modelo de crecimiento de solow-swan (i) · 1.2 análisis del estado estacionario 1.3 la dinámica...

Facultad de Economía, UPC

Modelo de crecimiento deSolow-Swan (I)

Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

Agosto del 2017

1 Modelo de Solow sin cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del estado estacionario1.3 La dinámica de la transición

2 Modelo de Solow con cambio tecnológico2.1 La estructura básica del modelo2.2 Análisis del Estado Estacionario2.3 La dinámica de la transición

3 Anexos3.1 Anexo 13.2 Anexo 2

Índice

2/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan

Hogares y producción:• Considere una economía cerrada, con un único bien final.• La economía es habitada por un número grande de

hogares.• Los hogares ahorran una fracción exógena constante,

s ∈ (0,1), de su ingreso disponible.

La estructura básica del modelo


• Todas las firmas de la economía tienen acceso a la mismafunción de producción para el único bien final.

• Función de producción agregada:

Y (t) = F(K (t),L(t),A(t))

Donde Y (t) es la producción del bien final, K (t) es el stockde capital, L(t) es el trabajo y A(t) es la tecnología.



Si hay un único bien en la economía, ¿qué es el capital?

Fuente: Bayer4Crops



¿Qué es A(t)?• Tecnología / Progreso técnico / Productividad Total de

Factores• Efectos de la organización de la producción y de los

mercados sobre la eficiencia con la que los factores deproducción son utilizados

• La tecnología es libre, está disponible públicamente y esun bien:

• no rival, por que el consumo de unos no disminuye el deotros

• no excluible, porque no es posible prohibirle a una personasu uso o consumo



Supuesto 1

La función de producción F : R3+ → R+ es dos veces

diferenciable en K y en L, y satisface:

FK (K ,L,A)≡∂F(K ,L,A)

∂K >0 FL(K ,L,A)≡∂F(K ,L,A)

∂L >0

FKK (K ,L,A)≡∂2F(K ,L,A)

∂K 2 <0 FLL(K ,L,A)≡∂2F(K ,L,A)

∂L2 <0

Además, F exhibe retornos constantes a escala en K y en L.



Definición 1Sea k ∈ N. La función G : Rk+2 → R es homogénea de gradom en x ∈ R e y ∈ R si:

G(λx , λy , z) = λmG(x , y , z) ∀ λ ∈ R, z ∈ Rk



• Retornos constantes a escala:

F(λK (t), λL(t),A(t)) = λF(K (t),L(t),A(t))

Además:• Economía suficientemente desarrollada.• Factores productivos fuera de K , L y A no son importantes.



Teorema 1Suponga que G : Rk+2 → R es diferenciable en x ∈ R y eny ∈ R, con derivadas parciales denotadas por Gx y Gy , y eshomogénea de grado m en x e y. Entonces:

mG(x , y , z) = Gx (x , y , z)x+Gy (x , y , z)y ∀ x ∈ R, y ∈ R, z ∈ Rk

Además, Gx (x , y , z) y Gy (x , y , z) son por sí mismashomogéneas de grado m − 1 en x e y.



Dotaciones iniciales:• Asignación inicial de recursos depende de características

institucionales de la economía.Market structure:• Mercados competitivos. Hogares y firmas son tomadoras

de precios y maximizan sus propios “objetivos”. Losprecios “limpian” mercados.



• Los hogares son dueños de los factores de producción.• La oferta de trabajo es inelástica.

L(t) = L(t)

• Si definimos el precio de la mano de obra, el salario real,como w(t), entonces el mercado de trabajo se “vacía”cuando:

L(t) ≤ L(t), w(t) ≥ 0 y (L(t)− L(t))w(t) = 0



• Por el lado del capital, los hogares son dueños de estefactor productivo, y lo alquilan a las empresas, al precioR(t).

• Condición de equilibrio del mercado de capital:

K (t) = K (t)

• Dotación inicial de capital del hogar: K (0) ≥ 0.• El capital se deprecia a la tasa δ ∈ (0,1).• La tasa de interés a la que se enfrentan los hogares es

r(t) = R(t)− δ.



Optimización de la firma y equilibrio:• El objetivo de la firma es maximizar beneficios.• El mercado de capitales funciona correctamente, por lo

que las firmas pueden alquilar capital en el mercado, sinproblemas.

m«axK≥0,L≥0

F(K ,L,A(t))− R(t)K − w(t)L



• El problema de maximización de la firma está establecidoen variables agregadas.

• No hay un precio multiplicando la función F , dado que seasume que P = 1.

• La firma toma como dados los precios de los factoresproductivos: mercados competitivos.

• Problema cóncavo desde que F lo es.



• Dadas las ofertas de capital y trabajo en el período t , K (t)y L(t), los precios de factores deben satisfacer la siguientecondición:

w(t) = FL(K (t),L(t),A(t)) (1)

R(t) = FK (K (t),L(t),A(t)) (2)

• Recordando el Teorema 1, podemos intuir que la firmagenera cero beneficios.



Proposición 1

Si el Supuesto 1 se mantiene, entonces en el equilibrio delmodelo de Solow las firmas generan cero beneficios y, enparticular:

Y (t) = w(t)L(t) + R(t)K (t) (3)



Supuesto 2

F satisface las condiciones de Inada:

limK→0FK (K ,L,A) =∞ y limK→∞FK (K ,L,A) = 0 ∀ L > 0 y A

limL→0FL(K ,L,A) =∞ y limL→∞FL(K ,L,A) = 0 ∀ K > 0 y A

Además, F(0,L,A) = 0 ∀ L y A.



K

F(K , L,A)

K

F(K , L,A)



La ecuación fundamental de Solow :• Ahorro de hogares: S(t) = sY (t)• Consumo de hogares:

C(t) = (1− s)Y (t) (4)

• Crecimiento de la población:

L(t) = nL(t) (5)

• No hay crecimiento de la tecnología• Cambio de variable (capital per cápita):

k(t) ≡ K (t)L(t)



• Tasa de crecimiento del capital per cápita(

k(t)k(t)

):

∂k(t)∂t

≡ k(t) =∂K (t)∂t

1L(t)

− K (t)L(t)

∂L(t)∂t

1L(t)

k(t) =K (t)L(t)

− L(t)L(t)

K (t)L(t)

k(t) =K (t)K (t)

K (t)L(t)

− L(t)L(t)

K (t)L(t)

k(t)k(t)

=K (t)K (t)

− L(t)L(t)

k(t)k(t)

=K (t)K (t)

− n



Ecuación de movimiento del capital

K (t) = sF(K (t),L(t),A(t))− δK (t) (6)

Modificando la ecuación 6, en términos per cápita:

k(t)k(t)

=sF(K (t),L(t),A(t))

K− (δ + n)

kk

=sF(K ,L,A)/L

K/L− (δ + n)

kk

=sf(k)

k− (δ + n) (7)



Definición 2En el modelo básico de Solow, con crecimiento poblacional a latasa n, sin progreso tecnológico y con un capital inicial deK (0), la senda de equilibrio está dada por secuencias decapital, trabajo, producción, consumo, salarios y tasas dealquiler [K (t),L(t),Y (t),C(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que:• L(t) satisface la ecuación 5

• k(t) ≡ K (t)L(t) satisface la ecuación 7

• Y (t) está dado por la ecuación 3• C(t) está dado por la ecuación 4• w(t) y R(t) estan determinadas por las ecuaciones 1 y 2



Cuando k(t)→ k∗:f (k∗)

k∗=

n + δ

s(8)

En estado estacionario, la cantidad de inversión es usada parareponer el ratio capital-trabajo.

Análisis del estado estacionario


k

f (k)

k∗

sf (k(t))sf (k∗)

f (k(t))f (k∗)

(δ + n)k(t)

consumo

inversión



Proposición 2

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces existe un únicoequilibrio de estado estacionario cuando el ratio capital-trabajosea igual a k∗ ∈ (0,∞) y satisface la ecuación 8. El PBI percápita es:

y∗ = f (k∗)

Y el consumo per cápita es:

c∗ = (1− s)f (k∗)



Definiendo f (k) = Af (k), entonces:

Definición 3Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y f(k) = Af(k), el nivel deestado estacionario del ratio capital-trabajo k∗(A, s, δ,n) y elnivel de estado estacionario del producto per cápitay∗(A, s, δ,n), entonces:

∂k∗

∂A> 0,

∂y∗

∂A> 0,

∂k∗

∂s> 0,

∂y∗

∂s> 0,

∂k∗

∂δ< 0,

∂y∗

∂δ< 0,

∂k∗

∂n< 0;

∂y∗

∂n< 0.



Proposición 3

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces el modelo deSolow con crecimiento poblacional y sin progreso técnico esglobal y asintóticamente estable, por lo que si se empiezadesde el punto k(0) > 0, monotónicamente converge a k∗.

La dinámica de la transición


k

k

k∗



k(t)

k(t)k(t)

k∗






Índice


Fuente: Acemoglu (2009).



Crecimiento balanceado

• Se refiere a la situación donde el PBI crece a una tasaconstante, mientras que el ratio capital/producto, la tasa deinterés, y los porcentajes de los factores de producción semantienen constantes.



Tipos de progreso tecnológico neutralPosibles funciones de producción, de acuerdo a “posición” delprogreso técnico, A(t):• Neutral en el sentido de Harrod

Y (t) = F(K (t),A(t)L(t))

• Neutral en el sentido de Solow

Y (t) = F(A(t)K (t),L(t))

• Neutral en el sentido de Hicks

Y (t) = A(t)F(K (t),L(t))



A: Hicks neutral, B: Solow neutral, C: Harrod neutral.Fuente: Acemoglu (2009).



Importante:Para que exista crecimiento balanceado se necesita que lafunción de producción sea neutral en el sentido de Harrod(Usawa’s Theorem).



Evolución en el tiempo de los factores de producción:

L(t) = nL(t)

A(t) = gA(t) (9)

Donde n y g son parámetros exógenos. Además, g > 0.Crecimiento exponencial



Ecuación fundamental en niveles:

K (t) = sF(K (t),A(t)L(t))− δK (t) (10)

“Normalizamos” las variables en términos “efectivos”.Definimos k(t):

k(t) ≡ K (t)A(t)L(t)

(11)



• Tasa de crecimiento del capital per cápita(

˙k(t)k(t)

):

∂k(t)∂t

≡ ˙k(t) =K (t)

A(t)L(t)K (t)K (t)

− K (t)A(t)L(t)

L(t)L(t)− K (t)

A(t)L(t)A(t)A(t)

˙k(t)k(t)

=K (t)K (t)

− L(t)L(t)

− A(t)A(t)

˙k(t)k(t)

=K (t)K (t)

− n − g



Además:y(t) ≡ Y (t)

A(t)L(t)

En forma intensiva:

1A(t)L(t)

×F(K (t),A(t)L(t)) = F(

K (t)A(t)L(t)

,1)≡ f (k(t))

Llamando y(t) ≡ Y (t)L(t) , entonces:

y(t) = A(t)y(t) (12)

y(t) = A(t)f (k(t))



˙k(t)k(t)

=sF(K (t),A(t)L(t))

K (t)− (δ + g + n)

˙k(t)k(t)

=sF(K (t),A(t)L(t))× 1

A(t)L(t)

K (t)× 1A(t)L(t)

− (δ + g + n)

˙k(t)k(t)

=sf (k(t))

k(t)− (δ + g + n) (13)

Donde:• sf (k(t)): inversión por unidad de trabajo efectivo.• (δ + g + n)k(t): inversión de reposición.• Restricción adicional es que δ + g + n > 0.



Proposición 4

Considere el modelo de crecimiento de Solow con tecnologíaneutral en el sentido de Harrod, progreso técnico a una tasa gy crecimiento poblacional a tasa n. Si los supuestos 1 y 2 semantienen, entonces existe una única senda de crecimientobalanceado, donde el ratio capital-trabajo efectivo es igual ak∗ ∈ (0,∞), dado por:

f (k∗)k∗

=δ + g + n

s(14)

Además, el PBI per cápita y el consumo crecen a una tasa g.

Análisis del Estado Estacionario


Definición 4Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y sea A(0) el nivel inicialde tecnología, el nivel de estado estacionario del ratiocapital-trabajo efectivo consistente con la senda balanceadak∗(A(0), s, δ,n) y el nivel de estado estacionario del productoper cápita y∗(A(0), s, δ,n, t), entonces:

∂k∗

∂A(0)= 0,

∂y∗

∂A(0)> 0,

∂k∗

∂s> 0,

∂y∗

∂s> 0,

∂k∗

∂δ< 0,

∂y∗

∂δ< 0,

∂k∗

∂n< 0;

∂y∗

∂n< 0 ∀ t .



k

f (k)

k∗

sf (k(t))sf (k∗)

f (k(t))f (k∗)

(δ + n + g)k(t)

consumo

inversión

Regla dorada



Proposición 5

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces la senda decrecimiento balanceada del modelo de Solow con progresotecnológico a la Harrod y crecimiento poblacional esasintóticamente estable, por lo que si se empieza de cualquierk(0) > 0, el ratio de capital trabajo efectivo converge a k∗

(k(t)→ k∗).

Senda de crecimiento balanceada

Ejercicio



k

f (k)

k∗viejo k∗nuevo

sviejof (k(t))

snuevof (k(t))

(δ + n + g)k(t)

Dinámica comparativa


k(t)

˙k(t)k(t)

k∗viejo k∗nuevo

sviejo f (k(t))

k(t)− (δ + g + n)

snuevo f (k(t))k(t)

− (δ + g + n)



Fuente: Romer (2006).



ConsumoFuente: Romer (2006).






Índice


Evolución en el tiempo de los factores de producción:

L(t) = nL(t) (15)

A(t) = gA(t) (16)

Donde n y g son parámetros exógenos. Además, una variablecon “punto” indica la derivada de esa variable respecto altiempo:

X (t) =∂X (t)∂t

(17)

Anexo 1 Crecimiento exponencial


Tasa de crecimiento de una variable:

X (t)X (t)

=∂lnX (t)∂t

=∂lnX (t)∂X (t)

∂X (t)∂t

(18)

Aplicando esto en las ecuaciones 15 y 16, se tiene:

lnL(t) = lnL(0) + nt (19)

lnA(t) = lnA(0) + gt (20)

Anexo 1


Aplicando operador exponencial a ambos lados de lasecuaciones 19 y 20:

L(t) = L(0) expnt (21)

A(t) = A(0) expgt (22)

Por tanto, L y A crecen exponencialmente a una tasa exógenade n y g, respectivamente.

Anexo 1


Senda de crecimiento balanceada:Cuando k → k∗, ¿Qué sucede con las otras variables deinterés?• K = AL× k , si llegamos a k = k∗, entonces K

K = n + g.

• Y = F(K ,AL) = AL× f (k∗,1), luego YY = n + g.

• k = A× k∗, entonces kk = g.

• y = A× y∗, por lo que yy = g.

1 Todas las variables de interés del modelo crecen a unatasa constante.

2 En Estado Estacionario, la tasa de crecimiento de laproducción per cápita depende sólo de la tasa decrecimiento tecnológico (progreso técnico).

Anexo 2 Senda de crecimiento balanceada


modelo de crecimiento de solow-swan (i) · 1.2 análisis del estado estacionario 1.3 la dinámica...

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