Monetární makroanalýza

prof. Jan Koderaliteratura: Kodera – Měnová analýza (2. vydání)2 testy:

- průběžnýo na 7. přednášce (látka 1. – 6. přednáška), 4 ot. (2 teoretické, 2 příklady), min 20b., max

40b.- závěrečný

o až ve zkouškovém, 3 příklady, 3 otázky, 1 otázka je z první půlky semestru, minimálně 30b., maximálně 60b.

o vždy v pondělí ve zkouškovém- za 50b. je 4+

na semestru jsou dokumenty a příklady k předmětu

Monetární analýza- předmět

o de facto celá ekonomika komoditní sektor peněžní sektor – ten nás bude zajímat především finanční sektor – včetně CB a vlády

- metody pro přístup k modeluo makroekonomická

formulujeme makroekonomické proměnné exogenní proměnné ovlivní systém, ale nejsou jím zpětně ovlivňovány (např.

světová poptávka, RF, MS, …) endogenní proměnné ovlivňují systém a jsou systémem ovlivněny (Y, L, K, C, S,

…) zpravidla je počet endogenních proměnných a počet rovnic stejný takové soustavy mají většinou právě jedno řešení, systém je plně determinován

o mikroekonomická systém se rozporcuje na firmy, domácnosti, finanční instituce, vládu a CB heterogenní struktura: každá firma i domácnost je individualitou – specifické

chování homogenní struktura: každá firma a každá domácnost se chová stejně (jako další

firmy a domácnosti) domácnost je většinou charakterizována užitkovou funkcí a rozpočtovým omezením

a firma ziskovou funkcí a technologickým omezením CB a vláda jsou charakterizovány ztrátovými funkcemi

o věda postupuje takto: realita postuláty věty teorie realita (ověření zda platí věty teorie)

o my vždy půjdeme takto: realita postuláty matematický model věty matematiky věty teorie realita, resp. můžeme z vět matematiky udělat ekonometrické model, který porovnáme přímo s realitou

- cíleo poznánío chceme získat přesné nástroje předpovídání ekonomického vývoje

Ekonomická dynamika- diskrétní

Des Grieux 1

oo statický přístup: o dynamický přístup: (diferenční rovnice, obsahuje zpoždění)o – rozložené časové zpožděnío – velikost růstu veličiny

o – tempo růstu veličiny

o

o , kde v závorce je 1+tempo růstu a víme, že pro x0

platí , čili tempo růstu veličiny může být

vyjádřeno jako rozdíl logaritmů za předpokladu, že veličina neroste hodně (přbližne např. míra inflace MI = pt – pt-1

- spojitáoo Mt, Kt, … bez problémů, hodnoty se zjišťují k danému okamžiku (okamžikové veličiny,

zásobní)o horší jsou intervalové veličiny, mají povahu toku za určité období – např. Yt, Ct, It,…o měříme od t=0 do t, čili

o roční vyjádření čtvrtletní produkce

o anualizovaná okamžiková produkce:

o roční produkt:

Diskrétní očekávání- adaptivní očekávání

o teď je čas t, očekávám obecnou veličinu Zt

o (např. předpověď počasí na zítřek, kterou vytvářím dnes)

o , kde

je předpověď na dnešek z předvčerejška - parametr přizpůsobení, interval (0,1) když , podhodnotil jsem skutečnost, předpověď je vyšší

když , nadhodnotil jsem skutečnost, předpověď je menšío čili takto adaptujeme svá očekávání

- extrapolativní očekávánío

většinou v intervalu (0,1), ale tady už to není zásadní rostli-li jsme v minulosti, porostem i v budoucnosti a naopak

- regresní očekávánío úloha ve spekulativní tradiční keynesovské teorii poptávky po penězícho

zase (0,1) rovnovážná hodnota veličiny, kterou znám

Des Grieux 2

předpoklad, že Zt směřuje ke své rovnovážné hodnotě když jsme v minulosti pod rovnováhou, tak v současnosti budeme stále pod

rovnováhou, ale budeme ji blíž- racionální očekávání

o Zt je náhodná veličina, Zt+1 takéo předpokládá se, že jsem schopen předpovědět pravděpodobností rozdělení pro čas t+1, to

záleží na informacích, které mám teďo

očekává se střední hodnota s daným pravděpodobnostní rozdělením

Národohospodářské agregáty- Y, P, M, K (zásoba kapitálu, většinou není nikde ve statistikách, veličina problematická na měření)- Y = produkce

o většinou HDP, teoretický výpočet: (nominální)

yj jsou jednotlivé druhy zboží spotřebovaného domácnostmi, vládou, investovaného nebo tvořícího přírůstek zásob nebo exportovaného (pozor, zde se musí odečíst import

o teoreticky reálný produkt:

o = GDPD (deflátor, cenový index) = P (cenová hladina) = YN = Y

* P, resp. Y = YN/P (deflace nominálního produktu, proto deflátor - dělitel)- P = cenový index

o pro vyjádření cenové hladiny lze použít deflátor:

o cenový spotřební koš: po úpravě

xj je zboží spotřebované průměrnou rodinou v druhé vzorci jen zjišťuji, kolik lidé vydali za jednotlivé zboží používá se častěji než deflátor, jednodušší výpočet

Neoklasický přístup k poptávce po penězích (statika)- 3 základní modely:

o Fischerův o Marshallůvo Friedmanův

- všechny jsou dost zastaralé, ale tvoří východisko pro moderní teorie

Fischerův modelDes Grieux 3

- Md – zamýšlené a potřebné množství peněz v oběhu (poptávka po penězích, ale Fischer pojem poptávka neznal)

- racionální poptávka- MS – skutečné množství peněz v oběhu

-

o T – reálné transakce, stabilní,

o P – cenová hladina, proměnlivá,

o VT – průměrný počet transakcí, které zprostředkuje jedna peněžní jednotka (transakční rychlost obratu peněz)

- MS = Md

o existují síly, které vyrovnávají peněžní nabídku s peněžní poptávkou – adaptační mechanismy (Marshallův a Ricardův?)

- Marshallův mechanismuso MS > Md

nadbytek peněz v rukách subjektů růst poptávky na komoditním trhu růst cen růst Md, dokud není MS = Md

o MS < Md nedostatek peněz šetří pokles poptávky na komoditním trhu pokles

cenové hladiny pokles Md, dokud není MS = Md

- Ricardův mechanismuso teoretická cena nekonečné obligace B = C/R; MS > Md

nákup obligací způsobí růst poptávky a růst cen obligací a pokles úrokových měr porostou úvěry a investice porostou ceny investičního zboží a globálně cenový index poroste poptávka po penězích

- původní Fischerova rovnice: VT*MS = P*T

- , opodstatněný předpoklad, že tento poměr je konstantní

- Fischerova poptávka po penězích v důchodovém tvaru

o kde V je důchodová rychlost obratu penězo jen tahle poptávka pro nás bude na dále podstatná (ke zkoušce ale znát obojí)

Marshallova teorie poptávky po penězích- , kde

o k je Cambridgeská konstanta, která je technologicky určená

o porovnáním Fischera a Marshall zjistíme, že

- ale určité rozdíly jsou:

o následovníci Marshalla si řekli, že když MS = Md, pak by mělo , ale to neplatí,

zjistili že k závisí i na IRN(-), podobně i na očekávané inflaci(-) a bohatství(+)o

-

o ??? růst inflace vede ke snížení poptávky po penězích ???

Des Grieux 4

Friedmanův model- trochu odbočka, aby bylo všechno pochopitelnější (moc jsem to ale nepobral… )

o 1956 – sborník vydaný Chicagskou univerzitou – reformulace kvantitativní teorie penězo neoklasický přístup k poptávce po penězích (podle úlohy spotřebitele v neoklasické

ekonomii)o spotřebitel maximalizuje užitek, utrácí celý svůj důchod

o užitek je násobkem cen,

- spotřebitel se chová tak, že bohatství (W) rozhazuje mezi jednotlivá aktiva tak, aby maximalizoval svoji užitkovou funkci

- užitková funkce je definována pro tato aktiva: peníze (M), obligace (B), akcie (E), fyzické zboží (F, zejména nemovitosti), lidský kapitál (H) U(M,B,E,F,H) (1)

o M + B + E + F + H = WP rB rE π výnosnosti (H není, resp. hodně špatně substituabilní, nemusím posuzovat jeho parametry)

- výnosnost peněz je P, jde o to, aby peníze zprostředkovaly nominální transakce ve výši X*P (X je konstanta), výnosnost lze psát jako XP/M výnosnost je přímo úměrná na cenové hladině

- rB, rE – celkové výnosnosti- bohatství – W

o oceňuje se současnou hodnotouo předpokládáme, že důchod plynoucí z bohatství je stálý proud ne jen peněžních výnosů, ale

i jiných požitků oceněných v penězích permanentní důchod Yo W = Y/r (perpetuita)o r je závislá na rB a rE

o (pozn: velmi podobné rozpočtovému omezení u teorie

spotřebitele)o WH je lidké bohatství – vypotřebovává se jen na lidský kapitálo WE je fyzické bohatství – rozhozené do ostatních aktivo M + B + E + F + H = W (2) – bohatství rozhozeno do všech aktiv, důležité jsou výnosnosti

P rB rE π (3)- celková výnosnost obligací – rB

o dělí se na výnosnost běžnou a výnosnost kapitáluo běžná

b(0) – cena věčné obligace v t=0 (teď) rb(0) – výnosnost v t=0 kuponová platba = 1

to platí pro každý časový okamžiko kapitálová

b(t) – budoucí očekávaná cena

= anualizovaná kapitálová výnosnost

= okamžitá anualizovaná kapitálová výnosnost (kde je derivace podle t)

celková výnosnost obligace vyjádřená

v běžné výnosnosti

Des Grieux 5

(kde 1 reprezentuje kuponovou platbu)

- celková výnosnost akciío předpokládáme nejdříve, že se ceny neměnío běžná výnosnost

analogicky:

(1 je dividenda)

o kapitálová

okamžitá anualizovaná kapitálová výnosnost:

o nyní předpokládejme, že se P mění – P(0), P(t)o běžná

ve vzorci dále vyjadřuje anualizovanou dividendu za čas t, zhodnocení

podle cenového indexu

okamžitá => za krátký

časový okamžik se běžná výnosnost nemění, je rovna e(0)o kapitálová

vyjádřím v běžných výnosnostech

- výnosnost F (nemovitostí)o cena (X) nemovitostí se mění jen v souladu s inflací, reálné ceny se nemění

o anualizovaná výnosnost nemovitostí

o okamžitá: => výnosnost

je rovna inflaci- => poptávka po jednotlivých druzích aktiv je dána jako řešení optimalizační úlohy, které závisí na

jednotlivých parametrech- M = F(P,rB,rE,π,YN/r,h) – Friedmanova funkce poptávky po nominálních penězích

+ – – – + +o h=WH/WE – při vysokém podílu lidského bohatství nelze dělat dobře substituci lidského

bohatství do fyzického nelze okamžitě získat peníze (WH je nesměnitelné do ostatních majetkových aktiv) raději rovnou držíme větší množství peněz v hotovosti (čím vyšší h, tím větší poptávka po penězích, platí samozřejmě i naopak)

Des Grieux 6

o při růstu inflace π existuje obava ze znehodnocení peněz nákup B nebo E, pokles MD

- v souladu s těmito neoklasickými teoriemi se přijímá jeden předpoklad: při růstu cen λ-krát (λ > 0) a růstu YN také λ-krát, M roste také λ-krát (platí i u Walrasových modelů – ty ale nejsou ve zkoušce, zatím )

- funkce F je tedy lineárně homogenní (1. stupně) pro proměnné P a YN (předpoklad pro následující úpravy)

- pokud λ = 1/P – funkce reálné poptávky

po penězích- souvislost s Fischerovou teorií:

o u Friedmana máme permanentní důchod, u Fischera není – určitý kvalitativní rozdíl

o

o λ = 1/Y

o původní Fischerova rovnice: MV = PY

o porovnáme-li obě teorie:

o Fischerova rovnice poptávky po penězích je formálně stejná jako Friedmanova až na to, že u Friedmana je V závislé na daných parametrech (u Fischera je V technologicky určené)

o Friedman jde navíc ještě dále porovnává s empirií – při zvýšení např. rE je spíše tendence prodávat obligace a přesouvat je okamžitě do akcií a M na změnu rE moc nereaguje, také nereaguje ani na očekávanou změnu inflace (pokud nejde o hyperinflaci)

o pokud se rB a rE zvyšují proporcionálně, tak pak může nastat úbytek poptávky po penězícho proti tomu je ale fakt, že banky mají peníze jakou součást svého portfolia chtějí udržet

zůstatky na běžných účtech, při růstech výnosností zvyšují úročení běžných účtů, případně zvyšují doplňkové služby ke změně M opět nemusí dojít

o peníze nereagují na změnu rB, rE, r, π

o závislost M je pouze na reálném důchodu (h bereme jako konstantu)

Zjednodušený neoklasický model poptávky po penězích (Samuelsonův)- jednoduchý dynamický přístup- c1 – reálné výdaje na spotřebu v současném období- c2 – reálné výdaje na spotřebu v příštím období- m1 – poptávka po penězích v prvním období (peníze jsou prvním období jako výdaj, v druhém je

použiji na spotřebu)- p1 – cenová hladina prvního období- p2 – očekávaná cenová hladina (mám ale perfektní odhad)- m0 – peněžní zásoba z minulosti- y1 – zboží k dispozici v prvním období- y2 – disponibilní zboží v budoucnosti- užitková funkce: (1) u(c1,c2) – vstupuje do ní pouze spotřeba (v tomto modelu)

o dynamická funkce, užitek se měří za více obdobío omezení:

(2) p1c1 + m1 = p1y1 + m0 – peníze spotřebováváme a vytváříme peněžní zásobu, používáme disponibilní zboží a minulou peněžní zásobu

(3) p2c2 = p2y2 + m1

podmínky: c1,c2 0, m1 0 0 m1 = p2c2 – p2y2 p2c2 – p2y2 0 c2  y2

Des Grieux 7

- využijeme toho, že peníze nejsou v užitkové funkci vypočteme je z 1. a 2. rovniceo m1 = p1y1 + m0 – p1c1

o m1 = p2c2 – p2y2 dosadím do 3. rovniceo p1c1 + p2c2 = p1y1 + p2y2 + m0

- úlohu přeformulujeme:o (I)

(1) u(c1,c2) (2) p1c1 + m1 = p1y1 + m0

(3) p2c2 = p2y2 + m1

o (II) p1c1 + p2c2 = p1y1 + p2y2 + m0

- řešení: použijeme užitkovou funkci pro dvě období – u(c1,c2) = u0

- omezíme spotřebu prvního období (o ∆c1), zvýší se c2 (o ∆c2) poměr je mezní míra

časové preference- čím je sklon vyšší, tím je mezní míra časové preference také vyšší

- okamžitá: , kde je funkce té tečny

o c2 = f(c1) – funkci počítám z u(c1,c2) = u0 => c2 = φ(c1)o pro řešení máme dvě možnosti:

spočítat φ derivovat derivovat u podle c1 a podle c2 a podělit, nemusím zkoumat φ – jednodušší způsob obojí udává mezní míru časové preference

- rozpočtová přímka (kombinace bodů c1 a c2, některé body jsou nerealizovatelné v ekonomickém slova smyslu)

Des Grieux 8

- pokud je , pak celé spotřebujeme v 1. období- předpokládejme nejdřív, že je relativně malé (jen proto, aby byl obrázek přehledný )

- nyní je relativně malé

- řešení úlohy (na nejvyšší indiferenční křivce) dopočítáme m1 - dělíme p1

- reálná peněžní zásoba (viz graf)

- pokračuje v úloze na hledání vázaného extrému – pomocí Lagrangeovy funkce - , kde je anulovaná vazba (

)o nejdříve derivujeme podle λ dostaneme se zpětně k (II) (vazba – nutná

podmínka pro extrém)

-

- celkový výsledek jsou 3 rovnice o 3 neznámých (vazba + 2 rovnice s proměnnými) - když jsou a optimální, pak optimum spočteme ze 3 rovnic o 3 neznámých λ je pro nás

celkem zbytečné, stačí 2 rovnice o 2 proměnných

- jsou-li a optimálním řešením, pak se mezní míra časové preference v daném bodě rovná poměru cen (implikace, obráceně nemusí platit)

- komparativní statika řešení

Des Grieux 9

o zkoumá bod rovnováhy spotřebitele – jak se mění v závislosti na parametrech (jen některých – y1, y2, m0, p2), čili co se stane s c1, c2, p1 a m1 při změně těchto parametrů

o změna y1 – zvýšení na pravé straně rozpočtové rovnice (II) posun rozpočtové přímky směrem

nahoru, který je rovnoběžný (sklon určují p1 a p2) hledáme novou indiferenční křivku („vhodnou“, nenastane to, že by se c1 nebo c2 zmenšilo)

momentální přírůstek disponibilního zboží mi umožní rozložit bohatství na c1 i c2

z původní úsečky, která měří m1, jsem sice kus ukrojil ale linie se posunula o ∆y1

celé to jde posunout změna y1 je větší než c1 nová peněžní zásoba je větší

o změna y2 – zvýšení opět se mění jen pravá strana posun rozpočtové křivky stejně jako u y1

ale nominální i reálná peněžní zásoba se zmenší ( se posune doprava, se

nijak nemění)

o změna m0 – zvýšení v podstatě to samé jako u y1

o změna p2 – zvýšení

Des Grieux 10

ovlivněny obě strany (II) změna sklonu rotace rozpočtové křivky předpokládejme, že je indiferenční křivka málo prohnutá c1 roste, c2 klesá růst budoucích cen prudce omezí budoucí spotřebu, ale protože

substituabilita je snadná, tak se současná spotřeba zvýší (tzv. uspíšení nákupů)

poptávka po penězích se zmenší, projevuje se obava ze znehodnocení

- substituabilitao 2 křivky, tečnu mají obě stejnou

o ale substituce u prohnutější je snazší, není nutné se vzdát tolik c2 pro získání určitého množství c1

o projev v optimálním řešení: nové c1 i c2 jsou menší než původní (u prohnutější indiferenční křivky)

- příklad:o bude v tesu, užitková funkce bude asi složitější (zopakovat derivace!)oo (tohle zadáno nebude, nutno znát)o nebo o nutné podmínky extrému:

1) 2) derivace L:

podle c1:

Des Grieux 11

podle c2:

o vydělíme

o dosadíme do vazby

o

o

o dosadíme do vzorce výše a získáme také m1

o vynásobíme-li k-krát ceny a nominální veličiny, tak se poptávka po reálných veličinách nezmění (homogenní funkce nultého stupně)

o u m1 když vynásobí k-krát ceny a nominální veličiny, tak m1 vzroste také k-krát (homogenní funkce prvního stupně)

- optimální spotřeba na dvě období:- u(c1,c2,m1) – čím větší m1, tím větší užitek, to samozřejmě platí i pro obě c- všechny faktory jsou spjaty s omezeními

- 1. období:

o výdaje jsou hrazeny prodejem disponibilního zboží, prodejem obligací, peněžními zůstatkyo obligace jsou buď kladné (nákup obligací), když jsou záporné, bereme je jako půjčku

(emise obligací)- 2. období: - b1 není v užitkové funkci, snažím se ho eliminovat z obou rovnic-- nebo

- druhou rovnici vynásobíme a obětovnice sečteme rozpočtová rovnice pro obě období

, se vykrátí a m1 přesuneme na

levou stranu rovnice:

(1)

rovnice pro obě období obsahující současné hodnoty (vlevo výdaje, vpravo zdroje)- sestrojíme Lagrangeovu funkci a spočítáme optimální proměnné c1, c2, m1 a zpětně dopočítáme i b1

pro maximální u (proměnné tedy vyhovují nutným podmínkám extrému) s parametry p1, p2, r, y1, y2, m0, b0

- Lagrangeovu funkci derivujeme podle λ a položíme rovnu 0 po úpravě zpětně dostaneme podmínku

- poté funkci derivujeme podle:

o c1

o c2 (opět současná hodnota)

- předpoklad: u je striktně konkávní nutná podmínka pro extrém je také postačující

Des Grieux 12

- z derivací vypočteme optimální řešení a pak i zpětně dosadíme a vyjde identita- optimální řešení závisí na parametrech úlohy, proměnné jsou funkcemi těchto parametrů- nevyjádříme přímo optimální řešení, ale jen citlivosti proměnných na změnu parametrů (zda je

reakce kladná nebo záporná), např.

- parametrů je hodně, vybereme jen některéo m0 (vyřeší i reakci na b0, y1, y2)o p2 (reakce na očekávanou inflaci)o r

- 4 základní rovnice o 4 neznámých :

o (1)

o (2)

o (3)

o (4)

- reakce na m0:o (1) derivujeme podle m0

(pro pozdější počítání s U)

o (2) derivujeme jako složenou funkci o 3 proměnných podle c1

pravou stranu rovnice

převedeme vlevo (stejně i u dalších rovnic, kde úpravu provedeme rovnou)

o (3) derivace podle c2, protože je u spojitá, můžeme zaměnit pořadí derivací

o (4) derivace podle m1

o lineární nezávislá soustava s právě jedním řešenímo pro výpočet si zavedeme matici U koeficientů soustavy 4 rovnic (jednotlivé koeficienty

substituujeme podle původních rovnic (1) – (4))

(pamatovat , bude v testu)

o soustavu si napíšeme maticově Des Grieux 13

zde je 1. matice tzv. reakční vektor a 2. reprezentuje vektor

pravých stran pro formální řešení vynásobíme inverzní maticí U-1

o uvažujeme jen takové funkce, kde U-1 má určitá pravidla, vznikla z maximalizační úlohy prvky wii na diagonále jsou záporné kromě w00 (to je nejisté, ale stejně ho nepotřebujeme)

o u je také složená funkce více proměnných , kde

jsou vnitřní aditivní funkce s 1 proměnnou v každé funkci pod diagonálou i nad ní jsou všechny prvky wij kladné

o U je také symetrická matice, wij = wji

o pokud všude výše místo použijeme , tak je jasné že reakce budou úplně stejné

o platí i pro y1 a y2, akorát vektor pravých stran je u y1 roven a u y2 roven

- reakce na p2:o (1) derivujeme podle p2

Des Grieux 14

u spořícího subjektu je , kde je záporné

o (2) derivace

o (3) derivace

o (4) derivace

o vynásobíme (1) a opět provedeme substituci podle jednotlivých rovnic

o (1)

o (2)

o (3)

o (4)

o matice U opět matice parametrů (parciální derivace funkce u)

o reakce:

, protože v případě spořícího subjektu jsou

oba členy záporné spotřeba druhého období s růstem cen klesá

výsledný efekt pravděpodobně kladný

Des Grieux 15

w12 – relativně veliké, substituce c1 a c2 je snadná (viz zjednodušený model)

výsledek pravděpodobně záporný

w32 – substituce peněz a c2 je relativně menší- reakce na r:

o (1) derivace

o (2) derivace

o (3) derivace

o (4) derivace

o vynásobíme (1) a opět provedeme substituci

o (1)

o (2)

o (3)

o (4)

o matice koeficientů

Des Grieux 16

(opět uvažujeme spořící subjekt) / * U-1

o reakce:

s růstem r roste spotřeba c2

w32 a w33 nejsou moc vysoké, ale přesto nejspíše převáží w30 růst r pravděpodobně ovlivní poptávku po penězích negativně

- typový příklad do testu:o jaká je reakce obligací na jednotlivé parametry?

o

o

i kdyby , tak jen málo

- existují i úlohy, kde je horizont delší nebo nekonečný – mají jednodušší užitkovou funkci, ale zase je tam více období

Keynesovské modely poptávky po penězích- peníze jsou nevýnosové aktivum, a proto bychom je vůbec neměli držet, ale snažit se je hned

směnit za jiná aktiva (spotřebu, výnosová aktiva)- motivy pro držbu peněz podle Keynese:

o důchodový spotřeba je de facto nepřetržitá, ale důchody se vyplácejí periodicky v dávkách

o opatrnostní nepředvídatelné výdaje oba tyto motivy jsou úměrné důchodu Y, dokonce předpoklad lineární závislosti

(k*YN – k je cambridgeská konstanta)

Des Grieux 17

oba motivy dohromady dávají transakční motiv a peníze držené z tohoto motivu jsou transakční peníze

o spekulační souvisí s očekáváním při očekávání poklesu úrokové míry (růst ceny obligací) nakupuji je

Baumalův – Tobinův model držby transakčních peněz- primitivní model ukazující, že transakční peníze nejsou jen funkcí důchodu, ale i úrokové míry- nesouvisí se spekulativním motivem

- Y/2 = průměrná peněžní zásoba (horní přímka)- dolní přímka: Y/4 (resp. K) peněz si nechám, za 3Y/4 nakoupím obligace, v t=1/4 čtvrtinu (resp.

K) obligací prodám netratím na úrokové míře, ale na brokerských poplatcích- obecně:

o K – počáteční peníze K/2 = průměrné množství peněz v peněžence (předpoklad Y/K je celé kladné číslo)

o K/2 * r = ztráty z úrokové míry (náklady z neuložení peněz)o počet transakcí n = Y/K b*Y/K = transakční náklady (b je aproximovaný brokerský

poplatek, neaproximovaný s rostoucím počtem operací roste pomaleji)

o chceme TC co nejmenší, derivujeme podle K

o po úpravách dostaneme

o Y/K pravděpodobně nebude celé číslo opustíme od podmínky

- průměrné množství peněz v peněžence = roste s růstem Y a klesá s růstem r

- po zlogaritmování

- pokud jsou úročené běžné účty úrokovou mírou i, která je menší než tržní úroková míra r

snížení ztráty z neuložení poptávka po

penězích se zvýší- v případě, že subjekt neminimalizuje náklady, ale maximalizuje zisk

o předpoklad, že peníze jsou ve formě vkladů na běžných účtech, které jsou úročeny

o (výnosy mínus brokerské náklady) derivace podle K

Des Grieux 18

o matematicky stejné řešení

minimalizuje-li subjekt náklady, tak je to totéž, jako když maximalizuje zisk

Akerlofův model transakční poptávky po penězích- vznik 1980- není zde maximalizace užitku ani minimalizace nákladů, ale model vychází z realistických

předpokladů- smyslem je ukázat, že když se zvýší důchod, tak ne vždy vzroste transakční poptávka po penězích,

ale někdy může naopak i klesnout

- princip je ten, že subjekt má na běžném účtu určitý zůstatek, průběžně prostředky čerpá a na začátku dalšího období mu vždy přijde další důchod, který zase postupně čerpá, přesto vždy subjekt něco uspoří a pokud celkový zůstatek na BÚ překročí určitou hranici, subjekt většinu prostředku přesune na účet termínovaný a proces běží opět od začátku a takto se to dokola opakuje

- předpokládáme, že výdaje jsou lineární- konstantní příjem Y = C + S z prvního příjmu si hned uložím úspory výchozí pozice

- v t=1 přijde příjem posun o C+S nahoru C spotřebuji, S je zůstatek tak to jde dokud nepřekročím práh H pak přesun prostředků na TD a zpět do výchozí situace

- teoretická peněžní zásoba je průměr průměrných peněžních zásob za jednotlivá období

-

- spotřebu lze spočítat snadno, problém je zjistit počet období n, než dosáhnu prahu H- ale dá se spočítat průměrný práh H (tedy i průměr zůstatků na běžném účtu)

Des Grieux 19

- – v n-tém období dosahují nebo překračují zůstatky práh H poprvé, čili vždy

předtím byly pod H (tedy )

- dolní odhad teoretické poptávky po penězích

o

- horní odhad teoretické poptávky po penězích

o

- skutečná poptávka po penězích

Sprenkle–Millerův model opatrnostní poptávky po penězích- A – množství peněz, které chce subjekt držet- X – nepředvídané výdaje, náhodná veličina s normálním rozdělením pokud nastane, hrozí

nebezpečí nelikvidity- ale pokud X nenastane, držíme zbytečně mnoho peněz a máme ztráty z neuložení

-

o A–X – přebytek penězo X–A – nedostatek, musím si půjčit za r0 (vysoká úroková míra), ale část prostředků mám

na vkladových účtech, kde jsou úročeny r, proto r0 – ro f(x)d(x) – pravděpodobnost

- TC = ztráty z neuložení + transakční náklady- neznámá je A, X je náhodná veličina- odvození (není nutné znát v testu):

derivuji podle A

Des Grieux 20

pozn:

- závěr:o růst r (zlomek se zvětší) držím méně peněz (ztráty z neuložení jsou větší)o růst r0 držím více peněz

Tradiční model spekulativní poptávky po penězích

- aproximace

- budoucí očekávaná úroková míra ru – čekávání je regresivní (tedy včetně opravy)-

o – představa i-tého subjektu o budoucí úrokové míře

o – koeficient přizpůsobení

o r – tržní úroková mírao když , pak subjekt očekává růst a obráceněo např: 0,07 = 0,08 + ½ (0,06 – 0,08) pokles

- očekávání poklesu úrokové míry je to samé, jako kdyby subjekt očekával růst cen obligací a proto je drží (samozřejmě platí i obráceně)

- člověk část svého bohatství drží v obligacích nebo v penězích a zbytek jako transakční peníze- 10 subjektů

Des Grieux 21

- při vysoké úrokové míře jen málo subjektů drží hotové peníze (poptávka po penězích je malá), s nízkou úrokovou mírou je naopak spjata velká poptávka po penězích

- tradiční Keynesova funkce:

- modifikovaná funkce:

Tobinův model spekulativní poptávky po penězích- pro pochopení je důležitá teorie dvouaktivového portfolia (není ale ve zkoušce)

o aktiva: obligace (1) a akcie (2)

o celková výnosnost obligací

o pro portfolio n (kladné reálné číslo) obligací

o pro akcie pak

o portfolio

o výnosnost portfolia:

pozn: – podíly aktiv v portfoliu; X1 + X2 = 1

vážený průměr výnosností obou aktivo za očekávané výnosnosti dosazujme zprůměrovaná historická data

o očekávaná výnosnost portfolia:

o rozptyl výnosností se počítá výběrovým rozptylem, zajímá nás i výběrová směrodatná odchylka σ1 a σ2

o zjistíme i výběrovou kovariance cov(r1,r2) a pak i výběrový korelační koeficient

, který měří těsnost lineární závislosti

Des Grieux 22

- (1) , a jsme schopni získat z minulosti, považujeme je za konstantu, X1 a X2

jsou proměnné (platí, že ; X1 + X2 = 1)

- riziko portfolia (2)

o riziko jednotlivých aktiv známe, korelační koeficient umíme spočítato lze vyjádřit jako jednoparametrickou (X2 = 1 – X1) soustavu z (1) a (2), jako výsledek

dostaneme křivku – množinu přípustných portfolií

- rovnice úsečky (viz obrázek)

- v tomto případě je možné vytvořit

bezrizikové portfolio

- dále budeme předpokládat

- obecně lze pro každé portfolio vytvořit množinu dominujících portfoliích

o výchozí portfolio symbolizuje prázdný kroužek, toto portfolio je dominováno ostatními portfolii, které se nachází v prostoru vymezeném dvěmi kolmicemi

o tato dominující portfolia mají buď stejný výnos při nižším riziku nebo stejné riziko při vyšším výnosu nebo nejlépe vyšší výnos při nižším riziku

Des Grieux 23

- část množiny přípustných portfolií, ke které nelze nalézt žádná dominující portfolia, tvoří množinu efektivních portfolií

- užitková funkce investora:o investor je schopný danému portfoliu přiřadit užitkový indexo

o funkce je rostoucí ve výnosnosti a klesající vzhledem k rizikuo vhodné portfolio zvolíme pomocí indiferenčních křivek

o 3D model by vypadal zhruba takto

Des Grieux 24

ve směru funkce roste, ve směru klesáo rizikově aversní investor má strmější indiferenční křivky

o rizikově absolutně aversní investor má svislé rovnoběžné indiferenční křivky

růst funkce je směrem do leva (vyšší užitek při nižším riziku) portfolia se stejným výnosem hodnotí stejně

o rizikově neutrální investor vodorovné indiferenční křivky nerozlišuje portfolia se stejným rizikem

o rizikově aversnější investor vybírá portfolio s nižším výnosem a nižším rizikemo absolutně aversní investor vybírá portfolio s minimálním rizikemo neutrální investor vybírá portfolio s největším výnosem

- upravíme portfolio tak, že první aktivum bude bezrizikové (σ1 = 0) (r1 je determinovaná, není potřeba ji průměrovat)

Des Grieux 25

- další zjednodušení: , kde

o

o , kde

o maximalizace při vazbě

- zpět k Tobinově modelu spekulativní poptávky po penězích- uvažujeme portfolio složené ze dvou aktiv

o peníze (M) – bezrizikové a nevýnosové rm = 0 σm = 0

o obligace (B) – rizikové a výnosové

, pokud (0 protože střední hodnota

kapitálové výnosnosti je rovna právě 0) (odteď dále bude celková očekávaná výnosnost obligací rovna běžné výnosnosti)

σb > 0- celkové bohatství W = M + B

o

o

- užitková funkce (POZOR: v testu je vždy u každého modelu nutné uvést užitkovou funkci!!!)o

o u0 odpovídá maximální indiferenční křivce

- původní lze upravit

- řešení pomocí Langrangeovy funkce:

derivujeme

Des Grieux 26

o uvažovat dále λ není třeba, vykrátí se

o místo výrazu na levé straně lze psát i v závislosti na σp – explicitní vyjádření

indiferenční křivky

o tak jsme získali bod optima (σ, r), ale ještě potřebujeme míchací poměry – obecně

o konkrétně: spočítám z údajů z bodu optima

- příklad:

o zadání: , c = 0,12 (12%), σb = 0,4 (40%)

o nejdříve sestrojíme vazbu: řešíme pomocí Lagrangeovy funkce

Des Grieux 27

pozn: rovnice paraboly (indiferenční křivky),

zlomek ½ určuje strmost paraboly – jde o tzv. koeficient rizikové averze; indiferenční křivky se posouvají paralelně

=1 (dosadíme do první rovnice)

o riziko optimálního portfolia (30%)

o výnosnost optimálního portfolia (9%)

o míchací poměry:

o pokud např. W = 1 000 000 M = 250 000 a B = 750 000- obecné zadání:

o k – koeficient rizikové averze

o , c, σb

o vazba:

o obecné řešení rizika:

o výnosnost:

o míchací poměry: , kde

Des Grieux 28

o M = (1 – X2) poptávka po spekulativních penězích

o

růst σb růst M růst c pokles M růst k růst M

- reakce M na změnu výnosnosti obligací c:

o při růstu c poptávka po penězích (Xm) klesne- reakce M na změnu rizikovosti obligací σb:

Des Grieux 29

o růst rizikovosti obligací vyvolá růst poptávky po penězích- reakce M na změnu velikosti koeficientu rizikové averze k:

o růst koeficientu vyvolá růst poptávky po penězích- reakce M záleží především na tvaru u, výsledky nemusí být vždy jednoznačné

o

o

Des Grieux 30

o vyšší indiferenční křivka má také vyšší sklon (u0 = 0 = horizontální osa)o čím vyšší křivka a čím větší výnos, tím je investor více aversnější k riziku

o

o riziko portfolia:

o míchací poměry:

o poptávka po penězích: nezávisí na c

růst růst M růst k růst M růst c M se nemění

Des Grieux 31

Modely dílčího přizpůsobení (partial adjustment models)- dynamické modely- klasický keynesovský přístup- optimální případ dlouhodobé poptávky po transakčních i spekulativních penězích

o kde Y je důchod, R úroková míra (k2 je negativní – předpoklad)

- pokud je ale odlišná od skutečné Mt

o máme zbytečné peníze navíc (ztráty z neuložení)

o potíže s likviditou nebo špatná velikost spekulačních peněz (transakční ztráty)

- vznik ztrát z nerovnováhy – nekalkulujeme, ale měříme ztrátovou funkcí C

-

o první sčítance symbolizuje ztráty z nerovnováhy, druhý ztráty ze změny kvůli ztrátě rovnováhy (transakční náklady, náklady přizpůsobení)

- hledáme minimum nákladové funkce derivujeme podle Mt ( je dáno exogenně)

optimální reakce: vážený aritmetický průměr

dlouhodobé peněžní poptávky a její předchozí úrovně

- rozhoduje vztah mezi a a b, ne jejich absolutní hodnota

-

o kde a o dosadíme do původní rovnice modelu

- vytvoříme ekonometrické model

Des Grieux 32

- odhadneme parametry a doufáme, že vyjde c2 < 0 a -- M0 – počáteční stav pro predikci musím vytvořit předpovědi exogenních proměnných Y1 – Yt, R1

– Rt a dosadíme do modelu- pro zjednodušení budeme uvažovat Yt a Rt konstantní = konst. (dlouhodobá poptávka se

nemění) - dynamický autonomní systém:

o autonomní reprodukceo stačí počáteční stav M0 (díky odmyšlení exogenních proměnných)o zkoumáme rovnováhu a stabilitu

- rovnováhao takový stav, kdy se proměnné charakteristické pro systém nemění v čase

o řešíme, zda existuje konstantní řešení diferenční rovnice

o konstantní řešení = rovnovážné =

ano, rovnovážný stav existuje, lze ještě zjednodušit

rovnovážným stavem je dlouhodobá poptávka

o systém je v rovnováze, pokud se v průběhu času do rovnováhy dostane

(limita generuje trajektorii)o „malá“ nerovnováha – systém je lokálně asymptoticky stabilnío „velká“ nerovnováha, velké vychýlení a systém se stejně vrátí je globálně asymptoticky

stabilnío odchylka od rovnováhy = fluktuace = mt (počáteční fluktuace )

o fluktuace je ekvivalentní s rovnováhou, fluktuace totiž časem vymizí

-

– odečteme od 1. rovnice systém lze zapsat jako trajektorii informací, nese všechny podstatné informace

. . .

o – systém směřuje do rovnováhy

o – systém je trvale vychýlený

o – systém alternuje m0 a –m0

o – systém osciluje, ale oscilace jsou stále menší, směřuje do rovnováhy

o my budeme uvažovat – fluktuace se stále změnšuje

Model dílčího přizpůsobení s rychlostí přizpůsobení- definujeme nákladovou funkci

(ztráty z neuložení + přizpůsobení Mt-1 současnému stavu Mt + „náklady z nepredikovatelnosti“)

Des Grieux 33

, kde Mt je jediná neznámá

derivace podle Mt

přeznačíme

-o a, b, c > 0

o

o

o

o

- dílčí poptávka po penězícho dosadíme do rovnice výše

přeznačíme

odhadneme parametry

o pro predikci potřebuji znát M0, M-1 a scénář vývoje exogenních proměnných –dosadíme do modelu a získáme predikce

- autonomizace modeluo předpokládáme konstantní Yt a Rt je v čase konstantnío autonomní model

o za jakých podmínek je model v rovnováze (Mt se nemění v čase = )

explicitní vyjádření rovnovážného stavu, závisí na známe

dlouhodobé poptávce a parametrech) po úpravě

- nastolování rovnováhy v systému s dvojnásobným zpožděnímo

o systém ve fluktuaci

o diferenční rovnice 2. řádu

předpokládejme řešení, tvar fluktuace dosadíme pro ověření

pro c=0 nebo λ=0 dostaneme triviální řešenío

charakteristická rovnice pokud λ řeší tuto rovnici, pak bude řešit i

diferenční rovnici pro libovolné c (lze dokázat, že jiné řešení není)

Des Grieux 34

obecný tvar charakteristické rovnice řešení v komplexním oboru

o pokud , pak má řešení:

vyberu ta řešení, která splňují počáteční podmínky: prochází m0

prochází m1 dostanu partikulární řešení

-

- nutno rozlišovat, zda je diskriminant charakteristické rovnice je D>0, D=0, D<0- D > 0

o

o důkaz, že

o zkoumáme, zda je systém asymptoticky stabilní, zda

fluktuace monotónně vymizí asymptotická stabilita (pro libovolná c1 a c2)

o určíme c1 a c2 najdeme partikulární řešení (prochází počátečními podmínkami)

(z po dosazení t=0)

(z po dosazení t=–1)m0, m-1, λ1, λ2 známe, c1, c2 spočítáme získáme partikulární řešení

o potencionální testové otázky: je zadaný systém asymptoticky stabilní? jde o systém dílčího přizpůsobení? je D>0?

- D = 0

o

o rovnice pro vývoj fluktuací (složitě se dokazuje):

Des Grieux 35

o systém j rovněž asymptoticky stabilní, ale nikoli monotónně, to až od určitého času To partikulární řešení:

(po dosazení t=0)

(po dosazení t=–1)

- D < 0

o

o komplexní kořeny (imaginární, )

o absolutní hodnota , resp.

o nyní dokážeme, že je systém překvapivě schopný oscilacío

o obecné řešení:

(pozn: c1 a c2 jsou také imaginární čísla; , obecně nemusí být

komplexně sdružená, čili nemusí jako u a platit a )

množina komplexních řešení, my ale potřebujeme jen reálnou podmnožinu za c1 a c2

zvolíme čísla komplexně sdružená a navíc ještě upravíme pomoci Moivreovy věty

o dá se dokázat, že žádné jiné reálné řešení není tato řešení řeší diferenciální rovnici 2. řádu při diskriminantu charakteristické rovnice D < 0

o

o partikulární řešení:

(po dosazení t=0)

Des Grieux 36

(po dosazení t=–1)

o je systém stabilní?

rovnováha, asymptoticky stabilní

systémo vyjádření v původní proměnné:

o fluktuace mt v sobě nese všechny

potřebné informace- rekapitulace:

o D > 0 fluktuace

o D = 0

o D < 0 oscilace

- 2 typy příkladů:o a = 2, b = 5, c = 3, M* = 10 systém s rychlostí přizpůsobení

napište c spočtěte bod rovnováhy (=M*) spočtěte μ0, μ1, μ2

zapište rovnici ve fluktuacích osciluje systém nebo ne? pokud ne, spočítejte λ1 a λ2 (i pro D = 0) D < 0 – oscilace?

o nebo obráceně, zadáno

jedná se o systém dílčího přizpůsobení?

, OK, viz podmínky μ1, μ2

NE, nejde o systém dílčího přizpůsobení

o

OK

charakteristická rovnice:

diskriminant: systém osciluje

o

Des Grieux 37

Mikroekonomická nabídka peněz1. model

- bilance banky

- R jsou rezervy, E úvěry a D depozita- R+E=D - bilanční rovnice: - zisková funkce:

o rE banka neovlivní ať poskytne úvěrů kolik chce – volně konkurenční bankao rD – opět volná konkurence, tržní sazby

-

2. model- bilance banky

- B jsou obligace, nehrají roli v rezervách- E+R=D+B

-

1. model s nákladovou funkcí- provozní náklady: C(D)

o esovitě prohnutá o jsou optimální náklady

- R+E=D - bilanční rovnice:

- zisková funkce:

-

- derivujeme podle D a upravíme

Des Grieux 38

- mezní příjmy z úrokového rozpětí = mezní náklady

optimum – tam kde se rovnají směrnice křivek v grafu výše

- je vidět, že banka se od běžné firmy moc neliší

Model s obligacemi a nákladovou funkcí

-

- provedeme parciální derivace

soustava dvou rovnic o dvou neznámých

Příklad do testu

-

- řešení:

derivace

!!!Zde jedna přednáška chybí (v pátek odpadla)!

1. Mikroekonomická nabídka peněz (a) Montiho-Kleinův model, (b) řízení rezerv2. Makroekonomická nabídka peněz (a) multiplikátor, (b) křivka nabídky peněz

Zmíněná témata najdete v Měnové analýze v kapitole 5, v sekcích 5.1 a 5.2!!!

Připomenutí: multiplikátor

- , kde B je báze

- R (úroková míra) se pohybuje od nuly do nekonečna, M je v určitém pásu- pro dané Y a P situace vypadá takto:

Des Grieux 39

Řízení peněžní zásobyDeterministický model

- statický model- neokeynesovksý model peněžního trhu:

, kde je multiplikátor závislý na Rt

nominální poptávka po penězích (L je reálná)

o 2 behaviorální rovnice

– rovnice rovnováhy (existují vyrovnávací procesy)- 3 endogenní proměnné modelu: Rt, Md

t, MSt

- exogenní proměnné (stanovené mimo systém): Pt, Yt, Bt

- Pt, Yt jsou stanoveny mimo peněžní sektor, určeny v reálném sektoru, nemůžeme je ovlivňovat exogenní autonomní proměnné

- B = HOT + REZ lze ji ovlivňovat exogenní řídící proměnná- předpoklad: peněžní zásobu lze nějakým způsobem řídit- nejdříve předpokládáme, že ji řídíme monetárně (pomocí báze) v deterministickém modelu

o na našem modelu definujeme řídící (regulační) úlohu: nutno znát v testu! v čase t-1 řídím (počítáme Bt

* ) úlohu pro čas t

(předpokládáme dokonalý odhad P a Y, ne střední hodnotu)

cílová peněžní zásoba Mt* dosadím do modelu (rovnici rovnováhy mohu

vynechat) jde o spočítání endogenní proměnné Rt a pak Bt

z druhé rovnice vyjádříme Rt a dosadíme do první, odkud vypočteme potřebnou úroveň báze Bt

*

o spočtené hodnoty implementujeme do reálné ekonomiky

o proces se rozběhne (v t–1) a ekonomika se ustálí (v t) Rt* a Mt

*

o graficky: (pozor: křivka peněžní nabídky neprotíná nikdy vertikální osu, vždy vychází z osy horizontální, v grafu je doleva posunutá křivka peněžní nabídky nakreslená nepřesně)

Des Grieux 40

- řízení pomocí úrokové míry v deterministickém modeluo stanovíme REPO sazbu, za kterou jsme ochotni nakupovat nebo prodávat jakékoliv

množství CPo tato sazba bude teoreticky rovna tržní úrokové míře (prakticky to tak samozřejmě

nefunguje)o model bude stejný, ale regulační úloha jiná

cíl: spočítáme Rt*

o CB nasadí (implementuje) tuto úrokovou míru

nabídka se přizpůsobí poptávce (nejde o objem obchodů)

Stochastický model- Mt

S, Mtd, Rt, Yt, Rt – náhodné veličiny, neznám jejich pravděpodobnostní rozdělení

- model:

o je náhodná veličina

o

o

o je náhodná veličina, nesystematická chyba poptávky po penězích

o

o

o předpoklad:

- řízení pomocí monetární bázeo řídící úloha

cíl Mt*

model kolísá, řídím jakoby k průměru, ke střední hodnotě

( a jsou střední hodnoty náhodných veličin Pt a Yt)

vyřeším z druhé rovnice Rt* dosadíme do 1. rovnice a získáme Bt

*

o pomocí obchodů na objem jsem schopen do původního modele dosadit Bt* (jako výše), ale

už jsem ve stochastickém prostředí, nepředpovídám přesnou hodnotu, ale zase jen v průměru perfektně fungující trh se vyrovná (3. rovnice Mt

S=Mtd ), vznikne skutečná

peněžní zásoba Mt, ale (rovnají se jen v průměru, , to je ale slabá

útěcha)

Des Grieux 41

o graficky: předpokládáme normalitu rozdělení náhodných veličin – velké odchylky nastávají

jen s 5% pravděpodobností na 95% bude peněžní poptávka i nabídka ve vymezeném pásu (u Mt

d je pás širší, protože ) plné křivky reprezentují takový stav, kdy jsou mé odhady absolutně perfektní

délka intervalu Mt = riziko nedosažení cíleo Rt také kolísá, ale to nás v tomto modelu moc nezajímá (kdyby nás to zajímalo, je vhodné

změnit model)- řízení pomocí úrokové míry

o řídící úloha cíl Mt

*

spočítáme Rt*

předpoklad je, že centrální banka tuto úrokovou míru udržío rovnovážný proces funguje normálně, poptávka se vždy vyrovná s nabídkou, nabídka se

tedy vždy srovná s cílem, protože zde nejsou objemové obchody

o implementace Rt*

o graficky:

o riziko nedosažení cíle je mnohem větší, ale je to zase kompenzováno stabilitou Rt*

- když je širší pás peněžní poptávky než nabídky, tak je riziko nedosažení cíle přiřízení pomocí měnové báze menší než při řízení pomocí úrokové míry (obráceně to ale platit nemusí; platí jen když to trochu přeženeme)

Des Grieux 42

- nyní budeme předpokládat, že multiplikace není lineární- model:

-

o pozn: , A je kladné čísloo k2, k1 > 0o

- zlogaritmujeme:o pozn: ln(1+Rt) = Rt

-

o endogenní proměnné

o exogenní autonomní proměnné

o exogenní řídící proměnná

- řízení pomocí měnové bázeo řídící úloha

cíl mt*

vyřeším z druhé rovnice Rt* dosadíme do 1.

rovnice a získáme bt*

o implementace výsledná hodnota bude rovnovážná, ale obecně

o existuje riziko nedosažení cíle

o chyba – průměrná chyba nebo-li riziko nedosažení cíle při

řízení pomocí měnové bázeo převedeme původní soustavu logaritmických rovnic na redukovaný tvar (endogenní

proměnné jsou vyjádřeny jako funkce exogenních proměnných)

o

/ *a2

Des Grieux 43

/ *k2 sečteme (zbavíme se Rt)

o u regulační úlohy provádíme tytéž úpravy

o při implementaci bt bt*

(podle předpokladů )

o střední kvadratická chyba =

(pozn: všechna rizika na straně poptávky = = mimobankovní riziko)

riziko nedosažení cíle při řízení

pomocí B = mimobankovní riziko

= bankovní riziko

- řízení pomocí úrokové míryo z modelu výše si vezmu funkci poptávkyo

o řídící úloha:

Rt vypočteme a dosadíme Rt* implementace

o

o

o původní předpoklad:

o (a2, k2 > 0)

Des Grieux 44

- příklad:o a0 = 0,1 mt

* = 5a1 = 0,5 yt

e = 10a2 = 5 pt

e = 0,4k0 = 2,8k1 = 0,6k2 = 4

o řešení:

(riziko se počítat nebude, bylo by to zbytečné)

Rovnováha na peněžním trhu – model IS-LM- definiční rovnice: Y = C + S- rovnice makrorovnováhy v otevřené ekonomice: Y = C + I + G + X- lze „ztotožnit,“ kdyby byl čistý export exogenní konstantou- my v našich úvahách budeme považovat G + X za konstantní, G + X = A – autonomní investice- Y = C + S- Y = C + I + A 1. rovnice makroekonomické rovnováhy- porovnáme C + S = C + I + A - S = I + A úspory = investice podnikatelské (soukromé) + investice autonomní 2. rovnice

makroekonomické rovnováhy- závislosti veličin:

o C(Y) když je nelineární, tak je rostoucí konkávní a prochází počátkem když je lineární, tak i při nulovém důchodu existuje určitá autonomní spotřeba

o S(Y) = Y – C(Y) lineární i nelineární konvexní prochází počátkem

o mezní sklon ke spotřebě c = C’(Y) – derivace C v Yo mezní sklon k úsporám s = S’(Y) – derivace S v Y (s = 1 – c)o I(R)

investice klesají s růstem R

- komoditní trho Y > I + A + C nebo S > I + A

nerovnováha na komoditním trhu (nabídka je větší než poptávka) cenová hladina je stabilní vyrovnávací proces je jen na straně nabídky (na komoditním trhu)

Des Grieux 45

výrobci nemohou prodat své produkty omezí produkcio Y < I + A + C nebo S < I + A

předpokládáme volné výrobní kapacity výrobci mohou rozšířit výrobu a přizpůsobit se poptávce

- peněžní trho MS = MD(Y,R)o přizpůsobovací faktor bude na straně poptávky úroková míra

- modelo komoditní trh: Y = I + A + Co peněžní trh: MS = L(Y,R)

- komoditní trho Y = C + G + I + X (nabídka = poptávka)

G + X = nezávislé autonomní investice AY = C(Y) + S(Y)

o C + S = C + I + AS = I + A rovnice makroekonomické rovnováhy, kterou budeme používat nadále

o S(Y) = Y – C(Y)

o možný je i tento případ, který ale uvažovat nebudeme

Des Grieux 46

o S = I + AS(Y) = I(R) + A – rovnice rovnováhy

o rovnice rovnováhy vymezuje úlohu, kdy hledáme dvojice R a Y, které vyrovnávají komoditní trh křivka IS (velmi důležitá při cílování inflace)

o R je zadána nejdříve, Y dorovnává trh (vyrovnávací faktor na komoditním trhu) – v reálu to nemusí vždy fungovat

o v našem pojetí tedy Y(R)o graf:

o při R=0 celkové investice jsou maximální přeneseme na graf úsporové funkce

zjistíme Y0 (odpovídá R=0) první bod křivky ISo , R1 Y1

o R1 pak volím pohyblivé, dostanu křivku ISo explicitní vyjádření IS: Y=Y(R)o při růstu autonomních investic o se křivka celkových investic posune nahoru dané

úrokové míře bude podle úsporové funkce odpovídat vyšší produkt křivka IS se posune doprava

- peněžní trho L1 (transakční) roste skoro lineárně s Y, ale ne úplněo L2 (spekulativní)o L1(Y) + L2(R) = M

L1 je určená L2 se určí šikovně, aby MS = Md

o čili vyrovnávacím činitelem je R (zatímco na komoditním trhu Y)o transakční poptávka

Des Grieux 47

křivka je skoro lineární při vše transakční poptávka

o spekulativní poptávka

křivka prudce klesáo křivka LM

o růst M vyvolá růst (přesný popis viz kniha)- model IS-LM

Des Grieux 48

o lze ukázat účinnost fiskální politiky a neúčinnost měnové politiky

Vytěsňovací efekt v modelu IS-LM- implicitně:

o IS: I(R) + A = S(Y)o LM: L(Y,R) = M (zobecnění)

- nevyrovnává peněžní trh- fiskální expanze R je stejná, ale Y se přizpůsobí rychle nakonec i růst R I(R) klesají

Y klesá posun po IS B – rovnováha IS-LM- 1) vysoká (přemrštěná) reakce Y

o derivace I(R) + A = S(Y) podle A

- 2) narušení rovnováhy na peněžním trhuo R(A), Y(A)o R, Y jsou funkcemi A definované soustavou rovnic

I(R) + A = S(Y)L(Y,R) = M

o derivace:

Des Grieux 49

při narušení rovnováhy

po obnovení rovnováhy

o

(menší)

o v 2. zlomku kladné + kladné ano nerovnost platí

- 3) obnova rovnováhy peněžního trhu, aniž by byla porušena rovnováha na komoditním trhu- 4) B redukce Y- příklady:

o 2 typy – rovnovážný stav a vytěsňovací efekto rovnovážný stav

I = 4 – 50R citlivost I na RS = 0,01Y2

L = 0,4Y – 50R citlivost L na R (nesouvisí s I, rovnost koeficientů je náhodná)M = 6A = 2

úkol: sestavit IS-LM komoditní trh:

4–50R+2 = 0,01Y2

peněžní trh: 0,4Y–50R = 6 vyjádříme R = (0,4Y – 6)/50 a dosadíme do 1. rovnice

a = 1/25 = 0,04 = 4%

Des Grieux 50

o vytěsňovací efekt rovnováha viz příklad výše, nyní jde o vyjádření vytěsňovacího efektu vzorce buď můžeme odvodit nebo si je musíme zapamatovat

reakce

reakce (menší než )

vytěsňovací účinek:

vytěsnění investic v případě, že se A zvětší o 10%:

- pozn: (nebude v testu)

o

o lineární investiční multiplikátor = reakce, než se obnoví

rovnováha

Dynamický model IS-LM- nelineární- předpoklad: A = 0 (nejsou moc platné)- předrovnovážný stav:

o podnikatelské investice: I(Rt) = S(Yt)o peněžní trh: L(Yt-1, Rt) = M (je nutné mít napozorováno Y0)

přizpůsobuje se pomalu, ale Rt se přizpůsobuje Yt-1 tak šikovně, že takto určená L = M

- model v rovnováze (proměnné charakteristické pro systém se nemění v čase)

o předpokládáme, že systém má právě jedno řešení

- předpoklad: napozorované

Des Grieux 51

- podle Y0 určíme R1 (se zpožděním) na to zareagují investoři stanoví I, S = I v závislosti na R1 se okamžitě na IS ustanoví Y1 se zpožděním R2 okamžitě Y2 se zpožděním R3 okamžitě Y3 atd.

- systém spěje do rovnováhy, protože IS je více skloněná než LM (kdyby tomu tak nebylo, rovnováha se neustanoví)

- lineárně:

o symbolické řešení:

(l0 by mělo být větší než 0)M

předrovnovážný stav

rovnovážný stav

systém ve fluktuacích (ne logaritmizovaný)

dosadíme do první rovnice

Des Grieux 52

podle usoudíme, zda oscilace časem vymizí, pokud ano, systém je

asymptoticky stabilnío ekonomická interpretace:o R je závisle proměnná, Y nezávisleo zajímají nás sklony IS a LM vzhledem k vodorovné ose R = f(Y)o

určuje sklon LM

o

určuje sklon IS

o

systém osciluje k rovnováze, pokud (sklon IS > sklon LM)

o pokud by se sklony rovnaly, oscilace jsou setrvačné

o v případě, že , tak dochází k explozivní oscilace

- zpět k nelineárnímu modelu- pokud vyhladíme investiční křivku, získáme také „vyhlazenou“ křivku IS

- uvažujme nelineární cyklus, kde je křivka IS vyhlazená

Des Grieux 53

- v tomto modelu existuje limitní stabilní cyklus (silný rámeček)- pokud začneme „mimo“ cyklus, neomezeně se k němu blížíme- to samé platí, pokud začneme uvnitř cyklu explozivní oscilace konvergující k cyklu (nerozpíná

se donekonečna)- limitní stabilní cyklus může vzniknout jen v nelineárních systémech- bod rovnováhy je nestabilní (vzdalujeme se od něj)

Dynamický model IS-LM (pokračování)- komoditní trh:

- peněžní trh:

, kde M je konstantní nabídka peněz

- počáteční podmínky:

- stav rovnováhy:

I(Y,R) = S(Y,R)

L(Y,R) = M

o pozn: geometrické přizpůsobení peněžního trhu

rovnováha, pokud je na levé straně rovnice 1

- transformace – první rovnici vydělíme Y

tempo růstu produkce = α (míra investic – sklon k úsporám)

- další transformace

(derivace zlogaritmovaného důchodů)

-

Des Grieux 54

- přejmenujeme:

- rovnovážný stavo počáteční podmínky

o

o tento rovnovážný stav je ekvivalentní s tím výše

- předpoklad: bod rovnováhy je jediný - funkce investiční míry v závislosti na y (R je pevné, řekněme )

o pozn: rovnice a graf v testu stačí o pozn: (nepodstatné)

- rovnováha na komoditním trhu- snímek (0)

Des Grieux 55

o s > i omezení produkces < i růst produkce

o vyrovnává i peněžní trh, na komoditní trhu jde o nestabilní bod situace spěje buď do y1 (depresivní rovnováha) nebo y3 (konjunkturní rovnováha)

- snímek ( –1 )o y malé, jsme tedy v y1

o R klesá

- snímek ( –2 )o l je malé R stále klesá

o y1 se ztratí

Des Grieux 56

o l > m produkce poroste až do y3

- teď jsme v bodě y3 (na obrázku vpravo)

- snímek (+1)o po růstu R

- snímek (+2)o stále růst R

o l je stále moc vysoká, R pořád roste- snímek (+3)

Des Grieux 57

o y3 se ztratío produkce klesá a ustálí se na y1 pokles l a R klesá také malé y, l R klesá s jede

dolů, i se napřimuje snímek (–1) a situace se celá opakuje- nyní budeme dynamiku sledovat v souřadnicích R a y

o pozn: kuriozita – IS může i růst

o

- dynamika:o nejprve zvolíme libovolné y a R a potom určíme vektory a

Des Grieux 58

o A R je relativně nízká I > S produkce poroste (platí vždy pod IS i LM) úrok je relativně nízký, l je vysoká

o B I < S nízká R l je vysoká

o C IS – R je vysoká I < S LM – R je vysoká l malá

o D

o pozn: na IS a na LM protnutí křivek trajektorií je kolméo máme definované směry pohybu v jednotlivých oblastecho podle Bendinxonovy-Poincareovy věty existuje trajektorie, která se vrací do bodu svého

počátku = cykluso tento cyklus je navíc limitní, ostatní trajektorie se na něj „navíjí“, limitně se k němu blížío cyklus reprezentuje ustálený stav – výkyvy y a R se časem ustálí do určitých intervalů

Des Grieux 59

InflaceNeoklasický statický model inflace

- teorie inflace jako peněžního jevu- 1)

o kde Y–T je disponibilní důchod, r reálná úroková mírao pozn:

- 2)

o R je reálná úroková míra, L reálná poptávka po penězích- 3)

o reálná výnosnost obligací ro reálná výnosnost peněz –πo

- 4) o produkce dána jednofaktorovou produkční funkcío N je zaměstnanost

- 5)

o poptávka po práci je zadána implicitně, Nd počítáme

- 6)

o nabídka práce

- 7) nabídka = poptávce de facto rovno i zaměstnanosti- NS a Nd vyhodíme, nahradíme N, dáme do rovnice rovnováhy model se zredukuje o dvě rovnice

a 2 proměnné (rovnice je nutné umět!)o

o

Des Grieux 60

oo

o

tyto rovnice reprezentují trh práce, rovnici rovnováhy jsem odstranili

- výsledkem na trhu práce je (exogenní proměnná) a tyto proměnné se přenesou do

produkčního sektoru a vyrobí se reálný produkt Y ten se přenese na komoditní trh (exogenní proměnné: T, A; endogenní proměnné: Y, r (zde vyrovnává komoditní trh) Y, r se transformuje na R (endogenní proměnná) přesun na peněžní trh (M je exogenní proměnná, π také) poslední endogenní proměnná P vyrovnává peněžní trh

- N Y r R P W – takhle se ty proměnné postupně určují

- nebo: trh práce , produkční trh Y komoditní trh r z definice R

peněžní trh P reálná nominální mzda W se dopočítá- do modelu vneseme inflaci- čas (ale nejedná se o dynamizaci modelu)

růst peněžní zásoby (v 1. rovnici se neprojeví)

2. rovnice se nemění

R nominální úroková míra není nominální (přesně podle slov Kodery…), nemá charakter nominální veličiny (neroste tempem )

- zlogaritmujeme: (tenhle konec jsem nějak nepobral…)

- subjekty mají racionální očekávání: (ceny rostou tempem peněžní zásoby)- v t1: CB změní tempo růstu M R roste na R1, P na P1

-

Dynamický nespojitý model inflace- zkoumá dynamiku produkce a dynamiku cen- základní rovnice:

o t je tam, kde předpokládám změnu

Des Grieux 61

o zatím bez dynamiky (model je bez zpoždění)- po zlogaritmování:

- zpoždění: rovnice od sebe odečteme

-

o předpoklady: , kde M0 známe a tempo růstu je konstantní

o , kde není moc velké tempo růstu peněžní zásoby

přibližně nahradíme přesností je historická inflace (rozdíl logaritmů peněžní zásoby, je napozorovaná, ne očekávaná)

- , kde je tempo růstu produktu - 1. základní rovnice (1)

o konkrétně např: , růst reálné produkce pohltí část peněz, inflace neroste o celých 8%

- 2. základní rovnice (2)

o kde yt je skutečný produkt a y* potencionální (ten je konstantní)o – koeficient přizpůsobenío roste-li ekonomika rychleji než potenciál, projeví se to v růstu inflace (ne cen)

- rovnováha a stabilita- rovnováha: (bez t – nemění se v čase)

o (1)’: inflace roste jako peněžní zásoba

(2)’: ekonomika roste jako potenciál

- stabilita:o v (2)

odečteme

o ( )

jedna diferenční rovnice 2. řádu (místo 2 původních rovnic)

o rovnovážný stav:

identita OK

o rovnice ve fluktuacích:

normuji

, kde

o systém osciluje a je asymptoticky stabilní

- fázový portréto 1) vytvořím osy souřadnic, určím bod rovnováhyo 2) dílčí rovnováhy

Des Grieux 62

o 3) A:

o 4) B:

o 5) C:

o 6) D:

o 7) F:

výchozí bod

o skáče se po celých číslech (celočíselných časových okamžicích) obrazem jsou jednotlivé body a ne celá spirála

Caganův model inflace s adaptivním očekáváním (v nespojité verzi)- pozn: podle původního článku je model spojitý- výchozí rovnice je rovnice rovnováhy na peněžním trhu

o kde Mt je exogenní proměnná, která se mění rozhodnutím centrální bankyo Yt je reálný produkto celá pravá strana reprezentuje poptávku

- je-li poptávka konstantní, růst Mt způsobí růst cenové hladiny (ta je přizpůsobovací faktor)- rovnici zlogaritmujeme:

, kde

-

o přeznačíme na

o – konstantní

- (1)

o změna mt při konstantním očekávání pt se mění jako mt (kopíruje ho) tak, aby rozdíl logaritmů byl konstantní

- (2)

o je očekávání tvořící se v čase t pro čas t+1

o je očekávání cenového vývoje, které se tvoří v čase t–1

o- 2 rovnice modelu

o (1) je rovnice peněžního trhuo (2) je pravidlo pro očekávání

- upravená verze

(3) dynamický systém s 2 vnitřními proměnnými a

- model je neautonomní, ovlivňovaný exogenní proměnnou Mt

- eliminujeme a , jde o nepozorovatelné proměnné, proto je lepší pracovat jen s

Des Grieux 63

- zpožděnou (3) vynásobíme

(4)

-

základní rovnice Caganova modelu

o pt je endogenní proměnná, je na obou stranách rovnice (nedostatek modelu)

-

o ekonometrický odhad (včetně Caganových chyb, které my zanedbáme)

o postupujeme tak, že spočítáme , z něj a nakonec - stabilita systému:

o upravíme základní rovnici, pt doleva, ostatní napravo

o stabilní mt – kdyby nebylo očekávání , zastaví se růst cen, ale očekávání zde existujeo mt je konstantní, p0 máme

, kde C je konstanta

- rovnováha

o

o rovnice ve fluktuacích

o podmínka stability

fluktuace vymizí

- aplikace Caganova modelu na hyperinflaci v Maďarsku, Rakousku a Německu (po světových válkách) zjistil, že podle modelu je Maďarská inflace stabilní (kdyby bylo mt konstantní, tak by se cenová hladina stabilizovala)

- ale jsou i jiné inflace, které zastavení růstu mt nezastaví

Caganův model inflace s racionálním očekáváním- spojitý model- základem je Fischerova rovnice rovnováhy na peněžním trhu

o Y je jediná reálná veličina, předpokládáme konstantu ve výši 1-

o kde

Des Grieux 64

o rostoucí funkce, růst očekávané inflace zmenšuje poptávku po penězích

(ceny P(t) jsou na chvíli stabilní)o uvažujme rychlost peněžního oběhu roste exponencionálně s očekávanou

inflací

pozn: ekonomika je v rovnováze, když a V je normováno k 1

-

- zlogaritmujeme a získáme základní rovnici

- p(t) je funkce cenové hladiny, jejíž

- okamžitá historická inflace:

- očekávaná inflace:

o jsme v t, ale nemáme napozorovanou- předpoklad: jaká byla v minulém okamžiku inflace historická, takovou inflaci očekáváme i v

budoucím okamžiku – racionální očekávání - z tedy vyplývá zásadní (hlavně pro test ) přechod:

- rovnici zjednodušíme tak, že m(t) bude funkce po částech konstantní zvolíme určitý interval, kde m je konstantní

-- řešení:

příslušná charakteristická rovnice

- obecné řešení:

o

o pravá strana:

dosadíme

Des Grieux 65

o identita, čili jde o obecné řešení

- řešíme v – čili neřešíme s počáteční, ale s koncovou podmínkou

o v t1 bude p1

o obecně:

o v t1:

zpětně dosadíme

o partikulární řešení, které v t1 končí v bodě p1

- graficky

- kdyby bylo m > p1

- nyní budeme uvažovat různé politiky a jejich vliv na p(t)- m se nemění

o ceny se nemění očekávání je nulové m = p(t)

- neočekávané budoucí zvýšení mo v t1 CB oznámí, že v zvýší m, m0 je stejná až do

Des Grieux 66

o subjekty očekávají růst cenové hladiny

o koncová podmínka:

o

o před t1 a po ceny kopírují m0 resp.

o pokud by , situace vypadá takto

- dočasné zvýšení peněžní zásoby

o

- neočekávané okamžité zvýšení peněžní zásobyo ceny vyskočí a kopírují peněžní zásobu

Des Grieux 67

Spojitý model inflace s adaptivním očekáváním- základem je opět Fischerova rovnice, ale „rozdělená“

-

- zlogaritmujeme

o kde odlogaritmováno:

- funkce :o V se zvyšuje, ale ne do nekonečna, existuje určitá technická bariéra

-

- rovnice modelu

o je přírůstek cenové hladiny o m(t) je peněžní nabídka

o je peněžní poptávka

- adaptivní očekávání

- počáteční podmínky

- růst cen (nadbytečné peníze jsou používány na komoditním trhu)

- v příštím období se zvýší očekávání

Determinace úrokové míry

Des Grieux 68

- uvažujeme racionálního spotřebitele- p1 – cenová hladina, c1 – výdaje na zboží a služby p1c1 – nominální výdaje na nákup zboží a

služeb- 1. období

o p1c1 Y1– p1c1 Y1

výdaje úspory příjmy- 2. období

p2c2 Y2+(1+R)(Y1- p1c1)zhodnocené úspory (R je nominální úroková míra)

- z bilance uděláme bilanční rovnici a po úpravách dostaneme:

spořící subjekt, SH výdajů = SH příjmů

- půjčující si subjekto 1. období

p1c1 Y1 + p1c1 – Y1

výdaje na spotřebu výpůjčka ve výši deficituo 2. období

p2c2+(1+R)( p1c1-Y1) Y2

splátkao rovnice

rozpočtová rovnice

- nespořící a nepůjčující si subjekt:o p1c1 Y1

o p2c2 Y2

o

- úloha spotřebitele (spotřebitelská úloha)o

o rozpočtová rovnice:

o Lagrangeova funkce:

o derivujeme podle o derivací podle dostaneme rozpočtovou rovnicí

o derivací podle

o derivací podle

o získáme 3 rovnice sloučíme do jedné a zbavíme se

Des Grieux 69

o když omezíme spotřebu 1. období – o kolik je potřeba zvýšit , aby u zůstal

konstantní? o

o obecně mezní míra substituce, zde mezní míra časové

preference (MMČP)o strmější křivky mají MMČP větší (uberu stejný kousek, ale náhrada je větší)

o / *(-1)

, kde = MMČP

o je-li v c1 a c2 maximální u, pak v je MMČP rovna reálnému

úrokovému součiniteli-- 2 nutné podmínky pro maximum spotřebitele:

o

o

Des Grieux 70

- pozn: a jsou proměnné úlohy, jsou parametry úlohy ( a R v budoucnu uvolníme)

- komparativní statika spotřebitele na

- reakce na změnu :

o bod reprezentuje, co se skutečně vyrobilo, = spotřeba = nominální

úspory reálné úspory

o když subjekt nespoří a ani si nepůjčuje, tak B je bod rozpočtové

rovnováhy pro spotřebitele, který nespoří a ani si nepůjčujeo rozdíl je menší než

o posun o zvětší se nominální úspory

- reakce na změnu Y2:

Des Grieux 71

o růst Y2 S poklesnou , protože subjekty očekávají, že v budoucnu na tom

budou lépe, v současnosti tedy nakupují více, úspory nejsou nutné- reakce na změnu p2:

o zvýšíme spotřebu v současnosti a prudce omezíme tu budoucí (očekáváme růst cen, inflace) reálné úspory se zmenší

- reakce na změnu R:

Des Grieux 72

o lehké snížení , prudké zvýšení růst reálných úspor- racionální výrobce

o omezen technologií

o množina výrobních možností je implicitně daná rovnicí

o zisková funkce

o Lagrangeova funkce:

o

Des Grieux 73

o růst I zmenšení produkce nabídnuté na trh zvýšení produkce

v dalším období

o

okamžitý mezní produkt kapitálu (MPK)

o mezní produkt kapitálu = reálný úrokový součinitel o MPK = MMČP = RÚS

o – jedna z vrstevnic Z

Des Grieux 74

o výrobce nabídne na trhu, zainvestuje

Model determinace úrokové míry- spotřebitel

o užitková funkce

o 1. nutná podmínka pro extrém

2. nutná podmínka pro extrém

- výrobce

o zisková funkce

o

2 nutné podmínky pro extrém

o dvojice nutných podmínek spotřebitele a výrobce tvoří 2 individuální rovnováhy- rovnováha na obou trzích

o (cen. hl. stejná pro spot. i výr.)

2 rovnice

- celkově máme 6 rovnic, proměnné a uvolníme R a (cenová hladina 2. období)- fígl 1:

čili platí - fígl 2 – 2. rovnici nahradíme jinou

nebo

(viz. 1 rovnice spotřebitele)

-

- z didaktických důvodů budeme uvažovat:, resp. / R vyrovnává tento trh

/ p2 vyrovnává tento trh

- 2. rovnice de facto: AS za obě období = AD za obě období- tyto rovnice reprezentují globální rovnováhu

Des Grieux 75

- vyrovnávací činitelé – předpokládejme, že R a p2 vyrovnávají oba trh- symbolicky L = P (levá strana = pravé straně)- když P > L růst p2 v L, dokud nenastane L = P- determinace rovnovážné úrokové míry- (1)

o poptávka po spotřebě je větší než poptávka

o produkce 1. období = vyplacené důchody 1. období

o výrobce a spotřebitel jsou v individuální rovnováze, jiná rovnováha neexistuje (rozpočtová přímka leží nad nejvyšší vrstevnicí ziskové funkce)

o pozn: v testu pozor, ať jsou vrstevnice ziskové funkce rovnoběžné s rozpočtovou funkcío P > L růst p2

- (2)

Des Grieux 76

o stejně veliké (alespoň teoreticky )

o pokles

o vzrostlo, větší nabídka

o existuje zde globální rovnováha, ale ne celková, protože I > S R je moc nízkáo R proto poroste, aby se rozpočtová přímka otočila, až se „přilepí“ na množinu výrobních

možností poroste i p2, ale pomaleji (viz rovnice, aby byla zachována rovnováha)- (3)

o celková rovnováha (I = S a L = P)o nezapomenout v testu vždy každou křiku přesně popsat

- vzorový příklado užitková funkce spotřebitele: (1)

o rozpočtová rovnice: ( )

o zisková funkce výrobce:

o (3) (parabola, její část v I. kvadrantu

symbolizuje množinu výrobních možností)

o (2)

o (1) a (2) jsou nutné podmínky spotřebitele

o (4)

o musíme znát podmínky rovnováhy:

o

Des Grieux 77

o abychom se zbavili , tak propojíme (2) a (4)

potřebujeme vazbu, která bude bez parametrů, čili upravíme (3)

o

o

o z (1) vyjádříme

o

Des Grieux 78