Méthodes quantitatives de prévision

PlanI- Introduction et définitions

II- I-Introduction et définitionsDéfinitions   : la prévision d’ue variable est une démarche qui consiste à utiliser des méthodes qualitatives ou quantitatives pour estimer l’évolution de cette varaible dans les périodes à venir. D’après ces estimations, on planifie

La prévision est étape préalable à la planification La prévision vise à déterminer un événement à partir du

regroupement systématique de données quantitatives ou qualitatives.

Etapes de la prévision

Choix d’une méthode de traitement stratégique, Rassemblement des données et des informations appropriées, Elaboration des prévisions, Révision des prévisions en fonction d’autres informations et du

jugement du prévisionniste

Prévisions- fonctions de l’entreprise

Fonction Application Horizon Gestion commerciale

Prévision vente, fixation objectifs 3 à 6 mois

Gestion de production

Prévision de commandes, de stocks, de livraisons, PDP, PIC

3 à 9 mois

Marketing Prévision vente, plan marketing 6 à 12 moisFinance Simulation financière, trésorerie,

risque de change 6 à 12 mois

Contrôle de gestion

Budget 15 à 18 mois

Plan Prévision et planification stratégique >3 ansOrdonnancement

Planification court terme 1 à 5 jours

« Scientifique »

*décideur

Avantage :

Approche statistique, utilisation de méthodes quantitatives Support informatique

Inconvénients

Coupure/marché et / produit

L’homme de terrain

Vendeur, représentant, …

Avantage :

Connaissance produit, marché Intéressé directement par les prévisions

Inconvénients

Confusion prévision/objectif Prévisions qualitatives : influencées par le dernier client,

Clients plus important : coopération entre les deux

II-Les techniques causales : techniques de la régression.

Techniques causales permettent :- D’avoir une relation entre une ou plusieurs variables

explicatives et une variable expliquée ;- D’avoir une prévision ne dépendant pas seulement du

comportement passée de la variable d’intérêt, mais aussi du comportement des autres variables ;

- De faire des analyses sur les effets de certaines variables sur la d’intérêt

Les modèles de régression

Le modèle de régression met en relation une variable expliquée avec une ou plusieurs variables explicatives,

La relation peut avoir plusieurs formes :

- Linéaire,- Exponentielle,- Logarithmique …

Pour construire un modèle on a besoin :

- Identifier les variables explicatives- Identifier la relation entre les variables

(Formes fonctionnelle)

Le modèle de régression met en relation une variable expliquée avec une ou plusieurs variables explicatives,

La relation peut avoir plusieurs formes :

- Linéaire,- Exponentielle,- Logarithmique …

A- La régression linéaire simple

La régression linéaire est une méthode qui permet d’établir un modèle mathématique linéaire qui exprime une variable dépendante en fonction d’autres variables, dites indépendantes.

On s’intéresse à la régression lorsque on désire prédire la valeur d’une variable connaissant la valeur d’une autre variable

La RLS permet de vérifier

Les variables Y et X sont appelées :

Y

Variable expliquée Variable dépendante Variable endogène Variable prédite

X

Variable explicative Variable indépendante Variable exogène Variable prédicatrice

le modèle de régression simple s’écrit :

Yt=

A : est le terme constant du modèle

B : est la pente de la droite,

: est une variable aléatoire : résidu ou erreur

N : est la taille de l’échantillon

Le modèle tel qu’il vient d’être spécifié n’est qu’une caricature de la réalité. En effet ne retenir que X pour expliquer Y est insuffisant. Il existe une multitude d’autres facteurs (variables) susceptibles d’expliquer Y c’est pourquoi nous ajoutons qui synthétise l’ensemble des phénomènes explicatifs Y et non liés à X.

En fai

E quantifie les écarts entre les valeurs réellement observées et les valeurs prédites par le modèle . dans le modèle à une équation et deux variables suivant :

Yt = a + BXt Et

Le terme erreur (résidu) Et regroupe :

Une erreur de spécification  ; le fait que la seule variable explicative n’est pas suffisante pour rendre compte de la totalité du phénomène expliqué.

Une erreur de fluctuation d’échantillonnage   : d’un échantillon à l’autre les observations et donc les estimations sont légèrement différentes. (si on change d’échantillon, on peut obtenir un résultat différent)

Ce modèle est linéaire car l’effet X sur Y est linéaire :

AY = B.AX , si AE = 0

Le but est de minimiser l’écart ;

Pour cela, on fait appel à la méthode des moindres carrés ordinaires :

L’estimation par la méthode des moindres carrés ordinaires permet de déterminer la droite qui s’ajuste au mieux aux valeurs observées cette droite est appelée droite régression de Y en fonction de X ou droite des moindres carrés de Y en fonction de X.

Ainsi cette méthode repose sur la minimisation des carrés des résidus

∑¿ 1

n

❑

Ou encore la minimisation de l’expression :

Les hypo

H1 le modèle est linéaire en Xt

H2 : les valeurs Xt sont observées sans erreur

H3 : l’espérance de t =0 ; E[ dans ce cas le modèle est bien spécifier

H4 : dans ce cas la variance de l’erreur est constante ont dit qu’on a l’homoscédasticité

H5 : E[les erreurs ne sont pas convolées ou encore les erreurs sont indépendantes n’a pas d’infléience sur les erreurs sur

H6 : Cov (Xt, Et) = 0 erreurs indépendante de la valeurs explicatif Xt

Ou :

Xt : est la valeur observée de la variable explicative x. x i

Yt : est la valeur observée de la variable explicative y.

^yt : est la valeur théorique, ou ajustée ou encore calculée

Et : est l’erreur d’ajustement (ou résidu)

On montre que les coefficients â et ^b de la droite de régression de Y en X s’expriment e fonction des données par : ¿¿

Exemple soit un échantillon de 10 observations concernant les salariés d’une entreprise : Xt est le nombre d’heures travaillées (par salarié) et Yt est la quantité de biens produits (par salarié). Le directeur des ressources humaines de cette entreprise souhaite étudier la relation qui existe entre la quantité de biens produits par salarié et nombre d’heures travaillées.

Xt 10 7 10 5 8 8 6 7 9

n Y X (Yt-Y) (X    1 11 10 1,4 2 2,8 42 10 7 0,4 -1 -0,4 13 12 10 2,4 2 4,8 44 6 5 -3,6 -3 10,8 95 10 8 0,4 0 0 06 7 8 -2,6 0 0 07 9 6 -0,6 -2 1,2 48 10 7 0,4 -1 -0,4 19 11 9 1,4 1 1,4 1

10 10 10 0,4 2 0,8 4  9,6 8        

La droite de régression est donc :

^Y= 0.75X+3.6

Le nombre d’heures travaillé agit positivement sur les quantités produites, ce qui est normal.

Il y a une production de 3.6 unités, qui s’expliquent par l’influence d’autres variables.

Le coefficient de corrélation :

Sert à mesurer l’intensité de liaison linéaire éventuelle entre deux variables.

Son objectif est de quantifier la liaison entre X et Y de manière à mettre en évidence le sens de la liaison et la force de la liaison.

❑❑

Trois situations :

Si r est proche de 1 : il y a une liaison linéaire marquée, et les deux variables varient dans le même sens.

Si r égal à 0 : il n’y a pas de liaison linéaire. Si r proche de -1 : il y a une liaison linéaire marquée, et les deux

variables varient en sens contraire.

n Y X (Yt-Y) (X-^X) (    1 11 10 1,4 2 2,8 4 1,962 10 7 0,4 -1 -0,4 1 0,163 12 10 2,4 2 4,8 4 5,764 6 5 -3,6 -3 10,8 9 12,965 10 8 0,4 0 0 0 0,166 7 8 -2,6 0 0 0 6,767 9 6 -0,6 -2 1,2 4 0,368 10 7 0,4 -1 -0,4 1 0,169 11 9 1,4 1 1,4 1 1,96

10 10 10 0,4 2 0,8 4 0,16Moyenne 9,6 8   somme  21 28 30,4

Coefficient de corrélation

Le coefficient de détermination (test d’efficacité des ajustements)

C’est une mesure du pouvoir explicatif des variables explicatives par rapport à la variable endogène Y. Ce coefficient désigné par est un indicateur de la qualité de l’ajustement réalisé. Plus la valeur de est importante plus le modèle est correct. On le calcule pour :

- Evaluer le degré d’association entre les deux variables- Juger la qualité de l’ajustement par la droite de régression

B- La régression linéaire multiple Dans la régression simple, nous avons considéré une variable

endogène expliquée par une seule variable exogène. Cependant, il est très rare qu’un phénomène économique ou social

puisse etre expliquée par une seule variable.

La régression linéaire multiple permet d’étudier la relation qui peut exister entre une variable endogène et au moins deux variables exogènes

Le modèle de régression linéaire multiple peut s’exprimer sous la forme :

y t=α+ βX+nZt+εt

Yt: litres/mois Xt: temps moy Zt: Isolation275,3 40 3363,8 27 3164,3 40 1040,8 73 694,3 64 6

230,9 34 6366,7 9 6300,6 8 10237,8 23 10121,4 63 331,4 65 10

203,5 41 6441,1 21 3323 38 352,5 58 10

y t=α+ βX+nZt+εt

Coefficient de détermination multiple Coefficient de détermination multipleCoefficient de détermination multipleErreur-typeobservations

Observation   i   de   la consommation  mensuelle

Terme constant

  Coefficients Erreur-type Statistique tConstante 562,1510092 21,09310433 26,65093769Xt: temps moy -5,436580588 0,336216167 -16,16989642Zt: Isolation -20,01232067 2,342505227 -8,543127434

Prévision à l’aide de la régression multiple

Consommation moyenne d’une maison qui a 6 pouces d’isolation dans un mois ou la températeure moyenne est 30

^Yt= 562.151-(5.43658)*(30)-(20.0123)*(6)

^Yt+1= 278.9789

III-La technique des moyennes mobiles.

pour la technique des moyennes mobiles, seules les observations les plus récentes sont utilisées pour calculer la prévision.

Cette méthode nécessite de conserver un grand nombre de données en mémoire.

A-Moyenne mobile simple :

Méthode   :

A partir d’un ensemble de valeurs observées, on calcule leur moyenne et on utilise la moyenne comme prévision de la prochaine période

Caractéristiques :

Pour calculer la moyenne mobile, il faut disposer des valeurs des « n » dernières observations.

Les moyennes mobiles sont des moyennes mises à jour au fur et à mesure que de nouvelles observations sont disponibles. La moyenne est calculée en utilisant seulement un certain nombre des plus récents données.

Estimation ponctuelle  Ecart- type estimé de l’estimateur Statistique   t   pour   tester   la signification

Cette méthode donne un poids égal à chacune des « n » dernières valeurs de la série, et un poids égal à zéro aux valeurs observées avant.

Chaque nouvelle prévision basée sur une moyenne mobile est un ajustement de la précédente moyenne mobile.

Le choix du nombre de périodes à utiliser dans le calcul de la moyenne mobile simple dépend beaucoup des variations attendues dans les données : en faisant la moyenne de plusieurs périodes on atténue les

EXEMPLE   : nous disposons des informations suivantes concernant l’évolution la demande d’un produit ALPHA durant 11 mois et nous recherchons une valeur fiable de la demande pour le 12 ième mois

période J F M A M J J A S O N D1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

2Observation de la

2000

1350

1950

1975

3100

1750

1550

1300

2200

2770

2350

Calcul des moyennes mobiles sur mois

mois périodes observations Moyenne mobile de 3

moisJanvier 1 2000Février 2 1350Mars 3 1950Avril 4 1975 1767Mai 5 3100 1758Juin 6 1750 2347

Juillet 7 1550 2275Aout 8 1300 2133

Septembre 9 2200 1533Octobre 10 2770 1683

Novembre 11 2350 2000Décembre 12 2440

Calcul des moyennes mobiles sur 5 mois

périodes observations

Moyenne mobile de 3 mois

Moyenne mobile de 5 mois

1 20002 13503 19504 1975 17675 3100 17586 1750 2347 20757 1550 2275 20258 1300 2133 20659 2200 1533 193510 2770 1683 138011 2350 2000 191512 2440

Moyennes mobiles simple pondérées

La moyenne mobile pondérée permet de donner différents poids pour les données utilisées dans le calcul de la moyenne. On peut de cette manière donner plus d’importance aux données plus récentes afin qu’elles influencent davantage la prévision que les données plus anciennes.

Note : la somme des poids utilisés droit être égale à 1.

Calcul de la moyenne pondérée à la fin de chaque moisMois Deman

de Mois 22

Mois 23

Mois 24

Mois 25

Moye mobile pondérée

20 120 0.2*120

21 130 0.3*130

0.2*130

22 110 0.5*110

0.3*110

0.2*110

118

23 140 0.5*140

0.3*140

0.2*140

129

24 110 0.5*130

0.3*110

119

25 130 0.5*130

126

La mesure de l’erreur

Il existe écart entre les valeurs prévues et les valeurs réellement observées : le but commun à toutes les techniques est de minimiser ces écarts.

Il est rare que l’on réussisse à prédire exactement le phénomène étudié ( la demande par ex). l’erreur de prévision est la différence entre la demande prévue et la demande réelle.

On définit l’erreur de prévision comme étant la différence entre la valeur réelle (observée) et la valeur prédite : Et = Ot – Pt ; ou

Ot représente l’observation pour la période t Pt représente la prévision pour la même période t

Ainsi dans le cas de la demande l’erreur est :

Erreur = demande réelle

Et=Dt−Pt

Et : erreur de la prévision pour la

Dt : demande réelle de la période t

Pt : prévision de la demande qui avait été faite pour la période t

Mesure des erreurs de prévision

Quatre mesures de la qualité des prévisions sont souvent utilisées : 1-) MAD (Mean Absolute Deviation) : déviation absolue

moyenne

La déviation absolue moyenne (MAD) est la moyenne des erreurs faites par le modèle de prévision sur une période de temps, sans égard au fait que l’erreur soit une surestimation ou une sous-estimation. L’équation suivante montre comment est calculée la MAD.

MAD=∑n=1

n

|D t−Pt|n

Dt : demande réelle à la période t

Pt : prévision de la demande qui avait été faite pour la période t

N : nombre de périodes utilisé

2-) MSE (Mean Square Error) : Moyenne du carré des erreurs :

Avoir de nombreuses petites erreurs, au-dessus et en-dessous de la demande réelle et qui s’annulent les unes les autres, est probablement le mieux que l’on puisse espérer. L’effet des petites erreurs de prévision sur les opérations n’est habituellement pas très grave.

MSE=∑t=1

n

(Dt−Pt )

n 3-) MAPE (Mean Absolute Pourcentage Error) : Pourcentage

d’erreur absolue moyenPlutôt que de savoir qu’un modèle de prévision a une erreur moyenne de 26.1 ou une moyenne de carré des erreurs de 688.3, il est parfois plus facile de se faire une idée du modèle en utilisant une erreur relative. En effet, une erreur de 26.1 peut être acceptable dans certains contextes pour une série dont la moyenne est de 500, mais peu acceptable pour une série de ayant comme moyenne 50.Exemple

MAPE=( 100n )∑t=1

n |Dt−P tDt |Période

Observation de la demande

Prévision moyenne mobile de 3 mois

erreur

Erreur absolue

Carré de l’erreur

Prévision moyenne mobile de 5 mois

erreur

Erreur absolue

Carré de l’erreur

2000135019501975 17673100 1758175015501300220027702350

Effet de lissage visualisé :

B- Moyenne mobile double :

La méthode des moyennes mobiles doubles consiste à calculer au départ un jeu de moyennes mobiles simples, et de calculer ensuite une seconde moyenne mobile basée sur les valeurs de la première moyenne mobile double.

Exemple :

Calculer la moyenne mobile simple sur 4 mois.

Blalance d’inv1 1402 1593 1364 1575 173 1486 131 156.257 177 149.258 188 159.5 153.259 154 167.25 158.06201 179 162.5 159.62511 180 174.5 165.93712 160 175.25 169.875

IV- La technique du lissage Deux limites majeures dans l’emploi des moyennes mobiles ont conduit de nombreux utilisateurs de cette technique, pour faire des prévisions, à les remplacer par le lissage exponentiel. En effet :

Pour calculer une prévision par la moyenne mobile, il est nécessaire de stocker les n dernières valeurs observées.

La méthode des moyennes mobiles donne un poids

Le principal reproche que l’on peut faire à plusieurs méthodes de prévision est qu’elles donnent la même importance aux observations quel que soit leur niveau d’ancienneté.

A partir du moment où l’on considère, par exemple, que les consommations futures dépendent des consommations passées, on

remarque bien souvent que le passé récent a beaucoup plus d’impact que le passé ancien.

A- Le lissage exponentiel simple

Pour cette technique, la nouvelle prévision est simplement l’ancienne prévision, plus a fois l’erreur de l’ancienne prévision ( Ot-Pt).

Cette formule se réécrit sous la forme

Ou

Pt : prévision au temps t .

Ot : observation au temps t.

Pt-1 : prévision au temps t-1 (période antérieure)

Ot-1 : observation au temps t-1

A : facteur de

Pour le lissage exponentiel simple :

On a besoin seulement de 3 données pour appliquer la méthode (il n’est pas nécessaire de disposer d’une longue séie) :

1) La prévision pour la période précédente.2) L’observation pour cette meme période.3) Facteur de pondération (coefficient) a.

Si a 1 , l’ajustement est important

Si a-0 , l’ajustement est faible

Le facteur de pondération a , déterminer

Le coeficient a précise l’importance qu’on donne au passé récent par rapport au passé ancien. Il varie entre 0 et 1

Ainsi dans le cas des ventes :

Plus a est proche de 0, plus il donne l’importance aux ventes anciennes.

Plus a est proche de 1, plus il donne l’importance aux ventes récentes.

La valeur de a est général déterminée par l’expérience. On cherche dans le passé, pour quelle valeur de a les prévisions

correspondent le mieux à la réalité. (le coefficient a doit minimiser la dispersion entre les valeurs

Le lissage exponentiel simple attribue en général, au plus grand poids à l’observation la plus récente, et des poids décroissants aux valeurs plus anciennes.

Par lissage des observations historiques on parvient à éliminer leur contenu aléatoire et estimer une valeur de prévision

Remarque : si pour la première période, aucune prévision ancienne n’est disponible, on peut dans ce cas utiliser : a-) la dernière valeur observée ; b) une moyenne mobile ou c) une prévision qualitative.

Dans le cas de la demande le lissage exponentiel simple est une autre forme de moyenne mobile pondérée. A chaque période, cette méthode ajuste la demande moyenne en proportionde la différence entre la dernière demande réelle et la prévision correspondante :

Application

Utilisons les données cencernant la demande d’un produit ALPHA .

Le tableau suivant indique les valeurs calculées

La qestion qu se pose maintenant, est la suivante :

Pour c’est trois valeurs, la quelle choisir ?

On procède à l’analyse du carré moyen de l’erreur et l’écart absolu moyen pour comparer les résultats des prévisions obtenues par les 3 valeurs de a :

Si a est grand : plus de poids est mis sur la plus récente donnée et moins de proids sur les données passées ; ile résulte une prévision qui régit rapidement aux changements.

Si a

En conclusion

Pour les moyennes mobiles et lissage exponentiel, il n’y a pas de règle idéale pour déterminer la pondération appropriée :

Dans la moyenne mobile, on doit décider et spécifier le nombre d’observations à inclure dans la moyenne.

Pour le lissage exponentiel, il s’agit de choisir une valeur de a. la plupart du temps, on procède expérimentalement, en essayant 2 ou 3 valeurs différentes pour voir laquelle, est plus approprié.

B- Lissage exponentiel double : Le lissage exponentiel double fonctionne de la meme façon que

les moyennes mobiles doublesn sans souffrir des ses deux limitations.

Le concept de base implicitement contenu das le lissage exponentiel double est, tout à fait, analogue à celui

La technique du lissage exponentiel double appliquée à une série chronologique comportant une tendance donne des résultats fiables

Donc, on utilise le lissage exponentiel double quand il y a une tendance

V- Les techniques simples d’ajustement

Pour effectuer une prévision, nous pouvons utiliser 3 méthodes différentes pour faire l’ajustement linéaire, déterminer l’équation de la droite et utiliser pour obtenir la prévision :

- La péthode des points extrêmes- La méthode de Mayer ou des points moyens- La méthode des moindres carrées avant étudié la

Considérations la société VENDOUT qui dispose des chiffres d’affaires des cinq dernières années :

Année 1 : 2004= 600 000

Année 2 : 2005=

Elle désir prévoir le Chifrre d’affaire de l’année 6, soit l’année 2009

Pour l’ajustement linéaire :

On part du principe que les ventes évoluent de manière linéaire. Il est possible de trouver l’équation de la droite. A l’aide

2004 2005 2006 2007 2008 20091 2 3 4 5 X=6 ?600000 605000 610000 625000 630000 ?

A- La méthode des points extrêmes

Cette méthode, la plus simple, consiste à déterminer l’équation de la droit à partir de 2 points.

La procédure à suivre est la suivante :

- Relever les coordonnées des 2 points extrêmes (x,y)- Utiliser la formule pour déterminer le coefficient directeur de la

droite - Remplacer Y , B et X par les leurs valeurs respectives pour un des

2 point extremes et ainsi trouver la valeur de a .- Etablire ue

Dans la méthode des ponts extrêmes les variables retenus pour poser l’équation sont le premier et le dernier point, soit dans le cas de VENDTOUT :

X1 = 1(année 1)

X2 = 5 (année 5, car c’est le dernier point dont il connait le CA)

Y1 = ventes de l’année 1 soit 600 000

Y2 = ventes de l’année 5 soit 630 000

Si VENDTOUT n’avait eu que 4 années à sa disposition :

X1 = 1(année 1)

X2 = 4 (année 4, car c’est la dernier point dont il aurait connu le CA)

Y1 = ventes de l’année soit 600 000

Y2 = ventes de l’année 4 soit 625 000

On soustrait les deux équations pour trouver « B »

Y2= B*2+a=> 630 000 = 5B +a

Y1 = B*1 + a => 600 000 = 1B + a30 000 = 4B Soit B= 4 soit B=7500

On remplace « B » trouvé ( 7500) dans l’une des deux équations Y1 ou Y pour trouver « a »

Il est maintenant facile de prévoir les ventes de l’année 6 en remplaçant X par 6 dans l’équation d’ajustement soit :

B- La méthode des points moyens ou méthode de Meyer

Cette deuxième méthode est proche de la première, mais elle utilise comme points de référence, les points moyens de façon à éviter les erreurs dues à des valeurs trop grandes ou trop faibles qui peuvent biaiser la tendance.

Les étapes de détermination de la droite sont les mêmes que dans la

Pour cette technique, les points sont partagés en deux groupes et un point moyen est calculé pour chacun des deux groupes.

1- Partage des points en deux groupes

Tout dépend du nombre de points dont on dispose.

_ si on a 3 points : groupe 1 (2 points) = années 1 et 2 groupe 2 (1point)= année 3

_ si on a 4 points : groupe 1 (2 points) = années 1 et 2 groupe 2 (1point)= année 3

_ si on a 5 points : groupe 1 (3 points) = années 1 et 2 groupe 2 (1point)= année 3

_ si on a 6 points : groupe 1 (2 points) = années 1 et 2 groupe 2 (1point)= année 3

_ si on a 7 points : groupe 1 (2 points) = années 1 et 2 groupe 2 (1point)= année 3

Dans l’exemple de la société VENDTOUT, il y a 5 points :

Groupe 1 (3 points) = années 1, 2 et 3 ;

Groupe 2 (2 points) = années 4 et 5

2- En déduire l’équation de la droite :

Groupe1 : 3 points)

1+2+3 =2 Y1= 600 000+

X1 =

O soustrait les deux équations pour trouver « B » :

Y2 = B*2+a=> 627 000 = 4.5B+aY1 = B*1+a 605 000 = 2B+a

Soit B =

O remplace « b » trouvé (9 000) dans l’une des deux équations Y1 ou Y2 pour trouver « a » soit = 587 000.

Il est maintenant facile de prévoir e

En conclusion : on présente les résultats obtenues par les trois méthodes :

1- Les moindres carrés ordinaires : l’équation de la droite est :Y= 8 000 *6+590 000