ЕЛЕМЕНТи КОМБІНАТОРиКи 1. Правило суми і добутку · 2013....

14

ЕЛЕМЕНТи КОМБІНАТОРиКи

1.Правилосумиідобутку

Стислі теоретичні відомості

Правило суми

Класичнеформулювання

Формулюваннявтермінахтеоріїмножин

Якщо якийсь елемент множи-ни A можна вибрати n спо-собами, а елемент множи-ни B — m способами, то вибір елемента із множини A або із множини B можна зробити n m+ спосо бами.

Якщо множина A складаєть-ся з n елементів, а множи-на B — з m елементів, то ви-брати елемент із множини A або із множини B можна n m+ способами.

Приклад. У коробці 5 кольорових олівців і 7 фломастерів. Скількома способами можна вибрати один олівець або один фло-мастер?

Розв’язання

I способ II способ

Один олівець із 5 можна вибра-ти 5 способами, а один флома-стер — 7 способами. За прави-лом суми один предмет можна вибрати 5 7 12+ = спо собами.

Множина олівців складаєть-ся з 5 елементів, а множина фломастерів — із 7 елементів. Вибрати предмет із множини олівців або із множини флома-стерів можна 12 способами.

Правило добутку

Класичнеформулювання

Формулюваннявтермінахтеоріїмножин

Якщо якийсь елемент множи-ни A можна вибрати n спосо-бами, після кожного такого ви бору елемент із множини B — m способами, то пару еле-ментів із множин A і B можна вибрати m n⋅ способами.

Нехай є дві множи-

ни: A a a an= { }1 2, ,...,

і B b b bm= { }1 2, , ..., . Парою нази-

вається об’єкт вигляду a bi j,( ) ,

де i n= 1, ,… , j m= 1, ,… .

15

Елементи комбінаторики

Зрозуміло, що в таких задачах порядок розташування елемен-тів не важливий.

Якщо множина A складаєть-ся з n елементів, а множина B — із m елементів, то мож-

на скласти рівно n m⋅ пар

ви гляду a bi j,( ) , вважаючи,

що a b b ai j j i, ,( ) = ( ) , i n= 1, ,… ,

j m= 1, ,… .

Приклад. У коробці є 5 олівців і 7 фломастерів. Скількома спо-собами можна вибрати пару, яка складається із одного олівця і од-ного фломастера?



Із першої коробки один олівець можна вибрати 5 способами і кожному вибраному олівцю можна взяти до пари будь-який із 7 фломастерів. Отже, за правилом добутку маємо 5 7 35⋅ = способів.

Множина олівців складаєть-ся із 5 елементів, а множина фломастерів — із 7 елементів. За правилом добутку скласти пару із одного олівця і одного фломастера можна 5 7 35⋅ = способами.

Наслідок із правила добутку

Якщо якийсь елемент множи-ни A1 можна вибрати n1 спо-собами, після цього елемент із множини A2 можна вибрати n2 способами, ..., елемент із множини A nk k−− способа-ми, то групу елементів, яка складається з одного елемента множини A1 , одного елемента множини A2 , ..., одного еле-мента множини Ak , можна скласти n n nk1 2⋅ ⋅ ⋅… способами.

Якщо множина A1 складаєть-ся з n1 елементів, множи-на A2 — із n2 елементів, ..., множина Ak — із nk елемен-тів, то число груп вигляду

a a ai i ik1 2, , ...,( ) , де a A1 1∈ , a A2 2∈ , ..., a Ak k∈ , дорівнює n n n nk1 2 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅… .

16


Приклад. У коробці 5 олівців, 7 фломастерів і 10 листівок. Скількома способами можна скласти із одного олівця, одного фло-мастера і однієї ли стівки подарунок для першокласника?



Один олівець можна вибрати 5 способами, кожному обра-ному олівцю до пари можна 7 способами вибрати флома-стер, кожній парі одну листівку можна дібрати 10 способами. Разом маємо 5 7 10 350⋅ ⋅ = спо-собів.

Множина олівців складається із 5 елементів, множина флома-стерів — із 7, множина листі-вок — із 10 елементів. Складати-мемо різні «трійки», у яких один предмет — із множини олівців, другий — із множини фломас-терів, а третій — із множини листівок. За правилом добутку це можна зробити 5 7 10 350⋅ ⋅ = способами.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. У групі 10 дівчаток і 15 хлопчиків.Скількома способами із цієї групи можна вибрати:а) одного хлопчика;б) одного хлопчика або одну дівчинку;в) одного хлопчика і одну дівчинку?Розв’язання а) Із 15 хлопчиків одного можна вибрати 15 способами;б) за правилом суми дівчинку або хлопчика можна вибрати

10 15 25+ = способами;в) за правилом добутку пари «дівчинка і хлопчик» можна ви-

брати 10 15 150⋅ = способами.Відповідь: а) 15; б) 25; в) 150.

Приклад 2. У країні Чудес є три міста — А, Б і В. Із міста А до міста Б веде 6 доріг, а з міста Б до міста В — 4 дороги. Скількома способами можна проїхати з міста А до міста В?

Розв’язання. З А до В можна дістатися, пройшовши 2 частини шляху: з А до Б, що можна здійснити 6 способами, і з Б до В, що можливо зробити 4 способами. Скласти пари доріг: з А до Б й із Б до В можна 6 4 24⋅ = способами.

Відповідь: 24.

17


Приклад 3. У країні Чудес (див. приклад 2) побудували ще одне місто — Г і нові дороги: з А до Г — 2 дороги, із Г до В — 3 дороги. Скількома способами тепер можна дістатися з А до В?

Розв’язання. Щоб дістатися з А до В, існує два варіанти: через місто Б, що можна зробити 6 4 24⋅ = способами, або через місто Г, що можливо здійснити 2 3 6⋅ = способами.

За правилом суми всього способів 24 6 30+ = . Відповідь: 30.Приклад 4. Скількома способами можна вибрати одну голосну

й одну приголосну зі слова: а) «цукат»; б) «телефон»?Розв’язання а) Множина голосних букв слова «цукат» складається з двох

букв у а,{ } ; множина приголосних — із трьох: ц к т, ,{ } . Складаючи різні пари цих множин, одержимо 2 3 6⋅ = спо-собів;

б) множина голосних: е о,{ } , приголосних: т л ф н, , ,{ } .Разом: 2 4 8⋅ = способів. Відповідь: 8.Приклад 5. Складають автомобільні номери, що містять чотири

цифри. Скільки таких номерів можна скласти, якщо:а) використовувати 10 цифр; б) використовувати тільки непарні цифри?Розв’язання

а) I способ II способПершу цифру можемо вибрати 10 способами, після чого дру-гу — так само 10 способами, потім третю і четверту — теж 10 способами. Усього маємо 10 10 10 10 104⋅ ⋅ ⋅ = способів.

Складатимемо різні «четвір-ки» цифр, кожну з яких виби-раємо з 10-елементної мно-жини. За правилом добутку маємо 10 10 10 10 104⋅ ⋅ ⋅ = но-мерів.

б) Аналогічно маємо 5 6254 = способів.Відповідь: а) 104 ; б) 625.Приклад 6. Скількома способами із 5 конвертів, 4 марок і 6 листі-

вок можна вибрати два предмети з різними назвами?Розв’язання. Марку і конверт можна вибрати 5 4 20⋅ = способа-

ми, марку і листівку — 4 6 24⋅ = способами, конверт і листівку — 5 6 30⋅ = способами. Одну пару — або другу, або третю — за прави-лом суми можна вибрати 20 24 30 74+ + = способами.


18


Приклад 7. Монету кидають тричі. Скільки різних послідовно-стей орлів або решок можна при цьому одержати?

Розв’язання. Складатимемо різні «трійки» результатів підки-дання монети. Кожний елемент цієї «трійки» вибираємо із двох-елементної множини {орел, решка}. За правилом множення маємо 2 2 2 2 83⋅ ⋅ = = послідовностей.


Приклад 8. Підкидають одночасно два гральні кубики. Скільки різних варіантів випадання цифр може при цьому вийти?

Розв’язання. Для кожної із шести цифр першого кубика мож-лива будь-яка із шести цифр другого кубика. За правилом добутку маємо 6 6 36⋅ = варіантів.


Приклад 9. Алфавіт племені мумбо-юмбо складається з трьох літер: м, ю, б. «Словом» є будь-яка послідовність, що складається не більше ніж із 4 літер. Скільки «слів» у мові племені мумбо-юмбо?

Розв’язання. «Не більше ніж» означає, що «слово» може бути одно-, двох-, трьох- і чотирьохлітерним. «Слів», що скла-даються з однієї літери,— 3, із двох літер — 3 3 9⋅ = , із трьох — 3 3 3 27⋅ ⋅ = , із чотирьох — 3 814 = . Кількість усіх «слів» становить3 9 27 81 120+ + + = .


Приклад 10. На фермі є 20 овець і 24 свині. Скількома способа-ми можна вибрати одну вівцю й одну свиню? Якщо такий вибір уже зроблено, скількома способами його можна зробити ще раз?

Розв’язання. Перша частина задачі розв’язується прос-то — 20 24 480⋅ = способів. Після першого вибору залишилося 19 овець і 23 свині, і тепер аналогічний вибір можна зробити 19 23 437⋅ =

19 23 437⋅ = способами. Відповідь: 437.

Приклад 11. У прикладі 10 вибрали одну тварину. Скількома спо-собами після цього можна вибрати одну вівцю й одну свиню?

Розв’язання. У першому випадку могли вибрати або вівцю, або свиню. Якщо вибрали вівцю, що можна зробити 20 способами, то із решти тварин пару можна вибрати 19 24 456⋅ = способами. Якщо ж спочатку вибрали свиню, то після цього пару можна вибрати 20 23 460⋅ = способами. Усього маємо 456 460 916+ = способів.


19


Задачі для самостійного розв’язування

1. У букеті 10 троянд і 12 хризантем. Скількома способами можна вибрати із букета:

а) або одну троянду, або одну хризантему;б) одну троянду або одну хризантему;в) одну троянду й одну хризантему?

2. У магазині посуду є 5 видів чашок і 7 видів блюдець. Скілько-ма способами можна вибрати пару блюдець і чашку?

3. У магазині посуду із задачі 2 є ще 6 видів чайних ложок. Скільки існує способів скласти набір із чашки, блюдця і ложки?

4. У глядацькому залі кінотеатру всього 6 дверей. Скільки існує способів:

а) увійти до глядацького залу і вийти з нього;б) увійти до залу і вийти, але так, щоб вхід і вихід здійснюва-

лися через різні двері?

5. У глядацькому залі із задачі 4 існує ще двоє дверей до кімна-ти кіномеханіка. Скількома способами кіномеханік може потрапи-ти на робоче місце?

6. У класі 30 учнів. Щодня призначається один черговий. Скількома способами можна скласти графік чергування на 5 днів так, щоб ніхто не чергував більше одного разу?

7. Скільки існує різних телефонних номерів, якщо вважати, що кожний номер складається із 7 цифр (телефонний номер може починатися з нуля)? Як зміниться розв’язок задачі, якщо телефон-ні номери можуть бути як семи-, так і шестицифровими?

8. Кидають дві монети. Скільки різних варіантів випадання «орел — решка» може при цьому вийти?

9. Гральний кубик кидають тричі. Скільки різних послідов-ностей чисел може при цьому вийти?

10. Кожна літера азбуки Морзе — це послідовність крапок і тире. Скільки різних слів можна скласти, якщо використовувати для кожного з них:

а) 5 символів; б) не більше ніж 5 символів?

11. Скількома способами можна вказати на шахівниці:а) два білих квадрати;б) білий і чорний квадрати, якщо вони не лежать на одній го-

ризонталі або одній вертикалі?


12. У кошику 10 яблук і 12 апельсинів. Іван вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надя вибирає із фруктів, що залишилися, апельсин. Скільки можливостей такого вибору?

13. Скільки можна скласти із цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5:а) різних трицифрових чисел;б) різних трицифрових чисел, якщо цифри в них не повторю-

ються;в) різних трицифрових чисел, що діляться на 5?

14. Чотири учні одержують оцінки 2, 3, 4, 5.а) Скількома способами можна поставити їм оцінки?б) Скількома способами можна поставити оцінки так, щоб

жодні два учні не одержали однакових?в) Скількома способами можна поставити оцінки так, щоб усі

одержали 4 або 5?

20

21


2.Розміщення


Поняття факторіала

Факторіалом • натурального числа n називається добуток усіх на-

туральних чисел від 1 до n. Позначення: n n n n! = ⋅ −( ) −( )⋅ ⋅ ⋅1 2 2 1… .

Наприклад, 6 6 5 4 3 2 1 720! = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . Очевидно, що n n n! != ⋅ −( )1 .

Прийнято, що 0 1! = .

Із визначення:

1 1! = ;

2 2! = ;

3 6! = ;

4 24! = ;

5 120! = ;

6 720! =

і т. д.

Приклади

а) 6

5

6 5

56

!

!

!

!= =⋅

.

б) 10

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 78 9 10 720

!

!= = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅;

в) 20

1819 20 380

!

!= ⋅ =

20

18

18 19 20

18

!

!

!

!=

⋅ ⋅;

г) n

n

n n

nn

!

!

!

!−⋅ −

−( )= ( )

( )=

1

1

1;

д) n

n

n n n

nn n

+−

+ −−

( )( )

= ( ) ( )( )

= +( )1

1

1 1

11

!

!

!

!.

22


Розміщення

Нехай дано множину • A a a an= { }1 2, , ,… .

Кожну її впорядковану підмножину, що складається із m різ-них елементів, називають розміщенням із n елементів по m еле-ментів.

Позначення: Anm .

Читають: «розміщення з n елементів по m елементів» або «число розміщень із n елементів по m елементів».

Число розміщень із n елементів по m обчислюють за фор-мулами

A n n n n mnm = −( ) −( )⋅ ⋅ − +( )1 2 1… ; (1)

Anm n

n m= ( )−

!

!. (2)

Формула (1) застосовується у випадку, якщо можна знайти результат, а формула (2) — якщо результат важко обчислити че-рез великі числа або у випадку використання в задачі літерних змінних.

Приклад. У коробці 7 кольорових олівців. Складатимемо різ-ні впорядковані підмножини із 3 олівців, причому будь-які дві підмножини, що відрізняються порядком черги олівців, вважаємо різними. Такий вибір і є розміщенням із 7 елементів по 3, і таких можливостей вибору буде A7

3 7 6 5 210= ⋅ ⋅ = .

(Очевидно, що у цій задачі застосовується формула (1).)


Приклад 1. У класі 30 учнів. Скількома способами можна в ньо-му вибрати старосту і його заступника?

Розв’язання. Тут важливо, хто із двох обраних буде старо-стою, а хто — його заступником, тобто важливий порядок. Маємо розміщення із 30 по 2.

A302 30 29 870= ⋅ = способів.


23


Приклад 2. Прапор складається із 4 горизонтальних смуг різно-го кольору.

а) Скільки таких прапорів можна одержати, маючи у своєму розпорядженні смуги 7 кольорів (перестановки будь-яких двох кольорів дають новий прапор)?

б) Скільки таких прапорів можна одержати зі смуг 7 кольорів, якщо в усіх прапорів нижня смуга має бути однакового ко-льору?

Розв’язання а) A7

4 7 6 5 4 840= ⋅ ⋅ ⋅ = прапорів;б) розв’язання зводиться до складання триколірних прапорів,

причому кількість кольорів зменшилася до шести. МаємоA6

3 6 5 4 120= ⋅ ⋅ = прапорів. Відповідь: а) 840; б) 120.

Приклад 3. У чемпіонаті країни з футболу беруть участь 16 ко-манд. Скількома способами можна скласти трійку призерів?

Розв’язання. Оскільки на одному місці може опинитися тіль-ки одна із команд, то маємо

A163 16 15 14 5360= ⋅ ⋅ = .


Приклад 4. а) Чемпіонат країни з футболу, в якому беруть участь 16 ко-

манд, проводиться у два кола (кожна команда двічі зустрі-чається з кожною з інших). Яка кількість зустрічей буде в чемпіонаті?

б) Скільки буде зустрічей, якщо чемпіонат проводитиметься в одне коло?

Розв’язання а) У кожній зустрічі одну з команд назвемо «гостем», а дру-

гу — «хазяїном». Очевидно, кількість зустрічей дорівнює кількості впорядкованих пар «хазяїн — гість», «гість — ха-зяїн», що обираються із 16 команд.

Усього A162 16 15 240= ⋅ = зустрічей;

б) у чемпіонаті в одне коло нам потрібні тільки пари «хазяїн — гість». Тобто кількість зустрічей буде у два рази менша. Ра-

зом A162 1

2120⋅ = зустрічей.

Відповідь: а) 240; б) 120.

24


Приклад 5. Команда із трьох членів виступає на змаганнях, у яких беруть участь ще 15 спортсменів. Скількома способами мо-жуть бути розподілені місця, що посіли члени цієї команди, за умо-ви, що жодне місце не може бути поділене?

Розв’язання. Усього в змаганнях беруть участь 18 спортсменів. Будемо з 18 наявних місць вибирати 3 для членів даної команди.

A183 18 17 16 4896= ⋅ ⋅ = .


Приклад 6. Якою буде кількість способів розподілу місць у по-передній задачі, якщо відомо, що жоден із членів даної команди не посів місце нижче десятого?

Розв’язання. Вибираємо три місця із десяти, що залишилися.A10

3 10 9 8 720= ⋅ ⋅ = . Відповідь: 720.

Приклад 7. Скільки різних трицифрових натуральних чисел можна скласти із запропонованого набору цифр за умови, що жодна цифра в кожному із цих чисел не повторюється?

а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 0, 1, 2, 3, 4.Розв’язання а) Із п’ятиелементної множини складатимемо різні трьохеле-

ментні підмножини. A5

3 5 4 3 60= ⋅ ⋅ = ;б) усього трицифрових чисел буде A5

3 60= , але нас не задоволь-няють числа, які починаються з нуля, таких чисел буде A4

2 (до першої цифри «0» приєднуватимемо різні двохелементні підмножини, які складаються з чотирьох цифр, що залиши-лися). Разом: A A5

342 60 12 48− = − = чисел.


Приклад 8. Скільки різних натуральних чисел, які містять не більше ніж три знаки, можна скласти з цифр 2, 4, 6, 8?

Розв’язання. «Не більше ніж» означає, що числа можуть бути одно-, або дво-, або трицифровими. За правилом суми маємоA A A4

142

43 4 4 3 4 3 2 4 12 24 40+ + = + ⋅ + ⋅ ⋅ = + + = чисел.


Приклад 9. Скільки різних натуральних чисел можна скласти із цифр 0, 1, 2, 3, щоб до кожного такого числа кожна із цих цифр входила не більше одного разу?

25


Розв’язання. Ми вже розв’язували схожу задачу (див. при-клад 7, б), проте тепер складемо одно-, дво-, три- і чотирицифрові числа. Одноцифрових: A3

1 ; двоцифрових — A A42

31− ; трицифро-

вих — A A43

32− ; чотирицифрових — A A4

431− .

Усього чисел — A A A A A A A31

42

31

43

32

44

33 48+ − + − + − = .


Приклад 10. (Узагальнена задача.) Скільки є різних упорядкова-них підмножин множини, що складається з n елементів?

Відповідь: A A A An n n nn1 2 3+ + + +… .


1. У команді 12 членів. Скількома способами можна вибрати в ній капітана і воротаря?

2. Скільки словників треба видати, щоб можна було безпосе-редньо виконувати переклади з кожної із п’яти мов: російської, англій ської, французької, німецької та іспанської на будь-яку іншу з цих мов?

3. Розклад одного дня містить 5 уроків. Визначте кількість та-ких розкладів при виборі з 11 предметів і за умови, що один предмет займає один урок. Як зміниться розв’язування задачі, якщо відомо, що першим уроком обов’язково має бути математика?

4. Скількома способами можна вибрати з повної колоди карт (52 шт.) по одній карті кожної масті за умови, що серед вийня-тих карт немає жодної пари однакових, тобто двох королів, двох дам і т. д.?

5. Скільки різних дробів, що не дорівнюють одиниці, можна скласти з чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 так, щоб до кожного дробу входило два числа? Скільки серед них буде правильних?

6. Чотири біатлоністи з України брали участь у чемпіонаті сві-ту. Скількома способами могли бути розподілені місця, які посіли представники України, якщо:

а) жоден із них не посів місце нижче п’ятнадцятого, і жодне місце не було поділено;

б) жоден із них не посів призового місця, а всього було 15 учас-ників чемпіонату?


7. Скільки різних чотирицифрових натуральних чисел можна скласти із цифр:

а) 2, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 3, 5, 7, 9?

8. Скільки різних чотирицифрових парних чисел можна склас-ти із цифр:

а) 1, 3, 5, 7, 8;б) 2, 4, 6, 8, 9?

9. Людина має 10 друзів і протягом декількох днів запрошує двох із них у гості так, що кожен побував у неї в гостях тільки один раз. Скільки різних варіантів зустрічей вона може скласти?

10. Людина має 10 друзів і щодня запрошує декількох із них у гості (або одного), але в різний час. Скільки варіантів прийому го-стей вона може скласти, якщо жодні групи гостей не повторюються?

11. Скільки різних натуральних чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4?

26

27


3.Перестановки


Перестановкою • із n елементів називається будь-яка впорядко-вана множина з усіх цих елементів, причому дві такі множини вважаються різними, якщо вони відрізняються між собою по-рядком елементів.Позначення: Pn .Читають: кількість перестановок із n елементів.Зрозуміло, що кількість перестановок із n елементів — це чис-

ло розміщень із n елементів по n елементів, тобто вибір різних n-елеметних підмножин із n-елементної множини, кожні дві з яких відрізняються порядком елементів.

P A nn nn n

n n

n n= = ( )= = =

−!

!

!

!

!!

0 1

Приклад. Скількома способами можна розставити в шеренгу 10 людей?

Розв’язання. Маємо різні перестановки з 10 елементів:P10 10= !


Приклад 1. Скількома способами можна розставити на полиці 5 книг?

Відповідь: P5 5= !

Приклад 2. Скільки нових «слів» можна скласти з букв слова: а) «цукат»; б) «ручник»?

Відповідь: а) P5 5= ! ; б) P6 6= !

Приклад 3. Скільки чотирицифрових чисел можна скласти із за-пропонованого набору цифр, не повторюючи їх?

а) 1, 2, 3, 4; б) 0, 1, 2, 3.Розв’язання а) P4 4 24= =! ;б) від усіх чотирицифрових чисел віднімемо ті, які починають-

ся з нуля: P P4 3 4 3 18− = − =! ! .


28


Приклад 4. Скількома способами можна розставити 5 томів зібрання творів О. С. Пушкіна так, щоб:

а) перший том стояв ліворуч; б) перший том стояв зкраю;в) перший і другий томи стояли поруч;г) перший і другий томи стояли ліворуч;д) перший і другий томи не стояли поруч?Розв’язання а) Якщо перший том стоїть ліворуч, то переставляти будемо

чотири, що залишилися: P4 4 24= =! ;б) перший том може стояти ліворуч або праворуч. За правилом

суми маємо: P P4 4 48+ = ;в) об’єднаємо перший і другий томи в один. Тоді переставляти

будемо 5 2 1 4− + = книги (див. рисунок) P4 способами, при цьому перший і другий томи можна переставляти P2 спосо-бами. За правилом добутку маємо: P P4 2 4 2 48⋅ = ⋅ =! ! ;

1 2

г) перший і другий томи, об’єднані в один, будемо перестав-ляти між собою P2 способами, але в загальній перестановці трьох книг, що залишилися, вони участі не братимуть. Та-ким чином маємо: P P3 2 3 2 12⋅ = ⋅ =! ! ;

д) з усіх перестановок п’яти книг виключимо ті, у яких пер-ший і другий томи стоять поруч.

Тоді одержимо P P P5 4 2 120 48 72− ⋅ = − = .Відповідь: а) 24; б) 48; в) 48; г) 12; д) 72.

Приклад 5. На танцмайданчику зібралися N юнаків і N дівчат. Скількома способами вони можуть розбитися на пари для участі в черговому танці?

Розв’язання I спосіб: поставимо в шеренгу один навпроти одного дівчат і юна-

ків. Переставлятимемо тільки юнаків. Тоді кожен юнак опиниться напроти кожної дівчини. Таким чином, маємо P NN = ! способів.

II способ: у танцювальний зал заходить юнак — перед ним N дівчат, із яких він обирає одну, потім другий юнак — йому для ви-бору залишилася N −1 дівчина, третьому — N − 2 і т. д. За прави-

лом добутку маємо N N N N−( ) −( ) ⋅ =1 2 2 1… ! . Відповідь: N !

29


Приклад 6. Скількома способами можна пошикувати в одну ше-ренгу гравців двох футбольних команд (по 11 чоловік) так, щоб при цьому два футболісти однієї команди не стояли поруч?

Розв’язання. Футболістів однієї команди розставимо P11 способами. Між ними розставимо футболістів другої команди P11 спосо бами. При цьому першим стоятиме футболіст першої ко-манди. Потім виконаємо ті самі перестановки, але з урахуванням того, що першим тепер стоятиме футболіст другої команди. Тоді

маємо 11 11 11 11 2 112

! ! ! ! !⋅ + ⋅ = ⋅( ) .

Відповідь: 2 112⋅( )! .

Приклад 7. Скільки різних кілець, що світяться, можна утво-рити, розмістивши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважаються однаковими, якщо порядок розміщення кольорів той самий)?

Розв’язання. Оскільки лампочки розміщені по колу, то кож-не розміщення, яке відрізняється порядком розміщення кольорів, має ще 9 таких самих, утворених поворотом кільця навколо центра.

Отже, різних способів розміщення буде: P10

10

10

109= =!

!

Приклад 8. На зборах мають виступати 5 чоловік — А, Б, В, Г і Д. Скількома способами їх можна розподілити, якщо:

а) А повинен виступати перед Б;б) Б не повинен виступати до того, як виступить А?Розв’язання а) Якщо А виступає безпосередньо перед Б, то ми можемо

об’єднати їх в одну групу і тоді переставлятимемо 4 елемен-ти. Усього розподілів P4 4 24= =! ;

б) у всіх розподілах будуть пари, у яких А йде раніше Б, і нав-паки, Б йде раніше А. І таких розподілів однакова кількість.

Тому розподілів, що нас цікавлять, P

5

2

5

260= =!

способів.


1. Скількома способами можна розставити 10 людей у ше-ренгу?

2. Скільки трицифрових чисел можна скласти із чисел: а) 3, 5, 7; б) 3, 5, 0?

30


3. Скільки перестановок можна скласти із літер слова « привіт»?

4. Скількома способами можуть розподілитися місця між:а) десятьма футбольними командами;б) десятьма футбольними командами, якщо «Динамо» і «Шах-

тар» зайняли перші два місця?

5. Скількома способами можна розставити 5 книг з алгебри і 3 книги з геометрії так, щоб усі книги з одного предмету:

а) стояли поруч;б) не стояли поруч?

6. Скількома способами можна розставити книги з математи-ки і фізики так, щоб жодні дві книги з одного предмету не стояли поруч, якщо:

а) з фізики — 5 книг, з математики — 5;б) з фізики — 5 книг, з математики — 4?

7. Скільки можна зробити перестановок із n елементів a, b, c, d так, щоб елементи:

а) a, b і c стояли поруч;б) a, b і c не стояли поруч;в) a і b були обов’язково скраю;г) a і b не були скраю?

8. У купе залізничного вагона є два протилежних дивани по 5 місць у кожному. Із 10 пасажирів четверо бажають сидіти об-личчям до паровоза, троє — спиною до паровоза, а решті байдуже, як сидіти. Скількома способами можуть розміститися пасажири?

9. Скількома способами групу з восьми осіб можна розсадити за круглим столом?

10. На зборах мають виступати 5 осіб А, Б, В, Г та Д. Скілько-ма способами їх можна розподілити в списку виступаючих, якщо:

а) А виступає безпосередньо перед Б, але не першим;б) Б повинен виступити до того, як виступить А?

31


4.Комбінації


Комбінації, число комбінацій

Комбінацією • з n елементів по m елементів n m( ) називається будь-яка підмножина B множини A, що складається з m елементів, причому дві такі підмножини вважаються різними, якщо вони відрізняються складом.Позначення: Cn

m .Читають: число комбінацій із n елементів по m елементів.Комбінація відрізняється від розміщення тим, що в комбінації

в обраних підмножинах порядок елементів не важ ливий.Кількість комбінацій із n елементів по m елементів обчислюють

за формулами

Cnm A

m

n n n m

mn

m

= = ( ) ( )⋅ − − +! !

1 1…; (1)

Cnm n

m n m= ( )−

!

! !. (2)

При розв’язуванні задач зручніше використовувати формулу (1).

Основні властивості числа комбінацій

1. C Cnm

nn mn

m n m

n

n m m= ( )

= ( )=

− −−!

! !

!

! !.

2. C Cnm

nmn

m n m

n n

m m n m

n

m++ = ( )

( ) ( )= ( )

( ) ( )=

++ −

++ −

++1

1 1

1

1

1

1

1

!

! !

!

! !.

3. C C Cnm

nm

nm+ =−

+1

1 .

4. C C Cn nn0

11 1= = = .

5. C C C C Cn n n n nn n0 1 2 3 2+ + + + + =… .

Приклад. Скількома способами із класу в 30 учнів можна ви-брати трьох чергових?

Розв’язання. Із 30-елементної множини вибиратимемо трьох-елементні підмножини, причому порядок у цьому випадку не важ-

ливий. Тоді всього способів C303 30 29 28

1 2 34060= =⋅ ⋅

⋅ ⋅.

32



Приклад 1. Із класу, в якому навчається 25 учнів, потрібно ви-брати двох школярів для участі в змаганнях. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. Із 25-елементної множини вибираємо двох-елементні підмножини, порядок у яких не важливий. Маємо

C252 25 24

1 2300= ⋅

⋅= .


Приклад 2. На площині n точок розміщені так, що жодні три не лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести через ці точки?

Розв’язання. Із n точок вибираємо пари.

Усього прямих Cn

n n2 1

2= ( )−

.

Відповідь: n n −( )1

2.

Приклад 3. Перед чемпіонатом 12 капітанів:а) потиснули один одному руки. Скільки рукостискань було

зроблено?б) вирішили обмінятися вимпелами. Скільки вимпелів для

цього необхідно? Розв’язання

а) I спосіб: C122 12 11

266= =⋅

.

II спосіб: A122 1

2

1

211 12 66⋅ = ⋅ ⋅ = .

III спосіб: кожен капітан повинен зробити 11 рукостискань, усього капітанів 12, тобто всього рукостискань 11 12⋅ , але при цьому кожне рукостискання враховане два рази A B( ) ,

тому 11 12

266

⋅ = .

IV спосіб: перший капітан робить 11 рукостискань, дру-гий — 10, ..., одинадцятий — одне рукостискання. Усього 11 10 1 12 5 6 66+ + = ⋅ + =… ;

33


б) I спосіб: кожній команді необхідно підготувати 11 вимпе-лів. Усього команд 12. Разом 11 12 132⋅ = вимпели.

II спосіб: із 12-елементної множини вибираємо різні впо-рядковані двохелементні підмножини («ти мені, я тобі»). Одержуємо A12

2 12 11 132= ⋅ = .

III спосіб: C122 2 66 2 132⋅ = ⋅ = .


Приклад 4. Рота складається з 3 офіцерів, 6 сержантів і 60 ря-дових. Скількома способами можна виділити з них загін, що скла-дається з офіцера, 2 сержантів і 20 рядових?

Розв’язання. Офіцерів вибираємо C31 способами, сержантів —

C62 , рядових — C60

20 .

За правилом добутку маємо C C C31

62

6020 3

6 5

2

60 59 41

20⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅…

!.

Відповідь: 36 5

2

60 59 41

20⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅K

!.

Приклад 5. Шаховий гурток відвідують 2 дівчинки і 7 хлоп-чиків. Для участі в змаганнях необхідно скласти команду з чоти-рьох членів, до якої обов’язково має входити хоча б одна дівчинка. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. «Хоча б одна» означає одна або дві дівчин-ки. Якщо до команди увійде одна дівчинка, яку можна вибрати C2

1 способами, то хлопчиків можна вибрати C73 способами. Усього

C C21

73⋅ способів. Якщо до команди увійдуть дві дівчинки, яких мож-

на вибрати C22 способами, то хлопчиків можна вибрати C7

2 способа-ми. Усього C C2

272⋅ способів.

За правилом суми маємо всього

C C C C21

73

22

72 2 1

1

7 6 5

1 2 3

2

2

7 6

291+ = ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅!

! спосіб.


Приклад 6. У одного хлопчика є 6 книг з математики, а у іншо-го — 8. Скількома способами вони можуть обміняти три книги одно-го на три книги іншого?

Розв’язання. C C63

83 6 5 4

1 2 3

8 7 6

1 2 320 56 1120⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

.


34


Приклад 7. Три стрільці повинні влучити по 15 мішеням (ко-жен по 5). Скількома способами вони можуть розподілити мішені між собою?

Розв’язання. Для першого стрільця існує C155 різних варіантів,

другому залишиться 10 мішеней, із яких він може зробити вибір C10

5 способами, третьому — решта 5.

Усього способів: C C C155

105

55 756756⋅ ⋅ = .

Відповідь: 756 756.

Приклад 8. Із 15 працівників фірми директорові необхідно вибрати бухгалтера, його помічника, двох менеджерів і чотирьох кур’єрів. Скількома способами він може це зробити?


I спосіб: C C C C151

141

132

114 15 14 5405400

13 12

2

11 10 9 8

4⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

!.

II спосіб: A C C152

132

114 5405400⋅ ⋅ = .

Відповідь: 5 405 400.

Приклад 9. Є колода з 36 карт. Скількома способами можна ви-тягнути 6 карт так, щоб:

а) був рівно один туз;б) не було жодного туза;в) був хоча б один туз;г) серед цих шести був рівно один туз і один король;д) серед цих шести були туз і король однієї масті.Розв’язання а) Туз із колоди можна вибрати C4

1 способами. Будемо вибира-ти решту 5 із 32 карт, тому що тузи нам уже не потрібні. Це можна зробити C32

5 способами. Тоді маємо:

C C41

325 4 32 31 30 29 28

1 2 3 4 5805504⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅;

б) необхідні 6 карт вибиратимемо із колоди без тузів, тобто C32

6 906192= способами;

в) I спосіб: від усіх можливостей вибору по 6 карт, а таких C366 ,

віднімемо ті варіанти, у яких взагалі немає тузів, тобто C326 ,

тоді залишаться випадки, де серед шести буде «хоча б один туз»: C C36

6326 1041600− = ;

35


II спосіб: якщо туз один, то виборів буде C C41

325⋅ , якщо два —

C C42

324⋅ , три — C C4

3323⋅ , чотири — C C4

4322⋅ . За правилом суми

маємо: C C C C C C C C41

325

42

324

43

323

44

322 1041600⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ;

г) туз можна вибрати C41 способами, короля — C4

1 , а решта 4

із колоди без тузів і королів — C284 .

Усього способів C C C41

41

284 4 4 327600

28 27 26 25

2 3 4⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅;

д) C C41

284 81900⋅ = .

Відповідь: а) 805 504; б) 906 192; в) 1 041 600; г) 327 600; д) 81 900.

Приклад 10. У лотереї «5 із 36» головний виграш одержить той, хто вгадає всі 5 номерів. Той, хто вгадає 4, 3 або 2, одержує менший виграш. Скільки може бути різних карток, де вгадано:

а) 4 номери; б) 3 номери?Розв’язанняа) Варіантів угадування «правильних» 4-х номерів існує C5

4 . До цих 4 приєднаємо ще один «неправильний», який можна вибрати C31

1 способами. Усього C C54

314 155⋅ = карток;

б) C C53

312 5 4

2

31 32

24650⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

.

Зауваження. C C54

51= , C C5

352= .


Приклад 11. Скільки різних дільників має число 2310?Розв’язання. Розкладемо число 2310 на прості множники

і складатимемо їх різні добутки (від 1 до 5 множників), тобто скла-датимемо різні підмножини. 2310 2 3 5 7 11= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ — усього п’ять множників. Тоді маємо: C C C C C C5

051

52

53

54

55 32+ + + + + = .

Зверніть увагу, що всі множники числа 2310 різні. Відповідь: 32.

Приклад 12. Людина має 6 друзів. Щодня вона запрошує до себе трьох із них так, що компанія жодного разу не повторюється. Скіль-ки для цього їй потрібно днів?

Розв’язання. C63 6 5 4

2 320= =⋅ ⋅

⋅ (днів).


36



1. Скількома способами можна вибрати трьох чергових із кла-су, в якому навчається 20 учнів?

2. Скільки можна побудувати трикутників, якщо за їхню вер-шину брати вершини правильного 12-кутника?

3. Скількома способами можна вибрати з 15 різних слів набір, що складається не більше ніж із 5 слів (зміст не важливий)?

4. У мами 2 яблука і 3 груші. Щодня протягом п’яти днів по-спіль вона видає по одному фрукту. Скількома способами це може бути зроблено?

5. Як зміниться розв’язання попередньої задачі, якщо до існу-ючих фруктів додати 4 банани?

6. П’ятеро друзів при святкуванні Нового року завжди обмі-нюються поцілунками і подарунками.

а) Скільки поцілунків ви зможете нарахувати?б) Скільки подарунків необхідно для святкування Нового

року?

7. У класі навчаються 14 хлопчиків і 10 дівчаток. Для приві-тання гостей необхідно вибрати чотирьох хлопчиків і трьох дівча-ток. Скількома способами це можна зробити?

8. Скількома способами можна:а) розбити 15 осіб на три команди по 5 осіб у кожній;б) вибрати з 15 осіб дві команди по 5 осіб?

9. Як зміниться розв’язання задачі 7, якщо необхідно вибрати трьох учнів для привітання, серед яких буде:

а) хоча б одна дівчинка;б) представники обох статей?

10. В одного учня є 7 книг з історії культури, а в іншого — 5 книг з філософії. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

11. Є колода із 36 карт. Скількома способами можна витягнути 8 карт так, щоб:

а) було рівно два тузи;б) було хоча б два тузи;в) не було жодного туза, жодного короля;г) були туз і король різних мастей?

37


12. У лотереї «6 із 49» головний приз дістанеться тому, хто вга-дав усі шість номерів. Менший виграш одержать ті, хто вгадав 5, 4 або 3 номера.

Скільки може бути різних карток, де вгадані:а) усі 6 номерів;б) 4 номери;в) хоча б 4 номери?

13. Людина має 10 друзів і протягом декількох днів запрошує:а) трьох із них;б) деяких із них так, що компанія жодного разу не повто рю-

ється.Скільки днів вона може так робити?

14. Скільки різних дільників має число 510?

15. Для премій з математичної олімпіади виділено три примір-ники однієї книги, два примірники другої і один примірник третьої. Скількома способами можуть бути вручені премії, якщо в олімпіаді брало участь 20 чоловік і нікому не дають два примірники однієї книги, але можуть бути вручені дві або три різні книги?

38


5.Розміщеннязповтореннями


Розміщеннямізповтореннями • з n різних елементів по m еле-ментів називається кожна його впорядкована підмножина, що складається з m елементів, у якій елементи можуть повторю-ватися.

Позначення: A nnm m= .

Приклад. У школу прийшли три нові дев’ятикласники. Скількома способами їх можуть зарахувати до школи, якщо у пара-лелі 9-х класів 4 класи?

Розв’язання. Кожен із учнів може потрапити або в перший, або в другий, або в третій, або в четвертий клас. Тобто для кожного учня існує 4 можливості. Разом за правилом добутку маємо 4 4 4 43⋅ ⋅ = .

Очевидно, що в задачах на розміщення з повтореннями m може бути більше n.

Класична задача. У кожний із n ящиків може бути поміщений будь-який із m об’єктів. Скільки є варіантів такого розподілу?

Розв’язання. Перший об’єкт може бути поміщений у кожний із n ящиків, тобто існує n способів розподілу. Для другого об’єкта також існує n ящиків — n способів, і так для всіх об’єктів. Усього

за правилом добутку маємо: n n nm

nm⋅ ⋅ ⋅ =… способів.


Приклад 1. На першому поверсі в ліфт сіло 10 осіб. Ліфт підні-мається до 6 поверху, і на кожному поверсі можуть виходити люди. Скількома способами можуть бути розподілені пасажири на 6 по-верхах?

Розв’язання. Перший пасажир може вийти на 2, 3, ..., 6-му поверхах. Усього 5 способів. Так само для другого, третього і реш-ти пасажирів є по 5 способів розподілу. Тоді маємо всього 510 спо-собів.

У даній задачі поверхи — це «ящики» (див. класичну задачу), а пасажири — «об’єкти», що розкладаються по «ящиках».

Відповідь: 510 .

39


Приклад 2. Ліфт, у якому 9 пасажирів, може зупинитися на 10 поверхах. Пасажири виходять групами по дві, три і чотири особи. Скількома способами вони можуть вийти, якщо ліфт не по-вертається на поверх, на якому вже був?

Розв’язання. Умова цієї задачі відрізняється від попередньої обмеженням на групи, а саме 2, 3 і 4 особи. Складатимемо ці гру-пи. Вийде C C C9

273

44⋅ ⋅ способів складання груп. Також має значення,

на якому поверсі вийде та чи інша група, тобто важливий порядок слідування груп. Розподілити їх по поверхах можна A10

3 спо собами. Усього маємо A C C C10

392

73

44 907200⋅ ⋅ ⋅ = способів.

Відповідь: 907 200.Приклад 3. Скільки різних п’ятисимвольних букв можна

скласти: а) із крапок і тире; б) крапок, тире і двокрапок?Розв’язання а) Маємо розміщення з повтореннями із двох по п’ять:

A25 52 32= = букви;

б) A35 53 243= = букви.

Відповідь: а) 32; б) 243.Приклад 4. Скільки різних п’ятицифрових автомобільних но-

мерів можна скласти, якщо використовувати:а) 10 цифр;б) 10 цифр, але номер не може починатися з нуля;в) 10 цифр, але до цифр праворуч додаються 3 букви російсько-

го алфавіту (без букв ь, ъ, ы, й — 29 букв);г) не менше 10 цифр.Розв’язання а) На кожному з 5 місць може опинитися кожна з 10 цифр.

Усього 10 1000005 = номерів;б) на першому місці може опинитися кожна з 9 цифр, а на ін-

ших — кожна із 10. Усього 9 10 900004⋅ = ;в) 10 295 3⋅ номерів;г) одноцифрових номерів — 101 , двоцифрових — 102 і т. д.

Усього 10 10 10 10 10 10 11 2 3 4 5 510 10 1

9

10

9

5

+ + + + =( )

= −( )− но-

мерів.

Відповідь: а) 100 000; б) 90 000; в) 10 295 3⋅ ; г) 10

910 15 −( ) .

40


Приклад 5. Є 5 ручок і 3 олівці. Скільки є комбінацій для вибору кількох предметів так, щоб серед обраних були і ручки, і олівці?

Розв’язання I спосіб: кожен олівець або входить, або не входить до потріб-

ної комбінації. Тому маємо 23 способів вибору олівців. Оскільки хоча б один олівець має бути обраний, то виключимо той випадок, коли жоден олівець не обраний, одержуємо 8 1 7− = .

Аналогічні міркування проводимо для вибору ручок: 31 комбі-нація.

За правилом добутку маємо 7 31 217⋅ = .II спосіб: складемо різні двох-, трьохелементні множини,

пам’ятаючи при цьому, що до кожної множини входить хоча б одна ручка або один олівець. Маємо двохелементних множин C C5

131 ,

трьох елементних — C C C C52

31

51

32⋅ + ⋅ , ..., восьмиелементних — C C5

531⋅ .

Усього C C C C C C C C51

52

53

54

55

31

32

33 31 7 217+ + + +( ) + +( ) = ⋅ = комбі націй.


Приклад 6. Палітурник повинен переплести 10 різних книг у червону, зелену і синю палітурки. Скількома способами він може це зробити, якщо в кожен колір має бути переплетена хоча б одна книга?

Розв’язання. Цю задачу доцільно розв’язувати «навпаки», тобто 10 книг можна переплести у 3 кольори 310 способами. Якщо для переплетення книг використовувати 2 кольори, то це буде 3 210⋅ способів (червоний і зелений — 210 , червоний і синій — 210 , зеле-ний і синій — 210 ).

Якщо ж переплітати книги якимось одним кольором, то таких варіантів буде 3. Тепер віднімемо від загального числа способів пе-реплетення у 3 кольори ті варіанти, коли використовується не біль-ше двох кольорів і один колір: 3 3 2 310 10− ⋅ − .

Відповідь: 3 3 2 310 10− ⋅ − .

Приклад 7. Групі з 10 туристів (4 дітей і 6 дорослих) запропону-вали відвідати 5 музеїв, причому до двох із них дітей не пускають. Скільки існує способів розподілу туристів по музеях?

Розв’язання. Діти можуть відвідати тільки 3 музеї із запропо-нованих, для них існує 34 способів, а дорослі — всі 5, для них — 56 способів. Усього маємо 3 54 6⋅ способів.

Відповідь: 3 54 6⋅ .

41



1. Двох братів привели у Будинок дитячої творчості, де пра-цює 5 різних гуртків. Скільки є варіантів для зарахування хлоп-ців до гуртків, якщо кожен хлопчик може відвідувати тільки один гурток?

2. Номери трамвайних маршрутів колись позначали двома ко-льоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна по-значити, якщо використовувати ліхтарі шести кольорів?

3. Два листоноші повинні рознести 8 листів за вісьмома адреса-ми. Скількома способами вони можуть розподілити цю роботу?

4. Поїзд метро робить 10 зупинок, не враховуючи початкової, під час яких виходять усі пасажири і не заходять нові. Скількома способами можуть бути розподілені між цими зупинками 200 паса-жирів, які ввійшли у поїзд на початковій зупинці?

5. Номер автомобільного причепа складається із двох букв і чо-тирьох цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використову-ючи 20 букв і 10 цифр?

6. Трамвайні маршрути позначають одним, двома або трьома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна скласти, якщо використовувати ліхтарі шести кольорів?

7. Є 6 різних троянд і 3 різні гілки папороті. Скільки існує варіантів вибору квітів за умови, що у виборі беруть участь і троян-ди, і папороть? (Слід врахувати, що одна троянда й одна папороть обов’язково мають бути обрані.) Як зміниться розв’язування задачі, якщо додасться 5 різних ромашок, які також будуть брати участь у виборі?

8. Четверо юнаків і дві дівчини вибирають спортивну секцію. Секцію хокею і боксу — тільки юнаки, художньої гімнастики — тільки дівчата, а гандбол і баскетбол — і юнаки, і дівчата. Скілько-ма способами можуть розподілитися між секціями ці шість осіб?

9. У шаховій зустрічі беруть участь дві команди по 8 членів у кожній. Кожна пара суперників і колір фігур визначаються же-ребкуванням. Яка кількість різних результатів жеребкування?

42


6.Перестановкизповтореннями


Нехай є множина, що складається із n елементів, серед яких знайдеться m однакових. Скільки різних перестановок вийде з цих елементів?

Зрозуміло, що деякі з перестановок збігатимуться через пов-торювані елементи. Шукана кількість перестановок буде меншою за число перестановок із n елементів у стільки разів, скільки пере-становок можна зробити з m елементів, тобто у m ! разів.

Якщо шукане число перестановок x і воно менше за число всіх

перестановок у m ! разів, то x m n⋅ =! ! ⇒ xn

m= !

!. Якщо в даній мно-

жині знайдеться інша група однакових елементів кількістю k, то,

міркуючи аналогічно, одержимо xn

m k= !

! !.

Якщо в деякій множині з n елементів знайдеться k груп од-

накових елементів n n nk1 2, , ,…( ) , де n n n nk1 2+ + + =… , то кіль-

кість перестановок дорівнюватиме n

n n nk

!

! ! !1 2 …

і позначатиметься

Pn n nk1… , .

Приклад. Скількома способами можна переставити букви слова: а) «телефон», б) «коробок»?Розв’язання а) У слові «телефон» 2 однакові букви («е»). Тоді кількість пе-

рестановок P2 7

7

22520,

!

!= = ;

б) із семи букв 2 букви «к» і 3 букви «о». P2 3 7

7

2 3420, ,

!

! != =

⋅.


Приклад 1. П’ятицифровий телефонний номер складається із двох трійок і трьох четвірок, але в якому порядку вони стоять, хлопчик забув. Скільки йому потрібно зробити спроб, щоб напевно додзвонитися своєму другові?

43


Розв’язання. P2 3 55

2 310, ,

!

! != =

⋅ (спроб).


Приклад 2. Скільки різних «слів» можна одержати перестанов-кою букв у слові:

а) «конец»; б) «колесо»; в) «перекрёсток»?

Відповідь: а) P5 5= ! ; б) P2 6

6

2,

!= ; в) P2 2 2 11

11

2 2 2, , ,

!

! ! !=

⋅ ⋅.

Приклад 3. Скількома різними способами можна в 9 клітинках розмістити букви а, а, а, б, б, б, в, в, в?

Відповідь: 9

3 3 31680

!

! ! !⋅ ⋅= .

Приклад 4. Скількома способами можна розставити 20 книг на 5 полицях, кожна з яких може вмістити всі 20 книг?

Розв’язання. Розмістимо полиці в ряд, тоді до 20 книг до-дасться 4 перетинки, тобто 4 однакових елементи. Кількість пере-

становок дорівнює P4 24

24

4,

!

!= .


4

!

!.

Приклад 5. Клоун кидає 10 кілець на 6 стрижнів. Скільки варіантів потрапляння кілець на стрижні може вийти, якщо клоун жодного разу не промахнувся?

Розв’язання. До 10 кілець додається 5 проміжків між кільця-

ми. Тоді маємо P5 15

15

5,

!

!= .


5

!

!.


1. Знайдіть кількість різних чотирицифрових чисел, які мож-на одержати при перестановці цифр 2, 2, 4, 4.

2. Скільки різних «слів» можна утворити перестановкою букв слова:

а) «змея»; б) «змеелов»; в) «заземление»?

3. Скільки шестицифрових чисел можна скласти із двох «п’ятірок» і чотирьох «сімок»?


4. Скількома способами можна розставити 28 предметів на 4 різних підставках так, щоб:

а) на кожній підставці було по 7 предметів;б) довільним чином (кожна підставка може вмістити всі

28 предметів)?

5. Скількома способами можна надіти 5 різних кілець на паль-ці однієї руки, крім великого пальця?

6. Скількома способами можна розставити білі фігури (2 коня, 2 слона, 2 тури, ферзя і короля) на першій лінії шахівниці?

44

45


7.Комбінаціїзповтореннями


Комбінаціязповтореннями з m елементів по n елементів може містити будь-який елемент скільки завгодно разів від 1 до p включ-но або не містити його зовсім.

Інакше кажучи, кожна комбінація з повтореннями з m елемен-тів по n елементів може складатися не тільки з n різних елементів, але з n яких завгодно і як завгодно повторюваних елементів.

Позначення: C Cmn

n mn= + −1 .

Приклад. Нехай є 5 різних видів марок і потрібно скласти з цих елементів комбінації по 3 елементи з повтореннями (тобто до ком-плекту можуть входити три однакові марки).

Розв’язання. Маємо сполучення з 5 елементів по 3 з повторен-

нями: C C C53

5 3 13

73 7 6 5

1 2 335= = = =+ −

⋅ ⋅⋅ ⋅

.

C C Pmn

m nn

m n n m

m n

n m= = ( )

( )=+ − + − −

+ −−1 1 1

1

1

!

! !, , , тобто задачі на комбінації

з повтореннями іноді можна звести до задач на перестановки з по-втореннями, що було докладно розглянуто раніше (див. приклади 4 і 5 із попереднього підрозділу).


Приклад 1. Знайти кількість комбінацій із повтореннями з чо-тирьох елементів a, b, c, d — по 3 елементи.

Розв’язання. C C C43

4 3 13

63 6 5 4

1 2 320= = = =+ −

⋅ ⋅⋅ ⋅

.


Приклад 2. У відділенні зв’язку продаються листівки 10 видів. Скількома способами можна купити в ньому 12 листівок?

Розв’язання. Оскільки листівки можуть бути однаковими, то маємо сполучення з повтореннями C C C10

1210 12 112

2112= =+ − .

Відповідь: C2112 .


Приклад 3. Скільки існує трикутників, довжини сторін яких на-бувають одного зі значень: 4, 5, 6, 7, 8?


73 7 6 5

1 2 335= = =⋅ ⋅

⋅ ⋅.


Приклад 4. Скільки можна побудувати різних прямокутних паралелепіпедів, довжина кожного ребра яких є цілим числом від 1 до 10?


123 12 11 10

1 2 3220= = =⋅ ⋅

⋅ ⋅.



1. Знайдіть кількість комбінацій із повтореннями з шести еле-ментів: а, б, в, г, д, е — по 4 елементи.

2. У кондитерському магазині є тістечка чотирьох видів: завар-ні, пісочні, «наполеон» і «корзинка». Скількома способами можна купити в ньому 10 тістечок?

3. Скільки існує п’ятикутників, довжини сторін яких набува-ють значення з набору чисел 4, 5, 6, 7?

46

47

8.Підсумковатаблиця(алгоритмрозв’язуваннякомбінаторнихзадач)

Вибір правила

A або B A і B

Правило суми Правило добутку

Вибір формули

Чи враховується порядок розміщення елементів?

Так

Усі елементи беруть участь?

Так Ні Ні

Перестановки

без по-вторень

з повторен-нями

P nn = ! Pn k ks

n

k ks

, , ,

!

! !

1

1

…

…

=

=

k k ns1 + + =…

Розміщення

без по- вторень

з повто-реннями

Anm n

n m= ( )−

!

!

A n n

n m

nm = −( ) ×

× − +( )1

1…

A nnm m=

Комбінації

без по- вторень

з повто-реннями

Cnm n

m n m= ( )−

!

! !

Cnm A

mn

m

=!

C Cnm

n mm= + −1


48


Самостійна робота

Iваріант(з розв’язаннями)

У завданнях 1—2 виберіть одну правильну, на вашу думку, від-повідь.

1. Вставте пропущене слово: розміщення з m елементів по n еле-ментів — це будь-яка ... підмножина m-елементної множини, що містить n елементів.

А Б

упорядкована невпорядкована

Розв’язання. У розміщенні важливий порядок.

Відповідь: А.

2. Кожна з перестановок, утворена з 5-елементної множини, містить елементів:

А Б В Г Д

125 25 5 10 120

Розв’язання. У перестановках беруть участь усі елементи.

Відповідь: В.

3. Обчисліть кількість комбінацій із 7-елементної множини по 3 елементи в кожній.

Розв’язання. C73 7 6 5

1 2 335= =⋅ ⋅

⋅ ⋅.


4. Скількома способами можна розмістити 6 ліхтарів у но-ворічній гірлянді?

Розв’язання. Розміщення ліхтарів у гірлянді — це перестанов-ки 6 елементів. P6 6 720= =! .


5. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Розв’язання. Вибираємо різні впорядковані 3-елементні під-множини із 5-елементної множини. A5

3 5 4 3 60= ⋅ ⋅ = . Відповідь: 60.

6. Скількома способами можна скласти команду із 2 дівчаток і 3 хлопчиків для участі в олімпіаді, якщо є 10 дівчаток і 12 хлоп-чиків?

49


Розв’язання. Двох дівчаток із 10 можна вибрати C102 способа-

ми. Трьох хлопчиків із 12 — C123 способами. За правилом добутку

маємо C C102

123 10 9

1 2

12 11 10

1 2 35 9 6 11 10 9900⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

.


IIваріантУ завданнях 1—2 виберіть одну правильну, на вашу думку, від-

повідь.

1. Вставте пропущене слово: кожна перестановка, утворена з елементів деякої множини,— це ... множина.

А Б

упорядкована невпорядкована

2. Із елементів 5-елементної множини можна утворити різних неупорядкованих підмножин:

А Б В Г Д

10 25 16 32 120

3. Чому дорівнює кількість перестановок із 4 елементів?

4. Скількома способами можна вибрати двох учасників естафе-ти 100 200× із 6 спортсменів?

5. На площині 20 точок розмістили так, що жодні 3 не лежать на одній прямій. Скільки різних прямих можна провести через ці точки?

6. Скількома способами можна розставити на полиці 5 синіх і 3 зелені книги так, щоб зелені завжди стояли поруч?

IIIваріантУ завданнях 1—2 виберіть одну правильну, на вашу думку, від-

повідь.

1. Вставте пропущене слово: комбінацією з m елементів по n елементів називають будь-яку ... підмножину, що містить n елементів.

А Б

упорядковану невпорядковану

50


2. Перестановка із n елементів — це:

А Б В Г Д

розміщення по n елемен-тів із m еле-

ментів

розміщення по n елемен-тів із n еле-

ментів

комбінація по n елемен-тів із m еле-

ментів

комбінація по n елемен-тів із n еле-

ментів

ані роз-міщення, ані комбі-

нація

3. Обчисліть кількість розміщень із 7-елементної множини по 3 елементи в кожному.

4. Скількома способами можна вибрати два ліхтарі для но-ворічної гірлянди з наявних шести?

5. Скільки елементів містить множина, якщо кількість усіх можливих перестановок із її елементів не перевищує 120?

6. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 0, 2, 5, 6, 9, не повторюючи їх?

Контрольна робота 1

IваріантУ завданнях 1—5 виберіть одну правильну, на вашу думку, від-

повідь.

1. Кількість розміщень із n елементів по m елементів обчис-люється за формулою:

А Б В Г Д

P nn = ! P mm = ! Anm n

n m= ( )−

!

!Cn

m n

m n m= ( )−

!

! !n m⋅

2. Якщо при виборі елементів не враховується порядок і не всі елементи беруть участь у виборі один раз, то це:

А Б В Г Д

комбіна-ція

розміщення перестановкарозміщення з повторен-

нями

перестанов-ки з повто-

реннями

3. Скількома способами із букета, що складається з 5 троянд і 7 гвоздик, можна вибрати або троянду, або гвоздику?

А Б В Г Д

5 7⋅ 2 5⋅ 7 5− 5 7+ 2 7+

51


4. Обчисліть C72 .

А Б В Г Д

7 2 14⋅ = 7 6 42⋅ = 7 6 5 4 3 2520⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 7 6 5 4 3 2520⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 7 2 9+ = 7 6

1 221

⋅⋅

=

5. Виберіть правильну рівність.

А Б В Г Д

A A52

53= C C6

166= C C6

165= A A5

155= C C6

065=

6. Скількома способами можна розподілити призові місця се-ред 10 команд, що змагаються?

7. Скількома способами можна вибрати 4 олівці й 2 ручки з 6 різних олівців і 5 різних ручок?

8. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб жодна цифра не повторювалася?

9. Скільки різних «слів» можна скласти з букв слова «ймо-вірність»?

10. Підкидають два гральні кубики. Скільки є можливих варіан-тів випадання різних цифр на кубиках?

11. Між шістьма гравцями в карти порівну розподіляються 36 карт. Скількома способами можуть розподілитися карти?

12. Скільки існує різних шестицифрових номерів, якщо номер не може починатися з нуля?

IIваріантУ завданнях 1–5 виберіть одну правильну, на вашу думку, від-

повідь.1. Число комбінацій із n елементів по m елементів обчислюєть-

ся за формулою:

А Б В Г Д

P nn = ! P mm = ! Anm n

n m= ( )−

!

!Cn

m n

m n m= ( )−

!

! !n m⋅

2. Якщо при виборі елементів ураховується порядок, але бе-руть участь не всі елементи і без повторень, то це:

А Б В Г Дкомбіна-

ціярозміщен-

няпереста-

новкарозміщення

з повтореннямкомбінація

з повторенням

52


3. Скількома способами із букета, що складається з 5 троянд і 7 гвоздик, можна вибрати одну троянду й одну гвоздику?

А Б В Г Д

5 7⋅ 2 7⋅ 7 5− 5 7+ 2 7+

4. Обчисліть A72 .

А Б В Г Д

7 2 14⋅ = 7 6 42⋅ = 7 6 5 4 3 2520⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 7 6 5 4 3 2520⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 7 2 9+ =

7 6

1 221

⋅

⋅=

5. Виберіть правильну рівність.

А Б В Г Д

C Pnm

n m= ,Cn

m A

mn

m

=!

C Anm

nm= P An n

m= P An m nm

, =

6. Скількома способами можна відправити на екскурсію чо-тирьох осіб із групи в 10 осіб?

7. Скільки різних «слів» можна скласти з букв слова «соче-тание»?

8. Скількома способами можна розставити в шеренгу 5 дівчат і 7 юнаків, щоб усі дівчата стояли скраю?

9. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб жодна цифра не повторювалася?

10. Скількома способами з колоди в 36 карт можна витягнути 5 так, щоб серед них була одна дама?

11. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 0, 1, 2, 3, якщо в записі кожного з цих чисел одна й та сама цифра може повторитися кілька разів?

12. 12 студентів слід рівномірно розподілити по трьох різних групах. Скількома способами це можна зробити?

ЕЛЕМЕНТи КОМБІНАТОРиКи 1. Правило суми і добутку · 2013....

Documents