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MODELO DE SOLOW: O MODELO BÁSICO Profa. Maria Isabel Busato

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO

Hipóteses do Modelo

Economia fechada e sem governo;

Economia produz um único bem que pode ser investido ou consumido (PIB);

Os fatores de produção são transformados através de uma função de produção que contém um conceito de máximo possível através da transformação dos Fatores de Produção;

Mercados competitivos, estrutura de equilíbrio geral, com livre mobilidade de fatores;

Preços flexíveis (todos os preços, incluindo juros, salários etc), reagindo à oferta e procura, logo determinados pela escassez relativa;

Há certo ‘estado das artes’, por ora exógeno.


A primeira questão que queremos colocar para discussão é:

É possível que uma economia desfrute de taxas de crescimento positivas simplesmente economizando e investindo em seu estoque de capital?

Qual é a resposta do Modelo Básico de Solow para tal questão?


A estrutura básica do Modelo de Solow:

O modelo de Solow foca 4 variáveis: Produto (Y), Capital (K), Emprego (L) e Tecnologia (A), inicialmente daremos ênfase em um modelo sem progresso técnico.

O modelo é construído em torno de duas equações:

1) Uma função de produção que descreve como os insumos (K,L) são combinados para gerar produto (Y)

2) Uma equação de acumulação de capital.

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO

Função de Produção:

𝒀𝒕 = 𝑭(𝑲𝒕, 𝑳𝒕)

Onde:

𝑌𝑡 é o fluxo de produto produzido no tempo t;

𝐾𝑡 representa o capital físico, tal com máquina, prédios, etc.;

𝐿𝑡 representa o número de trabalhadores e as horas de trabalho;

Assume-se um setor de produção no qual o produto é homogêneo e pode ser consumido(C) ou Investido (I).

O investimento é usado para criar novas unidades de bens de capital ou para repor adepreciação.


Propriedades da função de produção neoclássica:

1) RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA

𝐹(λK, λL) = λ F(K,L) para qualquer λ > 0

É importante notar que a definição de escala inclui somente os dois insumos rivais.

2) Rendimentos marginais positivos, mas decrescentes:

𝜕𝐹

𝜕𝐾> 0,

𝜕2𝐹

𝜕𝐾2< 0

𝜕𝐹

𝜕𝐿> 0,

𝜕2𝐿

𝜕𝐿< 0

O uso adicional do fator variável adiciona positivamente o produto, mas essas adições decrescem com o aumento do uso do fator variável


Propriedades da função de produção neoclássica:

3) Condições Inada (Inada, 1963)

lim𝐾→0

𝜕𝐹

𝜕𝐾= lim

𝐿→0

𝜕𝐹

𝜕𝐿=∞

lim𝐾→∞

𝜕𝐹

𝜕𝐾= lim

𝐿→∞

𝜕𝐹

𝜕𝐿=0

O produto marginal do capital (ou trabalho) se aproxima do infinito se o capital (ou trabalho) se aproxima a zero, e se aproxima a zero, se o capital (ou trabalho) tende para o infinito.

4) Essencialidade

𝐹 0, 𝐿 = 𝐹 𝐾, 0 = 0

É Impossível produzir com zero de algum dos insumos.


Uma forma funcional específica que atenda a tais propriedades, para expressar a Primeira equação Fundamental do modelo, a Função Cobb-Douglas:

Eq 1 𝑌 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼

α é constante com valor 0 < α < 1.

O modelo de Solow quer então mostrar de que maneira o crescimento do estoque de capital, e o crescimento populacional (sem considerar por ora os avanços técnicos) interagem e como afetam a produção total de bens e serviços.

a) discutiremos a oferta total a partir de uma função e produção do tipo Cobb-Douglas.

b) apresentaremos a demanda através de sua forma intensiva (variáveis por trabalhador) e dividiremos a produção por trabalhador (y) em consumo por trabalhador (c) e investimento por trabalhador (i)

Logo: y = c + i, equação que retomaremos ao longo da exposição


A função de Produção na forma intensiva (per capita)

𝑌

𝐿=

𝐾𝛼𝐿1−𝛼

𝐿=⇒

Eq (2) 𝑦 = 𝑘𝛼

Onde:

𝑦 =𝑌

𝐿𝑒 𝑘 =

𝐾

𝐿

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL

A segunda equação fundamental: Acumulação de Capital

Eq (3) 𝐾 = 𝑠𝑌 − 𝑑𝐾 reescrevendo

Eq (3.1) 𝐾

𝐾= 𝑠

𝑌

𝐾− 𝑑

𝐾 = 𝐾𝑡 − 𝐾𝑡−1 variação do estoque de capital por ‘período’, ou seja, 𝐾 =𝑑𝐾

𝑑𝑡

s = Taxa de poupança => S/Y

d = taxa de depreciação


Escrevendo a equação de acumulação de capital em sua forma intensiva (em termos per capita)

Sabe-se que 𝑘 =𝐾

𝐿; Vamos aplicar log e derivar essa equação em relação ao

tempo para encontrar taxas.

Log k = log K – log L => Derivando em relação ao tempo temos

Eq (3.2) 𝑘

𝑘=

𝐾

𝐾−

𝐿

𝐿𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜

Eq (3.3) 𝐾

𝐾=

𝑘

𝑘+

𝐿

𝐿, Igualando 3.3 e 3.1 temos

Eq (3.3) 𝑘

𝑘= 𝑠

𝑌

𝐾− 𝑑 − 𝑛


(cont...)Equação capital forma intensiva (em termos per capita)

Eq (3.3) 𝑘

𝑘= 𝑠

𝑌

𝐾− 𝑑 − 𝑛, fazendo (

𝑌

𝐿) (

𝐾

𝐿) 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠

Eq (3.4) 𝑘 = 𝑠𝑦 − 𝑑 + 𝑛 𝑘

No estado estacionário 𝑘=0 => 𝑠𝑦 = 𝑑 + 𝑛 𝑘

A equação 3.4 (de acumulação de capital per capita) permite afirmar que:

A acumulação de capital per capita, 𝑘, tende a aumentar se aumenta ‘s’;

e tende a diminuir se a depreciação ou o crescimento populacional crescem.

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: AS DUAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS NA FORMA INTENSIVA

Eq (2) 𝑦 = 𝑘𝛼

Eq (3.4) 𝑘 = 𝑠𝑦 − 𝑑 + 𝑛 𝑘 em s.s 𝑠𝑦 = 𝑑 + 𝑛 𝑘

Agora estamos aptos a analisar algumas mudanças em seus parâmetros.

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA

As simulações a seguir foram produzidas imaginando uma economia inicialmente em s.s com as seguintes condições iniciais:

s old: 0,3 ; s new: 0,4 ; k inicial=9 ; d=0,1

À nova taxa de poupança o capital aumenta, mas não imediatamente para o novo nível de s.s (k*), de modo que ao nível de k inicial, o investimento supera o necessário para manter k constante. Mais recursos são usados para i e delta k é positivo, logo k começa a crescer. 𝑘 cai gradativamente devido à hipótese de rendimentos decrescentes para o capital.

Logo, mudanças na taxa de poupança geram efeito-nível permanente nas variáveis per capta e efeito taxa apenas temporário.

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

145

151

s

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151

6

8

10

12

14

16

18

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151

k

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151

i

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151

c

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151

y

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S.

Em s.s 𝑠𝑦∗ = 𝑑 + 𝑛 𝑘∗ Os asteriscos indicam que as variáveis se encontram em s.s.

Logo, 𝑘∗ =𝑠𝑦∗

𝑛+𝑑, mas 𝑦∗ = 𝑘∗𝛼

Então 𝑘∗ =𝑠𝑘∗𝛼

𝑛+𝑑=> 𝑘∗1−𝛼 =

𝑠

𝑛+𝑑=> 𝑘∗ =

𝑠

𝑛+𝑑

1

1−𝛼Substituindo na fção de produção

𝑦∗ = 𝑘∗𝛼

Temos: 𝑦∗ =𝑠

𝑛+𝑑

∝

1−𝛼

Assim, em s.s

Δs > 0 => Δy > 0 ou seja, maior taxa de poupança implica nível de produto per capta maior;

Δn ou Δf > 0 => Δy < 0, maiores taxas de cresc populacional ou de depreciação, implicam menor nível de produto per capta.

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S.

Taxa de crescimento do produto agregado Y

Sabe-se que 𝑦 =𝑌

𝐿

Log y = log Y – log L (derivando em t) temos: 𝑑 log 𝑦

𝑑𝑡=

𝑑 log 𝑌

𝑑𝑡-𝑑 log 𝐿

𝑑𝑡=>

𝑦

𝑦=

𝑌

𝑌−

𝐿

𝐿

Como em s.s. 𝑦

𝑦=0, temos que

𝑌

𝑌= 𝑛

Taxa de crescimento do estoque de capital agregado, K

Sabe-se que 𝑦 =𝐾

𝐿 log k = log K – log L (derivando em t) temos:

𝑘

𝑘=

𝐾

𝐾− 𝑛

Como em s.s. 𝑘

𝑘=0, temos que

𝐾

𝐾= 𝑛

Logo a tx de crescimento do produto (Y) e do capital (K) em ss é ‘n’

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: SÍNTESE DOS RESULTADOS

Trajetória de Crescimento equilibrado

Solow Básico – sem progresso técnico

Variável Taxa de crescimento

Y* n

K* n

C* = (1-s) Y* n

I* = sY* n

W* = 1 * *Y n

* * *Y n

y* 0

k* 0

c*=(1-s) y* 0

i*=sy* 0

w*= 1 * *y 0


Conclusão:

A experiência mostra que crescimento e investimento possuem taxas positivamente relacionadas no LP e no modelo de Solow o efeito de um aumento permanente da taxa de poupança (e no investimento) leva apenas a efeitos transitórios sobre as taxas de crescimento per capta no longo prazo.

Além disso, a experiência mostra que as variáveis per capta têm crescimento positivo no LP, o que essa versão do modelo também não é capaz de explicar.

Logo, o modelo básico de Solow não dá uma resposta satisfatória para tais fatos. As extensões do modelo buscam dar respostas mais aceitáveis para esses.

SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO

Análise da Distribuição no modelo neoclássico:

Os fatores de produção são remunerados de acordo com suas produtividades marginais (isso pode ser derivado das condições de maximização de lucro. Da maxlucro sabe-se que o valor do PmgL (p*PmgL)=W

𝑌 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼 (1)

𝑃𝑚𝑔𝐿 =𝜕𝑌

𝜕𝐿= 1 − 𝛼 𝐾𝛼𝐿−𝛼 ⇒ 𝑃𝑚𝑔𝐿 = (1 − 𝛼)

𝐾

𝐿

𝛼(2)

𝑃𝑚𝑔𝐾 =𝜕𝑌

𝜕𝐾= 𝛼𝐾𝛼−1𝐿1−𝛼 ⇒ 𝑃𝑚𝑔𝐾 = 𝛼

𝐿

𝐾

1−𝛼(3)

De 2 e 3 pode-se notar que um aumento na quantidade de Trabalho (capital), faz cair (aumentar) a produtividade marginal do trabalho e aumentar (cair) a produtividade marginal do capital.


Reescrevendo os produtos marginais, para discutir distribuição:

𝑃𝑚𝑔𝐿 = 1 − 𝛼𝑌

𝐿(4) (Para provar basta substituir a função de produção em Y)

𝑃𝑚𝑔𝐾 = 𝛼𝑌

𝐾(5)

Podemos agora verificar que se os fatores são remunerados às suas respectivas produtividades marginais, o parâmetro α de fato informa quando da renda se destina à m.d.o e quanto se destina ao capital.

F(K,L) = (PmgL x L) + (PmgK x K) ou, de modo equivalente:

F(K,L) = wL + rK = Y

O que significa que o pagamento aos fatores exaure o produto. Y = wL + rK e (...)


Disso resulta que o montante total pago à mão de obra é simplesmente igual a (1- α ), vejamos:

𝑃𝑚𝑔𝐿 ∗ 𝐿 = 1 − 𝛼𝑌

𝐿∗ 𝐿 ⇒ 1 − 𝛼 𝑌

Logo (1-α)Y é a participação dos salários na produção.

𝑃𝑚𝑔𝐾 ∗ 𝐾 = 𝛼𝑌

𝐾∗ 𝐾 ⇒ 𝛼𝑌

Logo αY é a participação da remuneração do capital na produção.

Esse resultado mostra que a Participação/distribuição da renda correspondente àm.d.o e ao capital são uma constante. Bem como, a proporção entre a renda do capitale do trabalho, também são uma constante (α/1- α).


Logo, graficamente podemos construir (equilíbrio mercado de trabalhos e de capital) (pegar gráficos nas planilhas de apoio)

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