Doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D.

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Inovace studijního oboru Geotechnika

Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009

FORMULACE ÚLOH MECHANIKY KONTINUA

a) diferenciální – problém je definován soustavou

diferenciálních rovnic ( rovnice rovnováhy,

geometrické rovnice, fyzikální rovnice)

b) variační – hledá řešení problému jako stav,

v němž energie analyzovaného tělesa

dosahuje extrémní hodnoty,

forma energie a podmínky kladené

na hledané řešení je určeno tzv.

variačními principy mechaniky,

Na základě variačního (energetického) principu definována

podstata metody konečných prvků.

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

VARIANTY ŘEŠENÍ ÚLOH MECHANIKY KONTINUA

a) Silová – neznámé jsou složky napětí

b) Deformační – neznámé jsou složky posunů

c) Smíšená – neznámé jsou složky posunů i napětí

Metoda konečných prvků je variantou deformační.

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

ŘEŠENÍ ROVNIC MECHANIKY KONTINUA

a) Analytické – výsledek hledáme ve tvaru spojitých

funkcí metodami matematické analýzy

a) Numerické – převádí problém hledání spojitých funkcí

na problém hledání konečného počtu neznámých

parametrů, pomocí nichž se hledané funkce přibližně

aproximují

Metoda konečných prvků – metoda numerická

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Obecná charakteristika přístupů k řešení úloh mechaniky

kontinua - shrnutí

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Charakteristika metody konečných prvků -shrnutí:

Metoda konečných prvků je metoda

• variační

• deformační

• numerická

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Pokud je hledané řešení aproximováno danou

aproximační funkcí na celé oblasti, dostáváme tzv.

Ritzovu metodu.

Ritzova metoda- aproximuje hledané řešení na celé

oblasti sumou neznámých konstant ai a známých

aproximačních (bázových) funkcí yi .

Metoda konečných prvků je jistou variantou této Ritzovy

metody – aproximační funkce je volena zvlášť pro

každou podoblast konstrukce (pro každý konečný prvek).

n

i

iin au1

~ y

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Variace funkce du: du je nekonečně malá libovolná změna

funkce u jako celku, du tedy opět funkce

xuxu)x(u 1 d

u1(x)=u(x)+du

u(x)

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Funkcionál: stručně řečeno jedná se o funkci jiných funkcí,

přiřazuje tedy funkci nějaké číslo.

Změna (variace) funkcionálu odpovídá variaci v řešení.

Ve variačních metodách pro řešení okrajových úloh

je funkcionál definován obecně:

dx

uuEd

x

uuF ,...,,...,

d

d

d

d

– oblast, na níž hledáme řešení

– hranice oblasti, na níž hledáme řešení

F, E- funkce závislé na funkci u a jejich derivacích

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

CHARAKTERISTIKA ŘEŠENÍ u ROVINNÉ VARIAČNÍ ÚLOHY :

1) u je křivka popsaná nějakou funkcí

2) u musí splňovat podmínky okrajové i počáteční

3) křivka u musí splnit podmínku extrému daného funkcionálu

(musí být extremála, musí mít funkcionál)

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

PRINCIP VIRTUÁLNÍ PRÁCE:

virtuální práce – práce plynoucí buď:

a) z práce virtuálních sil dp na reálných posunech u – princip

virtuálních sil (CASTIGLIAN)

b) z práce reálných sil p na virtuálních posunech du – princip

virtuálních posunutí (LAGRANGEŮV)– tento princip

výhodnější pro formulaci metody konečných prvků

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Lagrangeův variační princip:

mezi všemi funkcemi posuvů, které zachovávají spojitost

tělesa a splňují geometrické okrajové podmínky, se realizují

ty, které udílejí celkové potenciální energii minimální hodnotu.

Analogie variačního principu:

Představte si kuličku, kterou vložíme do misky kulovitého tvaru, a to nikoliv

na dno. Kulička v misce chvíli kmitá, až se ustálí na dně misky. Každá z

poloh kuličky je v misce přípustná, na dně má však kulička potenciální energii

minimální.

(A. Ženíšek: Třicet let matematické teorie metody konečných prvků (medailon prof. M.

Zlámala), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol.44(1999), No. 1, str. 37-41)

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Potenciální energii lze obecně vyjádřit jako rozdíl potenciální

energie vnitřních sil i (odpovídá deformační práci vnitřních sil) a

potenciálu vnějšího zatížení e ( odpovídá deformační práci

vnějších sil):

ei Nastane tedy právě ten deformační stav tělesa, pro nějž

je variace d potenciální energie soustavy nulová:

0d

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

LAGRANGEŮV PRINCIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ

dpudXu

d

TT

e

T

i

2

1virtuální práce vnitřních sil

virtuální práce vnějších sil

práce od objemového zatížení práce od povrchového zatížení na hranici

zyx

T

zyx

T

zxyzxyzyx

T

zxyzxyzyx

TT

pppp

XXXX

wvuu

,,

,,,,,,,,

,,,,,,, ,

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Určení řešení dané okrajové úlohy je tedy ekvivalentní

se stanovením funkce posunů u, která minimalizuje

funkcionál:

dpudXud TTT

ei

2

1

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Aplikace Lagrangeova variačního principu (analytické řešení)

Stanovení posunutí uo koncového bodu pružiny s tuhostí k,

zatížené tělesem o tíze G:

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Energie akumulovaná v pružině:

(u0- posun koncového bodu)

2

02

1kuW

0uGP Potenciál vnějšího zatížení:

Celková potenciální energie: 0

2

02

1Guku

Gkudu

d

0

0

0Podmínka minimalizace celkové

energie (Lagrangeův princip):

Postup řešení

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Řešení předchozí rovnice a řešení úlohy:

k

Gu 0

Grafické schéma řešení variační úlohy

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Při aplikaci variačních úloh je obvykle hledané přesné řešení

úlohy aproximováno jinou, tzv. aproximační funkcí :

n

i

iin au1

~ y

ai …. neznámé konstanty

yi*… známé bázové funkce

n

n

aaau

aaauu

,.....,,min?

,.....,,

21

21

Pak tedy:

vzhledem k neznámým konstantám ai

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Z podmínky pro extrém plyne soustava rovnic pro určení

neznámých koeficientů ai:

pro i=1,…,n

Čím větší počet členů obsahuje aproximační funkce, tím

lepší je aproximace hledaného řešení, avšak počet rovnic

v soustavě je rovněž vyšší a vzrůstají tedy požadavky

časové, hardwarové apod..

0

aid

d

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

Obecný maticový zápis metody konečných prvků

FuK

K – globální matice tuhosti

Tn

T

n

FFFF

uuuu

,...,,

,...,,

21

21

- uzlové parametry

- známé síly

(objemové, povrchové apod.)

Řešení úlohy je převedeno na řešení soustavy algebraických

rovnic pro neznámé parametry (např. posuny) v uzlových

bodech, výsledná matice soustavy(matice tuhosti) je symetrická

a pásová- metoda vyžaduje využití výpočetní techniky, velká

dimenze soustavy

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody