2장. 일차원에서의 운동(Motion in One Dimension)

2.1 위치, 속도 그리고 속력

2.2 순간 속도와 속력

2.3 분석 모형: 등속 운동하는 입자

2.4 가속도

2.5 분석모형: 등가속도 운동하는 입자

2.6 자유 낙하 물체

• 고전 역학을 공부하는 첫 번째 단계

- 운동을 일으키는 원인(힘)을 고려하지 않고 공간과 시간으로 운동을 기술:

운동학(Kinematics)

- 운동하는 물체의 위치는 연속적으로 변화: 병진, 회전, 진동

- 우선, 병진 운동만 다룸

- 2 장에서는 1차원 운동, 즉 직선 운동만 고려

- 운동하는 물체를 입자(particle)로 가정: 질량만 있고 크기는 무시

2

- 물체 운동의 기본 형태 : 병진, 회전, 진동

- 입자 모형 (Particle Model) :물체를 점과 같이 질량만 있고 크기와 모양을 무시하여 다루는 모형

◎ 낙체 운동 : (가장 기본적인 물체의 운동) (§2-6 자유 낙하 물체)

2.1 위치, 속도 및 속력(Position, Velocity and Speed)

2.1 위치, 속도 및 속력(Position, Velocity and Speed)

입자: 점과 같은 물체, 즉 질량만 있고 크기가 무시되는 물체

위치(position) : 좌표계의 원점으로부터의 거리 (입자의 위치를 항상 알고

있으면 입자의 운동을 완전히 기술) 표, 그림, 그라프 등으로 표현할 수 있다.

변위(displacement) : 어떤 시간 간격 동안 위치의 변화량,

if xxx 벡터량

거리(distance) : 이동한 거리 스칼라량

◎ Displacement (변위)

- Δ 델타 기호 사용 : 변화량

- 물체의 위치의 변화 :

- 변위의 부호 (일반적인 적용)+ : x2 > x1, x 축상의 오른쪽 방향- : x2 < x1, x 축상의 왼쪽 방향

- 변위의 요소 : 크기, 방향 벡터량

if xxx

Define) ◎ Average Speed (cf) 평균속력, 평균 속도 ) :

- (시간에 대한) 거리의 변위(주의) : Velocity (속도) 는 Vector 이고 Speed(속력) 는 Scalar이다.

따라서 엄밀하게는 평균 속력이라 해야한다.

if

ifavgx tt

xxtxv

,평균속도: 벡터량 (단위: m/sec)

tdvavg

평균속력: 스칼라량 (단위: m/sec)

크기와 방향이 모두 중요

크기만이 의미를 가짐

일반적으로 평균 속도의 크기와 평균 속력은 일치하지 않음.

Aside) o 자유 낙하시의 평균속력

평균속도와 평균속력의 계산예제 2.1☆

sec/5.2sec50

127sec5010522

sec50)53(52)3052( mmmmmmmv

총이동시간

이동거리총

평균속력 :

Sol

평균속도 :

sec/7.1sec5083

sec0sec503053 mmm

ttxx

vif

if

총이동시간

이동거리따른위치에

2.2 순간 속도와 속력 (Instantaneous Velocity and Speed)2.2 순간 속도와 속력 (Instantaneous Velocity and Speed)

dtdx

txv

tx

0

lim

ts

dtdsv

t

0

lim

순간속도(속도):

순간속력: (순간속도의 크기)

- 주어진 순간 (시간) t 에서의 속도 v

"Instantaneous Speed"

- 1st order differential equation! (1차 도함수)

- Derivative of x

- 임의의 시간 t 에서의 접선의 기울기nxy 1 nnx

dxdy

미분 (접선의 기울기)

2.3 분석 모형: 등속 운동하는 입자(Analysis Models: The Particle Under Constant Velocity)

2.3 분석 모형: 등속 운동하는 입자(Analysis Models: The Particle Under Constant Velocity)

txx

txv if

avgx

, 이므로

tvxx xif

위치-시간 그래프의 기울기:

양(+): vx는 양(+)이고 자동차는 x 가 증가하는 방향으로 움직임

음(-): vx는 음(-)이고 자동차는 x 가 작아지는 방향으로 움직임

0 : 순간 속도는 영이고 자동차는 순간적으로 정지.

Question) 순간속력의 개념이 필요한 이유는? → 자유낙하와 가속도

(From Galileo Galilei(1564í¡1642) to Issac Newton(1642í¡ 1727)

입자의 속도가 일정(등속)하다면 시간 간격 내 어떤 순간에서의 순간

속도는 이 구간에서의 평균속도와 같다. 즉, 순간속도 = 평균속도

xv( 는 일정)

tvxx xif

if

xixfxavgx tt

vvtva

,평균가속도

dtdv

tva x

tx

lim0

순간가속도

2.4 가속도 (Acceleration)2.4 가속도 (Acceleration)

2

2

dtxd

dtdx

dtd

o Acceleration (가속도) : (시간에 대한) 속도의 변화

가속도 운동: 속도가 시간에 따라 변할 때 물체의 운동

등가속도 xavgx aa ,cf) 우리는 등가속도 운동만 다룬다

Fig. 2.7, p. 30

미분 적분수학: 적분상수 필요함

물리: 초기값

[초기위치, 초속도 등

필요함]

x, vx 및 ax 의 관계를 나타내는 그래프예제 2.4☆

위치-시간 그래프에서

- 0~tA : x 는 2차 함수, 기울기 + 증가→ vx 선형 증가, 기울기 +⇒ ax 일정, +값 (츨발, 액셀)

- tA~tB : x 는 1차 함수 (선형), 기울기 +→ vx 등속도 = 일정, + 값⇒ ax = 0 (등속)

- tB~tD : x 는 2차 함수, 기울기 + 감소→ vx 선형 감소, 기울기 -값⇒ ax 일정, -값 (감속, 브레이크)

- tD~tE : x 는 2차 함수, 기울기 - 감소→ vx 선형 감소, 기울기 -값⇒ ax 일정, -값 (후진 출발, 액셀)

cf) at tD : x 는 기울기 = 0 (극값) → vx = 0 (정지)

- tE ~tF : x 는 1차 함수, 기울기 – 증가→ vx 선형 음의 감소, 기울기 -값⇒ ax 일정, -값 (후진 중 브레이크 )

- tF ~ : x 는 상수 ⇒ (정지)

cf) A,B,E,F에서의 가속도 변화는실제로는 발생하지 않는다

cf) 엘리베이터 출발 상승가속, 등속상승,상승 감속, 정지(방향 전환), 하강가속,하강 감속, 정지

o 등가속도

- if 순간 가속도 = 평균 가속도 , 즉 가속도가 일정할 경우 ;

cf) 일반적으로 우리는 등가속도 운동만 다룬다

2.5 등가속도 운동을 하는 입자(The Particle Under Constant Acceleration)

2.5 등가속도 운동을 하는 입자(The Particle Under Constant Acceleration)

aaaaav

cf) - 자유 낙하시 낙체의 가속도

※ 실제 중력 가속도 g의 값은 9.8㎨이다. 따라서 위의 계산은 틀렸다.(이유는 Δv1 대신에 <Δv1>를 대입하였기 때문!)

◎ 가속도를 구하는 올바른 방법

※ 일차원 등가속도 운동에서의 주요 공식 3가지

atvv 0

200 2

1 attvxx

xavv 220

2

--- (1)

--- (2)

--- (3)

cf) 자유 낙하시의 가속도 9.8㎨을 중력가속도 g 라 한다.

0

t

vvtva xixf tavv xxixf

2,xfxi

avgx

vvv

tvvtvxx xfxiavgxif 2

1,

가속도가 일정(등가속)할 때 속도와 시간의 관계

(평균 가속도 = 순간 가속도)

o 자유 낙하시의 (중력) 가속도는 (t0=0, y0=0)로 잡아주었을 경우

221

21 )(

tatvx

tvvxx

xxii

xfxiif

)(222ifxxixf xxavv

만일 가속도가 0이라면? (등속)

t 소거한 경우

t 소거한 경우

2.6 자유 낙하 물체(Freely Falling Objects)

2.6 자유 낙하 물체(Freely Falling Objects)

지구상에서 운동하는 모든 물체는 지구의 중력에 의해 힘을받는다.

지구의 중력에 의해 발생하는 가속도는 물체의 질량과 무관하게 일정하며, 이를 중력가속도(g = 9.8 m/sec2)라고 한다.

공기와의 마찰을 무시하면 낙하하는 물체는 중력가속도에의해서만 움직이며, 이런 경우를 자유낙하라고 한다.

이때 a = -g(연직 상방을 양의 방향으로 정할 때)이므로 앞의일차원 직선 운동에 대한 식에 대입하여 그대로 사용할 수있다.

xixf vgtv

ixif xtvgtx 221

초보자치고는 나쁘지 않은 던짐!예제 2.7

V0= 20.0 m/s h= 50.0 m(A) 돌멩이가 최고점에 도달한 시간

(B) 돌멩이의 최대 높이

(C) 돌멩이가 처음 위치로 되돌아왔을 때의 속도

☆

(D) t〓5.00 s일 때 돌멩이의 속도와 위치

Ex) 야구에서의 예

◎ 간단한 교통 상식