modeliranje i simulacije - skripta

PROJEKTOVANJE POMOĆU RAČUNARA (CAD/CAM) Akronimi: CAD - Computer Aided Design (Projektovanje potpomognuto računarom) CAM - Computer Aided Manufacturing (Proizvodnja potpomognuta računarom)

CAD/CAM je tehnologija bazirana na primjeni digitalnih računara pri izvršavanju određenih funkcija u projektovanju i proizvodnji. U poređenju sa klasičnom CAD/CAM tehnologija daje kvalitetnije proizvode, kraće vrijeme osvajanja i veću produktivnost.

Navedene prednosti dobijene su prenošenjem nekih inžinjerskih operacija na računar, koji je moćniji od čovjeka u pogledu brzine i preciznosti aritmetičkih izračunavanja i veličine memorijskih resursa, a istovremeno nije podložan greškama. Bile su to proceduralne operacije koje su se dale lako algoritmizirarti i programirati. U početku proračuni , a kasnije NC programiranje pa tehničko crtanje, geometrijsko modeliranje itd.

Drugi doprinos došao je kroz nov pristup organizaciji poslova i zadataka koji se ogleda u integraciji različitih inžinjerskih aktivnosti nad jedinstvenom bazom podataka o proizvodu, internim računarskim modelom proizvoda (sl. 1).

Sl. 1. Pojednostavljen ciklus razvoja proizvoda

Na slici je prikazan idealiziran, pojednostavljen ciklus nastanka novog proizvoda. U klasičnoj, konvencionalnoj proizvodnji tok informacija odvijao se uglavnom duž vanjskog prstena slike. Bilo je naravno i povratnih petlji, ali se uglavnom radilo o serijskom pristupu u kome je sledeća faza mogla otpočeti tek po završetku prethodne. Karakteristična je bila i redundantnost aktivnosti kao u slučaju proračuna, geometrijskih konstrukcija, tehničke dokumentacije itd.

CAD/CAM pristup (blok strelice) je svestraniji, kvalitetniji jer omogućuje paralelan timski rad. Tu se izbjegava redundantnost poslova jer se jednom dobijeni rezultati

TRŽIŠTE PROJEKTOVANJE

PROIZVODA (CAD)

PROIZVODNJA (CAM)

PRIPREMA PROIZVODNJE

(CAD/CAM)

Zahtjevi

Tehnička dokumentacija

Tehnološki postupci, planovi proizvodnje

Proizvod

BAZA PODATAKA – INTERNI MODEL

(Geometrijske, tehnološke i opšte

informacije)

1

smještaju u bazu podataka i odatle po potrebi pozivaju i koriste. Prve sastojke baze podataka generiše projektant u fazi geometrijskog modeliranja proizvoda. U narednim fazama drugi inžinjeri (npr. tehnolozi) koriste podateke iz baze i proširuju je novim podacima. Naredna faza može početi prije završetka prethodne tj. poslovi se mogu odvijati paralelno. Tako dolazimo do savremenog prilaza inžinjerskog projektovanja koji je nazvan simultanim, paralelnim, kolaborativnim ili konkurentnim inžinjerstvom.

CAD se može definisati kao korištenje računarskog sistema u kreiranju, analizi,

modifikaciji i optimizaciji inžinjerske konstrukcije. CAD sistem se sastoji od hardvera i softvera. CAD hardver tipično uključuje računar, jedan ili više grafičkih terminala, tastature, uređaje za digitiziranje (unošenje informacija o položaju), za crtanje i druge periferne uređaje. CAD softver se sastoji od operativnog sistema, programa za računarsku grafiku i aplikacionih programa za rješavanje inžinjerskih zadataka kao što su: geometrijsko modeliranje, inžinjerski proračuni i analize, kinematske simulacije, dinamika konstrukcija, provođenje toplote itd.

CAM predstavlja tehnologiju u kojoj se računarski sistem koristi za pripremu i upravljanje proizvodnim procesima putem direktne ili indirektne veze računara sa proizvodnim resursima. U direktnu vezu spadaju zadaci

• vođenje i upravljanje procesima, a u indirektnu:

• konstrukcija alata i pribora, • programiranje NC mašina, • razrada tehnoloških postupaka, • planiranje i praćenje proizvodnje itd.

2

PROJEKTOVANJE PROIZVODA POMOĆU RAČUNARA (CAD)

1. Uvod

Projektovanje je proces opisivanja predmeta projektovanja u mjeri i na način na osnovu kojeg se može razumjeti njegov oblik i funkcija i na osnovu kojeg se može izraditi ili izvesti. Često je to opis zamisli koja se ima u glavi. Kad god je moguće dobro je da taj opis bude u obliku grafičkih šema, dijagrama, crteža i slično jer se pomoću njih najbrže indukuje predmet projektovanja.

Projektovati možemo proizvode (mašine, građevine, puteve) i procese (tehnološki postupaci izrade, popunjavanje budžeta, vojna akcija, nova strategija prodaje itd). Mi ćemo u ovoj glavi baviti isključivo projektovanje proizvoda i to mehaničkih i elektromehaničkih dijelova i uređaja..

Pri projektovanju proizvoda opisujemo proizvod sa stanovišta njegove funkcije, oblika, kvaliteta i svih drugih informacija neophodnih za potpuno definisanje proizvoda. Da se stigne do postavljenog cilja potrebne su inžinjerske aktivnosti poput koncipiranja, analize, modifikacije i optimizacije proizvoda. Projektovanje predstavlja izuzetno kreativnu aktivnost koja zahtijeva posebne sposobnosti, znanja i nadarenosti. Veoma je značajno za uspješnost kompletnog poslovanja jer se u toj fazi određuje oko 80% ukupne cijene novog proizvoda.

U CAD se pri inžinjerskim aktivnostima projektovanja intenzivno koristi računar

2. Prednosti korištenja računara u projektovanju Usavršavanje procesa projektovanja provodi se sa ciljem postizanja konkurentnosti na

tržištu. Ona se ostvaruje osvajanjem novog proizvoda u što kraćem roku, što jeftinije i što kvalitetnije. Kada govorimo o prednostima CAD procesa nad klasičnim onda posmatramo doprinos CAD sistema ostvarenju ovih ciljeva. Od mnogih dobitaka uvođenjem CAD navešćemo samo najznačajnije: 1. Povećanje produktivnosti projektanta. Kreiranje oblika (geometrije) i vizuelni prikaz proizvoda se

izvode automatski i neuporedivo brže nego klasično. Smanjuje se vrijeme potrebno za analizu, modifikaciju i izradu dokumentacije o proizvodu te time i ukupno vrijeme razvoja proizvoda. To doprinosi bržem i jeftinijem osvajanju novog proizvoda.

2. Poboljšanje kvaliteta proizvoda. Omogućene su detaljnije inžinjerske analize i ispitivanje većeg

broja varijanti rješenja. Smanjen je broj projektantskih grešaka kroz veću tačnost osiguranu sistemom.

3. Poboljšana komunikacija. Automatsko generisanje prostornih prikaza doprinosi lakšem

razumijevanju dokumentacije i poboljšanju komunikacije i sa ne-tehničkim, administrativno orjentisanim osobljem. Efikasnija je primjena standarda, manje crtaćih grešaka itd.

4. Povećana fleksibilnost proizvodnje. Efikasan i brz odgovor na specijalne zahtjeve tržišta postiže se

jednostavnim modifikacijama internog računarskom modela proizvoda.

3

5. Kreira se baza podataka za proizvodnju. U toku projektovanja proizvoda kreiraju se i podaci potrebni za njegovu proizvodnju: geometrija, liste materijala, standardnih i tipskih dijelova itd.

3. Proces projektovanja pomoću računara Mada svaki tip proizvoda unosi neke specifičnosti u proces njegovog projektovanja ipak se mogu

izdvojiti sledeći zajednički koraci ili faze:

U fazi specifikacije se na osnovu analize tržišta i sopstvenih proizvodnih resursa postavlja projektni zadatak. On sadrži detaljan opis opšte funkcije i radnih performansi budućeg proizvoda te postavlja ograničenja u pogledu njegovih fizičkih karakteristika (veličina, težina, oblik), cijene, kvaliteta itd. Računari se u ovoj fazi koriste za pretraživanje i prikupljanje različitih informacija o trendovima potražnje na tržištu, o sličnim proizvodima drugih proizvođača, o relevantnim zakonskim propisima, standardima i sl. (računarske mreže - internet).

Koncepcijsko projektovanje. U ovoj fazi razrješavaju se osnovni principi rada, definiše

struktura tj. glavne komponente, oblik i osnovne dimenzije proizvoda. Ova faza projektovanja je visoko iterativna. Projektant koncipira i analizira različite varijante i vrši izbor optimalne pod kriterijumima kao što su: kvalitet, troškovi izrade, fizičke karakteristike, tehnologičnost konstrukcije itd. Ranije se u ovoj fazi računar koristio za određene jednostavne proračune i implementaciju metoda optimizacije, a danas se mnogo koriste usluge računarske grafike. CAD sistemi omogućuju brzo koncipiranje oblika i vizuelizaciju istog, jednostavnu modifikaciju te time i ispitivanje većeg broja varijanti rješenja.

Ova faza projektovanja zahtijeva izuzetna znanja, intuiciju, kreativnost, nadarenost, iskustvo, nezavisnost mišljenja, sposobnost uvođenja varijantnih rješenja. Radi se o

Prezentacija

Provjera

Detaljno projektovanje

Analiza i optimizacija

Preliminarno projektovanje

Specifikacija

Koncepcijsko projektovanje

4

neformalnim znanjima i sposobnostima, znanjima koja nisu podesna za algoritamski opis zbog čega se računar u ovoj fazi gotovo nije ni koristio. Međutim, razvoj metoda vještačke inteligencije, prije svega ekspertnih sistema, doprinosi sve većoj primjeni računara i u ovoj vrlo kreativnoj fazi procesa projektovanja. U ekspertnom sistemu se visokoprofesionalno znanje, znanje eksperta, ugrađeno u računarski sistem u obliku zbirke pravila (baza znanja) može koristiti za rješavanje određenih zadataka (mehanizam za zaključivanje). Mehanizam za zaključivanje (inference engine) koristi svoja meta pravila i uz pomoć baze znanja (knowledge base) izvršava postavljene zadatke.

Preliminarno (osnovno) projektovanje. U ovoj fazi izvodi se definisanje oblika i

dimenzija proizvoda u onoj mjeri koja je neophodna za sprovođenje potrebnih proračuna, analiza i simulacija u sledećoj fazi procesa projektovanje. Ove aktivnosti mogu u potpunosti biti obavljene pomoću računara. U CAD terminologiji, proces kreiranja oblika proizvoda naziva se geometrijskim modeliranjem. Skup u računaru memorisanih informacija koje opisuju oblik i dimenzije proizvoda naziva se internim geometrijski modelom. Na osnovu njega računarska grafika generiše prikaze proizvoda na ekranu računarskog sistema ili na papiru urđaja za crtanje, plotera ili printera (štampača). Interni računarski model koristi se i u druge svrhe, (naziva se još i bazom podataka kada je na disku), i predstavlja okosnicu integracije svih faza procesa projektovanja pa i projektovanja za proizvodnju.

Analiza i optimizacija predstavlja fazu u kojoj se izvode razni proračuni, analize i

simulacije rada proizvoda. Najraširenija je grupa funkcija za izračunavanje masenih svojstava (zapremina, masa, težište, momenat inercije) koju posjeduju svi CAD sistemi.

Ponekad je potrebno razviti specifične programe za proračun i analizu pojedinog projektnog zadatka, odnosno problema. U drugim slučajevima koriste se komercijalno raspoloživi opšti programi za inžinjerske analize.

Za proračun napona i deformacija, kao i dinamike konstrukcija koristi se poznati metod konačnih elemenata (MKE). Ovim metodom mogu se rješavati i problemi temepraturnih naprezanja, prenosa toplote i strujanja fluida. Kada su u pitanju mehanizmi postoje programi za simuliranje kretanja njihovih članova i analizu kinematskih veličina.

Primjenom različitih metoda optimizacije vrši se iznalaženje optimalnog rješenja promjenom konstruktivnih parametara, oblika i dimenzija.

Detaljno projektovanje (konstruktivna razrada) predstavlja fazu u kojoj preliminarni

(aproksimirani) dizajn dobija konačan oblik. U ovoj fazi dodaju se standardni dijelovi, svi podsklopovi i komponente detaljno konstruktivno razrađuju. Dodaju se svi konstrukcioni detalji poput navoja, zaobljenja, skošenja koji su bili izostavljeni u cilju pojednostavljenja preliminarnog dizajna. Eventualna aproksimirana geometrija se precizno definiše. Umeću se standardni oblici poput kanala za izlaz navoja, za brušenje, središnja gnijezda i sl. Definišu se tolerancije, kvalitet obrade površina itd.

Provjera projekta. Razne provjere izvode se tokom cijelog procesa projektovanja, ali u

ovoj fazi se obavlja detaljan, konačan pregled projekta. Provjerava se uklapanje dijelova, dimenziona usaglašenost, podudarnost otvora, analiziraju tolerancije, provjerava interferencija. Kontroliše se struktura proizvoda kroz liste sastavnih dijelova i materijala. Mnoge od ovih aktivnosti su računarski automatizovane. CAD sistemi raspolažu programima za automatsku provjeru interferencije, analizu tolerancija itd.

Pod prezentacijom se podrazumijeva izrada dokumentacije o proizvodu u vidu tehničkih crteža, lista sastavnih dijelova, raznih uputstava za upotrebu (eksploataciju) i održavanje itd.

5

Korištenjem računara moguće je skoro automatsko dobijanje tehničkih crteža jer na osnovu internog računarskog modela u CAD bazi podataka računar može automatski izvesti radnje poput

• generisanja projekcija i presjeka, • usaglašavanja međusobnog položaja projekcija, • skaliranja crteža, • uvećavanja detalja, • kotiranja, šrafiranja itd., i pri svim tim operacijama primijeniti pravila definisana standardima. CAD sistemi bazirani su na interaktivnoj računarskoj grafici (ICG). U ICG računar se

koristi za kreiranje, transformaciju i prikaz podataka u obliku slika i simbola. U mehaničkim aplikacijama slike se sastoje uglavnom od geometrijskih elemenata, linija i površina. Projektant kroz interaktivan rad, dijalog sa računarom izdaje komande i podatke za generisanje pojedinih geometrijskih elemenata. Memorisanjem ovih informacije u bazi podataka nastaje interni geometrijsi model proizvoda (sl. 3). Na osnovu internog modela računarska grafika, odnosno njeni programi kreiraju sliku na ekranu. Kroz komande za transformaciju moguće je izvesti uvećanje-umanjenje, translaciju, rotaciju i druge transformacije geometrijskog modela. Moguć je različit prikaz istog geometrijskog modela: dijelovi slike ili kompletna slika, umanjenje-uvećanje, različite projekcije itd.

Sl. 3. Računarska grafika i CAD Sam CAD softver se sastoji iz većeg broja programskih modula koji podržavaju pojedine

aktivnosti procesa projektovanja: ulazno-izlazni modul, modul za geometrijsko modeliranje, za analize, za izradu tehničke dokumentacije itd. Oni su međuse povezani direktno i/ili posredstvom zajedničke baze podataka (sl. 4).

Sl.4. Moduli CAD sistema

Izrada tehničke dokumentacije

Geometrijsko modeliranje

Baza podataka- (interni model)

Inžinjerske analize

Ulazni uređaji

Ekran

Računarska grafika

CAD programi Baza

podataka

6

Projektant, korisnik CAD sistema, je u interaktivnom odnosu sa CAD sistemom, kome izdaje odgovarajuće komande i podatke, daje odgovore na njegova pitanja, analizira dobijene rezultate. Njegova uloga i dalje ostaje najznačajnija. CAD sistem je samo alat kojeg projektant koristi da bi riješio svoj problem. Projektant obavlja one zadatke u procesu projektovanja koji zahtijevaju inteligenciju, kreativnost, nadarenost, koristeći računar tamo gdje je taj moćniji, u brzini i preciznosti proračuna, količini memorijskog prostora i slikovnom prikazu rezultata.

Aktivnosti procesa projektovanja se, prema njihovom karakteru, mogu grupisati u: • kreativne, • iterativne i • rutinerske. U prvu grupu spadaju aktivnosti iz faze koncipiranja proizvoda, iterativne su metode

analize i optimizacije, a rutinska je npr. izrada tehničke dokumentacije. U rutinskim i iterativnim aktivnosti primjena računara je zastupljena u najvećem stepenu i odavno. Različiti proračuni i analize su zadaci koji su prvi bili preneseni na računar jer predstavljaju aktivnosti koje se mogu lako formalno opisati, algoritmizirati pa na kraju i programirati. Razvojem računarske grafike i geometrijskog modeliranja stvoreni su uslovi za primjenu računara pri definisanju oblika i dimenzija proizvoda i izradi dokumentzacije o proizvodu. Najmanje je mjesta računar doskora imao u kreativnim, koncepcijskim aktivnostima. U toj fazi naglašena je uloga čovjeka. Kada je u pitanju automatizacija projektovanja zadaci iz te faze predati su u nadležnost ekspertnih sistema.

Savremeni CAD/CAM sistemi, poznatiji kao MCAE (Mechanical Computer Aided

Engineering) sistemi, odlikuju se tzv. konkurentnim pristupom procesu projektovanja. To je pristup u kome se različite inžinjerske aktivnosti obavljaju paralelno, istovremeno, a ne sekvencijalno kao kod tradicionalnog CAD/CAM pristupa. Sa inžinjerskim aktivnostima koje su tradicionalno slijedile u kasnijim, poodmaklim fazama procesa projektovanja sada se skoro na samom početku procesa projektovanja, čim je generisan neophodan minimum informacija o proizvodu, odnosno prve koncepcije proizvoda.

Tako već u fazi kreiranja idejnog projekta mogu učestvovati svi članovi projektno-proizvodnog tima, zahvaljujući vizuelnom prikazu proizvoda, i ocjenjivati ga sa stanovišta estetike, tehnologičnosti, kompaktnosti itd.

Cijeli projektno proizvodni tim može ocijeniti i usaglasiti se sa projektom mnogo prije kreiranja detaljnih crteža i skupe izrade prototipa. Precizne simulacije rada i analize se izvode dovoljno rano da se može intervenisati već na konceptu proizvoda tako da do optimalnog dizajna dolazi sa manje iteracija i izmjena, dakle brže. Pravovremeno analiza tehnologičnosti omogućuje da se izmjene u konstrukciji obave mnogo jeftinije nego kada se otkriju tek u toku same izrade proizvoda.

Ovakav pristup je svestraniji pa daje kvalitetnija rješenja, paralelno izvođenje aktivnosti skraćuje ciklus razvoja proizvoda, a eliminacija skupih grešaka ga pojeftinjuje.

Naravno, u ovakvom pristupu, treba biti riješen problem kontrole glavnog (master) internog modela (prava pristupa, prava na izmjene, asocijativnost aktivnosti) da bi se očuvao integritet projekta.

7

Generacije CAD/CAM sistema Od prvih rješenja koja su nastala sredinom šezdesetih godina pa do danas CAD/CAM

tehnologija je doživjela buran razvoj tokom kojeg su se izdvojile tri generacije CAD/CAM sistema:

− CAD sistemi za 2D crtanje (2D sistemi) − CAD/CAM za 3D geometrijsko modeliranje (3D sistemi) i − Sistemi za konkurentno inžinjerstvo (parametraski sistemi sa tipskim

formama).

8

SISTEMI ZA 2D CRTANJE

Ovi sistemi koriste, za izradu tehničkih crteža, interaktivne grafičke radne stranice i plotere, umjesto crtaće table i olovke. Ne zasnivaju se na pravom geometrijskom modeliranju 3D dijelova, nego na crtanju projekcija po istim principima koje smo imali u konvencionalnom, neračunarskom crtanju. Ali ipak posjeduju značajne prednosti nad klasičnim crtanjem.

Funkcije i mogućnosti 2D sistema razlikuju se od rješenja do rješenja, međutim neke, koje ćemo sada navesti, zajedničke su za najveći broj komercijalnih paketa.

Svi sistemi imaju grupu funkcija za vezu sa operativnim sistemom. Ta grupa funkcija u menijima nosi naziv File i obezbjeđuje mogućnost rada na novom crtežu (New), dodjeljivanje imena (Save as) i memorisanja crteža (Save). Zatim mogućnost otvaranja (pozivanja) fajla sa crtežom (Open) radi nastavka rada na istom ili rekonstrukcije (izmjene). Postoje funkcije za crtanje (Print/Plot) gotovog crteža, završetak rada (Exit) itd. (sl. 1).

Sl. 1. "Meni" funkcija za vezu sa operativnim sistemom

Sledeća grupa funkcija su funkcije za podešavanje parametara okruženja kao što su

veličina crteža, mjerne jedinice, koordinatni sistem, tipovi linija, oblik pisma, parametri kotnih linija itd. Ovi parametri se podešavaju i važe do sledeće izmjene.

Ostale funkcije obezbijeđene su u svrhu izrade samog crteža i mogli bismo ih grupisati u funkcije za kreiranje, transformaciju i prikaz elemenata crteža. Tehnički crteži sadrže geometrijske elemente koje opisuju oblik i veličinu dijela i proizvodne elemente, odnosno informacije koje se daju u obliku tekstualnih napomena, simbola za kvalitet obrade površina itd.

2D Geometrijske konstrukcije

Geometrija tehničkih crteža sastoji se od linija, krugova, lukova, elipsi i nekad krivih

linija višeg reda. Svi sistemi za crtanje posjeduju funkcije za kreiranje ovih elemenata u većem broju varijanti. Slike 2, 3 i 4 prikazuju neke mogućnosti za definisanje linije, kruga i kružnog luka. Na slikama su tanko prikazani postojeći, već kreirani geometrijski elementi, a debelo oni koji se u datom slučaju kreiraju. Crtkano su prikazane varijante pojedinog rješenja.

9

e) f) g) h)

a) b) c) d)

α

Sl. 2. Varijante za konstrukciju linije

Sl. 3. Varijante za konstrukciju kruga

b)a) d)c)

C

start

stop

C

ugao

start

Sl. 4. Varijante za konstrukciju luka

Postoje različita sredstva koja olakšavaju kreiranje geometrije. Koordinatni sistem može

se po volji (re)definisati da se izbjegne preračunavanje dimenzija, može se kreirati mreža

a) b) c) d)

g)f)e)

10

regularno raspoređenih tačaka ili linija na ekranu i pri unošenju koordinata ograničiti samo na tačke te mreže (sl. 5).

Sl. 5. Pravougla mreža tačaka 2D CAD sistema Zatim, moguće je na ekranu prikazati lenjire da se olakša raspored elemenata na crtežu. Često je obezbijeđen prikaz koordinata položaja kursora u te iste svrhe. Funkcija veoma korisna pri kreiranju geometriskih elemenata tj. pri unošenju podataka o koordinatama je funkcija izbora diskretnih tačaka sa postojećih geometrijskih elemenata kao što su: krajnje, srednje, centri, tačke na mjestima podjele itd. (sl. 6).

Sl. 6. Diskretne tačke pojedinih geom. elemenata

Standardni simboli Kompletan ili dio crteža može se pod nekim imenom memorisati kao grafički ‘objekat’ koji se ubuduće može koristiti. Ova je mogućnost veoma korisna za crtanje standardnih komponenti ili simbola kao što su vijci, osovinice, opruge, simboli za tolerancije i znakovi obrade i sl. Mnogi proizvđači CAD/CAM softvera rade gotove biblioteke ovakvih dijelova/simbola. Ovi simboli mogu se, pri unošenju u tekući crtež, transformisati (translatirati, rotirati, skalirati) da bi se omogućilo smještanje u proizvoljan položaj i orijentaciju na crtežu. Različiti tipovi šrafura spadaju u ovu grupu objekata. Automatsko kotiranje Neki moćniji sistemi za crtanje omogućavaju automatsko kotiranje. Nije to jednostavan zadatak jer zahtijeva domišljatost i vještinu crtača u podešavanju rasporeda kotnih linija,

devide end

end

end

end

middle

middle quadrant

quadrant

quadrant

center center

kursor

11

teksta i znakova. Zato se ove operacije najčešće izvode poluautomatski u smislu da su svi kotni elementi obezbjeđeni sistemom, a korisniku ostavljena mogućnost rasporeda na crtežu. Slojevi: U mnogim sistemima podaci crteža se organizuju i raspoređuju u izvjetan broj različitih slojeva. Ti slojevi su softversko rješenje za providne folije koje kada se slože čine kompletan crtež. Tako konačna geometrija može biti na jednom sloju, pomoćna geometrija na drugom, kote na trećem, podaci za proizvodnju na sledećem sloju itd. Različiti slojevi mogu po potrebi biti uključeni/isključeni, a neki opet ‘zaključani’ da bi se spriječio pregled povjerljivih informacija. Parametarsko definisanje (opis) dijelova Jedno veoma moćno svojstvo sistema za crtanje je mogućnost parametarskog definisanja dijelova, oblika ili simbola. Pojedinim dimenzijama datog oblika pridružuju se parametri, a korisnik pri korištenju datog oblika zadaje specifične dimenzije i dobija odgovarajuću veličinu i geometriju oblika. Na ovaj način parametarski opis jednog predstavnika (kompleksni dio) može poslužiti za kreiranje čitave familije dijelova (sl. 7).

Sl. 7. Parametarki opis tipskog predstavnika familije dijelova

n =

br. r

upa

12

Dr Simo Jokanović, Projektovanje pomoću računara

CAD/CAM sistemi za 3D geometrijsko modeliranje U CAD, geometrijsko modeliranje se bavi matematičkim opisom geometrije (oblika i dimenzija) objekata u obliku razumljivim za računar (kompjuterski kompatibilnom obliku). U procesu geometrijskog modeliranja projektant kreira geometriju objekta izdajući računaru komande i podatke za kreiranje geometrijskih elemenata, komande za transformaciju, prikaz itd. U toku toga procesa računar konvertuje ulazne informacije u kanoničan matematički oblik i smješta ih u svoju memoriju. Skup ovih informacija naziva se internim modelom dok su u unutrašnjoj, a bazom podataka kada se prebace na vanjsku memoriju računara. Interni model čuva se u registrima unutrašnje memorije u obliku lista (nizovi i matrice) podataka, a bazu podataka čine jedan ili više fajlova na vanjskim, trajnim memorijskim medijima. Model kasnije može biti pozvan iz baze podataka u cilju nastavka modeliranja, pregleda, analize, izrade crteža itd. Geometrijsko modeliranje igra ključnu ulogu u elektromehaničkom CAD/CAM-u, kompjuterskoj viziji, robotici i drugim disciplinama koje se bave fenomenom prostora. Postoje 3 nivoa ili tipa geometrijskog modeliranja. To su: • Linijsko (wire frame modeling) • Površinsko (surface modeling) i • Zapreminsko modeliranje (solid modeling)

Linijsko modeliranje Kod ove vrste modeliranja geometrijski model se opisuje karakterističnim tačkama (tjemenima) i konturnim linijama tj. ivicama objekta. Interni model sadrži koordinate tačaka i podatke o tome koji parovi tačaka tvore pojedine ivice. Prva grupa informacija naziva se geometrijskim a druga topološkim informacijama (sl.1)

Sl. 1. Interni linijski model proizvoda

Korist (dobitak, značaj) od ove vrste modeliranja je u jednostavnom i brzom dobijanju proizvoljnih projekcija objekta. Ortogonalne, izometrijske ili perspektivne projekcije iz bilo

x

z

y

V1

E1

V6

V5

V4 V3

V2

E4

E5

E6

E3

E2

E8

E7 E9

Lista tjemena Lista ivica (Verteces) (Edges) V1(0,0,1) E1(V1,V4) V2(1,0,1) E2(V2,V5) V3(0,1,1) E3(V3,V6) V4(0,0,0) E4(V1,V3) V5(1,0,0) E5(V1,V2) V6(0,1,0) E6(V1,V4)

E7(V2,V3) E8(V4,V5) E9(V5,V6)

13


koje pozicije računar generiše jednako brzo i lako. Ova pogodnost pomaže vizuelizaciji objekta. Metod je primjenjivan početkom 80-tih ali je danas gotovo izbačen iz upotrebe jer je praćen značajnim nedostacima. Oni proizilaze iz činjenice da konturnim linijama nije moguće jednoznačno opisati čvrsto tijelo odnosno zapreminu koju ono zauzima tj. isti linijski model može predstavljati različita tjela (sl.2)

Sl. 2. Nejednoznačan linijski model Razlog za ovaj problem leži u tome što nedostaje niz informacija o površinama i unutrašnjosti objekta. Ovo povlači i dodatni veoma izražen nedostatak koji se ispoljava u nemogušnosti uklanjanja nevidljivih linija. Zbog toga, što se u projekcijama prikazuju sve, i vidljive i nevidljive linije, složeniji modeli postaju nejasni prelazeći u zbunjujuću " šumu" linija (sl. 3)

Sl. 3. Linijski model bez i sa uklonjenim nevidljivim linijama

Razvijena su neka rješenja ovog problema, poput "dept cueing" algoritama, koji deblje iscrtavaju linije i tačke bliže posmatraču (sl. 4). Međutim, generalno linijski model ne može jednoznačno opisati čvrsto tijelo i zato je napušten.

Sl. 4. “Depth cueing” umjesto uklanjanja nevidljivih linija

?

14


Površinsko modeliranje Površinski model sadrži informacije o površinama koje tijelo okružuju. Potrebna je jednačina površine, ali sem toga i informacija o njenoj orjentaciji. Orjentacija nam pokazuje sa koje strane površine je materijal objekta, a definiše se izborom jednog od dva smjera vektora normale na površinu, obično onog koji je usmjeren od objekta prema okolini. Sam se po sebi nameće uslov o orijentibilnosti površine, a on je ispunjen ukoliko je vektor noramale neprekinuta funkcija širom površine. Površine mogu biti opisane a) implicitnim izrazima koje zadovoljavaju koordinate njenih tačaka, b) vektorskim funkcijama dvaju skalarnih argumenata (parametara) i c) eksplicitno preko tipa i skupa karakterističnih parametarskih vrijednosti [Rossignac, Representing solids …] U računaru se ne čuvaju jednačine geometrijskih elemenata nego koeficijenti (brojevi) pomoću kojih se one mogu rekonstruisati. Npr. za opis ravni dovoljna su 4 broja1 A, B, C i D koji figurišu u njenom implicitnom izrazu:

Ax + By + Cz + D = 0

Za opis površina drugoga reda potrebno je 10 brojeva jer u njihovom implicitnom opisu figuriše 10 koeficijenata:

Ax2 +By2 +Cz2 + 2Hxy +2Gzx +2Fyz +2Ux +2Vy +2Wz+D=0 Pošavši od ovakvih implicitnih izraza 0),,( =zyxf vektor normale na povšinu se dobije

prema: ffn

∇∇

= , gdje je kzfj

yfi

xff

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ gradijent od f.

Da bi se omogućila manipulacija sa većim asortimanom površina, posebno složenijih površina, razvijen je parametarski opis u kojem se površina opisuje kao vektorska funkcija dva skalarnih argumenata (parametara) koja tačku iz proizvoljne (u,v) ravni preslikava u 3D kartezijevu tačku. Parametri (u,v) se mogu zamisliti kao krivolinijski koordinate tačaka sa površine (sl. 5). Vektor normale u nekoj tački povr{ine sada se računa vektorskim umnoškom vektora tangenti

na izoparametarske krive koje se sijeku u toj tački:

ur

ur

ur

ur

n

∂∂

×∂∂

∂∂

×∂∂

±=

1 Dovoljna su 3 broja (Ax + By + Cz + 1 = 0), ali ako imamo 4 možemo izvesti normalizaciju tako da nam A, B i C budu komponente jediničnog vektora normale. D je tada udaljenost ravni od ishodišta.

15


Sl. 5. Parametarski opis površine Pored veće slobode u definisanju oblika površine parametarski opis posjeduje i niz drugih prednosti kao što je npr. lakoća izračunavanja niza uzastopnih tačaka sa pojedine izoparametarske krive za potrebe iscrtavanja ili CNC programiranja. Jednom kreiran i memorisan matematički model površine može se iskoristiti na različite načine. Računar može automatski generisati presječne krive ili izračunati površinu nekog njenog dijela. Može prenijeti informacije u obliku ne samo ekranu, nego i mašini za crtanje, programu koji generiše mrežu konačnih elemenata ili alatnoj CNC mašini koja se koristi za izradu dijela. Zato su površinski modeleri bili prvi CAD sistemi koji su omogućili integraciju posredstvom računara cijelog proizvodnog ciklusa od projektovanja, preko analize do izrade. Površinski modeli su našli široku primjenu u vazduhoplovnoj, automobilskoj i brodarskoj industriji. Pored toga estetske površine zahtijevaju se na proizvodima široke potrošnje. Pravila estetike savremenog industrijskog dizajna zahtijevaju glatke zakrivljene oblike sa zaobljenim ivicama što se ne može postići sa linijskim modelima. Nedostatak ove metode je što ni ona, sem u slučaju konveksnih poliedara, ne daje potpune informacije o volumenu što ga tijelo zauzima. Mnogi površinski CAD sistemi ne računaju međusobne presjeke površina i malo njih čuva informacije o tome kako su različite strane objekta spojene da bi mu formirale granicu odnosno omotač. Jednačine površina pa šak i sa pridruženim informacijama o orijentaciji nisu dovoljne da jednoznačno opišu čvrsto tijelo (solid). Jedan dokaz dat je na slici 6.

Sl. 6. I površinski model može biti višeznačan

S1 S2

N1

N2

?

16


Potrebne su, dakle, dodatne informacije za potpun opis zapremine koju tijelo zauzima. Te informacije treba da kažu koji konačni dijelovi površine pripadaju omotaču tijela. Definišu se graničnim linijama. Takođe se uspostavljaju međusobni odnosi pojedinih elemenata omotača, relacije pripadnosti i graničenja. Sve ovo spada u najvišu klasu geometrijskog modeliranja, zapreminsko ili solid modeliranje.

17

ZAPREMINSKO MODELIRANJE (SOLID MODELING) Zapreminsko ili solid modeliranje predstavlja skup tehnika i tehnologija koje se

bave kompletnom i nedvosmislenom kompjuterskom predstavom fizičkih krutih tijela (tj. realnih trodimenzionalnih dijelova). Solid model sadrži sve informacije o zapremini koju tijelo zauzima. Kaže se da je to informaciono kompletna predstava krutog tijela, predstava koja omogućuje, barem u principu, automatsko izračunavanje svakog zapreminskog svojstva modeliranog objekta.

Zaista, zapreminski model omogućuje automatsko kreiranje projekcija i to realističnih prikaza sa uklonjenim nevidljivim linijama, neosjenčenim ili osjenčenim; izračunavanje fizičkih svojstava objekta, težine, težišta, momenta inercije; automatsku provjeru interferencije1 u mehaničkim sklopovima; generisanje putanje alata NC alatne mašine; projektovanje (prolaznih) putanja u robotici; konstrukciju i simulaciju mehanizama; generisanje mreže konačnih elemenata za potrebe statičkih i dinamičkih proračuna, odnosno analiza itd.

Korištenje solid modelera za provjeru velikih mehaničkih sklopova se već podrazumijeva. Oni smanjuju ili čak eliminišu potrebu za izradom skupih modela u drvetu, glini ili drugom materijalu i omogućuju pravovremeno otkrivanje i otklanjanje brojnih konstrukcionih grešaka.

Solid modeleri opskrbljuju projektanta sa alatima za brzo istraživanje projektnih alternativa i analizu različitih rješenja sa stanovišta fizičkih svojstava, tehnologičnosti ili cijene koštanja.

Poslednjih godina intenzivno se radi na algoritmima za automatsko generisanje tehnoloških postupaka izrade. Zadatak se sastoji u tome da se pošavši od solid modela datog dijela i sirovog materijala tj. pripremka automatski kreira postupak izrade zajedno sa aktuelnim instrukcijama za upravljanje NC mašinom i drugim proizvodnim uređajima. Suština procesa je u automatskom otkrivanju prisustva i prepoznavanju tipskih tehnoloških oblika (features) u geometriji dijela i kreiranju tipskih tehnoloških postupaka za pojedine oblike.

Mada poslije svega navedenog izgleda da su solid modeleri opremljeni sa svim inžinjeru potrebnim rješenjima to ipak nije tako. Neka pitanja su još uvijek otvorena, a neka opet zahtijevaju kvaltetnija rješenja.

Matematičke osnove solid modeliranja dolaze prvenstveno iz topologije i algebarske geometrije, a sa kompjuterskog aspekta u pitanju je uglavnom rad na strukturama podataka i algoritmima.

Bilo je više ideja za računarsku reprezentaciju geometrijskog modela tijela. Neke su

bile napuštene i o njima se jedno vrijeme nije govorilo, ali ćemo ih ovdje sve navesti jer neke ponovo postaju aktuelne, možda ne toliko u geometrijskom modeliranju koliko u drugim tehničkim disciplinama poput kompjuterske grafike, analize pomoću metode konačnih elemenata, robotske vizije itd.

Tipsko modeliranje (Primitive Instancing). Kod ove metode polazi se od unaprijed definisanih tipova tijela, takozvanih primitiva, koji su obično predstavnici neke familije dijelova. Primitivi se opisuju pomoću niza parametara, a pojedini primjerak dobija dodjeljujući parametrima konkretne vrijednosti. Mana ovakve reprezentacije je mali geometrijski domen, ograničen samo na varijante definisanih primitiva.

1 Preklapanja istog prostora od strane različitih komponenata sklopa.

18

‘Sweep’ reprezentacija (Sweep Representation). Prema ovoj ideji tijelo se opisuje pomoću skupa tačaka koje prođe odgovarajući ‘objekt’, najčešće ravni lik, pri kretanju (provlačenju) duž neke putanje u prostoru. Tijelo je potpuno određeno pokretnim objektom i putanjom. Zahvaljujući jednostavnim matematičkim modelima u najčešćoj upotrebi su translacioni i rotacioni ’sweep’ (sl. 1), ali je opšti ‘sweep’ veoma složen i težak za implementaciju. I u ‘sweep’ reprezentaciji je asortiman oblika, mada bogatiji, ipak ograničen pa se ona ne koristi samostalno već u kombinaciji sa drugim reprezentacijama.

Sl. 1 Kreiranje tijela translacijom i/ili rotacijom 2D likova

Numerisanje popunjenog prostora (Spatial Enumeration). Tijelo se u ovoj

reprezentaciji definiše skupom ćelija 3D prostora. Zamišlja se podjela cijelog 3D prostora na elemente (ćelije) u obliku kocke i tijelo opisuje pomoću liste ćelija koje je zauzelo. Za ćelije se koristi i izraz voxel što je skraćenica od ‘volume element’. Od finoće podjele prostora (rezolucije) zavisi preciznost sa kojom se tijela mogu predstavljati, ali se uvijek radi o aproksimaciji stvarne geometrije diskretnom (sl. 2). Još je veća mana u vidu velikog utroška memorijskog prostora za smještaj podataka. Razne ideje za uštedu memorije dale su nove metode reprezentacije.

Sl. 2 Popunjavanje prostora elementima fiksnih dimenzija Ćelijska dekompozicija (Cellular decomposition). I ovdje se prostor koji tijelo

zauzima razbija u ćelije, ali one ne moraju biti iste veličine. Najpoznatija varijanta ove metode je dekompozicija u obliku oktalnog stabla. Kocka u kojoj leži tijelo se dijeli na oktante i postupak nastavlja dijeljenjem samo onih oktanata koji su djelimično zauzeti od strane tijela. Dijeljenje se ponavlja dok se ne postigne rezolucija sistema. Ovdje se, na račun složenijih algoritama, postiže velika ušteda memorije. Na slici 3 ilustrivana je 2D verzija ove metode.

19

Sl. 3 Reprezentacija 2D lika pomoću kvartalnog stabla

Dvije posljednje metode, CSG (Constructiv Solid Geometry) u kojoj se tijelo

opisuje kombinovanjem elementarnih tijela tzv. primitiva i B-Rep (Boundary Representation) u kojoj se tijelo opisuje graničnim površinama koje ga okružuju, ovdje ćemo samo navesti, tek da bi bile na broju. Naime, te su dvije metode jedine doživjele ozbiljnu praktičnu primjenu pa ćemo im posvetiti posebna poglavlja.

Inače, da ne bi došlo do zabune, treba znati da se razlike u navedenim metodama odnose na različite strukture kojima se opisuje tijelo, a ne na tehnike koje projektant koristi kad formira model tijela, jer te tehnike mogu biti i iste, npr. kombinovanje elementarnih tijela.

Algoritmi. Kvalitet pojedine reprezentacije tijela može se ocijenjivati sa mnogo

aspekata. Pominjali smo geometrijski domen tj. asortiman geometrijskih oblika koji se mogu opisati i zahtjeve za memorijskim resursima za smještanje pojedinih struktura podataka. Valjanost, jednoznačnost, jedinstvenost i jednostavnost uspostavljanja tj. konstrukcije su još neka mjerila kvaliteta različitih reprezentacija. Jednako su važni i algoritamski aspekti pojedine reprezentacije tj. koliko je pojedina struktura podataka podesna za razvoj efikasnih i pouzdanih algoritama koji implementiraju različite funkcije za tijela, poput izračunavanja zapremine, crtanja projekcija, pravljenja mreže konačnih elemenata itd. Postoji nekoliko fundamentalnih algoritama pomoću kojih se ostvaruju veoma složene operacije geometrijskg modeliranja tijela (npr. Bulove operacije). Među njima su: algoritam za ispitivanje pripadnosti tačke tijelu (Point inclusion) i algoritam za klasifikaciju krive u odnosu na tijelo (Curve-Solid Classification). Pri opisu CSG i B-Rep metode osvrtaćemo se i na realizacije ovih algoritama.

1

4 3

2

. . . . . .

. . . . . .

20

Postoji nekoliko metoda za definisanje volumenskog geometrijskog modela, a od praktilčnog značaja su sledeće dvije:

• CSG (Constructiv Solid Geometry) metod u kojem se model opisuje kombinovanjem elementarnih tijela tzv. primitiva i

• B-rep (Boundary representation) matod ili metod granične predstave u kojem se model opisuje graničnim površinama koje tijelo okružuje.

Ovi metodi se razlikuju po načinu na koji opisuju (memorišu) model, a ne po načinu na koji ga projektant formira jer taj može biti i isti npr. kombinovanjem elementarnih tijela. CSG metod

U ovom pristupu tijelo se u kompjuteru predstavlja (interni model) kao kombinacija jednostavnih tijela, tzv. zapreminskih primitiva: kvadra, valjka, kugle, piramide, torusa itd. Primitivi se kombinuju primjenom Bulovih operacija: unije, presjeka i razlike. Slijedeći ovu ideju tijelo se može predstaviti kao uređeno binarno stablo u kojem čvorovi predstavljaju Bulove operacije, a listovi primitive.

B

A C

A B

C ∪

\

a) tijelo b) konstruktivni primitivi c) binarno stablo

Sl. 4 CSG opis tijela Primitivi se, barem sa korisničkog stanovišta, opisuju parametarski. Pojedinom tipu primitiva pridružen je set parametara koji ga jednoznačno opisuju, a korisnik u toku procesa modeliranja dobija potrebnu veličinu dodjeljujući parametrima konkretne vrijednosti. Tako valjak može biti opisan sa dva (R,H), a kvadar sa tri (L,W,H) parametra (sl. 5).

Sl. 5 Parametrizacija valjka i kvadra

z z

x x y

y

21

Parametarski opis podrazumijeva određeni položaj i orjentaciju primitiva, inače ne bi bio dovoljan. Usvaja se logičan, najjednostavniji položaj i orjentacija. Tako je valjak postavljen sa centrom baze u ishodištu i osom u pravcu z ose koordinatnog sistema. Prije izvođenja Bulovih operacija primitive moramo dovesti u ispravan uzajaman položaj tako da generalno CSG drvo mora uključiti i informacije o transformacijama, kao što su translacija i rotacija. Slika 6 prikazuje moguću strukturu CSG drveta u slučaju opisa tijela na slici CSG modelerom koji sadrži dva primitiva, pravougaonik

),( baP , kome su parametri širina i visina, i krug )(rK radijusa r. Predpostavljeno je da sistem raspolaže operacijom translacije za koju je uvedena oznaka ),( nmT , gdje su

nm i komponente vektora translacije. Interna, računarska definicija primitiva u CSG predstavi izvodi se kroz kombinaciju

entiteta nižeg nivoa, tzv. poluprostora. Poluprostori su definisani algebarskim nejednakostima tj. izrazima oblika

( ){ }0),,(|,, ≤= zyxpzyxH gdje je p polinomska funkcija. Intuitivno, svaka površ data sa 0),,( =zyxp dijeli cio 3D prostor na dva poluprostora koje ćemo uslovno nazvati puni prostor (prostor tijela) i prazan prostor.

Sl. 6 Uključivanje transformacija u CSG predstavu

Za opis kugle dovoljan je jedan poluprostor

02222 ≤−++ rzyx , za valjak je potrebno kombinovati tri

)()0()0( 222 hzzryx ≤≤−≤−+ , a za kvadar čak šest poluprostora. Poliprostori se dakle lako rekonstruišu na osnovu parametara pojedinih primitiva, r, h itd. Zbog toga što se dobijaju kombinacijom algebarskih skupova prostori koje zauzimaju fizički objekti (solidi) nazvani su polu-algebarskim skupovima. Uključivanje transformacija u CSG model može se efikasno izvesti primjenjujući ih upravo na poluprostore. Pri tom poslu pokazuje se praktičnim vektorski opisati pojedine

\

A B T(14,0)

∪

C

T(C) A=P(27,12) B=P(12,10) C=K(6) T=Trans(14,0)

22

primitive u njihovom opštem položaju pa transformacije primijeniti direktno na vektore koji učestvuju u opisu. Vektorski opis cilindra je jednostavan

0)( 22=−•−−− rnCPCP

gdje je: P tačka sa cilindra, C centar baze, a n jedinični vektor sa ose valjka (sl. 7).

Sl. 7 Elementi vektorskog opisa cilindra Translacija mijenja vektor C, a rotacija vektor n. Prevođenjem vektorskih izraza u implicitne mogu se razraditi efekti primjene pojedinih transformacija direktno na implicitne izraze i dobiti algebarski opisi poluprostora u opštem položaju.

Jedan od nekoliko fundamentalnih algoritama geometrijskog rezonovanja je algoritam za ispitivanje pripadnosti tačke solidu. Za tijela opisana CSG šemom to se lako može ustanoviti jednostavnim ispitivanjem da li tačka pripada pojedinim primitivima i kombinovanjem dobijenih rezultata po istim Bulovim operacijama koje su nametnute primitivima. Pripadnost pojedinim primitivima, pak, provjerava se ispitujući pripadnost poluprostorima koji primitive opisuju, tj. ispitivanjem da li koordinate tačke zadovoljavaju algebarske izraze koji opisuju pojedine poluprostore. Transformacije je u ovom i sličnim algoritmima moguće primijeniti na tačke umjesto na poluprostore. Uzajamni položaj će ostati isti ako tačku transformišemo transformacijom inverznoj transformaciji primijenjenoj na primitiv, a primitiv zadržimo u izvornom položaju. Provjera pripadnosti će na taj način biti elegantnija, ali će se transformacija tačke morati izvoditi pri svakom ispitivanju umjesto jedne jedine transformacije primitiva. Svaki se dobitak mora platiti. Samo bi detaljna analiza mogla pokazati koji je pristup bolji.

Da bi se rezultati jednih mogli primijeniti u narednim operacijama solidi moraju biti algebarski zatvoreni pri operacijama unije, presjeka i razlike. Drugim riječima Bulove operacije moraju biti unutrašnje operacije u skupu krutih tijela (odnosno njihovih matematičkih modela) kao što je sabiranje unutrašnja operacija u skupu prirodnih brojeva. Rezultati takvih operacija su ponovo kruta tijela, odnosno regularni skupovi 3D tačaka. Međutim, striktna primjena konvencionalnih, Bulovih operacija nad solidima može proizvesti neregularne skupove tj. objekte sa anomalijama poput visećih strana i ivica (sl. 8). Zato su Bulove operacije nad solidima modifikovane tako da su rezultati

C

P

n

23

njihove primjenjene nad regularnim skupovima opet regularni1 skupovi. One su nazvane regulariziranim, a proširene su operacijama za otkrivanje i uklanjanje visećih strana i ivica te izolovanih tjemena, čime se obezbjeđuje dimenziona homogenost rezultata. Pomenute neregularnosti nastaju uglavnom u slučaju preklapanja granica polaznih solida i mogu se razriješiti pomoću informacija o okolini tačaka sa preklapajuće granice. Okolina radijusa R tačke p obzirom na solid S, );( SO p , je presjek (otvorene) kugle radijusa R, sa centrom u p , i solida S. Pri otkrivanju anomalija kombinuju se okoline jedne te iste tačke sa granice obzirom na polazne solide. Zavisno od rezultata te operacije donosi se odluka o odbacivanju (sl. 8 a) ili zadržavanju granice (sl. 8 b).

Slika 8 Regularizacija Bulovih operacija

U CSG predstavi ivice i strane se ne pojavljuju direktno u strukturi podataka ali su implicitno u njoj sadržane i po potrebi se mogu rekonstruisati (odrediti). Da bi se odredile strane, ivice i tjemena tijela definisanog CSG šemom CSG drvo mora prvo biti preračunato (evaluated), tj. Bool-ove operacije izvedene. Ovaj proces se naziva izračunavanje granice (boundary evaluation) i veoma je “skup” u pogledu utroška računarskog vremena. On uključuje veoma složene operacije presjeka površina, kao i klasifikaciju i selekciju presječnih krivih da bi se odredile stvarne ivice i strane omotača. Zbog toga su razvijane tehnike za umanjenje ili čak eliminisanje njegove upotrebe. Jedno rješenje naziva se inkrementalnim izračunavanjem granice, a ogleda se u čuvanju rezultata prethodnog izračunavanja i lokalnom ažuriranju tih rezultata u slučaju dalje modifikacije CSG stabla. S druge pak strane razvijeni su neki algoritmi, npr. za sijenčenje i za izračunavanje masenih svojstava, koji potpuno zaobilaza proces izračunavanja granice jer operišu direktno na CSG modelu.

CSG predstava je neprikladna za kreiranje linijskih crteža objekta jer ta operacija podrazumijeva poznavanje granice. Isto tako pojedine grafičke interakcije (npr. selekciju neke ivice) je teško podržati direktno iz CSG modela. Međutim CSG predstava je koncizna, uvijek validna i može se jednostavno parametrizirati i editovati. CSG metod je jednostavan i brz ali je ograničen u pogledu modeliranja složenih i slobodnih površina. Baza podataka CSG modela je kompaktna, zahtijeva manje

1 Skup je regularan ako je jednak zatvorenju svoje unutršnjosti. Intuitivno regularan skup se dobije kada se uzmu njegove unutrašnje tačke pa preko toga navuče tijesna opna. Tačka p je unutrašnja tačka skupa X, iX, ako postoji okolina od p (npr. otvorena kugla oko p ) koja je kompletno sadržana u X. p je element zatvorenja od X , kX, ako svaka okolina od p sadrži tačku u X. p je element granice od X , bX, ako je istovremeno element od kX i k(cX), gdje cX označava komplement od X. Za skup X kaže se da je je regularan ako je X=kiX.

O(q, A) O(q, B) O(p, A) O(p, B)

= {∅} ∩ ∩ =

A p

q

B Α∩Β (klasično)

a) odbacivanje ivice b) zadržavanje ivice

24

memorijskog prostora, ali više računarskog vremena za rekonstrukciju modela i njegove slike. B-rep (Boundary representation) method

U ovom pristupu tijelo se u računaru predstavlja pomoću svojih graničnih površina, odnosno omotača. Omotač se dijeli na konačan broj strana, svaka strana je ograničena prstenom ivica, a ivica opet parom tjemena. U strukturi podataka evidentne su dvije kategorije elemenata:

• Topološki i • Geometrijski elementi.

Toploški elementi su strane, ivice i tjemena, njihov broj i veze uspostavljene među njima, relacije povezanosti i susjedstva. Geometrijski elementi su tačke, linije i površine tj. njihovi analitički izrazi. Tijelo se opisuje svojom topološkom granicom, a odgovarajuća geometrija se dodaje u obliku tačaka, linija i površina. Nad istim topološkim modelom mogu se ostvariti različiti fizički oblici i veličine.

Sl. 9 B-Rep struktura podataka

Mada se tijelo može nedvosmisleno predstaviti jednostavnom specifikacijom

njegovih strana, često se B-Rep strukture podataka proširuju dodatnim informacijama u cilju ubrzavanja nekih računarskih operacija. Unošenje prekomjernih podataka naziva se redundancijom, a prisutna je i u geometrijskom i u topološkom skupu podataka.

Primjer geometrijske redundancije je jednačina ravne strane tijela. Iako je implicitno sadržana u podacima o tjemenima ipak se često eksplicitno čuva kako bi se ubrzale neke geometrijske operacije. Generalno, u slučaju poliedara sa ravnim stranama geometrija je potpuno definisana sa samo jednom klasom podataka, tačkama, pravcima ili ravnima. Uvijek se na osnovu jednog od skupova mogu rekonstruisati druga dva, uz uslov da je poznat topološki model. Obezbijeđivanje svih triju skupova informacija je visoko redundantno, ali se izvjesna redundancija gotovo redovno sreće. Ona na račun utroška memorijskih resursa dovodi do efikasnijih (bržih) sistema. Ista konstatacija vrijedi, barem u principu, i u slučaju poliedara sa zakrivljenim stranama - ivice i tjemena mogu se dobiti presjekom površina. Međutim, praktična rješenja presjeka površina su veoma komplikovana i spora pa je poželjno informacije o ivicama čuvati eksplicitno kad god su raspoložive.

Omotač

Prsten

Ivica

Tjeme

Strana

Linija

Tačka

Površina

2

2

25

Redundancija je mnogo izraženija u topološkom pogledu, a uvodi se u cilju ubrzavanja algoritama za pretraživanje struktura podataka o topološkom modelu. Tako npr. tjeme može upućivati na sve ivice kojima je granica ili ivica na obe strane kojima je zajednička. Na taj način lako možemo pronaći sve ivice koje dijele neko tjeme ili, naprimjer, sve strane susjedne datoj strani (obilaskom svih ivica date strane i popisivanjem strana koje leže sa druge strane pojedine ivice).

Najjednostavnija struktura topoloških podataka za ravnostrane poliedre sastoji se samo od relacija između strana i tjemena (sl. 10). Ivice nije potrebno navoditi jer su definisane implicitno, preko tjemena, pod uslovom da su navedena u redosljedu u kojem se pojavljuju.

Sl. 10 Najprostija topološka struktura ravnostranog poliedra Ubrzavanje pretraživanja omogućuje se jeftinim proširenjem (redundancijom) prednje strukture sa povratnim tjeme->ivice i ivica->strane pokazivačima (sl. 11).

Sl. 11 Blago redundantan topološki model ravnostranog poliedra Jedna od najpoznatijih topoloških B-Rep struktura podataka je struktura krilaste

ivice (winged edge data structure) (sl. 12) . To su tzv. strukture koncentrisane oko ivice. Svaka ivica “pokazuje” na svoje početno i krajnje tjeme te na obije strane kojim aje granica. Kvalifikovanje graničnih tjemena kao početnog i krajnjeg definiše orjentaciju ivice, najčešće takvu da matična strana ostaje sa lijeve strane ivice. Svaka ivica, u ovakvoj strukturi podataka, ima svoju inverznu, koja se dobije kad strane i tjemena zamijene svoje uloge. Zbog ovog uparivanja dobile su naziv polu-ivice (half-edges).

x, y, z Strana

prethodna

naredna

Lista tjemena

Tjeme

preth.

nared.

str.-1 str.-2

x, y, z

Strana

prethodna

naredna

Lista tjemena

Tjeme

preth.

nared.

Lista ivica

Ivica

preth.

nared.

26

Sl. 12 Model krilaste ivice

Razdvajanje topološke od geometrijske klase podataka dovelo je do niza

konceptualnih i praktičnih koristi. Topološki prostor, koji je bio intuitivno slabije shvaćen od geometrijskog, mogao se sada zasebno proučavati što je dovelo do niza teorema o zakonitostima koje vladaju među njegovim elementima. Otkriveni zakoni su imali veliki praktični značaj – iskorišćeni su za provjeru i osiguranje validnosti modela pri izvođenju različitih operacija nad solidima. Najznačajniji su Mebijusovo pravilo i Ojlerovi obrasci.

Mebijusovo pravilo se može interpretirati na sledeći način: Izvede li se jedinstvena orjentacija graničnih ivica svake strane poliedra (npr. suprotno smjeru kazaljke na satu posmatrano iz vrha vektora normale) tada će svaka ivica dobiti dva i to suprotna smjera, po jedan od svake strane kojoj je granica (vidi sl. 12 i 13). Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen tada data struktura podataka ne može predstavljati realno (ostvarivo) poliedralno tijelo. Pojava ivica sa jednostrukim smjerovima pokazala bi da granična površina1 ne zatvara skup 3D tačaka, a isti smjerovi duž ivica da nije orjentisana2.

Sl. 13 Mebijusovo pravilo

U jednom broju CAD sistema, na osnovu Mebijusovog pravila, razvijeni su algoritmi za automatsku orjentaciju strana, odnosno ivica. U drugim slučajevima, kada su informacije o orjentaciji ugrađene u geometriju3, ili date eksplicitno4, Mebijusovo pravilo može poslužiti za provjeru njihove konzistentnosti, tako što se provjerava njegovo održanje pri izvođenju operacija geometrijskog modeliranja.

1 Misli se na cijeli omotač tj. na kompozitnu površinu sastavljenu od svih površinskih elemenata koji čine omotač. Precizan, matematički formalan izraz je po dijelovima glatka površina, što predstavlja površinu koja se može izdijeliti na konačan broj glatkih elemenata. Međutim, preduboko uvlačenje u strogi matematski formalizam bi ovdje bilo kontraproduktivno, pa ga izostavljamo. 2 Po dijelovima glatka površina je orjentisana ako je svaki od njenih glatkih elemenata (strana) orjentisan i pri tome između elemenata održana koherentna orjentacija u smislu da se zajedničke ivice orjentišu u suprotnim smjerovima. 3 Npr. izraz Ax + By + Cz + D = 0 definiše ravan sa orjentacijom N(A,B,C), a izraz -Ax - Bz - Cz – D = 0 istu tu ravan, ali sa suprotnom orjentacijom –N. 4 Ivice čije su krive zadane parametarski mogu se jednostavno orjentisati dodavanjem jedne promjenljive

čija vrijednost definiše orjentaciju, npr. +1 u smjeru porasta parametra krive, a –1 u suprotnom smjeru.

Matična strana

Suprotna strana

Krajnje tjeme

Početno tjeme Matična strana

Suprotna strana Početno tjeme

Krajnje tjeme

Polu-ivice

27

Ojlerovi obrasci dolaze iz teorije grafova, poslije otkrića da se topološki model poliedra može predstaviti kao ravanski graf čije se spojnice ne presijecaju. Poliedar se, očigledno, može prikazati na sferi tako da mu se ivice ne sijeku, sem u tjemenima. Ako se, potom, izvede stereografaka1 projekcija iz centra jedne od strana na ravan koja tangira sferu na suprotnoj strani, dobiće se slika koja predstavlja povezan ravni graf. A, za povezan ravni graf vrijedi sledeća veza između broja njegovih topoloških elemenata

2=−+ evf gdje su sa f označenen broj oblasti grafa tj. strane poliedra, sa v tjemena, a sa e spojnice, odnosno ivice poliedra. Ovu vezu prvi je otkrio Ojler pa otuda naziv Ojlerova formula. Njena ispravnost lako se dokazuje principom matematičke indukcije. Ona je očigledna u slučaju najprostijeg ravnog grafa sa jednom konačnom oblasti, prikazanom na slici 14). Ukupan broj oblasti je 2 jer svaki ravni graf sadrži jednu neograničenu, beskonačnu oblast.

Sl. 14 Ravni graf sa dvije oblasti

Pod pretpostavkom da je izraz tačan za n oblasti lako se pokazuje da je tačan za n+1 oblasti jer je za novu oblast potrebno jedno tjeme i dvije spojnice pa se ukupan broj dodanih topoloških elemenata uvijek poništava 0=′−′+′ evf (sl. 15). Isto vrijedi i u slučaju oblasti sa većim brojem ivica. Otuda slijedi da je izraz tačan za bilo koji broj elemenata.

Sl. 15 Dodavanje nove oblasti ne mijenja vrijednost Ojlerovog izraza Graf kvadra može imati oblik kao na slici 16.

Sl. 16 B-Rep graf kvadra; f=6, v=8, e=12 -> f+v-e=2

1 Projekcija koja se koristi pri izradi geografskih karata, perspektiva ili centralna projekcija

f1 f2 e2

e1

e3

v1

v3

v2

f ' e'

v' e'

28

Kada strane sadrže unutrašnje prstenove, kao što je slučaj sa stranom f tijela na slici

17, tada se vrijednost Ojlerovog izraza uvećava za broj unutrašnjih prstenova. Treba primjetiti da je stereografska projekcija takvih tijela nepovezan graf. Međutim, nije teško uspostaviti vezu između jednog i drugog. Na slici 17 pokazan je prelazak sa nepovezanog (b) na na povezan graf (c) jednostavnim dodavanjem jedne (fiktivne) ivice e. Budući da je ovaj graf povezan za njega vrijedi Ojlerov obrazac. Uklanjanjem ivice e dobija se (nepovezan) graf sa jednom ivicom manje, a nepromijenjenim brojem tjemena i strana, pa Ojlerov izraz dobija vrijednost 3. Odnosno, za proizvoljan broj unutrašnjih prstenova R imamo:

Revf +=−+ 2

Sl. 17. Tijelo sa unutarnjim prstenovima ivica (a) ima nepovezan graf (b)

Konačno, ako tijelo sadrži rupe Ojlerova formula dobija oblik:

HRevf 22 −+=−+ gdje je H broj prolaznih rupa kroz tijelo.

Pri formiranje B-rep modela za složenija tijela mogu se takođe koristiti Boolove operacije, ali je razlika u tome što se odmah izračunava rezultat njihove primjene tj. određuju granični elementi novonastalog tijela i samo oni čuvaju u bazi podataka, a ne procedura kojom su nastali. U središtu toga procesa je algoritam za otkrivanje međusobnog odnosa strana polaznih tijela. Primjenjuje se u parovima tako što se svaka strana jednoga poredi sa svakom stranom drugoga tijela. Postupak je ilustrovan na slici 18.

Sl. 18 Postupak izračunavanja presječne ivice Za izračunavanje eventualnih presječnih ivica potrebno je prvo pronaći linije

presjeka primitivnih površina na kojima leže posmatrane strane, pa onda ispitati da li te linije prolaze stranama. Ako postoje takvi intervali na objema stranama i ako se pri tome još i preklapaju onda oni postaju kandidati za nove ivice modeliranog tijela. Na

f e

a) b) c)

a) b) c)

I1 ∩ I2 I1 ∩ I2={∅}

29

slici 18 samo je u slučaju c taj uslov ispunjen. Precizno definisanje podintervala koji će činiti ivicu zavisi od konkretne Bulove operacije.

Zahvaljujući razdvajanju topoloških i geometrijskih informacija ovakvi i slični algoritmi ne zavise od karakteristika geometrijskih elemenata koji u njima učestvuju. Tako prednji algoritam za pronalaženje potencijalnog presjeka dviju strana, vrijedi za ma koje tipove površina, pod uslovom da je obezbijeđena operacija njihovog geometrijskog presjeka i da se kriva presjeka isporučuje u zahtijevanom obliku. Najčešće je to parametraski oblik jer omogućuje jednostavno sortiranje i opis presječnih intervala i razrješavanje interakcije među njima. Pored toga, ovakav pristup je koristan jer ostaje otvoren za proširivanje sa novim tipovima geometrijskih elementima. Jedini uslov za uvođenje novih tipova površina je razvoj i algoritama za pronalaženje njihovog presjeka u obliku kompatibilnom za dati modeler.

Operacije u B-rep modelima

Kreiranje tijela konstruisanjem njegove granične topologije i definisanjem odgovarajuće 3D geometrije “ručno” bilo bi sa stanovišta korisnika krajnje nepraktično. Zato su razvijene funkcije koje korisniku omogućuju kreiranje modela sa relativnom lakoćom. U pozadini tih funkcija su algoritmi koji ma osnovu korisnikovih ulaznih informacija odrećuju B-Rep model nastalog tijela. Radi se uglavnom o sledećim operacijama: 1. Boole-ove operacije, koje se primjenjuju na dva tijela, dva B-rep modela,

kombinujući ih u novi B-Rep model. 2. “Sweeping” tehnike - tijelo se dobija kada se 2D figura kreće kroz prostor,

translatorno (sl. 19a), rotaciono (19b) ili kombinovano (opšti “sweep”) (19c).

Sl. 19 Kreiranje tijela translacijom i/ili rotacijom 2D likova

3. Dodavanje zaobljenja i skošenja duž pojedinih ivica. 4. Uvođenje složenih površina:

a) kroz presjek tijela složenom površinom i b) zamjenom postojeće površine novom na nekoj strani B-Rep modela.

Egzaktna i aproksimirana predstava U egzaktnoj predstavi geometrija uključuje krive linije i površine, a aproksimirana samo prave linije odnosno ravne poligone. Aproksimaciji zakrivljenih površina ravnim poligonima (fazetama) pribjegava se zbog jednostavnijih algoritama za rješavanje geometrijskih problema, jeftinijih proračuna, jednostavnijeg prikaza itd.

B-rep modeli omogućuju kreiranje najraznovrsnijih oblika: karoserija automobila, lopatica turbina, krila propelera itd. Ali ovaj sistem zahtjeva više memorijskog prostora

30

za smještaj modela jer se opisuje eksplicitna definicija granice modela. Nisu pogodni za parametarsko opisivanje tijela, jer je omotač teško parametraski opisati. Zato je, s druge strane, brža i jednostavnija rekonstrukcija oblika i njegove slike.

Zbog relativnih prednosti i nedostataka jedne nad drugom metodom razvijaju se hibridni sistemi koji kombinuju oba pristupa. Kod ovih sistema u bazi podataka se čuva i procedura kojom je tijelo nastalo i njegov B-Rep model. Zajedno sa informacijama o omotaču modeliranog tijela čuvaju se i informacije o oblicima koji su učestvovali u Bulovim operacijama, tako da se zadržava mogućnost jednostavnije modifikacije modela, uz istivremenu prednost brzog iscrtavanja linijskih prikaza jer su informacije o ivicama neposredno raspoložive.

31

Dr Simo Jokanović, Projektovanje pomoću računara, CAD/CAM sistemi

OSNOVNE KARAKTERISTIKE I FUNKCIJE CAD/CAM SISTEMA ZA 3D GEOMETRIJSKO MODELIRANJE

1. Osnovne tehnike modeliranja:

a) Primjena Bulovih operacija, unije, presjeka i razlike nad skupvima 3D tačaka. Tijela koja učestvuju u tim operacijama mogu biti ma kako složena, ali se polazi sa jednostavnim oblicima. Polazni, elementarni oblici mogu se podijeliti u dvije grupe: - zapreminski primitivi, kvadar, valjak, kugla, konus i torus, - elementarni oblici koje definiše korisnik, tijela nastala translacijom i/ili

rotacijom ravanskih likova (sl. 16, poglavlje Zapreminsko modeliranje). Na slici 1 prikazani su rezultati pojedinih Bulovih operacija primijenjenih na jedno tijelo iz skupa zapreminskih primitiva (kvadar), a drugo kreirano translacijom ravanskog lika (klin).

Sl. 1. Bulove operacije: unija, presjek i razlika

b) Moguće je uključivanje slobodne i složene geometrije tj. zakrivljenih površina u

omotač proizvoda. Ono se izvodi na dva načina • presjekom 3D modela složenom površinom (sl. 2) • dodjeljivanjem nekoj (topološkoj) strani modela nove, zakrivljene površine

A B

A ∪ B Α ∩ B B\A

32


Sl. 2. Definisanje složene geometrije presjekom solida sa povr{inom Za kreiranje površina postoje različite tehnike kao što su rotacija ili translacija krive, pomjeranje krive duž neke putanje u prostoru (”sweep” tehnika), interpolacija niza ili mreže krivih linija (”loft” tehnika) itd. Površina korištena u primjeru na slici 2 kreirana je ”loft” tehnikom tj. interpolacijom tri krive linije koje predstavljaju ravanske presjeke površine (sl. 3).

Sl. 3. Loft tehnika kreiranja složene površine

c) Dodavanje zaobljenja i skošenja duž pojedinih ivica tijela:

Sl. 4. Kozmetičke operacije geometrijskog modeliranja, zaobljenja i skošenja

2. Striktna primjena koordinatnih sistema pri definisanju gemetrije. Pri definisanju geometrije dijela strogo se poštuju i primjenjuju koncepti koordinatnih sistema i koordinata tačaka. Korisnik može po volji prelaziti iz jednog sistema u drugi. Pri tome postoji jedan broj preddefinisanih koordinatnih sistema (sl. 5), ali i funkcije za definisanje proizvoljnog korisničkog koordinatnog sistema. Slika 6 prikazuje neke mogućnosti.

33


Sl. 5. Najčešći preddefinisani koordinatni sistemi u paketima za

3D geometrijsko modeliranje

Sl. 6. Koordinatni sistem kroz tri tačke (lijevo) i rotacijom prethodnog

oko x ose (desno)

3. Geometrijski elementi ravanskog karaktera kreiraju se u xy ili njoj paralelnoj ravni tekućeg koordinatnog sistema (sl. 7)

Sl. 7. Krug se automatski postavlja u ravan paralelnu xy ravni

•

•

•

34


4. Pri kreiranju zapreminski primitivi se orijentišu tako da se podudare orijentacije lokalnog

koordinatnog sistema primitiva i tekućeg koordinatnog sistema modela (sl. 8 i 9).

Sl. 8. Lokalni koordinatni sistemi pojedinih primitiva

Sl. 9. Koordinatni sistem upravlja orjentacijom primitiva

5. Rad u dva zasebna, principijelno i dimenziono različita, radna prostora, 3D prostoru modela i 2D prostoru ‘papira’. U prostoru modela izvodi se 3D geometrijsko modeliranje proizvoda tj. definisanje njegovog oblika i dimenzija. U prostoru papira definišemo projekcije, njihove projekcione parametre (projekciona ravan ili projekcioni pravac i dr.) i prostor koji zauzimaju na listu papira. Tu se još, obično, iscrtava okvir i sastavnica, kreiraju kote, ispisuju tekstualne napomene itd. Same projekcije softver kreira automatski na osnovu projekcionih parametara i smješta ih na rezervisani prostor papira. Svaka se izmjena geometrijskog modela automatski prenosi i prikazuje u svim projekcijama. S druge strane, elementi koji su kreirani u prostoru papira ostaju samo u tom prostoru, nema njihovog traga u prostoru modela. Može se imati i više prostora papira (više crteža) za jedan te isti 3D model proizvoda.

35


Sl. 10. Dva radna prostora u CAD/CAM sistemima za 3D geometrijsko modeliranje: 3D prostor modela i 2D prostor ‘papira’

36

Dr Simo Jokanović, Projektovanje pomoću računara, MCAE sistemi

CAD/CAM SISTEMI TREĆE GENERACIJE – MCAE SISTEMI

Moderni CAD/CAM sistemi za projektovanje u mašinstvu izdvojili su se u posebne sisteme. Poznati su pod nazivom MCAE (Mechanical Computer Aided Engineering) sistemi. Naime, tvorci konvencionalnih CAD/CAM sistema nastojali su jednim jedinim paketom pokriti sve grane tehnike. Tako su nastajali glomazni sistemi, nekonformni za stručnjaka iz posebne discipline. U savremenim, pak, rješenjima CAD/CAM sistemi za projektovanje u mašinstvu izdvajaju se kao posebni jer se pokazalo da specifičnosti mašinskog projektovanja zaslužuju pažnju i nude podizanje efikasnosti sistema.Razvoj savremenih CAD/CAM sistema usmjerili su opšte poznati ciljevi kapitalističke proizvodnje, proizvesti brže, bolje i kvalitetnije. CAD/CAM sistemi treće generacije, su ostvarili značajan iskorak prema svakom od navedenih ciljeva omogućujući: • skraćenje vremena razvoja proizvoda, • projektovanje kvalitetnijih proizvoda i • pojeftinjenje proizvodnje.

U osnovi uspjeha u skraćenju vremena razvoja leži ideja o konkurentnom inžinjerstvu. U tom pristupu pojedine se faze razvoja proizvoda izvode istovremeno (sl. 1) pa se prije stiže do kraja.

Kvalitet proizvoda je podignut kroz mogućnost ispitivanja većeg broja varijanti rješenja, a bez naročitih dodatnih troškova zahvaljujući snažnoj vezi između geometrijskog modela i drugih, naknadnih modela u procesu projektovanja. Ta takozvana asocijativnost je omogućila automatsko preračunavanje svih svojstava i transformata geometrijskog modela u slučaju kreiranja nove varijante oblika i/ili dimenzija.

Pojeftinjenje proizvodnje postignuto je zamjenom stvarnog prototipa digitalnim, pravovremenom analizom tehnologičnosti konstrukcije i otkrivanjem skupih grešaka.

Konkurentno inžinjerstvo Realizacija ideje o konkurentnom inžinjerstvu je najveća značajka savremenih CAD/CAM sistema

i osnova svih njihovih dostignuća. Konkurentno inžinjerstvo je takav vid razvoja proizvoda u kome članovi tima istovremeno izvode svoje inžinjerske aktivnosti obrađujući jedan te isti digitalni model proizvoda. Sreće se i pod sinonimima simultano, paralelno ili kolaboraciono inžinjerstvo. U klasičnom pristupu pojedine faze u procesa projektovanja su se izvodile sekvencijalno (sl. 1). Kako je to sada moguće izvoditi paralelno? Kako je moguće istovremeno projektovati i sam proizvod i tehnologiju njegove izrade, na primjer? Izvjesni vremenski pomaci svakako postoje (sl. 1), ali se sa simulacijama, analizama i tehnologijom može otpočeti već po postavljanju idejnog rješenja, koncepta proizvoda, bez bojazni da bi taj rad kasnije mogao biti odbačen kao neadekvatan.

Sl. 1. Razvojni ciklusi pri različitim principima projektovanja

37


Naprotiv, svaki napredak u projektovanju proizvoda, svaka izmjena njegovog oblika i dimenzija, se automatski prenosi na sve povezane aplikacije tako što se one automatski ažuriraju bez potrebe za ponovnim unošenjem podataka ili ponavljanjem operacija. U čemu je tajna ovako moćnih rješenja? Ključ leži u sasvim novom principu u zapreminskom geometrijskom modeliranju, parametraskom, na tipskim formama zasnovanom solid modeliranju, izvorno poznatom pod nazivom 'parametric, feature based solid modeling', koga eksploatišu svi savremeni proizvođači MCAE sistema.

Parametarsko modeliranje Suštinska karakteristika MCAE sistema je parametarski opis internog računarskog modela

proizvoda. U fazi geometrijskog modeliranja sistem kreira parametraski geometrijski model na osnovu korisnikovih ulaznih podataka o obliku i dimenzijama proizvoda. Sam po sebi parametarski opis nije ništa novo. Taj koncept postavljen je već sredinom 19. vijeka, u disciplini takozvane grupne tehnologije kada se parametarski opisivala geometrija kompleksnog dijela predstavnika grupe. Variranjem parametara dobijali bi se posebni dijelovi koji pripadaju grupi. Dakle, sama

Sl. 2. Parametri tipske forme u obliku stepenika (desno) i putanje alata za njenu izradu (lijevo)

parametrizacija nije nešto novo, ali ključ leži u nečemu drugom, u tome da se i ostali modeli, model za analizu, dokumantaciju, model za izradu itd., takođe parametarski opisuju i to u funkciji istih onih parametara kojima je opisan osnovni ('master') geometrijski model (slika 2. prikazuje jedan primjer). Na taj način se svaka izmjena na geometrijskom modelu automatski prenosi na ostale modele 38


preračunavajući ih za nove vrijednosti parametara1. Eto zato se prateće aktivnosti mogu izvoditi paralelno. Izmjenom geometrijskog modela rezultati tih aktivnosti neće biti odbačeni nego samo preračunati.

Sličan je doprinos razvoju kvalitetnijih proizvoda. Projektant može isprobavati proizvoljan broj varijanti rješenja, a provedene izmjene se automatski umnožavaju širom svih parametarskih modela.

Često je moguć i obrnut postupak, da izmjena načinjena u pratećoj aplikaciji ažurira glavni model, a članovi tima obaviještavaju se o svakoj izmjeni. Ovakva osobina naziva se dvosmjernom asocijativnošću. Naravno, potreba uspostavljanja prava pristupa se u ovakvim slučejevima sama po sebi nameće.

I na kraju, zahvaljujući internetu, tim se može formirati u distribuiranom okruženju u kome njegovi članovi komuniciraju pomoću e-mail poruka ili na neki drugi elektronski način. Moćni alati za upravljanje parametrima uspješno vrše kontrolu ovakvih paralelnih aktivnosti obezbjeđujući organizovan, kontrolisan razvojni proces.

Modeliranje pomoću tipskih formi

a) Autodesk Inventor

b) SolidWorks

c) CATIA V5

Sl. 3. Ikone tipskih oblika

Modeliranje pomoću tipskih formi je drugi kamen temeljac MCAE sistema i uvedeno je iz više razloga: • radi jednostavnije parametrizacije modela; svaka tipska forma može biti opisana sa unaprijed

definisanim skupom parametara, čiji je broj mnogo manji nego u slučaju korištenja zapreminskih primitiva,

• jer su praktične za projektovanje; zasnivaju se na provjerenim i prihvaćenim konceptima; lakše je razmišljati u vidu transltornih i rotacionih oblika, utora, rupa, rebara i zaobljenja nego u smislu

1 Parametre ovdje treba sasvim fleksibilno shvatiti, jer se pod tim pojmom ovdje razumiju ne samo skalarne, nego i vektorske veličine i informacije o obliku i njemu nametnutim ograničenjima.

39


geometrijskih elemenata poput krugova, lukova i linija; tipske forme već sadrže znatne informacije o obliku čime oslobađaju projektanta značajnog dijela aktivnosti na modeliranju,

• pogodne su za dodjeljivanje i negeometrijskih informacija o proizvodu poput postupka izrade ili cijene koštanja, tako da predstavljaju zgodno sredstvo za sveukupan opis proizvoda.

Slika 3 prikazuje asortimane tipskih formi u nekoliko poznatih MCAE sistema.

Tehnike upotrebe ili korisnički interfejs Interfejs prema korisniku odnosno tehnike pri radu sa MCAE sistemima se veoma razlikuju od

tehnika koje smo sretali kod CAD/CAM sistema druge generacije. Objasnićemo uz njihovo istovremeno demonstriranje na konkretnom primjeru.

Skice Napušta se koncept striktne primjene koordinatnih sistema. Polazi se od skice koja predstavlja grubu aproksimaciju naše ideje ne opterećujući se preciznom koordinatnom geometrijom.

Sl. 4. Gruba, orjentaciona skica

Dimenzije i ograničenja Precizno definisanje geometrije ne obavlja se zadavanjem koordinata diskretnih tačaka već konvencionalnim postupcima definisanja kota i geometrijskih uslova (ograničenja). Tako i u definisanju ravanske geometrije dolazi do vraćanja na tradicionalne, provjerene koncepte o dimenzijama i geometrijskim ograničenjima kao što su: horizontalno, vertikalno, tangentno, okomito, simetrično itd (sl. 5).

Sl. 5. Ikone ograničenja u AutoCAD-u

Skici na slici 3. pored prikazanih dimenzija (sl. 6) nametnuti su i uslovi tangentnosti linija na luk i simetričnosti kosih linija u odnosu na horizontalnu osu. Intuitivni koncepti simetrale i ose se takođe reafirmišu.

40


Sl. 6. Konačan oblik i dimenzije lika

Date dimenzije (parametri), uz nametnuta geometrijska ograničenja, jednoznačno opisuju dati lik. To znači da se na osnovu ovih podataka mogu izračunati koordinate diskretnih tačaka koje definišu pojedine geometrijske elemente (krajnje tačke linije, odnosno centar i krajnje tačke luka). Isto tako promjena ma kojeg parametra izaziva promjenu barem nekih definicionih tačaka pa se kontura mora preračunati. Kada je to slučaj kontura se naziva potpuno uslovljenom ('fully constrained') što znači da ne postoji ni jedna diskretna tačka koja se može nezavisno mijenjati. Dobri projekti, prema kriterijumima MCAE projektovanja, imaju sve likove potpuno uslovljene.

Osnovne (polazne) tipske forme Generisanje 3D modela zasniva se na tipskim formama. Tijela ili forme nastale translacijom ili rotacijom ravanskih likova su najčešće polazni ili bazni oblici u mašinskom projektovanju. Definisanje translatorne forme ('ekstrude feature') svodi se na zadavanje debljine (dimenzije okomite na ravan lika) i smjera prostiranja (sl. 7).

Sl. 7. Dijalog pri definisanju translatorne tipske forme

Ostavljena je mogućnost definisanja uglova vađenja ukoliko se razmišlja o izradi u alatu, livenjem ili kovanjem. Slika 8 prikazuje rezultat translacije prethodnog lika.

Sl. 8. Translatorna ('extrude') forma

41


'Inteligentne' tipske forme Tipske forme (‘features’) su ‘inteligentna sredstava koja shvataju namjere projektanta’. Tako 'shell' forma u jednom potezu proizvodi kutijasti oblik. Dovoljno je samo pokazati na stranu koja je otvorena (gornja strana na sl. 8) i specificirati debljinu zidova. Moguća su otvaranje sa više strana, kao kod ukrštenih cijevi, i različite debljine zidova.

Sl. 9. Kutijasta (‘shell’) forma

Jednako moćna i produktivna je i forma u obliku rebra (‘rib’). Tehnika za njeno definisanje sadrži minimalan broj koraka. Treba samo definisati ravan rebra, i u njoj jednu liniju (sl. 10). Onda se pokreće rutina za generisanje rebra koja traži specifikaciju debljine i izbor smjera prostiranja.

Sl. 10. Elementi definisanja forme u obliku rebra (‘rib feature’)

Rebro se generiše inteligentnim širenjem linije rebra i na bočne strane, ne samo u naznačenom smjeru (sl. 11).

Sl. 11. Rebro i zaobljenja

Zaobljenja se dodaju jednostavnom selekcijom ivice, lanca ili prstena ivica i zadavanjem radijusa zaobljenja.

42


Kreiranje geometrije na licu mjesta Za kreiranje ravanske geometrije, skice i profila, može se izabrati ma koja ravna strana tijela. Izbor se izvodi jednostavnom selekcijom, 'klikom' na odgovarajuću stranu. Skica se kreira kao i u slučaju osnovne forme i dodatno definišu dimenzije njenog položaja prema modelu.

Preddefinisani oblici Postoji jedan broj formi, poput rupa, potpuno poznate geometrije. Potrebno je samo definisati mjere i odrediti položaj na odabranoj strani.

Polja oblika Od jedanput kreirane forme može se generisati cijelo pravouglo ili polarno polje. Svaka izmjena na izvornom obliku, generatoru polja, prenosi se na kompletno polje (sl. 12).

Sl. 12. Kružna rupa i njeno polarno polje

Problemski orjentisane tipske forme U skupu tipskih formi postoji jedan broj specifičnih, problemski orjentisanih kao što su kalupne šupljine ili oblici dobijeni savijanjem lima. Kalupna šupljina se automatski generiše, samo je komornu ploču i dio potrebno dovesti u ispravan uzajaman položaj. To se postiže uravnavanjem parova (uparivanjem) geometrijskih elemenata. Veličina komorne šupljine se automatski izvodi, korisnik samo treba zadati postotak skupljanja materijala pri hlađenju.

Sl. 13. Kreiranje kalupne šupljine

Konstrukcija ostalih elemenata alata može se nastaviti na licu mjesta. (sl. 14), a ponavljanje operacija izbjegnuto je funkcijama za transformacije poput translacije, rotacije i preslikavanja (sl. 15).

43


Sl. 14. Za kreiranje ulivnih kanala praktična je rotaciona tipska forma koja se generiše rotacijom

ravanskog lika oko ose rotacije

Sl. 15. Preslikavanje ulivnog kanala i kalupne šupljine oko ravni 'Plane 3'

Asocijativnost Veza između glavnog modela dijela i svih ostalih, na bazi njega definisanih modela je potpuna i trajna. Svaka izmjena dijela se automatski prenosi na ostale modele koji se preračunavaju za nove vrijednosti parametara. Između pojedinih parametara (dimenzija) moguće je uspostavljati matematičke relacije. Na slici 16 prikazana je veza između visine i radijusa našeg dijela. Uspostavljena veza proizvodi promjenu visine sa 20.5 na 25 mm. Na slici 17 se vidi da se provedena izmjena prenijela i na komornu ploču alata i da je referentna kota ispravno preračunata.

44

Sl. 16. Uspostavljanje relacija između parametara

Sl. 17. Ažurirana komorna ploča

U tekstu su precizno navedeni osnovni principi na kojima su razvijeni MCAE sistemi, principi koji obezbjeđuju paralelan timski rad i to u distribuiranim uslovima. Prikazan je, međutim, samo mali asortiman tehnika rada, ali je po mišljenju autora, dovoljan da ilustruje mogućnosti MCAE sistema.

45

FIČERI (Tiski oblici, Obilježja): Osnovni sastavni elementi pomoću kojih u SolidWorks-u opisujemo mehničke dijelove su fičeri. Oni predstavljaju tipske oblike ili forme koje se redovno sreću na mehaničkim dijelovima, a istovremeno su praktične odnosno jednostavne za modeliranje. Paleta fičera obično se nalazi uz lijevu ivicu SW prozora, a inicijalno sadrži asortiman prikazan na sljedećoj slici.

Slika 8.1. Paleta alatki za kreiranje i manipulaciju sa fičerima u CAD sistemu SolidWorks Prema načinu kreiranja dijele se na: 1. Profilni (bazirani na skici)

• Translacioni (Extrude), • Rotacioni (Revolve), • Kombinovani (Sweep, Loft) • Rupe (Hole), • Rebra (Rib), ...

2. Aplikacijski

• Zaobljenja (Fillet), • Skošenja (Chamfer), • Kutije (Shell), ...

Profilni fičeri tvore se od skica tj. profila. Najjednostavniji su translacioni (extrude) i rotacioni (revolve) koji nastaju translacijom odnosno rotacijom ravanskih likova (sl. 8.2. a i b). Složeniji oblici (sweep i loft) nastaju kretanjem 2D profila duž neke složenije, često prostorne, putanje (sl. 8.2. c).

a) translacioni b) rotacioni c) kombinovani (extrude) (revolve) (sweep, loft)

Sl. 8.2. Profilni fičeri

46

Aplikacijski ili naneseni fičeri ne zahtijevaju skice nego se nanose direktno na geometriju tijela. Tako duž odabranih ivica modela možemo nanijeti zaobljenje ili skošenje (sl. 8.3. a i b) ili puni model automatski prevesti u kutijastu formu otvarajući ga sa odabrane strane (sl. 8.3. c). Ove fičere umjesto skicama opisujemo parametrima, kao što je radijus kod zaobljenja, debljina stijenke kod kutijste forme itd.

zaobljenje (fillet), skošenje (chamfer) kutija (shell)

Sl. 8.3. Aplikacijski fičeri Profilni (skicirani) fičeri mogu se prema operaciji koju izvode na materijalu objekta podijeliti na:

1. boss fičere koji proizvode dodavanje materijala (extrude boss, revolve boss, sweep boss, loft boss itd)

2. cut fičere koji proizvode oduzimanje materijala (extruded cut, revolved cut, sweep cut, loft cut, itd)

Početni tj. prvi fičer modela je naravno boss tipa i ima originalni naziv base tj. base-extrude, base-revolve i sl. zavisno od tipa geometrijske operacije kojom je kreiran. Translacioni i rotacioni fičeri. Obradićemo detaljno prvo boss varijante ovih fičera, varijante koje proizvode dodavanje materijala. Cut varijante, koje stvaraju uklanjanje materijala, kreiraju se na gotovo istovjetan način, odnosno sa gotovo istim definicionim podacima, pa ćemo za njih navesti samo specifičnosti koje ih prate.

Translacioni (extrude) boss fičer . Uslov za kreiranje translacionog fičera je validna 2D skica (povezana linijska geometrija čiji se segmenti ne presijecaju). Translacija se izvodi u pravcu okomitom na ravan skice, pa ostaje da se izabere samo smjer i definiše dubina prostiranja. I smjer i dubinu možemo odrediti kursorom, pomjeranjem kursora mijenja se dubina, prelaskom na suprotnu stranu obrće se smjer prostiranja. Određeno stanje može se usvojiti digitiziranjem (klikom na lijevo dugme miša). Jednom postavljeno stanje može se mijenjati povlačenjem ručica

smjera. Precizna vrijednost dubine može se unijeti u polju za dubinu Property manager-a, a

smjer obrnuti dugmetom za promjenu smjera . Dugmetom možemo postići nagib (draft) bočnih strana (uglovi vađenja iz kalupa). Draft outword proizvodi obratno, neuobičajno prostiranje uglova, takvo da se dobije širenje profila.

47

Sl. 8.4. Definicioni elementi translacionog fičera

Translacija se može prostirati i na obe strane u odnosu na ravan skice. Tada se dubine i eventualni uglovi nagiba unose za svaku stranu posebno, a grafički prikaz modela sadrži dvije ručice za interaktivnu promjenu dubine prostiranja, ona za prvi smjer (direction 1) ima jednu, a ona za drugi smjer (direction 2) ime dvije strelice.

Sl. 8.5. Translacioni (extrude) fičer sa oba smjera prostiranja Translacija se ne mora izvoditi jedino slijepim prostiranjem (blind) za određenu dubinu. Property manager ovog fičera sadrži polje sa listom graničnih uslova za određivanje dubine prostiranja. Mid plane uslov npr. označava da se fičer prostire simetrično u odnosu na ravan skice tj. ravan skice postaje srednja ravan (mid plane) fičera. Up to vertex i up to surface određuju prostiranje do nekog (postojećeg) tjemena odnosno do površine, respektivno. Sa Offset from surface postižemo da fičer stiže na neko rastojanje do postojeće površine.

48

Sl. 8.6. Translacioni (extrude) fičer kome je ravan skice srednja ravan (mid plane)

Opcija Thin feature proizvodi tijelo sa tankim zidovima i tada treba dodatno u polju unijeti debljinu zidova. Slično kao kod translacije i ovdje je moguće, sopstvenim dugmetom za promjenu smjera, mijenjati stranu na koju se nanosi debljina, unutra ili van u odnosu na konturu skice. Opet, debljina se može prostirati na obe strane, simetrično ili u različitim iznosima. Sa Cap ends možemo zatvoriti otvorene strane, ali, nažalost, ne pojedinačno. Od otvorene skice može se kreirati samo “tanki” fičer. Tanki fičeri, mogu se jednostavno konvertovati u dijelove od lima, mada je ispravnije takve dijelove kreirati “posvećenim” tehnikama.

Sl. 8.7. Translacioni fičer sa tankim zidovima

Rotacioni (revolve) boss fičer. Uslov za kreiranje rotacionog fičera je validna 2D skica koja

sadrži i osu rotacije. Prisjetimo se da osu, kao i simetralu kreiramo komandom . Ako je u skici prisutno više osa, koje služe kao pomoćni konstrukcioni elementi, moramo se odlučiti za jednu

49

koja će predstavljati osu rotacije. To se izvodi tako što se selektuje jedna od osa prije pokretanja procesa kreiranja fičera. Definicioni podaci rotacionog fičera su smjer i ugao rotacije. I ovdje

imamo dugme za obrtanje smjera , polje za precizno unošenje ugla rotacije , a iz liste tipova rotacije možemo pored predloženog prostiranja u jednom smjeru (One-Direction) birati prostiranje u oba smjera, simetrično (Mid-Plane) ili sa zasebnim uglovima rotacije (Two-Direction).

Sl. 8.8. Rotacioni boss fičer

Potvrdimo li opciju za kreiranje tijela sa tankim zidovima (Thin Feature) moraćemo unijeti debljinu zidova (sl. 8.9.), ali praktičnog smisla ima tek kreiranje tankih fičera od otvorenih skica (sl. 8.10.).

Sl. 8.9. Rotacioni fičer tankih zidova

50

Sl. 8.10. Tijela poput boca kriraju se rotacijom otvorenih skica

Translacioni i rotacioni cut fičeri. Extrude cut fičer se opisuje potpuno istim definicionim podacima, stim što se sem na konstrukcionim ravninama skica može kreirati i na ma kojoj ravnoj strani postojećeg modela. Novina su dva dodatna graničnih uslova translacije: kroz cijeli model (Through all) i do sledeće strane (Up to next). Ovi uslovi nisu mogli postojati u startu jer nije postojao nikakav model. Up to next uslov definiše prostiranje do prve sledeće strane modela koja obuhvata cijeli profil.

Sl. 8.11. Extrude cut fičer sa up to next i through all graničnim uslovima

Standardno se uklanja dio materijala koji leži unutar skice, ali opcija Flip side to cut omogućuje da taj smisao izvrnemo tj. da uklonimo komplementarni dio tijela. Ako kreiramo otvorenu skicu koja se proteže širom cijelog modela možemo duž njene konture presjeći kompletan model i odbaciti jednu ili drugu stranu koristeći ponovo opciju Flip side to cut, ili strelicu za izbor strane.

Sl. 8.12. Odsijecanje jedne ili druge strane pomoću otvorene skice

Moguće je i tanko izrezivanje, tj. extrude cut thin fičer. Slično boss fičeru koji dodaje materijal i ovdje treba definisati debljinu (sl. 8.13 a) koja opet može da se prostire na jednu ili na obe strane u odnosu na konturu skice. Treba se paziti takvog izbora definicionih podataka koji bi proizveli odvojene zapremine. Takvo rješenje ne može predstavljati validan mehanički dio i tada softver zadržava samo jednu od tih komponentnih zapremina. Slika 8.13.b prikazuje rezultat u

51

slučaju prosijecanja kroz cio (graničnog uslova Through all) model. Nastale bi dvije, ali je zadržana samo jedna zapremina.

a) b)

Sl. 8.13. Tanki translacioni odsijecajući fičer: a) sa blind i b) sa through all graničnim uslovima

Zaobljenje (fillet) i skošenje (chamfer) su aplikacijski ili naneseni fičeri za koje nisu potrebne skice. Za njih je potrebno selektovati ivice duž kojih se nanose i unijeti vrijednosti parametara kojima su opisani. Najprostije zaobljenje sa konstantnim radijusom opisano je samo jednim parametrom, radijusom zaobljenja. Skošenje je definisano sa dva parametra dužinom (distance) i uglom, podrazumijeva se ugao od 45 stepeni mjereno od strane duž koje se nanosi dužina skošenja, ali se može unijeti ma koja vrijednost. Mijenjanje strane duž koje se nanosi dužina skošenja postiže se opcijom Flip direction. Moguće je selektovati veći broj ivica koje pri tome ne moraju biti povezane. Umjesto dužine i ugla mogu se unijeti dužine skošenja na obje strane ivice (opcija Distance distance). Vertex opcija, za skošenje tjemena, postaje dostupna ako selektujemo tjemena.

Sl. 8.14. Skošenje duž selektovane ivice

Delikatna je opcija keep feature. Ona stvara skošenje samo na stranama koje se sastaju u selektovanoj ivici zadržavajući sve fičere koji se nalaze na tim stranama. Slika 8.15. ilustruje to bolje nego prednje riječi.

52

a) originalni dio b) bez keep feature opcije c) sa keep feature opcijom

Sl. 8.15. Opcija keep feature kod skošenja

Keep feature opcija raspoloživa je i kod zaobljenja. Kao i skošenje, zaobljenje na prvi pogled predstavlja jednostavnu operaciju, ali ima veoma kompleksne varijante, koje bi bilo zamorno i neefektivno razrađivati u jednom navratu pa ćemo se na ovom mjestu pozabaviti samo jednim dijelom ugrađenih rješenja. Zaslužuju prioritet olakšice pri selekciji ivica, a po nekakvoj složenosti geometrije odmah poslije zaobljenja sa konstantnim radijusom dolazi zaobljenje sa promjenljivim radijusom pa ćemo se eto ovdje posvetiti još sa ta dva pitanja. Pri procesiranju zaobljenja pored selekcije pojedinačnih ivica moguća je selekcija niza ivica. To se postiže na jedan od sledećih načina:

• korištenjem opcije tangent propagation, pri čemu softver autamatski pronalazi i odabire sve ivice koje se tangentno nadovezuju na selektovanu ivicu (sl. 8.16 a),

• selekcijom strane modela, pri čemu softver prihvata sve granične ivice selektovane strane; kad strana ima više graničnih prestenova ivica, poput strane S na slici 8.16. a, možemo zaobliti samo neke od njih tako što prvo selektujemo stranu a onda, [Ctrl] + select tehnikom, selektujem željeni prsten (prstenove); i ovdje je na raspolaganju opcija «tangent propagation» (sl. 8.16 b),

• slekcijom fičera, čime se usvajaju sve njegove ivice (sl. 8.16 c); ivice koje ga povezuju sa ostalim dijelom modela mogu se izostaviti potvrđivanjem opcije Omit attachment edges (izostavi vezne ivice) iz zone Fillet options fičer menadžera; sem iz fičer menadžera ovdje fičer možemo selektovati i grafički, sa modela tako što digitiziramo fičer desnim dugmetom pa odaberemo Select feature iz priručnog menija.

Sl. 8.16. Različite mogućnosti selekcije ivica zaobljenja Standardno se svim selektovanim ivicama dodjeljuje jedinstven, isti radijus zaobljenja, ali je, pomoću opcije Multiple radius fillet, moguće dodjeljivati pojedinačne vrijednosti radijusa zaobljenja. Zaobljenje promjenljivog radijusa (Fillet type: Variable radius) možemo ostvariti ako dodijelimo različite radijuse jednom i drugom tjemenu ivice koju hoćemo zaobliti. Na osnovu tih vrijednosti softver sam računa radijuse u unutrašnjim tačkama ivice. Dodatno upravljanje geometrijom zaobljenja omogućava se ubacivanjem kontrolnih tačaka unutar ivice. Standardno se pojavljujuju 3 kontrolne tačke uniformno raspoređene duž ivice. Svakoj ili samo nekima od tih tačaka možemo dodijeliti proizvoljne vrijednosti radijusa, a nemoramo nijednoj. Kod ovog tipa zaobljenja mora se dodijeliti vrijednost radijusa barem jednom tjemenu, ostalim tačkama po želji.

53

a) b)

Sl. 8.17. Parmetri zaobljenja promjenljivog radijusa

Da bi nekoj unutrašnjoj kontrolnoj tački dodijelili radijus moramo je selektovati, poslije čega ona postaje upotrebljena. Upotrebljenim tačkama softver, u obliku callout-a, prikazuje parametre. Dvije su vrijednosti, odnosno parametra, pridružena svakoj kontrolnoj tački, radijus (polje R) i položaj (polje P). Položaj je izražen u procentima ukupne dužine krive. Neposredno po selekciji tačke u polje R callout-a pojavljuje se informacija o nedoznačenosti radijusa (unassigned) i tu unosimo željenu vrijednost, a možemo je i ostaviti nedoznačenom (unassigned). Radijus možemo doznačiti i u property menadžeru tako što iz liste kontrolnih tačaka selektujemo datu tačku pa u

polju za radijus unesemo vrijednost. Sa Set Unassigned možemo tekuću vrijednost polja za

radijus doznačiti svim nedoznačenim tačkama, a sa Sat All svim, i doznačenim i nedoznačenim, tačkama. Neupotrebljenim tačkama, onima koje nisu nikako selektovane, ne može se opisanim tehnikama dodijeliti vrijednost radijusa i one zajedno sa nedoznačenim tačkama nestaju po završetku procesa kreiranja ovog tipa zaobljenja. Možemo promijeniti i položaj tačke unošenjem nove vrijednosti u polje P, ali i interaktivno (grafički) povlačenjem (drag) tačke duž

ivice. Možemo mijenjati broj kontrolnih tačaka pomoću polja . Unesena vrijednost mijenja broj neupotrebljenih kontrolnih tačaka. Npr. na slici 8.17 b postoji 1 neupotrebljena kontrolna

tačka, pa unesemo li u polje npr. vrijednost 2 dobićemo još 1, ukupno 2, neupotrebljene kontrolne tačke (crveno). Jednom upotrebljene kontrolne tačke su imune na ovu operaciju. Novu kontrolnu tačku možemo uvesti i kopiranjem postojeće tačke tehnikom [Ctrl] + drag. Na slici 8.17. vidi se i radio dugmad za izbor vrste (tipa, oblika) promjene radijusa zaobljenja, odnosno tipa prelaza sa jednog radijusa na drugi. Smooth transition proizvodi miran, gladak prelaz, a straight transition pravolinijski prelaz sa jednog radijusa na drugi. Probajte te opcije.

54

NAPREDNE TEHNIKE ZA KREIRANJE FIČERA Translacioni (Extrude) i rotacioni (Revolve) fičeri su relativno jednostavni profilni fičeri jer su jednostavne putanje koje izvode ravanski likovi. Kada su te putanje složenije dobijaju se sweep fičeri, a kada se interpoliraju različiti profili tj. poprečni presjeci dobijaju se takozvani loft fičeri. Sweep i Loft fičer mogu da se, isto kao i translacioni i rotacioni fičeri, kreiraju u Boss i Cut verziji (vidi poglavlje $ ). Komande se pokreću iz Insert -> ... menija , ili sa Feature palete

(Insert -> Boss -> Sweep),

(Insert -> Cut -> Sweep),

(Insert -> Boss -> Loft),

(Insert -> Cut -> Loft). Sweep fičer dakle zahtijeva dvije kategorije elemenata, profil (Profile) i putanju (Path) (sl. 1). Za njegovo kreiranje moraju se ispuniti određeni uslovi, naime mora postojati barem jedna skica koja može predstavljati profil i linijska geometrija koja može predstavljati putanju. Ako je sweep prvi fičer (Base Sweep) koji se kreira tada ne postoji nikakva geometrija pa se prvo moraju kreirati skica profila i putanja.

SL. 1. Kreiranje spiralne opruge pomoću sweep fičera

Za skicu profila važi sve što je rečeno kod translacionih i rotacionih fičera, s tim da može biti kreirana i kao 3D skica samo treba da je ravanska. Putanja se može definisati u posebnoj skici, ali se putanjom može proglasiti i neka kriva linija ili ivica modela. Putanja mora početi u ravni profila, a može biti i ravanskog (2D) i prostornog (3D) karaktera. Ponekad je potrebno da se u putanju uključi više ivica i krivih linija. Najlakši način da se to postigne jeste kreiranje kompozitne krive. Na slici x.x. prikazan je sweep cut fičer (sweep fičer koji uklanja materijal) kojem je putanja kompozitna kriva sastavljena od ivica modela.

Sl. 2. Cut sweep fičer duž proizvoljne konture

55

Pored putanje, kao osnovne krive, u pravcu kretanja profila mogu se uključiti i takozvane vodeće krive (guide curves) i tako upravljati promjenom poprečnog presjeka fičera. Ipak, kada se zahtijeva promjena poprečnog presjeka bolje je koristiti loft fičer jer se njime može postići preciznije upravljanje geometrijom.

Loft fičer se dobija interpolacijom dva ili više profila sa ili bez korištenja vodećih krivih. Profili su, u praksi, najčešće ravanski poprečni presjeci tj. 2D skice, mada ne mora biti tako. Naime i trodimenzionalna zatvorena kontura čiji se elementi ne presijecaju predstavlja legalan profil za loft fičer. Iako se loft fičer može kreirati bez upotrebe vodećih krivih, ipak se definisanje kompleksnije geometrije ne može postići bez njihove upotrebe. Ukoliko se koriste vodeće krive one moraju sjeći sve profile. Na slici 3 prikazan je loft fičer sa dva ravanska profila u obliku elipsi i dvije vodeće krive u obliku kružnih lukova. Centri lukova su u ravni gornje elipse.

Sl. 3. Loft fičer definisan sa dva profila i dvije vodeće krive

Preslikavanjem dobijenog loft fičera (vidi poglavlje ...) dobije se elegantna ručica za elemente namještaja (sl. 4). U nacrtu je dobijen lijep dizajn, ali je u tlocrtu evidentan oštar, neprihvatljiv prelaz na sredini ručice.

Sl. 4. Eliminisanje oštrog prelaza na sredini ručice zahtijeva dodatno upravljanje geometrijom loft fičera.

Ovakav nedostatak bi se mogao otkloniti uvođenjem dodatnih vodećih krivih u područja u kojima se anomalije pojavljuju (vidi sl. Intersection Curve), ali su moguća i druga rješenja. Naprimjer, sličan efekat bi se mogao postići definisanjem načina završetka loft površine na početku i na

56

kraju fičera (Start/End Tangency zona u menadžeru svojstava). Na raspolaganju su sledeći načini:

• None – bez uslova tangentnosti, • Normal to Profile (Normalno na profil) – Loft površina ulazi odnosno izlazi okomito na

ravan profila tj. u pravcu vektora okomitog na ravan profila (sl. 5), • Direction Vector (U pravcu vektora) – Loft površina ulazi odnosno izlazi u pravcu

zadanog vektora. Vektor se može zadati izborom pravolinijske ivice, ose ili ravni. • All Faces. (Tangentno na susjednu geometriju) Ova opcija je raspoloživa samo u slučaju

kad se loft fičer spaja sa postojećom geometrijom. Kada se završetak loft površine definiše pomoću vektora onda sve njene krive linije iz familije kojoj pripadaju vodeće krive imaju na svom kraju tangentu u pravcu zadanog vektora. Kada se završetak definiše tangentno na susjednu geometriju onda korespondentne krive imaju zajedničku tangentu (sl. 6). Uticaj tangentnog vektora može se mijenjati promjenom njegovog intenziteta. Na slici 6. prikazan je rezultat postignut primjenom All Faces opcije. Prethodno je kreirana pomoćna cilindrična (Extrude) površina (crveno), a onda je njena granična kriva, ivica A na slici, iskorištena kao jedan od profila loft fičera.

Sl. 5. Definisanje okomitog ulaska loft površine u ravan profila

Sl. 6. Loft površina završava tangentno na pomoćnu površinu (crveno)

Kada se kreira loft površina sa otvorenim skicama profila, a kreira se na istovjetan može se postići tangentan prelaz i sa površinama koje leže sa strana tj. duž linija kojima putuju krajnje tačke profila. Da se to postigne treba definisati vodeće (Guide Curves) krive na krajevima profila i ponovo to moraju biti isključivo ivice susjednih površina. Duž pojedine (granične) vodeće krive može onda da se zahtijeva tangentan prelaz (Polje Guide Curves u menadžeru svojstava). Kada se loft profili sastoje iz segmenata onda se i loft površina razbija na segmente. Ukoliko su segmenti profila (linije skice) tangentni može se sa opcijom Maintain tangency (polje Options u menadžeru svojstava) forsirati održavanje te tangentnosti i između površinskih segmenata.

Umjesto vodećih krivih loft fičer može se kreirati korištenjem takozvane centralne krive (Centerline). Centralna kriva i vodeće krive se međusobno isključuju. Konačno, loft fičer se može krirati bez korištenja i jednih i drugih tj. samo od profilnih krivih kao u primjeru na slici 7.

57

Sl. 7. Loft fičer krairan samo od profila

NEKI SPECIJANI FIČERI

Shell (Kutija)

Rib (Rebro) Iz menija se ove komande pokreću Insert -> Feature -> ... putanjom. Shell (kutija, ljuska) komanda služi za kreiranje kutijastih oblika. Veoma jednostavna procedura kreiranja zahtijeva zadavanje debljine stijenke (3 mm na slici ...) i selekciju strana sa kojih je dio otvoren (gornja strana na slici ...). Fičer prati geometriju zaobljenja ukoliko su im radijusi veći od debljine stijenke (R10 i R5 na slici), u protivnom zaobljenje se ignoriše (R2 na slici).

Sl. Kutijasti fičer sa jednakim (lijevo) i različitim (desno) debljinama stijenki

Moguće su i različite debljine stijenki (Multy-thickness Settings) u kom slučaju treba selektovati strane i dodijeliti im zasebne debljine, kao što je učinjeno sa prednjom desnom stranom na slici .... Rib (rebro) je specijalni tip fičera koji se koristi za ojačanje konstrukcije. Stvara se od otvorene skice koja može biti kreirana i prije i poslije pokretanja Rib komande. Dva primjera prikazuje slika ... na kojoj su skice rebara prikazane crveno. Osim skice definicija rebra zahtijeva specificiranje debljine i izbor pravca i smjera prostiranja rebra. Prirodan je pravac prostiranja okomit na ravan

skice (Normal to Sketch, ), kao kod rebra A, ali je često potrebno prostiranje paralelno sa

ravni skice (Parallel to Sketch, ), kao kod rebra B na slici ... Debljina se može rasporediti na obe strane skice kao kod rebra B ili samo sa jedne strane kao kod rebra A. Geometrija skice ne mora biti povezana sa okolnom geometrijom dijela, kao u slučaju skice rebra A – rebro se ''inteligentno'' širi sve dok ne sretne susjedne strane modela.

58

Sl. Rebra (rib) sa jednakim (lijevo) i različitim (desno) debljinama stijenki

59

MODELIRANJE SKLOPOVA

Modeliranje sklopova u CAD sistemima izvodi se u posebnim modulima (Assembly). Razlikuje se i ekstenzija datoteke 3D modela sklopa u odnosu na ekstenziju datoteka 3D modela komponenata. Sklop se modelira tako što se u Assembly modulu CAD sistema izvrši dodavanje 3D modela komponenata, a potom i njihovo pozicioniranje i orijentacija u sklopu. Prva - osnovna komponenta sklopa može biti fiksirana, a ostale komponente treba da budu pozicionirane i orijentisane u odnosu na osnovnu komponentu. Pozicioniranje i orijentisanje

komponenata u sklopu izvodi se primjenom geometrijskih ograničenja – alatka Mate (slika 1).

SLika 1: osnovna ograničenja u sklopu

Selektovane strane i ivice komponenata mogu se dovesti u međusobno komplanaran, kolinearan, paralelan, okomit, tangentan ili koncentričan položaj. Moguće je zadati i ugao ili rastojanje.

Slika 2: 3D model sklopa

60

Moduli za modeliranje sklopova u savremenim CAD sistemeima omogućavaju dodavanje standardnizovanih komponenata iz kataloga. Korisnik ima na raspolaganju i niz alata za inspekciju sklopa: mjerenje rastojanja, mase i položaja težišta sklopa, provjeru kolinearnosti osa rupa, provjeru zazora i kolizije između komponenata.

Kada se modeliraju mehanizmi korisnik može definisati veze (zglobove) između elemenata mehanizma (slika 3).

Slika 3: ograničenja za mehanizme

Modul CAD sistema za modeliranje sklopa mora omogućiti i izradu sastavnice sklopa, u kojoj se nalaze podaci o pozicijama komponenata, količini komponenata, standardima i materijalu od kojih su izrađene komponente i dr. Sastavnica se mora nalaziti na sklopnom tehničkom crtežu, pa podatke iz sastavnice dijeli i modul CAD sistema za izradu tehničkih crteža.

Slika 4: Katalog standardizovanih komponenata – SolidWorks Toolbox

61

Prethodno modelirane komponente mogu se dodati u sklop alatkom Insert Components

. Slika 5 prikazuje prve tri komponente dodane u sklop koturače sa slike 2. Prva komponenta - traverza, je automatski fiksirana. Ostale komponente ovog sklopa treba pozicionirati prema traverzi.

Slika 5: Početak modeliranja sklopa

Nakon dodavanja traverze, kuke i navrtke potrebno je u sklop ubaciti i aksijalni kotrljajući ležaj. Ležaj je standardizovana komponenta i ne mora se modelirati. Ležaj se može dodati u sklop iz kataloga standardizovanih komponenata. U SolidWorks-u, katalog standardizovanih komponenata je modul koji treba biti aktiviran iz Add-Ins dijaloga. Ovaj dijalog sa slike 6 se može pozvati iz Tools glavnog menija.

Slika 6: Add-Ins dijalog u SolidWorks-u

62

Slika 7: Izbor aksijalnog kotrljajućeg ležaja iz kataloga standardizovanih komponenata

Nakon dodavanja 3D modela ležaja iz kataloga u sklop, ležaj se pozicionira sa dva geometrijska ograničenja: Coincident i Concentric – slike 8 i 9.

Slika 8: Zadavanje Coincident ograničenja između ležaja i traverze

63

Slika 9: Zadavanje Concentric ograničenja za dvije cilindrične strane na traverzi i ležaju

Istim ograničenjima mogu se pozicionirati u sklopu koturače navrtka i kuka. Ukoliko je potrebno promijeniti orjentaciju kuke u sklopu, dodaje se Angle ograničenje – slika 10.

Slika 10: Rotacija kuke upotrebom Angle ograničenja

Prilikom zadavanja ograničenja između komponenata jedna ili obje reference mogu biti i osnovne ili referentne ravni. Slika 11 prikazuje prvi korak u pozicioniranju osovine koturače, gdje su reference za geometrijsko ograničenje osnovne ravni: Right Plane sklopa i Right Plane osovine. Pomoću Coincident ograničenja, uz aktiviranu opciju Aligned, dvije izabrane ravni se dovode u koplanaran položaj.

64

Slika 11: Upotreba osnovnih ravni prilikom zadavanja ograničenja

Polja (paterni) komponenata mogu višestruko ubrzati modeliranje sklopa u slučaju kada se jedna ili više komponenata ponavlja/ju u pravilnom rasporedu. Čest je slučaj kružnog rasporeda vijaka, podloški i navrtki na prirubnicama. Modelira se jedna vijčana veza, a ostale veze se dobiju kružnim poljem komponenata (Circular Component Pattern). Slika 12 prikazuje pozicioniranje vodilica na ploči kroz Feature Driven Component Pattern. Broj i položaj vodilica se u ovom slučaju prilagođava polju fičera na ploči, kojim su modelirane rupe u koje se vodilice pozicioniraju.

Slika 12: Kopiranje komponente kroz polje komponenata

Slika 13: Polja komponenata i alatka za modeliranje simetrične komponente izabranoj komponenti

65

IZRADA TEHNIČKE DOKUMENTACIJE

Savremeni CAD sistemi za parametarsko 3D modeliranje tipskim formama imaju specijalizovan modul za izradu tehničkih crteža. Ekstenzija datoteke tehničkog crteža razlikuje se od ekstenzije 3D modela komponenata i 3D modela sklopa. Modul za izradu tehničke dokumentacije može se koristiti na dva načina:

1. izrada crteža bez referentnog 3D modela 2. izrada crteža na osnovu referentnog 3D modela

Prvi metod se rijetko koristi. Drugi način omogućava uspostavljanje zavisnosti (asocijativnosti) između datoteke 3D modela i datoteke tehničkog crteža. Izmjene oblika i dimenzija 3D modela automatski će se prenijeti i na tehnički crtež. SolidWorks omogućava i obostranu asocijativnost ukoliko se kote (parametri) sa 3D modela dodaju tehničkom crtežu. To znači da je moguće mijenjati dimenzije 3D modela promjenom parametara na tehničkom crtežu.

Modul CAD sistema za izradu tehničke dokumentacije ima dva osnovna seta alatki:

1. Alatke za kreiranje projekcija, presjeka, detalja, djelimičnih presjeka… - slika 14 2. Alatke za kotiranje i dodavanje ostalih oznaka na tehnički crtež – slika 15

Slika 14

Slika 15

Izrada jednog tehničkog crteža počinje dodavanjem osnovnih projekcija, presjeka, detalja, izometrijskog prikaza proizvoda – slika 16.

Slika 16: Početak izrade tehničkog crteža

66

Nakon toga vrši se kotiranje automatskim preuzimanjem kota sa 3D modela te manualnim dodavanjem kota koje nedostaju. Potrebno je dodati i oznake za kvalitete obrađenih površina, tolerancije oblika i položaja, pozicije komponenata ako se radi o sklopnom crtežu i dr. Treba izvršiti i unos podataka u zaglavlje crteža. Modul za izradu tehničke dokumentacije treba da ima i neke napredne funkcije kao što su:

1. Automatsko generisanje sastavnice proizvoda, odnosno preuzimanje sastavnice sa 3D modela proizvoda

2. Generisanje crteža razvijenog oblika za dijelove od lima izrađene postupkom savijanja

3. Kreiranje tabele sa koordinatama centara rupa u slučaju koordinatnog kotiranja, 4. Generisanje listi sječenja za zavarene metalne konstrukcije

Na slici 16 prikazan je primjer radioničkog crteža, a na slici 17 primjer sklopnog crteža izrađenog u CAD sistemu SolidWorks.

Slika 16 – radionički crtež

Slika 17 – sklopni crtež

67


METOD KONAČNIH ELEMENATA

Metod konačnih elemenata je numerički metod za rješavanje realnih inžinjerskih problema uz pomoć računara. Mali je broj stvarnih problema koji se mogu riješiti analitički (u zatvorenom obliku). Oni se uglavnom svode na školske primjere.

Stvarni problemi su složeni zbog složene geometrije objekata koji se analiziraju i zbog složenih graničnih uslova. Geometrija i granični uslovi su često tako složeni da se ne mogu analitički opisati, a i kada se taj opis postigne, ne mogu se dobiti rješenja parcijalnih diferencijalnih jednačina koje opisuju posmatranu pojavu u analitičkom obliku. Zato se koriste numeričke metode kao što su:

• Metod konačnih elemenata • Metod konačnih zapremina • Metod konačnih razlika • Metod graničnih elemenata Najviše je u upotrebi metod konačnih elemenata – MKE. U metodu konačnih

elemenata stvarna se kontinualna konstrukcija zamjenjuje približnom konstrukcijom, diskretno sastavljenom od konačnog broja elemenata, malih dimenzija, a jednostavnog oblika. Elementi su međusobno spojeni u čvorovima. Vanjsko opterećenje se raspoređuje po čvorovima.

Sl. 1

Za ovakvu konstrukciju postavlja se osnovna statička jednačina u matričnom

obliku: [𝐾] ∙ {𝛿} = {𝐹} (10.1.)

• [𝐾] - matrica krutosti • {𝛿} - vektor pomjeranja čvorova • {𝐹} - vektor vanjskih sila Matrica krutosti se može dobiti za konkretan objekat. Ona zavisi samo od oblika i

dimenzija objekta, to jest, od mreže konačnih elemenata kojom je objekat zamjenjen i od vrste materijala od koje je objekat izrađen.

Ono što je nepoznato nalazi se jednim dijelom u vektoru pomjeranja čvorova, a drugim dijelom u vektoru vanjskih opterećenja {𝐹}. Posmatrajmo na primjer sljedeću konstrukciju:

68


Sl. 2

U ovoj konstrukciji poznate su sljedeće veličine: • Pomjeranja čvorova 1 i 2 • Sile u čvorovima 3, 4, 5 i 6

�

𝐾11 𝐾12 … 𝐾1 12𝐾21 𝐾22 … 𝐾2 12⋮ ⋱

𝐾12 1 𝐾12 2 ⋯𝐾12 12

� ∙

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧

00−00−𝑢3𝑣3−𝑢4𝑣4−𝑢5𝑣5−𝑢6𝑣6⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫

=

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧𝐹1𝑥𝐹1𝑦−𝐹2𝑥𝐹2𝑦−00−00−0

−20−00 ⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫

(10.2.)

Matrična jednačina u proširenom obliku ima sljedeći oblik: Ispostavlja se da u datom sistemu jednačina imamo tačno onoliko uslova koliko i

nepoznatih veličina. To znači da se dati sistem može riješiti. Kada se izračunaju pomjeranja svih čvorova onda se pomjeranja tačaka unutar konačnog elementa dobijaju interpolacijom pomjeranja čvorova konačnog elementa, to jest opisuju se u fazi pomjeranja čvorova. I ostale pojave poput deformacija i napona se opisuju u funkciji pomjeranja čvorova.

{𝐹} = [𝐾] ∙ {𝛿}

69


Sl. 3

Pretpostavka: poznata su pomjeranja čvorova {𝛿}

{𝛿} = �𝛿𝑖𝛿𝑗𝛿𝑘� =

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑘𝑣𝑘⎭⎪⎬

⎪⎫

(10.3.)

Nastojimo uspostaviti vezu između pomjeranja tačke unutar konačnog elementa i

pomjeranja čvorova. Pomjeranja tačke unutar konačnog elementa data su izrazima:

𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑣 = 𝑣(𝑥,𝑦)

𝑢 = 𝛼1 + 𝛼2𝑥 + 𝛼3𝑦 (10.4.)

𝑣 = 𝛼4 + 𝛼5𝑥 + 𝛼6𝑦 (10.5.)

𝑢 = [1 𝑥 𝑦] ∙ �𝛼1𝛼2𝛼3� (10.6.)

𝑣 = [1 𝑥 𝑦] ∙ �𝛼4𝛼5𝛼6� (10.7.)

Primjenjujući ove veze na granične uslove, to jest na čvorove, možemo doći do

nepoznatih koeficijenata α.

�𝑢𝑖𝑢𝑗𝑢𝑘� = �

1 𝑥𝑖 𝑦𝑖1 𝑥𝑗 𝑦𝑗1 𝑥𝑘 𝑦𝑘

� ∙ �𝛼1𝛼2𝛼3� (10.8.)

70


{𝑢} = �𝑋𝑔� ∙ {𝛼} /∙ �𝑋𝑔�−1

(10.9.)

𝑋𝑔 - granične koordinate {𝛼} = �𝑥𝑔�

−1 ∙ {𝑢} (10.10.)

�𝑋𝑔�𝑇 = �

1 1 1𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑥𝑘𝑦𝑖 𝑦𝑗 𝑦𝑘

� (10.11.)

�𝑋𝑔�−1 =

1�𝑋𝑔�

∙ �𝑋𝑔�� (10.12.)

�𝑋𝑔�� = �𝑥𝑗𝑦𝑘 − 𝑥𝑘𝑦𝑗 𝑥𝑘𝑦𝑖 − 𝑥𝑖𝑦𝑘 𝑥𝑖𝑦𝑗 − 𝑥𝑗𝑦𝑖𝑦𝑖 − 𝑦𝑘 ⋱𝑥𝑘 − 𝑥𝑖 ⋱

� (10.13.)

�𝑋𝑔� = 2𝐴 - dvije površine trokuta konačnog elementa

�𝑋𝑔�−1 =

12𝐴

∙ �𝑎𝑖 𝑎𝑗 𝑎𝑘𝑏𝑖 𝑏𝑗 𝑏𝑘𝑐𝑖 𝑐𝑗 𝑐𝑘

� (10.14.)

𝑎𝑖 = 𝑥𝑗𝑦𝑘 − 𝑥𝑘𝑦𝑗 (10.15.) 𝑏𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑘 (10.16.) 𝑐𝑖 = −(𝑥𝑖 − 𝑥𝑘) (10.17.)

Ostali elementi matrice �𝑋𝑔�

−1 dobijaju se cikličnom permutacijom indeksa.

𝑢 = [1 𝑥 𝑦] ∙ {𝛼} (10.18.) 𝑢 = [1 𝑥 𝑦] ∙ �𝑋𝑔�

−1 ∙ {𝑢} (10.19.)

𝑢 =1

2𝐴∙ �𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑥 + 𝑐𝑖𝑦 𝑎𝑗 + 𝑏𝑗𝑥 + 𝑐𝑗𝑦 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘𝑥 + 𝑐𝑘𝑦� (10.20.)

𝑢 = �𝑛𝑖 𝑛𝑗 𝑛𝑘� ∙ �𝑢𝑖𝑢𝑗𝑢𝑘� (10.21.)

𝑛𝑖 =𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑥 + 𝑐𝑖𝑦

2𝐴

(10.22.)

𝑛𝑗 =𝑎𝑗 + 𝑏𝑗𝑥 + 𝑐𝑗𝑦

2𝐴

(10.23.)

𝑛𝑘 =𝑎𝑘 + 𝑏𝑘𝑥 + 𝑐𝑘𝑦

2𝐴 (10.24.)

71


Slično bi se dobilo za pomjeranje tačke u v-pravcu:

𝑣 = [𝑛𝑖 𝑛𝑗 𝑛𝑘] ∙ �𝑣𝑖𝑣𝑗𝑣𝑘� (10.25.)

Potrebno je sastaviti ova dva pomjeranja u jedan izraz:

�𝑢𝑣� = �𝑛𝑖 0 𝑛𝑗 0 𝑛𝑘 00 𝑛𝑖 0 𝑛𝑗 0 𝑛𝑘

� ∙

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑘𝑣𝑘⎭⎪⎬

⎪⎫

(10.26.)

�𝑢𝑣� = [𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝑁𝑘] ∙ �𝛿𝑖𝛿𝑗𝛿𝑘� (10.27.)

{𝑓} = [𝑁] ∙ {𝛿} (10.28.)

Matrica [N] se naziva matrica oblika (Shape matrix) i ona zavisi od oblika

konačnog elementa. 𝑁𝑖 ,𝑁𝑗 𝑖 𝑁𝑘 su podmatrice matrice oblika.

𝑁𝑖 = �𝑁𝑖 00 𝑁𝑖

� = 𝑛𝑖 ∙ 𝐼(2) (10.29.)

𝑁𝑗 = �𝑁𝑗 00 𝑁𝑗

� = 𝑛𝑗 ∙ 𝐼(2) (10.30.)

𝑁𝑘 = �𝑁𝑘 00 𝑁𝑘

� = 𝑛𝑘 ∙ 𝐼(2) (10.31.)

Deformacije 𝜺𝒙, 𝜺𝒚,𝜸𝒙𝒚:

𝜀𝑥 =𝜕𝑢(𝑥,𝑦)𝜕𝑥

(10.32.)

𝜀𝑦 =𝜕𝑣(𝑥,𝑦)𝜕𝑦

(10.33.)

𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑣(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥

+𝜕𝑢(𝑥,𝑦)𝜕𝑦

(10.34.)

72


_________________________________________

𝑡𝑔𝛾1 =𝑣(𝑥 + ∆𝑥,𝑦) − 𝑣(𝑥,𝑦)

∆𝑥

𝛾1 ≈ 𝑡𝑔𝛾1 ⇒ 𝛾1 = lim∆𝑥→0

𝑣(𝑥 + ∆𝑥,𝑦) − 𝑣(𝑥, 𝑦)∆𝑥

𝛾1 =𝜕𝑣𝜕𝑥

_________________________________________

{𝜀} = �𝜀𝑥𝜀𝑦𝜀𝑧� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝜕𝜕𝑥

0

0𝜕𝜕𝑦

𝜕𝜕𝑦

𝜕𝜕𝑥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

∙ �𝑢𝑣� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝜕𝜕𝑥

0

0𝜕𝜕𝑦

𝜕𝜕𝑦

𝜕𝜕𝑥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

∙ [𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝑁𝑘] ∙ �𝛿𝑖𝛿𝑗𝛿𝑘� (10.35.)

(10.36.)

{𝜀} =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝜕𝜕𝑥

0

0𝜕𝜕𝑦

𝜕𝜕𝑦

𝜕𝜕𝑥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

∙ �𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑥 + 𝑐𝑖𝑦

2𝐴0

0𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑥 + 𝑐𝑖𝑦

2𝐴

⋮⋮

𝑎𝑗 + 𝑏𝑗𝑥 + 𝑐𝑗𝑦2𝐴0

⋱� ∙ �𝛿𝑖𝛿𝑗𝛿𝑘�

{𝜀} =1

2𝐴�𝑏𝑖0𝑐𝑖

0𝑐𝑖𝑏𝑖

⋮⋮⋮

𝑏𝑗0𝑐𝑗

0𝑐𝑗𝑏𝑗

⋮⋮⋮

𝑏𝑘0𝑐𝑘

0𝑐𝑘𝑏𝑘� ∙ �

𝛿𝑖𝛿𝑗𝛿𝑘� (10.37.)

{𝜀} = �𝜀𝑥𝜀𝑦𝜀𝑧� = [𝐵𝑖 𝐵𝑗 𝐵𝑘] ∙ �

𝛿𝑖𝛿𝑗𝛿𝑘� (10.38.)

{𝜀} = [𝐵] ∙ {𝛿} (10.39.)

[𝐵] - matrica B Podmatrice:

[𝐵𝑖] =1

2𝐴∙ �𝑏𝑖 00 𝑐𝑖𝑐𝑖 𝑏𝑖

� (10.40.)

�𝐵𝑗� =1

2𝐴∙ �𝑏𝑗 00 𝑐𝑗𝑐𝑗 𝑏𝑗

� (10.41.)

73


[𝐵𝑘] =1

2𝐴∙ �𝑏𝑘 00 𝑐𝑘𝑐𝑘 𝑏𝑘

� (10.42.)

Naponi 𝝈𝒙,𝝈𝒚, 𝝉𝒙𝒚:

Sl. 4

𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 (10.43.)

𝜀𝑥 =

𝜎𝑥𝐸− 𝜈

𝜎𝑦𝐸

(10.44.)

𝜀𝑦 =𝜎𝑦𝐸− 𝜈

𝜎𝑥𝐸

(10.45.)

𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦𝐺

⇒ 𝜏𝑥𝑦 =𝐸

2(1 + 𝜈) ∙ 𝛾𝑥𝑦 (10.46.)

𝐺 = 𝐸

2(1+𝜈) - modul klizanja

Iz ove tri jednačine slijedi:

𝜎𝑥 =𝐸

1 − 𝜈2�𝜀𝑥 + 𝜈 ∙ 𝜀𝑦� (10.47.)

𝜎𝑦 =𝐸

1 − 𝜈2�𝜈 ∙ 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦� (10.48.)

𝜏𝑥𝑦 =𝐸

2(1 + 𝜈) ∙ 𝛾𝑥𝑦 (10.49.)

74


{𝜎} = �𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦

� =

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝐸1 − 𝜈2

�𝜀𝑥 + 𝜈 ∙ 𝜀𝑦�𝐸

1 − 𝜈2�𝜈 ∙ 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦�𝐸

2(1 + 𝜈) ∙ 𝛾𝑥𝑦 ⎭⎪⎬

⎪⎫

=𝐸

1 − 𝜈2�

𝜀𝑥 + 𝜈 ∙ 𝜀𝑦𝜈 ∙ 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦1 − 𝜈

2∙ 𝛾𝑥𝑦

� (10.50.)

{𝜎} = �𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦

� =𝐸

1 − 𝜈2 �

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01 − 𝜈

2

� ∙ �𝜀𝑥𝜀𝑦𝛾𝑥𝑦

� = [𝐷] ∙ {𝜀} (10.51.)

{𝜎} = [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ {𝛿} (10.52.)

[𝐷] - matrica materijala

Matrica krutosti Iskoristićemo jedan od fundamentalnih principa mehanike – princip jednakosti

virtuelnog rada vanjskih i unutrašnjih sila. Virtuelni rad je mali, zamišljeni rad koji bi nastao kada bi konstrukcija koja se

inače nalazi u ravnotežnom stanju doživjela vrlo malo, zamišljeno pomjeranje čvorova. To pomjeranje obilježavamo sa 𝑑{𝛿}.

Rad vanjskih sila na tim zamišljenim pomjeranjima čvorova obilježićemo sa 𝑑𝐴𝑆.

𝐴 = {𝐹}𝑇 ∙ 𝑑{𝛿} = 𝑑{𝛿}𝑇 ∙ {𝐹} (10.53.)

Usljed virtuelnog pomjeranja čvorova konstrukcije, doći će i do virtuelnih

deformacija tačaka konačnih elemenata. Virtuelni rad unutrašnjih sila (naprezanja) jednak je proizvodu naprezanja i virtuelnih deformacija, širom cijele zapremine konačnog elementa.

𝑑𝐴𝑈 = � 𝑑{𝜀}𝑇 ∙ {𝜎}𝑑𝑉(𝑉)

(10.54.)

{𝜀} = [𝐵] ∙ {𝛿} ⇒ 𝑑{𝜀} = [𝐵] ∙ 𝑑{𝛿} (10.55.)

𝑑{𝜀}𝑇 = 𝑑{𝛿}𝑇 ∙ [𝐵]𝑇 (10.56.)

{𝜎} = [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ {𝛿} (10.57.)

75


Izjednačavanjem virtuelnih radova dobijamo:

𝑑𝐴𝑆 = 𝑑𝐴𝑈 (10.58.)

𝑑{𝛿}𝑇 ∙ {𝐹} = � 𝑑{𝛿}𝑇 ∙ [𝐵]𝑇 ∙ [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ {𝛿}𝑑𝑉(𝑉)

(10.59.)

𝑑{𝛿}𝑇 ∙ {𝐹} = 𝑑{𝛿}𝑇 ∙ � [𝐵]𝑇 ∙ [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ {𝛿}𝑑𝑉(𝑉)

(10.60.)

{𝐹} = � �[𝐵]𝑇 ∙ [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ {𝛿}𝑑𝑉(𝑉)

� ∙ {𝛿} (10.61.)

[𝐾] = � �[𝐵]𝑇 ∙ [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ {𝛿}𝑑𝑉(𝑉)

� (10.62.)

[𝐾]- matrica krutosti konačnog elementa Za konačan element u obliku trougla:

[𝐵] = [𝐵𝑖 𝐵𝑗 𝐵𝑘] (10.63.)

[𝐵𝑖] =1

2𝐴∙ �𝑏𝑖 00 𝑐𝑖𝑐𝑖 𝑏𝑖

� ; �𝐵𝑗� =1

2𝐴∙ �𝑏𝑗 00 𝑐𝑗𝑐𝑗 𝑏𝑗

� ; [𝐵𝑘] =1

2𝐴∙ �𝑏𝑘 00 𝑐𝑘𝑐𝑘 𝑏𝑘

�

[𝐷] =𝐸

1 − 𝜈2 �

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01 − 𝜈

2

�

(10.64.)

[𝐵]𝑇 = �𝐵𝑖𝑇

𝐵𝑗𝑇

𝐵𝑘𝑇� (10.65.)

[𝐾] = [𝐵]𝑇 ∙ [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ �𝐴 ∙ 𝑡 𝑑𝑡𝑡

0

(10.66.)

t-debljina trougla

76


[𝐾] = �𝐾𝑖𝑖 𝐾𝑖𝑗 𝐾𝑖𝑘𝐾𝑗𝑖 𝐾𝑗𝑗 𝐾𝑗𝑘𝐾𝑘𝑖 𝐾𝑘𝑗 𝐾𝑘𝑘

� (10.67.)

[𝐾𝑟𝑠] =1

4𝐴2∙

𝐸1 − 𝜈2

∙ [𝐵𝑆]𝑇 ∙ [𝐷] ∙ [𝐵𝑆] ∙ 𝐴 ∙ 𝑡 (10.68.)

(10.69.)

[𝐾𝑟𝑠] =𝐸 ∙ 𝑡

4𝐴 ∙ (1 − 𝜈2) ∙ �𝑏𝑟 ∙ 𝑏𝑠 + 𝑐𝑟 ∙ 𝑐𝑠 ∙

1 − 𝜈2

𝜈 ∙ 𝑏𝑟 ∙ 𝑐𝑠 + 𝑐𝑟 ∙ 𝑏𝑠 ∙1 − 𝜈

2

𝜈 ∙ 𝑐𝑟 ∙ 𝑏𝑠 + 𝑏𝑟 ∙ 𝑐𝑠 ∙1 − 𝜈

2𝑐𝑟 ∙ 𝑐𝑠 + 𝑏𝑟 ∙ 𝑏𝑠 ∙

1 − 𝜈2

�

𝑟, 𝑠 = 𝑖, 𝑗, 𝑘

Ukupna matrica krutosti Ukupna matrica krutosti se dobija slaganjem matrica krutosti pojedinačnih

konačnih elemenata, tako što se na pozicijama koje odgovaraju čvorovima zajedničnim za više konačnih elemenata izvrši zbrajanje podmatrica krutosti. Ovaj algoritam ilustrovaćemo na primjeru konstrukcije sastavljene od dva konačna elementa.

Sl. 5

{𝐹} = �

𝐾11𝐾21𝐾31𝐾41

𝐾12𝐾22𝐾32𝐾42

𝐾13𝐾23𝐾33𝐾43

𝐾14𝐾24𝐾34𝐾44

� ∙ {𝛿} (10.70.)

�

𝐹1𝐹2𝐹3𝐹4

� = �

𝐾11𝐾21𝐾31𝐾41

𝐾12𝐾22𝐾32𝐾42

𝐾13𝐾23𝐾33𝐾43

𝐾14𝐾24𝐾34𝐾44

� ∙ �

𝛿1𝛿2𝛿3𝛿4

� (10.71.)

77


(10.72.)

𝐾 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡�𝐾111,2

𝐾12 �𝐾131,2

𝐾14

𝐾21 𝐾22 𝐾23 0

�𝐾311,2

𝐾32 �𝐾331,2

𝐾34

𝐾41 0 𝐾43 𝐾44⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

[𝐾](1) = �𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

� (10.73.)

[𝐾](2) = �𝐾11 𝐾13 𝐾14𝐾31 𝐾33 𝐾34𝐾41 𝐾43 𝐾44

� (10.74.)

Konačni element u obliku štapa

Sl. 6

𝜎 =𝐹𝐴

= 𝐸 ∙ 𝜀 (10.75.)

𝐹 = 𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 𝜀 = 𝐸 ∙ 𝐴 ∙∆𝐿𝐿

= 𝐸 ∙ 𝐴 ∙𝑢𝑗 − 𝑢𝑖𝐿

(10.76.)

𝐹 =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

�𝑢𝑗 − 𝑢𝑖� (10.77.)

𝐹 = −𝐹𝑖 = 𝐹𝑗 (10.78.)

�𝐹𝑖𝐹𝑗� =

𝐸 ∙ 𝐴𝐿

� 1 −1−1 1� ∙ �

𝑢𝑖𝑢𝑗� (10.79.)

[𝐾] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

� 1 −1−1 1�

(10.80.)

78


Postupak:

𝑢 = 𝑢(𝑥)

𝑢 = 𝛼1 + 𝛼2 ∙ 𝑥 (10.81.)

𝑢 = [1 𝑥] ∙ �𝛼1𝛼2� (10.82.)

Granični uslov:

�𝑢𝑖𝑢𝑗� = �

1 𝑥𝑖1 𝑥𝑗

� ∙ �𝛼1𝛼2� (10.83.)

{𝑢} = �𝑋𝑔� ∙ {𝛼} /∙ �𝑋𝑔�−1

(10.84.)

{𝛼} = �𝑋𝑔�−1 ∙ {𝑢} (10.85.)

{𝛼} =1𝐿∙ �𝑥𝑗 −𝑥𝑖−1 1 � ∙ {𝑢} (10.86.)

Uvrštavanjem izraza (10.86) u (10.82) slijedi:

𝑢 = [1 𝑥] ∙1𝐿∙ �𝑥𝑗 −𝑥𝑖−1 1 � ∙ {𝑢} (10.87.)

𝑢 =1𝐿∙ [𝑥𝑗 − 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑖] ∙ {𝑢} (10.88.)

𝑢 = [𝑁𝑖 𝑁𝑗] ∙ �𝑢𝑖𝑢𝑗� (10.89.)

𝑁𝑖 =

𝑥𝑗 − 𝑥𝐿

(10.90.)

𝑁𝑗 =𝑥 − 𝑥𝑖𝐿

(10.91.)

𝑢 = [𝑁] ∙ {𝑢} (10.92.)

𝜀 =𝑑𝑢𝑑𝑥

= �𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑗𝜕𝑥

� ∙ �𝑢𝑖𝑢𝑗� (10.93.)

𝜀𝑥 =1𝐿∙ [−1 1] ∙ �

𝑢𝑖𝑢𝑗� (10.94.)

𝐵 =1𝐿∙ [−1 1] (10.95.)

79


𝜎𝑥 = 𝐸 ∙ 𝜀 ⟹ 𝜎𝑥 =𝐸𝐿∙ [−1 1] ∙ �

𝑢𝑖𝑢𝑗� (10.96.)

𝜎𝑥 = 𝐸 ∙ [𝐵] ∙ {𝑢} (10.97.)

[𝐷] = 𝐸 ∙ 𝐼(1) (10.98.)

(10.99.)

[𝐾] = � [𝐵]𝑇 ∙ [𝐷] ∙ [𝐵] ∙ 𝑑𝑉 = �1𝐿∙ �−1

1 �𝐿

0(𝑉)

∙ 𝐸 ∙ 𝐼(1) ∙1𝐿∙ [−1 1] ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑥

[𝐾] =𝐸𝐿2∙ 𝐴 ∙ � 1 −1

−1 1 � ∙ �𝑑𝑥𝐿

0

(10.100.)

[𝐾] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ � 1 −1−1 1 �

(10.101.)

Da bi se konačni element u obliku štapa mogao kombinovati sa drugim konačnim

elementima u ravni, potrebno je njegovu matricu krutosti proširiti, tako da se dobiju podmatrice krutosti drugog reda, kompatibilne sa podmatricama krutosti drugih konačnih elemenata.

�

𝐹𝑥𝑖0𝐹𝑥𝑗0

� =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ � 1 0

00

−1 0

00

−1 0 1 0 0 0 0 0

� ∙ �

𝑢𝑖0𝑢𝑗0� (10.102.)

Transformacione matrice Pri sastavljanju matrice krutosti konačnog elementa bira se najpovoljniji lokalni

koordinatni sistem. S druge strane cijela konstrukcija se opisuje u jedinstvenom, apsolutnom koordinatnom sistemu. Da bi se sastavila matrična jednačina cijele konstrukcije {𝐹} = [𝐾] ∙ {𝛿}, potrebno je izvršiti transformaciju pomjeranja čvorova i sila koje djeluju u čvorovima pojedinog konačnog elementa iz lokalnog u apsolutni koordinatni sistem.

𝑢𝑟 , 𝑣𝑟 - projekcije 𝛿𝑟 u apsolutni koordinatni sistem

�𝑢�𝑟�̅�𝑟� – pomjeranje čvora r u lokalnom koordinatnom sistemu

�𝑢𝑟𝑣𝑟� - pomjeranje čvora r u apsolutnom koordinatnom sistemu

80


Sl. 7

{𝐹𝑟� } = [𝐾�] ∙ �𝛿̅� (10.103.)

{𝐹𝑟� } = �[𝐾𝑟𝑠] ∙ �𝛿𝑆� �𝑛

𝑆=1

(10.104.)

{𝐹𝑟� } = [𝑇] ∙ {𝐹𝑟𝑠} (10.105.)

[𝑢�𝑟 �̅�𝑟] = [𝑢𝑟 𝑣𝑟] ∙ 𝑅𝜃 |𝑇 -transponovati (10.106.)

𝜃 - ugao takav da se X-osa dovede u paralelan položaj sa x-osom.

�𝑢�𝑟�̅�𝑟� = 𝑅�𝜃𝑇 ∙ �

𝑢𝑟𝑣𝑟� (10.107.)

𝑅�𝜃𝑇 = 𝑅(−𝜃)𝑇 = 𝑅𝛼𝑇 = � cos𝛼 sin𝛼

− sin𝛼 cos𝛼�𝑇

= �cos𝛼 − sin𝛼sin𝛼 cos𝛼�

(10.108.)

𝛼∢(𝑥,𝑋)

𝑇 = �cos𝛼 − sin𝛼sin𝛼 cos𝛼�

(10.109.)

�𝛿�̅�� = [𝑇] ∙ {𝛿𝑟} (10.110.)

{𝐹�𝑟} = [𝑇] ∙ {𝐹𝑟} (10.111.)

81


{𝐹�𝑟} = �[𝐾�𝑟𝑠] ∙ {𝛿𝑖}𝑛

𝑆=1

(10.112.)

[𝑇] ∙ {𝐹𝑟} = �[𝐾�𝑟𝑠] ∙ [𝑇] ∙ {𝛿𝑆} | ∙𝑛

𝑆=1

[𝑇]−1 (10.113.)

{𝐹𝑟} = �[𝑇]−1[𝐾�𝑟𝑠] ∙ [𝑇] ∙ {𝛿𝑆} | ∙𝑛

𝑆=1

[𝑇]−1 (10.114.)

[𝐾𝑅𝑆] = [𝑇]−1[𝐾�𝑟𝑠] ∙ [𝑇] - matrica krutosti u apsolutnomkoordinatnom sistemu

Zadatak Na slici je data noseća konstrukcija sastavljena iz dva konačna elementa u obliku

štapa. Potrebno je analitički odrediti reakcije u osloncima i pomjeranje čvora 2, a zatim provjeriti rezultate u CAD/CAE sistemu SolidWorks.

Podaci:

𝐹 = 1000[𝑁] 𝐸 = 2,1 ∙ 105[𝑁 𝑚𝑚2⁄ ] 𝐴 = 10[𝑚𝑚2] 𝐿 = 100[𝑚𝑚] Rješenje: Štap I: 𝛼∢(𝑥,𝑋) = −60°

[𝐾𝐼] =𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙ �𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

�

Sl. 8

[𝐾�𝐼] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �𝐾�11 𝐾�12𝐾�21 𝐾�22

� =𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙ �

1 0 −1 0 0 0 0 0−10

00 10

00

�

[𝐾𝐼] = [𝑇𝐼]𝑇 ∙ [𝐾�𝐼] ∙ [𝑇𝐼]

82


𝛼 = −60° ⇒ [𝑇𝐼] = �cos𝛼 − sin𝛼sin𝛼 cos𝛼� =

⎣⎢⎢⎢⎡

12

√32

−√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤

[𝑇𝐼]𝑇 =

⎣⎢⎢⎢⎡ 1

2−√32

√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤

[𝐾11] = [𝑇𝐼]𝑇 ∙ [𝐾�11] ∙ [𝑇𝐼] =

⎣⎢⎢⎢⎡ 1

2−√32

√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤∙𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙ �1 0

0 0� ∙

⎣⎢⎢⎢⎡

12

√32

−√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤

[𝐾11] =𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙

⎣⎢⎢⎡

12

0

√32

0⎦⎥⎥⎤∙

⎣⎢⎢⎢⎡

12

√32

−√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤

=𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙

⎣⎢⎢⎢⎡ 1

4√34

√34

34 ⎦⎥⎥⎥⎤

[𝐾12] = [𝑇𝐼]𝑇 ∙ [𝐾�12] ∙ [𝑇𝐼] =

⎣⎢⎢⎢⎡ 1

2−√32

√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤∙𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙ �−1 0

0 0� ∙

⎣⎢⎢⎢⎡

12

√32

−√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤

[𝐾12] =𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙

⎣⎢⎢⎡ −

12

0

−√32

0⎦⎥⎥⎤∙

⎣⎢⎢⎢⎡

12

√32

−√32

12 ⎦⎥⎥⎥⎤

=𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙

⎣⎢⎢⎢⎡ −

14

−√34

−√34

−34 ⎦⎥⎥⎥⎤

[𝐾21] = [𝐾12] =𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙

⎣⎢⎢⎢⎡ −

14

−√34

−√34

−34 ⎦⎥⎥⎥⎤

[𝐾22] = [𝐾11] =𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙

⎣⎢⎢⎢⎡ 1

4√34

√34

34 ⎦⎥⎥⎥⎤

Štap II: 𝛼∢(𝑥,𝑋) = 180°

[𝐾𝐼𝐼] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �𝐾22 𝐾23𝐾32 𝐾33

�

83


[𝐾�𝐼𝐼] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �𝐾�22 𝐾�23𝐾�32 𝐾�33

� =𝐸 ∙ 𝐴

2𝐿∙ �

1 0 −1 0 0 0 0 0−10

00 10

00

�

[𝐾𝐼𝐼] = [𝑇𝐼𝐼]𝑇 ∙ [𝐾�𝐼𝐼] ∙ [𝑇𝐼𝐼]

𝛼 = 180° ⇒ [𝑇𝐼𝐼] = �cos𝛼 − sin𝛼

sin𝛼 cos𝛼� = �−1 0 0 −1�

[𝑇𝐼𝐼]𝑇 = [𝑇𝐼𝐼] = �−1 0

0 −1�

[𝐾22] = [𝑇𝐼𝐼]𝑇 ∙ [𝐾�22] ∙ [𝑇𝐼𝐼] = �−1 0 0 −1� ∙

𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �1 00 0� ∙ �

−1 0 0 −1�

[𝐾22] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �−1 00 0� ∙ �

−1 0 0 −1� =

𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �1 00 0�

[𝐾23] = [𝑇𝐼𝐼]𝑇 ∙ [𝐾�23] ∙ [𝑇𝐼𝐼] = �−1 0 0 −1� ∙

𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �−1 0 0 0� ∙ �

−1 0 0 −1�

[𝐾23] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �1 00 0� ∙ �

−1 0 0 −1� =

𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �−1 0 0 0�

[𝐾32] = [𝐾23] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �−1 0 0 0�

[𝐾33] = [𝐾22] =𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ �1 00 0�

Ukupna matrica krutosti:

[𝐾] = �

𝐾11 𝐾12 0

𝐾21 �𝐾22 𝐾230 𝐾32 𝐾33

� =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 1 √3 −1 −√3 0 0 √3 3 −√3 −3 0 0−1−√3 00

−√3−3 00

9 √3−8 0

√3 3 00

−8 0 80

0000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎩⎪⎨

⎪⎧𝐹1𝑥𝐹1𝑦0−𝐹𝐹3𝑥𝐹3𝑦⎭

⎪⎬

⎪⎫

=𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 1 √3 −1 −√3 0 0 √3 3 −√3 −3 0 0−1−√3 00

−√3−3 00

9 √3−8 0

√3 3 00

−8 0 80

0000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

∙

⎩⎪⎨

⎪⎧

00𝑢2𝑣200 ⎭⎪⎬

⎪⎫

84


1) ⇒ 𝐹1𝑥 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙ �−𝑢2 − √3𝑣2�

2) ⇒ 𝐹1𝑦 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙ �−√3𝑢2 − 3𝑣2�

3) ⇒ 0 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿�9𝑢2 + √3𝑣2�

4) ⇒ −𝐹 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿�√3𝑢2 + 3𝑣2�

5) ⇒ 𝐹3𝑥 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙ (−8𝑢2)

6) ⇒ 𝐹3𝑦 = 0

_______________________________

Iz jednačine 3) slijedi:

0 =98∙𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ 𝑢2 +√38∙𝐸 ∙ 𝐴𝐿

∙ 𝑣2

𝑢2 = −√39∙ 𝑣2

Uvrštavanjem u 4) slijedi:

−𝐹 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿 �−13𝑣2 + 3𝑣2�

−𝐹 =𝐸 ∙ 𝐴

3𝐿∙ 𝑣2

𝑣2 = −3 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿𝐸 ∙ 𝐴

= −3 ∙ 1000 ∙ 1002,1 ∙ 105 ∙ 10

= −0,143[𝑚𝑚]

Uvrštavanjem izraza za 𝑣2 u 4) slijedi:

−𝐹 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿 �√3𝑢2 −9 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿𝐸 ∙ 𝐴 �

−𝐹 =√3 ∙ 𝑢2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿−

98∙ 𝐹

18∙ 𝐹 =

√3 ∙ 𝑢2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴8𝐿

𝑢2 =𝐹 ∙ 𝐿

√3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴=√3 ∙ 1000 ∙ 1003 ∙ 2,1 ∙ 105 ∙ 10

= 0,0275[𝑚𝑚]

Uvrštavanjem izraza za pomjeranja čvora 2 u jednačinu 1) slijedi:

85


𝐹1𝑥 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙ �−

√3 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴

+3√3 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿𝐸 ∙ 𝐴

� =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙

8√3 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴

𝐹1𝑥 =√33∙ 𝐹 = 577,35[𝑁]

Uvrštavanjem izraza za pomjeranja čvora 2 u jednačinu 2) slijedi:

𝐹1𝑦 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙ �−

𝐹 ∙ 𝐿𝐸 ∙ 𝐴

+9 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿𝐸 ∙ 𝐴 �

𝐹1𝑦 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙

8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿𝐸 ∙ 𝐴

= 𝐹 = 1000[𝑁]

Uvrštavanjem izraza za 𝑢2 pomjeranje čvora 2 u jednačinu 5) slijedi:

𝐹3𝑥 =𝐸 ∙ 𝐴

8𝐿∙ (−8𝑢2) = −

𝐸 ∙ 𝐴8𝐿

∙8√3 ∙ 𝐹 ∙ 𝐿

3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴

𝐹3𝑥 = −√33∙ 𝐹 = −577,35[𝑁]

Znak minus ispred vrijednosti komponente reakcije u čvoru 3 - 𝐹3𝑥 i vrijednosti

pomjeranja čvora 2 - 𝑣2, upućuje na negativan smijer ovih veličina, u odnosu na X i Y ose apsolutnog koordinatnog sistema.

Sl. 9

86


Provjera rezultata u CAD/CAE sistemu SolidWorks: Zapreminski (Solid) modeli mašinskih dijelova i konstrukcija, modelirani u

sistemu SolidWorks, biće automatski diskretizovani u mrežu konačnih elemenata u obliku tetraedra. Pored zapreminskih konačnih elemenata u obliku tetraedra (Solid Mesh) SolidWorks može generisati i mrežu ravanskih konačnih elemenata u obliku trougla (Shell Mesh), te mrežu linijskih konačnih elemenata u obliku štapova (Beam Mesh). Sl. 10 prikazuje zapreminski 3D model u SolidWorks-u, dimenzionisan prema podacima zadatka, koji treba diskretizovati u konstrukciju sastavljenu iz dva konačna elementa u obliku štapa.

Sl. 10

Usvojen je okrugli oblik grede, radijusa R1,784 mm koji odgovara zadanoj površini poprečnog presjeka grede od 10 𝑚𝑚2. Potrebno je modelirati štapove kao zasebna zapreminska tijela. U protivnom, diskretizacija modela u mrežu štapnih elemenata neće biti pravilna, jer će softver generisati samo jednu gredu. Nakon definisanja statičke studije u SolidWorks Simulation modulu, potrebno je za pripadajuća zapreminska tijela 3D modela odabrati opciju Treat as Beam - Sl. 11.

Sl. 11

87


Na krajevima greda softver će generisati zglobove (Joints). Potrebno je u podešavanjima greda umjesto opcija Rigid odabrati Manual/Hinge - 2nd direction opciju za zglobove, da bi se omogućila rotacija zglobova oko osa zglobova koje su okomite na ravan konstrukcije (X-Y ravan). Čekirajte opciju Show beam direction kako bi provjerili da li je pravac 2 okomit na X-Y ravan. Ukoliko nije, onda treba odabrati opcije Manual/Hinge - 1st direction za odabranu gredu.

Sl. 12

Diskretizacija parametarskog 3D modela u mrežu konačnih elemenata izvodi se izborom Create Mesh opcije iz kontekstualnog menija Mesh obilježja - Sl. 13. SolidWorks će prema fabričkim podešavanjima generisati redundantnu mrežu konačnih elemenata za dati model, sa ukupno 208 elemenata u obliku štapa - Sl. 14.

Sl. 13

88


Ovakva konfiguracija mreže konačnih elemenata bila bi odgovarajuća za slučaj konstrukcije sa gredama promjenljivog poprečnog presjeka, ili sa lučnim gredama. Potrebno je mrežu konačnih elemenata prilagoditi zadatku, tako da se mreža sastoji iz dva konačna elementa u obliku štapa.

Sl. 14

Izborom Apply Mesh Control... opcije iz kontekstualnog menija Mesh obilježja otvorićemo dijalog za podešavanje mreže konačnih elemenata. Potrebno je definisati da se obje grede sastoje od po jednog konačnog elementa - Sl. 15. Nakon toga možemo ponovo generisati mrežu konačnih elemenata i nastaviti sa definisanjem ostalih potrebnih obilježja: materijala konstrukcije, graničnih uslova i opterećenja.

Sl. 15

Materijal se zadaje zasebno za svaku gredu konstrukcije. Treba odabrati materijal koji ima zadatkom definisanu vrijednost modula elastičnosti: 𝐸 = 2,1 ∙ 105[𝑁 𝑚𝑚2⁄ ]. Potrebno je dakle iz SolidWorks baze materijala odabrati neki od čelika koji ima traženu vrijednost modula elastičnosti, na primjer Alloy Steel - Sl. 16.

Alatka Fixed Geometry omogućava definisanje graničnih uslova. Ukoliko je odabrana opcija Fixed, prilikom definisanja graničnih uslova, onda će se čvorovima (zglobovima) 1 i 3 oduzeti svi stepeni slobode kretanja, što bi odgovaralo vezama uklještenja. Zadatkom su u čvorovima 1 i 3 definisani nepokretni oslonci, koji oduzimaju dva stepena slobode kretanja u X-Y ravni (dvije translacije), ali ne ograničavaju rotaciju u X-Y ravni. Koristeći opciju Use Reference Geometry možemo

89


tačno odrediti koji će stepeni slobode kretanja biti oduzeti zglobovima greda za koje se definišu granični uslovi. Ravan X-Y (Front Plane) se može selektovati za referentnu geometriju i u tom slučaju, u polju Translations treba uključiti Along Plane Dir 1 i Along Plane Dir 2 opcije - Sl. 17. Vrijednost dozvoljenih pomjeranja za ove smjerove treba biti 0.

Sl. 16

Sl. 17

90


Opterećenja (sile i momenti) se zadaju kroz Force i Torque alatke: . Sile i momenti mogu da djeluju u zglobovima konstrukcije ili uzduž grede. Pravac i smjer opterećenja se definiše u odnosu na neku geometrijsku referencu: ravan ili liniju, odnosno stranu, ivicu ili osu grede. Slika 18 prikazuje definisanje sile u odnosu na X-Y ravan (Front Plane). Na slici 19 pravac sile definisan je selektovanjem konstrukcione linije koja je u sastavu skice Sketch2 3D modela.

Sl. 18

Sl. 19

91


Startovanjem Run alatke SolidWorks će izvršiti proračun i u Results obilježju izlistati sljedeće rezultate:

• prikaz naponskog stanja konstrukcije (Stress1) • prikaz deformacije konstrukcije (Displacement1) Na prikazu deformacije konstrukcije data su ukupna pomjeranja definisana kao

vektorski zbir pomjeranja duž X-ose (u) i Y-ose (v). Ukoliko želimo izlistati prikaz pomjeranja samo duž X ili Y ose, treba da odaberemo Define Displacement Plot... opciju iz kontekstualnog menija Results obilježja, a potom odabrati UX: X Displacement za prikaz pomjeranja duž X-ose, odnosno UY: Y Displacement za prikaz pomjeranja duž Y-ose - slike 20 i 21.

Sl. 20

Sl. 21

92


Vrijednosti reakcija takođe možemo izlistati korištenjem Define Displacement Plot... opcije iz kontekstualnog menija Results obilježja. Izborom RFX: X Reaction Force i RFY: Y Reaction Force možemo izlistati vrijednosti reakcija duž pravaca X i Y osa - slike 22 i 23. Vrijednosti izlistanih pomjeranja i reakcija duž X i Y osa u potpunosti odgovara ranije izračunatim vrijednostima - Tab. 1.

Sl. 22

Sl. 23

Čvor Pomjeranja [mm] Reakcije [N] u v Fx Fy

1 0 0 577,4 1000 2 0,0275 -0,1429 0 0 3 0 0 -577,4 ~0

Tab. 1

93

modeliranje i simulacije - skripta

Documents