microeconomia a iii prof. edson domingues aula 11 teoria dos jogos – estratégias mistas
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Microeconomia A III
Prof. Edson Domingues
Aula 11Teoria dos Jogos – Estratégias Mistas
Referências VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2003. (tradução da sexta edição americana) – cap 28
e 29.
PINDYCK, R. S., RUBINFELD, D.L. Microeconomia. São
Paulo: Prentice Hall, 2002. (quinta edição). cap. 13
FIANI, R. Teoria dos Jogos: para cursos de administração e
economia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004.
BERNI, D. A. Teoria dos Jogos: jogos de estratégia, estratégia
decisória, teoria da decisão. Rio de Janeiro: Reichmann e
Affonso Ed., 2004.
Estratégias Puras B
A
Existe algum equilíbrio de Nash emestratégia pura?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Estratégias PurasB
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Estratégias PurasB
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Estratégias PurasB
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Estratégias PurasB
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não.
(D,R) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Estratégias PurasB
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não.(D,R) é um equilíbrio de Nash? Não.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Estratégias PurasB
A
Jogo não possui equilíbrio de Nash deEstratégia pura. Apesar disso, o jogo possuium equilíbrio de Nash, mas de estratégiasmistas.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Estratégias Mistas
Ao invés de jogar puramente U ou D, Jogador A seleciona uma distribuição de probabilidade (U,1-U), significando que com probabilidade U o Jogador A jogará U e com probabilidade 1-U jogará D.
Jogador A está misturando suas estratégias puras U e D.
A distribuição de probabilidade (U,1-U) é a estratégia mista do Jogador A.
Estratégias Mistas
Similarmente, Jogador B seleciona uma distribuição de probabilidade (L,1-L), significando que com probabilidade L o Jogador B jogará L e com probabilidade 1-L jogará R.
Jogador B está misturando suas estratégias puras L e R.
A distribuição de probabilidade (L,1-L) é a estratégia mista do Jogador B.
Estratégias Mistas
A
Este jogo não possui um equilíbrio de Nash de estratégia pura mas tem um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Como se calcula?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
B
Estratégias Mistas
A(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
B
Estratégias Mistas
A
Se B joga L, seu retorno esperado é
2 5 1 U U ( )
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
B
Estratégias Mistas
A
Se B joga L, seu retorno esperado é
Se B joga R, seu retorno esperado é2 5 1 U U ( ).
4 2 1 U U ( ).
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
B
Estratégias Mistas
Player A
2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Se entãoB só jogaria L. Mas não existe equilíbrio deNash no qual B joga apenas L.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
Player B
Estratégias Mistas
A
2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Se então
B só jogaria R. Mas não existe equilíbrio deNash no qual B joga apenas R.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
B
Estratégias Mistas
A
Então, para que exista eq. de Nash , Bdeve estar indiferenta entre jogar L ouR; i.e.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )
B
Estratégias Mistas
A
Então, para que exista eq. de Nash , Bdeve estar indiferenta entre jogar L ouR; i.e. 2 5 1 4 2 1
3 5
U U U U
U
( ) ( )
/ .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
B
Estratégias Mistas
A
Então, para que exista eq. de Nash , Bdeve estar indiferenta entre jogar L ouR; i.e. 2 5 1 4 2 1
3 5
U U U U
U
( ) ( )
/ .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L,L R,1-L
53
52
B
Estratégias Mistas
A(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
53
52
B
Estratégias Mistas
A
Se A joga U seu retorno esperado é
.)1(01 LLL
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
53
52
B
Estratégias Mistas
A
Se A joga U seu retorno esperado é
Se A joga D seu retorno esperado é
).1(3)1(30 LLL
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
53
52
.)1(01 LLL
B
Estratégias Mistas
L L 3 1( )Se então A jogaria apenas U.
Mas não existe equilíbrio deNash no qual A joga apenas U.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
53
52
B
Estratégias Mistas
A
Se
Mas não existe equilíbrio deNash no qual A joga apenas D.
L L 3 1( ) então A jogaria apenas D.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
53
52
B
Estratégias Mistas
A
Então, para que exista eq. de Nash , Adeve estar indiferente entre jogar U ouD; i.e. L L 3 1( )
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
53
52
B
Estratégias Mistas
A
Então, para que exista eq. de Nash , Adeve estar indiferente entre jogar U ouD; i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
53
52
B
Estratégias Mistas
A
Então, para que exista eq. de Nash , Adeve estar indiferente entre jogar U ouD; i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L, R,
U,
D,
53
52
43
41
B
Estratégias Mistas
B
A
Então o único equilíbrio de Nash é o jogador A jogando a estratégia mista (3/5, 2/5) e o jogador B com a estratégia mista (3/4, 1/4).
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
53
52
L, R,43
41
Estratégias Mistas
B
A
Os retornos serão (1, 2) com probabilidade35
34
920
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L, R,43
41
53
52
9/20
Estratégias Mistas
B
A
Os retornos serão (0, 4) com probabilidade35
14
320
(0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20
Estratégias Mistas
Player B
Player A
Os retornos serão (0, 5) com probabilidade25
34
620
(0,4)
(0,5)
U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20
6/20(3,2)
Estratégias MistasB
A
Os retornos serão (3, 2) com probabilidade25
14
220
(0,4)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Estratégias Mistas
B
A
(0,4)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Estratégias MistasB
A
O retorno esperado de eq de Nash para A é
1920
03
200
620
32
2034
.
(0,4)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Estratégias MistasB
A
O retorno esperado de eq de Nash para A é
1920
03
200
620
32
2034
.
O retorno esperado de eq de Nash para B é
2920
43
205
620
22
20165
.
(0,4)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Quantos equilíbrios de Nash?
Um jogo com número finito de jogadores, cada um com um número finito de estratégias puras, possui pelo menos um equilíbrio de Nash.
Portanto se o jogo não possui equilíbrio de Nash de estratégia pura, então ele deve ter pelo menos um equilíbrio de Nash de estratégia mista.
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Chutador
Competição: retornos opostos em cada combinação.Retornos representam pontos do Chutador, e respectiva perda para o Goleiro.Chance de gol é melhor com escolhas opostas.Chance de defesa é melhor com escolhas (E,E) ou (D,D).Chutador é melhor com a esquerda, para escolhas (E,E) ou (D,D).
(50,-50) (80,-80)
(90,-90) (20,-20)
E
D
E D
Goleiro
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Chutador
Não há equilíbrio de Nash em estratégias puras. Há equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Qual a razão para os jogadores adotarem estas estratégias?
(50,-50) (80,-80)
(90,-90) (20,-20)
E
D
E D
Goleiro
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Chutador
Para que exista eq. de Nash , Goleirodeve estar indiferente entre E ou D; i.e.
7,0
)1(2080)1(9050
U
UUUU
(50,-50) (80,-80)
(90,-90) (20,-20)
E,U
D,1-U
E,L D,1-L
Goleiro
Chutador
Para que exista eq. de Nash , Chutadordeve estar indiferente entre E ou D; i.e.
6,0
)1(2090)1(8050
L
LLLL
(50,-50) (80,-80)
(90,-90) (20,-20)
E,U
D,1-U
E,L D,1-L
Goleiro
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Chutador(50,-50) (80,-80)
(90,-90) (20,-20)
E (
D (0,3)
E ( D (0,4)
GoleiroEstratégias Mistas – Jogos de Competição
O retorno esperado de eq de Nash para Chutador é
.622012,09018,08028,05042,0
O retorno esperado de eq de Nash para Goleiro é
.622012,09018,08028,05042,0
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta (Varian (2003), Capítulo 29.2*)
O retorno esperado de Coluna é
)1).(1(2. lccl
A variação do retorno esperado de Coluna é:
clcclcl )23(22*Tradução da 6.a edição americana
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
A variação do retorno esperado
é positiva quando 3l>2 e negativa quando 3l<2.Ganho de Coluna aumentará sempre que l>2/3 e reduzirá quando l<2/3. Portanto, Coluna aumentará c quando l>2/3, e diminuirá c quando l<2/3. Quando l=2/3, Coluna está indiferente.
cl )23(
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
A variação do retorno esperado
Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1.Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0.Quando l=2/3, Coluna está indiferente.
cl )23(
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1.Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0.Quando l=2/3, Coluna está indiferente.
2/31l
c1
Melhor respostade Coluna
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
O retorno esperado de Linha é
clclclclcl .1..2)1).(1(..2
A variação do retorno esperado de linha é:
lcclllc )13(...2
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
A variação do retorno esperado
é positiva quando 3c>1 e negativa quando 3c<1.Ganho de linha aumentará sempre que c>1/3 e reduzirá quando c<1/3. Portanto, linha aumentará l quando c>1/3, e diminuirá l quando c<1/3. Quando c=1/3, linha está indiferente.
lcclllc )13(...2
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
A variação do retorno esperado
Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1.Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0.Quando c=1/3, linha está indiferente.
lcclllc )13(...2
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
2/31l
c1
Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1.Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0.Quando c=1/3, linha está indiferente.
1/3
Melhor respostade Linha
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
2/31l
c1
1/3
Melhor respostade Coluna
Melhor respostade Linha
Quantos equilíbrios de Nash?
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
2/31l
c1
Intersecções são equilíbrios de Nash.Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras e um com estratégias mistas.
1/3
Melhor respostade Coluna
Melhor respostade Linha
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
2/31l
c1
Intersecções são equilíbrios de Nash.Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras (N1 e N2) e um com estratégias mistas (M).
1/3
Melhor respostade Coluna
Melhor respostade Linha
N1
N2
M
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
2/31l
c1
1/3
Melhor respostade Coluna
Melhor respostade Linha
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
N1
M
N2
O retorno esperado de Coluna é
3
2)
3
21).(
3
11(2
3
2.
3
1COLRE
O retorno esperado de Linha é clclclRELINHA .1..2
No equilíbrio de estratégia mista (M):
3
2
3
1.
3
2
3
1
3
21
3
1.
3
2.2 LINHARE
)1).(1(2. lcclRECOL
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
2/31l
c1
1/3
Melhor respostade Coluna
Melhor respostade Linha
Linha(2, 1) (0,0)
(0,0) (1,2)
E (l)
D (1-l)
E (c D (1-c)
Coluna
N1
M
N2
Retornos
Esperados Equilíbrios de Nash
N1 N2 M
Linha 1 2 2/3
Coluna 2 1 2/3
Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta
0,71U
1
Intersecções são equilíbrios de Nash.Neste caso: um equilíbrio de Nash de estratégia mista.(Varian 29.4)
0,6
Melhor respostado chutador
Melhor respostado Goleiro
D