multiplicacion y division de polinomios
DESCRIPTION
Multiplicacion y Division de Polinomios.TRANSCRIPT
![Page 1: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/1.jpg)
MULTIPLICACION Y DIVISION
DE POLINOMIOS
Polinomios
![Page 2: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/2.jpg)
Propiedad de exponentes
Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes.
Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces:
1era ley: bn * bm = bn+m Cuando se multiplican bases iguales se
suman exponentes.
2da ley: 𝑏𝑛
𝑏𝑚 = 𝑏𝑛−𝑚 Cuando se dividen bases iguales se
restan exponentes.
![Page 3: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/3.jpg)
Propiedades de exponentes (cont)
Ejemplo:
32 ∙ 33 =
En general,
3 ∙ 3 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35
![Page 4: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/4.jpg)
Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios se realiza de
la siguiente manera:
Se multiplican los coeficientes numéricos
Si la parte variable de los términos tiene la
misma variable, su producto va a tener la misma
variable con un exponente nuevo que es la suma
de los exponentes de los términos.
Ej: (2x2)(3x4) = (2)(3)(x2x4) =6x6
Si la parte variable de los términos tiene variables
diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro,
sin cambiar.
Ej: (-5x3)(3y2) = (-5)(3)(x3y2) = -15x3y2
![Page 5: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/5.jpg)
Ejemplos- Multiplicación de monomios
4x2(2x4y)
= (4)(2)(x2x4)y
= 8x(2+4)y
= 8x6y
-2y3(3y4z5)
= (-2)(3)(y3y4)z5
= -6y(3+4)z5
= -6y7z5
![Page 6: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/6.jpg)
Ejemplos- Multiplicación de
monomios
a) 5x6y6 (-4x4y)
= (5)(-4)(x6 x4)(y6 y)
= -20x(6+4)y(6+1)
= -20x10y7
b) -2a4b3c6(ab2c5)
= -2(a4 a)(b3 b2 )(c6c5)
= -2 a(4+1)b(3+2)c(6+5)
= -2a5b5c11
![Page 7: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/7.jpg)
Multiplicación de un monomio
por un polinomio.
Les recordamos la ley distributiva :
a(b+c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
Ejemplos:
a) x(2x3 + 45)
= x(2x3) + 45x
= 2x4 + 45x
b) 2a2 (-3b3 – 12)
= 2a2 (-3b3) – 2a2(12)
= -6a2b3 – 24a2
![Page 8: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/8.jpg)
Multiplicación de un monomio
por un polinomio.
Ejemplo:
c) 5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)
= (5)(2)(y2y3) – (5)(5)(y2)(y2) + (5)(9)y2
+ (-2)(4y2) – (-2)(3y)
= 10y5 – 25y4 +45y2 +(-8y2) – (-6y)
= 10y5 – 25y4 + 37y2 + 6y
![Page 9: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/9.jpg)
Multiplicación de
binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos
veces:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc + bd
Esto equivale a multiplicar cada término de un
binomio por cada término del otro binomio.
Al final, simplificar términos semejantes, si
existen.
![Page 10: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/10.jpg)
Ejemplos • (2x + 3)(4x2 – 5)
= 2x(4x2 – 5) + 3(4x2 – 5)
= 8x3 - 10x + 12x2 – 15
• (x – 5)(2 – x)
= x(2 – x) – 5(2 – x)
= 2x – x2 – 10 + 5x
= -x2 + 7x – 10
• (2x2 – 5)(x2 – 9)
= 2x2 (x2 – 9) – 5(x2 – 9)
= 2x4 – 18x2 – 5x2 + 45
= 2x4 – 23x2 + 45
![Page 11: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/11.jpg)
Diferencia de cuadrados
a) (2x + 1) (2x – 1)
= 2x (2x – 1) +1 (2x – 1)
= 4x2 – 2x + 2x – 1
= 4x2 – 1
b) (7 + 3y)(7 – 3y)
= 7(7 – 3y) + 3y(7 – 3y)
= 49 – 21y + 21y – 9y2
= 49 – 9y2
![Page 12: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/12.jpg)
Diferencia de cuadrados En los ejemplos anteriores vemos que se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos. Al multiplicar estos binomios el resultado es un binomio de la forma
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2
A este resultado se le conoce como una diferencia de cuadrados.
![Page 13: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/13.jpg)
Diferencia de cuadrados
a) (x + 1) (x – 1)
Usando la fórmula anterior
= x2 – 1
b) (7x + 4)(7x – 4)
Usando la fórmula anterior
= (7x)2 – 42 = 49x2 – 16
![Page 14: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/14.jpg)
Otros ejemplos (4x2 – 1)2
= (4x2 – 1) (4x2 – 1)
= 4x2 (4x2 – 1)– 1(4x2 – 1)
= 16x4 – 4x2 – 4x2 + 1
= 16x4 – 8x2 + 1
• (10 – 2x)2
= (10 – 2x)(10 – 2x)
= 10(10 – 2x) – 2x(10 – 2x)
= 100 – 20x – 20x + 4x2
= 100 – 40x + 4x2
![Page 15: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/15.jpg)
Otros ejemplos – cont. • (4x – 1)(3x + 1)
= 4x(3x + 2)– 1(3x + 1)
= 12x2 + 8x – 3x – 1
= 12x2 + 5x – 1
• (1 – 2x)(2 – x)
= 1(2 – x) – 2x(2 – x)
= 2 – x – 4x + 2x2
= 2 – 5x + 2x2
![Page 16: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/16.jpg)
Multiplicación - ejercicios
![Page 17: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/17.jpg)
Multiplicación - ejercicios
![Page 18: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/18.jpg)
División de un
polinomio entre un monomio
• Cuando dividimos un polinomio entre un
monomio, aplica la propiedad distributiva,
además de la regla de exponentes.
c
b
c
a
c
ba
)(
2da ley: 𝑏𝑛
𝑏𝑚 = 𝑏𝑛−𝑚 Cuando se dividen bases iguales se restan exponentes.
![Page 19: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/19.jpg)
División de un
polinomio entre un monomio Se divide cada término del polinomio entre el
monomio.
x
)xxx(
2
262 234
x
x
x
x
x
x
2
2
2
6
2
2 234
xxx 23 3
= 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑
𝟐𝒙𝒚+
𝟏𝟔𝒙𝟒𝒚𝟐
𝟐𝒙𝒚−
𝟖𝒙𝒚
𝟐𝒙𝒚
= 𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒙𝟑𝒚 − 𝟒
propiedad distributiva
propiedad de exponentes
![Page 20: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/20.jpg)
División de un
polinomio entre un monomio
= 9𝑎3𝑏3
9𝑎2𝑏−
36𝑎2𝑏
9𝑎2𝑏−
45𝑎4𝑏2
9𝑎2𝑏
= 𝑎𝑏2 − 4 − 5𝑎2𝑏
= 12𝑥8𝑦6
6𝑥2𝑦2+
96𝑥5𝑦4
6𝑥2𝑦2−
72𝑥2𝑦2
6𝑥2𝑦2
= 2𝑥6𝑦4 + 16𝑥3𝑦2 − 12
![Page 21: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/21.jpg)
División – cont.
= −42𝑥6
14𝑥2−
70𝑥4
14𝑥2+
98𝑥2
14𝑥2
= −3𝑥4 − 5𝑥2 + 7
= −24𝑎4𝑏2
−6𝑎𝑏+
36𝑎3𝑏
−6𝑎𝑏−
48𝑎2𝑏
−6𝑎𝑏
= 4𝑎3𝑏 − 6𝑎2 + 8𝑎
![Page 22: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/22.jpg)
Práctica: División
![Page 23: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/23.jpg)
Simplificar
Solución:
9
1242
x
x
9
1242
x
x
3
4
x
Factorizamos
Numerador y
denominador
Simplificamos asumiendo que x
es siempre diferente de 3
)x)(x(
)x(
33
34
![Page 24: Multiplicacion y Division de Polinomios](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012314/5695d5551a28ab9b02a4f618/html5/thumbnails/24.jpg)
Simplificar
Solución:
23
222
3
xx
xx
23
222
3
xx
xx
2
12
x
)x(x
)x)(x(
)x(x
12
12 2
)x)(x(
)x)(x(x
12
112
Factorizamos
Numerador y
denominador
Simplificamos asumiendo que x
es siempre diferente de 1