e n Quer -

schn i t ten in d e n äußeren Randfasern auf.

116

7 e g g vo S un e

Wirken bei Trägern B i e g e s p a n n u n g e n s o w i e D r u c k / Z u g s p a n -

n u n g e n , so dür fen sie add ie r t w e r d e n , da s o w o h l d ie B iege- als

a u c h die D r u c k / Z u g s p a n n u n g e n ent lang der Prof i lachse als Nor -

m a l s p a n n u n g e n w i r k e n .

Ist ein Träger v o n B iege- u n d Z u g s p a n n u n g e n beansp ruch t , so

l iegt d ie max ima le S p a n n u n g in der B iegezugzone :

maxsigma = sigmaB + sigmaN (alle Werte positiv als Beträge eingesetzt)

Bei kurzen Trägern kann d ie N o r m a l s p a n n u n g z u s a m m e n mit

der S c h u b s p a n n u n g eine w ich t i ge K o m b i n a t i o n b i lden. Das Z u -

s a m m e n w i r k e n der N o r m a l s p a n n u n g mi t der S c h u b / S c h e r -

s p a n n u n g beze ichnet m a n als Verg le ichspannung s igmav .

sigmav = sqr((sigmaB + sigmaN) 2 + 3*

Die Verg le ichspannung m u s s bei Trägern berechnet w e r d e n ,

deren s igma u n d tau mehr als 2 5 % der zu läss igen Wer te er re ichen. Dies

ist häuf ig bei Bo lzen der Fall.

117

8. Gitte träger

In de r Verans ta l tungs techn ik k o m m t d e n A lumin ium-Traversen

b e s o n d e r e B e d e u t u n g z u . Für d ie V e r w e n d u n g v o n Traversen

sp rechen viele Gründe :

- ve rsch iedene Kons t ruk t ionen mi t e inem S y s t e m mög l i ch -

„ B a u k a s t e n "

- m o d u l a r e Bauwe ise

-ve rsch iedene E lemen t -Längen und Kno tene l em en t e

-e infaches A n h e b e n von Lasten durch G r o u n d - S u p p o r t - S y s t e m e

- le ichte M o n t a g e

-ger inges E igengewich t

-kor ros ionsf re ier Werks to f f

-e in faches A n h ä n g e n v o n Lasten

-gu tes Hand l ing , Gri f f igkei t u n d Transpor t

-op t i sche r Reiz

Au f d e m Mark t g ib t es s tänd ig neue Typen u n d Hersteller. Leider

s ind n icht alle Be las tbarke i t sangaben fach l ich fundier t , s o d a s s

der Mark t s ich in ser iöse Anb ie te r und Schar la tane gl iedert .

Einen Überb l i ck über d ie Vielzahl der P r o d u k t e b ie ten d ie K a t a -

loge der Händler und Hersteller. Die Beur te i lung eines Traver-

s e n t y p s u n d die Grenzen der A n w e n d u n g w e r d e n in d ies em A b -

schn i t t erarbei tet .

118

8 1 gru p

Alumin ium-Traversen w e r d e n als z u s a m m e n g e s e t z t e Quer -

schn i t te , in der Regel aus S tandardpro f i l en , z u s a m m e n g e -

schwe iß t . Generel l te i len s ich d ie Kons t ruk t ionen in V ie rpunk t - ,

Dre ipunk t - u n d Zwe ipunk t t rave rsen auf - je nach Anzahl der

Gur t rohre . Trotz ve rsch iedener A u s f ü h r u n g e n untersch ied l icher

Typen f inden s ich ein ige g rundsä tz l i che G e m e i n s a m k e i t e n .

V ie rpunk t -T raverse mit quadra t i schem Prof i l -Querschni t t

Gur t rohre u n d S t reben s ind bei al len Typen v o r h a n d e n . A ls

Außendurchmesser der Gurt rohre haben s ich 5 0 mm u n d 48,3 mm

etabl ier t . Für be ide D u r c h m e s s e r g ib t es spezie l le Sche l len z u m

A n s c h l a g e n u n d Ve rb ind en . Die R o h r d u r c h m e s s e r 48 ,3 m m

s t a m m e n aus d e m S tah lbau u n d s ind a u c h bei Gerüs ten a n z u -

t ref fen. Die Du rchmesse r de r S t reben s o w i e d ie W a n d s t ä r k e n

var i ieren s tark . Un te rsch ied l i c h s ind a u c h d ie Verb inder de r e i n -

zelnen Typen. Die A n o r d n u n g der S t reben ist n icht i m m e r in jeder

Ebene d e r Traverse g le i ch , es g ib t Typen mi t „ L e i t e r n " in d e n

Hor izon ta lebenen und Diagona len in d e n Ver t ika lebenen. Die

Prof i lgeometr ien s ind e b e n s o un tersch ied l i ch . U m s innvol le v o n

119

fehlgele i teten Kons t ruk t ionen zu un te rsche iden , müsse n die

B a u g r u p p e n auf ihre Funkt ion hin un tersucht w e r d e n .

8 2 In e e K ä e d Gu oh

Beispie l : Traverse unter B i e g e b e a n s p r u c h u n g

Ursprüngliche Form

G e d e h n t e r B e r e i c h

Wie a u c h be im Vol lquerschni t t b i lden s ich Z u g - u n d D r uckzonen

aus, hier j e d o c h als N o r m a l s p a n n u n g e n in d e n Gur t rohren . Das

B i e g e m o m e n t w i rk t als ein Kräf tepaar. Die Gur tk rä f te lassen s ich

be rechnen , i ndem m a n d a s B i e g e m o m e n t g le ich d e m Produk t

aus Gur tk rä f ten u n d ihren w i r k s a m e n Hebelverhä l tn issen setzt .

120

D/Z <> b e d e u t e t e n t w e d e r D r u c k - o d e r Zugk ra f t i n d e n Gur t -

rohren.

Bei pos i t i ven B i e g e m o m e n t e n liegt d ie Z u g z o n e o b e n , bei

negat iven un ten . Je nach Schn i t tg rößenver lau f w i rd d ie Kraf t -

r i ch tung im Gur t rohr w e c h s e l n , w e n n d a s B i e g e m o m e n t d a s

Vorze ichen änder t .

121

Beisp ie l : Gur tk rä f te b e s t i m m e n

Der PA-Lau tsprecher aus Abschn i t t 6.1 sol l an eine Traverse

gehäng t w e r d e n . Die Gur tk rä f te der Traverse sol len b e s t i m m t

w e r d e n . Vorhanden ist ein T raversensys tem:

Das max ima le B i e g e m o m e n t (aus der Einzellast) w u r d e berei ts

berechnet .


Gur tk rä f te in d e n Obergur ten

D = M/h/2 = 3,6kNm/0,24 m/2 = 7,5 kN

Gur tk rä f te in d e n Untergur ten

Z = M/h/2 = 3,6 kNm 10,24m/2 = 7,5kN

Der 159 kg s c h w e r e Lau tsp recher erzeugt Gur tk rä f te v o n 7,5 kN

<> 750 kg in j e d e m Gurtrohr.

122

Die gle iche Lastsi tuat ion w i rd mit e inem anderen Traversensys-

t e m n o c h m a l s berechnet . Verwendet w i rd fo lgendes Traversen-

s y s t e m :

Profil 3-Punkt-Traverse

Das max ima le B i e g e m o m e n t (aus der Einzellast) w u r d e berei ts

berechnet .


123

Gur tk rä f te in d e m Obergur t

D = M/h = 3,6 kNm/0,303 m = 11,88 kN

Gur tk rä f te in den Untergur ten

Z = M/h/2 = 3,6 kNm/0,303 m/2 = 5,94 kN

Der 159 kg schwere Lau tsprecher erzeugt e ine Gur tk ra f t v o n

11,88 kN <> 1188 kg im Obergur t und eine Gur tk ra f t v on 5,94 kN

<> 594 kg in j e d e m Untergur t .

Nun kann m a n a u c h d ie N o r m a l s p a n n u n g in d e m Gur t rohr b e -

rechnen. (Abschni t t 5.1)

sigmaN = N/A

N <> Normalkraft im Stab N= 11,88 kN

A <> Querschnittsfläche des Rohres

A (Rohr 50x2) = 3,02 cm 2

sigmaN = N/A = 11,88 kN/3,02 cm 2 = 3,93 kN/cm 2

124

8 In e e K äf e e Ve d

Die Kräf te der Gur t rohre m ü s s e n an der Stoßste l le zweier Tra-

ve rsene lemente d ie Verb inder pass ieren. Ebenso w e r d e n die

Querkrä f te an der Verb indung über t ragen , d ie im Verhäl tn is zur

Gur tk ra f t aber eher ger ing ausfa l len.

Beanspruchungen der Verbinder-Bauteile durch die Normalkraft in den Gurtrohren

Verbinder-Typ Verbindungsmittel Verbinder-Bauteil Sonstige

Bolzen: Abscheren in 2 Schnittfugen, große Biegung

Laschen: Lochleibung

Schweißnähte: Zug/Druck Normalspannungen

Bolzen: Abscheren in 2 Schnittfugen, große Biegung


Splinte, Schrauben: Abscheren in 2 Schnittfugen, Lochleibung im Gurtrohr

Bolzen: Abscheren in 4 Schnittfugen, kleine Biegung


s.o.

Kegelstift: Abscheren in 2 Schnittfugen

Hülsen: Lochleibung

Kern/Spigot: Lochleibung, Zug Hülse an Gurt: s 1 oder 2

Schraube: Zug

Flanschplatten: große Biegung

Schweißnähte: Abscheren, große Biegung

Bolzen, Schrauben: Abscheren in 2 Schnittfugen, große Biegung (nur Bolzen)

Rohr: Lochleibung

Lochleibung im Gurtrohr

125

Für Laschen-Verb indungen ist ebenfa l ls w i c h t i g , ob d ie Laschen

h o c h k a n t o d e r l iegend angesch lossen w e r d e n , d a d ie Querkra f t

eine B i e g e b e a n s p r u c h u n g in d e n Laschen bewi rk t . S ind d ie L a -

s c h e n h o c h k a n t angeordne t , so s ind d iese Einf lüsse ger ing .

M a n c h e Verb inder k ö n n e n bei Druckkrä f ten über e inen K o n t a k t -

s toß der Gur t rohre Kraft über t ragen , so d a s s d ie B e a n s p r u c h u n -

gen nur bei Z u g auf t re ten. (z.B. bei F lanschpla t ten)

Ebenfal ls v o n B e d e u t u n g ist de r A b s t a n d e ines Verb inders zur

ersten St rebe, da in d i e s e m Bere ich de r Traverse das F a c h w e r k

un te rb rochen ist. Die freie Länge d e s Gur t rohres w i rd d u r c h d ie

Querkra f t b iegebeansp ruch t . Bei g roßen Längen k ö n n e n e r h e b -

l iche B i e g e m o m e n t e en ts tehen , d ie Einf luss auf d ie Tragfähigkei t

haben k ö n n e n .

126

B e s o n d e r s bei kurzen Traversenlängen mi t hohen Lasten en t -

s tehen en tsp rechend hohe Auf lagerkrä f te und somi t a u c h Quer -

kräf te, d ie e n t s c h e i d e n d sein k ö n n e n . Von Vortei l ist eine K o n -

s t ruk t ion , bei der d a s Verb inderbaute i l t ief in d a s Gur t rohr e inge-

s teck t ist, so d a s s der b i e g e b e a n s p r u c h t e Querschn i t t en t s p re -

c h e n d vers tärk t w i r d .

8 4 ere K e n den S e en

Um eine A u s s a g e zu d e n Kräf ten in d e n S t reben m a c h e n zu k ö n -

nen, w i rd d ie Traverse w ie ein F a c h w e r k aufgefass t :

2,88 m

PA-Lautsprecher G = 500 kg

129

und S15,x = S15* cos45° = 3,54 kN * cos45° = 2,5kN

daraus folgt S2 = S14,x - S15,x + S1 = -2,5 kN - 2,5 kN

+ (-5,0 kN) = -10kN (Druckkraft)

Verfährt m a n auf d iese Weise weiter, so erhäl t m a n die f o lgenden

Ergebnisse:

Stabkräfte in kN

Wie erwar te t s ind im Obergur t Druckkrä f te , im Untergur t Z u g -

kräf te z u g a n g e mit M a x i m u m an der Stel le d e s größten B iege-

m o m e n t s . N a c h der M e t h o d e zur Ermi t t lung der Gur tk rä f te (Ab-

schn i t t 8.1) erhäl t m a n fo lgende Daten:

max M = F*L/4 = 5,0kN*2,88 m/4 = 3,6 kNm

(Standard-Lastfall)

Gur tk rä f te im Obergur t

D = M/h/2 = 3,6 kNm 10,24 m = 15,0 kN

Gur tk rä f te im Untergur t

Z = M/h/2 = 3,6kNm/0,24 m 15,0 kN

In der B e r e c h n u n g d e s F a c h w e r k s tr i t t in den Untergur ten nur

eine Zugk ra f t v o n 12,5 kN auf. Die Dif ferenz beruht auf de r i dea -

len Darste l lung d e s Fachwerks . Die S t reben am K n o t e n p u n k t

haben be ide eine Zugkra f t v o n 3,54 kN - d a s en tspr i ch t 2,5 kN in

130

x - R i c h t u n g . Diese Lasten w e r d e n ebenfa l ls du rch d ie Gur t rohre

gelei tet , da d ie S t reben auf d ie Gur t rohre au fgeschwe iß t s ind .

G ä b e es an d ieser Stel le e ine Verb indung zweier E lemente, so

m ü s s t e d ie vol le Last d u r c h d e n Verb inder f l ießen:

Z = 2,5kN+12,5kN=15,0kN

Zur Ermi t t lung der Gur tk rä f te sol l te, d e s ger ingeren A u f w a n d s

w e g e n , n a c h Abschn i t t 8.1 ver fahren w e r d e n .

Die S t rebenkrä f te , d ie G e g e n s t a n d d ieses A b s c h n i t t s s ind , s ind

über d ie g e s a m t e Länge in ihrem Bet rag kons tan t . Dies w i rd

d u r c h d e n kons tan ten Querkra f tver lau f hervorgeru fen . Der B e -

t rag der Querkra f t b e s t i m m t d e n der Normalk ra f t in der S t rebe.

Die R ich tung der Normalk ra f t w i rd nur d u r c h d ie A n o r d n u n g der

S t reben u n d d a s Vorze ichen der Querkra f t b e s t i m m t . Bei e inem

s ich a b w e c h s e l n d e m „D iagona lmus te r " - w ie in unserem Be i -

spie l - w e c h s e l n Druck u n d Z u g in jeder S t rebe ab (bis auf d ie

be iden mi t t leren S t reben , do r t wechse l t d ie Querkra f t d a s Vor-

ze ichen) .

Andere Strebenanordnungen

Es ist ebenfa l ls m ö g l i c h , S t reben in nur einer R ich tung e inzuset -

zen . In d iesem Fall s ind j e d o c h senk rech te S t reben z w i s c h e n

d e n Diagona len n o t w e n d i g , d a m i t d a s F a c h w e r k erhal ten b le ibt ,

(s. A b s c h n i t t 4). Eine so lche A n o r d n u n g zeigt d a s fo lgende Be i -

sp ie l .

131

Die senkrech ten Braces haben Normalk rä f te in Höhe der Quer -

kraft . Die R ich tung der Normalk ra f t (Druck /Zug) w i rd b e s t i m m t

du rch d ie A n o r d n u n g der D iagona len . D iagona len und S e n k -

rechte h a b e n immer en tgegengese tz te Kra f t r i ch tungen. Der

mit t lere senkrech te S tab t ranspor t ie r t nur d a n n Kräf te, w e n n er

an d e m d i rek ten Kraf t f luss betei l ig t ist. W ü r d e bei der obe ren

Darste l lung die Kraft am oberen K n o t e n p u n k t angre i fen, so w ä r e

der senk rech te S tab ein „Nu l l s tab" .

Strebenanordnung an den Enden der Traversenele-

mente

Für Traversene lemente , d ie eine senk rech te S t rebe an ihren

Enden h a b e n , ist es n icht er forder l ich, sie so zu mont ie ren , d a s s

an der Stoßste l le S y m m e t r i e ents teht . Das Fachwerk w i rd an der

132

Stoßste l le gesch lossen . Ist keine A b s c h l u s s - S t r e b e e inge-

schwe iß t , so ist S y m m e t r i e z w i n g e n d er forder l ich , da sons t ein

Para l le logramm ents teht , d a s n icht d ie B e d i n g u n g e n d e s F a c h -

w e r k s erfül l t , (s. A b s c h n i t t 4). Diese A n o r d n u n g k lappt e in fach

z u s a m m e n , wei l de r A b s t a n d der Gur t rohre n icht geha l ten w e r -

d e n kann .

Versatz von Diagonal - Streben

Sind d ie S t reben derar t angeordne t , d a s s d ie Achs-L in ien der

S täbe s ich n icht in e inem Punkt schne iden , so s ind d ie B e d i n -

g u n g e n d e s F a c h w e r k s n icht erfül l t . Die ver t ika len K o m p o n e n -

ten der S t rebenkrä f te b i lden kein G le i chgew ich t am Kra f tkno ten ,

s o n d e r n haben paral lele Wi rkungs l in ien , w a s z u e inem M o m e n t

führ t .

Das B i e g e m o m e n t stel l t e ine deut l i ch höhere B e a n s p r u c h u n g

dar als d ie Normalk rä f te , d ie ein F a c h w e r k zu über t ragen hat .

Hinzu k o m m t das Prob lem des geschwe iß t en A lu -Werks to f fs ,

auf d a s in A b s c h n i t t 8.5 e ingegangen w i r d .

133

M(S1,y/S2,y)

Zugstrebe Druckstrebe

Ausschließlich senkrechte Streben

Sind z w i s c h e n d e n Gur ten nur senk rech te S t reben angeordne t ,

so hande l t es s ich n icht um eine Fachwerk Kons t ruk t i on , s o n -

de rn um einen R a h m e n s t a b . W i e bei al len B i e g e b e a n s p r u c h u n -

gen b i lden s ich Druck - u n d Zugbe re i che in d e n Gur t rohren aus .

Die Gur tk rä f te w e r d e n über B iegung in d e n R a h m e n e c k e n ins

G le i chgew ich t gebrach t .

134

Die B i e g e b e a n s p r u c h u n g der S t reben u n d Gur t rohre er forder t

g roße Mater ia ls tärken u n d große S c h w e i ß n a h t d i c k e n . Wären

Diagona len v o r h a n d e n , so w ü r d e d ie B e a n s p r u c h u n g w e s e n t -

l ich ger inger ausfa l len.

8 A n - We o fe

Traversen s ind Le ich tbau-Kons t ruk t ionen mi t ger ingen Eigenlas-

ten u n d hoher Tragfähigkei t . Z u m einen w e r d e n d iese E igen-

schaf ten du rch d a s Z u s a m m e n s e t z e n v o n Einzelprof i len erreicht,

z u m anderen w e r d e n feste, aber leichte A lumin iumleg ie rungen

ve rwende t . A lumin iumleg ie rungen haben ledigl ich 1/3 der Dichte

von Stah l , aber a u c h sie haben untersch ied l iche E igenschaf ten.

Damit d a s A lumin ium für Traversen b rauchbar ist, m u s s d ie

Schweißbarke i t g e g e b e n se in . Durch d iese Forderung fal len ein i -

ge Leg ierungen als Werkstof f aus. A b e r se lbst bei d e n schwe iß -

135

W i e zu e rkennen ist, en tsp r i ch t d ie Zahl h inter d e m „F" e inem

Zehnte l der Zugfes t igke i t .

Die Zugfes t igke i t ist d ie max ima le S p a n n u n g im Werks to f f vor

d e m B r u c h .

Die Dehngrenze ist d ie S p a n n u n g , d ie ge rade eine b le ibende Ver-

f o r m u n g hervorruf t . Die zu läss igen S p a n n u n g e n l iegen bei c a .

5 5 % der Dehngrenzen .

Genaue A n g a b e n s ind in der DIN 4113 Teil 1 und Teil 2 e inzusehen.

Bet r iebe, d ie S c h w e i ß u n g e n a n A l u m i n i u m durch füh ren , m ü s s e n

ihre E ignung dazu be legen , w e n n d ie Kons t ruk t ionen in d e n b a u -

aufs ich t l i chen Bere ich fal len (z.B. B ü h n e n ü b e r d a c h u n g e n ) . Le i -

der s ind d ie wen igs ten Traversen-Herste l ler zert i f iziert. Eine ak-

tuel le Liste g ib t es be im DIBT in Berl in.

baren Legierungen ergeben s ich Prob leme du rch das S c h w e i -

ßen. Einige der Leg ierungen haben ihre gu ten Fest igke i tse igen-

schaf ten du rch so genann tes „Aushär ten " erhal ten. Das „ A u s -

här ten" ist eine W ä r m e b e h a n d l u n g in drei Schr i t ten : L ö s u n g s -

g lühen, A b s c h r e c k e n u n d Aus lagern . Die Rohrprof i le der meis ten

Traversen w u r d e n vo r ihrer Anl ie ferung be im Traversenherstel ler

einer so lchen Behand lung un te rzogen. W e n n nun erneut eine

W ä r m e b e h a n d l u n g (z.B. schweißen) erfolgt , so ent fest igen s ich

d ie Werksto f fe . Der Bereich d e s Ent fest igens w i rd als W ä r m e e i n -

f lusszone W E Z bezeichnet .

Hier e ine Liste der Fest igke i ten für e in ige Leg ie rungen. Al le A n -

g a b e n in ( N / m m 2 ) .

Werkstof f nach DIN Zugfes t igke i t Dehngrenze Dehngrenze W E Z

A l M g 2 M n 0 , 8 F 2 0 2 0 0 80 80

A l M g S i 0,5 F22 215 160 65

A l M g S i 1 F 2 8 275 2 0 0 125

A l M g S i 1 F31 3 1 0 2 6 0 125

A lZn 4,5 Mg 1 F35 3 5 0 2 9 0 205

136

8 W c yp w h A w dun ?

Profilgeometrie und Streben

Die Prof i lgeometr ie u n d d ie A n o r d n u n g der S t reben setzen

g r u n d l e g e n d e E inschränkungen in der V e r w e n d u n g . Mi t te ls der

g e w o n n e n e n Kenntn isse w e r d e n d ie w ich t i gs ten Typen beur-

tei l t .

a) 2-Punkt-Gitterträger

Beide Gur te s ind g le ichermaßen h o c h beansp ruch t . Der D ruck -

gur t ist j e d o c h sei t l ich n icht ges tü tz t , so d a s s er auskn i c k en

kann . Dieses A u s k n i c k e n ist d a s S tab i l i tä tsprob lem v o n s c h l a n -

ken D r u c k s t ä b e n . Ein Drucks tab w i rd mi t z u n e h m e n d e r Länge

immer schlanker, so d a s s der Einsatz v o n 2 -Punk t -Trägern auf

kurze S tü tzwe i ten z w i s c h e n d e n Auf lagern beschränk t ist. K o n -

s t ruk t ionen , d ie mi t de r Häl f te der Be lastbarke i t e ines a d ä q u a t e n

4 -Punk t -T rägers auf d e m Datenb la t t a n g e g e b e n s ind - ohne d e n

H inwe is auf kleine S tü tzwe i te oder sei t l iche A b s t ü t z u n g - so l l ten

nachdenk l i ch m a c h e n ! Die 2 -Punk t -Träger sol l ten an d e n K n o -

t e n p u n k t e n d e s Obergur ts angesch lage n , d ie Lasten an d e n U n -

tergur t g e h ä n g t w e r d e n . Diese Ar t der Laste in le i tung stabi l is iert

d ie Lage d e s Trägers. Als S tü tze ist der 2 -Punk t -G i t te r t räge r

n icht gee ignet .

b) 3-Punkt-Gitterträger

Der 3-Punkt -Träger ist im Gegensa tz z u m 2-Punkt -Träger in s ich

stabi l u n d für größere S tü tzwe i ten taug l i ch . Wie aus A b s c h n i t t

8.2 hervorgeht , w i rd de r e inzelne Gur t d o p p e l t so h o c h b e a n -

s p r u c h t w ie d ie be iden Gur te der „Dre ieckbas is " . Für das Rohr

d e s e inzelnen Gur tes ist es n icht a u s s c h l a g g e b e n d , ob es d r u c k -

o d e r z u g b e a n s p r u c h t w i r d , da d ie zu läss igen S p a n n u n g e n für

Druck u n d Z u g g le ich groß s ind . Mög l i che rwe ise ist aber der Ver-

b inder so konstru ier t , d a s s e r gu t Druckkrä f te über t ragen kann ,

a l lerd ings auf Z u g empf ind l i ch reagiert . Ein so lcher Z u s t a n d führ t

zu un te rsch ied l i chen Be las tbarke i ten , a b h ä n g i g d a v o n , w ie d ie

A n o r d n u n g d e s Trägers auss ieht . Bei Mehr fe ld t rägern w e c h s e l n

137

die Gur te d ie R ich tung der Normalk ra f t (s. A b s c h n i t t 6.4). Be im

Einfe ldt räger w ä r e in d i e s e m Fall e n t s c h e i d e n d , ob d ie Sp i tze

d e s 3 -Punk t -Trägers o b e n oder unten l iegt. In hor izonta ler R i c h -

tung verhält s ich d ie 3-Punkt-Traverse w ie ein adäquater 2 -Punk t -

Träger, de r a l lerd ings stabi l is iert ist. A ls S tü tze ist de r 3 -Punk t -

Gi t ter t räger gee ignet .

c) 4-Punkt-Gitterträger

Mit vier Gur t rohren e rgeben s ich d ie güns t igs ten Gur tk rä f te . Al le

Gur t rohre d e s Profi ls s ind g le ich groß b e a n s p r u c h t . Am f lex ibe ls -

ten e insetzbar s ind quadra t i sche G e o m e t r i e n , da d iese in be iden

B iegeachsen g le iche Ste i f igke i ten vo rwe isen . Wich t ig ist d ie A n -

o r d n u n g der S t reben . Wil l m a n B i e g e b e a n s p r u c h u n g in der ho r i -

zonta len R ich tung au fb r ingen , so m ü s s e n in der hor izonta len

Ebene a u c h Diagonalen se in .

Bei der V e r w e n d u n g als S tü tze ist eine quad r a t i sche Prof i lgeo-

metr ie o p t i m a l , so fern nur Druckkrä f te e ingelei tet w e r d e n . Bei

zusätz l icher B iegung kann ein Rech teck güns t iger ausfa l len.

d) Folding-Traverse

Eine Fold ing-Traverse lässt s ich z u s a m m e n k l a p p e n , um be i m

Transpor t S t a u r a u m besser nutzen zu k ö n n e n . In der Regel ist

e ine Fold ing-Traverse in s ta t ischer Hins icht ein 4 -Punk t -G i t t e r -

träger, bei d e m d ie Gur t rohre g le iche Norma lk rä f te e rha l ten .

O f t m a l s be f indet s ich au fg rund der „Kn iehebe l " z w i s c h e n d e n

be iden Untergur ten Versatz z w i s c h e n d e n S t reben , so d a s s B ie -

g e m o m e n t e h i n z u k o m m e n , d ie d ie S t ruk tu r s c h w ä c h e n .

138

Verbinder

Alle un te rsch ied l i chen Verb inder typen , d ie auf d e m Mark t er-

sche inen , k ö n n e n n icht d iskut ier t w e r d e n . Es w e r d e n daher e in i -

ge g rundsä tz l i che Ü b e r l e g u n g e n angeführ t .

a) Statische Beurteilung

Ob ein Verb inder d e n B e a n s p r u c h u n g e n s tandhä l t , hängt v o n

Querschn i t ten und Werks to f fen a b . Einige Verb indungen ze igen

spez i f i sche Nachte i le .

Die Gur t rohre u n d alle Verb inderbaute i le verha l ten s ich w ie Ket -

teng l ieder - d a s s c h w ä c h s t e Gl ied b e s t i m m t d ie G e s a m t t r a g -

fäh igkei t . Ein n o c h so mass iv ausgepräg te r Verb inder nützt

n ich ts , w e n n er n icht kor rekt an d a s Gur t rohr anges c h los s en ist.

Werden für d ie Gur t rohre große W a n d s t ä r k e n er forder l ich, d a m i t

d ie L o c h l e i b u n g s s p a n n u n g bei e ingesch raub ten / gesp l in te ten

Verb indern n icht zu groß w i r d , so geh t d ies nur auf Kos ten einer

höheren Eigenlast . Ein gradl in iger Kraf t f luss am Verb inder ist

ebenfa l ls w ü n s c h e n s w e r t . Werden die Traversene lemente über

F lanschp la t ten mi te inander ve rschraub t , so w e r d e n d ie L ä n g s -

kräf te umge lenk t - es en ts teh t ein Hebe la rm u n d somi t zusätz l i -

c h e B iegung , w o d u r c h g roße Mater ia ls tärken er forder l ich w e r -

d e n . Bei e in em grad l in igen Kraf t f luss en ts tehen keine B i e g e m o -

men te , u n d m a n kann bei g le icher Tragfähigkei t le ichter b a u e n .

b) Beurteilung der Toleranzen

Wich t ig s ind a u c h d ie Toleranzen v o n B o h r u n g e n in d e n Verb in -

de rn . Eine B o h r u n g , in d ie e in ige hunder t Bo lzen e ingesch lagen

w u r d e n , ist größer als bei e inem neuen Traversenelement . Die

größere B o h r u n g bed ing t e ine zusätz l iche K r ü m m u n g der Tra-

verse. Verb indungen w ie „Querke i l -Typen" s ind a u c h nach v ie len

M o n t a g e z y k l e n n o c h spiel f re i . S töße mi t F lanschp la t ten o h n e

zusätz l iche Zent r ie rung s ind nur so maßhal t ig w ie d a s Lochsp ie l

der B o h r u n g e n .

139

c) Beurteilung des Handlings

Für d ie M o n t a g e g ib t es A r g u m e n t e z u g u n s t e n jeder V e r b i n d u n g .

Eine S c h r a u b e n v e r b i n d u n g kann recht leise hergestel l t w e r d e n ,

h ingegen ist d a s Eintre iben v o n Kegels t i f ten oder Bo lzen sehr

laut. Schnel le r s ind d ie Ve rb indungen , d ie o h n e S c h r a u b e n a u s -

k o m m e n . Die Ver fügbarke i t v o n Verb indungsmi t te ln sp r i ch t w i e -

d e r u m fü r e ine S c h r a u b e n v e r b i n d u n g , a l lerd ings m ü s s e n d ie

vo rgesehenen Maße u n d Fest igke i tsk lassen der S c h r a u b e n mi t

d e m Datenb la t t d e s Herstel lers übe re ins t immen . Eine e in fache

M a s c h i n e n s c h r a u b e aus d e m Baumark t , o h n e jede A n g a b e zur

Fest igkei t , kann z u m Versagen d e s g e s a m t e n Tragwerks füh ren !

Gle iches gilt für Bo lzen und Kegelst i f te .

140

8 7 nt e a ion vo D b ä t und Ka log

In d e n K a t a l o g e n u n d D a t e n b l ä t t e r n zu T r a v e r s e n s y s t e m e n

s ind me is tens A n g a b e n zur Be lastbarke i t zu f i nden . Es w e r d e n in

der Regel Tabel len oder Graf iken abgeb i lde t , d ie d ie S t a n d a r d -

Lastfäl le-Träger auf zwei Stützen mit mit t iger Einzellast oder

St recken las t beschre iben . Die zu läss igen Anhänge las ten w e r -

den in Abhäng igke i t der S tü tzwe i te gel is tet .

Beispiel Traverse XX und Traverse YY

Zulässige Anhängelast Traverse Typ XX

Länge (m) 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Streckenlast (kg/m) 2990 740 3 2 3 178 110 73 51 37 27

mitt ige Einzellast (kg) 2990 1480 9 7 0 710 5 5 0 4 4 0 359 295 243

Traverse Typ XX

Zulässige Anhängelast Traverse Typ YY

Länge (m) 2 4 6 8 10 12 14 16 18

St recken las t (kg/m) 990 490 323 178 110 73 51 37 27

mitt ige Einzellast (kg) 1980 1480 970 710 550 4 4 0 359 295 243

Traverse Typ YY

141

Wie k o m m e n die Daten z u s t a n d e und w ie s ind sie zu ve rs tehen?

Die un tersch ied l i chen Be las tungen der e inzelnen Bautei le e iner

Traverse s ind zuvor erarbei te t w o r d e n . A u s d e n B i e g e m o m e n t e n

u n d N o r m a l k r ä f t e n resu l t ie ren d ie G u r t k r ä f t e , d ie v o m Rohr

u n d v o m Verb inder über t ragen w e r d e n . Die Querkrä f te b e a n -

s p r u c h e n die S t reben . J e d e s Bautei l und jede Schwe ißnah t

haben ihre max ima l über t ragbare Last . Au f d iese Weise l iegen

die zu läss igen Gur t - und St rebenkrä f te fest . Die zu läss igen

Gur tk rä f te kann m a n in ein zu läss iges B i e g e m o m e n t u m r e c h -

nen. Die G le i chungen s ind in umgekeh r te r Reihenfo lge berei ts in

Abschn i t t 8.2 benutz t w o r d e n . Dort w u r d e n B i e g e m o m e n t e i n

Gur tk rä f te umgerechne t . Ebenso lassen s ich zu läss ige S t r e b e n -

kräfte in zulässige Querkrä f te zu rück rechnen . Die zu läss igen

Schn i t t k rä f te s tehen s o m i t fest . Ein zu läss iges B i e g e m o m e n t in

eine zu läss ige Last u m z u r e c h n e n , ist für d ie S tandard-Las t fä l le

kein P rob lem.

N ich ts anderes ist für d ie Erstel lung der Tabel len g e s c h e h e n . Die

Daten in der Tabelle so l l ten also s te ts auf ein b e s t i m m t e s zu läs -

s iges B i e g e m o m e n t rücksch l ießen lassen. Ebenso können bei

kurzen Träger längen die Querkrä f te eine Rolle sp ie len. Sol l ten in

einer Tabelle oder Graf ik große „Ausre ißer " - Daten o h n e S inn -

au f tauchen , so m u s s d a s Datenb la t t kr i t isch beurtei l t w e r d e n .

Eine Rück f rage be im Herstel ler wäre angebrach t .

Zu rück z u m Beispiel : Die Daten werden in S t i chp roben überprüf t :

r r mi t Eigenlast g = 10 k g / m

M(L=2m,p=2990kg/m)=q *L 2/8 = (29,9 kN/m + 0,1kN/m)

*(2m) 2/8=15,0kNm

M(L = 4m,P= 740 kg/m) = q*L 2/8 = (7,4 kN/m + 0,1 kN/m)*

(4m) 2/8 = 15,0kNm

M(L =12m,p = 73 kg/m) = (0,73 kN/m + 0,1 kN/m) *(12m)2/8

= 14,94 kNm

142

M(L =18 m,p = 27 kg/m) = (0,27 kN/m + 0,1 kN/m) *(18

8 =14,99 kNm

M(L=10m,P = 550kg) = F*L/4 + g*L 2/8

= 5,5kN* 10m/4+ 0,1 kN/m *(10m) 2/8 = 15,0kNm

Die überprü f ten B i e g e m o m e n t e s t i m m e n übere in . Die Graf ik hat

e inen parabo l i schen Verlauf.

Q(L = 2m,p = 2990 kg/m) = q*L/2 = (29,9 kN/m + 0,1 kN/m)

*2m/2 = 30,0kN


*4m/2=15,0kN


*6m/2 = 9,99kN

Die Querk rä f te sche inen für d ie Traverse ke ine Be las tungsg ren -

ze darzuste l len . Die S t reben u n d deren S c h w e i ß n ä h t e s ind sehr

s tark d imens ion ie r t .

Die g e s a m t e Kons t ruk t ion w i rd d u r c h d a s zu läss ige B i e g e m o -

m e n t z u l M = 15,0 k N m b e s t i m m t . Die zu läss ige Querkra f t be t räg t

m i n d e s t e n s zu lQ = 30,0 k N .

r r YY mi t Eigenlast g = 10 k g / m

M(L=2m,p = 990 kg/m) = q * L 2/8 = (9,9 kN/m + 0,1 kN/m)

* (2 m) 2/8 = 5,0 kNm

M(L = 4m,p = 490 kg/m) = q*L 2/8 = (4,9 kN/m + 0,1 kN/m)

* (4 m ) 2/ 8 =10,0 kNm

M(L = 6m,p = 323 kg/m) = q *L 2/8 = (3,23 kN/m + 0,1 kN/m)

*(6m) 2/8=14,99kNm

M(L = 12m,p = 73 kg/m) = (0,73 kN/m + 0,1 kN/m) * (12m) 2/8

= 14,94 kNm

M(L = 18 m,p = 27 kg/m) = (0,27 kN/m + 0,1 kN/m) * (18 m)2/8

= 14,99 kNm

M(L = 10m,P = 550 kg) = F*L/4 + g* L 2/8

= 5,5 kN * 10m/4 + 0,1 kN/m * ( 1 0 m ) 2/ 8 = 15,0 kNm

143

Die überprü f ten B i e g e m o m e n t e s ind bei kurzen Längen kleiner

als bei g roßen . Die Graf ik hat e inen f lachen Verlauf. Ab 6m Länge

ist d a s B i e g e m o m e n t kons tan t .

Q(L = 2m,p = 990 kg/m) = q*L/2 = (9,9 kN/m + 0,1 kN/m) *

2m/2=10,0kN


4m/2=10,0kN


6m/2 = 9,99kN

Q(L = 8m,p=178 kg/m) = q*L/2 = (1,78 kN/m + 0,1 kN/m) *

8m/2=7,52kN

Die Querk rä f te sche inen für d ie Traverse d ie Be las tungsgrenze

darzuste l len. Bei kurzen Längen ist d ie Last d u r c h d ie Querkra f t

l imit iert. Das zu läss ige B i e g e m o m e n t be t räg t zu lM = 1 5 , 0 k N m ,

d ie zu läss ige Querkra f t zu lQ = 10,0 k N .

Mi t d e n Kenntn issen der zu läss igen Schn i t tg rößen kann m a n

a u c h a n w e n d u n g s t y p i s c h e Prob leme lösen, i ndem m a n für

se ine A n w e n d u n g eine S c h n i t t g r ö ß e n b e r e c h n u n g durch führ t .

144

8 8 Z k te un ü ung

Das auf d e m überfü l l ten Mark t o f tma ls m inderwer t i ge Kons t ruk -

t ionen anzutref fen s ind , ist seit d e m „Traversen-Skanda l " (Fach-

presse, Zei tschr i f t PMA) o f fenkund ig . Die b isher erarbe i te ten

Kenntn isse w e r d e n d e m Verans ta l tungs techn iker d ie Beur te i -

lung einer Kons t ruk t ion er le ichtern . Die S a c h k u n d e d e s Veran-

s ta l tungs techn ikers ist für ein s icheres Arbe i ten v o n größter

Wich t igke i t , a l lerd ings b i ldet für d e n une ingeschränk ten Einsatz

e ines Traversensys tems a u c h die Zert i f iz ierung einen w ich t igen

Bes tandte i l . Ör t l iche A b n a h m e n bei Veransta l tungen er fordern

z u n e h m e n d S y s t e m - P r ü f u n g e n du rch u n a b h ä n g i g e Stel len.

Für viele Traversentypen l iegen berei ts Bauar tp rü fungen vor.

Eine etabl ier te Stel le zur Prü fung der T raversensys teme ist der

R W T Ü V in Essen. Die Ab te i l ung für Gerätes icherhe i t u n d M e d i -

z in techn ik ist für derar t ige Prü fungen zus tänd ig . Die Prü fung

umfass t j e d o c h nur d e n v o m Antragste l ler bean t rag ten U m f a n g .

Ob dabe i e ine Traverse aus Einze le lementen, a lso mi t Verb in -

d u n g , geprü f t w u r d e , geh t aus d e m Siegel „ R W T Ü V bauar tge -

prü f t " n icht hervor. Auskun f t g ib t de r Prüfber icht , der neben der

S tücke lun g auch d ie Prof i ldaten u n d Werks to f fe enthäl t . Im

Zwei fe ls fa l l g ib t m a n dor t gern Auskun f t zu den Prü fungen . Bei

einer Bauar tp rü fung w e r d e n s o w o h l d ie Be rec hn ungen als a u c h

d a s Ob jek t se lbst geprü f t . Die Nennlas t w i rd bei der Prü fung um

d a s 1,5- fache überschr i t ten . B le ibende Ver fo rmungen dür fen

n icht zu rückb le iben .

Bei z u s a m m e n g e s e t z t e n Kons t ruk t ionen aus modu la ren Traver-

sen -E lemen ten , d ie im Freien aufgeste l l t w e r d e n , gilt zusätz l ich

d a s Baurecht . Werden d iese t e m p o r ä r e ingesetz t und s ind sie

dazu b e s t i m m t , w iederho l t aufgeste l l t u n d zer legt zu w e r d e n ,

m ü s s e n sie als „F l iegende B a u t e n " e ingestu f t w e r d e n . Zu d e n

„F l iegenden B a u t e n " zählen be isp ie lsweise B ü h n e n ü b e r d a -

c h u n g e n o d e r Tr ibünen. In d iesem Fall ist e ine Vielzahl v o n Vor-

schr i f ten zu b e a c h t e n , d ie mi t e inem Ing . -Büro gesonder t gek lär t

145

w e r d e n sol l te. Die besonderen Lasten du rch Wet tere in f lüsse

sp ie len hier e ine w ich t i ge Rol le. Im Baurecht w e r d e n für derar t i -

ge Kons t ruk t ionen besondere An fo rde rungen an d e n Herstel ler

gestel l t . Dieser m u s s se ine E ignung, t r a ge nde A l u m i n i u m k o n -

s t ruk t ionen schwe ißen zu k ö n n e n , d u r c h e ine akkredi t ier te S te l -

le be legen lassen. Das Ergebnis ist der S c h w e i ß e i g n u n g s n a c h -

we is nach DIN 4 1 1 3 . Reine Schwe iße rp rü fungen einzelner Per-

sonen re ichen hier n icht aus , v ie lmehr m u s s der g e s a m t e Bet r ieb

mit all se inen E inr ich tungen, Qua l i tä tss icherungen u n d

Schwe ißern d e n A n f o r d e r u n g e n g e n ü g e n .

147

9 Ansch agen und Aufhängen Für d e n U m g a n g mi t Lasten g ib t es e ine Vielzahl v o n Vorschr i f -

t en . Die Be ru fsgenossenscha f ten haben für d ie Arbe i t ss icher -

heit Schr i f tenre ihen erstel l t , d ie im Einzelnen die besonderen A n -

fo rde rungen an t e c h n i s c h e s Gerät u n d d e s s e n Bed ienung re-

ge ln . In der Verans ta l tungs techn ik hat d ie Unfa l l ve rhü tungsvor -

schr i f t B G V C1 (früher V B G 70) eine besondere B e d e u t u n g . Die

Regeln der BGV C1 s ind in Produk t ionss tä t ten verb ind l ich a n z u -

w e n d e n . Zu d e n Produk t ionss tä t te n zäh len natür l ich a u c h alle

Or te , an d e n e n Veransta l tungen s ta t t f inden. Für d ie t e c h n i s c h

Mechan ik ist der A b s c h n i t t „P roduk t i onse in r i ch tungen" m a ß g e -

b e n d . Grundsätz l i ch s ind für d a s Hal ten o d e r B e w e g e n über Per-

sonen nur M e t h o d e n u n d Gerät g e m ä ß B G V C1 zu läss ig . In d i e -

s e m A b s c h n i t t w i rd d ie A u s w a h l v o n Ansch l agmi t t e l n , Lastauf -

nahmemi t te ln u n d Hebezeugen erklärt . Da eine s tänd ige Wei ter -

en tw ick lung im Rege lwerk u n d der Technik s ta t t f indet , ist im

fo lgenden Kapi te l der derze i t ige S tand er fasst . Der Veransta l -

t ungs techn i ke r sol l te s ich j e d o c h immer auf d e m aktuel len S t a n d

hal ten.

9. A c n Las u ah el

Zu d e n w ich t i gen m e c h a n i s c h e n Ansch la gm i t t e ln zäh len Sei le,

Ke t ten , Schäke l u n d Bänder aus Stah l . Brennbare o d e r t e m p e -

ra tu rabhäng ige Mater ia l ien s ind nur e ingeschränk t mi t zusätz l i -

c h e n S icherungen aus Stahl nutzbar.

148

Die w ich t i gs ten Las tau fnahmemi t te l s ind Traversen und Last -

s tangen . Sie können g e m ä ß ihrer n a c h g e w i e s e n e n (berechneten

und geprüf ten) Nennlas t benutz t w e r d e n .

Den Ansch lagmi t te ln k o m m t eine besondere B e d e u t u n g zu , da

der Verans ta l tungs techn ike r mi t hohen Sicherhe i ts reserven ar-

be i ten m u s s , wei l d ie A n s c h l a g m i t t e l e i nem h o h e n Verschleiß

un te rwor fen s ind .

Der S icherhe i ts fak tor (SF) ist ein w ich t ige s Kr i ter ium für d a s A n -

sch lagen g e m ä ß BGV C 1 . In der I ndus t r i eanwendung o h n e Per-

sonen unter der Last s ind ger ingere S icherhe i ten geforder t , so

d a s s u m g e r e c h n e t w e r d e n m u s s . Für rein s ta t i schen Bet r ieb,

daher o h n e d y n a m i s c h e Massenkrä f te , s ind fo lgende S icherhe i -

ten g e g e n d a s Erreichen der M indes tb ruchk ra f t gel is tet :

Typ SF - Industr ie S F - B G V ,C1

Stahl Ansch lagse i l DIN 3088 5 10

A n s c h l a g k e t t e n DIN 5688 4 10

Schäke l DIN 82101 5 10

Wei tere S icherhe i ts fak toren für we i te re S t a n d a r d - P r o d u k t e b ie -

ten d ie e insch läg igen N o r m e n . Diese s ind erhäl t l ich be im Beu t h

Ver lag, Ber l in.

Nun lassen s ich d ie zu läss igen Daten g e m ä ß BGV C1 für d ie A n -

s c h l a g - u n d Las tau fnahmemi t te l be rechnen .

Beispie l Ansch lagke t te Gü tek lasse 8 , N e n n d i c k e 1 0 m m , Einzel -

s t rang

Tragfähigkei t g e m ä ß Anhänger : zul F = 3 2 0 0 kg

M indes tb ruchk ra f t Fr = 4 * 3 2 0 0 kg = 12800 kg

Nennlas t (BGV C1): zul F (BGV C1) = 12800 k g / 1 0 = 1280 kg

Für d y n a m i s c h e Einf lüsse m u s s ein Faktor au fgesch lagen wer -

d e n (s. Kapi te l 11).

149

9 H b ze g

Einsatz von BGV-D8(früher VBG 8)-Hebezeugen in

Produktionsstätten

Reguläre H e b e z e u g e w i e E lek t roket tenzüge, H a n d k e t t e n z ü g e

und Se i lw inden en tsp rechen der BGV D8. Unter s c h w e b e n d e n

Lasten d ieser H e b e z e u g e dür fen s ich ke ine Personen aufha l ten .

Um d iese Hebezeuge in Produk t ionss tä t te n e insetzen zu k ö n -

nen, ist es er forder l ich , d ie Last nach d e m H e b e v o r g a n g v o n d e m

Hebezeug zu t rennen u n d d ieses zu en t las ten . In de r Regel g e -

sch ieht d ies d u r c h d a s so genann te „To thängen" . Die Last w i r d

nach Erreichen der Be t r iebshöhe g e m ä ß der B G V C1 en tsp re -

c h e n d angesch lagen , s o d a s s d a s H e b e z e u g abge lassen w e r -

d e n kann u n d somi t ent lastet ist. Nach d e m Ent lasten ist d a s H e -

bezeug ggf . v o m St romkre is zu t rennen . (VBG SP25 .1 /2 -1 bzw.

B G I 8 1 0 - 1 )

Die Ket te d e s Hebezeugs lässt s ich ebenfal ls (Tragmittel) als A n -

sch lagmi t te l nutzen, i ndem m a n einen Ket ten übergri f f mit e iner

speziel len dafür gee igneten Ket tenvor r ich tung mach t . Das g e -

s a m t e Innenleben des Hebezeugs w i rd auf d iese Weise über-

brück t , so dass nur n o c h d ie Rundstah lke t ten Lasten t ranspor -

t ieren. Die zulässige Last einer Rundstah lke t te e ines moto r i sche n

Hebezeuges ist für d ie S t a n d a r d - A n w e n d u n g mi t m indes tens SF

= 5 berechnet . Die BGV C1 forder t SF = 10. Au f d iese Weise ist d ie

Tragfähigkei t einer Rundstah lke t te eines E lekt roket tenzuges auf

d ie Hälf te herabzusetzen. Für den Kettenübergr i f f und die sons t i -

gen Ansch lagmi t te l gilt die ob ige Berechnung.

Szen ische B e w e g u n g e n s ind mi t Hebeze ugen g e m ä ß BGV D8

nicht m ö g l i c h .

Einsatz von BGV-C1-Hebezeugen in Produktionsstätten

Hebezeuge , d ie e indeut ig als BGV C1 o d e r V B G 70 en tsp r e -

c h e n d ausgew iesen s ind , b rauchen keine A b m i n d e r u n g e n der

Nenn las ten , um vorschr i f t sgemäß e ingesetz t zu w e r d e n . Die b e -

150

sonderen A n f o r d e r u n g e n se i tens de r V B G s ind bei d iesen

H e b e z e u g e n berei ts in de r Kons t ruk t ion berücks ich t ig t . Ein nach

BGV C1 zert i f iz ierter Ke t tenzug mi t einer Nennlas t v o n 1000 kg

darf e ine Last v o n 1000 kg über Personen h e b e n , senken u n d

hal ten. Für d e n Verbund v o n mehreren Z ü g e n an e inem Tragwerk

s ind we i te re A n f o r d e r u n g e n se i tens der S teuerung zu be fo lgen .

Die Schr i f t „Bere i ts te l lung u n d Benu tzung v o n P u n k t z ü g e n " (SP

25 .1 /2 -1 bzw. B G I 810-1) zeigt d ie n o t w e n d i g e n A u s s t a t t u n g e n

tabe l la r isch . A ls neue En tw ick lungen g ib t es Z ü g e , d ie z u m

H e b e n u n d Senken nur der B G V D8 e n t s p r e c h e n , aber n icht t o t -

gehäng t w e r d e n m ü s s e n , da sie z u m Hal ten de r Last d ie

er forder l ichen S icherhe i ten g e m ä ß B G V C1 er fü l len. Diese Z ü g e

s ind um e in iges pre isgünst iger als so lche mi t vol ler A u s s t a t t u n g .

9 „ d " An c ag n m W kel

In b e s o n d e r e n Fällen ist es n o t w e n d i g , sch räg anzusch lagen ,

u m e inen A u f h ä n g e p u n k t z w i s c h e n zwe i v o r h a n d e n e n Punk ten

zu erha l ten . Für Ket ten o d e r Sei le ist d iese Technik d u r c h a u s mi t

S t a n d a r d - K o m p o n e n t e n m ö g l i c h . Die Ansch lagmi t te l s in d zu

d iesem Z w e c k mehrs t räng ig ausgeführ t . A b e r a u c h mi t e in -

s t räng igen A n s c h l a g m i t t e l n lassen s ich derar t ige A u f h ä n g u n -

g e n t e c h n i s c h real isieren. Am K n o t e n p u n k t s ind s te ts speziel le

Endg l ieder zu v e r w e n d e n , d ie a u c h für S t a n d a r d - A n s c h l a g k e t -

ten genu tz t w e r d e n . Die Se i l - bzw. Ke t tenk rä f te k ö n n e n n a c h

d e m Pr inzip d e s zent ra len Krä f tesys tems berechnet w e r d e n .

W ich t i g ist natür l ich d ie Kraf t an d e n H ä n g e p u n k t e n , da dor t

ebenfa l ls s c h r ä g g e z o g e n w i r d . Die A n s c h l a g p u n k t e m ü s s e n

dafür gee ignet se in .

153

10. Flächige Belastung - Podeste Viele Be las tungen v o n F lächen w e r d e n über Träger a b g e t r a g e n .

Um d ie Be las tung der Träger aus der F lächenlast zu be rechnen ,

ist ihr A b s t a n d zue inander sehr w i c h t i g . Die Fo rm der Be las tung

d e s Trägers ist eine St recken las t , d ie aber n icht i mm er e inen

g le ichmäßigen Verlauf hat.

Gleichlast

Die Last e ines e inzelnen Trägers hängt v o n seiner Las te inzugs-

f läche a b .

Bei einer A n o r d n u n g v o n „ U n t e r z ü g e n " ü b e r n i m m t jeder Träger

e inen Las te inzugsbere ich mi t d e m A b s t a n d der Träger zue inan-

der. Die Gle ichlast d e s Trägers berechnet m a n : p = a (Abs tand

der Träger) x F lächenlast .

Die Hor izonta l las ten m ü s s e n du rch andere Bautei le a b g e t r a g e n

w e r d e n .

154

Dreiecks-Trapezlast unter 45°

Die Dre iecks- , ode r Trapezlasten s ind of t zu f i nden , w e n n

F lächen n icht mi t Un te rzügen , s o n d e r n mi t e iner U m r a n d u n g

e ingefasst s ind . Eine derar t ige Lastver te i lung erg ibt s ich für

S t a n d a r d - B ü h n e n e l e m e n t e .

Die m a x i m a l e Las tord ina te der Trapez-Dre iecks las t w i rd d u r c h

d ie g röß te „T ie fe" der Las te inzugs f läche b e s t i m m t . Die g röß te

Tiefe be t räg t bei e inem Podes t mi t 2 m x 1 m g e n a u 0,5 m (Hälf te

der Plat tent iefe) . Der g röß te Wert de r Dre iecks / Trapezlast erg ibt

s ich aus p = a (Abstand der Längst räger) / 2 x F lächenlast .

Dreiecks-Trapezlast unter 60°

Dre iecks- o d e r Trapezlasten für du rch lau fende Plat ten mi t U m -

r a n d u n g u n d Un te rzügen ze igen d ie f o l g e n d e Lastver te i lung für

d ie Prof i le.

155

Die g röß te Last t räg t de r mi t t lere Un te rzug , de r d ie Last be ider

60° -Trapezf lächen ab t räg t . Wäre d ie Plat te über d e m Unte rzug

getei l t , so w ü r d e s ich ledig l ich e ine 45°-Trapezlast für d e n U n -

te rzug e rgeben . Die Plat te en tspr i ch t e inem 2-Feld-Träger mi t

g r ö ß t e m Bet rag d e s M o m e n t s über d e m mit t leren Un te rzug .

Der lange U m r a n d u n g s t r ä g e r m u s s bei einer derar t igen A n o r d -

n u n g d ie Lasten d e s Un te rzuges als Einzel lasten a u f n e h m e n ,

w a s eine b e s o n d e r s h o h e B e a n s p r u c h u n g ergibt . Sehr nach t e i -

lig ist ein Schw e ißansch luss d e s Un te rzuges an d e n langen U m -

randungst räger , da d ieser an der Stel le d e s g rößten B i e g e m o -

m e n t s a u c h n o c h ent fes t ig t w i r d , so fe rn e r a u s einer g ä n g i g e n

A lumin iumleg ie rung hergestel l t ist. Für d iese A n o r d n u n g w ä r e n

zwei zusätz l iche S tü tzen v o n g roßem Vortei l .

A u c h hier t räg t der mi t t lere Unte rzug die g röß te Last , führ t d iese

j e d o c h auf d ie kurzen U m r a n d u n g s t r ä g e r a b , d ie ger inger b e a n -

sp ruch t s ind .

156

0 S t k r B hn od

Ein B ü h n e n p o d e s t mi t e ingespann ten Füßen ist ke ineswegs ein

s ta t i sches S y s t e m , d a s aus vier ge lenk ig ge lager ten Einfe ld t rä-

gern bes teh t , s o n d e r n ein „ R a h m e n " . Durch die fes te E inspan-

nung der Fußprof i le in d ie U m r a n d u n g e rgeben s ich besondere

Schn i t tg rößenver läu fe . Die Lagerung der Füße auf d e m B o d e n

en tspr ich t der e ines Ge lenks , da d ie Versch iebungen du rch d ie

Re ibung b lock ier t w e r d e n .

157

Die Vert ikal last sow ie d ie Hor izonta l last d u r c h B e g e h u n g w i rken

z u s a m m e n , u n d es ergibt s ich d a d u r c h der größte M o m e n t e n -

be t rag in der R a h m e n e c k e . Wie m a n sieht , grei f t d a s B i e g e m o -

m e n t d e s Umrandungspro f i l s in der Ecke auf d a s Fußprof i l über.

Ein n o c h so w ide rs tands fäh iges Umrandungspro f i l nütz t daher

n ich ts o h n e e n t s p r e c h e n d stei fe Fußprof i le. Durch b e s o n d e r s

hohe A u f b a u t e n w i rd der Einf luss der Hor izonta lkra f t i m m e r

größer, so dass für große Höhen o f tma ls d iagona le A u s s t e i f u n -

gen er forder l ich w e r d e n , um ein Fachwerk zu b i lden u n d so d ie

B i e g e b e a n s p r u c h u n g in d e n Ecken a b z u m i n d e r n .

Die B e r e c h n u n g e ines derar t igen R a h m e n s ist k o m p l e x u n d

hängt v o n der Stei f igkei t der e inzelnen Profi le a b . Die Lagerung

der Fußpunk te hat ebenfa l ls e inen Einf luss auf d ie Schn i t t -

g rößen. Kann ein Fuß in x - R i c h t u n g a u s w e i c h e n , so änder t s i ch

d ie Be las tung zu U n g u n s t e n . Au f d e n B e r e c h n u n g s w e g w i rd im

R a h m e n d ieses B u c h e s verz ichtet , da erwei te r tes Wissen über

d ie Fest igkei ts lehre er forder l ich ist.

158

0 2 r ndung o e vo Po e n

Besondere A lumin ium-Pro f i l e , d ie speziel l nach d e n Bedür fn i s -

sen der Podesthers te l le r s t ranggepress t w e r d e n , we isen gu te

W i d e r s t a n d s m o m e n t e bei ge r ingem E igengewich t auf. Z u s ä t z -

l ich s ind Au f lage f lächen für d ie Plat te, Nutenkanä le u n d

A n s c h l u s s k a n t e n integr iert .

Beispie l Umrandungsp ro f i l

159

Profildaten Umrandungsprofil

s . Z e i c h n u n g , d u r c h C A D ermi t te l t

A = 7,74 cm2

ly = 60,79 cm4

lx = 6,85 cm4

Wy = 12,13 cm3

Wx = 3,45 cm3

iy = 2,803 cm

ix = 0,94 cm

zuläss ige S p a n n u n g für AIMgSiO,5F25

zulsigma= 10,0 kN/cm 2

zu läss iges B i e g e m o m e n t um Y

zulMy = Wy *sigmazul= 12,13 * 10,0 = 121,3 kNcm = 1,21 kNm

Um eine g u t e G e s a m t k o n s t r u k t i o n zu erha l ten , s ind d e m e n t -

s p r e c h e n d e Profi le für d ie Füße n o t w e n d i g . In d i e s e m Fall w e r -

den Vierkant rohre 6 0 x 6 0 x 3 , 5 A l M g S i 0,5 F25 v e rwende t .

A = 7,91 cm2

ly = 42,25 cm4

lx = 42,25 cm4

Wy = 14,08 cm3

Wx = 14,08 cm3

iy = 2,31cm

ix = 2,31 cm

Die Fußprof i le s ind gu t d imens ion ier t . Wy = Wx = 14,08 c m ³ .

Die B i e g e m o m e n t e in d e n Ecken können a u c h v o n den Fußprof i -

len über t ragen w e r d e n . Hinzu k o m m e n n o c h D r u c k s p a n n u n g e n .

160

W ü r d e n be isp ie lsweise Profi le 4 0 x 4 0 x 5 v e rwende t , so e rgeben

s ich fo lgende Daten:

A1 = 7,0 cm2

ly = 14,58 cm4

lx = 14,58 cm4

Wy= 7,29 cm3

Wx= 7,29 cm3

iy = 1,44 cm

ix = 1,44 cm

Das W i d e r s t a n d s m o m e n t gegen die B iegung w ü r d e nicht zu d e m

Umrandungspro f i l passen .

Die A n s c h l ü s s e der Füße an die Podes te ist ebenfa l ls du rch d a s

B i e g e m o m e n t h o c h belastet . Gu te Resis tenz b ietet eine f o r m -

sch lüss ige , zusätz l ich g e s c h r a u b t e Passung einer w ink l igen

E c k - A u f n a h m e , d ie s ich an d ie Vorsp rünge der U m r a n d u n g s p r o -

file and rück t . Das B i e g e m o m e n t bi ldet auf d iese Weise ein Kräf-

tepaar mi t Kon tak ts toß .

161

Größere Höhen v o n S t a n d a r d p o d e s t e n lassen s ich d u r c h a u s

d u r c h Auss te i fung mi t D iagona len u n d Riegeln er re ichen. Au f

d iese Weise w e r d e n d ie B i e g e m o m e n t e in d e n Ecken reduzier t

u n d die Kn ick längen der Fußprof i le verkürz t .

Das so gescha f fene S y s t e m ist d e m e ines Gerüs ts sehr ähn l ich

u n d besi tz t g roße Stei f igkei t .

Für Podeste , die im bauaufs icht l ichen Bereich als „F l iegende

Bau ten " , daher als t e m p o r ä r e Baukons t ruk t ion genutz t w e r d e n

(s.a. 8.6), gel ten d ie fo lgenden verb ind l ichen M i n d e s t - L a s t a n -

n a h m e n :

Nu tzung Flächenlast Hor izontal last

Fußboden/Bühnenpodium m. Künstlern 3,5 0,35

Fußboden mit großem Menschengedränge 5,0 0,50

S i tz t r ibüne 5,0 0,50

S teh t r ibüne 7,5 0,75

Treppen v o n Tr ibünen 7,5 0,75

Podes te v o n Treppen 7,5 0,75

Alle Lasten in k N / m ²

Die Hor izonta l last be t räg t hier 1/10 der ver t ika len Flächenlast .

Bei fes ten B a u w e r k e n w i rd ledigl ich 1/20 der Vert ikal last als H o -

r izontal last angesetz t . In fo rmat ionen zu we i te ren L a s t a n n a h m e n

bietet d ie DIN 1055 (Las tannahmen für Bauten) .

163

11. Dynamische Einflüsse durch Hebezeuge

Durch d e n Einsatz v o n m o t o r i s c h e n H e b e z e u g e n t re ten zusä tz -

l iche Kräf te auf. Um d ie W i r k u n g d ieser Kräf te zu ve rs tehen , w i r d

zunächs t d ie B e w e g u n g eines Körpers näher be t rach te t . J e d e s

mit M a s s e behaf te te Ob jek t verhäl t s ich t räge u n d w ü r d e s ich mi t

kons tan te r Geschw ind igke i t b e w e g e n (oder ruhen), w e n n keine

Kräf te e inw i rken . Ein Körpe r im Al l , der keinerlei Re ibung a u s g e -

setzt ist, b e w e g t s ich b is in alle Ewigkei t . Wi rk t nun eine Kraf t auf

d e n Körper, so w i rd e r besch leun ig t , a b g e b r e m s t oder veränder t

se ine R ich tung . Kräf te u n d Besch leun igungen s tehen in e inem

g r u n d l e g e n d e m Z u s a m m e n h a n g und w e r d e n d u r c h d ie f o l g e n -

de Formel besch r ieben :

=

F <> Kraft

m <> Masse

a <> Beschleunigung

Die M a s s e n w i rken a lso der Besch leun igung e n t g e g e n . A u s d ie -

s e m G r u n d e ist ein s c h w e r e s Fahrzeug bei g le icher Moto r i s ie -

rung t räger als ein le ichtes. Eine zusätz l ich zu b e w e g e n d e M a s s e

b rems t a u c h d e n f re ien Fall:

164

Beschleunigung und Massenträgheit

Die Gewichtskraft der Masse 1 beschleunigt das System.

Die Beschleunigung berechnet sich aus dem Kräftegleichgewicht am Wagen: M2*a = ( M 1 * g - M 1 *a) a = (M1*g) / (M2+M1)

Ebenso w ie Massen die Besch leun igung reduzieren, bew i rken

Besch leun igungen Kräfte. Tritt m a n be im Auto fahren auf d ie

Bremse, so spür t m a n seine e igene Träghei tskraf t , d ie nach vo rne

wirk t . G ib t m a n mehr Gas, so w i rk t d ie Träghei tskraf t nach h in ten.

Wissenschaf t l i ch formul ier t , w ü r d e die Festste l lung lauten:

Die Träghei tskraf t w i rk t en tgegengese tz t der Besch leun igung auf

der g le ichen Wirkungsl in ie . Be im Heben u n d Senken v o n Traver-

senkons t ruk t ionen oder Pod ien g ibt es ebenfal ls Phasen der Be -

sch leun igung . Das Prob lem wi rd in D iag ram men beschr ieben.

Beispie l : Rigg w i rd kurz a n g e h o b e n

166

Die zusätz l i chen Massen t räghe i tsk rä f te k ö n n e n also d ie Be las-

t u n g e rhöhen , w e n n sie s ich mi t d e n Gew ich tsk rä f ten add ie ren .

Um d a s Prob lem rechner isch in d e n Griff zu b e k o m m e n , s ind

Faktoren n o t w e n d i g , d ie d ie d y n a m i s c h e n Einf lüsse er fassen.

Da d ie g le iche Prob lemat ik für d ie D imens ion ie rung v o n Kranen

m a ß g e b e n d ist, s ind d ie so genann ten Hub las tbe iwer te in de r L i -

tera tur besch r ieben :

Hub las tbe iwer te als A u s z u g aus DIN 15018

Kranart

H a n d k r a n e H1

M o n t a g e k r a n e H1 H2

Lagerk rane H2

B rückenk rane H3 H4

A u t o k r a n e H3 H 4

S c h m i e d e k r a n e H 4

Hubk lasse Hub las tbe iwer t f i (bis 9 0 m / m i n )

H1 1,1 + 0 , 0 0 2 2 * vh

H2 1,2 + 0 , 0 0 4 4 * v h

H3 1,3 + 0 ,0066 * vh

H4 1,4 + 0 , 0 0 8 8 * vh

Beisp ie l : Eine Theater -Se i lw inde arbei te t mi t 0,6 m/s H u b g e -

schw ind igke i t

Die T h e a t e r w i n d e ist in Hubk lasse H2 e inzus tu fen , da d ie W i n d e

un te rb rochen arbei tet .

vh = 0,6 m/s - 36 m/min

Hublastbeiwert (p = 1,2 + 0,0044 * 36 = 1,36

Die B G V C1 forder t e inen pauscha len Faktor v o n f i = 1,2 zur Er-

fassung der d y n a m i s c h e n Ante i le .

167

Auf w e l c h e Bautei le m u s s bei de r B e r e c h n u n g der H u b l a s t b e i -

wer t zusätz l i ch au fgesch lagen w e r d e n ?

H e b e z e u g e nein nein

Ansch lagse i l e nein ne in*

A n s c h l a g k e t t e n nein nein*

Rundsch l i ngen nein nein* /**

Schäke l nein nein*

T räge rk lemmen nein nein*

R ingmut te rn nein nein

D e c k e n t r a g w e r k j a ja

Boden (wenn aufstehende Last) ja ja

Traversen j a ja

P rospek ts tangen ja ja

a n g e h ä n g t e Lasten j a ja

*Der dynamische Anteil von <p = 1,2 muss auch für Anschlagmittel einfließen, wenn die Sicherheit gegen Erreichen der Mindestbruchkraft mit SF = 10 ange-setzt worden ist. Falls bereits mit einem SF = 12 zum Ermitteln der Nennlast nach BGV C1 gerechnet wurde, entfällt der Faktor für die Anschlagmittel.

**Nur in Kombination mit Sicherungen aus Stahl.

Die Liste m a c h t deu t l i ch , d a s s alle H e b e z e u g e u n d A n s c h l a g -

mi t te l e tc . v o n der Industr ie für d y n a m i s c h e Lasten vorbere i te t

s ind , da d ies ihre B e s t i m m u n g ist. Die angesch lagenen Baute i le

s ind n icht für d iese Las ten ausge legt , so d a s s dor t de r Hub las t -

be iwer t als Faktor e ingerechnet w e r d e n m u s s .

Der „wo rs t c a s e " tr i t t a l lerd ings im Falle de r Abw är t s fah r t mi t

N o t - A u s Be tä t igung e in . Der Faktor de r Dynamik kann , je nach

B remse d e s H e b e z e u g s , e ine Größe v o n m e h r als 2,0 er re ichen!

Die T rag- u n d Ansch lagmi t te l m ö g e n d a n n n o c h t ragen , d a de r

S icherhe i ts fak tor h o c h ist, d ie Traverse w i r d a l lerd ings schnel l

z u m Ris iko, da d ie S icherhe i ts fak toren g e m ä ß DIN 4 1 1 3 für t r a -

g e n d e A l u m i n i u m k o n s t r u k t i o n e n bei c a . 2,5 g e g e n B ruc h l iegen!

169

12. Kinetik

2 D yna c e G dg se z

Neben d e m „Hub las tbe iwe r t " aus Abschn i t t 11 sol len nun w e i t e -

re Be t rach tungen zur B e w e g u n g du rchge füh r t w e r d e n .

Das d y n a m i s c h e Grundgese tz (Newton ' sches Grundgese tz )

stel l t d ie Bez iehung z w i s c h e n M a s s e n , Besch leun igungen u n d

Kräf ten her:

(Newton'sches Grundgesetz)

F <> Kraft, die eine Beschleunigung a eines Körpers der

Masse m bewirkt

m <> Masse

a <> Beschleunigung

K

(Satz von d´Alembert)

Fi <> eingeleitete Kräfte, Auflagerkräfte

Ftr <> Trägheitskraft Ftr=-m*a

Das d y n a m i s c h e Prob lem w i rd d u r c h E inbez iehung der T räg-

hei tskraf t fo rma l auf ein s ta t i sches zurückge führ t .

Die Z u s a m m e n h ä n g e z w i s c h e n W e g , Geschw ind igke i t , B e -

sch leun igung u n d Zei t beschre ib t d ie K inemat ik .

170

Bei kons tan te r Besch leun igung gilt :

s = sO + vO*t+ 1/2*a*t²

s = sO+ 1/2*(v0 + v)*t

v = sqr(v0 2 + 2*a*s)

v = vO + a*t

s <> zurückgelegter Weg (sO = bereits zurückgelegter Weg

zur Zeit der Betrachtung)

v <> Geschwindigkeit (vO = Anfangsgeschwindigkeit zur

Zeit der Betrachtung)

a <> Beschleunigung

t <> Zeit

Beispie l : B ü h n e n w a g e n

Ein B ü h n e n w a g e n fähr t mi t e iner G e s c h w i n d i g k e i t v o n 3 m / s

u n d w i r d d a n n mi t a = 2 m / s² für e ine Zei t v o n 5s besch leun ig t .

W i e groß ist se ine Geschw ind igke i t n a c h der Besch leun igung?

v = v0 + a*t = 3m/s + 2m/s 2 *5s=13m/s

Welchen W e g hat er in d ieser Zei t zu rückge leg t?

s = vo *t +1/2 *a *t²=3 m/s *5s +1/2 *2m/s 2 *(5s) 2 = 40m

Mit d e n Z u s a m m e n h ä n g e n der K inemat ik u n d d e m d y n a m i -

s c h e n Grundgese tz k ö n n e n nun B e w e g u n g e n v o n Körpern u n -

te rsuch t w e r d e n .

Beispie l : P K W

Ein P K W mit einer M a s s e v o n m = 1000 kg u n d einer A n f a n g s g e -

schw ind igke i t v o n vO = 20 m/s w i rd mi t e iner Kraf t v o n F = 3 0 0 0

N für t = 10 s besch leun ig t . W i e groß ist se ine Geschw ind igke i t

nach der Besch leun igung?

172

Beisp ie l : Seilrol le

Wie groß ist d ie Geschw ind igke i t der M a s s e A nach 10 m? Wie

groß ist d ie Auf lagerkra f t de r Seilrol le?

masselos

mB = 175kg

174

Da d ie Sei lkräf te für be ide M a s s e n g le ich s ind , kann m a n d ie

G le i chungen z u s a m m e n f a s s e n

GA - Ftr,A = Ftr,B + GB

2000N - mA*a = mB*a + 1750N

2000N - 200kg *a=175kg *a+1750N

250N-200Kg*a = 175kg*a

250N = 375kg*a

a = 250 Kg * m/s 2/375kg = 0,667 m/s 2

v = sqr(vo 2 + 2*a*s)

v = sqr(0 + 2 * 0,667m/s 2 * 10m) = 3,65 m/s

S=Ftr,B + GB=mB*a + GB = 175kg *0,667+1750N =1867N

Auf lagerkra f t an der Seilrol le

A = 2*1867 = 3733N

2 2 Ar e d ne

v Z z Z )

W <> Arbeit

F <> Kraft

s o Weg

Führt m a n e inem S y s t e m Arbe i t z u , so e rhöh t s ich d ie Energie.

Die Arbe i t ist d ie Ä n d e r u n g der Energie. Energie ist gespe iche r -

tes A r b e i t s v e r m ö g e n .

Die „Endenerg ie " berechnet m a n :

E1 =E0 + W01

So erg ibt s ich der Arbe i tssa tz :

175

Hubarbeit:

W01 =E1 -E0 = m*g*(h1 -hO)

E = m*g*h (potentielle Energie, Lageenergie)

Masse m = 100kg von hO = Om auf hl = 5m heben.

W01 = E1 -E0 = F*s = m*g*(h1 -hO)

= 100kg* 9,81 m/s 2*(5m-0m) = 4905Nm

Die Einheit der Arbe i t :

1 Nm=1Ws (Wattsekunde)= 1J (Joule)

Beschleunigungsarbeit:

W01 =E1 -E0 = 1/2*m*v1 2-1/2*m V O 2

E = 1/2 * m * v 2 (kinetische Energie)

Masse m = 10 kg von vO = 10 m/s auf v1 = 20 m/s

beschleunigen.

W01=E1 -E0=1/2*10kg*(20mls) 2-112* 10kg* (10m/s) 2

= 1 5 0 0 Nm

Federarbeit:

W01 =E1 -E0=1/2*c *s1 2 -1/2*c *s0 2

E = 1/2 * c * s 2 (potentielle elastische Energie)

Feder mit Konstante c = 200 N/mm spannen von sO =

10 mm auf s1 =20 mm

W01=E1-E0= 1/2 * 200 N/mm * (20 mm) 2 -1/2*

200 N/mm * (10mm) 2 = 30000 Nmm = 30 Nm

Weitere Arbe i ten w ie „Re ibarbe i t " w e r d e n n icht be t rach te t .

Der Arbe i t ssa tz kann v e r w e n d e t w e r d e n , u m u n b e k a n n t e Daten

zu ermi t te ln . A ls Beispie l w i rd d ie berei ts be rechne te Seilrol le

he rangezogen :

176

mA = 200kg

Z u n ä c h s t w i rd d ie Arbe i t der „äußeren Krä f te " be t rach te t . Die

M a s s e A g ib t Arbe i t a b , M a s s e B spe icher t Arbei t , d ie Auf lager -

kraft der Seilrol le leistet ke ine Arbei t . Daher kann fo lgende Arbe i t

d e s g e s a m t e n S y s t e m s berechnet w e r d e n :

Arbeit der äußeren Kräfte:

W01 =-GA*s + GB*s

W01 = -2000 N* 10 m + 1750 N* 10 m

W01 = -2500 Nm = -2500 J

Kinetische Energie des Systems:

E0 = 1/2*m* vO 2 = 1/2 * (mA + mB) * vO 2 = 0, weil v0 = 0

E1 = 1/2*(mA+mB)*v1 2

177

Arbeitssatz:

W01=E1-E0

W01 = 1/2 * (mA + mB) * v1 2

v1 = sqr(2 * W01/(mA+mB)) = sqr(2 * -2500 J/(200 kg +

175 kg)) = -3,65 m/s

Das Ergebnis s t immt !

Um die Sei lkraf t zu ermi t te ln , w i rd w iede r ein Tei lsystem (z.B.

M a s s e B) be t rach te t .

178

Arbeit der äußeren Kräfte:

W01 =-Gb*s + S*s

Kinetische Energie des Systems:

E0=1/2*m* vO 2 = 1/2 *mB * vO 2 = 0, weil vO = 0

E1 = 1/2 *mB *v1 2 =1/2*175 kg * (3,65 m/s) 2 = 1165,7 Nm

Arbeitssatz:

W01=E1-E0

W01 = 1/2*mB*v1 2

-Gb*s + S*s = 1165,7Nm

S*s = 1165,7Nm +1750 N* 10 m = 18665,7 Nm

S = 18665,7 Nm/10 m = 1867N

Das Ergebnis s t immt !

12 3 g

Als Le is tung beze ichnet m a n Arbe i t p ro Zei te inhei t .

P = W01/(t1-W)

Beisp ie l : B r e m s v o r g a n g e ines Fahrzeugs

Ein Fahrzeug m = 1000 kg fähr t mi t 5 m/s . In 3 0 m Ent fe rnung

s teh t ein H indern is . Wie groß m u s s die Brems le is tung se in , um

e inen Aufpra l l zu ve rme iden?

v = sqr(vo 2 + 2*a*s),

wobei v = 0 werden muss, um Stillstand zu gewähren!

0 = sqr((5 m/s) 2 + 2*a*30m)

0 = (5m/s) 2 + 2*a*30m

a = -(5 m/s) 2/(2 * 30 m) = -0,417 m/s 2

(negative Beschleunigung <> bremsen)

179

Zeit de r Verzögerung

v1 = vO + a * t

t = (v1- vO)/a = (0-5 m/s)/(-0,417 m/s 2) = 12s

Bremsarbe i t

W01 =E1-E0 = 0- 1/2*m*v0 2 = -1/2*1000 kg*(5m/s) 2

= - 12500 Nm (negativ, da kinetische Energie in Wärme

umgewandelt wird)

Brems le is tung

P = W01/(t1-tO) = 12500 Ws/12s = 1041,7 W

181

13. Anhang und Formelsamm ung

Anhang 1 l n u

u t L

Standard - Lastfäl le für Träger auf 2 S tü tzen

182

S t a n d a r d - Lastfäl le für Träger auf 2 S tü tzen

183

S t a n d a r d - Lastfäl le für Träger auf 2 S tü tzen

184

Standard - Lastfäl le für Träger auf 2 S tü tzen

185

Nutzung der Standard-Lastfall Formeln

i v m t 4 E

Lasten je 55 kg

E t t t r l N .4 ( E t

Die A b s t ä n d e der Lasten zu e inander m ü s s e n g le ich se in , d ie A b -

s tände zu d e n Lagern s ind halb so groß.

Z u V r i l

F =0,55kN

c =2,0 m

c/2 =1,0 m

L =8,0 m

n =4 (Anzahl der Lasten)

k =2,0 (Faktor - je nach Anzahl der Lasten)

u k i

A = B = n*F/2 = 4*0,55kN/2=1,1 kN

x r a

Gemäß Querkra f tver lau f z w i s c h e n d e n Au f lagern und d e n äuße-

ren Las ten . Größe der max ima len Querkra f t :

max/min Q = A = B = / 1,1 kN

186

x

m a x M = F * L / k = 0,55 kN * 8 ,0m / 2,0 = 2,2 k N m (in de r Mit te)

i r r m i 3 i n

r n r.7 n i l r r )

Z u n u n t n i

F =0,6kN

a =1,0m

L/2 = 3,5m

L =7,0m

u f k i n

A = B = 3/2 *F = 3/2*0,6kN = 0,9kN

x i r

Größe der max ima len Querkra f t z w i s c h e n d e m Auf lager u n d der

äußeren Last :

max/min Q = + / - F = + / - 0,6 kN (maßgebend!)

Größe der max ima len Querkra f t z w i s c h e n d e m Auf lager u n d der

inneren Last :

maximin Q = +/-F/2 =+/- 0,3 kN

187

i

Über d e n Au f lagern :

min M =-F* a =-0,6 kN* 1,0 m = -0,6 kNm (maßgebend!)

In der Mi t te :

max M = F*(L/4-a) = 0,6kN*(7,0ml4 -1,0m) = 0,45 kNm

Der Be t rag d e s B i e g e m o m e n t s in der M i t te u n d an d e n S tü tzen

w i rd bei d i e s e m Lastfal l g le ich groß, w e n n a = ( L / 8)

E t L f n E n

U h n u m t z t n t

q = 3,0 kN/14,0 m = 0,214 kN/m

Z z r i l

q= 0,214 kN/m

a = 2,0 m

L = 10,0 m

188

l n

A = B = q*(a + L/2) = 0,214kN/m *(2,0m + 5,0m) = 1,489kN

x m u k

Größe der max ima len Querkra f t z w i s c h e n d e m Auf lager u n d

Außenkan te :

maximin Q = +/-q*a = +/-(0,214 kN/m *2,0m) = +/- 0,428 kN

Größe der max ima len Querkra f t z w i s c h e n d e n Au f lagern :

maximin Q = +/-(q * L/2) = +/-(0,214 kN/m * 5,0 m) =

+/-1,07 kN (maßgebend!)

x

Über d e n Au f lagern :

min M = -q *a 2/2 = - 0,214 kN/m*(2,0 m)2/2 = -0,428 kNm

In de r Mi t te :

maxM = (- q *a2/2) + q *L 2/8

= -0,428 kNm + 0,214 kN/m * (10,0 m)2/8 = 2,247 kNm

(maßgebend!)

Der Bet rag d e s B i e g e m o m e n t s in der M i t te und an d e n S tü tzen

w i rd bei d iesem Lastfal l g le ich groß, w e n n a = (L2/8)^0,5

Kleine Formelsammlung für Verfahrensschritte

Z u n K t n

1. Einzelne Kräf te in ihre K o m p o n e n t e n (F i ,x / Fi,y) zer legen. Dazu

S inus - bzw. Kos inus funk t ion a n w e n d e n .

2 . K o m p o n e n t e n zu resul t ierenden K o m p o n e n t e n z u s a m m e n -

fassen . Dabei Vorze ichen b e a c h t e n . (F res ,x / Fres,y)

3 . Resul t ierende K o m p o n e n t e n mi t d e m Satz d e s Py thagoras

zur Resul t ie renden z u s a m m e n f a s s e n .

4 . R ich tung der Resul t ie renden b e s t i m m e n . Dazu d ie inverse

Tangens funk t ion a n w e n d e n .

190

3. Momen tenve r lau f erg ibt s ich aus d e m Querkraf tver lauf . Die

F läche unter der Querkra f t ist g le ich der M o m e n t e n ä n d e r u n g .

Posi t ive Querkra f t > M o m e n t s te igt . Querkra f t = 0 > M o m e n t

b le ibt kons tan t . Negat ive Querkra f t > M o m e n t fäl l t . Bei

sp rungha f te r Querkra f t ist d ie Momenten l i n ie linear. Bei l inea-

rer Querkra f t ist d ie Momenten l i n ie pa rabo l i sch .

Das P r o g r a m m v o n CD „ B i e g e m o m e n t u n d Querk ra f t " l iefert d ie

Ergebnisse für e in ige S t a n d a r d Lastfäl le d i rekt !

u n n

1. Normalspannung sigmaN = N / A

2. Biegespannung sigmaB = M/W

3. Mittlere Scherspannung/Schubspannung taum = Fs/A

4. Lochleibungsspannung sigmaL = Fj_/(d* t)

N = Normalkraft

M = Biegemoment

Fs = Scherkraft einer Scherfuge

Fl = Lochleibungskraft einer Lasche

Das P r o g r a m m v o n CD „ R e c h t e c k - H o h l p r o f i l - G e o m e t r i e " u n d

„ R u n d r o h r - G e o m e t r i e " l iefern d ie benö t ig ten Prof i ldaten fü r d ie

N o r m a l s p a n n u n g (A) u n d d ie B i e g e s p a n n u n g (W).

h n r

(Ist als so l ches n icht im B u c h erklärt w o r d e n . Dazu ist e ine d e -

tai l l ierte A u s b i l d u n g z .B. geprü f te r Meis ter für VT, S a c h k u n d i g e r

für Verans ta l tungsr igg ing , o.a. nötig!)

1 . Kn ick länge sk nach d e m zugehör igen Eulerfall b e s t i m m e n .

2. Träghei tsrad ius i für d a s e n t s p r e c h e n d e Profil ab lesen .

3. Sch lankhe i t sg rad I b e r e c h n e n : lambda = s k / i

4 . O m e g a omega aus der Kn ickzah lentabe l le d e s Werks to f fs ab lesen

5. K n i c k s p a n n u n g be rechnen sigmak = N / A * omega

6 . K n i c k s p a n n u n g mi t zu läss iger K n i c k s p a n n u n g verg le ichen

191

Anhang 2 r u n

A2 Zw l äg r u Z t r

i

Die B e r e c h n u n g er fo lg t mi t Be iwer ten , d ie in fo lgender Tabel le

gel is tet s ind .

Erläuterung der Formelzeichen:

i

M1 <> Biegemoment innerhalb des Feldes 1

(zwischen A und B)

min MB <> Biegemoment über der mittleren Stütze

(Stützmoment)

A <> Auflagerkraft A

maxB <> Auflagerkraft B

min QBl <> Querkraft links vom Auflager B

192

i l l

maxM1 <> Biegemoment innerhalb des Feldes 1

(zwischen A und B)

MB <> Biegemoment über der mittleren Stütze

max A <> Auflagerkraft A

min C <> Auflagerkraft C

Die Zusä tze m i n / m a x ze igen an , d a s s hier ein Ex t rem vor l iegt .

Zur Beur te i lung eines Trägers m u s s vo r a l lem d a s S t ü t z m o m e n t

un te rsuch t w e r d e n .

v r t k

Für Auf lager : A = k*l*q

B = k*l*q

C = k*l*q

Für Querkrä f te : Q = k*l*q

Für B i e g e m o m e n t e : M = k*l 2*q

Alle Be rechnungen s ind für Feld 1 und 2 sp i ege l sym met r i s c h .

Die Be iwer te s ind nur für Feld 1 (links) a n g e g e b e n , ge l ten aber

a u c h für Feld 2 (rechts)

Beispie l : Traverse mi t 3 S tü tzen

193

l k t u

A = C = k *l *q = 0,375 *8,0m*0,5kN/m = 1,5kN

l k t

B = k*l*q=1,25*8,0m*0,5kN/m = 5,0kN

u k

Q = k*l*q =-0,625* 8,0 m* 0,5 kN/m = -2,5 kN

m n h l

M1/2 = k*l 2*q = 0,07*(8,0m) 2*0,5 kN/m = 2,24 kNm

m n ü r t r ü z

MB = -0,125 * (8,0 m) 2 * 0,5 kN/m = -4,0 kNm

W i c h t i g : Das m a ß g e b e n d e B i e g e m o m e n t erg ibt s ich über der

mi t t leren Stü tze! Se lbs t w e n n die Traverse für ein derar t iges B ie -

g e m o m e n t zu läss ig ist, so kann bei G r o u n d s u p p o r t s u n d der

V e r w e n d u n g v o n b e s t i m m t e n S leeveb löcken hier ein P rob lem

en ts tehen , da de r S leeveb lock im Bere ich der g rößten B e a n -

s p r u c h u n g l iegt.

Insbesondere bei S leeveb löcken aus Plat ten en ts tehen große

De fo rmat ionen , w e n n d ie Verb inder we i t innen l iegen. Die Gur t -

kräf te er re ichen erheb l iche Werte , d ie e ine Plat te schnel l über -

lasten (s. 8.2 Innere Kräf te der Gurtrohre)

W ü r d e ledigl ich ein Feld belastet w e r d e n , so könn ten s ich ein a b -

h e b e n d e s Auf lager e rgeben , w e n n d ie Eigenlast der Traverse zu

ger ing wäre . Das g röß te B i e g e m o m e n t läge im be las te ten Feld

M1 = 0,096 * (8,0 m) 2 * 0,5 kN/m = 3,072 kNm

194

A2 2 D m i l

ü )

Die B e r e c h n u n g er fo lgt mi t Be iwer ten , d ie in fo lgender Tabelle

gel is tet s ind .

Die Formelze ichen w e r d e n e b e n s o genutz t , w i e unter A n h a n g 2 ,

Zwe i fe ld t räger besch r ieben .

195

Bei einer konstanten Gleichlast ergeben sich folgen-

de Feststellungen:

1. Die g röß te Stü tzkra f t erg ibt s ich am Auf lager B , w e n n ledigl ich

d ie be iden an d a s Auf lager ang renzenden Felder be las te t w e r -

d e n (k = 1,2).

2 . Die m a ß g e b e n d e Querkra f t l iegt l inks v o m Auf lager B , w e n n

ledig l ich d ie be iden an d a s Auf lager ang renzenden Felder b e -

lastet w e r d e n (k = -0 ,617) .

3 . Das m a ß g e b e n d e B i e g e m o m e n t en ts teh t über Au f lager B,

w e n n ledigl ich d ie be iden an d a s Auf lager ang renzenden Fel -

de r be las te t w e r d e n (min M b , k = -0 ,117) . Innerhalb de r Felder

erre icht d a s B i e g e m o m e n t max ima le Wer te , w e n n nur d ie b e i -

d e n äußeren Felder be lastet w e r d e n (max M 1 , k = 0,101).

Be isp ie l : Traverse an 4 Sei len au fgehäng t (Berechnung o h n e Ei -

genlast)

Las ten : B e l e u c h t u n g s k ö r p e r mit e inem G e w i c h t v on je 15 kg s o l -

len vertei l t w e r d e n . Es w e r d e n max ima l 2 S t ü c k pro Me te r auf-

gehäng t . Um alle Eventual i tä ten zu berücks ich t igen m ü s s e n ver-

sch iedene Las tkons te l la t ionen geprü f t w e r d e n .

l

q = 2*0,15 kN/m = 0,3 kN/m

m i u f r ( Z r

maxB = maxC = k*l*q=1,2*6,0m*0,3kN/m = 2,16kN

k

min QBL = k*l*q = -0,617*6,0m*0,3 kN/m = 1,11 kN

196

min MB = min MC = -0,117* (6,0m) 2 *0,3 kN/m = -1,26 kNm

A2 3 V räg n r f l r n t

n f ü z

Die B e r e c h n u n g er fo lg t mi t Be iwer ten , d ie in fo lgender Tabel le

gel istet s ind .

Diese Tabelle w i rd e b e n s o a n g e w a n d t w ie vorher ige.

197

Anhang 3 i b h l l r n

i l k f n l

Bridle Tabellenkalkulation

Die Daten f ü r G , s o w i e F1 u n d F2

s ind als Faktoren für d ie be l ieb i -

g e n Kräf te berechnet .

Bsp . : s iehe Sei te 2 der Tabel le

G = 6,7 k N

a = 25°

ß = 5°

F1 = 6 , 7 k N * 1 , 9 9 = 13 ,33kN

F2 = 6 , 7 k N * 1 , 8 1 = 1 2 , 1 3 k N

Bi t te b e a c h t e n Sie, d a s s d ie zugehör igen Winke l z w i s c h e n Seil

und der Hor izonta len zu f inden s ind . S ind Ihnen ledig l ich d ie

Winke l z w i s c h e n der Vert ikalen u n d d e m Seil bekannt , so lassen

s ich d ie Winke l schne l l u m - rechnen:

alfa = 90° - (Winkel z w i s c h e n der Vert ikalen u n d F1)

ß = 90° - (Winkel z w i s c h e n der Vert ikalen u n d F2)

B s p : Winke l z w i s c h e n der Vert ikalen und F1 = 55°

alfa = 9 0 ° - 5 5 ° = 35°

Standard Anschlagmittel, mehrsträngig, alfa ,ß > 30° !

208

I

209

Anhang 4 B

A4 1 Au ag r eak ion n

Dieses P r o g r a m m ermög l i ch t d ie Kontro l le de r se lbst anges te l l -

t en Be rechnungen aus Abschn i t t 3.3.

A ls erstes Berechnungsbeisp ie l soll d ie Traverse aus S. 60 d ienen.

Hier d ie E i n g a b e m a s k e im P r o g r a m m

Die B e r e c h n u n g per H a n d e rgab :

A = 3,6kN

B = 8,4 kN

Hinzu w u r d e d ie Eigenlast de r Ke t tenzüge addier t .

210

z i l l i i n

Hier d ie E ingabemaske :

Das Feld „Pos i t ion l inks" beinhal te t d e n A b s t a n d d e s l inken A n -

fangs der Gle ich last z u m Auf lager A. Dieser Wer t ist negat iv,

w e n n d ie Gle ichlast l inks v o m Auf lager A beg innt . Das Feld „Bre i -

te rech ts " ist d ie E ingabe für d ie A u s d e h n u n g der Gle ichlast nach

rechts . Dieser Wert m u s s immer pos i t iv se in .

Die berechne ten Wer te s ind ident isch .

A 2 B ege ome e d Q e k ä e

Dieses P r o g r a m m berechnet d ie Schn i t tk rä f te für eine K o m b i n a -

t ion v o n drei S tandard-Las t fä l len .

Beispie l : Traverse mi t 4 Einzel lasten, s iehe A n h a n g 1, S. 184

E ingabemaske d e s P r o g r a m m s :

211

Zuvor w u r d e n berechnet :

M = 2,2kNm

Q=1,1kN

Ger ing füg ige A b w e i c h u n g e n result ieren aus der U m r e c h n u n g

kg <> k N . Das P r o g r a m m rechnet mi t 1 kg <> 9,81 N exak t .

Das P r o g r a m m über lager t d ie ve rsch iedenen Lastfäl le bel ieb ig

u n d kann d ie Eigenlast d e s Trägers be rücks i ch t i gen .

Die er rechneten Daten s ind al lemal aussagefäh iger als d ie b e -

kann ten Be las tbarke i ts tabe l len v o n Traversen.

A4.3 D c bi g vo g rn

Dieses P r o g r a m m berechnet d ie D u r c h b i e g u n g eines Trägers

unter Gle ich last u n d / o d e r einer mi t t igen Einzellast in ver t ika ler

R ich tung .

Die f o lgenden Parameter sp ie len e ine Rol le bei der D u rchb ie -

g u n g :

1. Werks to f f > b e s t i m m t d e n E-Modu l - d ie Elastizi tät d e s M a t e -

rials. Je höher de r Wert , d e s t o stei fer ist d a s Mater ia l . Es kann

z w i s c h e n Stahl u n d A lum in ium vo rgewäh l t w e r d e n : E(Stahl) =

2 1 0 0 0 0 N / m m 2 , E(Alu) = 70000 N / m m 2 . Wi rd ein anderes M a -

terial g e w ü n s c h t , so kann der E-Modu l v o n Hand e ingegeben

212

w e r d e n . (z.B. Nadelho lz E = 10000 N / m m 2 ) . Die E -Modu le ver -

sch iedener A lu Leg ie rungen s ind im Gegensa tz zu deren

Fest igkei ten nahezu g le ich . Ebenso ist es bei Stah l . So b iegt

s ich z .B. ein Alu Gi t ter t räger mi t e iner hoch fes ten Leg ierung

g e n a u so we i t d u r c h , w ie der g le iche Gi t ter t räger aus e iner w e -

niger fes ten Leg ie rung. J e d o c h w i rd der wen ige r fes te Träger

bei wei terer Las ts te igerung f rüher ve rsagen .

2. Das F l ä c h e n m o m e n t 2. Grades ly > b e s t i m m t d ie Stei f igkei t

d e s Profi ls d e s Trägers. Dieser Wert kann für R e c h t e c k / Q u a -

dra t -Hoh lp ro f i le im P r o g r a m m "Rech teck -Hoh lp r o f i l e " e rmi t -

tel t w e r d e n . Ebenso kann der Wer t ly für Traversen im Pro-

g r a m m "Traversen G e o m e t r i e " berechnet w e r d e n . Für viele

S tandard-Pro f i le im S tah lbau g ib t es Tabel len, in d e n e n d ie

Wer te ly der Profi le gel is tet s ind . Für Quadra t rohre u n d R u n -

drohre w i rd nur I (ohne y) a n g e g e b e n , da n icht für unter -

sch ied l i che A c h s e n (B ieger ichtungen) un te rsch ieden w i r d ,

s o n d e r n in alle R ich tungen g le iche Stei f igkei t bes teh t .

3. Die Länge d e s Trägers ist ein wei terer Parameter , we lche r über

d ie Durchb iegung en tsche ide t . Die D u r c h b i e g u n g ste igt mi t

Exponen t 3 (bei Einzellast) bzw, mi t Exponen t 4 (bei Gleichlast)

im Bezug auf d ie Länge.

4. Die Last fl ießt p ropor t iona l in d ie D u r c h b i e g u n g e in.

Im P r o g r a m m kann d ie Eigenlast d e s Trägers e i n g e g e b e n , o d e r

a u t o m a t i s c h berechnet w e r d e n . Falls als Werks to f f Stahl (St),

o d e r A l u m i n i u m (AI) u n d eine Querschn i t t s f läche e ingegeben

w e r d e n , so berechnet d a s P r o g r a m m d ie Eigenlast d e s Trägers

a u t o m a t i s c h . Für Gi t ter t räger sol l te d ie Eigenlast e ingegeben

w e r d e n , da bei der a u t o m a t i s c h e n B e r e c h n u n g nur d ie Quer -

schn i t t s f läche der Gur t rohre berücks ich t ig t w i r d , n icht aber d ie

Verbinder, Braces e tc .

213

Beisp ie l : A lu Dre ipunkt Traverse unter Gle ich last

Eigenlast : 10 k g / m

Anzah l Gur t rohre : 3

H ö h e der Traverse (außen): 4 5 0 m m

Durchmesse r Gur t rohre : 5 0 m m

W a n d s t ä r k e Gur t rohre : 4 mm

daraus e rgeben s ich d ie f o lgenden S ta t i sche Wer te (P rog ramm

„Traversen- G e o m e t r i e " A4.5) :

A= 17,342 cm 2

ly = 6212,129 cm 4

Last 75 kg / m

214

Eingabemaske des P r o g r a m m s :

Die be rechne te De fo rmat ion bet räg t 5 , 9 9 m m in der Mi t te d e s

Trägers. Ob die Traverse der B e a n s p r u c h u n g S tand hält, häng t

v o n d e m zuläss igen B i e g e m o m e n t u n d der zu läss igen Querkra f t

ab, w e l c h e kons t ruk t i onsbed ing t s ind .

215

Beispie l : Stah l t räger IPB 200 ( „Doppe l T-Träger" mi t 200 mm

Höhe/Bre i te) aus S t37 -2

ä

A = 78,1 cm 2

ly = 5700cm 4

Wy = 570 cm³ (Widerstandsmoment zur Ermittlung der

Biegespannung s. 7.1)

Asteg =16,6 cm 2 (Querschnittsfläche des Steges)

Länge des Trägers: L = 15,5 m

Last: mittige Einzel last F=10,3kN

Eingabemaske d e s P r o g r a m m s :

Die De fo rmat ion bet räg t 103,25 m m . Die Tragfähigkei t kann

ebenfa l ls überprü f t w e r d e n . Dazu w i rd d a s m a ß g e b e n d e B iege-

m o m e n t u n d die Querkrä f te berechnet .

216

Die E ingabemaske d e s P r o g r a m m s „ B i e g e m o m e n t e u n d Quer -

k rä f te" s ieht w ie fo lg t aus .

Die B i e g e s p a n n u n g w i rd w ie fo lg t berechnet (s.7.1)

M = 57,21 kNm = 5721 kNcm

sigmaB = M/W = 5727 kNcm/570 cm 3 =10,04 kN/cm

< 16,0 kN/cm 2

x = Q /Asteg = 9,71 kN/16,6 cm 2 = 0,58 kN/cm 2

< 9,2 kN/cm 2

Der Träger hält der B e a n s p r u c h u n g s t a n d .

217

A Pro geo e e n at e We e

Dieses P r o g r a m m berechnet d ie s ta t i schen Wer te e ines Profi ls

mi t Rech teck /Quadra t -Querschn i t t . Die W ands tä r k en k ö n n e n

bel ieb ig e ingesetz t w e r d e n .

Die A u s g a b e w e r t e d e s P r o g r a m m s e rmög l i chen eine nach f o l -

g e n d e B e r e c h n u n g v o n B i e g e s p a n n u n g e n oder De fo rma t ion .

Für d e n Nutzer mi t gu ten Kenntn issen der Fest igkei ts lehre w e r -

d e n we i te re Daten a u s g e g e b e n .

Beispie l : B e r e c h n u n g der s ta t i schen Wer te e ines Q u a d r a t h o h l -

prof i ls 9 0 x 9 0 x 5

E ingabemaske d e s P r o g r a m m s :

In e inem e n t s p r e c h e n d e n Tabe l lenbuch f . Stahlprof i le e rsche i -

nen f o l g e n d e Wer te :

A = 16,7 cm 2

I = 200 cm 4

W = 44,4 cm 3

Die e r rechneten Daten l iegen über d e n Wer ten der Tabel le, da d ie

Radien der Profi le im P r o g r a m m nicht be rücks ich t ig t w e r d e n .

A u s d iesem G r u n d sol l ten d ie be rechne ten Wer te nie b is zur

1 0 0 % A u s n u t z u n g d e s Profi ls angesetz t w e r d e n .

218

Für Rundrohre ist ein a d ä q u a t e s P r o g r a m m auf der CD en tha l -

t en . Für I-Träger u n d andere S tandard-Stah lp ro f i le g ib t es Prof i l -

da tenb lä t te r im Hande l .

Die Wer te s ind rein geomet r i sche r Natur. Sie können für Profi le

aus be l ieb igen Mater ia l ien v e r w e n d e t w e r d e n

219

A4 averse G e r

Dieses P r o g r a m m berechnet d ie s ta t i schen Wer te e ines Gi t ter -

t rägers . Die A u s g a b e w e r t e d e s P r o g r a m m s e rmög l i chen eine

n a c h f o l g e n d e B e r e c h n u n g v o n De fo rmat ionen , oder einer über -

sch läg igen S p a n n u n g s b e r e c h n u n g i n d e n Gur t rohren mi t d e m

W i d e r s t a n d s m o m e n t . A l le rd ings kann die Be rechnung n icht d ie

Tragfähigkei t de r Traverse nachwe isen , da d ie Verb inder n icht

be rücks ich t ig t s ind (s. 8.0).

Beisp ie l : A lu Dre ipunkt Traverse (s. Beispie l A4.3)

E i n g a b e m a s k e d e s P r o g r a m m s :

Die s ta t i schen Wer te für ly können we i te r füh rend für exak te De-

f o r m a t i o n s b e r e c h n u n g e n genutz t w e r d e n . Eine B i e g e s p a n -

n u n g s b e r e c h n u n g kann mi t Wy als Ü b e r s c h l a g s r e c h n u n g

du rchge füh r t w e r d e n . Da d ie Verb indung zweier Traversenele-

m e n t e n icht be rücks ich t ig t ist, dar f d ie B e r e c h n u n g n icht als

T rag fäh igke i tsnachweis d ienen .

220

A4 6 Z ra es K ä e y

Dieses P r o g r a m m ermög l i ch t d ie Kontro l le v o n se lbs t be rechne-

ten Daten im zentra len K rä f tesys tem. Es k ö n n e n d ie resul t ieren-

d e n Kräf te v o n bis zu zehn Kräf ten er rechnet w e r d e n . Das Pro-

g r a m m add ier t d ie e ingegebenen Kräfte. Die Zer legung der Kräf-

te in K o m p o n e n t e n ist ebenfa l ls a u s g e g e b e n .

Beispie l : Zent ra les Krä f tesys tem LED J u m b o t r o n S. 41

Die Sei lkräf te s ind zu S1 = 44 ,38 kN und S2 = 28 ,53 kN b e r e c h -

net w o r d e n . Diese be iden Kräf te m ü s s e n in de r Add i t i on genau

der Anhänge las t v o n 34,0 kN en tsp rechen , aber e n t g e g e n g e -

setz t zur Anhänge las t w i r k e n , dami t G le i chgew ich t herrscht .

E i n g a b e m a s k e d e s P r o g r a m m s :

Die Last F1(S1) w i rd mi t e inem Winke l v o n 320° e i n g e g e b e n , da

d a s P r o g r a m m senkrech t nach o b e n mi t 0° fes tge leg t u n d rechts

h e r u m die Winke l dazu add ier t w e r d e n . Der Winke l der resul t ie-

renden Last zeigt senkrech t nach o b e n , d a s bedeute t , d a s s bei

G le i chgew ich t d ie Anhänge las t senkrech t nach unten zeigt .

Beispiel : Zentra les Kräf tesystem „Kamera an Sei l führung" S. 46 .

A ls we i te res Beispiel w i rd d ie Kraft am l inken Mas t der A b s p a n -

nung un te rsuch t .

Es w e r d e n die Lasten S1 = 1,97 kN u n d S3 = 4,38 kN e ingegeben

221

Eingabemaske d e s P r o g r a m m s :

Die resul t ierende Last de r be iden Sei le zeigt senkrech t nach

unten (180°). Daher m u s s d ie Kraft d e s M a s t e s senkrech t nach

o b e n ze igen um Gle ichgewich t zu e rzeugen . Der Bet rag der Last

ist ident isch mi t der zuvor be rechne ten .

222

Index

Alumin ium-Traversen 117

A n k a t h e t e / H y p o t e n u s e 20

A n s c h l a g k e t t e 148

Arbe i t 174

Arbe i tss icherhe i t 147

Auf lager 54

A u f l a g e r b e d i n g u n g e n 5 4

Auf lagerkrä f te 3 0 , 1 2 6

Besch leun igung 163

B i e g e b e a n s p r u c h u n g 107

B iegehaup tg le i chung 109

B i e g e m o m e n t 9 2 , 1 0 7

Bolzen 124

B r e m s v o r g a n g 171

Br id le 150

Bühnene lemen te 154

B ü h n e n p o d e s t 156

C A D 28

Datenb la t t 141

Dehngrenze 135

D iagona l -S t rebe 118

Drehpunk t 55

Dre iecks- 154

Dre iecks-Trapezlast 154

Dre i -Punkt -Traverse 123

d y n a m i s c h e Lasten 167

Einzel last 94

Energie 174

F a c h w e r k 6 9 , 1 2 6 , 1 5 7

Flächenlast 153

F laschenzug 34

F lanschp la t ten 124

Fre ihei tsgrade 55

G a b e l v e r b i n d u n g 85

G e g e n k a t h e t e / H y p o t e n u s e — 2 0

„ G G B " ,

G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g e n . . . 3 0

Gerüs t 70

G le ichgewich t v o n Kräf ten 29

Gur tk rä f te 141

Gur t rohr 118

H ä n g e p u n k t 24

Hebe la rm 58

Heben 164

Hebezeuge 149

hor izonta len R ich tung 137

Hor izonta l last 157

Hor izonta l las ten 153

Hülsen 124

H u b b ü h n e 124

Hub las tbe iwer te 166

H y p o t h e n u s e 2 0

223

Kata log 140

Kegelst i f t 124

Ket ten 147

K icks icherhe i ten 83

Kniehebel 137

K o m p o n e n t e n 17

Kraft 12

Kurbels ta t iv 35

L a s c h e n - V e r b i n d u n g e n 125

Lasten 154

Le i ch tbau -K on s t ruk t i onen 134

Le is tung 178

Lineares K rä f tesys tem 15

Livel ines 52

Loch le ibung 87

L o c h l e i b u n g s s p a n n u n g 87

Massenk rä f t e 148

Massent räghe i t 164

Mehr fe ld t räger 1 0 5 , 1 3 6

M indes tb ruchk ra f t 148

M o m e n t 5 3 , 1 3 2

Nenn las t 148

neutra len Faser 108

N e w t o n 14

Normalk ra f t 8 1 , 9 2

N o r m a l s p a n n u n g 8 3 , 1 2 3

Nul ls tab 131

Nul ls täbe 127

PA-C lus te r 60

Podes te 153

Py thagoras 23

Querkra f t 9 2 , 1 0 7

Querkrä f te 141

R a h m e n 156

R a h m e n s t a b 133

resul t ierende Einzellast 64

resul t ierende Kraf t 1 6 , 2 4

Runds tah lke t te 149

Satz d e s Py thagoras 19

Se i tenans ich t -Open-A i r -Bühne . .76

Schäke l 147

Scherk ra f t 85

S c h e r s p a n n u n g 8 6

Schn i t tg rößen 81

Schn i t tg rößenver läu fe 96

Schn i t tk rä f te 81

Schn i t t las ten 81

Schn i t tu fer 92

S c h r a u b e n 85

S c h w e i ß e i g n u n g s n a c h w e i s . . . 145

Seil 147

Sei lkraf t 3 3 , 7 7

Sei l t r ieb 32

Senken 164

S icherhe i ts fak to r 148

S p a n n u n g 81

224

Sp igo t 124

S tabkra f t 82

S tabkrä f te 71

Stah lse i lverband 76

S t reben 126

S t r e b e n a n o r d n u n g e n 130

S t rebenkrä f te 130

St recken las t 6 4 , 1 5 3

St recken las ten 102

S y m m e t r i e 131

Theater , Sei l t r ieb im 32

Toleranzen 138

To thängen 149

Tragfähigkei t 148

Träghei tskraf t 164

Traverse 6 0 , 6 3 , 91

Umlenkro l le 38

U m r a n d u n g s t r ä g e r 155

Unfa l lverhütungsvorschr i f t BGV C1

147

Unte rzug 155

Verb inder 118

Verb indungsmi t te l 124

Versatz 132

vertei l te Las ten 63

Vier -Punkt -Traverse 120

Wärmee in f l usszone 135

Werks to f f 8 3 , 8 9 , 1 0 9 , 1 1 7

Werks to f fe 134

W i d e r s t a n d s m o m e n t 1 0 9 , 1 6 0

Wind las t 77

Zent ra les Krä f tesys tem 22

Zugfes t igke i t 135

zu läss ige S p a n n u n g 159

zu läss ige S p a n n u n g e n 109

mechanik in der veranstaltungstechnik

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