numérico/ análisis numérico. raíces de ecuaciones –...
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Bibliografía:Métodos Numéricos – G. Pacce – Editorial EUDENE
-1997.Problemas resueltos de Métodos Numéricos. Cordero Barbero, A. y otros. Thomson Editores Spain. 2006.-
Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Análisis Numérico. Raíces de ecuaciones – Teoría General de la iteración
INTRODUCCIÓN
• Se presenta con frecuencia la necesidad de resolver:
• f( x) = 0 • f(x) es una función de variable real x con
coeficientes reales• Problema general es hallar valores numéricos de
la variable independiente x, llamadas raíces. • Razón fundamental para resolver ec. no lineales
es que carecen de solución exacta en la mayoríade las veces.
Introducción• Objetivo: Resolución numérica de ecuaciones
mediante la aplicación de métodos iterativos, y además, haciendo uso de los resultados a los cuales ha llegado la TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN.
• Esta teoría permite categorizar los métodos recursivos o iterativos.
• Permite elaborar métodos que pueden clasificarse como muy rápidamente convergentes.
• Se obtienen valores altamente precisos luego de ejecutar un número relativamente bajo de pasos en el procesamiento.
MÉTODO DE ITERACIÓN
• Para calcular r de la ecuación f(x) = 0 por el MÉTODO DE ITERACIÓN, es necesario re-escribir la expresión analítica de la ecuación dada, en la forma:
• f1 (x) = f2 (x)• Esto requiere la mayoría de las veces un sencillo
tratamiento algebraico de la ecuación dada.• Si en un entorno del punto común o de
intersección de ambas curvas, en la figura siguiente: y1=f1 (x); y2 = f2 (x)
•
MÉTODO DE ITERACIÓN
• en un entorno del punto x = r, la pendiente de la curva |f’1’(x) | < la pendiente de la curva |f’2 (x) |
• Fig. 1
Método de Iteración.
• El proceso que es necesario realizar se sintetiza así :
• lo cual permite obtener, si el proceso resultase convergente, al valor aproximado r, de la raíz buscada.
x f x f x xx f x f x xx f x f x x
x f x f x xn n n n
0 1 0 2 1 1
1 1 1 2 2 2
2 1 2 2 3 3
1 2 1 1
⇒ = ⇒⇒ = ⇒⇒ = ⇒
⇒ = ⇒+ +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
...........................................( ) ( )
Método de Iteración. • Si se parte de un x0 y se procede sistemáticamente se
obtendrán valores x1 ; x2 ; x3 que convergen hacia la raíz r buscada.
• Fig. 2
Método de Iteración.
• Si las derivadas f1’(x) y f2’(x), en un entorno del punto • x = r, tienen igual signo, como se indica en la Figura 1, y
recibe el nombre de ESCALERA.
• Si los signos de las pendientes de las curvas involucradas son diferentes, la aproximación se llama en ESPIRAL,como se muestra en la Figura 2.
CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN • Condición de convergencia: demostrar que
xn+1 es una mejor aproximación a la raíz r que xn .Para ello, por ser f1 (r) = f2 (r), entonces:
f1 (r) - f1 (xn) = f2 (r) - f2 (xn+1)• Aplicando el teorema del valor medio a a.m. y
tomando módulos, resulta:( ) ( )r x f r x fn n− = − +. ' . '1 1 1 2 2ξ ξ
• donde, r x r xn n< < < < +ξ ξ1 2 1;
• Como x xn n≅ +1 • entonces ξ ξ1 2≅
CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN ( II ) • cuando el proceso se encuentra en estado
relativamente avanzado; cuando el valor de xnesta próximo al de la raíz r.
• En todo punto de un entorno de x = r, por hipótesis se cumple que:
r x r xn n− < −+1
• es decir que, la aproximación de orden n+1 de la raíz r es mejor que la aproximación anterior, de orden n.
• Debe ser:
• |f ’ 1(x) | < | f ’2 (x) |
UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN• Uso más frecuente: cuando la expresión f(x) se
puede escribir como x = g(x). Una de las derivadas es constantemente igual a uno. Si x0 es una aproximación al valor de r; entonces, si es:
• resulta la siguiente sucesión de iteraciones:| g'(x) | < 1
x1 = g(x0 )x2 = g(x1 ). . . . . .xn = g(xn-1 )xn+1 = g(xn )
UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN
UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN• Bajo estas condiciones el algoritmo es mas
sencillo.• Es importante, que se cumpla:
( )g x' <1
• Caso contrario, el proceso resultaría divergente, o bien, podría reducirse al caso gral estudiado, ya que, debería ser interceptada primero la curva y = x; con lo cual se pierde la posibilidad de lograr el objetivo deseado.
Tabla Comparativa de Métodos
Aplicable a raíces complejas
Aplicable a raíces complejas .Derivada puede no existir en todos los puntos
Limitado a ec. con deriv.de orden superior simples
Error por redondeo no se incrementa
Gran sencillez y flexibilidad para elegir la forma de las funciones
Aproximación extremadamente cercana a r con un mínimo de pasos
Evalua en cada paso la función y su derivada
Convergencia lenta
Converge más rápido aún
Necesita un buen valor inicial
Iteración2do orden de Newton
Newton-Raphson
Conclusiones:• No existe ningún método que sea la panacea universal, la selección del
mismo depende de la función particular f(x).• Un programa eficiente debe producir una aproximación a una o más
soluciones de f(x) = 0, teniendo cada una un error absoluto o relativo dentro de la tolerancia fijada y el resultado debe generarse en un tiempo razonable.
• Existe numeroso software que contiene desarrollos de los métodos numéricos, por ejemplo:
• Subrutinas en la biblioteca ISML( International Mathematical Software Library) ( EEUU)
• Subrutinas NAG (Numerical Algorithms Group)(Gran Bretaña)• Subrutinas NUMERICAL RECIPES en Fortran 77, Pascal y C (Cambridge
University Press) (Gran Bretaña)• MATLAB: Paquete de cálculo numérico: ROOTS : para calcular todas las
raíces reales como complejas• MATHEMATICA- Paquete de cálculo simbólico con funciones ya
programadas.
Problema a resolver: • Nos ofrecen un crédito de 6000 euros a devolver en 50
mensualidades de 150 euros. Llamando C al importe del préstamo, n al número de pagos, a al importe del plazo e ial tipo de interés por período, se cumple la ecuación siguiente:
• C r n = a r n -1
r - 1
• Obtener el interés del crédito partiendo de la estimación inicial de r = 1,1. y con una precisión < 10 -6.
• Resolver utilizando el método del punto fijo, tomando tres funciones diferentes para hacer el estudio, analiza en cada caso la convergencia del método.
TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN
• f(x)=0, de modo gral., puede ser resuelta haciendo uso de la siguiente expresión recursiva:
• Los métodos categorizados como MÉTODOS ITERATIVOS; y se resuelven tomando x0 como una 1era. aproximación de la raíz real r .
• Mediante (*) se puede generar una sucesión x0 ;x1 ; x2 ; ... ; xn que aproximan el valor r.
• Llamando Ek = xk - r , de la raíz, resulta:
( )nn Xx φ=+1 • ( * )
TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN
• Bajo condiciones expuestas, la sucesión x0 ; x1 ; ... ; xn tenderá al valor r si, para algún k en adelante:
• (5.6)
x0 = r + E0 ; x1 = r + E1 ; ... ; xn = r + En (5.5)
E E E Ek k k n> > > > →+ +1 2 0K
• Reemplazando los valores de xn+1 y xn de laexpresión (*) , por los correspondientes dados en la (5.5), se obtiene (5.7) :
( )r E r En n+ = ++1 φ
• y, aplicando el teorema de TAYLOR al segundo miembro de (5.7), es:
TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN
• Considerando las consecuencias de este resultado tan importante, es posible distinguir los siguientes casos:
( ) ( ) ( )r E r E r E rn n n+ = + ′ + ′′ ++121
2φ φ φ
!K
• pero, dado que dado que r es una raíz de la ecuación dada, finalmente es:
( ) ( ) ( )E E r E r E rn n n n+ = ′ + ′′ + ′′′ +12 31
213
φ φ φ! !
K
TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN
E E E Ek k k n> > > > →+ +1 2 0K
• Caso 1.- Despreciando desde el término de 2do. orden en adelante, resulta: (5.9) ( )rEE nn φ′≅+1
• Si |Φ’ (r )| < 1, ->, c/ término de:
( ) .0≠′ rφ
• será menor que el anterior, de tal modo que la sucesión x0 ; x1 ; x2 ;...; xn tenderá al valor de r.
• Es un caso ITERACIÓN DE 1er. ORDEN DE CONVERGENCIA). Es un proceso lineal de En.
• Dado que el valor de r es desconocido, en (5.9), se puede reemplazar su valor por el de xn .
TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN
• Caso 2.- Si se despreciara desde el 3er. orden y potencias superiores de En , : (5.13)
( )E r En n+ ≅ ′′121
2φ
• Para que la sucesión x0 ;x1 ;x2 ;... converja a la raíz r, es necesario que la derivada 2da. sea finita y E0 sea relativamente pequeño.
• Se puede deducir de (5.13) que cada error es proporcional al cuadrado del anterior -> velocidad de la convergencia, es bastante rápida.
• ITERACIÓN DE 2do. ORDEN (caso de 2do. ORDEN DE CONVERGENCIA.
• Duplican el nro. de dígitos exactos en cada iteración; si en un cierto paso mejora la aproximación de 4 a 8 decimales exactos, en el sgte. se mejorará de 8 a 16 decimales exactos.
( ) ( ) .0;0 ≠′′=′ rr φφ
TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN
• Caso 3.
• De manera similar a lo anterior y realizando toda la operatoria, resulta la siguiente relación de errores:
( ) ( ) ( ) .0;0;0 ≠′′′=′′=′ rrr φφφ
( )E r En n+ ≅ ′′′131
3!φ
• Se presenta rara vez en la práctica, permite obtener una convergencia muy rápida;
• Desventaja: tener, tanto la función como sus sucesivas derivadas, expresiones mucho más complejas que en los casos de convergencia de menor orden;
• Consecuencia: el tiempo ganado debido a la rapidez de convergencia, es perdido por la dificultad de evaluación de la función y sus derivadas.
TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN
• Se trata de una ITERACIÓN DE TERCER ORDEN o bien que, este caso es de TERCER ORDEN DE CONVERGENCIA.
• Siguiendo una metodología similar, pueden ser definidos órdenes de iteración o convergencia más altos.
• Rara vez se presentan en la práctica;• La ventaja en el aumento en la velocidad de convergencia
de los mayores órdenes, se ve neutralizada por la engorrosa evaluación de la función y sus sucesivas derivadas.
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN ( ∆2 )
• Método idóneo para acelerar la convergencia de cualquier fórmula recursiva ( proceso iterativo ) de 1er. Orden.
• Sean xn-1 ; xn ; xn+1 aproximaciones sucesivas y consecutivas de la raíz r de f(x)=0 obtenidas mediante un método de 1er. Orden DE CONVERGENCIA;
• Los errores En-1 ; En ; En+1 correspondientes, están dispuestos ≈, según una progresión geométrica:
EE
EE
n
n
n
n
+
−
≅1
1• o, lo que resulta equivalente:
x rx r
x rx r
n
n
n
n
+
−
−−
≅−−
1
1
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN
• la que, resuelta en términos de r, resulta:
• Sumando y restando al segundo miembro de esta última expresión, el término xn+1 , se obtiene:
rx x xx x x
n n n
n n n
≅−
− +− +
+ −
1 12
1 12
r xx x xx x x
x xx x x xx x xn
n n n
n n nn n
n n n n
n n n
≅ +−
− +− = −
− +− ++
− +
+ −+ +
+ +
+ −1
1 12
1 11 1
12
12
1 122
2
• y, en definitiva:
( )r x
x xx x xn
n n
n n n
≅ −−
− +++
+ −1
12
1 12• 5.20
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN
• La metodología, haciendo uso de la expresión anterior: • Inicio con x=x0 , de cualquier algoritmo iterativo de 1er.
orden, se calculan dos aproximaciones sucesivas x1 ; x2 de la raíz r que, juntamente con la primera aproximación x0constituyen la terna de base del método de AITKEN,
• 2.- Haciendo uso de la expresión (5.20) se calcula una cuarta aproximación a la raíz r que, si satisface las condiciones de precisión previamente establecidas para el cálculo, se toma como tal,
• 3.- De no resultar satisfactoria la aproximación obtenida en el paso anterior, es utilizada como primera aproximaciónpara hallar otros dos valores sucesivos de la raíz, mediante el método iterativo original.
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN
• 4.- Se reiteran los puntos 2 y 3 hasta satisfacer las condiciones de precisión previamente establecidas para la raíz.
• Ejemplo.-de iteración, conjuntamente con la aceleración de la convergencia de AITKEN, determinar la raíz comprendida en el intervalo (1;2) de la ecuación:
• ex - x2 - 3 = 0
• con una aproximación de cuatro cifras decimales exactas.
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN
• Solución: Primero, y según las condiciones establecidas, es necesario volver a escribir la ecuación dada bajo la forma:
( )x x ex= = −φ 3
• de donde, puede deducirse que:
( )′ =−
φ x ee
x
x2 3• En consecuencia, comenzando con x0 = 1, es negativa
la cantidad subradical del denominador, por lo tanto resulta conveniente hacer x0 = 1,1. Con ello:
( ) 27,23≅′ xφ
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN
• Dado que el valor obtenido es > 1 -> no se generará un proceso convergente.
• Resulta imprescindible escribir la ecuación en forma diferente. Sea:
• de donde:
( )3
22 +
=′xxxφ
• y finalmente, tomando x0 = 1, resulta:
( ) ( )x x x= = +φ ln 2 3
( )′ =φ 1 0 5,• valor aceptable, se requiere que ( )′ <φ r 1
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN
x0 = 1 ; x1 = 1,38629 ; x2 = 1,59367
• Entonces la relación :• xn+1 = ln (xn
2 + 3)• con x0 = 1, es idónea para iniciar el procedimiento
descripto, resultando:
• Utilizando los valores hallados con el objeto de la aplicación de la expresión (5.20), se obtiene:
x3 = 1,83405
• Aplicando nuevamente el método de iteración original, da como resultado:
x4 = 1,85062 ; x5 = 1,86016
PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN
• valores que, juntamente con el de x3 y la reiteración de la formula de recurrencia (5.20), arroja :
• Tomando x6 valor como primera aproximación del método de iteración, resultan:
x7 = 1,87311 ; x8 = 1,87311
• En los tres últimos resultados no se ha obtenido mejoría alguna, pudiéndose aceptar r=1,87311 como valor de la raíz con todas sus cifras decimales exactas.
• Resolver el mismo problema utilizando Método de Iteración y comparar el nro. de iteraciones requerido
x6 = 1,87311
MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON
• Ventajas: Muy rápida convergencia a la solución deseada, Aproximación extremadamente cercana al valor de la raíz con un bajo número de pasos y un mínimo de cálculo.
• Limitaciones: Utilización en ecuaciones que tienen derivadas de mayor orden (por lo menos de segundo), relativamente fáciles de programar y calcular.
• Considérese una ecuación de la forma: f (x) = 0
• un valor aproximado de la raíz, el que puede ser uno de los extremos de algún intervalo de separación y llamando
• x = xn a este punto.
MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON
• Desarrollando la función f(x) en serie de TAYLOR con respecto a x = xn se obtiene: ( ** )
• Si h fuera el incremento particular de x para el cual la serie dada por (** ) se redujera a cero, la cantidad xn + h sería
la raíz exacta, como se muestra en la figura 5.4.
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x h
f x hn n n
n+ = + ′ +
′′+1
2
2!K
MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON
• Vale decir, haciendo uso de solamente los tres primeros términos de la serie dada por (5.21), resulta:
( ) ( ) ( )f x h f x
f x hn n
n+ ′ +′′
=
20
h
xnr=xn+1
Y=f(x)• y
Figura 5.4
• 5.22
MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON
• Un valor aproximado de h, a partir de la expresión (5.22) y sumado a xn no proporcionará el valor exacto de la raíz, ya que fueron utilizados para su cálculo, solo los tres primeros términos de la serie infinita (5.21).
• Pero se obtendrá una aproximación mejor de la raíz.
• Sustituyendo el valor de h encerrado dentro del corchete por la expresión dada por NEWTON-RAPHSON, que es:
( )( )h x xf xf xn n
n
n
= − = −′+1
• se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
2=
′
′′−′+
n
nnnn xf
xfxfxfhxf
MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON
• y despejando el valor de h, resulta:
• finalmente, despejando xn+1 , se obtiene:
( )
( ) ( ) ( )( )
h x xf x
f xf x f x
f x
n nn
nn n
n
= − = −′ −
′′
′
+1
2
( )( ) ( ) ( )
( )nnn
n
nnn
xfxfxfxf
xfxx
′′′
−′−=+
2
1
• Con aplicaciones sucesivas, es posible calcular en cada paso, aproximaciones cada vez más cercanas a la raíz, con elevada velocidad de convergencia.
• Para funciones de 2do. orden de convergencia, es el equivalente a DELTA-cuadrado de AITKEN, aplicado a ec. de 1er. orden de convergencia, para acelerar la misma.