modelo de crecimiento de solow-swan (ii) · 1 la contabilidad del crecimiento 2 convergencia 3...

Facultad de Economía, UPC

Modelo de crecimiento deSolow-Swan (II)

Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

Agosto del 2017

1 La contabilidad del crecimiento

2 Convergencia

3 Extensiones: Trampa de pobreza

4 Extensiones: Capital Humano4.1 Modelo 14.2 Modelo 24.3 Contabilidad del crecimiento con capital humano

Índice

2/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan

Sea Y (t) = F(K (t),A(t)L(t)), entonces:

Y (t) =∂Y (t)∂K (t)

K (t) + A(t)∂Y (t)∂L(t)

L(t) + L(t)∂Y (t)∂A(t)

A(t) (1)

Y (t)Y (t)

=K (t)Y (t)

∂Y (t)∂K (t)︸︷︷︸

αK (t)

K (t)K (t)

+A(t)L(t)

Y (t)∂Y (t)∂L(t)︸︷︷︸

αL(t)

L(t)L(t)

+A(t)L(t)

Y (t)∂Y (t)∂A(t)

A(t)A(t)︸︷︷︸

R(t)

(2)

Y (t)Y (t)

= αK (t)K (t)K (t)

+ αL(t)L(t)L(t)

+ R(t) (3)

La contabilidad del crecimiento


Teniendo en cuenta que αK (t) + αL(t) = 1, la ecuación 3 setransforma a lo siguiente:

Y (t)Y (t)

− L(t)L(t)

= αK (t)

[K (t)K (t)

− L(t)L(t)

]+ R(t) (4)

Que puede ser modificado de tal forma que:

R(t) =Y (t)Y (t)

− L(t)L(t)

− αK (t)

[K (t)K (t)

− L(t)L(t)

](5)



• El residuo de Solow, R(t), es interpretado como unamedida de la contribución del progreso técnico alcrecimiento de la producción.

• Pero refleja realmente la contribución de todos los demásfactores que no sean capital y trabajo.

• OJO! contabilidad del crecimiento sólo estudia factoresdeterminantes directos del crecimiento económico y enqué medida la acumulación, las mejoras en la calidad yotros factores contribuyen al crecimiento económico. Noestudia qué causas se hallan tras la evolución de losmismos.



Problemas:• αK (t) puede variar en el tiempo. ¿Usamos el de inicio de

período o el de fin de período? Probables sesgos. Entiempo discreto:

R(t) =∆Yt+1,t

Yt−

∆Lt+1,t

Lt− αK

[∆Kt+1,t

Kt−

∆Lt+1,t

Lt

](6)

Donde ∆Xt+1,tXt

es el cambio porcentual de una variable Xentre los períodos t y t + 1 y αK es el promedio de dichavariable en ambos períodos:

αK =αK ,t + αK ,t+1

2



Problemas:• R(t) es la medida de nuestra ignorancia.• Mismeasurement de los factores de producción: realmente

no es empleo, sino “empleo efectivo”. Necesidad deincorporar medidas de capital humano. No hay medidasconfiables del “stock” de capital físico.

• El PBI no mide correctamente cambios en la calidad de losproductos ni en los precios relativos de los factores deproducción.





http://voxeu.org/article/missing-growth

http://voxeu.org/article/productivity-slowdown-even-more-puzzling-you-think


2 Convergencia



Índice


Definición 1Una función φ(x), diferenciable infinitamente en el punto x0,tiene una representación de suma infinita de términosalrededor de dicho punto, del siguiente tipo:

φ(x) =∞∑

n=0

(φ(n)(x0)

n!(x − x0)n

)

Donde φ(n)(x0) es la n-ésima derivada de la función φ evaluadaen x0; n! es el factorial de n y se define φ(0) = φ, 0! = 1 y(x − x0)0 = 1.

Velocidad de convergencia


Corolario 1Una función φ(x) no lineal, diferenciable en x0, se puedeaproximar linealmente, alrededor de dicho punto, mediante lasiguiente fórmula:

φ(x) ≈ φ(0)(x0)

0!+φ(1)(x0)

1!(x − x0)



Linealizamos la ecuación fundamental de Solow alrededor delnivel de Estado Estacionario k∗.

˙kk

=sf (k)

k− (δ + g + n) (7)

˙kk≈

[sf (k∗)

k∗− (δ + g + n)

]︸︷︷︸

0 en EE

+

[sf ′(k∗)

k∗− sf (k∗)

k∗ × k∗

](k − k∗)

(8)˙kk≈ s

[f ′(k∗)− f (k∗)

k∗

](k − k∗)

k∗(9)



En Estado Estacionario, la tasa de ahorro es la siguiente:

s = (δ + g + n)k∗

f (k∗)(10)

Reemplazando la ecuación 10 en 9, llegando a:

˙kk≈ −(δ + g + n)

1− k∗f ′(k∗)f (k∗)︸︷︷︸α(k∗)

log

(kk∗

)(11)

Velocidad de convergencia (igual para˙yy ):

β∗ = (1− αk∗)× (δ + g + n) (12)



k

˙kk

k∗k1 k2

sf (k(t))

k(t)− (δ + n + g)

∂

(˙kk

)∂k

=s[f ′(k)− f (k)/k ]

k< 0 (13)

Convergencia


¿Países más pobres tienden a crecer más rápidamente quelos ricos?

• El modelo de Solow predice que los países convergenhacia un estado estacionario, k∗.

• Tasa de rendimiento del capital es menor en países conmayor capital por trabajador, por lo que habría un incentivopara trasladarse de un país rico a uno pobre.

• Si la difusión de conocimientos tecnológicos es desigual,las diferencias internacionales de la renta se deben a queno se está explotando las mejoras técnicas disponibles.

Convergencia


Recordando la ecuación a la Barro de la primera clase:

gi,t ,t−1 = α + β log yi,t−1 + X ′i,tβ + εi,t (14)

Convergencia


ln

[(YL

)i,1979

]− ln

[(YL

)i,1870

]= α+ β × ln

[(YL

)i,1870

]+ εi

(15)

ln

[(YL

)i,2010

]− ln

[(YL

)i,1870

]= α+ β × ln

[(YL

)i,1870

]+ εi

(16)Si existe convergencia incondicional entonces β sería negativo.Si β ≈ −1 entonces convergencia sería perfecta. Si β ≈ 0,entonces crecimiento económico no está correlacionado con elvalor de la renta inicial y no existiría convergenciaincondicional.

Convergencia


Figura 1: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, BaumolSample

Convergencia


Dos grandes problemas:• Selección de muestra.• Error de medición.

Convergencia


Figura 2: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, DeLongSample

Convergencia


Figura 3: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, AllMadison Sample

Convergencia


k

˙kk

k∗1 k∗2

s = (δ + g + n)k∗

f (k∗)(17)

˙k

k= (δ + g + n)

[f (k)/k

f (k∗)/k∗− 1

](18)

Convergencia


Figura 4: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, BaumolSample + Latam

Convergencia



2 Convergencia



Índice


• Definición:Estado Estacionario estable con niveles bajos de capital yproducto per cápita.

• ¿Por qué es una trampa?Si aumento el capital, la misma dinámica del modelo melleva hacia el valor de Estado Estacionario bajo.

Trampa de pobreza


Un país tiene acceso a una función de producción “tradicional”y a otra “moderna”.

YA = AKαL1−α (19)

YB = BKαL1−α (20)

Donde B > A. Para explotar la mejor tecnología, el país pagaun costo de instalación, en cada momento del tiempo, que esproporcional a la población y está dado por bL, donde b > 0.No hay progreso tecnológico.

Trampa de pobreza


En términos per cápita

yA = Akα (21)

yB = Bkα − b (22)

Donde B > A. Si el gobierno decide gastar en obtener la mejortecnología, entonces todos los productores usan la función deproducción “moderna”. Si no, todos usan la función deproducción “tradicional”.

Trampa de pobreza


k

f (k)

F = bL

k

A

B

Trampa de pobreza


Valor crítico (k):

k =

[b

(B − A)

] 1α

(23)

El gobierno paga el costo de instalación si k ≥ k y no lo hace sik < k .

Trampa de pobreza


Utilizando la ecuación fundamental de Solow (en términos percápita):

kk

= sf (k)

k− (δ + n) (24)

Donde f (k) = Akα si k < k y f (k) = Bkα − b si k ≥ k

Trampa de pobreza


k

n + δ

s f (k)k

k∗low k∗middle k∗high

(stable) (unstable) (stable)

Trampa de pobreza



2 Convergencia



Índice


Se plantea una función de producción del siguiente tipo:

Y = F(K ,H,AL) (25)

Donde H es el stock de capital humano.

Capital Humano


Supuesto 1

La función de producción F : R3+ → R+ es dos veces

diferenciable en K , en H y en L, y satisface:

FK (K ,H,AL)>0 FH (K ,H,AL)>0 FL(K ,H,AL)>0

FKK (K ,H,AL)<0 FHH (K ,H,AL)<0 FLL(K ,H,AL)<0

Además, F exhibe retornos constantes a escala en sus tresargumentos.

Capital Humano


Supuesto 2

F satisface las condiciones de Inada:

limK→0FK =∞ y limK→∞FK = 0 ∀ H > 0 y AL > 0

limH→0FH =∞ y limH→∞FH = 0 ∀ K > 0 y AL > 0

limL→0FL =∞ y limL→∞FL = 0 ∀ K ,H,A > 0

Capital Humano


Utilizaremos una función de producción Cobb-Douglas parahacer más directo el cálculo. Sea la función:

Y = KαHη(AL)1−α−η (26)

Donde H es el capital humano y K el capital físico. Además, enesta economía existe progreso tecnológico, a una tasa g, ycrecimiento poblacional, a una tasa n.

Capital Humano: Modelo 1


En términos per cápita eficientes:

y = kαhη (27)

Capital humano y físico son sustitutos perfectos. Luego, laecuación fundamental de Solow es:

˙k +˙h = skαhη − (δ + g + n)(k + h) (28)

¿Cómo asignar eficiente los recursos entre capital humano yfísico?



Igualdad de productividades marginales:

fk = fh

Entonces:αkα−1hη = ηkαhη−1

h =η

αk (29)

En términos de derivada respecto al tiempo:

˙h =η

α˙k (30)



Usando lo obtenido en 29 y 30, y reemplazando en la ecuación28:

˙k = sAkα+η − (δ + g + n)k (31)

Donde A ≡= ηηα1−η

α+η , es una constante.



Estado Estacionario:

k∗ =

(sA

δ + g + n

) 11−α−η

(32)

h∗ =η

α

(sA

δ + g + n

) 11−α−η

(33)

Velocidad de convergencia:

β∗ = (1− α− η)× (δ + g + n) (34)

(Ver Ejercicios).



Ahora suponemos que la tasa de ahorro en capital físico yhumano es distinto (sk , sh) y las tasas de depreciación también(δk , δh). En ese sentido, la forma de acumulación de amboscapitales se representa por ecuaciones distintas. Manteniendola misma función de producción que en la ecuación 26 se tiene:

˙k = sk kαhη − (δk + g + n)k (35)

˙h = shkαhη − (δh + g + n)h (36)



En Estado Estacionario se tiene que ˙k = 0 y ˙h = 0.

• En la ecuación 35, cuando ˙k = 0 se tiene:

sk kαhη = (δk + g + n)k (37)

• En la ecuación 36, cuando ˙h = 0 se tiene:

shkαhη = (δh + g + n)h (38)



Convertimos las ecuaciones 37 y 38 en una función h = f (k),respectivamente:

• Cuando ˙k = 0:

h =

(δk + g + n

sk

) 1η

k1−αη (39)

• Cuando ˙h = 0:

h =

(sh

δh + g + n

) 11−η

kα

1−η (40)



En Estado Estacionario, las ecuaciones 39 y 40 son iguales, talque h = h∗, k = k∗, además de y = y∗ = k∗

αh∗η:

k∗ =

(sk

δk + g + n

)( 1−η1−α−η

)(sh

δh + g + n

)( η1−α−η

)(41)

h∗ =

(sk

δk + g + n

)( α1−α−η

)(sh

δh + g + n

)( 1−α1−α−η

)(42)

y∗ =

(sk

δk + g + n

)( α1−α−η

)(sh

δh + g + n

)( η1−α−η

)(43)



Note que en las ecuaciones 39 y 40 se tiene:

∂h∂k| ˙k=0

>∂h∂k| ˙h=0

(44)

Velocidad de convergencia:

β∗ = (1− α− η)× (δ + g + n) (45)

∀ δk = δH = δ. (Ver Ejercicios)



k

h˙k = 0

˙h = 0

k∗

h∗



Sea Y (t) = F(K (t),H(t),A(t)L(t)), entonces:

Y (t) =∂Y (t)∂K (t)

K (t) +∂Y (t)∂H(t)

H(t) + A(t)∂Y (t)∂L(t)

L(t) + L(t)∂Y (t)∂A(t)

A(t) (46)

Y (t)Y (t)

=K (t)Y (t)

∂Y (t)∂K (t)︸︷︷︸

αK (t)

K (t)K (t)

+H(t)Y (t)

∂Y (t)∂H(t)︸︷︷︸

αH (t)

H(t)H(t)

+A(t)L(t)

Y (t)∂Y (t)∂L(t)︸︷︷︸

αL(t)

L(t)L(t)

+A(t)L(t)

Y (t)∂Y (t)∂A(t)

A(t)A(t)︸︷︷︸

R(t)

(47)

Y (t)Y (t)

= αK (t)K (t)K (t)

+ αH(t)H(t)H(t)

+ αL(t)L(t)L(t)

+ R(t) (48)

Contabilidad del crecimiento con capital humano


Teniendo en cuenta que αK (t) + αH(t) + αL(t) = 1, la ecuación48 se transforma a lo siguiente:

Y (t)Y (t)

− L(t)L(t)

= αK (t)

[K (t)K (t)

− L(t)L(t)

]+αH(t)

[H(t)H(t)

− L(t)L(t)

]+R(t)

(49)Que puede ser modificado de tal forma que:

R(t) =Y (t)Y (t)

− L(t)L(t)−αK (t)

[K (t)K (t)

− L(t)L(t)

]−αH(t)

[H(t)H(t)

− L(t)L(t)

](50)



modelo de crecimiento de solow-swan (ii) · 1 la contabilidad del crecimiento 2 convergencia 3...

Documents