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Metodos Iterativos Normas de vectores y matrices

METODOS ITERATIVOS

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingenierıa MecanicaUniversidad Nacional de Ingenieria

Metodos Numericos

Hermes Pantoja Carhuavilca METODOS ITERATIVOS


Contenido

1 Metodos IterativosIntroduccionDefinicionMetodos IterativosMetodo de JacobiConvergenciaMetodo de Gauss Seidel

2 Normas de vectores y matricesCriterios de Parada



Introduccion

Introduccion

La ventaja frente a los metodos directos es que son menossensibles a los errores de redondeo y esto se aprecia en sistemas deorden elevado donde los errores de redondeo de los metodosdirectos son considerables.



Definicion

Definicion de Metodo Iterativo

Un metodo iterativo construye una sucesion de vectores x (k) talque

lımk→∞

x (k) = x

siendo x la solucion del sistema Ax = b.

Construccion de un metodo iterativo

Se parte de una aproximacion inicial x (0) y luego se calcula

x (k+1) = F (x (k)) k = 0, 1, . . . ,

donde F se toma de forma lineal: F (x) = Tx + c .

x (k+1) = Tx (k) + c k = 0, 1, . . . ,

La matriz T se denomina matriz de iteracion.



Metodos Iterativos

Diferentes Metodos Iterativos

Metodo de Jacobi

Metodo de Gauss-Seidel



Metodo de Jacobi

Metodo de jacobi

El metodo Jacobi es el metodo iterativo para resolver sistemas deecuaciones lineales mas simple y se aplica solo a sistemascuadrados, es decir a sistemas con tantas incognitas comoecuaciones.



Metodo de Jacobi

Metodo de Jacobi



Metodo de Jacobi

Forma Matricial

Sea el sistema Ax = b, donde

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

trabajamos sobre la siguiente particion de A:

D =

a11 0 . . . 0

0 a22. . .

......

.... . . 0

0 . . . 0 ann

, L =

0 0 . . . 0−a21 0 . . . 0

......

. . ....

−an1 −an2 . . . 0



Metodo de Jacobi

U =

0 −a12

... −a1n

0 0 . . . −a2n...

.... . .

...0 0 . . . 0

De tal forma que:

A = D − L− U

x (k+1) = D−1(L + U)x (k) + D−1b

Tj = D−1(L + U),Matriz de Iteracion de Jacobic = D−1b



Metodo de Jacobi

Ejemplo

Ejemplo

Sea el sistema (7 −6−8 9

)(x1

x2

)=

(3−4

)Aproximar la solucion utilizando el metodo de Jacobi. x0

1 = 0 yx0

2 = 0



Convergencia

Convergencia

Definicion

A es de diagonal estrictamente dominante si para cada fila i secumple:

|aii | >n∑

j=1;j 6=i

|aij |

Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cadauno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonalprincipal es mayor que la suma de los valores absolutos de loselementos restantes del mismo renglon. A veces la matriz de unsistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuandose cambian el orden de las ecuaciones y las incognitas el nuevosistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmentedominante.



Convergencia

Teorema

Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante,entonces la iteracion de Jacobi converge para cualquier valor inicial

En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no esdiagonalmente dominante y por tanto no existira garantıa deconvergencia. Sin embargo, en algunos casos sera posible reordenarlas incognitas en otra manera de forma que la nueva matriz decoeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectarrevisando todos los posibles ordenamientos de las incognitas y vercomo es la matriz resultante. Claro que esto conlleva un buenonumero de pruebas pues el numero posible de ordenamientos en nvariables es (n − 1)! pero cuando n es reducido es sencillo.



Convergencia

Definicion (Polinomio Caracterıstico)

P(λ) = det(A− λI )

Definicion (Espectro)

Se llama espectro ”ξ” de la matriz A al conjunto de soluciones dela ecuacion P(λ) = 0

Definicion (Radio Espectral)

Radio espectral de la matriz A: ρ(A) = Max{|λ|}, λ ∈ ξ



Convergencia

Teorema

La sucesion x (k+1) = Tx (k) + c, para k ≥ 0 converge a la solucionunica x = Tx + c si y solo si ρ(T ) < 1.

Ejemplo

Analizar la convergencia del siguiente sistema lineal

x1 + x2 = 3x1 − 3x2 = −3



Metodo de Gauss Seidel

El metodo de Gauss-Seidel es muy semejante al metodo de Jacobi.Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incognitaspara determinar una nueva aproximacion, en el de Gauss-Seidel seva utilizando los valores de las incognitas recien calculados en lamisma iteracion, y no en la siguiente.




Ejemplo

Ejemplo

Sea el sistema (7 −6−8 9

)(x1

x2

)=

(3−4

)Aproximar la solucion utilizando el metodo de Gauss Seidel. x0

1 = 0y x0

2 = 0




Forma Matricial

A = D − L− U

x (k+1) = (D − L)−1Ux (k) + (D − L)−1b

Tgs = (D − L)−1U,Matriz de Iteracion de Gauss Seidelc = (D − L)−1b




Teorema

Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante,entonces la iteracion de Guass Seidel converge para cualquier valorinicial



Norma Vectorial

Una norma vectorial en Rn es una funcion ||.||, de Rn en R con lassiguientes propiedades:

||x || ≥ 0 para todo x ∈ Rn.

||x || = 0 si y solo si x = (0, 0, ..., 0)t .

||ax || = |a|||x || para todo a ∈ R y x ∈ Rn.

||x + y || ≤ ||x ||+ ||y || para todo x , y ∈ Rn.

Para nuestro proposito solo necesitaremos dos normas especıficasde Rn



Vector en Rn

El vector

x =

x1

x2...

xn

Se denotara por: x = (x1, x2, . . . , xn)t



Definiciones



Ejemplo

Ejemplo

El vector x = (−1, 1,−2)t en R3 tiene normas||x ||2 =

√(−1)2 + (1)2 + (−2)2 =

√6

||x ||∞ = max{| − 1|, |1|, | − 2|} = 2



Definiciones

Si x = (x1, x2, . . . , xn)t y y = (y1, y2, . . . , yn)t son vectores en Rn

las distancias l2 y l∞ entre x e y estan definidas por

||x − y ||2 =

{n∑

i=1

|xi − yi |2}1

2

||x − y ||∞ = max1≤i≤n|xi − yi |



Norma Matricial

Una norma matricial en Rn×n es una funcion ||.||, de Rn×n en Rcon las siguientes propiedades:

||A|| ≥ 0 para todo A ∈ Rn×n.

||A|| = 0 si y solo si A es 0.

||αA|| = |α|||A|| para todo α ∈ R y A ∈ Rn×n.

||A + B|| ≤ ||A||+ ||B|| para todo A,B ∈ Rn×n.

||AB|| ≤ ||A||||B||

Teorema (Norma Matricial)

Si A = (aij) es una matriz de n × n, entonces

||A||∞ = max1≤i≤n

n∑j=1

|aij |



Teorema

Si A es una matriz real de n × n entonces

[ρ(At .A)]12 = ||A||2

ρ(A) ≤ ||A|| para cualquier norma ||.||



Criterios de Parada

Criterios de Parada

Una vez fijada una toleracia ε, para cuando se cumpla uno o variosde los siguientes criterios:

||x (k+1) − x (k)|| < ε

||x (k+1) − x (k)||||x (k+1)||

< ε

||Ax (k) − b|| < ε



Criterios de Parada

Condicionamiento de un sistema lineal

Sabemos que el condicionamiento influye en la calidad de lasolucion de un problema cualquiera. En particular, en el problemade hallar la solucion de un sistema lineal nos encontramos con queal comparar el valor exacto del termino independiente de unsistema con el calculado puede haber discrepancias. En concreto,definiendo el vector residual r en la forma

r = b − b

en donde b es el valor calculado.

Teorema

Si A es una matriz invertible, se verifica

1 ||x − x || ≤ ||r ||||A−1||

2||x − x |||x ||

≤ ||A|||A−1||| ||r ||||b||



Criterios de Parada

Condicionamiento de un sistema lineal

Definicion

Se denomina numero de condicionamiento de una matriz al numero

k(A) = ||A||||A−1||

Si k(A) es pequeno, se dice que la matriz A esta biencondicionada, si es grande que A esta mal condicionada.



Criterios de Parada

Ejemplo


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