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Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 11 Ministrante
Profª. Drª. Danielle Durski Figueiredo Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da Mackenzie
http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Arquivos/Calculo_zero/trigonometria.pdf
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EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1) Resolva as equações.
a) 1cos2 x .
b) 03cos2 x .
c) 0232 2 senxxsen .
d) 2
14
2
xsen , ]2,0[ x .
e) sentsent 234 , ]2,0[ t .
f) xsenx 32cos , [Dica: senxx
2cos
].
g) 0cos2 xsenxsenx .
h) tgxxtg 3213 2 .
i) 5cos11cos2 2 .
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2) (UCSAL-BA) Se ],0[ x a equação 048 2 xsen tem duas soluções reais e distintas a e b . Sabendo que a > b, é verdade que:
a) ba 3 b) ba 2 c) 2
ba d) 3
ba e) 6
ba
3) (PUC-RJ) A equação xtgx cos tem, para x no intervalo
2,0
, uma raiz x sobre a qual podemos dizer:
a) 4
b) 22
sen c) 2
51sen d)
21cos e)
3
4) (UNIRIO) O conjunto solução da equação xsenx cos , sendo 20 x , é:
a)
4
b)
3
c)
45
d)
34,
3
e)
45,
4
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Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha Material elaborado pela
Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha
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Funções trigonométricas hiperbólicas diretas
Seno hiperbólico e cosseno hiperbólico
Seja t um número real tal que t = 2Ah, onde Ah é a área do setor hiperbólico POQ no
sistema de coordenadas cartesiano abaixo e Q tem coordenadas (1,0).
Seja P um ponto que descreve o ramo direito de uma hipérbole unitária.
Denomina-se seno hiperbólico de t, denotado por senh t, a ordenada 1OP , onde P1 é a
projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas; e
cosseno hiperbólico de t, denotado por cosh t, a abscissa 2OP , onde P2 é a projeção ortogonal
de P sobre o eixo das abscissas.
Exemplo:
O seno hiperbólico de um número real x é definido por
2
xx eexsenh
,
onde x é denominado argumento do seno hiperbólico;
e o cosseno hiperbólico de um número real x é definido por
2 cosh
xx eex
,
onde x é denominado argumento do cosseno hiperbólico.
1
P
P2
P1
O Q x
y
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De forma análoga às relações trigonométricas circulares, define-se:
tgh x = xx
xx
eeeextgh
xx
coshsenh
cotgh x = xx
xx
eeeexgh
senh x x
xtgh
cotcosh
1
xx eexh
xxh
2 seccosh
1 sec
xx eexxh
2 senh
1 seccos
Dessas definições, resultam as seguintes identidades:
cosh2 x – senh2 x = 1
1 – tgh2 x = sech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x – senh2 x = 1 por cosh2x)
1 – cotgh2 x = -cossech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x – senh2 x = 1 por -senh2x)
Devido a esse comportamento semelhante às funções trigonométricas circulares é que
as funções trigonométricas hiperbólicas f(x)=senh x, g(x)=cosh x, h(x)=tgh x,
j(x)= cotgh x, l(x)= sec xh e m(x)= xh seccos recebem o adjetivo trigonométricas.
O adjetivo hiperbólica deve-se ao fato do ponto P de coordenadas (cosh t, senh t) estar
sobre a hipérbole unitária x2 - y2 = 1, uma vez que cosh2 t – senh2 t = 1.
i.1) Função seno hiperbólico
É toda função do tipo
Reexsenhxfy
Rfx xx
2 )(
:
O domínio de 2
)(xx eexsenhxf
é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = R
O gráfico de xsenhxf )( pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções
auxiliares g(x)= xe21 e h(x)= xe
21 .
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Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= xe21 e h(x) = xe
21 (pode ser tracejado)
e, posteriormente, soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).
i.2) Função cosseno hiperbólico
É toda função do tipo
Reexxfy
Rfx xx
2 cosh)(
:
O domínio de 2
cosh)(xx eexxf
é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = ,1 .
O gráfico de xxf cosh)( pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções
auxiliares g(x)= xe21 e h(x)= xe
21 .
Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= xe21 e h(x) = xe
21 (pode ser tracejado)
e, posteriormente, soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).
f(x)=senh x
h(x) =
g(x) =
g(x) = h(x) =
f(x) = coshx
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A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou
corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.
A curva da função f(x) = cosh ( )ax
, a R , é denominada catenária (do latim: cadeia,
corrente). Seu emprego também se dá na arquitetura, na confecção de arcos.
i.3) Função tangente hiperbólica
É toda função do tipo
R
eeeextghxfy
Rfx
xx
xx
)(
:
O domínio de xx
xx
eeeextghxf
)( é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = 1 ,1 .
O gráfico de f(x) = tgh x é dado por:
i.4) Função cotangente hiperbólica
É toda função do tipo
R
eeeexghxfy
Rfx
xx
xx
cot)(
:
*
O domínio de xx
xx
eeeeghxxf
cot)( é D( f ) = R* e a imagem é
1
-1
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Im( f ) = ,11- , O gráfico de f(x) = cotgh x é dado por: i.5) Função secante hiperbólica
É toda função do tipo
R
eexhxfy
Rfx
xx
2 sec)(
:
O domínio de xx eexhxf
2 sec)( é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = 1 ,0 .
O gráfico de f(x) = sech x é dado por:
i.6) Função cossecante hiperbólica
É toda função do tipo
1
-1
1
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R
eexhxfy
Rx
f
xx
2 seccos)(
: *
O domínio de xx eexhxf
2 seccos)( é D( f ) = R* e a imagem é Im( f ) = R*.
O gráfico de f(x) = cossech x é dado por:
j) Funções trigonométricas hiperbólicas inversas
j.1) Função argumento do seno hiperbólico
Se xsenhxfy
RxRf
)(:
, então a inversa de f , denominada função argumento do
seno hiperbólico e denotada por argsenh x, é dada por
yygx
RyRfg
senh arg )(
:1
Como a função seno hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, então não é
necessário restringir um intervalo para definir sua função inversa.
Como y = senh x = 2
xx ee , então sua inversa é dada por
x = arg senh y = ln (y + )12 y
O gráfico de senh x arg
:
g(x)y
RxRg
é dado por:
x
y
y
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j.2) Função argumento do cosseno hiperbólico
Se xxfyx
f cosh)(
,1,0:
, então a inversa de f , denominada função argumento do
cosseno hiperbólico e denotada por argcosh x, é dada por
yg(y)xy
fgcosh arg
,0,1:1
Como a função cosseno hiperbólico não é bijetora em todo o seu domínio, então é
necessário restringi-la a um intervalo para definir a função inversa, como feito acima.
Como y = cosh x = 2
xx ee , então sua inversa é dada por
x = argcosh y = ln (y + )12 y , y 1
O gráfico de xg(x)yx
gcosh arg
,0,1:
é dado por:
j.3) Função argumento da tangente hiperbólica
Se xtghxfyx
Rf )(
1,1:
, então a inversa de f , denominada função argumento da
tangente hiperbólica e denotada por argtgh x, é dada por
yygx
Ry
fg tgh )(
1,1:1
x
y
1
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Como a função tangente hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, não é necessário
restringi-la a um intervalo para definir sua função inversa.
Como y = tgh x = xx
xx
eeee
, então sua inversa é dada por
x = arg tgh y = 21
yy
11ln , 11 y
O gráfico de xg(x)y
Rx
g tgh arg
1,1:
é dado por:
j.4) Função argumento da cotangente hiperbólica
Se xghxfyx
Rf
cot)(
,11,: *
, então a inversa de f , denominada função argumento
da cotangente hiperbólica e denotada por argcotgh x, é dada por
yg(y)x
Ry
fgcotgh arg
,11,: *1
Como y = cotgh x = xx
xx
eeee
, então sua inversa é dada por
x = arg cotgh y = 21
11ln
yy , 1y
O gráfico de yg(y)x
Ry
gcotgh arg
,11,: *
é:
-1 1 x
1 -1
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j.5) Função argumento da secante hiperbólica:
Se xhxfyx
Rf
sec)(
1,0:
, então a inversa de f , denominada função argumento
da secante hiperbólica e denotada por argsech x, é dada por
yygx
Ry
fgsech arg )(
1,0:1
Como y = sech x = xx ee 2 , então sua inversa é dada por
x = arg sech y =
y
y 211ln , 10 y
O gráfico de xg(x)y
Rx
gsech arg
1,0:
é dado por:
j.6) Função argumento da cossecante hiperbólica
1 x
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Se xhxfy
Rx
Rf seccos)(
: **
, então a inversa de f , denominada função argumento
da cossecante hiperbólica e denotada por argcosech x, é dada por
yygxR
yRfg
cossech arg )(: **1
Como y =cossech x = xx ee 2 , então sua inversa é dada por:
x = arg cossech y =
yy
y
211ln , 0y
O gráfico de
cossech x arg : **
yR
xRg
é dado por:
x
y
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FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
1.1 Introdução (falar sobre Histórico, aplicações)
Compare as figuras 1 e 2 a seguir, destacando semelhanças e diferenças entre elas:
X
Y
.
O 1 -1
P (x, y) com x = cosh t
y = senh t
x
y
x2 y2 = 1 ⇒ cosh tsenh t = 1
t S
M . .
t = 2S, com S = AMOP área do setor hiperbólico MOP
Hipérbole:
x = cos t
y = sen t . P (x, y) com
x
y
X
Y
1 -1
-1
1
x2 + y2 = 1 ⇒ cos t + sen t = 1
O M . . t
S
t = 2S, com S = AMOP , pois 2πrad → πr
t rad → S
Daí, vem: πr t = 2πS ⇒ t = 2Sparaocasoder = 1
Circunferência:
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Figura 1 – Hipérbole de equação cartesiana x2 – y2 = 1 Figura 2 – Circunferência de equação cartesiana x2 + y2 = 1
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Conforme Thomas (2002), toda função 푓 que seja definida em um intervalo
centrado na origem pode ser escrita de uma maneira única como a soma de uma
função par e de uma função ímpar. A decomposição é:
Assim, escrevendo 푒 dessa maneira, tem-se:
As partes par e ímpar de 푒 são denominadas, respectivamente, cosseno
hiperbólico de x e seno hiperbólico de x.
Elas descrevem o movimento de ondas em sólidos elásticos e a forma dos fios
suspensos da rede elétrica. (THOMAS, 2002)
1.2 Definições
As funções hiperbólicas são definidas da seguinte maneira:
Seno hiperbólico de x: 푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푠푒푛ℎ푥 =
푓(푥) = ( ) ( ) + ( ) ( )
parte par parte ímpar
푒 = 푒 + 푒
2+푒 − 푒
2
Parte par parte ímpar
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Cosseno hiperbólico de x: 푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) =
cosh푥 =
Tangente hiperbólica de x: 푓:푅⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푡푔ℎ푥 =
=푠푒푛ℎ푥cosh 푥 =
푒 − 푒푒 + 푒
Cotangente hiperbólica de x: 푓:푅∗ ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푐표푡푔ℎ푥 =
= 푐표푠ℎ푥senh푥 =
푒푥 + 푒−푥푒푥 −푒−푥
Secante hiperbólica de x: 푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = sech푥 =
=1
cosh푥 =2
푒 + 푒
Cossecante hiperbólica de x: 푓:푅∗ ⟶푅, 푦 = 푓(푥) =
푐표푠푠푒푐ℎ푥 =
= 1
senh푥 =2
푒 − 푒
1.3 Identidades hiperbólicas
EXERCÍCIO
1) Verifique as seguintes identidades:
a) 푐표푠ℎ 푥 −푠푒푛ℎ 푥 = 1
b) 푠푒푛ℎ(푎 + 푏) = 푠푒푛ℎ푥 cosh 푏 + 푠푒푛ℎ푏 cosh푎
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c) 푠푒푛ℎ(푎 − 푏) = 푠푒푛ℎ푥 cosh 푏 − 푠푒푛ℎ푏 cosh푎
d) 푐표푠ℎ(푎 + 푏) = 푐표푠ℎ푎 cosh 푏 + 푠푒푛ℎ푎푠푒푛ℎ푏
e) 푐표푠ℎ(푎 − 푏) = 푐표푠ℎ푎 cosh 푏 − 푠푒푛ℎ푎푠푒푛ℎ푏
f) 푠푒푛ℎ2푥 = 2푠푒푛ℎ푥푐표푠ℎ푥
g) 푐표푠ℎ 2푥 = 푐표푠ℎ 푥 +푠푒푛ℎ2푥
h) 푐표푠ℎ 푥 =
i) 푠푒푛ℎ 푥 =
j) 푡푔ℎ 푥 = 1 − 푠푒푐ℎ 푥
k) 푐표푡푔ℎ 푥 = 1 + 푐표푠푠푒푐ℎ 푥
1.4 Gráficos das funções hiperbólicas
EXERCÍCIO 1) Represente graficamente as funções hiperbólicas
Observação:
O gráfico da função cosseno hiperbólico determina uma curva
denominada catenária.
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Utilize um software matemático, por exemplo: Winplot.
2 Funções hiperbólicas inversas
2.1 Definições
As funções hiperbólicas inversas são definidas da seguinte maneira:
Argumento seno hiperbólico de x (denota-se por senh-1 x ou arg senh x)
푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = arg 푠푒푛ℎ푥
= ln(푥 + 푥 + 1)
Argumento cosseno hiperbólico de x (denota-se por cosh-1 x ou arg cosh
x)
푓: [1, +∞[⟶푅,
푦 = 푓(푥) = argcosh푥 = ln(푥 + 푥 − 1)
Argumento tangente hiperbólica de x (denota-se por tgh-1 x ou arg tgh
x)
푓:]− 1, 1[⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = arg푡푔ℎ푥 = 12 ln 1 + 푥1− 푥
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Argumento cotangente hiperbólica de x (denota-se por cotgh-1 x ou arg
cotgh x) 푓:푅 − [−1, 1] ⟶ 푅,
푦 = 푓(푥) = arg 푐표푡푔ℎ푥 = 12 ln 푥+ 1
푥− 1
Argumento secante hiperbólica de x (denota-se por sech-1 x ou arg sech
x) 푓: ]0, 1] ⟶푅,
푦 = 푓(푥) = arg sech 푥 = ln1 + 1− 푥 )
푥
Argumento cossecante hiperbólica de x (denota-se por cossech-1 x ou arg cossech x)
푓:푅∗ ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = arg 푐표푠푠푒푐ℎ푥 = ln1푥 +
1 + 푥 )|푥|
2.2 Identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas inversas
EXERCÍCIO
1) Verifique as seguintes identidades:
a) arg 푠푒푐ℎ푥 = arg cosh
b) arg 푐표푠푠푒푐ℎ푥 = arg senh
c) arg 푐표푡푔ℎ푥 = arg tgh
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2.3 Gráficos das funções hiperbólicas inversas
EXERCÍCIO 1) Represente graficamente as funções hiperbólicas inversas
Use um software matemático, por exemplo, o Winplot.
2) A função denominada secante hiperbólica é definida por
푓: 푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푠푒푐ℎ푥 = 1
cosh 푥 =2
푒 + 푒
cujo gráfico está representado pela figura 1, a seguir:
Figura 1 – Gráfico da função secante hiperbólica
a) A função secante hiperbólica é uma função par? Justifique.
b) A função secante hiperbólica é uma função bijetora em todo seu
domínio? Justifique.
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c) Restringindo o domínio da função secante hiperbólica ao intervalo [0, + [ ,
defina a função inversa da secante hiperbólica, denominada argumento secante hiperbólica de x.
3) A partir do gráfico das funções abaixo, verifique:
a) Se trata-se de uma função par, função ímpar ou nenhuma delas.
Justifique.
b) Se trata-se de uma função bijetora em todo seu domínio.
Justifique.
c) Obtenha a função inversa (domínio, contradomínio, lei de
associação) no maior intervalo onde a função seja bijetora.
2.1) seno hiberbólico
2.2) cosseno hiperbólico
REFERÊNCIAS
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. V. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
ISTO É MATEMÁTICA. A catenária. Disponível em: < https://www.youtube.com/watch?v=yBH5ezzY_-0> Acesso em: 23/04/2015.
MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. 2. ed. V. 1. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983.
PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. 11 ed. V. I. Porto: Edições Lopes da Silva,
1986
REFATTI, L.; BELTRAME, A. M. Funções hiperbólicas e cabos pendentes. In: Disc. Scientia. Série: Ciências Naturais e Tecnológicas. v. 5. , n. 1., p. 139-162. Santa Maria, 2004. Disponível em: <sites.unifra.br/Portals/36/tecnologicas/2004/Hiperbolicas.pdf> . Acesso em: 23/04/2015.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. V. 1. São Paulo: Makron Books,
1994.
THOMAS Jr., G. B. Cálculo. 10. ed. V. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.