operaciones con polinomios

ExMa-MA0125. Operaciones combinadas W. Poveda 1

Operaciones combinadas con polinomios

Objetivos

1. Aplicar las leyes de potencias.

2. Aplicar las propiedades de la suma y el producto.

3. Aplicar los productos notables en las operaciones con polinomios.

4. Efectuar divisiones de polinomios.

Temas

1. De�niciones básicas: Operaciones suma, resta, multiplicación.

2. Productos notables.

3. División algebraica y división sintética.

4. Operaciones combinadas


Resumen de conceptos fundamentalesLeyes de PotenciasSi x; y 2 R; a; b 2 Z entonces

1. x0 = 1; x 6= 0

2. x1 = x

3. x�a =1

xa; x 6= 0

4. xa � xb = xa+b

5.xa

xb= xa�b

6. (x � y)a = xa � ya

7. (xa)b = xab

8.�x

y

�a=xa

ya; y 6= 0

Leyes de Signos para PotenciasSi x 2 R; a 2 N; entonces(�x)a =

�xa si a es par

� xa si a es imparEjemplos

� (�2)2 = �2 � �2 = 4

� (�2)3 = �2 � �2 � �2 = �8

� �22 = �2 � 2 = �4

� �23 = �2 � �2 � �2 = �8

Notemos que (�2)2 = 22 y (�2)3 = �23Fórmulas NotablesSean x; y 2 R;

1. (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

2. (x� y)2 = x2 � 2xy + y2

3. (x+ y)(x� y) = x2 � y2


4. (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

5. (x� y)3 = x3 � 3x2y + 3xy2 � y3

6. (x+ y)(x2 � xy + y2) = x3 + y3

7. (x� y)(x2 + xy + y2) = x3 � y3

Operaciones combinadasPara simpli�car una operación combinada:

� se efectúan las operaciones dentro de paréntesis, si los hay

� se aplican las fórmulas notables, si las hay

� se efectúan las multiplicaciones o divisiones

� �nalmente, se efectúan sumas o restas

Ejemplo 1 Efectuar las operaciones y simpli�car la expresión algebraica

�3(2a� 3)2 � 2(2a� 1)3

SoluciónSe aplican las fórmulas notables�3(2a� 3)2 � 2(2a� 1)3 = �3 (4a2 � 12a+ 9)� 2 (8a3 � 12a2 + 6a� 1)se efectuan las multiplicaciones

= �12a2 + 36a� 27� 16a3 + 24a2 � 12a+ 2se efectuan las sumas o restas

= �16a3 + 12a2 + 24a� 25


��2

3m� 1

2n

�2�2

3m� 1

2n

�+8

27m3

Solución

��2

3m� 1

2n

�2�2

3m� 1

2n

�+8

27m3

= ��2

3m� 1

2n

�3+8

27m3


= ��8

27m3 � 2

3m2n+

1

2mn2 � 1

8n3�+8

27m3

=2

3m2n� 1

2mn2 +

1

8n3


9n � (3n+1 � 3n)2

Solución

9n � (3n+1 � 3n)2 = 9n � (32n+2 � 2 � 32n+1 + 32n)= 9n � (32n(9� 2 � 3 + 1))

= 9n � 4 � 9n

= �3 � 9n

= �32n+1


9

�1

3b2 � 1

�2� 3(b2 + 3)

Solución

9

�1

3b2 � 1

�2� 3(b2 + 3)

= 9

�1

9b4 � 2

3b2 + 1

�� 3b2 � 9

= b4 � 6b2 + 9� 3b2 � 9

= b4 � 9b2



1��1

m�m

�2� 1

m

�1

m�m

�Solución

1��1

m�m

�2� 1

m

�1

m�m

�= 1�

�1

m2� 2 +m2

�+ 1� 1

m2

= 4�m2 � 2

m2


1��a

b� b

2a

�3+b3

8a3

Solución

1��a

b� b

2a

�3+b3

8a3

= 1��3

4ab� 3

2

a

b� 1

8a3b3 +

a3

b3

�+b3

8a3

=3

2

a

b� 3

4ab+

1

4a3b3 � a

3

b3+ 1


�3a2 (2a� b)� (2b� 3a) (a� b)� (3a� b)3

Solución�3a2 (2a� b)� (2b� 3a) (a� b)� (3a� b)3= �6a3 + 3a2b� (2ab� 2b2 � 3a2 + 3ab)� (27a3 � 27a2b+ 9ab2 � 3b3)

= �6a3 + 3a2b+ 2ab+ 2b2 + 3a2 � 3ab� 27a3 + 27a2b� 9ab2 + 3b3

= �33a3 + 30a2b� 5ab+ 2b2 + 3a2 � 9ab2 + b3


División de polinomiosAlgoritmo de la división

De�nición 1 Dados a; b 2 Z con b 6= 0 existen y son únicos q; r 2 Z talesque a = bq + r; 0 < r < q:El número a se llama dividendo, b divisor, q cociente y r residuo.La de�nición anterior se puede ampliar a división de polinomios.

De�nición 2 Dados los polinomios D(x) y d(x), existen y son únicos los poli-nomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x) � c(x) + r(x);grado r(x) <grado d(x) o bien r(x) igual al polinomio nulo.

La división de polinomios se hace con un proceso semejante a la división denúmeros enteros:

a. Se ordenan el dividendo y divisor de grado mayor a menor

b. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio deldivisor, el resultado es el primer término del cociente

c. Se multiplica el monomio obtenido, por el polinomio divisor, se coloca elresultado bajo el dividendo

d. Con el polinomio que se obtiene en el paso anterior se repite el proceso b yc.

e. Se continúa hasta que se obtenga un polinomio de grado menor que eldividendo. Éste se llamará residuo.

Ejemplo 8 Efectuar la división

(2x3 � 2x2 � 1)� (x2 + 2)

Solución(2x3 � 2x2+ 0x� 1)� (x2+ 0x+ 2)2x3 �2x2 0x �1 x2+ 0x+ 2

�(2x3 +0x2 +4x) 2x � 2

�2x2 �4x(2x2 +0x �4)

�4x + 3


División SintéticaSe aplica cuando el divisor es de la forma (x� a) ; a 2 Q

Ejemplo 9 Efectuar la división (x3 + 4x4 � x� 3)� (x+ 2)

SoluciónSe puede aplicar división sintética pues el divisor es de la forma x � a;dondea = 2El primer paso es ordenar y completar el polinimio dividendo de grado mayora menor.(x3 + 4x4 � x� 3) = 4x4 + x3 + 0x2 � x� 3Se trabaja sólo con los coe�cientes numéricos del dividendo 4x4 + x3 + 0x2 �x� 3; los cuales son: 4 1 0 � 1 � 3

El divisor es (x + 2) entonces el divisor que se usa en la división sintética es�24 1 0 -1 -3 -2

-8 14 -28 584 -7 14 -29 55Los datos de la división sintética se interpretan: el cociente es 4x3 � 7x2 +14x� 29 (un polinomio un grado menor que el dividendo) y el residuo es 55:

Ejemplo 10 Efectuar la división

(8x3 + 8x2 + 22x� 15)� (2x� 1)

SoluciónEn principio no se puede aplicar división sintética pues el divisor no es de laforma x� a:Se puede ver que (2x� 1) = 2

�x� 1

2

�; reescribiendo la división se tiene que

(8x3 + 8x2 + 22x� 15)� (2x� 1) = 8x3 + 8x2 + 22x� 15

2

�x� 1

2

�se procede a realizar la división con divisor

�x� 1

2

�con división sintética

8 8 22 � 15 1

24 6 14


8 12 28 � 1

El cociente es8x2 + 12x+ 28

2= 4x2 + 6x+ 14. y el residuo es �1

Ejemplo 11 Efectúe las operaciones y determine el cociente de�(2x+ 1)3 � (2x� 4)2 � 1

�� (2x� 1)

Solución(2x+ 1)3 = 8x3 + 12x2 + 6x+ 1

(2x� 4)2 = 4x2 � 16x+ 16�(2x+ 1)3 � (2x� 4)2 � 1

�= 8x3 + 8x2 + 22x� 16

Con división sintética

8 8 22 � 16 1=2

4 6 14

8 12 28 � 2

Cociente8x2 + 12x+ 28

2= 4x2 + 6x+ 14

Ejemplo 12 Efectúe las operaciones y determine el cociente de(8y6 � 21x3y3 � x6 � 24xy5)� (3xy � x2 � y2) :

Solución�x6 +0x5 +0x4 �21x3y3 +0x2 �24xy5 + 8y6 �x2 + 3xy � y2

x6 �3x5y + x4y2 x4 + x3y + 8x2y2 + 42xy3 + 118y4

�3x5y+ x4y2

3x5y �9x4y2 +3x3y3

�8x4y2 �18x3y38x4y2 �24x3y3 +8x2y4

�42x3y3 +8x2y4

42x3y3 �26x2y4 + 42xy5�118x2y4 + 18xy5118x2y4 � 354xy5 + 118y6

�336xy5 + 126y6


Ejemplo 13 Efectuar las operaciones y simpli�car la expresión algebraica�(2m3 � 7m2 + 7m� 2)� (2m� 1)� 2

�m� 13

�� 83

�2

Solución

Como (2m3 � 7m2 + 7m� 2)� (2m� 1) = m2 � 3m+ 2 se tiene que�(2m3 � 7m2 + 7m� 2)� (2m� 1)� 2

�m� 13

�� 83

�2

=

�m2 � 3m+ 2�

�2

3m� 2

3

�� 83

�2

=

�m2 � 3m+ 2�

�2

3m� 2

3

�� 83

�2

=

�m2 � 11

3m

�2= m4 � 22

3m3 +

121

9m2

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