nvsu.runvsu.ru/svedenfiles/education/346/b1.b.10-algebra... · Министерство...
TRANSCRIPT
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Нижневартовский государственный университет»
Факультет Информационных технологий и математики
21 апреля 2016 года
Рабочая программа дисциплины
Б1.Б.10 Алгебра и геометрия
Вид образования: Профессиональное образование
Уровень образования: Высшее образование (бакалавриат)
Квалификация выпускника: бакалавр
Направление подготовки: 01.03.02 –Прикладная математика и
информатика
Направленность (профиль)
образовательной программы:
Прикладная математика и информатика в
экономике, Прикладная математика и
информатика в образовании
Тип образовательной программы: Программа академического бакалавриата
Форма обучения: (очная)
Срок освоения образовательной
программы:
(4 года)
Номер внутривузовской регистрации
образовательной программы:
01.03.02(95)-16-О, 01.03.02(96)-16-О
Нижневартовск
2016 г.
1. Цели освоения дисциплины:
Цель курса: обеспечить возможность овладения студентами теоретическими основами и
приложениями алгебры и аналитической геометрии.
Задачи курса:
• обеспечить овладение студентом навыками вычислительного и алгоритмического
характер ;
• изложить основные методы решения задач по разделам дисциплины;
• создать условия для реализации самостоятельной деятельности студентов;
способствовать развитию творческих и исследовательских способностей средствами
дисциплины;
• призван обеспечить овладение студентами теориями , методами и понятиями алгебры
и аналитической геометрии, необходимыми в дальнейшем для изучения дисциплин
прикладного (специальные дисциплины, курсы по выбору и т.д. ) характера;
• повышение общей математической культуры и развитие творческих способностей
будущего специалиста средствами математики;
• формирование готовности к деятельности в профессиональной среде/
2. Место дисциплины в структуре ОП бакалавриата
Учебная дисциплина Б1.Б.10 Алгебра и геометрия относится к вариативной части
цикла обязательных дисциплин учебного плана по направлению подготовки бакалавриата
01.03.02 – Прикладная математика и информатика.
Предметное содержание учебной дисциплины находится на стыке теории и
приложений. Стремительное развитие численной оптимизации привело к появлению
алгоритмов и программного обеспечения, пригодных для решения реальных прикладных
задач.
Особенно важное значение в изучении дисциплины имеет владение понятийным
аппаратом и методами линейной алгебры, аналитической геометрии и математического
анализа, а также предполагает знание основ методов численного решения задач
приведенного перечня дисциплин. Учебная дисциплина "Методы оптимизации"
обеспечивает преемственность в изучении следующих дисциплин: "Теория игр и
исследование операций", "Математическое моделирование", "Экономико-математические
методы". Курс, как никакой другой, важен для студента, как будущего специалиста в области
прикладной математики, поскольку непосредственными объектами деятельности являются
математические модели и методы для анализа и выработки решений в любой области
деятельности человека
Для освоения данной дисциплины студент должен:
Знать:
• категориально-понятийныйй аппарат линейной алгебры, аналитической
геометрии, математического анализа;
Уметь:
• применять методы линейной алгебры, аналитической геометрии,
математического анализа к решению задач.
Владеть:
• приемами аналитико-синтетической деятельности решения математических
задач;
• методами и приемами осуществления доказательств
3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине.
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины согласно матрице соответствия компетенций и составляющих ОП:
Компетенция Компонентный состав компетенций
Способность использовать базовые
знания естественных наук,
математики и информатики, основные
факты, концепции, принципы теорий,
связанных с прикладной математикой
и информатикой (ОПК-1)
Знает:
-методы решения оптимизационных задач и их
теоретическое обоснование (З1);
-основные понятия теории и классы
оптимизационных задач (З2).
Умеет:
- системно анализировать информацию (У1);
-применять математический аппарат к решению
оптимизационных задач и его обоснованию (У2);
-строить математические модели реальных
ситуаций и явлений (У3);
-определять инструментарий для решения
оптимизационных задач (У4);
-разрабатывать алгоритмы решения
оптимизационных задач (У5).
Владеет:
- опытом решения элементарных задач оптимизации
(В1);
-навыками анализа и интерпретации
(математической и экономической) результатов
решения (В2);
-навыками реализации межпредметных связей при
анализе конкретных ситуаций и явлений (В3).
3.2. Планируемые результаты обучения по дисциплине, соотнесенные с
формируемыми компетенциями.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать
• место модуля «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» среди других
изучаемых дисциплин и её значение при изучении последующих курсов;
• алгебру матриц, основные характеристики матриц, их определения и свойства;
• методы решения систем линейных алгебраических уравнений;
• методы векторной алгебры;
• свойства и уравнения основных геометрических образов
Уметь:
• вычислять определители n – го порядка различными способами;
• вычислять ранг матрицы различными способами;
• исследовать системы линейных алгебраических уравнений; решать системы
методами Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы;
• находить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений;
• находить базис и размерность линейного пространства;
• производить действия над векторами и находить разложение произвольного
вектора по любому базису;
• геометрически и аналитически представлять прямую и плоскость в пространстве;
• использовать аппарат векторной алгебры для анализа взаимного положения прямых
и плоскостей;
• приводить общие уравнения прямой в пространстве к каноническому виду;
• выводить канонические уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс,
гипербола, парабола);
• приводить общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду;
• применять методы линейной алгебры и аналитической геометрии к решению
инженерных, исследовательских и других профессиональных задач
Владеть:
• математической символикой для выражения количественных и качественных
отношений объектов;
• скалярным, векторным, смешанным и двойным векторным произведением
векторов;
• использованием их основных свойств, геометрическим и физическим смыслом;
• уравнениями основных геометрических образов – на плоскости и в пространстве;
• математическим аппаратом для описания, анализа, теоретического и
экспериментального исследования и моделирования физических и химических
систем, явлений и процессов, использования в обучении и профессиональной
деятельности.
4. Структура и содержание дисциплины Б1.Б.10 Алгебра и геометрия.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц 360 часов.
4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной деятельности Всего часов Семестр Семестр
1 2
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции 44 22 22
Практические занятия (ПЗ) 56 28 28
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего) 195 93 102
КСР 2 1 1
Вид аттестации
63 экзамен 36 экзамен 27
Общая трудоемкость (часы)
360 180 180
Зачетные единицы 10 5 5
4.2. Разделы дисциплины и виды учебной работы
№
п/
п
Раздел
Дисциплины
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу
студентов и трудоемкость Формы текущего
контроля успеваемости
(по неделям семестра)
Форма промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Лек
ци
и
Сем
ин
ар
с
ки
е
зан
яти
я
Ку
рсо
во
й
пр
оек
т
Са
мо
сто
я
-тел
ьн
ая
ра
бо
та
I СЕМЕСТР
1 Матрицы и
определители 3 2 12
Выступления на
семинаре.
Выполнение домашнего
задания.
2 Обратная матрица 1 2 12
Выступления на
семинаре.
Самостоятельная
аудиторная работа
Выполнение домашнего
задания
3 Ранг матрицы 2 2 12
Выступления на
семинаре.
Самостоятельная
аудиторная работа
Контрольная
аудиторная работа
Презентации
Выполнение домашнего
задания
4
Исследование систем
линейных уравнений
3 4 12
Выступления на
семинаре.
Самостоятельная
аудиторная работа
Выполнение домашнего
задания
5 Векторная алгебра 3 4 12
Выступления на
семинаре
Выполнение домашнего
задания
6
Прямая на плоскости
и в пространстве.
Плоскость
4 6 12
Выступления на
семинаре.
Контрольная
аудиторная работа
Выполнение домашнего
задания
Тестирование
Презентации
7 Кривые второго
порядка 2 4 12
Выступления на
семинаре.
Выполнение домашнего
задания
8 Общая теория кривых
второго порядка 4 4 9
Выступления на
семинаре.
Выполнение домашнего
задания
II СЕМЕСТР
9
Взаимное
расположение
подпространств
3 6 26
Выступления на
семинаре.
Индивидуальная работа
по темам 7-9
Выполнение домашнего
задания
10
Билинейные и
квадратичные
функции
3 5 26
Выступления на
семинаре.
Выполнение домашнего
задания
11 Евклидовы
пространства 6 8 26
12 Линейные
операторы 10 9 24
Итог 44 56 195
4.3. Содержание учебного материала по разделам (темам)
Тема 1: Матрицы и определители
Матрицы и определители. Основные определения. Виды матриц. Действия с
матрицами. Свойства арифметических операций над матрицами.
Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей и
элементарные преобразования. Теорема об определителе с углом нулей. Миноры и
алгебраические дополнения. Определитель произведения двух квадратных матриц.
Разложение определителей по элементам ряда. Теорема о ложном разложении. Построение
определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы.
Понятие обратимой матрицы. Присоединенная матрица. Единственность существования
обратной матрицы для невырожденной матрицы. Свойства обратных матриц. Решение
матричных уравнений. Правило вычисления обратной матрицы.
Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и
неопределенные СЛУ. Метод Гаусса решения СЛУ. Метод Крамера и матричный метод
решения СЛУ.
Трансвекции и их связь с элементарными преобразованиями. Построение обратной
матрицы элементарными преобразованиями.
Тема2: Обратная матрица
Понятие обратимой матрицы. Присоединенная матрица. Единственность существования
обратной матрицы для невырожденной матрицы. Свойства обратных матриц. Решение
матричных уравнений. Правило вычисления обратной матрицы.
Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и
неопределенные СЛУ. Метод Гаусса решения СЛУ. Метод Крамера и матричный метод
решения СЛУ.
Трансвекции и их связь с элементарными преобразованиями. Построение обратной
матрицы элементарными преобразованиями.
Тема3: Ранг матрицы
Векторные пространства.Определение и свойства. Линейная зависимость и
независимость векторов. Свойства линейной зависимости. Достаточные условия линейной
зависимости. Базис системы векторов. Ранг системы векторов. Теорема о базисах.
Столбцовый и строчечный ранги матриц. Инвариантность ранга матрицы при
элементарных преобразованиях. Теорема о существовании ранга матрицы. Вычисление ранга
матрицы с помощью элементарных преобразований. Использование определителей в
вопросах линейной зависимости векторов. Теорема о ранге. Лемма о главном миноре. Лемма
об окаймлении минора. Определение ранга матрицы через окаймляющие миноры.
Эквивалентность определений ранга матрицы. Алгоритм нахождения ранга матрицы с
помощью миноров.
Тема4: Исследование систем линейных уравнений
Условия совместности СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные СЛУ. Базис ситемы
решений. Фундаментальная система решений. Теорема о системе всех решений
произвольной СЛУ.
Тема5: Векторная алгебра
Линейные операции над векторами. Основные свойства линейных операций. Теорема
разложения. Координаты вектора в данном базисе. Деление отрезка в данном отношении.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения
в декартовых координатах. Вычисление координат вектора по скалярному произведению.
Скалярная проекция вектора на ось. Понятие левой и правой тройки векторов.
Смешанное произведение векторов. Признак компланарности векторов. Арифметические
свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через
координаты.
Векторное произведение векторов. Алгебраические свойства векторного
произведения. Выражение векторного произведения в декартовых координатах. Связь
векторного, скалярного и смешанного произведений векторов. Вычисление площади
Тема6: Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость
Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости. Определение. Уравнение с
угловым коэффициентом. Общее и каноническое уравнения. Параметрическое уравнение.
Уравнение в отрезках. Направляющий и нормальный векторы прямой. Расстояние от точки
до прямой. Угол между прямыми на плоскости. Взаимное расположение прямых на
плоскости. Пучок прямых с центром в заданной точке. Уравнение пучка.
Плоскость. Уравнение поверхности. Плоскость. Определение. Векторное уравнение
плоскости. Параметрическое и детерминантное уравнение плоскости. Направляющий и
нормальный векторы плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между
плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
Прямая в пространстве. Основные виды уравнения прямой. Параметрическое
уравнение. Нахождение направляющего вектора прямой. Прямая как пересечение
плоскостей. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Вычисление расстояния от точки до
прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Основные задачи о прямых и
плоскостях.
Тема7: Кривые второго порядка
Парабола. Определение. Ось, фокус, вершина параболы, директриса, фокальный
параметр. Каноническое уравнение параболы. Уравнение касательной к параболе.
Эллипс. Определение. Фокальная ось эллипса, фокальные радиусы, вершины эллипса,
фокальное расстояние. Каноническое уравнение эллипса в декартовом репере. Уравнение
эллипса со смещенным центром. Параметрическое уравнение эллипса. Геометрический
смысл полуосей эллипса.
Гипербола. Определение. Фокальная ось гиперболы, фокальные радиусы, вершины
эллипса, фокальное расстояние. Каноническое уравнение гиперболы в декартовом репере.
Уравнение гиперболы со смещенным центром. Параметрическое уравнение гиперболы.
Свойства гиперболы. Асимптоты гиперболы. Построение гиперболы. Фокальное свойство
коник. Эксцентриситет.
Тема8: Общая теория кривых второго порядка Упрощение (канонизация) общего уравнения кривой второго порядка. Классификация
коник. Центр коники, уравнение центра. Пересечение коники с прямой. Асимптотическое,
неасимптотическое направления. Касательная, асимптота. Диаметры коники. Главные
диаметры, главные направления.
Канонические уравнения и классификация коник с помощью инвариантов.
Ортогональные инварианты многочлена второй степени. Характеристический многочлен
Тема9: Взаимное расположение подпространств
Подпространства векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств.
Неравенство для размерности подпространства,, необходимое и достаточное условие
совпадения подпространства со всем пространством. Линейная оболочка системы
векторов, ее совпадение с пересечением всех подпространств, содержащих эту систему
векторов. Размерность линейной оболочки. Сумма и пересечение подпространств,
свойства этих операций. Понятие согласованного базиса. Размерность суммы двух
подпространств. Алгебраическое дополнение подпространства, разложение
пространства в прямую сумму подпространств. Примеры. Признаки прямой суммы.
Существование алгебраического дополнения к любому подпространству.
Тема10: Билинейные и квадратичные функции. Определение билинейной
формы. Примеры билинейных функций некоторых пространств. Матрица и ядро
билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса
векторного пространства. Инвариантность ранга билинейной формы при смене базиса
векторного пространства. Новое доказательство теоремы о размерности пространства
решений однородной системы линейных уравнений. Квадратичная форма,
ассоциированная с билинейной формой.
Ортогональные векторы и ортогональные дополнения к подпространству.
Свойства ортогональных дополнений. Ортогональный базис. Матрица билинейной
формы, билинейная и квадратичная формы в ортогональном базисе. Существование
ортогонального базиса для симметрической билинейной формы. Процесс
ортогонализации Грама-Шмидта. Примеры построения ортогональных базисов
некоторых пространств.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции
квадратичных форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.
Тема11: Евклидовы пространства.
Определение скалярного произведения. Матрица скалярного произведения. Неравенство
Коши-Буняковского. Длина вектора, угол между векторами, неравенство треугольника,
теорема Пифагора. Матрица Грама системы векторов и признак линейной независимости.
Применение матрицы Грама для записи скалярного произведения векторов.
Ортонормированные базисы. Эквивалентные условия ортонормированности
базиса. Свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Ортогональные матрицы.
Нахождение ортогональной проекции вектора на подпространство и расстояния
от вектора до подпространства евклидова пространства. Изоморфизм евклидовых
векторных пространств.
Тема12: Линейные операторы.
Линейные отображения и линейные операторы. Задание линейного оператора указанием
образов векторов базиса. Матрица линейного оператора, смысл ее столбцов и строк.
Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к
другому базису. Подобные матрицы.
Инвариантные подпространства. Свойства суммы и пересечения инвариантных подпро-
странств. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характери-
стическое уравнение. Условие приводимости матрицы линейного оператора к диагональной
форме. Свойства собственных векторов. Теорема о размерности собственных
подпространств линейного оператора.
Тема13:
5. Образовательные технологии
В процессе изучения дисциплины используются элементы проблемного обучения,
кейс-технология, балльно-рейтинговая технология оценки уровня учебных достижений
студентов.
Методы обучения: дискуссия, групповая работа, решение ситуационных задач,
индивидуальные задания, тестирование.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Создание условий для реализации самостоятельной деятельности деятельности
студентов; развитие творческих и исследовательских способностей средствами дисциплины
- одна из основных задач изучения учебной дисциплины.
Самостоятельная деятельность студентов в рамках изучения "Методов оптимизации"
носит как аудиторный, так и внеаудиторный характер. Виды работ, осуществляемые в
рамках аудиторных занятий, ориентированы на осуществление контроля текущих учебных
достижений студентов, а также контроля за осуществлением внеаудиторных видов
самостоятельной работы студентами.
Самостоятельная работа студента предполагает:
• чтение обязательной и дополнительной литературы;
• содержательную работу с конспектом лекций;
• выполнение типовых и исследовательских домашних заданий;
• самостоятельные, контрольные работы и тестирование;
• подготовку презентаций.
Текущая и промежуточная аттестации осуществляются посредством балльно-
рейтинговой системы оценки учебных достижений студентов.
Система текущего контроля складывается из:
• контроля посещения и работы на практических занятиях, предполагающего
выполнение всех заданий, участие в обсуждении вопросов, решение задач у
доски ;
• контроля подготовки и выполнения домашних заданий;
• контроля выполнения аудиторных самостоятельных работ.
Промежуточный контроль включает:
• выполнение аудиторных контрольных работ по нескольким темам;
• тестирование по совокупности изученных тем;
• выполнение индивидуальных домашних работ по совокупности тем.
Для студентов, отсутствовавших на занятиях по уважительным причинам, требуется
отработать занятия:
• выполнить индивидуальное задание по пропущенным темам;
• представить конспекты источников и литературы по пропущенным темам.
Итоговая оценка за освоение программы учебной дисциплины выставляется по
следующей шкале:
• "отлично" – 95-100 баллов;
• "хорошо" – 75-94 балла;
• "удовлетворительно" – 55-74 балла;
• "неудовлетворительно" – менее 55 баллов;
•
Не исключаются альтернативные виды аудиторной и внеаудиторной
самостоятельной работы студентов, позволяющие повысить их рейтинг по дисциплине.
Форма итогового контроля экзамен – 1 и 2 семестр. Возможны как классическая
форма экзамена (билет с теоретическими вопросами и задачей), так и экзамен в форме
контрольной работам по совокупности содержания учебной дисциплины. Вопросы к
экзамену, а также виды типовых заданий для экзамена в письменной форме приведены в
ФОС.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
7.1. Основная и дополнительная литература
Распределение Автор, название, Год Форма Места
учебных
изданий** (включая
учебники и
учебные
пособия):О -
Основное /
Д -
Дополнительное
( О / Д )
издательство, год издания
учебной и учебно-
методической литературы
издания издания:
печатное /
электронно
е
хранения
(печатные
издания) /
Ссылка на
ресурс
(электронные
издания)
1 2 3 4 5
О
Беклемишев Д.В. Курс
аналитической геометрии и
линейной алгебры
[Электронный ресурс]: учебник
для вузов/ Беклемишев Д.В.—
Электрон. текстовые данные.—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 309
c
2009
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/2500
6.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
О
Кадомцев С.Б. Аналитическая
геометрия и линейная алгебра
[Электронный ресурс]/
Кадомцев С.Б.— Электрон.
текстовые данные.— М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2011.— 168 c.
2011
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/1717
2.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
О
Беклемишева Л.А. Сборник
задач по аналитической
геометрии и линейной алгебре
[Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Беклемишева Л.А.,
Петрович А.Ю., Чубаров
И.А.— Электрон. текстовые
данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ,
2006.— 496 c.
2006
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/1742
2.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
Д
Беклемишев Д.В. Решение
задач из курса аналитической
геометрии и линейной алгебры
[Электронный ресурс]/
Беклемишев Д.В.— Электрон.
текстовые данные.— М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2014.— 192 c
2014
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/2451
9.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
Д
Магазинников Л.И. Линейная
алгебра и аналитическая
геометрия [Электронный
ресурс]: учебное пособие/
Магазинников Л.И.,
Магазинникова А.Л.—
Электрон. текстовые данные.—
Томск: Томский
государственный университет
систем управления и
радиоэлектроники, Эль
2012
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/1386
1.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
Контент, 2012.— 180 c.
Д
Лебедева Е.А. Практические
занятия по линейной алгебре и
аналитической геометрии
[Электронный ресурс]: учебно-
методическое пособие/
Лебедева Е.А., Рощенко О.Е.,
Ерзина Т.И.— Электрон.
текстовые данные.—
Новосибирск: Новосибирский
государственный технический
университет, 2013.— 130 c.
2013
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/4542
8.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
Д
Векторная алгебра,
аналитическая геометрия и
элементы линейной алгебры
[Электронный ресурс]:
варианты расчетного задания/
— Электрон. текстовые
данные.— М.: Московский
государственный строительный
университет, ЭБС АСВ, 2014.—
63 c.
2014
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/2372
0.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
Д
Левин В.А. Элементы линейной
алгебры и аналитической
геометрии на базе пакета
«Mathematica» [Электронный
ресурс]/ Левин В.А., Калинин
В.В., Рыбалка Е.В.— Электрон.
текстовые данные.— М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007.— 192 c.
2007
Режим доступа:
http://www.iprb
ookshop.ru/1754
2.— ЭБС
«IPRbooks», по
паролю
О
7.2. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
В читальных залах библиотеки НВГУ предоставляется доступ к следующим
электронным ресурсам:
lib.nvsu.ru
Электронный каталог обеспечивает доступ к библиографической
информации обо всех видах документов,
находящихся в фондах библиотеки:
книгах, журналах, авторефератах
диссертаций, статьях из периодических
изданий, а также к полным текстам
документов из электронной коллекции
библиотеки НВГУ
http://www.biblioclub.ru
«Университетская библиотека онлайн».
Условия доступа: Регистрация по IP-
адресам в локальной сети НВГУ,
которая позволяет пользоваться ЭБС из
любой точки, имеющей доступ к сети
Интернет.
ООО «ДиректМедиа».
Договор №83/03-14Е-
223 от 04.09.2014.
Действителен до
12.09.2015
http://iprbookshop.ru
Электронно-библиотечная система
IPRbooks –содержится более 15000
изданий: учебники, монографии, журналы
по различным направлениям подготовки
специалистов высшей школы.
Условия доступа: Регистрация по IP-
адресам в локальной сети НВГУ,
которая позволяет пользоваться ЭБС
IPRbooks из любой точки, имеющей
доступ к сети Интернет.
ООО «АйПиЭрМедиа».
Договор №11/04-14Е-
223 от 08.10.2014.
Действителен до
20.10.2015.
http://e.lanbook.com
Электронно-библиотечная система
издательства «Лань» включает в себя как
электронные версии книг издательства
«Лань» и других ведущих издательств
учебной литературы, так и электронные
версии периодических изданий по
естественным, техническим и
гуманитарным наукам.
Условия доступа: Регистрация по IP-
адресам в локальной сети НВГУ,
которая позволяет пользоваться ЭБС из
любой точки, имеющей доступ к сети
Интернет.
ООО «Издательство
Лань»
Договор № 32/01-15Е-
223 от 04.02.2015.
Действителен до
04.02.2016
http://diss.rsl.ru
«Электронная библиотека диссертаций»
Российской государственной
библиотеки содержит около 270000
полных текстов диссертаций. Ресурс
доступен с компьютеров, подключенных к
локальной сети НВГУ и имеющих выход в
Интернет.
Условия доступа: Обращаться в
читальные залы кор. № 1 и кор. № 4
ФГБУ «РГБ».
Договор № 04/02-15Е-
44/095/04/0224 от
30.04.2015.
Действителен
до30.04.2016.
При изучении дисциплины будут полезны ресурсы:
1. http://mat.net.ua/mat/index-chislennie-metodi.htm(электронные версии учебной
литературы для личного ознакомления)
2. http://www.gaudeamus.omskcity.com/PDF_library_natural-science_8.html
(электронная библиотека бесплатных учебников, лекций, конспектов и книг для вузов).
3. http://lib.mexmat.ru/books/68508
(Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета
Московского государственного университета )
4. http://virlib.eunnet.net/ (Виртуальная библиотека: представляет электронные версии
печатных изданий; приводятся ссылки на аналогичные ресурсы Урала, web-сайты
библиотек и т.п.)
5. http://www.mathelp.spb.ru/(лекции по высшей математике, ссылки, загрузка
электронных учебников)
6. http://libserv.mi.ras.ru/trudy_RAN.html (труды акдемических изданий, препринты)
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Номер
аудит
ории
Наименование
оборудованных учебных
кабинетов, объектов для
проведения
практических занятий,
объектов физической
культуры и спорта с
перечнем основного
оборудования
Адрес
(местоположение)
учебных кабинетов,
объектов для
проведения
практических
занятий, объектов
физической
культуры и спорта (с
указанием номера
помещения в
соответствии с
документами бюро
технической
инвентаризации)
Собственность или
иное вещное право
(оперативное
управление,
хозяйственное
ведение), аренда,
субаренда,
безвозмездное
пользование
Документ -
основание
возникновения
права
(указываются
реквизиты и сроки
действия)
Компьютерный класс 207
Стол компьютерный с местом
для принтера - 12шт
Стол студенческий 2-х
местный - 27шт
Стул ученический 6 ростовой
группы - 27шт
Стул компьютерный - 26шт
Стол письменный - 1шт
Стол компьютерный "орех" -
1шт
Стол письменный с
подвесной тумбой - 1шт
Доска меловая аудиторная –
1шт
Коммутатор SuperStark 24port
-1шт
Источник бесперебойного
питания Back UPS-500-1шт
Монитор 17" ACER AL1717Fs
silver-black - 22шт
Проектор V11H233040 Epson
EMP-1810:LCD - 1шт
Системный блок R-Stale
Carbon Pentium D925
3.0GHz/i945Gc+клавиатура+м
ышь+сет.фил - 24шт
Шкаф 6U закрытый
подвесной, глубина 450 с патч
панелью 24port -1шт
628611, Тюменская
область, Ханты-
Мансийский автономный
округ -Югра, город
Нижневартовск, улица
Дзержинского, д. 11,
второй этаж , помещение
21.
Оперативное управление Свидетельство о
государственной
регистрации права
оперативного
управления №86-АБ
708564 от 11.11.2013г.
Срок действия –
бессрочно
Аудитория 410
Стол письменный с
подвесной тумбой - 3ШТ
Стол студенческий 2-х
местный - 25ШТ
Кафедра- 1ШТ
Доска меловая аудиторная -
1ШТ
Стул ученический 6 ростовой
группы - 50ШТ
Шкаф для учебных пособий -
4ШТ
Шкаф лабораторный
628611, Тюменская
область, Ханты-
Мансийский автономный
округ -Югра, город
Нижневартовск, улица
Дзержинского, д. 11,
четвертый этаж ,
помещение 35
Оперативное управление Свидетельство о
государственной
регистрации права
оперативного
управления №86-АБ
708564 от 11.11.2013г.
Срок действия –
бессрочно
пристенный секционный -
4ШТ
Стол преподавателя - 1ШТ
Стул офисный поворотный -
1ШТ
Рабочая программа составлена на основании федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования направления подготовки 01.03.02
«Прикладная математика и информатика (уровень бакалавриата)», утвержденного приказом
Министерства образования и науки Российской Федерации № 36844 от «14»апреля 2015 г.
Составитель рабочей программы: _Горлова С.Н. к.п.н., доцент
СОГЛАСОВАНО
Рабочая программа одобрена на заседании кафедры ________ФМО________
Протокол № 8 от «14» апреля 2016 г.
Заведующий кафедрой**
_________________ /Ильбахтин Г.Г./
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Нижневартовский государственный университет»
Факультет Информационных технологий и математики
Приложение 1
к Рабочей программе дисциплины
Фонд оценочных средств дисциплины
Б1.Б.10 Алгебра и геометрия
Вид образования: Профессиональное образование
Уровень образования: Высшее образование (бакалавриат)
Квалификация выпускника: бакалавр
Направление подготовки: 01.03.02 –Прикладная математика и
информатика
Направленность (профиль)
образовательной программы:
Прикладная математика и информатика в
образовании, Прикладная математика и
информатика в экономике
Тип образовательной программы: Программа академического бакалавриата
Форма обучения: (очная)
Срок освоения образовательной
программы:
(4 года)
Номер внутривузовской регистрации
образовательной программы:
01.03.02(95)-16-О, 01.03.02(96)-16-О
Нижневартовск
2016г.
Контрольная работа № 4
Вариант № 1
1. Используя неравенство Коши – Буняковского решить систему уравнений
=
=++
=++
zy
zyx
zyx
x
2
222
log
12
6
.
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)1,2,3,1(1
−=a ,
)4,1,7,2(2
−=a .
3. Найти ортогональную проекцию вектора )1,0,1,3( −−=a на подпространство,
порожденное векторами
)1,1,2,3(1
−=b ,
)2,0,5,4(2=b .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
−
2347
3251
1120
1321
.
5. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,7(1
−=a , )10,2(2=a имеет матрицу
− 42
01,
преобразование ψ в базисе )3,1(1−=b , )5,2(
2=b имеет матрицу
−
−
12
47.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
233121
2
3
2
2
2
12243 xxxxxxxxx +++++ .
7. Найти ортогональную проекцию вектора )2,2,2,5( −=a относительно
подпространства, заданного системой уравнений
=−++
=+++
=+++
0922
0223
032
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
.
Вариант № 2
1. Используя неравенство Коши – Буняковского решить систему уравнений
=++
=++
72
1
222
444
zyx
zyx .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)3,1,2,2(1
−=a ,
)0,2,5,3(2=a ,
)0,1,0,1(3−=a
3. Найти ортогональную проекцию вектора )3,1,2,5( −−=a на подпространство,
порожденное векторами
)4,2,1,7(1
−=b ,
)2,2,3,4(2−=b .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
−
−
0111
10462
5231
5247
.
5. Линейное преобразование ϕ в базисе )3,5(1
−=a , )7,2(2=a имеет матрицу
−
40
11,
преобразование ψ в базисе )4,6(1
−=b , )1,3(2=b имеет матрицу
−
11
29.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
233121
2
3
2
2
2
12422 xxxxxxxxx ++++− .
7. В евклидовом пространстве некоторое подпространство задано системой
уравнений
=−−
=−+
=+−
023
032
0332
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Найти базис подпространства, ему ортогонального.
Вариант № 3
1. Используя неравенство Коши – Буняковского решить систему уравнений
=++
=++
=+−
222222222
222
162549
94
2
15153
zyxyxzxzy
zyx
zyx
.
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)4.3,0,2,2(1
−=a ,
)7,2,1,1,5(2
−=a .
3. Найти ортогональную проекцию вектора )4,6,3,2( −=a на подпространство,
порожденное векторами
)1,1,2,5(1
−=b ,
)5,2,3,7(2
−=b ,
)1,0,1,1(3−=b .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−−
−
−
−
2311
22850
7431
8012
.
5. Линейное преобразование ϕ в базисе )2,7(1−=a , )1,2(
2=a имеет матрицу
19
02,
преобразование ψ в базисе )8,4(1−=b , )1,9(
2−=b имеет матрицу
−−
72
15.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
233121
2
3
2
16223 xxxxxxxx −+−− .
7. Найти ортогональную проекцию вектора )2,1,7,4( −−=a относительно
подпространства, заданного системой уравнений
=−++
=+++
=+++
0922
0232
032
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
.
Вариант № 4
1. Используя неравенство Коши – Буняковского решить систему уравнений
=++
=−+
6
1142222 zyx
zyx .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)1,2,3(1=a ,
)1,2,1(2
−=a .
3. Найти ортогональную проекцию вектора )4,3,1,2( −=a на подпространство,
порожденное векторами
)3,5,2,8(1−=b ,
)1,4,6,5(2=b ,
)1,1,0,1(3−=b .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
−
3200
5831
2692
6435
.
5. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,8(1−=a , )3,5(
2=a имеет матрицу
−
32
11,
преобразование ψ в базисе )7,1(1−=b , )6,5(
2=b имеет матрицу
− 91
27.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
233121
2
3
2
2
2
1342432 xxxxxxxxx −+−++ .
7. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству,
заданному системой уравнений
=−++
=−+
=−++
043
0223
032
4321
421
4321
xxxx
xxx
xxxx
.
Вариант № 5
1. Доказать, что если 222 ≤+ yx , то 2≤+ yx .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)5,3,2,1(1
−−=a ,
)2,6,4,2(2
−=a ,
)1,4,8,2(3=a .
3. Найти ортогональную проекцию вектора )5,2,0,3(=a на подпространство,
порожденное векторами
)4,5,2,0(1=b ,
)4,1,2,3(2−=b ,
)1,1,1,7(3
−−=b .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
−
0112
4318
21963
7321
.
5. Линейное преобразование ϕ в базисе )2,3(1=a , )3,1(
2−=a имеет матрицу
−
31
65,
преобразование ψ в базисе )2,5(1
−=b , )3,4(2=b имеет матрицу
−
72
18.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
233121
2
3
2
2
2
134223 xxxxxxxxx −−++− .
7. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству,
заданному системой уравнений
=−++
=−+−
=−+−
023184
013113
03432
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
.
Вариант № 6
1. Доказать, что если ayx +=+++ 1211 , то ayx 2≥+ .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)2,4,9,1,2(1
−=a ,
)3,5,1,7,3(2
−−=a .
3. Найти ортогональную проекцию вектора )3,4,1,2,5( −=a на
подпространство, порожденное векторами
)1,3,4,7,2(1
−=b ,
)3,1,2,5,4(2
−=b ,
)2,3,1,1,0(3
−=b .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−−−−
−
−−−
2511
2631
3200
1831
.
5. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,7(1
−−=a , )5,2(2=a имеет матрицу
−
50
11,
преобразование ψ в базисе )2,3(1=b , )0,11(
2−=b имеет матрицу
21
62.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
233121
2
3
2
2
2
122264 xxxxxxxxx −+−++ .
7. Найти расстояние от вектора )1,0,4,2( −=a до подпространства, заданного
системой уравнений
=+++
=+++
04242
022
4321
4321
xxxx
xxxx.
Вариант № 7
1. Доказать, что 21414141 ≤+++++ zyx , если 1=++ zyx .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)3,4,2,5(1=a ,
)1,5,8,3(2−=a .
3. Найти ортогональную проекцию вектора )1,2,0,3,5( −=a на
подпространство, порожденное векторами
)8,3,2,1,1(1−=b ,
)2,0,1,2,4(2
−=b .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
−
3475
1234
4113
0125
.
5. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,4(1
−=a , )3,2(2
−=a имеет матрицу
41
52,
преобразование ψ в базисе )0,7(1=b , )1,1(
2−=b имеет матрицу
−
72
13.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
233121
2
3
2
2
2
12422 xxxxxxxxx +++++ .
7. Найти расстояние от вектора )2,4,3,3( −=a до подпространства, заданного
системой уравнений
=−++
=−++
033
02
4321
4321
xxxx
xxxx.
Вариант № 8
1. Найти наибольшее значение функции 16292 +−++ xx .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)4,3,11(1−=a ,
)8,7,3(2
−=a .
3. Найти ортогональную проекцию вектора )1,1,0,0,0(=a на подпространство,
порожденное векторами
)1,2,0,0,11(1=b ,
)9,7,5,9,3(2
−=b .
4. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,2(1=a , )5,1(
2−=a имеет матрицу
−
41
14,
преобразование ψ в базисе )7,6(1=b , )2,3(
2−=b имеет матрицу
− 16
45.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
5. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
2011
5110
1112
1123
.
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
432441313221xxxxxxxxxxxx +++++ .
7. Найти расстояние от вектора )1,1,1,3,3( −−=a до подпространства, заданного
02232254321=+−+− xxxxx .
Вариант № 9
1. Доказать, что если 1=++ zyxzxy , то 1222 ≥++ zyx .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)14,3,7,2(1
−=a ,
)2,1,5,3(2
−=a ,
)1,1,8,5(3
−=a ,
)0,1,0,2(4=a .
3. Линейное преобразование ϕ в базисе )7,3(1−=a , )2,1(
2−=a имеет матрицу
−
−
35
12,
преобразование ψ в базисе )7,6(1
−=b , )6,5(2−=b имеет матрицу
72
31.
Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21
, aa в базисе
21bb .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
−−
−
4311
1342
2131
3120
.
5. Найти ортогональную проекцию вектора )4,3,1,4( −−=a на
подпространство, порожденное векторами
)1,1,1,1(1=b ,
)1,2,2,1(2
−=b ,
)3,0,0,1(3=b .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
213123
2
3
2
2
2
12243 xxxxxxxxx +++++ .
7. Найти расстояние от вектора )1,1,1,3,3( −−=a до подпространства, заданного
0235421=−+− xxxx .
Вариант № 10
1. Доказать, что если 4222 ≥++ zyx , то 4=++ zyxzxy .
2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному
векторами
)2,3,7,5(1
−=a ,
)1,6,9,4(2−=a .
3. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,0,0(1=a , )1,1,0(
2=a , )1,1,1(
3=a имеет
матрицу
−
−
012
111
202
.
Найти матрицу линейного преобразования ϕ в базисе
)0,0,1(),2,1,0(),5,3,2(321=== bbb .
4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе
)0,0,0,1(1=е ,
)0,0,1,0(2=е ,
)0,1,0,0(3=е ,
)1,0,0,0(4=е
матрицу
−
−
−
−
1143
2413
0231
1321
.
5. Найти ортогональную проекцию вектора )2,2,2,5( −=a на подпространство,
порожденное векторами
)1,1,1,2(1
−=b ,
)0,3,1,1(2=b ,
)1,8,2,1(3=b .
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду
313221
2
3
2
2
2
12442 xxxxxxxxx +++++ .
7. В евклидовом пространстве некоторое подпространство задано системой
уравнений
=+−−
=++−
=+−
032
023
0233
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Найти базис подпространства, ему ортогонального.
2.5.1 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО
ДИСЦИПЛИНЕ
1 семестр
Самостоятельная работа №1 по теме
”Уравнение прямой на плоскости ”
ВАРИАНТ 1
Дан треугольник ABC : А(–4; 2); В(4; –2); С(4; –7). Написать уравнение
медианы BD и высоты СЕ. Сделать чертеж.
ВАРИАНТ 2
Даны уравнения сторон треугольника x – 3y + 5 = 0, 3x + 4y + 2 = 0 и
5x – 2y – 14 = 0. Найти длину высоты, проведенной к стороне 3x + 4y + 2 = 0
ВАРИАНТ 3
Даны уравнения сторон треугольника 2x – 5y = 3, x + 3y = 7 и 3x – 2y + 1 = 0.
Написать уравнение высоты, опущенной на сторону 2x – 5y = 3
Самостоятельная работа №2 по теме
”Длина отрезка.
Деление отрезка в данном отношении.”
ВАРИАНТ 1
Дан треугольник ABC : А(5; 0); В(1; 2); С(–3; –2). Найти длину всех медиан.
Сделать чертеж.
ВАРИАНТ 2
Точка С(3; 5) делит отрезок АВ в отношении АС : СВ =3 : 4. Найти начало
отрезка – точку А, если его концом служит точка В(–1; 1). Сделать чертеж.
Самостоятельная работа №3 по теме
”Прямые и плоскости в пространстве.”
ВАРИАНТ 1
1. Даны точки М1(3; –1; 2) и М2(4; –2; –1). Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .
2. Найти точку пересечения прямых:
=+
=+
.852
05,13
yx
yx
ВАРИАНТ 2
1. Даны точки М1(0; –1; 3) и М2(1; 3; 5). Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .
2. Найти точку пересечения прямых:
=+−
=+−
.12
0235
yx
yx
ВАРИАНТ 3
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и через точку
М0(4; 0; 3).
2. Найти точку пересечения прямых:
=−
=+
.134
32
yx
yx
ВАРИАНТ 4
1. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оz и проходящей через
точки М1(2; 2; 0) и М2(4; 0; 0).
2. Найти точку пересечения прямых:
=+
=−+−
.25
012
yx
yx
Самостоятельная работа №4 по теме
”Кривые 2 порядка”
ВАРИАНТ 1
1. Найти расстояние от центра окружности x2 + y
2 + 6x – 4y –12 = 0 до точки
А(3; –6). Сделать чертеж.
2. Дано уравнение эллипса 3x2 + 5y
2 – 15 = 0. Найти длины осей, координаты
фокусов и эксцентриситет. Сделать чертеж.
ВАРИАНТ 2
1. Дано уравнение окружности: x2 + y
2 – 4x – 14y + 28 = 0. Написать
уравнение концентрической окружности, у которой диаметр вдвое
меньше диаметра данной окружности. Сделать чертеж.
2. Написать уравнение эллипса, если фокусы его находятся в точках F1(3; 0)
и F2(–3; 0), а длина большей оси равна 12.
Самостоятельная работа №5 по теме
”Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между плоскостями.”
ВАРИАНТ 1
1. Определить расстояние от точки М(3; 5; –8) до плоскости
6х – 3у + 2z – 28 = 0
2. Написать уравнение плоскости, проходящее через точку М(2; –1; 5) и
перпендикулярно плоскостям 3х – 2у + z + 7 =0 и 5x –4y + 3z + 1 = 0
ВАРИАНТ 2
1. Найти уравнение плоскости, проходящее через точки М(2; –1; 4),
N(3; 2; –1) и перпендикулярно плоскости х + у + z – 3 = 0
2. Найти расстояние между плоскостями х – 3z + 2 = 0 и 2x –6z + 7 = 0
ВАРИАНТ 3
1. Найти уравнение плоскости, проходящее через точку М(2; 3; 1),
параллельно плоскости 5х – 3у + 2z – 10 = 0
2. Найти длину перпендикуляра опущенного из точки М0(2; 3; –5) на
плоскость 4х – 2у + 5z – 12 = 0
ВАРИАНТ 4
1. Найти уравнение плоскости, зная что точка Р(4; –3; 12) служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту
плоскость.
2. Найти расстояние от точки М(1; 3; –2) до плоскости 2х – 3у – 4z + 12 = 0
Самостоятельная работа №6 по теме
”Скалярное, смешанное произведение векторов.”
ВАРИАНТ 1
1. Найдите угол между векторами { }1;2;2 −=а и { }1;1;4−=b
2. Даны векторы { }4;3;та = , { }7;;4 −= тb . При каком значении т эти векторы
перпендикулярны?
ВАРИАНТ 2
1. При каких значениях т векторы { }7;;2 та = , { }1;1; −= тb , { }2;2;1=с будут
компланарны?
2. Найти угол между векторами { }0;1;1=а и { }1;1;0=b
ВАРИАНТ 3
1. Определить значение т, если скалярное произведение векторов
{ }1;;2 тта −= и { }3;;1 тb = равно 3.
2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
jiа 32 += и kjb 23 +=
Самостоятельная работа №7 по теме
”Вычисление определителей. Ранг матрицы”
ВАРИАНТ 1
1. Вычислить определители, пользуясь их свойствами
1030
1023
1532
1021
−
−
2. Определить ранг матрицы при различных значениях параметрах λ .
+ 911
501
41
λ
λ
ВАРИАНТ 2
1. Вычислить определители, пользуясь их свойствами
1261
5104
2305
0232
−
−
2. Определить ранг матрицы при различных значениях параметрах λ .
−
00
410
251
λ
λ
ВАРИАНТ 3
1. Вычислить определители, пользуясь их свойствами
1322
1312
6100
4213
−
−
2. Определить ранг матрицы при различных значениях параметрах λ .
−
−
700
220
322
λλ
Самостоятельная работа №8 по теме
”Обратные матрицы”
ВАРИАНТ 1
1. Определить матрицу Х из уравнений
−=⋅
−
51
43
43
21Х
2. Вычислить обратную матрицу с помощью элементарных преобразований
−
−
321
504
321
ВАРИАНТ 2
1. Определить матрицу Х из уравнений
−=
⋅
21
21
42
13Х
2. Вычислить обратную матрицу с помощью элементарных преобразований
−
−
−
211
331
521
ВАРИАНТ 3
1. Определить матрицу Х из уравнений
Х⋅
−=
− 31
02
23
41
2. Вычислить обратную матрицу с помощью элементарных преобразований
−−
511
323
215
Самостоятельная работа №9 по теме
”Решение систем линейных уравнений.”
ВАРИАНТ 1
Решить систему линейных уравнений методом Крамера
−=++
=−+
=+−
.132
,04
,532
432
431
421
xxx
xxx
xxx
ВАРИАНТ 2
Решить систему линейных уравнений методом Крамера
=−+
=−+
=++
−=−+
.183
,072
,942
,3323
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
ВАРИАНТ 3
Решить систему линейных уравнений методом Крамера
−=−−
=+++
.22
,12
421
4321
xxx
xxxx
Самостоятельная работа №10 по теме
”Уравнение прямой на плоскости.”
ВАРИАНТ 1
Написать уравнение сторон треугольника: каноническое, параметрическое,
общее, в отрезках; если известны координаты вершин треугольника.
М(–4; 2), N(4; –2), P(4; –7)
ВАРИАНТ 2
Написать уравнение сторон треугольника: каноническое, параметрическое,
общее, в отрезках; если известны координаты вершин треугольника.
P(–4; 4), Q(3; –1), R(2; –5)
ВАРИАНТ 3
Написать уравнение сторон треугольника: каноническое, параметрическое,
общее, в отрезках; если известны координаты вершин треугольника.
М(–3; 0), F(3; 4), E(1; –10)
ВАРИАНТ 4
Написать уравнение сторон треугольника: каноническое, параметрическое,
общее, в отрезках; если известны координаты вершин треугольника.
A(–3; 4), B(2; 5), C(6; –4)
Самостоятельная работа №11 по теме
”Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми ”
ВАРИАНТ 1
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(5; –4) и
составляющей с осью Ох угол, тот же, что и прямая 5х + 2у – 3 = 0.
2. Написать уравнение прямой, если точка А(2; 3) служит основанием
перпендикуляра, опущенного на нее из начала координат.
ВАРИАНТ 2
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых 2х – 3у – 1 = 0 и 3х – у – 2 = 0 и перпендикулярно прямой
–х + 3у – 1 = 0
2. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6; 2) на
прямую х – 4у + 7 = 0
2.5.2 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
1 семестр
Контрольная работа №1
ВАРИАНТ 1
1. Определить ранг матрицы с помощью миноров
−
−
−
5107
321
143
2. Найти ФСР
=++−
=+−+
.045
,03
4321
4321
xxxx
xxxx
3. Определить все значения λ , при которых вектор b линейно выражается
через остальные векторы. { }6;2;41 =а , { }8;6;32 =а ,
= λ;
12
5;63а , { }5;3;2=b
ВАРИАНТ 2
1. Определить ранг матрицы с помощью миноров
−−
−−
−−
3121
5101
1111
2. Найти ФСР
=−+−−
=−−+−
.0246
,0323
54321
54321
xxxxx
xxxxx
3. Определить все значения λ , при которых вектор b линейно выражается
через остальные векторы. { }5;2;31 =а , { }7;4;22 =а , { }λ;6;53 =а , { }5;3;1=b
ВАРИАНТ 3
1. Определить ранг матрицы с помощью миноров
−
−
−
−
215
431
323
112
2. Найти ФСР
=−+−
=+−+
.034
,06823
4321
4321
xxxx
xxxx
3. Определить все значения λ , при которых вектор b линейно выражается
через остальные векторы. { }5;3;21 =а , { }8;7;32 =а , { }1;6;13 −=а , { }λ;2;7 −=b
Вариант № 1
1. Вычислить ранг матрицы
−
−
−−
−
1325
2143
2111
3214
.
2. Найти обратную для следующей матрицы
410
023
101
.
3. Решить матричным методом систему линейных уравнений
=++
=−−
=++
115132
13
823
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
4. При каких λ существует матрица, обратная данной
−
−
23
356
45
λ
λ
?
____________________________________________________________
Вариант № 2
1. Вычислить ранг матрицы
−−
−
−−
−
4321
6464
1111
1111
.
2. Найти обратную для следующей матрицы
351
493
372
.
3. Решить матричным методом систему линейных уравнений
=++
=++
=++
1132
132
523
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
4. При каких λ система векторов ( )2,,21 λ−=a , ( )λ,5,62 =a , ( )4,2,53 =a
будет линейно зависимой?
Вариант № 3
1. Вычислить ранг матрицы
−
−
−
−
2347
3512
131322
1235
.
2. Найти обратную для следующей матрицы
987
654
321
.
3. Решить методом Крамера систему линейных уравнений
=++
=++
=++
16423
15232
1132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
4. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра λ
563
135
123
λλλ
.
___________________________________________________________
Вариант № 4
1. Вычислить ранг матрицы
−−
−
−−
−
2581
2341
2141
3211
.
2. Найти обратную для следующей матрицы
−
−
121
011
322
.
3. Решить методом Крамера
=+−
=+−
=++
52
32
6
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
4. При каких λ система линейных уравнений
=++
=++
−=+−
λ321
321
321
43
369
123
xxx
xxx
xxx
имеет
решение?
Контрольная работа №2
ВАРИАНТ 1
1. Построить кривую второго порядка 01714422 =+−−+ yxyx
2. Построить кривую второго порядка 12233 22 =−−+ yxyx
3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; 1), k = 1
(угловой коэффициент).
4. Уравнения сторон треугольника .0123,73,352 =+−=+=− yxyxyx
Написать уравнение высоты, опущенной на сторону .352 =− yx
5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки ( ) ( )1;2;3,4;1;2 −− NM ,
перпендикулярно плоскости 03 =−++ zyx
ВАРИАНТ 2
1. Построить кривую второго порядка 05844 22 =−−+ yyx
2. Построить кривую второго порядка 010622 =+−− xyx
3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; –2), k = –1
(угловой коэффициент).
4. Через точку пересечения прямых 022 =++ yx и 0943 =++ yx проведен
перпендикуляр к прямой 0632 =−+ yx . Написать уравнение этого
перпендикуляра.
5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки ( ) ( )3;1;1,1;0;2 −− QP ,
и перпендикулярно плоскости 0523 =+−+ zyx
ВАРИАНТ 3
1. Построить кривую второго порядка 04 22 =++ yхx
2. Построить кривую второго порядка 0443629 22 =−++− yxyx
3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(–2; 5), k = 2
1−
(угловой коэффициент).
4. Через точку пересечения прямых 032 =−− yx и 043 =+− yx проведена
прямая, параллельная прямой .1=+ yx Написать уравнение проведенной
прямой.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( )5;3;2M и
перпендикулярно вектору (4; 3; 2)
3632
1312
1223
5024
−
−−
−
−
3242
4523
2343
5334
6224
4448
1363
4056
−
−
3254
6423
4561
5642
−
−
−
2164
7295
4173
2152
−
−
−−
−
5487
2354
7285
6393
−−−
−−−
−
−
6534
5752
6423
8533
−
−−
−−
−−
3523
5894
5743
3452
−−
−
−
−
5544
7855
6452
5233 −−−
2362
7394
4474
2253
−−
−−
−
−−
3632
1312
1223
5024
−
−−
−
−
3242
4523
2343
5334
6224
4448
1363
4056
−
−
3254
6423
4561
5642
−
−
−
2164
7295
4173
2152
−
−
−−
−
5487
2354
7285
6393
−−−
−−−
−
−
6534
5752
6423
8533
−
−−
−−
−−
3523
5894
5743
3452
−−
−
−
−
5544
7855
6452
5233 −−−
2362
7394
4474
2253
−−
−−
−
−−
3632
1312
1223
5024
−
−−
−
−
3242
4523
2343
5334
6224
4448
1363
4056
−
−
3254
6423
4561
5642
−
−
−
2164
7295
4173
2152
−
−
−−
−
5487
2354
7285
6393
−−−
−−−
−
−
6534
5752
6423
8533
−
−−
−−
−−
3523
5894
5743
3452
−−
−
−
−
5544
7855
6452
5233 −−−
2362
7394
4474
2253
−−
−−
−
−−
3632
1312
1223
5024
−
−−
−
−
3242
4523
2343
5334
6224
4448
1363
4056
−
−
3254
6423
4561
5642
−
−
−
2164
7295
4173
2152
−
−
−−
−
5487
2354
7285
6393
−−−
−−−
−
−
6534
5752
6423
8533
−
−−
−−
−−
3523
5894
5743
3452
−−
−
−
−
5544
7855
6452
5233 −−−
2362
7394
4474
2253
−−
−−
−
−−
ВАРИАНТ 1
1. Даны точки М1(3; –1; 2) и М2(4; –2; –1). Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .
2. Найти точку пересечения прямых:
=+
=+
.852
05,13
yx
yx
3. Дан треугольник ABC : А(–4; 2); В(4; –2); С(4; –7). Написать уравнение медианы BD
и высоты СЕ. Сделать чертеж.
4. Даны координаты вершин треугольника М(-3, 4), P(8, 2), Q(6, -5). Написать
уравнение средней линии треугольника, параллельной стороне MQ.
ВАРИАНТ 2
1. Даны точки М1(0; –1; 3) и М2(1; 3; 5). Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .
2. Найти точку пересечения прямых:
=+−
=+−
.12
0235
yx
yx
3. Даны уравнения сторон треугольника x – 3y + 5 = 0, 3x + 4y + 2 = 0 и
5x – 2y – 14 = 0. Найти длину высоты, проведенной к стороне 3x + 4y + 2 = 0
4. Даны координаты вершин треугольника М(-3, 4), P(8, 2), Q(6, -5). Написать
уравнение высоты, проведенной к стороне PQ.
ВАРИАНТ 3
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и через точку
М0(4; 0; 3).
2. Найти точку пересечения прямых:
=−
=+
.134
32
yx
yx
3. Даны уравнения сторон треугольника 2x – 5y = 3, x + 3y = 7 и 3x – 2y + 1 = 0.
Написать уравнение высоты, опущенной на сторону 2x – 5y = 3
4. Даны координаты вершин треугольника М(-3, 4), P(8, 2), Q(6, -5). Написать уравнение
медианы, проведенной стороне MP.
ВАРИАНТ 4
1. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оz и проходящей через точки
М1(2; 2; 0) и М2(4; 0; 0).
2. Найти точку пересечения прямых:
=+
=−+−
.25
012
yx
yx
3. Дан треугольник ABC : А(5; 0); В(1; 2); С(–3; –2). Найти длину всех медиан.
4. Даны координаты вершин треугольника М(-3, 4), P(8, 2), Q(6, -5). Написать
уравнение прямой, проходящей через точку M, параллельно стороне QP.
1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет
нормальный вектор ( )3,0,5=n .
2. Даны точки ( )2;1;31 −M и ( )1;2;42 −−M . Составить уравнение плоскости,
проходящей через 1M , и перпендикулярной вектору 21MM .
3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OY и через точку
( )3;0;4M .
4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и через две
точки ( )1;2;41 −M и ( )3;4;22 −M .
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через три точки ( )2;1;11 −M ,
( )2;1;22M и ( )4;1;13M .
Найти каноническое уравнение эллипса , определить координаты его фокусов и
построить его: 1883656928 22 =−++ yxyx
Найти каноническое уравнение эллипса , определить координаты его фокусов и
построить его: 016494 22 =++−+ yxyx
Найти каноническое уравнение эллипса , определить координаты его фокусов и
построить его: 05266 22 =−−++ yxyx
Найти каноническое уравнение эллипса , определить координаты его фокусов и
построить его: 044659 22 =−++ xyx
Найти каноническое уравнение эллипса , определить координаты его фокусов и
построить его: 0478316 22 =−++ xyx
Самостоятельная работа №
Векторная алгебра
ВАРИАНТ 1
3. Найдите смешанное произведение векторов jiа 32 += , kjb 23 += и
kjic +−−= 32 .
4. Найдите угол между векторами { }1;2;2 −=а и { }1;1;4−=b
5. Даны векторы { }4;3;та = , { }7;;4 −= тb . При каком значении т эти векторы
перпендикулярны?
6. Дан треугольник ABC : А(5; 0); В(1; 2); С(–3; –2). Найти длину всех
медиан.
__________________________________________________
ВАРИАНТ 2
1. Найдите площадь треугольника ABC , где А(-4-2,-3); В(2,5,7); С(6,3,-1).
2. При каких значениях т векторы { }7;;2 та = , { }1;1; −= тb , { }2;2;1=с будут
компланарны?
3. Найти угол между векторами { }0;1;1=а и { }1;1;0=b .
4. Точка С(3; 5) делит отрезок АВ в отношении АС : СВ =3 : 4. Найти
координаты точки А, если В(–1; 1).
ВАРИАНТ 3
1. Найдите объем пирамиды PSQR, если ( )0,2,1−P , ( )1,3,2 −S , ( )2,4,0 −−Q ,
( )1,3,3 −−R .
2. Определить значение т, если скалярное произведение векторов
{ }1;;2 тта −= и { }3;;1 тb = равно 3.
3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
jiа 32 += и kjb 23 += .
4. В треугольнике ABC , где А(1; 0); В(-3; 2); С(0; –4), найти координаты
точки пересечения медиан.
ВАРИАНТ 4
1. Найдите векторное произведение векторовQS и SR , если ( )1,3,2 −S ,
( )2,4,0 −−Q , ( )1,3,3 −−R .
2. При каких значениях т объем параллелипиппеда, построенного на
векторах { }mà ;1;2 −= , { }4;0;òb = и { }1;5;3−=c равен 0?
3. Вычислить синус угла между векторам kjim 73 −+−= и kijn +−= 43 .
4. Найдите координаты начала отрезка AB , если его середина M(-1; 0; -5), а
конец В(-3; 2; 11).
Самостоятельная работа №11
Вариант №1
1. Найдите матрицу перехода от базиса { }/2/
1 ,ee к базису { }21 ,ee , если /
2
/
11 2 eee += , /
2
/
12 3eee −= .
2. По координатам вектора ( )7,2,1−=x в базисе { }321 ,, eee найдите его
координаты в базисе { }/3/
2
/
1 ,, eee , если 321
/
1 32 eeee −+= , 321
/
2 2eeee +−= ,
321
/
3 52 eeee −+= .
Вариант №2
1. Найдите матрицу перехода от базиса { }/3/
2
/
1 ,, eee к базису { }321 ,, eee , если
321
/
1 432 eeee −+= , 321
/
2 52 eeee +−= , 321
/
3 354 eeee ++= .
2. По координатам вектора /
2
/
1 eex += в базисе { }/2/
1 ,ee найдите его
координаты в базисе { }21 ,ee , если 21
/
1 43 eee −= , 21
/
2 eee −= .
Вариант №3
1. Найдите матрицу перехода от базиса { }321 ,, eee к базису { }/3/
2
/
1 ,, eee , если /
3
/
2
/
11 3eeee ++= , /
3
/
2
/
12 42 eeee +−= , /
3
/
13 53 eee += .
2. По координатам вектора 21 23 eex −= в базисе { }21 ,ee найдите его
координаты в базисе { }/2/
1 ,ee , если 21
/
1 35 eee += , 21
/
2 eee += .
Самостоятельная работа №12
Вариант №1
1. Векторы ( )1,1,11 =e , ( )2,1,12 =e , ( )3,2,13 =e и ( )14,9,6=x заданы своими
координатами в некотором базисе. Доказать, что 1e , 2e , 3e также
является базисом пространства и найти координаты вектора x в этом
базисе.
Вариант №2
1. Векторы ( )3,1,21 −=e , ( )5,2,32 −=e , ( )1,1,13 −=e и ( )7,2,6 −=x заданы своими
координатами в некотором базисе. Доказать, что 1e , 2e , 3e также
является базисом пространства и найти координаты вектора x в этом
базисе.
Вариант №3
1. Векторы ( )2,1,2,11 −−=e , ( )1,0,3,22 −=e , ( )4,1,2,13 =e , ( )0,1,3,14 −=e и
( )2,1,14,7 −=x заданы своими координатами в некотором базисе.
Доказать, что 1e , 2e , 3e , 4e также является базисом пространства и
найти координаты вектора x в этом базисе.
Самостоятельная работа №13
Вариант №1
1. Найдите базис и размерность каждого из подпространств,
порожденных векторами ( )1,0,2,11 =a , ( )0,1,1,12 =a , ( )2,1,5,33 =a и
( )0,1,0,11 =b , ( )1,0,3,12 =b , а также базис и размерность суммы и
пересечения указанных подпространств.
2. Определите, является ли линейным пространством над R множество Q
с обычными операциями сложения и умножения.
Вариант №2
1. Найдите базис и размерность каждого из подпространств,
порожденных векторами ( )2,1,2,11 −=a , ( )0,1,3,22 =a , ( )3,2,2,13 −=a и
( )1,1,0,11 −=b , ( )4,0,3,12 −=b , ( )1,1,1,13 =b а также базис и размерность суммы
и пересечения указанных подпространств.
2. Определите, является ли линейным пространством над R множество
всех векторов декартовой плоскости, концы которых лежат в первой
четверти, с обычными операциями сложения и умножения на число.
Вариант №3 1. Найдите базис и размерность каждого из подпространств,
порожденных векторами ( )0,0,1,11 =a , ( )0,1,1,02 =a , ( )1,1,0,03 =a и
( )0,1,0,11 =b , ( )1,1,2,02 =b , ( )2,1,2,13 =b а также базис и размерность суммы и
пересечения указанных подпространств.
2. Определите, является ли линейным пространством над R множество
( )RM n всех квадратных матриц n -го порядкас обычными операциями
сложения и умножения на число.
Самостоятельная работа №14
Вариант №1 1. Найдите матрицу билинейной формы в новом базисе, если известны ее
матрица в старом базисе
987
654
321
и формулы перехода
++=
+=
−=
321
/
3
31
/
2
21
/
1
eeee
eee
eee
.
2. Запишите алгоритм нахождения ортогонального дополнения к
подпространству, заданному системой линейных уравнений.
Вариант №2 1. Найдите матрицу билинейной формы в новом базисе, если известны ее
матрица в старом базисе
−
−
301
022
120
и формулы перехода
−+−=
−=
−+=
321
/
3
31
/
2
321
/
1
3
2
eeee
eee
eeee
.
2. Запишите алгоритм нахождения ортогональной проекции вектора на
подпространство, заданное системой линейных уравнений.
Самостоятельная работа №15
Вариант №1
1. Определить, является ли функция двух аргументов ( ) ( )BAtrBAf +=,
билинейной в пространстве ( )FM n , где F - поле.
Вариант №2
1. Определить, является ли функция двух аргументов ( ) vuvuf ⋅=,
билинейной в пространстве Cvu ∈, , где C - векторное пространство
над R .
Вариант №3
1. Определить, является ли функция двух аргументов ( ) ∫=b
a
uvdtvuf ,
билинейной в пространстве [ ]baC , .
Самостоятельная работа №16
Вариант №1 1. Найдите ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
вектора ( )12,9,12 −−=v относительно подпространства, порожденного
векторами ( )4,1,21 −=a , ( )7,5,32 −=a , ( )6,5,43 −−=a .
Вариант №2
1. Найдите ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
вектора ( )10,2,5,3 −−=v относительно подпространства, порожденного
векторами ( )11,17,8,41 −=a , ( )3,5,4,22 −=a , ( )2,4,6,33 −=a .
Самостоятельная работа №17
Вариант №1 1. Найдите ортогональное дополнение к подпространству, заданному
системой линейных уравнений
=−++
=+++
=+++
0922
0323
032
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
.
Вариант №2 1. Найдите уравнения, задающие ортогональное дополнение к
подпространству, заданному системой линейных уравнений
=−++
=−+
=−++
043
0223
032
4321
421
4321
xxxx
xxx
xxxx
.
Вариант №3 1. Определите базис ортогонального дополнения к подпространству,
порожденному векторами ( )4,5,11,31 =a , ( )10,5,12,42 =a , ( )4,6,13,13 =a .
Самостоятельная работа №18
Вариант №1
1. Приведите квадратичную форму 313221
2
3
2
2
2
1 126494 xxxxxxxxx +−−++ к
нормальному виду.
2. Запишите матрицу квадратичной формы.
3. Определите преобразование, приводящее квадратичную форму к
каноническому виду.
Вариант №2
1. Приведите квадратичную форму 3221
2
3
2
2
2
1 241232 xxxxxxx −−++ к
нормальному виду.
2. Запишите матрицу квадратичной формы.
3. Определите преобразование, приводящее квадратичную форму к
каноническому виду.
Вариант №3
1. Приведите квадратичную форму 3121
2
3
2
2
2
1 12995 xxxxxxx −−++ к
нормальному виду.
2. Запишите матрицу квадратичной формы.
3. Определите преобразование, приводящее квадратичную форму к
каноническому виду.
Самостоятельная работа №19
Вариант №1
1. В некотором базисе линейное отображение задано матрицей
−
−
−
=
11183
010
365410
A . Найдите в вещественном линейном пространстве
базис, в котором матрица отображения имеет диагональный вид.
Вариант №2 1. В некотором базисе линейное отображение задано матрицей
−−
−−
=
522
302
320
A . Найдите в вещественном линейном пространстве
базис, в котором матрица отображения имеет диагональный вид.
Вариант №3 1. В некотором базисе линейное отображение задано матрицей
−
−
−
=
166
276
265
A . Найдите в вещественном линейном пространстве базис,
в котором матрица отображения имеет диагональный вид.
Самостоятельная работа №20
Вариант №1
1. Найдите матрицу линейного оператора ( ) ( )32211321 3,2,,, xxxxxxxx ++→ в
пространстве 3R в базисе из единичных векторов.
2. Запишите алгоритм нахождения базиса и размерности пересечения
двух подпространств, заданных векторами.
Вариант №2 1. Найдите матрицу линейного оператора
( ) ( )323221321 32,23,23,, xxxxxxxxx +−−−→ в пространстве 3R в базисе из
единичных векторов.
2. Запишите алгоритм нахождения базиса и размерности суммы двух
подпространств, заданных векторами.
Самостоятельная работа №21
Вариант №1
1. Найдите собственные значения и собственные векторы
−
−
−
045
419
547
.
Вариант №2
1. Найдите собственные значения и собственные векторы
−
−
121
210
113
.
Вариант №3
1. Найдите собственные значения и собственные векторы
−
−
−
375
254
496
.
Вариант №4
1. Найдите собственные значения и собственные векторы
−
−
221
044
001
.
Вариант №5
1. Найдите собственные значения и собственные векторы
−
−−
−
335
201
212
.
Самостоятельная работа №22
Вариант №1 1. Методом Якоби найдите каноническую квадратичную форму,
конгруэнтную 02052081217 22 =++++ xyxyx , и преобразования,
приводящие к найденному каноническому виду.
Вариант №1
1. Методом Якоби найдите каноническую квадратичную форму,
конгруэнтную 0464222 =+++++ yzxzxyzyx , и преобразования,
приводящие к найденному каноническому виду.
Вариант №1 1. Методом Якоби найдите каноническую квадратичную форму,
конгруэнтную 0244343 22 =−++++ yzxyxzzxyx , и преобразования,
приводящие к найденному каноническому виду.
Контрольная работа №4
Вариант №1
1. Найдите матрицу линейного оператора n
n
dx
fdf → в линейной оболочке
mxmxxx sin,cos,...,sin,cos,1 .
2. Найдите угол между вектором ( )1,1,2,2=x и подпространством
( ) ( )2,1,1,0,1,4,4,3 −−−=L .
3. Найдите собственные числа матрицы AAT ⋅ , где A - матрица-строка.
Вариант №2
1. Найдите матрицу линейного оператора TXX → в пространстве ( )RM n .
2. Найдите линейную оболочку подпространства, ортогонального
подпространству, заданному системой линейных уравнений
=−++
=−++
033
02
4321
4321
xxxx
xxxx.
3. В пространстве L непрерывных функций на отрезке [ ]ππ ,− со
скалярным произведением ( ) ( ) ( )∫−
=π
ππdttgtfgf
1, найти проекцию
функции mt на подпространство ntntttV sin,cos,...,sin,cos,1= .
Контрольная работа №5
Вариант №1
1. Определите, можно ли в пространстве 2P многочленов степени, не
превосходящей 2, задать скалярное произведение как
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110011, gfgfgfgf ++−−= .
2. Найдите матрицу линейного оператора проектирования на плоскость
XOY векторов, выходящих из начала координат, действующего в
пространстве 2R .
Вариант №2
1. В евклидовом пространстве 2P многочленов степени, не
превосходящей2, скалярное произведение задано как:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110011, gfgfgfgf ++−−= . Найдите угол между векторами
( ) 21 xxxf +−= и ( ) xxg +1 .
2. Найдите матрицу линейного оператора VUA →: , если
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
−−=
11
11/
/
ff
ffxfA в базисе { }2,,1 xx .
Вариант №3
1. Докажите, что векторы xcos , x2cos , линейно независимы.
2. Найдите матрицу линейного оператора
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxxfxxfA 2121 ///2 ++−+= в базисе { }2,,1 xx .
Вариант №4
1. Можно ли в 2R ввести скалярное умножение как :
( ) 22122111 3, yxyxyxyxyx +−−= ?
2. Пусть c - фиксированный ненулевой вектор в евклидовом
пространстве 2V векторов плоскости. A - линейный оператор,
x3cos
действующий в этом пространстве и ортогонально проектирующий
векторы из 2V на ( )cL . Найдите матрицу этого линейного оператора в
каом-либо базисе.
Вариант №5
1. Найдите матрицу линейного оператора поворота на угол ϕ вокруг оси
OY , действующего в пространстве 3R .
2. Найдите все инвариантные подпространства трехмерного
пространства относительно линейного оператора, заданного матрицей
−
−
111
202
224
.
Вариант №6
1. Найдите матрицу линейного оператора дифференцирования в
пространстве 2P многочленов степени, не превосходящей 2, в базисе
{ }21,1,1 xxx +++ .
2. Разложите элемент xx −+ 24 пространства 4P по базису
( ) ( ) ( ){ }4323,3,3,3,1 −−−− xxxx .
Вариант №7
1. Определите, является ли преобразование подобия с коэффициентом
подобия µ линейным? Найдите матрицу указанного преобразования.
2. Докажите, что векторы { }2,,1 xx линейно независимы.
Вариант №8
1. Найдите матрицу линейного оператора поворота на угол ϕ вокруг оси
OX , действующего в пространстве 3R .
2. Элемент ( ) xxx eeexf 32 243 ++−= линейной оболочки
( )1,,,2 232 −+− xxxxx eeeeeL разложите по базису
{ }xxxxxxxxx efeefeeefeeef 3
4
32
3
32
2
32
1 ,,,1 =+=++=+++= .
Вариант №9 1. Является ли линейным преобразование симметрии относительно оси
xy = , действующее в пространстве векторов плоскости OXY ?
2. Докажите, что, если 222
yxyx +=+ , то ( ) 0, =yx .
Вариант №10 1. Будет ли преобразование параллельного переноса линейным?
Напишите матрицу этого преобразования.
2. В ( )xxL cos,sin скалярное произведение элементов xBxAf cossin 111 += и
введено формулой ( ) 212121 , BBAAff += . Найдите
матрицу оператора 2
2
dx
d в базисе xx cos,sin . Докажите, что оператор
ортогонален.
Нижневартовский Государственный гуманитарный университет
Кафедра физико-математического образования
Направление – 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
Дисциплина «Алгебра и геометрия»
2011-2012 уч.год.
2-й семестр.
Утверждаю:
Зав.кафедрой Л.Г.Кузнецова
Экзаменационная контрольная работа
xBxAf cossin 222 +=
Вариант №1 3. Найдите матрицу линейного оператора
( ) ( )32211321 3,2,,, xxxxxxxx ++→ в пространстве 3R в базисе из
единичных векторов.
4. Найдите матрицу перехода от базиса { }/3/2
/1 ,, eee к базису { }321 ,, eee
если 321/1 432 eeee −+= , 321
/2 52 eeee +−= , 321
/3 354 eeee ++=
5. Решить систему уравнений
=++−
=++
4223
3222
444
zyx
zyx
6. Привести квадратичную форму к сумме квадратов 2332
2221
21 5422 xxxxxxx ++++ .
Нижневартовский Государственный гуманитарный университет
Кафедра физико-математического образования
Направление – 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
Дисциплина «Алгебра и геометрия»
2011-2012 уч.год.
2-й семестр.
Утверждаю:
Зав.кафедрой Л.Г.Кузнецова
Экзаменационная контрольная работа
Вариант №2
3. Найдите матрицу линейного оператора
( ) ( )323221321 32,23,23,, xxxxxxxxx +−−−→ в пространстве 3R в
базисе из единичных векторов.
4. Найдите матрицу перехода от базиса { }/2/1 ,ee к базису { }21,ee , если
/2
/11 2 eee += ,
/2
/12 3eee −= .
5. Решить систему уравнений
=−−
=++
2562
15222
222
zyx
zyx
6. Привести квадратичную форму к сумме квадратов 23
223121
21 424 xxxxxxx +++− .
Нижневартовский Государственный гуманитарный университет
Кафедра физико-математического образования
Направление – 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
Дисциплина «Алгебра и геометрия»
2011-2012 уч.год.
2-й семестр.
Утверждаю:
Зав.кафедрой Л.Г.Кузнецова
Экзаменационная контрольная работа
Вариант №3
3. Найдите матрицу линейного оператора поворота на угол ϕ вокруг оси
OY , действующего в пространстве 3R .
4. Найдите матрицу перехода от базиса { }321 ,, eee к базису { }/3/2
/1 ,, eee
если /3
/2
/11 3eeee ++= ,
/3
/2
/12 42 eeee +−= ,
/3
/13 53 eee += .
5. Решить систему уравнений
=−+
=++
333
322
424
zyx
zyx
6. Привести квадратичную форму к сумме квадратов
32312123
22 24433 xxxxxxxx −+++ .
I. Алгебраические системы (группы, кольца, поля).
2 вариант.
1. Решением уравнения
=⋅
123
321
312
321x является…
A)
=
132
321x ;
B)
=
312
321x ;
C)
=
213
321x ;
D)
=
231
321x ;
E)
=
123
321x .
_____________________________________________________________
2. Обратным для любого элемента а группы { } ⋅,0\Q является...
А) а
1 ;
В) - а ;
С) 1;
D) а− ;
Е) 2
а .
_____________________________________________________________
3. Операциями, определенными на множестве Z , являются...
А) bаbа =o ;
В) babа sinsin ⋅=o ;
С) 22 bаbа +=o ;
D) ),( baНОДbа =o ;
Е) аbbа =o .
______________________________________________________________ 4. Группу образуют:
A) { } ⋅⟩⟨ ,0\R ;
B) { } ⋅⟩⟨ ,0\Q ;
C) +⟩⟨ ,N ;
D) +⟩⟨ ,Z ;
E) ⟩++=⟨ babaR 3, o .
____________________________________________________________
II. Комплексные числа.
5. Алгебраическая форма 31
4
iz
+= равна…
A) 34 iz −= ;
B) 344 iz −= ;
C) 341 iz += ;
D) 31 iz −= ;
E) 31 iz += .
_____________________________________________________________
6. Тригонометрическая форма числа 31
4
iz
+= равна…
A)
⋅+=6
sin6
cos2ππ
iz ;
B)
−⋅+
−=
3sin
3cos2
ππiz ;
C)
−⋅+
−=6
sin6
cosππ
iz ;
D)
−⋅+
−=
6sin
6cos2
ππiz ;
E)
⋅+=3
sin3
cos2ππ
iz .
______________________________________________________________
7. Число 24Z , 31
4
iz
+= равно…
A) 224
;
B) –224
;
C) i2-24
;
D) 2-24
;
E) –i224
.
______________________________________________________________
8. Корни уравнения ( ) ( ) 010751 2 =−−++ zizi равны…
A) ii −−− 1,5 ;
B) ii −−1,5 ;
C) ii +− 1,5 ;
D) ii −1,5 ;
E) i+1,5 .
______________________________________________________________ 9. Расстояние между точками i+2 и 15 −i равно:
A) i41− ;
B) 5;
C) 3;
D) 19 ;
E) 5 .
_____________________________________________________________
10.Комплексное число 90
99sin
90
99cos
ππiz += является первообразным корнем из
единицы степени:
A) 180;
B) 90;
C) 20;
D) 3;
E) 9.
______________________________________________________________
III. Матрицы, определители и СЛУ.
11. Решение уравнения
==⋅
100
010
001
, EEXA ,
=
134
012
001
A равно…
A)
−
−
132
012
001
;
B)
−
−
132
012
001
;
C)
−
−
−
100
12
001
;
D)
−
−
100
410
521
;
E)
−
−−
100
410
521
.
____________________________________________________________
12. Матрица
=
40
210
01
α
αA обратима при α…
A) 0≠α ;
B) 2,0 ≠≠ αα ;
C) 2≠α ,
D) ,2−≠α 1≠α ;
E) 1,2 ≠≠ αα .
______________________________________________________________
13. Значение Adet ,
=
0031
1222
0010
2121
A равно…
А) -3 ;
В) 3 ;
С) 5 ;
D) –5 ;
Е) 1.
_____________________________________________________________
14.
=+
=+
=+
2
1
2
zx
yx
yx
αα
имеет единственное решение при α…
А) 0≠α ;
В) 1≠α ;
С) 1−≠α ;
D) 1±≠α ;
Е) 1,0 ≠≠ αα .
______________________________________________________________
15.
=+
=+
=+
03
02
0
zy
zy
zx
α
α
имеет ненулевые решения при α…
А) 2
3;0 == αα ;
В) 1=α ;
С) 0=α ;
D) 2
3=α ;
Е) 2
3;1 == αα .
___________________________________________________________
16. Значение определителя
0...
...............
...0
...0
...
xxx
xxx
xxx
xxxx
равно:
A) ( ) nnx
11−− ;
B) ( )nx− ;
C) nx ;
D) nx ;
E) ( )2−− nx .
___________________________________________________________
17. СЛУ
=++−
−=−−
=+−
2242
12
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
имеет:
A) 0 решений;
B) 1 решение;
C) 2 решения;
D) 3 решения;
E) бесконечно много решений.
_____________________________________________________________ 18. Значения m , n и k для kmn CBA ××× = 234 равны соответственно:
A) 2, 4, 3;
B) 4, 3, 2;
C) 2, 3, 4;
D) 3, 4, 4;
E) 2, 3, 3.
______________________________________________________________ 19. Точки с координатами ( )2,2 −− k , ( )k,7− , ( )0,2−k лежат на одной прямой при k ,
равном:
A) 10/3;
B) 2;
C) 0;
D) -5;
E) 0, 2.
______________________________________________________________
IV. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость многочленов,
приводимость и неприводимость многочленов. Алгебраическая замкнутость
поля комплексных чисел.
20. НОД { } ,, gf 1,1222 23234 +−−=+−+−= xxxgxxxxf равен…
А) х2+1 ;
В) х+1 ;
С) х-1 ;
D) (х-1)2 ;
Е) (х+1)2 .
____________________________________________________________
21. Многочлен kxxxf ++= 3)( 3 имеет кратные корни при k …
А) i2± ;
В) 2± ;
С) 31,2 i±− ;
D) 31,2 i±− ;
Е) 31 i± .
_____________________________________________________________
22. При условии if −== 2,0)( αα , корнями многочлена
10834 234 −++−= xxxxf являются…
А) 1,2 ±± i ;
В) 2,2 ±± i ;
С) 2,2 ±± i ;
D) ii ±± ,2 ;
Е) ii 21,2 ±± .
_____________________________________________________________ 23. Неприводимыми в [ ]xZ являются:
A) 123612 35 −+− xxx ;
B) 83 −x ;
C) 1525103 234 −+− xxx ;
D) 155 23 −+− xxx ;
E) 164 +x .
___________________________________________________________ 24. Остаток при делении ( )xf на ( )( )31 −+ xx , если ( ) 51 =−f , ( ) 13 =f , равен:
A) 4+− x ;
B) 2+− x ;
C) 3+x ;
D) 2;
E) 6.
___________________________________________________________
25.Для многочлена ( ) 5105363 2345 +++++= xxxxxxf кратность корня 1−=x равна:
A) 1;
B) 2;
C) 3;
D) 4;
E) 5.
___________________________________________________________
V. Многочлены от многих переменных, симметрические многочлены.
26. Сумма квадратов всех корней многочлена [ ]xCxf ∈)(
10834)( 234 −++−= xxxxxf равна…
А) 8 ;
В) 10 ;
С) 6 ;
D) -6 ;
Е) -10 .
____________________________________________________________
27. Высший член многочлена ),,( zyxf при лексикографическом
упорядочении одночленов от переменных x, y, z
)()()(),,( 423422633 xyxzyxxzyxxzyxf +⋅++⋅++= равен…
А) x3 y
2 z
10 ;
В) x9 y
2 ;
С) x8 y
2 ;
D) x4 z
10 ;
Е) x9.
____________________________________________________________
28. Степень многочлена 1024554645353 xyzxzyxyzxyxzyx +++++ по сово-купности
переменных zyx ,, равна:
A) 7;
B) 8;
C) 9;
D) 10;
E) 11.
__________________________________________________________
VI. Векторные пространства.
29. Векторы )4,,0(;)2,1,0(;),0,1( αα === cba линейно независимы
при α ...
А) 0≠α ;
В) 2,0 ≠≠ αα ;
С) 2≠α ;
D) 1≠α ;
Е) 1,0 ≠≠ αα .
__________________________________________________________
30. Размерность ),,,( dcbaL
( ) ( ) ( ) ( )1,0,0,0,2,4,2,0,1,2,1,0,1,2,0,1 ==== dcba равна...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )5,3,21 −=a ,
( )1,0,12 =a , ( )3,3,03 −=a и ( )3,2,11 −−=b , ( )1,3,42 −=b , ( )1,1,3 =b , равна:
A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3;
E) Верный ответ не указан.
_____________________________________________________________
32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )5,3,21 −=a ,
( )1,0,12 =a , ( )3,3,03 −=a и ( )3,2,11 −−=b , ( )1,3,42 −=b , ( )1,1,3 =b , равна:
A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3;
E) 4.
_____________________________________________________________
VII. Евклидовы пространства.
33. Система векторов cba ,, ортогональна
( ) ( ) ( )0,1,1,0,1,0,0,1,0,,0, === cba βα при α..., β... А) 1,1 == βα ;
В) 0,0 == βα ;
С) 0,1 == βα ;
D) 1,0 == βα ;
Е) 2,0 == βα .
____________________________________________________________
34. Угол между векторами a и b ( ) ( )0,0,0,1,0,1,0,1 == ba равен...
А) 6
π ;
В) 4
π ;
С) 3
π ;
D) 2
π ;
Е) 0.
___________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )0,4=x , ( )1,1=y , равна:
A) 38 ;
B) 4;
C) 28 ;
D) 8;
E) 16.
___________________________________________________________
VIII. Линейные отображения и их матрицы.
36. Матрица отображения ( ) ( )yxyzхzyx −+→ ,,,, равна...
А)
− 011
010
101
;
В)
− 111
010
100
;
С)
001
100
011
;
D)
− 011
110
111
;
Е)
−
111
101
011
.
______________________________________________________________
37. Ранг отображения ( ) ( )yxzyxyztzyx ++−→ ,,,,,, равен...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
_______________________________________________________________
38. Дефект отображения ( ) ( )yxxyyxtzyx −−−+→ ,,,,,, равен…
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
_______________________________________________________________
39. В пространстве многочленов базисе
2,,1
2x
x матрица линейного операто-ра
дифференцирования имеет вид:
A)
000
100
010
;
B)
010
001
000
;
C)
02/10
001
000
;
D)
102/1
001
000
;
E)
000
2/100
010
.
_____________________________________________________________
40. Матрицей линейного оператора в базисе { }21 ,ee ′′ при
−=′
−=′
22
121
ee
eee и матрице линейного
оператора
−10
01 в базисе { }21 ,ee является:
A)
−
−
11
10;
B)
−
−
01
11;
C)
−11
10;
D)
−
10
01;
E)
−10
01.
_______________________________________________________________
IX. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
41. Собственные значения отображения ( ) ( )zyxyzzyx +−→ ,,,, равны...
A) i±;1 ;
B) i±− ;1 ;
C) 2
51;1±
;
D) 2
51;1±−
;
E) 2
51;1±
− .
________________________________________________________________
42. Собственные векторы отображения ( ) ( )zzyxzyx ,,,, −+−→ ,
соответствующие 1=λ , равны...
A) ( ) xxxx ∀,,, ;
B) ( ) xx ∀,0,0, ;
C) ( ) xxxx ∀− ,2,2, ;
D) ( ) xxxx ∀− ,2,, ;
E) ( ) xxxx ∀,2,2, .
__________________________________________________________________
Х. Кольца. Кольца классов вычетов, Евклидовы и факториальные кольца.
43. Решения ( )25mod74 ≡x равны…
A) Zkkx ∈+= ,254 ;
B) Zkkx ∈+= ,258 ;
C) Zkkx ∈+= ,255 ;
D) Zkkx ∈+= ,256 ;
E) Zkkx ∈+= ,257 .
_________________________________________________________________
44. Решения 6
;24 Zxx ∈=⋅ равны…
A) 7,5,2321=== xxx ;
B) 5,221== xx ;
C) 4,221== xx ;
D) 4,521== xx ;
E) 2,221−== xx .
_______________________________________________________________
45.Многочлены ( ) 12 += xxf и ( ) 12 ++= xkxxg над 3Z являются функционально равными
при k , равном:
A) 0;
B) 0, 1;
C) 1, 2;
D) 2;
E) 3Zk ∈∀ .
_______________________________________________________________
ХI. Расширение полей, алгебраические и конечные расширения.
46. Элементы ( )3iQ однозначно представляются в виде:
А) { }QСССiС ∈+ 1010 ,/3 ;
В) { }QCССССiCiСС ∈+++ 32103210 ,,,/33 ;
С) { }QССiСС ∈+ 1010 ,/3 ;
D) { }QССССiСС ∈++ 210210 ,,/3 ;
Е) Верный ответ не указан.
_________________________________________________________________
47. Степень расширения ( )[ ]QiQ :54 равна...
А) 2;
В) 4;
С) 6;
D) 8;
Е) Верный ответ не указан.
_________________________________________________________________ 48. Истинными являются утверждения:
A) ( )6 77 Q∈ ;
B) ( )64 33 Q∈ ;
C) ( )45 22 Q∈ ;
D) ( )773 Q∈ ;
E) ( )123 42 Q∈ .
I. Алгебраические системы (группы, кольца, поля).
3 вариант.
1. Решением уравнения
=
⋅
231
321
132
321x является…
A)
=
312
321x ;
B)
=
132
321x ;
C)
=
213
321x ;
D)
=
123
321x ;
E)
=
231
321x .
____________________________________________________________
2. Обратным для любого элемента а группы +,Q является...
А) 1;
В) 0;
С) а
1 ;
D) - а ;
Е) –1.
____________________________________________________________
3. Операциями, определенными на множестве Z , являются...
А) abа blog=o ;
В) 1−+= babа o ;
С) { }babа ,max=o ;
D) а
bbа =o ;
Е) 2bbа =o .
_____________________________________________________________ 4. Группу образуют:
A) ⋅⟩⟨ ,Q ;
B) ⋅⟩⟨ + ,Q ;
C) +⟩⟨ ,2n ;
D) +⟩⟨ ,nZ ;
E) { }⟩+∈+⟨ ,,:2 Qbaba .
II. Комплексные числа.
5. Алгебраическая форма i
z+
=3
2 равна…
A) iz 232 += ;
B) iz 232 −= ;
C) 22
3 iz −= ;
D) iz −= 3 ;
E) 44
3 i− .
_____________________________________________________________
6. Тригонометрическая форма числа i
z+
=1
22 равна…
A)
⋅+=4
sin4
cos2ππ
iz ;
B)
⋅+=4
sin4
cos2ππ
iz ;
C)
−⋅+
−=
4sin
4cos2
ππiz ;
D)
−⋅+
−=
4sin
4cos2
ππiz ;
E)
⋅+
=
4
3sin
4
3cos2
ππiz .
_____________________________________________________________
7. Число 24Z , i
z+
=1
22 равно…
A) 224
;
B) –224
;
C) i2-24
;
D) 2-24
;
E) –i224
.
_____________________________________________________________
8. Корни уравнения ( ) 05342 =−−−− iziiz равны…
A) ii 32,1 −−−− ;
B) ii 32,1 ++ ;
C) ii 32,1 −− ;
D) ii 32,1 −+ ;
E) ii 32,1 +− .
______________________________________________________________
9. Комплексное число 60
66sin
60
66cos
ππiz += является первообразным корнем из единицы
степени:
A) 6;
B) 20;
C) 60;
D) 66;
E) 120.
_____________________________________________________________ 10. Расстояние между точками 54 −i и i23− равно:
A) 10;
B) 14;
C) 2;
D) 86 −i ;
E) 86 +− i .
____________________________________________________________
III. Матрицы, определители и СЛУ.
11. Решение уравнения
==⋅
100
010
001
, EEXA ,
=
001
100
010
A равно…
A)
010
001
100
;
B)
001
010
001
;
C)
010
101
010
;
D)
001
010
100
;
E)
100
010
100
.
____________________________________________________________
12. Матрица
=
1010
01
01
αα
A обратима при α…
А) 1≠α ;
В) 1−≠α ;
С) 0≠α ;
D) 1±≠α ;
Е) 1,0 ≠≠ αα .
____________________________________________________________
13. Значение Adet ,
=
1201
3212
0102
0201
A равно…
А) 3 ;
В) -3 ;
С) 5 ;
D) –5 ;
Е) 2.
____________________________________________________________
14.
=+
=+
=+
24
12
3
zy
zy
zx
α
α
имеет единственное решение при α…
А) 2≠α ;
В) 1≠α ;
С) 1−≠α ;
D) 1±≠α ;
Е) 0≠α .
____________________________________________________________
15.
=+
=+
=+
04
02
0
zy
zy
zx
α
α
имеет ненулевые решения при α…
А) 0=α ;
В) 2=α ;
С) 1=α ;
D) 2=α ;
Е) 3=α .
_____________________________________________________________ 16. Точки с координатами ( )1, −kk , ( )1,0 , ( )1, −− kk лежат на одной прямой при k ,
равном:
A) 0;
B) 0, 3;
C) 0, 1;
D) 1;
E) 0, 2.
______________________________________________________________ 17. Значения m , n и k для kmn CBA ××× = 234 равны соответственно:
A) 2, 3, 3;
B) 2, 3, 2;
C) 3, 3, 2;
D) 3, 2, 2;
E) 3, 2, 3.
____________________________________________________________
18. СЛУ
=++−
=++−
=+−+−
=−−−
432
063
1242
12
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
A) 0 решений;
B) 1 решение;
C) 2 решения;
D) 3 решения;
E) бесконечно много решений.
____________________________________________________________
19. Значение определителя
1...000
...............
1...010
1...001
1...111
равно:
A) ( )2−n ;
B) ( ) nn 1
1−− ;
C) !2n ;
D) ( ) ( )211 −− −
nn
;
E) ( )( )nn 12 −− .
____________________________________________________________
IV. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость многочленов,
приводимость и неприводимость многочленов. Алгебраическая замкнутость
поля комплексных чисел.
20. НОД { } ,, gf 1,1222 23234 −+−=++++= xxxgxxxxf равен…
А) х-1 ;
В) х+1 ;
С) (х-1)2 ;
D) (х+1)2 ;
Е) х2+1 .
__________________________________________________________
21. Многочлен 13)( 3 ++= xkxkxf имеет кратные корни при k …
А) i2
1± ;
В) 2
1± ;
С) 1± ;
D) i± ;
Е) 31 i± .
__________________________________________________________
22. При условии if +−== 1,0)( αα , корнями многочлена
2232 234 +++−= xxxxf являются…
А) 1,1 ±±− i ;
В) ii ±±− ,1 ;
С) ii ±±− 1,1 ;
D) 2,1 ±±− i ;
Е) ii 2,1 ±±− .
___________________________________________________________ 23. Неприводимыми в [ ]xZ являются:
A) 164 −x ;
B) 110 24 +− xx ;
C) 148 ++ xx ;
D) 691532 234 +−+− xxxx ;
E) 624 −− xx .
____________________________________________________________
24. Остаток при делении ( )xf на ( )( )21 −+ xx , если ( ) 91 =−f , ( ) 32 =f , равен:
A) 3;
B) 9;
C) 12;
D) 12 −x ;
E) 72 +− x .
_____________________________________________________________
25.Для многочлена ( ) 83210 345 −+−+= xxxxxf кратность корня 1−=x равна:
A) 1;
B) 2;
C) 3;
D) 4;
E) 5.
____________________________________________________________
V. Многочлены от многих переменных, симметрические многочлены.
26. Сумма квадратов всех корней многочлена [ ]xCxf ∈)(
2232)( 234 ++++= xxxxxf равна…
А) 2 ;
В) –2 ;
С) 4 ;
D) –4 ;
Е) 6 .
__________________________________________________________
27. Высший член многочлена ),,( zyxf при лексикографическом
упорядочении одночленов от переменных x, y, z
)()()(),,( 333322 yxxzxyxzxyxzyxf +⋅++⋅++= равен…
А) x3 y
z
6 ;
B) x6 y
2 ;
C) x6 ;
D) x3 z
6 ;
E) x5 y
4 .
__________________________________________________________
28. Степень многочлена 342594262 zxyyzxxzyxzyx ++++ по совокупности
переменных zyx ,, равна:
А) 6;
B) 7;
C) 8;
D) 9;
E) 10.
__________________________________________________________
VI. Векторные пространства.
29. Векторы )1,0,1(;)0,,1(;)0,1,( === cba αα линейно независимы
при α ...
А) 1≠α ;
В) 1−≠α ;
С) 0≠α ;
D) 1±≠α ;
Е) 1,0 ≠≠ αα .
_____________________________________________________________
30. Размерность ),,,( dcbaL
( ) ( ) ( ) ( )0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,1 ==== dcba равна...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )4,3,21 −−=a ,
( )0,1,52 −=a , ( )8,5,13 −=a и ( )0,1,21 −=b , ( )2,0,32 −=b , ( )2,2,13 −−=b , равна:
A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3;
E) Верный ответ не указан.
______________________________________________________________
32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )4,3,21 −−=a ,
( )0,1,52 −=a , ( )8,5,13 −=a и ( )0,1,21 −=b , ( )2,0,32 −=b , ( )2,2,13 −−=b , равна:
A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3;
E) 4.
VII. Евклидовы пространства.
33. Система векторов cba ,, ортогональна
( ) ( ) ( )1,,,1,0,,,0,1,0,0,1 βαβα −=== cba при α..., β... А) 1,1 == βα ;
В) 0,0 == βα ;
С) 0,1 == βα ;
D) 1,0 == βα ;
Е) 2,0 == βα .
_____________________________________________________________
34. Угол между векторами a и b ( ) ( )1,1,1,1,0,0,1,1 −== ba равен...
А) 6
π ;
В) 4
π ;
С) 3
π ;
D) 2
π ;
Е) π .
__________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )0,3=x , ( )2,1=y , равна:
A) 36;
B) 6;
C) 218 ;
D) 318 ;
E) 18.
___________________________________________________________
VIII. Линейные отображения и их матрицы.
36. Матрица отображения ( ) ( )xzyxzyх ,,,, +→ равна...
А)
− 011
010
101
;
В)
− 111
010
100
;
С)
001
100
011
;
D)
− 011
110
111
;
Е)
−
111
101
011
.
____________________________________________________________
37. Ранг отображения ( ) ( )tyxxzyxtzyx +++→ ,,,,,, равен...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
_____________________________________________________________
38. Дефект отображения ( ) ( )xzzyyxtzyx ,,,,,, ++→ равен...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
_______________________________________________________________
39. Матрицей линейного оператора в базисе { }21 ,ee ′′ при
−=′
+=′
12
211
ee
eee и матрице линейного
оператора
−
01
10 в базисе { }21 ,ee является:
A)
−
−
10
11;
B)
−
−
12
11;
C)
10
11;
D)
−−
12
11;
E)
−
11
10.
______________________________________________________________
40. В пространстве многочленов базисе { }21,1,1 xxx +++ матрица линейного оператора
дифференцирования имеет вид:
A)
−
000
200
110
;
B)
− 021
001
000
;
C)
000
210
100
;
D)
000
210
110
;
E)
021
010
000
.
______________________________________________________________
IX. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
41. Собственные значения отображения ( ) ( )zzyxzyx ,,,, +→ равны...
A) i±;1 ;
B) 0;1 ;
C) i±− ;1 ;
D) 0;1− ;
E) i±;0 .
_______________________________________________________________
42. Собственные векторы отображения ( ) ( )zzyxzyx −+→ ,,,, ,
соответствующие 1=λ , равны...
A) ( ) xxxx ∀,,, ;
B) ( ) xxxx ∀,,2, ;
C) ( ) xx ∀,0,0, ;
D) ( ) xxx ∀,0,, ;
E) ( ) xxx ∀,,0, .
_______________________________________________________________
Х. Кольца. Кольца классов вычетов, Евклидовы и факториальные кольца.
43. Решения ( )21mod185 ≡x равны…
A) Zkkx ∈+= ,218 ;
B) Zkkx ∈+= ,2112 ;
C) Zkkx ∈+= ,2111 ;
D) Zkkx ∈+= ,2113 ;
E) Zkkx ∈+= ,2110 .
_________________________________________________________________
44. Решения 12
;63 Zxx ∈=⋅ равны…
A) 10,6,2321=== xxx ;
B) 6,7,2321=== xxx ;
C) 6,221== xx ;
D) 10,621== xx ;
E) 10,6,4321=== xxx .
_________________________________________________________________
45. Многочлены ( ) 222 −+= xxxf и ( ) 12 ++= kxxxg над 3Z являются функ-ционально
равными при k , равном:
A) 2;
B) 1;
C) 0;
D) –1, 0;
E) 3Zk ∈∀ .
_________________________________________________________________
ХI. Расширение полей, алгебраические и конечные расширения.
46. Элементы ( )3 4Q однозначно представляются в виде:
А) { }QСССССС ∈++ 2103
23
10 ,,/164 ;
В) { }QССССС ∈+ 2103
10 ,,/4 ;
С) { }QСССССС ∈++ 2103
210 ,,/44 ;
D) { }QСС ∈+ 03
0 /4 ;
Е) { }QСССС ∈+ 1010 ,/4 .
__________________________________________________________________
47. Степень расширения ( ) ( )[ ]iQiQ :53 равна...
А) 2;
В) 3;
С) 5;
D) 6;
Е) Верный ответ не указан.
_________________________________________________________________ 48. Истинными являются утверждения:
A) ( )6 33 Q∈ ;
B) ( )65 33 Q∈ ;
C) ( )4 33 Q∈ ;
D) ( )335 Q∈ ;
E) ( )4 93 Q∈ .
I. Алгебраические системы (группы, кольца, поля).
4 вариант.
1. Решением уравнения
=
⋅
213
321
231
321x является…
A)
=
312
321x ;
B)
=
213
321x ;
C)
=
123
321x ;
D)
=
231
321x ;
E)
=
132
321x .
___________________________________________________________
2. Обратным для любого элемента а группы +,R является...
А) 0;
В) 1;
С) а
1 ;
D) - а ;
Е) а +1.
____________________________________________________________
3. Операциями, определенными на множестве Z , являются...
А) bаbа −=o ;
В) 2abbа =o ;
С) 2
babа
−=o ;
D) { }babа ,min=o ;
Е) abbа −=o .
_____________________________________________________________ 4. Поле образуют:
A) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,:2 Qyxyx ;
B) ⋅⟩+⟨ ,,Q ;
C) ⋅⟩+⟨ ,,N ;
D) ⋅⟩+⟨ ,,Z ;
E) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,: Qyxyix .
II. Комплексные числа.
5. Алгебраическая форма i
z−−=
1
22 равна…
A) iz 22 +−= ;
B) iz 22 −= ;
C) iz 22 += ;
D) iz 22 −−= ;
E) iz −= 2 .
___________________________________________________________
6. Тригонометрическая форма числа i
z−
=3
4 равна…
A)
⋅+=6
sin6
cos2ππ
iz ;
B)
⋅+=3
sin3
cos2ππ
iz ;
C)
⋅+=3
sin3
cos2ππ
iz ;
D)
⋅+=6
sin6
cos2ππ
iz ;
E)
⋅+= ππ3
2sin
3
2cos2 iz .
____________________________________________________________
7. Число 24Z , i
z−
=3
4 равно...
A) 224
;
B) –224
;
C) i2-24
;
D) 2-24
;
E) –i224
.
____________________________________________________________
8. Корни уравнения ( ) 051232 =−−−− iziiz равны…
A) ii 23,1 −−− ;
B) ii 23,1 −+ ;
C) ii 23,1 ++ ;
D) ii 23,1 +−− ;
E) ii 23,1 +− .
____________________________________________________________
9.Комплексное число 40
44sin
40
44cos
ππiz += является первообразным корнем из единицы
степени:
A) 88;
B) 80;
C) 44;
D) 40;
E) 20.
_____________________________________________________________ 10. Расстояние между точками i32 − и 4+i равно:
A) i42 + ;
B) i42 −− ;
C) 52 ;
D) 6;
E) 20.
_____________________________________________________________
III. Матрицы, определители и СЛУ.
11. Решение уравнения
==⋅
100
010
001
, EEXA ,
=
100
001
010
A равно…
A)
100
001
010
;
B)
010
100
001
;
C)
010
100
111
;
D)
010
100
101
;
E)
010
001
001
.
___________________________________________________________
12. Матрица
=
100
5510
14αA обратима при α…
А) 0≠α ;
В) 8≠α ;
С) 1≠α ;
D) 1,8 ≠≠ αα ;
Е) 8,0 ≠≠ αα .
___________________________________________________________
13. Значение Adet ,
=
1300
2212
0100
1221
A равно…
А) 3 ;
В) 5 ;
С) -3 ;
D) 5 ;
Е) -2.
___________________________________________________________
14.
=+
=+
=++
12
384
22
yx
yx
zyx
α имеет единственное решение при α…
А) 1≠α ;
В) 0≠α ;
С) 1−≠α ;
D) 2≠α ;
Е) 2−≠α .
____________________________________________________________
15.
=+
=+
=+
010
0
0
zx
yx
yx
αα
имеет ненулевые решения при α…
А) 1=α ;
В) 1−=α ;
С) 0=α ;
D) 1±=α ;
Е) 2=α .
_____________________________________________________________
16. Значение определителя
0...321
...............
...021
...301
...321
−−−
−−
−
n
n
n
равно:
A) 0;
B) nn ;
C) !n ;
D) ( ) nn 1
1−− ;
E) ( )!2−n .
__________________________________________________________
17. СЛУ
=+−
=++
=+−−
=−+
02
05
016126
0863
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
A) 0 решений;
B) 1 решение;
C) 2 решения;
D) 3 решения;
E) бесконечно много решений.
___________________________________________________________ 18. Значения m , n и k для kmn CBA ××× =323 равны соответственно:
A) 3, 3, 2;
B) 3, 3, 3;
C) 2, 2, 2;
D) 2, 3, 3;
E) 2, 3, 2.
____________________________________________________________ 19.Точки с координатами ( )1,0 −k , ( )4,2 − , ( )kk, лежат на одной прямой при k , равном:
A) –1, -2;
B) 0;
C) 0, 1;
D) 1;
E) 2, 4.
______________________________________________________________
IV. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость многочленов,
приводимость и неприводимость многочленов. Алгебраическая замкнутость
поля комплексных чисел.
20. НОД { } ,, gf 1,122 2334 +−−=−−+= xxxgxxxf равен…
А) (х-1)2 ;
В) (х+1)2 ;
С) х-1 ;
D) х2-1 ;
Е) х+1 .
____________________________________________________________
21. Многочлен 23)( 3 ++= xkxxf имеет кратные корни при k …
А) 2
3
2
1,1
i±− ;
В) 2
3
2
1,1
i±− ;
С) 1± ;
D) 2
3
2
1 i± ;
Е) 2
3
2
1 i±− .
_____________________________________________________________
22. При условии if 21,0)( −== αα , корнями многочлена
5242 234 −++−= xxxxf являются…
А) ii ±± ,21 ;
В) 1,21 ±± i ;
С) ii 2,21 ±± ;
D) 2,21 ±± i ;
Е) ii 21,21 ±−± .
_____________________________________________________________ 23. Неприводимыми в [ ]xZ являются:
A) 367281476 2345 xxxxx +−+− ;
B) 646 +x ;
C) 273 3 −x ;
D) 432 −− xx ;
E) 124 ++ xx .
_____________________________________________________________
24.Остаток при делении ( )xf на ( )( )112 −− xx , если 22
1−=
f , ( ) 51 −=f , равен:
A) 23 −x ;
B) 16 +− x ;
C) x ;
D) –7;
E) 2
11.
_______________________________________________________________
25.Для многочлена ( ) 11471914 2345 −+++−−= xxxxxxf кратность корня 1−=x равна:
A) 1;
B) 2;
C) 3;
D) 4;
E) 5.
_____________________________________________________________
V. Многочлены от многих переменных, симметрические многочлены.
26. Сумма квадратов всех корней многочлена [ ]xCxf ∈)(
5242)( 234 −++−= xxxxxf равна…
А) 4 ;
В) -4 ;
С) 6 ;
D) –6 ;
Е) 2 .
___________________________________________________________
27. Высший член многочлена ),,( zyxf при лексикографическом
упорядочении одночленов от переменных x, y, z
)()()(),,( 222644 yxxzxyxzхуxzyxf +⋅++⋅++= равен…
A) х
4 у
6 ;
B) x7 y
2 ;
C) x3 у
2 z
5;
D) x4 y
5 ;
E) x5 yz
7.
___________________________________________________________
28.Степень многочлена 6342553652211 zyxzyxzyxzyxx ++++ по совокупности
переменных zyx ,, равна:
А) 9;
B) 10;
C) 11;
D) 12;
E) 13.
_____________________________________________________________
VI. Векторные пространства.
29. Векторы )1,0,0(;),1,2(;)1,4,( === cba αα линейно независимы
приα ...
А) 0≠α ;
В) 8≠α ;
С) 1≠α ;
D) 1,8 ≠≠ αα ;
Е) 8,0 ≠≠ αα .
___________________________________________________________
30. Размерность ),,,( dcbaL
( ) ( ) ( ) ( )1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,4,8 ==== dcba равна...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a , ( )1,1,12 −=a ,
( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:
A) 1;
B) 3;
C) 0;
D) 2;
E) 4.
______________________________________________________________
32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a ,
( )1,1,12 −=a , ( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:
A) 1;
B) 3;
C) 4;
D) 2;
E) 0.
____________________________________________________________
VII. Евклидовы пространства.
33. Система векторов cba ,, ортогональна
( ) ( ) ( )1,0,0,1,0,1,1,0,,0,0, −=== cba βα при α..., β... А) 2,1 == βα ;
В) 1,1 =−= βα ;
С) βα = ;
D) βα −= ;
Е) 1,0 == βα .
_____________________________________________________________
34. Угол между векторами a и b ( ) ( )0,0,1,1,0,0,1,0 == ba равен...
А) 6
π ;
В) 4
π ;
С) 3
π ;
D) 2
π ;
Е) 0.
__________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )3,0=x , ( )1,1=y , равна:
A) 3;
B) 9;
C) 18;
D) 29 ;
E) 39 .
VIII. Линейные отображения и их матрицы.
36. Матрица отображения ( ) ( )yxzyzyxzyx −+++→ ,,,, равна...
А)
− 011
010
101
;
В)
− 111
010
100
;
С)
001
100
011
;
D)
− 011
110
111
;
Е)
−
111
101
011
.
_____________________________________________________________
37. Ранг отображения ( ) ( )xzzyyxtzyx ,,,,,, ++→ равен...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
______________________________________________________________
38. Дефект отображения ( ) ( )tyxxzyxtzyx +++→ ,,,,,, равен...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
______________________________________________________________
39.Матрицей линейного оператора в базисе { }21 ,ee ′′ при
−=′
+=′
12
211
ee
eee и матрице линейного
оператора
−10
02 в базисе { }21 ,ee является:
A)
−
11
10;
B)
−
23
01
C)
− 21
01;
D)
− 23
01;
E)
−−
−
21
01.
______________________________________________________________
40.В пространстве многочленов базисе { }xxx −− 2,1,1 матрица линейного оператора
дифференцирования имеет вид:
A)
000
200
110
;
B)
−
000
200
110
;
C)
−
000
100
210
;
D)
200
110
000
;
E)
012
001
000
.
______________________________________________________________
IX. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
41. Собственные значения отображения ( ) ( )zzyxzyx ,,,, −+−→ равны...
A) i±;1 ;
B) 1;0 ± ;
C) 0;1− ;
D) 0;1 ;
E) i±;0 .
_________________________________________________________________
42. Собственные векторы отображения ( ) ( )zyxyzzyx +−→ ,,,, ,
соответствующие 1=λ , равны...
A) ( ) xxxx ∀,,, ;
B) ( ) xxxx ∀,,2, ;
C) ( ) xxxx ∀,,,2 ;
D) ( ) xxxx ∀− ,2,, ;
E) ( ) xxxx ∀,,2,2 .
_________________________________________________________________
Х. Кольца. Кольца классов вычетов, Евклидовы и факториальные кольца.
43. Решения ( )15mod47 ≡x равны…
A) Zkkx ∈+= ,156 ;
B) Zkkx ∈+= ,157 ;
C) Zkkx ∈+= ,155 ;
D) Zkkx ∈+= ,158 ;
E) Zkkx ∈+= ,154 .
________________________________________________________________
44. Решения 6
;42 Zxx ∈=⋅ равны…
A) 5,221== xx ;
B) 4,221== xx ;
C) 5,4,2321=== xxx ;
D) 3,521== xx ;
E) 5,4,3321=== xxx .
________________________________________________________________
45. Многочлены ( ) 122 ++= xxxf и ( ) 12 +−= kxxxg над 3Z являются функционально
равными при k , равном:
A) –2, 0;
B) 1;
C) 2;
D) 1, 0;
E) 1, 2.
________________________________________________________________
ХI. Расширение полей, алгебраические и конечные расширения.
46. Элементы ( )4 5iQ однозначно представляются в виде:
А) { }QССiСС ∈+ 104
10 ,/5 ;
В) { }QССССiСС ∈++ 2104
210 ,,/5 ;
С) { }QCСССiСCiСС ∈+++ 32104
324
10 ,,,/12555 ;
D) { }QСCСССССCiСС ∈++++ 432104
434
210 ,,,,/12555 ;
Е) { }QСССiС ∈+ 104
10 ,/5 .
_________________________________________________________________
47. Степень расширения ( ) ( )[ ]612 5:5 QiQ равна...
А) 2;
В) 4;
С) 6;
D) 12;
Е) 24.
____________________________________________________________ 48. Истинными являются утверждения:
A) ( )3 22 Q∈ ;
B) ( )226 Q∈ ;
C) ( )64 22 Q∈ ;
D) ( )54 22 Q∈ ;
E) ( )6 22 Q∈ .
I. Алгебраические системы (группы, кольца, поля).
5 вариант.
1. Решением уравнения
=
⋅
213
321
312
321x
является…
A)
=
213
321x ;
B)
=
123
321x ;
C)
=
312
321x ;
D)
=
132
321x ;
E)
=
231
321x .
____________________________________________________________
2. Обратным для любого элемента а группы ⋅+ ,R является...
А) 1;
В) 0;
С) а
1 ;
D) - а ;
Е) -а
1.
_____________________________________________________________
3. Операциями, определенными на множестве Z , являются...
А) аbbа 2=o ;
В) а bbа =o ;
С) bаbа 2+=o ;
D) 22 bаbа −=o ;
Е) 2)( bаbа +=o .
_____________________________________________________________ 4.Кольцо образуют:
A) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,:2 Qyxyx ;
B) ⋅⟩+⟨ ,,Q ;
C) ⋅⟩+⟨ + ,,Z ;
D) ⋅⟩+⟨ ,,Z ;
E) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,: Qyxyix
_____________________________________________________________
II. Комплексные числа.
5. Алгебраическая форма i
z−
=3
1 равна…
A) iz += 3 ;
B) 22
3 iz += ;
C) 44
3 iz += ;
D) 44
3 iz −= ;
E) 22
3 iz −= .
_________________________________________________________
6. Тригонометрическая форма числа i
z−
=1
2 равна…
A)
−⋅+
−=4
sin4
cosππ
iz ;
B) 4
sin4
cosππ
⋅+= iz ;
C)
⋅+=4
sin4
cos2ππ
iz ;
D)
−⋅+
−=
4sin
4cos2
ππiz ;
E)
⋅+=4
3sin
4
3cos2
ππiz .
_________________________________________________________
7. Число 24Z , i
z−
=1
2 равно…
A) 224
;
B) 1 ;
C) 2-24
;
D) i224
;
E) -1.
_________________________________________________________
8. Корни уравнения ( ) 0121 2 =+++− izzi равны…
A) 1, −− i ;
B) 1,i ;
C) 1, −i ;
D) 1,i− ;
E) 1,1 i+ .
___________________________________________________________
9. Расстояние между точками i23+− и 1+i равно:
A) 17 ;
B) 5;
C) 3;
D) 72 ;
E) i+− 4 .
__________________________________________________________
10. Комплексное число 13
20sin
13
20cos
ππiz += является первообразным корнем из
единицы степени:
A) 7;
B) 40;
C) 26;
D) 20;
E) 13.
___________________________________________________________
III. Матрицы, определители и СЛУ.
11. Решение уравнения
==⋅
100
010
001
, EEXA ,
−
−
=
100
410
521
A равно…
A)
100
410
321
;
B)
100
410
231
;
C)
−
−
100
410
321
;
D)
−
−
100
410
321
;
E)
−
−
100
410
321
.
__________________________________________________________
12. Матрица
=
001
282
141 αA обратима при α…
А) 1≠α ;
В) 0≠α ;
С) 1,0 ≠≠ αα ;
D) 2≠α ;
Е) 0,2 ≠≠ αα .
___________________________________________________________
13. Значение Adet ,
=
0031
2122
0010
1221
A равно…
А) 3 ;
В) -3 ;
С) 5 ;
D) –5 ;
Е) 2.
____________________________________________________________
14.
=++
=+
=+
1
12
2
zyx
yx
yx
α имеет единственное решение при α…
А) 2≠α ;
В) 1≠α ;
С) 2−≠α ;
D) 1−≠α ;
Е) 0≠α .
____________________________________________________________
15.
=+
=+
=++
0
04
0
yx
yx
zyx
α
α
имеет ненулевые решения при α…
А) 4=α ;
В) 1=α ;
С) 0=α ;
D) 2=α ;
Е) 3=α .
_________________________________________________________
16. Значение определителя
nnnn
nnn
nnn
nnn
...
...............
...3
...2
...1
равно:
A) ( ) ( )nnn −− 11 ;
B) ( )!12 −n ;
C) ( ) !1 nn− ;
D) !n
E) ( ) !11n
n−− .
____________________________________________________________
17. СЛУ
=+
=+−
=−+
=−−
032
042
02
037
31
321
321
321
xx
xxx
xxx
xxx
A) 0 решений;
B) 1 решение;
C) 2 решения;
D) 3 решения;
E) бесконечно много решений.
____________________________________________________________ 18. Значения m , n и k для 233 ××× = kmn CBA равны соответственно:
A) 3, 2, 3;
B) 2, 2, 3;
C) 2, 2, 2;
D) 3, 2, 2;
E) Верный ответ не указан.
____________________________________________________________ 19. Точки с координатами ( )k,1− , ( )0,2 , ( )1,1 +− kk лежат на одной прямой при k ,
равном:
A) –2, 0;
B) 1± ;
C) 2± ;
D) 1, 0;
E) –1, 0.
______________________________________________________________
IV. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость многочленов,
приводимость и неприводимость многочленов. Алгебраическая замкнутость
поля комплексных чисел.
20. НОД { } ,, gf 1,1 2334 +−−=−−+= xxxgxxxf равен…
А) х-1 ;
В) х+1 ;
С) х2+1 ;
D) х2-1 ;
Е) (х+1)2 .
___________________________________________________________
21. Многочлен 23)( 3 ++= xkxkxf имеет кратные корни при k …
А) i± ;
В) 1± ;
С) 2
1± ;
D) 2
i± ;
Е) 31 i± .
____________________________________________________________
22. При условии if +−== 2,0)( αα , корнями многочлена
5464 234 ++++= xxxxf являются…
А) 1,2 ±±− i ;
В) ii ±±− ,2 ;
С) 4,2 ±±− i ;
D) 2,2 ±±− i ;
Е) ii ±±− 2,2 .
____________________________________________________________
23. Остаток при делении ( )xf на ( )( )113 +− xx , если 33
1=
f , ( ) 71 =−f , равен:
A) 3
2− ;
B) 21;
C) x4 ;
D) 16 +− x ;
E) 22 −− x .
_____________________________________________________________
24.Для многочлена ( ) 19527 234 −−+−= xxxxxf кратность корня 1=x равна:
A) 1;
B) 2;
C) 3;
D) 4;
E) 0.
_____________________________________________________________ 25. Неприводимыми в [ ]xZ являются:
A) 164 +x ;
B) 6152137 234 −−+− xxxx ;
C) 14497 23 +−+ xxx ;
D) ;
E) 232 2 −− xx .
____________________________________________________________
V. Многочлены от многих переменных, симметрические многочлены.
26. Сумма квадратов всех корней многочлена [ ]xCxf ∈)(
5464)( 234 ++++= xxxxxf равна…
А) 4 ;
В) 2 ;
С) -2 ;
D) –4 ;
Е) 6 .
___________________________________________________________
27. Высший член многочлена ),,( zyxf при лексикографическом
упорядочении одночленов от переменных x, y, z
)()()(),,( 432363 zyxzxyxyxzyxf ++⋅++⋅+= равен…
A) y
6 z
7 ;
B) x6 y ;
C) x6 ;
D) xy9 ;
E) xy7 z
4.
___________________________________________________________
28. Степень многочлена 28456645349 yzxzxyzyyxzyxx +++++ по совокуп-ности
переменных zyx ,, равна:
A) 8;
B) 9;
C) 10;
D) 11;
E) 12.
____________________________________________________________
VI. Векторные пространства.
29. Векторы )0,0,1(;)1,2,(;)1,,1( === cba αα линейно независимы
приα ...
А) 2≠α ;
В) 0≠α ;
С) 1,0 ≠≠ αα ;
D) 1≠α ;
Е) 2,0 ≠≠ αα .
____________________________________________________________
30. Размерность ),,,( dcbaL
( ) ( ) ( ) ( )0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,2,2,0,1,2,1 ==== dcba равна...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a , ( )1,1,12 −=a ,
( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:
A) 1;
B) 3;
C) 0;
D) 2;
E) 4.
______________________________________________________________
32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a ,
( )1,1,12 −=a , ( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:
A) 1;
B) 3;
C) 4;
D) 2;
E) 0.
______________________________________________________________
VII. Евклидовы пространства.
33. Система векторов cba ,, ортогональна
( ) ( ) ( )1,0,0,1,0,0,1,,,0,0,1 === cba αβ при α..., β... А) 0,0 == βα ;
В) 1,0 −== βα ;
С) 1,0 == βα ;
D) 1,1 == βα ;
Е) 0,1 == βα .
_____________________________________________________________
34. Угол между векторами a и b ( ) ( )1,0,1,0,1,0,1,0 −=−= ba равен...
А) 6
π ;
В) 4
π ;
С) 3
π ;
D) 2
π ;
Е) π .
_____________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )2,1=x , ( )1,3−=y , равна:
A) 50;
B) 51;
C) 51 ;
D) 25;
E) 325 .
____________________________________________________________
VIII. Линейные отображения и их матрицы.
36. Матрица отображения ( ) ( )zyxzxyxzyx +++−→ ,,,, равна...
А)
− 011
010
101
;
В)
− 111
010
100
;
С)
001
100
011
;
D)
− 011
110
111
;
Е)
−
111
101
011
.
_____________________________________________________________
37. Ранг отображения ( ) ( )yxxyyxtzyx −−−+→ ,,,,,, равен...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
_____________________________________________________________
38. Дефект отображения ( ) ( )yxzyxyztzyx ++−→ ,,,,,, равен...
А) 0 ;
В) 1 ;
С) 2 ;
D) 3 ;
Е) 4.
________________________________________________________________
39. Матрицей линейного оператора в базисе { }21 ,ee ′′ при
−=′
=′
212
21 2
eee
ee и матрице линейного
оператора
−
01
10 в базисе { }21 ,ee является:
A)
−12
10;
B)
−
−−
2
11
2
11
;
C)
−
−−
112
1
2
1;
D)
−
−−
2
1
2
12
3
2
1
;
E)
−
−
12
11;
__________________________________________________________
40. В пространстве многочленов базисе ( )
−−
2
1,1,1
2x
x матрица линейного оператора
дифференцирования имеет вид:
A)
000
100
010
;
B)
010
001
000
;
C)
000
110
000
;
D)
02/10
001
000
;
E)
102/1
001
000
.
______________________________________________________________
IX. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
41. Собственные значения отображения ( ) ( )zzyxzyx −−+→ ,,,, равны...
A) i±;1 ;
B) 1;0 ± ;
C) 1;0 ;
D) 1;0 − ;
E) i±;0 .
________________________________________________________________
42. Собственные векторы отображения ( ) ( )yxyyxzyx −−+→ ,,,, ,
соответствующие 1=λ , равны...
A) ( ) xxxx ∀,,, ;
B) ( ) xxxx ∀,,2, ;
C) ( ) xxx ∀− ,0,, ;
D) ( ) xxxx ∀−− ,,, ;
E) ( ) xxxx ∀− ,,2, .
_________________________________________________________________
Х. Кольца. Кольца классов вычетов, Евклидовы и факториальные кольца.
43. Решения ( )11mod85 ≡x равны…
A) Zkkx ∈+= ,114 ;
B) Zkkx ∈+= ,116 ;
C) Zkkx ∈+= ,115 ;
D) Zkkx ∈+= ,117 ;
E) Zkkx ∈+= ,118 .
_________________________________________________________________
44. Решения 12
;39 Zxx ∈=⋅ равны…
A) 10,7,3321=== xxx ;
B) 11,7,3 321 === xxx ;
C) 7,321== xx ;
D) 10,321== xx ;
E) 11,321== xx .
_________________________________________________________________
45. Многочлены ( ) 122 +−= xxxf и ( ) 12 ++= xkxxg над 3Z являются функцио-нально
равными при k , равном:
A) 1;
B) 0;
C) 2;
D) 0, 2;
E) 3Zk ∈∀ .
________________________________________________________________
ХI. Расширение полей, алгебраические и конечные расширения.
46. Элементы ( )3 5iQ однозначно представляются в виде:
А) { }QССiСС ∈+ 103
10 ,/5 ;
В) { }QССССiСС ∈++ 2103
210 ,,/5 ;
С) { }QCССССCiСС ∈+++ 32103
33
210 ,,,/255 ;
D) { }QССССiСС ∈++ 2103
23
10 ,,/255 ;
Е) Верный ответ не указан.
_________________________________________________________________
47. Степень расширения ( ) ( )[ ]5:58 QiQ равна…
А) 2;
В) 4;
С) 6;
D)8;
Е) 16. _________________________________________________________________
48. Истинными являются утверждения:
A) ( )553 Q∈ ;
B) ( )63 55 Q∈ ;
C) ( )6 55 Q∈ ;
D) ( )3 55 Q∈ ;
E) ( )5253 Q∈ .