mÉtodos de soluciÓn para un sistema de ecuaciones de 2x2
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Se describen cinco métodos para darle solución a un sistema de ecuaciones de 2x2: Método de Igualción, Método de sustitución, Método Gráfico, Método por suma y resta, y Método por determinantesTRANSCRIPT
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SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2X2
Profesor de Matemáticas:I.Q. Ignacio Rosales Ortiz
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BREVE INTRODUCCIÓN
Se tratarán los diversos métodos para la resolución de un sistema de ecuaciones de 2x2.
Espero que te sean de utilidad y que sea una herramienta para afrontar este tipo de problemas.
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Los métodos a tratar son:
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Para comenzar a ver los métodos propuestos, partamos de un problema:
Una señora compra10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate y paga $62.00. Otra señora compra 3 kilos de huevo y 5 kilos de jitomate y paga $30.00. ¿Cuánto cuesta 1 kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta 1 kilo de huevo?
PASOS:
1. Traduzcamos este problema que se encuentra en lenguaje común a lenguaje algebraico; quedándonos de la siguiente manera:
2.
10x + 4y = 62
3x + 5y = 30
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Donde:
x = huevo
y = jitomateNOTA:
Este problema lo vamos a ocupar en todos los métodos, pero solo en su traducción algebraica.
2. Elegimos el método de los propuestos, para resolver este problema.
Comenzaremos con el siguiente método:
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MÉTODOPOR
IGUALACIÓN
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PROCEDIMIENTO:PASO 1: Para resolver el sistema de ecuaciones
de 2x2, por este método, debemos comenzar por elegir cuál incógnita vamos a DESPEJAR en ambas ecuaciones (tiene que ser la misma en las dos ecuaciones). Del ejemplo, elegiremos la incógnita “x” (la elección es personal); quedándonos de la siguiente manera:
MÉTODO POR IGUALACIÓN
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Retomando lo anterior:Como elegimos despejar
“x”, entonces empezaremos a realizar
las operaciones para lograrlo.
Necesitamos un número contrario para poder
eliminar a otro número. Por ejemplo: para un 4,
necesitamos un – 4 y así, tendremos 0. En este
caso es, “4y”, necesitamos “- 4y”, para poder eliminarlo (se debe poner en ambos lados de
la ecuación para no desequilibrarla.
Quedándonos así:
Ahora, lo que tenemos que hacer es despejar la “x”, pero tenemos un número que es 10, éste está multiplicando; para poder despejar, aplicamos su operación inversa que es, la división. Para el 10,
será 1/10 y así “eliminamos”. Nos queda de la siguiente forma:
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Retomando lo anterior:
Continuamos:
¡ YA TENEMOS EL PRIMER DESPEJE!
Ahora, tomamos la ecuación 2 y hacemos las mismas operaciones para lograr el despeje de la incógnita:
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Empecemos a despejar:
Realizamos las operaciones para lograr el despeje,
utilizando las leyes de los signos y las
operaciones inversas (recordando que, de la suma, es la resta y de la multiplicación, es la
división):
¡AHORA TENEMOS
EL SEGUNDO DESPEJE!
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PASO 2: Una vez despejadas la incógnita elegida de cada ecuación, entonces IGUALAMOS ambas ecuaciones:
De laecuación 2
De laecuación 1 Tenemos entonces lo
siguiente:
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Retomando lo anterior:
PASO 3: Una vez igualadas las ecuaciones, DESPEJAMOS, la incógnita:
Empezamos a despejar, comenzamos con el número 10, como está dividiendo, su operación inversa es la multiplicación (recordando que, se
tiene que poner en ambas partes de la igualdad).
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Retomando lo anterior:
Eliminemos para despejar:
Quedándonos de la siguiente manera:
Ahora, hagamos lo
mismo para el número 3
(como está dividiendo su
operación inversa es la
multiplicación).Eliminamos y
nos queda así:
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Retomando lo anterior:
Realizamos la multiplicación. Quedándonos de la siguiente
forma:
Resolviendo las multiplicaciones
(aplicamos leyes de los
signos). Continuamos
con los despejes y eliminamos. Dándonos
como resultado:
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¡ENCONTRAMOSEL
PRIMER VALOR!
Retomando lo anterior, proseguimos con las operaciones:
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PASO 4: Una vez encontrada la primera incógnita, entonces SUSTITUIMOS el valor en alguna de las dos ecuaciones despejadas, ya sea de la ecuación 1 o 2 (es elección personal). Elegiremos la ecuación 2:
De laecuación 2
Como el valor de la variable dependiente es:
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Sustituyendo el valor tenemos que:
Retomando lo anterior:
¡ENCONTRAMOSEL
SEGUNDO VALOR!
¿ Y eso es todo? ¿cómo saber si estoy
bien en mis resultados?
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PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
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MÉTODOPOR
SUSTITUCIÓN
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MÉTODO POR SUSTITUCIÓN
PROCEDIMIENTO:PASO 1: Elegimos alguna de las dos ecuaciones y decidimos cuál es la incógnita que vamos a despejar:
En este caso, elegimos la ecuación 1 y despejamos la
incógnita “y” (es elección personal, se pudo haber escogido
la “x”).
Ahora veamos este otro método. Para poder resolver por este método, hacemos lo siguiente:
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PASO 2: Quedándonos de la siguiente manera:
Empezamos a despejar.
¡ENCONTRAMOSEL
VALORDE“y”!
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PASO 3: En este paso lo que haremos es SUSTITUIR el valor encontrado en la otra ecuación (en este caso es en la ecuación 2), quedándonos de la siguiente manera:
Sustituimos el valor de “y”, es decir, el de la
ecuación despejada.
Realizamos las operaciones.
Multiplicamos y aplicamos las
leyes de los signos
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Retomando lo anterior:
Realizamos las operaciones.
Aplicando las leyes de los signos y las
operaciones inversas para
poder despejar.
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Retomando lo anterior:
Seguimos realizando las operaciones
correspondientes. En este caso
convertimos los entero en su
fracción equivalente, como
están partidos por la mitad, entonces los
convertimos en medios y así es más fácil sumar o restar los numeradores, ya que contamos con
el mismo denominador.
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Retomando lo anterior:
¡ENCONTRAMOSEL
PRIMER VALOR!
Introducimos su inverso,
aplicamos las leyes de lo
signos y eliminamos.
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PASO 4: Ahora, en este paso lo que haremos es
SUSTITUIR el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones (en este caso lo haremos en la ecuación 1), quedándonos de la siguiente manera:
Una vez sustituido el valor de “x” en
la ecuación; realizamos las operaciones
correspondientes, en este caso,
multiplicamos.
Aplicamos las operaciones
inversas y las leyes de los signos para
poder despejar.
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Solo nos resta comprobar los
resultados
¡ENCONTRAMOSEL
SEGUNDO VALOR!
Retomando lo anterior, proseguimos:
Hemos encontrado el precio correspondiente al kilo de huevo y al kilo de jitomate.
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PASO 5: Teniendo ya como resultado los dos valores, entonces elegimos una ecuación y sustituimos los valores para COMPROBAR los resultados. Elegiremos la ecuación 1:
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
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MÉTODOGRÁFICO
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MÉTODO GRÁFICO
Para este método se requiere hacer lo siguiente:
PROCEDIMIENTO
PASO 1: En ambas ecuaciones, despejamos la variable dependiente, “y”. Así pues: Empezaremos a
despejar el término
independiente, “pasándolo” al otro lado de la
igualdad.
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Así queda despejada la primera ecuación, que nos servirá para nuestros pasos siguientes.
Ahora despejemos la otra ecuación.
Retomando lo anterior, proseguimos:
Introducimos su inverso al 4 y eliminamos.
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Así, ya tenemos despejadas ambas ecuaciones que, nos servirán para el próximo paso.
Introducimos su inverso al 3x, que
es -3x y eliminamos.
Introducimos su operación inversa al 5 y eliminamos.
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PASO 2: Ya una vez teniendo despejadas las ecuaciones, TABULAMOS. Le damos valores a “x” (digamos de -3 a + 3).
De la ecuación
x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
Empezamos a sustituir y hacer las operaciones
correspondientes. Teniendo lo siguiente:
Y así hacemos con todos los valores de “x”; sustituyendo
por -2, -1, 0, 1, 2 y 3. Hacemos las operaciones,
encontramos el valor correspondiente al valor
sustituido y se COMPLETA LA TABLA. Tenemos:
Multiplicamos: menos por menos es + y 10 por 3 es
30; y tenemos:
Este valor lo
colocamos en la tabla.
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Ahora, haremos lo mismo con la ecuación
Empezamos a sustituir, para ir rellenando
la tabla. Teniendo lo siguiente: x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
Este valor lo
colocamos en la tabla.
Y así hacemos con todos los valores de “x”; sustituyendo por -2, -1, 0, 1, 2 y 3.
Hasta COMPLETAR LA TABLA.
Multiplicamos: menos por
menos es más y 3 por 3 es 9.
Así, pues, tenemos:
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De la tabla, sacamos las coordenadas.
Así, pues, tenemos:
Así, pues, tenemos:
Hacemos lo mismo con esta otra
tabla:
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PASO 3: Ahora que ya tenemos las dos tablas, hay que GRAFICAR (para esto utilizamos un plano cartesiano), quedándonos de la siguiente manera:
Se unen los puntos de la ecuación 1con una recta.
Se unen los puntos de la ecuación 2con una recta.
Cuando no se unen las rectas;
entonces se alargan las rectas hasta que logren cruzarse ambas (extrapolamos).
Cuando se unen, llegamos al resultado.
(5,3)
Ubicamos las
parejas de
coordenadas
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PASO 4: Nos resta COMPROBAR nuestro resultado:
(5,3)
Hay que recordar que, un punto en el plano cartesiano está dado por:
P (x,y)
Por tanto, de acuerdo con lo anterior tenemos:
x = 5
y = 3
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Para comprobar, vamos a tomar la ecuación 2 y verifiquemos:
3x + 5y = 30
3(5) + 5(3) = 30
15 + 15 = 30
30 = 30
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
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MÉTODODE SUMAY RESTA
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MÉTODO POR SUMA Y RESTA
Este método también se llama “POR ELIMINACIÓN”.
Para este método se requiere hacer lo siguiente:
PROCEDIMIENTO PASO 1: Tomamos ambas ecuaciones:
Elegimos que incógnita eliminar, ya sea “x”, o “y” (es elección personal).
1
2
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En este caso elegiremos a “x”.NOTA:
Para poder eliminar un número, necesitamos su contrario para lograrlo; por ejemplo: Si tengo “5”, necesito un “– 5” para que nos de “0”.
En nuestro problema, tenemos que tener un mismo número, en su acepción positiva y negativa. En este caso, para lograrlo, necesitamos hacer lo siguiente:
Los números que acompañan a “x”, son: 10 y 3, en ambas ecuaciones; entonces lo que haremos es tomar el 10 de la ecuación 1 y lo vamos a multiplicar a toda la ecuación 2.
Y el 3 de la ecuación 2 y vamos a multiplicar a toda la ecuación 1 (es decir, multiplicamos cruzado los valores, nada más procurando que quede un positivo y
otro negativo). Nos resta por elegir, cuál de los dos será el negativo. Elegiremos el 10,
quedándonos como – 10. Así pues, tenemos lo siguiente:
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Quedándonos de la siguiente manera:
Multiplicamos el 3 por cada
uno de los términos de la
ecuación.
Hacemos lo mismo con la otra ecuación, pero
ahora con – 10.
Realizamos las multiplicaciones
correspondientes a cada ecuación,
las vamos a colocar en la parte
inferior.
PASO 2: Realizamos las operaciones:
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Retomando la última operación, tenemos:
Ahora, aplicamos las operaciones
aditivas o sustractivas,
dependiendo de la situación. Es en
este, donde eliminamos la “x” y
despejamos la variable que nos
queda. Aquí, no se nos olvide aplicar las leyes de los signos para la
suma y la multiplicación, y las
operaciones inversas para poder realizar el despeje.
¡ENCONTRAMOSEL
PRIMER VALOR!
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PASO 3: SUSTITUIMOS el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones originales, para poder encontrar la otra incógnita. Escogemos la ecuación 2, teniendo lo siguiente:
2Realizamos la
sustitución y las operaciones
correspondientes. Despejaremos la otra incógnita y obtendremos el
otro valor.
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Retomando la última operación, tenemos:
¡ENCONTRAMOSEL
SEGUNDO VALOR!
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PASO 4: Nos resta por COMPROBAR en alguna de las dos ecuaciones, los valores encontrados; tomemos la ecuación 1 y verifiquemos:
10x + 4y = 62
10 (5) + 4 (3) = 62
50 + 12 = 62
62 = 62
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
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MÉTODO POR
DETERMINANTES
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MÉTODO POR DETERMINANTES
También se como conoce como “Regla de Cramer”.
Veremos a continuación este otro método para darle solución a un sistema de ecuaciones de 2x2.
Para este, primero veremos las formas generales que lo representa, para después solamente tomarlos y sustituir.
Relativamente, este es menos “tedioso” que los otros.
Veámoslo:
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FORMAS GENERALES
Partamos de la forma general para un sistema de ecuaciones de 2x2:
Donde: “x” y “y”, son las incógnitas y “a”, “b”, “c”, “d”, “r” y “s”, son
número reales.
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Así, pues, tenemos lo siguiente:No vamos a detenernos en cómo se llegan
a las formas generales, solamente las mencionaremos.
Necesitamos tener el DETERMINANTE GENERAL, éste es el siguiente:
Para resolverlo, solamente se multiplica cruzado, dándonos como resultado lo siguiente:
Lo único que le falta es que, esta operación se resta, así pues,
queda como se muestra:
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Ahora, necesitamos sacar el determinante de la variable “x”, ésta se saca de la siguiente forma:
Y el determinante de la variable “y”, ésta se saca de la siguiente forma:
![Page 53: MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/558d0faad8b42aff328b462c/html5/thumbnails/53.jpg)
Podemos simplificarlo de la siguiente forma:
Ahora, nos resta regresar a nuestro problema, tomar ambas ecuaciones y sustituir para encontrar sus valores:
![Page 54: MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/558d0faad8b42aff328b462c/html5/thumbnails/54.jpg)
Los valores correspondientes a cada letra son:
a = 10
b = 4
c = 3
d = 5
r = 62
s = 30
Así, pues, tenemos lo siguiente:
![Page 55: MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/558d0faad8b42aff328b462c/html5/thumbnails/55.jpg)
PROCEDIMIENTO
PASO 1: Calculamos el determinante general, quedándonos de la siguiente manera:
PASO 2: Ahora, calculemos el determinante “x”:
![Page 56: MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/558d0faad8b42aff328b462c/html5/thumbnails/56.jpg)
PASO 3: Ahora, calculemos el determinante “y”:
PASO 4: Una vez teniendo ya los resultados, los SUSTITUYO en las formas generales para “x” y para “y”:
![Page 57: MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/558d0faad8b42aff328b462c/html5/thumbnails/57.jpg)
PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:
¡EUREKA!¡ESTAMOS
BIEN!¡Y POR FIN
TERMINAMOS!
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