MINISTERIO DE EDUCACION

CURSO DE POSTGRADO

TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA

ESPECIALIDAD: MATEMATICAMODULO No. 2: ESTUDIO DE FUNCIONES

Equipo de Formadores:Walter William Arana

Luis Edmundo RamırezRene Palacios

Jose Antonio HernandezMarıa Olga Quintanilla

Sonia MartınezNancy ReynosaUlises Lizama

Ingrid MartınezPedro Ramos

Walter Otoniel CamposCamilo Zamora

Nerys Funes TorresArmando Morales

Guadalupe GranadinoElida Figueroa

Martın MontoyaAna Luz Hernandez

Mauricio LovoMartın Enrique Guerra Caceres

Del 29 de noviembre al 10 de diciembre de 2010

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Indice

1. Introduccion 41.1. Metodologıa y objetivos del modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Introduccion historica al concepto de funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Analisis cualitativo del comportamiento de las graficas cartesianas 92.1. Lectura e interpretacion de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. ¿Son las graficas solamente dibujos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Dibujando graficas a partir de textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Diseno de graficas a partir de dibujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Llenando botellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Construyendo e interpretando graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7. Construccion de graficas a partir de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8. Caracterısticas de las graficas funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Modelos diversos de funciones elementales: primeras definiciones 323.1. Definicion de funcion y notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Funcion creciente, decreciente y constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Funcion sobreyectiva, inyectiva y biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Modelos diversos de funciones elementales: graficas de funciones basicas de referencia 404.1. Graficas de funciones lineales: f(x) = mx+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Graficas de funciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Graficas de funciones cubicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Grafica de la funcion raız cuadrada: f(x) =

√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5. Grafica de la funcion raız cuadrada negativa: f(x) = −√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6. Grafica de la funcion recıproca: f(x) =1

x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.7. Grafica de la funcion valor absoluto: f(x) = |x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8. Grafica de la funcion raız cubica: f(x) = 3

√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9. Grafica de la funcion maximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.10. Graficas de funciones definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.11. Grafica de una funcion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.12. Grafica de la funcion seno: f(x) = sin(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.13. Grafica de la funcion exponencial: f(x) = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.14. Grafica de la funcion logarıtmo: f(x) = log2(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.15. Grafica de la funcion : f(x) =1

x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Diversas formas de definir funciones: encontrando formulas 50

6. Propiedades de las funciones: analisis de su comportamiento 516.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7. Analisis del comportamiento grafico de una funcion usando transformaciones 567.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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8. Acomodos algebraicos de funciones para analizar el comportamiento grafico de una fun-cion 638.1. Graficas de funciones cuadraticas: f(x) = ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2. Graficas de funciones racionales: f(x) =ax+ b

cx+ d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9. Operaciones con funciones y composicion de funciones 649.1. Sumas, diferencias, productos y cociente de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.2. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.La funcion inversa y su comportamiento 6710.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.2. Dos problemas aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.La tasa de variacion o razon de cambio promedio de una funcion 7111.1. Comportamiento del crecimiento y decrecimiento de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 7111.2. Razon de cambio o Tasa de variacion promedio de funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 7511.3. Razon de cambio o Tasa de variacion promedio de una funcion no lineal . . . . . . . . . . . . 7611.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

12.Referencias 80

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1. Introduccion

1.1. Metodologıa y objetivos del modulo

Los objetos, conceptos y procesos matematicos pueden admitir distintas representaciones. Y dado que seconsidera que el conocimiento matematico es como el invariante de multiples representaciones, ellas jueganun papel fundamental tanto en la actividad matematica como en su proceso de ensenanza y aprendizaje.Por tanto, la coordinacion de estas representaciones y el desarrollo de las habilidades cognitivas para con-vertir una representacion en otra se vuelven actividades sumamente importantes para no llegar a confundirlos objetos con sus representaciones, por un lado, y poder reconocer el objeto en cada una de ellas, porotro. Tambien los procesos de representacion y abstraccion son procesos complementarios: por un lado, unconcepto se abstrae a partir de varias de sus representaciones y, por otro, las representaciones son siemprerepresentaciones de algun concepto mas abstracto. En consecuencia, si se utiliza una sola representaciondel concepto, puede suceder que la atencion se centre en la representacion en lugar del objeto abstractorepresentado. Sin embargo, cuando se consideran simultaneamente varias representaciones, la relacion con elconcepto abstracto subyacente se vuelve importante.

Este es el caso del concepto de funcion 1 el cual admite representaciones en diferentes registros, con diversosalcances y limitaciones. Un registro da la posibilidad de representar un objeto, una idea o un concepto, nonecesariamente matematico. La nocion de funcion puede representarse en diferentes registros:

Registro verbal: En este registro la funcion admite como representacion una descripcion verbal queutiliza el lenguaje natural para darnos una vision descriptiva y generalmente cualitativa de la relacioonfuncional. Si se quiere estudiar un fenomeno utilizando una funcion como modelo, se cuenta general-mente, en principio, con una descripcion de este tipo. Tambien usamos este registro cuando queremosinterpretar los restantes registros, de un nivel simbolico mayor.

Registro tabla: En este registro, una funcion se representa con una tabla de valores que pone en juegola relacion de correspondencia. Este registro nos da una vision cuantitativa y tiene limitaciones ya queen una tabla solo puede incluirse un numero finito de pares de valores, y difıcilmente podemos extraerlas caracterısticas globales de la funcion.

Registro grafico: En este registro, una funcion se puede representar por medio de una curva (continuao no) en el plano cartesiano. Se pone en juego la nocion de grafo de una funcion. Este registro permiteobtener una vision general y completa de la funcion bajo estudio, tanto cualitativa como cuantitativa(aunque aproximada), proporcionando mayor y mejor informacion que los registros anteriores. Tambienpresenta limitaciones, ya que como en el caso de la tabla, es necesario imaginar que continua mas alla delo que es posible observar.

Registro algebraico: En este registro, una funcion se puede representar por una expresion algebraicao formula, que permite calcular la imagen f(x) para toda x perteneciente al dominio de la funcion.Esta representacion supone el conocimiento de los sımbolos utilizados y la habilidad para interpretara partir de ellos conceptos abstractos.

Registro algorıtmico: en este registro, la representacion de una funcion es un programa o un procedi-miento, como los que utilizan las calculadoras o computadoras. Representa el proceso para calcular laimagen a partir de los valores del dominio.

1Su orıgen esta en el momento en que se considera la dependencia entre variables. Por ejemplo: el precio de los alimentos, lavariacion de los impuestos, la temperatura que oscila, etc. son casos de fenomenos fısicos, sociales o mentales que percibimos oimaginamos que estan cambiando. La variabilidad que se representa es, en principio, cualitativa y mas adelante, cuantitativa.Los fenomenos variables pueden ser discretos o continuos.

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Cada una de estas representaciones permite expresar un fenomeno de cambio, una dependencia entre va-riables. Y el aprendizaje de las funciones pasa, en primer lugar, por un conocimiento de cada uno de estoslenguajes de representacion o registros, es decir, por la adquisicion de la capacidad de leer e interpretar cadauno de ellos y posteriormente traducir de uno en otro. La siguiente tabla muestra la variedad de todas lasposibles traducciones.

PPPPPPPPPDesdeHacia

Descripcion verbal Tabla Grafica Formula

Descripcion verbal X Medida Boceto ModeloTabla Lectura X Trazado AjusteGrafica Interpretacion Lectura X AjusteFormula Interpretacion Computo Grafica X

Los procesos de traduccion de una representacion en otra no es una tarea trivial. Las diferentes represen-taciones se complementan y enriquecen el tratamiento y analisis de un mismo fenomeno. Las situaciones ylos enunciados, a traves del lenguaje comun, proporcionan una vision descriptiva y generalmente cualitativade la relacion funcional. La tabla de valores visualiza la relacion entre parejas de datos, proporcionandouna vision cuantitativa de facil interpretacion. En muchos casos, esta es parcial e insuficiente puesto que deella difıcilmente de ella se extraen las caracterısticas globales de la dependencia. Las graficas y las formulasconstituyen lenguajes mas completos. Propician una vision general de la dependencia (tanto cualitativa comocuantitativa ) y posibilitan las caracterizacion de los modelos que sustentan las distintas relaciones entre va-riables. Mediante las graficas se pueden intuir, ver y expresar las caracterısticas globales de la dependencia.Las formulas permiten obtener la misma informacion con mayor grado de precision, pero con mayor dificultad.

Los dos lenguajes de mayor abstraccion y por tanto mas difıciles de interpretar son la grafica y la formula oexpresion algebraica. Ambos permiten obtener una vision general y completa de la funcion estudiada, tantocualitativa como cuantitativa. La diferencia entre ambos lenguajes es evidente: la grafica permite ver las ca-racterısticas globales de la funcion (variaciones y perıodos constantes, crecimiento, continuidad, concavidad,maximos y mınimos, periodicidad, etc.), tambıen determinables a partir de la ecuacion de manera precisa(cuando es posible establecerla a partir de metodos elementales), pero mucho mas difıciles de interpretar.El lenguaje algebraico presupone conocer el significado de los sımbolos y operaciones que se utilizan. Laarticulacion entre el registro grafico y algebraico resulta en general la mas dificultosa para los alumnos.La lectura de representaciones graficas involucra una interpretacion global; ya que se trata de discriminarvariables visuales y percibir las variaciones correspondientes en los sımbolos de la escritura algebraica. Enla ensenanza se suelen proponer actividades de pasaje de la representacion algebraica de una funcion a larepresentacion grafica construida punto por punto y es poco frecuente que se considere el pasaje inverso.En algun momento del aprendizaje del concepto de funcion, el alumno deberıa poder distinguir la funcionde sus representaciones. Las actividades de articulacion entre registros podrıan favorecer dicha diferenciacion.

El trabajo que proponemos en este modulo se basara en el uso y la articulacion de los lenguajes de represen-tacion o registros del concepto de funcion: verbal, tabla, grafico y algebraico, para expresar la dependenciafuncional entre variables, describir las caracterısticas de las funciones globales (continuidad, crecimiento,valores extremos, periodicidad, tendencia) y locales (tasa de variacion media)

Los objetivos generales de este modulo son:

(i) Comprender la variacion de las magnitudes que intervienen en una situacion y ser capaz de expresardicha variacion utilizando las distintas formas de representacion de las funciones (grafica, tabla, dibujos,expresiones verbales y algebraica), con el fin de formarse un juicio sobre la misma.

(ii) Desarrollar fluidez en la utilizacion del lenguaje matematico de graficas, tablas y expresiones algebraicasde cara a describir y analizar situaciones de cambio o variacion de magnitudes del mundo real.

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(iii) Utilizar el conocimiento matematico para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones dela realidad.

(iv) Comprender e interpretar distintas formas de expresion matematica e incorporarlas al lenguaje y a losmodos de argumentacion habituales.

(v) Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en termi-nos matematicos, resolverlos y analizar resultados utilizando recursos apropiados.

1.2. Introduccion historica al concepto de funcion

En este apartado presentamos la evolucion de la nocion de funcion a lo largo de la historia. El conceptode funcion, con el significado que le damos actualmente, es el producto de un largo proceso de elaboracion,desde sus primeros inicios en la cultura babilonica hasta la defincion de Dirichlet en el siglo XIX.

Antes de los griegos no existıa una idea abstracta de variable, y las cantidades se describıan verbalmente opor medio de graficos. Sin embargo, en este perıodo, comienzan a desarrollarse algunas manifestaciones queimplıcitamente contienen la nocion de funcion. En las tablas numericas babilonicas (2000 a.C. – 500 a.C.) sepresentaba el resultado de multiplicaciones y divisiones, de cuadrados, cubos y raıces cuadradas y cubicas.Ademas, se han encontrado tablas con formulas de calculos tan llamativas como la de la suma de n terminosde una progresion geometrica, o la de los numeros pitagoricos, o las que muestran la utilizacion de reglas detres, simples y compuestas. Los babilonios tenıan un manejo algebraico muy desarrollado, caracterizado porla sustitucion, el cambio de variables, y hasta el uso de la ley exponencial. Conocıan la formula de la ecua-cion de segundo grado, e incluso reducıan ecuaciones de grado superior, con cambios de variables incluidos,a las de segundo grado. Si bien los babilonios no manejaban aun el concepto de funcion, la nocion de esteconcepto se encuentra implıcita en las tablillas astronomicas, ya que estas reflejaban observaciones directasde fenomenos enlazados por una relacion aritmetica, como por ejemplo, los perıodos de visibilidad de unplaneta y la distancia angular de ese planeta al Sol.

Durante la epoca de la cultura helenica (500 a.C. - 500 d.C.), los esfuerzos para resolver los problemas clasi-cos2 trajeron consigo la creacion de diferentes curvas por parte de Apolonio, Arquımedes y Pappus, entreotros. Los griegos trataron con problemas que tenıan implıcita la nocion de funcion, pero no fueron capacesde reconocerla y, menos aun, de simbolizarla. Sin embargo, ellos calcularon areas, volumenes, longitudesy centros de gravedad y desarrollaron tablas de acordes y tablas de senos similares a las actuales. Puededecirse que estos estudios sobre las relaciones entre magnitudes geometricas variables, si bien no respondıanexplıcitamente al concepto de funcion, pueden ser considerados como los primeros antecedentes aportadospor la cultura helenica.

Mas tarde, durante la Edad Media se estudiaron fenomenos naturales como: calor, luz, color, densidad, dis-tancia y velocidad media de un movimiento uniformemente acelerado. Las ideas se desarrollaron alrededorde cantidades variables independientes y dependientes, pero sin dar definiciones especıficas. Ası, la evolucionde la nocion de funcion se dio asociada al estudio del cambio, en particular del movimiento. Una funcionse definıa por una descripcion verbal de sus propiedades especıficas, o mediante un grafico, pero aun no seusaban las formulas.

En el siglo XVII, Galileo (1564 -1642) introdujo lo numerico en las representaciones graficas y expreso lasleyes del movimiento, a las que incorporo el lenguaje de la teorıa de las proporciones, dando un sentido devariacion directa o indirectamente proporcional, lenguaje que junto con la teorıa de la epoca encubrio as-pectos de la variacion continua. En su obra se encuentran numerosas expresiones de relaciones funcionales.

2La cuadratura del cırculo y la duplicacion del cubo.

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Con palabras, y en el lenguaje de las proporciones, muestra claramente que esta tratando con variables yfunciones. Con la llegada de la obra de Descartes, (1596 - 1650) se produce un enorme avance. Descartesbuscaba liberar a la Geometrıa del exceso de figuras, pero tambien buscaba darle sentido o significado alAlgebra por medio de la Geometrıa. Fue revolucionario al establecer que una curva se construye con sola-mente ofrecer una ecuacion algebraica. Recordemos que en la Antiguedad, para que una curva existiera, eranecesario que hubiera un procedimiento con regla y compas para poder construirla. Ası es que Descartesfue quien desarrollo la idea de introducir una funcion en forma analıtica. El querıa reducir la solucion detodos los problemas algebraicos y de ecuaciones, a un procedimiento estandar que le permitiera encontrar lasraıces. Este matematico fue el primero en poner en claro que una ecuacion en x e y es una forma de mostraruna dependencia entre cantidades variables, de modo que los valores de una de ellas pudieran calcularsea partir de los correspondientes valores en la otra variable. Se introducen las variables y se comienzan autilizar expresiones de relaciones entre variables por medio de ecuaciones. Surgen ası muchos ejemplos defunciones, aunque aun no se distinguen las variables dependiente e independiente en una ecuacion. En 1667,el matematico Gregory (1638 - 1675) dio la definicion mas explıcita del siglo XVII, definiendo una funcioncomo: una cantidad que se obtiene de otras cantidades mediante una sucesion de operaciones algebraicas omediante cualquier otra operacion imaginable. Con la ultima expresion quiso mostrar la necesidad de anadira las cinco operaciones del Algebra, una sexta operacion que el definio como el paso al lımite. Leibniz (1646- 1716) fue el primer matematico en utilizar la palabra funcion en 1692. El uso esta palabra para referirsea cualquier cantidad que varıa de un punto a otro de una curva, tal como la longitud de la tangente, de lanormal, de la subtangente y de la ordenada. Por ejemplo, Leibniz afirmaba que “una tangente es una funcionde una curva”. Tambien introdujo las palabras: constante, variable, coordenadas y parametro en terminos deun segmento de constante arbitrario o cantidad. En 1665, Newton utilizo la palabra fluent para representarcualquier relacion entre variables. Ası, Newton y Leibniz contribuyeron decisivamente al desarrollo del con-cepto de funcion, introduciendo el desarrollo de funcion en una serie de potencias. En esta epoca la idea defuncion era muy restringida, pues se reducıa a funciones analıticas, abarcando inicialmente las que se podıanexpresar mediante una ecuacion algebraica y poco despues, las desarrollables en serie de potencias.En el siglo XVIII, el concepto de variable, aplicada a objetos geometricos se sustituye por el concepto defuncion como una formula algebraica. El estudio se desarrolla alrededor de la representacion, en particular enserie de potencias de las funciones. Euler (1707-1783) continua el camino para precisar la nocion de funcioncomenzando a definir nociones iniciales como son: constante y cantidad variable y, en 1755, define funcioncomo una expresion analıtica: la funcion de una cantidad variable es una expresion analıtica compuesta decualquier manera a partir de esa cantidad variable y de numeros o cantidades constantes. Ası, a partir de1720, y hasta 1820, comenzo a desarrollarse en el seno del campo de la Matematica una nueva disciplinacuyo objeto de estudio fueron las funciones: el Analisis. Se discutıa si las funciones debıan ser representadasgeometricamente (en la forma de una curva), analıticamente (en la forma de una formula), o logicamente(en la forma de una definicion).Fourier (1768 - 1830), estudiando el flujo de calor en cuerpos materiales, contribuyo a la evolucion del concep-to de funcion al considerar la temperatura como funcion de dos variables: tiempo y espacio. Fourier tambienpuso las representaciones de funciones por medio de expresiones analıticas (algebraicas) al mismo nivel quelas representaciones geometricas (curvas). Dirichlet fue el primero en considerar la nocion de funcion comouna “correspondencia arbitraria”. Y restringio explıcitamente a un intervalo, el dominio de una funcion. En1829 Dirichlet establecio las condiciones suficientes para que tal representacion sea posible y definio funcionde la siguiente forma: y es una funcion de la variable x, definida en el intervalo a < x < b, si para todovalor de la variable x en ese intervalo, le corresponde un valor determinado de la variable y. Ademas, esirrelevante como se establece esa correspondencia.

Por tanto, puede observarse que la conceptualizacion de funcion aceptada actualmente, desde un punto devista didactico, admite representaciones en diferentes registros, cada uno con diversos alcances y limitaciones,cuyos antecedentes y significaciones pueden rastrearse a lo largo de la Historia. Ası, en el inicio de la genesisdel concepto, la construccion de las tablas babilonicas puede asimilarse al que actualmente es la represen-

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tacion a traves de tablas de valores. Del mismo modo, el trabajo con curvas desarrollado por los griegospuede ser interpretado como las primeras representaciones graficas de las funciones. Posteriormente, con laaparicion de la Geometrıa Analıtica se introducen las variables, y las relaciones entre ellas se expresan pormedio de ecuaciones, aunque sin distinguir las variables dependientes de las independientes. Con la llegadadel Calculo los estudios continuan alrededor de las representaciones geometricas, aunque ya se vislumbrael inicio de las representaciones analıticas. En los comienzos de lo que luego serıa el Analisis, el conceptode funcion pasa de ser concebido como expresion analıtica (formula arbitraria) a ser entendido como curva.Al constituirse el Analisis Matematico en la ciencia general de las variables y sus funciones, se define unafuncion como una expresion analıtica y toda la propuesta es algebraica. Pero luego, con los trabajos deFourier, dichas representaciones algebraicas se colocan a igual nivel que las representaciones geometricas.Posteriormente, las funciones se independizan de las expresiones analıticas: la nueva definicion considera queuna funcion es una correspondencia arbitraria.

El siguiente cuadro resume la evolucion de las definiciones de “funcion” en los siglos XVII, XVIII y XIX.

Epoca Definicion

Siglo XVII

Cualquier relacion entre variables

Una cantidad obtenida de otras cantidades mediante operaciones algebraicas o cualquier

otra operacion imaginableCualquier cantidad que varıa de un punto a otro de una curva

Cantidades formadas usando expresiones algebraicas y trascendentales de variablesy constantes

Siglo XVIII

Cantidades que dependen de una variableFuncion de cierta variable como una cantidad que esta compuesta de alguna forma porvariables y constantesCualquier expresion util para calcular

Siglo XIXCorrespondencia entre variablesCorrespondencia entre un conjunto A y los numeros realesCorrespondencia entre dos conjuntos

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2. Analisis cualitativo del comportamiento de las graficas cartesianas

2.1. Lectura e interpretacion de puntos

Cuando tratamos de obtener informacion de una grafica, en primer lugar, debemos identificar las variablesrepresentadas en cada uno de los ejes, el significado del origen, la unidad y la graduacion de los ejes parapasar despues a la identificacion de los puntos de la grafica, es decir, dado un valor de una de las variableshallar el valor correspondiente de la otra (caculo de imagenes y preimagen), o bien identificar si un puntodado por sus coordenadas pertenece o no a la grafica. Todas estas actividades constituyen lo que llamamoslectura de la grafica. Desde luego, su conocimiento es necesario para interpretar el grafico, pero no suficientey de hecho muchos alumnos pueden leer correctamente una grafica, sin errores de importancia, y no obstantesu interpretacion de la misma puede ser totalmente erronea. Por otra parte, interpretar un grafico es unaactividad mas compleja, ligada a cada situacion, y que consiste en la capacidad para describir la funcion re-presentada de forma global, atendiendo a las caracteristicas generales de la grafica, es decir, a las variacionesque presenta. En lugar de puntos determinados sera necesario considerar intervalos en los que se mantieneno se modifica de una determinada manera la variacion de la funcion.

A continuacion estudiaremos algunos ejemplos de graficas cartesianas que representan distintas situacionescotidianas que implican ideas progresivamente mas sofisticadas hasta llegar a relaciones funcionales y quepueden servir de introduccion a las mismas.

1. En la figura 1, cada una de las personas de la cola esta representada por uno de los puntos de la grafica.Encuentra los nombres de los puntos.

Alicia Marta Pili Daniel Carlos Lola Javi

(a) La parada del autobus

Altura

(b) Grafica cartesiana

Figura 1

2. Las graficas en la figura 2 describen dos aviones ligeros A y B. Indica el valor de verdad de las siguientesafirmaciones.

preciO 1 b B > ::::::: 1 A ,2:z;:ia 1 A , . A

Antigiiedad Tamafio Capacidad de viajeros

Figura 2

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Proposicion Verdadera FalsaEl avion B es mas caro que el avion A VEl avion mas viejo es mas baratoEl avion mas rapido es mas pequenoEl avion mas grande es mas viejoEl avion mas barato transporta menos pasajeros

Cuadro 1

3. En la figura 3 estan representados los trayectos realizados por cinco autobuses.

a) ¿Que autobus emplea menos tiempo en hacer su trayecto?

¿Hay autobuses que emplean el mismo tiempo?¿Cuales?

Ordena los autobuses segun el tiempo empleado (demenor a mayor).

b) ¿Que autobus recorre mas distancia?

¿Que autobuses recorren la misma distancia?

Ordena los autobuses segun los kilometros recorridos(de menos a mas).

c) ¿Que autobus te parece mas rapido, el A o el E? Explicapor que.

¿Que ocurre con los autobuses C y E?

Escribe una frase que describa a cada uno de los auto-buses. Por ejemplo: El autobus E es un autobus lentoporque recorre pocos kilometros y emplea mucho tiem-po.

d) Marca el punto correspondiente a un nuevo autobus F quesea mas rapido que el E.

Figura 3

4. Considera los siguientes informes escolares: Cada informe escolar esta representado por uno de lospuntos del grafico en la figura 4b. Identificar los puntos que representan los nombres de Alex, Susana,Nuria y David. Elaborar un informe para el punto sobrante.

5. Cada punto del grafico 5 representa una bolsa de azucar. Responde:

a) ¿Que bolsa es la mas pesada?

b) ¿Que bolsa es la mas barata?

c) ¿Que bolsas tienen el mismo peso?

d) ¿Que bolsas tienen el mismo precio?

e) ¿Que bolsa sale a mejor precio F o C? ¿Por que?

f ) ¿Que bolsa sale a mejor precio B o C? ¿Por que?

g) ¿Que dos bolsas salen al mismo precio? ¿Por que?

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el trimestre y esto le ha hecho obtener

como lo muestra claramente la nota de su examen, per0 su concentra- ci6n y conducta en clase son muy pobres. Con mas esfuerzo, podria

Nuria ha trabajado bien y merece este maravilloso resultado en el examen.

David ha trabajado razonablemente bien este trimestre y ha conseguido un resultado satisfactorio en el examen.

(a) Informes escolares

Esfuezo h . I . 2

. 3

. 4 . 5

Nota del examen ' (b) Grafica cartesiana

Figura 4

Figura 5

6. La grafica 6 muestra como varıa la longitud de la sombra de un poste entre las 10:00 y 17:00 horas.Observa la grafica y responde:

a) En la grafica esta marcado el punto correspondiente a la sombra del objeto a las 11:00 h. ¿Que lon-gitud tiene la sombra a esta hora? Escribe las coordenadas de este punto.

b) ¿A que hora es mayor la sombra? ¿A que hora es menor? Marca estos puntos y escribe suscoordenadas.

c) ¿A que hora mide la sombra 50 cm? ¿A que hora mide la sombra 30 cm?

d) Escribe las coordenadas del resto de los puntos correspondientes a cada una de las horas com-prendidas entre las 10 y las 17 horas.

e) ¿Cuanto mide la sombra, aproximadamente, a las 14:30 h?

7. La grafica 7 representa la variacion de la velocidad de un carro en un dıa de viaje.

a) ¿Cuanto tiempo ha durado el viaje? ¿Entre que cantidades ha variado la velocidad?

11

Horas

Figura 6

Velocidad en krn/h

( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2

Tiernpo en horas

Figura 7

b) ¿Que velocidad llevaba el carro a las dos horas de recorrido? ¿Y a las seis horas?

c) ¿En que momentos llevaba el carro una velocidad de 60 Km/h?

d) ¿En que tramos aumento la velocidad? ¿En que tramos disminuyo? ¿Que significa el tramo hori-zontal?

e) ¿Cual es la velocidad maxima alcanzada? ¿Alcanzo esta velocidad en un instante o la mantuvodurante algun tiempo?

8. Las dos graficas en la figura 8 representan como va cambiando durante 45 minutos, la temperatura dedos hornos. Uno se enciende y se va calentando, y el otro se apaga y se va enfriando.

a) ¿Que grafica representa a cada uno?

b) ¿Que significa el punto de corte de las dos graficas?

12

Figura 8

2.2. ¿Son las graficas solamente dibujos?

1. ¿Como cambia la velocidad de la bola cuando va por el aire en este golpe de golf? Discute esta situacion

(a)

Velocidad de la bola

Tiempo desde que se ha golpeado la bola

(b)

Figura 9

con tus companeros y en la figura 9b haz una grafica aproximada para ilustrar como varıa la velocidad.

2. La figura muestra la pista de una montana rusa en la que los carros viajan entre A y B a una velocidadlenta y constante. ¿Como varıa la velocidad de estos carros cuando van de A a G? ¿En que partes dela pista viaja rapido el carro? ¿Y despacio? ¿Donde acelera? ¿Donde decelera? Describe tu respuestapor escrito y mediante una grafica.

13

Figura 10

Velocidad de 10s coches 1 A B C D E F G

Distancia recorrida por la pista

Figura 11

2.3. Dibujando graficas a partir de textos

1. Asocia a cada grafica en la figura 12 el enunciado mas adecuado. Explica la eleccion que has hecho,indicando en cada eje que es lo que se representa.

Figura 12

a) Un determinado tipo de bacteria se duplica cada hora.

b) El precio del boleto de un autobus depende de una cantidad fija y del numero de kilometros delrecorrido.

c) El nivel del agua de una pila varıa cuando abro el tapon.

d) Gasto el doble de dinero en la compra de libros que en la compra de videos.

14

2. Elige la grafica de la figura 13 que mejor se ajuste a cada una de las diez situaciones siguientes. Algunasgraficas pueden ajustarse a mas de una situacion. En las ultimas 5 situaciones tienes que decidir tu loque pasa. Escribe nombres a los ejes y explica tu eleccion, indicando todas las suposiciones que hagas.

a) Los precios estan subiendo ahora masdespacio que en ningun otro momentode los ultimos cinco anos.

b) Me gusta bastante la leche frıa y la le-che caliente, pero detesto la leche tem-plada.

c) Cuanto mas pequenas son las cajas,mas podemos cargar en la camioneta.

d) Despues del concierto hubo un silen-cio abrumador. Entonces una perso-na de la audiencia empezo a aplaudir.Gradualmente, los que estaban alre-dedor se le unieron y pronto todo elmundo estaba aplaudiendo.

e) Si las entradas al cine son muy bara-tas, los duenos perderan dinero. Perosi son demasiado caras, ira poca gentey tambien perderan. Por lo tanto, uncine debe cobrar un precio moderadopara obtener beneficio.

f ) ¿Como depende el precio de una bolsade papas de su peso?

g) ¿Como varıa el diametro de un globocuando sale aire lentamente de el?

h) ¿Como depende la duracion de unacarrera de su longitud?

i) ¿Como varıa la velocidad de una ninaen un columpio?

j ) ¿Como varıa la velocidad de una pe-lota cuando rebota?

Figura 13

15

3. Elige la grafica de la figura 14 que mejor se ajuste a cada una de las situaciones siguientes. Escribeque variable se representa en cada uno de los ejes de coordenadas.

Figura 14

a) El costo de construir una casa como funcion de los metros cuadrados de construccion.

b) La altura de un huevo que se deja caer desde lo alto de un edificio de 10 metros como funcion deltiempo.

c) La altura de una persona como funcion del tiempo.

d) La demanda de hamburguesas como funcion del precio.

e) La altura de un nino en un columpio como funcion del tiempo.

4. Elige la grafica de la figura 15 que mejor se ajuste a cada una de las situaciones siguientes. Explicatu eleccion.

Figura 15

a) La temperatura de un plato de sopa como funcion del tiempo.

b) El numero de horas de luz natural por dıa en un periodo de 2 anos.

c) La poblacion de El Salvador como funcion del tiempo.

d) La distancia de un auto que viaja a velocidad constante como funcion del tiempo.

e) La altura de una pelota de golf como funcion del tiempo.

5. Las graficas en las figura 16 y 17 expresan como van cambiando unas magnitudes respecto a otras:

Para cada una de ellas escribe un posible texto que corresponda a cada representacion grafica.

6. Uno de los factores que hay que tener en cuenta para diagnosticar una enfermedad es la evolucion dela temperatura (si tiene fiebre o no) del paciente. Sabemos que tres enfermos sufren: uno malaria, otrosarampion y el tercero pulmonıa. Ademas, en un texto de patologıa se puede leer:

16

Volumen

Tiempo

Figura 16

Peso

Figura 17

En una pulmonıa la temperatura sube rapidamente, permaneciendo alta durante unos dıas; des-pues baja de repente.

Con la malaria la fiebre baja cada noche.

Con esta informacion senala en cada una de las graficas de la figura 18 la enfermedad correspondiente.

7. Dibuja una grafica que describa lo mejor posible las siguientes situaciones. Escribe nombres a los ejesy explica tu eleccion, indicando todas las suposiciones que hagas.

a) El desempleo continua subiendo ahora mas rapido que los ultimos cinco anos.

b) El precio de los alimentos continua subiendo ahora mas despacio que los ultimos cinco anos.

c) Actualmente el precio del petroleo esta bajando pero se espera que esta tendencia se frene ycambie de direccion en dos anos.

d) El costo de un automovil continua creciendo y a una razon cada vez mayor.

e) La poblacion mundial sigue creciendo pero a una razon cada vez menor.

f ) Ese automovil va cada vez mas rapido a una razon constante.

17

Figura 18

8. Cada manana en el campamento de verano, el boyscout mas joven tiene que izar la bandera a lo altode un mastıl.

Altura de / a)

I

Tiempo

Altura de la bandera

Tiempo

Altura de I e)

Altura de la bandera

Tiempo

Alturade I r )

Figura 19

a) Explica en palabras que significarıa cada una de las graficas de la figura 19

b) ¿Que grafica muestra la situacion de forma mas realista?

c) ¿Que grafica es la menos realista?

9. Elige el mejor grafico en la figura 20 para describir cada una de las situaciones siguientes. Etiqueta losejes con las variables mostradas entre parentesis. Si no puedes encontrar el grafico que quieres, dibuja

18

tu propia version y explıcala.

a) El levantador de pesas mantuvo las pesas sobre su cabeza por unos segundos y luego las dejo caercon un violento estrepito. (altura de las pesas/tiempo).

b) Cuando empece a aprender guitarra, al principio progresaba rapidamente. Pero he comprobadoque cuanto mas sabes es mas difıcil mejorar. (pericia/cantidad de practica).

c) Si el trabajo en la escuela es demasiado facil, no aprendes nada con ello. Por otra parte, si es tandifıcil que no lo puedes entender, tampoco aprendes. Por eso es tan importante trabajar con elnivel adecuado de dificultad. (valor educativo/dificultad de trabajo).

d) Al correr intento empezar despacio, aumentar a una velocidad conveniente y luego ir bajandolagradualmente cuando me voy de la sesion. (distancia/tiempo).

e) En general, los animales grandes viven mas que los pequenos y sus coraznes laten mas despacio.Con una media de 25 millones de latidos, nos encontramos con que las ratas viven solo tres anos, los conejos siete y los elefantes y las ballenas todavıa mas. Como la respiracion esta emparejadacon los latidos -normalmente se respira una vez cada cuatro latidos- el ritmo de respiracionestambien disminuye al aumentar el tamano (ritmo cardıaco/anos de vida).

f ) Igual que el 5, excepto que las variables son (ritmo cardıaco/ritmo respiratorio).

g) Inventa historias para acompanar las graficas sobrantes.

Figura 20

19

2.4. Diseno de graficas a partir de dibujos

1. ¿Como crees que varia la velocidad de un carro cuando esta dando la segunda vuelta en cada uno delos tres circuitos que se muestra en la figura 21a? (S= punto de salida). Explica tus respuestas en cadacaso, por escrito y mediante una grafica. Indica claramente las suposiciones que realices. Compara tu

Circuito 2 Circuito 3

(a) Circuitos

Velocidad

(b) Graficas

Figura 21

grafica con el dibujo del circuito.

2. La figura 22a muestra como varıa la velocidad de un carro de carreras durante la segunda vuelta deuna carrera: ¿Cual de los circuitos de la figura 22b estaba recorriendo?

Distancia recorrida

Velocidad

*

(a) Grafica (b) Circuito

Figura 22

3. La Chicago de la figura 23 da una vuelta cada 20 segundos.

a) Utilizando el mismo par de ejes, haz dos graficas que muestren como varıa la altura del coche Ay la del B respecto al suelo durante 1 minuto.

b) Repite la actividad anterior, colocando el origen de coordenadas en el centro de la chicago.

20

Figura 23

2.5. Llenando botellas

1. Tomamos una curiosa botella vacıa (figura 24) y la vamos llenando de agua con un vaso. Cada vez queechamos uno, medimos el nivel que alcanza el agua en la botella y lo anotamos en una grafica. Explicala relacion que hay entre la forma de la botella y la forma de la grafica.

Figura 24

2. En la figura 25 se muestran 4 botellas y 4 graficas. Relaciona cada botella con su correspondientegrafica:

Figura 25

21

3. La figura 26 muestra como varıa la altura del lıquido en el vaso X a medida que el agua cae dentrode el goteando de forma continua. En el mismo diagrama, muestra la relacion altura-volumen para losvasos A y B.

Vaso X A B

Altura

Volumen

Dibuja dos grificas mis para C y D:

Vaso X C D Volumen

Y dos mis para E y F:

Vaso X E F Volumen

Figura 26

4. Representa las graficas correspondientes a las botellas de la 27:

Figura 27

22

5. La figura 28 muestra 6 frascos y, la 29, 9 graficas. Elige la grafica correcta para cada frasco. Explicacon claridad tu razonamiento. Dibuja como deberıan ser los frascos que corresponden a las tres graficassobrantes.

Frasco de tinta Frasco conic0

Frasco de evaporacion Cubo

Embudo taponado

Figura 28

23

Altura

Volumen

Altura E Volumen

Altura

_I Volumen

Altura u Volumen

Altura , A u r 7, Volumen Volumen Volumen

Altura

L!L A1tura F Volumen

Figura 29

6. Dibuja botellas cuyas graficas puedan ser las de la figura 30:

7. Dibuja las graficas aproximadas para la sucesion de botellas de la 31:

24

Figura 30

Figura 31

2.6. Construyendo e interpretando graficas

1. Considere la siguiente situacion:

Marıa decide salir a caminar. Sale de su casa, camina 2 cuadras en 5 minutos a velocidadconstante y se da cuenta que olvido cerrar con llave. Entonces Marıa corre a su casa en unminuto. En la puerta le toma un minuto encontrar las llaves y cerrar bien. Camina 5 cuadrasen 15 minutos y luego decide correr de regreso, le toma 7 minutos llegar a casa.

Dibuje una grafica de la distancia entre Marıa y su casa (en cuadras) como funcion del tiempo.

2. Considere la siguiente situacion:

A Ana le gusta andar en bicicleta por el bosque. Se monta en su bicicleta y sube por uncamino inclinado de 600 metros en 10 minutos. Luego el camino baja durante 3 minutos. Lossiguientes 1600 metros son planos y cubre la distancia en 20 minutos. Descansa 15 minutos.Despues recorre 3000 metros en 30 minutos.

Dibuje una grafica de la distancia recorrida por Ana (en metros) como funcion del tiempo.

3. El siguiente bosquejo representa la distancia d (en kilometros) entre Jose y su casa como funcion deltiempo (en horas).Conteste las preguntas con base en la grafica. En los incisos del a al g, ¿cuantas horas pasan y que tan

lejos esta Jose de su casa durante ese tiempo?

a) De t = 0 a t = 1,48.

b) De t = 1,48 a t = 2,46.

c) De t = 2,46 a t = 3,62.

d) De t = 3,62 a t = 5.

e) De t = 5 a t = 8,04.

25

Figura 32: a

f ) De t = 8,04 a t = 9,33.

g) De t = 9,33 a t = 11.

h) ¿Cual es la mayor distancia que Jose esta de su casa?.

i) ¿Cuantas veces regresa Jose a su casa?.

4. El siguiente bosquejo representa la velocidad v (en kilometros por hora) del auto de Mario como funciondel tiempo. (en minutos). Conteste las preguntas con base en la grafica.

Figura 33: a

a) ¿En que intervalos viaja Jose mas rapido?.

b) ¿En que intervalos tiene una velocidad cero?.

c) ¿Cual es la velocidad de Jose entre 0 y 2 minutos?.

d) ¿Cual es la velocidad de Jose entre 5 y 7 minutos?.

e) ¿Cual es la velocidad de Jose entre 8 y 8.5 minutos?.

f ) ¿Cuando va a velocidad constante?.

26

2.7. Construccion de graficas a partir de tablas

1. Observa la siguiente tabla. Sin marcar los puntos exactamente, dibuja una grafica aproximada quedescriba la relacion entre la altura del globo y la distancia al horizonte.

Altura Distancia del globo hasta el (m) horizonte (km)

5 8 10 11 20 16 30 20 40 23 50 25

100 33 500 80

1 .ooo 112

Figura 34

2. Sin dibujar los puntos, elige entre las graficas de la figura 35 la que se ajuste mejor a cada una de lastablas siguientes. Escribe los nombres de los ejes y explica tu eleccion. Si no puedes encontrar la graficaque deseas, dibuja tu propia version.

a) Cafe enfriandose

Tiempo (minutos) 0 5 10 15 20 25 30Temperatura (oC) 90 79 70 62 55 49 44

b) Tiempo de coccion de un pavo

Peso (Kgs) 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo (horas) 2 1/2 3 3 1/2 4 4 1/2 5 5 1/2 6

c) Como crece un bebe antes de nacer

Edas (meses) 2 3 4 5 6 7 8 9Longitud (cm) 4 9 16 24 30 34 38 42

d) Cantidad de alcohol en la sangre despues de ingerir cuatro cervezas

Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7Alcohol en la sangre (mg/100 ml) 90 75 60 45 30 15 0

e) Numero de especies de pajaros en una isla volcanica

Ano 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940Numero de especies 0 1 5 17 30 30 30

27

f ) Esperanza de vida

Edad (anos) No. de supervivientes Edad (anos) No. de supervivientes0 1000 50 9135 979 60 80810 978 70 57920 972 80 24830 963 90 3240 950 100 1

Figura 35

3. Construye graficas para la tabla siguiente en la que se muestran los ingresos mensuales (en millones dedolares) de remesas familiares en los anos 2009 y 2010.

Mes Ingreso 2009 Ingreso 2010 DiferenciaEnero 252.4 236.0 -6.5

Febrero 275.1 269.2 -2.1Marzo 315.8 343.2 8.7Abril 292.5 306.5 4.8Mayo 308.2 327.1 6.1Junio 295.7 300.9 1.8Julio 286.1 292.8 2.3

Agosto 287.4 299.0 4.0Septiembre 270.9 270.7 -0.1

4. Construye las tablas numericas correspondientes a las seis graficas de la figura 36.

28

Figura 36

5. En las tablas siguientes se ha ido anotando el espacio recorrido en el entrenamiento de tres atletas.

a) ATLETA A

Tiempo en minutos 5 10 15 20 25 30Espacio recorrido en metros 2100 3100 4000 5000 6300 8000

b) ATLETA B

Tiempo en minutos 5 10 15 20 25 30Espacio recorrido en metros 1000 2100 3600 5400 6700 8000

c) ATLETA C

Tiempo en minutos 5 10 15 20 25 30Espacio recorrido en metros 1500 3000 4450 5850 7150 8000

¿Que grafica de la figura 37 corresponderıa a cada uno de los atletas?

Figura 37

6. Buscar tablas conteniendo datos estadısticos de interes nacional y dibujar las graficas correspondientes.

29

2.8. Caracterısticas de las graficas funcionales

1. La grafica de la figura 38 muestra el nivel del agua en un pequeno puerto pesquero en varios momentosde la tarde. Se pide:

Figura 38

a) ¿A que hora empieza a subir el agua?

b) ¿Cual era el nivel del agua antes de empezar a subir la marea?

c) ¿A que hora alcanza el nivel maximo? ¿Cuantos metros alcanza el nivel del agua en ese momento?

d) ¿A que horas empieza a bajar la marea? ¿A cuantos metros llega el nivel mınimo del agua?

e) La grafica nos muestra el nivel del agua, ¿entre que horas?

2. La grafica de la figura 39 muestra el nivel de ruido de una habitacion en funcion del tiempo.

Figura 39

a) ¿Cuando crece el nivel de ruido? ¿Cuando decrece?

b) ¿Hay algun momento en que el nivel de ruido sea nulo?

c) ¿Que nivel rudio habıa en el momento que se considera origen de tiempos?

d) En un momento determinado alguen apaga la radio, que estaba sonando a gran volumen. ¿Que ins-tante crees que es este?

30

e) ¿En que se diferencian y en que se parecen los niveles de ruido de los instantes t = 0 y t = 5? ¿Yde los instantes t = 1 y t = 3?

3. La grafica de la figura 40 muestra el nivel de actividad de una chica a lo largo de cada uno de los dıaslaborales de la semana. Describe la actividad de la chica.

k- Lunes - Manes - Miercoles --tc-- Jueves - Viernes --t .

Figura 40

31

3. Modelos diversos de funciones elementales: primeras definiciones

3.1. Definicion de funcion y notacion

Una funcion es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, tales que a cada elemento delprimer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto. Esta definicion enfatiza la ideade Correspondencia entre elementos de dos conjuntos. Los elementos del primer conjunto forman loque se llama dominio de la funcion (o simplemente dominio), y todos los elementos que corresponden alsegundo conjunto se conoce como rango o imagen. El dominio es un conjunto que puede ser numerico ono, finito o infinito.

Tambien una funcion relaciona dos variables a las que, en general, llamaremos x e y. La variable x es lavariable independiente e y es la variable dependiente. Y la funcion asocia a cada valor de x un unico valorde y (llamado valor de la funcion en x). Por ejemplo, considere el precio de la canasta basica medida en10 meses consecutivos. El precio de la canasta basica depende del instante (mes) en que se haya medido,por tanto, esta sera la variable dependiente. El tiempo (mes en que se toma la medida) va aumentando in-dependientemente si cambia o no el precio de la canasta basica, por tanto esta sera la variable independiente.

Para visualizar el comportamiento de una funcion, recurrimos a su representacion grafica:

Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:

• La x en el eje horizontal (eje de las abscisas).

• La y en el eje horizontal (eje de ordenadas).

Cada punto de la grafica tiene dos coordenadas, su abscisa x y su ordenada y.

El conjunto de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definicion de la funcion.

El conjunto de valores de y imagenes de los elementos del dominio se llama rango de la funcion.

Los ejes deben estar graduados en sendas escalas, de modo que se puedan cuantificar los valores de lasdos variables.

Notacion. Con frecuencia las funciones se denotan por letras como f, F, g,G, h,H y otras. Si f es unafuncion, entonces para cada numero x en su dominio, la imagen correspondiente en el rango esta designadapor el sımbolo f(x), leıdo “f de x”. f(x) hace referencia el valor de la funcion f en el numero x. Esto tambiense denota por f : x −→ f(x), que se lee f transforma a x en f(x). Tambien se dice que el par ordenado(x, f(x)) pertenece a la funcion f .

En la figura 41 se ilustran algunas funciones. Observe que, en todas las funciones, para cada x en el dominiohay un valor en el rango. Por otra parte, en la figura 42 se ilustran algunas relaciones que no son funciones.

En general, cuando una funcion esta definida por una ecuacion en x y y, se dice que la funcion esta dada enforma implıcita. Si es posible resolver la ecuacion para y en terminos de x, entonces se escribe y = f(x) y sedice que la funcion esta dada en forma explıcita. Por ejemplo:

32

(a) (b) (c)

Figura 41

(a) (b)

Figura 42

Forma implıcita Forma explıcita

3x+ y = 5 y = f(x) = −3x+ 5

x2 − y = 6 y = f(x) = x2 − 6

xy = 4 y = f(x) =4

x

y3 − x = 0 y = f(x) = 3√x

x2 + y2 − 1 = 0 y = f(x) =???

Una ecuacion define a una funcion si al graficarla y trazar rectas verticales se observa que cada recta verticalen el sistema de coordenado rectangular pasa a lo mas por un punto de la grafica de la ecuacion. Si unarecta vertical pasa por dos o mas puntos de la grafica de una ecuacion, entonces la ecuacion no define a unafuncion.

En la figura 43, se observa que en la grafica de la izquierda, cada recta vertical intersecta a la grafica enexactamente un punto. Esto demuestra que a cada valor de la variable independiente x le corresponde exacta-mente un valor de la variable dependiente y. En consecuencia, la ecuacion de esta grafica define una funcion.

33

Figura 43: Graficas de ecuaciones y prueba de la recta vertical

Por otra parte, la grafica de la derecha, muestra que cada recta vertical intersecta la grafica en dos puntos.Esto indica que existen valores de la variable independiente x que corresponden a dos diferentes valores dela variable dependiente y. Por lo tanto, se concluye que esta ecuacion no define una funcion.

3.2. Ejercicios

Determine si cada una de las siguientes graficas corresponde a una funcion usando la prueba de la rectavertical.

34

A menudo el dominio de una funcion f no se especifica; mas bien solo se da la ecuacion que define la funcionEn esos casos la convencion es que el dominio de f es el conjunto mas grandes de numeros reales para el queel valor de f(x) es un numero real. El dominio de una funcion f es el mismo que el dominio de la variable xen la expresion f(x).

3.3. Funcion creciente, decreciente y constante

Sea I un intervalo en el dominio de una funcion f . Entonces:

Una funcion es creciente si, al aumentar la variable independiente, aumenta la variable dependiente(o si al disminuir la variable independiente, disminuye la variable dependiente); matematicamente, sedice, f es creciente en un intervalo I, si a < b entonces f(a) < f(b).

Una funcion es decreciente si al aumentar la variable independiente, disminuye la variable dependiente(o si al disminuir la variable independiente, aumenta la variable dependiente); matematicamente, sedice, f es decreciente en un intervalo I, si a < b entonces f(a) > f(b)

f es constante en el intervalo I, si f(a) = f(b) para todo a y b en I.

Por ejemplo, en la figura 44 se muestra una funcion que tiene las siguientes propiedades:

1. El dominio es el intervalo [−3, 4].

2. El rango es el intervalo (−1, 8].

3. Es decreciente en [−3, 0) ∪ [3, 4].

4. Es creciente en [1, 2].

5. Es constante en [2, 3].

Figura 44

35

3.4. Funcion sobreyectiva, inyectiva y biyectiva

Cuando el conjunto de imagen coincide con el conjunto de llegadas, es decir, cuando todos los elementos delconjunto de llegada, (L), son imagen por lo menos de un elemento del dominio, D, (pueden ser imagen devarios elementos), se dice que la funcion es sobreyectiva o exhaustiva.

Ejemplo. Dados los conjuntos D= { a, b, c, d } y L= { 1, 2, 3 }, sea f una funcion que va de D a L:f : D −→ L definida por: La funcion definida en el esquema anterior es sobreyectiva, ya que los elementos

Figura 45: Funcion Sobreyectiva.

de L son imagen de al menos un elemento de D, en este ejemplo, el 1 es imagen de a y b; el 2 es imagen dec; y el 3 es imagen de d.

Funcion Inyectiva.

Cuando el conjunto de imagenes esta formado por elementos que son imagen de un solo elemento del dominio,es decir cuando los elementos del conjunto de llegadas, L, son imagen a lo sumo de un elemento del dominio,D (uno o de ninguno), la funcion se llama inyectiva.

Ejemplos.

Dados los conjuntos D= { a, b, c, d } y L= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, sea f una funcion que va de D a L:f : D −→ L definida por la siguiente regla de correspondencia:

Figura 46: Funcion Inyectiva.

Sea f una funcion que va de los numeros naturales a los naturales, definida por: f : N → N tal quef(x) = x2.

La funcion f definida de esta forma es inyectiva, ya que a cada numero natural le corresponde un ysolo un numero natural al cuadrado.

36

Observacion. En el caso de las funciones inyectivas se cumple la condicion: Si f(x1) = f(x2), entoncesx1 = x2.

Funcion Biyectiva.

Cuando una funcion es simultaneamente Inyectiva y Sobreyectiva, el conjunto imagen coincide con el con-junto de llegadas y esta formado por elementos tales que todos son imagen de un elemento del dominio, perono de mas de uno. La funcion se llama entonces biyectiva.

Ejemplo. Sea f una funcion que va de los naturales a los numeros naturales pares,definida por: f : N→ Ntal que f(x) = 2x, donde P es el conjunto de los numeros naturales pares. Esta funcion ası definida esbiyectiva, ya que a cada elemento del dominio le corresponde un unico elemento de rango y viceversa.

3.5. Ejercicios

1. Sea la funcion definida por f(x) = 2x2 − 3x. Entonces

a) f(3) = 2(3)2 − 3(3) = 18− 9 = 9.

b) f(x) + f(3) = (2x2 − 3x) + 9 = 2x2 − 3x+ 9.

c) f(−x) = 2(−x)2 − 3(−x) = 2x2 + 3x.

d) −f(x) = −(2x2 − 3x) = −2x2 + 3x.

e) f(x+ 3) = 2(x+ 3)2−3(x+ 3) = 2(x2 + 6x+ 9)−3x−9 = 2x2 + 12x+ 18−3x−9 = 2x2 + 9x+ 9.

f ) f(x2) = 2(x2)2 − 3(x2) = 2x4 − 3x2.

g) Para h 6= 0,

f(x+ h)− f(x)

h=

(2(x+ h)2 − 3(x+ h))− (2x2 − 3x)

h

=2(x2 + 2xh+ h2)− 3x− 3h− 2x2 + 3x

h

=2x2 + 4xh+ 2h2 − 3h− 2x2

h

=4xh+ 2h2 − 3h

h

=h(4x+ 2h− 3)

h= 4x+ 2h− 3

2. Para cada una de las funciones siguientes, encuentre: f(−x), −f(x), f(2x), f(x− 1) y f(x+ h).

a) f(x) = 2x2 − 2x+ 2 b) f(x) =√x2 + x c) f(x) =

x2 − 1

x+ 4d) f(x) = −2x2 + x

e) f(x) =

√2

−x− 1f) f(x) = 1− 1

(x+ 2)2

3. Encuentre el dominio de las funciones siguientes.

a) f(x) =√

3x− 6 b) f(x) =2x

x2 − 4c) f(x) =

x

x2 + 1d) f(x) = −x2 + 2

e) f(x) =x

x2 + 1f) f(x) =

√4

x− 9

37

4. Considere la funcion f cuya grafica esta dada en la figura de la derecha. Responda:

a) ¿Cuales son los valores de f(0), f(π

2) y f(3π)?

b) ¿Cual es el dominio de f?

c) ¿Cual es el rango?

d) Enumere las intercepcionesa con los ejes coordenados.

e) ¿Con que frecuencia la recta y = 2 cruza la grafica?

f ) ¿Para que valores de x, f(x) = −4?

g) ¿Para que valores de x, f(x) > 0?

aLos puntos, si los hay, en los que la grafica toca los ejes de coordenadasse llaman intercepciones.

Solucion.

a) Como (0, 4) esta en la grafica de f , la ordenada 4 es el valor de f en la abscisa x = 0, es decir,

f(0) = 4. De manera similar, cuando x =3π

2entonces y = 0, o sea f(

π

2) = 0. Cuando x = 3π,

entonces y = −4, de modo que f(3π) = −4.

b) Para determinar el dominio de f , se observa que los puntos de la grafica tienen abscisa x entre 0y 4π, inclusive; y para cada numero x entre 0 y 4π, existe un solo punto (x, f(x)) en la grafica Eldominio de f es {x : 0 ≤ x ≤ 4π} o el intervalo [0, 4π].

c) Todos los puntos de la grafica tienen ordenada y entre -4 y 4, inclusive, y para cada numero y deestos, existe al menos un numero x en el dominio. El rango de f es y| − 4 ≤ y ≤ 4 o el intervalo[−4, 4].

d) Las intercepciones son (0, 4), (π

2, 0), (

3π

2, 0), (

5π

2, 0) y (

7π

2, 0)

e) Si se dibuja la recta horizontal y = 2 en la grafica de f ??, se encuentra que cruza la grafica cuatroveces.

f ) Como (π,−4) y (3π,−4) son los unicos puntos en la grafica para los cuales y = f(x) = −4, setiene que f(x) = −4 cuando x = π y x = 3π.

g) Para determinar donde f(x) > 0, se ve la figura ?? y se especifican los valores x para los cuales

la ordenada y es positiva (esta arriba del eje horizontal). Esto ocurre en los intervalos [0,π

2),

(3π

2,5π

2) y (

7π

2, 4π].

5. Considere la funcion f cuya grafica esta dada en la figura 47.

Responda:

a) Encuentre f(0), f(6), f(2) y f(−2).

b) ¿f(3) es positivo o negativo?

c) ¿f(−1) es positivo o negativo?

d) ¿Para que valores de x, f(x) = 0?

e) ¿Para que valores de x, f(x) < 0?

38

Figura 47

f ) ¿Cual es el dominio de f?

g) ¿Cual es el rango?

h) ¿Cuales son las intercepciones con el eje de las abscisas? ¿Y con el eje de las ordenadas?.

i) ¿Con que frecuencia la recta y = −1 intersecta la grafica?

j ) ¿Con que frecuencia la recta x = 1 intersecta la grafica?

k) ¿Para que valores de x, f(x) = 3?

l) ¿Para que valores de x, f(x) = −2?

6. Considere la funcion f cuya grafica esta dada en la figura 48.

Responda:

a) Encuentre f(0), f(−6), f(6) y f(11).

b) ¿f(3) es positivo o negativo?

c) ¿f(−4) es positivo o negativo?

d) ¿Para que valores de x, f(x) = 0?

e) ¿Para que valores de x, f(x) > 0?

f ) ¿Cual es el dominio de f?

g) ¿Cual es el rango?

h) ¿Cuales son las intercepciones con el eje de las abscisas? ¿Y con el eje de las ordenadas?.

i) ¿Con que frecuencia la recta y = 1/2 intersecta la grafica?

j ) ¿Con que frecuencia la recta x = 5 intersecta la grafica?

k) ¿Para que valores de x, f(x) = 3?

l) ¿Para que valores de x, f(x) = −2?

39

Figura 48

4. Modelos diversos de funciones elementales: graficas de funciones basi-cas de referencia

En este apartado, la grafica de una funcion se visualiza como el patron de un numero suficiente de puntosen la grafica. Para ello, primero se calcula una secuencia de puntos; estos puntos se ordenan en una tablade valores y se dibujan en el plano cartesiano. Luego estos puntos se conectan mediante una curva suavesiguiendo el patron sugerido.

4.1. Graficas de funciones lineales: f(x) = mx+ b

1. A continuacion se grafica la funcion f(x) = 2x+5. Para tener una idea del patron de la grafica vamos aencontar algunos puntos (x, f(x)) que estan sobre la grafica de la funcion. Para ello asignamos algunosvalores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes:

Si Entonces Punto (x, f(x)) en la graficax = 0 f(0) = 2(0) + 5 = 5 (0, 5)x = 1 f(1) = 2(1) + 5 = 7 (1, 7)x = −5 f(−5) = 2(−5) + 5 = −5 (−5,−5)x = −5/2 f(−5/2) = 2(−5/2) + 5 = 0 (−5/2, 0)x = −4 f(−4) =? (−4, ?)x = 2 f(2) =? (2, ?)

Al graficar estos puntos y luego conectarlos, se obtiene la grafica que se muestra en la figura 49 Ahora:

2. Determina si los siguientes puntos estan en la grafica de la funcion f(x) = 2x+ 5: a) (2, 6), b) (−2, 2),c) (−1, 3), d) (−2, 1) y e) (0, 3).

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = 2x+ 3, b) f(x) = 2x− 3, c) f(x) = 2x+ 2, d) f(x) = 2x− 5y e) f(x) = 2x. ¿Que patron se observa?

4. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = x+ 5, b) f(x) = −x+ 5, c) f(x) = 3x+ 5, d) f(x) = 4x+ 5y e) f(x) = −4x+ 5.¿Que patron se observa?

40

x y = 2x+ 5 (x, f(x))0 5 (0, 5)1 7 (1, 7)−5 −5 (−5,−5)−5/2 0 (−5/2, 0)−4 −3 (−4,−3)2 9 (2, 9)

Figura 49

5. Dada la funcion f(x) = mx+ b. ¿Que significa el parametro m? ¿Y el parametro b?

6. Dada f(x) = 2x+ 5, grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x).¿Que patron observas?

4.2. Graficas de funciones cuadraticas

1. Considera la funcion f(x) = x2. Para tener una idea del patron de la grafica, asignamos algunos valoresa x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficar estos puntos y luego conectarloscon una curva suave, se obtiene la grafica que se muestra en la figura 50

x y = x2 (x, y)−4 16 (−4, 16)−3 9 (−3, 9)−2 4 (−2, 4)−1 1 (−1, 1)0 0 (0, 0)1 1 (1, 1)2 4 (2, 4)3 9 (3, 9)4 16 (4, 16)

Figura 50

41

2. Determina si los siguientes puntos estan en la grafica de la funcion f(x) = x2: a) (2, 6), b) (−2, 2), c)(−1, 3), d) (−

√2, 2) y e) (3/2, 9/4).

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = x2 + 3, b) f(x) = x2− 3, c) f(x) = x2 + 2, d) f(x) = x2− 5,e) f(x) = x2 + 5 y f) f(x) = x2 − 2.¿Que patron se observa?

4. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = (x + 3)2, b) f(x) = (x − 3)2, c) f(x) = (x + 2)2, d)f(x) = (x− 5)2, e) f(x) = (x+ 5)2 y f) f(x) = (x− 2)2.¿Que patron se observa?

5. Dada f(x) = x2, grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x). ¿Que patron observas?

6. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = 3x2, b) f(x) = 2x2, c) f(x) = 4x2, d) f(x) =1

3x2, e)

f(x) =1

2x2 y f) f(x) =

1

4x2.

Observacion: Las graficas mostradas en las figuras 49 y 50 no muestran todos los puntos. Por ejemplo,el punto (15, 35) pertenece a la grafica de f(x) = 2x + 5, y el punto (−12, 144) pertenece a la grafica def(x) = x2, pero ambos no se muestran en las graficas. Las graficas se pueden extender tanto como se quiera.Por eso la grafica lo que muestra es el patron. Es importante al graficar una funcion, mostrar lo suficiente deella para que quien la mire vea el resto de la grafica como una continuacion obvia de lo que se muestra. Paraello podemos trazar un numero suficiente de puntos en la grafica hasta que el patron sea evidente. Luegoestos puntos se conectan mediante una curva suave siguiendo el patron sugerido. La pregunta que surge es:¿cuantos puntos son suficientes? Algunas veces el conocimiento de la funcion lo indica. Si la funcion es dela forma f(x) = mx + b, entonces la grafica es una recta y, por tanto, solo son necesarios dos puntos paraobtener la grafica. Si la funcion es de la forma f(x) = ax2 + bx + c, entonces la grafica es una parabola y,por tanto, solo son necesarios tres puntos para obtener la grafica. Ası, uno de los objetivos de este moduloes investigar las propiedades de las funciones con el fin de visualizar la grafica completa de la funcion.

4.3. Graficas de funciones cubicas

1. Ahora graficamos la funcion f(x) = x3. Para tener una idea del patron de la grafica, asignamos algunosvalores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficar estos puntos y luegoconectarlos con una curva suave, se obtiene la grafica que se muestra en la figura 51

2. Determina si los siguientes puntos estan en la grafica de la funcion f(x) = x3: a) (2, 6), b) (−2, 2), c)(−1, 3), d) (− 3

√2,−2) y e) (−3/2,−27/8).

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = x3 + 3, b) f(x) = x3− 3, c) f(x) = x3 + 2, d) f(x) = x3− 5,e) f(x) = x3 + 5 y f) f(x) = x3 − 2. ¿Que patron se observa?

4. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = (x + 3)3, b) f(x) = (x − 3)3, c) f(x) = (x + 2)3, d)f(x) = (x− 5)3, e) f(x) = (x+ 5)3 y f) f(x) = (x− 2)3.¿Que patron se observa?

5. Dada f(x) = x3, grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x).¿Que patron observas?

4.4. Grafica de la funcion raız cuadrada: f(x) =√x

1. Para tener una idea del patron de la grafica de la funcion f(x) =√x, tal como ya lo venimos hacien-

do,asignamos algunos valores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficarestos puntos y luego conectarlos con una curva suave, se obtiene la grafica que se muestra en la figura52

2. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) =√x+3, b) f(x) =

√x−3, c) f(x) =

√x+2, d) f(x) =

√x−5,

e) f(x) =√x+ 5 y f) f(x) =

√x− 2. ¿Que patron se observa?

42

x y = x3 (x, y)−3 −27 (−3,−27)−2 −8 (−2,−8)−1 −1 (−1,−1)−1/2 −1/8 (−1/2,−1/8)

0 0 (0, 0)1 1 (1, 1)

3/2 27/8 (3/2, 27/8)2 8 (2, 8)3 27 (3, 27)

Figura 51

x y =√x (x, y)

0 0 (0, 0)1 1 (1, 1)4 2 (4, 2)9 3 (9, 3)16 4 (16, 4)

Figura 52

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) =√x+ 3, b) f(x) =

√x− 3, c) f(x) =

√x+ 2, d)f(x) =√

x− 2, e) f(x) =√x+ 5 y f) f(x) =

√x− 5.¿Que patron se observa?

4. Dada f(x) =√x, grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x).¿Que patron observas?

4.5. Grafica de la funcion raız cuadrada negativa: f(x) = −√x

1. Asignamos algunos valores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficarestos puntos y luego conectarlos con una curva suave, se obtiene la grafica que se muestra en la figura53

2. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = −√x + 3, b) f(x) = −

√x − 3, c) f(x) = −

√x + 2, d)

f(x) = −√x− 5, e) f(x) = −

√x+ 5 y f) f(x) = −

√x− 2. ¿Que patron se observa?

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = −√x+ 3, b) f(x) = −

√x− 3, c) f(x) = −

√x+ 2, d)f(x) =

−√x− 2, e) f(x) = −

√x+ 5 y f) f(x) = −

√x− 5.¿Que patron se observa?

43

x y = −√x (x, y)

0 0 (0, 0)1 −1 (1,−1)4 −2 (4,−2)9 −3 (9,−3)16 −4 (16,−4)

Figura 53

4. Dada f(x) = −√x, grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x).¿Que patron observas?

4.6. Grafica de la funcion recıproca: f(x) =1

x

1. Para tener una idea del patron de la grafica de la funcion f(x) =1

x, asignamos algunos valores a x y

encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficar estos puntos y luego conectarlos conuna curva suave, se obtiene la grafica que se muestra en la figura 54

x y =1

x(x, y)

−3 −1/3 (−3,−1/3)−2 −1/2 (−2,−1/2)−1 −1 (−1,−1)−1/2 −2 (−1/2,−2)−1/3 −3 (−1/3,−3)−1/10 −10 (−1/10,−10)1/10 10 (1/10, 10)1/3 3 (1/3, 3)1/2 2 (1/2, 2)1 1 (1, 1)2 1/2 (2, 1/2)3 1/3 (3, 1/3)

Figura 54

2. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) =1

x+ 3, b)f(x) =

1

x− 3, c) f(x) =

1

x+ 2, d)f(x) =

1

x− 5,

e)f(x) =1

x+ 5 y f)f(x) =

1

x− 2. ¿Que patron se observa?

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) =1

x+ 3, b)f(x) =

1

x− 3, c) f(x) =

1

x+ 2, d)f(x) =

1

x− 2,

44

e)f(x) =1

x+ 5y f)f(x) =

1

x− 5. ¿Que patron se observa?

4. Dada f(x) =1

x, grafica g1(x) = f(−x) y y g2(x) = −f(x).¿Que patron observas?

4.7. Grafica de la funcion valor absoluto: f(x) = |x|

1. Asignamos algunos valores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficarestos puntos y luego conectarlos con una curva suave, se obtiene la grafica que se muestra en la figura55

x y = |x| (x, y)−4 4 (−4, 4)−3 3 (−3, 3)−2 2 (−2, 2)−1 1 (−1, 1)−1/2 1/2 (−1/2, 1/2)−1/3 1/3 (−1/3, 1/3)

0 0 (0, 0)1/3 1/3 (1/3, 1/3)1/2 1/2 (1/2, 1/22)1 1 (1, 1)2 2 (2, 2)3 3 (3, 3)4 4 (4, 4)

Figura 55

2. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = |x|+ 3, b)f(x) = |x| − 3, c) f(x) = |x|+ 2, d)f(x) = |x| − 5,e)f(x) = |x|+ 5 y f)f(x) = |x| − 2.¿Que patron se observa?

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = |x+ 3|, b)f(x) = |x− 3|, c) f(x) = |x+ 2|, d)f(x) = |x− 2|,e)f(x) = |x+ 5| y f)f(x) = |x− 5|.¿Que patron se observa?

4. Dada f(x) = |x|, grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x).

5. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = 3|x|, b)f(x) = 2|x|, c) f(x) =1

3|x|, d)f(x) =

1

2|x|, e)f(x) =

4|x| y f)f(x) =1

4|x|. ¿Que patron se observa?

4.8. Grafica de la funcion raız cubica: f(x) = 3√x

1. Calculando y graficando puntos se obtiene la grafica que se muestra en la figura 56

2. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = 3√x+3, b)f(x) = 3

√x−3, c) f(x) = 3

√x+2, d)f(x) = 3

√x−5,

e)f(x) = 3√x+ 5 y f)f(x) = 3

√x− 2.

3. Grafica las siguientes funciones: a) f(x) = 3√x+ 3, b)f(x) = 3

√x− 3, c) f(x) = 3

√x+ 2, d)f(x) =

3√x− 2, e)f(x) = 3

√x+ 5 y f)f(x) = 3

√x− 5.

4. Dada f(x) = 3√x, grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x).

45

x y = 3√x (x, y)

−27 −3 (−27,−3)−8 −2 (−8,−2)−2 − 3

√2 (−2,− 3

√2)

−1 −11 (−1,−1)−1/8 −1/2 (−1/8,−1/2)

0 0 (0, 0)1/8 1/2 (1/8, 1/2)1 1 (1, 1)2 3

√2 (2, 3

√2)

8 2 (8, 2)27 3 (27, 3)

Figura 56

4.9. Grafica de la funcion maximo entero

1. Para tener una idea del patron de la grafica de la funcion f(x) = ent(x) = entero mas grande que esmenor o igual que x, calculamos y graficamos algunos puntos, obteniendo la grafica que se muestra enla figura 57

x y = ent(x) (x, y)−2,6 −3 (−2,−3)−2 −2 (−2,−2)−1,5 −2 (−1,5,−2)−1,1 −2 (−1,1,−2)−1 −1 (−1,−1)−1/2 −1 (−1/2,−1)−1/3 −1 (−1/3,−1)−1/4 −1 (−1/4,−1)

0 0 (0, 0)1/8 0 (1/8, 0)1/2 0 (1/8, 0)3/4 0 (1/8, 0)1 1 (1, 1)

1,5 1 (2, 1)1,9 1 (1,9, 1)2 2 (2, 2)

2,6 2 (2,6, 2)

Figura 57

2. Dada f(x) = ent(x), grafica g1(x) = f(−x) y g2(x) = −f(x).

4.10. Graficas de funciones definidas por partes

Primero, graficaremos funciones definidas por partes. Luego deberas graficar las funciones f(−x) y −f(x).¿Que patron observas?

46

1. A continuacion graficamos la funcion:

f(x) =

−x+ 1 if −3 ≤ x < 1

2 if x = 1

x2 if 1 < x ≤ 3

Como antes, para tener una idea del patron de la grafica, asignamos algunos valores a x y encontramoslos valores de y = f(x) correspondientes. Al graficar estos puntos y luego conectarlos, se obtiene lagrafica que se muestra en la figura 58

x y = f(x) (x, y)−3 4 (−3, 4)−2 3 (−2, 3)−1,5 2,5 (−1,5, 2,5)

0 0 (0, 0)0,9 0,1 (0,9, 0,1)1 2 (1, 2)

1,1 1,21 (1,1, 1,21)2 4 (2, 4)3 9 (3, 9)

Figura 58

2. En los siguientes ejercicios, primero grafica cada funcion y, despues, grafica las funciones f(−x) y−f(x). ¿Que patron se observa?

a)

f(x) =

x+ 3 if −3 ≤ x < 1

5 if x = 1

−x+ 2 if 1 < x ≤ 3

b)

f(x) =

{−2x+ 3 if −4 ≤ x < 1

3x− 2 if 1 ≤ x ≤ 3

c)

f(x) =

{x+ 1 if −3 ≤ x < 0

x2 if 0 ≤ x ≤ 3

d) f(x) = ent(2x)

e)

f(x) =

|x| if −3 ≤ x < 0

1 if x = 0

x3 if 0 < x ≤ 3

f)

f(x) =

1

xif −5 ≤ x < 0

3√x if 0 ≤ x ≤ 3

g)

f(x) =

{3 + x if −5 ≤ x ≤ 0√x if 0 ≤ x ≤ 5

h) f(x) = 2ent(x)

4.11. Grafica de una funcion constante

1. Grafiquemos la funcion f(x) = π. Siguiendo el procedimiento mostrado, se obtiene la grafica que semuestra en la figura 59.

2. Grafica las funciones f(−x) y −f(x). ¿Que patron se observa?

47

x y = f(x) = π (x, y)−3 π (−3, π)−2 π (−2, π)0 π (0, π)1 π (1, π)2 π (2, π)3 π (3, π)

Figura 59

4.12. Grafica de la funcion seno: f(x) = sin(x)

1. Asignamos algunos valores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficarestos puntos y luego conectarlos, se obtiene la grafica que se muestra en la figura 60.

x y = f(x) = sin(x) (x, y)0 0 (0, 0)

1

2π 1 (

1

2π, 1)

π 0 (π, 0)3

2π −1 (

3

2π,−1)

2π 0 (2π, 0)

Figura 60

2. Ahora grafica las funciones f(−x) y −f(x). ¿Que patron se observa?

4.13. Grafica de la funcion exponencial: f(x) = 2x

1. Asignamos algunos valores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficarestos puntos y luego conectarlos, se obtiene la grafica que se muestra en la figura 61.

2. Ahora grafica las funciones f(−x) y −f(x). ¿Que patron se observa?

4.14. Grafica de la funcion logarıtmo: f(x) = log2(x)

1. Asignamos algunos valores a x y encontramos los valores de y = f(x) correspondientes. Al graficarestos puntos y luego conectarlos, se obtiene la grafica que se muestra en la figura 62.

48

x y = f(x) = 2x (x, y)

−10 2−10 ≈ 0,00098 (−10, 0,00098)

−3 2−3 =1

8(−3,

1

8)

−2 2−2 =1

4(−2,

1

4)

0 20 = 1 (0, 1)1 21 = 2 (1, 2)2 22 = 4 (2, 4)3 23 = 8 (3, 8)10 210 = 1024 (10, 1024)

Figura 61

x y = f(x) = log2(x) (x, y)1

8−3 (

1

8,−3)

1

4−2 (

1

4,−2)

1

2−1 (

1

2,−1)

1 0 (1, 0)2 1 (2, 1)4 2 (4, 2)8 3 (8, 3)

Figura 62

2. Ahora grafica las funciones f(−x) y −f(x). ¿Que patron se observa?

4.15. Grafica de la funcion : f(x) =1

x2

1. Asignando algunos valores a x y encontrando los valores de y = f(x) correspondientes, obtenemos lagrafica que se muestra en la figura 63.

Observacion: En los ejercicios anteriores, para poder observar el patron en cada item es recomendabledibujar las graficas de las funciones en acetatos y superponerlos.

49

x y = f(x) =1

x2(x, y)

−21

4(−2,

1

8)

−1 1 (−1, 1)

−1

24 (−1

2, 4)

1

24 (

1

2, 4)

1 1 (1, 1)

21

4(2,

1

8)

Figura 63

5. Diversas formas de definir funciones: encontrando formulas

En las figuras 64, 65, 66, 67, 68 y 69, cada una de las graficas corresponde a la grafica de una funcion fdefinida por partes. Se pide encontrar: a) una formula para f , b) el dominio y rango de f .

Figura 64

50

Figura 65

Figura 66

6. Propiedades de las funciones: analisis de su comportamiento

En primer lugar, recuerda las graficas de las funciones f(x) = x2, f(x) = |x|, f(x) = x3, f(x) =1

xy

f(x) =1

x2estudiadas en la seccion anterior, y observa las simetrıas que tienen estas graficas. Tambien des-

cribe donde la grafica es creciente y decreciente, y si hay saltos

Ahora bien, resulta que la grafica de una funcion y = f(x) puede ser obtenida si se conocen ciertas propie-dades de la funcion y el impacto de estas propiedades en la forma de la grafica. Ademas de la monotonıa(creciente o decreciente), otras propiedades importantes son:

Intercepciones. Si x = 0 esta en el dominio de una funcion y = f(x), entonces la intercepcion de la graficade f con el eje vertical y es el valor f(0), es decir, el punto (0, f(0)) esta en la grafica de f . Las intercepcionesde la grafica de f con el eje horizontal x, si existen, son las soluciones de la ecuacion f(x) = 0, es decir, hay

51

Figura 67

Figura 68

Figura 69

52

puntos de la forma (a, 0) en la grafica de f . Estas intercepciones se llaman raıces de f .

Funcion par. Una funcion f es par si para cada x en su dominio, el numero −x tambien esta en el dominioy f(−x) = f(x), es decir, si el punto (x, f(x)) esta en la grafica de f , entonces el punto (−x, f(x)) tambienesta en la grafica de f . Se observa que una funcion es par si y solo si su grafica es simetrica respecto del ejey.

Funcion impar. Una funcion f es impar si para cada x en su dominio, el numero −x tambien esta en el do-minio y f(−x) = −f(x), es decir, si el punto (x, f(x)) esta en la grafica de f , entonces el punto (−x,−f(x))tambien esta en la grafica de f . Se observa que una funcion es impar si y solo si su grafica es simetricarespecto del origen de coordenadas.

En la figura 70 se muestran una funcion par y una funcion impar.

Figura 70

Maximo local. Una funcion f tiene una maximo local en el valor c si existe un intervalo abierto I quecontiene a c tal que, para toda x 6= c en I se verifica f(x) < f(c). El valor f(c) se llama maximo local de f .Tambien se dice que en el punto (c, f(c)) hay un maximo local. Se observa que si f tiene una maximo localen el valor c, entoces el valor de f(c) es mayor que los valores de f cerca de c.

Mınimo local. Una funcion f tiene una mınimo local en el valor c si existe un intervalo abierto I quecontiene a c tal que, para toda x 6= c en I se verifica f(x) > f(c). El valor f(c) se llama mınimo local de f .Tambien se dice que en el punto (c, f(c)) hay un mınimo local. Se observa que si f tiene una mınimo localen el valor c, entonces el valor de f(c) es menor que los valores de f cerca de c.

Continuidad y discontinuidad. Una funcion f se llama continua si su grafica no tiene saltos bruscos. Deotra manera, si la grafica de f tiene saltos bruscos, se llama discontinua

Asıntota horizontal. Sea f(x) una funcion. Si cuando los valores de la variable independiente x se vuelvennegativamente grande (x → −∞) o se vuelven positivamente grandes (x → ∞) y los valores de f(x) seacercan a un numero fijo L, entonces la recta horizontal y = L es una asıntota horizontal de la grafica de la

53

funcion f . La grafica de una funcion podrıa intersectar una asıntota horizontal.

Asıntota vertical. Sea f(x) una funcion. Si cuando los valores de la variable independiente x se acercana un numero c (x → c) y los valores de f(x) se vuelven negativamente grandes (f(x) → −∞) o se vuelvenpositivamente grande (f(x) → ∞), entonces la recta vertical x = c es una asıntota vertical de la grafica dela funcion f . La grafica de una funcion nunca cruzara una asıntota vertical.

Considere la funcion de la figura 71 con dominio en el intervalo cerrado [−3, 3].

Responde:

1. ¿Es par o impar la funcion?

2. ¿En que valores, si existen, la funcion tiene unmaximo local?

3. ¿Cuales son los maximos locales?

4. ¿En que valores, si existen, la funcion tiene unmınimo local?

5. ¿Cuales son los mınimo locales?

6. ¿Donde la funcion es creciente?

7. ¿Donde la funcion es decreciente?

Figura 71

En la figura 72 se muestra una funcion con dominio en el intervalo cerrado [−3, 3].

Responde:

1. ¿Es par o impar la funcion?

2. ¿En que valores, si existen, la funcion tiene unmaximo local?

3. ¿Cuales son los maximos locales?

4. ¿En que valores, si existen, la funcion tiene unmınimo local?

5. ¿Cuales son los mınimo locales?

6. ¿Donde la funcion es creciente?

7. ¿Donde la funcion es decreciente?

Figura 72

54

Para determinar algebraicamente si una funcion es par o impar, o no tiene ninguna de estas propiedades,debemos verificar si se cumplen o no las relaciones: f(−x) = f(x) o f(−x) = −f(x). Por ejemplo:

1. f(x) = x2 + 3 es una funcion par, pues, f(−x) = (−x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x).

2. g(x) = x3 − 1 no es una funcion par ni impar, pues, g(−x) = (−x)3 − 1 = −x3 − 1. Y, por tanto,g(−x) 6= g(x) y g(−x) 6= −g(x).

3. h(x) = 3x3 − x es una funcion impar, pues, h(−x) = 3(−x)3 − (−x) = −(3x3 − x) = −h(x).

6.1. Ejercicios

1. Determine algebraicamente si cada funcion es par, impar o ninguna.

a) g1(x) = 3√x+ 1 b) g2(x) = 3

√x+ c) g3(x) = 2x4 − x2 d) g4(x) = x− 2x2

e) g5(x) = x3 + x f) g6(x) = x+ |x| g) g7(x) =1

x2h) g8(x) =

3√

2x2 + 1

i) g9(x) =x

x2 − 1j) g10(x) =

2x

|x|

55

7. Analisis del comportamiento grafico de una funcion usando transfor-maciones

En este apartado se hace uso del lenguaje geometrico de las tranformaciones para desarrollar una nocion defuncion como objeto matematico y realizar operaciones con funciones en el contexto geometrico, favoreciendola coordinacion entre las representaciones algebraica y grafica.

En las actividades que proponemos se opera con graficas de funciones de manera analoga a los numeros ylas variables, dando sentido a operaciones como las siguientes:

Transformacion Nombre Efecto geometrico

y = f(x) + k, k > 0 Traslacion vertical Subir k unidades la grafica de f

y = f(x)− k, k > 0 Traslacion vertical Bajar k unidades la grafica de f

y = f(x+ h), h > 0 Traslacion horizontal Desplazar k unidades a la izquierda la grafica de f

y = f(x− h), h > 0 Traslacion horizontal Desplazar k unidades a la derecha la grafica de f

y = af(x), a > 1 Dilatacion vertical Estirar verticalmente la grafica de f

y = af(x), 0 < a < 1 Contraccion vertical Comprimir verticalmente la grafica de f

y = f(ax), a > 1 Contraccion horizontal Comprimir horizontalmente la grafica de f

y = f(ax), 0 < a < 1 Dilatacion horizontal Estirar horizontalmente la grafica de f

y = −f(x) Reflexion Reflejar la grafica de f en el eje x

y = f(−x) Reflexion Reflejar la grafica de f en el eje y

y = f−1(x) Reflexion Reflejar la grafica de f respecto la recta y = x

y =1

f(x)Inversion Invierte ceros en asıntotas y viceversa

y = |f(x)| Reflexion Reflejar las imagenes negativas en el eje x

y = f(|x|) Reflexion Reflejar las abscisas positivas en el eje y

Asumiremos conocidas las graficas de las funciones construidas en la seccion anterior. Ası, dada la grafica dela funcion y = f(x) preguntamos:

1. ¿Que patron se observa en las graficas de y = f(x) + k? ¿y y = f(x− h) ?

2. ¿Que patron se observa en las graficas de y = f(−x)? ¿y y = −f(x) ?

3. ¿Que patron se observa en las graficas de y = af(x)?

4. ¿Que patron se observa en las graficas de y = |f(x)|? ¿y y = f(|x|) ?

5. ¿Que patron se observa en las graficas de y =1

f(x)?

6. ¿Como se modifica el dominio de la funcion? ¿Y el rango?

Para responder a estas preguntas, considera cualquiera de las funciones estudiadas en la seccion anterior yaplıcale estas transformaciones. Por ejemplo, para f(x) = x2 con x ∈ [−2, 2] se tiene:

56

57

58

Realiza lo mismo para las funciones f(x) = |x| y f(x) =1

xcon x ∈ [−2, 0) ∪ (0, 2].

7.1. Ejercicios

1. Encuentra la grafica en la figura 73 que se corresponde a cada una de las siguientes funciones.

a) y = x2 + 2 b) y = −x2 + 2 c) y = |x|+ 2 d) y = −|x|+ 2

e) y = (x− 2)2 f) y = −(x+ 2)2 g) y = |x− 2| h) y = −|x+ 2|i) y = 2x2 j) y = −2x2 k) y = 2|x| l) y = −2|x|

Figura 73

2. En la figura 74 se muestra la grafica de la funcion f . Usa esa grafica como primer paso para graficarcada una de las siguientes funciones.

a) F (x) = f(x) + 3 b) G(x) = f(x+ 2) c) P (x) = −f(x) d) H(x) = f(x+ 1)− 2

e) Q(x) =1

2f(x) f) g(x) = f(−x) g) h(x) = f(2x) h) R(x) = f(

1

2x)

59

t 65. 66. YA 67.

Y A Y c

4

(0,2)

- -

- 4 -

(2,2) 0

-

I I I I t 2 4 x -

-0 (2, -2)

- 4 -

(2,;) (-2,2)

(-4, -2)

- m

- 1 I I \ . I * I I I I

2 ' 4 x -4 -2

- - \ b t--Q - 2 - (4, -2) (-4, -2)

2

I I I I

X -4 -2 , - 4 .'

m" -2

2 - 1 - 4 - 2 1 j - -

(-2, -2)

Figura 74

3. En la figura 75 se muestran las graficas de dos funciones y = f(x) en el rectangulo [−4, 4] × [−3, 3].Bosqueje la grafica de cada una de las siguientes funciones. Determine el dominio y el rango.

Figura 75

a) g1(x) = f(x+ 1) b) g2(x) =1

2f(x+ 1) c) g3(x) =

1

2f(x+ 1)− 3 d) g4(x) = f(x− 2)

e) g5(x) = −f(x) f) g6(x) = f(−x) g) g7(x) = f(4x) h) g8(x) = −f(−x)

i) g9(x) = f(|x|) j) g10(x) = |f(x)| k) g11(x) = f(x− 2) + 2 l) g12(x) = f(1

2x)

m) g13(x) = 2− f(x− 2) n) g14(x) = f(x+ 2)− 1

4. En la figura 76 se muestran las graficas de dos funciones y = f(x), respectivamente, en [−4, 4]× [−3, 3]y [−3, 3]× [−4, 4]. Bosqueje la grafica de cada una de las siguientes funciones. Determine el dominio y

60

Figura 76

el rango.

a) g1(x) = f(x+ 1) b) g2(x) =1

2f(x+ 1) c) g3(x) =

1

2f(x+ 1)− 3 d) g4(x) = f(x− 1)

e) g5(x) = −f(x) f) g6(x) = f(−x) g) g7(x) = f(3x) h) g8(x) = −f(−x)− 2

i) g9(x) = f(|x|) j) g10(x) = |f(x)| k) g11(x) = f(x− 2) + 2 l) g12(x) = f(1

2x)

5. Considera las funciones f(x) =√x, g(x) = 3

√x y h(x) = |x|. Para cada una de estas funciones,

encuentra la grafica de la funcion obtenida despues de aplicar la secuencia de tranformaciones siguientes:

a) Subir 2 unidades, reflejar en el eje x y reflejar en el eje y.

b) Reflejar en el eje x, subir 2 unidades y trasladar a la izquierda 3 unidades.

c) Bajar 2 unidades, reflejar en el eje y y trasladar a la derecha 3 unidades.

d) Trasladar a la derecha 4 unidades, trasladar hacia arriba 4 unidades, reflejar en el eje y y estirarverticalmente por un factor de 4.

e) Trasladar a la izquierda 4 unidades, trasladar hacia abajo 4 unidades, reflejar en el eje x y estirarhorizontalmente por un factor de 4.

6. En las figuras 77 y 78 se muestra el procedimiento seguido para dibujar las graficas de las funciones

f(x) =3

x− 2+ 1 y

√1− x+ 2.

Ahora grafica cada una de las funciones siguientes usando las tecnicas de traslacion, dilatacion, com-presion y/o reflexion. Dibuja paso a paso las operaciones realizadas.

61

Figura 77

YA YA 4 - 4 - k -, ( 1#1 ) - L ( l > 3 )

1 q;) I I I I I I ) I I I I I I I I )

4 x - 4 7 , ;

4 x ( - 1 , -1)

-4 7; -4 - (-1, -3) - 4 -- -

Figura 78

a) g1(x) =√x− 2 b) g2(x) = (x− 1)3 + 2 c) g3(x) = (x+ 2)3 − 3 d) g4(x) = 4

√x

e) g5(x) = − 3√x f) g6(x) = 3

√−x g) g7(x) =

√−x− 2 h) g8(x) =

4

x+ 2

i) g9(x) = |x+ 1| − 3 j) g10(x) = 2|1− x| k) g11(x) =4

x− 2+ 2 l) g12(x) = 2ent(x− 2)

62

8. Acomodos algebraicos de funciones para analizar el comportamientografico de una funcion

8.1. Graficas de funciones cuadraticas: f(x) = ax2 + bx+ c

Para graficar cualquier funcion cuadratica f(x) = ax2+bx+c, a 6= 0, observamos que al completar cuadradosse obtiene:

f(x) = ax2 + bx+ c

= a(x2 +b

ax) + c

= a(x2 +b

ax+

b2

4a2) + c− a(

b2

4a2)

= a(x+b

2a)2 + c− b2

4a

= a(x+b

2a)2 +

4ac− b2

4a

Si h = − b

2ay k =

4ac− b2

4a, entonces

f(x) = ax2 + bx+ c = a(x− h)2 + k.

Por tanto, la grafica de f es la parabola y = ax2 trasladada h unidades horizontalmente y k unidades ver-ticalmente. En consecuencia, el vertice esta en el punto (h, k), y la grafica se abre hacia arriba si a > 0 yabajo si a < 0. El eje de simetrıa es la recta x = h.

Veamos un ejemplo: Graficar la funcion f(x) = 2x2 + 8x+ 5.Completando cuadrados obtenemos f(x) = 2(x+ 2)2− 3. Por tanto, la parabola se abre hacia arriba y tienesu vertice en el punto (−2,−3).Observemos:

1. Si b2 − 4ac > 0, la grafica de f(x) = ax2 + bx+ c tiene dos intercepciones diferentes con el eje x.

2. Si b2 − 4ac = 0, la grafica de f(x) = ax2 + bx+ c tiene solo una intercepcion con el eje x y lo toca ensu vertice.

3. Si b2 − 4ac < 0, la grafica de f(x) = ax2 + bx+ c tiene no tiene intercepciones con el eje x.

8.1.1. Ejercicios

1. Graficar la funcion f(x) = −3x2 + 6x+ 1.

2. Graficar la funcion f(x) = 2x2 + x+ 1.

3. Graficar la funcion f(x) = x2 − 6x+ 9.

63

8.2. Graficas de funciones racionales: f(x) =ax+ b

cx+ d

Para graficar cualquier funcion racional de la forma f(x) =ax+ b

cx+ d, a 6= 0, c 6= 0, observamos que al hacer la

division se obtiene:

f(x) =ax+ b

cx+ d=a

c+

bc− adc

cx+ d

Por tanto, la grafica de f se obtiene mediante transformaciones de la hiperbola y =1

x. La asıntota horizontal

es y =a

cy la asıntota vertical es x = −d

c. El factor

bc− adc

, siendo una constante, modificara la grafica

contrayendola o dilatandola, pero sin alterar la forma esencial de la curva, salvo por el signo que, si esnegativo, significara una reflexion respecto al eje x.

Si b = d = 0, entonces f(x) =ax

cx=a

c, la cual es una recta paralela al eje x.

8.2.1. Ejercicios

1. Graficar las siguientes funciones.

a) f(x) =x+ 1

x− 2b) f(x) =

−3x+ 7

x− 1c) f(x) =

5x+ 3

2x− 8d) f(x) =

4x− 8

x+ 5

2. Resolver las siguientes desigualdades.

a)x+ 1

x− 2> 0 b)

−3x+ 7

x− 1< 0 c)

5x+ 3

2x− 8< 0 d)

4x− 8

x+ 5> 0

e) 2x2 + 8x+ 5 < 0 f) − 3x2 + 6x+ 1 < 0 g) 2x2 + x+ 1 > 0 h) x2 − 6x+ 9 < 0

9. Operaciones con funciones y composicion de funciones

Al igual que dos numeros a y b pueden sumarse para producir un nuevo numero a+b, tambien dos funciones fy g puden sumarse para producir una nueva funcion f+g. Esta es solo una de las operaciones sobre funcionesque podemos realizar, ya que tambien podemos: restar, multiplicar y dividir dos o mas funciones. Ademas,si g(x) es un numero en el dominio de f , entonces tambien es posible evaluar f en g(x), que llamaremoscomposicion de funciones.

9.1. Sumas, diferencias, productos y cociente de funciones

Considere las funciones f y g con las formulas f(x) =x− 3

2, g(x) =

√x. Podemos construir una nueva

funcion f + g al asignar a x el valor de f(x) + g(x); esto es:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x−32 +

√x

Por supuesto que debemos tener un poco de cuidado con respecto a los dominios. Claramente, x debe ser unnumero en que tanto f como g funcionen. En otras palabras, el domino de f + g es la interseccion (parte encomun) de los dominiod de f y g.

Las funciones f − g, f.g yf

gse introducen de manera completamente analoga:

64

Formula Dominio

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x−32 +

√x [0,∞]

(f − g)(x) = f(x)− g(x) = x−32 −

√x [0,∞]

(f.g)(x) = f(x).g(x) = x−32

√x [0,∞](

fg

)(x) = f(x)

g(x) = x−32√x

(0,∞]

Ejemplo: Sea f(x) =√

4− x y g(x) =√

3 + x Encuentre las funciones f + g, f − g, fg y f/g y encuentresus dominios.Solucion.

i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) =√

4− x+√

3 + x

ii) (f − g)(x) = f(x)− g(x) =√

4− x−√

3 + x

iii) (fg)(x) = f(x)g(x) =√

4− x√

3 + x =√

(4− x)(3 + x) =√

12 + x− x2

iv) (f

g)(x) =

f(x)

g(x)=

√4− x3 + x

Los dominios de f y g son:(∞, 4] y [−3,∞), respectivamente. La interseccon de estos dominios es: (∞, 4] ∩[−3,∞) = [−3, 4]. Este es el dominio de las funciones f + g, f − g, y fg. Como g(−3) = 0, x = 3 este punto

se debe excluir del dominio de la funcion cociente. Ası, el dominio de

(f

g

)es (−3, 4].

9.2. Composicion de funciones

Una funcion se puede pensar como una maquina, que recibe a x como entrada, trabaja sobre x y producef(x) como salida. Con frecuencia, dos maquinas se ponen una tras otra para producir una maquina mascompleja; del mismo modo, dos funciones f y g. Si f actua sobre x para producir f(x) y luego g actuasobre f(x) para producir f(g(x)), decimos que hemos compuesto g con f . La funcion resultante, llamadacomposicion de g con f , se denota con g ◦ f . Ası (g ◦ f) (x) = g(f(x)).

Consideremos los siguientes ejemplos:

1. Sea f la funcion definida por f(h) = 60h que convierte horas en minutos, y g(m) = 60m la funcionque convierte minutos a segundos. Entonces una funcion que convierta horas en segundos (g ◦ f) (k) =g(f(h)) = g(60h) = 60(60h) = 3600h.

2. El costo de produccion de huevos por un granjero es funcion del numero de gallinas que tiene; el numerode gallinas depende a su vez del costo del alimento. Entonces el costo de produccion de huevos es unafuncion del costo del alimento para gallinas.

3. La produccion anual de naranjas de una huerta es funcion del numero de arboles plantados en la huerta;el numero de arboles plantados es funcion de la fertilidad del terreno. La produccion anual es puesfuncion de la fertilidad del terreno.

4. Sea f : R→ R y g : R→ R dadas por f(x) = x2 y g(x) = x+ 1. Entonces

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 1 y (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1

65

5. Si consideramos las funciones f(x) =x− 3

2y g(x) =

√x, entonces

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x− 3

2) =

√x− 3

2y (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(

√x) =

√x− 3

2

En seguida notamos que g ◦ f no es igual f ◦ g. Por lo tanto, decimos que la composicion de funciones no esconmutativa.

Debemos tener cuidado al describir el dominio de una funcion compuesta. El dominio de g ◦ f es igual alconjunto de aquellos valores de x que satisfacen las siguientes propiedades:

1. x esta en el dominio de f.

2. f(x) esta en el dominio de g

En otras palabras, x debe ser una entrada valida para f y f(x) debe ser una entrada valida para g. Portanto, si f : A → B y g : C → D tales que f(A) ⊂ C, entonces es posible construir una tercera funcionh : A → D en la forma siguiente: Observemos que si f : A → B es una funcion cualquiera, IA : A → A

(a) Esquema general (b) Un ejemplo

Figura 79

es la funcion identidad sobre A y IB : B → B es la funcion identidad sobre B, entonces para toda x:(f ◦ IA)(x) = f(IA(x)) = f(x) y (IB ◦ f)(x) = IB(f(x)) = f(x), es decir, f ◦ IA = f y IB ◦ f = f , lo cualsignifica que con respecto a la composicion de funciones, la funcion identidad del conjunto de partida IAactua como la identidad a la derecha y la del conjunto de llegada IB como la identidad a la izquierda.

Con respecto a los conceptos ya introducidos se tienen los resultados siguientes:

1. La funcion compuesta de dos inyecciones es una inyeccion.

2. Si f : A→ B y g : B → C son funciones sobreyectivas, entonces g ◦ f tambien es sobreyectiva.

3. Si f : A→ B y g : B → C son biyecciones, entonces g ◦ f tambien lo es.

9.3. Ejercicios

1. Para f(x) = x+ 3 y g(x) = x2, determine cada uno de los valores (si esto es posible).

a) (f + g)(2) b) (fg)(0) c) (g/f)(3) d) (f ◦ g)(1) e) (g ◦ f)(1) f) (g ◦ f)(−8)

66

2. Para las funciones indicadas f y g, encuentre las funciones f+g, f−g, fg, f/g, f ◦g y g◦f , y encuentresus respectivos dominios.

a) f(x) = x+1

x; g(x) = x− 1

xb) f(x) = x− 1; g(x) = x− 6

x− 1c) f(x) =

x+ 5

x; g(x) =

x

x− 2

d) f(x) =√x− 1; g(x) = x2 + 3

3. Sea f(x) =ax+ b

cx− a. Demuestre que f(f(x)) = x, siempre y cuando a2 + bc 6= 0 y x 6= a/c

4. Demuestre que la operacion de composicion de funciones es asociativa; es decir : f1 ◦ (f2 ◦ f3) = (f1 ◦ f2) ◦ f3

5. Sean f1(x) = x, f2(x) = 1/x, f3(x) = 1 − x, f4(x) = 1/(1 − x), f5(x) = (x − 1)/x y f6(x) = x/(x −1). La composicion de cualquiera de estas funciones es otra de la lista. Llene la siguiente tabla decomposiciones:

◦ f1 f2 f3 f4 f5 f6f1f2f3f4f5f6

6. Escriba las siguientes funciones como una funcion compuesta g ◦ f .

a) p(x) = (x+ 2)5 b) p(x) = (1 + x2)3 c) p(x) =√

1− x2 d) p(x) = |2x2 + 3|

7. La demanda x y el precio p (en dolares) para un cierto producto estan relacionadas por x = f(p) =4000 − 200p. El ingreso (en dolares) por la venta de x unidades esta dada por: R(x) = 20x − 1

200x2.

Y el costo (en dolares) de produccion de x unidades esta dado por C(x) = 10x + 30000. Exprese lautilidad como una funcion del precio p.

8. Un cono de papel con diametro de 4 pulgadas y altura de 4 pulgadas esta inicialmente lleno de agua.Se le hace un pequeno hoyo en el fondo y el agua comienza a fluir Sea h y r la altura y el radio,respectivamente, del agua en el cono t minutos despues de que algua comienza a fluir.

Exprese r como una funcion de h.

Exprese el volumen V como una funcion de h.

Si la altura del agua despues de t minutos esta dada por: h(t) = 0,5√t exprese V como una funcion

de t

10. La funcion inversa y su comportamiento

Una funcion es biyectiva cuando es simultaneamente inyectiva y sobreyectiva, es decir, el conjunto imagencoincide con el conjunto de llegada y esta formado por elementos tales que todos son imagen de un elementodel dominio, pero no de mas de uno. Por ejemplo, sea f una funcion que va de los naturales a los numerosnaturales pares definida de la siguiente manera:

f : N→ P tal que f(x) = 2x

donde P es el conjunto de los numeros naturales pares. Esta funcion ası definida es biyectiva, ya que a cadaelemento del dominio le corresponde un unico elemento de rango y viceversa.

67

Figura 80: Funcion Biyectiva.

Sea D ={ a, b, c, d } y L= { 1, 2, 3, 4}. En la figura 80, se define una funcion biyectiva f : D → L.Ahora, invirtiendo la direccion de la funcion f , ası f−1 : L −→ D. En esta nueva funcion f−1 el dominioes L y el conjunto de llegada es D y manteniendo la regla de correspondencia, se observa que dicha reglacumple con la condicion de funcion, ya que todos los elementos de L tienen una imagen en D y esta imagenes unica. Vemos que f−1 tambien es biyectiva; se dice que f−1 es la funcion inversa de f . Observemos que si(a, b) esta en la grafica de f (es decir, f(a) = b) si y solo si (b, a) esta en la grafica de f−1 (es decir, f−1(b) = a).

Ejemplo. Sea f una funcion tal que a cada numero entero le hace corresponder el siguiente, ası:

f : Z→ Z tal que f(x) = x+ 1

Invirtiendo el orden de tal manera que a cada numero entero le corresponda el anterior, se obtiene:

f−1 : Z→ Z tal que f−1(x) = x− 11

donde f−1 es la funcion inversa de f y viceversa.

En general, a partir de una funcion biyectiva f : D −→ L, siempre se podra invertir el orden de los conjuntosy la relacion funcional para obtener otra funcion biyectiva f−1 : L −→ D. Se dice que f y f−1 son funcionesinversas una de la otra. (ver figura 81 )Cuando la funcion no es biyectiva, al invertir el orden de los conjuntosse obtiene una correspondencia que no tiene las caracterısticas de funcion.

Figura 81

En los ejemplos anteriores observamos que f ◦f−1 = I y f−1◦f = I. En general, dada una funcion f : A→ B,podemos preguntarnos ¿Cuando existe otra g : B → A tal que g ◦ f = IA y f ◦ g = IB? Esto significa quecualquiera sea x en A, g(f(x)) = x y cualquiera sea y en B, f(g(y)) = y. Observese que el efecto producidopor una de las funciones es siempre anulado por la otra. Esto significa que si y = f(x), entonces g(y) = x yrecıprocamente, es decir, (x, y) esta en la grafica de f si y solo si (y, x) esta en la grafica de g, lo cual nosconduce a que necesariamente g = f−1, es la relacion inversa de f . Las graficas de f y f−1 son simetricas

68

respecto de la funcion identidad. De otra manera, las graficas de funciones inversas son reflexiones una deotra sobre la recta y = x (ver figura 82 ).NOTA. No hay que confundir la funcion inversa, f−1(x), y la inversa de una funcion, 1

f(x) .

Figura 82: Simetrıa de las funciones inversas respecto a la recta identidad

Para calcular la funcion inversa, seguimos los siguientes pasos:

1. Se escribe la relacion f(f−1(x)) = x.

2. Se hace la sustitucion z = f−1(x)

3. Se escribe f(z) = x y se despeja la variable z en funcion de la variable x.

4. Se hace la sustitucion z = f−1(x)

10.1. Ejercicios

1. Sea f(x) = x2 − 3 para x ≥ 0. Determinar la funcion inversa de f.Solucion. El dominio de f es [0,∞) y el rango es [−3,∞). Como f es creciente, es biyectiva y, por lotanto, tiene una funcion inversa f−1, cuyo dominio es [−3,∞), y su contradominio es [0,∞). Ahora,escribimos f(z) = x o z2 − 3 = x y despejamos z, obteniendo z =

√x+ 3 o z = −

√x+ 3. Como z es

no negativa, desechamos z = −√x+ 3 y, por tanto, z =

√x+ 3 o f−1(x) =

√x+ 3. Se verifican las

condiciones:

f ◦ f−1 = I,esto es (f ◦ f−1)(y) = f(f−1(y)) = f(√y + 3) = (

√y + 3)2 − 3 = y

f−1 ◦ f = I, esto es (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(x2 − 3) =√x2 − 3 + 3 = x

Las graficas de las dos funciones se muestran en la figura 83

Figura 83

69

2. Verifique que las funciones indicadas f y g son inversas una de la otra.

a) f(x) = 3x+ 4; g(x) =1

3(x− 4) b) f(x) = 4x− 8; g(x) =

x

4+ 2 c) f(x) =

2x+ 3

x+ 4; g(x) =

4x− 3

2− x

3. Encuentre la funcion inversa de las siguientes funciones. Establezca el dominio de la funcion y de lafuncion inversa, y verifique su respuesta.

a) f(x) =2x+ 3

x− 1b) f(x) =

x2 − 4

2x2, x > 0 c) f(x) =

x2 + 3

3x2, x > 0 d) f(x) =

4

2− x

10.2. Dos problemas aplicados

1. Una alumna se golpeo en una rodilla jugando futbol, su medico prescribio un anti-inflamatorio parareducir la hinchazon. Tenıa que tomar dos tabletas de 220 mg cada 8 horas durante 10 dıas. Si susrinones filtraban de su cuerpo un 60 % del medicamento, cada 8 horas, ¿Que cantidad quedaba en susistema circulatorio al cabo de los 10 dıas? ¿ y si hubiera tomado la medicina durante x dıas?

a) Encuentre una expresion en terminos de los dıas que se ha tomado el medicamento del siguienteproblema

b) Grafıque el resultado para los primeros 10 dıas

c) Clasifique la funcion obtenida

d) Determine si es creciente o decreciente.

2. (Ley de enfriamiento de Newton). La ley del enfriamiento de los cuerpos de Newton estableceque el enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la temperatu-ra ambiente. La ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en unambiente con una temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo esT (t) = Ta + (T0 − Ta)ekt, donde k es una constante, llamada la constante de enfriamiento, y que esparticular de cada cuerpo.

Usando la Ley de enfriamiento de Newton resuleve el siguiente problema:Un policıa tomo nota de que la temperatura ambiente era de 20oC y la del cadaver de 29, 5oC. Doshoras mas tarde, se volvio a tomar la temperatura del cadaver, que habıa descendido hasta los 23, 4oC.¿A que hora fallecio el cuerpo? (Considera que To = 37oC)

70

11. La tasa de variacion o razon de cambio promedio de una funcion

Siempre que dos magnitudes (variables ) esten conectadas mediante una relacion funcional (funcion ) sepuede estudiar el cambio “relativo” de una de las magnitudes con respecto a la otra. El mecanismo demedir la variacion de una variable respecto a la otra se hace mediante una comparacion o una razon entre lasvariables involucradas. Por ejemplo, las companıas de electricidad determinan razones de cambio: el consumode energıa electrica se registra como una curva en funcion del tiempo, un aumento repentino del consumose refleja en el aumento de la amplitud de la curva, lo que indica la necesidad de incrementar la capacidadelectrica. La determinacion mas comun de razones de cambio de procesos ocurre en la casa, por ejemplo,cuando el ama de casa observa los incrementos de precios para ciertos artıculos. Si los precios suben rapido esbuena decision de comprar estos artıculos en reserva. Para justificar esta decision, no importa tanto el valorabsoluto del precio, sino el incremento sufrido. Otra utilidad que tiene el estudio de las razones de cambioes porque tambien tienen de cierto modo un valor pronostico y nos permite tomar decisiones futuras.

11.1. Comportamiento del crecimiento y decrecimiento de una funcion

1. Observa la grafica que se muestra en la figura 84. ¿Que informacion proporciona?

Figura 84

2. Observa las graficas que se muestran en la figura 85. ¿Como distinguirıas el comportamiento del creci-miento entre ellas?

Figura 85

3. La figura 86 muestra las curvas de dilatacion de varias sustancias.

a) ¿Que sustancias tienen una dilatacion constante?

71

Figura 86

b) Ordena de menor a mayor las sustancias segun su dilatacion.

4. La supervivencia de los individuos de distintas poblaciones varıa segun las especies a las que pertenez-can. Para poder compararlas se utilizan las llamadas curvas de supervivencia. La grafica 87 presentatres curvas de supervivencia correspondientes a tres especies diferentes

Edad relativa para cada especie en O/O

- Especie A - Especie B - Especie.C:

Figura 87

a) ¿Que especie tiene una alta mortalidad en los primeros anos de vida?

b) ¿Que especies tienen una mortalidad constante?

c) ¿Que especies tienen poca mortalidad en los primeros anos de vida?

d) En las tres graficas observamos que el numero de supervivientes a partir de 1000 individuos inicialesdecrece con la edad (aumenta la mortalidad). ¿El decrecimiento tiene el mismo comportamientoen los tres casos? Explica tu respuesta. (Observa graficamente el numero de supervivientes cuandola edad es del 10 %, 20 %, 30 %, . . . ).

5. El grafico de la figura 88 representa el crecimiento de una planta. ¿En que periodo se produjo el mayorcrecimiento?

6. Un turista hace una excursion a la cima de una montana y tarda desde su casa a la cima 2 horas30 minutos. La grafica de la figura 89 muestra con detalle las velocidades que ha llevado durante laexcursion. Se pide:

a) Variables que se miden en el eje de abscisas y en el eje de ordenadas, con las escalas utilizadas.

b) ¿En que vehıculo pudo viajar la primera hora y media? ¿Y en la ultima media hora? ¿Crees queen algun periodo fue andando? ¿Estuvo en algun perido parado?

72

meses del afio

Figura 88

Vclocidad en k m h . . . . . , . , : : : : : j j ; / / j ; j : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

...... ....-. -..-- ...... ....-. 16 ' ...... i ...-.. i ..-..- 1 ....-. i ..-... 1 .-.... i i .-..- -..-.. -....- i ..-..- ! ....-. i -..... i ..-... .-..-. . . . . . . . . . , , , , , , , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;i;jijiiij : : : : .- ..-. : .-.-.. .. .-... 4 -..... i ..-..- i .-.... i 1 ..-.-- 1 ....-. i ---.-- : ---..- i -.... i .....- ....... ...... ...... ...... ...... . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . , , , . . , . . . . . . . . . .

o 1 2 3 horas

Figura 89

c) ¿Indica la grafica cuando cambia el medio de locomocion? ¿Que particularidad presenta la graficaentonces?

d) ¿En que periodos aumenta o disminuye la velocidad? ¿A que hora alcanzo una velocidad maxima?¿Cuantos km recorre en la ultima media hora?

e) ¿Esta indicado en la grafica el recorrido total del viaje? ¿Podrıas decir cuantos km son?

7. Una ciguena se echa a volar desde su nido, busca algun alimento para sus crıas, lo encuentra y vuelvea su nido, que esta en el campanario de una iglesia. En la grafica 90 se describe el vuelo de la ciguena.

Responde:

a) ¿A que altura se encuentra el nido?

b) ¿Cuanto tarda en bajar desde que ve al gusarapo hasta que lo coge? ¿A que altura se encontraba?

c) ¿Sabrıas hallar la velocidad de bajada en metros por minuto?

d) ¿Cuanto tarda en subir desde que coge al gusarapo hasta que estabiliza su altura? ¿Que altura esesta?

73

Figura 90

e) ¿Sabrıas hallar la velocidad de subida en metros por minuto?

8. Para poder distinguir la forma de crecimiento o decrecimiento de una funcion, consideremos las si-guientes figuras.

Figura 91 Figura 92

Las funciones lineales mostradas en la figura 91 se corresponden con las formulas f(x) =x

2, g(x) = x

y h(x) = 2x. Todas ellas son funciones crecientes y crecen con razon constante. Se tiene que h tiene elmayor crecimiento y f tiene el menor crecimiento.

Y las funciones lineales mostradas en la figura 92 se corresponden con las formulas f(x) = −x2

,

g(x) = −x y h(x) = −2x. Todas ellas son funciones decrecientes y decrecen con razon constante. Setiene que h tiene el mayor decrecimiento y f tiene el menor decrecimiento.

Las funciones mostradas en la figura 93 son funciones crecientes y no crecen a razon constante. Para

74

Figura 93 Figura 94

una la razon de crecimiento aumenta y para la otra disminuye.

De igual manera, las funciones mostradas en la figura 94 son funciones decrecientes y no decrecen arazon constante. Para una la razon de decrecimiento aumenta y para la otra disminuye.

Concavidad y convexidad. Segun la curvatura, las funciones pueden ser concavas y convexas.

Las funciones concavas pueden ser crecientes o decrecientes (ver graficas de color azul en las figuras93 y 94). En las funciones concavas crecientes, el crecimiento es cada vez mas lento, y en las funcionesconcavas decrecientes, el decrecimiento es cada vez mas rapido.

Las funciones convexas pueden ser crecientes o decrecientes (ver graficas de color rojo en las figuras 93y 94). En las funciones convexas crecientes, el crecimiento es cada vez mas rapido, y en las funcionesconvexas decrecientes, el decrecimiento es cada vez mas lento.

Una misma funcion puede tener tramos donde es concava y otros donde es convexa. Si la funcion escontinua el punto que separa dos tramos de distinto tipo de curvatura se llama punto de inflexion.

Las funciones lineales (f(x) = mx+ b) no tienen curvatura y son de crecimiento constante.

11.2. Razon de cambio o Tasa de variacion promedio de funciones lineales

Consideremos el precio de un artıculo. En el primer mes el precio del artıculo es de $600, en el segundo mes$900 y en el tercer mes subio a $1200. Sin embargo, para el cuarto mes se ofrecio el producto con un 30 % dedescuento, de tal modo que el precio en el cuarto mes fue de $840. Podemos graficar estos datos y suponerque el incremento ocurrio como en la figura 95, de forma lineal:

La razon de cambio o tasa de variacion del precio se define de la siguiente manera: se calcula un cambioen la direccion vertical ( por ejemplo 1200 – 600) y se divide por el cambio en la direccion horizontal ( el

correspondiente, que en este caso es 3 – 1). Ası, Tasa de variacion =1200− 600

3− 1= 300 dolares/mes.

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Figura 95

Este valor numerico caracteriza el incremento del precio. Ahora dado que en el cuarto mes se ofrecio el pro-ducto con un 30 % de descuento como promocion, se espera una reduccion en su precio. En efecto, la razon

de cambio en este mes es:840− 1200

4− 3= −360 dolares/mes ¿Que interpretacion tendra el signo negativo?

Ahora consideremos un valor intermedio de tiempo, por ejemplo 2 meses y calculemos la razon de cambio

en el segundo mes:900− 600

2− 1= 300 dolares/mes, la cual es igual a la obtenida antes.

A manera de resumen, observamos que: Una razon de cambio caracterıstica para una grafica en forma desegmentos de lınea recta solo cambia si hay variacion en la pendiente de esta. Si crece la grafica, la razon decambio y la pendiente son positivas. Si decrece la grafica, la razon de cambio y la pendiente son negativas.Para calcular la razon de cambio entre dos puntos de una grafica, se sigue el trazo de la curva y se ven losvalores, primero el punto con la abscisa (valor en el eje horizontal) mas grande y despues el punto con laabscisa mas pequena. Despues se forma el cociente entre la diferencia horizontal y la vertical.

11.3. Razon de cambio o Tasa de variacion promedio de una funcion no lineal

Una caracterıstica muy importante que distingue una relacion lineal de una no lineal es el hecho que larazon de cambio entre dos puntos cualesquiera de la curva que representa la relacion no lineal entre dosvariables, cambia a lo largo de la curva. Consideremos el mismo ejemplo anterior. Es factible que los preciosno variaran siguiendo una relacion lineal, como en la grafica de la figura 96, que se construyo, segun los datos:

Tiempo (meses) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5Precio (US$) 657 600 709 900 1092 1200 1143 840 206

Figura 96

76

Observese que se ha aumentado las observaciones de los precios a cada dos semanas. Ası pues, vamos aproceder a obtener las razones de cambio en cada 2 semanas (mitad de mes). De acuerdo con la figura el precioal principio del segundo mes parece ser de $900. Si procedemos como en el caso lineal, la razon de cambio

entre el precio final de la primera quincena y primer mes (de $600 a $657 ) es :657− 600

1− 0,5= 114 dolares/mes.

Ahora, calculamos la razon de cambio de los periodos siguientes, de forma consecutiva:

600− 657

1− 0,5= −114 dolares/mes

709− 600

1,5− 1= 218dolares/mes

900− 709

2− 1,5= 127,33 dolares/mes

1092− 900

2,5− 2= 384 dolares/mes

1200− 1092

3− 2,5= 216 dolares/mes

1143− 1200

3,5− 3= −57 dolares/mes

840− 1143

4− 3,5= −606 dolares/mes

206− 840

4,5− 4= −1268 dolares/mes

Podemos observar que las razones de cambio ahora son diferentes, distinto a lo obtenido en el caso de larecta, en la cual si la pendiente se mantenıa constante, la razon de cambio no varıa. La diferencia entre unacurva y una recta es la variacion continua de la razon de cambio a lo largo de la curva. Estos valores delas razones de cambio describen a grandes rasgos el comportamiento de la curva de precio en funcion deltiempo: en el segundo mes el precio sube mas rapido que en el tercer mes. Si calculamos la razon de cambio

total del segundo al cuarto mes: Tasa de variacion =840− 600

4− 1= 80 dolares/mes. Obtenemos una informa-

cion equıvoca, un valor positivo pequeno, que no refleja la variacion real del precio. Por eso concluimos quees necesario calcular razones de cambio para intervalos pequenos, debido a que los intervalos grandes, nodan valores representativos para la descripcion del cambio de una funcion representada por un trazo de curva.

La razon de cambio suele llamarse tambien tasa de variacion media. Ası, para una funcion y = f(x) cualquieracon domino D, llamamos tasa de variacion media correspondiente al intervalo [a, b] dentro del dominio D ,

al cociente( y escribimos T.V.M. [a, b] ) T.V.M[a, b] =f(b)− f(a)

b− a. Por ejemplo calculemos la T.V.M de la

funcion f(x) = 2x3− 9x2− 24x+ 68:

Figura 97

77

T.V.M[−2,−1] =f(−1)− f(−2)

−1− (−2)=

81− 64

1= 17 T.V.M[−1, 0] =

f(0)− f(−1)

0− (−1)=

68− 81

1= −13

T.V.M[0, 1] =f(1)− f(0)

1− 0=

37− 68

1= −31 T.V.M[1, 2] =

f(2)− f(1)

2− 1=

0− 37

1= −37

T.V.M[2, 3] =f(3)− f(2)

3− 2=−31− 0

1= −31 T.V.M[3, 4] =

f(4)− f(3)

4− 3=−44− (−31)

1= −13

T.V.M[4, 5] =f(5)− f(4)

5− 4=−27− (−44)

1= 17

Puede hacerse algunas observaciones sobre la relacion entre la tasa de variacion y la variacion de la funcion:

Cuando la funcion crece en el intervalo, la T.V.M. es positiva.

Cuando la funcion es decreciente, la T.V.M. es negativa.

Para calcular la T.V.M. solo se necesita el valor de la funcion en los extremos del intervalo.

La magnitud de la tasa de variacion aumenta si la curva es mas empinada y disminuye en caso contrario.

¿Como cree que sera el valor de la T.V.M. en intervalos cerca de donde la funcion toma el maximovalor o el mınimo valor?

11.4. Ejercicios

1. Una enfermera controla la temperatura de un paciente y registra los resultados

Tiempo (horas) 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00Temperatura (oC) 36 37 37.2 37.9 38.5 40 41 39 37.5

a) ¿Cual es el cambio de temperatura entre las 16:00 y las 18:00; las 19:00 y las 22:00; las 22:00 ylas 23:00?

b) Trazar la curva de fiebre del paciente.

c) Calcular las razones de cambio entre las 15:00 y las 23:00 a intervalos de una hora.

d) Complete la siguiente tabla:

Temperatura Grafica Razon de cambioSube Sube

Queda igualBaja negativa

2. El rendimiento promedio escolar en la asignatura de matematicas de una seccion de un centro escolarse lista a continuacion. Aparecen 9 notas correspondientes a las notas mensuales de los tres trimestresde un periodo escolar.

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9Nota promedio 5.4 6.3 8.8 9.1 8.5 7.9 7.0 6.9 6.0

a) Trace una grafica para representar las notas promedio durante el ano lectivo. Suponga un com-portamiento lıneal entre meses consecutivos.

b) Calcule la razon de cambio de la nota promedio de cada uno de los tres trimestres.

c) Calcule la razon de cambio del primer al noveno mes a intervalos de un mes.

d) Interprete los valores obtenidos en b).

78

e) Calcule la razon de cambio total tomando el intervalo completo del primer al noveno mes.

f ) ¿Cree que el valor obtenido en d) refleja la variacion real de la variacion de la nota promedio?.Explique.

3. Un padre midio la estatura de su hijo entre 1959 y 1977 todos los anos el dıa de su cumpleanos. Registrolos datos en la grafica 98.

Figura 98

a) ¿Cual fue el periodo de crecimiento mas rapido del nino?

b) Durante la pubertad suele aumentar la tasa de crecimiento ¿Con que edad empezo este aumento?

c) Calcule la tasa de crecimiento para periodos de 3 anos. ¿Cual es la razon de cambio mas grande?¿y la mas pequena?. Compare con los resultados obtenidos en b).

d) La grafica consiste en segmentos de rectas. Determine las pendientes de cada uno de los segmentos.

4. Resolver el ejercicio 7 de la seccion 2.3.

5. Dibuja la grafica de la funcion que tiene las siguientes caracterısticas:

Dominio: todos los numeros reales menos el intervalo (4, 6).

Rango: los numeros reales menores o iguales que 7.

Discontinuidad en el intervalo (4, 6).

La funcion es negativa para todos los numeros mayores que 8, nula en x = 6 y x = 8 y positivapara el resto de los valores de su dominio.

Es creciente para todos los numeros x, tales que x < 0 y en los intervalos (2, 3) y (6, 7). Esdecreciente para los numeros del intervalo (0, 2) y para todos los numeros x, tales que x > 7.

Alcanza dos maximos locales con valores 4 y 1 y un mınimo local de valor 3.

Para valores muy pequenos de x la funcion se acerca a 1.

6. Dibuja la grafica de la funcion que tiene las siguientes caracterısticas:

Dominio: todos los numeros reales.

Es siempre continua.

Corta a eje de las abscisas en x = −2; x = 0; x = 2.

Es positiva en (−∞,−2) y (2,+∞).

79

Es negativa en (−2, 0) y (0, 2).

Es creciente en los intervalos (−1, 0) y (1,+∞).

Es decreciente en (−∞,−1) y (0, 1)

En x = 0 presenta un maximo local, siendo el valor de este maximo 0. Tiene dos mınimos relativosen x = −1 y x = 1 y en ambos casos su valor es -1.

Es convexa en (−∞,−1/2) y (1/2,+∞). Es concava en (−1/2, 1/2).

Es par.

Crece indefinidamente, para valores de x negativamente grandes y valores postivamente grandes.

7. Dibuja la grafica de la funcion que cumple las siguientes condiciones:

Dominio: todos los numeros reales menos el 1.

Es x = 1 presenta una discontinuidad de salto infinito. Cuando nos aproximamos a x = 1 por laizquierda la funcion crece indefinidamente. Cuando nos aproximamos a x = 1 por la derecha lafuncion decrece indefinidamente.

Corta a eje de las abscisas en x = 2 y x = 5. Corta al eje de ordenadas en y = 1

Es positiva en (−∞, 1) y (2, 5).

Es negativa en (1, 2) y (5,+∞).

Es decreciente en (3,+∞).

Es creciente en (−∞, 1) y (1, 3)

En x = 3 presenta un maximo local, siendo el valor de este maximo 15.

Es convexa en (−∞, 1). Es concava en (1,+∞).

Decrece indefinidamente, para valores de x postivamente grandes.

Se aproxima a 0, para valores de x negativamente grandes.

12. Referencias

[1]. Azcarate, C. y Deulofeu, M. (1990). Funciones y graficas. Madrid: Editorial Sıntesis S.A.

[2]. Callejo, M., Paz, M. y Vidal, M. (1994). La Funcion de las Funciones. Espana: Centro de Publicacionesdel MEC y Narcea, S.A. de Ediciones.

[3]. Cantoral, R., Farfan, R., Cordero, F., Alanıs, J., Rodrıguez, R. y Garza, A. (2003). Desarrollo delpensamiento matematico. Mexico: Editorial Trillas y ITESM, Universidad Virtual.

[4]. Frıas, V., Paz, M., del Rio, T. y Vidal, M. (1995). 3o Matematicas, Secundaria. Espana: Luis Vives.

[5]. Frıas, V., Paz, M., del Rio, T. y Vidal, M. (1995). 4o Matematicas, Opcion A, Secundaria. Espana: LuisVives.

[6]. Lacasta, E. y Pascual, J. (1998). Las funciones en los graficos cartesianos. Madrid: Editorial SıntesisS.A.

[7]. Shell Centre for Mathematical Education. (1990). El lenguaje de funciones y graficas. Bilbao: Centro dePublicaciones del MEC y Servicio Editorial Universidad del Paıs Vasco.

[8]. Sullivan, M. (2006). Algebra y Trigonometrıa. Septima edicion. Mexico: Pearson Educacion.

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