AREA: MATEMATICAS ASIGNATURA: TRIGONOMETRIA GRADO 10 GRUPOS: A-B

1 UNIDAD: 1 RAZONES TRIGONOMETRICAS 2 TEMA: 1.2 Sistemas de Medición-Operaciones con Grados Sexagesimales-1.3 Conversiones entre grados y radianes

3 COMPETENCIAS Y LOGRO

COMPETENCIAS:MATEMÁTICAS:1. RAZONAMIENTO. 2. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 3. COMUNICATIVA.TRANSVERSALES: CIUDADANAS (CC) LABORALES (CL) AMBIENTALES (CA)Interpretar y utilizar los diferentes sistemas de medición, las formas de medir para ser conversiones de medidas de uso habitual en diversas áreas del saber. (1,2,3)Logro: establecer una correspondencia entre los sistemas de medición de ángulos (grados y radianes)

4 PRESABERES: Concepto de ángulos, clases de ángulos,

5 ORIENTACION DIDACTICA –METODOLOGICA

Clase presencial, exposición temática por parte del docente

Desarrollo de ejercicios y solución de estos por los estudiantes.

Desarrollo de taller en clase.

6. ORIENTACION INTELECTUAL-CONCEPTUALIZACION

Sistemas para Medir Ángulos: Existen 4 tipos de sistemas los cuales podemos utilizar en la medición de ángulos, tenemos el sistema sexagesimal, el centesimal, el trigonométrico, y el horario.

Sistema Sexagesimal: Utiliza como unidad fundamental el grado sexagesimal (1°) que es la 360ava parte de una circunferencia. Como submúltiplo del grado se emplea el minuto que es la 60ava parte del grado, o sea, que un grado (1°) equivale a sesenta minutos (60’). El segundo es la 60ava parte del minuto, o sea, un minuto (1’) equivale a sesenta segundos (60’’). Los segundos se subdividen en décimas, centésimas, milésimas, etc. 1° = 60’

1’ = 60’’

Sistema Centesimal: Utiliza como unidad fundamental el grado centesimal (1g) que es la Centésima parte de Un Angulo Recto. Como submúltiplos del grado centesimal, tenemos el minuto y el segundo centesimal, que son iguales respectivamente a la centésima parte del grado y el minuto. 90° = 100g

1g = 100m

1m = 100s

Sistema Trigonométrico: Utiliza como unidad fundamental el Radian, que se define como aquel Angulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual a la del radio.

A

Arco AB = r

Radio =r B

PERIMETRO P = *D

AREA A = r2

DIAMETRO D = 2r

Para deducir el valor de un radian partiremos de la formula para calcular el perímetro de una circunferencia.

P = D

Donde el perímetro es igual a multiplicar el diámetro, por el Valor de (3.141592…), o de otra forma, “que el

diámetro cabe veces en la circunferencia”.

También sabemos que el giro completo de una circunferencia vale 360°, entonces si dividimos los 360° entre el

número de veces que cabe el radio en la circunferencia (2 ), obtendremos el valor de un Radian.

Rad. Despejando los 180° tenemos que 180° = (1 Rad.)(2 )

O sea que 2 Radianes Es igual a 180°. Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes

equivalencias

Rad. o

Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

Rad.

Grados 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice.

Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2··R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos. Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes, es decir:

C O N V E R S I O N D E A N G U L O S R A D I A N E S A G R A D O S - G R A D O S A R A D I A N

2 r a d = 3 6 0 °      

  r a d = 1 8 0 °

3 0 º r a d

/ 3 r a d º

R E C U E R D A :

1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre ; y se simplifica. Es decir:

OTRA FORMA DE CONVERSION:

1 revolución = 360º = 2· radianes

Si hacemos una regla de tres:

360º 2· radianes

xº 1 radián

x = 360/2· = 57'29º

En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de tres, siempre dejando el valor de sin operar, por ejemplo:

¿Cuántos radianes son 30º?

360º 2· radianes

30º x radianes

x = 30·2·/360 = /6 radianes

¿Cuántos grados son /4 radianes?

360º 2· radianes

x /4 radianes

x = (360·/4)/2 = 45º

Sistema Horario: Utiliza como unidad fundamental la hora (1h), que equivale a la sexta parte del Angulo recto, o sea, 15°

Sus submúltiplos son el minuto que es igual a la 60ava parte de la hora, y el segundo que es igual a la 60ava parte del minuto.

1h = 15°

1h = 60m

1m = 60s

Nota: El sistema Centesimal, Tanto como el sistema horario han quedado en desuso.

OPERACIONES CON GRADOS SEXAGESIMALES

Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal

La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola unidad:

8º 30' 36'' 8'51º

Forma compleja Forma decimal

Veamos cómo se pasa de una a otra:

8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º

8'51º = 8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''

Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales

a) Suma

Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos.

32º 15' 6''+2º 8' 29'

34º 23' 35''

Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad inmediatamente superior.

15º 20' 16''+20º 30' 54''

35º 50' 70''

Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos como:

35º 51' 10''

Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice que son complementarios. Si la suma de dos ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano, se dice que son suplementarios.

b) Resta: La operación se dispone igual que la suma

30º 31' 12''-22' 48''

Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72'' Con lo cual ya podemos realizar la resta:

30º 30' 72''-22' 48''

30º 8' 24''

c) Multiplicación

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados minutos y segundos por ese número:

4º 20' 10''x 5

20º 100' 50''

Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''

d) División

Par dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado grados, minutos y segundos entre este número natural:

206º 37' 46'' 5

06º 41º 19' 33''

1ºx60 = 60'

97'

47'

2'x60 = 120''

166''

16

1''

Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente y operar con ellos, y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos.

32º 15' 6'' = 32º + 15/60º + 6/3600º = 32º + 0'25º + 0'00166 = 32'25166º

2º 8' 29'' = 2º + 8/60º + 29/3600º = 2º + 0'133º + 0'00805º = 2'14105º

34'39271º

34º

0'39271·60 = 23'5626'

0'5626·60 = 35''

Por lo que obtendríamos el mismo resultado: 34º 23' 35''

7 E JERC IC IOS PROPUESTOS

1 Expresa en g rados sexages ima les l os s igu ien tes ángu los :

1 3 rad

2 2π /5 rad .

33π /10 rad .

2 Expresa en rad ianes l os s igu ien tes ángu los :

1 316°

2 10°

3 127º

8 BIBLIOGRAFIA

Geometría Y Trigonometría Galindo Herrera Moises

C I B E R G R A F I A

h t t p : / / w i k i e d u c a t o r . o r g / M a t e m a t i c a s _ G E C e n e v a l 2 8 6 / C o n t e n i d o / G e o m e t r i a _ E u c l i d i a n a /

A n g u l o s .