metodos estadisticos_unidad i

MTODOSESTADSTICOS

CARRERA DE INGENIERA CIVIL INDUSTRIAL PCE

Radomiro Corts GmezEstadstico

Licenciado en MatemticasIngeniero [email protected]

MTODOSESTADSTICOS

UNIDAD I

VARIABLES ALEATORIASCARRERA DE INGENIERA CIVIL INDUSTRIAL PCE

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS

1.- CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

En probabilidad y estadstica, una variable aleatoria ovariable estocstica es una variable estadstica cuyosvalores se obtienen de mediciones en algn tipo deexperimento aleatorio. Formalmente, una variablealeatoria es una funcin, que asigna eventos a nmerosreales.

Una variable aleatoria (v.a.) X es una funcin real definidaen el espacio muestral, , asociado a un experimentoaleatorio.


2.- TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS

Para comprender de una manera ms amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definicin de conjunto discreto.

Un conjunto es discreto si est formado por un nmero finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y as sucesivamente

Por otro lado, un conjunto es continuo si esta formado por un conjunto de posibles dentro de un intervalo de nmeros reales (infinito).


2.1 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto.

EXPERIMENTO VARIABLE ALEATORIA POSIBLES RESULTADOS

LANZAR UN DADO SALGA UN NMERO PAR 1,2,3,4,5,6

INSPECCIONAR UN EMBARQUE DE 20 TV

CANTIDAD DE DEFECTUOSOS 0,1,2, . 20

ALMUERZOS QUE SE VENDEN EN UN RESTAURANTE

CANTIDAD DE CLIENTES 0,1,2,3,

VENDER UN AUTO GENERO DEL CLIENTE 0: HOMBRE ; 1: MUJER


2.2 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de nmeros reales

EXPERIMENTO VARIABLE ALEATORIA POSIBLES RESULTADOS

FUNCIONAMIENTO DE UN BANCO

TIEMPO EN MINUTO, ENTRE LLEGADA DE

CLIENTEX 0

LLENAR UNA LATA DE BEBIDA (max 350 cc)

CANTIDAD DE cc 0 X 350

PROYECTO CONSTRUCCION DEL

HOSPITAL

PORCENTAJE DE TERMINACION 0 X 100

ENSAYO QUIMICO T REACCION (25C 47C) 25 X 47


3. MODELOS CONTINUOS

Como objetivo es introducir las distribuciones continuas mas importantes:

3.1.- Distribucin Uniforme3.2.- Distribucin Exponencial3.3.- Distribucin Normal


3.1.- DISTRIBUCIN UNIFORME

Supongamos que una variable X puede tomar valores al azar en un rango (a, b).

En este caso, se dice que X tiene una distribucin uniforme entre a y b y se escribe:

X U(a, b)

En este caso, la probabilidad de que X caiga en cualquier zona es la misma, y entonces la funcin de densidad es constante.

P(X x) =

()

=


3.1.- DISTRIBUCIN UNIFORME

La funcin de densidad de la v.a.c. X en el intervalo es:

; , =1

Las Propiedades de esta Distribucin: Esperanza (Media), Varianza, Desviacin Tpica

=

; =

; =


3.1.- DISTRIBUCIN UNIFORME (Ejemplo)

Supongamos que se debe reservar una sala de videoconferencias para cierta asignatura por no ms de cuatro horas. Sin embargo, el uso de la sala es tal que muy frecuentemente tienen lugar videoconferencias largas y cortas.a) Cul es la funcin de densidad de probabilidad?,b) Cul es la probabilidad de que cualquier videoconferencia dadadure al menos tres horas?



Supongamos que se debe reservar una sala de videoconferencias para cierta asignatura por no ms de cuatro horas. Sin embargo, el uso de la sala es tal que muy frecuentemente tienen lugar videoconferencias largas y cortas.a) Cul es la funcin de densidad de probabilidad?,b) Cul es la probabilidad de que cualquier videoconferencia dadadure al menos tres horas?

De hecho, se puede suponer que la duracin X de una

videoconferencia tiene una distribucin uniforme en el intervalo

[0,4].



a) Cul es la funcin de densidad de probabilidad?,

La funcin de densidad apropiada para la v.a.c. X en estasituacin es f(x)=1/4, cuando x pertenece a [0,4] y cero en otrocaso.



b) Cul es la probabilidad de que cualquier videoconferencia dadadure al menos tres horas?


3.1.- DISTRIBUCIN UNIFORME (Ejemplo 2)

Una variable aleatoria se distribuye uniformemente en el intervalo [0 , 100].a) Calcule la probabilidad de que su valor est comprendido entre 20 y 35.b) Determine su esperanza y varianza.


3.1.- DISTRIBUCIN UNIFORME (Ejemplo 2)

Una variable aleatoria se distribuye uniformemente en el intervalo [0 , 100].a) Calcule la probabilidad de que su valor est comprendido entre 20 y 35.

b) Determine su esperanza y varianza.

Pr(20 X 35) = Pr(X 35) - Pr(X 20) = F(35) - F(20) = 0,15

REPASO DE DISTRIBUCIN

Las distribucin de Poisson se realiza cuando el experimento se realiza en un nmero "n" muy elevado de veces y la probabilidad de xito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson:

Se tiene que cumplir que:

" p " < 0,10

" p * n " < 10

DISTRIBUCIN DE POISSON


Las distribucin de Poisson esta dado por la siguiente formula:

Donde:

= 2,71828 = n*p (numero de veces que se realiza el experimento por la probabilidad de xito (p)).k = es el nmero de xitos de cuya probabilidad se esta calculando

DISTRIBUCIN DE POISSON


La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?

DISTRIBUCIN DE POISSON (EJEMPLO)



Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson.




Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson.

Donde:

= 2,71828 = 300*0,02 = 6

k = 3





Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9%


4.- DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Supongamos que queremos estudiar la distribucin del tiempo Yentre un suceso y el siguiente.En este caso, la distribucin de Y es una distribucin exponencial con parmetro .

Y tiene una distribucin exponencial con parmetro si

f(y) = ey

para 0 < y .

En este caso se escribe Y ().



Las Propiedades de esta Distribucin: Esperanza (Media), Varianza, Desviacin Tpica

=

; =

; =


4.- DISTRIBUCIN EXPONENCIAL (Ejemplo)

El tiempo T entre llegadas sucesivas de coches a un punto en la carretera se distribuye como una exponencial con parmetro = 0,01 segundos.

1) Hallar la media y varianza de T.

2) Un viejecillo empieza a cruzar la calle inmediatamentedespus de que un coche pasa por all. Si tarda 50 segundos en cruzar la calle, cul es la probabilidad de que le atropella la siguiente coche que pasa (suponiendo que no para, igual que la mayora de conductores chilenos)?

3) Cul es la probabilidad de que en un minuto no llegue ningn coche?



E[T]=1/0,01 = 100 y V [T]=1/0,012 = 10.000.



Sea X el nmero de coches que llegan en un minuto. La distribucin de X es Poisson:

X P(60 0,01) = P(0,6).

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS5.- DISTRIBUCIN NORMAL

Es el modelo de distribucin ms utilizado en la prctica, ya que multitud de fenmenos se comportan segn una distribucin normal.

Esta distribucin de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribucin:

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS5.- DISTRIBUCIN NORMAL. Cont.

Un 50% de los valores estn a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda

Esta distribucin viene definida por dos parmetros:

X : N (, 2)

: es el valor medio de la distribucin y es precisamente donde se sita el centro de la curva (de la campana de Gauss). 2 : es la varianza. Indica si los valores estn ms o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores estn prximos a la media; si es alta, entonces los valores estn muy dispersos.

Cuando la media de la distribucin es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucin.

Adems, toda distribucin normal se puede transformar en una normal tipificada:

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS5.- DISTRIBUCIN NORMAL. Cont.

Una variable aleatoria sigue el modelo de una distribucin normal con media 10 y varianza 4. Transformarla en una normal tipificada.

X: N (10, 4)

Para transformarla en una normal tipificada se crea una nueva variable (Y) que ser igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviacin tpica(que es la raz cuadrada de la varianza)

En el ejemplo, la nueva variable sera:

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, permitindonos, por tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada valor.

Y: N (0, 1)

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS5.1.- DISTRIBUCIN NORMAL. (EJEMPLO)

El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye segn una distribucin normal, con media 5 millones de pesos. y desviacin tpica 1 milln de pesos. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de pesos.



Lo primero que haremos es transformar esa distribucin en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Y) que ser igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacin tpica



Lo primero que haremos es transformar esa distribucin en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Y) que ser igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacin tpica

En el ejemplo, la nueva variable sera:


Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada. La variable Y que corresponde a una variable X de valor 7 es:

Para encontrar esta probabilidad se debe consultarla tabla la probabilidad acumulada.



Para encontrar esta probabilidad se debe consultarla tabla la probabilidad acumulada.

X 0,00 0,010,0 0,5000 0,50400,1 0,5398 0,54380,2 0,5793 0,58320,3 0,6179 0,62170,4 0,6554 0,65910,5 0,6915 0,69500,6 0,7257 0,72910,7 0,7580 0,76110,8 0,7881 0,79100,9 0,8159 0,81861,0 0,8416 0,84381,1 0,8643 0,86651,2 0,8849 0,88691,3 0,9032 0,90491,4 0,9192 0,92071,5 0,9332 0,93451,6 0,9452 0,94631,7 0,9554 0,95641,8 0,9641 0,96491,9 0,9713 0,97192,0 0,97725 0,97778



Segn la tabla la probabilidad es 0,97725

Por lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de pesos. es del 97,725%.

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS5.2.- DISTRIBUCIN NORMAL. (EJEMPLO 2)

La renta promedio de los habitantes de un pas es de 4 millones de pesos/ao, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye segn una distribucin normal.

Calcular:

a) Porcentaje de la poblacin con una renta inferior a 3 millones de pesos.b) Renta a partir de la cual se sita el 10% de la poblacin con mayores ingresos.c) Ingresos mnimo y mximo que engloba al 60% de la poblacin con renta media.



Calcular:

a) Porcentaje de la poblacin con una renta inferior a 3 millones de pesos.b) Renta a partir de la cual se sita el 10% de la poblacin con mayores ingresos.c) Ingresos mnimo y mximo que engloba al 60% de la poblacin con renta media.

OJO: El dato indica la varianza, por lo que necesitamos la desviacin estndar.



Calcular:

a) Porcentaje de la poblacin con una renta inferior a 3 millones de pesos.



Calcular:


Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada:



Calcular:



P (X < 3) = P (Y < -0,817)




Ahora tenemos que ver cul es la probabilidad acumulada hasta ese valor.

Tenemos un problema: la tabla de probabilidades slo abarca valores positivos, no obstante, este problema tiene fcil solucin, ya que la distribucin normal es simtrica respecto al valor medio.Por lo tanto:

P (Y < -0,817) = P (Y > 0,817)

Por otra parte, la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100%) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor:

P (Y > 0,817) = 1 - P (Y < 0,817) = 1 - 0,7925 (aprox.) = 0,2075

Luego, el 20,75% de la poblacin tiene una renta inferior a 3 millones pesos.


b) Renta a partir de la cual se sita el 10% de la poblacin con mayores ingresos.

Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sita el 10% superior.

Buscamos en la Tabla la probabilidad que mas se acerca a 0,9 y asignamos el valor para ese X



X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5723

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7090 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7813 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8416 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

Buscamos en la Tabla la probabilidad que mas se acerca a 0,9 y asignamos el valor para ese X, quedando los valores del verde: 1,2 + 0,09 = 1,29



Ese valor corresponde a Y = 1,29 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:

Despejando X, su valor es 5,58. Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores a 5,58 millones de pesos. constituyen el 10% de la poblacin con renta ms elevada.


c) Ingresos mnimo y mximo que engloba al 60% de la poblacin con renta media.

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS5.2.- DISTRIBUCIN NORMAL. EJEMPLO 2)


Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Y cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor de Y hay un 30% de probabilidad.




Por otra parte, al ser la distribucin normal simtrica, entre -Y y la media hay otro 30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Y, Y) engloba al 60% de poblacin con renta media.




Por otra parte, al ser la distribucin normal simtrica, entre -Y y la media hay otro 30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Y, Y) engloba al 60% de poblacin con renta media.

El valor de Y que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842 (aprox.), por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de Y.

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS5.2.- DISTRIBUCIN NORMAL. (EJEMPLO2)


Los valores de X son 2,97 y 5,03. Por lo tanto, las personas con ingresos superiores a 2,97 millones de pesos. e inferiores a 5,03 millones de pesos. constituyen el 60% de la poblacin con un nivel medio de renta.


La vida media de los habitantes de un pas es de 68 aos, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequea ciudad de 10.000 habitantes:

a) Cuntas personas superarn previsiblemente los 75 aos?b) Cuntos vivirn menos de 60 aos?



a) Personas que vivirn (previsiblemente) ms de 75 aos

Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 aos

Por lo tanto

P (X > 75) = (Y > 1,4) = 1 - P (Y < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

Luego, el 8,08% de la poblacin (808 habitantes) vivirn ms de 75 aos.



b) Personas que vivirn (previsiblemente) menos de 60 aosCalculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 aos

Por lo tanto

P (X < 60) = (Y < -1,6) = P (Y > 1,6) = 1 - P (Y < 1,6) = 0,0548

Luego, el 5,48% de la poblacin (548 habitantes) no llegarn probablemente a esta edad.


RESP: La probabilidad de que el tiempo de reaccin se encuentre entre 1 y 1,75 segundos es de un 56,53%

UNIDAD I: VARIABLES ALEATORIAS6.- DISTRIBUCIN CONJUNTA DE VARIABLES ALEATORIAS

Cuando tenemos dos variables aleatorias X e Y, si queremos estudiarlas conjuntamente debemos establecer una relacin que ligue los valores de una con los de la otra. Esta relacin podr ser lgica o no, til o no, en cualquier caso, dadas dos variables cualesquiera y una relacin que las ligue se puede pensar en realizar un estudio estadstico conjunto, es decir, aun cuando en la prctica slo se utilicen variables unidas por nexos lgicos, desde un punto de vista puramente terico, toda relacin imaginable puede ser estudiada.

As pues, en una situacin como esta, para variables discretas, se puede establecer una funcin de probabilidad para las posibles parejas de valores de ambas variables; a esta funcin se le llama funcin de probabilidad conjunta, f(x,y).

Una funcin de probabilidad conjunta de las variables X e Y es una funcin de las dos variables tal que, al sustituir la x por un valor de la variable X y la y por un valor de la variable Y, el valor de la funcin nos da la probabilidad de que X e Y tomen simultneamente esa pareja de valores anteriormente citados.


Las propiedades que debe cumplir la funcin de probabilidad conjunta son:

1. Como consecuencia del primer axioma.

2. Como consecuencia del segundo axioma.3. Por definicin.

Donde X x Y es el producto cartesiano de X por Y, o sea, el conjunto de todos las parejas de valores x,y .


Si X e Y son variables continuas, la funcin que se define es una funcin de densidad conjunta y es una funcin que al integrarla respecto de x e y sobre unos intervalos nos d la probabilidad de que la variable tome valores en esos intervalos.

Que debe de cumplir unas condiciones similares a las anteriores:

1. Como consecuencia del primer axioma.

2. Como consecuencia del segundo axioma.

3. Por definicin.

metodos estadisticos_unidad i

Documents