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MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
MATEMÁTICAS
SEGUNDO TRIMESTRE
GUÍA DE APRENDIZAJE PARA 8 GRADO
TEMARIO:
OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS
SISTEMAS DE MEDIDA
LA CIRCUNFERENCIA
NOMBRES DE LOS PROFESORES
ISABEL FERNÁNDEZ
VILMA PRADO
RAQUEL ATENCIO
MARICELA MUÑOZ
MEDARDO NAVARRO
HARMODIO ARCHIBOLD
Material extraído de la Guía Didáctica el Mundo Maravilloso proporcionado por MEDUCA
OCTUBRE 2020.
1
CORREOS ELECTRÓNICOS DE LOS PROFESORES DE OCTAVO GRADO.
ISABEL FERNÁNDEZ: [email protected]
VILMA PRADO: [email protected]
RAQUEL ATENCIO: [email protected]
MARICELA MUÑOZ: [email protected]
MEDARDO NAVARRO: [email protected]
HARMODIO ARCHIBOLD: [email protected]
2
Contenido
B. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ......................................................... 4
Multiplicación con Expresiones Algebraica .................................................................................................................. 4
1. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. ....................................................................................................................... 5
ACTIVIDAD N°1 ...................................................................................................................................................... 5
ACTIVIDAD N°2 ...................................................................................................................................................... 6
ACTIVIDAD N° 3 ........................................................................................................................................ 8
TALLER DE MATEMÁTICA N° 1 ................................................................................................................................. 9
ACTIVIDAD N°4 .................................................................................................................................................... 11
TALLER DE MATEMÁTICAS N°2 ............................................................................................................................. 12
2. DIVISION DE MONOMIOS...................................................................................................................................... 13
Actividad #5. Divide las siguientes cantidades, aplicando la ley de los signos .......................................................... 13
Actividad #6. Aplica las leyes de los exponentes en los siguientes ejercicios ................................................ 14
DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS .................................................................................................................................. 15
Actividad #7. Divida los Monomios............................................................................................................................ 15
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO ......................................................................................... 16
Actividad #8. Escribe sobre la raya la respuesta correcta ........................................................................................... 16
TALLER DE MATEMÁTICA N° 3 ............................................................................................................................... 18
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDAD DE MEDIDAS S.I. ............................................................................... 19
Actividad # 9 ............................................................................................................................................................... 22
TALLER DE MATEMÁTICAS N°4 .......................................................................................................................... 23
La circunferencia y el círculo .......................................................................................................................................... 24
Elementos de la circunferencia: ................................................................................................................................... 26
Rectas en la circunferencia ........................................................................................................................................... 28
..................................................................................................................................................................................... 29
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 10 ..................................................................................................................... 29
Área del círculo y longitud de la circunferencia ......................................................................................................... 30
Longitud de la circunferencia ........................................................................................................................................ 31
Actividad # 11 ............................................................................................................................................................. 32
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................................... 33
Correo Institucional de los Profesores: .............................................................................. ¡Error! Marcador no definido.
3
➢ Formar las bases del pensamiento lógico matemático para resolver situaciones y problemas en los diferentes
campos del saber humano.
➢ Diseñar la circunferencia y el círculo con sus elementos y ángulos utilizando el juego de geometría para
valorarlos en la construcción de figuras circulares
➢ Resolver operaciones con monomios y polinomios.
✓ Aprender a aprender: Muestra capacidad permanente para obtener y aplicar nuevos conocimientos y adquirir
destrezas.
✓ Matemáticas: Resuelve operaciones fundamentales con monomios y polinomios
✓ Autonomía e iniciativa personal: Manifiesta actitud perseverante hasta lograr las metas que se ha propuesto.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
4
B. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Multiplicación con Expresiones Algebraica
La multiplicación es una operación que tiene como objetivo, que dadas dos cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador, obtener una tercera llamada producto.
El multiplicando y multiplicador son llamados generalmente factores del producto.
Ejemplo:
(3)(5) = 15
Factores Producto
También podemos decir que el orden de los factores no altera el producto.
Ley de los exponentes
Para multiplicar potencias de
igual base se escribe la misma
base y se le suma los
exponentes de los factores.
(a³ )(a² )(a ) = a³⁺²⁺¹ = a⁶
Ley de los signos
(+)(+) = + (+)(-) = -
(-)(-) = + (-)(+) = -
RECORDEMOS
5
1. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
EJEMPLOS:
1). (2a³) (3a²) = (2)(3) ( a ³⁺² ) 2). (4aᵐbᵃ )(-6 aᵑ b³) = (4)(-6)(aᵐ⁺ᶯ bᵃ⁺³)
= + 6 a⁵ = - 24 aᵐ⁺ᶯ bᵃ⁺³
ACTIVIDAD N°1
Efectúe las siguientes multiplicaciones
1). (- 5a² y) (xy⁵) = 5). (9aᵑ x³ ) ( 6a³ ) =
2). (a² b³) (3a² b⁴ ) = 6). (10aᵐ b⁵) ( - 3a² b⁶) =
3). (- 4m²n ) (- 5m³n²p⁵ ) = 7). (- 8m² n²) ( - 3m³ n⁴) ( - 2m) =
4). (6a²b³x) (7b⁵ xᵑ) =
Multiplicación de monomios cuyos coeficientes son números Racionales
6
EJEMPLOS:
1). ( 2
3 a²) (
4
5a³ b³) = (
2
3) (
4
5) (a²⁺³ b³) 2). (
3
7 x² )( 8x⁴ ) = (
3
7)(8)( x²⁺⁴ )
= 8
15 a⁵ b³ =
24
7 x⁶
3). (3.4x⁴y⁵ )(2.5x²y ²) = (3.4)(2.5)( x ⁴⁺²y⁵⁺²) 4). (4.2a³bᶯ )*( 4
5a²b³ ) =(4.2)(
4
5)*(a³⁺²bᵑ⁺³)
3,4 x 2,5 = (4.2)(0.8) a⁵bᶯ⁺³
170 = 3.36 a⁵ bᶯ⁺³
68___
8,50 x6 y7
ACTIVIDAD N°2
MULTIPLICA LAS EXPRESIONES DADAS
1). ( 3
4x²y³ ) ( -
2
5 x ²y ) = 5). (3.3x⁴ ) (7.12 x⁵ ) =
2). ( - 2
11 a⁴b³ c² ) ( +
22
8 a²b⁶ )= 6). (5.3 aᵐ ) (
2
5 a⁴ ) =
3). (2.7 a²b³ ) ( 8 a ³b ²) = 7). ( - 12 x³ y⁵ ) ( - 6
9 x² ) =
4). ( - 3
5 m² ) ( - 5 m ) ( -
7
10 m⁴ ) =
7
2. MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Regla: Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la ley de los
signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.
Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación.
EJEMPLOS
1). (3x2-6x+7) (4ax2) = (3x2) (4ax2) - ( 6x) (4ax2) + ( 7) (4ax2 ) ,
= (3)(4) (ax²⁺²) - (6)(4)(ax¹⁺² ) + (7)(4)(ax² )
= 12ax4 - 24ax3 + 28ax2
2). ( 1
2 a -
2
3 b) (
2
5 a3 ) = (
1
2 a) (
2
5 a3 ) - (
2
3 b) (
2
5 a3)
= ( 1
2 )(
2
5 ) (a¹⁺³) - (
2
3)(
2
5) ( ba³)
= 1
5 a4 -
4
15 a3 b
3) (- 3a -5x) ( 3
10a² x³ ) = (- 3a)(
3
10 a²x³) - (5x)(
3
10 a² x³)
= - 9
10 a³ x ³ -
3
2 a² x⁴
simplificando en el primer término nos
queda y en el segundo como no
podemos simplificar, por lo cual
multiplicamos y resulta
como en cada término
tenemos una multiplicación
de monomios se procede
igual que el caso anterior,
8
ACTIVIDAD N° 3
Multiplicar monomios por polinomios
1). (4a - 5b + 7c) ( - 3
10 a)= 6). (a ) ( a - a + a ) =
2). (3x² y²) (y⁵ - 6y³ - 8y ) = 7). (4x² y³ + 3x³ -7xy² ) ( - 4x² y ²) =
3). ( aᵐ - 4a³ + 2a) ( -2a² ) = 8). ( 3
2 x7 -
1
12 x4 + 5 ) (
4
3 x) =
4) (- 6m³n²) (3m n - 8m ²n² ) =
5). ( - 14m⁴ n + 21m² – 2 n³) ( 3
7 m² n ) =
9
TALLER DE MATEMÁTICA N° 1
Nombre___________________________ 8°________ Fecha_______________ Vale 15 puntos.
I. Verdadero o Falso. Coloque una V delante de las proposiciones verdaderas y una F delante de las falsas. Vale
5 puntos.
• Al multiplicar (3x)( -8y) resulta – 24xy _____.
• En la multiplicación las variables de igual base se mantienen igual en la respuesta. _____.
• Al resolver 3x (4y + 2) = 3x(4y) + 3x (2 ) hemos aplicado la propiedad distributiva de la multiplicación.
_____.
• Sólo podemos multiplicar términos que sean semejantes. _____.
• Al multiplicar ( 5
4 mn ) ( - 4 m ) resulta -5m2 n _____.
II. RESUELVA LAS SIGUIENTES OPERACIONES. Vale 10 puntos.
A. ( - 2a 2 )( 3b ) ( - 8 ab ) = B. ( 3
4 m 2 ) ( -
8
9 mn ) =
C. ( 4,2 b3 ) ( - 1,8 b5 c ) = D. (- 3x) (5 x 4 y + 2 x ) =
E. ( 6
5 a 2 ) ( 10 a -
3
10 b ) =
10
3. MULTIPLICACIÒN DE POLINOMIO POR POLINOMIO
EJEMPLOS
1). (x-4) (x+3) = x(x) + x(3) - 4(x) - 4(3)
= x2 + 3x - 4x - 12
= x2 - x - 12
2). (5a + 4b) ( a + 2
3 ) = (5a)(a) +(5a)(
2
3 ) + (4b)(a) + (4b)(
2
3 )
= 5a ² + 10
3 a + 4ab +
8
3 b
3). (4x - 3y)( - 2y + 5x) = (4x)( -2y) + (4x)(5x) - (3y)( -2y) - (3y)(5x)
= - 8xy + 20x² + 6y² -15xy
= 20 x² - 23xy + 6y²
REGLA
Para multiplicar dos polinomios: cada uno de los términos del polinomio
multiplicando multiplica a todos los términos del polinomio multiplicador,
teniendo en cuenta la ley de los signos, y luego se reducen los términos
semejantes.
(ordenando en forma descendente)
11
ACTIVIDAD N°4
MULTIPLICAR LOS POLINOMIOS. GUÍESE POR LOS EJEMPLOS DADOS.
1) (2x + 3) ( 4x - 1) =
2) (3m3 - 4m + m2 - 1 ) ( m3 + 1) =
3) (x + 5) ( x - a) =
4) (4x³ -6x² + 3x ) ( - 3
8 x +
7
10 x ) =
5) (6m - 5n) ( -n + m) =
6) (5y² - 2y + 7) ( 3y⁴ - 2y²) =
7) (x2 + xy + y2 )( x – y) =
8) (m4 + m2n2 + n4 ) (m2 - n2 ) =
12
TALLER DE MATEMÁTICAS N°2
Nombre___________________________ 8°_______ Fecha_____________ Vale 35 puntos
RESUELVA LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES CON POLINOMIOS.
1) ( 5x – y ) ( - 2x + 8y ) =
2) ( - 6 a + 2 ) ( 4 a2 - 5 a + 3 ) =
3) ( 2x 3 - 6x 2 + x + 1 ) ( 4 x + 3 ) =
4) ( 2
3 x 2 -
1
6 ) (
3
2 x -5 ) =
Vale 7 puntos
Vale 10 puntos
Vale 13 puntos
Vale 5 puntos
13
2. DIVISION DE
MONOMIOS
Recordemos
LEY DE SIGNOS
)()(
)(+=
+
+ (–)
)(
(–)=
+
)((–)
(–)+= (–)
(–)
)(=
+
Ejemplos:
46
24= 7
4
28−=
− 10
2
20= 3
9
27−=
−
57
35=
−
− 8
2
16−=
− 8
8
64=
−
− 7
7
49−=
−
Actividad #5. Divide las siguientes cantidades, aplicando la ley de los signos
=3
12 =
−
6
36 =
8
72 =
−
6
54
=−
−
5
25 =
− 7
42 =
−
−
9
81 =
−3
36
Observa que: 3
12
es lo mismo que
escribir 312 es
decir toda fracción
indica una división.
14
LEYES DE LOS EXPONENTES
nmn
mb
b
b −=
Ejemplos:
3252
5xx
x
x== − 538
3
8xx
x
x== −
14102410
24bb
b
b== − 181735
17
35bb
b
b== −
Actividad #6. Aplica las leyes de los exponentes en los siguientes ejercicios
=3
7
x
x =
12
30
m
m
=8
10
x
x =
18
27
b
b
Ten presente:
La división de signos iguales da (+).
La división de signos diferentes da (–).
Recuerda siempre que la
división entre cero no
esta definida por ejemplo
las siguientes divisiones
no se pueden realizar:
0
4;
0
24;
0
7;
0
5
−
−
−
−
Ahora que ya
recordamos
estudiemos como
se dividen los
polinomios.
15
DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS
Para dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable según
la Ley de Exponentes.
Ejemplos:
5383
8x7x7
x5
x35== − 347
4
7x6x6
x8
x48−=−=
− −
37107
10x4x4
x6
x24==
−
− − 48128
12x9x9
x4
x36−=−=
−
−
53382532
85yx7yx7
yx9
yx63== −− 3471048
74
108yx5yx5
yx12
yx60−=−=
− −−
7351271057
1210yx7yx7
yx8
yx56==
−
− −−
yx11yx11yx11yx5
yx55 8182351325
313−=−=−=
−
−−
Actividad #7. Divida los Monomios
=3
5
x5
x25 =
−
10
12
x8
x80
=−
−
5
10
x7
x56 =
− 10
15
x9
x81
=42
75
yx7
yx28 =
−
56
510
yx4
yx28
=−
−
27
710
yx35
yx35 =
− 64
125
yx6
yx30
Todo número
diferente de cero
elevado a la cero es
1. Ejemplo:
5º = 1; 4º = 1; (-2)º =
1; 0º : indefinido
16
En la Región de
Mesopotamia, lo que
actualmente es Irak se han
encontrado tablillas para
dividir utilizadas por los
Babilonios del 2000 al 600
a.C.
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO
Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva:
m
c
m
b
m
a
m
cba++=
++
Ejemplos:
2
4
2
8
2
2
2
482++=
++
3
12
3
9
3
3
3
1293++=
++
6
24
6
12
6
2412−=
−
5
35
5
25
5
15
5
352515+−=
+−
723
10
3
4
3
5
3
1045x6x4x2
x2
x12
x2
x8
x2
x4
x2
x12x8x4++=++=
++
8535
13
5
10
5
8
5
13108x7x2x5
x7
x49
x7
x14
x7
x35
x7
x49x14x35+−=+−=
+−
54293
8
3
7
3
5
3
12
3
87512xx6x4x3
x9
x9
x9
x54
x9
x36
x9
x27
x9
x9x54x36x27−−−=−−−=
−−−
x4x12)x4(x12x2
x8
x2
x24
x2
x8x24 444
5
4
8
4
58+−=−−−=
−−
−=
−
−
12765
3
1310
3
78
3
131078yx2yx3
yx8
yx16
yx8
yx24
yx8
yx16yx24+=+=
+
Actividad #8. Escribe sobre la raya la respuesta correcta
=+=+
3
927
=++=++
4
8416
=+=−+
–6
24612
=+=−+
–x7
x28x21x148
151012
=−−
9
11109
x9
x54x27x18 _____ - ______ -_________
Sabías
que
17
=−+−
34
78731015
yx10
yx40yx30yx20 -______ + ______- _______
=−
−−
1042
147720105
zyx7
zyx56zyx35 _______ _____ _____
2.
=−
+
54
9988
yx8
yx32yx64____ _______
Por inscripciones que datan desde 3000 a.C.
sabemos que los egipcios tenían la
costumbre de expresar todas las fracciones
con numerador uno, por ejemplo escribieron:
12
1= ;
20
1=
Mientras que 2/5 y 5/6 respectivamente
como:
15
1
3
1+=
3
1
2
1+=
,
Sabías
que
18
TALLER DE MATEMÁTICA N° 3
Nombre___________________________ 8°________ Fecha_______________ Vale 15 puntos.
III. Verdadero o Falso. Coloque una V delante de las proposiciones verdaderas y una F delante de las falsas. Vale
5 puntos.
❖ Al dividir – 24x4y5 ÷ 6xy la respuesta es – 4xy3 ……………………………. _____
❖ Cuando se divide dos números negativos el resultado es positivo ……… ………_____
❖ Al dividir términos semejantes se restan los exponentes ……………………….. _____
❖ Al dividir 55xyz entre -5xyz el resultado es -11xyz …………………… _____
❖ Se divide coeficiente numérico entre factores literales ……………………. _____
IV. Resuelva las siguientes operaciones. Vale 10 puntos.
1) (21ab3)÷ (-3b) = 2) ( 45m5n4 ) ÷ ( 5mn) =
3) ( 12x3y3 - 6 x2y2 + 18xy ) ÷ - 6xy =
4) 24m5 – 32m7 + 16m9 – 28m3 =
4m3
4) 25m3p + 35m4q – 15m5r entre - 5m =
19
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDAD DE MEDIDAS S.I.
Hola.. hoy hablaremos sobre la conversión de unidades en matemática. No se pue de realizar una conversión de
unidades, sino tenemos la mínima idea de dónde vienen las unidades, cuáles son e incluso que tipo de unidades existen,
así que iremos poco a poco y resolveremos algunos ejemplos para que finalmente aprendamos a convertir unidades.
El Sistema Internacional de unidades se estableció en 1960 en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas ( CGPM
), se abrevia SI y es el sistema métrico moderno usado a nivel mundial.
Este sistema tiene su esencia y base el en el Sistema Métrico Decimal ( MKS ) y establece siete magnitudes
fundamentales:
Longitud metro ( m ) Intensidad de la corriente eléctrica amperio ( A )
Masa kilogramo ( kg ) intensidad luminosa candela ( cd )
Tiempo segundo ( s ) cantidad de sustancia mol (mol)
Temperatura kelvin ( K )
20
Para nuestro estudio, veremos detalladamente la magnitud de longitud, peso y tiempo:
LONGITUD
PESO
TIEMPO
Vías para conversión de unidades de múltiplos a submúltiplos y viceversa, para cualquier magnitud
UNIDAD
E
MÚ
LTIP
LOS
SUB
MÚ
LTIP
LOS
UNIDAD
x ÷
21
Ejemplo
1)Convertir 5 Dm a dm 2). Convertir 42 mm a m
1 Dm 10 m 1mm 0,001 m
5 Dm x 42 mm x
(X)(1 Dm) = (5 Dm)(10 m) (x)(1 mm) = (42)(0,001m)
x = (5Dm)(10m) (x) = (42mm)(0,001m)
1 Dm 1 mm
X = 50 m x = 0,042 m
1 1
X = 50 m x = 0,042 m
Vamos a convertir a dm
1 dm 0,1 m
X 50 m
(x)(0,1m) = (1dm)(50 m)
X = (1dm)( 50m)
0,1 m
X = 50 d m
0,1
X = 500 dm
22
Actividad # 9
I . Resuelve las siguientes conversiones.
1 ) 250m __________________ cm
2 ) 4,5 Km __________________ Hm
3) 1 500 cm ________________ m
4) 2 500 m _________________ Km
5) 4 500 cm ________________ mm
II . Resuelve las siguientes conversiones.
1 ) 7 horas _________________ minutos
2 ) 30 minutos ______________ segundos
3 ) 240 minutos _____________ horas
4 ) 720 segundos ____________ minutos
5 ) 3,5 horas ________________ segundos.
23
TALLER DE MATEMÁTICAS N°4
Nombre: __________________________ 8 ________ fecha: _________ Valor 25 puntos.
I . Resuelve las siguientes conversiones. 10 puntos.
1 ) 85 m _________________ Hm
2) 3,5 Km ________________ Dam
3 ) 3,2 m ________________ mm
4) 800 cm _______________ m
5 ) 300 dm ______________ cm
II . Resuelve los siguientes problemas de aplicación. Vale 15 puntos.
1 ) Un auto recorre de Panamá a Chorrera 7 500 m ¿Cuánto es la distancia en hectómetro?
2 ) El año pasado un pino medía 7,35 metros. Sandra dice que desde entonces ha crecido 15 centímetros, ¿Cuánto
mide árbol de pino en metros?
3 ) Se compran 13 dam de una tela y ya han entregado 114 dm ¿Cuántos dm faltan por entregar?
4 ) Se compran 7hm mas 15 dam de soga. ¿Cuantos metros de soga se compró?
5 ) Se compran 5 kg de carne en un supermercado y luego 3 h de carne. ¿Cuantos gramos de carne se ha comprado?
24
La circunferencia y el círculo
Contenidos:
Objetivo de aprendizaje:
• Diseña la circunferencia y el círculo con sus elementos y ángulos utilizando el juego de geometría para valorarlos en la construcción de figuras circulares.
Indicadores de Logros:
• Señala en forma correcta los elementos de la circunferencia y el círculo.
• Sustenta la diferencia entre una circunferencia y un círculo a través de su definición.
• Traza con precisión los elementos de la circunferencia y el círculo utilizando el juego de geometría.
• Traza con seguridad ángulos en un círculo utilizando el juego de geometría.
• Realiza taller de construcción de diferentes tipos de ángulos en un círculo.
• Elementos de la circunferencia
• Rectas en la circunferencia
• Figuras circulares
• Ángulos de la circunferencia
• Área del círculo y longitud de la circunferencia
25
Circunferencia:
La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos
puntos están a igual distancia de otro fijo, llamado centro.
Para dibujar circunferencias utilizamos el compás. La
circunferencia es la distancia alrededor del borde del
círculo.
Ejemplos de circunferencia: anillo, aro.
La medida de la circunferencia (su perímetro) dividida
entre su diámetro tiene un valor de 3,14159 … = 𝜋. Este
valor no varía, sin importar el tamaño de la circunferencia.
Círculo:
Es una figura plana limitada por una circunferencia. Está
formado por la circunferencia y la parte de plano que hay
dentro de ella.
El círculo es la superficie que queda limitada por la
circunferencia.
Ejemplos de círculo: moneda, disco
Elementos de la circunferencia
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Elementos de la circunferencia:
1. Centro: punto del cual equidistan todos los puntos que forman la
circunferencia.
2. Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la
circunferencia.
3. Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
4. Diámetro: cuerda que pasa por el centro y equivale a dos radios. Por lo
tanto, el diámetro = 2 x radio.
5. Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cualesquiera.
6. Semicircunferencia: arco igual a la mitad de la circunferencia.
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Rectas en la circunferencia
Posiciones de una
recta respecto a una circunferencia
Recta exterior a
una circunferencia
Recta secante a
una circunferencia
Recta tangente a
una circunferencia.
✓Es una recta que pasa fuera d ela circunferencia.
Es una recta que
corta a la circunferencia en
dos puntos.
Es la recta que
corta a la circunferencia en
un solo punto.
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 10
1. Menciona los elementos de la circunferencia y dibújalos.
2. Menciona los elementos del círculo y represéntalos en un dibujo.
3. ¿Cuáles son los tipos de rectas en una circunferencia?
4. Elabora un mapa mental con el tema de la circunferencia y el círculo.
Adjuntar sus respuestas en la entrega del módulo, recuerde
realizarlo a mano y utilice su juego de geometría.
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Área del círculo y longitud de la circunferencia
Área del círculo
El área del círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por pi:
Ejemplos:
1.
2. Obtener el área del siguiente círculo (la superficie amarilla).
𝐴 = 𝜋 𝑥 𝑟²
𝐴 = 3.14 ∙ 4²
𝐴 = 3.14 ∙ 16
𝐴 = 50.24 𝑐𝑚²
❖ Observa que el diámetro es 8, por lo tanto el radio es la mitad del diámetro, 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 4.
❖ El resultado lo puedes comprobar si sobre una hoja cuadriculada trazas el círculo que tenga un
diámetro de 8 cm. Al contar los centímetros cuadrados, te resulta la misma cantidad.
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Longitud de la circunferencia
Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la
circunferencia de la rueda.
La longitud de la circunferencia (o perímetro de una circunferencia) L es igual a dos veces el radio (r) por π, o
lo que es lo mismo, el diámetro (D) de la circunferencia por π.
Ejemplos:
1. Calcula la longitud de una circunferencia que tiene 20 𝑐𝑚 de radio.
𝐿 = 2 • 𝜋 • 20 → 125,66
Solución: la longitud de la circunferencia es 125,6
2. Calcula la longitud de dos circunferencias que tienen 30 𝑐𝑚 de diámetro, la primera, y 15 𝑐𝑚 de radio la
segunda.
Solución: el radio de la primera es la mitad del diámetro, es decir 15 𝑐𝑚. Por tanto, ambas tienen el mismo radio
y su longitud es:
𝐿 = 2 • 𝜋 • 15 → 94,25 𝑐𝑚.
3. Obtener el perímetro de la circunferencia del siguiente círculo (la longitud de la línea verde punteada).
𝐿 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝐿 = 2(3.14) ∙
4
𝐿 = 6.28 ∙ 4
𝐿 = 25.12 𝑐𝑚
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Actividad # 11
I. Resuelva los siguientes ejercicios en tu cuaderno de forma ordenada y aseada.
1. Calcula el área de un círculo cuyo radio es igual a 20 cm.
2. Calcula el perímetro de un círculo sabiendo que su diámetro es de 2 m.
3. El área de un círculo es de 25 cm². ¿Cuánto mide su perímetro?
4. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se
ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la
plataforma ha dado 50 vueltas.
5. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula
el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
6. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100
vueltas?
7. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la
longitud máxima en metros del arco correspondiente?
8. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
9. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma
circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Giménez, J., Abdounur, O. J., Badillo, E., Balbás, S., Corbalán, F., Dos Santos, J.
M., ... & Spinadel, V.
W. (2009). La proporción, arte y matemáticas. Barcelona:
Graó. Disponible en:
https://www.researchgate.net/profile/Joaquin_Gimenez/publication/268402342_
La_proporcion_arte_y_ matematicas/links/5615057208ae983c1b41c569/La-
proporcion-arte-y-matematicas.pdf
2. Circunferencia y Círculo. Disfruta las matemáticas. Recuperado el 4 de
abril de 2020. https://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/circulos.html
3. Cómo calcular el área y el perímetro de un círculo. 2017.
Ekuatio. Disponible en: https://ekuatio.com/como-calcular-el-area-y-el-
perimetro-de-un-circulo-ejercicios-resueltos/
4. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO. La escuela en casa. Disponible en:
http://laescuelaencasa.com/matematicas-2/geometria-basica/clase-2-la-
circunferencia-y-el-circulo/
5. La circunferencia y el círculo. Portal Educativo. Recuperado el 4 de abril de 2020.
Disponible en https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/760/Circulo-y-
circunferencia
6. Perímetro y área del círculo y circunferencia. Matematicas para ti. Recuperado el
4 de abril de 2020. Disponible en:
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/perimetro-y-area-del-circulo-
y-la- circunferencia/
7. Problemas y ejercicios de la circunferencia y el círculo.
Superprof. Disponible en:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/problem
as-y-ejercicios-de-la- circunferencia-y-el-circulo.html