modelo para definicion del layout de una celda de...

Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de

optimización

Camilo Mejía Moncayo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica

Bogotá, Colombia

2012

Modelo para definición del layout de una celda de manufactura a través de

optimización

Camilo Mejía Moncayo

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ingeniería Mecánica

Directores:

Ph.D. Diego Alexander Garzón Alvarado

Ph.D. José Manuel Arroyo Osorio

Línea de Investigación:

Optimización de sistemas de ingeniería

Grupo de Investigación:

Grupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingeniería

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica

Bogotá, Colombia

2012

Al Padre y la Madre Universales.

A mi familia y Lorena

Agradecimientos

Quiero agradecer a todas las personas e instituciones que de una u otra forma colaboraron en la

realización de este trabajo.

A mi familia y a Lorena por su afecto, apoyo y paciencia

A la Universidad Nacional de Colombia, en especial a los profesores Diego Alexander Garzón

Alvarado y José Manuel Arroyo Osorio, por su guía, apoyo, confianza, aportes y consejos.

A COLCIENCIAS que mediante la convocatoria 521 de 2010 patrocinó este proyecto.

Resumen y Abstract IX


optimización

Resumen La definición del layout de un sistema de manufactura celular implica la solución de dos problemas: el primero la formación de celdas (CF cell formation), el cual toma en cuenta la similitud entre las partes con respecto a sus procesos de fabricación para agrupar las máquinas en celdas y las partes en familias. El segundo es la definición del layout inter e intra celdas, proceso donde se define la posición relativa de las máquinas al interior de la celda y de las celdas entre sí. Este documento presenta la solución simultánea del problema del layout de celdas de manufactura a través de dos algoritmos, el primero un algoritmo mono-objetivo híbrido discreto basado en forrajeo de bacterias y algoritmos genéticos, denominado DHBFGA (Discrete Hybrid Bacterial Foraging Genetic Algorithm) que minimiza el costo de transporte y maximiza el agrupamiento de las celdas, considerando la secuencia de operaciones, los volúmenes de producción y la cantidad de piezas en cada movimiento. El segundo algoritmo es una versión híbrida discreta del algoritmo BCMOA (Bacterial Chemotaxis Multiobjetive Optimization Algorithm), que minimiza el costo de transporte y maximiza el agrupamiento de las celdas.

El desempeño del algoritmo mono-objetivo propuesto fue probado con problemas de prueba del agente viajero TSP y problemas de layout de las celdas de manufactura, los resultados obtenidos se compararon con las soluciones de versiones discretas del BFOA, AG y el algoritmo Bacterial-GA Foraging, obteniéndose un mejor desempeño en fitness y tiempo respecto a estos. La propuesta multi-objetivo fue comparada con los algoritmos NSGA2 y SPEA2, solucionando el problema multi-objetivo de las mochilas y problemas de layout de celdas de manufactura, obteniéndose un mejor desempeño en cuanto a tiempo y convergencia del algoritmo propuesto DH-BCMOA.

Palabras clave: Layout, celdas de manufactura, optimización, Algoritmos genéticos, BFOA,

NSGA2, SPEA2, BCMOA, hibridación.

X Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de optimización

Model for definition the layout of a manufacturing cell through optimization

Abstract The definition of cell manufacturing layout implies the solution of two problems: first the cell formation problem, which takes account the similarity between the parts with respect to shape and production processes to group machines in cells and parts in families. The second is the definition of inter and intra cell layout, process which defines the relative position of the machines within the cell and the cells between these. This document presents the simultaneous solution of cell manufacturing layout problem through two algorithms, first a mono-objective discrete hybrid algorithm based on bacterial foraging and genetic algorithms, called Discrete Hybrid Bacterial Foraging Genetic Algorithm DHBFGA that minimizes the transportation cost and maximizes the grouping of cells, considering the sequence of operations, production volumes and the number of pieces in each movement. The second algorithm is a discrete and hybrid version of Bacterial Chemotaxis Multiobjective Optimization Algorithm BCMOA, which minimizes transportation costs and maximizes the grouping of cells.

The performance of the proposed mono-objective algorithm was tested with benchmark problems of traveling salesman problems TSP and cell manufacturing layout, the results obtained were compared with the solutions of discrete versions of BFOA, AG and Bacterial-GA Foraging Algorithm, obtaining a better performance in fitness and time than these. The proposed multi-objective algorithm was compared with NSGA2 and SPEA2, solving the problem of multi-objective knapsack problems and cell manufacturing layout problems, resulting in better performance in terms of time and convergence of the proposed algorithm DH-BCMOA.

Keywords: Layout, cell manufacturing, optimization, Genetic Algorithms, BFOA, NSGA2,

SPEA2, BCMOA, hybridization.

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen .................................................................................................................................... IX

Abstract ....................................................................................................................................... X

Lista de figuras ....................................................................................................................... XIII

Lista de abreviaturas ........................................................................................................... XVIII

Introducción ................................................................................................................................. 1

1. El problema del layout .......................................................................................................... 5 1.1 Definición del problema del layout.............................................................................. 5

1.1.1 Volúmenes de producción y variabilidad de los productos ............................... 6

1.1.2 Geometría ....................................................................................................... 6 1.1.3 Sistemas de manipulación de materiales .......................................................... 7

1.1.4 Múltiples pisos ................................................................................................ 7 1.1.5 Problemas estáticos y dinámicos ...................................................................... 8

1.2 Planteamiento del problema del layout ........................................................................ 8 1.2.1 El espacio físico en el planteamiento del problema del layout .......................... 8 1.2.2 La evaluación del desempeño del layout ........................................................ 10 1.2.3 Métodos de solución ...................................................................................... 10

1.3 El layout de las celdas de manufactura ...................................................................... 11

1.3.1 La formación de las celdas de manufactura .................................................... 11

1.3.2 El layout intra e inter Celdas de Manufactura ................................................. 15

1.3.3 El layout de las celdas de manufactura ........................................................... 17

2. Optimización ...................................................................................................................... 19

2.1 Optimización global o mono - objetivo ..................................................................... 20 2.1.1 Métodos de optimización ............................................................................... 21

2.1.2 Algoritmos genéticos- AG ............................................................................. 23

2.1.3 Bacterial foraging optimization algorithm - BFOA ........................................ 24

2.1.4 Algoritmo Bacterial-GA Foraging ................................................................. 26

2.2 Optimización multi - objetivo ................................................................................... 27 2.2.1 Métodos de optimización multi-objetivo ........................................................ 29

2.2.2 Non-dominated Sorting Genetic Algorithm2 - NSGA2 .................................. 32

2.2.3 Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 - SPEA2 ....................................... 36

2.2.4 Bacterial Chemotaxis Multiobjective Optimization Algorithm-BCMOA ........ 38

XII Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de optimización

3. Modelos propuestos ........................................................................................................... 41

3.1 Formación de las celdas de manufactura ................................................................... 41 3.2 Layout intra e inter celdas ......................................................................................... 46 3.3 Modelos propuestos .................................................................................................. 48

3.3.1 Modelo mono-objetivo .................................................................................. 49

3.3.2 Modelo multi-objetivo .................................................................................. 50

4. Algoritmos Propuestos ....................................................................................................... 51 4.1 Discrete Hybrid Bacterial Foraging Genetic Algorithm- DHBFGA ........................... 51

4.2 Discrete Hybrid - Bacterial Chemotaxis Multiobjective Optimization Algorithm DH-BCMOA .............................................................................................................................. 54

5. Desarrollo experimental .................................................................................................... 59 5.1 Problemas de prueba ................................................................................................ 59

5.1.1 Problema del agente viajero TSP ................................................................... 59

5.1.2 Problema multi-objetivo de la mochila .......................................................... 62

5.1.3 El problema del layout de las celdas de manufactura ..................................... 65 5.2 Experimentos realizados ........................................................................................... 70

5.2.1 Número de réplicas ....................................................................................... 70 5.2.2 Experimentos mono-objetivo ........................................................................ 71

5.2.3 Experimentos multi-objetivo ......................................................................... 72

5.3 Resultados y discusión ............................................................................................. 73 5.3.1 Resultados y discusión experimentos mono-objetivo ..................................... 73

5.3.2 Resultados y discusión experimentos multi-objetivo ...................................... 90

6. Conclusiones y recomendaciones ..................................................................................... 103 6.1 Conclusiones .......................................................................................................... 103 6.2 Recomendaciones y trabajo futuro .......................................................................... 104

Anexo A: Matrices problemas de prueba layout de celdas de manufactura .......................... 105

Bibliografía .............................................................................................................................. 115

Contenido XIII

Lista de figuras Pág.

Figura 1-1 Representación discreta del espacio ............................................................................. 9 Figura 1-2 Representación continua del espacio ........................................................................... 9 Figura 1-3 Celda con máquinas dispuestas de forma lineal empleando un conveyor o banda transportadora ............................................................................................................................. 16

Figura 1-4 Celda con máquinas dispuestas de forma circular. Empleando un carrusel (a) o un robot (b). ..................................................................................................................................... 16

Figura 2-1 Mínimo local y global ............................................................................................... 21 Figura 2-2 Pseudocódigo general del algoritmo genético AG ...................................................... 23

Figura 2-3 Pseudocódigo BFOA ................................................................................................ 24 Figura 2-4 Pseudocódigo Algoritmo Bacterial-GA Foraging....................................................... 27

Figura 2-5 Frente óptimo de Pareto y concepto de dominancia ................................................... 28

Figura 2-6 Pseudocódigo ordenamiento rápido no dominado – Fast non dominated sort (Deb et al., 2002) .................................................................................................................................... 32

Figura 2-7 Cálculo de la distancia crowding (Deb et al., 2002) ................................................... 33 Figura 2-8 Pseudocódigo Cálculo de la distancia crowding (Deb et al., 2002) ............................. 34

Figura 2-9 Pseudocódigo NSGA2 .............................................................................................. 35 Figura 2-10 Pseudocódigo SPEA2 ............................................................................................. 36 Figura 2-11 Pseudocódigo BCMOA ........................................................................................... 39 Figura 3-1 Porcentaje de éxitos para las diferentes combinaciones de % de mutación y % de cruzamiento ................................................................................................................................ 43

Figura 3-2 Porcentaje de éxitos de las métricas �, ��,�� y � respecto a la variación del factor de ponderación “q” en el experimento 2 ........................................................................................... 44 Figura 3-3 Porcentaje de éxitos de la métrica �� respecto a la variación de los factores de ponderación “q1” y “q2”, para los tres tipos de AG. .................................................................... 44 Figura 3-4 Porcentaje de éxitos del total obtenido por las métricas de agrupamiento en el cuarto experimento ................................................................................................................................ 45

Figura 4-1 Pseudocódigo Algoritmo DHBFGA .......................................................................... 52 Figura 4-2 Ciclo quimiotáctico general del DHBFGA ................................................................ 53

Figura 4-3 Pseudocódigo DH-BCMOA ...................................................................................... 55 Figura 4-4 Quimiotaxis en el DH-BCMOA ................................................................................ 56 Figura 4-5 Aproximación de bacterias débiles a fuertes en el DH-BCMOA ................................ 57

Figura 5-1 Cruzamiento PMX en el problema del agente viajero TSP ......................................... 61

Figura 5-2 Mutación y eliminación y dispersión de las soluciones en el problema del agente viajero TSP ................................................................................................................................. 61

Figura 5-3 Cruzamiento con dos puntos de cruce en el problema multi-objetivo de las mochilas . 63

Figura 5-4 Mutación de las soluciones en el problema del agente viajero TSP ............................ 64

Figura 5-5 Ejemplo codificación basada en grupo para el problema del layout ............................ 66

Figura 5-6 Representación del layout del ejemplo de la figura 5-5 .............................................. 67 Figura 5-7 Ejemplo de cruzamiento PMX para la codificación de las soluciones ......................... 67

XIV Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de optimización

Figura 5-8 Ejemplo mutación o eliminación y dispersión individuo para codificación de las soluciones ................................................................................................................................... 68

Figura 5-9 Ciclo quimiotáctico del DHBFGA en el problema del Layout .................................... 68

Figura 5-10 Quimiotaxis en el DH-BCMOA para el problema del layout .................................... 69

Figura 5-11 Promedio de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas TSP empleando AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA .............................................. 75

Figura 5-12 Desviación estándar de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas TSP empleando AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA ........................................ 75

Figura 5-13 Promedio del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP .............................................. 76 Figura 5-14 Desviación estándar del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP ..................................... 76

Figura 5-15 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Ulysses 22 ............................................................................................................ 77

Figura 5-16 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Ulysses 22 ........... 78 Figura 5-17 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Berlin 52 .............................................................................................................. 78

Figura 5-18 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Berlin 52 ............. 79 Figura 5-19 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Pr 76 .................................................................................................................... 79

Figura 5-20 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Pr 76 ................... 80 Figura 5-21 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP KroA 100 ............................................................................................................. 80

Figura 5-22 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foragingy DHBFGA en la solución del problema TSP KroA 100 .............. 81 Figura 5-23 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Ch 130 ................................................................................................................. 81

Figura 5-24 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Ch 130 ................ 82 Figura 5-25 Promedio de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas de Layout empleando AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA ...................... 83 Figura 5-26 Desviación estándar de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas de Layout empleando AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA ................ 84 Figura 5-27 Promedio del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP ............................ 84

Figura 5-28 Desviación estándar del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP ...................... 85

Figura 5-29 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 5x7 .............................................................................................................. 85

Contenido XV

Figura 5-30 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 5x7.............. 86 Figura 5-31 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 7x11 ............................................................................................................ 86 Figura 5-32 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 7x11 ............ 87 Figura 5-33 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 14x24 .......................................................................................................... 87 Figura 5-34 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 14x24 ......... 88 Figura 5-35 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 24x40 .......................................................................................................... 88 Figura 5-36 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 24x40 .......... 89 Figura 5-37 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 35x20 .......................................................................................................... 89 Figura 5-38 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 35x20 ......... 90 Figura 5-39 Promedio y desviación estándar de los valores de la métrica de proximidad obtenidos por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las mochilas ..................................................................................................................................... 92

Figura 5-40 Promedio y desviación estándar de los valores de la métrica ∆ obtenidos por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las mochilas ........... 93

Figura 5-41 Promedio y desviación estándar del número de soluciones NO DOMINADAS obtenidas por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las mochilas ..................................................................................................................................... 93

Figura 5-42 Promedio y desviación estándar del tiempo empleado por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las mochilas ................................... 94

Figura 5-43 Soluciones no dominadas obtenidas en la solución del problema de las 2 mochilas con 100 ítems por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ................................................... 94 Figura 5-44 Soluciones no dominadas obtenidas en la solución del problema de las 2 mochilas con 250 ítems por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ............................................. 95

Figura 5-45 Soluciones no dominadas obtenidas en la solución del problema de las 2 mochilas con 500 ítems por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ............................................. 95

Figura 5-46 Promedio del tiempo empleado por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas multi-objetivo del layout de celdas de manufactura ......................... 96

Figura 5-47 Promedio estándar del número de soluciones NO DOMINADAS obtenidas por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas multi-objetivo del layout de celdas de manufactura ............................................................................................................ 97

Figura 5-48 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 250000 llamados a las funciones fitness en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 5x7 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ....................................................................................................... 98 Figura 5-49 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 250000 llamados a las funciones fitness en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 7x11 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ....................................................................................................... 98

XVI Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de optimización

Figura 5-50 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 250000 llamados a las funciones fitness en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 14x24 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ....................................................................................................... 99 Figura 5-51 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 250000 llamados a las funciones fitness en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 20x40 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ....................................................................................................... 99 Figura 5-52 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 250000 llamados a las funciones fitness en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 35x20 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ..................................................................................................... 100 Figura 5-53 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 200 segundos en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 5x7 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ...................................................................................................................................... 100

Figura 5-54 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 200 segundos en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 7x11 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 ...................................................................................................................................... 101




Contenido XVII

Lista de tablas

Pág. Tabla 1-1 Matriz de incidencia de 7 máquinas y 11 partes .......................................................... 12 Tabla 2-1 Principales métodos de optimización (Rao, 2009) ....................................................... 22

Tabla 3-1 Factores y bloques del primer experimento ................................................................. 42 Tabla 3-2 Factores y bloques del segundo experimento ............................................................... 42 Tabla 3-3 Factores y bloques del tercer experimento ................................................................... 43 Tabla 3-4 Factores y bloques del cuarto experimento ................................................................. 45 Tabla 5-1 Problemas del agente viajero TSP ............................................................................... 60 Tabla 5-2 Fuentes de las matrices de incidencia de los problemas del layout de celdas de manufactura ................................................................................................................................ 65

Tabla 5-3 Matriz de incidencia de 5 máquinas y 7 partes (Vitanov et al., 2008) .......................... 65

Tabla 5-4 Matriz de secuencias de 5 máquinas y 7 partes (Vitanov et al., 2008) .......................... 66

Tabla 5-5 Experimentos para ajuste de parámetros problemas TSP ............................................. 72

Tabla 5-6 Experimentos para ajuste de parámetros problemas layout .......................................... 72

Tabla 5-7 Experimentos para ajuste de parámetros problemas de las mochilas o Knapsack ......... 73

Tabla 5-8 Parámetros obtenidos a partir de la solución de los problemas TSP ............................ 73

Tabla 5-9 Parámetros obtenidos a partir de la solución de los problemas Layout ........................ 73 Tabla 5-10 Resultados ANOVA Función fitness Vs Algoritmos*Problemas TSP ....................... 74

Tabla 5-11 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas TSP .................................. 74

Tabla 5-12 Resultados ANOVA Función Fitness Vs Algoritmos*Problemas Layout................... 82 Tabla 5-13 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas Layout ............................... 82

Tabla 5-14 Parámetros obtenidos a partir de la solución de los problemas de las mochilas o Knapsack .................................................................................................................................... 90

Tabla 5-15 Resultados ANOVA Métrica de Proximidad Vs Algoritmos*Problemas Mochilas .. 91

Tabla 5-16 Resultados ANOVA Métrica de ∆ Vs Algoritmos*Problemas Mochilas .................. 91

Tabla 5-17 Resultados ANOVA No. De soluciones no dominadas Vs Algoritmos*Problemas Mochilas ..................................................................................................................................... 91

Tabla 5-18 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas Mochilas .......................... 92

Tabla 5-19 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas – Layout multi-objetivo ..... 96 Tabla 5-20 Resultados ANOVA No. De soluciones no dominadas Vs Algoritmos*Problemas – Layout multi-objetivo ................................................................................................................. 97

XVIII Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de optimización

Lista de abreviaturas

Abreviaturas

Abreviatura Término ACO Ant Colony Optimization AG Algoritmo Genético

BCMOA Bacterial Chemotaxis Multiobjective Optimization Algorithm

BFOA Bacterial foraging optimization algorithm NSGA2 Nondominated Sorting Genetic Algorithm 2 SA Simulated Annealing SPEA2 Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2

Contenido XIX

Introducción Los sistemas de manufactura tienen como objetivo general la producción de bienes a través de la transformación de materias primas, empleando para ello recursos físicos, humanos, y financieros. Un aspecto muy importante de los sistemas de manufactura es el layout el cual define la distribución espacial de los elementos al interior de la planta de producción, actuando como estructura física del sistema de manufactura con lo cual se integra a todos los elementos de éste y afecta directamente los costos de producción y la operación global del sistema por su fuerte relación con los flujos y movimientos de los materiales, la ubicación de las máquinas o procesos, la mano de obra, el edificio y la administración del sistema.

De forma general encontramos distribuciones de planta (Companys y Corominas, 1998) por proceso, por producto, fijas y las celdas de manufactura. Las celdas de manufactura que son el objeto de estudio de este trabajo se generan aprovechando las similitudes existentes en los procesos de fabricación de las partes de los productos a fabricar, lo cual permite agrupar las partes en familias y las máquinas que las procesan en celdas de manufactura (Singh,1996). Conceptualmente son una mezcla entre las distribuciones por proceso y producto y se basan en la filosofía de tecnología de grupos. Este tipo de configuración es el apropiado para sistemas de manufactura con diversidad de productos y volúmenes de producción variables. Además generan ventajas en temas como tiempos de proceso, alistamientos, manipulación de materiales, mobiliario, espacio requerido e incrementan la satisfacción en el trabajo y la calidad (Singh, 1996).

La implementación implica formar las celdas (Kusiak, 1990)(Singh,1996)(Selim et al.,1998)(Yin y Yasuda, 2006) y posteriormente definir el layout de estas (Elwany et al., 1997)(Hamann y Vernadat, 1992), determinando la posición relativa entre las máquinas o centros de trabajo al interior de cada celda y la posición relativa de las celdas al interior de la fábrica. Estos dos problemas en conjunto definen el problema del layout de las celdas de manufactura, el cual puede solucionarse de forma secuencial, lográndose soluciones óptimas para cada problema por separado (formación de las celdas y definición del layout), o de forma simultánea con lo cual se genera una solución integral para el sistema de manufactura.

Este es un problema de optimización combinatoria, donde el espacio de búsqueda corresponde a las posibles combinaciones que permitan formar las celdas y las permutaciones que definen la posición de las máquinas y las celdas. Este tipo de problemas tienen una alta complejidad por las dimensiones que puede llegar a tener el espacio de búsqueda, lo cual implica tiempos de computo muy grandes que son prohibitivos para problemas grandes, por esta razón los métodos tradicionales empleados para su solución se desempeñan bien en problemas de complejidad baja o media. Esto ha motivado el desarrollo de métodos que emulan procesos de la naturaleza y que son empleados como técnicas de optimización, tal es el caso de los algoritmos genéticos, que aplican conceptos de genética y selección natural para lograr soluciones óptimas mediante operadores de cruzamiento y mutación en la medida que pasan las generaciones, tal cual como se da con los procesos adaptativos en la naturaleza. En el mismo sentido la optimización basada en forrajeo de bacterias imita el proceso de búsqueda de alimento de las bacterias E. Coli, donde cada una de estas realiza movimientos de nado y giro siguiendo el rastro de concentración de los nutrientes,

2 Introducción

para posteriormente realizar procesos de reproducción de las mejores bacterias y eliminación de las bacterias que no se pueden adaptar (Passino, 2002).

Este tipo de técnicas denominadas meta-heurísticas permiten lograr buenas soluciones en tiempos de cómputo razonables.

Motivación

El problema de trabajo seleccionado de layout de las celdas de manufactura, está basado en la filosofía de tecnología de grupos que se adapta muy bien a las necesidades de la industria Colombiana detectadas en el desarrollo del trabajo “Círculos tecnológicos de parentesco” (Mejía, Lara y Córdoba, 2010), a partir del cual se desprende la motivación principal para el desarrollo del presente estudio. El trabajo referenciado describe la implementación de una metodología gráfica que permite establecer la posición relativa entre las máquinas, en este trabajo se identificó la necesidad de solucionar de forma simultánea la formación de las celdas de manufactura y el layout inter e intra celdas, a través de optimización.

Los trabajos que se han desarrollado para solucionar este problema lo han abordado de diferentes formas, inicialmente se trató el problema de la formación de las celdas de manufactura y del layout de estas de forma separada, desarrollando diversas metodologías para la formación de las celdas como lo describen Selim et al.,(1998) y Papaioannou y Wilson (2010) quienes realizan una taxonomía muy completa de las propuestas planteadas sobre este tema, de forma paralela el problema del layout de las celdas fue dividido entre el problema del layout intra celdas como lo plantean Hamann y Vernadat (1992), que tratan este problema analizando la influencia del sistema de manejo de materiales en la forma del layout. Y el layout entre celdas como la propuesta de Elwany et al.,(1997), donde se soluciona este problema empleando un algoritmo de mejora que trabaja en tándem con un algoritmo de recocido simulado, o la propuesta de Solimanpur et al.,(2004) que emplea optimización por colonia de hormigas (ACO Ant Colony Optimization). Existen propuestas que solucionan los dos problemas(el layout inter e intra celdas) como la de Kaebernick y Barzagan-Lari (1996) que lo hacen de forma secuencial empleando programación por objetivos y recocido simulado, o de forma simultánea (Ho y Liao,2011)(Wu et al., 2007), en este sentido las propuestas que solucionan el problema del layout de las celdas de manufactura de forma secuencial, primero formando las celdas y posteriormente definiendo el layout, logran por lo general soluciones óptimas para la formación de las celdas pero sub-óptimas para el layout , razón por la cual es preferible el esquema de solución simultanea de los dos problemas. Finalmente trabajos como el de Solimanpur et al., (2004b), proponen la solución de este problema en su forma multi-objetivo (formación de las celdas y el layout inter e intra celdas) empleando un algoritmo genético.

Adicionalmente este problema tiene un atractivo particular por su complejidad razón por la cual se pueden realizar aportes en la mejora de los métodos de optimización empleados en su solución en dos aspectos, el primero mejorando la convergencia a soluciones óptimas, y el segundo es reduciendo el tiempo necesario para lograr soluciones óptimas. Las mejoras en esta vía han sido posibles empleando técnicas meta-heurísticas de optimización, en este trabajo se planteó la solución del problema del layout de las celdas de manufactura empleando algoritmos híbridos discretos basados en algoritmos genéticos y forrajeo de bacterias, aprovechando las fortalezas de los dos con el objetivo de solucionar el problema del layout de las celdas de manufactura de forma simultánea mediante dos propuestas: la primera mono-objetivo y la segunda multi-objetivo.

Objetivos

A continuación se presentan los objetivos propuestos para este trabajo.

Introducción 3

Objetivo general

Desarrollar un modelo que determine el layout de una celda de manufactura a partir de optimización.

Objetivos específicos

Determinar las principales variables del escenario de las celdas de manufactura para optimizar el layout de las mismas.

Definir el proceso de optimización para encontrar la mejor disposición del layout de las celdas de manufactura.

Implementar numéricamente el modelo y evaluar su desempeño.

Contribuciones

Como resultados de este trabajo se obtuvieron dos modelos basados en optimización para la solución del problema del layout de las celdas de manufactura, el primero mono-objetivo fue solucionado mediante un algoritmo desarrollado en este trabajo que se denominó DHBFGA Discrete Hybrid Bacterial Foraging Genetic Algorithm, el segundo multi-objetivo que se solucionó con una versión discreta e híbrida del BCMOA Bacterial Chemotaxis Multiobjective Optimization Algorithm DH-BCMOA. Los dos algoritmos propuestos están basados en algoritmos genéticos y forrajeo y quimiotaxis de bacterias.

1. El problema del layout

El problema del layout de instalaciones consiste, de forma general, en la ubicación en estas de los departamentos que las conforman y al interior de estos, de los procesos y equipos que permiten el funcionamiento del sistema de manufactura o de servicios (Singh y Sharma, 2006). De esta forma el layout define la distribución espacial de los elementos al interior de la instalación, actuando como la estructura física del sistema sobre el cual se integran e interactúan todos sus componentes con los flujos y movimientos de los materiales, la ubicación de las máquinas o procesos, la mano de obra y el edificio. Adicionalmente, el layout afecta la administración del sistema y los costos de producción ya que una buena distribución puede disminuir en alrededor de un 30% el lead time (Mejía, Lara y Córdoba, 2010).

Dada su importancia, el layout en la manufactura ha sido un problema activamente investigado desde los años 50 (Heragu, 1997) que ha ido evolucionando con el tiempo gracias a los aportes de varios investigadores, desde la propuesta del modelo de asignación de Koopmans y Beckmann (1957) basada en QAP (quadratic assignment problem), pasando por los modelos de Heragu y Kusiak (1991), hacia soluciones que emplean algoritmos genéticos (Aiello, Enea y Galante, 2006) (Balakrishnan y Cheng, 2000) (El-Baz, 2004).

1.1 Definición del problema del layout

La determinación del espacio físico y su distribución para realizar una actividad productiva es un problema frecuente en la historia de la producción, en especial para la industria de manufactura, donde recursos como el espacio, los materiales y el tiempo son limitados y costosos (Tompkins et al., 2006). Este problema fue planteado formalmente por Koopmans y Beckman (1957) quienes definieron el problema del layout como un asunto industrial enfocado a la ubicación de las plantas de producción para minimizar el costo del transporte entre estas y lograr la mayor rentabilidad o ganancia. Posteriormente y en un sentido más general Askin y Standridge (1993) plantean este problema como la asignación de cada departamento de una fábrica a una ubicación específica en esta, lo cual concuerda con el planteamiento de Singh y Sharma (2006). Para ellos el problema consiste en encontrar el arreglo más eficiente para “n” fábricas en “n” ubicaciones. Una definición más detallada del problema del layout fue planteada por Drira, Pierreval y Hajri-Gabouj (2007) quienes presentan las múltiples variaciones que este puede asumir, las cuales dependen de factores como los volúmenes de producción, las características de los productos, la geometría del espacio, los sistemas de manejo de materiales, el uso de múltiples pisos o niveles en la construcción y la consideración estática o dinámica del problema, a partir de estos factores es posible realizar una taxonomía general del problema como se expone a continuación.

6 Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de

optimización

1.1.1 Volúmenes de producción y variabilidad de los productos

Dos de los principales factores que definen un layout son los volúmenes de producción y las características de los productos, al considerarlos conjuntamente se pueden encontrar distribuciones de planta o layouts (Companys y Corominas, 1998) por proceso, por producto, fijas y en celdas de manufactura.

Las distribuciones de planta por proceso (Job shop layout) se distinguen por agrupar las actividades y máquinas similares de acuerdo al proceso que realizan. Esta configuración es clásica de los talleres y es aplicable a volúmenes de producción bajos con productos variables, sin embargo obliga al transporte de los materiales por los diversos centros de trabajo de la fábrica (Tomelin y Colmenero, 2010).

Las distribuciones de planta por producto (flow shop layout) disponen los equipos o procesos de forma lineal, organizándolos para la elaboración de un producto o una línea de productos de forma continua. Esta configuración es apta para productos en serie y en volúmenes grandes de producción como los automóviles o los electrodomésticos. Es mucho más rígida que la anterior y su flujo depende de la estación de trabajo con el mayor tiempo ciclo de operación.

Las distribuciones de planta denominadas fijas se emplean en la fabricación de productos que por su tamaño no es posible movilizar fácilmente, como los barcos y aviones.

Por último tenemos las celdas de manufactura que es un concepto que se fundamenta en la filosofía de tecnología de grupos (Singh, 1996) que se basa en la agrupación de partes y máquinas a partir de las similitudes en procesos de fabricación entre estas, e implica una mezcla entre las distribuciones por proceso y producto. Esta se caracteriza por la generación al interior de la planta de pequeñas mini fábricas o celdas de manufactura donde se fabrican en un conjunto de máquinas un grupo de piezas llamado familia de partes. Este tipo de configuración es el apropiado para sistemas de manufactura con diversidad de productos y volúmenes de producción variables. De este se desprende el problema del layout inter celdas (Elwany et al., 1997) (Solimanpur, Vrat y Shankar, 2004), intra celdas (Hamann y Vernadat, 1992) y el inter e intra celdas que implica solucionar el problema de la formación de las celdas y luego determinar la posición relativa de las máquinas al interior de las mismas (intra cell layout problem) y de estas entre sí (inter cell layout problem) (Kaebernick y Barzagan-Lari, 1996) (Solimanpur, Vrat y Shankar, 2004b)(Wu et al., 2007)(Ming y Ponnambalam, 2008)(Ariafar et al., 2011)(Ho y Liao, 2011)(Kia et al., 2011)(Mahdavi et al., 2011).

1.1.2 Geometría

Otro factor importante es la geometría con que se plantea el problema, existiendo los layout regulares, siendo en estos la forma rectangular la más empleada (Block layout) (Golmohammadi et al., 2010)(Kim y Kim, 2000) y los irregulares que suelen ser el producto de algoritmos constructivos, que pueden convertirse a layouts de forma regular (block layouts) como lo describe Lee y Kim(2000). Chwif et al., (1998) proponen que el problema puede ser planteado considerando el largo y el ancho de los departamentos o instalaciones a ubicar estableciéndose una relación largo/ancho con el fin de pasar de un problema con geometría irregular a uno regular. Esta misma relación también ha sido empleada por Meller, Narayaman y Vance (1998) considerando la

7

posición y la geometría de los departamentos o instalaciones a ubicar con el fin de evitar el traslape de estos, basándose en el modelo para el problema de programación de tareas a una máquina.

1.1.3 Sistemas de manipulación de materiales

Dada la importancia que tiene el flujo de los materiales y su manipulación, es indispensable considerarlo en el diseño del layout conjuntamente con los volúmenes de producción y las características de los productos, ya que definen el uso o no de conveyors, vehículos AGV (automated guided vehicle) y otros sistemas para transportar o manipular los materiales en proceso entre los puestos de trabajo (Kusiak y Heragu, 1987). Este aspecto es muy sensible para el sistema de manufactura porque puede representar entre el 20% al 50% de los costos de manufactura (Tompkins, et al., 2006), y es crítico en los sistemas flexibles de manufactura (Flexible Manufacturing Systems FMS). En este sentido el problema se transforma en la ubicación de los departamentos, equipos y procesos de tal forma que se maximice el flujo de los materiales y la selección del mejor sistema para transportar y manipular los materiales en proceso, que implícitamente definirán un tipo de arreglo geométrico para las máquinas que contempla la dimensiones de estas y su orientación (machine layout problem MLP) (Devise y Pierreval, 2000)(Heragu y Kusiak, 1988).

Dependiendo del sistema de manejo de materiales se encuentran principalmente los siguientes arreglos de layout: de una sola fila (single row layout), múltiples filas (multi rows layout), circular (loop layout) o en anillo y de campo abierto (open field layout) (Yang, Peters y Tu, 2005).

El layout de una sola fila ocurre cuando se ubican los departamentos y/o equipos a lo largo de una línea, que puede ser recta, semicircular o en U (Djellab y Gourgand, 2001) (Ficko, Brezocnick, y Balic, 2004) (Kim, Kim, y Foote, 1996) (Kumar, Hadjinicola, y Lin, 1995). En el layout circular (loop layout) las máquinas se ubican alrededor de un anillo cerrado y las partes fluyen en un sentido teniendo un punto de entrada y uno de salida fijos (Cheng y Gen, 1998) (Cheng, Gen, y Tosawa, 1996) (Nearchou, 2006)(Potts y Whitehead, 2001). El problema de múltiples filas (multi rows layout) implica un flujo de materiales siguiendo varias líneas que pueden estar o no dispuestas de forma paralela (Ficko, Brezocnick, y Balic, 2004) (Kim, Kim, y Foote, 1996). El layout de campo abierto (open field layout) corresponde a situaciones donde no existen restricciones o condiciones para la ubicación de las máquinas como en los casos anteriores (Yang, Peters y Tu, 2005).

1.1.4 Múltiples pisos

Cuando se presenta la situación de falta de espacio físico frecuente en zonas urbanas, se puede cubrir esta necesidad con soluciones verticales que implican construcciones de múltiples pisos en los cuales se ubican las máquinas, generando flujos horizontales y verticales de materiales, este problema es conocido como layout de múltiples pisos (multi floor layout) (Kochhar y Heragu, 1998).

Una primera definición de este problema la dio Johnson (1982) quien plantea el problema como la definición de la ubicación relativa de las máquinas en los diferentes pisos, además SPACECRAFT considera las velocidades y costos de los movimientos, y la no linealidad de los tiempos en los movimientos verticales. Bozer, Meller, y Erlebacher (1994) proponen un algoritmo de mejora para este problema que conjuntamente con el trabajo de Johnson (1982) están basados en CRAFT (Armour y Buffa, 1963), Bozer, Meller, y Erlebacher (1994) y Meller y Bozer (1997) minimizan el costo del transporte considerando los movimientos horizontales y verticales de los materiales en


optimización

proceso. La propuesta de Lee, Roh, y Jeong (2005) soluciona este problema considerando la existencia de estructuras al interior de cada piso como paredes, pasillos y aborda el uso de elevadores, que son analizados con mayor profundidad por Matsuzaki, Irohara, y Yoshimoto (1999), quienes determinan su ubicación y cantidad a través de un algoritmo basado en recocido simulado (SA Simulated annealing) y algoritmos genéticos AG, que considera la capacidad de cada elevador como restricción para evitar sobrecargas y exceso o subutilización. De la misma forma la cantidad de pisos puede ser conocida (Lee, Roh, y Jeong, 2005) o indeterminada, lo mismo que el área de estos y la orientación de las máquinas (Patsiatzis y Papageorgiou, 2002) dependiendo del área y las dimensiones de las máquinas.

1.1.5 Problemas estáticos y dinámicos

En los abordajes previos no se había considerado la dimensión temporal en el problema del layout, en la mayoría de los casos, variables como los volúmenes de producción y las características de los productos se asumen estáticas, sin embargo las organizaciones deben adaptarse a los cambios en el mercado desarrollando productos para atender la demanda de los consumidores durante las diferentes épocas del año, esta situación genera que varíen los productos y procesos y por tanto se vea afectado el layout. Esto lleva al concepto del problema del layout dinámico que considera los cambios en los flujos de materiales para múltiples periodos de tiempo (Balakrishnan y Cheng.2000) (Balakrishnan et al., 2003) (Braglia, Zanoni, y Zavanella, 2003). El layout para este problema consiste en una serie de layouts donde cada layout está asociado con un periodo de tiempo particular (semanas, meses o años). El objetivo puede plantearse como la determinación del layout para cada periodo de tiempo minimizando los costos de manejo de materiales para todos los periodos (Balakrishnan et al., 2003) (Baykasoglu, Dereli, y Sabuncu, 2006).

1.2 Planteamiento del problema del layout

Como se ha presentado, el problema del layout de instalaciones tiene múltiples variaciones, cada una de la cuales puede ser solucionada con diversas técnicas que se emplean dependiendo de la forma como sea planteado el problema, sus variables y sus funciones objetivo. Inicialmente la propuesta de Koopmans y Beackman (1957) formuló un problema de asignación cuadrático (QAP) minimizando el costo del transporte de los materiales, con el fin de incrementar las ganancias, este planteamiento se conservó en el tiempo siendo uno de los principales aspectos a considerar en la formulación del problema, que se alimentara de otros objetivos en la medida que se transforma del problema general a una de sus formas particulares. Sin embargo el planteamiento fundamental del problema del layout de instalaciones como se expone a continuación implica analizar tres aspectos esenciales que están interrelacionados y son descritos por Ficko, Brezocnik y Balic (2004): el primero concerniente a la concepción del espacio físico en el problema del layout, el segundo la evaluación del desempeño del layout y el tercero, el método que se emplea para dar solución al problema planteado.

1.2.1 El espacio físico en el planteamiento del problema del layout

La concepción del espacio físico, implica considerar la forma, ubicación, orientación y cantidad de las entidades a ubicar (Ficko, Brezocnik y Balic, 2004). En general se han utilizado tres conceptos:

9

representación discreta, continua y mixta. La representación discreta divide el espacio en ubicaciones previamente definidas de forma arbitraria a las cuales se asignan las entidades (una en cada ubicación) (Figura 1-1) (Cheng y Gen, 1998) (Solimanpur, Vrat y Shankar 2004) (Cheng, Gen, y Tosawa, 1996) (Nearchou, 2006). De esta forma se define un problema de optimización combinatorio de variables discretas en el cual el espacio de búsqueda son las posibles permutaciones de las entidades a ubicar, utilizando formas regulares principalmente rectángulos para cada ubicación y que establece como parámetros de entrada las matrices con las distancias y costos de operación. Esta representación generalmente se modela como QAP.

Figura 1-1 Representación discreta del espacio

Asumir el espacio del layout como un continuo permite ubicar y orientar las entidades dentro de este de forma libre (Figura 1-2), empleando las geometrías de estos y los criterios o restricciones que se establezcan para determinar la mejor solución. En este caso las coordenadas de la ubicación de cada entidad a ubicar son continuas y actúan como una salida del modelo, lo mismo que las distancias y los costos de operación (Patsiatzis y Papageorgiou, 2002)(Ficko, Brezocnik y Balic, 2004) (Xie y Sahinidis, 2008). Generalmente el problema se reduce a determinar la ubicación más adecuada para un conjunto de entidades, buscando optimizar el desempeño del layout minimizando los recorridos y el espacio requerido. Los problemas de este tipo se modelan con programación entera mixta como la propuesta de Patsiatzis y Papageorgiou (2002), la cual determina para una planta industrial simultáneamente el número de pisos necesarios, su área, ubicación y el layout detallado de cada uno de estos.

Figura 1-2 Representación continua del espacio


optimización

El planteamiento mixto del espacio mezcla las dos formas anteriores, en este las coordenadas de las entidades a ubicar se mueven en un espacio continuo que está limitado por restricciones como la ubicación de columnas, muros, pasillos o entidades que no se pueden mover o modificar (por ejemplo equipos de gran tamaño), también la forma y dimensiones de las entidades a ubicar restringe las posibilidades de asignación a los espacios disponibles. Los proyectos de adecuación o actualización del layout están en esta categoría, o problemas como el layout de un barco (Kaebernick, Barzagan-Lari y Arndt, 1996) (Lee, Roh, y Jeong, 2005). Este planteamiento también puede proponerse de forma inversa primero por la discretización del espacio para generar áreas específicas que cumplan con ciertas necesidades de espacio y luego al interior de cada una de estas ubicar las entidades determinando su posición dentro de este espacio continuo (Yang, Peters y Tu, 2005). Los problemas planteados de esta forma manejan variables discretas y continuas.

1.2.2 La evaluación del desempeño del layout

La evaluación del layout consiste en establecer el desempeño de este frente a un escenario determinado para el cual fue diseñado, generalmente se realiza empleando tres tipos principales de métricas: la primera, a través de una función de costo la cual generalmente está ligada a la minimización del costo de transporte y es la más empleada (Chwif et al., 1998) (Kochhar y Heragu, 1998) (Djellab y Gourgand, 2001). La segunda considerando las relaciones entre los dispositivos o entidades a ubicar en el layout (Mejía, Lara y Córdoba, 2010) generalmente a través de métodos gráficos. Por último optimizando el layout considerando varios criterios basados en las dependencias que existen entre los elementos o entidades a ubicar como lo son su posición, orientación, vecindad inmediata, las trayectorias y distancias de los movimientos entre ellas y el área necesaria (Kaebernick et al., 1996) (Liang y Chao, 2008). Entre los criterios evaluados se incluye la minimización del transporte y manipulación de materiales o la maximización del rendimiento del sistema de producción balanceando los puestos de trabajo (Potts y Whitehead, 2001), otros incluyen la cuantificación de la robustez del layout (Braglia, Zanoni y Zavanella, 2003), el uso de indicadores para determinar el sistema de manejo de materiales o la flexibilidad (Devise y Pierreval, 2000). Este planteamiento requiere la formulación de problemas multiobjetivo que se resuelven simultáneamente (Solimanpur et al., 2004b) o secuencialmente cuando una etapa alimenta a la siguiente (Kaebernick et al., 1996) (Elwany et al., 1997) (Potts y Whitehead, 2001), o se llevan a un problema mono-objetivo a través del uso de factores de penalización (Lee, Roh, y Jeong, 2005) para resolverlo simultáneamente.

En cuanto a las restricciones manejadas en estos problemas se destacan las de unicidad que implican que cada entidad es asignada a una determinada ubicación y viceversa, las asociadas con las dimensiones y fronteras del espacio disponible y la ubicación de elementos tales como pasillos, muros, ascensores, etc., otras que restringen la orientación de las entidades, o determinan los puntos de carga y descarga, también aquellas relacionadas con el flujo que buscan evitar los retrocesos o contra flujos y en el caso del balanceo de las cargas de trabajo, la consideración del tiempo de proceso por estación para evitar cuellos de botella.

1.2.3 Métodos de solución

La solución del problema del layout está ligada al planteamiento del problema, sus variables y su métrica de desempeño. Las cuales limitan su posible solución a un conjunto de técnicas o metodologías que permitan encontrar soluciones satisfactorias dentro del espacio de búsqueda factible. Es posible identificar procedimientos exactos como los métodos basados en ramificación

11

y acotamiento (Branch and Bound) para solucionar problemas formulados como QAP que asumen el espacio discreto. Procedimientos heurísticos como los algoritmos constructivos y de mejora. En los métodos constructivos los dispositivos o entidades son ubicados progresivamente uno tras otro hasta que el layout completo es obtenido como lo realiza CORELAP (Computerized relationship layout planning) (Lee y Moore, 1967), y ALDEP (Automated Layout Design Program) (Seehof y Evans, 1967). Los algoritmos de mejora como CRAFT (Armour y Buffa, 1963) y otras propuestas basadas en este como SPACECRAFT (Johnson, 1982) y MULTIPLE (Bozer, Meller, y Erlebacher, 1994), en los cuales se parte de una solución dada y esta se va mejorando hasta cumplir con el criterio de parada del algoritmo. También se han utilizado técnicas meta-heurísticas como algoritmos genéticos (AG) (Cheng, Gen, y Tosawa, 1996) (Cheng y Gen, 1998) (Kochhar y Heragu, 1998) (Ficko, Brezocnick, y Balic, 2004) (Wu et al., 2007), recocido simulado (SA) (Hamann y Vernadat, 1992), optimización por colonia de hormigas ACO (Solimanpur, Vrat y Shankar, 2004) y propuestas mixtas empleando por ejemplo programación por objetivos no lineal y recocido simulado (Elwany et al., 1997), programación entera mixta y recocido simulado (Yang, Peters y Tu, 2005), recocido simulado y algoritmos genéticos (Matsuzaki, Irohara, y Yoshimoto, 1999), algoritmos genéticos (AG) con optimización con enjambre de partículas (particle swarm optimization PSO) para el diseño concurrente de un sistema de manufactura celular (Ming y Ponnambalam, 2008). Esta variedad en las técnicas empleadas como también el uso de propuestas hibridas o mixtas se debe a que el problema del layout es un problema combinatorio del tipo NP hard, por esta razón el desempeño de los métodos de solución ha sido una de las limitantes para el abordaje de problemas de características reales y genera un continuo desarrollo de métodos y técnicas que permitan solucionar problemas más complejos de forma más ágil.

1.3 El layout de las celdas de manufactura

Como se describió anteriormente la definición del layout de las celdas de manufactura requiere formar las celdas, y definir el layout inter e intra celdas. A continuación se abordan estos problemas por separado para finalmente procesarlos simultáneamente.

1.3.1 La formación de las celdas de manufactura

La implementación de celdas de manufactura inicia con la formación de grupos de máquinas y familias de partes. En este proceso se agrupan las partes en familias a partir de las similitudes que tienen estas en sus procesos de fabricación y las máquinas se agrupan en celdas siguiendo las similitudes en las piezas que en ellas se fabrican. Dicho proceso puede realizarse de forma secuencial o simultánea para obtener las celdas de manufactura y las familias de partes. Este proceso comúnmente se basa en matrices de incidencia (�)(ver tabla 1-1) que relacionan las partes con las máquinas (donde� = 1 si la parte “�” es procesada por la máquina “�”, en otro caso � = 0) (tabla 1-1). Estas matrices se construyen a partir de las rutas de fabricación de los productos.

Selim, Askin, y Vakharia (1998), clasifican los procedimientos de formación de las celdas en: métodos descriptivos, análisis de agrupamiento, partición gráfica, programación matemática e inteligencia artificial. Papaioannou y Wilson (2010) añaden a esta clasificación los métodos con algoritmos heurísticos y meta heurísticos, de forma similar Yin y Yasuda (2006) describen y clasifican las propuestas basadas en coeficientes de similitud que son uno de los tipos de técnicas basadas en análisis de agrupamiento.


optimización

Tabla 1-1 Matriz de incidencia de 7 máquinas y 11 partes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 12 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 03 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 04 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 05 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 16 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 17 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0

PartesM

áqui

nas

En general, los procedimientos descriptivos se pueden clasificar en tres tipos principales. El primero, hace referencia a la identificación de las familias de partes (PFI, part family identification) en el cual se inicia el proceso de formación de celdas identificando y codificando visualmente las familias de partes para posteriormente asignar las máquinas a las familias. El segundo tipo, denominado identificación de los grupos de máquinas (MGI, machine group identification), identifica primero las celdas y asigna las partes a estas, actuando de forma inversa al anterior. El tercer tipo de los procedimientos descriptivos, identifica simultáneamente las familias de partes (PF, part family) y los grupos de máquinas o celdas (MG, machine group).

En el análisis de agrupamiento se emplean diversas técnicas para el reconocimiento de diferentes estructuras en un conjunto de datos complejos. El objetivo principal de esta técnica es la agrupación de diferentes objetos o entidades a partir de sus atributos de tal manera que los elementos individuales dentro de un grupo (cluster), tienen un alto grado de ''asociación natural " entre sí y muy poca ''asociación natural" con los demás grupos o celdas. Los procedimientos basados en análisis de agrupamiento pueden clasificarse en: técnicas basadas en arreglos de la agrupación, técnicas de agrupamiento jerárquico y técnicas de agrupamiento no jerárquico.

Los métodos de partición gráfica, emplean grafos en los cuales se representan las máquinas y / o partes como vértices y las operaciones o procesamiento de las piezas en forma de arcos que conectan estos nodos. Estos modelos tienen por objeto la obtención de sub-grafos desconectados para identificar así las celdas de manufactura.

Los métodos de programación matemática se pueden clasificar en cuatro grandes grupos dependiendo de la formulación del problema: (a) programación lineal (LP Linear programming), (b) programación lineal y cuadrática entera (LQP Linear and quadratic programming), (c) programación dinámica (DP Dynamic programming), y (d) programación por metas (GP Goal programming). Berardi, Zhang y Offodile (1999) formularon un modelo basado en programación matemática que considera adicionalmente el impacto de los elementos excepcionales.

Entre las propuestas basadas en inteligencia artificial se destaca la planteada por Sudhakara Pandian y Mahapatra (2009) quienes presentan un algoritmo basado en redes neuronales ART1 (adaptive resonance theory) para formar las celdas de manufactura considerando adicionalmente los tiempos de proceso y la secuenciación de operaciones.

Los métodos heurísticos gozan de popularidad por sus numerosas aplicaciones prácticas, y por ofrecer una alternativa de solución a los problemas con respuestas sub-óptimas en un tiempo razonable. Un ejemplo típico de esta estrategia es el algoritmo HERBAL (heuristics rules-based

13

logic) (Vitanov et al., 2008), que identifica las celdas y familias a través de la manipulación de la matriz de incidencia.

Las técnicas meta heurísticas han sido desarrolladas para solucionar problemas NP-Hard de optimización combinatoria. En esta categoría se clasifica precisamente el problema de la formación de celdas para el cual se han empleado técnicas meta heurísticas entre las que se destacan el recocido simulado (SA Simulated annealing), la búsqueda tabú (TS Tabu search), los algoritmos genéticos (GA Genetic algorithms), optimización por colonia de hormigas (ACO Ant colony optimization) y optimización por enjambre de partículas (PSO Particle swarm optimization). Ahí et al., (2009) hacen una propuesta mixta proponiendo la formación de las celdas de manufactura a través de la implementación de los métodos SAW (simple additive weithting) y TOPSIS (technique for order preference by similarity to ideal solution) considerando la secuencia de operaciones. Noktehdan, Karimi y Husseinzadeh Kashan (2010) emplean un algoritmo de evolución diferencial minimizando los movimientos entre celdas y comparando su desempeño con un algoritmo genético de agrupamiento. Goncalves y Resende (2004) presentan una propuesta con algoritmos evolutivos y Tariq, Hussain y Ghafoor (2009) proponen un algoritmo hibrido que utiliza LSH(local searchheuristic) y AG para la formación de celdas de manufactura, Saeedi, et al., (2010) propusieron un modelo matemático para el problema de la formación de celdas de manufactura y compararon los resultados que obtuvieron solucionando su modelo con AG, ACO y SA, sus resultados demostraron que los AG fueron el método más efectivo en la solución del problema de la formación de las celdas.

Métricas de agrupamiento

Uno de los aspectos importantes en la formación de las celdas de manufactura es definir la calidad del agrupamiento obtenido, para lo cual se han desarrollado varias métricas de agrupamiento que miden el desempeño de este en la formación de celdas de manufactura, estas métricas pueden ser empleadas también como función objetivo para solucionar este problema. En este caso el problema consiste en generar una matriz con un bloque diagonal con dígitos binarios. Cada bloque es una sub-matriz de la matriz de incidencia máquinas-partes formada por la intercepción de filas que representan una celda de manufactura y columnas que representan una familia de partes. En este caso un espacio vacante es un elemento cero “0” que aparece en el bloque diagonal y un elemento excepcional es un elemento uno “1” que aparece fuera del bloque diagonal. Estos últimos elementos generan movimientos de partes de una celda a otra para ser procesadas. A continuación se presentan algunas de las más conocidas métricas de agrupamiento:

Eficiencia de agrupamiento

Chandrasekharan y Rajagopalan (1986) propusieron la primera métrica cuantitativa de la calidad de una solución, llamada eficiencia de agrupamiento (� Grouping efficiency), esta se define como el promedio ponderado de dos funciones,

� = �� + (1 − �)�� (1.1)

Donde �� es la relación del número de unos “1” en el bloque diagonal respecto al total del número de elementos en el bloque diagonal ceros “0” más unos”1”, �� es la relación entre número de ceros “0” fuera del bloque diagonal sobre el total de unos “1” y ceros “0” fuera de la diagonal, y � es un factor de ponderación (0 ≤ � ≤ 1). Siendo (�) el número total de unos “1” en la matriz de incidencia, (�) es el número total de ceros “0” en la matriz de incidencia, (��) es el número de unos “1” en el bloque diagonal, (��) es el número de elementos vacantes ceros “0” en el bloque diagonal, y (� ) es el número de elementos


optimización

excepcionales fuera del bloque diagonal, entonces la eficiencia de agrupamiento se puede expresar de la siguiente forma:

� = � ! "#"#$"%& + (1 − �) ! '("%('("%)$("("#)& (1.2)

Eficacia de agrupamiento

Kumar y Chandrasekharan (1990) propusieron otra métrica llamada eficacia de agrupamiento, la cual supera las debilidades de la eficiencia de agrupamiento, dando igual importancia a los elementos vacantes como a los excepcionales. Esta se define de la siguiente forma:

Γ = �(*�$+ = "(","$"% (1.3)

Donde - es la relación entre el número de elementos excepcionales (� ) y el total del número de operaciones en la matriz de incidencia (�), - = "," .y. es la relación entre el número de espacios

vacantes en el bloque diagonal (��) y el total del número de operaciones en la matriz de incidencia (�),. = "%" .

Eficacia de agrupamiento modificada

Sandbothe (1998) estudió el efecto de la degeneración del bloque diagonal en la eficacia de agrupamiento. Su revisión de las soluciones reveló resultados ilógicos en el bloque diagonal como columnas que contenían únicamente ceros, lo que conlleva a soluciones degeneradas. Para solucionar estos casos propuso la siguiente versión de la eficacia de agrupamiento:

Γ� = /(",/$"% (1.4)

Donde 0 es el número de elementos (unos “1”) en el bloque diagonal de la matriz solucionada. Posteriormente con el fin de evaluar el impacto del número de elementos vacantes y el número de elementos excepcionales, introdujo un factor de ponderación (�) a la expresión de la eficacia de agrupamiento de la siguiente forma:

Γ� = /(1"%$(�(1)",/$1"%$(�(1)", (1.5)

Índice de agrupamiento

Nair y Narendran (1996) introdujeron una métrica para superar los inconvenientes de la versión modificada Γ�, ellos incorporaron un factor de corrección a Γ� como se expone a continuación:

Γ2 = /(1"%$(�(1)(",(3)/$1"%$(�(1)(",(3) (1.6)

Donde 4 es un factor de corrección con 4 = 0 si �' ≤ 0, y 4 = �' − 0 si �' > 0. Esta métrica denominada índice de agrupamiento supera las limitaciones de las anteriores propuestas y ofrece una ponderación igual para los elementos vacantes y excepcionales.

15

Eficacia de agrupamiento ponderada

La eficacia de agrupamiento ponderada 6, es una métrica propuesta por Ng (1993) para las matrices de incidencia particionadas:

6 = 1("(",)1("$"%(",)$(�(1)", (1.7)

Esta métrica surgió del análisis realizado del inverso de la eficacia de agrupamiento �7 = �$+�(* ≥ 1,

a partir del cual se determinó que la penalización impuesta a un elemento excepcional siempre es mayor que la impuesta a un elemento vacante en el bloque diagonal, para equilibrar esta situación se introdujo el factor �.

Índice de capacidad de agrupamiento GCI

Hsu (1990) presentó el índice de capacidad de agrupamiento GCI (Grouping Capability Index) como una métrica de eficiencia que evalúa primordialmente la relación entre los elementos en el bloque diagonal respecto al total de elementos de la matriz de incidencia, no incluyendo los ceros de la matriz de incidencia a diferencia de la eficiencia y eficacia de agrupamiento que si los contemplan. Este se define como:

9:; = 1 − "," (1.8)

Métrica de agrupamiento doblemente ponderada <=

Considerando la construcción estructural y la evaluación del bloque diagonal de la matriz de incidencia Sarker (2001) desarrolló la métrica de agrupamiento doblemente ponderada, en esta existen dos términos ponderados de eficiencias, donde el primer término indica la ponderación de la eficiencia al interior del bloque diagonal (�>), y el segundo término indica la ponderación de la eficiencia relativa (�') de los elementos fuera del bloque diagonal, para cualquier matriz de incidencia. Esta se define así:

�? = �>�' (1.9)

�? = !1#"#$(�(1#)"%"#$"% & !1@"#$(�(1@)","#$", & (1.10)

Donde �� y �� son factores de ponderación que varían entre 0 y 1 (0 ≤ (��, ��) ≤ 1).

Finalmente estas métricas pueden clasificar de forma comparativa las soluciones obtenidas por un determinado método, propiedad que les brinda la capacidad de ser empleadas como función objetivo, forma en la cual se aplican en este trabajo.

1.3.2 El layout intra e inter Celdas de Manufactura

Posteriormente a la formación de las celdas de manufactura es necesario resolver el problema del layout intra e inter celdas de manufactura, que consiste en la asignación de las máquinas o procesos que conforman las celdas a una posición determinada dentro de estas, las cuales deben ser también asignadas a una determinada posición respecto al resto de celdas. Este problema dependiendo de la forma como se plantee y los objetivos adicionales que se persigan puede catalogarse en cualquiera de las clasificaciones antes expuestas. Pero el planteamiento general se basa principalmente en la


optimización

minimización del costo del transporte y el manejo de materiales, que está directamente relacionado con el sistema de manejo de materiales, este aspecto es muy importante ya que de él depende la forma que puede tomar el layout al interior de la celda, como lo describen Hamann y Vernadat (1992). Las características de las piezas como su material, forma, dimensiones, peso, cantidad y otras, restringen la forma como deben ser manipuladas estas, pasando de un sistema con manipulación manual realizada por los operarios al uso de conveyors, vehículos AGV, robots u otros. Por ejemplo si se emplean conveyors se pensaría en máquinas dispuestas de forma lineal (ver figura 1-3), en el caso de una disposición circular podría usarse un robot o un carrusel (ver figura 1-4).

Figura 1-3 Celda con máquinas dispuestas de forma lineal empleando un conveyor o banda transportadora

a) b)

Figura 1-4 Celda con máquinas dispuestas de forma circular. Empleando un carrusel (a) o un robot (b).

El sistema de manejo de materiales determina cómo se tratan los casos de los retrocesos, si son o no permitidos y los movimientos entre celdas o secciones, que se relacionan directamente con los puntos de carga y descarga de los materiales a la celda como lo presenta Tavakkoli-Moghaddam (2003), quien emplea un algoritmo genético para minimizar el costo del transporte y manejo de los materiales buscando lograr la mejor ubicación de los puntos de cargue y descargue de los materiales. Finalmente la posición que ocupará cada máquina en la celda puede manejarse considerando el espacio discreto, caso en el cual cada máquina se asigna a una posición determinada previamente, o manejando el espacio de forma continua donde se determinan las coordenadas de la posición de cada máquina.

El problema del layout entre celdas puede ser planteado considerando las relaciones existentes entre las celdas (que pueden ser cuantitativas o cualitativas) como lo plantean Elwany et al., (1997), ellos emplean un algoritmo de mejora que trabaja en serie con un algoritmo de recocido simulado para establecer la posición de las celdas entre sí. Otra forma es plantearlo considerando los flujos de materiales entre las celdas como un problema de asignación, como lo presentan Solimanpur, Vrat y Shankar (2004), que solucionan mediante un algoritmo basado en ACO un problema QAP.

M1

M2

M3

M4

M5

M5

M6

M1

M2

M3

M4

M1 M2 M 3 M 4

Conveyor

17

1.3.3 El layout de las celdas de manufactura

Finalmente tenemos la solución simultánea de la formación de las celdas de manufactura y el layout intra e inter celdas, forma en la cual se puede apreciar la naturaleza multi-objetivo del problema. La solución puede plantearse de dos formas la primera es llevar el problema multi-objetivo a uno mono-objetivo, integrando en la función objetivo la formación de las celdas y la definición del layout que como se vio anteriormente se logra a través de la minimización del costo de transporte y manipulación de materiales como lo presentan Ming y Ponnambalam (2008), quienes emplean un algoritmo híbrido PSO-GA, Ariafar et al.,(2011) emplean recocido simulado, Ho y Liao (2011) emplean programación lineal para resolver su modelo considerando las celdas lineales dispuestas como un serpentín, a las cuales les definen los puntos de carga y descarga de materiales, Wu et al., (2007) plantean un modelo que minimiza el costo del transporte y maximiza el agrupamiento de las celdas de manufactura empleando algoritmos genéticos con codificación jerárquica. La segunda es plantear cada función objetivo por separado, como lo presentan Solimanpur et al., (2004b), quienes emplean algoritmos genéticos multi-objetivo considerando las similitudes entre partes, el costo y tiempo de procesamiento, y el costo de adquisición de las máquinas.


optimización

19

2. Optimización

Optimización es el proceso de maximización o minimización de una función objetivo mientras se satisface un conjunto de restricciones (Belegundu y Chandruplata, 1999). En el diseño, construcción y mantenimiento de cualquier sistema de ingeniería, se deben tomar muchas decisiones, donde el objetivo general es reducir al mínimo el esfuerzo y maximizar el beneficio, cumpliendo con las restricciones propias del problema (Rao, 2009).

El estudio de los problemas de optimización es tan antiguo como la ciencia. Se sabe que los antiguos matemáticos griegos resolvieron muchos problemas de optimización. Sin embargo la concepción moderna de optimización tiene sus orígenes en los aportes de Isaac Newton, (1643–1727), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) y Augustin-Louis Cauchy (1789–1857).

El desarrollo de los métodos de optimización basados en el cálculo diferencial, fue posible gracias a las aportaciones que Isaac Newton y Gottfried W. von Leibnitz (1646–1716) hicieron a dicha área. Johann Bernoulli (1667–1748), Leonhard Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange y Karl Weirstass (1815–1897) sentaron los fundamentos del cálculo de variaciones, que lidia con la minimización de funciones. El método de optimización para problemas en espacios restringidos, fue desarrollado por Lagrange, el cual involucra la adición de multiplicadores conocidos hoy en día como multiplicadores de Lagrange en su honor.

En el siglo XX con el desarrollo de las computadoras fue posible la implementación de los algoritmos de optimización existentes y el desarrollo de nuevos métodos. Entre estos el método simplex propuesto por George Danzig en 1947 y el principio de optimalidad para problemas de programación dinámica enunciado en 1957 por Richard Bellman. Lo cual sentó las bases para el desarrollo de métodos de optimización en espacios restringidos. Sin embargo, fue en 1951 con el trabajo de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker sobre condiciones necesarias y suficientes para la solución de problemas de optimización, de las que se derivan las condiciones “KKT” (Karush – Kuhn – Tucker) que se establecieron como fundamentos para el desarrollo de una gran cantidad de investigación en optimización no lineal. Aunque no ha sido encontrada una técnica que solucione todos los problemas de optimización no lineal, los trabajos de C. W. Carroll, Anthony V. Fiacco y Garth P. McCormick, permitieron resolver una amplia gama de problemas complejos con restricciones utilizando funciones de penalización.

La década de los 1960’s se caracterizó por el surgimiento de nuevas técnicas de optimización, con enfoques distintos. La programación geométrica fue desarrollada por R. J. Duffin, C. Zener y E. L. Peterson a principios de los 1960s. Por otro lado, Ralph E. Gomory fue pionero en realizar trabajos sobre programación entera, la cual ha sido una de las áreas de mayor crecimiento en optimización. George Dantzig, Abraham Charnes y William W. Cooper desarrollaron técnicas de programación estocástica y resolvieron problemas en los cuales, se presupone que los parámetros de diseño son independientes y con una distribución normal.


optimización

El deseo de optimizar simultáneamente más de una función objetivo, motivó el desarrollo de métodos multiobjetivo. Entre ellos la programación por metas (goal programming), propuesta por Charnes y Cooper en 1961 para la solución de problemas lineales. La teoría de juegos (la cual guarda relación con la optimización multiobjetivo) cuyos fundamentos fueron estudiados en 1928 por John von Neumann y desde entonces, esta técnica ha sido aplicada para resolver varios problemas de economía.

La segunda mitad del siglo XX y los principios del XXI se han caracterizado por el desarrollo de técnicas heurísticas, que se basan en la naturaleza como el recocido simulado, los algoritmos genéticos, la optimización por enjambre de partículas, la optimización por colonia de hormigas, las redes neuronales y otros. Esta clase de métodos, han dado mejores resultados para los problemas de optimización más complejos, entre ellos los problemas NP-Completos y NP-Hard (muchos de los cuales pertenecen a la optimización combinatoria). Los problemas cuya complejidad está acotada por un polinomio son los denominados problemas P. Un problema pertenece a esta clase si puede ser resuelto en tiempo polinomial por una máquina de Turing determinística (significa que el algoritmo se comporta de manera predecible). Los problemas NP son aquellos que pueden ser resueltos en tiempo polinomial por una máquina de Turing no determinista. También existen los problemas NP completos; en los que los algoritmos que sirven para resolverlos requieren un tiempo exponencial en el peor caso. Y los NP-Hard que son problemas que por lo menos son tan difíciles como un NP-Completo.

2.1 Optimización global o mono - objetivo

El problema general de optimización se puede plantear de la siguiente forma:

minimizar/HI�H�JK L(M) (2.1)

Sujeto a: ℎ(M) = 0� = 1,… ,H (2.2)

P�(M) ≤ 0� = 1,… , Q (2.3)

Donde M = (I�, I�, … , IR) es un vector de S variables de diseño, L es la función objetivo o costo, ℎ� son las restricciones de igualdad y P son las restricciones de desigualdad. Notando que la maximización de L es equivalente a la minimización de – L, adicionalmente se puede transformar la función objetivo a una función fitness o de adaptación sin modificar M a través de la multiplicación, división, suma o resta de constantes positivas. Las restricciones de desigualdad incluyen explícitamente los límites inferiores y superiores de las variables de diseño, por lo cual se puede expresar el problema de optimización en la forma:

minimizar/HI�H�JK L(M) , M ∈ Ω (2.4)

Dónde: Ω = (M:X ≤ Y, Z = Y) Ω es la región factible o el conjunto factible. En problemas sin restricciones, estas no están presentes y la región factible es todo el espacio de búsqueda. Al encontrar una solución es importante definir si es un óptimo, en este sentido aparecen los conceptos de mínimo local y mínimo global.

Una solución I[ ∈ Ω se considera un mínimo local si:

∃] ∈ ^, ] >En otras palabras en una vecindad definida por L_(M) ≤ L(M), por lo cual

Una solución I∗ ∈ Ω se considera un mínimo global si:

De esta forma M∗es un mínimo global si para cualquier valor de puede tomar la función (ver figura 2

Los problemas de optimización se dividen en manejan (Papadimitriou y Steiglitz, 1998)espacios de búsqueda en últimos son denominados proson permutaciones o combinaciones de variables, que tienen espacios de búsqueda finitos, que en algunos casos pueden tender a dimensiones infinitas.

Cuando todas las variables de un problementeros, se denomina un problema de programación enteratomar sólo valores discretos, algunas de las variables sólo se limitan a tomar optimización es llamado un problema diseño de un problema de optimización únicamente puedenproblema de programación

2.1.1

No hay un único método disponible para resolver todos los problemas de optimización de manera eficiente. Por lo tanto se han desarrollado diversos diferentes tipos de problemas de optimización.

> 0:∀I[ ∈ Ω: |M − M| d ] ⟹ L_(M) ≤ L(M)

en una vecindad definida por I ∈ Ω, donde |M − M, por lo cual L_(M) es el valor más pequeño de la función objetivo en la vecindad.

se considera un mínimo global si:

∀M∗ ∈ Ω:L(M∗) ≤ L(M) (2.6)

es un mínimo global si para cualquier valor de M, L(M∗)(ver figura 2-1).

Figura 2-1 Mínimo local y global

Los problemas de optimización se dividen en dos categorías de acuerdo a las variables que (Papadimitriou y Steiglitz, 1998), aquellos que manejan variables continuas

espacios de búsqueda en ^R, con S = |M|. Y aquellos que manejan variables discretas, estos últimos son denominados problemas de optimización combinatoria, donde las posibles soluciones son permutaciones o combinaciones de variables, que tienen espacios de búsqueda finitos, que en algunos casos pueden tender a dimensiones infinitas.

Cuando todas las variables de un problema de optimización se ven obligadas a tomar sólo valores enteros, se denomina un problema de programación entera total. Cuando las variablestomar sólo valores discretos, el problema se llama problema de programaciónalgunas de las variables sólo se limitan a tomar valores enteros (discretooptimización es llamado un problema de programación entera mixta. Cuando todas las variables de

blema de optimización únicamente pueden tomar valores de cero o 1, problema de programación cero-uno (Rao, 2009).

2.1.1 Métodos de optimización

No hay un único método disponible para resolver todos los problemas de optimización de manera eficiente. Por lo tanto se han desarrollado diversos métodos de optimización para resolver diferentes tipos de problemas de optimización. Las técnicas de programación matemática

21

(2.5)

M| d ], existe M tal que es el valor más pequeño de la función objetivo en la vecindad.

( ) es el valor mínimo que

de acuerdo a las variables que variables continuas que manejan anejan variables discretas, estos

blemas de optimización combinatoria, donde las posibles soluciones son permutaciones o combinaciones de variables, que tienen espacios de búsqueda finitos, que en

a de optimización se ven obligadas a tomar sólo valores . Cuando las variables se limitan a

programación discreta. Cuando (discretos), el problema de

. Cuando todas las variables de mar valores de cero o 1, se denomina

No hay un único método disponible para resolver todos los problemas de optimización de manera métodos de optimización para resolver técnicas de programación matemática


optimización

generalmente se estudian como una parte de la investigación de operaciones. La investigación de operaciones es una rama de las matemáticas que trata con la aplicación de métodos científicos y técnicas para la toma de decisiones para establecer las soluciones óptimas. Los inicios de la investigación de operaciones se remontan a la Segunda Guerra Mundial, en la cual los militares británicos se enfrentaron al problema de la asignación de recursos escasos y limitados (por ejemplo, aviones de combate, radares y submarinos) a varias actividades (el despliegue de numerosos objetivos y destinos). Debido a que no existían métodos sistemáticos disponibles para resolver los problemas de asignación de recursos, el ejército pidió a un equipo de matemáticos desarrollar métodos para resolver el problema de una manera científica. Los métodos desarrollados por el equipo más tarde se conocerían como los métodos de investigación de operaciones. En la Tabla 2-1 se enumeran algunos de los principales métodos de optimización.

Tabla 2-1 Principales métodos de optimización (Rao, 2009)

Programación Matemática

Técnicas de Procesos Estocásticos

Métodos EstadísticosTécnicas de optimización

modernas o no tradicionales

Métodos de cálculoTeoría de decisión

estadísticaAnálisis de Regresión Algoritmos genéticos

Cálculo de variaciones Procesos de MarkovAnálisis de Agrupamiento y patrones de reconocimiento

Recocido Simulado

Programación no lineal Teoría de Colas Diseño de ExperimentosOptimización con Colonia de

HormigasProgramación Geométrica

Teoría de renovación Análisis DiscriminativoOptimización por Enjambre de

PartículasProgramación

CuadráticaMétodos de simulación Redes Neuronales

Programación Lineal Teoría de fiabilidad Optimización DifusaProgramación

DinámicaProgramación Entera

Programación Estocástica

Programación Separable

Programación Multiobjetivo

Métodos de redes : CPM y PERT

Teoría de Juegos

Las técnicas de programación matemática son útiles para encontrar el mínimo de una función de varias variables bajo un determinado conjunto de restricciones. Las técnicas de Procesos Estocásticos se pueden utilizar para analizar los problemas descritos por un conjunto de variables aleatorias conociendo las distribuciones de probabilidad de estas. Los métodos estadísticos permiten analizar datos experimentales y construir modelos empíricos para obtener la representación más exacta de la situación física. Finalmente las técnicas de optimización modernas o no tradicionales emulan comportamientos de la naturaleza empleando mecanismos determinísticos y aleatorios para la búsqueda de las soluciones óptimas. A continuación se describen los algoritmos genéticos (AG), la optimización basada en forrajeo de bacterias (BFOA) y un algoritmo híbrido basado en estos últimos, métodos sobre los cuales se basa la propuesta mono-objetivo que se presenta en este documento.

23

2.1.2 Algoritmos genéticos- AG

Los algoritmos genéticos, introducidos por Holland (1975), son algoritmos de búsqueda basados en la mecánica de la selección natural y la genética. Los AG se han aplicado en diversos campos como las matemáticas, ingeniería, biología y ciencias sociales (Golberg, 1989). En los AG se combinan el concepto de supervivencia del más apto con una estructura de intercambio de información al azar para formar un algoritmo de búsqueda robusto. Se procede generando una población inicial de posibles soluciones (individuos o cromosomas), posteriormente se evalúa la adaptación de cada uno de los individuos de la población y se seleccionan algunos de ellos para ser “padres” y reproducirse a través de un operador de cruce. Adicionalmente se emplea un operador de mutación que modifique al azar la composición genética de algunos individuos con el fin de mejorar la diversidad de la población. Los procesos de evaluación, selección, reproducción y mutación se repiten hasta que se alcanza el criterio de terminación o un valor de fitness.

Figura 2-2 Pseudocódigo general del algoritmo genético AG

Los algoritmos genéticos tienen la estructura general que se muestra en pseudocódigo en la figura 2-2, la cual se describe a continuación:

Inicialización

El algoritmo inicia generando de forma aleatoria los cromosomas que representan los individuos de la población.

Evaluación

Se evalúa la función fitness o de adaptación.

Selección

Este proceso de forma general consiste en seleccionar de la población los individuos que se van reproducir por cruzamiento para generar la siguiente generación, este proceso se puede realizar empleando elitismo, caso en el cual se conservan los mejores individuos de cada generación y no se remplazan por los hijos ni se mutan, dejan de pertenecer a la élite cuando otro individuo los supera y toma su lugar, o sin elitismo donde sucede lo contrario. Existen diversos métodos de selección como la ruleta, por torneo, sobrante estocástico, muestreo determinístico y otros (Coello, 2011).

Pseudocódigo AG Begin

Inicialización de parámetros Generación de la población inicial While (criterio de terminación) Evaluación Selección Cruzamiento

Mutación End While

End


optimización

Cruzamiento

En esta función se reproducen los padres seleccionados anteriormente generando los hijos que forman la siguiente generación, y que remplazan a los padres en la población si estos no pertenecen a la élite.

Mutación

En ésta se verifica de forma aleatoria la aplicación de este operador a un individuo determinado siempre que no pertenezca a la élite y que obtenga una probabilidad inferior a la probabilidad de mutación establecida. El objetivo es modificar a un individuo de forma aleatoria para explorar otras zonas del espacio de búsqueda.

Los algoritmos genéticos se han empleado en problemas con variables continuas y/o discretas y se han obtenido buenos resultados con su implementación (Gen y Cheng, 2000). La codificación y los operadores de los algoritmos genéticos implementados en este trabajo se presentan en el capítulo 5.

2.1.3 Bacterial foraging optimization algorithm - BFOA

BFOA (Bacterial foraging optimization algorithm), propuesto por Passino (2002), es un algoritmo que emula el proceso completo de forrajeo de las bacterias E. Coli: quimiotaxis (movimientos de giro y nado), reproducción (duplicación) y eliminación-dispersión. En general, se trata de una estrategia de búsqueda de alimento siguiendo el rastro de concentración de este mediante movimientos de nado y giro de cada bacteria, que se complementa con reproducción por duplicación y eliminación y dispersión de las bacterias. Este algoritmo fue planteado para problemas en espacios continuos.

En la figura 2-3 se presenta el pseudocódigo del algoritmo propuesto por Passino (2002).

Figura 2-3 Pseudocódigo BFOA

Pseudocódigo BFOA Begin

Inicialización de parámetros Generación de la población inicial de bacterias f(�, g, Q)∀�, � = 1, … , h Evaluar la función objetivo a cada bacteriaL(f(�, g, Q))∀�, � = 1,… , h For l=1 to Ned Do

For k=1 to Nre Do For j=1 to Nc Do

For i=1 to S Do Realizar el paso quimiotáctico para cada bacteria f(�, g, Q)

End For End For Realizar reproducción por duplicación

End For Realizar la eliminación y dispersión de las bacterias que tengan una probabilidad < Ped

End For End

25

Los parámetros que se inicializan son: i número de bacterias, jk número de pasos quimiotácticos, jl número de pasos de nado, jmn número de pasos de reproducción, im número de bacterias a reproducir, o(p) tamaño de paso y qnr probabilidad de eliminación – dispersión.

El paso quimiotáctico inicia con la generación de direcciones aleatorias:

s(t) = upvutwut (2.7)

Donde Δy es un vector aleatorio. Después de esto, cada bacteria θy(j, k, l) en su ciclo quimiotáctico (j), en su ciclo de reproducción (k) y en su ciclo de eliminación-dispersión (l) modifica su posición así:

θy(j + 1, k, l) = θy(j, k, l) + C(i)ϕ-(i) (2.8)ϕ(i) es un vector unitario y C(i) es el tamaño de paso. El nado será repetido Ns veces si la nueva posición es mejor que la previa, verificándose para una minimización que:

f(θy(j + 1, k, l)) d L(θy(j, k, l)) (2.9)

Luego de que las S bacterias hayan realizado su paso quimiotáctico se procede al paso de reproducción que consiste en realizar S/Sr (Passino recomienda S/Sr = 2) copias de las mejores bacterias θy(j, k, l), de acuerdo a su valor de función objetivo f(θy(j, k, l)). El paso de eliminación-dispersión consiste en eliminar cada bacteria θy(j, k, l)∀i,i = 1, . . . Sque obtenga una probabilidad menor a Ped (probabilidad de eliminación – dispersión 0 d �� d 1) y generar de forma aleatoria una nueva bacteria en una nueva ubicación.

La búsqueda de alimento en cúmulos como lo realizan las bacterias en la realidad requiere de capacidades de comunicación, que en este caso se logran mediante una función de atracción y repulsión L�� , la cual puede o no usarse dependiendo de si se considera o no que la célula libera atrayentes, para el caso en que las bacterias liberan atrayentes la función se representa de la

siguiente forma L�� !f, f(�, g, Q)& , � = 1,… , h, y emplea los siguientes parámetros:

�� El cual cuantifica cuanto atrayente es liberado

�� El cual cuantifica la rata de difusión del atrayente.

ℎ�"�"��R� = �� (2.10)

��"�"��R� El cual cuantifica la magnitud de la repulsión.

Passino recomienda que estos valores se ajusten dependiendo del problema, finalmente la función de atracción repulsión se define de la siguiente forma:


optimización

L�� !f, f(�, g, Q)&=��−��I��−�� f� − f� ��

��

+��−ℎ�"�"��R��I��−��"�"��R� ��f� − f� ��

��

(2.11)

Si se considera la atracción cada vez que se evalúa la función objetivo se le suma a esta la función de atracción repulsión.

L !f(�, g, Q)& = L !f(�, g, Q)& + L�� !f, f(�, g, Q)& (2.12)

En este trabajo se implementa una versión discreta de este algoritmo que está basada en los trabajos de Hezer y Kara (2011), Atasagun y Kara (2011) y Nouri et. al., (2010), esta versión no considera atracción entre las células, y se diferencia de esta en el tipo de variables (discretas), la codificación de las soluciones y los operadores empleados al realizar el paso quimiotáctico donde los nados y giros se realizan por medio de intercambios, inserciones e inversiones de los elementos de cada solución, se presenta en el capítulo 5.

2.1.4 Algoritmo Bacterial-GA Foraging

Chen, Tsai, Chu y Pan (2007) propusieron el algoritmo híbrido Bacterial-GA Foraging descrito en la figura 2-4, el cual tiene la estructura del BFOA (Bacterial foraging optimization algorithm), propuesto por Passino (2002), al cual se le adiciona posterior al nado y dentro del paso quimiotáctico la selección, cruzamiento y mutación de un algoritmo genético. Los autores de este algoritmo manifiestan que realizan esta hibridación para aprovechar la capacidad de búsqueda global de los AG (convergencia) y de escapatoria de mínimos locales del BFOA.

Este algoritmo fue desarrollado para problemas con variables continuas, en este trabajo se realizó una versión discreta que se compara con el algoritmo que se propone en este trabajo, la comparación en el desempeño solucionando un conjunto de problemas de prueba se hace sobre la estructura general del algoritmo, debido a que la codificación y las funciones empleadas difieren de la propuesta original de los autores.

La codificación de las soluciones así como la descripción de los operadores empleados se presentan en el capítulo 5.

27

Figura 2-4 Pseudocódigo Algoritmo Bacterial-GA Foraging

2.2 Optimización multi - objetivo

El problema general de optimización multi-objetivo se puede plantear de la siguiente forma:

minimizar/HI�H�JK�L�(M), L�(M),… , L�(M)� �Sg ≥ 2 (2.13)

Sujeto a: ℎ(M) = 0� = 1,… ,H (2.14)

P�(M) ≤ 0� = 1,… , Q (2.15)

Donde M = (I�, I�, … , IR) es un vector de S variables de diseño, �L�(M), L�(M), … , L�(M)� son las funciones objetivo o costo, k es el número de objetivos que debe ser mayor o igual a dos (g ≥ 2) para considerarlo un problema multi-objetivo, ℎ son las restricciones de igualdad y P son las restricciones de desigualdad. De tal forma que M sea una solución factible (I ∈ Ω). De forma general los problemas multi-objetivo se presentan porque se requiere optimizar de forma simultánea varios objetivos que generalmente están en conflicto, en este sentido Vilfredo Pareto (1848-1923), quien fue un sociólogo, economista y filósofo italiano, demostró que dada una determinada distribución de riqueza entre un conjunto de individuos, y en un ambiente con un mercado competitivo no es posible reorganizar la riqueza para incrementar el bienestar de uno o más individuos, si no es a costa de reducir el bienestar de los restantes. Por esta razón en la optimización multi-objetivo el concepto de óptimo se modifica en comparación con la

Pseudocódigo Bacterial-GA Foraging Begin

Inicialización de parámetros Generación de la población inicial de bacterias f(�, g, Q)∀�, � = 1,… , h Evaluar la función objetivo a cada bacteria L(f(�, g, Q))∀�, � = 1,… , h For l=1 to Ned Do For k=1 to Nre Do For j=1 to Nc Do

For i=1 to S Do Realizar el paso quimiotáctico para cada bacteria f(�, g, Q) Selección

Cruzamiento Mutación

End For End For Realizar reproducción por duplicación

End For Realizar la dispersión de las bacterias que tengan una probabilidad < Ped End For

End

28 Modelo para la definición del

optimización

optimización global ya que no se busca una solución única, en cambio la solución óptima u de Pareto se define en relación con los

Un vector M∗ ∈ ¢ , es un óptimo de Pareto si y solo si no existe un vector

L(M) ≤ L(M∗) para todo

L(M) d L(M∗) para al menos un

A partir de esto se desprende el concepto de £( ≺ £), en el caso de realizar un� = 1,… , g objetivos) y por los menos para uno de los objetivospalabras, para que una solución domine a otra, ésta debe ser estrictamente mejor en al menos un objetivo y no peor en ninguno de los otros.

En la figura 2-5 la solución domina adibujado en esta figura que representa todas las soluciones que domina minimización, ya que para todos las soluciones de este cuadrante es menor o igual para todos los objetivos, y al menos para uno de los objetivos es menor.

Figura 2-5 Frente óptimo de P

Dado que en un problema multiPareto �∗ estará definido por:

P∗ = �x ∈ ΩY el frente de Pareto corresponderá pertenecientes al conjunto de óptimos de Pareto

De la misma forma que los problemas monodividirse en problemas con variables continuoptimización combinatoria sobre los cuales trata este documento.


optimización global ya que no se busca una solución única, en cambio la solución óptima u se define en relación con los diferentes objetivos de la siguiente forma:

, es un óptimo de Pareto si y solo si no existe un vector M ∈) para todo �, � = 1,2, . . . , gobjetivos y (2.

) para al menos un �, 1 ≤ � ≤ g objetivos (2.

se desprende el concepto de dominancia de Pareto. Si un vector, en el caso de realizar una minimización, para todos los objetivos L(

y por los menos para uno de los objetivos (�), L() dpalabras, para que una solución domine a otra, ésta debe ser estrictamente mejor en al menos un

eor en ninguno de los otros.

domina a las soluciones £, ¦�, estas se encuentran en el cuadrante en esta figura que representa todas las soluciones que domina cuando se considera una

, ya que para todos las soluciones de este cuadrante es menor o igual para todos los objetivos, y al menos para uno de los objetivos es menor.

Frente óptimo de Pareto y concepto de dominancia

un problema multi-objetivo no existe una solución única el conjunto de óptimos de

Ω§§:∄x∗ ∈ Ω§§:f(x∗) ≼ f(x)� (2.18)

corresponderá a los valores de las funciones objetivo de las soluciones pertenecientes al conjunto de óptimos de Pareto �∗. De la misma forma que los problemas mono-objetivo los problemas multidividirse en problemas con variables continuas y discretas, estos últimos denominados de optimización combinatoria sobre los cuales trata este documento.

de una celda de manufactura a través de

optimización global ya que no se busca una solución única, en cambio la solución óptima u óptimo

¢ para el cual:

.16)

.17)

un vector domina a () ≤ L(£), (con ( ) d L(£). En otras palabras, para que una solución domine a otra, ésta debe ser estrictamente mejor en al menos un

se encuentran en el cuadrante cuando se considera una

, ya que para todos las soluciones de este cuadrante es menor o igual para todos los

objetivo no existe una solución única el conjunto de óptimos de

a los valores de las funciones objetivo de las soluciones

objetivo los problemas multi-objetivo pueden as y discretas, estos últimos denominados de

29

2.2.1 Métodos de optimización multi-objetivo

Se han desarrollado varios métodos para resolver problemas de optimización multiobjetivo. Algunos de los métodos clásicos se describen brevemente a continuación. Posteriormente se presentan los tres algoritmos empleados en este trabajo el NSGA2, el SPEA2 y el BCMOA.

Método de la función de utilidad

En el método de la función de utilidad, una función de utilidad ª (L) se define para cada objetivo dependiendo de la importancia de L en relación con las demás funciones objetivo. Entonces la función de utilidad total o global ª se define:

ª = ∑ ª�� (L) (2.19)

El vector solución ¬∗ es entonces encontrado por la maximización de la función de utilidad total ªsujeta a las restricciones P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. La forma simple de la función de utilidad está dada por:

ª = ∑ ª�� (L) = −∑ �L�� (2.20)

Donde � es un factor de ponderación escalar asociado con la función objetivo �. Este método es también conocido como método de la función de ponderación.

Método de Criterio Global

En el método de criterio global la solución óptima X* se encuentra al minimizar un criterio global preseleccionado ®(), el cual puede ser la suma de los cuadrados de las desviaciones relativas de las funciones objetivo individuales de las soluciones factibles ideales. Así X* se encuentra al minimizar:

¯() = ∑ °±²�³²∗�(±²(³)±²�³²∗� ´�� (2.21)

Sujeto a: P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.22)

Donde � es una constante (un valor común para � es 2) y t∗ es la solución ideal para la función objetivo �. La solución t∗ es obtenida por minimización de L() sujeta a las restricciones P�() ≤ 0,� = 1,2, … ,H. Método de la Función Objetivo Acotada

En el método de la función objetivo acotada, los niveles mínimo y máximo aceptables de rendimiento para cada función objetivo L se especifican respectivamente como µ() y ª(), para � = 1, 2, . . . , g. Entonces, la solución óptima ∗se encuentra al minimizar el objetivo más importante de la función, por ejemplo el número K como se muestra a continuación:

¶�S�H�JKL�() (2.23)

Sujeto a: P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.24)

µ() ≤ L ≤ ª(), � = 1,2, … , g, � ≠ K (2.25)


optimización

Método lexicográfico

En el método lexicográfico, los objetivos se clasifican en orden de importancia por el diseñador. Las soluciones óptimas X* se encuentran, reduciendo al mínimo las funciones objetivo comenzando con el más importante y procediendo de acuerdo con el orden de importancia de los objetivos. Los subíndices no solo indican el número del objetivo sino también el orden de importancia de este. Así L�() y L�() denotan respectivamente la más importante y la menos importante de las funciones objetivo. El primer problema es formulado como

¶�S�H�JKL�() (2.26)

Sujeto a: P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.27)

y su solución ¬�∗ y L�∗ = L�(¬�∗) se obtiene. A continuación, el segundo problema es formulado como:

¶�S�H�JKL�() (2.28)

Sujeto a: P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.29)

L�() = L�∗ (2.30)

La solución de este problema se obtiene como ¬�∗ y L�∗ = L�(¬�∗). Este procedimiento se repite hasta que todos los objetivos g han sido considerados. El problema � ésimo está dado por:

¶�S�H�JKL() (2.31)

Sujeto a: P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.32)

L�() = L�∗, Q = 1,2, … , � − 1 (2.33)

y su solución se encuentra como ¬∗ y L∗ = L (¬∗). Finalmente, la solución obtenida al final (es decir, ¬�∗ ) se toma como la solución deseada ¬∗ del problema de optimización multi-objetivo original.

Método de la programación por metas u objetivos

En la versión más simple de la programación por metas, el diseñador establece las metas para cada objetivo que se desea alcanzar. La solución óptima ¬∗se define entonces como la que reduce al mínimo las desviaciones de los objetivos fijados. Así, la formulación del problema de optimización multi-objetivo de la programación por metas conduce a:

¶�S�H�JK¸∑ ��$ + ��(�� ¹#º,� ≥ 1 (2.34)

Sujeto a: P�() ≤ 0,� = 1,2, … ,H. (2.35)

L�() + ��$ + ��( = £�,� = 1,2, … , g (2.36)

��$ ≥ 0,� = 1,2, … , g (2.37)

31

��( ≥ 0, � = 1,2, … , g (2.38)

��$��( = 0, � = 1,2, … , g (2.39)

Donde £� es el objetivo fijado por el diseñador para el objetivo �-ésimo y son ��$, ��(, respectivamente el bajo y el alto rendimiento del objetivo�. El valor de� se basa en la función de utilidad elegida por el diseñador. A menudo, el objetivo para el �-ésimo objetivo £�, se encuentra resolviendo el siguiente problema:

¶�S�H�JKL�() (2.40)

Sujeto a: P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.41)

Si la solución del problema anterior es �∗ entonces £� es tomado como £� = L� (¬�∗). Método de consecución de objetivos

En el método de consecución de objetivos, los objetivos se establecen como £ para la función objetivo L(), i = 1, 2, . . . , k. Por otra parte, se definen factores de ponderación � > 0 para la función objetivo L() que denotan la importancia relativa de la función objetivo �-ésima respecto a las otras funciones objetivo en el cumplimiento del objetivo £,i = 1, 2, . . . , k. A menudo, el objetivo £ es encontrado solucionando el problema de optimización:

¶�S�H�JKL() (2.42)

Sujeto a: P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.43)

Si la solución del problema se denota �∗ entonces puede ser £tomado como el valor óptimo del objetivo L, L∗ = L(∗). Un escalar γ se introduce como una variable de diseño, además de las S variables de diseño I , � = 1, 2, . . . , S. Entonces el problema es resuelto:

Encontrando I , � = 1, 2, . . . , S y γ

Para minimizar

¯(I�, I�, … , IR , 6) = 6 (2.44)

Sujeto a:

P�() ≤ 0, � = 1,2, … ,H. (2.45)

L() − 6� ≤ £ , � = 1,2,… , g (2.46)

Donde los factores de ponderación deben satisfacer la condición de:

∑ �� = 1 (2.47)


optimización

2.2.2 Non-dominated Sorting Genetic Algorithm2 - NSGA2

Deb, Agrawal, Pratap y Meyarivan (2002), presentaron una segunda versión del algoritmo NSGA, el NSGA-2 que conserva la estructura principal de su predecesor, pero cuenta con mejoras significativas que lo hacen más eficiente computacionalmente.

El algoritmo NSGA-2, es un algoritmo evolutivo multi-objetivo, elitista basado en dominancia de Pareto y crowding, que emplea un enfoque de ordenamiento rápido de no dominancia para clasificar las soluciones en frentes de Pareto y un operador de comparación de hacinamiento (crowded comparison) para definir los individuos de la siguiente generación considerando la clasificación en frentes de Pareto y la distancia crowding de cada solución. A continuación se describen las diferentes fases que componen al NSGA-2.

Figura 2-6 Pseudocódigo ordenamiento rápido no dominado – Fast non dominated sort (Deb et al., 2002)

Ordenamiento rápido no dominado

En el ordenamiento rápido no dominado (Fast non dominated sort)(Deb et al., 2002), para cada individuo p de la población P se determina el valor de dos entidades: 1) un contador de dominación np, que indica el número de soluciones que domina la solución p y 2) un conjunto de soluciones Sp que la solución p domina. Esto significa que todas las soluciones en el primer frente no dominado

h� = Y S� = 0

� = � + 1

Ordenamiento rápido no dominado - Fast non dominated sort For ∀� ∈ �

For ∀� ∈ � If (� ≺ �) then Si � domina a �

h� = h� ∪ �� Se asigna � al conjunto de soluciones dominadas por �

Else if (� ≺ �) then Si � domina a � S� = S� + 1 Incrementa el contador de dominación en 1 If S� = 0then � pertenece al primer frente ��R� = 1 � = � ∪ �� = 1 Se inicializa el contador de frentes While ®t ≠ Y ¼ = Y For ∀� ∈

For ∀� ∈ h� S1 = S1 − 1 If S1 = 0then � pertence al siguiente frente

��R� = � + 1 ¼ = ¼ ∪ ��

= ¼

33

(F1), tendrán su contador de dominancia np igual a cero puesto que ninguna otra solución las domina. Por cada solución p con np= 0, se visita cada miembro q del conjunto Sp y se decremento su contador en uno. Al hacerlo, si para algún miembro q el contador de dominación llega a ser cero, esta solución se asigna a una lista Q. Todos los miembros de Q pertenecen al segundo frente no dominado (F2). Se continúa con el procedimiento anterior con cada miembro de Q y se forma el tercer frente no dominado (F3). Este procedimiento se mantiene, hasta que todos los frentes (Fi) son identificados.

El pseudocódigo del algoritmo fast non dominated sort se muestra en la figura 2-6, donde prank y qrank denotan el rango jerárquico de las soluciones p y q.

Preservación de la diversidad en la población

Durante la convergencia hacia el conjunto de óptimos de Pareto, es deseable que un algoritmo mantenga una buena dispersión en el conjunto de soluciones obtenido. En el NSGA-II, se emplea la comparación de agrupamiento (crowded-comparison) (Deb et al., 2002). De esta manera, no se requiere definir parámetros adicionales para mantener la diversidad en la población. Para definir el operador de comparación de agrupamiento (crowded-comparison operator) (Deb et al., 2002) es necesario primero definir el concepto de métrica de estimación de densidad (density-estimation metric)(Deb et al., 2002).

Figura 2-7 Cálculo de la distancia crowding (Deb et al., 2002)

1) Estimación de densidad - Density-estimation metric (Deb et al., 2002)

Para obtener una estimación de la densidad de las soluciones circundantes en una solución en particular, se calcula la distancia promedio de dos puntos vecinos, uno a cada lado del punto de interés, utilizando el valor de sus funciones objetivo. Esta cantidad �½¾� sirve como un estimador del períımetro del cuboide formado por los vecinos más cercanos como vértices; a esto se le conoce como distancia crowding y se ilustra en las figuras 2-7 y 2-8. El procedimiento para calcular la distancia crowding, requiere ordenar descendentemente la población de acuerdo con el valor de cada función objetivo. Después, por cada función objetivo se asigna un valor de distancia infinito a los individuos que están en los extremos (individuos con el menor y el mayor valor). Al resto de las soluciones, se les asigna un valor de distancia normalizado, que es igual al valor

¿�

¿À

� − 1 Á£��

� � + 1


optimización

absoluto de la diferencia de los valores de las funciones, correspondientes a los puntos adyacentes. El valor de la distancia crowding, se calcula como la suma de los valores de todas las distancias de los elementos correspondientes a cada objetivo. Se normaliza cada función objetivo antes de calcular la distancia de agrupamiento.

Figura 2-8 Pseudocódigo Cálculo de la distancia crowding (Deb et al., 2002)

2) Operador de comparación de agrupamiento - Crowded-comparison operator (Deb et al., 2002)

El operador de comparación de agrupamiento ≺ S, guía el proceso de selección a varias fases del algoritmo hacia un frente de Pareto óptimo y disperso. Asumiendo que cada individuo � en la población tiene dos atributos:

1. Jerarquía de no dominación ��R�.

2. Distancia de agrupamiento �½¾��R�". A partir de esto se define un orden parcial ≺ S como:

� ≺ S� if (��R� d ��R�) (2.48)

Or ((��R� = ��R�) (2.49)

And (�½¾��R�" > �½¾��R�")) (2.50)

Lo anterior significa, que entre dos soluciones con distintos rangos de no dominación, se prefiere la solución con el menor rango. En otro caso, si dos soluciones pertenecen al mismo frente, entonces se prefiere la solución que está ubicada en una región de menor densidad.

Procedimiento NSGA-II

En este procedimiento inicialmente, se crea una población aleatoria P0 de tamaño N que es ordenada con base en el principio de no dominación. A cada solución se le asigna un valor de jerarquía igual al nivel de su dominación (el nivel 1 es el mejor, el nivel 2 es el siguiente mejor y así sucesivamente). Al principio del algoritmo, se aplica la selección por torneo binario (Gen y Cheng, 2000), así como los operadores de cruzamiento y mutación, para crear una población de descendientes Q0 de tamaño N. El concepto de elitismo se aplica al comparar la población actual

ÂÃ = �S�ÁSÄ��Å�QÁ ��S�ÅS��H�S�Å

ÂÃÆ1Ç½¾� = ÂÃÆQÇ½¾� = ∞

ÂÃÆ�Ç½¾� = ÂÃÆ�Ç½¾� +ÂÃÆ� + 1Ç.� −ÂÃÆ� − 1Ç.�L��É − L��R

Cálculo de la distancia crowding

Q = |ÂÃ| For ÊËÌËt, ÌÍÎÊÏÐÑÒÐÓÏÂÃÆtÇÌtÔÓ = Y For ��£��Ä�Õ�H Ordenar ÂÃ de acuerdo a cada objetivo H

For t = �Ë(Î − À)

35

con las mejores soluciones previamente encontradas (selección (µ+l)). El procedimiento difiere después de producir la generación inicial tal y como se describe a continuación con la t-exima generación.

Figura 2-9 Pseudocódigo NSGA2

En primera instancia, se obtiene una población formada por ÖÄ = �Ä ∪ ¼Ä de tamaño 2×.Después, la población ÖÄse ordena de acuerdo a los principios de no dominación. Dado que todos los miembros de la población previa y actual están incluidos en ÖÄ , el elitismo está asegurado. Las soluciones no dominadas pertenecientes al conjunto F1 son las mejores soluciones de la población ÖÄ y deben ser enfatizadas más que alguna otra solución en la población combinada. Si el tamaño de ¯1 es más pequeño que ×, se eligen todos los miembros del conjunto ¯1 para ser parte de la población �Ä + 1. Los individuos restantes de la población �Ä + 1 son elegidos de los subsecuentes frentes no dominados en el orden de su rango. Así que las soluciones del conjunto 2son elegidas, seguidas por las soluciones del conjunto ¯3 y así sucesivamente. Este procedimiento continúa hasta que no pueden acomodarse más conjuntos de soluciones. Evidentemente, la suma de las cardinalidades de los conjuntos 1 a ¯Q es mayor que ×. Para solucionar esta situación, se ordena en forma descendente el último conjunto ¯Q usando el operador de comparación de agrupamiento (≺ S) para seleccionar las mejores soluciones y llenar exactamente el espacio de la nueva población de tamaño ×. A la nueva población �Ä + 1 se le aplican los operadores de selección, cruza y mutación para formar una nueva población ¼Ä + 1 de tamaño N. Es importante decir que en la técnica de selección de torneo binario, se aplica el operador de comparación de agrupamiento (≺ S). Este operador requiere que se conozca la jerarquía y la distancia de agrupamiento de cada solución de la población. El pseudocódigo del algoritmo NSGA-II se describe en la figura 2-9.

Pseudocódigo NSGA2 Begin

Inicialización de parámetros Generación de la población inicial Po Evaluar la función objetivo a Po Aplicar ordenamiento rápido no dominado a Po Selección Se genera Qo por cruzamiento y mutación While (Criterio de parada) Do ÖÄ = �Ä ∪ ¼Ä Aplicar ordenamiento rápido no dominado a ÖÄ Calcular distancia crowding Generar �Ä + 1 a partir de ÖÄ aplicando ≺R Se genera ¼Ä + 1 por cruzamiento y mutación End While

End


optimización

2.2.3 Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 - SPEA2

El SPEA-2 propuesto por Zitzler, Laumans y Thiele (2001) es una versión mejorada del “Strength Pareto Evolutionary Algorithm - SPEA” (Zitzler y Thiele, 1999), este algoritmo tiene tres diferencias fundamentales respecto a su antecesor:

• Utiliza un esquema de asignación de fitness mejorado, el cual toma en cuenta para cada individuo cuantos individuos domina y cuantos lo dominan.

• Una técnica de estimación de la densidad de vecindad es incorporada, la cual permite guiar el proceso de búsqueda de una forma más precisa.

• Un nuevo método de truncamiento que garantiza la preservación de las soluciones en la frontera.

A continuación se describe el procedimiento seguido por el SPEA2 que se presenta en pseudocódigo en la figura 2-10.

Figura 2-10 Pseudocódigo SPEA2

Asignación del fitness

A cada individuo t en el archivo �Ù�, y la población �� se le asigna un valor de fuerza (strength) h(�), representando el número de soluciones que domina �.

Pseudocódigo SPEA2 Begin Inicialización de parámetros: ×(tamaño de la población) ×Ú (tamaño del archivo) Û (máximo número de generaciones) Generar una población inicial �' y crear un archivo vacio (conjunto externo) �Ù' = 0, Ä = 0.

Do Cálculo de los valores de fitness:

Calcular los valores de fitness de los individuos en �Ù� y ��. Selección ambiental:

Copiar todos los individuos no dominados en �Ù� y �� a �Ù�$�. Si el tamaño de �Ù�$� excede ×, entonces reducir �Ù�$� por medio del operador de truncamiento, en otro caso si el tamaño de �Ù�$� es menor que × entonces completar �Ù�$� con individuos dominados en �Ù� y ��.

Evaluación del criterio de parada: Si Ó ≥ w u otro criterio de parada es satisfecho, asignar Ü (Ü contiene las soluciones no dominadas) a el conjunto de vectores de decisión representados por individuos no dominados en �Ù�$�. Parar.

Selección de acoplamiento: Realice el torneo binario de selección con reemplazo sobre �Ù�$� para seleccionar los padres para el paso de variación.

Variación: Aplicar operadores de cruzamiento y mutación a los individuos seleccionados y asignarlos a la población resultante ��$�. Incrementar el contador de generaciones (Ä = Ä + 1).

End Do End

37

h(�) = |��|� ∈ �� + �Ù� ∧ � ≻ ��| (2.51)

Donde ≻ corresponde a la relación de dominancia de pareto (� ≻ �, i domina a j). Sobre la base de los valores de h, se calcula Ö(�), que es determinado por la sumatoria de h(�). Donde Ñ pertenece a la unión de la población y el archivo, y representa los elementos Ñ que dominan a t.

Ö(�) = ∑ h(�)�∈ßà$ßÙà,�≻ (2.52)

Ö(�) = 0 corresponde a los individuos no dominados, mientras que valores altos de Ö(�) representan que � es dominado por muchos individuos.

Aunque la asignación del fitness provee un mecanismo de niching basado en el concepto de dominancia de Pareto, esto podría fallar cuando muchos individuos no son dominados por otros. Por lo tanto, se incorpora información adicional sobre la densidad para discriminar entre individuos que tienen iguales valores de Ö(�). La técnica de estimación de la densidad empleada en SPEA2 es una adaptación del K’th vecino más cercano (Silverman, 1986), donde la densidad en cualquier punto es una función decreciente de la distancia a el K’th dato más cercano del punto. Para cada individuo � las distancias (en el espacio de objetivos) a todos los individuos � en el archivo y la población son calculadas y ordenadas en una lista. Después de ordenar la lista en orden creciente, el K’th elemento da la distancia estimada, denotada por á�. En este caso se

emplea g = â× + ×Ú. La densidad ã(�) correspondiente a � está definida por:

ã(�) = �ä²å$� (2.53)

Finalmente fitness (�) es:

¯(�) = Ö(�) + ã(�) (2.54)

Selección ambiental

La operación de actualización del archivo en SPEA-2 difiere respecto a SPEA en los siguientes aspectos:

• El número de individuos contenidos en el archivo es constante todo el tiempo. • El método de truncamiento previene que sean removidas de este las soluciones que están

en la frontera.

Durante esta operación, el primer paso es copiar todos los individuos no dominados, los cuales tienen un fitness menor que uno, del archivo a la siguiente generación.

�Ù�$� = ��|� ∈ �� + �Ù� ∧ ¯(�) d 1� (2.55)

Si la frontera no dominada se ajusta exactamente dentro del archivo el paso de selección ambiental está completo. En otro caso pueden suceder dos situaciones:

Que el archivo sea muy pequeño. En este caso los mejores individuos dominados en el archivo y población previos son copiados al nuevo archivo hasta completar el tamaño de la población.

Que el archivo sea muy grande. Cuando el tamaño del archivo del conjunto no dominado excede a ×Ú, un procedimiento de truncamiento del archivo es invocado.


optimización

Selección de acoplamiento - Mating selection

Para este procedimiento se realiza el torneo binario de selección con remplazo sobre �Ù�$� para seleccionar los padres para el paso de variación. La selección es un proceso por medio del cual dos individuos son escogidos de la población no dominada �Ù de acuerdo al valor de su función fitness para someterse a la acción futura de otros operadores.

En la selección por torneo binario, de forma aleatoria se seleccionan dos individuos de forma aleatoria de los cuales se selecciona aquel que domine al otro aplicando el concepto de dominancia de Pareto (Gen y Cheng, 2000).

2.2.4 Bacterial Chemotaxis Multiobjective Optimization Algorithm-BCMOA

El BCMOA fue propuesto por Guzmán, Delgado y Carvalho (2010), es un algoritmo multiobjetivo que emula el comportamiento quimiotáctico de la bacteria E. Coli en su búsqueda de alimento. Está basado en dominancia de pareto y crowding, y fue diseñado para solución de problemas con variables continuas. A continuación se describen sus rasgos más importantes y posteriormente el pseudocódigo se presenta en la figura 2-11.

Inicialización

Se ubican las bacterias en el espacio de parámetros, � dimensiones representan el valor de las � variables de decisión, el espacio de búsqueda está limitado por el rango de las variables. El espacio de funciones que representa los valores de las funciones objetivo para cada ubicación de las bacterias en el espacio de parámetros. Todas las bacterias de una colonia con h miembros son ubicadas inicialmente de forma aleatoria.

Evaluación de las funciones fitness y clasificación de no dominancia

Para cada bacteria en la ubicación inicial, la función objetivo es evaluada. Aplicando el procedimiento de ordenamiento rápido de no dominancia propuesto por Deb et al.,(2002) las ubicaciones actuales son clasificadas en frentes de Pareto (POF). Las bacterias que se clasificaron en el primer frente de Pareto (POF1) se denominan bacterias fuertes (estas no son dominadas por ninguna otra solución). Las demás bacterias se clasifican en diferentes frentes y se denominan débiles (estas son dominadas por otras soluciones).

Estrategia quimiotáctica para las bacterias fuertes

Las bacterias fuertes comparan su ubicación actual con la anterior aplicando el concepto de no dominancia de Deb et al., (2002), como resultado de esta comparación cada bacteria fuerte puede reaccionar realizando uno de estos movimientos: si una de las posiciones (previa o actual) domina a la otra, la bacteria se mueve a la posición no dominada y a partir de esta realiza un pequeño giro-nado en una dirección aleatoria sin alejarse del rastro de nutrientes. Por otro lado si cualquiera de las ubicaciones (previa y actual) no domina a la otra, a partir de la ubicación actual realiza un gran giro-nado en una dirección aleatoria.

39

Figura 2-11 Pseudocódigo BCMOA

Comunicación y estrategia quimiotáctica para bacterias débiles

Simulando la comunicación bacteriana en la naturaleza, cada bacteria débil selecciona una bacteria fuerte y se aproxima a ésta, ubicándose en una posición cercana a ésta, adicionalmente sigue la misma dirección del rastro de nutrientes que esta sigue.

Preservación de la diversidad

Con el fin de estimular la diversidad de soluciones, se emplea el parámetro ��S propuesto por Kumar et al., (2007) para el TV-MOPSO (Time Variant Multi-Objective Particle Swarm Optimization). Para una solución, el cálculo de este parámetro se basa en la distancia a su vecino más cercano en el frente de Pareto al que pertenece, dando una estimación de la densidad de las

Pseudocódigo BCMOA Begin

Inicialización de parámetros: S (número de bacterias) :æh��É (Número máximo de pasos quimiotácticos) � (Índice de bacterias), j (índice de pasos quimiotácticos) y k (índice de parámetros)

Generar una población inicial de bacterias £(�) (donde f(�) es la posición de cada bacteria y f(�) ∈ ^� )

While (Ñ d çèéêËM) Do (Criterio de parada) Asignar £(�) y f(�) a la lista 0

Actualizar µÛ(�), hÛ(�) y hë(�) For ìt(Ñ) ∈ íËÊ

Evaluarî !f(�)& (Evaluar las funciones objetivo)

Aplicar ordenamiento rápido no dominado For ìt(Ñ) ∈ ïð®À(Ñ) (Para toda bacteria fuerte)

Generar un vector ∆(�) ∈ ^�, donde cada ∆� es un número aleatorio entre Æ−1,1Ç y g = 1,2, … , �

If ñò !ót(Ñ)& ÍÔêÍÑÏôõÒÍò�ót(Ñ)öôÍ÷�øThen

ù£�¯ÁSúQ��"� = ù£�¯ÁSúQ If ûót(Ñ)öôÍ÷ÌÏêtÐËËót(Ñ)üThen f� (� + 1) = f� (�)��"� + hÛ�(�)∆� (�) If ûót(Ñ)ÌÏêtÐËËót(Ñ)öôÍ÷üThen f� (� + 1) = f� (�) + hÛ�(�)∆� (�) If û�ót(Ñ)∧ ót(Ñ)öôÍ÷� ∈ ïð®ÀüThen f� (� + 1) = f� (�) + µÛ�(�)∆� (�) If �|ïð®À| > 0.5é� If �ìt(Ñ) ∈ ïð®À(Ñ)�

Calcular parámetro ��S For ìt(Ñ) ∉ ïð®À(Ñ) (Para toda bacteria débil)

f� (� + 1) = f� (�)¾��'R� + f� (�)¾��'R�K1� + hë�(�) (donde K1� es un número aleatorio entre Æ−0.01,0.01Ç)

If �ìt(Ñ)ÐÏÍÔ¿ËÊÓtìÎÍ� Aplicar estrategia de paredes absorbentes a £(�)(Robinson y Rahmat-Samii, 2004)

End Do End


optimización

soluciones en el frente. Valores altos indican una mayor dispersión de las soluciones. Cuando el tamaño del POF1 es mayor al 50% del tamaño de la colonia, el parámetro de densidad es calculado para todas las bacterias fuertes con el fin de ordenarlas de acuerdo a este valor en orden ascendente. Esto con el fin de que las bacterias débiles seleccionen al mejor 20% de esta lista.

Tamaño del paso

La selección del tamaño de los pasos demostró ser un tema crítico. Si los tamaños de los pasos son demasiado pequeños, la búsqueda puede quedar atrapada en un óptimo local, pero si los pasos son demasiado largos la búsqueda puede perder un óptimo global. Teniendo en cuenta esto, las ecuaciones para el tamaño de paso del nado-giro largo (LT), el tamaño de paso para el nado-giro corto (ST) y el tamaño de nado (SW) se definen sin casi ninguna intervención del usuario, esto debido a su actualización automática durante el proceso.

Vamos a definir en primer lugar un factor ¯ , que disminuye en forma lineal de uno a cero en cada paso quimiotáctico como se muestra a continuación:

¯ (�) = ��(�� (2.56)

Donde :æh��É es el número máximo de pasos quimiotácticos; � es el índice para el paso quimiotáctico. Sea h el número de miembros de la colonia, el índice g para los parámetros del problema; �ù¯1(�), el conjunto de soluciones no dominadas; y f(�)±�"��" es la ubicación de una bacteria y; f(�)½é>� es la ubicación de una bacteria débil. El tamaño de los pasos para el nado-giro largo, nado-giro corto y el nado para cada parámetro g están definidos por:

µÛ�(�) = �� !HI��ù¯1(�)�� −H�S��ù¯1(�)��& ¯ (�) (2.57)

hÛ�(�) = 0.1µÛ�(�) (2.58)

hë�(�) = �f�(�)±�"��" − f�(�)½é>��¯ (�) (2.59)

Donde, HI(�ù¯1)�, H�S(�ù¯1)� son el máximo y el mínimo valor para el parámetro k con las soluciones del conjunto �ù¯1(�).

41

3. Modelos propuestos

El problema del layout de las celdas de manufactura como se describió anteriormente tiene en sí una naturaleza multiobjetivo debido a que debe solucionar los problemas de la formación de las celdas de manufactura y del layout inter e intra celdas. En este trabajo se aborda de forma separada la formulación matemática de cada uno de estos problemas como función objetivo para posteriormente integrarlos. A continuación se describe el proceso seguido para definir las funciones objetivo del modelo mono-objetivo y multi-objetivo.

3.1 Formación de las celdas de manufactura

La formación de las celdas de manufactura es un problema combinatorio que tiene como objetivo agrupar las máquinas en celdas y las partes en familias, este proceso debe realizarse considerando las similitudes en procesos de fabricación entre las partes para lograr maximizar la asociación entre los elementos de las celdas y las familias. Además este proceso se debe hacer lo más simple posible debido a la complejidad intrínseca que tiene, por lo anterior en este trabajo se emplea una métrica de agrupamiento, debido a que se adapta muy bien como función objetivo ya que evalúa la calidad del agrupamiento al mismo tiempo que guía el proceso de formación de las celdas de manufactura.

Como se describió en el capítulo 1, para medir la calidad del agrupamiento de las celdas de manufactura existen diversas métricas que tienen diferentes características que les permiten solucionar determinados tipos de problemas, por esta razón la selección de la métrica que se emplearía como función objetivo se realizó evaluando de forma experimental el desempeño de la Eficacia de agrupamiento (Γ), Eficacia de agrupamiento modificada 1 (�), Índice de capacidad de agrupamiento (GCI), Eficiencia de agrupamiento (η), Eficacia de agrupamiento modificada 2 (� ), Índice de agrupamiento (2 ), Eficacia de agrupamiento ponderada (γ) y la Métrica de agrupamiento doblemente ponderada (�1), empleándolas como función objetivo. La técnica de optimización empleada fue algoritmos genéticos.

El proceso realizado inició con la sintonización de los parámetros de los algoritmos genéticos y cada una de las métricas, para finalmente probar el desempeño de cada una de estas en la solución de cinco problemas de prueba que se presentan como anexos a este documento. Para el desarrollo de esta tarea se empleó un computador con procesador Intel Core™ 2 Duo T6400 de 2.00 GHz y 3 GB de memoria RAM, los algoritmos genéticos se programaron en lenguaje Fortran 90. Para la evaluación del desempeño de las alternativas de solución propuestas se plantearon cuatro experimentos con diseños factoriales encaminados a determinar su comportamiento en la solución de cinco problemas de prueba reconocidos en la literatura. La variable de respuesta para los experimentos fue denominada “éxito” y representa la obtención o no de una solución óptima al


optimización

problema de prueba por parte de la alternativa evaluada. Cuando esta obtiene una solución óptima éxito=1, en caso contrario éxito=0 y se considera un fracaso.

Para obtener conclusiones validas estadísticamente, se realizaron 50 repeticiones para cada uno de los tratamientos en cada experimento. A continuación se describen los experimentos realizados presentando: los porcentajes de cruzamiento, los porcentajes de mutación, las métricas empleadas como función fitness y los factores de ponderación. Al respecto, considerando la gran diversidad de factores y con el ánimo de agrupar las alternativas similares, se clasificaron las métricas en tres grupos a partir de los cuales se plantearon los tres primeros experimentos de la siguiente forma:

1. El primer experimento se realizó con las métricas sin factor de ponderación (ver tabla 3-1): eficacia de agrupamiento (�), eficacia de agrupamiento modificada 1 (�À) y el índice de capacidad de agrupamiento(ç�).

2. El segundo experimento se realizó con las métricas con un factor de ponderación (ver tabla 3-2): eficiencia de agrupamiento(�), eficacia de agrupamiento modificada 2 (��), índice de agrupamiento 3 (��) y eficacia de agrupamiento ponderada (�).

3. El tercer experimento se realizó con la métrica de agrupamiento doblemente ponderada ��(ver tabla 3-3).

El cuarto experimento se planteó con el objetivo de comparar los AG y las métricas de agrupamiento entre sí con los mejores valores de porcentaje de cruzamiento y mutación que permitieran obtener la mayor cantidad de éxitos a los AG, y los valores de “q”, “q 1” y “q 2” que favorezcan un mejor desempeño de las métricas de agrupamiento obtenidos de los primeros tres experimentos. Las variables de respuesta fueron la tasa de éxitos, la generación en la cual se logró el óptimo y la desviación de los fracasos respecto al valor óptimo de la función objetivo.

Tabla 3-1 Factores y bloques del primer experimento

Bloques

Problemas de prueba

% Cruzamiento % Mutación Métrica empleada Matriz (Máquinas x Partes)

0,6 0,1 Eficacia de agrupamiento (Γ) Matriz de incidencia 5x7

0,7 0,2 Eficacia de agrupamiento modificada 1 (Γ1) Matriz de incidencia 7x11

0,8 0,3 Índice de capacidad de agrupamiento (GCI) Matriz de incidencia 14x24

Matriz de incidencia 35x20

Matriz de incidencia 24x40

FACTORES

Niv

eles

Tabla 3-2 Factores y bloques del segundo experimento

Bloques

Problemas de prueba

% Cruzamiento % Mutación Métrica empleadaFactor de

ponderacion q Matriz (Máquinas x Partes)

0,6 0,1 Eficiencia de agrupamiento (η) 0,1 Matriz de incidencia 5x7

0,7 0,2 Eficacia de agrupamiento modificada 2 (Γ2 ) 0,3 Matriz de incidencia 7x11

0,8 0,3 Índice de agrupamiento (Γ3) 0,5 Matriz de incidencia 14x24

Eficacia de agrupamiento ponderada (γ). 0,7 Matriz de incidencia 35x20

0,9 Matriz de incidencia 24x40

Niv

eles

FACTORES

43

Tabla 3-3 Factores y bloques del tercer experimento

Bloques

Problemas de prueba

% Cruzamiento % Mutación Métrica empleadaFactor de ponderacion q1

Factor de ponderacion q2 Matriz (Máquinas x Partes)

0,6 0,1 0,1 0,1 Matriz de incidencia 5x7



0,7 0,7 Matriz de incidencia 35x20

0,9 0,9 Matriz de incidencia 24x40

FACTO RES

Niv

eles

Métrica de agrupamiento

doblemente ponderada (ηq )

Los resultados demostraron que para el algoritmo genético empleado la mejor configuración de porcentaje de cruzamiento y mutación, es 0.8 cruzamiento y 0.3 mutación como se puede ver en la figura 3-1, debido a que en esta configuración la tasa de éxitos es superior.

Para los experimentos 2 y 3 fue necesario considerar los factores de ponderación y su influencia en la obtención de las soluciones óptimas. Como se puede observar en la figura 3-2 la eficiencia de agrupamiento (�) presenta un comportamiento estable respecto a las variaciones en el factor de ponderación “q”, para la eficacia de agrupamiento modificada 2 (��), la eficacia de agrupamiento modificada 3 (��) y la eficacia de agrupamiento ponderada (�), el incremento de “q” a valores próximos de 1.0 mejora su desempeño. La interacción en el experimento 2 del factor de ponderación con respecto a las matrices de incidencia refleja también que el uso de valores cercanos a 1.0 es mejor. La métrica de agrupamiento doblemente ponderada ��presenta el mismo comportamiento (Figura 3-3) dado que con valores de “q1” y “ q2” cercanos a 1.0 mejora su desempeño, sin embargo valores inferiores a 0.5 de “q1” y “ q2” no permiten obtener soluciones óptimas como se observa en la figura 3-3.

pm0,1 pm0,2 pm0,3

pc0,6 10,66% 10,69% 11,33%

pc0,7 10,66% 11,04% 11,16%

pc0,8 11,41% 11,46% 11,58%

10,20%

10,40%

10,60%

10,80%

11,00%

11,20%

11,40%

11,60%

11,80%

% d

e éx

itos

Figura 3-1 Porcentaje de éxitos para las diferentes combinaciones de % de mutación y % de cruzamiento


optimización

Figura 3-2 Porcentaje de éxitos de las métricas (�), (��),(��) y (�) respecto a la variación del factor de ponderación “q” en el experimento 2

Figura 3-3 Porcentaje de éxitos de la métrica �� respecto a la variación de los factores de ponderación “q1” y “q2”, para los tres tipos de AG.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

q0,1 q0,3 q0,5 q0,7 q0,9

% d

e éx

itos

γ Γ2 Γ3 η

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

q1-0,1 q1-0,3 q1-0,5 q1-0,7 q1-0,9

% d

e éx

itos

q2-0,1 q2-0,3 q2-0,5 q2-0,7 q2-0,9

45

Tabla 3-4 Factores y bloques del cuarto experimento

Bloques

FACTORES Problemas de prueba

Métrica empleada Matriz (Máquinas x Partes)

Eficacia de agrupamiento (Γ) Matriz de incidencia 5x7

Eficacia de agrupamiento modificada 1 (Γ1) Matriz de incidencia 7x11

Índice de capacidad de agrupamiento (GCI) Matriz de incidencia 14x24

Eficiencia de agrupamiento (η) (q=0.9) Matriz de incidencia 35x20

Eficacia de agrupamiento modificada 2 (Γ2 ) (q=0.9) Matriz de incidencia 24x40

Índice de agrupamiento (Γ3) (q=0.9)

Eficacia de agrupamiento ponderada (γ). (q=0.9)

Métrica de agrupamiento doblemente ponderada (ηq ) (q1=0.9) (q2=0.9)

Niv

ele

s

Γ ƞQ Γ1 Ƴ ƞ Γ3 CGI Γ2Total 315 309 285 258 247 244 200 185

0

50

100

150

200

250

300

350

No. d

e éx

itos

Experimento 4

Figura 3-4 Porcentaje de éxitos del total obtenido por las métricas de agrupamiento en el cuarto experimento

El cuarto experimento se realizó siguiendo el esquema establecido en la tabla 3-4, los resultados obtenidos al comparar las alternativas de solución en sus mejores versiones demostraron que la alternativa con la métrica eficacia de agrupamiento (Γ) como función fitness obtuvo el mejor desempeño (figura 3-4), es importante resaltar que la métrica de agrupamiento doblemente ponderada (ηq) y la eficacia de agrupamiento modificada 1 (Γ1), tuvieron un buen desempeño, sin embargo se emplea la eficacia de agrupamiento (Γ) en esta propuesta porque no requiere factores de ponderación que ajustar.

Γ = �(*�$+ = "(","$"% (3.1)

Γ = ∑ ∑ ∑ � å³²å�² �²�#� �#��å�#∑ ∑ �² �²�#� �# $∑ ¸!∑ � å� �# &�∑ ³²å�²�# �¹��å�# (∑ ∑ ∑ � å³²å�² �²�#� �#��å�# (3.2)


optimización

Donde: � = íS�� QÅHá�Á�SÅ; � = 1,… ,HSúH�K��Há�Á�SÅ � = íS�� QÅ�KÄ�Å; � = 1,… , SSúH�K��KÄ�Å g = íS�� QÅ �Q�Å; g = 1,… ,mcmáximonúmerodeceldas �� = 1, si la parte � es asignada a la celda g, en otro caso es cero ¬� = 1, si la máquina � es asignada la celda g, en otro caso es cero

� = 1, si la parte � es procesada por la máquina �, en otro caso es cero (� es la matriz de incidencia)

3.2 Layout intra e inter celdas

La propuesta planteada en este trabajo para la definición del layout intra e inter celdas se fundamenta en las siguientes suposiciones:

• El espacio es considerado discreto, de esta forma el espacio se divide en unidades iguales a las cuales cualquier máquina puede ser asignada sin inconvenientes, ya que cada unidad de espacio cumple con todos los posibles requerimientos para todas las máquinas. Esta suposición hace que el problema maneje variables enteras.

• Los tiempos requeridos para realizar cada operación se desprecian, debido a que se asume que las cargas de trabajo asignadas a cada máquina de cada celda están balanceadas, por lo tanto los tiempos de procesamiento de las operaciones de cada parte están balanceados.

• No se consideran tampoco rutas alternativas de fabricación ni duplicación de equipos. • Cada máquina es asignada únicamente a una celda y a una determinada posición en esa

celda (condición de unicidad), no se permiten movimientos de las máquinas. • No se presentan variaciones en el tiempo de los volúmenes de producción, por lo tanto el

modelo es estático en el tiempo. • En el modelo propuesto las celdas se disponen en filas paralelas en las cuales se ubican las

máquinas en línea recta. Los puntos de carga y descarga de materiales a cada celda son respectivamente la primera y última máquina de esta.

• No se consideran los costos de cada máquina, ni de su instalación, como tampoco del área requerida, ni de la mano de obra, ni otros costos indirectos de fabricación asociados al layout.

La métrica de desempeño empleada fue el costo del transporte y manipulación de materiales. Como se describió en el capítulo 1 la minimización de este es el criterio más usado para definir el layout, esto se debe a que permite evaluar el rendimiento de los flujos de materiales en el layout y relacionarlos con otros factores del sistema de manufactura, en este caso se considera el costo del transporte y manejo de materiales teniendo en cuenta los siguientes factores:

• Volúmenes de producción: porque estos definen el tipo y forma global del layout, las dimensiones del sistema de manufactura, además permiten proyectar la cantidad de movimientos (flujo de materiales) y el tipo de sistema de manejo y transporte de materiales.

• Cantidad de partes que se pueden transportar por movimiento: este factor afecta directamente el costo total del transporte y manipulación de materiales y debe ser tenido en

47

cuenta en la selección del sistema de manejo de materiales porque de él depende el número de movimientos que se realizan conjuntamente con los volúmenes de producción.

• Secuencia de las operaciones: permiten establecer la mejor posición relativa de las máquinas al interior de las celdas, y de estas entre sí, para evitar retrocesos y mantener flujos lineales continuos.

• Los puntos de origen de la materia prima al interior de la planta y los puntos de destino de las partes procesadas, ya que influyen en la posición relativa de las celdas entre sí.

• La distancia recorrida en cada movimiento de cada pieza es la variable que integra en sí todos los factores y es a través de ella que es posible evaluar el desempeño del layout. Ésta se calcula estableciendo la distancia mínima de cada movimiento considerando los siguientes criterios: 1) la distancia no es la distancia euclidiana, la distancia que se calcula tiene en cuenta los obstáculos físicos del sistema como pasillos y zonas permitidas de tráfico, así como direcciones de flujo, 2) no se permiten retrocesos, por lo cual si una pieza debe ir a una máquina que precede a la que se encuentra, debe ir hasta el final de la celda salir y volver a ingresar a esta, y avanzar luego hasta la máquina destino, 3) las distancias de los movimientos a la primera y última operaciones respectivamente se calculan entre la primera máquina de la celda y la máquina que realiza la primera operación, y entre la máquina que realiza la última operación y la última máquina de esa celda, 4) las distancias de los movimientos entre el origen del material y la primera operación se calcula entre la ubicación de origen y la primera máquina de la celda donde se realiza la primera operación, de la misma forma cuando el movimiento se realiza entre la última operación y la posición final de la pieza, se considera la distancia entre la última máquina de la celda donde se realiza la última operación y la posición final de destino.

• El costo de cada tipo de movimiento agrupa el costo del tipo de sistema de manejo y transporte de materiales con las restricciones o criterios establecidos para realizar cada uno de los movimientos posibles, por esta razón se establece un costo diferencial dependiendo del movimiento que realiza la pieza: 1) para un movimiento dentro de una celda sin retrocesos, 2) para movimientos con retrocesos, 3) cuando se realizan movimientos entre celdas y 4) cuando el movimiento es desde o hacia una celda, ó desde o hacia una ubicación externa. De esta forma se penalizan los movimientos indeseables como los retrocesos o movimientos entre celdas, logrando un layout más fluido que va acorde a la secuenciación de las operaciones.

Finalmente la función que se estableció para el costo de transporte y manejo de materiales integra los factores y variables antes expuestos y se define de la siguiente forma:

Û: = ∑ ∑ :�,��,� �ß / �� R�� (3.3)

Donde:

t = íS�� QÅHá�Á�SÅ; � = 1,… ,HSúH�K��Há�Á�SÅ Ñ = íS�� QÅ�KÄ�Å; � = 1,… , SSúH�K��KÄ�Å � = íS�� QÅ �Q�Å; g = 1,… ,mcmáximonúmerodeceldas Î = íS�� K ��S�Å; Q = 1,… ,×ù� SúH�K��K ��S�Å��Q�KÄ�� ÂðÑ = HáI�H�SúH�K��K ��S�Å��Q�KÄ�� ÌÑ,Î = ��ÅÄS ��Á�K� �KK�Q�KÄ��SÄK�Q��K ��SQ − 1¦Q çÑ,Î = :�ÅÄ��QH�Õ�H��SÄ��Q�KÄ��SÄK�Q��K �óSQ − 1¦Q


optimización

�ïÑ = Õ�QÁH�S��K��Á �óS��Q�KÄ�� íÑ = ÄHñ��QQ�Ä��K �H�Õ�H��SÄ��Q�KÄ�� é�Ñ,Î = HÄK�J��Å� Á�S �Å, �SÄ��S��QSúH�K��QHá�Á�S�Á�K�Q�JQ��K �óSQQ�KÄ�� Âçt = SúH�K�� Q�Q�Á��KÄ�S� �QHá�Á�S� ïçt = ��Å� �óS�Á�� Á�QHá�Á�S��SQ �Q�Q�Á��KÄ�S� � ÃÏôtXÍÐÑ,�= ��ÅÄS ��Q �Q�gQ��Å� �óS��K�P�S��QHÄ�K�Q�KL£K� KQ�KÄ�� Ã¿tÐÑ,� = ��ÅÄS ��Q �Q�gQ��Å� �óSL�SQ�QÅ�PÁ��SÄ��K� �Å��Q�KÄ�� çÑ,Î y ÌÑ,Î pueden tomar diferentes valores dependiendo del número de la operación que se va a realizar o se realizó, como también del tipo de movimiento que realiza: Si�Î = À� Movimiento entre el punto de origen del material para fabricar la parte � y la posición de la máquina que realiza esta primera operación �(�, Q) = �:Æh¶(�, Q)Ç + ã'��"R �, ×:�h¶(�, Q)�! :�,� = �ÅÄ��ÁSH�Õ�H��SÄ��IÄ�KS� Siû� ≤ Î ≤ ÂðÑü Si�ÂçÆé�(Ñ, Î)Ç = ÂçÆé�(Ñ, Î − À)Ç� Si�ïçÆé�(Ñ, Î)Ç > ïçÆé�(Ñ, Î − À)Ç� �(�, Q) = �:Æh¶(�, Q)Ç − �:Æh¶(�, Q − 1)Ç :�,� = �ÅÄ��ÁSH�Õ�H��SÄ��SÄK��Q �Q� Si�ïçÆé�(Ñ, Î)Ç d ïçÆé�(Ñ, Î − À)Ç� �(�, Q) = 2 ∗ ×:Æh¶(�, Q − 1)Ç + �:Æh¶(�, Q)Ç − �:Æh¶(�, Q − 1)Ç :�,� = �ÅÄ��ÁSK�ÄK� �Å� Si�ÂçÆé�(Ñ, Î)Ç ≠ ÂçÆé�(Ñ, Î − À)Ç� �(�, Q) = 2 ∗ ×:Æh¶(�, Q − 1)Ç + �:Æh¶(�, Q)Ç − �:Æh¶(�, Q − 1)Ç+ |×:Æh¶(�, Q)Ç − ×:Æh¶(�, Q − 1)Ç| :�,� = �ÅÄ��ÁSH�Õ�H��SÄ��SÄK� �Q�Å SiûÎ = ÂðÑ + Àü movimiento entre la última operación de la parte j y la posición final de esta �(�, Q) = ×¶:Æ×:Æh¶(�, Q − 1)ÇÇ − �:Æh¶(�, Q − 1)Ç + ã±R �, ×:�h¶(�, Q)�! :�,� = �ÅÄ��ÁSH�Õ�H��SÄ��IÄ�KS�

3.3 Modelos propuestos

A continuación se presentan los modelos mono-objetivo y multi-objetivo propuestos en este trabajo los cuales emplean la eficacia de agrupamiento y el costo de transporte y manejo de materiales que ya se describieron.

49

3.3.1 Modelo mono-objetivo

El modelo mono-objetivo propuesto integra en una sola función objetivo la eficacia de agrupamiento (�) y el costo del manejo y transporte de materiales (wç). Para poder solucionar el modelo como una minimización es necesario restar la eficacia de agrupamiento de 1.1 (1.1 − Γ), de esta forma se evita que se anule la función fitness u objetivo cuando Γ = 1 (Γ toma valores entre cero y 1), lo cual provocaría convergencia prematura a mínimos para � pero no necesariamente para TC. La formulación del modelo se presenta a continuación:

¶�S�H�JK

Û:(1.1 − Γ) = ��:�,��,� ú��0��

��R

�� "1.1− # ∑ ∑ ∑ ��¬��R��∑ ∑ ��R�� + ∑ �∑ ��R�� ∑ ¬�� !�� −∑ ∑ ∑ ��¬��R�� $%

(3.4)

hÁ��Ä�: ∑ ¬�� = 1,∀�, � = 1,… ,H (3.5) ∑ �� = 1,∀�, � = 1,… , S (3.6) ∑ ∑ &��å�� = 1, ∀�, � = 1,… ,H (3.7) Donde:

t = íS�� QÅHá�Á�SÅ; � = 1,… ,HSúH�K��Há�Á�SÅ Ñ = íS�� QÅ�KÄ�Å; � = 1,… , SSúH�K��KÄ�Å � = íS�� QÅ �Q�Å; g = 1,… ,mcmáximonúmerodeceldas ö = íS�� QÅ��Å� ��S�Å; �= 1, … ,H��HáI�H�SúH�K��Å� ��S�Å��Q �Q�g t� = 1, si la máquina � pertenece a la celda g, en caso contrario t� = 0 'Ñ� = 1, si la parte � pertenece a la celda g, en caso contrario 'Ñ� = 0 (tö� = 1, si la máquina � ocupa la posición� de la celda g, en caso contrario (tö� = 0 Esta propuesta minimiza el costo de transporte y manejo de materiales al mismo tiempo que maximiza el agrupamiento de las celdas de manufactura, adicionalmente contempla restricciones de unicidad que garantizan que cada máquina y parte únicamente sean asignadas a una sola celda (ecuación 3.5) o familia (ecuación 3.6), y que a cada posición del layout únicamente sea asignada una máquina (ecuación 3.7).


optimización

3.3.2 Modelo multi-objetivo

El modelo multi-objetivo propuesto minimiza la eficacia de agrupamiento (�) y el costo del manejo y transporte de materiales (wç) como dos objetivos distintos, maneja las mismas variables, factores, restricciones y funciones de la propuesta mono-objetivo. A continuación se presenta este:

¶�S�H�JK: (1.1 − Γ) = "1.1 − # ∑ ∑ ∑ � å³²å�² �²�#� �#��å�#∑ ∑ �² �²�#� �# $∑ ¸!∑ � å� �# &�∑ ³²å�²�# �¹��å�# (∑ ∑ ∑ � å³²å�² �²�#� �#��å�# $% (3.8)

y

¶�S�H�JK: TC = ∑ ∑ :�,��,� �ß /

�� R�� (3.9)

hÁ��Ä�: ∑ ¬�� = 1,∀�, � = 1,… ,H (3.10) ∑ �� = 1,∀�, � = 1,… , S (3.11) ∑ ∑ &��å�� = 1, ∀�, � = 1,… ,H (3.12) Donde: t = íS�� QÅHá�Á�SÅ; � = 1,… ,HSúH�K��Há�Á�SÅ Ñ = íS�� QÅ�KÄ�Å; � = 1, … , SSúH�K��KÄ�Å � = íS�� QÅ �Q�Å; g = 1,… ,mcmáximonúmerodeceldas ö = íS�� QÅ��Å� ��S�Å; �= 1,… ,H��HáI�H�SúH�K��Å� ��S�Å��Q �Q�g t� = 1, si la máquina � pertenece a la celda g, en caso contrario t� = 0 'Ñ� = 1, si la parte � pertenece a la celda g, en caso contrario 'Ñ� = 0 (tö� = 1, si la máquina � ocupa la posición� de la celda g, en caso contrario (tö� = 0

51

4. Algoritmos Propuestos

4.1 Discrete Hybrid Bacterial Foraging Genetic Algorithm- DHBFGA

El algoritmo DHBFGA propuesto en este trabajo es un algoritmo de optimización global que toma la idea general de la hibridación de AG y BFOA del algoritmo Bacterial-GA Foraging propuesto por Chen et al., (2007). De forma general este cuenta con un ciclo quimiotáctico como el BFOA (Passino, 2002) y el BCMOA (Guzmán et al., 2010), que se aplica a las bacterias que pertenecen a la élite (bacterias mejor adaptadas), a continuación de forma análoga a un AG se realiza un proceso de selección y cruzamiento, para culminar con un proceso de eliminación y dispersión como el BFOA. La idea original para desarrollar este algoritmo parte de la necesidad de solucionar el problema del layout de las celdas de manufactura, el cual es un problema de optimización combinatoria del tipo NP-Hard que maneja variables discretas (sin embargo la estructura del DHBFGA puede ser empleada para solucionar problemas con variables continuas, en este caso se requiere modificar la codificación de las soluciones y adaptar las funciones y/o operadores empleados), debido a esto y a su estructura general toma el nombre de discrete hybrid bacterial foraging genetic algorithm (algoritmo híbrido discreto basado en forrajeo de bacterias y algoritmos genéticos), en la figura 4-1 se presenta su pseudocódigo y a continuación se explica cada uno de los pasos que lo conforman.

Inicialización

El algoritmo inicia generando de forma aleatoria las h (tamaño de la población) bacterias f(�), (� =índice de las bacterias, � =índice de los pasos quimiotácticos, � = 1,… ,×Å máximo número de pasos quimiotácticos) que conforman la población inicial.

Criterio de parada

Se evalúa el criterio de parada, se puede emplear el número máximo de ciclos quimiotácticos, el número de llamados a la función objetivo o el que defina el usuario.

Evaluación de la función fitness

La evaluación de la función fitness permite establecer la adaptación de la bacteria al ambiente, o cuantificar el nivel de nutrientes en la ubicación de ésta. En términos generales establece los valores de la función fitness u objetivo de la solución representada por la bacteria f(�).


optimización

Figura 4-1 Pseudocódigo Algoritmo DHBFGA

Ciclo quimiotáctico

El ciclo quimiotáctico emula la búsqueda de nutrientes que hacen la bacterias E. Coli en el intestino humano, para ello realizan movimientos de nado-giro o nado en una determinada dirección aleatoria siguiendo el rastro de nutrientes o escapando de sustancias o ambientes peligrosos o pobres de nutrientes.

En un espacio de búsqueda con variables continuas es posible realizar una analogía directa de los movimientos que realizan las bacterias reales en el intestino humano, como lo plantean Passino (2002) y Guzmán et al. (2010), esto es posible porque se pueden definir vectores que guían la búsqueda de las soluciones como si siguieran un rastro de concentración de nutrientes o huyeran de sustancias peligrosas, sin embargo en un espacio discreto no siempre es posible tener el mismo grado de proximidad en el espacio de variables que en el de funciones, esto significa que pequeños cambios en las variables pueden llegar a significar cambios muy grandes en las funciones y viceversa, esta situación se presenta en problemas donde las posibles soluciones son permutaciones o combinaciones de ciertos elementos, las cuales necesariamente implican cumplir condiciones de unicidad para que la solución sea factible.

En un problema con variables discretas las soluciones generalmente se codifican con vectores o matrices enteras que representan combinaciones o permutaciones de elementos, que pueden representar asignaciones de elementos, secuencias, rutas u otras, esto depende del diseñador o usuario del algoritmo. Por esta razón se adapta el concepto de pasos guiados por un vector

Pseudocódigo DHBFGA Discrete Hybrid Bacterial Foraging Genetic Algorithm

Begin

Inicialización de parámetros Generación de la población inicial de bacterias f(�)∀�, � = 1,… , h Evaluar la función objetivo a cada bacteria L(f(�))∀�, � = 1,… , h While (Criterio de parada) Do

For t = ÀZËÔÓËé

If ( f(�)*+µ;Û+) Then Se realiza el ciclo quimiotáctico a la Bacteria f(�) End If

End For Selección Cruzamiento

If ( f(�) ∉ +µ;Û+ ∧ �K�££�Q�� d ��) Then Realizar eliminación y dispersión a la Bacteria f(�)

End If End While

End

53

aleatorio que se emplea en espacios continuos a una estrategia elitista que se describe a continuación. Para cada una de las bacterias mejor adaptadas que pertenecen a la élite (porcentaje de la población que tiene los mejores valores de función fitness, este porcentaje es definido por el usuario), se generan nuevas bacterias realizando intercambios, inserciones e inversiones (Coello, 2011) de los elementos de la solución codificada, para luego ordenarlas de acuerdo al valor de su función fitness y seleccionar la mejor de estas, si esta es mejor que la bacteria original la remplaza de lo contrario se termina el ciclo, el pseudo-código general se muestra en la figura 4-2.

Figura 4-2 Ciclo quimiotáctico general del DHBFGA

Selección

Posterior al ciclo quimiotáctico se realiza la selección de los padres, primero se selecciona la élite que corresponde al mejor 20% de la población y luego por torneo se completan los individuos que van a actuar padres.

Cruzamiento

A partir de los padres seleccionados se genera una nueva generación de bacterias por medio de cruzamiento de los mejores individuos.

f(�)R�"��>' f(�)R¾"��óR f(�)R�"�¾óR

f(�)R�"�¾óR

f(�) = f(�)�"�'� Ñ = Ñ + ÀÑ = ÂÔ

Ciclo quimiotáctico DHBFGA For t = ÀZËÔÓËé

If ( ót(Ñ),-.�w-) Then While (Ñ d ×Å)Do Generar soluciones por intercambio, inserción e inversión

Evaluar la función fitness para f(�)R�"��>' , f(�)R¾"��óR y

Ordenar las soluciones de acuerdo a su valor de fitness. Seleccionar la mejor bacteria generada por intercambio, inserción e inversión. f(�)�"�'�

If ( f(�)�"�'� ÍÔêÍÑÏôõÒÍf(�)) Then

Else

End If End while

End If End For


optimización

Eliminación y dispersión

Finalmente se eliminan y dispersan las bacterias que no pertenezcan a la élite y obtengan una probabilidad < Ped, si el criterio de parada no se ha cumplido se repite el proceso, de lo contrario se termina el proceso.

Los operadores empleados en cada uno de los problemas solucionados en este trabajo se detallan posteriormente en el desarrollo experimental (capítulo 5).

4.2 Discrete Hybrid - Bacterial Chemotaxis Multiobjective Optimization Algorithm DH-BCMOA

El algoritmo que se propone a continuación es una versión híbrida y discreta del BCMOA propuesto por Guzmán et al., (2010), el cual es un algoritmo para solución de problemas multi-objetivo en espacios continuos que se basa en el comportamiento quimiotáctico de la bacteria E. Coli. De forma general se empleó la estructura del algoritmo BCMOA la cual se adaptó con operadores evolutivos para solucionar problemas discretos, de esta hibridación se obtuvo un algoritmo que logra un mejor desempeño en convergencia de las soluciones al Frente Óptimo de Pareto en menos tiempo en comparación con los algoritmos NSGA2 y SPEA2, en la solución de los problemas de prueba resueltos en este trabajo (ver capítulo 5).

De la misma forma que el algoritmo DHBFGA el algoritmo DH-BCMOA aprovecha la capacidad de las bacterias para salir de óptimos locales y la convergencia que se logra con los algoritmos genéticos para solucionar el problema del layout de las celdas de manufactura, los operadores que emplea son análogos a los del algoritmo DHBFGA. A continuación se describe cada uno de sus pasos, el pseudocódigo se puede apreciar en la figura 4-3.

Inicialización

El algoritmo inicia generando de forma aleatoria las h (tamaño de la población) bacterias f(�, �), (� =índice de las bacterias,� =índice de los pasos quimiotácticos, � = 1,… , ×Å máximo número de pasos quimiotácticos, � = 1, . . , ×�£� número de objetivos) que conforman la población inicial.

Criterio de parada

Se evalúa el criterio de parada, se puede emplear el número máximo de ciclos quimiotácticos, el número de llamados a la función objetivo o el que defina el usuario.

Evaluación de las funciones fitness

La evaluación de las funciones fitness permiten cuantificar el nivel de nutrientes en la ubicación de cada bacteria. En términos generales establece los valores de las funciones fitness u objetivo de la solución representada por la bacteria f(�). Clasificación de no dominancia

Se aplica el procedimiento de ordenamiento rápido de no dominancia propuesto por Deb et al., (2002) las bacterias son clasificadas en frentes de Pareto (POF). Las bacterias que se clasificaron

55

en el primer frente de Pareto (POF1) se denominan bacterias fuertes (estas no son dominadas por ninguna otra solución). Las demás bacterias se clasifican en diferentes frentes y se denominan débiles (estas son dominadas por otras soluciones).

Figura 4-3 Pseudocódigo DH-BCMOA

Quimiotaxis

La quimiotaxis que realiza el DH-BCMOA se aplica a toda la población a diferencia del BCMOA (en este solo se aplica a las bacterias fuertes o no dominadas) y es análogo al ciclo quimiotáctico que realiza el DHBFGA, pero en este caso particular se emplea una estrategia jerárquica basada en dominancia de Pareto. Inicia generando una nueva bacteria por intercambio (Coello, 2011), si esta domina a la bacteria original la remplaza y continua con la siguiente bacteria, de lo contrario se genera una nueva bacteria por inserción (Coello, 2011), si esta domina a la bacteria original la remplaza y continua con la siguiente bacteria, de lo contrario se genera una nueva bacteria por inversión (Coello, 2011), si esta domina a la bacteria original la remplaza y se continua con la siguiente bacteria, de lo contrario se termina la quimiotaxis y se continua el mismo proceso con la siguiente bacteria. El pseudocódigo se presenta en la figura 4-4.

Pseudocódigo DH-BCMOA Begin

Inicialización de parámetros: S (número de bacterias) :æh��É (Número máximo de pasos quimiotácticos) � (Índice de bacterias), j (índice de pasos quimiotácticos)

Generar una población inicial de bacterias f(�) While (Ñ d çèéêËM) Do Criterio de parada

Evaluar î !f(�)& Evaluar las funciones objetivo

Aplicar ordenamiento rápido no dominado Deb et al., (2002) For t = ÀZËÔÓËé Aplicar quimiotaxis a f(�) End For Calcular parámetro ��S Kumar et al., (2007) For t = ÀZËÔÓËé

If û ót(Ñ) ∉ ïð®À ∧ �ót(Ñ)ÍÔÓËZËÊtÐËÌË ∨ öôÏì d ïÍÌ�! ∨ ót(Ñ) ∈ ïð®À ∧ ót(Ñ)ÍÔÓËZËÊtÐËÌË!ü

Eliminar y dispersarf(�) End If

End For For ót(Ñ) ∉ ïð®À

Aproximarf(�)f(�)±�"��" por cruzamiento End For

End Do End


optimización

Figura 4-4 Quimiotaxis en el DH-BCMOA

Preservación de la diversidad

Con el fin de estimular la diversidad de las soluciones, se emplea el parámetro ��S propuesto por (Kumar et al., 2007). Este parámetro se emplea como criterio para realizar o no la dispersión de las bacterias conjuntamente con la probabilidad de eliminación y dispersión (��). Si una bacteria no pertenece al POF1 y obtiene una probabilidad inferior a �� o si está hacinada (sobre-agrupada - overcrowded) o repetida (para las implementaciones realizadas en este trabajo se aplicó este criterio cuando las bacterias estaban repetidas, sin embargo se puede establecer un nivel máximo de agrupamiento o hacinamiento a criterio del usuario), se elimina y dispersa la bacteria (esta es una variación estructural respecto al BCMOA), lo mismo sucede si pertenece al POF1 y está repetida.

Comunicación y estrategia quimiotáctica para bacterias débiles

Simulando la comunicación bacteriana en la naturaleza, cada bacteria débil (bacteria dominada) selecciona al azar una bacteria fuerte (bacteria no dominada) y se aproxima a esta mediante cruzamiento. El resultado es una bacteria mejorada (figura 4-5).

f(�)R�"��>'

î(f(�)R�"��>') f(�) = f(�)R�"��>'

f(�)R¾"��óR

î(f(�)R¾"��óR) f(�) = f(�)R¾"��óR

f(�)R�"�¾óR

î(f(�)R�"�¾óR) f(�) = f(�)R�"�¾óR

Quimiotaxis DH-BCMOA For t = ÀZËÔÓËé Generar nueva bacteria por intercambio

Evaluar

If (ót(Ñ)tÐÓÍôÊËêìtÏ domina a ót(Ñ)) Then

Else Generar nueva bacteria por inserción

Evaluar

If (ót(Ñ)tÐÔÍôÊtóÐ domina a ót(Ñ)) Then

Else Generar nueva bacteria por inversión

Evaluar


End If End If

End If End For

57

Figura 4-5 Aproximación de bacterias débiles a fuertes en el DH-BCMOA

Aproximación de bacterias débiles a fuertes For ót(Ñ) ∉ ïð®À Seleccionar de forma aleatoriaf(�)±�"��" Realizar cruzamiento entre f(�) y f(�)±�"��"

Asignar el hijo resultante a f(�) End For

5. Desarrollo experimental

El desarrollo experimental que se realizó en este trabajo tenía como objetivo evaluar el desempeño de los algoritmos propuestos, mediante la comparación de sus resultados con otros algoritmos similares solucionando un conjunto de problemas de prueba. De forma general primero se afinaron los parámetros de los algoritmos y posteriormente se corrieron cada uno de estos en su mejor configuración de parámetros solucionando los problemas de prueba, los resultados de las propuestas planteadas (mono-objetivo y multi-objetivo) en este trabajo se compararon con los resultados de los demás algoritmos (mono-objetivo AG, BFOA y Bacterial-GA Foraging y multi-objetivo NSGA2 y SPEA2) en la solución de los problemas de prueba, empleando la misma codificación de las soluciones en cada caso y los mismos operadores para que todos los algoritmos estén en igualdad de condiciones, la mutación modifica un individuo existente mientras que la eliminación y dispersión, elimina un individuo y genera otro nuevo en una ubicación diferente.

A continuación se describe el proceso seguido para evaluar las propuestas planteadas, iniciando con los problemas de prueba, describiendo la codificación y operadores empleados para cada uno de estos, posteriormente se describen los experimentos que se realizaron y la determinación del número de réplicas para cada uno, para finalmente presentar y discutir los resultados obtenidos.

5.1 Problemas de prueba

Para evaluar el desempeño de las propuestas planteadas en este trabajo se realizó para la propuesta mono-objetivo como para la multi-objetivo, primero la solución de un problema de prueba combinatorio para luego solucionar los problemas de prueba de layout. Los problemas de prueba combinatorios empleados fueron en el caso mono-objetivo cinco problemas del agente viajero TSP y en el caso multiobjetivo el problema de la mochila multiobjetivo (Multi-objective Knapsack Problem). Los problemas de layout se basaron en matrices de incidencia de problemas de prueba existentes en la literatura a los cuales se les generaron las matrices de secuencias. A continuación se describen cada uno de estos problemas.

5.1.1 Problema del agente viajero TSP

El problema del agente viajero o TSP (Traveling Salesman Problem), es un problema de optimización combinatoria que consiste en definir la ruta más corta para que un agente viajero visite todas las ciudades de una lista una sola vez, teniendo como origen una de las ciudades de la lista a la cual debe volver una vez recorra todas las demás (Lawler et al., 1985). De forma general este se define así:

¶�S�H�JK� �,�I,�,� (5.1)


optimización

Sujetoa: ∑ I,� = 1 �KÄ�� = 1,… , SúH�K�� Á��Å (5.2)

∑ I,� = 1� �KÄ�� = 1, … , SúH�K�� Á��Å (5.3)

I,� ∈ �0,1� (5.4)

Donde �,� es la distancia entre la ciudad � y la ciudad �, I,� = 1, si se toma el recorrido entre la ciudad � y la ciudad �. Las restricciones ∑ I,� = 1 y ∑ I,� = 1� , implican que cada una de las ciudades únicamente se llega una vez y se parte de esta una vez.

Los problemas TSP que se emplearon en este trabajo se obtuvieron de la página http://elib.zib.de/pub/mp-testdata/tsp/tsplib/tsp/index.html ó en http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/ (están disponibles online), estos se seleccionaron considerando que el número de variables fuese ascendente y similar a los problemas de layout, estos se resumen en la tabla 5-1.

Tabla 5-1 Problemas del agente viajero TSP

Nombre del problema Cantidad de ciudades Ulysses22 22 Berlin52 52

Pr76 76 KroA100 100

Ch130 130

Codificación de las soluciones

Las soluciones se codificaron como vectores que contienen una permutación que representa la ruta que debe tomar el agente viajero, esta codificación permite garantizar el cumplimiento de las restricciones del problema y únicamente manejar soluciones factibles. Para un problema con 5 ciudades una posible solución sería (2, 4, 5, 1, 3), lo que representaría que sale de la ciudad 2, y luego va a la 4, 5, 1, 3 y retorna a la ciudad 2. La población inicial se genera de forma aleatoria.

Operadores de cruce

Para el cruzamiento de las soluciones en los algoritmos genéticos y los algoritmos híbridos, se emplea cruzamiento PMX (Partially Mapped Crossover) (Coello, 2011), el cual realiza un intercambio de los genes entre los dos puntos de cruce (los cuales se seleccionan aleatoriamente), posteriormente se completa el individuo con los datos que no provienen del otro padre tratando de conservar la posición relativa que tenían estos en el padre original y evitando que se repitan datos como se muestra en la figura 5-1.

61

PMXPadre 1 6 4 3 1 2 5 Hijo 1 6 5 1 4 2 3

Padre 2 3 5 1 6 4 2 Hijo 2 5 4 3 6 1 2

Puntos de cruce

Ciudades Ciudades

Figura 5-1 Cruzamiento PMX en el problema del agente viajero TSP

Mutación

Se realiza la mutación empleando inversiones, inserciones e intercambios de los elementos de la solución como se muestra en la figura 5-2.

Inversión 6 4 3 1 2 5 6 2 1 3 4 5

Inserción 6 4 3 1 2 5 6 3 1 2 4 5

Intercambio 6 4 3 1 2 5 6 2 3 1 4 5

Individuo original Individuo mutadoCiudades Ciudades

Figura 5-2 Mutación y eliminación y dispersión de las soluciones en el problema del agente viajero TSP


En la eliminación y dispersión los individuos que no pertenecen a la élite y que obtienen una probabilidad inferior a Ped, se eliminan y se generan nuevos individuos.

Paso quimiotáctico

El paso quimiotáctico se realiza siguiendo el procedimiento descrito en la figura 4-2 (ver copia de esta en la siguiente página).

Reproducción por duplicación

En el BFOA la reproducción por duplicación se realizó copiando ��2 veces las bacterias mejor

adaptadas.


optimización

Figura 4-2 Ciclo quimiotáctico general del DHBFGA (Se repite)

5.1.2 Problema multi-objetivo de la mochila

El problema de la mochila (Knapsack problem) (Martello y Toth, 1990) en su versión mono-objetivo consiste en llenar una mochila con una serie de productos que tienen una ganancia dada, de tal forma que se maximice la ganancia y que no se supere la restricción de peso de la mochila, esto se puede expresar como:

¶I�H�JKf(x) = ∑ �I�"�¾�� (5.5)

Sujetoa: g(x) = ∑ �I d � ��QH� ℎ�Q,�"�¾�� ∀� = 1,… , SúH�K��Ä�HÅ (5.6)

I ∈ �0,1� (5.7)

Donde � es la ganancia obtenida con el ítem �, I = 1 si el ítem � es introducido en la mochila, de lo contario I = 0, � es el peso del ítem �.

f(�)R�"��>' f(�)R¾"��óR f(�)R�"�¾óR

f(�)R�"�¾óR

f(�) = f(�)�"�'� Ñ = Ñ + ÀÑ = ÂÔ

Ciclo quimiotáctico DHBFGA For t = ÀZËÔÓËé

If ( ót(Ñ),-.�w-) Then While (Ñ d ×Å)Do Generar soluciones por intercambio, inserción e inversión

Evaluar la función fitness para f(�)R�"��>' , f(�)R¾"��óR y

Ordenar las soluciones de acuerdo a su valor de fitness. Seleccionar la mejor bacteria generada por intercambio, inserción e inversión. f(�)�"�'�

If ( f(�)�"�'� ÍÔêÍÑÏôõÒÍf(�)) Then

Else

End If End while

End If End For

63

En la versión multiobjetivo de este problema se realiza lo mismo pero empleando varias mochilas como se describe a continuación:

¶I�H�JK: L�(x) = ∑ ��I�"�¾�� (5.8)

L�(x) = ∑ ��I�"�¾�� (5.9)

Sujeto a:

P�(x) = ∑ ��I d � ��QH� ℎ�Q1,�"�¾�� ∀� = 1, … , SúH�K��Ä�HÅ (5.10)

P�(x) = ∑ ��I d � ��QH� ℎ�Q2,�"�¾�� ∀� = 1,… , SúH�K��Ä�HÅ (5.11)

I ∈ �0,1� (5.12)

Donde los subíndices 1 y 2 identifican la mochila 1 y la 2.

En este trabajo se solucionaron tres problemas con 2 objetivos y 100, 250 y 500 ítems respectivamente, los cuales fueron propuestos por Zitzler y están disponibles online en:

http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/download/supplementary/testProblemSuite/


Las soluciones se codificaron como vectores binarios I ∈ �0,1�, donde I = 1, si el ítem � es seleccionado para introducirlo en las mochilas, de lo contario I = 0. Para un problema con 7 ítems una posible solución sería (0,1,0,0,1,1,1). La población inicial se genera de forma aleatoria, de la siguiente forma, primero se genera un numero aleatorio entre 0 y 1, si este es menor a 0.5 se asigna 0, de lo contrario se asigna 1 a la posición del vector solución.

Operadores de cruce

Para el cruzamiento de las soluciones en los algoritmos NSGA2, SPEA2 y el DH-BCMOA se emplea cruzamiento con dos puntos de cruce como se muestra en la figura 5-3.

Padre 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 Hijo 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

Padre 2 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 Hijo 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Puntos de cruce

Figura 5-3 Cruzamiento con dos puntos de cruce en el problema multi-objetivo de las mochilas

Mutación

La mutación se realiza generando un número aleatorio para cada una de las posiciones de los vectores solución, si este es menor que la probabilidad de mutación, se invierte su valor, si es 1 se asigna un 0, y viceversa. Como se muestra en la figura 5-4.


optimización

0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1Individuo mutadoIndividuo original

Figura 5-4 Mutación de las soluciones en el problema del agente viajero TSP


En la eliminación y dispersión los individuos dominados que obtienen una probabilidad inferior a Ped, o los no dominados sobre agrupados (repetidos) se eliminan y se generan nuevos individuos.

Paso quimiotáctico

El paso quimiotáctico se realiza siguiendo el procedimiento descrito en la figura 4-4.

Figura 4-4 Quimiotaxis en el DH-BCMOA (se repite)

Manejo de restricciones

Debido a que este problema tiene restricciones de capacidad de las mochilas y no es posible manejarlas con la codificación, se aplica una técnica de penalización de las soluciones no factibles que consiste en multiplicar por un factor el valor de las funciones objetivo, en este caso el factor

f(�)R�"��>'

î(f(�)R�"��>') f(�) = f(�)R�"��>'

f(�)R¾"��óR

î(f(�)R¾"��óR) f(�) = f(�)R¾"��óR

f(�)R�"�¾óR

î(f(�)R�"�¾óR) f(�) = f(�)R�"�¾óR

Quimiotaxis DH-BCMOA For t = ÀZËÔÓËé Generar nueva bacteria por intercambio

Evaluar


Else Generar nueva bacteria por inserción

Evaluar


Else Generar nueva bacteria por inversión

Evaluar


End If End If

End If End For

65

usado fue 0.4 (se emplea este valor considerando la descripción del problema que plantea Zitzler en su página web).

5.1.3 El problema del layout de las celdas de manufactura

Este problema ya fue descrito en los capítulos anteriores, las matrices y vectores de los problemas que se describen a continuación se emplean para el problema del layout de las celdas de manufactura mono-objetivo y multi-objetivo. A continuación se describe el proceso que se siguió para construir las matrices de secuencias y los vectores de volúmenes de producción y tamaños de lotes empleados en este trabajo a partir de las matrices de incidencia de problemas de formación de las celdas de manufactura que se encuentran en la literatura, que se resumen en la tabla 5-2, este proceso se muestra para la matriz más sencilla de 5 máquinas y 7 partes, las matrices y vectores que se emplearon se presentan como anexo a este trabajo.

Tabla 5-2 Fuentes de las matrices de incidencia de los problemas del layout de celdas de manufactura

Matriz (Máquinas x Partes) Fuente

Matriz de incidencia 5x7 Vitanov, Tjahjono y Marghalany, 2008

Matriz de incidencia 7x11 Seifodini y Djassemi, 1996

Matriz de incidencia 14x24 King, 1980

Matriz de incidencia 35x20 Burbidge, 1969

Matriz de incidencia 24x40 Chandrasekharan y Rajagopalan, 1989

Partiendo de la matriz de incidencia (Tabla 5-3) se ordenó está de acuerdo a la solución óptima al problema de formación de las celdas, luego en cada celda las máquinas y partes se ordenaron de forma ascendente, finalmente para cada parte se remplazaron los unos de la matriz de incidencia por números enteros positivos desde uno hasta el máximo número de operaciones de cada parte recorriendo cada vector que representa la parte, la matriz de secuencias resultante se presenta en la tabla 5-4. Este proceso se realizó de esta forma para lograr el mejor agrupamiento de las celdas, lo cual implica sesgo en la determinación del óptimo. Para que los problemas de prueba fuesen genéricos se decidió usar vectores de volúmenes de producción y tamaño del lote por movimiento con todos sus elementos iguales a uno, para no ejercer presión en la forma final del layout debido a los volúmenes de producción, sin embargo la función objetivo los contempla y funciona correctamente. Respecto de las distancias a los puntos de origen de los materiales y finales de las partes se consideraron estas con un valor igual a cero.

Tabla 5-3 Matriz de incidencia de 5 máquinas y 7 partes (Vitanov et al., 2008)

1 2 3 4 5 6 71 0 1 0 0 1 1 12 1 0 1 0 0 0 03 0 1 0 0 1 1 14 1 1 0 0 1 1 05 0 0 1 1 0 1 0

Partes

Má

qui

nas


optimización

Tabla 5-4 Matriz de secuencias de 5 máquinas y 7 partes (Vitanov et al., 2008)

2 5 6 7 1 3 4

1 1 1 1 1 0 0 0

3 2 2 2 2 0 0 0

4 3 3 3 0 2 0 0

2 0 0 0 0 1 1 0

5 0 0 4 0 0 2 1

Partes

Máqui

nas

Familia 1 Familia 2

Celd

a 1

Celd

a 2

A continuación se describe la codificación y los operadores empleados para este problema.


La codificación que se emplea para el problema del layout está basada en grupo u orden, toma la estructura de la descripción que realizan de esta Gen, Lin y Zhang (2009). Cada una de las soluciones se representa en un cromosoma, en el cual la primera parte corresponde a un vector que contiene la agrupación de las máquinas, a continuación la agrupación de las partes, luego la cantidad de celdas o familias de partes y finaliza con los límites en las posiciones de las permutaciones de las máquinas y partes para conformar las celdas y familias como se muestra continuación:

Cantidad de celdas

Cromosoma 6 4 3 1 2 5 3 4 1 2 3 2 5 6 0 1 3 4 0

Posiciones 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4Límites 6 1 4

C3 F1 F3

Limites familias

C1 C2 F22 5 3

Celdas Familias

Máquinas PartesLimites celdas

Figura 5-5 Ejemplo codificación basada en grupo para el problema del layout

Para el ejemplo de la figura 5-5 las celdas y familias de partes quedarían conformadas de la siguiente forma:

Celda 1= Máquinas 6 y 4 Familia 1= Parte 3 Celda 2= Máquinas 3, 1 y 2 Familia 2= Parte 4 y 1 Celda 3= Máquinas 5 Familia 3= Partes 2

67

2

4 1

6 3 5

Celda 1 Celda 2 Celda 3

Figura 5-6 Representación del layout del ejemplo de la figura 5-5

Generación de la población inicial

En este caso se generan las permutaciones para las máquinas y partes, desordenando un arreglo que va desde 1 hasta el número de máquinas o partes, la cantidad de celdas se asigna con un numero aleatorio entre 1 y el máximo número de celdas, el cual define la cantidad de límites en las posiciones para formar las celdas y familias asignando a estas las máquinas o partes que quedan en los intervalos que estos definen.

Cruzamiento

El cruzamiento se realiza separando el cromosoma en cada una de sus partes, las dos primeras correspondientes a las permutaciones de las máquinas y las partes se cruzan empleando cruzamiento PMX (Partially Mapped Crossover), el resto del cromosoma se intercambia completamente para formar cada hijo como se puede ver en la figura 5-7.

Cantidad de celdas

Padre 1 6 4 3 1 2 5 4 1 3 2 3 2 5 6 0 1 3 4 0

Padre 2 3 5 1 6 4 2 2 3 1 4 2 3 6 0 0 2 4 0 0

PMXCantidad de celdas

Hijo 1 6 5 1 4 2 3 2 3 1 4 2 3 6 0 0 2 4 0 0

Hijo 2 5 4 3 6 1 2 4 1 3 2 3 2 5 6 0 1 3 4 0

Puntos de cruce


Limites familias


Limites familias

Figura 5-7 Ejemplo de cruzamiento PMX para la codificación de las soluciones

Mutación

En la mutación se tiene un tratamiento diferente para las permutaciones que para el resto del cromosoma, las primeras se mutan por inversión y el resto del cromosoma se muta como si se generara un nuevo individuo (Figura 5-8).


optimización

Cantidad de celdas

6 4 3 1 2 5 3 4 1 2 3 2 5 6 0 1 3 4 0

Cantidad de celdas

6 2 1 3 4 5 3 1 4 2 4 1 2 4 5 1 2 3 4


Limites familias

Individuo seleccionado

Individuo mutado


Limites familias

Figura 5-8 Ejemplo mutación o eliminación y dispersión individuo para codificación de las soluciones


En la eliminación y dispersión mono-objetivo los individuos que no pertenecen a la élite y que obtienen una probabilidad inferior a Ped, se eliminan y se generan nuevos individuos. En el caso multi-objetivo los individuos dominados que obtienen una probabilidad inferior a Ped, o los no dominados sobre agrupados (repetidos) se eliminan y se generan nuevos individuos.

Figura 5-9 Ciclo quimiotáctico del DHBFGA en el problema del Layout

Paso quimiotáctico y quimiotaxis

Para el problema mono-objetivo el paso quimiotáctico sigue un esquema diferente al de la quimiotaxis del problema multi-objetivo. El paso quimiotáctico que se implementó fue el resultado

f(�)R�"��>' f(�)R¾"��óR

f(�) = f(�)�"�'� Ñ = Ñ + ÀÑ = ÂÔ

Ciclo quimiotáctico DHBFGA en el problema del Layout For t = ÀℎÅÄé

If ( f(�)*+µ;Û+) Then While (� d ×Å) Do

Generar soluciones por intercambio e inserción de los elementos que conforman cada celda (únicamente se opera sobre las permutaciones de las máquinas, y se realiza esta operación por cada celda que tenga la bacteria f(�)) Evaluar la función fitness para f(�)R�"��>' y f(�)R¾"��óR Ordenar las soluciones de acuerdo a su valor de fitness. Seleccionar la mejor bacteria generada por intercambio e inserción.

f(�)�"�'� If ( f(�)�"�'� ÍÔêÍÑÏôõÒÍf(�)) Then

Else

End If End while

End If End For

69

de un proceso que por prueba y error permitió definir la estrategia que lograba los mejores resultados respecto a convergencia y valores de fitness, para los algoritmos BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA. De forma general el procedimiento implementado que se muestra en la figura 5-9, opera sobre las permutaciones de las máquinas generando alternativas de solución por medio de intercambios e inserciones de las máquinas que conforman cada celda, de esta forma se generan para cada bacteria que pertenezca a la élite tantas alternativas por intercambio e inserción como celdas tenga la bacteria, de esta forma la bacteria explora entre alternativas que minimicen el costo de transporte pero conservando el mismo agrupamiento de las máquinas en celdas. La exploración de nuevas alternativas con diferentes números de celdas y límites de estas para formar las celdas se delega en la eliminación y dispersión.

Figura 5-10 Quimiotaxis en el DH-BCMOA para el problema del layout

La quimiotaxis que realiza el DH-BCMOA opera de forma jerárquica sobre todos los elementos del cromosoma, primero genera una alternativa por intercambio aplicando este operador a las permutaciones de las máquinas y partes, si esta alternativa domina a la bacteria original, ésta la

f(�)R�"��>'

î(f(�)R�"��>') f(�) = f(�)R�"��>'

f(�)R¾"��óR

î(f(�)R¾"��óR) f(�) = f(�)R¾"��óR

f(�)R�"�¾óR

î(f(�)R�"�¾óR) f(�) = f(�)R�"�¾óR

f(�)R�"��R�½�½½"�"�½�¾

Quimiotaxis DH-BCMOA para el problema del layout For t = ÀZËÔÓËé

Generar nueva bacteria por intercambio de las permutaciones de las máquinas y partesEvaluar


Else Generar nueva bacteria por inserción de las permutaciones de las máquinas y partesEvaluar


Else Generar nueva bacteria por inversión de las permutaciones de las máquinas y partes

Evaluar

If (f(�)R¾"��óRdomina a f(�)) Then

Else Generar nueva bacteria con nueva cantidad de celdas

Evaluar î(f(�)R�"��R�½�½½"�"�½�¾)

If (f(�)R�"��R�½�½½"�"�½�¾domina af(�)) Then f(�) = f(�)R�"��R�½�½½"�"�½�¾

End If End If

End If End If

End For


optimización

remplaza, de lo contario genera otra alternativa por inserción aplicando este operador a las permutaciones de las máquinas y partes, si esta alternativa domina a la bacteria original, ésta la remplaza, de lo contario genera otra alternativa por inversión aplicando este operador a las permutaciones de las máquinas y partes, si esta alternativa domina a la bacteria original, ésta la remplaza, de lo contario genera otra alternativa asignando una nueva cantidad de celdas al cromosoma y generando nuevos límites para las celdas y familias, si esta alternativa domina a la bacteria original, ésta la reemplaza, de lo contrario termina la quimiotaxis. Este proceso se describe en la figura 5-10.

Reproducción por duplicación

En el BFOA la reproducción por duplicación se realizó copiando 445 veces las bacterias mejor

adaptadas.

5.2 Experimentos realizados

Para evaluar el desempeño de las propuestas planteadas se realizaron varios experimentos que se pueden dividir en dos grandes grupos, los primeros consistieron en afinar los parámetros de probabilidad de cruzamiento y probabilidad de mutación o eliminación y dispersión, para obtener la mejor configuración de estos, los segundos consistieron en evaluar el desempeño corriendo los algoritmos (mono-objetivo DHBFGA, AG, BFOA y Bacterial-GA Foraging y multi-objetivo DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2) en la mejor configuración de sus parámetros obtenida de los primeros experimentos.

Todos los algoritmos se programaron en lenguaje Fortran 90, los gráficos y tablas de resultados se realizaron en Microsoft Excel y Matlab, y los análisis de varianza en Minitab. Para el desarrollo de este trabajo se empleó un computador con procesador Intel Core™ 2 Duo T6400 de 2.00 GHz y 3 GB de memoria RAM.

A continuación se describe el proceso que se realizó para determinar el número de réplicas para cada experimento y posteriormente se describen los experimentos mono-objetivo y multi-objetivo que se realizaron.

5.2.1 Número de réplicas

Dada la necesidad de evaluar el desempeño de las propuestas planteadas en este trabajo y con el objetivo de lograr resultados estadísticamente confiables se determinó el número mínimo de réplicas para cada uno de los experimentos. De forma general se realizó una prueba piloto con tres réplicas por tratamiento para estimar la media y la desviación estándar, estos datos alimentaron la siguiente ecuación (Kuehl, 2001), que determina el número de réplicas necesario para una prueba de hipótesis acerca de las diferencias entre las medias:

K ≥ 2 ¸J6 �7 + J8¹� !ä9&� (5.13)

Donde K es el número de réplicas, J6 �7 es una variable normal estándar con probabilidad : 27 y J8

es una variable normal con probabilidad ;, : es el nivel de significancia de la prueba o la probabilidad de cometer error tipo I (no aceptar la hipótesis nula æ'), ; es la probabilidad de

71

cometer error tipo II (no rechazar la hipótesis nula æ'), < es el tamaño de la diferencia y á es la desviación estándar. Debido a las diferencias entre los problemas de prueba se empleó una versión de la anterior ecuación donde se emplea el coeficiente porcentual de variación %:ú = 100 ä

>

(donde ? es la media) que remplaza a á. La diferencia < se debe expresar como porcentaje de la

media global esperada del experimento %< = 100 9>. La ecuación que se empleó finalmente tomó

la siguiente forma:

K ≥ 2 ¸J6 �7 + J8¹� !%��%9 &� (5.14)

Para todos los experimentos se calculó el número de réplicas con : = 0.01, ; = 0.1, y se determinó que el error porcentual debería ser %< = 5. Luego de realizados los cálculos el número de réplicas de cada experimento se normalizó en 10 réplicas para los experimentos de ajuste de parámetros y 30 para la evaluación del desempeño de las propuestas con la mejor configuración de parámetros, estos valores son superiores a los calculados a partir de las pruebas piloto y buscaban estandarizar los experimentos.

5.2.2 Experimentos mono-objetivo

Para los problemas mono-objetivo la variable de respuesta de los primeros experimentos fue la desviación de la solución óptima que consistía en:

��ÅÕ� �óS = ��'�'>�"R½'½"±�R"¾¾(��'�¾'��óRó��'�¾'��óRó�� (5.15)

La configuración de parámetros que tuviera el promedio más bajo de desviación era la seleccionada para alimentar los segundos experimentos. Se seleccionó este criterio debido a que los valores de las soluciones óptimas entre un problema y otro cambian. En este sentido la desviación del valor óptimo resultaba un mejor factor de comparación del desempeño de los algoritmos respecto a los niveles de los parámetros de cruzamiento y mutación. En las tablas 5-5 y 5-6 se resume los factores y bloques de los primeros experimentos mono-objetivo.

Para todos los algoritmos mono-objetivo se empleó un tamaño de población de 100 individuos, una

élite correspondiente al 20% de la población, una relación ��2 = 5 (para que fuese comparable con

el tamaño de la élite y siguiendo la recomendación de Nouri et al. (2010), número de ciclos quimiotácticos × = 5, número de ciclos de reproducción ×K� = 5, máximo número de nados ×Å = 10, el número de ciclos de eliminación y dispersión ×�Q = 500 (se definió este valor alto para cumplir con el criterio de parada) y como criterio de parada se consideró un número máximo de llamados a la función objetivo igual a 250000.


optimización

Tabla 5-5 Experimentos para ajuste de parámetros problemas TSP

Bloques

Problemas de prueba

Algoritmo % Cruzamiento % Mutación o Ped TSP

Algoritmos genéticos AG 0,7 - 0,8 - 0,9 0,1 - 0,2 - 0,3 Ulysses22, Berlin52, Pr76, KroA100, Ch130

BFOA 0,1 - 0,2 - 0,3 Ulysses22, Berlin52, Pr76, KroA100, Ch130

Bacterial-GA 0,7 - 0,8 - 0,9 0,1 - 0,2 - 0,3 Ulysses22, Berlin52, Pr76, KroA100, Ch130

DHBFGA 0,7 - 0,8 - 0,9 0,1 - 0,2 - 0,3 Ulysses22, Berlin52, Pr76, KroA100, Ch130

FACTORES

Tabla 5-6 Experimentos para ajuste de parámetros problemas layout

Bloques

Problemas de prueba

Algoritmo % Cruzamiento % Mutación o Ped Matrices (Máquinas x Partes)

Algoritmos genéticos AG 0,7 - 0,8 - 0,9 0,1 - 0,2 - 0,3 5x7, 7x11, 14x24, 35x20 y 24x40

BFOA 0,1 - 0,2 - 0,3 5x7, 7x11, 14x24, 35x20 y 24x41

Bacterial-GA 0,7 - 0,8 - 0,9 0,1 - 0,2 - 0,3 5x7, 7x11, 14x24, 35x20 y 24x42

DHBFGA 0,7 - 0,8 - 0,9 0,1 - 0,2 - 0,3 5x7, 7x11, 14x24, 35x20 y 24x43

FACTORES

Determinados los valores óptimos de los parámetros de los algoritmos, se procedió a comparar el desempeño de las alternativas planteadas en la mejor configuración de sus parámetros considerando los resultados de dos variables, la primera el valor de fitness obtenido y la segunda el tiempo requerido para lograr ese valor de fitness. Este esquema se aplicó en la solución de los problemas TSP y layout.

5.2.3 Experimentos multi-objetivo

Los experimentos multi-objetivo que se plantearon buscan determinar de la misma forma que los mono-objetivo los valores de la probabilidad de cruzamiento y la probabilidad de mutación o eliminación y dispersión que permiten tener el mejor desempeño de los algoritmos evaluados. Dado que los problemas multi-objetivo no tienen una sola solución, sino un conjunto de soluciones no dominadas es necesario establecer un criterio para definir qué conjunto de soluciones es mejor que otro, al respecto las soluciones se comparan en varios aspectos. El primero la convergencia al frente óptimo de Pareto. Para esto existen diferentes métricas como lo describe Grosan (2003), en este trabajo se emplea la métrica de convergencia propuesta por Deb y Jain (2002). El segundo criterio es la diversidad de las soluciones, el objetivo en este caso es establecer que tan dispersas o diversas son las soluciones entre sí y con respecto al frente óptimo de Pareto, Yan et al. (2007), describen varias de estas entre ellas la métrica ∆, propuesta por Deb et al., (2002) que es la que se implementa en este trabajo. Otros aspectos que se pueden considerar son el número de soluciones no dominadas o que pertenecen al primer frente de Pareto o el tiempo requerido para cumplir cierto criterio. En el caso de los experimentos para obtener los valores de los parámetros que lograran el mejor desempeño de los algoritmos se consideró la métrica de proximidad como variable de salida ya que primordialmente las soluciones se deben acercar al frente óptimo de Pareto, se emplearon únicamente los problemas de las mochilas porque de estos se tenía el frente óptimo de Pareto, estos se resumen en la tabla 5-7.

73

Tabla 5-7 Experimentos para ajuste de parámetros problemas de las mochilas o Knapsack

Bloques

Problemas de prueba

Algoritmo % Cruzamiento % Mutación o Ped Mochila - Knapsack (Ítems - No. Objetivos)

DH-BCMOA 0,005 - 0,015 - 0,025 (100 - 2), (250 - 2), (500 - 2)

NSGA2 0,7 - 0,8 - 0,9 0,005 - 0,015 - 0,025 (100 - 2), (250 - 2), (500 - 2)

SPEA2 0,7 - 0,8 - 0,9 0,005 - 0,015 - 0,025 (100 - 2), (250 - 2), (500 - 2)

FACTORES

Para los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 se empleó un tamaño de población de 250 individuos como lo recomienda Zitzler et al.(2001) (en el caso del NSGA2 y SPEA2 el tamaño de la población no dominada o “archivo” es también de 250 individuos), por último como criterio de parada se consideró un número máximo de llamados a la función objetivo igual a 250000. En la segunda fase de experimentos se realiza al final una comparación gráfica entre los algoritmos empleando como criterio de parada el tiempo.

Una vez determinados los valores de los parámetros se procedió a comparar el desempeño de los algoritmos en la solución de los problemas de las mochilas y de layout, evaluando el desempeño respecto a convergencia, diversidad, tiempo y número de elementos en el frente óptimo de Pareto.

5.3 Resultados y discusión

A continuación se presentan los resultados de los experimentos obtenidos, se inicia con los experimentos mono-objetivo y posteriormente se presenta los multi-objetivo.

5.3.1 Resultados y discusión experimentos mono-objetivo

El ajuste de parámetros que se realizó solucionando los problemas mono-objetivo del agente viajero TSP y los problemas de layout, arrojaron los valores que se presentan en las tablas 5-8 y 5-9 de los parámetros de cruzamiento y mutación o eliminación y dispersión. Con estos valores se procedió a evaluar el desempeño de los cuatro algoritmos solucionando los problemas TSP y Layout, para esta segunda parte las variables de respuesta fueron el valor promedio de la función fitness y el tiempo promedio empleado para solucionar cada problema.

Tabla 5-8 Parámetros obtenidos a partir de la solución de los problemas TSP

Algoritmo % Cruzamiento % Mutación o Ped

Algoritmos genéticos AG 0.9 0,1

BFOA 0,1

Bacterial-GA 0.9 0,1

DHBFGA 0.9 0,1

Problemas TSP

Tabla 5-9 Parámetros obtenidos a partir de la solución de los problemas Layout


optimización


Algoritmos genéticos AG 0.9 0,3

BFOA 0,3

Bacterial-GA 0.9 0,3

DHBFGA 0.9 0,3

Problemas Layout

Problemas del agente viajero TSP

El desempeño de los cuatro algoritmos en la solución del problema del agente viajero se presenta a continuación, las variables de respuesta fueron los valores mínimos obtenidos de la función fitness y el tiempo empleado por cada algoritmo para obtener estas soluciones, inicialmente estos fueron sometidos a análisis de varianza con el objetivo de verificar si existían diferencias entre las medias de los valores de la función fitness y el tiempo obtenidas por cada algoritmo. En la tabla 5-10 se puede verificar que efectivamente existen diferencias entre las medias de la función fitness obtenidas por los algoritmos probados, estas están influenciadas por el tipo de algoritmo empleado y el tipo de problema, ya que el valor óptimo de fitness depende de cada problema, además existe interacción entre estos dos factores. La variable tiempo también presenta el mismo comportamiento entre las medias como se observa en la figura 5-11, porque el tiempo que emplea cada algoritmo en solucionar cierto problema depende de la complejidad de éste y de la estructura particular de cada algoritmo, esto genera que se presente interacción entre estos factores.

Tabla 5-10 Resultados ANOVA Función fitness Vs Algoritmos*Problemas TSP

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P

Algoritmo 3 79435770237 79435770237 26478590079 1697,85 0

Problema 4 1,55544E+12 1,55544E+12 3,8886E+11 24934,33 0

Algoritmo*Problema 12 1,62018E+11 1,62018E+11 13501523734 865,74 0

Error 380 5926236770 5926236770 15595360

Total 399 1,80282E+12

Tabla 5-11 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas TSP

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 3 442522 442522 147507 14760,62 0

Problema 4 487551 487551 121888 12196,94 0

Algoritmo*Problema 12 410330 410330 34194 3421,71 0

Error 380 3797 3797 10

Total 399 1344200 Los resultados presentados en la figura 5-11 muestran que en cuatro de los cinco problemas TSP el algoritmo propuesto DHBFGA obtiene promedios inferiores en relación a los demás algoritmos, con una desviación estándar menor (figura 5-12) que demuestran una variabilidad más baja. Los algoritmos BFOA y Bacterial-GA Foraging, logran resultados análogos al DHBFGA, pero con promedios superiores. De forma general los algoritmos basados en bacterias presentan promedios y

75

desviaciones estándar inferiores (figura 5-11 y 5-12), mientras que el algoritmo genético tiene promedios superiores en todos los problemas respecto a los demás.

Mejores soluciones

reportadas * 70.13 7542 108159 21282 6110

*Fuente: http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/

Figura 5-11 Promedio de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas TSP empleando AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA

Figura 5-12 Desviación estándar de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas TSP empleando AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA

Ulysses 22 Berlin 52 Pr 76 KroA 100 Ch 130

AG 76,25 11390,07 255263,70 73149,69 2524,22

BFOA 75,51 8123,79 136634,05 36261,18 2085,17

Bacterial GA 75,52 8029,17 131533,65 34904,61 2151,29

DHBFGA 75,35 7969,35 134763,90 34599,81 2022,76

0,00

50000,00

100000,00

150000,00

200000,00

250000,00

300000,00

Fitn

ess

Ulysses 22 Berlin 52 Pr 76 KroA 100 Ch 130

AG 0,92 1002,44 14950,82 3811,75 233,19

BFOA 0,33 181,11 5297,78 1125,63 150,92

Bacterial GA 0,30 198,00 5368,06 1411,29 142,70

DHBFGA 0,18 161,84 3372,02 1064,07 77,06

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Des

viac

ión

esta

ndar

fitn

ess


optimización

Figura 5-13 Promedio del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP

Figura 5-14 Desviación estándar del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP

Los resultados anteriores demostraron que los algoritmos basados en bacterias lograron mejores resultados de fitness para el problema del agente viajero TSP, al analizar el tiempo promedio

5x7 7x11 14x24 24x40 35x20

AG 1,41 2,44 44,35 264,22 149,14

Bacterial-GA 2,65 4,62 22,58 146,82 99,31

BFOA 1,06 1,87 2,95 35,06 31,97

DHBFGA 1,76 2,24 55,24 262,49 139,86

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

Tie

mpo

(S

eg)

5x7 7x11 14x24 24x40 35x20

AG 1,90 3,40 21,75 47,45 30,99

Bacterial-GA 2,16 4,32 18,45 69,17 44,45

BFOA 1,65 3,82 3,61 70,39 22,37

DHBFGA 1,59 3,47 12,55 24,04 25,47

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

Des

viac

ión

está

ndar

Tie

mpo

77

empleado por cada algoritmo para obtener dichas soluciones se presenta el mismo comportamiento (figura 5-13), los algoritmos basados en bacterias obtienen promedios y desviaciones estándar menores. El algoritmo más rápido es el BFOA, seguido por Bacterial-GA Foraging, DHBFGA y finalmente AG, esto implicaría que los algoritmos basados en bacterias tienen una ventaja sobre los algoritmos genéticos en la solución de los problemas TSP ya que respecto al tiempo serían más eficientes, probablemente porque pueden explorar de una forma más eficaz el espacio de búsqueda en un problema con permutaciones. Este comportamiento puede verse claramente de forma gráfica en las figuras 5-15 a 5-24, donde respecto al número de llamados a la función fitness el algoritmo propuesto DHBFGA logra el mejor desempeño, ya que obtiene las soluciones con los menores valores de fitness, sin embargo considerando el tiempo BFOA supera a los demás aunque sus valores de fitness son superiores a DHBFGA.

Figura 5-15 Comparación de los valores de fitness respecto al número de llamados a la función fitness de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del

problema TSP Ulysses 22


optimización

Figura 5-16 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Ulysses 22


problema TSP Berlin 52

79

Figura 5-18 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Berlin 52


problema TSP Pr 76


optimización

Figura 5-20 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Pr 76


problema TSP KroA 100

81

Figura 5-22 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foragingy DHBFGA en la solución del problema TSP KroA 100


problema TSP Ch 130


optimización

Figura 5-24 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema TSP Ch 130

Problemas mono-objetivo del layout de las celdas de manufactura

La solución mono-objetivo de los problemas del layout siguió los mismos criterios que los problemas TSP, primero se realizaron los análisis de varianza que se presentan en las tablas 5-12 y 5-13 donde se observa que existen diferencias entre las medias obtenidas en los valores de fitness y tiempo, que están influenciadas por el tipo de algoritmo empleado en la solución y las dimensiones del problema solucionado, siendo este último el factor que más afecta el tiempo.

Tabla 5-12 Resultados ANOVA Función Fitness Vs Algoritmos*Problemas Layout

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 1 24423 24423 24423 7,83 0,006

Problema 4 12395202 12395202 3098801 993,64 0


Error 190 592543 592543 3119

Total 199 13127461

Tabla 5-13 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas Layout

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P

Algoritmo 3 412230 412230 137410 155,19 0

Problema 4 1854743 1854743 463686 523,69 0


Error 380 336459 336459 885

Total 399 3113827

83

En los problemas del layout de celdas de manufactura el desempeño de los algoritmos fue diferente respecto a los problemas TSP, en este caso los mejores desempeños los obtuvieron el algoritmo propuesto DHBFGA y AG, como se puede apreciar en la figura 5-25, donde estos dos algoritmos presentan los promedios más bajos, con valores muy cercanos entre sí. Resaltándose que el algoritmo propuesto DHBFGA logra para el problema más complejo 35x20 un promedio muy inferior a los demás, además la dispersión de sus datos de fitness y tiempo crece en un tasa menor que los otros algoritmos en la medida que se incrementa la complejidad del problema (figuras 5-26 y 5-28). AG y DHBFGA lideran el desempeño en cuanto a fitness. Respecto al tiempo (figuras 5-27) los algoritmos BFOA y Bacterial-GA Foraging tienen tiempos promedio bajos, pero presentan convergencia prematura a soluciones no óptimas (figuras 5-29 a 5-38), por lo tanto sus menores tiempos reflejan un pobre desempeño. Probablemente esto se debe a que este problema no solo maneja permutaciones sino también combinaciones, ya que debe agrupar las máquinas en celdas y las partes en familias, al mismo tiempo que se establece las posiciones de las máquinas y celdas, por lo tanto para solucionarlo no solo es necesario explorar soluciones sino también lograr una buena convergencia.

En este sentido la hibridación con el algoritmo genético le permite al algoritmo DHBFGA mejorar su convergencia y el ciclo quimiotáctico le permite explorar las permutaciones, esto es más notorio en los problemas más complejos donde el espacio de búsqueda es más grande. Esto se puede apreciar en las figuras 5-29 a 5-38, en las cuales se puede ver el comportamiento de la función fitness de cada algoritmo respecto al número de llamados a la función fitness y respecto al tiempo para cada problema, apreciándose como el algoritmo DHBFGA de una forma más eficaz realiza la búsqueda de la solución óptima escapando a mínimos locales (figuras 5-33 a 5-36) y con una constante tendencia a descender al valor mínimo.

Soluciones óptimas

9.45 2.50 42.0614 68.5876 107.413

Figura 5-25 Promedio de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas de Layout empleando AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA

5x7 7x11 14x24 24x40 35x20

AG 9,45 10,86 78,78 321,43 714,60

BFOA 15,52 24,06 162,99 733,19 1430,76

Bacterial-GA 11,29 17,09 117,30 540,73 956,05

DHBFGA 9,45 9,81 75,99 332,42 596,95

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

1400,00

1600,00

Fitn

ess


optimización

Figura 5-26 Desviación estándar de los valores de la función fitness obtenidos en la solución de los problemas de Layout empleando AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA

Figura 5-27 Promedio del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP

5x7 7x11 14x24 24x40 35x20

AG 0,00 2,34 14,39 47,57 123,98

Bacterial-GA 1,53 3,28 17,07 53,16 202,46

BFOA 1,73 2,53 11,67 42,30 105,54

DHBFGA 0,00 4,93 10,35 47,33 104,73

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

Des

viac

ión

está

ndar

Fitn

ess

5x7 7x11 14x24 24x40 35x20

AG 1,41 2,44 44,35 264,22 149,14

Bacterial-GA 2,65 4,62 22,58 146,82 99,31

BFOA 1,06 1,87 2,95 35,06 31,97

DHBFGA 1,76 2,24 55,24 262,49 139,86

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

Tie

mpo

(S

eg)

85

Figura 5-28 Desviación estándar del tiempo empleado por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la obtención de las soluciones de los problemas TSP


problema de Layout 5x7

5x7 7x11 14x24 24x40 35x20

AG 1,90 3,40 21,75 47,45 30,99

Bacterial-GA 2,16 4,32 18,45 69,17 44,45

BFOA 1,65 3,82 3,61 70,39 22,37

DHBFGA 1,59 3,47 12,55 24,04 25,47

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00D

esvi

ació

n es

tánd

ar T

iem

po


optimización

Figura 5-30 Comparación de los valores de fitness respecto al tiempo de los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución del problema de Layout 5x7



87





optimización




89





optimización


5.3.2 Resultados y discusión experimentos multi-objetivo

Para los experimentos multi-objetivo los parámetros se ajustaron solucionando el problema multi-objetivo de las mochilas a partir del mejor desempeño de las soluciones respecto a la convergencia de estas al frente óptimo de Pareto, empleando como variable de respuesta los valores de la métrica de proximidad (Deb y Jain, 2002) obtenidos por NSGA2, SPEA2 y DH-BCMOA, los resultados obtenidos se presentan en la tabla 5-14.

Tabla 5-14 Parámetros obtenidos a partir de la solución de los problemas de las mochilas o Knapsack


DH-BCMOA 0,005

NSGA2 0,8 0,005

SPEA2 0,8 0,005

Definidos los parámetros óptimos se procedió a evaluar el desempeño de los algoritmos en relación con la convergencia, diversidad, número de soluciones no dominadas y tiempo. A continuación se presentan los resultados de los problemas de la mochila y luego los de layout.

91

Problemas multi-objetivo de la mochila

Se probaron los algoritmos solucionando tres problemas multi-objetivo de la mochila con dos objetivos y 100, 250 y 500 ítems respectivamente. De la misma forma que los problemas mono-objetivo primero se presentan los análisis de varianza respecto a cada una de las variables de respuesta con el objetivo de verificar si existen diferencias entre las medias de estas. En la tabla 5-15 se puede evidenciar que las medias obtenidas de los valores de la métrica de proximidad demuestran que existen diferencias entre estas influenciadas principalmente por el tipo de algoritmo el cual ejerce una mayor influencia qué las dimensiones del problema, la interacción que se presenta entre estos dos factores se puede evidenciar en la figura 5-39, ya que cada algoritmo presenta comportamientos distintos. En el caso del DH-BCMOA mejoran los resultados con el incremento del número de ítems del problema (figuras 5-43 a 5-45), lo opuesto sucede con NSGA2 y SPEA2, además presentan una alta dispersión de sus resultados para el problema con 500 ítems. Al considerar la métrica∆, el número de soluciones no dominadas y el tiempo empleado para realizar 250000 llamados a las funciones fitness, se presenta una influencia superior del tipo de algoritmo respecto a las dimensiones del problema solucionado (tablas 5-15, 5-16 y 5-17).

Tabla 5-15 Resultados ANOVA Métrica de Proximidad Vs Algoritmos*Problemas Mochilas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 2 0,0004703 0,0005771 0,0002886 10,67 0 Problema 2 0,0000437 0,0002165 0,0001082 4 0,019 Algoritmo*Problema 4 0,0005922 0,0005922 0,0001481 5,48 0 Error 664 0,0179541 0,0179541 0,000027

Total 672 0,0190603

Tabla 5-16 Resultados ANOVA Métrica de ∆ Vs Algoritmos*Problemas Mochilas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 2 10,4377 9,4472 4,7236 236,66 0 Problema 2 2,8048 1,2634 0,6317 31,65 0 Algoritmo*Problema 4 2,073 2,073 0,5182 25,97 0 Error 664 13,2528 13,2528 0,02 Total 672 28,5683

Tabla 5-17 Resultados ANOVA No. De soluciones no dominadas Vs Algoritmos*Problemas Mochilas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 2 910894 910326 455163 168,59 0 Problema 2 284328 140516 70258 26,02 0 Algoritmo*Problema 4 224592 224592 56148 20,8 0 Error 664 1792716 1792716 2700 Total 672 3212530


optimización

Tabla 5-18 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas Mochilas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 2 1490495550 1460737331 730368666 4184,13 0 Problema 2 2106077 3897395 1948697 11,16 0 Algoritmo*Problema 4 4638535 4638535 1159634 6,64 0

Error 664 115905871 115905871 174557

Total 672 1613146033

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

DH-BCMOA NSGA2 SPEA2

Promedio de PROXIMIDAD 0,00231 0,00225 0,00157 0,00345 0,00293 0,00316 0,00287 0,00320 0,00774

Desvest de PROXIMIDAD 0,00059 0,00068 0,00116 0,00742 0,00373 0,00590 0,00027 0,00161 0,01555

0,000000,002000,004000,006000,008000,010000,012000,014000,016000,01800

Mé

tric

a d

e P

roxim

ida

d

Figura 5-39 Promedio y desviación estándar de los valores de la métrica de proximidad

obtenidos por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las mochilas

En cuanto a diversidad de las soluciones el SPEA2 logra el mejor desempeño (figura 5-40). Sin embargo todos los algoritmos para los problemas más complejos presentan un agrupamiento de las soluciones no dominadas lo cual va en detrimento de la diversidad (figuras 5-44 y 5-45). Al analizar el número de soluciones no dominadas obtenidas (figura 5-41), NSGA2 obtiene mayores promedios que los demás en todos los problemas, los cuales aumentan en la medida que se incrementa la complejidad del problema, este comportamiento también se presenta en el DH-BCMOA. SPEA2 presenta el comportamiento opuesto.

93

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items


Promedio de DELTA 0,6640 0,7342 0,9211 0,8435 0,8860 1,0130 1,1620 1,0902 1,0329

Desvest de DELTA 0,1178 0,0884 0,1121 0,1726 0,1923 0,1258 0,1422 0,1399 0,1707

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

1,2000

1,4000M

étr

ica

D

elta

Figura 5-40 Promedio y desviación estándar de los valores de la métrica ∆ obtenidos por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las mochilas

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items


Promedio de NEF(1) 98 101 187 200 204 228 175 169 159

Desvest de NEF(1) 49 47 86 44 43 51 13 31 56

0

50

100

150

200

250

No

. de

So

lucio

ne

s N

O D

OM

INA

DA

S

Figura 5-41 Promedio y desviación estándar del número de soluciones NO DOMINADAS obtenidas por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las

mochilas

Finalmente al observar los tiempos requeridos para realizar los 250000 llamados a las funciones fitness (Figura 5-42), claramente los mejores resultados los tiene el DH-BCMOA, los tiempos promedio que emplea en cada problema son inferiores al NSGA2 y SPEA2, este último presenta unos tiempos muy superiores a los demás. Si se consideran simultáneamente todas las variables de respuesta se puede afirmar que el DH-BCMOA tiene el mejor desempeño, esto se puede evidenciar claramente en las figuras 5-43 a 5-45, donde el DH-BCMOA logra el conjunto no dominado más


optimización

próximo al frente óptimo de Pareto, en el menor tiempo y con un buen número de soluciones no dominadas.

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items

Knapsack 100 items

Knapsack 250 items

Knapsack 500 items


Promedio de TIEMPO 30,05 49,45 83,83 88,47 97,65 118,39 3576,00 4062,39 3971,49

Desvest de TIEMPO 1,13 0,51 0,78 4,32 3,36 3,10 920,72 964,84 962,98

0,00500,00

1000,001500,002000,002500,003000,003500,004000,004500,00

Tie

mp

o (se

g)

Figura 5-42 Promedio y desviación estándar del tiempo empleado por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas de las mochilas

Figura 5-43 Soluciones no dominadas obtenidas en la solución del problema de las 2 mochilas con 100 ítems por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2

95




optimización

Problemas multi-objetivo del layout de las celdas de manufactura

La evaluación del desempeño de los algoritmos en la solución de los problemas multi-objetivo del layout de celdas de manufactura se realizó de forma cuantitativa analizando el tiempo empleado por cada algoritmo para realizar 250000 llamados a las funciones fitness y el número de soluciones no dominadas obtenidas luego de realizado esto. No se analiza convergencia y diversidad de forma cuantitativa debido a que no se cuenta con el frente óptimo de Pareto. Siguiendo el esquema desarrollado anteriormente se realizaron análisis de varianza para determinar si existían diferencias entre las medias. Respecto al tiempo, como se puede ver en la tabla 5-19, las medias no son iguales estadísticamente y se ven influenciadas tanto por el tipo de algoritmo como por las dimensiones del problema, así mismo existe interacción entre estos dos factores. Esto se puede confirmar en la figura 5-46 donde claramente el menor tiempo en todos los problemas lo obtiene DH-BCMOA, NSGA2 logra tiempos un tanto superiores, sin embargo SPEA2 obtiene tiempos muy superiores en todos los problemas. Al analizar el número de soluciones no dominadas las medias no son iguales, pero en este caso únicamente están influenciadas por el tipo de algoritmo que se emplea y no por las dimensiones del problema, por lo tanto esta característica dependería principalmente de la estructura y configuración de cada algoritmo. En este sentido NSGA2 y SPEA2 tienen valores muy cercanos entre sí superiores a DH-BCMOA en una relación aproximada de 2 a 1, este comportamiento puede deberse a que NSGA2 y SPEA2 emplean dos poblaciones mientras que DH-BCMOA solo una.

Tabla 5-19 Resultados ANOVA Tiempo Vs Algoritmos*Problemas – Layout multi-objetivo

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 2 1,37E+08 1,37E+08 68511568 377,09 0 Problema 4 1,96E+08 1,96E+08 49048468 269,96 0


Error 135 24527775 24527775 181687 Total 149 3,81E+08

Figura 5-46 Promedio del tiempo empleado por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas multi-objetivo del layout de celdas de manufactura

5x7 7x11 14x24 35x30 24x40

DH-BCMOA 75,7 131,1 458,3 1542,5 2997,0

NSGA2 452,9 502,4 770,6 1484,2 4486,7

SPEA2 2016,9 2774,2 2902,8 4203,1 4458,7

0,0500,0

1000,01500,02000,02500,03000,03500,04000,04500,05000,0

Tie

mpo

(se

g)

97

Tabla 5-20 Resultados ANOVA No. De soluciones no dominadas Vs Algoritmos*Problemas –

Layout multi-objetivo

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Algoritmo 2 12682,65 12682,65 6341,33 1085,71 0 Problema 4 10,71 10,71 2,68 0,46 0,766 Algoritmo*Problema 8 234,01 234,01 29,25 5,01 0 Error 135 788,5 788,5 5,84 Total 149 13715,87

Figura 5-47 Promedio estándar del número de soluciones NO DOMINADAS obtenidas por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y SPEA2 solucionando los problemas multi-objetivo del layout

de celdas de manufactura

En las figuras 5-48 a 5-52 se pueden observar las soluciones no dominadas obtenidas por los tres algoritmos en las solución de los problemas de layout de las celdas de manufactura luego de 250000 llamados a las funciones fitness. En estos se observa que SPEA2 logra mejor convergencia pero con un consumo de tiempo muy alto (figura 5-46), seguido por el algoritmo propuesto DH-BCMOA con unos tiempos muy cortos y finalmente NSGA2 con tiempos similares pero superiores a DH-BCMOA. En este escenario SPEA2 supera a los demás, por esta razón se planteó una comparación gráfica donde se corrió cada algoritmo con un criterio de parada de 200 segundos. Los resultados se presentan en las figuras 5-53 a 5-57, en este caso con un tiempo constante DH-BCMOA y NSGA2 mejoran su desempeño, presentando resultados análogos, probablemente porque comparten el operador de ordenamiento rápido no dominado, sin embargo en cuatro de los cinco problemas la mejor convergencia la obtiene DH-BCMOA, mientras que SPEA2 obtiene los peores resultados.

5x7 7x11 14x24 35x30 24x40

DH-BCMOA 11 14 13 13 16

NSGA2 35 34 34 33 31

SPEA2 32 32 32 32 32

0

5

10

15

20

25

30

35

40

No.

de

Sol

ucio

nes

NO

DO

MIN

AD

AS


optimización

Figura 5-48 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 250000 llamados a las funciones fitness en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 5x7 por los algoritmos DH-

BCMOA, NSGA2 y SPEA2



99






optimización



Figura 5-53 Soluciones no dominadas obtenidas luego de 200 segundos en la solución del problema del Layout de celdas de manufactura 5x7 por los algoritmos DH-BCMOA, NSGA2 y

SPEA2

101


SPEA2


SPEA2


optimización


SPEA2


SPEA2

6. Conclusiones y recomendaciones

6.1 Conclusiones

Los modelos mono-objetivo y multi-objetivo propuestos del problema del layout de las celdas de manufactura permitieron de forma simultánea lograr la formación de las celdas de manufactura y la definición del layout intra e inter celdas.

En la estrategia de solución propuesta, se integró la formulación matemática del problema a su estructura. Esto se logró gracias a que la codificación empleada para la solución del problema del layout de las celdas de manufactura fue la base para definir la estructura de los operadores de los algoritmos de solución y permitió satisfacer siempre las restricciones con lo cual todas las soluciones resultantes eran factibles.

Los resultados obtenidos por los algoritmos AG, BFOA, Bacterial-GA Foraging y DHBFGA en la solución de los problemas del agente viajero y layout de las celdas de manufactura, demostraron que los algoritmos basados en bacterias presentan un mejor desempeño en problemas con permutaciones mientras que los algoritmos genéticos se comportan mejor en problemas de agrupamiento o que manejen combinaciones.

El algoritmo híbrido propuesto en este trabajo (DHBFGA) se adapta bien a los problemas TSP y layout de las celdas de manufactura logrando un desempeño del fitness y del tiempo de proceso mejores en comparación con los otros algoritmos estudiados, este comportamiento refleja la suma de fortalezas lograda con la hibridación.

La comparación entre las soluciones al problema de las mochilas (multi-objetivo) obtenidas por los algoritmos NSGA2, SPEA2 y DH-BCMOA demuestran un desempeño superior del algoritmo híbrido propuesto en este trabajo (DH-BCMOA) en la solución de este tipo de problemas. Mejor convergencia y mucho menor tiempo de procesamiento son las ventajas obtenidas con DH-BCMOA, esto se explica por la estructura ágil que tiene BCMOA que sumada a la hibridación permitió abordar estos problemas de forma exitosa.

De igual manera que con el problema de las mochilas, en la solución multi-objetivo del problema del layout de las celdas de manufactura el algoritmo DH-BCMOA demostró un mejor desempeño ya que logra mejores soluciones no dominadas en menor tiempo para un escenario de tiempo constante.

Los resultados del algoritmo SPEA2 para los dos tipos de problemas (mochilas y layout) presentan una buena convergencia pero en un tiempo elevado, esto se debe a que requiere de forma recurrente operaciones de ordenamiento lo que lo hace lento respecto a los demás algoritmos evaluados.

104 Modelo para la definición del layout de una celda de manufactura a través de optimización

El comportamiento similar entre NSGA2 y DH-BCMOA para los dos problemas se debe a que comparten el operador de ordenamiento rápido no dominado, pero los menores tiempos de DH-BCMOA son producto de manejar una sola población y un mecanismo de diversidad más ágil que NSGA2.

Los algoritmos DHBFGA y DH-BCMOA representan un nuevo e importante aporte ya que amplían las posibilidades de solución efectiva y eficiente del problema del layout de las celdas de manufactura y de otros problemas similares. Además la estructura de estos algoritmos puede ser empleada en la solución de problemas con variables continuas y mixtas, únicamente se requiere emplear otras codificaciones y operadores.

6.2 Recomendaciones y trabajo futuro

A partir de los resultados obtenidos y la experiencia lograda en el desarrollo de este estudio es necesario prestarle especial atención a la formulación matemática del problema y a la codificación. En cuanto a la formulación del problema del layout de las celdas de manufactura es posible integrar otros factores como los tiempos de operación, la capacidad y costo de los equipos y otros como el impacto ambiental, para hacer más útiles los modelos en situaciones reales.

Es recomendable explorar otras codificaciones con el objetivo de evaluar su influencia en el desempeño de los algoritmos, sobre todo en la estructura de los operadores para que faciliten la búsqueda de las soluciones óptimas en problemas con permutaciones, combinaciones y mixtos.

Respecto a los algoritmos planteados es posible seguir mejorándolos para hacerlos más robustos y veloces.

Anexo A. Matrices problemas de prueba layout de las celdas de manufactura 105

Anexo A: Matrices problemas de prueba layout de celdas de manufactura


Matriz de incidencias 5x7 (Vitanov, Tjahjono y Marghalany, 2008)

Partes

1 2 3 4 5 6 7

Máq

uina

s

1 0 1 0 0 1 1 1

2 1 0 1 0 0 0 0

3 0 1 0 0 1 1 1

4 1 1 0 0 1 1 0

5 0 0 1 1 0 1 0

Matriz de secuencias 5x7

Partes

1 2 3 4 5 6 7

Máq

uina

s

1 0 1 0 0 1 1 1

2 1 0 1 0 0 0 0

3 0 2 0 0 2 2 2

4 2 3 0 0 3 3 0

5 0 0 2 1 0 4 0

Matriz de secuencias 5x7 solucionada

Partes

2 5 6 7 1 3 4

Máq

uina

s

1 1 1 1 1 0 0 0

3 2 2 2 2 0 0 0

4 3 3 3 0 2 0 0

2 0 0 0 0 1 1 0

5 0 0 4 0 0 2 1

Matriz de incidencia 7x11 (Seifodini y Djassemi, 1996)

Partes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Máq

uina

s

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

3 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

4 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0

5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

7 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0



Partes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Máq

uina

s 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

3 2 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0

4 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0

5 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2

6 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3

7 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0


Partes

1 2 6 9 3 7 11 4 5 8 10

Máq

uina

s

2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

5 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0

6 0 0 0 0 3 3 3 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

7 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2

Matriz de incidencia 14x24 (King, 1980)

Partes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Máq

uina

s

1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0

5 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

7 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

9 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

11 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

12 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0



Partes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Máq

uina

s

1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0

5 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

7 3 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 1 0 0 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0

9 0 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 3 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

11 0 0 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2

12 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13 0 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 2 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Partes

1 2 17 19 20 23 6 7 8 18 3 4 21 24 5 9 10 11 12 13 14 15 16 22

Máq

uina

s

4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 3 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13 0 0 0 0 0 3 2 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 2 0 2 2 2 2

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 3 1 0 3 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 2 0 2 0 4 0 0


Matriz de incidencia 24x40 (Chandrasekharan y Rajagopalan, 1989)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 401 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 03 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 05 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 06 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 110 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 012 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 014 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 016 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 017 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 118 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 019 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 120 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 021 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 022 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 023 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 024 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Partes

Máqu

inas


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 401 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 0 0 0 03 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 05 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 06 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 48 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 110 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 012 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 014 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 4 0 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 016 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 2 3 2 017 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 218 0 0 0 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 019 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 320 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 021 2 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 022 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 023 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 024 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0

Partes

Máqu

inas



6 7 20 29 40 2 11 12 15 23 24 31 34 1 9 16 17 33 10 13 14 22 35 36 4 5 18 26 2730 3 25 32 8 19 21 28 37 38 399 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 010 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 017 0 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 013 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 021 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 3 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 022 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 4 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 2 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 3 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 019 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 3 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 5 3 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 018 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 4 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 023 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 0 0 024 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 0 2 116 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 4 2 0 2 3 2

Partes

Máqu

inas


Matriz de incidencia 35x20 (Burbidge, 1969)

Partes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Máq

uina

s

1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

3 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0

7 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

12 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

13 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

14 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

15 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

16 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

18 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

19 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

20 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

22 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

24 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

25 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

26 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

27 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0

29 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0

31 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

34 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0



Partes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Máq

uina

s

1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

3 2 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

5 0 0 3 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0

7 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 2 0

10 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 3 0

12 0 4 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 3 0 0

13 0 5 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 0 4 0 0

14 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

15 0 0 4 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0

16 0 0 0 0 3 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 0 5 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0

18 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 5 0 0

19 0 0 0 0 0 4 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

20 3 0 0 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0

21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 4 0

22 0 0 0 0 0 5 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23 4 0 0 0 0 0 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 1

24 0 7 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 7 0 0 0 6 0 0

25 5 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0

26 0 0 0 0 0 6 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

27 0 8 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0

28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 6 6 0 0 5 0

29 0 0 6 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0

30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 7 7 0 0 6 0

31 0 9 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 7 0 0

32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 8 0 0 7 0

33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0

34 0 0 0 0 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0



Partes

1 3 7 8 17 11 12 15 16 19 2 4 13 14 18 5 6 9 10 20

Máq

uina

s

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 0 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 3 0 6 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23 4 0 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

25 5 0 0 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

29 0 6 0 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 0 0 0 0 0 4 4 4 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

21 0 0 0 0 0 5 5 5 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

28 0 0 0 0 0 6 0 6 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30 0 0 0 0 0 7 0 7 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

32 0 0 0 0 0 8 0 0 8 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

33 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

35 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 2 0 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 4 3 0 0 0 0 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 3 5 4 0 0 0 0 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 6 5 0 0 0 0 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 5 4 7 6 0 0 0 0 0

27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 0 8 0 0 0 0 0 0

31 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 9 7 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 3

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 3 0

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 4 4

22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 5 0

26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 6 5

34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 7 0 0 0

Bibliografía [1] Ahi, A., Aryanezhad, M. B., Ashtiani, B., y Makui, A. (2009) “A novel approach to

determine cell formation, intracellular machine layout and cell layout in the CMS problem

based on TOPSIS method”. Computers & Operations Research. 36 (5), 1478-1496.

[2] Aiello, G., Enea, M., y Galante, G. (2006). “Multi-objective approach to facility layout

problem by genetic search algorithm and Electre method”. Robotics and Computer-

Integrated Manufacturing, 22(5-6), 447–455.

[3] Ariafar, S. Ismail, N. Tang, S.H. Ariffin, M.K.A.M. y Firoozi, Z. (2011). "Inter-cell and

intra-cell layout design in a cellular manufacturing system" Business, Engineering and

Industrial Applications (ISBEIA), 2011 IEEE Symposium on , 25-28 Sept. 2011,pp.28-33

[4] Armour, G. C., y Buffa, E. S. (1963). “A heuristic algorithm and simulation approach to

relative allocation of facilities”. Management Science, 9(2), 294–300.

[5] Askin, R. G. y Standridge, C. R. (1993) “Modeling and analysis of manufacturing

systems”. John Wiley y Sons. New Jork.

[6] Atasagun, Y., y Kara, Y. (2011). “Assembly line balancing using bacterial foraging

optimization algorithm”. Proceedings of the 41st International Conference on Computers &

Industrial Enginnering. Los Angeles. CA USA, October 23-26, 2011.

[7] Balakrishnan, J., y Cheng, C. H. (2000). “Genetic search and the dynamic layout

problem”. Computers & Operations Research, 27(6), 587–593.

[8] Balakrishnan, J., Cheng, C. H., Conway, D. G., y Lau, C. M. (2003). “A hybrid genetic

algorithm for the dynamic plant layout problem”. International Journal of Production

Economics, 86(2), 107–120.

[9] Baykasoglu, A., Dereli, T., y Sabuncu, I. (2006). “An ant colony algorithm for solving

budget constrained and unconstrained dynamic facility layout problems”. Omega, 34(4),

385–396.

[10] Belegundu, A.D., y Chandrupatla, T.R. (1999). “Optimization concepts and

applications in engineering”. Prentice Hall. 2da Ed. New Jersey.


[11] Berardi, V.L. Zhang, G. y Offodile, O.F. (1999) “A mathematical programming

approach to evaluating alternative machine clusters in cellular manufacturing”.

International Journal Production Economics 58 (253-264)

[12] Bozer, Y. A., Meller, R. D., y Erlebacher, S. J. (1994). “An improvement-type

layout algorithm for single and multiple floor facilities”. Management Science, 40(7),

918–932.

[13] Braglia, M., Zanoni, S., y Zavanella, L. (2003). “Layout design in dynamic

environments: Strategies and quantitative indices”. International Journal of Production

Research, 41(5), 995–1016.

[14] Burbidge, J. L. (1969). “An Introduction of Group Technology”. Proceedings of

Seminar on Group Technology. Turin.

[15] Coello, C.A. (2011). “Introducción a la computación evolutiva (Notas de curso)”.

CINVESTAV-IPN. México.

[16] Companys, R. y Corominas, A. (1998). “Organización de la producción l”,

Barcelona: Ediciones UPC.

[17] Chandrasekharan, M.P. y Rajagopalan, R. (1986). “MODROC: an extension of

rank order clustering for group technology”. International Journal of Production Research

24 (5), 1221-1233.

[18] Chandrasekharan, K. P. y Rajagopolan, R. (1989) “Groupability: an analysis of the

properties of binary data for group technology”, International Journal of Production

Research, 27(6), 1035–1052.

[19] Chen, T., Tsai, P., Chu, S., y Pan, J. (2007)“A novel optimization approach:

bacterial-GA foraging”. Proceedings of the Second International Conference on Innovative

Computing, Information and Control. Washington DC, USA, September 2007: 391-394.

[20] Cheng, R. y Gen, M. (1998) “Loop layout design problem in flexible

manufacturing systems using genetic algorithms”. Computers & Industrial Engineering,

34(1), 53 - 61.

[21] Cheng, R., Gen, M. y Tosawa, T. (1996). “Genetic algorithms for designing loop

layout manufacturing systems”. Computers & Industrial Engineering, 31(3–4), 587–591.

[22] Chwif, L., Pereira Barretto, M. R., y Moscato, L. A. (1998). “A solution to the

facility layout problem using simulated annealing”. Computers in Industry, 36(1–2), 125–

132.

Bibliografía 117

[23] Deb, K. y Jain, S. (2002). “Running performance metrics for evolutionary multi-

objective optimization”. KanGal Report No. 2002004, Kanpur Genetic Algorithms

Laboratory, Indian Institute of Technology, Kanpur, India.

[24] Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S. y Meyarivan, T. (2002). “A fast and elitist multi

objective genetic algorithm: NSGA II”. IEEE Transactions on Evolutionary Computation

6(2),182–197.

[25] Devise, O., y Pierreval, A. (2000). “Indicators for measuring performances of

morphology and materials handling systems”. International Journal of Production

Economics, 64(1–3), 209–218.

[26] Djellab, H., y Gourgand, A. (2001). “A new heuristic procedure for the single row

facility layout problem”. International Journal of Computer Integrated Manufacturing,

14(3), 270–280.

[27] Drira, A., Pierreval, H. y Hajri-Gabouj, S. (2007), “Facility layout problems: A

survey”. Annuals Reviews in Control 31, 255-267.

[28] El-Baz, M. A. (2004). “A genetic algorithm for facility layout problems of

different manufacturing environments”. Computers y Industrial Engineering 47(2-3), 233–

246.

[29] Elwany, M. H., Khairy, A. B., Abou-Ali, M. G. (1997). "A Combined Multicriteria

Approach for Cellular Manufacturing Layout".ClRP Annals – Manufacturing Technology.

46(1). 369 – 371.

[30] Ficko, M., Brezocnick, M., y Balic, J. (2004). “Designing the layout of single and

multiple-rows flexible manufacturing system by genetic algorithms”. Journal of Materials

Processing Technology, Volumes 157–158: pp150–158.

[31] Gen, M., y Cheng, R. (2000). “Genetic algorithms and engineering optimization”.

Jonh Wiley and Sons Inc. New York.

[32] Gen, M., Lin, L. y Zhang, H. (2009). “Evolutionary techniques for optimization

problems in integrated manufacturing system: State of art survey”. Computers & industrial

engineering, 56(3), 779-808.

[33] Goldberg, D. E. (1989). “Genetic Algorithms in Search Optimization, and Machine

Learning”. Ed. Addison-Wesley.

[34] Golmohammadi, V. R. Jaafari, A. A. Badhshayeshi Baygi, M. Esfanji, E. y

Rahimi, M. (2010). “An approach for facility layout problem”. Proceedings of the


International Multi Conference Of Engineers and Computer Scientists 2010 Vol 3. IMECS

2010, March 17-19, Hong Kong.

[35] Gonçalves, J. F. y Resende, M.G.C. (2004). “An evolutionary algorithm for

manufacturing cell formation”. Computers & Industrial Engineering 47(2-3), 247–273.

[36] Grosan, C. (2003). “Performance metrics for multiobjective optimization

evolutionary algorithms”. In proceedings of Conference on Applied and Industrial

Matematics (CAIM). Oradea.

[37] Guzmán, M. A., Delgado, A. y Carvalho, J. (2010) “A novel multiobjective

optimization algorithm based on bacterial chemotaxis”. Engineering Applications of

Artificial Intelligence. 23(3), 292-301.

[38] Hamann, T., y Vernadat, F. (1992). “The intra cell layout problem in automated

manufacturing system”. INRIA-00074957, version 1. N° Research Report -1603 (1992).

http://hal.inria.fr/inria-00074957

[39] Heragu, S. S. (1997). “Facilities design”. Boston: BWS.

[40] Heragu, S. S., y Kusiak, A. (1988). “Machine layout problem in flexible

manufacturing systems”. Operations Research in manufacturing, 36(2), 258–268.

[41] Heragu, S. S., y Kusiak, A. (1991). “Efficient models for the facility layout

problem”. European Journal of Operational Research, 53(1), 1-13.

[42] Hezer, S., y Kara, Y. (2011). “Solving vehicle routing, problema with

simultaneous delivery and pick-up using bacterial foraging optimization algorithm”.

Proceedings of the 41stInternational Conference on Computers & Industrial Enginnering.

Los Angeles. CA USA, October 23-26, 2011.

[43] Ho, Y. –C., y Liao, T. –W. (2011). “A concurrent solution for intra-cell flow path

layouts and I/O point locations of cells in a cellular manufacturing system”, Computers &

Industrial Engineering, 60(4), 614-634.

[44] Holland, J. H. (1975). “Adaptation in natural and artificial systems: an introductory

analysis with applications to biology, control and artificial intelligence”. The University of

Michigan Press.

[45] Hsu, C.P. (1990). “Similarity coefficient approaches to machine component cell

formation in cellular manufacturing: A comparative study”. Ph.D. Dissertation,

Department of Industrial and Systems Engineering, University of Wisconsin, Milwaukee,

WI.

Bibliografía 119

[46] Johnson, R. V. (1982). “SPACECRAFT for multi-floor layout planning”.

Management Sciences, 28(4), 407–417.

[47] Kaebernick, H., Bazargan-Lari, M.y Arndt, G. (1996) “An Integrated Approach to

the Design of Cellular Manufacturing”. ClRP Annals – Manufacturing Technology. 45(1).

421 – 425.

[48] Kia, R., Tavakkoli-Moghaddam, R., Javadian, N., Kazemi, M., y Khorrami, J.

(2011). "A simulated annealing for solving a group layout design model of a dynamic

cellular manufacturing system" Industrial Engineering and Engineering Management

(IEEM), 2011 IEEE International Conference on , vol., no., pp.1113-1117, 6-9 Dec. 2011

[49] Kim, J. G. y Kim, Y. D. (2000). “Layout planning for facilities with fixed shapes

and input and output points”. International Journal of Production Research, 38(18), 4635–

4653.

[50] Kim, C. B., Kim, S. S., y Foote, B. L. (1996). “Assignment problems in single row

and double-row machine layouts during slow and peak periods”. Computers & Industrial

Engineering, 30(3), 411–422.

[51] King J.R. (1980). “Machine-component group formation in group technology”.

Omega, 8 (2), pp. 193-199.

[52] Kochhar, J. S., y Heragu, S. S. (1998). “MULTI-HOPE: A tool for multiple floor

layout problems”. International Journal of Production Research, 36(12), 3421–3435.

[53] Koopmans, T. C., y Beckmann, M. (1957). “Assignment problems and the location

of economic activities”. Econometrica, 25(1), 53–76.

[54] Kuehl, R.O. (2001). “Diseño de experimentos”. Ed. Thomsom Learning. México.

[55] Kumar, P., Bandyopadhyay, S., y Kumar, S. (2007). “Multi-objective Particle

Swarm Optimization with time variant inertia and acceleration coefficients”. Information

Sciences 177 (22), 5033–5049.

[56] Kumar C.S. y Chandrasekharan M.P. (1990). “Grouping efficacy:a quantitative

criterion for goodness of block diagonalforms of binary matrices in group technology”.

International Journal of Production Research 28 (2),233-243.

[57] Kumar, K. R. Hadjinicola, G. C. y Lin, T. L. (1995). “A heuristic procedure for the

single-row facility layout problem”. European Journal of Operational Research, 87(1), 65–

73.

[58] Kusiak, A. (1990) “Intelligent manufacturing systems”. Prentice Hall.


[59] Kusiak, A. y Heragu, S. (1987). “The facility layout problem”. European Journal

of Operational Research 29. 229-251

[60] Lawler, E.L., Lenstra, J.K., Rinnooy Kan, A.H.G., y Shmoys, D.B. (1985). “The

traveling salesman problem”. John Wiley & Sons. Great Britain.

[61] Lee, G. C., y Kim, Y. D. (2000). “Algorithms for adjusting shapes of departments

in block layouts on the gird-based plane”. Omega, 28(1), 111–122.

[62] Lee, R., y Moore, J. M. (1967). “CORELAP-computerized relationship layout

planning”. The Journal of Industrial Engineering, 18, 195–200.

[63] Lee, K. Y., Roh, M. I.,y Jeong, H. S. (2005). “An improved genetic algorithm for

multi-floor facility layout problems having inner structure walls and passages”. Computers

& Operations Research, 32(4), 879–899.

[64] Liang, L.Y., y Chao, W.C. (2008)”The strategies of tabu search technique for

facility layout optimization”. Automation in Construction 17(6). 657-669.

[65] Mahdavi, I. Khaksar-Haghani, F. Javadian, N. y Kia, R. (2011). "Multi-floor

layout design of cellular manufacturing systems". Communication Software and Networks

(ICCSN), 2011 IEEE 3rd International Conference on, 27-29 May 2011, pp.740-744.

[66] Martello, S. y Toth, P. (1990). “Knapsack problems: algorithms and computer

implementations”. John Wiley & Sons, England.

[67] Matsuzaki, K. Irohara, T., y Yoshimoto, K. (1999). “Heuristic algorithm to solve

the multi-floor layout problem with the consideration of elevator utilization”. Computers

& Industrial Engineering, 36(2), 487–502.

[68] Mejía, C., Lara D. F. y Córdoba, E. (2010) “Círculos Tecnológicos de Parentesco”,

Revista Ingeniería e Investigación Vol. 30 No. 1, Abril de 2010 (163-167), ISSN 0120-

5609.

[69] Meller, R. D., y Bozer, Y. A. (1997). “Alternative approaches to solve the

multifloor facility layout problem”. Journal of Manufacturing Systems, 16(3),192–203.

[70] Meller, R. D., Narayanan, V., y Vance, P. H. (1998). “Optimal facility layout

design”. Operations Research Letters, 23(3–5), 117–127.

[71] Ming, L.C., y Ponnambalam S.G.(2008) "A hybrid GA/PSO for the concurrent

design of cellular manufacturing system" Systems, Man and Cybernetics, 2008. SMC

2008. IEEE International Conference on, 12-15 Oct. 2008, pp.1855-1860.

Bibliografía 121

[72] Nair, G.J.K. y Narendran, T.T. (1996). “Grouping index: A new quantitative

criterion for goodness of block diagonal forms in group technology”. International Journal

of Production Research 34 (10), 2767-2782.

[73] Nearchou, A. C. (2006). “Meta-heuristics from nature for the loop layout design

problem”. International Journal of Production Economics, 101(2), 312–328.

[74] Ng, S.M. (1993). “Worst-case analysis of an algorithm for cellular manufacturing”.

European Journal of Operational Research 69 (3), 384-398.

[75] Noktehdan, A., Karimi, B. y HusseinzadehKashan, A. (2010).”A differential

evolution algorithm for the manufacturing cell formation problem using group based

operators”. Journal Expert Systems with Applications. 37 (7), 4822-4829.

[76] Nouri, H., Tang, S.H., Hang Tuah, B.T., y Anuar, M.K. (2010). “BASE: A bacteria

foraging algorithm for cell formation with sequence data”. Journal of Manufacturing

Systems. Vol 29, 102-110.

[77] Papadimitriou, C. H., y Steiglitz, K. (1998). “Combinatorial optimization:

algorithms and complexity”. Dover Publications Inc. New York.

[78] Papaioannou, G. y Wilson, J. M. (2010). “The evolution of cell formation problem

methodologies based on recent studies (1997-2008): Review and directions for future

research". European Journal of Operational Research 206(39, 509-521

[79] Passino, K.M., (2002). “Biomimicry of bacterial foraging for distributed

optimization and control”. IEEE Control Systems Magazine 22 (3), 52–67.

[80] Patsiatzis, D. I., y Papageorgiou, L. G. (2002). “Optimal multi-floor process plant

layout”. Computers and Chemical Engineering, 26(4–5), 575–583.

[81] Potts, C. N. y Whitehead, J. D. (2001).”Workload balancing and loop layout in the

design of a flexible manufacturing system”. European Journal of Operational Research,

129(2), 326–336.

[82] Rao, S. S. (2009). “Engineering optimization: theory and practice”. Ed. John Wiley

& Sons. 4ed.

[83] Robinson, J., y Rahmat-Samii, Y., (2004). “Particle swarm optimization in

electro-magnetics”. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 52 (2), 397-407.

[84] Saeedi, S. Solimanpur, M. Mahdavi, I. y Javadian, N. (2010), “Heuristic

Approaches for Cell Formation in Cellular Manufacturing”. Journal of Software

Engineering & Applications, 3(7), 674-682


[85] Sandbothe, R.A. (1998). “Two observations on the grouping efficacy measure for

goodness of block-diagonal forms”. International Journal of Production Research 36 (11),

3217-3222.

[86] Sarker, B. R. (2001). “Measures of grouping efficiency in cellular manufacturing

systems”. European Journal of Operational Research, 130(3), 588-611.

[87] Seehof, J. M., y Evans, W. O. (1967). “Automated layout design program”. The

Journal of Industrial Engineering, 18, 690–695.

[88] Seifoddini, H. y Djassemi, M. (1996). "A New Grouping Measure for Evaluation

of Machine-Component Matrices" International Journal of Production Research 34(5).

1179-1193.

[89] Selim, H. M., Askin, R. G. y Vakharia, A. J. (1998). “Cell formation in group

technology: review, evaluation and directions for future research”. Computers & Industrial

Engineering 34(1), 3-20.

[90] Silverman, B. W. (1986). “Density estimation for statistics and data analysis”.

London: Chapman and Hall.

[91] Singh, N. (1996). “Systems approach to computer - integrated design and

manufacturing”. New York: John Wiley.

[92] Singh, S. P. y Sharma, R. R. K. (2006). “A review of different approaches to the

facility layout problems”. International Journal Advanced Manufacturing Technology,

30(5-6), 425-433.

[93] Solimanpur, M., Vrat, P., y Shankar, R. (2004) “Ant colony optimization algorithm

to the inter-cell layout problem in cellular manufacturing”. European Journal of

Operational Research 157(3), 592–606.

[94] Solimanpur, M., Vrat, P., y Shankar, R., (2004b). “A multi-objective genetic

algorithm approach to the design of cellular manufacturing systems”. InternationalJournal

of Production Research 42 (7), 1419–1441.

[95] SudhakaraPandian, R. y Mahapatra, S. S. (2009). “Manufacturing cell formation

with production data using neural networks” Computers & Industrial Engineering, 56(4).

1340-1387

[96] Tariq, A., Hussain, I. y Ghafoor, A. (2009).”A hybrid genetic algorithm for

machine-part grouping”. Computers &Industrial Engineering 56(1), 347-356.

Bibliografía 123

[97] Tavakkoli-Moghaddam, R. (2003). “A continuos plane model to machine layout

problems considering pick-up and drop-off points: An evolutionary algorithm”. IJE

Transactions B: Aplications. 16(1), 59-70.

[98] Tomelin, M. y Colmenero,J. C. (2010) “Método para definição de layout em

sistemas job-shop baseado em dados históricos”. Produção, 20(2), 274-289

[99] Tompkins, J. A., White, J. A., Bozer, E. H., y Tanchoco, J. M., (2006) “Planeación

de instalaciones”. 3ra Ed. Thomson.

[100] Vitanov, V., Tjahjono, B. y Marghalany, I. (2008). “Heuristic rules-based logic

cell formation algorithm”. International Journal of Production Research, 46(2), 321–344.

[101] Wu, X., Chu, C. H., Wang, Y., y Yan, W. (2007) “A genetic algorithm for cellular

manufacturing design and layout”. European Journal of Operational Research 181(1). 156–

167.

[102] Xie, W., y Sahinidis, N. V. (2008). “A branch-and-bound algorithm for the

continuous facility layout problem”. Computers and Chemical Engineering 32(4-5). 1016–

1028.

[103] Yan, J., Li, C., Wang, Z., Deng, L., y Sun, D. (2007) “Diversity metrics in multi-

objective optimization: Review and perspective”. Proceeding of the 2007 IEEE

International Conference on Integration Technology, March 20-24, 2007, Shenzhen,

China.

[104] Yang, T., Peters, B. A. y Tu, M. (2005) “Layout design for flexible manufacturing

systems considering single-loop directional flow patterns”. European Journal of

Operational Research 164(2). 440–455.

[105] Yin, Y. y Yasuda, K. (2006). “Similarity coefficient methods applied to cell

formation problem: a taxonomy and review”. International Journal of Production

Economics 101(2). 329-352.

[106] Zitzler, E., Laumanns, M., yThiele, L. (2001)“SPEA2: Improving the strength

pareto evolutionary algorithm for multiobjective optimization”. Technical report TIK-103,

Computer Engineering and Network Laboratory (TIK). Swiss Federal Institute of

Technology (ETH). Gloriastrasse 35, CH-8092 Zurich, Switzerland, May 2001.

[107] Zitzler, E., y Thiele, L. (1999). “Multiobjective evolutionary algorithms: A

comparative case study and the strength pareto approach”. IEEE Transactions on

Evolutionary Computation 3(4), 257-271.

modelo para definicion del layout de una celda de...

Documents