Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Саратовский государственный социально-экономический университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению подготовки

080100.62 «Экономика»

Саратов 2013

УДК 330.4 ББК 65в631 Э40

Составитель

доцент кафедры прикладной математики и информатики, кандидат экономических наук

М.Г. Тиндова

Э40 Экономико-математическое моделирование: учебное по-

собие для студентов, обучающихся по направлению подготовки 080100.62 «Экономика» / сост. М.Г. Тиндова / Саратовский государ-ственный социально-экономический институт. − Саратов, 2013. − 72 с.

Рекомендует к печати редакционно-издательский совет СГСЭУ 23 октября 2012 г.

Рецензенты: доктор экономических наук, профессор В.В. Носов,

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Молчанов УДК 330.4 ББК 65в631

Саратовский государственный социально-экономический

университет, 2013

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................................................................................................. 4 Составление математических моделей ............................................................... 5 Глава 1 Статические макроэкономические модели ................................. 17

§ 1 Оценка качества модели ............................................................................... 17 § 2 Модели поведения потребителей .......................................................... 19

2.1. Функция спроса .......................................................................................... 19 2.2. Уравнение Слуцкого ............................................................................... 22 2.3. Функция полезности .............................................................................. 25

§ 3 Модели поведения производителей ..................................................... 30 3.1. Предельная норма замещения и эластичность производства .................................................................... 30 3.2. Изокванты и изокосты .......................................................................... 33

§ 4 Модели взаимодействия потребителей и производителей (теория конкурентного равновесия) ................ 38 § 5 Модели сотрудничества и конкуренции фирм .............................. 42 § 6 Статические модели межотраслевого баланса .............................. 48

6.1. Модель Леонтьева .................................................................................... 48 6.2. Коэффициенты прямых, полных и косвенных затрат .......................................................................................... 50 6.3. Агрегирование в межотраслевом балансе. Ошибка агрегирования .................................................................................. 52

Глава 2 Динамические макроэкономические модели ............................. 56 § 7 Общие модели развития экономики (модели экономического роста) ..................................................................... 56 § 8 Динамические модели межотраслевого баланса .......................... 60

8.1. Динамическая модель В. Леонтьева.............................................. 60 8.2. Магистральная теория Неймана ..................................................... 66

Список рекомендуемой литературы ................................................................... 71

4

ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебное пособие является сборником заданий по ма-

тематическому моделированию для студентов, обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика». Учебное пособие разработа-но в соответствии с рабочей программой дисциплины «Экономико-математическое моделирование».

Изложение материала начинается с общих вопросов математи-ческого моделирования, в частности с составления математических моделей экономических задач.

Основная часть учебного пособия посвящена разделам матема-тической экономики: моделям неоклассической теории потребле-ния и производства, общего экономического равновесия, экономи-ки роста и благосостояния, моделям экономики при несовершен-ной конкуренции. Работа состоит из восьми параграфов, которые сгруппированы в две главы, первая из которых посвящена стацио-нарным макроэкономическим моделям, вторая – динамическим.

Теоретические положения учебного пособия подкрепляются бо-гатым материалом модельных и содержательных примеров из раз-личных сфер современной рыночной экономики.

Задания, а также варианты контрольных работ, представленные в учебном пособии, направлены на развитие общекультурных и профессиональных компетенций, связанных с применением мате-матических методов для решения задач экономики и управления.

Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов.

5

СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Пример 1. Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что техно-логический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов с уче-том того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Решение. Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологи-

ческий процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида про-дукта.

Обозначим известные величины: iс – спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n); ija – количество i-го продукта, необходимое для выпуска едини-

цы j -го продукта по данной технологии ( i=1,...,n ; j=1,...,n); Обозначим неизвестные величины:

ix – объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n). При этом совокупность с =(c1 ,...,cn) называется вектором спро-

са, числа aij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х1 ,...,хn) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на ко-нечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х-с ).

Вычислим ту часть вектора х, которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства хj количества j-го то-

вара идет aijхj количества i-го товара. Тогда сумма ai1х1 +...+ ainхn по-казывает ту величину i-го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х1,...,хn).

Следовательно, должно выполняться равенство: nin11iii xa...xacx ++=−

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, прихо-дим к искомой модели:

nnn11nnn

nn212122

nn111111

xa...xacx.............................................xa...xacx

xa...xacx

++=−

++=−++=−

6

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х1 ,...,хn, и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того чтобы написать эту модель в более компактной (век-торной) форме, введем обозначения:

Квадратная (nxn) – матрица А называется технологической

матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так: х-с=Ах или х-Ах=с.

Мы получили классическую модель «Затраты-выпуск», автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 2. Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сор-

тами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В – 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обо-значим Б) и мазут (М). Имеется три варианта технологического про-цесса переработки:

I. 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М II. 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М III. 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М Цена бензина – 10 долл. за единицу, мазута – 1 долл. за единицу. Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологи-

ческих процессов переработки имеющегося количества нефти. Решение. Обозначим неизвестные величины: хi – количество использования i-го технологического процесса

(i=1,2,3). Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бен-

зина и мазута) известны. Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору

одного вектора х=(х1 ,х2 ,х3), для которого выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.).

Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно.

7

Учет запаса нефти приводит к следующим условиям: для сорта А: 10x2x2x 321 ≤++ для сорта В: 15x2xx2 321 ≤++ ,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхо-да нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно. Коэффициенты второго неравен-ства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид: Найти такой вектор х = ( х1 ,х2 ,х3), чтобы максимизировать f(x) =32х1+15х2 +12х3

при выполнении условий: целыеx,0x

15x2xx210x2x2x

ii

321

321

−≥≤++≤++

Сокращенная форма этой записи такова:

−≥≤++≤++

→++=

целыеx,0x15x2xx210x2x2x

maxx12x15x32)x(f

ii

321

321

321

Мы получили так называемую задачу линейного программиро-вания. Данная модель является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример 3. Инвестору требуется определить наилучший набор

из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вло-женный в ценную бумагу j-го вида, характеризуется двумя показа-телями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для ин-вестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Решение. Обозначим известные параметры задачи: n – число разновидностей ценных бумаг; аj – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной

бумаги; jα – ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.

8

Обозначим неизвестные величины: yj – средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.

Тогда вся инвестированная сумма выражается как ∑=

n

1iiy .

Для упрощения модели введем новые величины:

n,...,1j,y

yx n

1ii

jj ==

∑=

Таким образом, хi – это доля от всех средств, выделяемая для

приобретения ценных бумаг вида j. Ясно, что 1xn

1ii =∑

=

.

Из условия задачи видно, что цель инвестора – достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском.

Содержательно риск – это мера отклонения фактической прибы-ли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией

)a)(a(M jjiiij α−α−=σ прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. (Здесь М – обозначение математического ожидания.)

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

n,1j,0x,1x

bx

xxmin

j

n

1jj

n

1jjj

n

1i

n

1jjiij

=≥=

≥α

σ

∑

∑

∑∑

=

=

= =

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Данная модель является примером оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример 4. На базе торговой организации имеется n типов одно-

го из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара.

Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно за-вести в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль рj , если же он не бу-дет пользоваться спросом – убыток qj .

9

Замечание. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибы-ли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли заве-зенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли выкуплен насе-лением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своему предпочтению.

Наихудшим «решением» населения для магазина является: «за-везенный товар не пользуется спросом». Так что, для учета всевоз-можных ситуаций, магазину нужно считать население своим «про-тивником» (условно), преследующим противоположную цель – ми-нимизировать прибыль магазина.

Решение. Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками,

преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население – один из типов товаров, который пользует-ся наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n2 клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики – выбору населения.

В таком случае клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i-й тип товара (i-ю строку), а население выбира-ет j-й тип товара (j-ю столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

10

Числа qi написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации «выигрыш» населения (условно) равен «выиг-рышу» магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

−−

−−−−

=

nnn

222

111

p...qq...................

q...pqq...qp

A

Мы получили так называемую матричную игру, которая являет-ся примером игровых моделей принятия решения.

Задания 1. Постройте математические модели следующих задач. 1. Задача оптимального раскроя материала. Фирма изготовля-

ет изделие, состоящее из р деталей. Причем в одно изделие эти дета-ли входят в количествах k1 ,..., kr. С этой целью производится раскрой m партий материала. В i-й партии имеется bi единиц материала. Каж-дую единицу материала можно раскроить на детали n способами. При раскрое единицы i-й партии j-м способом получается аijr деталей r-го вида.

Требуется составить такой план раскроя материала, чтобы из них получить максимальное число изделий.

2. Транспортная задача. Имеется n поставщиков и m потреби-

телей одного и того же продукта. Известны выпуск продукции у каждого поставщика и потребности в ней каждого потребителя, за-траты на перевозки продукции от поставщика к потребителю.

Требуется построить план транспортных перевозок с мини-мальными транспортными расходами с учетом предложения по-ставщиков и спроса потребителей.

3. Задача о назначениях на работу. Имеется n работ и n испол-

нителей. Стоимость выполнения работы i исполнителем j равна cij. Нужно распределить исполнителей на работы так, чтобы мини-

мизировать затраты на оплату труда. 4. 3адача о смесях (о рационе). Из m видов исходных материа-

лов, каждый из которых состоит из n компонент, составить смесь, в которой содержание компонент должно быть не меньше b1 ,...,bn. Известны цены единиц материалов с1 ,...,сm и удельный вес j-го компонента в единице i-го материала.

11

Требуется составить смесь, в которой затраты будут минималь-ными.

5. Задача о рюкзаке. Имеется n предметов. Вес предмета i ра-

вен рi , ценность – сi (i=1,...,n). Требуется при заданной ценности груза выбрать совокупность

предметов минимального веса. 6. Задача о коммивояжере. Имеется n городов и заданы рас-

стояния cij между ними (j,i=1,...,n). Выезжая из одного (исходного) города, коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в исходный город.

Нужно определить, в каком порядке следует объезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим.

7. Задача о станках. На универсальном станке обрабатываются

одинаковые партии из n деталей. Переход от обработки детали i к обработке детали j требует переналадки станка, которая занимает cij времени.

Требуется определить последовательность обработки деталей, при которой общее время переналадок станка при обработку пар-тии деталей минимально.

8. Задача о распределении капиталовложений. Имеется n про-

ектов, причем для каждого проекта j известны ожидаемый эффект η от его реализации и необходимая величина капиталовложений gj. Общий объем капиталовложений не может превышать заданной ве-личины b.

Требуется определить, какие проекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.

9. Задача о размещении производства. Планируется выпуск

m видов продукции, которые могли бы производиться на n пред-приятиях (n>m). Издержки производства и сбыта единицы про-дукции, плановый объем годового производства продукции и плановая стоимость единицы продукции каждого вида известны. Требуется из n предприятий выбрать такие m, каждое из которых будет производить один вид продукции.

12

10. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитыва-ет 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного воз-раста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный расход корма для цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он со-ставляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходи-мых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности.

Этим требованиям могут соответствовать смеси различных ви-дов кормов, или ингредиентов. В качестве ингредиентов рассмот-рим три: известняк, зерно и соевые бобы.

Требования к питательности рациона сформулируем, учитывая три вида питательных веществ: кальций, белок и клетчатку.

В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Заметим, что извест-няк не содержит ни белка, ни клетчатки.

Ингреди-ент

Содержание питательных веществ, фунт/(фунт ингредиента) Стоимость,

долл./фунт кальций белок клетчатка Известняк 0,38 – – 0,04 Зерно 0,001 0,09 0,02 0,15 Соевые бобы 0,002 0,50 0,08 0,40

Смесь должна содержать: 1) не менее 0,8%, но не более 1,2% кальция; 2) не менее 22% белка; 3) не более 5% клетчатки. Требуется определить для птицеводческой фермы количество

(в фунтах) каждого из трех ингредиентов, образующих смесь ми-нимальной стоимости при соблюдении требований к общему рас-ходу кормовой смеси и ее питательности.

11. Промышленная фирма производит изделие, представляю-

щее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляют-ся на двух заводах.

13

Из-за различий в составе технологического оборудования про-изводительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова.

В приводимой ниже таблице содержатся исходные данные, ха-рактеризующие как производительность заводов по выпуску каж-дого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, ко-торым в течение недели располагает каждый из заводов для про-изводства этих узлов.

Завод

Максимальный недельный

фонд времени, ч

Производительность, узел/ч

Узел 1 Узел 2 Узел 3

1 100 8 5 10 2 80 6 12 4

Идеальной является такая ситуация, когда производственные

мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производи-тельности заводов.

Более реальная цель состоит в том, чтобы максимизировать вы-пуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисба-ланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по од-ному или двум видам узлов.

Возможный объем производства каждого из трех видов узлов зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления.

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы каждого завода и обес-печивающие максимальный выпуск изделий.

12. На предприятии производятся два вида продукции из двух

видов сырья. Производство единицы продукта 1 (первого вида) приносит предприятию доход, равный 10 единицам, а производ-ство единицы продукта 2 (второго вида) – доход в 8 единиц.

Переработка сырья производится аппаратами двух типов, кото-рые условно называются в дальнейшем машинами и агрегатами.

14

На переработке сырья первого вида занято пять машин, причем производственные условия не допускают, чтобы суммарное время использования машин на этой работе превышало 40 ч (за некото-рый период).

На переработке сырья второго вида занято 25 агрегатов; сум-марное время их использования в течение того же периода не должно превышать 200 ч.

При производстве единицы продукта 1 на переработку сырья первого вида затрачивается 4 ч и на переработку сырья второго вида – 9 ч, в то время как производство единицы продукта 2 требу-ет затраты 3 ч на переработку каждого из видов сырья.

На предприятии принимается решение увеличить выпуск про-дукции как за счет приобретения нового оборудования тех типов, что и имеющиеся, так и за счет сверхурочных часов работы.

Максимальное число сверхурочных часов, приходящихся на пе-риод, равно восьми, причем эти часы должны распределяться на переработку первого и второго видов сырья равномерно.

Доплата за час сверхурочной работы на переработке любого из видов сырья одинакова; полная оплата за час сверхурочной работы равна 2 единицам.

Повышение затрат за период, связанный с приобретением од-ной машины, перерабатывающей сырье первого вида, составляет 10 единиц. Агрегаты, перерабатывающие сырье второго вида, до-полнительно не приобретаются.

Необходимо максимизировать доход от выпуска продукции.

13. Для обеспечения нормальной работы оборудования необхо-димо закупить n видов запасных частей на сумму d рублей. Стои-мость j-й детали равна jb , потребность в ней есть случайная вели-чина jy , имеющая показательный закон распределения с парамет-ром ja . Использование j-й детали позволяет получить прибыль jc . Отсутствие детали в случае необходимости приводит к убыткам jr . Если деталь не используется в данном периоде, то убыток состав-ляет jq .

Как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей?

15

14. Фирма А производит некоторый товар, который имеет спрос в течение n единиц времени. Этот товар поступает на рынок в мо-мент i (i=1,...,n).

Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концер-на Д, не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в момент j (j=1,...,n). Ее цель – ра-зорение первой фирмы, после чего ей будет легко, опираясь на капи-тал D, наверстать упущенное.

Для этой цели проще всего продавать товары по пониженной цене. Однако имеются законы (соглашения), запрещающие посту-пать подобным образом. В этом случае единственным законным инструментом этой фирмы является выбор момента поступления товара на рынок.

Будем считать, что качество конкурирующих товаров зависит от времени их поступления на рынок относительно друг друга – чем позднее товар выбрасывается на рынок, тем качество его выше, а реализуется только товар высшего качества. Каждая фирма должна заранее готовить свое производство к выпуску и продаже товара в выбранный период времени. А чтобы разорить первую фирму, вто-рая фирма должна минимизировать ее доходы.

15. Автотранспортная компания для перевозки грузов распола-

гает четырьмя автомашинами следующей грузоподъемности: ма-шина 1 – 2 т, машина 2 и машина 3 – по 5 т, машина 4 – 8 т. Для каж-дой автомашины известна стоимость ее эксплуатации за день: для машины 1 – 15 единиц, для машины 2 – 20 единиц, для маши-ны 3 – 19 единиц, для машины 4 – 30 единиц.

Необходимо в течение одного дня развести грузы четырем по-лучателям. В книжный магазин нужно доставить груз весом в 1 т, в мебельный магазин – в 3 т, в фермерское хозяйство – в 5 т и на ста-лелитейный завод – в 8 т. Предположим, что одна и та же машина не может доставлять груз в книжный или мебельный магазин и на ферму.

Требуется так назначить автомашины для доставки всех грузов, чтобы суммарные затраты были минимальными.

16. Пусть экономика представлена двумя отраслями, каждая из

которых выпускает свою продукцию и затрачивает на воспроиз-водство труд, средства труда и предметы труда.

16

Валовой продукт каждой отрасли за год распределяется соот-ветственно на конечный продукт и производственное потребле-ние, причем в процессе производства данной отрасли может при-меняться продукция обеих отраслей.

Известно, что потребление одной отраслью продукции другой пропорционально объему валового выпуска первой из них. Конеч-ный продукт обеих отраслей делится на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление. Без учета амортиза-ционных отчислений можно считать, что валовые капитальные вложения из одной отрасли в другую каждый год пропорциональ-ны приросту валовой продукции второй отрасли.

Определить, как должна функционировать рассматриваемая экономическая система во времени.

17

Глава 1

СТАТИЧЕСКИЕ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

§ 1. Оценка качества модели

Абсолютной погрешностью Δа приближенного числа а называ-

ется величина, не меньшая абсолютного значения разности между точным числом А и его приближенным значением а:

Aaa −≥∆ Относительной погрешностью δ а приближенного числа а назы-

вается величина, определяемая неравенством:

( )0a,a

aAa ≠

−≥δ

В качестве статистических показателей точности применяются следующие:

Среднее квадратическое отклонение ∑ −−

=σ 2ii )yy(

mn1

Средняя относительная ошибка аппроксимации

∑ ⋅−

= %100y

yyn1E

i

ii

Пример 1.1. Дана производственная функция вида 21 x8x5y += .

Известно, что при х1=3, х2=5 объём производства равен у=47; при х1=2, х2=1 у=20. Оценить погрешность модели.

Решение. Сначала найдём теоретические значения производственной

функции 55)5;3(у1 = , 18)1;2(у2 = . Тогда относительная погрешность равна:

18

08,049541

218

182055

5547

≈=

−+

−

=δ

Абсолютная погрешность равна:

5,22

20184755=

−+−=∆

Задания 1.1. Дана производственная функция в виде )x,x(fy 21= и её фактиче-

ские значения. Оценить погрешность модели.

№ Производственная функция Фактические значения

производственной функции

1 8,02

2,01 xx3y =

х1=32 х2=1 у=8

х1=32 х2=243 у=500

х1=1 х2=243 у=250

2 21xx5y = х1=2 х2=5 у=25

х1=3 х2=6 у=20

х1=1 х2= 8 у=15

3 2121 xxx4x2y ++= х1=2 х2=3 у=21

х1=1 х2=4 у=18

х1=3 х2=7 у=55

4 2122

21 хх5х2ху −+=

х1=6 х2=4 у=10

х1=1 х2=7 у=50

5 412

431 хх4у =

х1=1 х2=1 у=3

х1=2 х2=2 у=7

х1=3 х2=4 у=9

6 212121

21 хх6х2х3х2х3у −++−=

х1=5 х2=2 у=17

х1=9 х2=4 у=20

х1=10 х2=12 у=132

7 321 хху +=

х1=1 х2=2 у=1

х1=2 х2=6 у=3

х1=10 х2=10 у=4

8 321 хх2у += х1=1

х2=4 х1=9 х2=3

19

№ Производственная функция Фактические значения

производственной функции

у=50 у=40

9 212

1 хх2хх

у += х1=2 х2=4 у=17

х1=3 х2=1 у=15

х1=5 х2=6 у=47

10 22

21

21

хххх

у+

+=

х1=5 х2=1 у=1

х1=1 х2=0,5 у=2

х1=5 х2=6 у=0,125

§ 2. Модели поведения потребителей

2.1. Функция спроса Функцией спроса (индивидуального потребителя) называется

отображение D, которое каждой паре 1RР)К,р( +×∈ ставит в соответ-ствие множество наиболее предпочтительных наборов товаров

X1 2RР:D →× + , где – множество всех подмножеств множества X . Любая точка )K,p(D*x ∈ называется спросом (при ценах Р и до-

ходе К). Эластичность z по yi есть отношение процентного изменения z

на процентное изменение yi: zy

yz)z( i

iyi

⋅∂∂

=ε .

Если 1)z(iy >ε , то функция z называется эластичной (по yi); ес-

ли 1)z(iy <ε , то функция z называется неэластичной (по yi); если

1)z(iy =ε , то говорят, что функция z имеет единичную эластич-

ность (по yi). Пример 2.1. Пусть кривая спроса имеет вид 2*)x(200p −= . Требу-

ется вычислить эластичность спроса по цене при изменении по-следней от p’=136 до p”=119.

Решение.

20

Прежде всего, пользуясь формулой спроса, найдем соответству-ющие этим ценам количества товаров: p200*x −±= и, следова-тельно, 9119200*"x;8136200*'x ±=−±=±=−±=

Отбрасывая отрицательные значения корней, как не имеющих смысл, найдем: 9*"x;8*'x == .

Теперь наша задача сводится к вычислению дуговой эластично-сти спроса по цене для участка (дуги) кривой спроса 2*)x(200p −= от точки A=(136,8) до точки B=(119,9) .

Пользуясь формулой i

i

i

iip *x

pp*x

)*x(i ∆

∆=ε , получаем:

88,05,85,127

171*)x(p =⋅=ε .

Для сравнения вычислим точечную эластичность в точке A: ( )

0625,1128136

8136

13620021

8136

dpp200d

8136

dp*dx*)x( 136p8,136p ==⋅

−=⋅

−=⋅=ε =

(Здесь мы учли неравенство x*>0). Пример 2.2. Дана функция спроса на некоторый товар р

218с −= .

При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене ра-вен -0,5?

Решение. Коэффициент эластичности спроса по цене определяется как

ср

21

ср

рс)с(р ⋅−=⋅∂∂

=ε . Тогда 5,0)с(р −=ε , если р=с.

А так как р218с −= , то отсюда р=16/3.

Пример 2.3. Цена меди на мировом рынке составляет 0,75 долл.

за фунт. Ежегодно продается 750 млн фунтов меди. Ценовая эла-стичность спроса на медь равна -0,4.

Найдите линейную функцию спроса на медь.

21

Решение. Пусть c – объем спроса на медь, p – ее цена, тогда с=ар+b (линей-

ная функция спроса). Ценовая эластичность спроса на медь определяется как

сра

ср

рс)с(р ⋅=⋅∂∂

=ε и так как она равна -0,4, то с4,0ар −= .

Получаем систему уравнений

−=+=

c4,0apbарс .

Отсюда c4,1b,pc4,0a =−= . Подставляя вместо p и c значения 0,75

и 750 соответственно, находим: а=-400, b=1050. Значит, c=-400p+1050. Пример 2.4. В 1976 г. на Бразилию приходилось примерно ⅓ ми-

рового экспорта кофе. Когда заморозки уничтожили около 75% урожая кофе в Бразилии в 1976 – 1977 гг., цена зеленого кофе вы-росла на 400%. Какова была эластичность спроса на кофе?

Решение. Эластичность спроса по цене можно определить как отношение

процентного изменения спроса на процентное изменение цены. Цена по условию выросла на 400%. Общий объем мирового экспорта кофе уменьшился на 75%.

Тогда эластичность спроса по цене равна 1875,0%400

%75)с(р ==ε .

Задание 2.1. А. Цена некоторого продукта на мировом рынке составляет

105 долл. за тонну. Ежегодно продается 456,7 млн тонн. Ценовая эластичность спроса на данный товар равна -0,84.

Найдите линейную (квадратичную, обратную, степенную и по-казательную) функцию спроса на товар.

Б. На страны Ближнего Востока приходилось примерно 53 миро-

вого объема добычи нефти. Войны в Сирии, Ираке и других стра-нах уменьшили добычу на 80%, и цена увеличилась с 85 долл. до 105 долл. за баррель. Какова эластичность спроса на нефть?

22

В. Пусть кривая спроса имеет вид )x(fр = . Требуется вычислить эластичность спроса по цене при изменении последней от p1 до p2. При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене равен ε?

№ Функция спроса Цена Эластичность

1 5х2р += р1=12 р2=7 ε=2

2 5х2х3р 24 −+= р1=4 р2=6 ε=-0,2

3 8х5р 2 −= р1=1

р2=10 ε=0,6

4 5х2хр +−= р1=2 р2=5 ε=0,9

5 х4)х2(7р 2 −−= р1=8

р2=11 ε=-5

6 5х4хр 3 +−= р1=18 р2=1 ε=-0,5

7 22

х4)х35(р −−= р1=4

р2=12 ε=1,5

8 х

4)хх2(р 22 −−= р1=3 р2=7 ε=1,7

9 3

2

х4

х)х5(р −

−= р1=2

р2=16 ε=-2,3

10 3хх4р

2

−−

= р1=10 р2=15 ε=0,8

2.2. Уравнение Слуцкого

Уравнением Слуцкого, или основным уравнением теории

ценности, называется уравнение вида *хК*х

р*х

р*х

comp ∂∂

+

∂∂

=∂∂ ,

где х* – спрос, р – цена, К – доход,

р*х

∂∂ – предельный спрос по цене,

23

compр*х

∂∂ – влияние цены р на спрос, при условии компенсации

дохода так, чтобы полезность была неизменной,

К*х

∂∂ – предельный спрос по доходу.

Левую часть уравнения принято называть общим эффектом (от влияния цены на спрос), первое слагаемое в правой части – влиянием замены (т.е. компенсированного изменения цены на спрос), второе слагаемое – влиянием дохода (влияние изменения дохода на спрос).

Товар вида j называется нормальным, если 0р*х

j

j <∂

∂;

товаром Гиффина, если 0р*х

j

j >∂

∂;

ценным, если 0K*х j >

∂

∂;

малоценным, если 0K*х j <

∂

∂.

Два товара i и j являются взаимозаменяемыми,

если 0р*х

compj

j >

∂

∂;

взаимодополняемыми, если 0р*х

compj

j <

∂

∂.

В общем случае каждый товар попадает в одну из следующих категорий.

1. Нормальный и ценный: 0р*х

j

j <∂

∂и 0

K*х j >

∂

∂;

2. Нормальный и малоценный: 0р*х

j

j <∂

∂ и 0

K*х j <

∂

∂;

3. Товар Гиффина и малоценный: 0р*х

j

j >∂

∂ и 0

K*х j <

∂

∂.

Пример 2.5. Функция спроса на вино во Франции с=0,02К-2р, где

K – доход, p – цена бутылки вина, c – количество бутылок вина. Пусть К=7500, р=30 евро.

24

1. Если цена вина вырастет до 40 евро, то каким должен стать доход, чтобы спрос на вино оставался прежним? При этом доходе и новой цене сколько бутылок вина будет куплено?

2. Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на вино до 40 евро?

Решение. 1. При К=7500 и р=30 спрос на вино с=0,02·7500-2·30=90. Если

цена возрастет до 40 евро, а спрос не изменится, то получаем урав-нение

90=0,02К-80. Отсюда К=8500.

2. Из уравнения Слуцкого cKc

рс

рс

comp ∂∂

−

∂∂

=∂∂ эффект дохода ра-

вен 8,19002,0cKc

−=⋅−=∂∂

− . Общий эффект 2рс

−=∂∂ . Тогда эффект за-

мены 2,08,12cKc

pc

рс

comp

−=+−=∂∂

+∂∂

=

∂∂ .

Пример 2.6. Потребитель тратит весь свой доход только на два

товара – 1 и 2. Задана функция спроса потребителя на товар 1:

11 р5

К2с = , где K – доход, р1 – цена товара 1. Пусть р1=5, р2=20, К=1000.

1. Определить, как изменится спрос на товар 1, если его цена упадет до 4 ден. ед.

2. Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар 1.

Решение.

1. 8055

10002р5К2с

11 =

⋅⋅

== . При новой цене имеем 10045

10002с1 =⋅

⋅=′ .

Тогда Δс1=20.

2. Из уравнения Слуцкого 11

comp1

1

1

1 cKc

рс

рс

∂∂

−

∂∂

=∂∂ эффект дохода

10ср52c

Kc

11

11 −=−=

∂∂

− . Общий эффект 25р5К2

рс

211

1 −=−=∂∂ .

Тогда эффект замены 151025cKc

pc

рс

comp

−=+−=∂∂

+∂∂

=

∂∂ .

25

Задание 2.2. Дана функция спроса

А p2K4,3с += Б 23LК6с −= В 6561 LK4c = Г 3 LKс += Д 3LK2c += Е LKL4K2c ⋅++=

Ж LK2KLc ⋅+= З Lp

pLc 2 ++

=

И LK5L2Kc 22 +−+= К 32

31

LK3KL2c ⋅+=

Найти: 1. При какой цене эластичность спроса по цене равна -2; при ка-

ком доходе эластичность спроса по доходу равна 6. 2. Пусть цена равна 20, а доход равен 120. Если цена товара вы-

растет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на товар оставался прежним? При этом доходе и новой цене каким будет объём продаж?

3. Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на товар до 40?

2.3. Функция полезности

Пусть в nR + определено отношение предпочтения . Любая

функция 1n RR:u →+ такая, что )y(u)x(u ≥ тогда и только тогда, ко-гда yx , называется функцией полезности, соответствующей это-му отношению предпочтения.

Пусть функция полезности дифференцируема, частная произ-водная n,1i,0

xu

i=>

∂∂ называется предельной полезностью това-

ра вида i. Кривой безразличия для данного набора товаров nRx +∈ назы-

вается геометрическое место точек nRy +∈ , которые находятся в от-ношении безразличия с этим набором х, т.е. множество { })x(u)y(u:Ry n =∈ + .

Так как для всех точек из этого множества полезность одна и та же, то кривые безразличия задаются уравнениями u(x)=c, где с – любая const.

26

Пример 2.7. Пусть функция полезности потребителя имеет вид 2121 xx4)x,x(u += , где х1, х2 – два взаимозаменяемых товара. Обыч-

но потребитель потребляет эти товары в количестве х1=9, х2=10. Найдите предельную норму замещения в этой точке. Допустим, потребление первого товара сократилось до 4 ед. Как

должно измениться потребление второго товара, чтобы значение функции полезности не изменилось?

Решение. Предельная норма замещения определяется формулой:

112

112 x

21x2

4

xu

xu

S =÷=∂

∂∂

∂=

Тогда в точке (9, 10) предельная норма замещения S12=2/3. Значение функции полезности 221094)10,9(u =+= . Обозначим через y потребление второго товара, соответствую-

щее значению функции полезности u=22 и потреблению первого товара x1=4, тогда 22y44)y,4(u =+= и отсюда y=14, т.е. потребле-ние второго товара должно увеличиться на 4.

Пример 2.8. Функция полезности для данного потребителя име-

ет вид 2121 xх4)x,x(u = , а доход, выделенный им для покупки дан-ных товаров, равен 24. В оптимальный набор вошли 2 ед. первого товара и 3 ед. второго товара. При каких ценах на товары потреби-тель сделал данный выбор?

Решение. Поскольку набор (2, 3) оптимален, то он является точкой каса-

ния бюджетной линии и кривой безразличия. Полезность данного набора 24324)x,x(u 21 =⋅⋅= , тогда уравне-

ние кривой безразличия 24xх4 21 = или 6xх 21 = . Обозначим цены товаров р1 и р2 соответственно, тогда уравне-

ние бюджетной линии 24хрхр 2211 =+ . Уравнение касательной к кривой 6xх 21 = в точке (2, 3) записы-

вается в виде )3х(362х 221 −−=− или 12х2х3 21 =+ . Чтобы эта пря-

мая совпала с бюджетной линией, должно быть р1=6, р2=4.

27

Пример 2.9. Фермер выращивает яблоки и другие культуры на площади 500 кв. футов. Каждая яблоня занимает 1 кв. фут, а другие культуры – по 4 кв. фута. Функция полезности имеет вид

222121 xx100х)x,x(u −+= , где х1 – число яблонь, х2 – число других

культур. Сколько яблонь и других деревьев посадит фермер, чтобы мак-

симизировать полезность? Если площадь сада увеличится на 100 кв. футов, насколько из-

менятся посадки яблонь и других культур? Решение. Составим оптимизационную задачу максимизации полезности,

заметив, что бюджетному ограничению в ней соответствует огра-

ничение на расход площади сада: 500x4x

maxxx100х

21

2221

=+→−+

Запишем функцию Лагранжа: )500x4x(xx100х),x,x(L 21

222121 −+λ+−+=λ

Необходимые условия оптимальности примут вид:

=−+=λ+−

=λ+

0500x4x04x2100

01

21

2

Решая полученную систему, имеем: λ=-1, х2=48, х1=308. Во втором случае задача оптимизации полезности примет вид:

600x4x

maxxx100х

21

2221

=+→−+

Отсюда )600x4x(xx100х),x,x(L 21222121 −+λ+−+=λ – функция Ла-

гранжа.

Необходимые условия оптимальности:

=−+=λ+−

=λ+

0600x4x04x2100

01

21

2 .

Тогда λ=-1, х2=48, х1=408. Примечание. Вообще говоря, в силу характера переменных рас-

сматриваемая задача относится к классу задач целочисленного программирования, для решения которых существуют свои методы (например, метод отсечения, метод ветвей и границ и др.). Приме-нение метода множителей Лагранжа в данном конкретном случае оправдано тем, что в результате получены целые числа.

28

Пример 2.10. Функция полезности имеет вид }x3,xmin{)x,x(u 2121 = . Цена товара 1 равна 2, цена товара 2 равна 1. Доход потребителя равен 140. Определить оптимальный план потребления.

Решение. Уравнение бюджетной линии 2х1+х2=140. Кривая безразличия

изображена на рисунке.

Так как наклон прямой 2х1+х2=140 не совпадает ни с наклоном

прямой x1=U, ни с наклоном прямой 3x2=U, то оптимальным планом

потребления будет точка

=

3U,U*x , лежащая на прямой x1=3x2.

Получаем систему

==+

21

21

x3x140xx2 . Отсюда x2=20, x1=60.

Пример 2.11. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на

покупку двух товаров. Функция полезности для него имеет вид }xx2,x4min{)x,x(u 21121 += . Потребитель покупает 15 ед. первого то-

вара и 10 ед. второго товара. Цена товара 1 равна 10 долл. Найдите доход потребителя. Каков наклон бюджетного ограничения в точке (15, 10)? Решение. Обозначим через p цену товара 2, через K – доход потребителя.

Тогда бюджетная линия имеет вид 10х1+рх2=К. Оптимальный набор (15, 10) является точкой касания бюджет-

ной линии и кривой безразличия. Найдем значение функции полезности в точке (15, 10):

40}40,60min{)x,x(u 21 == , причем кривая безразличия в этой точке задается прямой 2х1+х2=40.

29

А так как точка (15, 10) должна быть точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия, то прямые 10х1+рх2=К и 2х1+х2=40 должны совпадать. Значит, р=5, К=200.

Наклон бюджетной линии в точке (15, 10) определяется как

2р

10−=− .

Задание 2.3. Дана функция полезности

А 21121 xx3x6)x,x(u += Д 212121 xxx4x2)x,x(u ++= Б 8,0

22,0

121 xx3)x,x(u = Е 2122

2121 хх5х2х)x,x(u −+=

В 2121 xx5)x,x(u = Ж 32121 xx)x,x(u =

Г 31

23

2

121 xx3)x,x(u = З 22

21

2121 хх

хх)x,x(u

++

=

И 53

25

2

121 xx53)x,x(u = К 3

231

2121 х8х

хх2)x,x(u

+−

=

Найти: 1. Предельную норму замещения, если потребление товаров (6; 2).

Если потребление товара 2 увеличится на 4 ед., как изменится по-требление товара 1?

2. Цены на товары, если оптимальный набор (2; 2), а доход на покупку этих товаров составляет 12 ден. ед.

3. Доход потребителя, если покупается 15 ед. товара 1 и 10 ед. то-вара 2, а цена товара 1 составляет 10 ден. ед.

4. Оптимальный план потребления, если цена товара 1 составля-ет 4 ден. ед., товара 2 – 5 ден. ед., доход 150 ден. ед.

5. Максимальную полезность, если доход равен 100 ден. ед., це-ны товаров соответственно равны 5 и 10 ден. ед. Какова норма за-мены 2-го товара 1-м в оптимальной точке?

Контрольная работа № 1

Дано: N2N

N2

Lp2

5Nc−

+

= ,

+

=2

2Nр1 , 4Np2 += , 2)N5(q = , N,0−=ε ,

где квадратными скобками обозначена целая часть числа, N – но-мер студента по списку.

30

• Пусть кривая спроса имеет вид )L,p(fc = . Требуется вычислить эластичность спроса по цене при изменении последней от p1 до p2. При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене равен ε?

• Пусть цена равна р1, а доход равен q. Если цена товара вырас-тет до р2, то каким должен стать доход, чтобы спрос на товар оста-вался прежним? При этом доходе и новой цене, каким будет объём продаж?

• Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на товар с р1 до р2?

Пусть функция полезности имеет вид N2N

2N

2

1 xx2

5N)x(u−

+

= . Найти:

• цены на товары, если оптимальный набор (p1; p2), а доход на покупку этих товаров составляет q ден. ед.;

• оптимальный план потребления, если цена товара 1 составля-ет (р1+3) ден. ед., товара 2 – (р2+5) ден. ед., доход (q- 4) ден. ед.;

• максимальную полезность, если доход равен q ден. ед., цены товаров соответственно равны (р1+5) и (р2-1) ден. ед. Какова норма замены 2-го товара 1-м в оптимальной точке?

§ 3. Модели поведения производителей

3.1. Предельная норма замещения и эластичность производства

Любая функция nm RR:f ++ → , ставящая в соответствие каждому

вектору затрат x вектор у=f(x) максимального выпуска, который может быть получен при этих затратах, называется производ-ственной функцией.

Локальным показателем измерения дохода от расширения мас-штаба производства и служит эластичность производства, рав-ная

)x(f)x(f))x(f(

λλ

⋅λ∂λ∂

=ελ .

Предельная норма замещения i-го ресурса k-м ресурсом для

производственной функции у=f(x1,…,xm) имеет вид k

iik

xf

xf

S∂

∂∂

∂= .

31

Пример 3.1. Издержки производства 100 штук некоторого това-ра составляют 300 тыс. руб., а 500 штук – 600 тыс. руб. Считая функцию издержек линейной, определите величину издержек в тыс. руб. для выпуска 400 штук.

Решение. Запишем линейную функцию издержек в виде baYC += , где

C – издержки производства, Y – объем выпуска, a, b – коэффици-енты. Подставляя известные значения выпуска и соответствующих

им издержек, получаем систему уравнений:

+=+=

ba500600ba100300

Отсюда находим 225b,43a == , т.е. 225Y

43C += .

При Y=400 получаем C=525. Пример 3.2. В краткосрочном периоде производственная функ-

ция фирмы имеет вид: 32 L3L25L100Y −+= , где L – число рабочих. При каком уровне занятости общий выпуск будет максималь-

ным? Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти точку максиму-

ма функции Y(L). Продифференцируем ее по L и приравняем произ-водную к нулю: 0100L50L9 2 =++− .

Отсюда

−=

−±−

=−⋅

⋅−⋅−±−=

1,76,1

961525

)9(2100)9(45050

L2

.

Поскольку число рабочих не может быть отрицательным и должно быть целым, то, округляя, получаем L=7.

89610294925700Ymax =−⋅+= Пример 3.3. Общие издержки фирмы по ремонту автомобилей

составляют 100S2С 2 += , где S – число автомобилей. Пусть рыноч-ная стоимость ремонта автомобиля равна 120 долларов.

Сколько автомобилей будет отремонтировано при этой цене? Какую прибыль получит фирма? Решение. Доход фирмы определяется как 120S, издержки – как 100S2 2 + .

Тогда ее прибыль равна 100S2S120П 2 −−= . Максимум прибыли находится из условия равенства нулю ее

производной: 0S4120dSdП

=−= .

32

Отсюда S=30 и П=1700. Пример 3.4. Производственная функция имеет вид

5,05,0 LK5)L,K(FY == , где У – количество продукции за день, L – часы труда, K – часы ра-боты машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин.

Каково максимальное количество продукции, произведенной за день?

Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства.

Решение. В условиях задачи в день производится 45995 =⋅⋅ единиц

продукции. Если затраты обоих факторов удваиваются, то выпуск становится равным 9018185 =⋅⋅ , т.е. тоже удваивается.

Тогда )L,K(F2)L2,K2(F = и эффект α от изменения масштаба про-изводства, определяемый из условия )L,K(F)L,K(F αλ=λλ , равен 1.

Пример 3.5. Предположим, что, когда фирма увеличивает при-

меняемый капитал со 120 до 150, используемый труд с 500 до 625, выпуск продукции увеличивается с 200 до 220.

Какой эффект роста масштаба производства имеет место в дан-ном случае?

Решение. Эффект α роста масштабов производства определяется из усло-

вия 0,0),L,K(F)L,K(F >α>λλ=λλ α .

В нашем случае 25,1500625

120150

===λ .

В то же время выпуск увеличился в 1,1200220

= раз, т.е. 1,1=λα .

Значит, 1,1)25,1( =α и 43,025,1ln1,1ln≈=α .

Задание 3.1. 1. Дана производственная функция 2

2221121 хх6хх2х24х4Х −+++−= ,

где х1, х2 – затраты ресурсов. Определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов.

33

2. Производственная функция вида 31

33

1

23

1

1 ххх5Х = описывает за-висимость между затратами ресурсов х1, х2, х3 и выпуском Х. Опре-делить максимальный выпуск, если х1+х2+х3=9. Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

3. Производственная функция вида 74

37

1

27

2

1 ххх7Х = описывает за-висимость между затратами ресурсов х1, х2, х3 и выпуском Х. Опре-делить максимальный выпуск, если х1+2х2-х3=4. Каковы предель-ные продукты в оптимальной точке?

4. Производственная функция вида 31

33

1

23

1

1 х4ххХ ++= описывает зависимость между затратами ресурсов х1, х2, х3 и выпуском Х. Определить максимальный выпуск, если 2х1-х2+3х3=11. Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

5. Дана производственная функция 222211

31 хх16хх5х4х14Х −−++= ,

где х1, х2 – затраты ресурсов. Определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов.

3.2. Изокванты и изокосты

Изоквантой (производственной функции 1m RR:f →+ ) называет-

ся геометрическое место всех векторов затрат x, использование ко-торых приводит к одному и тому же объему выпуска продукции :y0 { }0m y)x(f:Rx =∈ + .

Таким образом, изокванта – это линия уровня производствен-ной функции.

Изокостой называется геометрическое место векторов затрат, для которых издержки производства постоянны:

=∈ ∑=

+ constxw:Rxm

1kkk

m .

Для двухфакторного производства изокоста задается уравнени-ем: constxwxw)x,x(c 221121 =+= .

Совпадение наклонов изокванты и изокосты имеет место в од-ной и той же точке х*, являющейся оптимальным решением за-дачи максимизации прибыли в долгосрочном периоде.

Пример 3.6. Производственная функция имеет вид Y=KL. Если

общий объем затрат не должен превышать 30, цена труда равна 4,

34

цена капитала – 5, то при какой комбинации труда и капитала бу-дет достигнут максимальный выпуск?

Решение. Искомые значения труда и капитала являются координатами

точки касания изокванты Y=LK (при некотором Y) и изокосты 4L+5K=30.

Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе

=+=

30K5L4YLK .

Отсюда 2L8,0L6)L8,06(LY −=−= .

Найдем максимум Y по L: 0L6,16dLdY

=−= , т.е. L=3,75.

Тогда K=3 и максимальный выпуск равен 11,25. Пример 3.7. Фирма, занимающаяся речными перевозками, ис-

пользует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид 5,05,0 LK10Y = . Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Найти:

А. Каков будет наклон изокосты? Б. Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма

для осуществления 100 перевозок? В. Каковы будут общие издержки? Средние издержки? Решение. А. Изокоста задается уравнением 20L+20K=C, где C – величина

общих издержек (некоторая константа). Отсюда 20CKL +−= , т.е.

наклон этой прямой равен -1 . Б. Оптимальное количество труда и капитала для 100 перевозок

определяется как точка касания изокванты 100LK10 5,05,0 = и изоко-сты 20L+20K=C при некотором C .

Из первого равенства получаем: 100LK = . Тогда L

2000L20C += .

Так как общие издержки при этом должны быть минимальны, то,

минимизируя C по L, найдем количество труда L: 0L

200020dLdC

2 =−= и

L=10. Так как 0dL

Cd2

2

> , то найденное L=10 является точкой минимума.

35

Количество капитала найдем по формуле 10L

100K == .

В. Общие издержки в этом случае равны 400, а средние издерж-ки определяются как издержки на одну перевозку и равняются 4.

Пример 3.8. Дана производственная функция фирмы

221 )x3x(Y += . Цена обоих факторов равна 1. Найдите способ

производства 16 единиц продукции с наименьшими затратами. Решение. Необходимо найти координаты точки касания изокванты

16)x3x( 221 =+ и изокосты Cxx 21 =+ при наименьшем из воз-

можных значении C .

Составляем систему:

=+

=+

Cxx16)x3x(

21

221

Из первого уравнения 4x3x 21 =+ , т.е. 22

221 x9x2414)x34(x +−=−= .

Тогда из второго уравнения 22 x10x2414C +−= .

Найдем минимум C по х2: 010x

12dxdC

22=+−= ,

отсюда 44,1)2,1(x 22 == .

Тогда 16,0)2,134(x 21 =⋅−= .

Наименьшие затраты равны 1,6. Пример 3.9. Производственная функция фирмы имеет вид

Y=100KL. Цена труда составляет 30, а капитала – 120. Чему равны средние издержки производства 100 единиц продук-

ции, если фирма выбирает самый дешевый способ производства? Решение. Минимальные издержки C соответствуют точке касания

изокванты 100KL=100 и изокосты 30L+120K=C. Общие точки этих

двух кривых удовлетворяют системе

=+=

CK120L301KL . Отсюда

L120L30C += .

Найдем минимум C по L: 0L

12030dLdC

2 =−= , т.е. L=2.

36

Тогда K=0,5 и минимальные издержки равны 120. Средние издержки определяются как издержки, приходящиеся

на единицу выпуска, т.е. 2,1100120

= .

Пример 3.10. Задана производственная функция фирмы

42

31 xx12Y = , где х1 – труд мужчин, х2 – труд женщин (в чел.-часах).

Мужчины получают 5,6 долл. в час, женщины – 4 долл. в час. Если фирма использует 81 чел.-час труда женщин и 64 чел.-часов

труда мужчин, чтобы произвести 144 ед. продукции, то минималь-ны ли при этом затраты на данный выпуск?

Решение. Минимальные издержки соответствуют точке касания изокван-

ты соответствующей изокостой. В данном случае изокванта задает-ся соотношением 144xx12 4

23

1 =⋅ . Построим для нее уравнение касательной в точке х1=64, х2=81,

предварительно выразив х1 через х2: 4321 x1728x −= .

Значит, )81x()81(129664x 247

1 −⋅−=− − , т.е. )81x(271664x 21 −−=− или

3024x16x27 21 =+ – уравнение касательной. Затраты в рассматриваемой точке равны 5,6·64+4·81=682,4, то-

гда 4,682x4x6,5 21 =+ – уравнение изокосты. Видим, что оно не совпадает с уравнением касательной, значит,

точка х1=64, х2=81 не является точкой касания изокосты и изокван-ты, а, следовательно, издержки при этом не минимальны.

Пример 3.11. Производственная функция имеет вид 3231 LK50Y = .

Цены факторов равны соответственно 2 и 6. Фирма стремится мак-симизировать выпуск, но ее финансовые ресурсы ограничены 30 еди-ницами. Чему будут равны затраты капитала и труда?

Решение. Искомые значения труда и капитала являются координатами

точки касания изокванты 3231 LK50Y = (при некотором Y ) и изоко-сты 30L6K2 =+ .

Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе

=+=30L6K2

YLK50 3231

.

37

Отсюда 3231 L)L315(50Y −= . Возведем обе части последнего ра-венства в куб: 323 L375000L1875000Y −= .

Найдем максимум Y3 по L: 0L1125000L3750000dL

dY 23

=−= .

Исключая случай L=0, получаем 3

10L = . Так как 0dL

Yd2

32

≤ , то

найденное значение является точкой максимума.

Тогда 53

10315K =−= .

Задания 3.2. Дана производственная функция. Определить предельные продукты по ресурсам и построить

изокванту при заданном значении Х. Найти норму замены первого ресурса вторым в точке (х1, х2).

№ Производственная функция

Значение Х Точка

1 52

25

3

1 хх3Х = Х=3 х1=1 х2=1

2 8,02

2,01 xx3Х = Х=2 х1=2

х2=4

3 21xx5Х = Х=5 х1=3 х2=6

4 2121 xxx4x2Х ++= Х=21 х1=1 х2=4

5 2122

21 хх5х2хХ −+= Х=10 х1=1

х2=7

6 412

431 хх4Х = Х=3 х1=2

х2=2

7 212121

21 хх6х2х3х2х3Х −++−= Х=17 х1=9

х2=4

8 321 ххХ += Х=5 х1=2

х2=6

9 321 хх2Х += Х=5 х1=9

х2=3

10 212

1 хх2хх

Х += Х=7 х1=3 х2=1

38

Контрольная работа № 2 Выпуск однопродуктовой фирмы задается производственной

функцией Кобба-Дугласса: 2NN

2N1

LK)1N()L,K(FУ +++== , где N – но-мер студента по списку.

На аренду фондов и оплату труда выделено 150 ден. ед., стои-мость аренды единицы фондов WК=5 ден. ед./ед.ф., ставка зарпла-ты WL=10 ден. ед./чел.; цена единицы продукции p=5 ден. ед.

Определить: 1) максимальный выпуск У* двумя способами: по задаче на

максимум прибыли и по задаче на максимум выпуска при заданном объеме издержек;

2) построить изокосты для С=50, 100, 150 и изокванты для У=25,2; У*;

3) определить предельную норму замены одного занятого фон-дами в оптимальной точке.

§ 4. Модели взаимодействия потребителей и производителей

(теория конкурентного равновесия) Равновесие в общепринятом в экономике смысле это равенство

спроса и предложения. О равновесии можно говорить в целом как о характеристике со-

стояния любой системы, на которую воздействуют различные сто-роны (в частности, только одна сторона), каждая со своими интере-сами. В таком общем смысле равновесие – это такое состояние си-стемы, которое устраивает всех заинтересованных в ее состоянии сторон за неимением ничего лучшего.

Рынок с совершенной конкуренцией определяется следующими признаками:

1) наличие большого числа независимых друг от друга фирм, про-изводящих одни и те же товары; при этом доля выпуска каждой фир-мы незначительна по сравнению с суммарным выпуском всех фирм;

2) наличие большого числа независимых друг от друга потреби-телей данных товаров; при этом доход отдельного потребителя не-значителен по сравнению с суммарным доходом всех потребителей;

39

3) полная свобода действий всех участников рынка за исключе-нием соглашений по контролю над рынком;

4) однородность товаров на рынке и их мобильность; 5) совершенное знание рынка (конъюнктуры товаров, их цен)

покупателями и продавцами. Имея в виду влияние этих условий, экономическое равновесие

часто называют конкурентным равновесием. Пример 4.1. Производственная функция описывается уравнени-

ем 2L5L40Y −= , где L – объем используемого труда. Функция спроса потребителей в экономике равна 2L2Y2X −= .

Какой объем продукции будет произведен в равновесии, какой объем труда будет использован?

Решение. Запишем функцию спроса в виде 2L12L80X −= . В ситуации равновесия спрос равен предложению, т.е.:

22 L12L80L5L40 −=− . Отсюда L1=0, L2=40/7.

Исключая первый случай, окончательно получаем 740L = , тогда

3,6549

32007405

74040Y

2

≈=

−= .

Пример 4.2. Спрос и предложение некоторого товара заданы со-

ответственно уравнениями Х=600-100Р, Y=150+50Р. Государство установило налог с продажи на единицу товара в размере 1,5 ден. ед.

Найдите, что потеряют при этом покупатели, а что – продавцы данного товара.

Решение. До введения налога равновесие определяется условием: 600-100Р=150+50Р, откуда Р=3 – равновесная цена, Y=300 – равновесный объем

продаж стоимостью 900. Налог с продажи, уплачиваемый покупателями, приводит к то-

му, что цена для них увеличивается на 1,5 и условие равновесия за-писывается как

600-100(Р+1,5)=150+50Р, откуда Р=2 и Y=250. Общий объем налогового сбора за 250 ед. товаров составит

375 ден. ед.

40

В этой ситуации покупатели потратят 250(2+1,5)=875 ден. ед., сэкономив тем самым 25 ден. ед.

Однако они недополучат 50 ед. товара, за который готовы были заплатить 50*3=150 ден. ед.

Тогда общие потери покупателей составят 150-25=125 ден. ед. Общие потери продавцов равны 250 ден. ед. (потери от продажи

250 ед. товара по цене на 1 ден. ед. ниже). Пример 4.3. Функции спроса и предложения товара заданы

уравнениями Х=300-Р, 302PY −= . Государство установило налог в

размере 15 ден. ед. за единицу товара, уплачиваемый покупателя-ми. Определите сумму налоговых поступлений в бюджет.

Решение. До введения налога равновесие на рынке определялось услови-

ями: 30

2PP300 −=− , откуда находятся равновесные цена Р=220 и объем

продаж Y=80. После введения налога цена товара для покупателей увеличи-

лась на 15, и условие равновесия приняло вид: 30

2P)15P(300 −=+− , откуда Р=210 и Y=75.

За 75 купленных единиц товара покупатели уплачивают налог 1125 ден. ед.

Пример 4.4. Функции спроса и предложения данного товара за-

даны уравнениями Х=9-Р и Y=-6+2Р соответственно, где P – цена товара.

Предположим, что на данный товар введен налог (с единицы то-вара) в размере 25%, уплачиваемый покупателем. Определите рав-новесную цену и равновесный объем продаж для обеих ситуаций.

Решение. Приравнивая спрос и предложение до введения налога, получаем

9-Р=-6+2Р, откуда Р=5. Объем продаж в этом случае равен Y=-6+2·5=4. Когда вводится 25%-ный налог, уплачиваемый покупателем, то

цена, по которой покупатель приобретает товар, становится для

41

него больше, чем цена, по которой продавец продает этот товар, на

34 от величины последней.

Тогда условие равновесия примет вид Р26Р349 +−=− , откуда

5,4РУ = – цена, которую получает за товар продавец.

Покупатель за каждую единицу товара платит 6Р34Р УХ == .

Объем продаж для этой ситуации составляет 3. Пример 4.5. Предположим, что рыночное равновесие задано

уравнениями Х=9-Р, Y=75 (см. пример 4.4). Как изменится ситуация на рынке, если производителям установят дотацию из бюджета в размере 1,5 ден. ед. за каждую единицу проданного товара? Чему равен общий размер субсидии?

Решение. До введения субсидий равновесие на рынке определяется из

условия 9-Р=2Р-6, тогда Р=5, Y=4. После субсидирования продавец имеет возможность продавать

товар на 1,5 ден. ед. дешевле. Значит, 9-(Р-1,5)=2Р-6, т.е. 5,5РY = – цена товара для продавца (доход от одной единицу), 4PX = – цена товара для потребителя (плата за одну единицу), Y=5 – равновес-ный объем продаж.

Общий размер субсидии за 5 проданных товаров равен 7,5. Пример 4.6. Функция спроса на капусту имеет вид tt P300X −= ,

функция предложения имеет вид 1tt P8,060Y −+−= , где t обозначает номер периода времени.

Определите объемы продаж и цены на капусту в периоды 1,2,...,5, если Р0=250. Определите равновесную цену и равновесный объем продаж.

Решение. Заполним таблицу:

Период (t) 1tP − tt YX = tP 1 250 140 160 2 160 68 232 3 232 125,6 174,4 4 174,4 79,52 220,48 5 220,48 116,384 183,616

42

Приравнивая спрос и предложение, получаем: 1tt P8,060P300 −+−=− или 360P8,0P 1tt +−= − . Цена равновесия Р*определяется из условия

1tt PP −= и равна 2008,1

360= . Тогда равновесный объем продаж Y*=100.

Заметим, что графическая иллюстрация для рассматриваемой задачи дает паутинообразную модель, сходящуюся к ситуации рав-новесия.

Задания 4.1. Функции спроса и предложения некоторого товара заданы соот-

ветственно уравнениями 2PNP4

N23Х ⋅−

+

= , P2NN2Y += ,

где N – номер студента по списку. 1. Если государство установило налог с продажи на единицу то-

вара в размере

4N ден. ед. (фигурные скобки обозначают дробную

часть числа), найдите, что потеряют при этом покупатели, а что – продавцы данного товара.

Определите сумму налоговых поступлений в бюджет. 2. Предположим, что на данный товар введен налог (с единицы

товара) в размере ( 2N + )%, уплачиваемый покупателем. Определите равновесную цену и равновесный объем продаж для

обеих ситуаций. Как изменится ситуация на рынке, если производителям уста-

новят дотацию из бюджета в размере

+

43N ден. ед. за каждую

единицу проданного товара? Чему равен общий размер субсидии?

§ 5. Модели сотрудничества и конкуренции фирм

Монополист является единственным производителем товара и

самостоятельно определяет объем продаж и цену товара, что позво-ляет при неизменном уровне спроса получать требуемый уровня дохода при меньшем выпуске (q’) за счет более высокой цены (p’).

43

Оптимизационная задача монополиста имеет вид:

),x,...,x(fq

maxx)x(wq)x(p)q,x(P

m1

m

1jjjj

=

→−⋅= ∑=

где р – цена,

х – объемы производства, w – объемы затрат. Таким образом, в отличие от задачи фирмы на конкурентном

рынке, в условиях задачи монополиста все цены зависят от объе-мов продуктов.

Правило оптимального поведения монополиста: чтобы мак-симизировать прибыль, монополист должен достичь такого уровня выпуска, при котором предельный доход равен предельным из-держкам.

Олигополией называется такая ситуация в экономике, когда на рынке конкурирует небольшое число фирм, каждая из которых об-ладает некоторой рыночной властью.

Однако конкуренция приводит к снижению цен, а имея тенден-цию к сотрудничеству, фирмы могут назначить цены выше пре-дельных издержек и получить большую прибыль.

Крайнюю форму сотрудничества представляет собой картель. На картельном рынке некоторые или все фирмы вступают в

сговор по поводу захвата рынка. Определяя сообща цены товара и объемы продаж, они максимизируют свои прибыли.

Картель отличается от монополии тем, что не может контроли-ровать весь рынок товара по причине наличия фирм, не входящих в картель.

Задача i-го олигополиста может быть сформулирована следу-ющим образом:

).x,...,x(fq

maxx)x,...,x(wq)q,...,q(p)q,x(P

mi

1iii

m

1j

ij

nj

1jj

in1i

=

→−⋅= ∑=

Здесь х – матрица затрат, q – вектор выпусков. Максимизация функции прибыли iP осуществляется только по

переменным iim

i1 q,x,...,x , выбором значений которых распоряжается

i-й олигополист.

44

Ситуация (x*, q*) называется равновесием по Нэшу в олигопо-лии, если для любых i и (xi, qi) имеет место неравенство

( ))q,x(*)q*,x(P*)q*,x(P iiii ≥ , где ( ))q,x(*)q*,x( ii означает замену в си-

туации (х*, q*) пары )q,x( *i*i на пару )q,x( ii . Математическая модель дуополии:

)x,...,x(fq),x,...,x(fq

max)q,x(P;max)q,x(P

2m

21

221m

11

11

q,x,...,x

2

q,x,...,x

122

m21

11m

11

==

→→,

где ∑=

−⋅=m

1j

ij

2j

1jj

i21i x)x,x(wq)q,q(p)q,x(P ,

х – матрица затрат, q – вектор выпусков. Доуполия называется доуполией Курно, если выполнены усло-

вия: 0qq,0

qq

2

1

1

2

=∂∂

=∂∂ .

Пример 5.1. Дана функция издержек монополиста 2q25,0q5С += и функция выпуска q=160-p. Найдите оптимальную цену и объем производства продукции.

Решение. Доход монополиста есть R=pq (p – цена продукции), а его при-

быль есть 2q25,0q5pqCRP −−=−= . Из условия задачи p=p(q)=160-q. Подставляя это выражение в

формулу прибыли, имеем: q155q25,1P 2 +−= . Максимизируя P по q, получаем: q*=62. Следовательно, p*=160-q*=98. Пример 5.2. Выпуск продукции монополизированной отрасли

описывается функцией q=150-0,5p, а средние издержки по произ-водству выражаются функцией q-60. Найдите оптимальный объем производства и цену.

Решение. Заметим, что из условия задачи цену продукции можно выра-

зить через ее выпуск: p=300-2q. Оптимальные значения цены и выпуска максимизируют при-

быль монополиста, которая вычисляется как P=R-C. Доход R найдем по формуле q300q2q)q2300(pqR 2 +−=−== .

45

Издержки C можно определить как произведение средних из-держек (т.е. издержек на единицу выпуска) на объем производства:

q60qq)60q(C 2 −=−= . Тогда имеем q360q3q60qq300q2P 222 +−=+−+−= .

Найдем максимум этой функции: 0360q6dqdP

=+−= , значит, q*=60.

Тогда оптимальная цена есть p*=300-2q*=180. Пример 5.3. Известны функции издержек двух фирм, действу-

ющих на дуопольном рынке: С1=10+2q1, 222 qС = . Рыночный спрос

D=100-3p. Найдите параметры состояния равновесия Курно. Решение. Рыночный спрос удовлетворяется за счет выпуска обеих фирм,

значит, D=q1+q2.

В этом случае цена продукции равна )qq100(31)D100(

31p 21 −−=−= .

Доход каждой из фирм определим как произведение ее выпуска и цены, тогда их прибыли равны:

.qq31q

34q

3100qq)qq100(

31p

10qq31q

31q

394q210q)qq100(

31p

21222

222212

2121111211

−−=−−−=

−−−=−−−−=

Запишем необходимые условия оптимальности:

.0qqq

31q

31q

38

3100

0qq

q31q

31q

32

394

22

112

1

2121

=∂∂

−−−

=∂∂

−−−

Используя условия дуополии Курно 0qq

,0qq

2

1

1

2 =∂∂

=∂∂ ,

получаем систему

=+=+

100q8q94qq2

21

21 . Отсюда 1,7q,5,43q 21 ≈≈ .

Равновесная цена есть 5,16)qq100(31p 21 ≈−−= .

46

Пример 5.4. Функции общих издержек в условиях дуополии Курно выражаются уравнениями 5q4q5,0C 1

211 ++= и 7q5qC 2

222 ++= .

Рыночный спрос D=40-2p. Определите цену равновесия и величину выпусков на данном

рынке в условиях равновесия. Решение. Из условия равновесия следует D=q1+q2. Значит, p=20-0,5(q1+q2). Доход первой фирмы равен 12111 q))qq(5,020(pqR +−== ,

тогда ее прибыль есть 5q16qq5,0qCRP 12121111 −+−−=−= .

Аналогично доход второй фирмы равен 2212 q))qq(5,020(R +−= , а прибыль 7q15qq5,0q5,1CRP 221

22222 −+−−=−= .

Отсюда

.15qq

q5,0q5,0q3dqdP

16qq

q5,0q5,0q2dqdP

2

1212

2

2

1

2121

1

1

+∂∂

−−−=

+∂∂

−−−=

Учитывая условия 0qq

,0qq

2

1

1

2 =∂∂

=∂∂ , оптимальные объемы выпус-

ков найдем из системы

=+=+

15q3q5,016q5,0q2

21

21 .

Значит, 84,3q,04,7q 21 ≈≈ . Оптимальная цена есть 56,14p ≈ . Пример 5.5. Спрос на товар описывается уравнением p=100-q.

Функция общих издержек фирмы (каждой из фирм) равна C=5q. Найдите равновесную цену и равновесный объем производства: 1) в условиях монополии; 2) в условиях дуополии Курно. Решение. В условиях монополии фирма в одиночку удовлетворяет рыноч-

ный спрос q , тогда ее прибыль определяется как разность дохода от выпуска и издержек: 2qq95q5q)q100(q5pqP −=−−=−= .

Максимум прибыли соответствует условию 0dqdP

= , т.е. q*=47,5.

При этом цена равна p*=100-q*=52,5. В случае дуополии рыночный спрос удовлетворяется за счет

выпуска обеих фирм: q=q1+q2, тогда p=100-q1-q2.

47

Прибыль i -й фирмы определяется по формуле: i21iii q)qq95(q5pqP −−=−= .

Необходимые условия оптимальности запишутся в виде:

0q2

qq

qq95

0qq

qqq295

22

121

1

2121

=−∂∂

−−

=∂∂

−−−

.

Так как в дуополии Курно 0qq

,0qq

2

1

1

2 =∂∂

=∂∂ ,

то получаем систему

=+=+

95q2q95qq2

21

21 . Откуда, 3231qq 21 == .

Оптимальная цена есть 3236p = .

Задания 5.1. 1. Дана функция издержек монополиста 32 qq75,0q10С ++= и

функция выпуска p55q −= . Найдите оптимальную цену и объем производства продукции. Найдите оптимальный объем производства и цену, при данной

функции выпуска, если средние издержки по производству выра-жаются функцией q-50.

2. Известны функции издержек двух фирм, действующих на дуо-

польном рынке: 311 q25С += , 2

22 qС = . Рыночный спрос p3445D −= . Найдите параметры состояния равновесия Курно. Определите цену равновесия и величину выпусков на данном

рынке в условиях равновесия. 3. Спрос на товар описывается уравнением q25p = . Функция

общих издержек фирмы (каждой из фирм) равна C=15+9q. Найдите равновесную цену и равновесный объем производства: • в условиях монополии; • в условиях дуополии Курно.

48

§ 6. Статические модели межотраслевого баланса

6.1. Модель Леонтьева

Обозначим ix – выпуск i-го продукта за год ( ix >0);

∑=

n

1jjijxa – производственное потребление i-го продукта всеми от-

раслями;

)n,1i(xaxn

1jjiji =−∑

=

– чистый выпуск i-го продукта;

iy – спрос (конечный продукт) на i-ый продукт. Если приравнять чистый выпуск i-го продукта и спрос на него,

то получим модель Леонтьева, которая имеет вид:

)n,1i(yxax i

n

1jjiji ==−∑

=

(*) или в матричной форме: yx)AI( =− .

Другой моделью межотраслевого баланса является модель с ко-эффициентами распределения: TTT xzHx = , где х – вектор валового продукта;

z – вектор содержащий величину прибыли, амортизации и опла-ты труда в j-ой отрасли;

Н – матрица коэффициентов распределения.

==

i

ijij x

xhH , т.е. коэффициент распределении показывает долю

продукции i-й отрасли, направляемой в j-ю. Пример 6.1. Пусть две отрасли, конечный продукт которых со-

ставляет 120 и 70 единиц, производят продукции. Затраты на про-

изводство заданы матрицей

=

2,03,03,04,0

A .

Найти валовой выпуск каждой отрасли. Решение. Из уравнения yx)AI( =− следует, что валовой выпуск равен

y)AI(x 1−−= . По условия

=

70120

y . Найдём 1)AI( −− .

49

−

−=

−

=−

8,03,03,06,0

2,03,03,04,0

1001

AI .

Отсюда

=

=− −

1320131013103980

6,03,03,08,0

39,01)AI( 1 .

Тогда

=

=

200300

70120

1320131013103980

x .

Задания 6.1. 1. Найти вектор конечного продукта у, если валовый выпуск че-

тырёх отраслей соответственно составляет 100, 50, 200 и 100 еди-

ниц, а матрица затрат имеет вид:

=

1,05,07,02,0002,01,02,01,003,07,03,02,00

A

2. Дана матрица межотраслевых поставок и вектор валового вы-

пуска: ( )

=

010305002030200

xij ,

=

400200600

x . Найти матрицу затрат А и вектор

конечного продукта у, используя при этом соотношение jijij xxa = .

3. Даны матрица межотраслевых поставок ( )

=

101202020100101510400203020100

xij

и валовый выпуск четырёх отраслей 80, 60, 200 и 100 единиц. Найти: матрицу затрат А; построить модель Леонтьева; найти

вектор конечного продукта у; найти матрицу Н.

4. Известны матрица затрат

=

1,02,03,04,01,02,03,01,02,0

A и вектор конечно-

го продукта

=

10151

y . Составить модель Леонтьева; найти вектор

50

валовых выпусков; найти модель межотраслевого баланса с коэф-фициентами распределения, если ( )6;4;5z = .

5. Три отрасли выпускают продукцию. Объём производства 2-й

отрасли равен 10 единицам, а 3-й – 15. Конечный продукт 1-й от-расли равен 8 и нормы затрат ресурсов заданы матрицей

=

03,01,04,002,03,01,00

A . Определить объём производства 1-й отрасли и

конечный продукт 2-й и 3-й отраслей. 6. Четыре отрасли выпускают продукцию Объём производства

1-й отрасли равнее 10 единицам, конечный продукт 2-й, 3-й и 4-й отраслей соответственно равен 5, 10 и 5 единиц. Найти конечный продукт 1-й отрасли и объёмы производства 2-й, 3-й и 4-й отрас-

лей при следующих затратах ресурсов

=

03,01,04,02,003,01,05,01,01,02,05,03,01,00

A .

6.2. Коэффициенты прямых, полных и косвенных затрат

Коэффициенты прямых затрат равны: )n,1j,i(xx

aj

ijij == , где

ijx – количество продукции, направленное из i-й отрасли в j-ю. Косвенные затраты, обозначаемые )k(

ija , находятся по форму-

ле: ∑=

−⋅=n

1l

)1k(ljil

)k(ij aaa .

Полными затратами называется суммарная потребность продукции i-й отрасли для выпуска единицы конечной продукции j-й отрасли.

Матрицу полных затрат обозначают В: 1)AI(B −−= . Часто полные затраты определяют как сумму прямых и косвен-

ных затрат. Если обозначить матрицу полных затрат, понимаемых в этом смысле, обозначить через С, то имеет место формула:

1)AI(AС −−= .

51

Так как ...A...AAI)AI( n21 +++++=− − , то В=I+С.

Пример 6.2. Дана матрица прямых затрат

=

1,03,02,01,0

A .

Рассчитать матрицу полных затрат В; Рассчитать приближённую матрицу полных затрат с точностью

косвенных затрат 3-го порядка. Решение. Найдём матрицу полных затрат по формуле: 1)AI(B −−= .

−

−=

−

=−

9,03,02,09,0

1,03,02,01,0

1001

AI .

Отсюда

=

=−= −

561545256

9,02,03,09,0

75,01)AI(В 1 .

Поскольку ...AAAI)AI(В 321 ++++=−= − , где 2)1( AAAA == – матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка, то приближённая матрица полных затрат с точностью косвенных затрат 3-го порядка будет равна:

=

==

0073,00084,00056,00073,0

1,03,02,01,0

AВ4

4 .

Задания 6.2.

7. Дана матрица прямых затрат

=

05,03,04,01,06,0

3,002,0A . Требуется:

• построить модель Леонтьева; • рассчитать матрицу полных затрат; • рассчитать матрицу суммарных косвенных затрат (используя

формулу АСAкос −= ).

8. Дана матрица полных затрат

=

59525256

B . Требуется:

• найти матрицу прямых затрат; • построить модель Леонтьева; • найти матрицу B∆ изменения матрицы полных затрат, если

величина коэффициента 11a уменьшится на 0,1.

52

6.3. Агрегирование в межотраслевом балансе. Ошибка агрегирования

Пусть n отраслей агрегируются, т.е. объединяются в m отраслей. Обозначим: A~ – матрица коэффициентов прямых затрат для отраслей, полу-

ченных в результате агрегирования; x~ – вектор валового выпуска отраслей после агрегирования; y~ – вектор конечного продукта отраслей после агрегирования. Агрегирование отраслей происходит с помощью оператора аг-

регирования Т – матрицы m×n, состоящей из 0 и 1, причём 1 стоит на местах агрегированных отраслей.

Также используется оператор агрегирования с весами Т(ω), где вместо 1 ставятся веса iω , которые находятся следующим образом.

Пусть отрасли с номерами 1–h1 объединяются в новую 1-ю от-расль; с номерам h1+1–h2 во 2-ю и т.д.

Тогда )h,1i(x

x1h

1ii

ii 1

==ω

∑=

,…, )n,hi(xx

x1min

1hii

ii

1m

−

+=

==ω

∑−

.

Таким образом, весовые коэффициенты характеризуют долю валового выпуска i-й отрасли в валовом выпуске объединяемых отраслей.

Агрегирование отраслей происходит по следующим формулам: Txx~ = , Tyy~ = , )(TATA~ Tp ω= . Ошибкой агрегирования называют величину 0x~Tx −=∆ , где х –

решение матричного уравнения Ах+у=х; 0x~ – решение агрегиро-ванного матричного уравнения 00 x~y~x~A~ =+ .

Пример 6.3. Даны вектор валового выпуска

=

50605030

x и матрица

прямых затрат

=

1,01,02,01,02,02,02,03,01,02,04,02,0

1,01,01,03,0

A . Известно, что четыре отрасли

53

агрегируются в порядке: 1,3 в 1; 2,4 в 2. Найти ошибку агрегирова-ния Δ.

Решение. Сначала находим вектор у:

=

−−−−−−−−−−−−

=−=

261975

50605030

9,01,02,01,02,08,02,03,01,02,06,02,01,01,01,07,0

x)AI(y .

Далее строим оператор агрегирования Т:

=

10100101

T .

Находим весовые коэффициенты и строим оператор )(T ω :

31

9030

xxx

31

11 ==

+=ω ,

21

10050

xxx

42

22 ==

+=ω ,

32

9060

xxx

31

33 ==

+=ω ,

21

10050

xxx

42

44 ==

+=ω

и тогда

=ω

210210032031

)(T .

Находим y~ и A~ :

=

=

3324

261975

10100101

y~ .

=

=

=

=

1,03,03,04,0

210032210031

2,03,06,03,03,03,03,06,0

210032210031

1,01,02,01,02,02,02,03,01,02,04,02,0

1,01,01,03,0

10100101

A~

Строим агрегированное уравнение x~y~x~A~ =+ :

=

+

2

1

2

1

x~x~

3324

x~x~

4,03,03,04,0 .

54

Находим отсюда x~ . Для этого вычисляем 1)A~I( −− :

=

=

−

−=−

−−

920910910920

6,03,03,06,0

27,01

6,03,03,06,0

)A~I(1

1 .

Тогда

=

=

10090

3324

920910910920

x~ .

Находим ошибку агрегирования:

=

−

=

−

=∆

00

10090

10090

10090

50605030

10100101

Так как ошибка агрегирования равна 0, то агрегирование осу-ществлено верно.

Задания 6.3.

9. Пусть

=

02,03,02,005,01,04,00

A ,

=

152010

x ,

=

3143

y и отрасли агрегируют-

ся в две в порядке: 1,2 в 1, 3 в 2. Найти ошибку агрегирования.

10. Пусть матрица прямых затрат равна

=

3,01,05,01,04,02,02,03,01,02,05,02,01,02,01,03,0

A ,

валовой выпуск соответственно равен 30,50,60 и 50 единицам, по-рядок агрегирования: 1,2 в 1, 3,4 в 2. вычислить ошибку агрегиро-вания.

11. Пять отраслей агрегируются в две: 1,3,4 в 1, 2,5 в 2.

Матрица А и вектор х заданы:

=

2,01,02,03,001,01,0002,0

04,01,02,01,02,03,002,01,0

001,03,02,0

А ,

=

2010203020

х .

Найти ошибку агрегирования.

55

Контрольная работа № 3

Даны матрица межотраслевых поставок ( )

=

100N406010NN401015

10N020

xij и

вектор: а) объёмов валового выпуска 10, 20, N и 8 (для N=1,…,10); б) объёмов конечного продукта 20, N, 6 и N+1 (для N=11,…20); в) объёмы валового выпуска 1-й и 2-й отраслей 10 и N , объёмы

конечного продукта 3-й и 4-й отраслей N и 20 соответственно (для N=21,…,30).

(N – номер по списку) Найти: 1) недостающий вектор валового выпуска или конечного про-

дукта и матрицу прямых затрат; 2) составить модель Леонтьева; 3) матрицу Н; 4) матрицу косвенных затрат В; 5) матрицу косвенных затрат с точностью косвенных затрат

3-го порядка; 6) ошибку агрегирования, если дана следующая схема агреги-

рования: для варианта а) 1, 2 в 1-ю; 3, 4 во 2-ю; для варианта б) 1, 3 в 1-ю; 2, 4 во 2-ю; для варианта в) 1, 4 в 1-ю; 2, 3 во 2-ю.

56

Глава 2

ДИНАМИЧЕСКИЕ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

§ 7. Общие модели развития экономики

(модели экономического роста) Говоря об экономике благосостояния, имеют в виду такое ее

развитие, когда все потребители равномерно достигают максиму-ма своей полезности.

Однако на практике такая идеальная ситуация имеет место до-вольно редко, так как благосостояние одних достигается часто за счет ухудшения состояния других.

Поэтому более реально говорить о таком уровне распределения благ, когда ни один потребитель не может увеличить свое благосо-стояние, не ущемляя при этом интересов других потребителей.

Неоклассической моделью оптимального экономического роста называется модель вида: ttttt kkcy ∆+µ+= , которая показы-вает, что выпуск продукции, приходящийся на одного рабочего, распределяется на три составные части:

• потребление на данного рабочего, • поддержание (амортизацию) его капиталовооруженности на

прежнем уровне, • чистый прирост капиталовооруженности рабочего. Максимальный уровень капиталовооруженности tk находится

как решение уравнения 0dkdy

tktkt

t

==

и называется уровнем золото-

го правила накопления.

57

Точка х называется оптимальной по Парето в задаче много-критериальной оптимизации, если не существует другой точки х, для которой )x(f)x(f ii ≥ для всех i, причем хотя бы для одного i име-ет место строгое неравенство.

Множество всех оптимальных по Парето точек называется множеством Парето.

Пример 7.1. Найти все оптимальные по Парето точки для сле-

дующих множеств евклидова пространства:

1.

=∈= ∑=

Rua:EuDn

1i

2ii

n , где R>0, ai>0 константы;

2. { }n,1i,bua:EuD iiin =≤≤∈= .

Решение. Для решения воспользуемся тем свойством множества Парето P(D),

что принадлежащие ему точки сосредоточены на «северо-восточной границе» множества D (для двумерного случая см. рисунок).

На этом основан графический метод определения оптимальных по Парето точек: чтобы проверить, при-надлежит ли данная точка множеству Парето или нет, применяется так назы-ваемое множество доминируемости в виде конуса с вершиной в данной точке и граничными лучами, параллельными осям координат.

Если у этого конуса и множества D только одна общая точка (вершина кону-

са), то эта точка оптимальна по Парето. Определим множества Парето для множеств из условия задачи

(предварительно можно построить чертеж для двумерного случая). 1. D – эллипсоид с центром в начале координат. Тогда множество

Парето

nED)D(Р += (часть эллипсоида, находящаяся в положи-тельном ортанте).

2. D – параллелепипед евклидова пространства. Здесь множество Парето состоит из одной точки – его вершины (b1,…,bn), т.е. P(D)={(b1,…,bn)}.

Пример 7.2. Пусть в статической макроэкономической модели

потребление есть линейная функция от выпуска (национального дохода) С=0,2Y+15, где коэффициент 0,2 называется склонностью

58

к потреблению и выражает пропорцию, в которой потребление возрастает при росте дохода, а коэффициент 15 – это базовое по-требление. Пусть величина инвестиций постоянна и равна 8.

Определите равновесный национальный доход. Решение. Равновесный национальный доход отвечает условию равенства

валового выпуска Y и спроса, причем спрос складывается из конеч-ного потребления C и инвестиций I.

По условию задачи С=0,2Y+15, I=8, тогда получаем уравнение Y=0,2Y+23. Отсюда Y*=28,75 – равновесный валовый выпуск (наци-ональный доход).

Пример 7.3. Пусть неоклассическая модель включает иностран-

ные займы, причем экспорт X, импорт M и иностранный кредит D связаны соотношением Х+D=M+ρD, где ρ – процент по кредитам, величина которого считается заданной.

Напишите основное уравнение экономического роста для этого случая.

Решение. Уравнение дохода для данной задачи принимает вид:

)MX(ICY ttttt −++= . С учетом соотношения на импорт и экспорт оно записывается как tttt D)1(ICY ρ−−+= .

Обозначим размер иностранного кредита на единицу рабочей силы через td . Переходя к показателям на одного рабочего, послед-нее равенство можно переписать следующим образом:

tttt d)1(icy ρ−−+= . Используя соотношение для инвестиций tttt kki µ+∆= , оконча-

тельно получаем: tttttt d)1(kkcy ρ−−µ+∆+= . Пример 7.4. Определите уровень капиталовооруженности золо-

того правила накопления для производственной функции Кобба-Дугласа 0a,10,LaK)L,K(FY 1 >≤β≤== β−β .

Решение. Разделим левую и правую части функции Кобба-Дугласа на объ-

ем трудовых ресурсов: β−β= LaKLY , а затем перепишем ее в удельных

показателях на одного рабочего: β= aky .

59

Уровень капиталовооруженности k золотого правила накопле-

ния найдем из условия 0dkdy

= .

При β=0 оно выполняется для любого вещественного k. Если β>0, то имеем 0ka 1 =β −β , а это уравнение конечного реше-

ния не имеет (т.е. можно полагать ∞=k ). Пример 7.5. Пусть в долгосрочном плане кроме тенденции роста

экономика обнаруживает наличие волн подъема и спада конъюнк-туры. Будем считать, что при этом инвестиции кратны приросту валового выпуска: )YY(I 2t1tt −− −ν= , где коэффициент υ>0 – фактор акселерации.

Потребление задается линейной функцией от выпуска с вре-менным лагом продолжительностью в 1 период (год): baYC 1tt += − , где 0<a<1, b>0.

Исходя из условия бюджетного баланса, постройте уравнение динамики национального дохода и определите его значение через 8 лет, если а=0,75, b=20, υ=1,05, 50Y0 = , 55Y1 = .

Решение. Подставляя в условие равновесия спроса и предложения

ttt ICY += выражения для потребления и инвестиций, получаем динамическое уравнение:

bYY)a(Y 2t1tt +ν−ν+= −− . Воспользовавшись этой формулой, подсчитаем значения вало-

вого выпуска для t=2,…,8:

4531885,10020Y05,1Y8,1Y

805595,11120Y05,1Y8,1Y

04465,11520Y05,1Y8,1Y

7855,10920Y05,1Y8,1Y

685,9720Y05,1Y8,1Y

95,8120Y05,1Y8,1Y

5,6620Y05,1Y8,1Y

678

567

456

345

234

123

012

=+−=

=+−=

=+−=

=+−=

=+−=

=+−=

=+−=

Как видим, даже на таком малом интервале времени прослежи-

вается подъем и спад деловой активности.

60

Задание 7.1. Пусть инвестиции кратны приросту валового выпуска:

)Y2Y(I 2t1tt −− −ν= , где коэффициент υ>0 – фактор акселерации. Потребление задается функцией с временным лагом продолжи-

тельностью в 1 период (год): А. baYC 1tt += − , где 0<a<1, b>0. Б. bаY)Y(C 1t21tt ++= −− , где 0<a<1, b>0. Исходя из условия бюджетного баланса, постройте уравнение

динамики национального дохода и определите его значение через 6 лет, если

А. а=0,25, b=30, υ=1,15, 40Y0 = , 43Y1 = . Б. а=0,5, b=45, υ=1,75, 25Y0 = , 30Y1 = .

§ 8. Динамические модели межотраслевого баланса

8.1. Динамическая модель В. Леонтьева

Динамические модели описывают экономику в развитии (в от-

личие от статических моделей), они характеризуют экономику в долгосрочном периоде.

В этих моделях учитываются инвестиции в производственный капитал, его рост за счет капиталовложений и увеличение выпуска продукции.

Существует ряд динамических моделей, в которых отражаются многоотраслевые зависимости вектора функций времени основных экономических показателей:

x(t) = (xi(t)) – вектор-функция валового продукта; y(t) = (yi(t)) – вектор-функция конечного продукта; z(t) = (zi(t)) – вектор-функция промежуточного продукта; k(t) = (ki(t)) – вектор-функция инвестиций; c(t) = (ci(t)) – вектор-функция продукции непроизводственного

потребления, где i = 1,…, n – отрасли производства. Замкнутые модели отражают экономику при нулевом значе-

нии непроизводственного потребления c(t).

61

В этом случае весь произведенный продукт используется в ка-честве инвестиций. Происходит максимальное наращивание про-изводственного капитала и выпуска продукции.

Открытые модели отражают экономику при разных траекто-риях непроизводственного потребления c(t).

Открытая динамическая модель валовой продукции в мат-

рично-векторной форме имеет вид: 0)t(c)t(x)EA(dt

)t(dxB =+−+ .

Замкнутая динамическая модель валового продукта явля-ется частным случаем предыдущей формулы при c(t) = 0.

Пример 8.1. Найти решение следующей замкнутой модели ва-

ловой продукции для двух отраслей:

=

5050

)0(х ;

=

4,03,03,02,0

А ;

=

8,00,15,05,0

В .

Решение. Замкнутая модель производственной сферы имеет вид:

0)t(x)EA(dt

)t(dxB =−+ (*)

Из условия находим:

−

−=

−

=−

6,03,03,08,0

1001

4,03,03,02,0

)ЕА(

−+−

=

−

−=−

21

21

2

1

х6,0х3,0х3,0х8,0

хх

6,03,03,08,0

х)ЕА( .

Тогда, подставляя в (*), получим систему:

=−++

=+−+

0x6,0x3,0dt

dx8,0

dtdx

0,1

0x3,0x8,0dt

dx5,0

dtdx

5,0

2121

2121

.

Заменим дифференциальные уравнения их изображениями:

=−+−+−=+−−+−

0Х6,0Х3,0))0(хрХ(8,0))0(хрХ(0,10Х3,0Х8,0))0(хрХ(5,0))0(хрХ(5,0

212211

212211

Подставим начальные значения и сгруппируем коэффициенты:

=−++=++−

90Х)6,0р8,0(Х)3,0р0,1(50Х)3,0р5,0(Х)8,0р5,0(

21

21 .

62

Решение полученной алгебраической системы находим методом Крамера:

39,0р39,1р1,0 2 +−−=∆ ;

9,3р9,13р570р50)р(Х 21−+

−= ;

9,3р9,13р870р50)р(Х 22 −+

−= .

В знаменателях выведенных формул находятся характеристиче-ские полиномы.

Оригиналы процессов x1(t) и x2(t) зависят от корней характери-стического уравнения. Если корни действительные, то движение монотонное, если комплексные – то колебательное.

Параметры процессов x1(t) и x2(t) зависят от значений корней характеристического уравнения.

Находим корни характеристического уравнения 09,3р9,13р2 =−+ : ( )

−

=±−≈−⋅⋅−±−

=λ18,14

28,023,795,6

2)9,3(149,139,13 2

2,1 .

Для решения дифференциальных уравнений раскладываем знаменатель на множители и представляем Х1(р) и Х2(р) в виде сумм простейших дробей:

18,14pk

28,0pk

9,3р9,13р870р50)р(Х

18,14pk

28,0pk

9,3р9,13р570р50)р(Х

4322

2121

++

−≈

−+−

=

++

−≈

−+−

=

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, из первого уравнения находим k1 и k2:

≈≈

−=−=+

10k40k

570k28,0k18,1450kk

2

1

21

21

А из второго уравнения – k3, k4:

−≈≈

−=−=+

58,11k58,61k

870k28,0k18,1450kk

4

3

43

43

В итоге получаем:

18,14p58,11

28,0p58,61

18,14pk

28,0pk

)р(Х

18,14p10

28,0p40

18,14pk

28,0pk

)р(Х

432

211

+−

−≈

++

−≈

++

−≈

++

−≈

63

Проинтегрировав, получим:

t18.14t28,02

t18,14t28,01

e58,11e58,61)t(x

e10e40)t(х−

−

−≈

+≈

Из полученного решения вытекает, что в нулевой момент объем валового продукта в первой отрасли x1(0) ≈ 40,00 + 10,0 = 50 и во второй отрасли x2(0) ≈ 61,58 – 11,58 = 50, что совпадает с условием задачи.

Следует отметить, что второе слагаемое каждого процесса – функция времени, значение которой уменьшается быстрее, чем увеличивается значение первого слагаемого. Поэтому в долгосроч-ном периоде (более 5 лет) ими можно пренебречь.

Тогда процесс производства валового продукта в двух отраслях принимает вид:

t28,02

t28,01

e58,61)t(x

e40)t(х

≈

≈

Сформулируем основные выводы из решения задачи: 1) динамика в данном случае имеет характер непрерывного ро-

ста валового выпуска; 2) процесс валового выпуска каждой отрасли отражают два сла-

гаемых экспоненциального вида; 3) второе слагаемое изменения валового продукта обеих отрас-

лей – быстроснижающиеся до нуля процессы, поэтому в решении задачи можно оставить одно первое слагаемое;

4) ежегодный темп прироста валового выпуска обеих отраслей составляет 28%, т.е. в данном случае экономический рост доста-точно велик. Это объясняется выбранными значениями коэффици-ентов матриц А и В.

Пример 8.2. Найти решение следующей открытой модели вало-

вой продукции:

=

5050

)0(х ; t2,0e2525

)t(с

= ;

=

4,03,03,02,0

А ;

=

8,00,15,05,0

В .

Решение. Замкнутая модель производственной сферы имеет вид:

0)t(c)t(x)EA(dt

)t(dxB =+−+ (**)

Из условия находим:

−

−=

−

=−

6,03,03,08,0

1001

4,03,03,02,0

)ЕА(

64

−+−

=

−

−=−

21

21

2

1

х6,0х3,0х3,0х8,0

хх

6,03,03,08,0

х)ЕА( .

Тогда, подставляя в (**), получим систему:

=−++

=+−+

t2,021

21

t2,021

21

e25x6,0x3,0dt

dx8,0

dtdx

0,1

e25x3,0x8,0dt

dx5,0

dtdx

5,0.

Заменим дифференциальные уравнения их изображениями:

−=−+−+−

−=+−−+−

2,0p25Х6,0Х3,0))0(хрХ(8,0))0(хрХ(0,1

2,0p25Х3,0Х8,0))0(хрХ(5,0))0(хрХ(5,0

212211

212211

Подставим начальные значения и сгруппируем коэффициенты:

−+

=−++

−+

=++−

2,0p7p90Х)6,0р8,0(Х)3,0р0,1(

2,0p15p50Х)3,0р5,0(Х)8,0р5,0(

21

21

.

Решение полученной алгебраической системы находим методом Крамера:

39,0р39,1р1,0 2 +−−=∆ ;

)2,0p)(9,3р9,13р(111p485р50)р(Х 2

2

1 −−+++

= ;

)2,0p)(9,3р9,13р(101p985р50)р(Х 2

2

2−−+

++= .

Для решения дифференциальных уравнений раскладываем знаменатель на множители и представляем Х1(р) и Х2(р) в виде сумм простейших дробей:

2,0pk

18,14pk

28,0pk

)2,0p)(9,3р9,13р(101p985р50)р(Х

2,0pk

18,14pk

28,0pk

)2,0p)(9,3р9,13р(111з485р50)р(Х

6542

2

2

3212

2

1

−+

++

−≈

−−+++

=

−+

++

−≈

−−+++

=

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, из первого уравнения находим k1, k2 и k3:

≈−≈

≈

=++−=+−

=++

74,216k55,182k

81,15k

111k9704,3k056,0k836,2485k9,13k48,0k98,13

50kkk

3

2

1

321

321

321

65

А из второго уравнения – k4, k5, k6:

−≈−≈

≈

78,260k34,18k

11,329k

3

2

1

В итоге получаем:

2,0р78,260

18,14р34,18

28,0р11,329

2,0pk

18,14pk

28,0pk

)р(Х

2,0р74,216

18,14р55,182

28,0р81,15

2,0pk

18,14pk

28,0pk

)р(Х

6542

3211

−−

+−

−≈

−+

++

−≈

−+

+−

−≈

−+

++

−≈

Проинтегрировав, получим:

t2,0t18.14t28,0

2

t2,0t18,14t28,01

e78,260e34,18e11,329)t(x

e74,216e55,182e81,15)t(х

−−≈

+−≈−

−

.

Из полученного решения вытекает, что в нулевой момент объем валового продукта в первой отрасли x1(0) ≈ 15,81 – 182,55 + 216,74 ≈50 и во второй отрасли x2(0) ≈ 329,11 – 18,34 – 260,78 ≈ 50, что совпадает с условием задачи.

Задания 8.1. 1. Дана замкнутая модель валового производства В. Леонтьева

при нулевых начальных условиях. Варианты матриц коэффициен-тов А и В заданы в таблице.

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

А11 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,7 0,3 0,2 0,4 А12 0,3 0,4 0,5 0,6 0,2 0,1 0,3 0,5 0,6 0,2 А21 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,4 0,6 0,4 0,5 А22 0,5 0,6 0,7 0,8 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5

В11 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 В12 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 В21 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 В22 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Требуется выполнить следующее. • Вывести систему ЛОДУ. • Выписать изображение системы ЛОДУ. • Решить систему изображений относительно валовых продуктов. • Определить оригинал процессов изменения валовых продуктов.

66

• Определить значение темпа изменения валовых продуктов. 2. На основании выведенного в задаче 1 вектора валовой про-

дукции и заданного варианта матрицы прямых материальных за-трат вывести вектор-функцию конечного продукта.

8.2. Магистральная теория Неймана

В магистральной теории изучается модель расширяющейся

экономики. Магистральная теория позволяет вычислять оптимальные тра-

ектории экономического роста. Магистральные модели являются динамическими, т.е. в них все

переменные являются функциями времени. Все изменения модели происходят в интервалы времени

t=0,1,…,T. Моделирование ведется по шагам в элементарные отрез-ки (периоды) времени [t, t+1]. Вектор (набор) затрат на производ-ство разного вида продукции за элементарный отрезок времени обозначается через х, вектор (набор) выпуска за тот же отрезок обозначается через y.

Существуют пары векторов затраты – выпуск (x, y) допустимые и недопустимые.

Допустимые пары – такие, в которых затраты х дают возмож-ность произвести продукты y.

У недопустимых пар подобная возможность отсутствует. Все до-пустимые пары составляют множество допустимых техноло-гий (технологических способов) Z такое, что Z)у,х( ∈ .

Технологически допустимая траектория – это последователь-ность допустимых технологий, которая определяется соотношением { } T,0t,Z)y,x( t1tt =∈+ , где Zt – допустимая технология в период t.

Рассматривается два типа экономик. 1. В замкнутой экономике все выпуски yt затрачиваются на

производство продуктов в тот же элементарный отрезок времени t. Трудовые ресурсы применяются во всех допустимых технологиях. При этом непроизводственное потребление продуктов не выделя-ется. Поэтому yt=xt и yt+1=xt+1.

Тогда технологически допустимые траектории состоят из по-следовательности пар (xt, yt+1) = (xt, xt+1), которые представляют собой динамический ряд векторов (наборов) x0, x1, …, xT .

Их можно записать в форме { } T,0t,x t = .

67

2. В открытой экономике в каждый элементарный отрезок времени произведенная продукция yt распределяется на произ-водственное потребление xt и непроизводственное потребление ct домохозяйств (и государства) согласно уравнению yt = xt + ct. Технологически допустимые пары обозначаются соотношением (xt, yt+1) = (xt, xt+1 + ct+1).

Поэтому множество технологически допустимых траекторий приобретает форму { } T,0t,Z)cx,x( t1t1tt =∈+ ++ .

Для сопоставления технологий по их результативности вводит-

ся понятие эффективной технологии. Пусть (х1, у1) и (х2, у2) – два допустимых технологических спо-

соба и (х1, у1) ≠ (х2, у2). Если по любому элементу выполняется не-равенство х1 ≤ х2 и неравенство у1 ≥ у2, то первая технология явля-ется более эффективной, чем вторая.

Предельным случаем эффективной технологии является опти-мальная технология. Понятие оптимальной по Парето техноло-гии имеет следующий смысл. Если (х*, у*) – такой технологический способ, для которого не существует более эффективного, то этот способ является оптимальным.

Оптимальной траекторией называется максимально эффек-тивная траектория.

Основные критерии оптимизации: Оптимальная траектория по терминальному критерию –

это такая траектория, у которой достигается максимальный вы-пуск на последний момент времени.

Оптимальная траектория по распределенному критерию применяется для открытой экономики. Оптимальной является траектория, у которой для всякой технологически допустимой тра-ектории из неравенства ct ≥ c*t следует, что ct = c*t.

Оптимальная траектория по технологическому темпу ро-ста – это траектория максимального сбалансированного роста производства продукции. Такая траектория получила название магистрали.

Для каждого вида продукта i темп роста производства вычисля-ется как отношение количества выпуска yi к затратам xi за элемен-

тарный отрезок времени по формуле i

ii x

y=η .

68

Критерием оптимизации становится достижение равенства )y,x(minmax* iiiir

η=η .

Показатель η* называется технологическим темпом роста. Магистраль – это траектория пропорционального сбалансиро-

ванного роста экономики с технологическим (максимальным) тем-пом η*.

Модель Дж. ф. Неймана (технологическое множество Неймана) записывается в форме множества технологически допустимых пар векторов x=(xi) затрат i-х продуктов и векторов y=(yi) выпуска i-х продуктов, таких что: { } 0z,Bzy,Azx:)y,x( ≥== .

Пример 8.3. Найти оптимизационный темп роста для экономи-

ки, заданной следующими параметрами:

=

4,05,06,05,04,03,0

А ;

=

8,06,05,07,05,04,0

В ;

=

132

z1 ;

=

232

z 2 , где Z=(z1,z2) –

множество технологических способов. Решение. Рассмотрим случай z1. Вычисляем значения векторов x, y и определяем условно-

минимальный темп роста η*1:

=

++++

=

=×=

6,33

8,08,117,05,18,0

132

8,06,05,07,05,04,0

zBy 11 .

То есть продукт i=1 будет выпущен в количестве у1=3 ед., про-дукт i=2 – в количестве н2=3,6 ед.

=

++++

=

=×=

1,33,2

4,05,12,15,02,16,0

132

4,05,06,05,04,03,0

zAx 11 .

То есть затраты продукта i=1 составляют х1=2,3 ед., продукта

i=2 в объеме х2=3,1 ед. Тогда темп роста

≈

=

=η

23,13,1

1,36,33,2

3

xy

1

11 .

Следовательно, ограничивающий темп роста составит: 23,1min1* 1 =η=η .

69

Рассмотрим случай z2. Аналогично первому случаю вычисляем:

=

=×=

4,47,3

232

8,06,05,07,05,04,0

zBy 22 ;

=

=×=

5,38,2

232

4,05,06,05,04,03,0

zAx 22 ;

≈

=

=η

26,132,1

5,34,48,27,3

xy

2

22 и тогда 26,1min2* 2 =η=η .

Теперь выбираем максимальный темп роста из вычисленных ограничивающих темпов и тем самым принимаем окончательное решение.

Тогда повторное решение задачи определения наиболее огра-ничивающего темпа роста является решением поставленной зада-чи оптимизации темпа роста согласно цели в виде равенства:

26,1)2*,1*max(* =ηη=η . В результате решения этой задачи определен технологический

темп роста производства 26,1*=η *. Этот темп роста будет достиг-нут, если применить вектор технологических способов z2.

Задания 8.2. Решить задачу определения технологического темпа экономи-

ческого роста, если имеются технологические способы z1 = (3,1,3), z2 = (3,1,2) и варианты матриц A, B заданы в таблице:

Вариант 1 2 3 4 5 А

4,05,06,05,04,03,0

5,04,05,04,03,06,0

4,05,04,03,06,05,0

3,04,05,06,04,04,0

4,06,04,05,03,03,0

В

8,06,05,07,05,04,0

8,06,05,07,05,04,0

8,06,05,07,05,04,0

8,06,05,07,05,04,0

8,06,05,07,05,04,0

Вариант 6 7 8 9 10 А

7,05,06,05,04,03,0

2,04,06,05,04,03,0

6,08,03,04,02,05,0

7,08,07,05,06,08,0

7,02,06,05,03,04,0

В

7,08,06,05,04,05,0

7,08,06,05,04,05,0

7,08,06,05,04,05,0

7,08,06,05,04,05,0

7,08,06,05,04,05,0

70

Контрольная работа № 4

1. Даны матрицы

++

=3N,06,01,01N,05,0N,0

А ;

+

+=

1N,04,0N,07,03N,01,0

B

Требуется найти: • решение замкнутой модели при начальном условии

+

=5N

N)0(х ;

• решение открытой модели при начальном условии х(0) и тра-

ектории потребления Nt,0eNN

)t(с

= ;

• найти оптимизационный темп роста, если множество техно-логических способов ограничено двумя вариантами:

+=

21N

N1z ,

+=

31N

N2z .

2. Пусть инвестиции кратны приросту валового выпуска: )YY(I 2t1tt −− −ν= , где коэффициент υ>0 – фактор акселерации.

Потребление задается функцией с временным лагом продолжи-тельностью в 1 период (год):

b)Y(aC 21tt += − , где 0<a<1, b>0. Исходя из условия бюджетного баланса, постройте уравнение

динамики национального дохода и определите его значение через 5 лет, если:

N20Y20YN0,112bN,0а 10 +===ν== . N – номер студента по списку.

71

Список рекомендуемой литературы

Основная литература 1. Аллен Р. Математическая экономика. М., 1963. 2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.:

Наука, 1984. 3. Давнис В.В., Лихачева Л.Н., Эйтингон В.Н. Модели макроэконо-

мического равновесия. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. 4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математиче-

ские методы в экономике. М.: ДИС, 1997. 5. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 2003.

Дополнительная литература 6. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т. I-III. М.: Мир,

1972 – 1973 гг. 7. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр // Успехи

мат. наук. 1970. Т. 25. № 2. 8. Драйпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: ФиС,

1986. 9. Исследование операций. Т. I, II. под. ред. Дж. Моудера, С. Элма-

граби. М.: Мир, 1981. 10. Справочник по математике для экономистов / под. ред. В.И. Ер-

макова М.: Наука, 1987.

72

Учебное издание

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Составитель

Тиндова Мария Геннадьевна

Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению подготовки

080100.62 «Экономика»

Редактор Е.В. Смолякова Компьютерная верстка выполнена А.А. Углановым

Подписано в печать 25.02.2013 г. Формат 60×84 1/16.

Бумага типогр. №1. Печать Riso. Уч. -изд. л. 4,5. Усл. печ. л. 3,8.

Тираж экз. Заказ .

410003, г. Саратов, ул. Радищева, 89. СГСЭУ.