1. ONDAS. CONCEPTO. CLASIFICACIÓN. ONDAS MECÁNICAS.

Se clasifican en: transversales (si la velocidad de propagación de la onda es perpendicular al desplazamiento de las partículas del medio, causado por la perturbación) o longitudinales (si la velocidad de propagación de la onda es paralelo al desplazamiento). Además podemos realizar otra clasificación, dividiéndolas en electromagnéticas, (ondas únicamente transversales que no necesitan medios para propagarse y provienen de oscilaciones de campos eléctricos y magnéticos) y ondas mecánicas, las que necesitan un medio para propagarse, es decir un medio para ser perturbado, y un mecanismo físico para que se pueda propagar la información a través de las partículas del medio.

Como ejemplos de ondas transversales podemos mencionar, las que se propagan alrededor de una soga, y aprovechamos para hacer notar una gran diferencia:

El movimiento que realizan las partículas perturbadas, en este caso, es un movimiento armónico simple, en el que oscilan alrededor de la posición de equilibrio, y por lo tanto la ecuación que gobierna su movimiento es la de un MAS. En cambio, el movimiento que realiza la propagación de la información es un MRU con velocidad constante. Esta diferencia es fundamental entenderla, para poder entender la concepción del movimiento ondulatorio.

Como ejemplo de ondas longitudinales citamos las ondas que se propagan alrededor de un resorte o las ondas sonoras. Aprovéchese a ver que el sonido es una onda mecánica puesto que es longitudinal. Entonces vemos como el sonido necesita un medio para propagarse, y éste no se propaga en el vacío.

Como ejemplo de onda electromagnética, podemos citar la luz, que si puede propagarse en el vacío, y como ejemplos de ondas mecánicas, todas las arriba nombradas.

UNA ONDA ES UNA PERTURBACIÓN QUE APARTA AL MEDIO DE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO.

LAS ONDAS MECÁNICAS PUEDEN SER LONGITUDINALES O TRANSVERSALES, Y NECESITAN UN MEDIO PARA QUE PUEDA SER PERTURBADO Y UN MECANISMO FÍSICO PARA QUE SE PROPAGUE LA INFORMACIÓN ENTRE LAS PARTÍCULAS DEL

MEDIO.

2. FUNCIÓN DE ONDA

Así como para una partícula existe una ecuación que la gobierna, y esa ecuación es la

segunda Ley de Newton : ∑i=1

n

F⃗ i=d p⃗dt

m⃗=cte m . a⃗, existe también una ecuación que

describe el movimiento ondulatorio. Esta ecuación es una ecuación diferencial en derivadas parciales, por lo tanto como toda ecuación diferencial, su solución, si el problema de Cauchy está bien planteado, es una función. De forma tal, que esta ecuación nos permite afirmar que toda función que la satisfaga, es una función que describe el comportamiento de una onda.

Llamemos ξ ( x ,t ) a la perturbación causada. Observemos que dicha perturbación es un campo escalar de dos variables: la coordenada x y el tiempo t.

La ecuación que describe el movimiento ondulatorio es:

En particular si la onda se propaga en forma unidimensional en el sentido ±x , la ecuación se transforma en:

Nuestro objetivo de ahora en adelante será a través de la descripción fenomenológica del movimiento ondulatorio, encontrar una función que sea solución general de la ecuación diferencial planteada anteriormente:

ξ Sea la curva gráfica de una función de la forma ξ =def

f ( x )

x

Si a esa misma curva la desplazamos a la izquierda o a la derecha una distancia ±a

ξ

x a a

obtenemos una función ξ=f ( x±a ) . Pero, a su vez, si esa constante a fuera el producto entre la velocidad en la que se propaga la curva y el tiempo obtendríamos la ecuación de

∂2ξ∂ t2( x ,t )=v2 [∂2ξ

∂ x2( x ,t )+ ∂

2ξ∂ y2

(x , t )+ ∂2ξ∂ z2

( x , t )]

),(),(2

22

2

2

txx

vtxt

una curva que “viaja” en el espacio, a una velocidad v: )(),( vtxftx . Este modelo fenomenológico, es el que se ajusta al de una perturbación que aparta al sistema de su posición de equilibrio, y que se propaga a una velocidad v.

Veamos entonces, si estábamos en lo correcto, y la función ξ ( x ,t )=f ( x±vt ) se ajusta a la descripción del movimiento de una onda que se propaga en dirección ±x :

∂2ξ∂ t2( x ,t )=v2 ∂2ξ

∂ x2( x , t )

Definimos:

ξ :R2→R/ξ ( x ,t )=f ( x±vt )f : R→R / f=f (u )g : R2→R /g (x , t )=x±vt

Observamos que f es una función escalar diferenciable en todo su dominio y g un campo

escalar diferenciable en todo su dominio (Ambos C∞

en sus respectivos dominios).

Particularmente f es diferenciable en g( x ,t )entonces estamos en condiciones de aplicar la regla de la cadena:

Jξ( x , t )=J f ( g( x , t ))∗J g ( x , t )

Jξ( x , t )=(dfdu( g( x , t )))(1 ±v )=(df

du( g( x ,t )) ±v

dfdu(g ( x , t )) )

Por definición de matriz jacobiana:( dfdu( g( x ,t ))⏟

∂ξ∂x(x , t)

±vdfdu( g( x , t ))⏟

∂ ξ∂ t( x , t ) )

Si buscamos la derivada segunda:

∂2ξ∂ x2

( x , t )= ∂∂ x ( df

du( g( x , t )))=d2 f

du2(g (x , t )) ∂ g

∂ x(x , t )

∂2ξ∂ t2( x ,t )= ∂

∂ t (±vdfdu( g( x ,t )))=±v

d2 fdu2

( g( x ,t ))±v∂ g∂ t( x , t )=(±v )2 d2 f

du2( g (x , t )) ∂ g

∂ t( x , t )

d2 fdu2

( g( x ,t )) ∂ g∂ x( x ,t )

Como la ecuación diferencial era:

∂2ξ∂ t2( x ,t )=v2 ∂2ξ

∂ x2( x , t )

Reemplacemos las expresiones de las derivadas segundas:

∂2ξ∂ t2( x ,t )=v2 ∂2ξ

∂ x2( x , t )

=v 2

Y vemos como la ecuación se cumple.

Por lo tanto

ξ ( x ,t )=f ( x±vt ) es la ecuación de una onda.

3. ONDAS ARMÓNICAS.

Una onda armónica es aquella perturbación que cumple con la ecuación ξ ( x ,t )=f ( x±vt ), pero particularmente f (u)es una función armónica que tiene un período específico. La función f puede ser un seno o un coseno. Este tipo de ondas, son muy frecuentes en la naturaleza, y en realidad una onda sinusoidal corresponde a una perturbación tras otra todas equiespaciadas. Es lo que se llama un tren de ondas.

ξ ( x ,t )=Asen( k ( x±vt )) Observemos que aparecieron dos nuevos parámetros:

A: es la amplitud, que puede ser constante, y es la perturbación máxima, o puede ser variable y estar modulada, como veremos cuando tratemos batidos o pulsaciones.

k: es el número de onda. La magnitud k tiene un significado especial, sería como “el período espacial”:

Tenemos: ξ ( x ,t )=Asen( k ( x±vt )) Si en vez x evaluamos en x+2 π

k obtenemos:

d2 fdu2

( g( x ,t )) ∂ g∂ t( x ,t )

ξ ( x ,t )=f ( x±vt ) ES LA ECUACIÓN QUE GOBIERNA EL COMPORTAMIENTO DE UNA ONDA VIAJERA, PROGRESIVA O PROPAGANTE. ES UNA FUNCIÓN DE DOS

VARIABLES, X REPRESENTA LA COORDENADA QUE ES PERTURBADA, Y T EL TIEMPO QUE DURA EL PASAJE DE LA ONDA.

ξ ( x ,t )=Asen( k ( x+ 2 πk±vt ))=Asen(kx+2 π±kvt ))=Asen(k ( x±vt )+2 π )=Asen (k ( x±vt ))

Es decir la curva se repite a sí misma cada longitud k. Es decir que un período 2π , la onda se ha repetido k veces, por lo tanto definimos longitud de onda, o distancia entre dos puntos de igual perturbación λ como:

Definimos también otra constante del movimiento, la pulsación u ω :

ξ ( x ,t )=Asen( k ( x±vt ))=Asen(kx±kv⏟ω

t ))=Asen(kx±ωt ))

Así recordando que ω=2πf siendo f la frecuencia, es decir el número de oscilaciones por segundo:

ω=2πf , pero ω era una constante que surge de kv:

y como k representaba la cantidad de veces que vibra una onda por unidad de distancia, es decir, la onda se repite a sí misma k veces en su período, que al ser una función

armónica es 2π λ=2π

k así llegamos a la expresión:

Ésta velocidad no debe confundirse con la velocidad con la que oscilan las partículas alrededor de la posición de equilibrio, ésta velocidad, es la velocidad con la que se propaga la información de la perturbación.

v=λ⋅f

¡CUIDADO! La frecuencia, es una variable independiente, depende de la fuente.La velocidad depende del medio de propagación y la temperatura, es una variable independiente. La longitud de onda es la variable dependiente de la frecuencia y la velocidad de propagación.

λ=2πk

kv=2πf

v=2πk

f

Ambos gráficos muestran cosas distintas.

El primer gráfico, (a) muestra como es el movimiento de TODAS LAS PARTÍCULAS x en un determinado instante. Es como si se hubiera sacado una foto instantánea en un

determinado t=t1 .

El segundo gráfico, (b) muestra sólo el movimiento de UNA partícula ubicada en una

coordenada x=x1 durante todo el pasaje de la onda periódica.

La perturbación causada al medio provoca que las partículas de ese medio oscilen alrededor de la posición de equilibrio, describiendo un movimiento armónico simple.

ξ ( x ,t )=Asen( kx±wt ) muestra el desplazamiento de dicha posición para cualquier x en cualquier t.

Aplicando las conocidas ecuaciones de cinemática, podemos entonces obtener la velocidad y la aceleración para todo x y para todo t.

En general: v⃗= lím

Δt→0

Δ x⃗Δt=d x⃗

dt y a⃗= lím

Δt→0

Δ v⃗Δt=d v⃗

dt

ξ ( x ,t )=Asen( kx±ωt )

v (x , t )=∂ξ∂ t( x , t )=Aw cos( kx±ωt )

a (x , t )=∂2ξ∂ t2( x ,t )=∂ v

∂ t( x , t )=−Aw2 sen(kx±ωt )

ξ ( x ,t )=Asen( kx±wt+α ) (*) ES LA ECUACIÓN DE UNA ONDA SINUSOIDAL DE

LONGITUDλ QUE SE PROPAGA EN LA DIRECCIÓN ±x CON VELOCIDAD v=λ⋅f ,

SIENDO f=T−1 EL NÚMERO DE OSCILACIONES POR SEGUNDO, RESULTADO DE LA

PERTURBACIÓN ξ QUE APARTA AL MEDIO EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO. LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO SE ENCUENTRAN OSCILANDO ALREDEDOR DE LA POSICIÓN

DE EQUILIBRIO, DESCRIBIENDO UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE, DONDE EL DESPLAZAMIENTO, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN DE CADA PARTÍCULA QUE

OCUPE LA COORDENADA X EN CUALQUIER T ESTÁN DADOS RESPECTIVAMENTE POR:

¡CUIDADO! v es la velocidad de propagación de la información, y es el producto de la longitud de onda por la frecuencia. Es constante y depende del

medio. v (x , t )es la velocidad con la que oscilan las partículas del medio alrededor de la posición de equilibrio, no es constante y es la primera derivada del desplazamiento de dichas partículas.

(*) El significado de α es el de fase inicial. Sirve para poder ajustar la función de onda, cuando a ( x ,t )=(0,0 )⇒ ξ (x , t )≠0

3. INTENSIDAD DE UNA ONDA:

La intensidad de una onda mecánica se define como el la rapidez media con la fluye energía a través de ella por unidad de superficie y de tiempo.

Para poder mostrar el modelo, vamos a partir de un ejemplo definido. Un resorte en su posición de equilibrio, que es apartado un Δx .

Entonces: EM=Ecinética+Epotencial . Si suponemos que es de masa despreciable, y anulamos el término de energía potencial gravitatoria, y además como comprobamos

que W F /NoC=0 como ΔE M=W F /NoC⇒E M=cte⇔W F /NoC=0 podemos afirmar que la energía mecánica es constante a lo largo del desplazamiento, por lo tanto en cualquier punto que elijamos, dicha energía no cambiará. Elegimos por comodidad la el punto de

amplitud máxima, donde la velocidad es nula por lo tanto Ecinética=0 y de esta manera:

EM=EPotencial / Elástica=12

kx 2=12

kA2

Recordando un poco los conceptos de fuerza elástica, como aquella fuerza variable, que dentro de los límites de elasticidad cumple la ley de Hooke:

Fe=m .a aplicando las leyes de Newton para sistemas inerciales de masa constante.

Y aplicando la ley de Hooke: Fe=−kx

−kx=m .dx2

dt 2

Proponemos una solución general para dicha ecuación diferencial: x ( t )=Asen(ωt+ψ )

y trabajando algebraicamente:

−km

Asen (ωt+ψ )−Aω2 sen(ωt+ψ )=0

Asen(ωt+ψ )(km−ω2)=0

Donde lo único que puede ser cero para todo t (pues es una solución general) es:

km−ω2=0

ω=√km→k=ω2m

Seguimos con nuestro cálculo inicialEM=EPotencial / Elástica=

12

kA 2

EM=EPotencial / Elástica=12

ω2mA 2

(*) El significado de α es el de fase inicial. Sirve para poder ajustar la función de onda, cuando a ( x ,t )=(0,0 )⇒ ξ (x , t )≠0

Recordando que la densidad volumétrica: ρ=m

V= m

ℓ .S

entonces considerando “pedacitos” infinitesimales de masa obtenemos: ℓ . Sρ=dm , pero

si el desplazamiento es una longitud en el eje x dx .Sρ=dm

Entonces podemos regresar a nuestra ecuación EM=EPotencial / Elástica=

12

ω2mA 2

y reescribirla, reemplazando los nuevos datos

dE=12

ω2dmA 2

dE=12

ω2⋅ρ⋅dx⋅S⋅A2

De aquí si recordamos que E=W∀ F y ⟨P ⟩=W

T

La potencia, es decir el flujo medio de energía por unidad de tiempo es:

⟨P ⟩=

dEdt=

12

ω2⋅ρ⋅dx⋅S⋅A2

dt=

v=dxdt 1

2ω2⋅ρ⋅v propag⋅S⋅A

2

Recordando que la intensidad es flujo medio de energía por unidad de tiempo y área:

I=P

Superficie⇒

12

ω2⋅ρ⋅v propag⋅S⋅A2

S=

12

ω2⋅ρ⋅v propag⋅A2

En particular, si la fuente es puntual y los frentes de onda (luego se definirán) son frentes de ondas esféricos:

siendo r el radio de la esfera.

I=12

ω2⋅ρ⋅v propag⋅A2

I= PSuperficie

⇒ P

4 π2r

I=cte⋅A2

3. PROPAGACIÓN DE ONDAS MÉCANICAS

3. 1. DEFORMACIONES EN SÓLIDOS. LÍMITE DE ELASTICIDAD. LEY DE HOOK. DEFORMACIÓN Y ESFUERZO.

El cuerpo rígido es un modelo idealizado utilizado en muchos casos. Pero en algunas (y en la mayoría) de las ocasiones los estiramientos, aplastamientos o torsiones son demasiado importantes para despreciarse.

Las deformaciones pueden ocurrir por fuerzas de tracción, compresión, tangentes a la superficie del objeto, y en particular en fluídos por cambios de volumen.

Definimos:

Esfuerzo :℘=Fuerza AplicadaÁrea

Si el esfuerzo y la deformación causada por este, son pequeños, decimos que son directamente proporcionales y llamamos a dicha constante de elasticidad módulo de elasticidad, módulo de torsión o módulo volumétrico, según sea el caso.

Ley de Hooke

LA INTENSIDAD CON LA QUE SE PROPAGA UNA ONDA ES EL FLUJO MEDIO DE ENERGÍA QUE TRANSPORTA POR UNIDAD DE TIEMPO Y DE ÁREA. EN GENERAL

VALE: I=Cte∗A2≡¿ ¿I=1

2ω2⋅ρ⋅v propag⋅A2

Y SE MIDE EN Watt

m2 SI LOS FRENTES DE

ONDA SON ESFÉRICOS, ES EQUIVALENTE LA EXPRESIÓN: I=⟨Pot ⟩4 π 2r .

EsfuerzoDeformación

=cons tan te

Esta ley tiene un límite de aplicación:

De Oa = es válida la ley de Hooke ab = no obedece la ley de Hooke

De bc= ocurre una deformación no elástica, sino plástica (irreversible).

3. 2. ONDAS EN UNA CUERDA:

Las ondas que se propagan en una cuerda, son ondas transversales:

Si realizamos el diagrama de cuerpo libre de un pedacito infinitesimal de cuerda de densidad lineal η .

T x

α

y

El cuerpo aún está en condiciones de recobrar la forma original

β dm

T

∑ F⃗=d p⃗dt

=m=cte

m . a⃗

x )T cos α−T cos β=0 (ondas transversales, desplazamiento en el eje y)y )Tsen α−Tsen β=dm .a y

si α ,β <<< 1 rad

tg α≃sen αtg β≃sen β

como la tangente es la pendiente de de la curva adoptada por la cuerda

Td (∂ ξ∂ x( x , t ))=dm .

∂2 ξ∂ t2( x , t )

Así, dividiendo por ∂ x miembro a miembro:

T ∂∂ x (∂ ξ

∂ x( x , t ))=dm

dx.∂2 ξ∂ t2( x , t )

Como

dmdx

.es la densidad lineal de la cuerda:

T ∂∂ x (∂ ξ

∂ x( x , t ))=η.

∂2ξ∂ t2( x ,t )

T∂2ξ∂ x2

( x ,t )=η .∂2ξ∂ t2

( x ,t )

Tη⋅∂

2ξ

∂ x2( x , t )=∂

2 ξ

∂ t2( x , t )

Comparando con la ecuación general del movimiento ondulatorio de ondas que se

propagan en la dirección ±x :

∂2ξ∂ t2( x ,t )=v2 ∂2ξ

∂ x2( x , t )

v2=Tη→v=√T

η

LA VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN EN UNA CUERDA ES LA RAÍZ CUADRADA DE LA

RAZÓN ENTRE LA TENSIÓN QUE SOPORTA Y SU DENSIDAD LINEAL: v=√T

η

T (sen α−sen β )=dm .∂2ξ∂ t2

( x , t )

T ( tgα−tg β )=dm .∂2 ξ

∂ t2( x , t )