modelo matematico

Modelamiento Matemático de Sistemas Dinámicos

Introducción

Modelos Matemáticos• Diferentes Modelos Matemáticos.

– Control Optimo.

– Representación en Espacios de Estado.

– Funciones de Transferencia

• Modelos matemáticos ayudan al análisis usando computadores.

Introducción cont..

Simplicidad versus Precisión.• Modelos precisos => Modelos Complejos.

• Obtener un modelo razonablemente simplificado.

• Modelos simplificados tienen buen comportamiento dentro de un rango de ....


Sistemas Lineales.• Un sistema es lineal, si es posible aplicar el

Principio de Superposición.

• Ecuaciones Diferenciales Lineales.

Invariantes en el Tiempo.• Coeficientes constantes.

Variantes en el tiempo.• Coeficientes dependientes del tiempo.

Salida

Entrada


Sistemas no lineales.• No lineal si no se cumple Principio de

Superposición.


Linealización de Sistemas no Lineales.• Para sistemas no lineales, lo común es que se

linealizar en torno al punto de equilibrio.

• Por ejemplo se aplican Series de Taylor, se suponen pequeñas variaciones, de tal manera de dejar sólo los primeros términos y despreciando los restante y en consecuencia se transforma una ecuación no lineal en lineal.

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.

Función de Transferencia= G(s)

£[entrada]

£[salida]

G(s) =

Con CIs = 0

=Y(s)

X(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Suponga

a0y(n) + a1y(n-1) + ...an-1y’+any=

b0x(m) + b1x(m-1)+ ... + bm-1x’+bmx

(nm) ; Si x es variable de entrada e y variable de salida, entonces;

a0sn + a1sn-1 + ...an-1s+an

b0sm + b1sm-1+ ... + bm-1s+bm

G(s) =


Comentarios.La función de transferencia es:

Un modelo matemático.

Es una propiedad que no depende de la entrada al sistema.

Incluye las unidades a relacionar, pero no entrega información de la estructura interna del sistema.

Un forma de relacionar entrada y salida de un sistema.

Se puede obtener de manera experimental.


Ejemplo: Suponga el siguiente sistema mecánico.

MK

Bf

v


La Función de Transferencia será:

Pero si la salida es posición, entonces la Función de Transferencia será:

Ms2 + Bs + K

sG(s) =

Ms2 + Bs + KG(s) =

1


Diagramas de Bloques.Diagrama en Bloque = Representación Gráfica.

Función de Transferencia

G(s)

X(s) Y(s)


Diagrama de Bloques de un sistema de Lazo Cerrado.

G(s)-+R(s) E(s) C(s)

Punto Suma

Punto de Ramificación

B(s)


Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

Generalizando:

G(s)-+R(s) E(s) C(s)

B(s)

H(s)


Función de Transferencia en Lazo Abierto.

Función de Transferencia de la Trayectoria Directa.

¿ Cual será la Función de Transferencia en Lazo Cerrado ?

B(s)

E(s)= G(s) H(s)

C(s)E(s) = G(s)


Función de Transferencia en Lazo Cerrado será.

C(s)R(s)

G(s)1 + G(s) H(s)

=


Sistema en Lazo Cerrado con Perturbaciones.

G1(s)-+R(s) E(s) C(s)

B(s)

H(s)

G2(s)-+

Perturbación

D(s)


Como el sistema es lineal, se puede aplicar superposición, es decir, para el cálculo con una entrada se anula la otra y finalmente se suman.

CD(s)D(s)

G2(s)1 + G1(s)G2(s) H(s)

=

CR(s)R(s)

G1(s)G2(s)1 + G1(s)G2(s) H(s)

=


Así,

C(s) = CR(s) + CD(s)

Es decir,

CD(s)G2(s)

1 + G1(s)G2(s) H(s)= [ G1(s)R(s) + D(s) ]


Posibles consideraciones:

Si | G1(s)H(s)| >> 1 y |G1(s)G2(s)H(s)| >> 1

Se puede eliminar el efecto de la perturbación y, la Función del sistema completo tiende a

CR(s)R(s)

1H(s)

=


Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques. Ejemplo.

R

Cei e0

i

i = ei - eo

R

eo = i dt

C

1-+

Ei(s) I(s)

Eo(s)R

1Cs

Eo(s)


Reducción de un Diagrama de Bloques.

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